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Fısica General

Ricardo Chavez

Indice general

1. Fısica y Medicion 1

1.1. Una breve historia de la fısica . . . . . . . . . . 2

1.2. Ramas de la fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Relacion de la fısica con otras ciencias . . . . . 4

1.4. Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Sistema internacional de unidades (SI) . 5

1.4.2. Sistema Ingles de unidades . . . . . . . . 10

1.5. Conversiones entre sistemas de unidades . . . . 11

1.6. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Fuerzas y Vectores 15

2.1. Resultante de dos fuerzas . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Equilibrio de una Particula . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A. Soluciones a los Problemas 23

iv INDICE GENERAL

A.1. Capitulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A.2. Capitulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Capıtulo 1

Fısica y Medicion

La fısica es la ciencia que se encarga de estudiar las pro-piedades y el comportamiento de la energıa y la materia. Deun modo mas general es el analisis de la naturaleza con elproposito de entender el Universo.

La fısica es una de las disciplinas academicas mas antiguas,en efecto se puede considerar como la mas antigua, si se tomaa la astronomıa como parte de la fısica. La fısica interactuacon muchas otras de las disciplinas academicas modernas, e.g.la biofısica y la quımica cuantica son interacciones entre lafısica y la biologıa y la fısica y la quımica respectivamente.Del mismo modo siempre ha existido un dialogo muy intensoentre las matematicas y la fısica.

Como todas las ciencias modernas, la fısica esta basada enobservacion y experimentacion, para llevar a efecto las cualesson necesarias mediciones cuantitativas. El principal objeti-vo de la fısica es encontrar un numero reducido de principiosfundamentales que permitan describir la mayor parte de losfenomenos que ocurren en la naturaleza. Estos principios fun-damentales son expresados en el lenguaje de las matematicas.

La fısica hace importantes contribuciones a nuestra vida

2 Fısica y Medicion

diaria a traves del desarrollo de nuevas tecnologıas median-te la aplicacion de los principios teoricos de la disciplina. Porejemplo, los avances en el entendimiento del electromagnetis-mo a finales del siglo XIX y principios del XX dieron lugar agran parte de la tecnologıa de comunicaciones e informaticaque tenemos ahora.

1.1. Una breve historia de la fısica

La astronomıa es la mas antigua del las ciencias natura-les. Las mas antiguas civilizaciones, como los sumerios, losantiguos egipcios y mayas, poseıan ya conocimientos de lasestrellas, la luna, el sol y algunos de los planetas, tales que lesera posible predecir con cierta precision las estaciones del ano,eclipses y los movimientos planetarios.

La filosofıa natural es un claro antecedente de la fısica mo-derna y se origino en Grecia alrededor del 500 AC cuando losfilosofos pre-socraticos comenzaron a especular sobre el origencompletamente natural de todos los fenomenos observados. Unejemplo de estas primeras teorıas es el atomismo de Leucipo yDemocrito.

La fısica moderna nace durante la revolucion cientıfica delos siglos XVI y XVII, cuando cientıficos como Galileo e IsaacNewton comienzan a hacer experimentos con el fin de deducirla leyes fundamentales de la naturaleza y poder obtener pre-dicciones precisas de los fenomenos observables. Es entoncescuando nace lo que se conoce como mecanica clasica, y conella la fısica clasica, y es tambien cuando las matematicas co-mienzan a ser usadas extensivamente en la formulacion de losprincipios basicos de la fısica.

Durante los siglos XVIII y XIX, la fısica clasica se formalizay extiende dando lugar al nacimiento de nuevas ramas comola termodinamica, la hidrodinamica y el electromagnetismo.

1.2 Ramas de la fısica 3

Durante el siglo XIX se alcanza una sistematizacion muy pro-funda de las leyes y principios que se encuentran a la base deestas disciplinas, e.g. en 1861, Maxwell propone un conjuntode ecuaciones matematicas que permiten describir practica-mente todos los fenomenos electromagneticos conocidos hastael momento.

Durante el siglo XIX tambien ocurre la revolucion indus-trial, en esta epoca se suceden grandes desarrollos tecnologicos,en gran medida con base en los principios fısicos desarrolladoshasta ese momento y que a su vez permiten avances cada vezmas rapidos en la comprension de los fenomenos naturales.

El siglo XX se inaugura con la formulacion de las teorıasde la relatividad y de la mecanica cuantica, formuladas porEinstein y Bohr, entre otros. Estas dos teorıas representan unacompleta revolucion conceptual dentro de la fısica, es por estoque desde entonces a este conjunto de desarrollos se les conocecon el nombre de fısica moderna.

1.2. Ramas de la fısica

La fısica se puede dividir para su estudio en 5 grande cam-pos:

Astrofısica: Se ocupa del estudio del universo como untodo y de sus componentes, tales como galaxias, estrellasy sistemas planetarios.

Fısica atomica, molecular y optica: Estudia las interac-ciones entre materia y materia y luz y materia en laescala de atomos y moleculas.

Fısica de partıculas: Estudia los componentes elementa-les de la materia.


Fısica de la materia condensada: Estudia las propiedadesde la materia a un nivel macroscopico. En particular seocupa de las fases condensadas que aparecen cuando elnumero de partıculas es extremadamente grande y lasinteracciones entre ellas son fuertes.

Fısica aplicada: Estudia las aplicaciones de la fısica alas diferentes ramas de la tecnologıa y en particular lasinteracciones de la fısica con otros ciencias.

1.3. Relacion de la fısica con otras

ciencias

Debido a la enorme importancia que ha tenido la fısicapara el desarrollo de la tecnologıa moderna, no es raro que lafısica se relacione aun hoy de modo muy directo con todas lasramas de la ingenierıa. Por ejemplo, la estatica es un campode la mecanica que es usado intensivamente en ingenierıa civily arquitectura para el diseno de estructuras.

Desde el siglo XIX la fısica se ha relacionado con la biologıay medicina, en un principio debido al interes en los fenomenoselectromagneticos que estas disciplinas compartıan, pero masrecientemente por la fructıfera aplicacion de los principios dela mecanica en campos como la biomecanica o biodinamicay de otros principios basicos de la fısica moderna en camposcomo la biologıa molecular.

Desde comienzos del siglo XX y con el surgimiento de lamecanica cuantica, la fısica y la quımica han trabajado juntaspara entender como funcionan los constituyentes mas pequenosde la materia, en particular atamos y moleculas.

En el otro extremo las matematicas, han acompanado siem-pre el desarrollo de la fısica, ya con el surgimiento de la mecani-ca clasica, se vio que las leyes de la naturaleza se podıan ex-

1.4 Sistemas de Unidades 5

presar mejor en el lenguaje de las matematicas y ası a sidohasta ahora.

1.4. Sistemas de Unidades

La ecuacion basica de la mecanica clasica es:

F = ma (1.1)

donde F es el vector fuerza, m es la masa y a es el vectoraceleracion. Esta ecuacion permite relacionar los conceptos delongitud, tiempo, masa y fuerza, de modo que las unidades demedicion de estas cantidades fısicas no pueden ser elegidas demodo independiente. Tres de las unidades pueden ser elegidasindependientemente y son llamadas unidades basicas, mientrasque la cuarta que depende de la ecuacion (1.1) es llamadaunidad derivada. Las unidades de medicion construidas de estamanera forman un sistema de unidades consistente.

1.4.1. Sistema internacional de unidades (SI)

En este sistema de unidades, el cual es usado en la mayorıade los paıses del mundo, las unidades base, y por lo tantoarbitrariamente elegidas, son las de longitud, tiempo y masay son llamadas respectivamente el metro (m), el segundo (s) yel kilogramo (kg).

El metro fue originalmente definido como un diezmillonesi-mo de la distancia del ecuador al polo, aunque actualmentese define como 1 650 763.73 veces la longitud de onda co-rrespondiente a una de las transiciones atomicas del atomo dekrypton-86. El segundo se definio originalmente como 1/86 400de un dıa solar promedio y ahora se define como la duracion de9 192 631 770 ciclos de la radiacion correspondiente a la transi-cion entre dos niveles fundamentales del atomo de cesio-133. El


kilogramo, que es aproximadamente igual a la masa de 0.001m3 de agua, se define como la masa de un estandar de platino-iridio mantenido en resguardo por la Oficina Internacional dePesos y Medidas en Sevres, cerca de Paris en Francia.

La unidad de fuerza es una unidad derivada y es llamadanewton (N); se define de acuerdo con la ecuacion (1.1), comola fuerza que produce una aceleracion de 1 m/s2 a una masade 1 kg. Esto se puede escribir como:

1 N = (1 kg)(1 m/s2) = 1 kg · m/s2. (1.2)

Las unidades del SI forman un sistema de unidades abso-luto, en el sentido de que las unidades base son independientesdel lugar donde se esten llevando acabo las mediciones.

El peso de un objeto depende de la fuerza de gravedad queactua sobre el y puede ser expresado en newtons. De modo queel peso de un objeto con una masa de 1 kg se puede expresarcomo:

W = mg (1.3)

= (1 kg)(9.81 m/s2)

= 9.81 N.

Los multiplos y submultiplos de las unidades del SI puedenobtenerse mediante el uso de los prefijos definidos en la Figura1.1.

La conversion entre multiplos y submultiplos de las unida-des del SI se lleva a cabo moviendo el punto decimal el numerocorrespondiente de espacios a la derecha o a la izquierda. Porejemplo, para convertir 3.5 km a metros, se debe mover elpunto decimal tres espacios a la derecha:

3.5 km = 3500 m;


Figura 1.1: Prefijos del SI.

de manera similar, 65.7 mm se convierten a metros moviendoel punto decimal 3 lugares a la izquierda:

65.7 mm = 0.0657 m.

Usando notacion cientıfica, tambien se puede escribir:

3.5 km = 3.5 × 103 m

65.7 mm = 65.7 × 10−3 m.

Unidades de area y volumen

La unidad de area es el metro cuadrado (m2), el cual repre-senta el area de un cuadrado de un metro por lado, la unidadde volumen es el metro cubico (m3), el cual representa el vo-lumen de un cubo de un metro por lado. Cuando se calculanareas o volumenes se elevan al cuadrado o al cubo los multi-plos y submultiplos de la unidad de longitud. De este modo


Figura 1.2: Principales unidades del SI usadas en mecanica.

tenemos que los submultiplos de la unidad de area:

1 dm2 = (1 dm)2 = (10−1 m)2 = 10−2m2

1 cm2 = (1 cm)2 = (10−2 m)2 = 10−4m2

1 mm2 = (1 mm)2 = (10−3 m)2 = 10−6m2,

y los submultiplos de la unidad de volumen son:

1 dm3 = (1 dm)3 = (10−1 m)3 = 10−3m3

1 cm3 = (1 cm)3 = (10−2 m)3 = 10−6m3

1 mm3 = (1 mm)3 = (10−3 m)3 = 10−9m3.

Aquı es importante notar que un decımetro cubico (dm3) esequivalente a un litro (L).


Figura 1.3: Principales unidades del sistema Ingles usadas enmecanica.

Otras unidades derivadas en el SI usadas para medir can-tidades como el momento de una fuerza, el trabajo de unafuerza, etc., se muestran en la Figura 1.2. Cuando una unidadderivada es obtenida mediante la division de una unidad basepor otra, un prefijo pude usarse en el numerador pero nuncaen el denominador. Por ejemplo, la constante k de un resorteque se estira 20 mm bajo la accion de una fuerza de 100 Npuede expresarse como:

k =100 N

20 mm=

100 N

0.020 m= 5000 N/m = 5 kN/m,


pero nunca como k = 5 N/mm.

1.4.2. Sistema Ingles de unidades

El sistema ingles de unidades es usado principalmente enEUA y en otros paıses anglosajones en menor medida. En elsistema ingles las unidades base son las de longitud, tiempo yfuerza. Estas unidades son respectivamente el pie (ft), el se-gundo (s) y la libra (lb). El segundo es la misma unidad detiempo que en el SI. El pie esta definido como 0.3048 m. Lalibra se define como el peso de un estandar de platino, llamadola libra estandar, y que es mantenido por el Instituto Nacionalde Estandares y Tecnologıa en Washington, EUA. La masade una libra equivale a 0.453 592 43 kg. Dado que el peso deun cuerpo depende del campo gravitacional local al que estasometido, el sistema Ingles de unidades no es un sistema abso-luto. Debido a esta dependencia con la atraccion gravitacionalde la tierra, el sistema ingles es un sistema gravitacional deunidades.

Aunque en la practica comun la libra es usada tambiencomo una unidad de masa, en fısica no es posible usarla de estemodo, debido a que el sistema de unidades seria inconsistentecon la definicion dada por la ecuacion (1.1). La unidad demasa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masaque recibe una aceleracion de 1 ft/s2 cuando se le aplica unafuerza de 1 lb. Esta unidad, algunas veces llamada slug, puedederivarse como sigue:

F = ma

1 lb = (1 slug)(1 ft/s2),

tras despejar se obtiene que:

1 slug =1 lb

1 ft/s2= 1 lb · s2/ft. (1.4)

1.5 Conversiones entre sistemas de unidades 11

Sabiendo que la aceleracion gravitacional de la tierra es enpromedio de 32.2 ft/s2, se concluye que un slug tiene una masa32.2 veces mas grande que la masa de la libra estandar.

Otras unidades del sistema Ingles encontradas con frecuen-cias son la milla (mi) equivalente a 5280 ft, la pulgada (in)equivalente a 1/12 ft y el kilopound (kip), equivalente a lafuerza de 1000 lb. La tonelada (ton) es usada frecuentementepara representar la masa de 2000 lb, pero debe convertirse aslugs para calculos en fısica. La Figura 1.3 muestra las unida-des derivadas mas usadas en el sistema Ingles de unidades.

Las conversiones entre las diferentes unidades del sistemaIngles suelen ser mas complicadas que las conversiones dentrodel SI. Si, por ejemplo, la magnitud de una velocidad es dadacomo v = 30 mi/h, esto se puede convertir a ft/s como sigue:

v =

(30

mi

h

)(5280 ft

1 mi

)(1 h

3600 s

)= 44

ft

s

1.5. Conversiones entre sistemas de

unidades

Para convertir de un sistema de unidades a otro simple-mente se divide o multiplica por los factores de conversionapropiados. Por ejemplo, para convertir el momento de unafuerza que ha sido determinado como M = 47 lb · in se tieneque:

M = 47 lb · in = 47(4.448 N)(25.4 mm)

= 5310 N · mm = 5.31 N · m.

Si al contrario el momento de una fuerza ha sido obtenidocomo M = 40 N · m, entonces tenemos que:

M = 40 N · m = (40 N · m)

(1 lb

4.448 N

)(1 ft

0.3048 m

)= 29.5 lb · ft.


1.6. Densidad

Una propiedad de cualquier substancia es la densidad, ρ,definida como la cantidad de materia contenida por unidad devolumen, la cual se expresa como:

ρ =m

V. (1.5)

Por ejemplo, el aluminio tiene una densidad de 2.70 g/cm3,y el plomo tiene una densidad de 11.3 g/cm3. La diferencia endensidades de los dos elementos se debe en parte a la diferenciaen sus masas atomicas.

1.7. Sumario

La fısica es la ciencia que estudia las propiedades y el com-portamiento de la materia y la energıa. Las ramas principalesde la fısica clasica son la mecanica, la hidrodinamica, la ter-modinamica y el electromagnetismo.

Los campos de estudio principales de la fısica actual sonla astrofısica, la fısica atomica, molecular y optica, la fısicade partıculas, la fısica de la materia condensada y la fısicaaplicada.

La fısica se relaciona con muchas otras ciencias, entre ellaslas matematicas, la ingenierıa, la quımica y la biologıa. Larelacion entre la fısica y la quımica a producido la quımicamolecular moderna y su relacion con la biologıa a producidola biomecanica.

Las tres cantidades fısicas fundamentales de la mecanicason la longitud, la masa y el tiempo, las cuales en el SI tienenunidades de metros (m), kilogramos (kg) y segundos (s), res-pectivamente. Se utilizan prefijos para indicar las potencias de

1.8 Problemas 13

10 que son usadas para expresar multiplos y submultiplos delas unidades basicas.

La densidad de una substancia se define como la masa porunidad de volumen. Diferentes substancias tienen diferentesdensidades principalmente debido a diferencias en sus masasatomicas.

1.8. Problemas

1. El kilogramo estandar de platino-iridio es un cilindro de39.0 mm de altura y 39.00 mm de diametro. ¿Cual es ladensidad del material?

2. La masa del planeta Saturno es 5.64×1026 kg, y su radioes 6.00 × 107 m. Calcule su densidad.

3. La ley de la gravitacion universal de Newton se repre-senta como:

F =GMm

r2,

donde F es la fuerza gravitacional, M y m son masas yr es una distancia. ¿Cuales son las unidades en el SI dela constante de proporcionalidad G?

4. Suponga que el cabello crece a una taza de 1/64 in pordıa. Encuentre la taza a la que el cabello crece en nano-metros por segundo.

5. Un edificio rectangular mide 60 ft por 150 ft. Determineel area del edificio en m2.

6. Un auditorio mide 30.0 m × 30.0 m × 15.0 m. La densi-dad del aire es de 1.20 kg/m3. Encuentre (a) el volumendel auditorio en ft3 y (b) el peso del aire dentro del au-ditorio en libras.


7. Suponga que el llenado de un tanque de 28.0 galones degasolina toma 5.00 minutos. (a) Calcule la taza a la queel tanque se llena en galones por segundo. (b) Calcule lataza a la que el tanque se llena en metros cubicos porsegundo. (c) Determine el tiempo en horas que tomariallenar un volumen de 1 metro cubico a la misma taza. (1gal = 231 in3)

8. Un terreno tiene un area de 1 mi2 y contiene 640 acres.Determine el numero de metros cuadrados en 1 acre.

9. Una pieza solida de plomo tiene una masa de 23.94 g yun volumen de 2.10 cm3. Calcule la densidad del plomoen unidades del SI (kg/m3).

10. La masa del Sol es de 1.99 × 1030 kg y la masa de unatomo de hidrogeno es de 1.67 × 10−27 kg. Suponiendoque el sol esta formado solo de hidrogeno, encuentre elnumero de atomos en el Sol.

11. ¿Cuantos segundos hay en un ano?

12. La funcion basica de un carburador es atomizar la gasoli-na y mezclarla con el aire para promover una combustionmas rapida. Suponga que 30.0 cm3 de gasolina son ato-mizados en N gotas esfericas identicas, cada una con unradio de 2.00×10−6 m. Encuentre la superficie total queesas N gotas pueden cubrir.

13. Un centımetro cubico de agua tiene una masa de 1.00 ×10−3 kg. (a) Determine la masa de 1.00 m3 de agua.(b) Suponiendo que las substancias biologicas estan com-puesta por un 95 % de agua, estime la masa de una celulaque tiene un diametro de 1 µm y un rinon humano. Su-ponga que el rinon es una esfera de un radio de 4.0 cm.

Capıtulo 2

Fuerzas y Vectores

En este capitulo se estudiara el efecto de fuerzas actuandosobre partıculas. Primero se aprendera a reemplazar dos o masfuerzas actuando sobre una partıcula por una sola fuerza quetenga el mismo efecto que las fuerzas originales, esta fuerza esconocida como fuerza resultante. Despues se determinara la re-lacion existente entre las fuerzas que actuan sobre la partıculaen un estado de equilibrio.

2.1. Resultante de dos fuerzas

Una fuerza representa la accion de un cuerpo sobre otro y secaracteriza generalmente por su punto de aplicacion, su mag-nitud y su direccion. Las multiples fuerzas que actuan sobreuna partıcula tienen el mismo punto de aplicacion, de modoque quedan definidas por su magnitud y direccion.

La magnitud de una fuerza se caracteriza por un ciertonumero de unidades. La direccion de una fuerza se define porla linea de accion y el sentido de la fuerza. La linea de acciones la linea recta infinita a la largo de la cual la fuerza actua,se caracteriza por el angulo que forma con un eje dado. La

16 Fuerzas y Vectores

Figura 2.1: Dos fuerzas con la misma linea de accion y magnitudpero diferente sentido.

fuerza se representa por un segmento de esa linea, mediante eluso apropiado de la escala, la longitud del segmento se elige demodo que represente a la magnitud de la fuerza. Finalmente,el sentido de la fuerza se indica por una punta de flecha alfinal del segmento de linea. Dos fuerzas que tienen la mismamagnitud y linea de accion pero diferentes sentido, como lasmostradas en la Figura 2.1, tendran efectos opuestos en unapartıcula.

Dos fuerzas P y Q actuando en una partıcula A, pueden serrepresentadas por una sola fuerza R que tenga el mismo efectosobre la partıcula. Esta fuerza es llamada la resultante de lasfuerzas P y Q y puede obtenerse como se muestra en la Figura2.2, construyendo un paralelogramo, usando P y Q como doslados adyacentes del paralelogramo. La diagonal que pasa atraves de A representa la resultante. Este metodo es conocidocomo la ley del paralelogramo para la adicion de dos fuerzas.

2.2. Vectores

Las fuerzas no son las unicas cantidades que se representancomo vectores, otras cantidades vectoriales son desplazamien-tos, velocidades, aceleraciones y momento. Las cantidades queno se representan como vectores son, por ejemplo, volumen,

2.3 Suma de vectores 17

Figura 2.2: Suma de dos fuerzas usando la ley del paralelogramo.

masa y energıa y se llaman cantidades escalares.

Los vectores se definen como expresiones matematicas queposeen magnitud y direccion y que se suman de acuerdo conla ley del paralelogramo.

El vector negativo de un vector P se define como el vectorque tiene la misma magnitud que P pero direccion opuestay se denota por −P. Los vectores P y −P son usualmentellamados iguales y opuestos. En general se tiene que:

P + (−P) = 0

2.3. Suma de vectores

Como se dijo antes, en general la suma de dos vectores sepuede obtener mediante la construccion de un paralelogramo


Figura 2.3: Descomposicion de una fuerza en sus componentes rec-tangulares.

en el que los dos vectores se usan como lados.

Otro metodo ampliamente usado para encontrar la sumade dos vectores es mediante la descomposicion del vector ensus componentes rectangulares u ortogonales.

Si se tiene una fuerza F, esta se puede descomponer en suscomponentes Fx y Fy a lo largo de los ejes x y y respectiva-mente. Esto se muestra en la Figura 2.3.

En este punto se pueden introducir dos vectores de magni-tud unidad a lo largo de cada uno de los ejes x y y positivos,estos vectores son llamados vectores unitarios y se denotan pori y j y se muestran en la Figura 2.4. Las componentes rectan-gulares de cualquier vector se pueden escribir en terminos delos vectores unitarios i y j multiplicados por el escalar apropia-do como se muestra en la Figura 2.5. De modo que se puede

2.3 Suma de vectores 19

Figura 2.4: Vectores unitarios i y j.

escribir:F = Fxi + Fyj. (2.1)

Si se denota con F a la magnitud de la fuerza F y con θ alangulo entre la fuerza y el eje x positivo, se tiene que:

Fx = F cos θ, (2.2)

Fy = F sin θ. (2.3)

Cuando la fuerza F se define por sus componentes rectangu-lares Fx y Fy, el angulo θ que define su direccion se obtienemediante:

θ =Fy

Fx

. (2.4)

La magnitud F de la fuerza se obtiene aplicando el teoremade Pitagoras de modo que se tiene:

F =√F 2x + F 2

y . (2.5)


Figura 2.5: Descomposicion de una fuerza en terminos de los cec-tores unitarios i y j.

2.4. Equilibrio de una Particula

Cuando la resultante de todas las fuerzas que actuan sobreuna partıcula es cero, se dice que la partıcula esta en equilibrio.La expresion algebraica que describe la situacion anterior es:

R =∑

F = 0. (2.6)

Si se descompone cada fuerza F en sus componentes rectan-gulares se tendra que: ∑

(Fxi + Fyj) = 0

(∑

Fx)i + (∑

Fy)j = 0

2.5. Problemas

1. Se tienen dos fuerzas P y Q actuando sobre un perno, co-mo se muestra en la Figura 2.6. Encuentre la resultante.

2.5 Problemas 21

Figura 2.6

2. Dos fuerzas P y Q se aplican sobre el punto A de ungancho como se muestra en la Figura 2.7. Sabiendo queP = 70 N y que Q = 120 N, encuentre la magnitud ydireccion del vector resultante.

Figura 2.7

3. Los cables AB y AD ayudan a soportar un poste como semuestra en la Figura 2.8. Sabiendo que la tension en AB


es de 150 lb y en AD es de 50 lb, determine la magnitudy direccion de la resultante.

Figura 2.8

Apendice A

Soluciones a losProblemas

A.1. Capitulo 1

1.

La densidad esta dada por:

ρ =m

V

Datos:

m = 1 kg

V = ?

r = 19.5 mm

h = 39.0 mm

24 Soluciones a los Problemas

El volumen se puede calcular como:

V = πr2h

= π(19.5 mm)2(39 mm)

= 46589 mm3

= 46589 × 10−9 m3

= 4.6589 × 10−5 m3.

Entonces la densidad esta dada por:

ρ =1 kg

4.6589 × 10−5 m3

= 21464.3 kg/m3.

2.

Datos:

m = 5.64 × 1026 kg

V = ?

r = 6 × 107 m.

El volumen se puede calcular como:

V =4

3πr3

=4

3π(6 × 107 m)3

= 9.05 × 1023 m3.

Entonces la densidad esta dada por:

ρ =5.64 × 1026 kg

9.05 × 1023 m3

= 623.36 kg/m3.

A.1 Capitulo 1 25

3.

Se tiene que:

F =GMm

r2,

entonces se puede ver que:

G =F · r2

Mm,

sustituyendo por las unidades correspondientes se tiene que:

[G] =N m2

kg2

=kg ms2

m2

kg2

=kg m3

s2

kg2

1

=kg m3

kg2 s2

=m3

kg s2

4.

Se tiene que hacer la conversion siguiente:

1

64

in

dia

[0.0254 m

1 in

] [1 nm

10−9 m

] [1 dia

86400 s

]= 4.59 nm/s

5.

Se tiene que el area esta dada por:

A = 60 ft × 150 ft = 9000 ft2,


ahora convirtiendo a m2 se tienes que:

A = 9000 ft2[

0.3048 m

1 ft

]2= 836.13 m2.

6.

Se tiene que el volumen esta dado por:

V = 30 m × 30 m × 15 m = 13500 m3,

convirtiendo a ft3 se tiene que:

V = 13500 m3

[1 ft

0.3048 m

]3= 476748.0 ft3.

El peso del aire se obtiene a partir de la densidad y elvolumen como sigue:

m = ρV = 1.20 kg/m3 × 13500 m3 = 16200 kg,

convirtiendo a lb tenemos que:

m = 16200 kg

[1 lb

0.454 kg

]= 35682.8 lb.

7.

Se tiene que la taza de llenado es de:

∆V =28 gal

5 min= 5.6 gal/min,

de modo que convirtiendo a galones por segundo se tiene que:

∆V =5.6 gal

min

[1 min

60 s

]= 0.093 gal/s.

A.2 Capitulo 2 27

Luego se tiene que convirtiendo los galones a metros cubi-cos se tiene:

∆V =0.093 gal

s

[231 in3

1 gal

] [0.0254 m

1 in

]3= 0.000352 m3/s.

Dada la taza anterior y un volumen de 1 m3 se tiene en-tonces que el tiempo esta dado como:

t =V

∆V=

1 m3

0.000352 m3/s= 2840.56 s

[1 h

3600 s

]= 0.79 h

8.

Convirtiendo de mi2 a m2 se tiene que:

A = 1 mi2[

1609 m

1 mi

]2= 2.59 × 106 m2,

ahora convirtiendo a acres,

2.59 × 106 m2/mi2

640 acres/mi2= 4045.12 m2/acre

A.2. Capitulo 2

1.

El vector P se puede descomponer en sus componentesrectangulares como sigue:

P = 40 N cos 20 i + 40 N sin 20 j

P = 37.59 N i + 13.68 N j ;

mientas que el vector Q se descompone como:

Q = 60 N cos 45 i + 60 N sin 45 j

Q = 42.42 N i + 42.42 N j .


Se tiene, entonces, que la resultante es:

R = (37.59 + 42.42) N i + (13.68 + 42.42) N j

R = 80 N i + 56.1 N j .

De modo que la magnitud de la resultante estaria dada por:

R =√

(80 N)2 + (56.1 N)2

R = 97.7 N

y el angulo de la fuerza esta dado por:

θ = tan−1 56.1

80θ = 35.040

2.

El vector P se puede descomponer en sus componentesrectangulares como sigue:

P = −70 N cos(70) i − 70 N sin 70 j

P = −23.94 N i − 65.78 N j ;

mientas que el vector Q se descompone como:

Q = 120 N cos 55 i − 120 N sin 55 j

Q = 68.83 N i − 98.3 N j .

Se tiene, entonces, que la resultante es:

R = (−23.94 + 68.83) N i + (−65.78 − 98.3) N j

R = 44.89 N i − 164.08 N j .

De modo que la magnitud de la resultante estaria dada por:

R =√

(44.89 N)2 + (−164.08 N)2

R = 170.11 N

A.2 Capitulo 2 29

y el angulo de la fuerza esta dado por:

θ = tan−1 −164.08

44.89θ = −74.70

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