ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ – ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών “ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Ιστορική εξέλιξη και μελέτη των λογαρίθμων

ΚΑΝΔΗΛΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Επιβλέπων Καθηγητής : Ευστάθιος Γιαννακούλιας

ΑΘΗΝΑ 2010

2

Η παρούσα Διπλωματική Εργασία

εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών

για την απόκτηση του

Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το

Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών

Σπουδών

«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

Εγκρίθηκε την ……………………από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη

από τους :

Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή

1)……………………….………………(επιβλέπων Καθηγητής)

…………..…….

…………….

2)…………………………………………………

…………..…….

………..…

3)…………………………………………………

…………..…….

………...…

3

Στην Έφη και τον Απόστολο

4

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά:

• Τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια για την προθυμία του να τεθεί επιβλέπων, την υπομονή, τη συνδρομή αλλά και την ολόπλευρη στήριξή του στην εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. • Τον κ. Θεοδόση Ζαχαριάδη και την κ. Βασιλική Φαρμάκη, οι οποίοι με τίμησαν με τη συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή.

• Τους φίλους Μαρία Κανελλοπούλου και Χρήστο Χρηστίδη για τις ανησυχίες και τους προβληματισμούς που μοιραστήκαμε, καθώς και τη στήριξή τους.

• Τους διδάσκοντες του προγράμματος και τους συμφοιτητές μου για τη διαρκή, πολύπλευρη και εποικοδομητική συνεργασία σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου.

• Τη σύζυγό μου, το γιο μου και τους γονείς μου, για την αμέριστη συμπαράσταση που μου παρείχαν.

Νοέμβριος 2010

5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή…………………………………………………………………………..9

Κεφάλαιο 1

Η ιστορική εξέλιξη των λογαρίθμων

Ο ορισμός του λογαρίθμου……………………………………………………….11

Επαναθεώρηση του ορισμού του λογαρίθμου……………………………………19

Ο σύγχρονος εκθετικός συμβολισμός…………………………………………….33

Από τους Leibniz και Bernoulli στον Euler

Ανεπιτυχείς προσπάθειες για τη δημιουργία μιας θεωρίας των λογαρίθμων

αρνητικών αριθμών……………………………………………………………….39

Η αλληλογραφία και η φιλική διαμάχη των Leibniz και J. Bernoulli……………42

Η ανάπτυξη των λογαρίθμων από τον Euler……………………………………. 51

Η αλληλογραφία των Euler και J. Bernoulli I και τα συμπεράσματά της………..63

Η σύνδεση των λογαριθμικών και εκθετικών εννοιών στα μέσα του

18ου αιώνα……......................................................................................................67

Η δημιουργία μιας θεωρίας λογαρίθμων μιγαδικών αριθμών από τον

Euler 1747 – 1749………………………………………………………………..68

Η αλληλογραφία και η έντονη διαμάχη των Euler και D’Alembert……………..69

Από τον Euler στους Wessel και Argand, 1749 μέχρι περίπου 1800

Μισός αιώνας άκαρπων συζητήσεων για τους λογάριθμους……………………..83

Η άκαρπη αντιπαράθεση De Foncenex-D’Alembert……………………………..85

Οι απόψεις της μαθηματικής κοινότητας της Ιταλίας για τη διαμάχη…………....90

Η σύνδεση των λογαριθμικών και εκθετικών εννοιών στο τέλος

του 18ου αιώνα…….................................................................................................97

Η γενική δύναμη και ο λογάριθμος………………………………………………98

Η συνεισφορά του De Morgan………………………………………………….107

Γενικεύσεις και βελτιώσεις κατά το 19ο αιώνα…………………………………113

Κύριες τιμές δυνάμεων και λογαρίθμων- Προτεινόμενοι συμβολισμοί………...114

Άλλες αναφορές στον λογαριθμικό συμβολισμό και τροποποιήσεις…………...115

Ταξινόμηση λογαριθμικών συστημάτων……………………………………….119

6

Κεφάλαιο 2

Προαπαιτούμενες γνώσεις

Συναρτήσεις……………………………………………………………………..121

Σειρές……………………………………………………………………………126

Διαφόριση δυναμοσειρών……………………………………………………….128

Κεφάλαιο 3

Ορισμός της εκθετικής συνάρτησης xa ...............................................................133

Λογάριθμος με βάση το 0 1a< ≠ -Η συνάρτηση log , 0a x x > …………………. 144

Ορισμός της εκθετικής συνάρτησης xe ………………………………………...146

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης……………………………………………153

Ο αριθμός e……………………………………………………………………...156

Φυσικός λογάριθμος…………………………………………………………….158

Φυσικοί λογάριθμοι φυσικών αριθμών………………………………………….160

Κεφάλαιο 4

Ορισμός του φυσικού λογάριθμου μέσω ολοκληρώματος……………………...165

Γράφημα του φυσικού λογαρίθμου……………………………………………..169

Λoγάριθμοι με βάση το b, 0 1b< ≠ ……………………………………………..171

Η εκθετική συνάρτηση………………………………………………………….173

Παραγώγιση και ολοκλήρωση της εκθετικής συνάρτησης……………………..175

1

log lim 1nn

a n a→∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠…………………………………….....................................178

Κεφάλαιο 5

Διδακτική προσέγγιση της λογαριθμικής συνάρτησης

Ορισμός του logα, α>1 με τη βοήθεια εμβαδού………………………………...181

Η θεμελιώδης ιδιότητα ( )log log loga b a b⋅ = + ……………………………..183

Η ιδιότητα της μονοτονίας………………………………………………………188

7

Παράγωγος της λογαριθμικής συνάρτησης……………………………………..188

Γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης……………………………191

Κεφάλαιο 6

Εφαρμογές

Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα……………………………………………………196

Διάσπαση μιας ραδιενεργού ουσίας…………………………………………….198

Ελεύθερη πτώση σώματος εντός υλικού μέσου………………………………...201

Διαλύματα……………………………………………………………………….203

Πρόβλημα ανατοκισμού………………………………………………………...204

Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος…………………………………………………..206

Πληθυσμιακά μοντέλα…………………………………………………………..207

Βιβλιογραφία……………………………………………………………………213

8

9

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στα τέλη του 16ου αιώνα παρατηρήθηκε μια μεγάλη άνθηση αριθμητικών

υπολογισμών καθόσον η ανάπτυξη της αστρονομίας και της ναυσιπλοΐας

απαιτούσε ολοένα περισσότερη ακρίβεια και εκτεταμένους τριγωνομετρικούς

υπολογισμούς.

Ο George Joachim Rheticus (1514-1576) άρχισε τους υπολογισμούς ενός

μεγάλου αριθμού τριγωνομετρικών πινάκων με 15 δεκαδικά ψηφία που

συμπληρώθηκαν από τον Otho στα 1596 και τον Pitiscus στα 1613.

Η άμεση ανάγκη, κάποιας επινόησης ώστε να μειωθεί ο κόπος των

επίπονων πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων με πολλά δεκαδικά ψηφία οδήγησε

στην εφεύρεση των λογαρίθμων από τον Napier και άλλους στις αρχές του 17ου

αιώνα.

Η δύναμη των λογαρίθμων ως τεχνική υπολογισμού, βρίσκεται στο

γεγονός ότι με τη χρήση τους ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ανάγονται στις

ευκολότερες πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Ένας πρόδρομος αυτής

της αναγωγής φαίνεται στη σχέση ( ) ( )12

ημ ημ συν συνΑ⋅ Β = Α−Β − Α+Β⎡ ⎤⎣ ⎦ που

ήταν πολύ γνωστή την εποχή του Napier και πιθανόν να είχε αυτή τη σχέση ως

αφετηρία της έμπνευσής του.

Παρότι σήμερα το υπολογιστικό μέρος της θεωρίας των λογαρίθμων έχει

ξεπεραστεί με την ανακάλυψη των υπολογιστών, εν τούτοις η μελέτη των

ιδιοτήτων της λογαριθμικής και εκθετικής συνάρτησης παραμένει σημαντική,

καθόσον οι συναρτήσεις αυτές περιγράφουν την εξέλιξη πάρα πολλών φυσικών

και κοινωνικών φαινομένων όπως είναι για παράδειγμα η ραδιενέργεια, η

πληθυσμιακή εξέλιξη, η εξάπλωση μιας επιδημίας.

Οι υπολογισμοί του Napier βασίστηκαν σε μια αντίληψη μιας ειδικής

συναρτησιακής σχέσης σε μια εποχή όπου η γενική έννοια της συνάρτησης ήταν

άγνωστη. Έτσι, η λογαριθμική συνάρτηση έπαιξε έναν αρχέτυπο ρόλο στην

ανάπτυξη αυτής της γενικής έννοιας.

10

Η μελέτη των λογαρίθμων οδήγησε και στον υπολογισμό υπερβολικών

εμβαδών και συνεπώς η λογαριθμική συνάρτηση εκτός από την υπολογιστική της

σημασία, έπαιξε και έναν σημαντικό ρόλο στην ιστορική εξέλιξη του

απειροστικού λογισμού.

Η διπλωματική αυτή εργασία αποτελείται από δύο μέρη, στο πρώτο μέρος

περιγράφεται η ιστορική εξέλιξη των λογαρίθμων ενώ στο δεύτερο μέρος οι

διάφοροι μέθοδοι παρουσίασης και μελέτης αυτών.

11

Κεφάλαιο 1

Η Ιστορική εξέλιξη των λογαρίθμων

Στην ιστορία της Άλγεβρας , οι 17ος και 18ος αιώνας είναι γνωστοί για την

ανάπτυξη σημειολογίας και ιδεών , οι οποίες έχουν παίξει αποφασιστικό ρόλο

στον τρόπο που την προσεγγίζουμε και το πρίσμα μέσα από το οποίο την

μελετάμε . Πολλοί μελετητές της εποχής αυτής ασχολήθηκαν με την εκθετική ιδέα

και τους λογαρίθμους και όπως αναφέρει ο F.Klein “εάν θέλουμε πραγματικά να

προχωρήσουμε σε μια πλήρη κατανόηση της θεωρίας των λογαρίθμων, είναι

καλύτερα να ακολουθήσουμε στενά την ιστορία της δημιουργίας τους ” (F.Klein,

Elementarmathematik vom hoh. Standpunkte aus, I, Leipzig, 1908, p. 325) και με

εφαλτήριο την φράση αυτή του F.Klein, θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε

αυτή τη διαχρονική και δημιουργική εξέλιξη.

Οι λογάριθμοι εφευρέθηκαν πριν η σύγχρονη εκθετική ιδέα , αⁿ, εισαχθεί

στην Άλγεβρα. Σίγουρα, η χρήση των αλγεβρικών συμβόλων η οποία ήταν λίγο-

πολύ διαφορετική από τον σύγχρονο συμβολισμό δυνάμεων και ριζών ενός

αριθμού , είχε προταθεί πριν από την είσοδο των λογαρίθμων, αλλά θα δούμε ότι

αυτές οι προτάσεις είχαν αγνοηθεί· ωστόσο γεγονός είναι ότι οι εφευρέτες των

λογαρίθμων δεν χρησιμοποίησαν τη σύγχρονη εκθετική σημειολογία και δεν ήταν

οικείοι με την εκθετική αντίληψη η οποία τώρα παίζει τόσο θεμελιώδη ρόλο στην

ανάπτυξη της λογαριθμικής θεωρίας . Θα αναφέρουμε και θα εξετάσουμε λοιπόν

τις βασικές θεωρήσεις στην ανάπτυξη των λογαρίθμων, από την οπτική γωνία των

εφευρετών τους , John Napier και Joost Burgi καθώς και τις προσεγγίσεις άλλων

μελετητών για την αναθεώρηση και επαναπροσδιορισμό αυτών .

Στα 1614 ο John Napier (1550-1617) από το Merchiston του Εδιμβούργου

δημοσίευσε ένα μικρό βιβλίο με τίτλο Mirifici Logarithmorum Canonis

Descriptio, (μια πλήρης ανατύπωση του Descriptio βρίσκεται στο Scriptores

logarithmici του Maseres, Vol.6, London, 1807, pp.475-624), δηλαδή περιγραφή

του θαυμάσιου κανόνα των λογαρίθμων που περιείχε μόνο μια εισαγωγή και

12

οδηγίες για την υπολογιστική χρήση των πινάκων. Η μέθοδος υπολογισμού των

πινάκων και μια μικρή επεξήγηση στη λογική που βασίστηκαν συγκεντρώθηκε

στο Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, που γράφτηκε πριν το πρώτο

βιβλίο αλλά δημοσιεύτηκε αργότερα στα 1619. Σκοπός του Napier ήταν να

μειώσει όπως προαναφέραμε την κοπιώδη πράξη του πολλαπλασιασμού στην

πολύ απλούστερη πράξη της πρόσθεσης και στηρίχθηκε στην αντιστοιχία μεταξύ

αριθμητικών σειρών και γεωμετρικών σειρών.

Στο Arithmetica Integra, το 1544, ο Michael Stifel (την εργασία του οποίου

φαίνεται να γνώριζε ο Napier) είχε θέσει σε αντιστοιχία την αριθμητική και

γεωμετρική σειρά

0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

1 2 4 8 16 32 64 128 256 …

και έδειξε ότι η πρόσθεση στην επάνω (αριθμητική) σειρά αντιστοιχεί σε

πολλαπλασιασμό στην κάτω (γεωμετρική) σειρά. Για παράδειγμα 3+5=8

αντιστοιχεί στο 8x32=256. Αν και η έλλειψη της εκθετικής έννοιας εμπόδισε τον

Stifel να γράψει 3 5 3 52 2 2 +⋅ = , αυτός αναφερόταν στους επάνω αριθμούς ως

“εκθέτες” των κάτω αριθμών.

Η δύναμη των λογαρίθμων ως τεχνικής υπολογισμού βρίσκεται στο

γεγονός ότι με αυτούς ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ανάγονται στις

ευκολότερες πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Ένας πρόδρομος αυτής

της αναγωγής φαίνεται στη σχέση ( ) ( )12

ημ ημ συν συνΑ⋅ Β = Α −Β − Α+Β⎡ ⎤⎣ ⎦ που

ήταν πολύ γνωστή την εποχή του Napier. Είναι μάλιστα πολύ πιθανό, η σκέψη του

Napier να ξεκίνησε από αυτή τη σχέση γιατί διαφορετικά είναι δύσκολο να

κατανοήσουμε για ποιο λόγο περιόρισε αρχικά τους λογαρίθμους μόνο σε

λογαρίθμους των ημιτόνων γωνιών.

Για να είναι χρήσιμη αυτή η αντιστοιχία μεταξύ αριθμητικής και

γεωμετρικής σειράς για πρακτικούς υπολογισμούς, προφανώς ήταν αναγκαίο ο

κοινός λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών όρων της γεωμετρικής σειράς να είναι πολύ

κοντά στη μονάδα ώστε τα χάσματα μεταξύ των διαδοχικών όρων να παραμένουν

μικρά. Ο Napier άρχισε θεωρώντας αυτό το κοινό λόγο 0.9999999 ( 71 10−= − σε

μοντέρνο εκθετικό συμβολισμό) και ο πρώτος πίνακας του Constructio αποτελείτο

13

από τους πρώτους 101 όρους της γεωμετρικής σειράς με πρώτο όρο 10.000.000 (=710 ), δηλαδή τους αριθμούς ( )7 710 1 10 n−− , 0,1, 2,...,100n = . Στη συνέχεια πέτυχε,

κάθε όρο από τους προηγούμενους με μια αφαίρεση, όπως φαίνεται παρακάτω

10000000.0000000

100000009999999.0000000

−

0.99999999999998.0000001

− και συνεχίζοντας μέχρι το 9999900.0004950 καλούσε

δε τους αριθμούς 0, 1, …, 100 λογάριθμους (=λόγοι αριθμών) των αριθμών που

με αυτό τον τρόπο επετεύχθησαν. Για παράδειγμα ο 100 είναι ο λογάριθμος του

9999900.0004950. Έτσι η αρχική του ιδέα για το λογάριθμο ενός αριθμού 710x <

ήταν ο αριθμός των φορών που έπρεπε να πολλαπλασιαστεί ο 710 με το ( )71 10−− ώστε να δώσει ως αποτέλεσμα τον x.

Ο Napier εργάστηκε περισσότερο από 20 χρόνια πάνω στη θεωρία του και

όποια αν είναι η αιτία γέννησής τους, ο λογαριθμικός ορισμός του βασίστηκε σε

μελέτες της συνεχούς κίνησης σημείων κατά μήκος ευθειών και αυτό αναμφίβολα

ένεκα των διαισθητικών αντιλήψεων της φυσικής κίνησης, εφόσον εκείνη την

εποχή ήταν η μόνη χρησιμοποιήσιμη βάση για ποσοτικές μελέτες συνεχών

μεταβλητών. Ο ορισμός που έδωσε για τον λογάριθμο περικλείει δύο σημεία που

κινούνται σε δύο διαφορετικές γραμμές. Το πρώτο σημείο P αρχίζει από ένα

αρχικό σημείο 0P ενός τμήματος 0PQ μήκους 710 με αρχική ταχύτητα 710 και

κινείται με κατεύθυνση προς το Q , ώστε η ταχύτητά του να ελλατώνεται κατά

τέτοιο τρόπο ώστε πάντοτε αυτή να ισούται με την απομένουσα ταχύτητα PQ.

0P P x Q

Το δεύτερο σημείο L ξεκινά από το αρχικό σημείο 0L μιας ημιευθείας και κινείται

προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα 710 . Ο Napier ορίζει το τμήμα 0y L L= να

είναι ο λογάριθμος του τμήματος x PQ= .

0L L

y

14

Όπως γράφει στο Constructio,

‘ο λογάριθμος ενός δοσμένου ημιτόνου είναι ο αριθμός που έχει αυξηθεί

αριθμητικά με την ίδια ταχύτητα πάντοτε όπως αυτή με την οποία η ακτίνα άρχισε

να μειώνεται γεωμετρικά, και ταυτόχρονα όπως η ακτίνα έχει μειωθεί στο

συγκεκριμένο ημίτονο’.

Είναι χρήσιμο διδακτικά να διερευνήσουμε αυτό το σκοτεινό ορισμό σε

σχέση με αυτό που σήμερα καλούμε φυσικό λογάριθμο ( log x είναι η δύναμη που

πρέπει να υψωθεί ο e ώστε να πάρουμε τον x). Η κίνηση του σημείου P

περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση dx xdt

= − , ( ) 70 10x =

της οποίας η λύση είναι 7log log10x t= − + ή 710logt

x= . Η κίνηση του L

δίνεται τότε από την 7

7 7 1010 10 logy tx

= ⋅ = ⋅ και αν γράψουμε y Nogx= για τον

λογάριθμο Napier του x , βλέπουμε ότι η σχέση μεταξύ του Nogx και του

φυσικού λογαρίθμου log x δίνεται από τη 7

7 1010 logNogxx

= ⋅ . Από την τελευταία

συνεπάγεται ότι ο λογάριθμος του Napier δεν μοιράζεται τις συνήθεις ιδιότητες

των λογαρίθμων. Για παράδειγμα 710 0Nogx = .

Με το v=107, η γεωμετρική και αριθμητική σειρά του Napier μπορεί να

γραφτεί με σύγχρονη σημειολογία ως ακολούθως:

21 1 1, 1 , 1 ,..., 1 ,...

v

v v v vv v v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0, 1 , 2 ,…, v ,…

Οι αριθμοί στην πάνω σειρά αντιπροσωπεύουν διαδοχικές τιμές των ημιτόνων ενώ

οι αριθμοί στην κάτω σειρά αντιπροσωπεύουν τους αντίστοιχους λογαρίθμους.

Έτσι, 7log10 0= , ( )7log 10 1 1− = , και γενικά, ( )7 7log 10 1 10 n n−⎡ ⎤− =⎣ ⎦ , όπου n = 0, 1, 2, … .Ο Napier είχε ένα συγκεκριμένο σκοπό όταν έκανε το λογάριθμο της

ακτίνας , 107, να ισούται με μηδέν. Είδε αυτή τη ρύθμιση ως εργο-οικονομική,

15

σκεπτόμενος τη συχνότητα με την οποία εμφανίζονται τα πολλαπλάσια και τα

υποπολλαπλάσια της ακτίνας στους τριγωνομετρικούς υπολογισμούς. Αυτός ο

διακανονισμός βέβαια εκτός από τα οφέλη στους υπολογισμούς του είχε σαν

αποτέλεσμα ένα σημαντικό μειονέκτημα. Καθώς κατασκεύασε τη γεωμετρική

σειρά να φθίνει ενώ η αντίστοιχη αριθμητική σειρά αυξάνονταν είχε

δημιουργήσει με τον τρόπο αυτό τους λογαρίθμους των ημιτόνων όλων των

γωνιών μεταξύ 0◦ και 90◦ θετικούς, σε αντίθεση με τους σύγχρονους πίνακές μας

όπου αυτοί οι λογάριθμοι είναι αρνητικοί.

Στο ‘Mirifici logarithmorum canonis descriptio’ , ο Napier έδωσε έναν

δεύτερο ορισμό για τους λογαρίθμους ως ακολούθως: “Logarithmi sunt numeri

qui proportionalibus adjuncti aequales servant differentiae.” (Οι λογάριθμοι είναι

αριθμοί οι οποίοι αντιστοιχούν στους ανάλογους αριθμούς και έχουν ίσες

διαφορές). Οι ανάλογοι αριθμοί είναι οι όροι της γεωμετρικής προόδου· οι

αριθμοί που έχουν ίσες διαφορές είναι οι όροι της αριθμητικής προόδου. Η λέξη

‘λογάριθμος’ είναι ελληνικής προέλευσης και σημαίνει ‘αριθμός λόγου’. Η ιδέα

είναι ως εξής: 11n

νν

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

προέρχεται από v το πλήθος , n διαδοχικές εφαρμογές

της αναλογίας 11ν

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Έτσι το n, το οποίο είναι ο λογάριθμος, δείχνει ‘τον

αριθμό των λόγων’. Ο Napier δίνει έναν άλλο ορισμό το 1614 ως ακολούθως:

Logarithmi dici poseunt numerorum proportionalium comites aequidifferentes. (Οι

λογάριθμοι μπορούν να ονομαστούν -ίσων διαφορών-‘σύντροφοι’ των

ανάλογων αριθμών)

Ο ορισμός ενός λογαρίθμου του Napier και στις τρεις εκφάνσεις του, όχι

μόνο είναι διαφορετικός από τους σύγχρονους ορισμούς, αλλά και η ιδέα μιας

‘βάσης’ είναι μη εφαρμόσιμη στο σύστημά του. Για να καταφέρουμε να βάλουμε

την ιδέα μιας ‘βάσης’ μέσα στο σύστημά του, πρέπει να το τροποποιήσουμε

κάπως. Εάν κάθε αριθμός από τις δύο προόδους του Napier διαιρεθεί με το 107

έτσι ώστε το 0 να γίνει ο λογάριθμος του 1, τότε το 1 είναι ο λογάριθμος του 710

7

1110

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

το οποίο είναι σχεδόν ίσο με το e-1, όπου το e είναι η βάση του

16

φυσικού συστήματος. Έτσι, η βάση των λογαρίθμων του Napier, όταν

τροποποιηθεί όπως αναφέρθηκε, είναι σχεδόν e-1.

Στα 1615 ο Henry Briggs (1561-1631) καθηγητής των μαθηματικών και

αστρονομίας στο κολλέγιο Gresham του Λονδίνου επισκέφθηκε το Napier και

συμφώνησαν ότι οι πίνακες θα ήταν χρήσιμοι αν αλλάζονταν έτσι ώστε ο

λογάριθμος του 1 να είναι το μηδέν και ο λογάριθμος του 10 να είναι μια

κατάλληλη δύναμη του 10. Έτσι γεννήθηκαν οι λογάριθμοι του Briggs ή κοινοί

λογάριθμοι, αυτοί που διδάσκονται σήμερα στα σχολεία. Οι λογάριθμοι αυτοί

είναι ουσιαστικά λογάριθμοι με βάση το 10 και υπερέχουν στους αριθμητικούς

υπολογισμούς, εφόσον το αριθμητικό μας σύστημα έχει επίσης βάση το 10. Έτσι

σε αντίθεση με τη μελέτη του Napier επιλέγεται μια βάση για πρώτη φορά. Ο

Briggs υπολόγισε τους λογαρίθμους του λαμβάνοντας διαδοχικές τετραγωνικές

ρίζες του 10 δηλαδή 10, 10 ,... έως ότου φθάσει μετά από 54 τέτοιες εξαγωγές

ριζών, σε ένα αριθμό ελαφρά μεγαλύτερο από το 1. Με άλλα λόγια πέτυχε ένα

αριθμό

541210

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦Α = . Τότε πήρε ως 10log Α να είναι το

5412

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Χρησιμοποιώντας το

γεγονός ότι ο λογάριθμος του γινομένου δύο αριθμών ισούται με το άθροισμα των

λογαρίθμων, κατασκεύασε πίνακα λογαρίθμων για αριθμούς που ήταν σε κοντινή

απόσταση μεταξύ τους.

Ο Briggs γυρνώντας στο Λονδίνο μετά την επίσκεψή του στο Napier,

συγκέντρωσε τις προσπάθειές του στην κατασκευή ενός πίνακα κοινών

λογαρίθμων και στα 1642 εξέδωσε το Arithmetica Logarithmica που περιείχε τους

λογαρίθμους για τους αριθμούς από το 1 έως το 20000 και από το 90000 μέχρι το

100000 σε 14 δεκαδικές θέσεις. Το κενό από το 20000 έως το 90000

συμπληρώθηκε αργότερα με τη βοήθεια του Adriani Vlacq (1600-1666) ενός

Ολλανδού βιβλιοπώλη και εκδότη. Νωρίτερα, στα 1620 ο Edmund Gunter (1581-

1626) καθηγητής της αστρονομίας στο κολλέγιο Gresham και συνάδελφος του

Briggs, είχε δημοσιεύσει ένα πίνακα κοινών λογαρίθμων των ημιτόνων και

εφαπτομένων γωνιών ανά ένα πρώτο λεπτό σε εφτά δεκαδικές θέσεις. Οι Briggs

και Vlacq δημοσίευσαν τέσσερις βασικούς πίνακες λογαρίθμων που παρέμειναν

χρήσιμοι μέχρι που, κάπου ανάμεσα στα 1924 και 1949 καταρτίστηκαν στην

17

Αγγλία εκτεταμένοι πίνακες με 20 δεκαδικές θέσεις σαν μέρος των εκδηλώσεων

που έγιναν για τα 300 χρόνια από την εφεύρεση των λογαρίθμων.

Ας δούμε τώρα πως οι εφευρέτες των λογαρίθμων υπολόγιζαν το log 5 για

παράδειγμα, κάτι που σήμερα με έναν υπολογιστή τσέπης είναι εξαιρετικά απλό.

Αρχικά θα μελετήσουμε τη μέθοδο του Briggs μέσω του υπολογισμού του log 5

με βάση το 10. Ξεκινά υπολογίζοντας το ( )12

1log 10 log 10 log10 0,500002

= = = .

Επειδή 10 3,1622777 , βρίσκουμε log 3,1622777 0,50000= , χονδρικά. Όμως

0, 250000 log 10 log1,7782794= = . Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο,

επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, αν και ο Briggs παρασύρθηκε στους

υπολογισμούς υπολογίζοντας με ακρίβεια 30 δεκαδικών θέσεων, παραθέτουμε

έναν συντετμημένο πίνακα αποτελεσμάτων

Αριθμός Λογάριθμος

10 1,00000 123,1622777 10 10= = 0,50000

141,7782794 10 10= = 0,25000

181,3335214 10 10= = 0,12500

………….. ……….. 1

20481,0011249 10= 0,00048828 1

40961,0005623 10= 0,00024414 1

81921,0002811 10= 0,00012207

Οι αριθμοί στην αριστερή στήλη, λογαρίθμων που γνωρίζουμε ακριβώς, μας

παρέχουν ένα πλαίσιο σύγκρισης, για την εύρεση άλλων λογαρίθμων. Ας

γυρίσουμε τώρα στον υπολογισμό του log 5 . Παίρνουμε 5 2,2360680= ,

5 1,4955488= . Τελικά οι υπολογισμοί μας οδηγούν στο 1

40965 1,0003930= ,

18

ένας αριθμός ανάμεσα στους δύο τελευταίους του πίνακα στην αριστερή στήλη.

Το θέμα μας είναι να εκτιμήσουμε, μέσω γραμμικής παρεμβολής, τον αντίστοιχο

λογάριθμο, επιλέγουμε να τον ονομάσουμε x , όπως παρουσιάζεται στη δεξιά

στήλη:

1

40961,0005623 10= 0,00024414

1

40965 1,0003930= x

1

81921,0002811 10= 0,00012207

Αυτό οδηγεί στην αναλογία 0,00012207 1,0003930 1,00028110,00024414 0,000112207 1,0005623 1,0002811

x − −=

− −

από την οποία προκύπτει 1

4096log 5 0,000170646x⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Άρα log 5 4096 0,000170646 0,698966= ⋅ = . Αυτή η προσέγγιση είναι πραγματικά

καλή, με προσέγγιση 6 δεκαδικών θέσεων log 5 0,698970= . Δυστυχώς όμως, όλη

αυτή η προσπάθεια με τη μέθοδο του Briggs για τον υπολογισμό μόνο του log 5 .

Για τον υπολογισμό του log 6 ή του log 5,34 ή για κάθε άλλον από τον πίνακα

των λογαρίθμων προϋποθέτει μια επανάληψη της όλης διαδικασίας. Αυτή η

πραγματικότητα μας υποχρεώνει να δούμε τη δουλειά του Briggs με θαυμασμό

αλλά ταυτόχρονα με απογοήτευση και οίκτο. Οίκτο, διότι υπήρξε σε μια γενιά

μαθηματικών που όπως θα δούμε ανακάλυψαν πολύ πιο εύκολες μεθόδους

υπολογισμού των λογαρίθμων. Συμπεριελάμβαναν άπειρες σειρές στους

υπολογισμούς, ένα αντικείμενο το οποίο ήταν στην πρώτη γραμμή της

επιστημονικής έρευνας εκείνη την εποχή.

Ο Ελβετός Joost Bürgi (1552-1632) υπήρξε ένας από τους πιο ικανούς και

φημισμένους ωρολογοποιούς της εποχής του. Υπήρξε όμως και βοηθός του

Kepler στην Πράγα. Ο Burgi εφηύρε τους λογαρίθμους ανεξάρτητα από τον

19

Napier , αλλά έχασε όλα τα δικαιώματα προτεραιότητας επειδή δεν δημοσίευσε

μέχρι που οι έπαινοι για το βιβλίο του Napier ακουστήκαν σε όλη την Ευρώπη. Το

1620 το ‘Progress-Tabulen’ εμφανίστηκε την Πράγα, το οποίο περιείχε τους

λογαριθμικούς πίνακες του Burgi, χωρίς όμως να περιλαμβάνει τις εξηγήσεις

όπως έγραφε στο εξώφυλλο. Έτσι οι λογάριθμοί του ήταν ακατανόητοι για τους

απλούς αναγνώστες. Το κοινό στοιχείο του ορισμού των λογαρίθμων από τους

Napier και Burgi ήταν η χρήση προόδων. Στους πίνακες του Burgi οι αριθμοί στην

αριθμητική πρόοδο ήταν τυπωμένοι με κόκκινο, ενώ οι αριθμοί της γεωμετρικής

προόδου με μαύρο. Η σχέση μεταξύ των λογαρίθμων του Burgi και των αντι-

λογαρίθμων τους εκφράζεται στη σύγχρονη σημειολογία με την εξίσωση:

84

110 log[10 1 ]10

n

n ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

, n = 1, 2, 3, … . Η ιδέα μιας ‘βάσης’ δεν μπορεί πια να

εφαρμοστεί στους λογαρίθμους του Burgi ούτε στους λογαρίθμους των πινάκων

του Napier . Σε κανένα από τα δύο συστήματα δεν ισχύει το log1=0. Είναι

προφανές ότι οι λογαριθμικές ιδέες τότε ήταν πιο γενικές απ’ότι είναι σήμερα

αφού με την ολίσθηση μιας προόδου πάνω από την άλλη μπορούσαν να

επιλέξουν οποιοδήποτε αριθμό στην τύχη που ο λογάριθμός του να είναι μηδέν.

Είδαμε ότι ο Napier αρχικά επέλεξε το log107 = 0 ενώ ο Bürgi επέλεξε το

log108=0. Οι λογάριθμοι στους πίνακές τους ήταν ακέραιοι αριθμοί. Ακόμα

περισσότερο, οι όροι των δύο σειρών θα μπορούσαν να αυξηθούν προς την ίδια

κατεύθυνση ή προς αντίθετες κατευθύνσεις, ανάλογα με τη διάθεση ή την

επιδίωξή τους. Δηλαδή, εάν m>n, μπορούμε να κατασκευάσουμε logm < logn ή

logm > logn, δεν είχε γι’αυτούς καμία σημασία ότι και να επιλεγεί. Ο Napier

επέλεξε την πρώτη εναλλακτική, ενώ ο Burgi τη δεύτερη.

Επαναθεώρηση του ορισμού των λογαρίθμων

Είναι γνωστό ότι οι Napier και Briggs συνδιασκέπτονταν για να

συμφωνήσουν να τροποποιήσουν τους αρχικούς λογαρίθμους του Napier. Στο

Παράρτημα του Constructio – του μετά θάνατον έργου του Napier – προτείνεται

μια βελτίωση η οποία υιοθετεί ένα κρυπτογράφημα ως το λογάριθμο της

μονάδας, και το 10.000.000.000 ως το λογάριθμο είτε του ενός δεκάτου της

20

μονάδας είτε της μονάδας επί δέκα. Η ακόλουθη χρήση δεκαδικών κλασμάτων

στους λογαριθμικούς πίνακες οδήγησε στην κοινή λογαριθμική αλήθεια, όπου

log1= 0 και log10 = 1.

Ένας επαναπροσδιορισμός των αρχικών λογαρίθμων του Napier έγινε στο

έργο “Νέοι Λογάριθμοι” του John Spidel που δημοσιεύτηκε το 1619 στο

Λονδίνο, όπου οι λογάριθμοι στην πραγματικότητα μετατράπηκαν στους

επονομαζόμενους ‘φυσικούς λογάριθμους’ της σύγχρονης εποχής.

Από τότε που οι λογάριθμοι μελετήθηκαν σε συνάρτηση με κάποια

γεωμετρική πρόοδο, έχοντας θετικό αρχικό όρο όπως και λόγο της προόδου

θετικό, έτσι ώστε οι αρνητικοί όροι να μην εμφανίζονται στην πρόοδο, δεν τέθηκε

ποτέ θέμα για το ποιος θα έπρεπε να είναι ο λογάριθμος ενός αρνητικού αριθμού.

Σε όσα έχουν αναφερθεί, όπως έχουμε παρατηρήσει, κανένας συγγραφέας του

17ου αιώνα δεν αναρωτήθηκε. Θα δούμε ότι ο Leibniz το έκανε το 1712. Αλλά δεν

θα μας έκανε εντύπωση εάν είχε τεθεί και νωρίτερα. Ο Charles Reyneau στο

“Analyse demontree”, Παρίσι, 1708, Τόμος II, σελ. 802, δίνει τη φόρμουλα για τη

διαφορισιμότητα, 1 dxdl xx

− = − ( ( )( )logdl x d x− → − ), αλλά την αλλάζει στον

πίνακα τυπογραφικών λαθών ως εξής: 1 dxd lxx

− = − ( ( )logd lx d x− → − ) .

Μήπως ο Reyneau δεν πρόσεξε την πρόταση του δαίμονα του τυπογραφείου «

l x− »; Τον 17ο αιώνα η θεωρία των λογαρίθμων ήταν πραγματικά πάνω σε μια

πολύ ικανοποιητική βάση. Ο ορισμός των λογαρίθμων ήταν περιορισμένος έτσι

ώστε να εφαρμόζεται μόνο σε θετικούς αριθμούς· για κάθε θετικό αριθμό

αντιστοιχούσε ένας και μόνον ένας λογάριθμος. Οι ανάγκες των πρακτικών

υπολογισμών είχαν καλυφθεί. Δεν υπήρχε καμιά αναγκαιότητα για επέκταση της

λογαριθμικής ιδέας σε αρνητικούς ή άλλους περισσότερο πολύπλοκους αριθμούς.

Μια επαναθεώρηση του ορισμού των λογαρίθμων θετικών αριθμών του

Napier έγινε από τον Edmund Halley. Το 1695, ο Halley χρησιμοποίησε την

παρακάτω φράση: “Ο παλαιός ορισμός λογαρίθμων, που είναι Numerorum

proportionalium aequidifferentes comites, είναι εξαιρετικά περίπλοκος για να τους

ορίσει επαρκώς , διότι μπορούν πολύ πιο σωστά να ονομαστούν Numeri Rationum

Exponentes” και συνεχίζει “Έτσι, εάν υποθετικά μεταξύ του 1 και του 10 υπάρχει

μια αόριστη κλίμακα μέσων λόγων, των οποίων το πλήθος είναι 100.000 κτλ., το

21

λιγότερο, μεταξύ του 1 και του 2 θα είναι 30102, κτλ., το πλήθος τέτοιων λόγων, και

μεταξύ του 1 και του 3 θα είναι 47712, κτλ., αυτών, οι οποίοι αριθμοί ως εκ τούτου

είναι οι Λογάριθμοι των λόγων , από 1 έως 10, από 1 έως 2., και 1 έως 3· και όχι

τόσο σωστά να ονομάζονται οι λογάριθμοι των 10,2, και 3”. Το άρθρο του Halley,

από το οποίο έχουμε το παραπάνω απόσπασμα, είναι δυσανάγνωστο αλλά κατέχει

την αξία του διότι δίνει την πρώτη προέλευση με διαδικασίες αορίστων σειρών για

τον υπολογισμό των λογαρίθμων που δεν έχουν σχέση με τη γεωμετρία (την

υπερβολή).

Η ιδέα του Halley, των λογαρίθμων των λόγων περιλαμβάνει ένα πολύ

ενδιαφέρον σημείο που οι ιστορικοί μέχρι το συγκεκριμένο χρονικό σημείο έχουν

παραβλέψει τελείως. Ο Halley, 19 χρόνια πριν τον Roger Cotes, εισήγαγε ένα

συγκεκριμένο τρόπο μέτρησης ενός λόγου. Ο Halley θεωρεί το λόγο ως ένα

“quantitas sui generis”. Επιπλέον, η ιδέα του Halley βρίσκει την αρχή της στους

λόγους των αποστάσεων των δύο ρεόντων σημείων του Napier. Ο Halley λέει:

“Αυτοί οι λόγοι θεωρούμε ότι μετρούνται από το πλήθος των Ratiunculae (μικρών-

ασήμαντων λόγων – Rationes) που περιέχονται στο καθένα”. Αυτός ο αριθμός

αντιπροσωπεύει το λογάριθμο του λόγου. Αλλά, “οι λογάριθμοι που παράγονται

έτσι μπορούν να πάρουν όσες μορφές θέλουμε”. Εάν στην θέση 100.000 γνήσιων

λόγων μεταξύ του 1 και του 10 βάλουμε 2302358, τότε, αντί για κοινούς

λογάριθμους θα πάρουμε φυσικούς λογάριθμους. Κάθε σύστημα λογαρίθμων

διαφέρει με βάση έναν σταθερό παράγοντα από κάποιο σύστημα που έχει τεθεί ως

στάνταρντ. Έτσι, για ένα δοσμένο λόγο, ο αριθμός των Ratiunculae είναι

αυθαίρετος· είναι ίσος με τον αριθμό που έχει τεθεί στο στάνταρντ σύστημα,

διαιρεμένος με μια σταθερά. Με άλλα λόγια, η μέτρηση ενός λόγου είναι μια

σταθερά επί του στάνταρντ λογαρίθμου αυτού του λόγου. Αυτή είναι η ιδέα που εδώ

εκφράστηκε από τον Halley, αργότερα αναλύθηκε από τον Cotes και μετά χάθηκε

σχεδόν τελείως μέχρι τον 19ο αιώνα, όταν ο F.Klein την επανεισήγαγε έτσι ώστε

να καθιερώσει την εγκυρότητα της διαδικασίας της προβολικής γεωμετρίας για τις

υποθέσεις της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας (Klein, Gotting. Nachrichten, 1871,

No.17, and Mathem. Annalen, Vol.4, 1871, pp. 573-625). Το παρακάτω

απόσπασμα από το άρθρο “Λογάριθμοι” της δεύτερης έκδοσης (1743) του “Νέο

Μαθηματικό Λεξικό” του E. Stone είναι ενδιαφέρον γιατί υποστηρίζει το ότι ο

22

Cotes βασίστηκε στον Halley και ειδικότερα γιατί εκφράζει το πόσο καινοτόμος

είναι ο ορισμός της ‘μέτρησης λόγου’ του Halley για κάποιον ο οποίος δεν έχει

πάει πέρα από τις βασικές αντιλήψεις μέτρησης. Συγκεκριμένα, ο Stone λέει:

“Και ο Κος Cotes επίσης, στην αρχή του έργου του ‘Harmon. Mensur ’ έχει

μιμηθεί τον κ. Halley, ίσως λίγο πιο σύντομα αλλά με την ίδια ασάφεια: κάνω

έκκληση σε όλους, ακόμα και στους πιο δεινούς του θαυμαστές, να πουν αν

γνωρίζουν πού θα βρισκόταν με το πρώτο του Πρόβλημα, με άλλα λόγια στην

εύρεση της Μέτρησης ενός Λόγου, από τους Όρους του ίδιου του Προβλήματος ...”.

Το “Λογάριθμοι οι μετρήσεις λόγων” αναφέρεται από τον Saunderson στο

“Άλγεβρα” (Select parts of Professor Saunderson’ Elements of Algebra, 3d ed.,

London, 1771, p. 402) και από τον W.J.G. Karsten of Halle σε μια ενδιαφέρουσα

δημοσίευση πάνω στους λογάριθμους, και από τον J.F. Lorenz στα “Στοιχεία

Μαθηματικών” (J.F. Lorenz, Elemente, I Theil, Leipzig, 1793, p. 140) αλλά

γενικά, αυτός ο ορισμός δεν κατάφερε να επηρεάσει τη μαθηματική σκέψη του

18ου αιώνα.

Οι πρώτες εξηγήσεις για τη χρήση των λογαρίθμων περιείχαν θεωρήσεις

πολλών ειδικών περιπτώσεων. Τα θεωρήματα ( )log log loga b a b+ = ⋅ ,

log log log aa bb

− = και log logma m a= ⋅ , εκφράστηκαν πολύ καθαρά από τον

Oughtred (όχι με αλγεβρικά σύμβολα, όπως εδώ, αλλά με λόγια) στο μικρό βιβλίο

του ‘De aequationum affectarum resolutione in numeris’, το οποίο εκδόθηκε το

1652, δεμένο σε έναν τόμο με το ‘Clavis mathematica’ του ιδίου. Η έκδοση του

1631 του Clavis δεν αναφέρει αυτά τα θεωρήματα.

Το θεωρητικό πλαίσιο των λογαρίθμων μεγάλωσε κατά κάποιο τρόπο κατά

τη διάρκεια του 17ου αιώνα μέσω των γραφικών αναπαραστάσεων, σε ορθογώνιες

και πολικές συντεταγμένες, ενός μεταβλητού αριθμού και του μεταβλητού του

λογαρίθμου. Έτσι εφευρέθηκαν η λογαριθμική καμπύλη και η λογαριθμική έλικα

(σπείρα). Η γραφική αναπαράσταση των συναρτήσεων τότε άρχισε να γίνεται

23

κατανοητή. Ίσως η λογαριθμική καμπύλη βοήθησε πολύ και πολλούς να

κατανοήσουν.

Μέχρι τώρα δεν έχει καταστεί δυνατόν να πούμε με σιγουριά ποιος ήταν ο

πρώτος εφευρέτης της. Ο Hutton λέει, (C. Hutton, Math. Tables, London, 1811,

Introduction, p. 84), ότι η καμπύλη αποδίδεται στον Edmund Gunter, αλλά ο

Hutton δεν μπόρεσε να τη βρει στα γραπτά του Gunter. Πολύ πιθανόν η φήμη να

προέρχεται από μια σύγχυση μεταξύ της ‘λογαριθμικής καμπύλης’ και της

‘λογαριθμικής γραμμής’, η οποία εφευρέθηκε από τον Gunter και είναι γνωστή ως

ο πρόδρομος του λογιστικού κανόνα. Εικάζεται ότι η πρώτη αναφορά στη

λογαριθμική καμπύλη έγινε από τον Ιταλό Evangelista Torricelli σε μια επιστολή

χρονολογίας 1644 (G. Loria in Bibliotheca mathematica, 3d S., Vol.I, 1900,

p. 75), αλλά ο Paul Tannery θεωρεί δεδομένο ότι ο Descartes γνώριζε την

καμπύλη το 1639 (L’intermediaire des mathematicians, T. VIII, 1900, p. 95)

Tannery refers to a letter of Descartes, dated Feb. 20, 1639).

Βρίσκεται σε ένα έργο του J. Gregory (J. Gregory, Geometrie pars

universalis, Venetia, 1667; See Montucla, Historie des mathematiques, II, 1799, p.

85) χρονολογίας 1667, και εξηγείται με σαφήνεια στη δεύτερη έκδοση (1690)

ενός βιβλίου του Γάλλου μαθηματικού C.F.M. Dechales. Το ίδιο έτος ο Christiaan

Huygens (C. Huygens, De la cause de la pesanteur, published in 1690 as an

appendix to the Traite de la lumiere), έκανε γνωστές, χωρίς αποδείξεις, τις

θαυμάσιες ιδιότητες της λογαριθμικής καμπύλης οι οποίες αποδείχτηκαν

αργότερα από τους G. Grandi (Geometrica demonstration theorematum

Hugeniorum circa logisticam seu logarithmicam, Florenz, 1701) και G. Fontana

(Sopra il centro di gravita della logistica finite ed infinitamente lunga, Torino,

Mem. X and XI και Loria, Ebene Kurven, Deutsche Ausgabe von F. Schutte,

Leipzig, 1902, p. 543). Τα θεωρήματα για τον τετραγωνισμό αυτής της καμπύλης

δόθηκαν από τους Torricelli, Huygens και J. Craig (The quadrature of the

logarithmic curve in Philoshoph. Transactions, No.242, 1698). Η καμπύλη αυτή

συζητήθηκε επίσης από τον J. Bernoulli (Acta Eruditorum,1696, p. 216). Η

ορθότητά της πρώτα εξηγήθηκε από τον Marquis l’Hospital το 1692 σε μια

επιστολή προς τον Leibniz (Leibniz, Werke, Ed. Gerhardt, Vol. II, p. 216). Θα

24

δούμε ότι κατά τη διάρκεια του 18ου αιώνα η λογαριθμική καμπύλη έπαιζε

κυρίαρχο ρόλο στις συζητήσεις για τη λογαριθμική θεωρία και ότι περισσότερο

θόλωσε παρά ξεκαθάρισε τα καίρια ερωτήματα.

Η καμπύλη η οποία είναι η γραφική αναπαράσταση σε πολικές

συντεταγμένες της σχέσης μεταξύ μιας μεταβλητής και του λογάριθμού της

εφευρέθηκε από τον Rene Descartes. Την περιγράφει το 1638 σε μια επιστολή

προς τον P. Mersenne (Oeuvres de Descartes, ed. Cousin, VII, Paris, 1824, pp.

336-337; Ed. Adam et Tannery, II, Paris, 1898, p. 360. Επίσης G. Loria, Ebene

Kurven Leipzig, 1902, pp. 448-456). Ο Descartes δεν δίνει την εξίσωσή της, ούτε

τη συνδέει με τους λογάριθμους. Την περιγράφει σαν την καμπύλη η οποία

δημιουργεί ίσες γωνίες με όλες τις ακτίνες που σύρονται από την αρχική. Λίγο

αργότερα, αυτή η έλικα επανεφευρέθηκε από τον Torricelli, ο οποίος, όπως

έχουμε δει, έρχεται δεύτερος σε σχέση με τον Descartes στο ότι το όνομά του

είναι στενά συνδεδεμένο με την ιστορία της λογαριθμικής καμπύλης. Το όνομα,

λογαριθμική έλικα, επινοήθηκε από τον Pierre Varigon σε μια μελέτη που

παρουσιάστηκε στην Ακαδημία στο Παρίσι το 1704 και δημοσίευτηκε το 1722

(Loria, op. cit., p. 444). Στην Αγγλία, με την έλικα ασχολήθηκαν οι Oughtred,

Collins, Wallis και Barrow (A. Favaro, Bibliotheca Mathematica, N. F., 5, 1891,

pp. 23-25).

Η τρίτη καμπύλη, που έπαιξε ένα σημαντικό ρόλο στην θεωρία των

λογαρίθμων είναι η υπερβολή. Ο τετραγωνισμός του χώρου μεταξύ της υπερβολής

και των ασυμπτώτων της μελετήθηκε από τον Gregory St. Vincent στο Βιβλίο VII

του έργου του ‘Opus geometricum’, Αμβέρσα, 1647, που αναφέρεται στον

τετραγωνισμό του κύκλου (Karl Bopp, “Die Kegelschnitte d. Gregorius a St.

Vincentio”, Leipzig, 1907, in Abhandl. z. Gesch. d. math. Wiss. (M. Cantor), XX

Heft).

Αυτή η περιοχή, για την ορθογώνια υπερβολή 1x y⋅ = , τώρα εκφράζεται

στην λογαριθμική μορφή 1log yy

, και έτσι θεωρείται η περιοχή που περικλείεται

από τον άξονα x x′ , τις τεταγμένες y και 1y και το υπερβολικό τόξο. Παρόλα

25

αυτά, η έρευνα του Gregory St. Vincent, κρίνοντας αυστηρά, δεν υπολογίζεται

στην ιστορία των λογαρίθμων γιατί αυτή δεν αναφέρει τους λογάριθμους. Το

αποτέλεσμά του είναι καθαρά γεωμετρικό και θα παρέμενε αμετάβλητο σε κάθε

λεπτομέρειά του εάν οι λογάριθμοι δεν είχαν εφευρεθεί ποτέ. Αυτό που

αποδεικνύει, εστιάζεται σε ένα θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο, εάν αχθούν

παράλληλες ευθείες προς τη μία ασύμπτωτη , στο χωρίο μεταξύ της καμπύλης της

υπερβολής και της άλλης ασυμπτώτου, με τρόπο ώστε τα μεικτά τετράπλευρα

όπου η μία πλευρά τους αποτελεί τμήμα της καμπύλης υπερβολής να είναι

ισεμβαδικά, τότε τα αντίστοιχα τμήματα των παραλλήλων ευθειών, που

αποτελούν και πλευρές των τετραπλεύρων σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο

(K. Bopp, op. cit., p. 265, Propos. CXXX in book on Hyperbola. Μια διαφορετική

τοποθέτηση για το θέμα δόθηκε στο Propos. CXXV).

Εκείνη την εποχή κανείς δεν πίστευε στην δυνατότητα επίλυσης αυτού του

προβλήματος γι΄αυτό δεν ήταν και λίγοι αυτοί που ανέλαβαν το έργο του

εντοπισμού κάποιου λάθους στο ίσως πιο πολυσέλιδο βιβλίο μαθηματικών (1200

σελίδες περίπου).Έχοντας αυτό ως στόχο, το αποτέλεσμα ήταν να αγνοηθεί ένα

πολύ σημαντικό τμήμα της εργασίας του Gregory, όπου ασχολήθηκε με το

πρόβλημα της εύρεσης δύο μέσων αναλόγων x και y μεταξύ δύο γνωστών

ευθυγράμμων τμημάτων α και β , το οποίο οι αρχαίοι Έλληνες είχαν συνδέσει με

τις κωνικές τομές. Ο Gregory, εξετάζοντας τις ιδιότητες των κωνικών τομών,

αποδεικνύει μια πρόταση που δίνει για πρώτη φορά στην ιστορία των

μαθηματικών, την λογαριθμική ιδιότητα της υπερβολής. Διατυπώνουμε την

πρόταση του Gregory με ισοδύναμο τρόπο :

Πρόταση του Gregory. Για 0 a β< < θέτουμε ,a βΕ = το εμβαδόν του χωρίου

που βρίσκεται μεταξύ του άξονα x x′ , των ευθειών ,x a x β= = και της υπερβολής

1yx

= . Τότε για 0λ > ισχύει , ,a aλ λβ βΕ = Ε

26

Απόδειξη : Διαισθητικά φαίνεται σωστό αν παρατηρήσουμε ότι το εμβαδόν

παραμένει ίδιο όταν το μετακινούμε κατά μήκος του άξονα x x′ και κάτω από την

καμπύλη, με την προϋπόθεση ότι τεντώνουμε το μήκος κατά τον ίδιο λόγο με

αυτόν που συμπτύσσουμε το ύψος.

Για να συγκρίνουμε αναλυτικά τα δύο εμβαδά, προσεγγίζουμε το καθένα με

ορθογώνια που έχουν ίσες βάσεις. Στο σχήμα που ακολουθεί αυτό γίνεται για

4ν =

27

Το διάστημα [ ],a β διαιρείται σε ν ίσα υποδιαστήματα μήκους aβν− με τα

σημεία , , 2 ,..., ,...,a a aa a a aβ β βκ βν ν ν− − −

+ + + . Τα θεωρούμενα ορθογώνια

έχουν τις πάνω δεξιά κορυφές τους στη γραφική παράσταση της 1x

. Επομένως, τα

ύψη τους είναι αντίστοιχα 1 1 1 1, ,..., ,...,2a a aa a aβ β β βκ

ν ν ν− − −

+ + +. Αφού τα

ορθογώνια έχουν ίσες βάσεις μήκους aβν− , το άθροισμα των εμβαδών όλων των

ορθογωνίων είναι 1 1 1 1, ,..., ,...,2

aa a aa a a

ββ β βν βκν ν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟− − −⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

Ερχόμαστε τώρα στο διάστημα [ ],aλ λβ , το οποίο διαιρείται επίσης σε ν ίσα

διαστήματα μήκους aβλν− με τα σημεία , ,..., ,...a aa a aβ βλ λ λ λ κ λβ

ν ν− −

+ + .

Τα ορθογώνια έχουν πάλι τις πάνω δεξιά κορυφές τους στην καμπύλη 1x

και

επομένως έχουν ύψη 1 1 1,..., ,...,a aa aβ β λβλ λ λ κν ν− −

+ + αντίστοιχα.

Πολλαπλασιάζοντας με τη βάση aβλν− και απλοποιώντας με το λ, βρίσκουμε

πάλι το ίδιο άθροισμα 1 1 1 1, ,..., ,...,2

aa a aa a a

ββ β βν βκν ν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟− − −⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Αν το ν αυξάνει, το άθροισμα (1) των ορθογωνίων τείνει στο εμβαδόν ,a βΕ και το

άθροισμα (2) τείνει στο εμβαδόν ,aλ λβΕ . Επειδή τα αθροίσματα είναι ίσα για κάθε

ν, συμπεραίνουμε ότι τα εμβαδά είναι ίσα. Η απόδειξη έγινε για 1a > και 1β > .

Οι άλλες περιπτώσεις αποδεικνύονται ανάλογα.

28

Πόρισμα. Αν τα τμήματα ΟΚ, ΟΛ, ΟΜ, ΟΝ στο παρακάτω σχήμα, αποτελούν

γεωμετρική πρόοδο, τότε τα εμβαδά (ΑΒΚΛ), (ΑΓΜΚ), (ΑΔΝΚ) αποτελούν

αριθμητική πρόοδο.

Απόδειξη : Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι 21, ,OK O r OM r= Λ = = και 3ON r= .

Τότε τα εμβαδά 1,(AB ) rK EΛ = , ( ) 2,r rB M EΓ Λ = , ( ) 2 3,r rEΓΔΝΜ = είναι ίσα

μεταξύ τους σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση. Άρα τα εμβαδά (ΑΒΚΛ),

(ΑΓΜΚ), (ΑΔΝΚ) αποτελούν αριθμητική πρόοδο.

Ορισμός. Θέτουμε ( )1,

,1

, 10, 1

, 1

x

x

E xL x x

E x

>⎧⎪= =⎨⎪−

29

Αυτή η λογαριθμική συνάρτηση δεν είναι ίδια με αυτή που όρισε ο Napier ούτε

είναι ίδια με το ‘λογάριθμο με βάση το 10’, αλλά έχει την ίδια ιδιότητα

μετατροπής του πολλαπλασιασμού σε πρόσθεση.

Πρόταση. Αν , 0x y > , τότε ( ) ( ) ( )L xy L x L y= +

Απόδειξη : Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

(α) Έστω 1 x y< < . Τότε xy x> και xy y> ( όπως φαίνεται και στο παρακάτω

σχήμα).

Οπότε ( ) ( )1, 1, , ,xy y y xy y xyL xy E E E L y E= = + = + (1) . Όμως από την

πρόταση 1 του Gregory , προκύπτει ότι , 1,y xy xE E= (2). Από τις (1) και (2)

παίρνουμε

( ) ( ) ( )L xy L x L y= + .

(β) Έστω 0 1x y< < < .Τότε xy x< και xy y< . Οπότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),1 , ,1 ,1 ,1 ,1 ,1xy xy x x y x y xL xy E E E E E E E L x L y= − = − + = − + = − − = + . (γ) Έστω 0 1x y< < < . Τότε 0 1x xy y< < < < ή 0 1x xy y< < < <

Αν 0 1x xy y< < < < τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),1 ,1 , ,1 1, ,1 1,xy x x xy x y x yL xy E E E E E E E L x L y= − = − − = − − = − − = +

Αν 0 1x xy y< < < < τότε

( ) ( ) ( )1, 1, , 1, ,1 ,1 1,xy y xy y y x x yL xy E E E E E E E L x L y= = − = − = − − = +

30

Αν 1x = ή 1y = η απόδειξη είναι προφανής.

Η ανακάλυψη επιτομή του Gregory of St. Vincent, απλοποιημένη, με μια

ματιά και χρήση του σημερινού ολοκληρωτικού λογισμού μπορεί να εξηγηθεί ως

εξής:

Αν ( )xΑ είναι η περιοχή κάτω από το γράφημα της υπερβολής 1yt

= από 1t =

έως t x= .

Τότε ( )1 1 1 1

1 1 1 1 1ab a ab a ba

ab dt dt dt dt adut t t t au

Α = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , όπου το δεύτερο

ολοκλήρωμα προκύπτει από την αλλαγή μεταβλητής t au= . Συνεπώς,

( ) ( ) ( )1 1

1 1a bab dt du a bt u

Α = + = Α + Α∫ ∫ . Σε αυτή τη μορφή η αντικατάσταση rt u=

δίνει ( ) ( ) ( )11 1 1

1 1 1ra a ar rra dt ru du r du r at u u

−Α = = = = Α∫ ∫ ∫ . Αυτές οι ιδιότητες των

εμβαδών της υπερβολής, ( ) ( ) ( )ab a bΑ = Α +Α και ( ) ( )ra r aΑ = Α είναι σαν καθρέφτης με τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Εύκολα, προκύπτει κάτι άμεσο:

Γνωρίζουμε φυσικά ότι αυτή η περιοχή είναι αυτή που καλούμε φυσικό

λογάριθμο, αλλά στα μέσα του 17ου αιώνα η σύνδεση αυτή δεν ήταν τόσο εύκολο

να κατανοηθεί και σε κάθε περίπτωση δεν είχαν τη γνώση για περιοχές κάτω από

το γράφημα υπερβολής.

Προφανώς, ο πρώτος συγγραφέας που εξέφρασε αυτό το θεώρημα στη

γλώσσσα των λογαρίθμων ήταν ο Βέλγος Ιησουίτης Anton de Sarasa (Solutio

31

Problematis a R. P. Marino Mersenno propositi, 1649. Βλέπε Cantor, op. cit., Vol.

II, 2d ed., pp. 714,715), ο οποίος υπερασπίστηκε τον Gregory St. Vincent όταν

έγιναν επιθέσεις εναντίον του από τον Mersenne. Αυτό ήταν κάτι πολύ

φυσιολογικό να γίνει, παίρνοντας υπόψη το θεώρημα του Gregory St Vincent που

λέει ότι σε μια υπερβολή 1x y⋅ = , το ασυμπτωτικό χωρίο μεταβάλλεται κατά

αριθμητικό λόγο καθώς το y ή το x μεταβάλλεται κατά γεωμετρικό λόγο και

επίσης παίρνοντας υπόψη τον ορισμό του Napier ενός λογαρίθμου στον οποίο

υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ μιας γεωμετρικής σειράς και μιας

αριθμητικής σειράς.

Μια σημαντική δημοσίευση ήταν το μικρό βιβλίο του Nicolaus Mercator,

το ‘Logarithmotechnia’, Λονδίνο, 1668. Ο Mercator γράφει την εξίσωση της

υπερβολής στη μορφή 11

ya

=+

, όπου 1 a+ είναι η τετμημένη και y είναι η

τεταγμένη. Αναπτύσσει το 11 a+

μέσω διαίρεσης σε μια άπειρη σειρά

31 1 ...1

a aa aa= − + − +

+

Δίνει μια χονδροειδή εξήγηση της διαδικασίας του αθροίσματος που σήμερα

δίνεται από τη σχέση 1

1

nn xx dx

n

+

=+∫ , και μετά ολοκληρώνει τους όρους της

παραπάνω σειράς. Θα περιμέναμε να γράψει τη λογαριθμική σειρά

( )log 1 ...2 3

aa aaaa a+ = − + − , η οποία αποδίδεται σε αυτόν, αλλά δεν το κάνει.

Αντί αυτού, γράφει τις αριθμητικές τιμές των πρώτων όρων αυτής της σειράς,

παίρνοντας το 0.1a = , αποκτώντας έτσι το χωρίο των παραλλήλων ευθειών, που

αποτελούν και πλευρές των τετραπλεύρων μεταξύ των τεταγμένων 1y = και

11.1

y = δηλ. 0.095310181. Επαναλαμβάνει αυτήν τη διαδικασία για το 0.21a =

(Maseres, Scriptores logarithmici, Vol. I, London, 1791, p. 194. Ο Maseres

ανατύπωσε εδώ ατόφιο το έργο του Logarithmo-technia). Πιθανώς

χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των Gregory St Vincent και de Sarasa, ο

Mercator τελικά συνδέει τα δικά του αποτελέσματα με τους λογάριθμους. Είναι

προφανές ότι πραγματικά χρησιμοποίησε τη λογαριθμική σειρά και αυτό το

32

βλέπουμε από το επόμενο βήμα, το οποίο πρέπει να εξασφαλίστηκε από την

ολοκλήρωση των όρων αυτής της σειράς. Δεν γράφει το τελικό αποτέλεσμα αυτής

της ολοκλήρωσης, αλλά και πάλι δίνει μόνο τις αριθμητικές τιμές που

αντιστοιχούν στους πρώτους όρους της νέας σειράς, για το 0.1a = . Έτσι,

εξασφαλίζει την τιμή του ( )1log a da+∫ για το 0.1a = . Αυτά τα αποτελέσματα βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου του με τίτλο Invenire summam logarithmorum.

O Tropfke είναι της άποψης ότι η αποτυχία του Mercator να τυπώσει τη γενική

λογαριθμική σειρά οφειλόταν σε μια τάση που κυριαρχούσε στις ημέρες του, αυτή

του απλά να υπονοούν τα νέα αποτελέσματα, έτσι ώστε να διατηρούν ένα

πλεονέκτημα ως προς τους άλλους, ίσως όμως αυτό να μην ήταν το πραγματικό

κίνητρο.

Ο τυχαίος αναγνώστης θα μπορούσε να επαναλάβει τους υπολογισμούς

του Mercator μέσα από τις δοσμένες εξηγήσεις. Η τακτική του προφανώς

προέρχεται από μια διαφορετική αντίληψη της σωστής μορφής έκθεσης η οποία

ευνοεί τη συγκεκριμένη ειδική περίπτωση παρά τη γενική περίπτωση του τύπου .

Ο Wallis ήταν ο πρώτος που εξέφρασε τη λογαριθμική σειρά του Mercator σε

γενικά σύμβολα (Maseres, op. cit., Vol. I, P. 229; Phil. Trans., No. 38, year 1668)

Κι ενώ οι έρευνες των Gregory St Vincent, Mercator και άλλων οδήγησαν στις

πολύ βελτιωμένες μεθόδους υπολογισμών λογαρίθμων μέσω άπειρων σειρών

καθώς και στο να εκφραστούν τα γεωμετρικά θεωρήματα στη γλώσσα των

λογαρίθμων, δυστυχώς δεν υπήρξε καμία τροποποίηση των λογαριθμικών

αντιλήψεων από αυτές τις έρευνες.

Σε ένα άρθρο του, τον Ιούλιο του 1676, ο Leibniz υπολογίζει το

ολοκλήρωμα dyy∫ (C. I. Gerhardt, Entdeckung der Differentialrechnung durch

Leibniz, Halle, 1848, pp. 53, 54). Προέκυψε κατά τη μελέτη του προβλήματος που

ο Florimond de Beaune είχε προτείνει στον Descartes, ο οποίος με τη σειρά του

απάντησε με επιστολή στις 20 Φεβρουαρίου 1639 (Cantor, Geschichte der

Mathematik, Vol. II, 1892, P. 781). Για να βρει τον τετραγωνισμό αυτής της

καμπύλης της οποίας η τεταγμένη έχει λόγο προς την υποεφαπτόμενη, όπως ένα

δοσμένο ευθύ τμήμα προς τη διαφορά της τετμημένης με την τεταγμένη. Σε αυτό

33

το άρθρο του 1676, όπως και στη δημοσιευμένη εργασία ‘Nova Methodus’, ο

Leibniz από αυτό το πρόβλημα οδηγείται στην εξίσωση w dwa dx= .

Θεωρεί το dx ως μια σταθερά b και καταλήγει στο aw dwb

= ⋅ , δηλαδή οι

τεταγμένες w είναι ανάλογες των αυξήσεών τους. Εάν το x αυξάνεται κατά

αριθμητική πρόοδο, τότε τα αντίστοιχα w είναι οι όροι της γεωμετρικής προόδου.

Έτσι τα x είναι οι λογάριθμοι των w. Έτσι έφτασε στο συμπέρασμα ότι η καμπύλη

είναι λογαριθμική (Cantor, op. cit., III, 1898, PP.187, 188). Ήδη από το 1675 ο

Leibniz χρησιμοποιούσε το σύμβολο ‘Logy’, όπως στην εξίσωση 2 2'' 2 ''a yx y Logy− =

Ο ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ

Διάφοροι εκθετικοί συμβολισμοί και η συμβολή του Descartes

Ο σύγχρονος συμβολισμός για τις δυνάμεις των αριθμών εισήχθη από τον

Rene Descartes στο ‘La geometrie’, Παρίσι, 1637. Γράφει: «aa ou a2 pour

multiplier a par soimeme; et a3 pour multiplier encore une fois par a, et ainsi a

l’infini». Έτσι, ενώ ο Vieta αναπαραστούσε το Α3 με το ‘Α εις τον κύβο’ και ο

Stevin το x3 με ένα ψηφίο 3 μέσα σε ένα μικρό κύκλο, ο Descartes έγραψε α3. Στο

βιβλίο του ‘Geometrie’, δεν χρησιμοποιεί αρνητικούς και κλασματικούς εκθέτες,

ούτε εκθέτες με γράμματα.

Ο συμβολισμός του ήταν η ανάπτυξη και η βελτίωση συμβολισμών που

είχαν εισάγει πριν από αυτόν οι Chuquet, Bombelli, Burgi, Reymer και Kepler. Το

χειρόγραφο έργο του Chuquet , ‘Le Triparty en la science des nombres’, 1484, μας

δίνει το 12x3 και το 10x5 και το γινόμενό τους, 120 x8 με τα σύμβολα 123, 105 και

1208 αντίστοιχα. Ο Chuquet προχωρά ακόμα πιο πολύ και γράφει: 12x0 και 7x-1,

ως 120 και 71m. Αναπαριστά το γινόμενο των 8x3 και 7x-1 με το 562. Οι Burgi,

Reymer και Kepler χρησιμοποιούν ρωμαϊκά αριθμητικά ψηφία για το εκθετικό

σύμβολο. Ο Burgi γράφει το 216x έτσι: 16II

O Thomas Harriot απλά

34

επαναλαμβάνει τα γράμματα: γράφει το α4 – 1024α2 + 6254α έτσι: αααα – 1024αα

+6254α.

O συμβολισμός του Descartes εξαπλώθηκε γρήγορα. Χρησιμοποιήθηκε

από τον Fr. v. Schooten στο σχόλιό του πάνω στο ‘Geometrie’ του Descartes σε

μια έκδοση η οποία εμφανίστηκε στο Άμστερνταμ το 1644 (Matthiessen,

Grundzuge der Antiken u. Modern Algebra, Leipzig, 1878, p. 551)

Αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιήθηκε επίσης, από τους Huygens και

Mersenne το 1646 στη μεταξύ τους αλληλογραφία (C. Huygens, Oeuvres, T. I, La

Haye, 1888, p. 24) καθώς και από τον Hudde το 1658 (Joh. Huddenii Epist. I de

reductione oequationum, Amsterdam, 1658; Matthiessen, op. cit., p. 374). Ο

Oughtred δεν χρησιμοποίησε τους σύγχρονους εκθέτες σε καμία από τις εκδόσεις

του βιβλίου του ‘Clavis mathematica’, (Λονδίνο, 1631, 1648, 1652), αλλά εάν ο

Rigaud αναπαρήγαγε πιστά το συμβολισμό των αρχικών γραμμάτων, εννοείται ότι

ο Oughtred χρησιμοποίησε θετικούς εκθέτες ολοκληρώματος στην αλληλογραφία

του από ήδη το 1642 (S. J. Rigaud, Correspondence of Scientific Men of the

Seventeenth Century, Vol. I, Oxford, 1841, p. 63). Στις 5 Φεβρουαρίου 1666-7, ο

John Wallis έγραψε στον John Collins καθώς μια προτεινόμενη καινούρια έκδοση

του ‘Clavis’ του Oughtred ήταν υπό συζήτηση: «Είναι αλήθεια ότι, όπως σε άλλα

θέματα έτσι και στα μαθηματικά, οι τάσεις αλλάζουν καθημερινά και αυτό το

οποίο ο κος Oughtred σχεδίασε με μεγάλα γράμματα μπορεί τώρα να σχεδιαστεί

με μικρά από άλλους. Αλλά ένας μαθηματικός, με την ίδια ευκολία και το ίδιο

πλεονέκτημα, θα καταλάβει το Ac και το α3 ή το ααα». O John Pell έγραψε r2 και

t2 σε μια επιστολή γραμμένη στο Άμστερνταμ στις 7 Αυγούστου 1645. O Pascal

έκανε ελεύθερη χρήση θετικών ακεραίων εκθετών σε πολλές εργασίες του, ειδικά

στο ‘Potestatum numericarun summa’, 1654. O Kinckhuysen χρησιμοποίησε

θετικούς ακεραίους εκθέτες το 1660 στο βιβλίο του ‘Meet-Konst’ και το 1661 στο

‘Algebra’ (Kinckhuysen, De Grondtder Meet-Konst, De Haerlem, 1660; Algebra

ofte Stel-Konst, De Haerlem, 1661).

Το ‘Deutsche Algebra’ του J. H. Rahn, που τυπώθηκε στη Ζυρίχη το 1659,

περικλείει δύο συμβολισμούς για τις θετικές ακέραιες δυνάμεις. Η μια

χρησιμοποιεί τους καρτεσιανούς εκθέτες a3, x4, και η άλλη γράφει μια μικρή

σπείρα μεταξύ της βάσης και του εκθέτη στα δεξιά. Έτσι, το α ⊃ 3 σημαίνει το

35

α3. Η σπείρα εκφράζει την ανύψωση, μια διαδικασία την οποία ονομάζει

involviren. Μια αγγλική μετάφραση του ‘Deutsche Algebra’, τροποποιημένη και

βελτιωμένη από τον John Pell, έγινε από τον Thomas Brancker και δημοσιεύτηκε

στο Λονδίνο το 1668.

Το ίδιο έτος, θετικοί ακέραιοι εκθέτες χρησιμοποιήθηκαν από τον Lord

Brouncker σε ένα πρώιμο τεύχος του Philosophical Transactions του Λονδίνου.

Σε αυτές τις συνδιαλλαγές, κανένας προ-καρτεσιανός συμβολισμός για τις

δυνάμεις δεν εμφανίστηκε, εκτός από λίγες φορές σε ένα άρθρο του John Cotes,

γραμμένο το 1714.

Αρκετό ενδιαφέρον παρουσιάζει το παρακάτω απόσπασμα από το

‘Universal Arithmetik’ του Newton - το οποίο αποτε