1

— Азбука ГИА

Г.В. Сычёва, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев

МАТЕМАТИКА

НЕРАВЕНСТВА

Астрель

Москва

A В С

2

УДК 373:51ББК 22.1я721

С95

Сычёва, Г.В. С95 Математика : Неравенства / Г.В. Сычёва, Н.Б. Гу-

сева, В.А. Гусев. — М.: Астрель, 2012. — 31, [1] с.(АВС — Азбука ГИА).

ISBN 978-5-271-39631-1 (ООО «Издательство Астрель»)

Настоящее пособие предназначено для подготовки девятиклас-

сников к успешной сдаче ГИА. Приведен необходимый теоретичес-

кий материал и задания для самостоятельного решения. Все задачи

для самостоятельного решения снабжены ответами.

Пособие предназначено для учащихся общеобразовательных

школ, а также учителей.УДК 373:51

ББК 22.1я721

Тесты

Сычёва Галина Владимировна, Гусева Наталья БорисовнаГусев Владимир Алексеевич

МАТЕМАТИКА

Неравенства

Редакция «Образовательные проекты»

Отв. редактор Г.Н. Хромова. Худ. редактор Т.Н. Войткевич

Тех. редактор А.Л. Шелудченко. Корректор И.Н. Мокина

Дизайн обложки Н.А. Шармай

Оригинал-макет подготовлен ООО «БЕТА-Фрейм»

Подписано в печать 16.11.2011. Формат 84�108 1/32.

Усл. печ. л. 1,68. Тираж 5000 экз. Заказ №0000

Общероссийский классификатор продукцииОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная

Сертификат соответствия № РОСС RU.АЕ51.H15301 от 04.05.2011

ООО «Издательство Астрель»129085, Москва, пр-д Ольминского, д. 3а

Издаётся при техническом содействии ООО «Издательство АСТ»

ISBN 978-5-271-39631-1 (ООО «Издательство Астрель»)

© Сычёва Г.В., Гусева Н.Б., Гусев В.А.

© ООО «Издательство Астрель»

3

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

НЕРАВЕНСТВА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Неравенства первой степени с одной переменной 9

Неравенства второй степени с одной переменной . 11

Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Дробно-рациональные неравенствас одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 17

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СОВОКУПНОСТЬ НЕРАВЕНСТВС ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Системы целых алгебраических неравенств . . . . . 22

Системы дробно-рациональных неравенств . . . . . 25

Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 26

ОТВЕТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4

Предисловие

Пособие рассчитано на самостоятельную или под руко-водством учителя подготовку выпускников 9-х классов кгосударственной итоговой аттестации (ГИА) по математи-ке в новой форме.

Каждый вариант экзаменационной работы состоит из2-х частей и включает 23 задания. Пять из них посвященытеме «Неравенства». В первой части — это задания 4 и18, во второй части — задания 19, 21 и 22.

В задании 4 необходимо решить простейшее неравенс-тво и выбрать правильный ответ. В задании 18 требуетсясопоставить график с математической формулой, которойон соответствует или решить неравенство первой степени.Задания 19, 21 и 22 связаны с решением рациональныхнеравенств или систем неравенств.

В учебном пособии всё содержание темы «Неравенс-тва» состоит из двух разделов: «Неравенства» и «Системыи совокупность неравенств». В каждом разделе даётсякраткое изложение теоретического материала и примерырешения типовых задач, соответствующих формату ГИА.Для тренинга и самопроверки приведено большое коли-чество заданий различного уровня сложности. В концекниги к ним даны ответы.

5

НЕРАВЕНСТВА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ

Два действительных числа или два алгебраических вы-

ражения, соединённых между собой знаками «больше» (>),

«меньше» (<), «больше или равно» (�), «меньше или рав-

но» (�), образуют неравенство. Неравенства, содержащие

знаки «>» или «<», называются строгими. Если же нера-

венство содержит знаки «�» или «�», то оно называется

нестрогим. Если два или несколько неравенств содержат

один и тот же знак (например, «>»), то они называются не-

равенствами одинакового смысла, а если разные знаки —

то неравенствами противоположного смысла. Например,

5 > 2 и 25 > 3 — неравенства одинакового смысла, а 5 > 2

и 3 < 25 — неравенства противоположного смысла.

Неравенства, содержащие величины, обозначенные

буквами, называются буквенными. Если в буквенном не-

равенстве содержится неизвестная величина, то ставится

задача решения неравенства. Решением неравенства с од-

ной переменной х называется значение х, удовлетворяю-

щее данному неравенству. Решить неравенство — это зна-

чит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства, содержащие одни и те же перемен-

ные, называются равносильными, если множества их ре-

шений совпадают. Неравенства, не имеющие решений,

также считаются равносильными.

Областью определения (областью допустимых значе-

ний неизвестной — ОДЗ) неравенства с переменной х на-

зывается множество всех значений х, при которых имеют

смысл все члены неравенства.

Если буквенное неравенство справедливо при всех

действительных значениях входящих в него букв, то оно

называется тождественным (или безусловным) неравен-

ством. По поводу таких неравенств может ставиться зада-

ча их доказательства. Решение неравенства с одной пере-

менной, чаще всего, может быть изображено в виде число-

вого промежутка координатной оси (см. табл.).

Множество всех действительных чисел R записывают

в виде числового промежутка (–�; +�). И решение, и до-

казательство неравенств выполняются на основе свойств

неравенств.

6

Свойства числовых неравенств

1. Свойство антисимметричности. Если a > b, то b < a;

если a < b, то b > a. При перестановке правой и левой час-

тей неравенства знак неравенства меняется на противопо-

ложный. Например, если –5 < х, то х > –5.

Замечание. Указанное свойство позволяет читать нера-

венства как «слева направо», так и «справа налево».

2. Свойство транзитивности. Если a > b, b > c, то a > c.

Если a < b, b < c, то a < c.

3. Если a > b и c — любое число, то a + c > b + c. Если к

обеим частям верного неравенства прибавить произволь-

ное действительное число, то получится верное неравен-

ство.

Следствие. Члены неравенства можно переносить из

одной части неравенства в другую с противоположным

знаком.

4. Если a > b и c — положительное число, то a . c > b . c

и > ; если a > b и c — отрицательное число, то a . c <

< b . c и < . Если обе части верного неравенства умно-

жить или разделить на одно и то же положительное число,

то получится верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или раз-

делить на одно и то же отрицательное число и изменить

знак неравенства на противоположный, то получится вер-

ное неравенство.

Следствие. Если a и b — числа одного знака и a > b, то

< . Например, 5 > 2, но < ; –5 < –2, но – > – .

Приведём примеры использования свойств неравенств 1–4

при решении различных задач.

x > a

x ∈ (a; +�)

x � a

x ∈ [a; +�)

x < b

x ∈ (–�; b)

x � b

x ∈ (–�; b]

a < x < b

x ∈ (a; b)

a � x � b

x ∈ [a; b]

a � x < b

x ∈ [a; b)

a < x � b

x ∈ (a; b]

x

a

x

a

x

b

x

b

x

ba

x

ba

x

ba

x

ba

a

c---

b

c---

a

c---

b

c---

1

a---

1

b---

1

5---

1

2---

1

5---

1

2---

7

Пример 1. Решите неравенство 6х – 7 � 3 – 4х.Решение. Перенесём члены с неизвестной х в левую

часть неравенства, а свободные члены — в правую с проти-воположным знаком (свойство 3, следствие): 6х + 4х � 3 ++ 7; 10х � 10. Разделим обе части неравенства на положи-тельное число 10 (свойство 4): х � 1. Ответ: (–�; 1].

Пример 2. Какое из приведённых ниже неравенств яв-ляется верным при любых значениях a и b, удовлетворяю-щих условию a > b?

1) a – b < 0; 2) a + b > 0; 3) a – b > –4; 4) a – b > 4.Решение. Неравенство a > b можно записать в виде a –

– b > 0. А так как 0 > –4, то a – b > –4 (свойство транзитив-ности). Ответ: 3.

Пример 3. Определите знак числа a, если

1) 6a < 2a; 2) 6a > 2a; 3) –12a > –6a.Решение. Применяем свойство 3 (следствие), а затем

свойство 4.1) Так как 6а < 2а, то 6а – 2а < 0, 4а < 0, значит, а < 0.2) Так как 6a > 2а, то 6а – 2а > 0, 4а > 0, значит, а > 0.3) Так как –12a > –6a, то –12а + 6а > 0, –6а > 0, зна-

чит, а < 0. Ответ: 1) а < 0; 2) а > 0; 3) а < 0.

Пример 4. Известно, что a – b > 9. Сравните 3a – 3bи 20.

Решение. 3a – 3b = 3(a – b). Так как a – b > 9, то 3(a – b) >> 27, но 27 > 20. Значит, 3a – 3b > 20 (свойство транзитив-ности). Ответ: 3a – 3b > 20.

Пример 5. На координатной пря-мой даны точки А(а) и В(b). Укажитеверное неравенство:

1) < ; 2) > ; 3) сравнить нельзя.

Решение. Точка В(b) расположена на координатнойпрямой правее точки А(а). Это означает, что a < b, к тому

же a > 0, b > 0. Значит, > (свойство 4, следствие). От-

вет: 2.Сформулируем ещё два свойства числовых неравенств.5. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Если неравенства

одинакового смысла почленно сложить, то получится вер-ное неравенство. Например, если 4 < a < 6, 1 < b < 5, то5 < a + b < 11.

Замечание. Два неравенства одинакового смысланельзя почленно вычитать друг из друга, так как ре-

xB(b)A(a)0

1

a---

1

b---

1

a---

1

b---

1

a---

1

b---

8

зультат может быть как верным, так и неверным. На-пример, если из неравенства 9 > 5 почленно вычесть не-равенство 3 > 1, то получим верное неравенство 6 > 4,но если из того же неравенства 9 > 5 почленно вычестьнеравенство 8 > 2, то получим 1 > 3, что неверно.

Пример 6. Известно, что m < 20, n < 30. Какие из нера-венств являются верными?

А. m + n < 40; Б. m + n < 45; В. m + n < 60.Решение. 1) Если m < 20, n < 30, то m + n < 50, так как

неравенства одинакового смысла можно почленно склады-вать.

2) Если m + n < 50, a 50 < 60, то m + n < 60 по свойствутранзитивности.

3) Неравенства m + n < 45 и m + n < 40 могут оказатьсяневерными. Например, если m = 18, n = 28, то m + n = 46.Ответ: В.

6. Если a > b и c > d, причём a, b, c, d — положитель-ные числа, то ac > bd.

Если неравенства одинакового смысла, содержащиелишь положительные числа, почленно перемножить, тополучится верное неравенство.

Следствие. Если a и b — положительные числа и a > b,

то an > bn, где n ∈ N. Если обе части неравенства с положи-тельными членами возвести в одну и ту же степень с нату-ральным показателем, то получится верное неравенство.

Пример 7. Оцените периметр и площадь квадрата состороной а дм, если известно, что 1,1 дм < a < 1,2 дм.

Решение. Периметр Р квадрата со стороной а равен 4а,

а площадь S равна а2; 4,4 < 4а < 4,8, 1,21 < а2 < 1,44. От-

вет: 4,4 дм < Р <4,8 дм; 1,21 дм2 < S < 1,44 дм2.

Классификация типов неравенств с одной переменной

Тип неравенства с одной переменной (неизвестной) ве-личиной определяется (как и в случае уравнений) видомвыражений с переменной, входящих в это неравенство.

Рациональным неравенством с одной переменной на-зывается неравенство, обе части которого являются раци-ональными выражениями относительно этой переменной.

Если в рациональном неравенстве левая и правая час-ти — целые выражения, то неравенство называется це-лым.

Если в рациональном неравенстве хотя бы одна из час-тей является дробным выражением, то неравенство назы-вается дробно-рациональным.

9

Например, – 5x � · x2 — целое неравенство,

– 5x � · x2 — дробно-рациональное неравенство.

Неравенство называется иррациональным, если пере-менная содержится под знаком корня или в основании сте-

пени с дробным показателем. Например, � 3x ++ 1 — иррациональное неравенство.

Любое целое неравенство с переменной х можно преоб-разовать в равносильное ему неравенство вида Р(х) > 0(Р(х) � 0) или Р(х) < 0 (Р(х) � 0), где Р(х) — многочленстандартного вида. Степенью такого неравенства называ-ется степень многочлена Р(х). Степенью произвольного це-лого неравенства называется степень равносильного емунеравенства указанного вида.

Неравенство, равносильное данному, получится, если:1) перенести слагаемое из одной части неравенства в дру-

гую, изменив знак этого слагаемого на противоположный;2) умножить (или разделить) обе части неравенства на

одно и то же положительное число, оставив при этом знакнеравенства без изменения;

3) умножить (или разделить) обе части неравенства наодно и то же отрицательное число, заменив при этом знакнеравенства на противоположный;

4) обе части неравенства с неотрицательными левой иправой частью возвести в одну и ту же степень.

Неравенства первой степени с одной переменной

Любое целое неравенство первой степени можно приве-сти к виду ax + b > 0 (ax + b � 0) или ax + b < 0 (ax + b � 0),где a � 0.

Для решения такого неравенства свободный член b пе-реносят в правую часть с противоположным знаком и де-лят обе части полученного неравенства на коэффициент

при х: ax + b > 0, ax > –b; x > – , если a > 0, или x < – ,

если а < 0. Таким образом, решением неравенства ах + b > 0

при а > 0 является числовой промежуток – ; +� , а при

а < 0 — числовой промежуток –�; – . Соответственно

для неравенства ax + b � 0 (a > 0) — х ∈ – ; +� , а для

неравенства ax + b � 0 (a < 0) — x ∈ –�; – .

x3

2------ 7

2

x3------ 7

x2 5x–

b

a---

b

a---

b

a---

b

a---

b

a---

b

a---

10

Неравенство вида ax + b > 0 (ax + b � 0) или ax + b < 0(ax + b � 0), где a и b — любые числа, называется линей-

ным неравенством. Если а � 0, то линейное неравенствоявляется неравенством первой степени. Если а = 0, но b � 0

и неравенство имеет вид 0 . х � b, то при b > 0 оно не имеетрешений, а при b < 0 его решением будет любое число, т.е.

числовой промежуток (–�; +�); неравенство 0 . х � b приb < 0 не имеет решений, а при b > 0 решением будет любоечисло.

Если а = 0, b = 0 и неравенство имеет вид 0 . x > 0

(0 . х < 0), то оно не имеет решений; неравенство 0 . х � 0

(0 . х � 0) справедливо при любых х.Пример 8. Какие из неравенств верны при любых зна-

чениях х?

А) х2 – 9 � 0; В) х2 + 9 � 0;

Б) (х – 9)2 � 0; Г) (х + 9)2 � 0.Ответ: Б и В.Пример 9. Какие из неравенств не имеют решений?

А) х2 – 9 < 0; Б) (х – 9)2 < 0; В) х2 + 9 < 0; Г) х2 + 9 � 0.Ответ: Б и В.

Пример 10. Решите неравенство (5 – x)( – ) < 0.

Решение. Так как < , то – < 0. Раз-делим обе части неравенства на отрицательное число

( – ), изменив при этом знак неравенства на про-тивоположный. Получим 5 – х > 0; x < 5. Ответ: (–�; 5).

Пример 11. Решите неравенство – � 1.

Решение. Умножаем обе части неравенства на общийзнаменатель дробей — число 12 (12 > 0): 3х – 4(5 – 2х) � 12;

3х – 20 + 8х � 12; 11х � 32; х � . Ответ: 2 ; +� .

Пример 12. Решите неравенство 4 – 2х < .

Решение. Умножаем обе части неравенства на положи-

тельное число 3: 12 – 6х < 7 – 6х, 0 . х < –5, неравенстворешений не имеет. Ответ: решений нет.

Пример 13. Решите неравенство > + 1,5х.

Решение. Умножаем обе части неравенства на 10:

20х + 6 > 5х + 15х; 0 . х > –6. Решением неравенства явля-ется любое значение х. Ответ: (–�; +�).

10 13

10 13 10 13

10 13

x

4---

5 2x–

3------------------

32

11------

10

11------

7 6x–

3------------------

10x 3+

5---------------------

x

2---

11

Неравенства второй степени с одной переменной

Неравенство второй степени с одной переменной мож-

но привести к виду ах2 + bx + c > 0 (ax2 + bx + c � 0) или

ax2 + bx + c < 0 (ax2 + bx + c � 0), где a, b, c — некоторыечисла, причём а � 0.

Решение неравенств второй степени сводится к нахож-дению промежутков, в которых квадратичная функция

у = ах2 + bx + c принимает положительные (неотрицатель-ные) или, наоборот, отрицательные (неположительные)значения. Ответ легко получить, если схематично изобра-

зить график функции у = ах2 + bx + c. При этом нас будутинтересовать лишь направление ветвей параболы (вверхили вниз) и абсциссы точек пересечения параболы с осью

Oх (т.е. корни уравнения ах2 + bx + c = 0). Поэтому ось Oуможно на рисунке не изображать. Возможны 6 случаев

расположения графика функции у = ах2 + bx + c (парабо-лы) относительно оси Oх (рис. 1).

Для решения неравенства второй степени с одной пере-менной можно следовать следующему алгоритму:

1) вводим функцию f(x) = ax2 + bx + c; по знаку коэф-фициента а определяем направление ветвей параболы(вверх или вниз);

2) находим нули функции, т.е. решаем уравнениеf(x) = 0, полученные значения х отмечаем на оси Oх;

3) схематично изображаем параболу; по расположениюпараболы определяем знак квадратного трёхчлена на каж-дом из промежутков, на которые ось Oх разбилась нулямифункции;

4) выбираем те промежутки оси Oх, на которых выпол-няется данное неравенство; записываем ответ.

x

x

x1=x2

x

x1=x2x x1 x2 x

x1 x2x

I D<0 II D=0 III D>0

а>0

а<0

Рис. 1

12

Пример 14. Решите неравенство х2 – х – 6 � 0.

Решение. 1. Рассмотрим функцию f(х) = x2 – x – 6; тре-

буется решить неравенство f(x) � 0. Графиком функции

является парабола, ветви которой направлены вверх.

2. Находим нули функции,

т.е. решаем уравнение х2 – х – 6 =

= 0; х = –2, х = 3 — корни урав-

нения (нули функции), отмечаем

их на оси Oх заштрихованными

кружками, так как х = –2, х = 3

удовлетворяют данному неравенству.

3. Схематично изображаем параболу (рис. 2); при –2 <

< х < 3 точки параболы расположены ниже оси Oх, т.е.

f(x) < 0, а при х < –2 или х > 3 точки параболы находятся вы-

ше оси Oх, т.е. f(x) > 0; f(x) = 0 при х = –2, х = 3. Неравен-

ство f(x) � 0 выполняется, если –2 � х � 3. Ответ: [–2; 3].

Пример 15. Решите неравенство –х2 + 5х > 0.

Решение. Следуем предложенному алгоритму.

1. Рассматриваем функцию f(x) = –x2 + 5x; требуется

решить неравенство f(x) > 0. Графиком функции служит

парабола, ветви которой направлены вниз.

2. Находим нули функции, т.е. решаем уравнение –х2 +

+ 5х = 0; –х(х – 5) = 0; х = 0 или х = 5. Точки х = 0, х = 5

отмечаем на оси Oх «пустыми» кружочками, так как ре-

шаем строгое неравенство.

3. Схематично изображаем

параболу (рис. 3); f(x) > 0 при 0 <

< х < 5; f(x) < 0 при х < 0, х > 5.

4. Неравенство f(x) > 0 вы-

полняется, если 0< х < 5. От-вет: (0; 5).

Пример 16. Решите неравен-

ство х2 – 4 � 0.

Решение. 1. f(x) = x2 – 4;

f(x) � 0. Графиком функции слу-

жит парабола, ветви которой на-

правлены вверх (рис. 4).

2. х2 – 4 = 0; х = �2 — нули функции.

3. f(x) > 0, если х < –2 или х > 2; f(x) < 0, если –2 < х <

< 2; f(x) = 0, если х = �2.

4. Неравенство f(x) � 0 выполняется, если х � –2 или

х � 2. Ответ: (–�; –2] � [2; +�).

+ +

x

–

–2 3

Рис. 2

x–

0 5

–+

Рис. 3

+ +

x

–

–2 2

Рис. 4

13

Пример 17. Решите неравенство 3х2 – х + 1 � 0.

Решение. 1. f(x) = 3x2 – x + 1; f(x) � 0. Графиком функ-

ции служит парабола, ветви которой направлены вверх.

2. 3х2 – х + 1 = 0; D < 0, кор-

ней нет. Парабола не имеет об-

щих точек с осью Oх (рис. 5).

3. f(x) > 0 при х ∈ R.

4. Неравенство 3х2 – х + 1 � 0

выполняется при любых значе-

ниях х. Ответ: (–�; +�).

В заданиях первой части аттестационной работы иног-

да требуется решить неравенство второй степени, исполь-

зуя заданный на рисунке график квадратичной функции.

Пример 18. На рис. 6 изобра-

жён график функции у = х2 + 4х.

Используя график, решите нера-

венство х2 + 4х � 0. Укажите но-

мер правильного ответа.

1) (–�; 0];

2) [–4; 0];

3) (–�; –4] � [0; +�);

4) (–�; –4).

Решение. Точки параболы рас-

положены выше оси Oх в число-

вых промежутках (–�; 4), (0; +�); х = –4, х = 0 — корни

уравнения х2 + 4х = 0. Неравенство выполняется на объ-

единении промежутков (–�; –4] � [0; +�). Ответ: 3.

Пример 19. На рис. 7 изобра-

жён график функции у = –х2 ++ 2х + 3. Используя график, ре-

шите неравенство 2х + 3 � х2.Укажите номер правильного от-вета.

1) [–1; 3];2) (–1; 3);3) (–�; –1] � [3; +�);4) (–�; –1) � (3; +�).Решение. Запишем данное

неравенство в виде –х2 + 2х ++ 3 � 0. Решением неравенства будет числовой промежу-ток оси Oх, в котором точки графика находятся не нижеоси Oх, т.е. х ∈ [–1; 3]. Ответ: 1.

x

+ + + +

Рис. 5

x

у

0

1 2–2–4

–4

–2

1

2

Рис. 6

x

у

0 1 3–2 –1

–2

1

2

4

Рис. 7

14

Метод интервалов

Метод интервалов можно считать универсальным ме-тодом решения неравенств вида f(x) > 0, f(x) � 0, f(x) < 0,f(x) � 0.

Методом интервалов можно решить любое неравенствоуказанного вида при условии, что мы умеем решить урав-нение f(x) = 0. Метод основан на свойстве непрерывнойфункции: если функция у = f(x) на интервале (a; b) непре-рывна и не обращается в нуль, то во всех точках интервалаона сохраняет постоянный знак.

Схема применения метода интервалов

1. Приведите неравенство к виду f(x) > 0 (f(x) � 0,f(x) < 0, f(x) � 0).

2. Рассмотрите функцию у = f(x) и найдите её областьопределения; укажите область определения функции наоси Oх (запрещённые значения х следует «выколоть» —отметить на оси Oх пустыми кружками).

3. Найдите нули функции у = f(x), т.е. корни уравне-ния f(x) = 0, укажите их на оси Oх.

4. Выделите промежутки, на которые область опреде-ления функции разбилась отмеченными точками. Внутрикаждого промежутка функция у = f(x) непрерывна и не об-ращается в нуль и, следовательно, сохраняет постоянныйзнак. Найдите знак f(x) в каждом из промежутков, напри-мер, посчитав его в какой-либо точке этого промежутка.

5. Укажите промежутки, в которых выполняется дан-ное неравенство. Запишите ответ. Включите в ответ всезначения х, при которых f(x) = 0, если решаете нестрогоенеравенство f(x) � 0 или f(x) � 0. Не забудьте «изолирован-ные» значения х!

Пример 20. Решите неравенство х3 � 9х.Решение. Применяем метод интервалов.1. Переносим все члены неравенства в левую часть (в

правой части должен быть 0): х3 – 9х � 0.

2. f(x) = x3 – 9x; f(x) � 0. Областью определения функ-

ции f(x) = x3 – 9x является вся числовая ось, х ∈ (–�; +�).

3. Находим нули функции, т.е. решаем уравнение х3 –

– 9х = 0, х(х2 – 9) = 0, х = –3 или х = 0, или х = 3. Полу-ченные корни отмечаем на оси Oх (рис. 8):

x–3 3

– –+ +

0

Рис. 8

15

4. Точки х = –3, х = 0, х = 3 разбили ось Oх на четырепромежутка (–�; –3), (–3; 0), (0; 3), (3; +�).

На каждом промежутке выбираем какое-нибудь значе-ние х и находим знак f(x) в выбранной точке, а значит, иво всех точках этого промежутка.

f(10) = 103 – 9 . 10 > 0,

f(1) = 13 – 9 . 1 = 1 – 9 < 0,

f(–1) = (–1)3 – 9 . (–1) = –1 + 9 > 0,

f(–10) = (–10)3 – 9 . (–10) < 0.На оси Oх отмечаем знак функции y = f(x) на каждом

из промежутков.

5. Неравенство х3 – 9х � 0 выполняется в тех проме-жутках оси Oх, в которых стоит знак «+». Не забываем

включить в ответ корни уравнения х3 – 9х = 0.Решением неравенства является объединение числовых

промежутков: [–3; 0] � [3; +�). Ответ: [–3; 0] � [3; +�).

Дробно-рациональные неравенствас одной переменной

Любое дробно-рациональное неравенство можно при-

вести к виду > 0 � 0 или < 0 � 0 ,

где f(x) и g(x) — многочлены. Неравенства такого вида

можно решить методом интервалов если мы умеем ре-

шать уравнение = 0 .

Пример 21. Решите неравенство > 0.

Решение. 1. Вводим функцию f(x) = ; тре-

буется решить неравенство f(x) > 0.2. Область определения функции y = f(x) содержит все

действительные значения x, кроме х = –1 (на нуль делитьнельзя !); x � –1. Отмечаем запрещённое значение х = –1на оси Oх (рис. 9) незаштрихованным кружком:

3. Находим корни уравнения f(x) = 0. Уравнение

= 0 равносильно системе

f x( )g x( )------------

f x( )g x( )------------

f x( )g x( )------------

f x( )g x( )------------

f x( )g x( )------------

x 3–( ) x 2+( )x 1+

---------------------------------------

x 3–( ) x 2+( )x 1+

---------------------------------------

x–1–2 3

–– + +

Рис. 9

x 3–( ) x 2+( )x 1+

---------------------------------------

(x – 3)(x + 2) = 0,

x + 1 � 0;

16

х = 3, х = –2 — корни уравнения, отмечаем их на оси Oх«пустыми» кружками, так как эти значения х не входят врешение данного строгого неравенства.

4. Определяем знак f(x) в каждом из четырёх промежут-ков, на которые разбилась ось Oх, и отмечаем его на оси Oх.

f(7) = > 0, f(0) = < 0,

f(–1,5) = > 0,

f(–10) = < 0.

5. Неравенство f(x) > 0 выполняется на объединениипромежутков: (–2; –1) � (3; +�). Ответ: (–2; –1) � (3; +�).

Пример 22. При каких значениях х имеет смысл выра-

жение ?

Решение. Корень квадратный имеет смысл тогда итолько тогда, когда подкоренное выражение неотрица-тельно. Следовательно, требуется решить неравенство

� 0. Применяем метод интервалов.

1. f(x) = ; f(x) � 0.

2. Область определения функции у = f(x): x ∈ (–�; 1) �� (1; +�). Значение х = 1 «выкалываем» на оси Oх (рис. 10).

3. Находим нули функции. Уравнение = 0

равносильно системе х = –4, х = 5 —

корни уравнения, отмечаем их на оси Oх.4.Определяем знак функции y = f(x) в каждом из четы-

рёх промежутков оси Oх.

f(10) = > 0; f(2) = < 0;

f(0) = > 0; f(–10) = < 0.

5. Неравенство f(x) � 0 выполняется, если –4 � x < 1или х � 5. Ответ: [–4; 1) � (5; +�).

7 3–( ) 7 2+( )7 1+

---------------------------------------

0 3–( ) 0 2+( )0 1+

---------------------------------------

–1,5 3–( ) –1,5 2+( )–1,5 1+

---------------------------------------------------------

–10 3–( ) –10 2+( )–10 1+

-----------------------------------------------------

x2 x– 20–

x 1–--------------------------------

x2 x– 20–

x 1–--------------------------------

x2 x– 20–

x 1–--------------------------------

x–4 5

– –+ +

1

Рис. 10

x2 x– 20–

x 1–--------------------------------

x2 – x – 20 = 0,

x – 1 � 0;

100 10– 20–

10 1–---------------------------------------

4 2– 20–

2 1–-----------------------------

–20

–1----------

100 10 20–+

–10 1–---------------------------------------

17

Пример 23. При каких значениях х точки графика

функции у = расположены выше прямой у = 2?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходи-

мо решить неравенство > 2.

1. Преобразуем неравенство: – 2 > 0,

> 0, > 0.

2. Рассмотрим функцию f(x) = ; f(x) > 0. Об-

ласть определения функции: х ∈ (–�; –3) � (–3; +�). Зна-чение x = –3 «выкалываем» на оси Ox (рис. 11).

3. Находим нули функции у = f(x). Уравнение =

= 0 имеет один корень х = –1, отмечаем его на оси Ох «пус-тым» кружком.

4. Находим знак функции у = f(x) в каждом из трёх по-

лученных промежутков оси Ох: f(0) = < 0; f(–2) =

= > 0; f(–10) = < 0.

5. Неравенство f(x) > 0 выполняется, если –3 < х < –1.Ответ: (–3; –1).

Задания для самостоятельного решения

1. Какое из следующих неравенств следует из нера-венства х > у?

1) x + 1< y + 2; 3) y + 5< x + 5;2) x – 2 < y – 2; 4) x – 3 < 4 + у.2. Какое из следующих неравенств следует из нера-

венства a > c + b?

1) a + b < c; 3) a – c + b < 0;2) c – a – b < 0 ; 4) b < a – c.3. Какое из следующих неравенств не следует из нера-

венства х + у > z?

1) y > x + z; 3) x – z + y > 0;2) y > z – x; 4) z – x – y < 0.

1 3x–

x 3+------------------

1 3x–

x 3+------------------

1 3x–

x 3+------------------

1 3x– 2x– 6–

x 3+--------------------------------------------

5x– 5–

x 3+------------------------

5x– 5–

x 3+------------------------

x–– +

–3 –1Рис. 11

–5x 5–

x 3+----------------------

5–

3--------

10 5–

2– 3+--------------------

50 5–

–10 3+----------------------

18

4. Известно, что b – c < 0. Какие из приведённых нера-венств являются верными?

A) b + c > 0; Б) b< c + 2; B) b < c.1) А и В; 2) Б и В; 3) только В; 4) только А.5. Известно, что m – n < 2. Какие из приведённых нера-

венств могут быть неверными?

А) m < n + 3; Б) m < n – 4 ; B) m > n.1) А и Б; 2) Б и В; 3) А и В; 4) только В.6. Из данных неравенств выберите то, из которого сле-

дуют все остальные.

a) 1) a < –0,1; 2) a < 0; 3) a < 10; 4) a < 1;б) 1) m > –1; 2) m > 1; 3) m > 0; 4) m > 7.7. Какое из неравенств верно при любом значении а?

1) a2 – 4 < 0; 3) a2 + 4 > 0;

2) (a – 4)2 � 0; 4) a + 4 > 0.8. Какое из неравенств не является верным ни при ка-

ких значениях а?

1) (а + 2)2 < 0; 3) a + 2 < 0;

2) (a + 2)2 � 0; 4) a – 2 > 0.9. Выберите числовой промежуток, соответствующий

неравенству х � 1,2.

1) (–�; 1,2); 3) (–�; 1,2];2) [1,2; +�); 4) (1,2; +�).10. Выберите числовой промежуток, соответствующий

неравенству х � 3,6.

1) (0; 3,6); 2) (3,6; +�); 3) [3,6; +�); 4) (–�; 3,6].11. Какому промежутку принадлежит значение выра-

жения a + b, если 1,5 < a < 3, 3 < b < 4?

1) (3; 6); 2) (4,5; 7); 3) (1,5; 4); 4) (5,5; 6).12. Какому промежутку принадлежит значение выра-

жения x . y, если 2 < x < 3, 1,5 < y < 3?

1) (3; 9); 2) (3,5; 6); 3) (2; 3); 4) (4,5; 6).Решите неравенство и укажите, на каком рисунке

изображено множество его решений (13–16).13. 3х + 5 � х – 7.

14. (0,1x – 1) < 6 + 0,1(2x – 3).

15. 2x2 – 0,5 � 0.

1) 4)2) 3)x6x–6 x6 x–6

x1)

–674)

x2)

–673)

x67x67

x1)

0,54)2)

x3)

–0,5x0,5–0,5 x0,5–0,5

19

16. 4x2 > 64.

Укажите неравенство, решение которого изображенона рисунке (17–20).

17.

1) x2 � 9; 3) 1 – 6х � 10 – 9х;2) х(х – 3) � 0; 4) 2 – 3х � 5 – 4х.18.

1) x2 – 2х – 3 > 0; 3) (x + 1)(x – 3) < 0;

2) 3 – 2x – x2 > 0; 4) 3 + 2x – x2 < 0.19.

1) x2 + 6x – 7 � 0; 3) (1 + x)(7 – x) � 0;

2) x2 – 6x – 7 > 0; 4) x2 – 7x + 6 � 0.20.

1) x2 – 9 � 0; 3) (х + 3)2 � 0;

2) x2 – 9 � 0; 4) (х – 3)2 � 0.

Решите неравенство (21–29).

21. – < 1.

1) (–�; 0,5); 2) (–�; 12); 3) (0; 12); 4) (12; +�).

22. – > –1. 23. x2 > 16.

24. x2 – 64 � 0. 25. x2 + 4x + 5 � 0.

26. 6x2 – x + 1 � 0. 27. 4x > x2.

28. x2 + 8x + 16 > 0. 29. x2 + 7x + 10 � 0.

Найдите наименьшее целое решение неравенства(30–33).

30. 3(2 – x) � 6x – (3x + 1).

31. x – 4(1 – 2x) > 5(x + 3).

32. x2 + 4,5x + 3,5 < 0.

33. –x2 – 3,9x � 0.

Найдите наибольшее целое решение неравенства(34–37).

34. 4х – 3(2 – x) � 4(x – 0,8).

35. 2(8 – x) � 1 – 2(2x – 3).

36. –2x2 + 9x + 26 � 0.

37. 2x2 + 7x + 5 < 0.

x1)

44)

x2)

43)

x4–4x4–4

x3

x3–1

x7–1

x3–3

x

4---

x

6---

x

5---

9 x+

3--------------

20

Решите неравенство (38–58).

38. (2,25 – ) · (0,5x – 1,75) � 0.

39. (2,9 – ) · (2,5 – 1,5x) � 0.

40. � 0. 41. ( – 3,2)(2x2 – 50) > 0.

42. > 0. 43. < 0.

44. (x2 + 4x + 3) � 0.

45. (x – 4) � 0.

46. (3 – x) < 0. 47. � 0.

48. � 1. 49. � 4.

50. � . 51. � .

52. x3 + 3x2 – x – 3 � 0. 53. x3 – 2x2 – 4x + 8 � 0.

54. x + – 6 � 0. 55. x – 5 + 6 � 0.

56. y4 – 5y2 + 4 � 0. 57. y4 – 5y2 + 4 � 0.

58. (x2 – 9) � 0.

Найдите количество целых решений неравенства(59–62).

59. � –1. 60. < –3.

61. y2 – (1 + )y + � 0.

62. y2 – ( – )y – < 0.

Найдите область определения выражения (63, 64).

63. . 64. .

Найдите, при каких значениях х выражение не имеетсмысла (65–68).

65. . 66. .

67. . 68. .

11

10

0,5x 3,5–

5 2,7–

----------------------------- 8

8x 2–

x2 3+------------------

1 5x2+

1 x–---------------------

x 2+

x2 7x– 10+

8 x–x 6+

x2 8x 16+ +

----------------------------------------

2x 5–

4x 8–------------------

3x 10–

1 x–---------------------

3

2 x–--------------

x

x 1+--------------

x

2x 12+---------------------

1

9 x–--------------

x x

x2 x 2–+

4x2 x– 4–

x2--------------------------------

y2 3y 7–+

y2 2+-------------------------------

10 10

2 7 14

x2 x– 12–

x 5+------------------------------------

24 2x– x2–

x2 9–

----------------------------------------

3 4x2– 11x+

x--------------------------------------- x 2 4–( ) 12 x 3–( )

x4 10x2– 9+5 2y–

y2 20y– 21–

-------------------------------------------

21

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВС ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

СОВОКУПНОСТЬ НЕРАВЕНСТВС ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Два или несколько неравенств, содержащих одну и туже переменную, образуют систему неравенств, если ста-вится задача найти множество общих решений этих нера-венств.

Решением системы неравенств с одной переменной на-зывается значение переменной, при котором верно каждоеиз неравенств системы.

Два или несколько неравенств, содержащих одну и туже переменную, образуют совокупность неравенств, еслиставится задача найти все значения переменной, удовлет-воряющие хотя бы одному из данных неравенств. Решени-ем совокупности неравенств называется значение пере-менной, при котором верно хотя бы одно неравенство сово-купности. Для обозначения совокупности используетсязнак «[».

Пример 1. Является ли значение х = –2 решением си-

стемы неравенств

Решение. Проверим, удовлетворяет ли значение х = –2каждому из неравенств системы.

3(–2) + 6 > –4, 0 > –4, верно;

5 – (–2) < 8, 7 < 8, верно;

(–2)2 + 1 � 2, 5 � 2, верно.

Каждое из неравенств системы верно при х = –2. Зна-чит, х = –2 — решение системы неравенств. Ответ: явля-ется.

Пример 2. Является ли значение х = 1 решением сово-

купности неравенств

Решение. Подставляем в данные неравенства вместо хуказанное значение х = 1:

5 . 1 – 3 > 7; 2 > 7, неверно;

6 – 2 . 1 < 5; 4 < 5, верно. Значение х = 1 является ре-шением совокупности, так как удовлетворяет второму изнеравенств. Ответ: является.

3x + 6 > –4,

5 – x < 8,

x2 + 1 � 2?

5x – 3 > 7,

6 – 2x < 5?

22

Решить систему (совокупность) неравенств — значитнайти все решения или доказать, что их нет.

Чтобы решить совокупность неравенств, надо решитькаждое неравенство в отдельности и записать объединениеполученных числовых множеств.

Пример 3. Решите совокупность неравенств

Решение. Множеством реше-

ний совокупности является объединение числовых проме-

жутков (2; +�), ; +� , т.е. ; +� . Ответ: ; +� .

Системы целых алгебраических неравенств

Множеством решений системы является пересечениемножеств решений неравенств, входящих в эту систему.Чтобы решить систему неравенств, надо решить каждоенеравенство в отдельности и найти общую часть получен-ных множеств решений. Наглядно иллюстрирует и в зна-чительной мере помогает найти решение системы изобра-жение множества решений каждого неравенства системыв виде промежутка (или объединения промежутков) коор-динатной прямой.

Пример 4. Решите систему неравенств

Решение. Решаем каждое неравенство в отдельности,последовательно заменяя его равносильным ему неравен-ством.

Отмечаем штриховкой на координатной прямой мно-жество решений каждого неравенства и находим общуючасть полученных числовых промежутков.

Первое неравенство (x > –4) — строгое, а второе (x � 2) —нестрогое, поэтому точку х = –4 отмечаем пустым круж-ком, а х = 2 – заштрихованным; значение х = –4 не вклю-чаем в ответ, а х = 2 — включаем. Решением системы яв-

5x – 3 > 7,

6 – 2x < 5.

5x > 10,

2x > 1;

x > 2,

x > .1

2---

1

2---

1

2---

1

2---

2x + 4 > –4,

6 – 3x � 0.

2x > –8,

3x � 6;

x > –4,

x � 2.

x–4 2Рис. 12

23

ляется множество значений х, принадлежащих числовомупромежутку (–4; 2] (рис. 12). Ответ: (–4; 2].

Замечание. Ответ можно записать и в виде двойногонеравенства –4 < x � 2.

Пример 5. Найдите наименьшее целое решение систе-

мы неравенств

Решение. Переходя от каждого неравенства к равно-

сильному ему неравенству, получаем

Решением системы служат значения х, удовлетворяю-щие условию x � 3,5, т.е. принадлежащие числовому про-межутку [3,5; +�) (рис. 13). Наименьшее целое решениесистемы равно 4. Ответ: 4.

Пример 6. Найдите наибольшее целое решение систе-

мы неравенств

Решение. Упрощаем последовательно каждое нера-

венство системы:

Множеством решений системы служит числовой про-

межуток (–�; 2,5) (рис. 14). Наибольшее целое число,принадлежащее этому промежутку, равно 2. Ответ: 2.

Пример 7. Решите систему неравенств

Решение. В результате преобразований неравенств сис-

темы имеем: Система решений не

имеет, так как не существует значений х, которые былибы не больше –1 и в то же время не меньше числа 3. Мож-

8x – 9 � 3x – 9,

21 – 6x � 0.

5x � 0,

6x � 21;

x � 0,

x � 3,5.

x0 3,5Рис. 13

x – 4 � 1,

–0,4x + 1 > 0.

1

2---

x � 5,

0,4x < 1;

1

2---

x � 10,

x < 2,5.

x102,5

Рис. 14

2x + 3 � –6 – 7x,

9x – 8 � 5x + 4.

9x � –9,

4x � 12;

x � –1,

x � 3.

24

но сказать, что решением системы является пустое мно-жество (�). Геометрической иллюстрацией полученноговывода является отсутствие общих точек у полученныхчисловых промежутков (–�; –1] и [3; +�) (рис. 15). От-

вет: решений нет.

Пример 8. Найдите все значения х, при которых имеет

смысл выражение + .

Решение. Требуется решить систему неравенств

т.е.

х ∈ [2,5; +�). Ответ: [2,5; +�).

Пример 9. Решите двойное неравенство 3 < 5 + 2x < 9.Решение. Двойное неравенство означает одновремен-

ное выполнение двух неравенств 5 + 2х > 3 и 5 + 2х < 9,т.е. является иной записью системы неравенств:

Решаем полученную систему:

Получаем –1 < x < 2 (рис. 16).

Запись решения можно было вести в виде цепочкидвойных неравенств:

3 < 5 + 2x < 9,–2 < 2x < 4,–1 < x < 2.Множеством решений данного двойного неравенства

является числовой промежуток (–1; 2). Ответ: (–1; 2).

Пример 10. При каких а значение дроби при-

надлежит промежутку [–3; 1]?

Решение. Решим двойное неравенство: –3 � � 1,

–9 � 2a – 1 � 3, –8 � 2a � 4, –4 � a � 2. Ответ: [–4; 2].

x3–1

Рис. 15

x

5---

1

2---–

3x 2–

3------------------

x

2---+

– � 0,

+ � 0;

x

5---

1

2---

3x 2–

3------------------

x

2---

2x – 5 � 0,

6x – 4 + 3x � 0,

x � 2,5,

x � ,4

9---

5 + 2x > 3,

5x + 2x < 9.

2x > –2,

2x < 4;

x < 2,

x > –1.

x2–1

Рис. 16

2a 1–

3------------------

2a 1–

3------------------

25

Пример 11. Решите систему неравенств

Решение. Заметим, что 2 – < 0, и обе части первого

неравенства разделим на (2 – ), изменив знак неравен-

ства на противоположный. Во втором неравенстве правуючасть представим в виде многочлена. Получим:

Множеством решений системы является числовой про-межуток (2; +�). Ответ: (2; +�).

Системы дробно-рациональных неравенств

Рассмотрим системы, в которых хотя бы одно нера-венство является дробно-рациональным, а другие нера-венства — рациональными (т.е. целыми или тоже дробно-рациональными). Метод решения таких систем остаётсяпрежним: решаем каждое неравенство в отдельности и на-ходим общую часть полученных числовых множеств.

Пример 12. Решите систему неравенств

Решение. Упрощаем каждое неравенство системы:

Первое неравенство решаем методом интервалов. Рас-

смотрим функцию y = .

Область определения функции содержит все действи-тельные значения х, кроме х = –6. На координатной пря-мой «выкалываем» точку х = –6 (рис. 17).

(6 – 3x)(2 – ) > 0,

x2 + 4 � (x + 2)2.

7

7

7

6 – 3x < 0,

x2 + 4 � x2 + 4x + 4;

3x > 6,

4x � 0;

x > 2,

x � 0.

– 6x < –7x – ,

3x – 3 < 12,

2x – 2 > –8.

2

x 6+--------------

3

x 6+--------------

< 0,

x < 5,

x > –3.

x2 6x 5+ +

x 6+--------------------------------

x2 6x 5+ +

x 6+--------------------------------

x–1–5–6

– –+ +

Рис. 17

26

2) Нули функции являются корнями уравнения x2 +

+ 6x + 5 = 0; = 4; x = –3 � 2. Нули функции х = –5, х =

= –1 отмечаем на координатной прямой.3) Внутри каждого из полученных промежутков

(–�; –6), (–6; –5), (–5; –1), (–1; +�) функция непрерывнаи не обращается в нуль, и поэтому имеет постоянныйзнак. Находим знак функции в каждом промежутке, опре-делив его в какой-нибудь точке промежутка.

f(–10) = < 0; f(–5,5) = > 0;

f(–2) = < 0; f(10) = > 0.

Решениями неравенства < 0 являются зна-

чения х, удовлетворяющие условию х < –6 или –5 < x < –1(рис. 17).

Данная система равносильна совокупности двух сис-тем:

А) решений нет. Б)

Множеством решений данной системы является число-вой промежуток (–3; –1) (рис. 18). Ответ: (–3; –1).

Задания для самостоятельного решения

1. О числах a, b, c известно, что Какое из сле-

дующих чисел положительно?

1. a – b; 2. b – c; 3. c – a; 4. a – c.

2. О числах m, n, c известно, что Какое из

следующих чисел отрицательно?

1. m – n; 2. n – c; 3. c – m; 4. m – c.

3. Известно, что Какое из неравенств являет-

ся верным?

1. a + b > 0; 2. a – b < 0; 3. a – b > 0; 4. a . b < 0.

D

4----

100 60– 5+

–10 6+-----------------------------------

5,5( )2–[ ] 33– 5+

–5,5 6+----------------------------------------------------

4 12– 5+

–2 6+-----------------------------

100 60 5+ +

10 6+-----------------------------------

x2 6x 5+ +

x 6+--------------------------------

x < –6,x < 5,x > –3;

x > –5,x < –1,x < 5,x > –3.

x5–1–3–5Рис. 18

a < b,b < c.

m > n,n > c.

a > b,a < 0.

27

4. Известно, что На каком из рисунков

точки с координатами b, b2, c2 расположены на координат-

ной прямой в правильном порядке?

5. Известно, что На каком из рисунков точки

с координатами a, p, 2a, 2p расположены на координатной

прямой в правильном порядке?

6. Укажите систему, решением которой является зна-

чение х = 4.

1. 2.

3.

На координатной прямой отмечено число х. Решением

какой системы (7, 8) может быть это число х?

7.

1. 3.

2. 4.

8.

1. 3.

2. 4.

Укажите системы неравенств, которые не имеют реше-

ния.

9. А. Б. В.

1. Только В 3. Б и В2. А и В 4. Таких систем нет

b < –2,c > 2,b + c > 0.

x1) 4)2) 3)

b с2 b2 xb b2 c2 xb с2b2 xbс2b2

a < –3,p > 3.

x1) 4)2) 3)

2p ap 2a x2p pa 2a x2a ap 2p x2a pa 2p

4x – 3 � x + 4,

4 – x < 2x + 2;

3x + 1 < x – 1,

5 – x > x – 3;

1 – x3 < x3,

–2x � 0.

x20x

x – 2 > 0,

2x � 0;

x – 2 > 0,

2x > 0;

x + 2 > 0,

2x < 0;

x + 2 � 0,

2x < 0.

x0x–6

x + 6 � 0,

–6x < 0;

x – 6 > 0,

> 0;x

6---

x + 6 � 0,

6x < 0;

6 – x � 0,

> 0.6

x---

x � –8,x < –9.

x � –4,x < 4.

x < 4,x > 4.

28

На каком рисунке показано множество решений систе-мы неравенств (10–12).

10.

11.

12.

Решите двойное неравенство (13–16).

13. х – 3 � 4х � 3 + х. 14. 8 < x + 5 < 2x + 4.15. 1 < 2x + 3 � 3. 16. х – 4 < – 3х � х + 4.Для каждой системы неравенств укажите номер ри-

сунка, на котором изображено множество её решений. Ре-зультат внесите в таблицу (17–19).

17. А. Б.

В.

18. А. Б.

В.

19. А) Б)

В)

Найдите наименьшее целое решение системы нера-

венств (20–23).

20. 21.

2x – 1 � 3,9 – 3x � 0.

1) 4)2) 3)x3 x32x32 x2

3x + 2 < 8,x + 1 � 0.

1) 4)2) 3)x–1 x–1x2–1 x2

7 + 14x � 0,2x + 6 < 0.

1) 4)2) 3)x–3x–3 x–3 –0,5 x–0,5

x + 6 < 20,2x – 2 � 0;

x – 7 � –4,6 – x > 0;

4x – 8 < 0,6 – x � 2.

А Б В

1) 4)2) 3)x2x1 x–5 1 x63

6 + x > 8,6 – x � 0;

7 – 2x < 5,0,2x – 1 � 0;

2x – 1 � –7,4 – 3x � –2.

А Б В

1) 4)2) 3)x2 x2–3x51 x2 6

6 – 3x � 0,9 – 5x < 4;

4 – 6x � 7,2x + 6 > 4;

– > 1,

2 – 7x � 1.

x

2---

x

3--- А Б В

1) 4)2) 3)x6x–0,5 x–1 x21

– < 0,

3x + 7 > 2.

2x

3-------

8

3---

17,5 + 7x � 0,

1,5x – 4 < 0.

29

22. 23.

Найдите наибольшее целое решение системы нера-

венств (24–27).

24. 25.

26. 27.

Решите систему неравенств (28–31).

28. 29.

30. 31.

При каких значениях х имеет смысл выражение (32,

33)?

32. + . 33. – .

Решите систему неравенств (34–47).

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40. 41.

42. 43.

7,5 – 3,5x � 0,

3x + 10 > 0.

5x – 14 � 0,

5,4 < 2,7x.

2 > ,

–12,5 � 5x.

x

2---

3x + 4 � 0,

–5 – x � 0.

7 – 6x � 0,

3x – 19 < 0.

0,1x + 4 > 0,

0,4x – 12 < 0.

x2 + 4x + 7 > 0,

14 – 4x < 0.

x2 � 0,

1,5 – 0,5x � 0.

– 5 > 0,

14 – x � 0,

0,01x –�0,05�� 0.

x 5

2-----------

7

� 0,

6x + 2 < –1,5 – x.

1

1 x2–

---------------------

3

2 4x+------------------

4x 2+

9x----------------------

7

5x 2,5–

----------------------------

5x 2,5–

2 0,5x–----------------------------

(x – 4)2 > (x – 8)2,

3x + 8 � 7x – 6.(7 – 3,5x)( – 4) � 0,

0,25x – 3 < 0.

6

(1 – )x � ,

x2 + 25 � (x + 5)2.

712

7 1+

------------------ ( – 4)x < ,

x2 – 3 > (x + 3)2.

824

4 8+

------------------

– 5 > 0,

14 – x � 0,

0,01x – 0,005 � 0.

x 5

2-----------

7

� ( – 3)x,

2 + � 0,

x + 2 < 0.

6

3 6+

------------------ 6

x

2-------

2

x2 – 3x – 4 � 0,

x2 + 2x – 3 < 0.

4,5 � 2x2,

4 – 2 x < 0.2

x + < ,

x + < .

11 15

19 23

� 0,

x2 – 9x + 8 � 0.

x 5–

x 4+--------------

30

44. 45.

46. 47.

Найдите целые решения системы неравенств (48–51).

48. 49.

50. 51.

Укажите наименьшее натуральное решение системы

неравенств (52, 53)

52. 53.

54. Среди решений неравенства (x – 0,5)(x2 – 4x + 4) � 0

найдите все такие, для которых выполняется неравенство

� 0.

55. Среди решений неравенства < 0 найдите все

такие, для которых выполняется неравенство (x + 1)(x2 –

– 2x + 1) � 0.

Найдите область определения выражения (56–58).

56. + .

57. – .

58. + .

Укажите все целые числа, которые не принадлежат об-

ласти определения выражения (59, 60).

59. . 60. .

(x – 5) � 0,

� 1.

2x 4+

7 x–

6--------------

(x – 9) � 0,

x2 – x – 12 � 0.

5x 5–

(x2 + 7x – 18)2 � 0,

(x2 – 2x + 3)2 � 10.

(x2 + 6x + 8)2 � 0,

(x2 – 4x – 5)2 � 50.

5x2 – 11x + 2 � 0,

� 0.2 5 4x–

3--------------------------

x2 – 2x – 16 � 0,

x – � 0.2 6

5x – x2 + 6 � 0,

0,5x2 – 1,5x – 2 � 0.

x2 – 3x � 28,

x2 – 5x � 14.

> ,

� .

2

5x 10–

--------------------------

1

5x 10–

--------------------------

7

15 3x–

--------------------------

13

15 3x–

--------------------------

> ,

� .

4

x 5+

------------------

3

x 5+

------------------

2

x 2–

------------------

9

x 2–

------------------

4 2x–

4 x+------------------

x 5+

x 3–--------------

16 x2– 3x2 3–

x2 8x– 15+

2----------------------------------------

2

5x x2– 4–

------------------------------------

3x2 20x– 7–

x2 4,5x+--------------------------------------------

x3 2–

7 x–

------------------

x2 1–( ) x 2+( ) x 1+( )

x2 3x–

------------------------------------------------------------------

5x2 14x– 3–

13

x 1+--------------–

--------------------------------------------

31

Ответы

Неравенства

№ задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ответ 3 4 1 2 2 а) 1; б) 4 3 1 3 3

№ задания 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Ответ 2 1 1 2 4 3 3 3 3 2 2 (–�; –15)

№ задания 23 24 25 26 27

Ответ (–�; –4) ∪ (4; +�) [–8; 8] (–�; +�) � (0; 2)

№ задания 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

Ответ (–�; –4) ∪ ∪ (–4; +�)

[–5; –2] 2 5 –3 –3 0 –5 6 –2

№ задания 38 39 40 41 42

Ответ [3,5; +�) ; +� [7; +�) (–5; 5) (0,25; +�)

№ задания 43 44 45 46

Ответ (1; +�) [–2; –1] (–�; 2] ∪ {5} (3; 8)

№ задания 47 48 49 50

Ответ [–6; –4) ∪ (–4; +�) [1,5; 2) (–�; 1) ∪ [2; +�) (–1; 2)

№ задания 51 52

Ответ (–�; –6) ∪ [3; 4] ∪ (9; +�) [–3; –1] ∪ [1; +�)

№ задания 53 54 55

Ответ (–�; –2] ∪ {2} [0; 4] [4; 9]

№ задания 56 57

Ответ (–�; –2] ∪ [–1; 1] ∪ [2; +�) [–2; –1] ∪ [1; 2]

№ задания 58 59 60 61 62

Ответ [–3; –2] ∪ [1; 3] 1 1 3 4

№ задания 63 64

Ответ (–�; –5) ∪ (–5; –3] ∪ [4; +�) [–6; –3)∪ (–3; 3) ∪ (3; 4]

№ задания 65 66

Ответ (–0,25; 0) ∪ (3;+�) (–�; 2 ) ∪ (4 ; +�)

№ задания 67 68

Ответ (–3; –1) ∪ (1;3) [–1; 21]

5

3---

2 3

32

Системы неравенств

№ задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ответ 3 3 3 2 4 1 4 2 2 3 4 3

№ задания 13 14 15 16 17 18

Ответ [–1; 1] (3; +�) (–1; 0] [–1; 1]

№ задания 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Ответ –1 –2 3 3 –3 –2 1 29 (3,5; +�)

№ задания 29 30 31

Ответ (–�; 3] (–�;–4) (–1;–0,5)

№ задания 32 33

Ответ (–0,5;0) ∪ (0;+�) (0,5;4) ∪ (4;+�)

№ задания 34 35 36 37 38

Ответ (6; +�) [2; 12) [–2; 0] (–3; –2) (2 ; 5]

№ задания 39 40 41 42 43

Ответ � (–3; –1] ( ; 1,5] (–�; – ) [1; 5]

№ задания 44 45 46 47 48 49

Ответ [–2; 1] [1; 4] {–9} {–2} 2 –1; 0; 1

№ задания 50 51 52 53 54

Ответ –1; 4; 5; 6 –4; –3; –2; 7 3 3 (–4; 0,5] ∪ {2}

№ задания 55 56 57

Ответ (–5; –1] ∪ {1} [–4; –1] ∪ [1; 4] [7; 8) ∪ (8; +�)

№ задания 58 59 60

Ответ (–�; –4,5) ∪ –4,5; – 0; 1; 2; 3 –1; 0; 1; 2

А Б В

1 4 3

А Б В

2 1 4

А Б В

3 1 4

5

2 23 19

1

3---