КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Д. Д. Шека

Основи магнетизму

Методичний посiбник для магiстрiвприродничих спецiальностей унiверситету

Київ–2012

УДК 537.6ББК 22.31

Д. Д. ШекаОснови магнетизму: Методичний посiбник для магiстрiв природничих

спецiальностей унiверситету — К.: КНУ, 2012.-74 с.

Посiбник мiстить тексти лекцiй роздiлу «Основи магнетизму», що є скла-довою частиною курсiв «Наномагнетизм» (для магiстрiв спецiалiзацiiї «При-кладна оптика та магнетизм» на радiофiзичному факультетi) та «Сучасниймагнетизм: вiд основ до нанодинамiки» (для магiстрiв Iнституту високих те-хнологiй).

ЗатвердженоРадою радiофiзичного факультету

Протокол № 1 вiд 17 вересня 2012 року

ББК 22.31

c○ Д. Д. Шека, 2011–2012

Змiст§ 1. Стисла хронологiя магнетизму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§ 2. Магнiтнi властивостi атомiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

§ 2.1. Класифiкацiя речовин за магнiтними властивостями . 9§ 2.2. Iзольований атом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9§ 2.3. Атом в зовнiшньому полi . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 2.3.1. Дiамагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10§ 2.3.2. Парамагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 3. Магнетизм вiльних електронiв в металах . . . . . . . . . . . . . 15§ 3.1. Парамагнетизм вiльних електронiв . . . . . . . . . . . 15§ 3.2. Дiамагнетизм вiльних електронiв . . . . . . . . . . . . 17

§ 4. Види магнiтного впорядкування . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21§ 5. Обмiнна взаємодiя в атомах i молекулах . . . . . . . . . . . . . 25

§ 5.1. Основнi iдеї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25§ 5.2. Електронний обмiн в атомах . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 5.3. Електронний обмiн в молекулах . . . . . . . . . . . . . 28

§ 6. Обмiнний гамiльтонiан феромагнетика . . . . . . . . . . . . . . 31§ 6.1. Обмiнна взаємодiя спiнiв 𝑆 = 1

2 . . . . . . . . . . . . . 31§ 6.2. Негейзенбергiвський обмiн . . . . . . . . . . . . . . . . 33§ 6.3. Обмiнна енергiя феромагнетика . . . . . . . . . . . . . 34§ 6.4. Феноменологiчний опис обмiнної енергiї . . . . . . . . 36

§ 7. Магнiтна анiзотропiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36§ 7.1. Спiн–орбiтальна взаємодiя . . . . . . . . . . . . . . . . 36§ 7.2. Ефективних спiновий гамiльнонiан . . . . . . . . . . . 37§ 7.3. Енергiя магнiтної анiзотропiї . . . . . . . . . . . . . . . 38

§ 8. Магнiтодипольна взаємодiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40§ 8.1. Магнiтодипольний гамiльтонiан . . . . . . . . . . . . . 40§ 8.2. Магнiтостатична взаємодiя . . . . . . . . . . . . . . . . 41§ 8.3. Тензор коефiцiєнтiв розмагнiчування . . . . . . . . . . 44

§ 9. Макроскопiчна енергiя феромагнетика . . . . . . . . . . . . . . 45§ 9.1. Повна енергiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45§ 9.2. Застосовнiсть макроскопiчного пiдходу . . . . . . . . . 46

§ 10. Рiвняння Ландау–Лiфшиця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 10.1. Динамiка “жорсткого” магнiтного моменту . . . . . . . 47§ 10.2. Квантовомеханiчний пiдхiд до динамiки . . . . . . . . 48§ 10.3. Макроскопiчнi рiвняння руху . . . . . . . . . . . . . . 49§ 10.4. Врахування дисипацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§ 11. Властивостi рiвняння Ландау–Лiфшиця . . . . . . . . . . . . . 51§ 11.1. Рiвняння в кутових змiнних . . . . . . . . . . . . . . . 51§ 11.2. Лагранжева i гамiльтонова структура рiвнянь Ландау–

Лiфшиця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51§ 11.3. Iнтеграли руху рiвнянь Ландау–Лiфшиця . . . . . . . 53§ 11.4. Дисипативна функцiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§ 12. Рiвноважний стан феромагнетика . . . . . . . . . . . . . . . . . 54§ 13. Тензор високочастотної магнiтної сприйнятливостi . . . . . . . 55

§ 13.1. Лiнеаризованi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

4 Роздiл

§ 13.2. Фур’є аналiз лiнеаризованих рiвнянь . . . . . . . . . . 56§ 14. Закон дисперсiї спiнових хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

§ 14.1. Затухання спiнових хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . 59§ 14.2. Однорiдний феромагнiтний резонанс . . . . . . . . . . 60

§ 15. Магнiтнi домени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62§ 15.1. Причина появи доменiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62§ 15.2. Умови появи доменiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

§ 16. Доменнi стiнки в одноосьових магнетиках . . . . . . . . . . . . 64§ 16.1. Доменна стiнка Блоха в кристалi . . . . . . . . . . . . 64§ 16.2. Доменна стiнка Нееля в кристалi . . . . . . . . . . . . 65§ 16.3. Розмiр доменiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66§ 16.4. Доменнi стiнки в плiвках . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 17. Доменнi стiнки в двоосьових магнетиках . . . . . . . . . . . . . 68§ 17.1. Структура доменної стiнки . . . . . . . . . . . . . . . . 68§ 17.2. Динамiка доменної стiнки . . . . . . . . . . . . . . . . 70§ 17.3. Динамiка доменної стiнки в зовнiшньому полi . . . . . 70

Рекомендована лiтература 72

Змiст 5

Магнетизм — це одна з найстарших наукових дисциплiн, але в той жечас це дисциплiна, що знаходиться на передньому краю нанотехнiчної ери.Курс лекцiй має назву «Наномагнетизм». Курс складається умовно з двохчастин, приблизно рiвних мiж собою за годинами. Перша частина присвяче-на основам магнетизму. Друга — низьковимiрному магнетизму та проблемамнаномагнетизму.

§ 1. Стисла хронологiя магнетизму

Рис. 1: Si Nan — перший компас.

Першими магнiтчиками були, скорiшза все, стародавнi греки, якi звернули ува-гу на незвичайнi властивостi магнетиту —цей мiнерал, що в навiть в природному ви-глядi притягає залiзо, видобували в гре-цької провiнцiї Магнезiя. Представник гре-цької школи анiмiстов Фалес Мiлетськийвважав, що магнетит має душу. Атомiстине сильно вiд них вiдрiзнялися. Напри-клад, Дiоген Аполонiйський вважав, що взалiзi є волога, що живить сухiсть магнi-ту. Перший магнiтний прилад, компас, буввiдомий ще в Китаї в епоху династiї Хан. Це “Si Nan”, таз званий люблячийкамiнь, що складався з бронзової тарiлки та ложки з магнетиту, див. рис. 1.Китайцi використовували компас не для навiгацiї, а для геомантiї — технi-ки вибору мiсця для будiвництва та мистецтву гармонiйному розташуванняпредметiв, китайською «фен шуй». За стародавньою кiтайською фiлософiєюпозитивнi та негативнi магнiтнi поля предметiв слiд врiвноважити, що i єзадачею феншуя.

Батьком магнетизму в сучасному розумiннi є Уiльям Гiльберт — лейб-медiк англiйської королеви Єлiзавети та президент королiвського медичноготовариства. Фiзика для Гiльберта була хобi, медицина — професiя. В 1600роцi з’являється його шедевр, книга “De Magnete”, де Гiльберт формулюєiдеї земного магнетизму, започаткувавши геомагнетизм. Саме йому належитьiдея про магнiтнi полюси Землi. Однак причина магнетизму за Гiльбертом втому, що у Землi i магнетиту, як її шматочка, є душа. Iдеї про душi i магнi-тнi явища iснували i пiзнiше. Iдеї геомагнетизму Гiльберта продовжив РенеДекарт, який вiдмовився вiд поняття душi в магнетизмi та почав створюва-ти рацiональну науку. Магнетизм поширюється за допомогою гвинтикiв, щопроникають крiзь Землю через канали, якi розташованi на полюсах.

Iдеї душi в магнетизмi були поширенi до 19 сторiччя. Так, наприкiнцi18 сторiччя, Франц Антон Месмер висловлював iдеї, що живi iстоти та-кож створюють магнiтнi поля — «тваринний магнетизм» та пов’язаний з цимметод лiкування — месмеризацiя. З’явилася такий напрямок в спiритизмi —месмеризм.

Теорiю магнiтостатики розвиває Сiмеон–Денi Пуассон. Однак суттєвий

6 Роздiл 1. Стисла хронологiя магнетизму

прорив пов’язаний з дослiдами датського фiзика Ерстеда, якi вiн опублiку-вав в 1820 роцi. Ерстед встановлює, що провдник iз струмом притягує голку.Вiдразу пiсля нього власнi експерименти проводить Франсуа Араго — струмвпливає на ошурки. Араго був дуже цiкавою людиною, яку у вiцi 23 рокiвбуло обрано в Академiю «за смiливiсть во славу науки». Декiлька слiв процю смiливiсть. В 1806 роцi Бiо та Араго пiдрядилися провести геодезичнузйомку узбережних островiв Iспанiї. Це було в часи, коли Наполеон Бона-парт намагався пiдкорити Iспанiю, тому вчених прийняли за шпигунiв. Вонибезуспiшно намагалися втiкти з в’язницi i лише в 1809 роцi повернулися доПарижу. В 1820 роцi Бiо та Савар ставлять свої дослiди по знаходженнюзакону, як сила магнiтного поля залежить вiд вiдстанi (закон Бiо–Савара),пiзнiше Лаплас дав математичне формулуювання. В тому самому 1820 роцiАндре–Марi Ампер встановлює закон взаємодiї струмiв.

Пiк класичної електродинамiки пов’язаний з iменами двох великих фi-зикiв 19 сторiччя: експериментатора Майкла Фарадея та теоретика ДжеймсаКлерка Максвела. Фарадей в 1831 роцi встановлює закон електромагнiтноїiндукцiї, а в 1845 роцi — магнiто–оптичний ефект, або ефект Фарадея, якийполягає в змiнi поляризацiї свiтла при проходженнi крiзь магнiтний матерiал.

Пояснення експериментiв Фарадея, Ампера, Бiо, Савара та iн. було даноДжеймсом Максвеллом. В 1864 роцi Максвел публiкує статтю «Динамiчнатеорiя електромагнiтного поля», де вводить концепцiю електромагнiтного по-ля, струмiв зсуву та формулює свої знаменитi рiвняння. Роботи Максвелабули добре прийнятi протягом його життя. Наприклад, вiдомий вислiв Лю-двiга Больцмана про рiвняння Максвелла: «Чи був то Господь, що записавцi символи?»

Щодо зв’язку магнiтних та оптичних явищ, то аналог магнiто–оптичногоефекту Фарадея був вiдкритий в 1876 роцi шотландським фiзиком Джо-ном Керром, який вiдкрив магнiто-оптичний ефект при вiдбиттi (магнiто–оптичний ефект Керра).

Слiд сказати, що теорiя Максвелла була сприйнята не вiдразу. Напри-клад, Гельмгольц створив свою компромiсну теорiю та доручив своєму учню,Генрiху Герцю її експериметальну перевiрку. Як ми знаємо, дослiди Гер-ця вiдкрили радiохвилi та повнiстю пiдтвердили теорiю Максвелла. Цiкавозазначити, що Максвел записав свої рiвняння в кватернiонному виглядi, асучасну векторна форма з’явилася пiзнiше, в 1884 роцi завдяки роботам Хе-вiсайда, Герца та Гiббса.

Подальшi успiхи пов’азани з iменами голандського фiзика Гендрiка Ло-ренца, який в 1895 роцi вiдкрив силу, що дiє на заряджену частинку, щорухається в магнiтному полi. Наступного року його учень, Пiтер Зееманвiдкриває ефект розщеплення спектральних лiнiй в магнiтному полi. Пiслявiдкриття англiйським фiзиком Джозефом Томсоном електрона, Лоренц давкласичну трактовку ефекту Зеемана. Вiн сформулював самоузгоджену теорiюелектрики, магнетизму i свiтла.

Наприкiнцi 19 сторiччя, в 1895 роцi, Пьєр Кюрi вiдкриває температурнузалежнiсть магнiтної спийнятливостi парамагнетикiв, так званий закон Кюрi.Через 12 рокiв, Вейс висловлює гiпотезу молекулярних струмiв, за допомогоюякої встановлює закон Кюрi–Вейса. Вейс також вводить поняття магнiтних

Змiст 7

доменiв. На фото: Ейнштейн, Еренфест, Камерлiн–Оннем та Вейс. Систе-матичнi експериментальнi перевiрки привели до перших проблем — дуже ве-ликiй сталiй 𝑇𝑐. Пояснення Лоренцом ефекту Зеемана на основi класичнихрiвнянь руху електрона приводить до частотного зсуву Δ𝜔 = 𝑒𝐻/2𝑚𝑐. Якщоцей зсув порiвняти з розщепленням з експериментiв, то виходить вiдношення𝑒/𝑚, що вдвiчi вiдрiзняється вiд експериментiв з катодними променями.

Подальшi проблеми пов’язанi з загадкою аномального ефекту Зеемана,при якому спектральнi лiнiї розщеплюються магнiтному полi на велику кiль-кiсть компонент, а величина розщеплення кратна нормальному розщепленню.Пояснення було дано Альфредом Ланде.

В 1911 роцi Нiльс Бор в своїй дисертацiї формулює важливу теорему.Однак дисертацiї майже нiхто не читає i в 1919 роцi теорему було перевiд-крито Йоханной ван Льовен.

Theorem 1 (Bohr, 1911;van Leeuwen, 1919). Намагнiченiсть системи кла-сичних заряджених частинок в сталому зовнiшньому магнiтному полi встацiонарному станi при скiнченiй температурi завжди рiвна нулю.

Доведення. Канонiчнi рiвняння для система електронiв мають вигляд:

𝑞𝑖 =𝜕H

𝜕𝑝𝑖, ��𝑖 = −𝜕H

𝜕𝑞𝑖, (1.1)

а сам гамiльтонiан класичної частинки в полi

H =∑𝑖

(𝑝𝑖 − 𝑒��𝑖/𝑐)2

2𝑚+ 𝑒𝑈(𝑞1, . . . , 𝑞3𝑁). (1.2)

Магнiтний момент електрона має вигляд �� = 𝑒2𝑐 [�� × ��]. Отже сумарний магнi-

тний момент системи заряджених частинок є лiнiйною функцiєю швидкостi:

𝑀𝑧 =∑𝑖

𝑎𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞3𝑁)𝑞𝑖 =∑𝑖

𝑎𝑖(𝑞1, . . . , 𝑞3𝑁)𝜕H

𝜕𝑝𝑖.

Термодинамiчне середнє

⟨𝑀𝑧⟩ =∫𝑀𝑧𝑒

−H /𝑇∏

d𝑞𝑖∏

d𝑝𝑖∫𝑒−H /𝑇

∏d𝑞𝑖∏

d𝑝𝑖.

При цьому виникають множники, що мають вигляд

∞∫−∞

𝜕H

𝜕𝑝𝑖𝑒−H /𝑇d𝑝𝑖 ∼ (−𝑇 )𝑒−H /𝑇

∞

𝑝𝑖=−∞

= 0,

де враховано, що при 𝑝 → ∞ гамiльтонiан H ∼ 𝑝2. Звiдси випливає, що⟨𝑀𝑧⟩ = 0, намагнiченiсть вiдсутня.

8 Роздiл 1. Стисла хронологiя магнетизму

Таким чином, класична фiзика не може пояснити феромагнетизм, пара-магнетизм i дiамагнетизм.

З 1913 по 1925 роки панувала стара квантова теорiя. В 1913 роцi НiльсБор постулює, що кутовий момент електрона має бути квантованим та кажепро зв’язок орбiтального моменту з орбiтальними електронними струмами.Елегантнi експерименти Штерна i Герлаха в 1921 роцi довели квантуваннямеханiчного та магнiтного моментiв. В 1921 роцi Комптон висловив iдеюпро iснування у електрона власного механiчного момента однак причинивисловлював не вiрнi.

1925–1928 роки вiдоми як «золотий час квантової механiки». В сiчнi1925 роцi Вольфганг Паулi для пояснення спостережень по розщепленнюспектральних лiнiй лужних металiв в магнiтному полi (аномального ефектуЗеемана) висловлює принцип виключення: два електрони не можуть знахо-дитися в одному квантовому станi. В жовтнi 1925 року Гаудсмiт та Уленбекпоказали, що спiн електрона має бути }/2. В тому ж 1925 роцi Гейзенбергстворює матричну квантову механуку. В 1926 роцi Шредiнгер формулює своєрiвняння — основу нерелятивiстської квантової механiки. В 1926 Гейзенбергвводить загадковi обмiннi сили. В 1927 роцi з’являється спiввiдношення не-визначенностей Гейзенберга та спiнорнi матрицi Паулi. В 1928 роцi Дiраквводить релятивiстське квантово-механiчне рiвняння, де спiн з’яґвляєтьсяiстотним чином та закрiплює в фiзицi поняття обмiнної взаємодiї. Починає-ться сучасний перiод магнетизму.

Iдею спiнових хвиль висловлює в 30 роцi Фелiкс Блох. в 1932 роцi Не-ель висловлює iдею антиферомагнетикiв. В 1935 роцi Ландау i Лiфшицьрозробили теорiю доменних структур в феромагнетиках та сформулювалирiвняння динамiки намагнiченостi (рiвняння Ландау–Лiфшиця). Це рiвнян-ня — рiвняння прецесiї магнiтного моменту в ефектовному поля магнетика єосновним для сучасних дослiджень мiкро- та наномагнетизму. В 1939 роцiКронiг i Дж. Ван Флек розробили теорiю спiн-ґраткової релаксацiї. В 1946роцi Грiффiтс вiдкрив явище феромагнiтного резонансу. В тому ж 1946 Блохформулює рiвняння руху намагнiченостi ядра (рiвняння Блоха). Наприкiн-цi 40-х рокiв Стонер пропонує модель дослiдження однодоменних частинок(модель Стонера). В 50 роцi Неель вводить поняття ферiмагнетизм, ЧарлзКiттель побудував теорiю спiнових хвиль в феромагнетиках та теорiю ан-тиферомагнеiтного резонансу. Кондорський закладає основи теорiї мiкрома-гнетизму та теорiї однодоменних структурв. В 1954 роцi з’являється iдеянепрямого РККI обмiну мiж магнiтними йонами через колективiзовани еле-ктрони провiдностi. В 1956 роцi Ахiєзер, Барьяхтар, Пелетмiнський перед-бачають магнiто–акустичний резонанс. В 1957 роцi Дзялошинський будуєтеорiю слабкого феромагнетизму. В 1962 роцi виходить монографiя Брауна зназвою «мiкромагнетизм», поняття мiкромагнетизму стає стандартним. Браунформулює пiдхiд для аналiзу статичних мiкромагнiтних структур.

Досягнення останнiх десятирiч — це, перш за усе, вiдкриття в 1988 роцiФертом та Грюнбергом явища гiгантського магнiтного опору та вiдкриття в1996 роцi Слончевським i Берже явища спiнового крутильного моменту.

Змiст 9

§ 2. Магнiтнi властивостi атомiв

§ 2.1. Класифiкацiя речовин за магнiтними властивостями

Всi речовини мають певнi магнiтнi властивостi, тобто їх стан змiнює-ться пiд впливом магнiтного поля. Однiєю з важливих характеристик, щовизначає вплив зовнiшнього поля на речовину, є магнiтна сприйнятливiсть,що характеризує здатнiсть речовини намагнiчуватись пiд дiєю зовнiшньо-го магнiтного поля: 𝜒 = 𝜕𝑀

𝜕𝐻 . Для дiамагнетикiв 𝜒 < 0. Дiамагнетики — церечовини, атоми яких не мають власного магнiтного моменту; при внесен-нi в поле виникають струми, що намагаються зменшити це поле (правилоЛенца) — виникає наведенний момент, що спрямований проти поля. Навпа-ки, парамагнетики мають 𝜒 > 0. Це речовини, атоми яких мають власниймагнiтний момент; поле впорядковує магнiтнi моменти атомiв, орiєнтуючи заполем. Третiй клас речовин — це речовини з сильними магнiтними властиво-стями (феромагнетики, ферiмагнетики, антиферомагнетики, гелiкомагетикита iн.). Йдеться про магнiто-впорядкований стан речовини. Зокрема у феро-магнетика намагнiченiсть ненульова при вiдсутностi поля.

§ 2.2. Iзольований атом

Походження магнiтного моменту у вiльного атому пов’язано з наступни-ми обставинами. По-перше, це наявнiсть спiну, який мають всi електрони.При цьому, якщо кiлькiсть електронiв непарна, то атоми вiдповiдних еле-ментiв мають нескомпенсований спiновий момент. Якщо цей момент обумов-лений зовнiшнiм валентним електроном, то в сполуках вiн зазвичай компен-сується моментом електрону iншого атома. Якщо магнiтний момент атомаобумовлений внутрiшнiми оболонками, то вiн проявляється не лише у iзольо-ваного атома, а також у сполуках. Саме така ситуацiя має мiсце у елементiвгруп залiза (3d-елементи) i сполук рiдкоземельних елементiв (4f-елементи).

Другий фактор, це орбiтальний момент, що пов’язаний з рухом навколоядра. Такий рух також веде до парамагнетизму (електронний парамагнетизм).

Третiй фактор, це змiна орбiтального моменту пiд впливом зовнiшньогомагнiтного поля, що веде до дiамагнетизму.

Стандартний опис стацiонарних станiв атомiв полягає в використаннiстацiонарного рiвняння Шредiнгера. При цьому зазвичай використовуютьодноелектронне наближення, коли гамiльтонiан взаємодiї обраного електро-на з рештою та з ядром замiнюють на гамiльтонiан взаємодiї електроназ ефективним середнiм полем, що створюється iншими зарядами. Хвильо-вi функцiї характерiзуються трьома квантовими числами: головним 𝑛, ор-бiтальним 𝑙 та магнiтним 𝑚. При цьому хвильова функцiя має вигляд:|𝑛𝑙𝑚⟩ = 𝑅𝑛(𝑟)𝑌𝑙𝑚(𝜃𝜙); де радiальна частина залежить лише вiд головно-го квантового числа, орбiтальне та магнiтнi числа визначають кутову за-лежнiсть, що описується сферичними функцiями. Енергетичнi рiвнi рiвня𝐸𝑛𝑙 виродженнi за магнiтними числами з кратнiстю 2𝑙 + 1. Якщо атом має𝑁 електронiв, то його електронна конфiгурацiя визначається набором з 3𝑁одноелектронних квантових чисел. Одноелектроннi стани з однаковими 𝑛 i

10 Роздiл 2. Магнiтнi властивостi атомiв

𝑙 створюють електронну оболонку. Коли електрони займають всi оболонку,то кажуть, що вона замкнена. Головний фактор, що визначає взаємодiю еле-ктронiв всерединi оболонки, це обмiнна взаємодiя. З’являється залежнiстьенергiї електронiв вiд взаємної орiєнтацiї спiнiв.

Завдяки принципу Паулi електрони з однаковими спiнами не можутьзнаходитися в однiй точцi простору. Тому електрони з однаковими спiнамирознесенi просторово, тому їх кулонiвське вiдштовхування менше i енергiявзаємодiї менша, що енергетично вигiдно. Отже, приходимо до першого пра-вила Хунда, згiдно з яким в основному станi заповнення оболонки вiдбуває-ться таким чином, що повний спiн набуває максимального значення.

Якщо спiновий склад оболонки формується за рахунок кулонiвських сил,то орбiтальний склад — за рахунок релятивiстських взаємодiй (спiн-орбiталь-на взаємодiя):

𝑉𝑠𝑙 =∑𝑖

𝛼𝑖𝑙𝑖 · ��𝑖, 𝛼𝑖 = − }2

2𝑚2𝑐2𝑟𝑖

d𝑈(𝑟𝑖)

d𝑟𝑖∼(𝑍𝑒2

}𝑐

)2𝑚𝑒4

}2> 0

Приходимо до другого правила Хунда, згiдно з яким найменшу енергiю маєелектронна оболонка з найбiльшим можливим при даному 𝑆 значеннi пов-ного орбiтального моменту 𝐿. Згiдно до третього правила Хунда спiновий iорбiтальний моменти антипаралельнi, якщо оболонка заповнена менш нiж наполовину та паралельнi, якщо бiльш, нiж на половину. Причина в тому, щопри заповненнi оболонки бiльш нiж на половину, за принципом Паулi стан мi-нiмальної енергiї з необхiднiстю має спiн, антипаралельний до орбiтального.Слiд також звернути увагу, що для важких елементiв стала спiн-орбiтальноївзаємодiї може бути досить великою, тому казати окремо про спiновий таорбiтальний моменти не має сенсу. Квантовим числом для важких елементiвє повний момент.

§ 2.3. Атом в зовнiшньому полi

§ 2.3.1. Дiамагнетизм

Нагадаємо, як веде себе атом у зовнiшньому магнiтному полi. Нереляти-вiстський Гамiльтонiан (Гамiльтонiан Паулi) має вигляд

H =∑𝑖

[1

2𝑚

(𝑝+

|𝑒|𝑐��𝑖

)2

+ 𝑈(��𝑖) + 2𝜇𝐵 ��𝑖 · ��

]. (2.1)

Пiдсумовування ведеться по всiх електронах. Якщо поле змiнюється не сут-тєво на атомних вiдстанях, векторний потенцiал можна обрати у виглядi

��𝑖 =1

2

[��𝑖 × ��𝑖

], (2.2)

звiдки гамiльтонiан набуває вигляду

H = H0 − �� · �� +𝑒2

8𝑚𝑐2

∑𝑖

[�� × ��𝑖]2 (2.3)

Змiст 11

Тут з’являється оператор повного магнiтного моменту атома (його електрон-ної пiдсистеми)

�� = −𝜇𝐵(��+ 2��). (2.4)

Перший прояв впливу зовнiшнього поля — розщеплення енергетичних рiвнiватома (ефект Зеемана):

Δ𝐸 = 𝜇𝐵𝐻(��𝑧 + 2𝑆𝑧) = 𝜇𝐵𝑔𝑀𝐽𝐻 (2.5)

Тут з’являється гiромагнiтний фактор Ланде

𝑔 = 1 +𝐽(𝐽 + 1)− 𝐿(𝐿+ 1) + 𝑆(𝑆 + 1)

2𝐽(𝐽 + 1). (2.6)

Iнший прояв впливу поля — дiамагнетизм атома. Нагадаємо, що явище дi-амагнетизму полягає в тому, що електричнi заряди намагаються частковоекранувати внутрiшнiй об’єм тiла вiд дiї зовнiшнього магнiтного поля. Вкласичнiй електродинамiцi вiдоме правило Ленца, згiдно з яким при змi-нi магнiтного потоку, що проникає крiзь електричний контур, в останньомувиникають iндукованi електричнi струми такого напрямку, щоб виникаючепри цьому магнiтне поле зменшувало змiну магнiтного потоку. Отже, цеймеханiзм вiдповiдає дiамагнiтному внеску до магнiтного моменту.

В рiвняннi (2.3) дiамагнетизм зумовлений впливом останнього доданкупри 𝑆 = 𝐿 = 0. Дiйсно, змiна енергiї в полi

Δ𝐸 =𝑒2

8𝑚𝑐2

∑𝑖

[�� × ��𝑖]2 =𝑒2

12𝑚𝑐2𝐻2∑𝑖

��2𝑖 (2.7)

Бачимо, що внесок квадратичний за полем, тодi можна ввести магнiтнусприйнятливiсть

𝜒 = −𝑁𝜕2Δ𝐸

𝜕𝐻2(2.8)

та отримати вiдому формулу, що описує дiамагнетизм Ланжевена:

𝜒 = − 𝑒2𝑁

6𝑚𝑐2

∑𝑖

��2𝑖 . (2.9)

Наочний приклад дiамагнетизму речовин — магнiтна левiтацiя. На Рис. 2можна побачити левiтацiю жаби в магнiтному полi в 16 Тл з лабораторiїсильних магнiтних полiв в Нiймегенi, Нiдерланди. За вiдкриття левiтацiїжаб Андрiй Гейм та сер Майкл Беррi одержали в 2000 роцi IґНобелевськупремiю (за 10 рокiв до того, як той же самий Андрiй Гейм одержав вжеНобелевську премiю).

Електронний парамагнетизм iснує в таких системах:

∙ Вiльнi атоми та молекули, що мають непарну кiлькiсть електронiв. При-клади: вiльнi атоми натрiя, окис азоту 𝑁𝑂

∙ Вiльнi атоми та iони з незаповненою внутрiшньою оболонкою: перехiднiелементи, рiдкоземельнi iони. Приклади: 𝑀𝑛2+, 𝐺𝑑3+, 𝑈 4+.

12 Роздiл 2. Магнiтнi властивостi атомiв

Рис. 2: Магнiтна левiтацiя в сильному магнiтному полi.

∙ Деякi сполуки з парною кiлькiстю електронiв, включаючи молекулиоксигена.

∙ Деяки метали

§ 2.3.2. Парамагнетизм

Почнемо з випадку, який можна безпосередньо отримати з того ж самогогамiльтонiану Паулi (2.3).

Ми бачили, що у випадку, коли повний спiн i повний орбiтальний мо-мент вiдсутнi, магнiтний внесок до Гамiльтонiану Паулi визначається другимдоданком, якiй вiдповiдає за дiамагнетизм Ланжевена.

Почнемо з випадку, коли повний момент 𝐽 набуває ненульовi значення.В зовнiшньому полi виникає зееманове розщеплення. Якщо повний моментдорiвнює 𝐽 , то його проекцiя на напрямок поля може приймати 2𝐽 +1 рiзнихзначень. Поле зумовлює розщеплення енергетичних термiв, орiєнтуючи ма-гнiтнi моменти за напрямком поля. Цьому механiзму протидiють тепловi ефе-кти, намагаючись розорiєнтувати магнiтнi моменти. Цей механiзм зумовлюєпояву наведеного орiєнтовного моменту за напрямком поля. Вiн називаєтьсяорiєнтовним (ланжевеновським) парамагнетизмом.

Квантова теорiя ланжевенiвського парамагнетизму була побудована Хун-дом та Брiллюеном. Потрiбно обрахувати середнє значення 𝑧–компонентиповного моменту. Враховуючи просторове квантування, тобто те, що 𝐽𝑧 при-ймає дискретний набiр значень вiд [−𝐽 ; 𝐽 ], отримаємо

𝑀 = 𝑛⟨𝑚𝐽⟩ =𝑛

𝑍

𝐽∑𝐽𝑧=−𝐽

𝑔𝜇𝐵𝐽𝑧𝑒−𝛽Δ𝐸, 𝑍 =

𝐽∑𝐽𝑧=−𝐽

𝑒−𝛽Δ𝐸, 𝛽 =1

𝑘𝑇. (2.10)

Суми, що виникають при обрахуваннi середнiх значень, це геометричнi про-гресiї. Вони легко обчислюються. В результатi

𝑀 = 𝑛𝑔𝜇𝐵𝐽B𝐽 (𝛽𝑔𝜇𝐵𝐽𝐻) ,

B𝐽(𝑥) =2𝐽 + 1

𝐽cth

(2𝐽 + 1

𝐽𝑥

)− 1

2𝐽cth( 𝑥2𝐽

).

(2.11)

Змiст 13

Функцiя B𝐽(𝑥) має назву функцiї Брiллюена. А закон залежностi намагнiче-ностi вiд температури (2.11) — закон Кюрi—Брiллюена. При слабких полях,або великих температурах (𝜇𝐻 ≪ 𝑇 ) цей закон перетворюється на добревiдомий закон Кюрi

𝑀 = 𝐶𝐻

𝑇, стала Кюрi 𝐶 =

𝑛𝐽(𝐽 + 1)(𝑔𝜇𝐵)2

3. (2.12)

В протилежному граничному випадку (𝜇𝐻 ≫ 𝑇 ), функцiя Брiллюена на-буває свого граничного значення, B𝐽(±∞) → ±1. Цей випадок вiдповiдаєнасиченню

𝑀 = 𝑛𝑔𝜇𝐵𝐽, 𝜇𝐻 ≫ 𝑇. (2.13)

В принципi, це спiввiдношення може виконуватися в сильних полях, алезазвичай такi поля не досягаються. Iнша можливiсть пов’язана з низькимитемпературами, або великими значеннями моменту. Це вiдповiдає суперпа-рамагнетизму.

Класичному випадку вiдповiдає граничний перехiд 𝐽 → ∞. Тодi функцiяБрiллюена перетворюється на класичну функцiю Ланжевена i парамагнiтнанамагнiченiсть

𝑀 = 𝑛⟨𝑚𝑧⟩ = 𝑛𝜇𝐿(𝛽𝜇𝐻), 𝐿(𝑥) = cth 𝑥− 1

𝑥. (2.14)

При класичному розподiлi Ланжевена стала Кюрi

𝐶 =𝑛𝜇2

3. (2.15)

Згiдно з класичною теорiю Ланжевена, стала Кюрi визначається магнi-тним моментом (2.15). Якщо порiвняти з результатом Брiллюена (2.12), томожна визначити ефективний магнiтний момент

𝜇𝑒𝑓 = 𝑔𝜇𝐵√𝐽(𝐽 + 1). (2.16)

Рис. 4: Схеми енергетичних рiвнiвдеяких рiдкоземельних iонiв.

Експериментальна перевiрка виявила-ся не такою простою, тому що одноатом-них газiв не так й багато: iнертнi гази тапари металiв. Однак для iнертних газiв ма-гнiтний момент нульовий, тому залишаю-ться лише деякi лужнi метали. Експери-ментальна перевiрка для них пiдтвердилазакон Кюрi–Брiллюена.

Пiзнiше Дорфман i Хунд звернули ува-гу, що магнiтнi властивостi солей рiдкозе-мельних iонiв аналогiчнi iдеальному газумагнiтних моментiв. У iонiв рiдких земельйде заповнення 4𝑓–оболонки. Магнiтний момент цiєї оболонки екрануєтьсявiд впливу сусiднiх атомiв заповненими 5𝑠 i 5𝑝 оболонками, тому магнiтнiвластивостi подiбнi до властивостей iдеальних газiв моментiв. Розрахунок

14 Роздiл 2. Магнiтнi властивостi атомiв

0

2

4

6

8

10

La Ce Pr Nd Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tu Yb Lu

µ ef/µ

B

experimenttheory (Brillouin)theory (van Vleck)

Рис. 3: Ефективнi магнiтнi моменти iонiв рiдкоземельних елементiв.

Хунда, проведений за формулою Брiллюена, наведений на Рис. 3. Для бiль-шостi елементiв формула добре описує експериментальнi данi. Суттєвi вiд-мiнностi є для iонiв 𝑆𝑚3+ i 𝐸𝑢3+. Причину можна побачити з Рис. 4, наякому зображено схему термiв для деяких рiдкоземельних iонiв. При виве-деннi формули Брiллюена вважалося, що iони знаходяться в основному станi.Однак, така ситуацiя справджується лише при абсолютному нулi температур.Що буде, якщо врахувати внесок iнших рiвнiв, що близько розташованi?

Розглянемо випадок, коли в Гамiльтонiанi Паулi повний спiн та повнийорбiтальний момент ненульовi.

Таку задачу розглянув в 1927 роцi ван Флек. Завдяки магнiтному по-лю електронна оболонка атома може деформуватися, виникає iндукованиймагнiтний момент. Це випадок так званого поляризацiйного парамагнетизму.Вiн притаманний для атомiв, що не мають орiентовного (ланжевенiвсько-го) парамагнетизму. Розглянемо атом з нульовим повним моментом, 𝐽 = 0,та ненульовими спiновими та орбiтальними моментами,𝑆 = 𝐿 = 0. Доданок−�� · �� в гамiльтонiанi дає внесок в другому порядку теорiї збурень, якийперевищує внесок дiамагнетизму Ланжевена за рахунок малої вiдстанi мiженергетичними рiвнями. Виникає поправка теорiї збурень другого порядку,яка, як вiдомо, для основного стану завжди має негативний знак. Отже, вцьому випадку виникає парамагнетизм Ван Флека. При низьких температу-рах

𝜒 = +2𝑁∑𝑠

|⟨𝑠|𝑀𝑧|0⟩|2

𝐸𝑠 − 𝐸0, (2.17)

Квадрат модуля |⟨𝑠|𝑀𝑧|0⟩|2 недiагональних матричних елементiв оператора𝑀𝑧 визначає iмовiрнiсть квантових переходiв мiж основним станом |0⟩ та

Змiст 15

збудженим |𝑠⟩. Найбiльш сильно ванфлекiвський парамагнетизм виявляеє-ться в сполуках iонiв 𝐸𝑢3+ i 𝑆𝑚3+. Сполуки 𝐸𝑢3+ не мають при низькихтемпературах орiєнтовного парамагнетизму, тому що основний стан є вин-глетом та повний момент 𝐽 = 0. Ванфлекiвський парамагнетизм в сполуках,що мiстять 𝐸𝑢3+, особливо великий завдяки малiй вiдстанi мiж нижнiмирiвнями мультиплетiв, 𝐸𝑠 − 𝐸0 ∼ 300𝑐𝑚−1. Тому при низьких температурах(до 100 K) магнiтна сприйнятливiсть сполук 𝐸𝑢3+ порядку 10−2. Ванфлекiв-ськi парамагнетики використовуються для одержання наднизьких температурза методом адiабатичного розмагнiчування ядерної спiнової системи (методАльтшулера).

§ 3. Магнетизм вiльних електронiв в металах

§ 3.1. Парамагнетизм вiльних електронiв

Перейдемо до розгляду магнетизму металiв. Вiдомо, що класична тео-рiя не може дати задовiльну оцiнку парамагнiтної сприйнятливостi металiв.Як вiдомо, висока електропровiднiсть металiв пов’язана з тим, що електро-ни колективiзуються та можуть майже вiльно рухатися вiд атома до атома.В першому наближеннi властивостi електронiв провiдностi в металах можнауявити як властивостi iдеального газу невзаємодiючих електронiв в замкне-ному об’ємi. Можна було б очiкувати, що електрони провiдностi з магнiтнимимоментами 𝜇𝐵 вносили парамагнiтний внесок до намагнiченостi метала згiдноз законом Кюрi:

𝑀 =𝑁𝜇2𝐵𝐻

𝑇. (3.1)

Однак дослiди свiдчать, що намагнiченiсть бiльшостi неферомагнiтних мета-лiв майже не залежить вiд температури та чисельно має магнiтний моментна два порядку менший, нiж передбачається формулою (3.1). Це пов’язано,перш з тим, що електрони є фермiєвськими частинками. Згiдно з принципомПаулi на одному енергетичному рiвнi можуть знаходитись лише два електро-ни за умови, що вони мають протилежнi спiни. Результат Кюрi (3.1) означаєщо при включеннi поля всi 𝑁𝜇𝐵𝐻

𝑇 атомiв повернуться за полем. Однак длябiльшостi атомiв усi стани за полем вже зайнятi. Лише стани поблизу рiвняФермi є вiльними. Кiлькiсть таких станiв можна оцiнити як 𝑇/𝑇𝐹 . Тодi дляпарамагнiтної сприйнятливостi можна отримати наступну оцiнку:

𝜒Pauli ∼𝑛𝜇2

3𝑇· 𝑇𝑇𝐹

=𝑛𝜇2

3𝑇𝐹,

що дає правильний за порядком результат.Давайте тепер обчислимо парамагнiтну сприйнятливiсть коректнiше. Роз-

рахунки робимо для випадку низьких температур (𝑇 ≪ 𝐸𝐹 ). Згiдно iз стати-стикою Фермi-Дiрака, термодинамiчний потенцiал газу фермiонiв має вигляд

Ω = −𝑇∑𝑘

ln

[1 + exp

(𝐸𝐹 − 𝐸𝑘

𝑇

)], (3.2)

16 Роздiл 3. Магнетизм вiльних електронiв в металах

(a) Середнi значення чисел заповне-ння.

(b) Густина електронних станiв.

Рис. 5: Статистика Фермi–Дiрака.

де пiдсумовування ведеться за всiма квантовими станами. При цьому середнiзначення чисел заповнення має вигляд, див. рис. 5a.

��𝑘 =1

𝑒(𝐸𝑘−𝐸𝐹 )/𝑇 + 1. (3.3)

У випадку повнiстю виродженого Фермi–газу вважатимемо, що всi станиз iмпульсами меншими за 𝑝𝐹 є заповненими, або стани з енергiями, меншимиза 𝐸𝐹 є заповненими. Повна кiлькiсть електронiв з iмпульсом, меншим за 𝑝

є 𝑁 =𝑝∫0

𝑉 4𝜋𝑝2d𝑝

(2𝜋})3, звiдки густина електронних станiв

d𝑛

d𝐸=

4𝜋(2𝑚)3/2

(2𝜋})3√𝐸 (3.4)

при 𝐸 < 𝐸𝐹 та 0 при 𝐸 > 𝐸𝐹 . З умови𝐸𝐹∫0

d𝑛d𝐸d𝐸 = 1 можна знайти граничну

енергiю — енергiю Фермi

𝐸𝐹 =(2𝜋})2

8𝑚

(3𝑛

𝜋

)2/3

. (3.5)

Для нормальних металiв енергiя Фермi має порядок 104𝐾, тобто майже зав-жди можна вважати електронний газ виродженим.

Пiдрахуємо концентрацiю електронiв, спiни яких мають напрямок за по-

Змiст 17

Рис. 6: Густина електронних станiв при квантуваннi Ландау

лем та проти поля:

𝑛↑ =1

2

𝐸𝐹∫−𝜇𝐵𝐻

𝑛(𝐸)d𝑛

d𝐸

𝐸+𝜇𝐵𝐻

d𝐸 ≈ 1

2

𝐸𝐹∫0

𝑛(𝐸)d𝑛

d𝐸d𝐸 +

1

2𝜇𝐵𝐻

d𝑛

d𝐸

𝐸𝐹

, (3.6)

𝑛↓ =1

2

𝐸𝐹∫𝜇𝐵𝐻

𝑛(𝐸)d𝑛

d𝐸

𝐸−𝜇𝐵𝐻

d𝐸 ≈ 1

2

𝐸𝐹∫0

𝑛(𝐸)d𝑛

d𝐸d𝐸 − 1

2𝜇𝐵𝐻

d𝑛

d𝐸

𝐸𝐹

, (3.7)

де враховано наближеннi низьких температур для функцiї розподiлу. Тодiнамагнiченiсть є рiзницi 𝑛↑ − 𝑛↓, помноженiй на магнiтний момент:

𝑀 = 𝜇𝐵(𝑛↑ − 𝑛↓) ≈ 𝜇2𝐵d𝑛

d𝐸

𝐸𝐹

𝐻. (3.8)

Остаточно матиме вираз для парамагнiтної сприйнятливостi (Pauli, 1933)

𝜒Pauli ≈3𝑛𝜇2𝐵2𝐸𝐹

. (3.9)

При виведеннi цiєї формули ми вважали, що на просторовий розподiл еле-ктронiв магнiтне поле не впливає. Розберемо нижче вплив руху електронiвв полi.

§ 3.2. Дiамагнетизм вiльних електронiв

На перший погляд, будь-яка система зарядiв в магнiтному полi почи-нає рухатися завдяки силi Лоренца. Отже в системi виникають струми, щостворюють магнiтний момент, спрямований проти дiї зовнiшнього. Тобто маєвиникати дiамагнетизм. Однак, цi струми затухають та в рiвновазi магнiтниймомент будь-якої класичної системи є нульовим (теорема Бора–ван–Льовен).

Якщо система квантова, то орбiтальний рух стає квантованим i дiамагнi-тний внесок може не зникати. В 1934 роцi Ландау показав, що орбiтальний

18 Роздiл 3. Магнетизм вiльних електронiв в металах

рух електрона в магнiтному полi квантується (так зване квантування Лан-дау), що веде до дiамагнiтного внеску в магнiтну сприйнятливiсть. Кванту-вання Ландау — це квантування поперечного руху електрона в магнiтномуполi. Розв’язуючи рiвняння Паулi в стацiонарному однорiдному магнiтномуполi, Ландау показав, що звичайна циклотронна прецесiя електрона з часто-тою 𝜔𝑐 = |𝑒|𝐻

𝑚𝑐 стає квантованою. Довжина орбiти є цiле число напiвхвильде–Бройля. Бiльш точно,

𝐸𝑛 =𝑝2𝑧2𝑚

+ }𝜔𝑐

(𝑛+

1

2

), (3.10)

звiдки поперечний рух є квантованим. Iмпульси приймають лише дискретнiзначення,

𝑝2

2𝑚= 𝐸𝑛 −

𝑝2𝑧2𝑚

. (3.11)

Для обчислення статистичної суми потрiбно визначити кiлькiсть квантовихстанiв в певному iнтервалi iмпульсiв. Для цього в просторi iмпульсiв побуду-ємо цилiндричний шар, див. рис. 6. Густина станiв: d𝑁 = 2𝑉 2𝜋𝑝d𝑝d𝑝𝑧

(2𝜋})3 . Оберемотовщину шару d𝑝 таким чином, щоб вона вiдповiдала змiнi квантового числа𝑛 на одиницю: 𝑝Δ𝑝/𝑚 = 2𝜇𝐵𝐻Δ𝑛 = 2𝜇𝐵𝐻. Звiдки для густини станiв вiнтервалi iмпульсiв d𝑝𝑧

d𝑛

d𝑝𝑧=

2𝑒𝐻

(2𝜋})2𝑐. (3.12)

Тепер можемо перейти до разрахунку термодинамiчного потенцiалу Ω. Вираз(3.2) набуває вигляду

Ω = }𝜔𝑐

∞∑𝑛=0

𝑓

(𝐸𝐹 − }𝜔𝑐

(𝑛+

1

2

)),

𝑓(𝐸) = −𝑇𝑚𝑉2𝜋2}3

∞∫−∞

ln

[1 + exp

(𝐸

𝑇− 𝑝2𝑧

2𝑚𝑇

)]d𝑝𝑧.

(3.13)

Суму (3.13) можна обчислити за допомогою формули пiдсумовуванняЕйлера–Маклорена:

∞∑𝑛=0

𝐹 (𝑛+ 1/2) ≈∞∫0

𝐹 (𝑥)d𝑥+𝐹 ′(0)

24. (3.14)

Умова застосовностi цiєї формули — мала змiна функцiї 𝐹 (𝑥) на одному кроцi𝑛 → 𝑛 + 1. Для нашої функцiї це означає, що 𝜇𝐵𝐻 ≪ 𝑇 . Отже, розглянемоспочатку випадок слабких полiв. В результатi маємо

Ω =

∞∫0

𝑓(𝐸𝐹 − 2𝜇𝐵𝐻𝑥)d𝑥+2𝜇𝐵𝐻

24

𝜕𝑓(𝐸𝐹 − 2𝑛𝜇𝐵𝐻)

𝜕𝑛

𝑛=0

= Ω0(𝐸𝐹 )−𝜇2𝐵𝐻

2

6

𝜕2Ω0(𝐸𝐹 )

𝜕𝐸2

𝐸−𝐸𝐹

,

(3.15)

Змiст 19

де перший доданок Ω0(𝐸𝐹 ) не залежить вiд поля та не дає внеску в магнiтнусприйнятливiсть. Намагнiченiсть �� = −𝜕Ω/𝜕��, звiдки

𝜒 ≈ 𝜇2𝐵3𝑉

· 𝜕2Ω0(𝐸𝐹 )

𝜕𝐸2

𝐸−𝐸𝐹

⇒ 𝜒Landau = −1

3𝜒Pauli. (3.16)

Це спiввiдношення визначає дiамагнетизм Ландау (1934). В цiлком електрон-ний газ є парамагнiтним iз сприйнятливiстю 𝜒 = 2

3𝜒Pauli.Як змiнюються результати при сильних полях, коли 𝜇𝐵𝐻 & 𝑇 ? Вважати,

як i ранiше, що електронний газ залишається виродженим, тобто 𝑇, 𝜇𝐵𝐻 ≪𝐸𝐹 . В цьому випадку квантовi ефекти орбiтального руху та спiнови ефектине можливо вiдокремити.

Енергiя електронних рiвнiв визначаються сумою внескiв вiд енергiї Лан-дау та зееманiвського розщеплення:

𝐸 =𝑝2𝑧2𝑚

+ 𝜇𝐵𝐻(2𝑛+ 1)± 𝜇𝐵𝐻 ⇒ 𝑝2𝑧2𝑚

+ 2𝑛𝜇𝐵𝐻, (3.17)

де квантове число 𝑛 ∈ N. Тодi для термодинамiчного потенцiалу матиме

Ω = 2𝜇𝐵𝐻

[𝑓(𝐸𝐹 )

2+

∞∑𝑛=1

𝑓 (𝐸𝐹 − 2𝜇𝐵𝐻𝑛)

],

𝑓(𝐸) = −𝑇𝑚𝑉2𝜋2}3

∞∫−∞

ln

[1 + exp

(𝐸

𝑇− 𝑝2𝑧

2𝑚𝑇

)]d𝑝𝑧.

(3.18)

Для знаходження статистичної суми зручно скористатися формулою пiдсу-мовування Пуассона:

𝐹 (0)

2+

∞∑𝑛=1

𝐹 (𝑛) =

∞∫𝑛=0

𝐹 (𝑥)d𝑥+ 2Re∞∑𝑘=1

∞∫0

𝐹 (𝑥)𝑒2𝜋𝑖𝑘𝑥d𝑥. (3.19)

В результатi (3.18) набуває вигляду:

Ω =

√2(𝑚𝜇𝐵𝐻)3/2𝑇𝑉

𝜋2}3∞∑𝑘=1

cos(

𝜋𝐸𝐹

𝜇𝐵𝐻𝑘 − 𝜋

4

)𝑘3/2 sh (𝜋2𝑘𝑇/𝜇𝐵𝐻)

. (3.20)

Магнiтний момент знаходиться диференцiюванням цього виразу за полем,

𝑀 = −√2𝜇𝐵(𝑚)3/2𝐸𝐹𝑇𝑉

𝜋}3√𝐻

∞∑𝑘=1

sin(

𝜋𝐸𝐹

𝜇𝐵𝐻𝑘 − 𝜋

4

)√𝑘 sh (𝜋2𝑘𝑇/𝜇𝐵𝐻)

. (3.21)

20 Роздiл 3. Магнетизм вiльних електронiв в металах

Рис. 7: Ефект де–Гааза—ван-Альфена.

Цей аналiтичний вираз отримав в1939 роцi Ландау. Ми бачимо, що на-магнiченiсть в сильних полях осцилюєз досить великою частотою. Квазiпе-рiод цих осчиляцiй за змiнною 1/𝐻 єсталою величиною

Δ1

𝐻=

2𝜇𝐵𝐸𝐹

. (3.22)

Такi осциляцiї є аналогом осци-ляцiй провiдностi металiв (ефектуШубнiкова-де-Гааза). Явище осциляцiй намагнiченостi в металах має назвуефекту де–Гааза—ван-Альфена (de Haas-van Alphen, 1932). Цей ефект спо-стерiгається при низьких температурах в сильних полях. Слiд зазначити, щоцей ефект використовується для визначення форми Фермi–поверхнi в мета-лах. Типовий вигляд осциляцiй де–Гааза—ван-Альфена наведено на рис. 7.

Дiамагнетизм та парамагнетизм: пiдсумок

Рис. 8

Ми розглянули вище дiа– та па-рамагнетизм. Нагадаємо основнi ре-зультати. Почнемо з атомного магне-тизму. Характер заповнення енергети-чних рiвнiв в атомах такий, що спi-новий, орбiтальний та повний моментив основному станi вiдповiдають прави-лу Хунда. Ми знаємо. що при цьомуможуть реалiзуватися рiзнi комбiнацiї.Якщо йдеться про атом, що не має нiспiнового, нi орбiтального моменту, та-кий атом є дiамагнiтен завдяки лар-моровiй прецесiї спiнiв в полi. Магнi-тна сприйнятливiсть визначається фор-мулою Ланжевена. Якщо атом має не-нульовий повний момент, вiн стає па-рамагнiтним. Намагнiченiсть виражає-ться законом Кюрi–Брiллюена. В гра-ничному випадку високих температурматите звичайний закон Кюрi. де ма-гнiтна сприйнятливiсть обернено пропорцiйна температурi. Якщо повний мо-мент нульовий, але присутнi спiновий та орбiтальний моменти, то виникаєпарамагнетизм Ван Флека. Завдяки магнiтному полю електронна оболонкаатома може деформуватися, виникає iндукований магнiтний момент. Цi ре-зультати стосувалися атомарного магнетизму.

Ми також розглянули два типи магнетизму в металах: парамагнетизмПаулi та дiамагнетизм Ландау, що описують магнетизм вiльних електронiв,тобто електронiв провiдностi. Слiд зазначити, що цi два типи магнетизмувиявляються в металах, що мають повнiстю заповненi внутрiшнi оболонки,

Змiст 21

Тип магнетика Речовина κ Тип магнетика Речовина κ

Дiамагнетики

Вiсмут -16.6

Парамагнетики

FeO 720Ртуть -2.9 Уран 40Срiбло -2.6 Платiна 26Вуглець (алмаз) -2.1 Вольфрам 6.8Вуглець (графiт) -1.6 Алюмiнiй 2.2Свинець -1.8 Лiтiй 1.4Мiдь -1.0 Магнiй 1.2Вода -0.91 Натрiй 0.72

Кисень 0.19

Таблиця 1: Типовi значення магнiтної сприйнятливостi 𝜒 = κ × 10−5.

(a) Феромагнiтне впо-рядкування

(b) Антиферомагнi-тне впорядкування

(c) Ферiмагнiтне впо-рядкування

(d) Слабкий ферома-гнетизм

Рис. 9: Типи впорядкування

тобто в простих неперехiдних металах. До них вiдносяться всi метали I i IIгруп (Al, Ga, In, Ti), III групи (Sn), IV (Pb), V (As, Sb, Bi), VI (Te, Po). Вцих металах магнiтнi властивостi визначаються сприйнятлiвiстю, що пов’яза-на з електронами провiдностi та дiамагнiтною сприйнятливiстю iонiв. Типовiспiввiдношення для температурних кривих зазначених типiв магнетизму по-казано на рис. 8.

Однак, бiльшiсть металiв вiдноситься до перехiдних елементiв, їх магнi-тнi властивостi визначаються магнiтними моментами незоповнених внутрi-шнiх d- i f- оболонок. Їх властивостi ми надалi й будемо вивчати.

Наприкiнцi роздiлу наведемо типовi значення магнiтної сприйнятливостiдля деяких речовин.

§ 4. Види магнiтного впорядкування

Феромагнетики

Ми починаємо розглядати магнiтновпорядкованi речовини i, перш за усе,феромагнетики.

Сьогоднi вiдомi багато рiзних класiв речовин, що мають магнiтну стру-ктуру. До їхнього складу входять парамагнiтнi атоми з незкомпенсованимиспiновими магнiтними моментами електронiв. Серед таких речовин ферома-гнетики зустрiчаються найбiльш рiдко. Той факт, що феромагнетики булизнайдени першими, пояснюється яскравими заонiшнiми проявами їх внутрi-

22 Роздiл 4. Види магнiтного впорядкування

(a) NdFeB (b) Co.

Рис. 10: Доменна структура феромагнетикыв

шнього впорядкування. Зараз ми стисло опишемо рiзнi магнiтного впорядку-вання. За сучасними уявленнями феромагнетик — це речовина, що при темпе-ратурах нижчих за температуру Кюрi (𝑇𝐶) має властивiсть феромагнетизму,в якiй при температурах нижчих за температуру Кюрi (𝑇𝐶) середнi значен-ня всiх моментiв частинок орiєнтуються паралельно, утворюючи спонтаннунамагнiченiсть 𝑀𝑆, див. Рис. 9a.

Зазвичай, при вiдсутностi зовнiшнього магнiтного поля такий повнiстювпорядкований стан є термодинамiчно не вигiдним. Вiдбувається розбиття надомени — макроскопiчнi областi, всерединi яких магнiтнi моменти електронiвє паралельними, див. Рис. 10. При цьому сумарний момент зразка може бутимайже вiдсутнiм. Кажуть, що зразок не є намагнiченим та знаходиться вбагатодоменному станi. Для створення однорiдного стану потрiбно прикластидосить сильне зовнiшнє поле.

Серед хiмiчних елементiв феромагнiтнi властивостi мають перехiднi еле-менти — 3d-метали (Fe, Co, Ni), рiдкоземельнi елементи — 4f-метали (Gd, Tb,Dy, Ho, Er). Серед сполук феромагнiтнi властивостi мають досить багатосплавiв, див. табл. 2. В таблицi наведено також намагнiченiсть насичення(𝑀𝑆) та температуру Кюрi (𝑇𝐶)

Антиферомагнетики

Наступний клас магнiтовпорядкованих структур — антиферомагнетик —це речовина, що при температурах нижчих за температуру Нееля (𝑇𝑁) маєантиферомагнiтне впорядкування, коли магнiтнi моменти сусiднiх атомiв ан-типаралельнi мiж собою. Частiше за все ґратка АФМ складається з двохпiдґраток, магнiтнi моменти яких ��1 та ��2 повнiстю одна iншу, ��1 = −��2.В результатi сумарний магнiтний момент �� = ��1 + ��2 = 0. Таким умовамзадовiльняють, наприклад, гранецентрична ґратка i об’ємоцентрична ґратка,але не звичайна кубiчна. Приклади наведено на Рис. 9b.

В першому випадку зображено лише магнiтний елемент Mn антиферома-гнiтної сполуки MnO. Для цього приклада характерно, що магнiтний перiодґратки 𝑎𝑚 в двiчi бiльший за структурний перiод 𝑎.

Змiст 23

Тип Назва 𝑇𝐶(𝐾) 𝑀𝑆 (Gs)

3d-металиFe 1043 1735.2Co 1403 1445Ni 631 508.8

рiдкоземельнi метали

Gd 289 1980Tb 223 2713Dy 87 1991.8Ho 20 3054.6Er 19.6 1872.6

сполуки Fe3Al 289Ni3Mn 773FePd3 705MnPt3 350ZnCMn3 353TbN 43EuO 77Sc3ln 5–6

Таблиця 2: Приклади феромагнетикiв

(a) Структура MnO. (b) Структура MnF2.

Рис. 11: Антиферомагнiтне впорядкування

В другому прикладi зображено MnF2. Для цiєї тетрагональної ґраткихарактерно, що перiоди магнiтнi та структурнi спiвпадають.

Серед хiмiчних елементiв антиферомагнiтнi властивостi мають твердийоксиген (𝑇𝑁 = 24𝐾), хром (𝑇𝑁 = 310𝐾), а також низка рiдкоземельнихелементiви. Для останнiх характерна антиферомагнiтна поведiнка при 𝑇 ∈(𝑇𝐶 , 𝑇𝑁)ю При бiльш низьких температурах поведiнка феромагнiтна. Кiль-кiсть антиферомагнiтних сполук значено бiльша за феромагнiтних (бiля ти-сячi) Серед сполук антиферомагнiтнi властивостi мають досить багато спла-вiв, див. табл. 3. В таблицi наведено також намагнiченiсть насичення (𝑀𝑆)та температуру Кюрi (𝑇𝐶).

Ферiмагнетики

Наступний клас — ферiмагнетики, або незкомпенсованi антиферомагне-тики, для яких характерно антиферомагнiтне впорядкування нееквавален-тних пiдґраток, див. Рис. 9c. В результатi повна намагнiченiсть незкомпен-

24 Роздiл 4. Види магнiтного впорядкування

Тип Назва 𝑇𝐶(𝐾) 𝑇𝑁 (K)

рiдкоземельнi метали

Dy 87 179Ho 20 133Er 19.6 85Tm 22 60

сполуки MnSO4 12FeSO4 21CoSO4 12NiSO4 37MnCO3 32.5FeCO3 35MnO 120NiO 650MnF2 72CoF2 37.7

Таблиця 3: Приклади антиферомагнетикiв

Рис. 12: Модульованi магнiтнi структури

сована, �� = ��1 − ��2 = 0.

Антиферомагнетики зi слабким феромагнетизмом

Антиферомагнетики зi слабким феромагнетизмом — це речовини, для якиххарактерно антиферомагнiтне впорядкування зi слабкою неколiнеарнiстю пiд-ґраток. Сумарна намагнiченiсть |�� | ≪ |��1|, |��2|. Такi структури мають, на-приклад, наступнi сполуки: 𝛼-Fe2O3, NiF2, MnCO3, CoCO3.

Модульованi магнiтнi структури

Бiльша складний тип впорядкування виникає в модульованих магнiтнихструктурах, тобто структурах з перiодичним неоднорiдним розподiлом на-магнiченостi. До них вiдносяться, в першу чергу, гелiкомагнетики (гелiко-їдальнi, спiральнi структури). Деякi iз модульованих структур наведено наРис. 12. Приклади таких структур наведено в Табл. 4.

Слiд зазначити, що наведена вище класифiкацiя є певною мiрою умов-ною. Зокрема, немає чiткої межi мiж антиферомагнетиком зi слабким ферома-

Змiст 25

Позн. Структура Приклад𝑆𝑆 спiральна MnAu2, MnP, FeAs,

структура MnSi, CeB6, Lu, Tm𝐹𝑆 феромагнiтна Er, Ho,FeCr2O4,

спiраль CoCr2O4, MnCr2O4𝑆𝑆 циклоїдальна Cr2BeO4, TbMn2,структура BaCo2(XO4), X-As, P

𝐿𝑆𝑊 поздовжня Tm, Er, Tb3Ge, MnSe2спiнова хвиля ErPb3 , HoPb3, CeBi

𝑇𝑆𝑊 поперечна Cr, TbZn2, ErCu,спiнова хвиля TmCu, MnOOH

𝐹𝐴𝑁 вiялова МnР, MnAu2 (в полi)структура

Таблиця 4: Модульованi магнiтнi структури

гнетизмом та ферiмагнетиком, мiж гелiкомагнетиком, у якого перiод спiралiблизкий до структурного перiоду та багатопiдґратковим АФМ.

§ 5. Обмiнна взаємодiя в атомах i молекулах

§ 5.1. Основнi iдеї

Яки ми бачили, основна особливiсть феромагнетикiв (ФМ), це наявнiстьспонтанної намагнiченостi. При цьому їх магнiтний момент обумовленийспонтанною орiєнтацiєю спiнiв електронiв. Основнi властивостi феромагне-тика можна пояснити, якщо припустити, що iснує взаємодiя, що приводитьдо виграшу енергiї при паралельнiй орiєнтацiї спiнiв. За оцiнкою, енергiятакої взаємодiї 𝐸 ∼ 0.1еВ.

Перше, що приходить на думку, що ця взаємодiя — магнiтна взаємодiяатомних магнiтних моментiв. При цьому необхiднi поля 𝐻 ∼ 𝐸/𝜇𝐵 ∼ 107 Е(109 A/m). В 1927 роцi Дорфман провiв дослiди по визначенню внутрiшньогомагнiтного поля в ФМ (за вiдхиленням пучка електронiв при проходженнiкрiзь намагнiчену феромагнiтну фольгу). В результатi було встановлено, щовнутрiшнi магнiтнi поля в ФМ 𝐻 < 105Е (107 A/m), тобто на два порядкислабкiшi за необхiднi. Тобто магнiтну природу взаємодiї прийшося вiдки-нути. Залишається електрична природа. Енергiя електростатичної взаємодiїзовнiшнiх електронiв атома бiля 10 еВ. отже навiть невеликої її частинидостатньо для того, щоб досягти необхiдної мети.

Першим кроком в напрямку природи феромагнiтної взаємодiї можна вва-жати роботу Гейзенберга (1926), де вiн розв’язав квантовомеханiчну задачупро рух електронiв в атомi гелiя i вiдкрив явище електронного обмiну в ато-мах. В 1927 роцi Гайтлер та Лондон запропонувавши теорiю (теорiя Гайтлера-Лондона) про обмiн в молекулах, роз’язавшi квантовомеханiчну задачу прорух електронiв в молекулi водня. Iдеї про обмiн в атомах та молекулах вико-ристав Гейзенберг в 1927 роцi для пояснення явища феромагнетизму.

26 Роздiл 5. Обмiнна взаємодiя в атомах i молекулах

(a) Експериментальнi данi спектру. (b) Дiаграма термiв.

Рис. 13: Спектр атома гелiю.

§ 5.2. Електронний обмiн в атомах

Концепцiя обмiнної взаємодiї виникла, коли в 1926 роцi Гейзенберг по-яснив емiсiйнi спектри атомiв з двома незпареними електронами, такий якатоми He-I. На рис. 13a зображено лiнiї емiсiйного спектру He-I. Дiаграмутермiв зображено на рис. 13b. Атом гелiю мiстить два електрони, що рухаю-ться в полi двох протонiв. В основному станi обидва електрона знаходятьсяна 1s орбiталi, двохелектронний стан позначено 1s1s. Енергiя цього стану𝐸1𝑠1𝑠 = 24.59eV, це — енергiя iонiзацiї He-I, тобто необхiдно прикласти такуенергiю, щоб видалити один з 1s електронiв. Для того, щоб видалити другийелектрон, потрiбно затратити ще 54.42 eV — енергiю iонiзацiї He-II.

Емiсiйну енергiю He було вимiряно збудженням одного з 1s електронiвна вищу орбiталь 𝑛𝑙 i подальшою емiсiєю фотонiв при переходi до основногостану. Наприклад, яскрава лiнiя в спектрi He 21.22 eV вiдповiдає переходу1P1 → 1S0. Вимiри показали, що iснують двi серiї переходiв. Цi серiї булопов’язано з двома формами гелiю: парагелiй (сiнглетнi стани) та ортогелiй(триплетнi стани). Ця класифiкацiя пов’язана з тим, що оптичнi дипольнiпереходи забороняють змiну повного спiну, тобто переходи мiж цими дво-ма станами. На рис. 13b можна побачити зсув енергiї мiж синглетним татриплетним станами (показаний фiгурними дужками на рис.). Розщепленнятермiв та вiдсутнiсть триплету 1s1s були ключем до природи магнетизму.Нижче ми побачимо, що розщеплення зумовлено обмiнною взаємодiєю, авiдсутнiсть триплету 1s1s (13S1) разом iз iнформацiєю, що атом гелiю мi-стить два електрони, вiдразу приводить до твердження, що два електрони неможуть знаходитись в одному квантовому станi, що веде до принципу Паулi.

Для пояснення явища розщеплення термiв розглянемо гамiльтонiан ато-ма гелiю

H =𝑝212𝑚𝑒

+𝑝222𝑚𝑒

− 2𝑒2

|��1|− 2𝑒2

|��2|⏟ ⏞ H 0(𝑟1,𝑟2)

+𝑒2

|��2 − ��1|⏟ ⏞ H𝑒−𝑒(��1,��2)

. (5.1)

Змiст 27

Тут H 0(𝑟1, 𝑟2)— частина гамiльтонiану в наближеннi центрального поля,H𝑒−𝑒(��1, ��2)— двохелектронна частина гамiльтонiану.

Почнемо аналiз з основного стану, коли обидва електрони знаходяться на1s орбiталi. Це означає, що просторова частина хвильової функцiї є симетри-чною. Згядно з принципом Паулi спiнова частина має бути антисиметричною.Отже двохелектронна хвильова функцiя основного стану має вигляд

Ψgs = 𝛹sym(��1, ��2)𝜒as(��1, ��2) =1

2[𝜓100(��1)𝜓100(��2) + 𝜓100(��2)𝜓100(��1)] [𝛼𝛽 − 𝛽𝛼] ,

(5.2)де спiновi функцiї 𝜒(𝑠𝑧): 𝛼 ≡ (𝑠𝑧 = +1

2) та 𝛽 ≡ (𝑠𝑧 = −12). Хвильова функцiя

є розв’язком рiвняння Шредiнгера

H 0(𝑟1, 𝑟2)Ψgs = 𝐸0Ψgs. (5.3)

Поправка за рахунок двохелектронної взаємодiї H𝑒−𝑒 може бути знайденаза теорiєю збурень:

𝐸𝑒−𝑒 =⟨Ψgs|H𝑒−𝑒|Ψgs

⟩. (5.4)

Для подальшого точнi значення енергiй 𝐸0 та 𝐸1 не суттєвi. Зазначимо длядовiдки, що 𝐸0 = −4𝑒2/𝑎0 та 𝐸𝑒−𝑒 = +5𝑒2/4𝑎0 .

Перейдемо тепер безпосередньо до пояснення ефекту розщеплення. Згi-дно з експериментом, розщеплення складає Δ𝐸 = 0.79 eV для 1s2s станiв таΔ𝐸 = 0.25 eV для 1s2p, див. рис. 13b.

Вважатиме, що один з електронiв знаходиться на 1s орбiталi, позначившице як 𝑛𝑙𝑚 = 100, iнший — на орбiталi 𝑛𝑙𝑚. Хвильова функцiя в наближеннiцентрального поля буде мати симетричну або антисиметричну координатнучастину.

Почнемо з аналiзу синглетного стану, для якого 𝑆 = 0, 𝑆𝑧 = 0. Тодiспiнова хвильова функцiя має бути антисиметричною

𝜒as(��1, ��2) =1√2[𝛼𝛽 − 𝛽𝛼] . (5.5)

Повна двохелектронна хвильова функцiя має бути згiдно з принципом Паулiантисиметричною. Отже, для синглетного збудженого стану

ΨSex =

1√2[𝜓100(��1)𝜓𝑛𝑙𝑚(��2) + 𝜓100(��2)𝜓𝑛𝑙𝑚(��1)]𝜒as(��1, ��2). (5.6)

Триплетний стан характеризується повним спiном 𝑆 = 1, отже можуть бутитри проекцiї спiну 𝑆𝑧 = −1, 0, 1. Тодi спiнова хвильова функцiя

𝜒sym(��1, ��2) =

⎧⎪⎨⎪⎩𝛼𝛼1√2[𝛼𝛽 + 𝛽𝛼]

𝛽𝛽

. (5.7)

Повна двохелектронна хвильова функцiя триплетного збудженого стану

ΨTex =

1√2[𝜓100(��1)𝜓𝑛𝑙𝑚(��2)− 𝜓100(��2)𝜓𝑛𝑙𝑚(��1)]𝜒sym(��1, ��2). (5.8)

28 Роздiл 5. Обмiнна взаємодiя в атомах i молекулах

Розглянемо тепер ефект електрон–електронної взаємодiї,

H𝑒−𝑒(��1, ��2) =𝑒2

𝑟12, де 𝑟12 = |��2 − ��1|. Поправка 𝐸𝑒−𝑒 до енергiї збудженого

стану має вигляд𝐸S

𝑒−𝑒 =⟨ΨS

ex|H𝑒−𝑒|ΨSex

⟩= 𝐼 + 𝐽 (5.9)

для синглетного стану та

𝐸T𝑒−𝑒 =

⟨ΨT

ex|H𝑒−𝑒|ΨTex

⟩= 𝐼 − 𝐽 (5.10)

для триплетного стану. Енергiї 𝐼 та 𝐽 можна пiдрахувати з використаннямвластивостей ортогональностi координатних та хвильових функцiй. В резуль-татi:

𝐼 =

∫d��1

∫d��2 |𝜓100(��1)|2

𝑒2

𝑟12|𝜓𝑛𝑙𝑚(��2)|2 ,

𝐽 =

∫d��1

∫d��2𝜓100(��1)𝜓𝑛𝑙𝑚(��2)

𝑒2

𝑟12𝜓⋆100(��2)𝜓

⋆𝑛𝑙𝑚(��1).

(5.11)

Цi енергiї мають простий фiзичний змiст. Кулонiвський iнтеграл 𝐼 опи-сує електростатичне вiдштовхування мiж двома електронами з густинами|𝜓100(��1)|2 та |𝜓100(��2)|2. Другий iнтеграл 𝐽 має назву обмiнного iнтегралу, то-му що характеризує енергiю пов’язану iз змiною квантових станiв мiж двомаелектронами. В синглетному станi просторова функцiя симетрична, тому еле-ктрони розташованi ближче один до одного. В триплетному станi просторовафункцiя антисиметрична i електрони розташованi бiльш далеко. Тому ефектелектростатичного вiдштовхування бiльший для синглетного стану, тому вiнмає бiльшу енергiю. Обмiнна енергiя вiдповiдає за розщеплення:

Δ𝐸 = 𝐸S𝑒−𝑒 − 𝐸T

𝑒−𝑒 = 2𝐽. (5.12)

Отже, можемо зробити висновки, обмiнна енергiя є наслiдком кулонiв-ської взаємодiї мiж електронами та принципу Паулi. При цьому гамiльтонiанвзагалi не мiстить спiн. Як ми бачили, обмiнна енергiя Δ𝐸 = 2𝐽 вiдповiдаєсинглет–триплетному розщепленню. Для внутрiшньоатомного обмiну вигi-дним є значення 𝐽 > 0, при цьому спiни є паралельними. Звiдси матимеперше правило Хунда: найменше значення енергiї має електронна конфiгура-цiя з максимальним спiном. Слiд зазначити, що внутрiшньоатомна обмiннавзаємодiя не є малою: за порядком величина вона спiвпадає з кулоновоюенергiєю електронiв (∼ 1eV), тому спiни валентних електронiв атома жорс-тко зв’язанi в мiжатомнiй взаємодiї i ведуть себе як один спiн 𝑆 > 1

2.

§ 5.3. Електронний обмiн в молекулах

Наступним кроком по вивченню електронного обмiну пiсля роботи Гей-зенберга 1926 року були дослiдження Гайтлера i Лондона. В 1927 роцi во-ни опублiкували теорiю взаємодiї в молекулi водню. З одного боку, теорiяГайтлера–Лондона була дуже важливою для хiмiї. Дослiджений механiзммолекулярного зв’язку можна вважати основою квантової хiмiї. З iншого бо-ку, теорiя була дуже важливою для фiзики твердого тiла, розрахунки булипокладенi в основу обмiнного гейзенбергiвського гамiльтонiану.

Змiст 29

(a) Симетрична функцiя (b) Антисиметрична функцiя

Рис. 15: Координатна хвильова функцiя електронiв в молекулi водню.

Рис. 14: Позначення коор-динат в молекулi водню.

Розглянемо електронний гамiльтонiан системиз двох електронiв та двох протонiв, що складаютьмолекулу водню, див. рис. 14:

H =𝑝212𝑚𝑒

− 𝑒2

|��1 − ��1|⏟ ⏞ H 1

atom

+𝑝222𝑚𝑒

− 𝑒2

|��2 − ��2|⏟ ⏞ H 2

atom

+𝑒2

|��1 − ��2|+

𝑒2

|��1 − ��2|− 𝑒2

|��1 − ��2|− 𝑒2

|��2 − ��1|⏟ ⏞ H ′

.

(5.13)

Рiзнi доданки в (5.13) згрупованi таким чином, щоH 𝑖

atom — гамiльтонiани для двох незалежних атомiвводню, H ′ — результат взаємодiї атомiв. При цьо-му ядра вважатиме нерухомими. Задача полягаєв знаходженнi залежностi енергiї молекули воднювiд вiдстанi мiж ядрами, 𝐸(𝑅), де 𝑅 ≡ |��1 − ��2|?

Безпосередньо розв’язати двохелектронну за-дачу не вдається, тому потрiбно зробити певнi спрощення. Вважатиме, щовзаємодiя мiж атомами є слабкою, тому в нульовому наближеннi можна обра-ти випадок нескiнченно вiддалених атомiв, 𝑅 → ∞. В цьому наближеннi ма-тиме двi одноелектроннi задачi з гамiльтонiанами H 𝑖

atom, що мають розв’язки

H 1atom𝜑1(��1) = 𝐸0𝜑1(��1), H 2

atom𝜑2(��2) = 𝐸0𝜑2(��2). (5.14)

Якщо розглядати сукупнiсть атомiв як одну систему, то хвильова функцiябуде добутком знайдених хвильових функцiй, а повна енергiя — сумою енер-гiй, тобто 𝐸 = 2𝐸0.

Нехай тепер атоми починають взаємодiяти. Тодi перший електрон мо-же опинитися в полi другого ядра i навпаки. Хвильова функцiя буде теперлiнiйною комбiнацiєю

𝜑(��1, ��2) = 𝐶1𝜑1(��1)𝜑2(��2) + 𝐶2𝜑1(��2)𝜑2(��1). (5.15)

Повна хвильова функцiя, з урахуванням просторових та спiнових координат,має бути антисиметричною вiдносно одночаснiй перестановцi просторових таспiнових змiнних. Крiм того, повна функцiя є добутком просторової функцiї

30 Роздiл 5. Обмiнна взаємодiя в атомах i молекулах

на спiнову, тому що гамiльтонiан явно не залежить вiд спiну. Отже, симе-тричнiй просторовiй функцiї вiдповiдає антисиметрична спiнова i навпаки.

Спiнова функцiя 𝜒 буде антисиметричною, якщо повний спiн дорiвнюєнулевi (синглетний стан). В цьому випадку 𝑆 = 0, 𝑆𝑧 = 0 та

ΨS = 𝜓sym(��1, ��2)𝜒as(��1, ��2), 𝜓sym(��1, ��2) =1√

1 + 𝛾2[𝜑1(��1)𝜑2(��2) + 𝜑1(��2)𝜑2(��1)] .

(5.16)Для триплетного стану повний спiн дорiвнює одиницi, 𝑆 = 1, 𝑆𝑧 = −1, 0, 1 та

ΨT = 𝜓as(��1, ��2)𝜒sym(��1, ��2), 𝜓as(��1, ��2) =1√

1− 𝛾2[𝜑1(��1)𝜑2(��2)− 𝜑1(��2)𝜑2(��1)] .

(5.17)Тут 𝛾 = ⟨𝜑1(��)|𝜑2(��)⟩— iнтеграл перекриття.

Поправки до енергiї основного стану двох незалежних атомiв 2𝐸0 зарахунок взаємодiї H ′ можна знайти за теорiєю збурень:

𝐸S =⟨𝜓sym|H ′|𝜓sym

⟩=𝐶(𝑅) + 𝐴(𝑅)√

1 + 𝛾2,

𝐸T = ⟨𝜓as|H ′|𝜓as⟩ =𝐶(𝑅)− 𝐴(𝑅)√

1− 𝛾2.

(5.18)

Тут введено кулонiвський iнтеграл

𝐶(𝑅) =

∫d��1

∫d��2𝜑

21(��1)H

′𝜑22(��2) (5.19)

та обмiнний iнтеграл

𝐴(𝑅) =

∫d��1

∫d��2𝜑1(��1)𝜑2(��2)H

′𝜑1(��2)𝜑2(��1). (5.20)

Кулонiвський iнтеграл 𝐶(𝑅) визначає енергiю кулонiвської взаємодiї обохатомiв в припущеннi, що кожний з електронiв жорстко зв’язаний iз своїмядром. Обмiнний iнтеграл 𝐴(𝑅) визначає кулонiвську взаємодiю першогоелектрона iз другим ядром та навпаки.

Слiд сказати, що обмiнна взаємодiя є короткодiючою, тому що обмiннийiнтеграл визначається перекриттям хвильових функцiй, тому швидко спадаєпри вiддаленнi атомiв, див. рис. 15. На рис. 16 наведено залежностi енергiїмолекул водню вiд вiдстанi мiж ядрами, яку записано в одиницях боровськихрадiусiв. На рис. також наведено кулонiвську енергiю. Бачимо, що мiнiмуменергiї iснує лише для синглетного стану, коли спiни електронiв окремихатомiв є антипаралельними. Цей мiнiмум вiдповiдає вiдстанi 𝑅min ∼ 1.6𝑎0.Мiнiмум енергiї вiдповiдає рiвноважному станi i характеризує енергiю дисо-цiацiї водню. Так як триплет є нестабiльним, то рiзниця енергiй

Δ𝐸 = 𝐸S − 𝐸T = 𝐽, (5.21)

тобто обмiнна стала, характеризує енергiю дисоцiацiї молекули H2. Ця енер-гiя складає 4.476 eV. На рис. також для порiвняння також наведено експери-ментально знайдену залежнiсть.

Змiст 31

Рис. 16: Енергiя взаємодiї двох атомiв вмолекулi водню.

Для того, щоб математично описа-ти обмiнну взаємодiю, введемо до роз-гляду оператор

H = −𝐽(𝑅)��1��2 + 𝐸(𝑅), (5.22)

де ��1, ��2 — оператори спiнiв електронiв,𝐽(𝑅) та 𝐸(𝑅)— деякi функцiї вiдста-нi. якi ми пiдберемо таким чином, щобвласнi значення оператора H . який дiєв просторi спiнових змiнних, спiвпада-ли iз значеннями 𝐸S i 𝐸S. Скористав-шись тотожнiстю ��1��2 = 1

2(��1 + ��2)2 −

12(��

21 + ��22), знаходимо середнi значеннi

добутку спiнiв:

⟨𝑆|��1��2|𝑆⟩ =1

2𝑆(𝑆 + 1)− 3

4. (5.23)

Отже, маємо середнi значеннi в синглетному, ⟨𝑆 = 0|��1��2|𝑆 = 0⟩ = −34 та

триплетному станах, ⟨𝑆 = 1|��1��2|𝑆 = 1⟩ = +14. Тому власнi значеннi гамiльто-

нiану будуть спiвпадати iз 𝐸S i 𝐸S, якщо покласти:

⟨𝑆 = 0|H |𝑆 = 0⟩ = 𝐸S, ⟨𝑆 = 1|H |𝑆 = 1⟩ = 𝐸T,

𝐽(𝑅) = 𝐸S − 𝐸T, 𝐸(𝑅) =3

4𝐸T +

1

4𝐸S.

Велисина 𝐸(𝑅) визначає середню енергiю атомiв, а 𝐽(𝑅)— обмiнну енергiю.Надалi розглядатиме лише залежну вiд спiнiв обмiнну частину енергiї:

H ex = −𝐽(𝑅)��1��2. (5.24)

Цей гамiльтонiан називають обмiнним.Ми бачимо, що як при внутрiшньоатомному обмiнi, так i при внутрi-

шньомолекулярному обмiнi обмiнна взаємодiя є наслiдком кулонiвської взає-модiї мiж електронами та принципу Паулi. Характерно, що обмiнна взаємодiямiж атомами швидко спадає при вiддаленнi атомiв. Якщо для атома гелiюобмiннiй iнтеграл 𝐽 > 0, що вiдповiдало паралельному, тобто феромагнiтно-му розташуванню спiнiв, то для молекули водню обмiнний iнтеграл 𝐽 < 0,що вiдповiдало антипаралельному, тобто антиферомагнiтному розташуваннюспiнiв.

§ 6. Обмiнний гамiльтонiан феромагнетика

§ 6.1. Обмiнна взаємодiя спiнiв 𝑆 = 12

Вище ми побудували вираз для обмiнної енергiї, виходячи з конкретнихприкладiв: атом гелiю, чи молекула водню. Вираз для обмiнного гамiльтонi-ану можна побудувати також з бiльш загальних мiркувань, а саме з вимогиiнварiантностi гамiльтонiану взаємодiї вiдносно просторових обертань.

32 Роздiл 6. Обмiнний гамiльтонiан феромагнетика

Розглянемо питання про найбiльш загальний вигляд гамiльтонiану двохчастинок, що мають спiни ��1 i ��2, що розташованi на вiдстанi ��. З цих ве-личин можна побудувати три iнварiанти вiдносно просторових обертань: 𝑟2,��1��2, (��1��)(��2��). Замiсть останнього зручнiше використовувати 𝑠12 = 3(��1��)(��2��)−��1��2, де �� = ��/𝑟. Тодi гамiльтонiан можна шукати як деяку функцiю iнварi-антiв:

H = 𝑓 (𝑟, ��1��2, 𝑠12) . (6.1)

Цей вираз можна спростити у випадку 𝑠 = 12. Мiж компонентами спiна 𝑠 = 1

2iснують спiввiдношення

𝑠𝛼𝑠𝛽 =𝑖

2𝜀𝛼𝛽𝛾𝑠𝛾 +

1

4𝛿𝛼𝛽, (6.2)

звiдки можна знайти нелiнiйнi комбiнацiї:

(��1 · ��2)2 =3

16− (��1 · ��2)

2,

𝑠212 =3

8+

(��1 · ��2)2

− 𝑠122,

𝑠12(��1 · ��2) = (��1 · ��2)𝑠12 =𝑠124.

(6.3)

Як бачимо, будь-яка степiнь (��1��2), 𝑠12 є лiнiйною функцiєю цих матриць.Тому, якщо тепер розкласти (6.1) в ряд Тейлора за ступенями спiнiв, отри-маємо лiнiйну функцiю:

H = 𝑈1(𝑟) + 𝑈2(𝑟)��1��2 + 𝑈3(𝑟)𝑠12, (6.4)

де 𝑈1(𝑟), 𝑈2(𝑟), 𝑈3(𝑟)— функцiї вiдстанi 𝑟. Перший доданок вiдповiдає засередню енергiю взаємодiї атомiв. Другий — за обмiнну взаємодiю. Третiй —енергiю магнiтної взаємодiї магнiтних моментiв електронiв атомiв. При цьо-му, зазвичай цей доданок мiстить додатковий множник (𝑣/𝑐)2.

Перейдемо тепер до побудови гамiльтонiану феромагнетика. Вважатиме,що кристал формується аналогiчно молекулi водню, тобто з окремих атомiв,кожен з яких має по одному електрону. Однак мiкроскопiчний кристалевийгамiльтонiан є надто складним для того, щоб його безпосередньо використо-вувати.

Вище ми бачили, якщо мова йде про властивостi двох атомiв, що вiдрi-зняються лише значенням сумарного спiну, то гамiльтонiан є еквiвалентнимдо обмiнного. Основне припущення: гамiльтонiан є сумою обмiнних гамiль-тонiанiв рiзних пар атомiв. Для феромагнетика зi спiном 𝑠 = 1

2 обмiннийгейзенбергiвський гамiльтонiан має вигляд:

H ex = −1

2

∑𝑖 =𝑗

𝐽(��𝑖𝑗)��𝑖��𝑗, (6.5)

де ��𝑖 i ��𝑗 — спiни атомiв в вузлах 𝑖 та 𝑗. Обмiнний iнтеграл ��𝑖𝑗 — функцiярадiус-вектора ��𝑖𝑗. Пiдсумовування йдеться за всiма атомами ґратки.

Змiст 33

Слiд зазначити, що обмiнний iнтеграл визначається ступiнню перекриттяхвильових функцiй,

𝐽(��𝑖𝑗) ∼

⟨𝜑𝑖(��1)𝜑𝑗(��2)

𝑒2

|��1 − ��2|+

𝑒2

|��1 − ��2|−

− 𝑒2

|��1 − ��2|− 𝑒2

|��2 − ��1|

𝜑𝑖(��2)𝜑𝑗(��1)

⟩,

(6.6)

швидко спадає при вiддаленнi атомiв. Тому практично величина 𝐽(��𝑖𝑗) вiд-мiнна вiд нуля лише тода, коли атоми є сусiднiми. При цьому

𝐽(��𝑖𝑗) ∼ 𝜉𝑒2

𝑎, (6.7)

де 𝑎— стала ґратки, параметр 𝜉 ∼ 0.1 визначається ступiнню перекриттяхвильових функцiй.

Важливою властивiстю гейзенбергiвського обмiнного гамiльтонiану (6.5)є те, що вiн комутує з кожною з проекцiй сумарного спiну феромагнетика

�� =∑𝑖

��𝑖. (6.8)

Це можна показати, якщо скористатися комутацiйними спiввiдношеннямидля операторiв спiну: [

𝑠𝛼𝑖 , 𝑠𝛽𝑗

]= 𝑖𝜀𝛼𝛽𝛾𝛿𝑖𝑗𝑠

𝛾𝑖 . (6.9)

Звiдси прямує, що[H , ��

]= 0 та

[H , 𝑆2

]= 0. Це означає, квадрат повного

спiну та його проекцiя на будь-яку вiсь є iнтегралом руху, тобто обмiннавзаємодiя не може змiнити ��.

Окрiм того, слiд зазначити, що гейзенбергiвський гамiльтонiан залежитьлише вiд вiдносного розташування спiнiв, тобто не змiнюється, якщо одно-часно повернути всi спiни на певний кут.

§ 6.2. Негейзенбергiвський обмiн

Розглянемо обмiнну взаємодiю двох атомiв зi спiнами 𝑆𝑗 > 1/2 та 𝑆𝑗 >1/2, що знаходяться в основному станi. Для визначеностi вважатимемо, що𝑆𝑖 > 𝑆𝑗. Обмiнна взаємодiя такої системи залежить вiд значення повногоспiна, який може приймати 2𝑆𝑗 + 1 значень: [𝑆𝑖 − 𝑆𝑗;𝑆𝑖 + 𝑆𝑗]. Кожному спiнувiдповiдає своє значення енергiї. Отже, спiновий гамiльтонiан набуває 2𝑆𝑗+1значень:

H = 𝐸 −∑𝑖 =𝑗

𝐽(1)𝑖𝑗 ��𝑖��𝑗 −

∑��=𝑗

𝐽(2)𝑖𝑗

(��𝑖��𝑗

)2− · · · −

∑𝑖 =𝑗

𝐽(2𝑆𝑗)𝑖𝑗

(��𝑖��𝑗

)2𝑆𝑗

. (6.10)

Гамiльтоныан в загальному випадку не є гейзенбергiвським. Однак при вра-хуваннi лише обмiну однiєї пари електронiв мiж атомами всi 𝐽𝑘>1

𝑖𝑗 = 0, тому

34 Роздiл 6. Обмiнний гамiльтонiан феромагнетика

гейзенбергiвський обмiн також працює для багатоелектронних атомiв. Лишев специфiчних випадках слiд враховувати наступний доданок 𝐽

(2)𝑖𝑗 — бiква-

дратичний обмiн.Слiд сказати, що в магнiтних дiелектриках парамагнiтнi iони часто бу-

вають вiдокремленими дiамагнiтними iонами, тому прямий обмiн вiдсутнiй.При цьому може виникати так званий непрямий обмiн. Теорiю суперобмiнузапропонували Крамерс i Андерсен: вiдбувається вiртуальне збудження дiа-магнiтного iона, в результатi його електрон перескакує на парамагнiтний iон,що впливає на магнiтний стан системи.

Окрiм суперобмiну iснує ще один тип непрямого обмiну. Це та званийРККI–обмiн (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida), в якому магнiтнi iони взаємо-дiють через колективiзованi iони провiдностi.

§ 6.3. Обмiнна енергiя феромагнетика

Магнiтний момент феромагнетика має, зазвичай, спiнову природу. Томуможна визначити оператор густини магнiтного моменту в довiльнiй точцi ��:

��(��) = 2𝜇𝐵∑𝑖

��𝑖𝛿(�� − ��𝑖

), (6.11)

де ��𝑖 — радiус–вектор, що визначає положення i-го вузла кристалевої ґратки.Гейзеньбергiвський гамiльтонiан (6.5) можна виразити в термiнах операторумагнiтного моменту

H ex = − 1

2(2𝜇𝐵)2

∫d��

∫d��′𝐽(�� − ��′)��(��)��(��′). (6.12)

Використовуючи означення оператора магнiтного моменту (6.11) та ко-мутацiйнi спiввiдношення (6.9) легко побачити, що оператори проекцiй ма-гнiтного моменту задовiльняють спiввiдношення[

𝑀𝛼(��),𝑀𝛽(��′)]= −2𝑖𝜇𝐵𝜀

𝛼𝛽𝛾𝑀𝛾(��)𝛿 (�� − ��′) . (6.13)

Якщо ввести оператор повного магнiтного моменту

M =

∫d����(��), (6.14)

то його проекцiї будуть задовольняти наступнi спiввiдношення:[M𝛼,M𝛽

]= −2𝑖𝜇𝐵𝜀

𝛼𝛽𝛾M𝛾. (6.15)

Гамiльтонiану (6.12) вiдповiдає обмiнна енергiя

E ex = − 1

2(2𝜇𝐵)2

∫d��

∫d��′𝐽(�� − ��′)��(��, 𝑡)��(��′, 𝑡). (6.16)

Змiст 35

Тут ��(��, 𝑡)— намагнiченiсть феромагнетика, яку введемо як усереднену зафiзично малим об’ємом квантовомеханiчне середнє вiд оператора (6.11):

��(��, 𝑡) =⟨��(��)

⟩. (6.17)

Залежнiсть вiд часу з’являється тому, що квантовомеханiчний стан може небути стацiонарним. Окрiм того, може з’явитися залежнiсть вiд температури,наприклад завдяки руху ядер та перерозподiлу атомних спiнiв за рiвнями. Венергiї (6.16) обмiнний iнтеграл 𝐽(��)— локалiзована функцiя координат, якаможе також залежати вiд температури.

Завдяки локалiзованому розподiлу 𝐽(�� − ��′) можемо розкласти функцiю��(��′, 𝑡) в ряд за �� − ��′:

��(��′, 𝑡) ≈ ��(��, 𝑡) + (𝑥′𝜇 − 𝑥𝜇)𝜕��(��, 𝑡)

𝜕𝑥𝜇+

1

2(𝑥′𝜇 − 𝑥𝜇)(𝑥

′𝜈 − 𝑥𝜈)

𝜕2��(��, 𝑡)

𝜕𝑥𝜇𝜕𝑥𝜈.

Пiдставляючи цей розклад до (6.16) та вважаючи, що кожний вузол ґраткиє центром симетрiї, матиме:

E ex =

∫𝑉

𝑊 exd��,

𝑊 ex =1

2𝛼𝜇𝜈

𝜕��

𝜕𝑥𝜇

𝜕��

𝜕𝑥𝜈− 1

2���� 2.

(6.18)

Тут 𝑊 ex — густина обмiнної енергiї. Перший доданок описує неоднорiднийобмiн, другий — однорiдний. Тензор сталих неоднорiдного обмiну

𝛼𝜇𝜈 =1

2(2𝜇𝐵)2

∫d��𝐽(��)𝑥𝜇𝑥𝜈, (6.19)

стала однорiдного обмiну �� = 12(2𝜇𝐵)2

∫d��𝐽(��).

Зробимо оцiнки. Тензор 𝛼𝑖𝑗, згiдно з (6.19) має порядок: 𝛼𝜇𝜈 ∼ 𝐽(2𝜇𝐵)2

𝑎5 ∼𝑇𝐶

𝜇𝐵𝑀𝑆𝑎2, де 𝑀𝑆 = |�� | = 2𝜇𝐵/𝑎

3 — намагнiченiсть насичення. Для сталої одно-

рiдного обмiну матиме �� ∼ 𝐽(2𝜇𝐵)2

𝑎3 ∼ 𝑇𝐶

𝜇𝐵𝑀𝑆.

Енергiю неоднорiдного обмiну записують також в наступному виглядi

E ex =1

2

∫𝑉

d��𝐴𝜇𝜈𝜕��

𝜕𝑥𝜇

𝜕��

𝜕𝑥𝜈. (6.20)

Тут �� = ��𝑀𝑆

— нормована намагнiченiсть,

𝐴𝜇𝜈 =𝑀 2𝑆𝛼𝜇𝜈 =

𝑀 2𝑆

2(2𝜇𝐵)2

∫d��𝐽(��)𝑥𝑖𝑥𝑗 (6.21)

представляє тензор обмiнних сталих. За порядком 𝐴𝑖𝑗 ∼ 𝑇𝐶𝑎2

𝜇𝐵.

36 Роздiл 7. Магнiтна анiзотропiя

§ 6.4. Феноменологiчний опис обмiнної енергiї

Структуру виразу для обмiнної енергiї можна зрозумiти, якщо розгля-нути енергiю феноменологiчно. Основному стану феромагнетика вiдповiд-ає однакова орiєнтацiя спiнiв, тобто деякий сталий вектор намагнiченостi��(��, 𝑡). Для станiв, близьких до основного вектор намагнiченостi буде по-вiльно змiнюватися вiд точки до точки, тобто його можна розкласти в ряд заградiєнтами намагнiченостi, обмежившись першим не зникаючим доданком.Оскiльки обмiнна енергiя не змiнюється при одночасному поворотi всiх ве-кторiв ��(��, 𝑡) на однаковий кут, то найбiльш загальний вираз для обмiнноїенергiї має вигляд:

E ex =

∫𝑉

d��

[1

2𝑓(�� 2)+

1

2𝛼𝜇𝜈

(�� 2) 𝜕��𝜕𝑥𝜇

𝜕��

𝜕𝑥𝜈

]. (6.22)

Знайдений вираз для енергiї неоднорiдного обмiну збiгається з (6.20). Цеозначає, що макроскопiчний вираз для обмiнної енергiї є бiльш загальний,нiж гейзенбергiвський обмiн для спiну 1/2. Вiн може бути застосований та-кож для спiнiв 𝑠 > 1/2. Отже оцiнки, яки ми робили вище для обмiннихсталих, є також загальними. Зазначимо, що симетрiя тензору 𝐴𝜇𝜈 визна-чається магнiтною симетрiєю кристала. Зокрема, для одновiсного кристалу𝐴𝜇𝜈 = diag(𝐴1;𝐴2 = 𝐴1;𝐴3), тому густина обмiнної енергiї

𝑊 ex =𝐴1

2

[(𝜕��

𝜕𝑥

)2

+

(𝜕��

𝜕𝑦

)2]+𝐴3

2

(𝜕��

𝜕𝑧

)2

. (6.23)

Для кубiчного кристалу 𝐴𝜇𝜈 = 𝐴𝛿𝜇𝜈, тому

𝑊 ex =𝐴

2

(∇��

)2. (6.24)

§ 7. Магнiтна анiзотропiя

§ 7.1. Спiн–орбiтальна взаємодiя

Розглянемо тепер взаємодiю магнiтних моментiв атома з електричнимполем кристалевої ґратки. Електрон, що знаходиться в локалiзованому станi,взаємодiє з електричним полем ґратки. Ця взаємодiя включає як кристалiчнеквазiстатичне поле, тобто взаємодiю електричного поля ґратки iз зарядомелектрона, так i спiн–орбiтальну взаємодiю, тобто взаємодiю електричногополя iз магнiтним моментом електрона.

Розрахунок електронної конфiгурацiї кристалiв — складна задача. В дi-електриках найбiльш поширеним є теорiя легандiв, згiдно з якою дiя сусi-днiх атомiв замiнюється на дiю деякого ефективного кристаличного поля,що утворюється точковими зарядами, якi знаходяться в мiсцях знаходжен-ня сусiднiх атомiв. Така модель працює, якщо ефекти ковалентностi, тобтоперекриття хвильових функцiй, є незначними.

Змiст 37

Рис. 17: Значення спiн-орбiтальних па-раметрiв 𝜉𝑛𝑙, визначених в (7.1) для ва-лентних оболонок нейтральних атомiв восновному станi.

Гамiльтонiан спiн–орбiтальної вза-ємодiї випливає з релятивiстськоїквантової теорiї. Однак його вираз зточнiстю до множника можна отрима-ти з класичних мiркувань. Взаємодiюкласичного магнiтного моменту атома��𝑘 з кристалiчним полем ��𝑘 = 𝐸(𝑟𝑘)

��𝑘𝑟𝑘

лiгандiв можна визначити, якщо при-гадати, що рухомий атом створює ма-

гнiтне поле ��𝑘 =��𝑘 × ��𝑘

𝑐. Енергiя вза-

ємодiї магнiтного моменту всiх атомiвiз електричними полями, що створюю-ться на цих атомах E SL = −

∑𝑘

��𝑘��𝑘.

Для переходу до квантової механiкислiд виразити швидкiсть через iмпульста замiнити добуток �� × 𝑝 на квантовий оператор }𝑙.

В результатi гамiльтонiан спiн-орбiтальної взаємодiї можна представитиу виглядi

H SL =∑𝑘

𝜉𝑛𝑙��𝑘 ��𝑘, 𝜉𝑛𝑙 ∼⟨𝑅𝑛𝑙(𝑟)

𝑔}𝜇𝐵𝐸(𝑟)𝑚𝑐𝑟

𝑅𝑛𝑙(𝑟)

⟩. (7.1)

Тут параметр 𝜉𝑛𝑙 — спiн-орбiтальна стала.

§ 7.2. Ефективних спiновий гамiльнонiан

Характер змiни структури електронних оболонок суттєво залежить вiдспiввiдношення мiж величиною кристаличного поля Hcr та спiн–орбiтальноївзаємодiї HSL.

Магнiтнi властивостi виявляють речовини перехiдних елементiв. Пока-жемо, як розраховувати ефективний спiновий гамiльтонiан на прикладi iо-нiв групи залiза (3d–елементи). Важливою властивiстю цих елементiв є те,що в сполуках 3d–оболонка стає зовнiшньою. При цьому кристалiчне полесильнiше, нiж спiн–орбiтальний зв’язок, але слабкiше сил, що зумовлюютьформування 𝑆 та 𝐿. Кристалiчне поле зумовлює розщеплення рiвнiв 104 см−1,спiн–орбiтальна взаємодiя 𝜉 ∼ 102 см−1.

Гамiльтонiан парамагнiтного iона, що знаходиться в кристалiчному полiлiгандiв

H = H 0 + H cr + H SL + H 𝑍 , (7.2)де H 0 — частина гамiльтонiану, що не залежить вiд спiнiв, спiн–орбiтальнавзаємодiя H SL = 𝜉����, зееманова взаємодiя H 𝑍 = 𝜇𝐵��(�� + 2��). Нехайнижнiй рiвень — орбiтальний синглет, що характеризується хвильовою фун-кцiєю Ψ0. Тодi в першому порядку теорiї збурень⟨

Ψ0|H SL + H 𝑍 |Ψ0

⟩= 2𝜇𝐵���� = H1(��), (7.3)

38 Роздiл 7. Магнiтна анiзотропiя

оскiльки⟨Ψ0|��|Ψ0

⟩= 0 . Отже, внесок до взаємодiї iз зовнiшнiм полем дає

лише спiновий момент (це так званий ефект заморожування орбiтальногомоменту кристалiчним полем). В другому порядку теорiї збурень

H2(��) =∑𝑛 =0

⟨Ψ𝑛|H SL + H 𝑍 |Ψ0

⟩2𝐸0 − 𝐸𝑛

= 𝜉2Λ𝛼𝛽𝑠𝛼𝑠𝛽+2𝜉𝜇𝐵Λ𝛼𝛽𝑠

𝛼𝐻𝛽+𝜇2𝐵Λ𝛼𝛽𝐻𝛼𝐻𝛽.

(7.4)Тут компоненти тензора Λ𝛼𝛽 мають вигляд

Λ𝛼𝛽 =∑𝑛 =0

⟨Ψ0|𝐿𝛼|Ψ𝑛⟩⟨Ψ𝑛|𝐿𝛽|Ψ0

⟩𝐸0 − 𝐸𝑛

. (7.5)

В результатi знаходимо вираз для ефективного спiнового гамiльтонiану дляодного атому:

Heff =1

2𝐷𝛼𝛽𝑠

𝛼𝑠𝛽 + 𝜇𝐵𝑔𝛼𝛽𝑠𝛼𝐻𝛽,

𝐷𝛼𝛽 =1

2𝜉2Λ𝛼𝛽, 𝑔𝛼𝛽 = 2 (𝛿𝛼𝛽 + 𝜉Λ𝛼𝛽) .

(7.6)

Перший доданок визначає гамiльтонiан одноiонної анiзотропiї, другий — зее-манову енергiю (𝑔𝛼𝛽 — анiзотропний 𝑔–фактор). Останнiй доданок з (7.4) мине записували — вiн вiдповiдає за ван–флекiвський парамагнетизм.

§ 7.3. Енергiя магнiтної анiзотропiї

Перейдемо до побудови макроскопiчної енергiї анiзотропiї. Розглянутийвище гамiльтонiану одноiонної анiзотропiї (7.6) записано для одного атома.Для ґратки потрiбно пiдсумувати за всiма атомами: H an(��) = 1

2

∑𝑖

𝐷𝑖𝛼𝛽𝑠

𝛼𝑖 𝑠

𝛽𝑖 .

Тепер можемо перейти до макроскопiчного виразу для енергiї, переходячи вiдспiнiв до намагнiченостi:

E an =1

2

∫d��𝐾si

𝛼𝛽𝑚𝛼(��)𝑚𝛽(��). (7.7)

Тут параметр 𝐾si𝛼𝛽(��) є коефiцiєнтом одноiонної анiзотропiї.

Спiн–орбiтальна взаємодiя — не єдина причини магнiтної анiзотропiї ма-гнетикiв. Розглянемо обмiнну анiзотропiю, яка виникає, якщо значення обмiн-них сталих рiзнi для рiзних кристалографiчних напрямкiв. Для цього пере-пишемо гейзенбергiвський обмiнний гамiльтонiан у виглядi:

H ex = −1

2

∑��=𝑗

𝐽(��𝑖𝑗)��𝑖��𝑗 = −1

2

∑𝑖 =𝑗

𝐽 𝑖𝑗𝛼𝛽𝑠

𝛼𝑖 𝑠

𝛽𝑗 . (7.8)

В цьому виразi iндекси 𝑖, 𝑗 нумерують вузли ґратки, а iндекси 𝛼, 𝛽 — де-картови компоненти величин. Переходячи стандартним чином вiд спiнового

Змiст 39

(a) Легкоосьовий ФМ. (b) Легкоплощинний ФМ.

Рис. 18: Схематичний розподiл намагнiченостi в одноосьовому ФМ.

гамiльтонiану до енергiї, отримаємо:

E ex =

∫d��

1

2𝐴𝛼𝛽

𝜕��

𝜕𝑥𝛼

𝜕��

𝜕𝑥𝛽+

1

2

∫d��𝐾ex

𝛼𝛽(��)𝑚𝛼𝑚𝛽(��). (7.9)

Структура анiзотропних доданкiв в (7.7) та (7.9) має однакову форму:

E an =

∫d��𝑊 an, 𝑊 an =

1

2𝐾𝛼𝛽𝑚

𝛼𝑚𝛽. (7.10)

Вираз 𝑊 an — густина енергiї ефективної анiзотропiї, величина 𝐾𝛼𝛽 — тензоркоефiцiєнтiв ефективної анiзотропiї.

При досить низьких температурах вектор намагнiченостi майже не змi-нюється за довжиною, |�� | = 𝑀𝑆 = const. Отже, для опису намагнiчено-стi достатньо задати лише кути нормованої намагнiченостi �� ≡ ��/𝑀𝑆 ={sin 𝜃 cos𝜑; sin 𝜃 sin𝜑; cos 𝜃}. При феноменологiчному описi енергiю представ-ляють у виглядi розкладу за степенями компонент намагнiченостi. При цьомуможуть бути присутнi лише такi доданки, що є iнварiантними вiдносно еле-ментiв симетрiї кристала. Серед цих елементiв є перетворення iнверсiї часу,𝑡→ −𝑡, звiдки намагнiченiсть є парною функцiєю вiдносно компонент ��:

𝑊 an =1

2𝐾𝛼𝛽𝑚

𝛼𝑚𝛽 +1

4𝜅𝛼𝛽𝛾𝛿𝑚

𝛼𝑚𝛽𝑚𝛾𝑚𝛿 + . . . (7.11)

Почнемо розгляд з одноосьового феромагнетика. Якщо обмежитися лишеквадратичними доданками, то для енергiї анiзотропiї матиме:

𝑊 an =1

2𝐾𝑚2

𝑧 =1

2𝐾 cos2 𝜃. (7.12)

Стала 𝐾 є сталою одноосьової анiзотропiї. Якщо 𝐾 < 0, енергiя анiзотропiїматиме мiнiмум при 𝜃 = 0, 𝜋, отже в основному станi намагнiченiсть орiєнту-ється уздовж осi. Цю вiсь називають вiссю легкої намагнiченостi. При цьомукажуть, що магнетик має анiзотропiю типу «легка вiсь», або легкоосьовийФМ, див. Рис. 18a. Якщо 𝐾 > 0, основному стану вiдповiдає 𝜃 = 𝜋/2. Це ви-падок анiзотропiї типу «легка площина» i кажуть про легкоплощинний ФМ,див. Рис. 18b. Вiсь, перпендикулярну до легкої площини, називають важкоювiссю.

Для визначення напрямку намагнiченостi в площинi наведеного виразу(7.12) не достатньо. Слiд врахувати анiзотропiю в легкiй площинi.

40 Роздiл 8. Магнiтодипольна взаємодiя

Магнiтну анiзотропiю в площинi можна врахувати квадратичними до-данками лише при найбiльш низький симетрiї кристала. Зокрема, у випад-ках триклiнної, моноклiнної, ромбiчної симетрiї, енергiя анiзотропiї матимевигляд 𝑊 an = 1

2𝐾𝑥𝑚2𝑥 +

12𝐾𝑦𝑚

2𝑦 +

12𝐾𝑧𝑚

2𝑧. Врахувавши, що намагнiченiсть не

змiнюється за довжиною, матиме

1

2𝑊 an =

1

2𝐾𝑚2

𝑧 +1

2𝐾2𝑚

2𝑥. (7.13)

Якщо 𝑧— вiсь легкого намагнiчування, то |𝐾| > |𝐾2|.В кристалах з бiльш високою симетрiєю анiзотропiя виникає при ви-

щих ступенях 𝑚. Зокрема, якщо кристал має тетрагональну симетрiю, тоанiзотропiя в базиснiй площинi виникає завдяки iнварiантам 𝑚2

𝑥𝑚2𝑦. Для

кристалiв кубiчної симетрiї анызотропыя виникаэ в 4-му порядку: 𝑊 an =𝐾0

(𝑚2

𝑥𝑚2𝑦 +𝑚2

𝑥𝑚2𝑧 +𝑚2

𝑦𝑚2𝑧

), звiдки

𝑊 an =1

2𝐾(𝑚4

𝑥 +𝑚4𝑦 +𝑚4

𝑧

). (7.14)

В кристалах гексагональної симетрiї анiзотропiя виникає лише в членах 6-гопорядку

𝑊 an =𝐾

6𝑖

[(𝑚𝑥 + 𝑖𝑚𝑦)

6 − (𝑚𝑥 − 𝑖𝑚𝑦)6]. (7.15)

§ 8. Магнiтодипольна взаємодiя

§ 8.1. Магнiтодипольний гамiльтонiан

Ще однiєю релятивiстською взаємодiєю є магнiтодипольна взаємодiя.Якщо спiн-орбiтальна взаємодiя визначається взаємодiєю мiж магнiтнимимоментами атомiв та електричним полем кристалевої ґратка, то магнiтоди-польна взаємодiя — це взаємодiя мiж магнiтними моментами атомiв.

Гамiльтонiан магнiтодипольної взаємодiї можна описати стандартним чи-ном:

H md = 2𝜇2𝐵∑��=𝑗

(��𝑖 · ��𝑗)𝑅2𝑖𝑗 − 3(��𝑖 · ��𝑖𝑗)(��𝑗 · ��𝑖𝑗)

𝑅5𝑖𝑗

, (8.1)

де ��𝑖 — оператор спiна на 𝑖–му вузлi, ��𝑖𝑗 — радiус-вектор, що з’єднує вузли 𝑖та 𝑗.

Для переходу до макроскопiчного опису введемо середню намагнiченiсть

на вузлi: ��(��𝑖) =2𝜇𝐵𝑎3

¯𝑠𝑖. Тодi гамiльтонiану (8.1) можна поставити у вiдпо-вiднiсть енергiю магнiтодипольної взаємодiї:

E md = −𝑎6

2

∑��=𝑗

𝑀𝛼(��𝑖)𝑀𝛽(��𝑗)𝜕2

𝜕𝑅𝛼𝑖𝑗𝜕𝑅

𝛽𝑖𝑗

1

𝑅2𝑖𝑗

, (8.2)

де iндекси 𝛼, 𝛽 нумерують декартови компоненти векторiв.

Змiст 41

Для того, щоб записати класичну, але дискретну енергiю (8.2) в звичай-ному макроскопiчному виглядi, слiд перейти вiд пiдсумовування до iнтегру-вання. Однак, ця енергiя має розбiжнiсть при 𝑅𝑖𝑗 → 0. Тому слiд розбитиенергiю на два доданки. Перший враховує безпосереднiй окiл сингулярностiта розглянемо його в дискретному виглядi. Другий вже не мiстить сингуляр-ностей, тому його можна подати в неперервному виглядi.

Для цього введемо макроскопiчно малу вiдстань

𝜌 : 𝑎≪ 𝜌≪ 𝐿, (8.3)

яка набагато перевищує сталу ґратки, але набагато менша за вiдстань 𝐿, наякий суттєво змiнюється намагнiченiсть. Магнiтодипольну енергiю предста-вимо у виглядi:

E md = E mdloc + E md

nloc,

E mdloc = −𝑎

6

2

∑��=𝑗

𝑅𝑖𝑗<𝜌

𝑀𝛼(��𝑖)𝑀𝛽(��𝑗)𝜕2

𝜕𝑅𝛼𝑖𝑗𝜕𝑅

𝛽𝑖𝑗

1

𝑅2𝑖𝑗

,

E mdnloc = −𝑎

6

2

∑��=𝑗

𝑅𝑖𝑗>𝜌

𝑀𝛼(��𝑖)𝑀𝛽(��𝑗)𝜕2

𝜕𝑅𝛼𝑖𝑗𝜕𝑅

𝛽𝑖𝑗

1

𝑅2𝑖𝑗

.

(8.4)

Обчислимо перший доданок в енергiї (8.4). Пiдсумовування ведеться повузлам, де намагнiченiсть суттєво не змiнюється, отже можна вважати, що𝑀(��𝑖) ∼ const при 𝑅𝑖𝑗 < 𝜌. Тодi

E mdloc ∼ 𝑎3𝑀 2

𝑆

2

∑𝑖

𝐾𝛼𝛽𝑚𝛼(��𝑖)𝑚𝛽(��𝑖), 𝐾𝛼𝛽 = 𝑎3∑𝑗 =𝑖

𝑅𝑖𝑗<𝜌

𝜕2

𝜕𝑅𝛼𝑖𝑗𝜕𝑅

𝛽𝑖𝑗

1

𝑅2𝑖𝑗

. (8.5)

Завдяки нерiвностi 𝜌 ≫ 𝑎, можна вважати, що тензор 𝐾𝛼𝛽 не залежiть вiд𝜌. Переходячи в першiй сумi вiд пiдсумовування до iнтегрування, остаточноматимемо:

E mdloc =

𝑀 2𝑆

2

∫d��𝐾𝛼𝛽𝑚𝛼(��)𝑚𝛽(��). (8.6)

Отже, локальна частина енергiї магнiтодипольної взаємодiї зумовлює внесокдо енергiї анiзотропiї магнетика.

§ 8.2. Магнiтостатична взаємодiя

Перейдемо до розрахунку другого, нелокального доданку в магнiтоди-польнiй енергiї (8.4). Вважаючи, що розподiл намагнiченостi повiльно змiню-ється на вiдстанях порядка сталої ґратки, перейдемо вiд дискретного виразу(8.4) до неперервного:

E mdnloc = −1

2

∫d��

∫|��−��′|>𝜌

d��′𝑀𝛼(��)𝑀𝛽(��′)

𝜕2

𝜕𝑥′𝛼𝜕𝑥′𝛽1

|�� − ��′|2. (8.7)

42 Роздiл 8. Магнiтодипольна взаємодiя

В континуальному пiдходi нерiвнiсть 𝜌≫ 𝑎 вже не має свого значення, томуможемо перейти до границi 𝜌→ 0. Однак сингулярнiсть в нулi залишається,тому цю границю слiд обiйти акуратно. Для цього запишемо енергiю (8.7) увиглядi: E md

nloc = E 0 + E ms. Тут перший доданок E 0 має вигляд:

E 0 =1

2

∫d��

∫|��−��′|<𝜌

d��′𝑀𝛼(��)𝑀𝛽(��′)

𝜕2

𝜕𝑥′𝛼𝜕𝑥′𝛽1

|�� − ��′|2, (8.8)

iнтегрування проводиться лише по близьким точкам �� i ��′, тобто саме цейдоданок враховує сингулярностi. Другий доданок

E ms = −1

2

∫d��𝑀𝛼(��)

∫d��′𝑀𝛽(��

′)𝜕2

𝜕𝑥′𝛼𝜕𝑥′𝛽1

|�� − ��′|2

не чутливий до сингулярностей, його можна записати як енергiю деякогомагнiтного поля ��ms:

E ms = −1

2

∫d����(��) · ��ms(��), 𝐻ms

𝛼 (��) =

∫d��′𝑀𝛽(��

′)𝜕2

𝜕𝑥′𝛼𝜕𝑥′𝛽1

|�� − ��′|2. (8.9)

Для знаходження енергiї E 0 врахуємо, що внутрiшнiй iнтеграл враховуєлише безпосереднiй окiл точки ��. Вважаючи, що розподiл намагнiченостi єгладкою функцiєю, можемо винести намагнiченiсть з пiд внутрiшнього iнте-гралу:

E 0 =1

2

∫d��𝑀𝛼(��)𝑀𝛽(��) lim

𝜌→0

∫|��−��′|<𝜌

d��′𝜕2

𝜕𝑥′𝛼𝜕𝑥′𝛽1

|�� − ��′|2

=1

2

∫d��𝑀𝛼(��)𝑀𝛽(��

′)𝛿𝛼𝛽3

lim𝜌→0

∫|��−��′|<𝜌

d��′Δ1

|�� − ��′|2

=1

2

∫d��𝑀𝛼(��)𝑀𝛽(��

′)𝛿𝛼𝛽3

lim𝜌→0

∫|��−��′|<𝜌

d��′(−4𝜋)𝛿(�� − ��′) = −2𝜋

3

∫d���� 2(��).

Це iзотропний внесок до магнiтодипольної енергiї.Перейдемо до розрахунку ефективного магнiтного поля ��ms, див. (8.9).

Це поле можна подати у виглядi ��ms(��) = −∇Φms(��), де

Φms(��) =

∫d��′𝑀𝛽(��

′)𝜕

𝜕𝑥′𝛽1

|�� − ��′|=

∫d��′(��(��′) · ∇′

) 1

|�� − ��′|. (8.10)

Проiнтегрувавши цей вираз частинами, матиме

Φms(��) =

∫d𝑆 ′��(��)′ · ��′

|�� − ��′|−∫

d��′∇′ · ��(��′)

|�� − ��′|. (8.11)

Змiст 43

Це — стандартний вираз для магнiтоститичного потенцiалу, що створюєтьсястатичним розподiлом намагнiченостi �� . Магнiтостатичне поле є розв’язкомсистеми магнiтостатичних рiвнянь Максвелла{

∇ × ��ms = 0,

∇ · ��ms = 0, ��ms = ��ms + 4𝜋��,(8.12)

з додатковими умовами неперервностi тангенцiальних складових для ��ms танормальних для ��ms. Якщо ввести густину поверхневих магнiтостатичнихзарядiв 𝜎ms та об’ємних зарядiв 𝜌ms:

𝜎ms = ��(��) · ��, 𝜌ms = −∇ · ��(��), (8.13)

то рiвняння Максвелла (14.1) можна подати у формi:{∇ × ��ms = 0,

∇ · ��ms = 4𝜋𝜌ms.(8.14)

при цьому магнiтостатичний потенцiал (8.10) набуває вигляду

Φms(��) =

∫𝜎ms(��′)d𝑆 ′

|�� − ��′|+

∫𝜌ms(��′)d��′

|�� − ��′|. (8.15)

Таким чином, джерелом магнiтостатичного поля є поверхневi та об’ємнi ма-гнiтостатичнi заряди (8.13).

Магнiтостатична енергiя, що створюється полями ��ms має вигляд:

E ms = −1

2

∫𝑉

d����(��) · ��ms(��). (8.16)

Покажемо, що ця енергiя завжди додатна. Для цього розглянемо вираз

∇ ·(Φms��ms

)= −��ms − 4𝜋�� · ��ms, (8.17)

звiдки

E ms =1

8𝜋

∫𝑉

d��[��ms(��)

]2+

1

8𝜋

∫𝑉

d��∇ ·(Φms��ms

)=

1

8𝜋

∫𝑉

d��[��ms(��)

]2+

1

8𝜋

∫𝑆

Φms��ms · d��.(8.18)

За рахунок неперервностi потенцiалу та норамльної складової вектора магнi-тної iндукцiї, iнтеграл по поверхнi 𝑆, до охоплює об’єм магнетика 𝑉 , можназвести до iнтегралу по тiй самiй поверхнi 𝑆, вважаючи її як поверхню, щоохоплює зовнiшнiй об’єм 𝑉 out:

1

8𝜋

∫𝑆

Φms��ms · d�� = − 1

8𝜋

∫𝑉 out

d��∇ ·(Φms��ms

)=

1

8𝜋

∫𝑉 out

d��[��ms(��)

]2. (8.19)

44 Роздiл 8. Магнiтодипольна взаємодiя

Тодi магнiтостатичну енергiю можна подати у виглядi

E ms =1

8𝜋

∫𝑉

d��[��ms(��)

]2+

1

8𝜋

∫𝑉 out

d��[��ms(��)

]2=

1

8𝜋

∫d��[��ms(��)

]2. (8.20)

Ми бачимо, що наявнiсть магнiтостатичного поля завжди проводить до збiль-шення енергiї, тобто енергетично не вигiдна. Тому магнiтостатичнi поля нази-вають також полями розмагнiчування. Система зазвичай намагається створи-ти такий розподiл намагнiченостi, щоб позбутися магнiтостатичних зарядiв.

В результатi енергiю магнiтодипольної взаємодiї можна подати у виглядi

E md =𝑀 2

𝑆

2

∫d��𝐾𝛼𝛽𝑚𝛼(��)𝑚𝛽(��)−

2𝜋

3

∫d���� 2(��)− 1

2

∫d����(��)·��ms(��). (8.21)

Перший доданок — енергiя анiзотропiї, тому його враховують разом iз спiн-орбiтальною взаємодiєю в енергiї магнiтнiй анiзотропiї. Другий доданок —iзотропний внесок, який є сталим, тому його зазвичай не враховують. Третiйдоданок — енергiя магнiтостатичної взаємодiї.

§ 8.3. Тензор коефiцiєнтiв розмагнiчування

Розглянемо випадок однорiдно намагнiченого зразка, коли �� = const.

Магнiтостатичний потенцiал такої системи має вигляд Φms(��) = −(�� · ∇

) ∫d��′

1

|�� − ��′|.

Вiдповiдно, магнiтостатичне поле

��ms(��) = −∇Φms(��) = ∇(�� · ∇

)∫d��′

1

|�� − ��′|⇒ ��ms(��) = −4𝜋��(��)��(��),

(8.22)де тензор �� має компоненти:

𝑁𝛼𝛽(��) = − 1

4𝜋

𝜕2

𝜕𝑥𝛼𝜕𝑥𝛽

∫𝑉

d��′

|�� − ��′|. (8.23)

Цей тензор має назву тензора коефiцiєнтiв розмагнiчування. Вiн має одини-чний слiд:

Tr�� = 𝑁𝛼𝛼 = − 1

4𝜋

∫𝑉

d��′Δ1

|�� − ��′|=

∫𝑉

d��′𝛿(�� − ��′) = 1.

Поле (8.22) в загальному випадку не є однорiдним. Для того, щоб вонобуло однорiдним, необхiдно, щоб тензор коефiцiєнтiв розмагнiчування утво-рював квадратичну форму вiдносно декартових координат. Зазначена вла-стивiсть виконується лише для елiпсоїдiв та їх граничних випадкiв (куль,нескiнчених цилiндрiв, плоскопаралельних пластин). Зокрема, для елiпсоїда,

Змiст 45

тензор коефiцiєнтiв розмагнiчування, приведений до дiагонального вигляду,має форму:

𝑁1 =𝑎𝑏𝑐

2

∞∫0

d𝑠

(𝑎2 + 𝑠)√(𝑎2 + 𝑠)(𝑏2 + 𝑠)(𝑐2 + 𝑠)

,

𝑁2 =𝑎𝑏𝑐

2

∞∫0

d𝑠

(𝑏2 + 𝑠)√(𝑎2 + 𝑠)(𝑏2 + 𝑠)(𝑐2 + 𝑠)

,

𝑁3 =𝑎𝑏𝑐

2

∞∫0

d𝑠

(𝑐2 + 𝑠)√(𝑎2 + 𝑠)(𝑏2 + 𝑠)(𝑐2 + 𝑠)

.

(8.24)

При цьому 𝑁1 +𝑁2 +𝑁3 = 1. Зокрема, для кулi

𝑁1 = 𝑁2 = 𝑁3 =1

3, ��ms = −4𝜋

3��. (8.25)

Для нескiнченого цилiндру з вiссю 𝑧 (𝑎 = 𝑏, 𝑐 = ∞):

𝑁1 = 𝑁2 =1

2, 𝑁3 = 0, 𝐻ms

𝑥 = −2𝜋𝑀𝑥, 𝐻ms𝑦 = −2𝜋𝑀𝑦, 𝐻

ms𝑧 = 0. (8.26)

Для пластини

𝑁1 = 𝑁2 = 0, 𝑁3 = 1, ��ms = −4𝜋𝑀𝑧��𝑧. (8.27)

§ 9. Макроскопiчна енергiя феромагнетика

§ 9.1. Повна енергiя

Додамо тепер обмiнний гамiльтонiан, гамiльтонiан спiн-орбiтальної взає-модiї, магнiтодипольний гамiльтонiан, а також гамiльтонiан взаємодiї iз зов-нiшнiм полем. В результатi отримуємо повний спiновий гамiльтонiан феро-магнетика:

H = −1

2

∑��=𝑗

𝐽 𝑖𝑗𝛼𝛽𝑠

𝛼𝑖 𝑠

𝛽𝑗 +

1

2

∑𝑖

𝐷𝑖𝛼𝛽𝑠

𝛼𝑖 𝑠

𝛽𝑖

+ 2𝜇2𝐵∑��=𝑗

(��𝑖 · ��𝑗)𝑅2𝑖𝑗 − 3(��𝑖 · ��𝑖𝑗)(��𝑗 · ��𝑖𝑗)

𝑅5𝑖𝑗

+ 2𝜇𝐵∑𝑖

��𝑖 · ��(9.1)

Перехiд вiд квантового до класичного феромагнетика полягає в замiнi опера-торiв спiнiв на середнi значення спiнового моменту. При цьому (9.1) описуєкласичний спiн-ґратковий гамiльтонiан феромагнетика.

Для знаходження макроскопiчної енергiї феромагнетика слiд перейти вiдспiнових змiнних до намагнiченостi та здiйснити перехiд вiд пiдсумовування

46 Роздiл 9. Макроскопiчна енергiя феромагнетика

за ґраткою до iнтегрування за об’ємом магнетика. Макроскопiчна енергiяферомагнетика буде приймати вигляд:

E =

∫𝑉

d��

{− 1

2𝑓(𝑀 2)+

1

2

𝐴𝛼𝛽

𝑀 2𝑆

𝜕��

𝜕𝑥𝛼

𝜕��

𝜕𝑥𝛽+

1

2𝐾𝛼𝛽𝑀

𝛼(��)𝑀𝛽(��)

− ��(��) · �� − 1

2��(��) · ��ms(��)

}.

(9.2)

При цьому ��ms — магнiтостатичнi поля, що знаходяться з магнiтостатичнихрiвнянь Максвелла (14.1).

Вираз для енергiї (9.2), разом iз магнiтостатичними рiвняннями (14.1),справджується, строго кажучи, в статичному випадку. Однак, цими виразамиможна також користуватися також в динамiцi, якщо змiни вiдбуваються до-сить повiльно: фазова швидкiсть коливань намагнiченостi має бути набагатоменша за швидкiсть свiтла.

§ 9.2. Застосовнiсть макроскопiчного пiдходу

Розглянемо питання про застосовнiсть макроскопiчного пiдходу. Для цьо-го введемо оператор середнього спiну

¯𝑠 =1

𝑁

∑𝑖

��𝑖 =��

𝑁, (9.3)

де 𝑁 — кiлькiсть атомiв в системi. Використовуючи комутацiйнi спiввiдноше-

ння для спiнових операторiв (6.9)[𝑠𝛼𝑖 , 𝑠

𝛽𝑗

]= 𝑖𝜀𝛼𝛽𝛾𝛿𝑖𝑗𝑠

𝛾𝑖 , отримуємо аналогiчнi

спiввiдношення для операторiв середнього спiну:[𝑠𝛼𝑖 , 𝑠

𝛽𝑗

]=𝑖𝜀𝛼𝛽𝛾

𝑁 2𝛿𝑖𝑗𝑠

𝛾𝑖 =

𝑖𝜀𝛼𝛽𝛾

𝑁𝑠 𝛾 −→

𝑁→∞0. (9.4)

Таким чином, якщо кiлькiсть атомiв в системi макроскопiчно велика, то се-реднi спiни (i вектор намагнiченостi) можна вважати майже класичними ве-кторами. Саме на цьому застосована можливiсть феноменологiчного пiдходудовгохвилевої динамiки ФМ: коливання, в яких спiни великої кiлькостi ато-мiв рухаються майже синхронно, можна вважати класичними.

Зробимо оцiнку енергiї, яку необхiдно прикласти для повороту одногоатома. Якщо переважна взаємодiя в системi — обмiнна, то для повороту 𝑁0

атомiв потрiбна енергiя E ∼ 𝑁2/30 (затрати поверхневої енергiї), отже енергiя

на атом E /𝑁0 ∼ 𝑁−1/30 → 0, збудження в системi носитимуть колективний

характер. Якщо переважна енергiя — енергiя анiзотропiї, то для повороту ко-жного атому слiд прикласти сталу енергiю, E ∼ const, тобто в цьому випадкузбудження носитимуть одночастинковий характер. Таким чином, для класи-чного опису необхiдно також, щоб обмiнна взаємодiя значно перевищуваларелятивiстськi взаємодiї.

Змiст 47

(a) Прецесiя у вiдсутностiрелаксацiї

(b) Вплив релаксацiї (c) Негативна релаксацiя

Рис. 19: Динамiка намагнiченостi

Ще одна обставина — температура. Енергiя обмiнної взаємодiї має бутинабагато бiльша за температуру, щоб позбутися короткохвильових флуктуа-цiй.

Щодо континуального пiдходу, то додатково з наведеними умовами кла-сичного пiдходу, слiд додати також умови можливостi неперервного описукласичної системи. Для цього потрiбно, щоб характерна довжина ℓ неоднорi-дностi намагнiченостi ��(��) (наприклад, характерна ширина доменної стiнки)набагато перевищувала сталу ґратки 𝑎, тобто ℓ≫ 𝑎.

§ 10. Рiвняння Ландау–Лiфшиця

§ 10.1. Динамiка “жорсткого” магнiтного моменту

Перейдемо до опису динамiки магнiтного моменту. Почнемо з якiснихмiркувань i розглянемо систему, що складається з одного «жорсткого» магнi-тного моменту ��, що знаходиться в сталому магнiтному полi ��.

На магнiтний момент дiє момент сил (крутильний момент) 𝑇 = �� × ��.З динамiки твердого тiла вiдомо, що пiд дiєю крутильного моменту твердетiло починає рухатися: вiдбувається прецесiя механiчного момету ��. Прицьому картина аналогiчна до руху дзиги в сталому полi тяжiння: d��/d𝑡 =

𝑇 . Використовуючи гiромагнiтне вiдношення, можемо перейти вiд власного(спiнового) механiчного моменту до магнiтного i отримати рiвняння рухумагнiтного моменту у виглядi d��/d𝑡 = −𝛾𝑇 . Тут

𝛾 =2|𝜇𝐵|}

(10.1)

48 Роздiл 10. Рiвняння Ландау–Лiфшиця

є гiромагнiтне вiдношення. Остаточно матиме рiвняння

d��

d𝑡= −𝛾

[��× ��

], (10.2)

що описує ларморову прецесiю магнiтного моменту в магнiтному полi �� зчастотою

𝜔𝐿 = 𝛾𝐻 =|𝑒|𝐻𝑚𝑐

. (10.3)

Перейдемо до опису динамiки намагнiченостi в феромагнетику. Завдякисильнiй обмiннiй взаємодiї мiж спiнами окремих атомiв, магнiтний моментз досить великою точнiстю також можна вважати «жорстким», якщо темпе-ратура досить низка. Тобто модуль намагнiченостi майже не змiнюється зчасом та динамiка намагнiченостi носить характер прецесiї

𝜕��(��, 𝑡)

𝜕𝑡= −𝛾

[��(��, 𝑡)× ��ef(��, 𝑡)

], (10.4)

де ��ef(��, 𝑡)— деяке ефективне магнiтне поле ФМ. За змiстом цей векторможна визначити лише з точнiстю до довiльного вектора, паралельного до�� .

§ 10.2. Квантовомеханiчний пiдхiд до динамiки

Ми навели лише якiснi класичнi мiркування щодо рiвняння (10.4). Однакмагнетизм — суто квантове явище. Тому покажемо, як рiвняння динамiкинамагнiченостi виводиться з квантової механiки. Це дасть також можливiстьз’ясувати змiст ефективного магнiтного поля.

Динамiка квантового оператору спiну описується рiвнянням

𝑖}𝜕��𝑖𝜕𝑡

= [H , ��𝑖] , (10.5)

де H — спiновий гамiльтонiан (9.1), [H , ��𝑖] = H ��𝑖 − ��𝑖H .Обмежимося випадком 𝑠 = 1

2 та розглянемо спочатку лише взаємодiюз полем. Тодi спiновий гамiльтонiан мiстить лише зееманiвський доданок:H = 2𝜇𝐵

∑𝑖 ��𝑖 · �� = 2𝜇𝐵

∑𝑗 𝑠

𝛽𝑗𝐻

𝛽. При цьому комутатор гамiльтонiана зкомпонентою спiну має вигляд:

[H , 𝑠𝛼𝑖 ] = 2𝜇𝐵∑𝑗

𝐻𝛽[𝑠𝛽𝑗 , 𝑠

𝛼𝑖

]= 𝑖𝜀𝛾𝛽𝛼𝑠𝛼𝑖 2𝜇𝐵𝐻

𝛽 = 𝑖2𝜇𝐵

[��𝑖 × ��

]𝛼, (10.6)

тому квантовомеханiчне рiвняння, що описує динамiку оператора спiна ��𝑖,має вигляд

𝜕��𝑖𝜕𝑡

= −𝛾[��𝑖 × ��

], (10.7)

звiдки i для оператора магнiтного моменту 𝑖-го атома маємо

𝜕��𝑖

𝜕𝑡= −𝛾

[��𝑖 × ��

]. (10.8)

Змiст 49

Зазначимо, що для класичного феромагнетика �� = −𝜕H /𝜕�� .Розглянемо тепер динамiку оператора спiну пiд впливом обмiнної гейзен-

берговської взаємодiї (6.5), яку перепишемо у виглядi H ex = −12

∑𝑘,𝑙 =𝑘

𝐽𝑘𝑙𝜇𝜈𝑠

𝜇𝑘𝑠

𝜈𝑙 ,

звiдки комутатор обмiнного гамiльтонiану з компонентою спiну 𝑠𝛼𝑖

[H ex, 𝑠𝛼𝑖 ] = −1

2

∑𝑘 =𝑙

𝐽𝑘𝑙𝜇𝜈 [𝑠

𝜇𝑘𝑠

𝜈𝑙 , 𝑠

𝛼𝑖 ] = − 𝑖

2𝜀𝜇𝛼𝛽

∑𝑙 =𝑖

[𝐽 𝑖𝑙𝜈𝜇 + 𝐽 𝑙𝑖

𝜇𝜈

]𝑠𝜈𝑙 𝑠

𝛽𝑖 . (10.9)

Зазначимо, що для класичної спiн-ґраткової системи𝜕H ex

𝜕𝑠𝜇𝑖=∑𝑙 =𝑖

[𝐽 𝑖𝑙𝜈𝜇 + 𝐽 𝑙𝑖

𝜇𝜈

]𝑠𝜈𝑙 ,

тому комутатор [H ex, 𝑠𝑖] переходить до[��𝑖 × 𝜕H

𝜕𝑠𝑖

]. Отже, пiдставляючи цей

вираз до рiвняння (10.5), матиме для намагнiченостi 𝑖-го атома:

𝜕��𝑖

𝜕𝑡= −𝛾

[��𝑖 × ��ex

𝑖

], ��ex

𝑖 = −𝜕Hex

𝜕��𝑖

. (10.10)

§ 10.3. Макроскопiчнi рiвняння руху

Аналогiчно до взаємодiї з магнiтним полем та магнiтнiй взаємодiї можнаописати також i внесок iнших доданкiв до динамiки намагнiченостi. В ре-зультатi рiвняння для динамiки класичної спiнової ґратки матимуть вигляд:

𝜕��𝑖

𝜕𝑡= 𝛾

[��𝑖 ×

𝜕H

𝜕��𝑖

]. (10.11)

Переходячи вiд дискретної спiн-ґраткової системи ��𝑖 до неперервного роз-подiлу намагнiченостi ��(��, 𝑡), матиме рiвняння Ландау–Лiфшиця:

𝜕��(��, 𝑡)

𝜕𝑡= −𝛾

[��(��, 𝑡)× ��ef(��, 𝑡)

], ��ef(��, 𝑡) = − 𝛿E

𝛿��. (10.12)

Тут ��ef(��, 𝑡)— ефективне магнiтне поле. Для цього обчислення слiд прига-дати, що магнiтна енергiя E э функцiоналом намагнiченостi, що має вигляд:

E [�� ] =

∫𝑊

(��,

𝜕��

𝜕𝑥𝛼, 𝑥𝛼, 𝑡

)d��, (10.13)

звiдки можемо знайти ефективне поле як

��ef = − 𝛿E

𝛿��= −𝜕𝑊

𝜕��+

𝜕

𝜕𝑥𝛼𝜕𝑊𝜕��𝜕𝑥𝛼

= ��ex + ��an + �� + ��ms. (10.14)

Це загальний вираз показує, що ефективне магнiтне поле в феромагнетикускладається iз обмiнного поля ��ex, поля анiзотропiї ��an, зовнiшнього �� тамагнiтостатичного поля ��ms. Конкретнi вирази для полiв залежать вiд явноговигляду функцiоналу енергiї.

50 Роздiл 10. Рiвняння Ландау–Лiфшиця

§ 10.4. Врахування дисипацiї

Рис. 20: Напрямки крутильнихмоментiв.

Рiвняння Ландау–Лiфшиця (10.4) описуєпрецесiю намагнiченостi, яка нiколи не зга-сає. Така картину може вiдбуватися лише принехтуваннi втратами енергiї. Насправдi за ра-хунок ефектiв дисипацiї, наприклад, взаємодiїколивань намагнiченостi iз коливаннями кри-сталевої ґратки (взаємодiї магнонiв iз фонона-ми), коливання згасатимуть, що приведе в ре-зультатi до того, що намагнiченiсть буде орiєн-туватися уздовж ефективного магнiтного поля.Послiдовна мiкроскопiчна теорiя процесiв ре-лаксацiї досить складна i побудована лише дляпростiших випадкiв. Ми наведемо лише фено-менологiчний пiдхiд до врахування релексацiї в рiвняннях руху. Для цього в

рiвняннi Ландау–Лiфшиця разом iз крутильним моментом 𝑇 =[�� × ��ef

]ми

маэмо врахувати також крутильний момент, що вiдповiдає до релаксацiї на-магнiченостi уздовж напрямку ефективного магнiтного поля ��ef. Це означає,що крутильний момент згасання (damping torque) 𝑇𝐷 має бути ортогональ-

ним як намагнiченостi, так i крутильному моменту 𝑇 , звiдки 𝑇𝐷 ∼[�� × 𝑇

],

див. Рис. 20.В результатi приходимо до вiдомого рiвняння Ландау–Лiфшиця (1935)

𝜕��

𝜕𝑡= −𝛾

[�� × ��ef

]− 𝜆

𝑀 2�� ×

[�� × ��ef

]. (10.15)

Останнiй доданок в цьому рiвняннi описує релаксацiю намагнiченостi у фор-мi Ландау–Лiфшиця, де 𝜆— коефiцiєнт релаксацiї (згасання, втрат, тертя)Ландау–Лiфшиця. Релаксацiя приводить до того, що намагнiченiсть, преце-суючi, приходить в стан, паралельний до напрямку ефективного поля, див.Рис. 19b.

Перенормуванням сталих рiвняння (10.15) можна подати у виглядi такзваного рiвняння Ландау–Лiфшиця–Гiльберта (1955):

𝜕��

𝜕𝑡= −𝛾𝐺

[�� × ��ef

]+

𝛼

𝑀�� × 𝜕��

𝜕𝑡. (10.16)

В цьому рiвняннi перенормоване гiромагнiтне вiдношення 𝛾𝐺 = 𝛾(1 + 𝜆2/𝛾2

),

стала 𝛼 = 𝜆/𝛾 — коефiцiєнт релаксацiї Гiльберта.Не завжди наявнiсть тертя веде до орiєнтацiї намагнiченостi за полем.

В 1996 роцi Джон Слончевський та Люк Берже незалежно запропонува-ли, що релаксацiйний крутильний момент в магнетиках може мати негатив-ний знак, що вiдповiдає негативному знаку сталої релаксацiї. Фiзику ефе-кту Слончевського–Берже ми вивчимо пiзнiше: такий ефект може виникатив гетероструктурах за рахунок спiн–залежної рекомбiнацiї при протiканнi

Змiст 51

p

Рис. 21: В. Паулi, Н. Бор i китайська дзига.

електричного струму. Зараз звернемо увагу на те, що негативне тертя ве-де до перевороту намагнiченостi, що має багато перспективних застосувань,зокрема в пристроях запису та зчитування iнформацiї. Нагадаємо аналогiю змеханiкою, коли негативне тертя веде до перевороту китайської дзиги. Такипристрiї вражали й великi уми, див. Рис. 21.

§ 11. Властивостi рiвняння Ландау–Лiфшиця

§ 11.1. Рiвняння в кутових змiнних

Розглянемо властивостi рiвняння Ландау–Лiфшиця. В основному буде-мо розглядати його у формi Ландау–Лiфшиця–Гiльберта (10.16). Перш завсе зазначимо, що динамiка намагнiченостi — прецесiя та релаксацiя, що незмiнюють абсолютне значення вектора намагнiченостi, лише його напрямок.Дiйсно, згiдно з (10.16) d�� 2/d𝑡 = 0, звiдки �� 2 = 𝑀 2

𝑆 = const. Таке набли-ження добре виконується при температурах 𝑇 ≪ 𝑇𝐶 . Отже, можемо ввестиодиничний вектор нормованої намагнiченостi

�� ≡ ��

𝑀𝑆= {sin 𝜃 cos𝜑; sin 𝜃 sin𝜑; cos 𝜃} . (11.1)

В кутових змiнних векторне рiвняння (10.16) виглядає як система двох зв’я-занних рiвнянь для кутових змiнних:⎧⎪⎨⎪⎩

sin 𝜃𝜕𝜑

𝜕𝑡=

𝛾

𝑀𝑆

𝛿E

𝛿𝜃+ 𝛼

𝜕𝜃

𝜕𝑡,

− sin 𝜃𝜕𝜃

𝜕𝑡=

𝛾

𝑀𝑆

𝛿E

𝛿𝜑+ 𝛼 sin2 𝜃

𝜕𝜑

𝜕𝑡.

(11.2)

§ 11.2. Лагранжева i гамiльтонова структура рiвнянь Ландау–Лiфшиця

Рiвнянням Ландау-Лiфшиця можна придати досить компактне формулю-вання в термiнах Лагранжевого формалiзму.

52 Роздiл 11. Властивостi рiвняння Ландау–Лiфшиця

Нагадаємо, що в лагражевому пiдходi механiчна система характеризує-ться функцiєю Лагранжа 𝐿(𝑞𝑖, 𝑞𝑖, 𝑡), де 𝑞𝑖 — узагальнена координата. Динамi-ку такої системи можна описати лагранжевими рiвняннями:

𝜕𝐿

𝜕𝑞− d

d𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0. (11.3)

Аналогiчно, динамiку класичного скалярного поля 𝑞(𝑥, 𝑡) можна описати в

термiнах функцiї Лагранжа 𝐿[𝑞, 𝜕𝑞𝜕𝑥

]=∫

L d𝑥 на основi рiвнянь:

𝛿𝐿

𝛿𝑞=𝜕L

𝜕𝑞− 𝜕

𝜕𝑡

𝜕L

𝜕 𝜕𝑞𝜕𝑡

− 𝜕

𝜕𝑥

𝜕L

𝜕 𝜕𝑞𝜕𝑥

= 0. (11.4)

Для векторного поля ��(��, 𝑡) лагранжева динамiку системи з лагранжiаном

𝐿

[��,

𝜕��

𝜕𝑥𝛼,𝜕��

𝜕𝑡, 𝑡

]=

∫L d��

можна описати на основi рiвнянь

𝛿𝐿

𝛿��=𝜕L

𝜕��− 𝜕

𝜕𝑡

𝜕L

𝜕 𝜕��𝜕𝑡

− 𝜕

𝜕𝑥𝛼𝜕L

𝜕 𝜕��𝜕𝑥𝛼

= 0. (11.5)

Перейдемо до рiвнянь Ландау-Лiфшиця, записаних в кутових змiнних (11.6).У вiдсутностi дисипацiї цi рiвняння матимуть вигляд⎧⎪⎨⎪⎩

sin 𝜃𝜕𝜑

𝜕𝑡=

𝛾

𝑀𝑆

𝛿E

𝛿𝜃,

− sin 𝜃𝜕𝜃

𝜕𝑡=

𝛾

𝑀𝑆

𝛿E

𝛿𝜑.

(11.6)

Цi рiвняння можна розглядати як рiвняння Ейлера–Лагранжа для лагранжi-ана у формi (Doring, 1948)

𝐿 = −𝑀𝑆

𝛾

∫d�� cos 𝜃

𝜕𝜑

𝜕𝑡− E . (11.7)

При цьому рiвняння Лагранжа матимуть вигляд 𝛿𝐿/𝛿𝜃 = 0 i 𝛿𝐿/𝛿𝜑 = 0.Рiвнянням Ландау–Лiфшиця можна придати також гамiльтонову форму.

Це дозволяє з’ясувати, якi змiннi в цих рiвняннях виступає як координати,якi як iмпульси.

По-перше, як вводяться рiвняння Гамiльтона в механицi. Функцiя Га-мiльтона — це енергiя, записана в термiнах кооординат та iмпульсiв, H =H (𝑞, 𝑝, 𝑡). При цьому рiвняння Гамiльтона мають вигляд⎧⎪⎨⎪⎩

d𝑝

d𝑡= −𝜕H

𝜕𝑞d𝑞

d𝑡=𝜕H

𝜕𝑝.

(11.8)

Змiст 53

При цьому {𝑞, 𝑝}— канонiчнi змiннi.Перейдемо тепер до рiвнянь Ландау—Лiфшиця. Введемо змiнну 𝑚𝑧 =

cos 𝜃, тобто 𝑧–компоненту намагнiченостi. Якщо вiднормувати енергiю насту-пним чином, H = − 𝛾

𝑀𝑆E , то рiвняння Ландау—Лiфшиця можна подати у

виглядi гамiльтонових рiвнянь:⎧⎪⎨⎪⎩𝜕𝑚𝑧

𝜕𝑡= −𝛿H

𝛿𝜑𝜕𝜑

𝜕𝑡=

𝛿H

𝛿𝑚𝑧.

(11.9)

Як бачимо, двiйка змiнних {𝜑,𝑚𝑧} утворює пару канонiчно спряжених ко-ординати та iмпульсу: канонiчнiй змiннiй 𝜑 вiдповiдає канонiчно спряженийiмпульс 𝑚𝑧.

Слiд зазначити, що канонiчний iмпульс 𝑚𝑧 не спiвпадає з польовим iм-пульсом (повний iмпульс поля намагнiченостi):

𝑃 = −∫

d��𝜕L

𝜕 𝜕𝜑𝜕𝑡

∇𝜑 =𝑀𝑆

𝛾

∫d�� cos 𝜃∇𝜑 (11.10)

§ 11.3. Iнтеграли руху рiвнянь Ландау–Лiфшиця

При вiдсутностi дисипацiї рiвняння Ландау—Лiфшиця має низку iнтегра-лiв руху. Перш за все, це закон збереження енергiї, який завжди справджує-ться, якщо на магнетик не дiють зовнiшнi поля, E =

∫d��𝑊 (𝜃, 𝜑). Наступний

iнтеграл руху, це закон збереження iмпульсу, що справджується для однорi-дного магнетика, 𝑃 = 𝑀𝑆

𝛾

∫d�� cos 𝜃∇𝜑.

Крiм енергiї i iмпульсу можуть iснувати iншi iнтеграли руху, пов’язанiiз симетрiєю енергiї. Зокрема, якщо густина енергiї явно не залежить вiд 𝜑,тобто 𝜕𝑊/𝜕𝜑 = 0, має мiсце закон збереження кiлькостi зв’язних магнонiв

𝑁 =𝑀𝑆

𝛾

∫d�� cos 𝜃. (11.11)

Якщо магнетик э iзотропним середовищем, справджується закон збереженняповного моменту iмпульсу:

�� = −∫

d��𝜕L

𝜕 𝜕𝜑𝜕𝑡

[�� × ∇𝜑

]=𝑀𝑆

𝛾

∫d�� cos 𝜃

[�� × ∇𝜑

]. (11.12)

§ 11.4. Дисипативна функцiя

Покажемо тепер, як врахувати в лагранжевому пiдходi дисипацiю. На-гадаємо, що в механицi динамiку системи, що описується координатою 𝑞𝑖(𝑡)з урахуванням тертя, можна описати, якщо разом iз функцiєю Лагранжа𝐿(𝑞𝑖, 𝑞𝑖, 𝑡) ввести також дисипативну функцiю 𝐹 (𝑞𝑖, 𝑞𝑖, 𝑡). При цьому рiвнянняруху приймають вигляд

𝜕𝐿

𝜕𝑞− d

d𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖=𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖. (11.13)

54 Роздiл 12. Рiвноважний стан феромагнетика

Перейдемо до польової системи, що векторним полем ��(��, 𝑡). Функцiя

Лагранжа має вигляд 𝐿[��, 𝜕��𝜕𝑥𝛼 ,

𝜕��𝜕𝑡 , 𝑡

]=∫

L d��. Якщо ввести дисипатив-

ну функцiю 𝐹[��, 𝜕��𝜕𝑥𝛼 ,

𝜕��𝜕𝑡 , 𝑡

]=∫

Fd��, лагранжеви рiвняння з урахуваннямдисипацiї набувають форму:

𝛿𝐿

𝛿��=

𝛿𝐹

𝛿 𝜕��𝜕𝑡

⇔ 𝛿𝐿

𝛿��=𝜕L

𝜕��− 𝜕

𝜕𝑡

𝜕L

𝜕 𝜕��𝜕𝑡

− 𝜕

𝜕𝑥𝛼𝜕L

𝜕 𝜕��𝜕𝑥𝛼

=𝜕F

𝜕 𝜕��𝜕𝑡

. (11.14)

Який вигляд повинна мати дисипативна функцiя для магнетика? Прига-дуючi явний вигляд рiвнянь Ландау—Лiфшиця—Гiльберта (11.6) та явнийвигляд функцiї Лагранжа (11.7), можемо записати дисипативну функцiю увиглядi

𝐹 =𝛼𝑀𝑆

2𝛾

∫d��(𝜃2 + sin2 𝜃��2

). (11.15)

При цьому рiвняння (11.6) можна отримати з (11.6) та (11.15) варiацiйнимчином: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝛿𝐿

𝛿𝜃=𝛿𝐹

𝛿𝜃𝛿𝐿

𝛿𝜑=𝛿𝐹

𝛿��.

(11.16)

Дисипативна функцiя визначає швидкiсть зменшення енергiї:

dE

d𝑡= −2𝐹. (11.17)

§ 12. Рiвноважний стан феромагнетика

Рiвняння Ландау–Лiфшиця описує динамiку намагнiченостi. Важливимтипом такої динамiки є мали коливання на фонi рiвноважного стану. Зав-дяки наявностi магнiтостатики рiвноважний стан може бути неоднорiдним,наприклад, виникає доменна структура. Дослiдження неоднорiдних станiв —окремий роздiл магнетизму. Зараз вважатиме, що основний стан однорiдний,що може реалiзуватися, якщо тiло матиме форму елiпсоїда. Iнша ситуацiя —поля досить сильнi (𝐻 > 4𝜋𝜉𝑀𝑆, де параметр 𝜉 . 1 визначається формоюзразка). Розглянемо одноосьовий ФМ, енергiю якого запишемо у виглядi

𝑊 = −1

2𝑓(𝑀 2) +

1

2

𝐴‖

𝑀 2𝑆

(𝜕��

𝜕𝑧

)2

+1

2

𝐴⊥

𝑀 2𝑆

⎡⎣(𝜕��𝜕𝑥

)2

+

(𝜕��

𝜕𝑦

)2⎤⎦

+1

2

𝐾

𝑀 2𝑆

(�� · ��

)2− �� · �� − 1

2�� · ��ms.

(12.1)

При записi (12.1) ми вважали, що обмiнний тензор 𝐴𝛼𝛽 має вигляд 𝐴𝑧𝑧 = 𝐴‖,𝐴𝑥𝑥 = 𝐴𝑦𝑦 = 𝐴⊥, анiзотропiя 𝐾𝛼𝛽 = 𝐾𝛿𝑧𝑧 та ввели вектор �� уздовж напрямку

Змiст 55

вiсi анiзотропiї. Ефективне поле в цьому випадку матиме вигляд:

��ef = 𝑓 ′(𝑀 2)�� +𝐴‖

𝑀 2𝑆

𝜕2��

𝜕𝑧2+𝐴⊥

𝑀 2𝑆

[𝜕2��

𝜕𝑥2+𝜕2��

𝜕𝑦2

]− 𝐾

𝑀 2𝑆

��(�� · ��

)+ �� + ��ms.

(12.2)

При розглядi рiвноважного стану ми маємо пiдставити в (12.2) однорi-дний розподiл �� = ��0. При цьому рiвноважний стан визначається мiнiму-мом енергiї, тобто з умови, що ефективне поле набуває нульового значення

��ef0 = 𝑓 ′(𝑀 2)�� − 𝐾

𝑀 2𝑆

��(�� · ��

)+ �� + ��ms = 0. (12.3)

Зокрема, при вiдсутнiх зовнiшнiх та магнiтостатичних полях рiвноважний

стан визначається анiзотропiєю з умови мiнiмума енергiї 𝑊 an = 12

𝐾𝑀2

𝑆

(�� · ��

)2.

Звiдси при 𝐾 < 0 матимемо легкоосьовий ФМ (��0‖��), при 𝐾 > 0— легко-площинний ФМ (��0⊥��).

Якщо врахувати вплив магнiтостатичного поля, то для однорiдного стану(тiло у формi елiпсоїда) ��ms = −4𝜋����0. Для одноосьового магнетика звiссю ��𝑧 позначимо 𝑁𝑧𝑧 = 𝑁‖, 𝑁𝑥𝑥 = 𝑁𝑦𝑦 = 𝑁⊥.

Розглянемо легкоосьовий магнетик. Якщо зовнiшнє поле �� ‖ ��, в основ-ному станi ��0 ‖ ��. Рiвноважне значення 𝑀𝑆 визначається з умови ��ef = 0,звiдки

𝑓 ′(𝑀 2𝑆)𝑀

2𝑆 + |𝐾|+𝐻 𝑖

0𝑀𝑆 = 0, 𝐻(𝑖)0 = 𝐻 − 4𝜋𝑁‖𝑀𝑆. (12.4)

Для легкоплощинного ФМ при �� ⊥ �� в основному станi ��0 ‖ ��, звiдки

𝑓 ′(𝑀 2𝑆)𝑀

2𝑆 +𝐻 𝑖

0𝑀𝑆 = 0, 𝐻(𝑖)0 = 𝐻 − 4𝜋𝑁⊥𝑀𝑆. (12.5)

Поле ��(𝑖)0 вiдiграє роль внутрiшнього магнiтного поля в кристалi. Якщо на-

прямок поля не спiвпадає з напрямком легкої вiсi намагнiчування, тобто�� ∦ ��, в ФМ можуть вiдбуватися переорiєнтацiйнi фазовi переходи. Виглядфункцiї 𝑓(𝑀 2

𝑆) в цих виразах не вiдомий, однак, як ми побачимо, явний виразне потрiбний для дослiдження спектра коливань магнетика.

§ 13. Тензор високочастотної магнiтної сприйнятливо-стi

§ 13.1. Лiнеаризованi рiвняння

Перейдемо до аналiзу малих коливань намагнiченостi поблизу рiвнова-жного стану ��0. Разом iз коливаннями намагнiченостi вiдбуватимуться ко-

56 Роздiл 13. Тензор високочастотної магнiтної сприйнятливостi

ливання внутрiшнього поля навколо значення ��(𝑖)0 . Отже, шукатиме намагнi-

ченiсть i внутрiшнє поле у виглядi

��(��, 𝑡) = ��0 + ��(��, 𝑡), |��| ≪𝑀𝑆, �� ⊥ ��0,

��(𝑖)(��, 𝑡) = ��(𝑖)0 + ℎ(𝑖)(��, 𝑡), |ℎ(𝑖)| ≪ ��

(𝑖)0 .

(13.1)

При цьому ефективне поле ��ef = ��ef0 + ℎef, де |ℎef| ∼ |��|. Для малої поправки

ℎef матиме:

ℎef = ℎ(𝑖) +𝐴𝛼𝛽

𝑀 2𝑆

𝜕2��

𝜕𝑥𝛼𝜕𝑥𝛽− 𝐾

𝑀 2𝑆

�� (�� · ��)− ��

𝑀 2𝑆

[��0 · ��(𝑖)

0 − 𝐾

𝑀 2𝑆

(��0 · ��

)2].

(13.2)

§ 13.2. Фур’є аналiз лiнеаризованих рiвнянь

Лiнеаризовани рiвняння Ландау–Лiфшиця матимуть вигляд

𝜕��

𝜕𝑡= −𝛾

[��0 × ℎef

], або, пiдставивши явний вигляд ефективного поля:

𝜕��

𝜕𝑡= −𝛾��0 ×

{ℎ(𝑖) +

𝐴𝛼𝛽

𝑀 2𝑆

𝜕2��

𝜕𝑥𝛼𝜕𝑥𝛽− 𝐾

𝑀 2𝑆

�� (�� · ��)

− ��

𝑀 2𝑆

[��0 · ��(𝑖)

0 − 𝐾

𝑀 2𝑆

(��0 · ��

)2]}.

(13.3)

Почнемо аналiз з динамiки коливань намагнiченостi у випадку, коли дов-жина хвилi набагато менша за характернi розмiри магнетика, тобто 𝜆 ≪ 𝐿.Розкладемо малi величини ��(��, 𝑡) i ℎ(𝑖)(��, 𝑡) за плоскими монохроматични-ми хвилями, що математично виражається розкладом в подвiйний iнтегралФур’є:

��(��, 𝑡) =

∫��(��, 𝜔)𝑒𝑖����−𝑖𝜔𝑡d��d𝜔

(2𝜋)4, ℎ(𝑖)(��, 𝑡) =

∫ℎ(𝑖)(��, 𝜔)𝑒𝑖����−𝑖𝜔𝑡d��d𝜔

(2𝜋)4. (13.4)

Тодi лiнiйне диференцiальне рiвняння у частинних похiдних (13.3) перетво-рюється на алнгебраїчне рiвняння

−𝑖𝜔��(��, 𝜔) = −𝛾��0 ×

{ℎ(𝑖)(��, 𝜔)− 𝐾

𝑀 2𝑆

��(��(��, 𝜔) · ��

)− ��(��, 𝜔)

𝑀 2𝑆

[𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽𝑀 2

𝑆

+ ��0 · ��(𝑖)0 − 𝐾

𝑀 2𝑆

(��0 · ��

)2]}.

(13.5)

Змiст 57

Розв’язуючи це рiвняння, можемо знайти зв’язок мiж компонентами Фур’єзмiнних частин внутрiшнього поля та намагнiченостi:

��(��, 𝜔) = ��(��, 𝜔)ℎ(��, 𝜔), ��(��, 𝜔) =

(𝜒𝑥𝑥 𝜒𝑥𝑦 0𝜒𝑦𝑥 𝜒𝑦𝑦 00 0 0

). (13.6)

Тензор ��— це тензор високочастотної магнiтної сприйнятливостi.

𝑥

𝑦

𝑧��0

�� 𝜓

��

𝜃𝑘

𝜑𝑘

Рис. 22: Визначення кутiв вза-ємної орiєнтацiї векторiв водноосьовому ФМ.

З рiвняння (13.5) знаходимо явний виглядкомпонент цього тензора:

𝜒𝑥𝑥 =𝛾Ω1𝑀0

Ω1Ω2 − 𝜔2, 𝜒𝑦𝑦 =

𝛾Ω2𝑀0

Ω1Ω2 − 𝜔2,

𝜒𝑥𝑦 = −𝜒𝑦𝑥 =𝑖𝜔𝛾𝑀0

Ω1Ω2 − 𝜔2,

Ω1 =𝛾

𝑀𝑆

(𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽 + ��0 · ��(𝑖)

0 −𝐾 cos2 𝜓)

Ω2 =𝛾

𝑀𝑆

(𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽 + ��0 · ��(𝑖)

0 −𝐾 cos 2𝜓).

(13.7)

Тут 𝜓 визначає кут мiж напрямками ��0 i �� ∈𝑋0𝑍, див. рис. 22.

Важливо, що завдяки обмiннiй взаємодiї вферомагнетику тензор �� залежить не лише вiд 𝜔, але й вiд ��. Отже, маємiсце як часова, так i просторова дисперсiя магнiтної сприйнятливостi.

Зазначимо, що при частотах 𝜔 =√Ω1Ω2 знаменник в виразах для ��

обертається до нуля отже має мiсце феромагнiтний резонанс.Якщо феромагнетик має анiзотропiю типу легка вiсь, тобто 𝐾 < 0 та

��0 ‖ ��, кут 𝜓 = 0, для тензора магнiтної сприйнятливостi матиме:

Ω1 = Ω2 = Ω =𝛾

𝑀𝑆

(𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽 + ��0 · ��(𝑖)

0 + |𝐾|)

𝜒𝑥𝑥 = 𝜒𝑦𝑦 =𝛾Ω𝑀0

Ω2 − 𝜔2, 𝜒𝑥𝑦 = −𝜒𝑦𝑥 =

𝑖𝜔𝛾𝑀0

Ω2 − 𝜔2.

(13.8)

Для феромагнетика з анiзотропiєю типу легка площина 𝐾 > 0 вектор��0 ⊥ ��, тому 𝜓 = 𝜋/2. Вважатиме ��0 ‖ ��(𝑖)

0 , тодi

Ω1 =𝛾

𝑀𝑆

(𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽 + ��0 · ��(𝑖)

0

), Ω2 =

𝛾

𝑀𝑆

(𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽 + ��0 · ��(𝑖)

0 +𝐾)

𝜒𝑥𝑥 = 𝜒𝑦𝑦, 𝜒𝑥𝑦 = −𝜒𝑦𝑥.(13.9)

§ 14. Закон дисперсiї спiнових хвиль

Перейдемо до знаходження закону дисперсiї спiнових хвиль, тобто зале-жностi 𝜔 = 𝜔(��).

58 Роздiл 14. Закон дисперсiї спiнових хвиль

Ми скористалися для дослiдження динамiки лiнеаризованними рiвнян-нями Ландау–Лiфшиця. В цьому випадку рiвняння еквiваленти введеннютензора магнiтної сприйнятливостi. Для встановлення дисперсiйних спiввiд-ношень нам потрiбний ще один зв’язок мiж �� i ℎ(𝑖).

Зазначених спiввiдношень (рiвнянь Ландау–Лiфшиця) не достатньо. Слiдскористуватися ще рiвняннями Максвелла. Спiновi хвилi — низькочастотнiхвилi, звiдки можна скористатися магнiтостатичним наближенням, тобто вва-жати, що �� i ℎ(𝑖) задовольняють рiвняння ∇ × ℎ(𝑖)(��, 𝑡) = 0, ∇ · ℎ(𝑖)(��, 𝑡) =

−4𝜋∇ · ��(��, 𝑡). Вiдповiднi рiвняння для Фур’є–компонент:

�� × ℎ(𝑖)(��, 𝜔) = 0, �� · ℎ(𝑖)(��, 𝜔) = −4𝜋�� · ��(��, 𝜔). (14.1)

З першого рiвняння матиме ℎ(𝑖)(��, 𝜔) = −𝑖𝑘Φ(��, 𝜔), де Φ(��, 𝜔)— Фур’є–компонентамагнiтостатичного потенцiалу. Тодi для динамiчної намагнiченостi матиме

𝜇𝛼(��, 𝜔) = 𝜒𝛼𝛽(��, 𝜔)ℎ(𝑖)𝛽 (��, 𝜔) = −𝑖𝜒𝛼𝛽(��, 𝜔)𝑘𝛽Φ(��, 𝜔).

Пiдставимо знайдене значення для 𝜇𝛼(��, 𝜔) в праву частину другого рiвняння(14.1), а в лiву — вираз поля поля через потенцiал:(

𝑘2 + 4𝜋𝜒𝛼𝛽(��, 𝜔)𝑘𝛼𝑘𝛽

)Φ(��, 𝜔) = 0,

звiдки матиме так зване дисперсiйне рiвняння:

𝑘2 + 4𝜋𝜒𝛼𝛽(��, 𝜔)𝑘𝛼𝑘𝛽 = 0. (14.2)

Пiдставляючи в це рiвняння явний вигляд для тензора високочастотноїмагнiтної сприйнятливостi, матиме:

1 +4𝜋𝛾𝑀𝑆

Ω1Ω2 − 𝜔2

Ω1𝑘2𝑥 + Ω2𝑘

2𝑦

𝑘2= 0.

Розв’язавши це рiвняння вiдносно частоти 𝜔, остаточно отримаємо закондисперсiї для спiнової хвилi:

𝜔𝑠(��) =√

Ω1Ω2 + 4𝜋𝛾𝑀𝑆

(Ω1 cos2 𝜑𝑘 + Ω2 sin

2 𝜑𝑘)sin2 𝜃𝑘. (14.3)

Тут 𝜃𝑘 i 𝜑𝑘 — сферичнi кути хвильового вектора ��, див. рис. 22.Зазначимо, що в граничному випадку коротких хвиль 𝑘 ≫𝑀𝑆/

√𝐴

𝜔𝑠(��) =𝛾

𝑀𝑆𝐴𝛼𝛽𝑘𝛼𝑘𝛽. (14.4)

В iзотропному ФМ 𝜔𝑠(��) =𝜃𝐶} (𝑘𝑎)

2, де 𝜃𝐶 = }𝛾𝐴/𝑎2 ∼ 𝑇𝐶 .Розглянемо легкоосьовий ФМ (𝐾 < 0), для якого ��0 ‖ �� (𝜓 = 0). Вва-

жатиме, що ��0 ‖ ��(𝑖)0 i 𝐴𝛼𝛽 = 𝐴𝛿𝛼𝛽. Тодi Ω1 = Ω2 = Ω = 𝜔gap + 𝐷𝑘2 та

𝜔𝑠(��) =√Ω[Ω + 4𝜋𝛾𝑀𝑆 sin

2 𝜃𝑘].

Змiст 59

𝑥

𝑦

𝑧��0

��

𝜓 = 0

��

𝜃𝑘 = 0

𝑘

𝜔𝑠(𝑘)

0

𝜔gap

(a) Легкоосьовий ФМ𝑥

𝑦

𝑧��0

��

𝜓 = 𝜋2

��

𝜃𝑘 = 0

𝑘

𝜔𝑠(𝑘)

0

(b) Легкоплощинний ФМ

Рис. 23: Взаємна орiєнтацiя векторiв та закон дисперсiї в одноосьовому магнетику.

Для випадку �� ‖ ��0, тобто 𝜃𝑘 = 0, див. рис. 23a, матиме

𝜔𝑠(��) = 𝜔gap +𝐷𝑘2, (14.5)

де частота активацiї 𝜔gap = 𝛾𝑀𝑆

(��0 · ��(𝑖)

0 + |𝐾|), величина 𝐷 = 𝛾𝐴

𝑀𝑆— спiно-

ва жорсткiсть спiнової хвилi. Схематично, залежнiсть (14.5) зображено нарис. 23a.

Розглянемо легкоплощинний ФМ (𝐾 > 0), для якого ��0 ⊥ �� (𝜓 = 𝜋/2).

Вважатиме, що ��0 ‖ ��(𝑖)0 i 𝐴𝛼𝛽 = 𝐴𝛿𝛼𝛽. Тодi Ω1 =

𝛾𝑀𝑆

(𝐴𝑘2 + ��0 · ��(𝑖)

0

), Ω2 =

𝛾𝑀𝑆

(𝐴𝑘2 + ��0 · ��(𝑖)

0 +𝐾). Тодi закон дисперсiї спiнової хвилi при ��(𝑖)

0 = 0 та

�� ‖ ��0 (𝜃𝑘 = 0) має вигляд, див. рис. 23b:

𝜔𝑠(��) = 𝐷𝑘

√𝑘2 +

1

𝑙2, (14.6)

де 𝑙 =√𝐴/𝐾 — характерна магнiтна довжина.

§ 14.1. Затухання спiнових хвиль

Вище ми не враховували процеси релаксацiї, тому отримали, що спiно-вi хвилi не затухають. Насправдi спiновi хвилi завжди затухають, але принизьких температурах це затухання дуже мале. Воно зумовлено як взаємо-дiєю спiнових хвиль мiж собою, так i з коливаннями ґратки. Розглянемо, яквпливає релаксацiя на спiновi хвилi. Для цього розглянемо рiвнянн Ланаду–Лiфшиця з релаксацiйним доданком Ландау (10.15). Проводячи аналогiчнимчином лiнеаризацiю та перетворення Фур’є, для компонент тензора магнiтноїсприйнятливостi отримаємо:

𝜒𝑥𝑥 = 𝜒𝑦𝑦 = 𝜒 =𝛾Ω𝑀0−𝑖𝜔𝜆+ Ω𝜆2

𝛾𝑀2𝑆

Ω2 −(𝜔 + 𝑖Ω𝜆

𝛾𝑀𝑆

)2 ,𝜒𝑥𝑦 = −𝜒𝑦𝑥 = −𝑖𝜒𝑎

𝑖𝜔𝛾𝑀0

Ω2 −(𝜔+ 𝑖Ω𝜆

𝛾𝑀𝑆

)2 . (14.7)

60 Роздiл 14. Закон дисперсiї спiнових хвиль

(a) 𝜒 = 𝜒′ − 𝑖𝜒′′ (b) 𝜒𝑎 = 𝜒′𝑎 − 𝑖𝜒′′

𝑎

Рис. 24: Розрахунок �� для феррiт–шпiнелi: 𝑀𝑆 = 160Гс, 𝜔/2𝜋 = 9.4ГГц, 2Δ𝐻 = 170Е.

При 𝜆 = 0 цей тензор має комплексний вигляд. При цьому 𝜒 = 𝜒′ − 𝑖𝜒′′ та𝜒𝑎 = 𝜒′

𝑎 − 𝑖𝜒′′𝑎.

Якщо пiдставити комплексний тензор �� в дисперсiйне рiвняння (14.2),знайдемо, що рiвняння також має комплексни розв’язки. Дiйсна частина ви-значає частоти, а уявна — коефiцiєнти затухання спiнових хвиль:

𝛾𝑠(��) =𝜆

𝛾𝑀𝑆

(Ω + 2𝜋𝛾𝑀𝑆 sin

2 𝜃𝑘). (14.8)

Приклад розрахунку компонент тензора магнiтної сприйнятливостi наве-дено на рис. 24.

§ 14.2. Однорiдний феромагнiтний резонанс

Перейдемо тепер до опису явища феромагнiтного резонансу. Почнемо зякiсних мiркувань. Розглянемо ФМ, в якому в основному станi намагнiче-нiсть ��0 спрямована уздовж легкої вiсi ��. Якщо до магнетика прикластистале поле �� також уздовж ��, то згiдно з класичними уявленнями намагнi-ченiсть буде прецесувати з ларморовою частотою

𝜔𝐿 = 𝛾𝐻 = 𝑔|𝑒|𝐻2𝑚𝑐

. (14.9)

Якщо тепер прикласти досить слабке змiнне поле ℎ = ℎ0 exp(𝑖𝜔𝑡) перпен-дикулярно до ��, то при значеннi частоти поля ларморовiй частотi, 𝜔 = 𝜔𝐿,вiдбуватиметься резонансне явище, пов’язане з максимальним поглинанняменергiї змiнного поля.

Першi експерименти по феромагнiтному резонансу (ФМР) були проведе-нi Дж. Грiффiтсом (Griffiths, 1946). При цьому фактор Ланде, розрахованийна основi експериментальнийх даних по резонанснiй частотi (14.9) привiв доаномально великих значень 𝑔–фактора: замiсть 𝑔 = 2 були отриманi значеннянавiть 𝑔 = 12. Результати суттєво залежали вiд форми зразка. Теорiю ФМРпобудував Ч. Кiттель (Kittel, 1947).

Перейдемо тепер до опису однорiдного ФМР. Вище ми розглядали ко-ливання намагнiченостi з довжиною хвилi 𝜆 ≪ 𝐿. Розглянемо тепер проти-

Змiст 61

лежний випадок, коли 𝜆 ≫ 𝐿. В цьому випадку зовнiшнє поле ��(𝑒) можнавважати однорiдним. Для зразкiв у формi елiпсоїда внутрiшнє поле ��(𝑖) та-кож можна вважати однорiдним. Змiннi складовi полiв пов’язанi мiж собоюспiввiдношенням:

ℎ(𝑖)(𝑡) + 4𝜋����(𝑡) = ℎ(𝑒)(𝑡). (14.10)

Переходячи до компонент Фур’є, матиме[1 + 4𝜋����(0, 𝜔)

]ℎ(𝑖)(𝜔) = ℎ(𝑒)(𝜔) ⇒ ℎ(𝑖)(𝜔) =

[1 + 4𝜋����(0, 𝜔)

]−1

ℎ(𝑒)(𝜔).

(14.11)

В цьому виразi символом[1 + 4𝜋����(0, 𝜔)

]−1

позначено матрицю, обернену

до[1 + 4𝜋����(0, 𝜔)

]. При частотах, що задовольняють умову

det[1 + 4𝜋����(0, 𝜔)

]= 0, (14.12)

в ФМ можуть iснувати коливання ℎ(𝑖)(𝜔) навiть у вiдсутньому зовнiшньомуполi ℎ(𝑒)(𝜔), отже спiввiдношення (14.12) визначає умови однорiдного ФМР.

Знайдемо конкретний вираз для частоти однорiдного ФМР. Використо-вуючи явну форму для тензора з урахуванням релаксацiї, див. (14.7), отри-маємо (поклавши 𝑘 = 0) у випадку поля, паралельного вiсi легкого намагнi-чування

𝜒𝑥𝑥 = 𝜒𝑦𝑦 =𝛾Ω𝑀0 − 𝑖𝜔𝜆

Ω2 − 𝜔2 − 2𝑖𝜔Ω𝜆𝛾𝑀𝑆

, 𝜒𝑥𝑦 = −𝜒𝑦𝑥 =𝑖𝜔𝛾𝑀0

Ω2 − 𝜔2 − 2𝑖𝜔Ω𝜆𝛾𝑀𝑆

,

Ω =𝛾

𝑀𝑆

(𝑀𝑆𝐻

(𝑖)0 + |𝐾| − 4𝜋𝑀 2

𝑆𝑁3

).

(14.13)

Пiдставивши цей вираз до умови ФМР (14.12), знайдемо частоту одно-рiдного ФМР:

𝜔FMR =𝛾

𝑀𝑆

√(|𝐾|+𝑀𝑆𝐻

(𝑒)0 + 4𝜋𝑀 2

𝑆(𝑁1 −𝑁3))(

|𝐾|+𝑀𝑆𝐻(𝑒)0 + 4𝜋𝑀 2

𝑆(𝑁2 −𝑁3)).

(14.14)Розглянемо декiлька прикладiв. Якщо зразок має форму кулi, 𝑁1 = 𝑁2 =𝑁3 =

13, частота ФМР

𝜔𝑅 = 𝛾𝑀𝑆|𝐾|+ 𝛾𝐻(𝑒)0 . (14.15)

Для цилiндру вздовж 𝑛, коефiцiєнти розмагнiчування: 𝑁1 = 𝑁2 =12, 𝑁3 = 0,

тому𝜔𝑅 = 𝛾𝑀𝑆|𝐾|+ 𝛾𝐻

(𝑒)0 + 2𝜋𝛾𝑀𝑆. (14.16)

Для пластини уздовж 𝑛 ⊥ 𝑋𝑂𝑌 : 𝑁1 = 𝑁2 = 0, 𝑁3 = 1, звiдки

𝜔𝑅 = 𝛾𝑀𝑆|𝐾|+ 𝛾𝐻(𝑒)0 − 4𝜋𝛾𝑀𝑆. (14.17)

62 Роздiл 15. Магнiтнi домени

Рис. 25: Поглинання енергiї змiнного поля з частотою 2.4 · 1010 Гц в залежностi вiд 𝐻(𝑒)0 для

супермалоя (Kittel): 𝐻‖FMR = 4800Е, 𝐻⊥

FMR = 15500Е.

Для iзотропного ФМ вираз резонансних частот ще спрошується:

𝜔FMR = 𝛾

√(𝐻

(𝑒)0 + 4𝜋𝑀𝑆(𝑁1 −𝑁3)

)(𝐻

(𝑒)0 + 4𝜋𝑀𝑆(𝑁2 −𝑁3)

). (14.18)

Зокрема, якщо пластина знаходиться у зовнiшньому полi уздовж вiсi ��, то𝑁1 = 𝑁2 = 0, 𝑁3 = 1. При цьому для частоти ФМР маємо

𝜔‖FMR = 𝛾

(𝐻

(𝑒)0 − 4𝜋𝑀𝑆

). (14.19)

Якщо поле — в площинi пластини, то резонансна частота

𝜔⊥FMR = 𝛾

√(𝐻

(𝑒)0 + 4𝜋𝑀𝑆

)𝐻

(𝑒)0 , (14.20)

звiдки 𝜔⊥FMR = 𝛾

√𝐵𝐻 ≫ 𝜔

‖FMR. Характерна залежнiсть поглинання енергiї

для супермалоя наведена на рис. 25.

§ 15. Магнiтнi домени

§ 15.1. Причина появи доменiв

Ми розглянули питання про основнi види магнiтних взаємодiй в ферома-гнетиках. Тепер з’ясуємо, який вигляд має розподiл намагнiченостi всерединiмагнетикiв. Почнемо розгляд з iдеального кристалу, який охолоджений вiдточки Кюрi без магнiтного поля. На перший погляд, такий кристал має бутинамагнiчений однорiдно. При такому розподiлi одмiнна енергiя буде мiнiмаль-на (немає неоднорiдного обмiну). Енергiя анiзотропiї також буде мiнiмальна,якщо намагнiченiсть спрямована уздовж напрямку легкого намагнiчування.

Однак при цьому ми можемо програти в полях розмагнiчування. Дiйсно,магнiтостатична енергiя однорiдно намагнiченого зразка:

E ms = −1

2

∫d���� · ��ms ∼ 2𝜋𝑁𝑀 2

𝑆𝑉

Змiст 63

(a) Однорiдний розподiл (b) Вихровий розподiл (c) Домени

Рис. 26: Схематичний вигляд поля размагнiчування для рiзного розподiлу намагнiченостi.

зростає iз збiльшенням об’єму системи. Тому система намагається позбави-тися поля розмагнiчування, зменшуючи ефективно фактор розмагнiчування,див. Рис. 26.

З iншого боку неоднорiдно намагнiчений зразок має додатково обмiннуенергiю

E ex = 𝐴

∫(∇𝑀)2d�� ∼ 𝐴𝑉 1/3,

яка має iншу функцiональну залежнiсть вiд об’єму. Отже, може виникатиконкуренцiя мiж рiзними енергетичними доданками. При цьому феромагне-тик може розбиватися на домени для зменшення енергiї розмагнiчування.

§ 15.2. Умови появи доменiв

Зробимо енергетичну оцiнку параметрiв доменної стiнки. Нехай мiж дво-ма доменами з протилежно спрямованою намагнiченiстю виникла доменнастiнка, тобто перехiдна область, намагнiченiсть в якiй спрямована перпен-дикулярно до напрямку намагнiченостi в доменах. Вважаючи, що ширинадоменної стiнки дорiвнює ℓ, зробимо оцiнку обмiнної енергiї доменної стiн-ки:

E ex = 𝐴

∫(∇𝑚)2d�� ∼ 𝐴𝑆

ℓ, (15.1)

звiдки бачимо, що обмiнна взаємодiя намагається збiльшити розмiр стiнкиℓ. Енергiя анiзотропiї доменної стiнки

E an = 𝐾

∫𝑚2

𝑧d�� ∼ 𝐾𝑆ℓ, (15.2)

навпаки, намагається зменшити ширину стiнки. В результатi балансу енергiїповерхнева густина енергiї 𝜎 ≡ E /𝑆:

𝜎 =𝐴

ℓ+𝐾ℓ— min ⇒ ℓ ∼

√𝐴

𝐾, 𝜎 ∼

√𝐴𝐾 (15.3)

На пiдставi наведеної оцiнки можемо сформулювати умову появи доменноїстiнки: якщо енергiя розмагнiчування бiльша за енергiю утворення доменноїстiнки, феромагнетик розiб’ється на домени.

64 Роздiл 16. Доменнi стiнки в одноосьових магнетиках

𝑥

𝑦

𝑧

ℓ𝐵

1 домен 2 доменДС

(a) Стiнка Блоха

𝑥

𝑧

ℓ𝑁

1 домен 2 доменДС

(b) Стiнка Нееля

Рис. 27: Схематичний вигляд розподiлу намагнiченостi в доменних стiнках

§ 16. Доменнi стiнки в одноосьових магнетиках

Вище ми зробили оцiнку для енергiї та ширини доменної стiнки. Теперпоставимо задачу про дослiдження структури доменної стiнки.

§ 16.1. Доменна стiнка Блоха в кристалi

Розглянемо необмежений кристал з таким розподiлом намагнiченостi �� =

𝑀0��, що ∇ · �� = 0. При цьому будуть вiдсутнiми об’ємнi магнiтостатичнiзаряди. Енергiя такої доменної стiнки складатиметься лише з обмiнної тамагнiтостатичної складових:

E =

∫𝑊d��,

𝑊 =1

2𝐴(∇��)2 +

1

2𝐾(1−𝑚2

𝑧) =1

2𝐴[(∇𝜃)2 + sin2 𝜃(∇𝜑)2

]+

1

2𝐾 sin2 𝜃.

(16.1)

Найпростiший розподiл намагнiченостi литу доменна стiнка запропонував в1932 роцi Ф. Блох, див. Рис. 27a:

𝑚𝑥 = 0, 𝑚𝑦 = sin 𝜃(𝑥), 𝑚𝑧 = cos 𝜃(𝑥). (16.2)

При такому розподiлi намагнiченостi вiдсутнi об’ємнi магнiтостатичнi заряди,∇ · �� = 0. Пiдставляючи розподiл (16.2) до енергiї (16.1), знаходимо:

𝑊 =1

2𝐴𝜃′2(𝑥) +

1

2𝐾 sin2 𝜃(𝑥). (16.3)

Розподiл намагнiченостi в доменнiй стiнцi знаходимо з умов мiнiмуму енергiї:

𝛿E

𝛿𝜃=𝜕𝑊

𝜕𝜃− 𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑊

𝜕𝜃′= 𝐾 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝐴𝜃′′ = 0, (16.4)

звiдки отримаємо, диференцiальне рiвняння, що задає структуру стiнки:

𝜃′′ =sin 𝜃 cos 𝜃

ℓ2𝐵. (16.5)

Змiст 65

Тут величина

ℓ𝐵 =

√𝐴

𝐾(16.6)

задає ширину доменної стiнки Блоха, так звану магнiтну довжину. Розв’язу-ючи рiвняння (16.5), знаходимо розподiл намагнiченостi у виглядi

cos 𝜃 = th𝑥

ℓ𝐵, sin 𝜃 = ± 1

ch 𝑥ℓ𝐵

. (16.7)

Такий розподiл намагнiченостi утворює топологiчний солiтон типу кiнк. Енер-гiя блохiвської ДС:

𝜎𝐵 = 2√𝐴𝐾. (16.8)

Оцiнки ширини доменних стiнок для типових матерiалiв: ℓ(Co)=10 ÷ 100𝑎0,ℓ(Fe) = 300 𝑎0, ℓ(Py)=103𝑎0.

§ 16.2. Доменна стiнка Нееля в кристалi

Розглянемо iнший випадок доменної стiнки, що вiдповiдає вiдсутнiм по-верхневим магнiтостатичним зарядам. Знов вважатимемо, що маємо необме-жений кристал, але тепер �� · �� = 0. Енергiя такої доменної стiнки:

𝑊 =1

2𝐴[(∇𝜃)2 + sin2 𝜃(∇𝜑)2

]+

1

2𝐾 sin2 𝜃 +𝑊ms, (16.9)

де, на вiдмiну вiд (16.1), енергiя мiстить також магнiтостатичний доданок.Доменну стiнку, що вiдповiдає таким умовам, запропонував 1944 роцi Неель,див. Рис. 27b:

𝑚𝑥 = sin 𝜃(𝑥), 𝑚𝑦 = 0, 𝑚𝑧 = cos 𝜃(𝑥). (16.10)

При такому розподiлi намагнiченостi об’ємнi магнiтостатичнi заряди ∇ · �� =𝜕𝑚𝑥

𝜕𝑥 , звiдки ��ms = −4𝜋𝑀𝑆 sin 𝜃(𝑥)��𝑥. Пiдставляючи розподiл (16.10) до енергiї(16.9), знаходимо:

𝑊 =1

2𝐴𝜃′2(𝑥) +

1

2(𝐾 + 4𝜋) sin2 𝜃(𝑥). (16.11)

Розподiл намагнiченостi в доменнiй стiнцi знаходимо з умов мiнiмуму енергiї,звiдки отримаємо структуру стiнки:

cos 𝜃 = th𝑥

ℓ𝑁, sin 𝜃 = ± 1

ch 𝑥ℓ𝑁

. (16.12)

Тут величина

ℓ𝑁 =

√𝐴

𝐾 + 4𝜋(16.13)

задає ширину доменної стiнки Нееля. Зазначимо, що при однаковим матерi-альних параметрах енергiя стiнки Нееля

𝜎𝑁 = 2√𝐴(𝐾 + 4𝜋) (16.14)

бiльша за ширину стiнки Блоха 𝜎𝐵 = 2√𝐴𝐾, звiдки в необмежених магне-

тиках вигiднiшими є стiнки Блоха.

66 Роздiл 16. Доменнi стiнки в одноосьових магнетиках

(a) Схематичне зображен-ня доменної структуру

(b) Розбиття поверхневихдоменiв

(c) Голчастi домени(NdFeB)

Рис. 28: Доменна структура кристала

§ 16.3. Розмiр доменiв

Вище ми розглянули розподiл намагнiченостi в доменних стiнках на при-кладi стiнок Блоха та Нееля в необмежених кристалах. З’ясуємо тепер, якiрозмiри та форму мають самi домени.

Розглянемо тепер напiвобмежений одноосьовий магнетик, в якому доме-ни розташованi уздовж вiсi 𝑧, довжина домена — 𝐿, його ширина — 𝑑. Поверх-ня магнетика — площина 𝑋𝑜𝑌 . Ми знаємо, що магнiтостатична енергiя ведедо збiльшення енергiї, тому вважатиме, що утворюється магнiтна структураiз замкненим магнiтним потоком, тобто, на межi магнетика �� · �� = 0. Тоб-то бiля поверхнi виникають поверхневi домени. Для простоти вважатиме, щовони мають форму призматичних областей з 𝑀𝑝

𝑥 = ±𝑀𝑆. див. Рис. 28a. Об’ємкожної з областей 𝑣𝑝 = 𝑑2𝐿𝑦

4 , кiлькiсть 𝑁𝑝 = 2𝐿𝑥

𝑑 , сумарний об’єм 𝑉 𝑝Σ = 1

2𝐿𝑥𝐿𝑦𝑑.Таким чином, енергiя анiзотропiї поверхневих доменiв E an =

𝐾𝐿𝑥𝐿𝑦𝑑2 .

Вважатиме, що доменнi стiнки — 180∘ стiнки Блоха, густина енергiї ко-жної стiнки 𝜎𝑊 = 2

√𝐴𝐾, площа стiнки 𝐿𝑦𝐿, кiлькiсть доменiв 𝐿𝑥/𝑑, звiдки

поверхнева енергiя всiх доменних стiнок E𝑊 =2𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿

√𝐴𝐾

𝑑 .Тепер можемо пiдрахувати повну енергiю:

E =2𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿

√𝐴𝐾

𝑑+𝐾𝐿𝑥𝐿𝑦𝑑

2. (16.15)

Умова мiнiмуму енергiї призводить до оцiнки:

𝑑 = 2√𝐿ℓ, (16.16)

що для типових магнетикiв складає 100nm–0.1mm. Залежнiсть (16.16) булавперше знайдена Ландау i Лiфшицем (1935).

Слiд зазначити, що при збiльшеннi товщини зразка 𝐿, об’єм поверхне-

Змiст 67

1 домен 2 доменДС

ℓ𝐵ℎ

⨂ ⨀

(a) Схематичне зображення блохiвськоїдоменної стiнки

1 домен 2 доменДС

ℓ𝑁ℎ

⨂ ⨀

(b) Схематичне зображення блохiвськоїдоменної стiнки

Рис. 29: Доменнi стiнки

вих призматичних доменiв збiльшується, енергiя анiзотропiї таких доменiвтакож збiльшується. Є.М. Лiфщиц в 1945 роцi показав, що енергетично ви-гиднiшим є розбиття поверхневих призматичних доменiв на бiльш дрiбнi,див. Рис. 28b. В результатi, при збiльшеннi товщини залежнiсть 𝑑 ∼ 𝐿1/2

змiнюється на 𝑑 ∼ 𝐿3/2. При подальшому збiльшеннi товщини вiдбуваєтьсяподальше дрiбнення поверхневих доменiв, що супроводжується появою гол-частих доменiв, див. Рис. 28c.

§ 16.4. Доменнi стiнки в плiвках

Яка доменна стiнка реалiзується в плiвцi: Блохiвська чи Неелiвська?Ми вже знаємо, що енергiя при однакових матерiальних параметрах енер-гiя блохiвської доменної стiнки в нескiнченому кристалi менша за енергiюнеелiвської. Отже слiд очiкувати, що при переходi до магнетика скiнченоїтовщини (плiвки) блохiвська стiнка буде енергетично вигiдною для товстихплiвок. В протилежному випадку тонкої плiвки суттєвим буде магнiтостати-чна енергiя поверхневих зарядiв. Для неелiвської стiнки намагнiченiсть наповерхнi спрямована тангенцiально, звiдки поверхневi заряди вiдсутнi. Томудля тонкої плiвки слiд очiкувати, що вигiднiшою буде неелiвська стiнка.

Зробимо оцiнки. Розглянемо два типи стiнок, див. Рис. 29. Середня на-

магнiченiсть доменної стiнки �� ∼ 𝑀𝑠

𝜋ℓ𝐵,𝑁

∞∫−∞

sin 𝜃(𝑥)d𝑥 = 𝑀𝑆 не залежить вiд

типу стiнки. Поверхневi густини енергiй стiнок:

𝜎ms𝐵 ∼ 2𝜋𝑁

(ℓ𝐵ℎ

)𝑀 2

𝑆ℓ𝐵, 𝜎ms𝑁 ∼ 2𝜋𝑁

(ℎ

ℓ𝑁

)𝑀 2

𝑆ℓ𝑁 . (16.17)

Граничне значення можна знайти з умов 𝜎ms𝐵 = 𝜎ms

𝑁 . Розглянувши для про-стоти нескiнченно довгий паралелепiпед, матиме: 𝑁(𝑥) +𝑁(1/𝑥) = 1, звiдки𝑁(𝑥) ∼ 1

2. Таким чином, граничне значення 𝑥 ∼ 1, отже гранична товщинаℎ𝑐 ∼ ℓ.

Таким чином, в плiвкам можуть iснувати як блохiвська, так i неелiвськадоменнi стiнки. Типова залежнiсть енергiї вiд товщини та ширини стiнкивiд товщини наведена на Рис. 30a, 30b. В реальних плiвках структура може

68 Роздiл 17. Доменнi стiнки в двоосьових магнетиках

(a) Енергiя ДС: розрахунок (b) Енергiя ДС: експери-мент

(c) Закручена ДС

Рис. 30: Енергiя стiнок в плiвцi.

бути значно складнiшою. Наприклад, можуть виникати скрученi ДС, див.Рис. 30c.

§ 17. Доменнi стiнки в двоосьових магнетиках

§ 17.1. Структура доменної стiнки

Чому ДС в одноосьовому кристалi не рухається? Припустимо, що до-менна стiнка рухається як жорстка частинка, тобто в кристалi поширюєтьсянелiнiйна хвиля намагнiченостi

��(��, 𝑡) = ��(𝑥− 𝑣𝑡) (17.1)

з межовими умовами ��(+∞) = ��𝑆, ��(−∞) = −��𝑆 — так званий однови-мiрний топологiчний магнiтний солiтон типу кiнк. З умови (17.1) вiдразу ма-

тиме, що швидкiсть змiни магнiтного моментуdM𝑧

d𝑡∼ 𝑣𝑀𝑆. Для одноосьово-

го кристалу матиме закон збереження z–складової намагнiченостi,dM𝑧

d𝑡= 0,

звiдки доменна стiнка в одноосьовому кристалi не може рухатися.Перейдемо до розгляду двоосьових кристалiв. Розглянемо необмежений

кристал з таким розподiлом ��, що ∇ · �� = 0, �� · �� = 0. Енергiя такогокристала:

𝑊 =1

2𝐴[(∇𝜃)2 + sin2 𝜃(∇𝜑)2

]+

1

2𝐾 sin2 𝜃(1 + 𝜀 cos2 𝜑). (17.2)

Тут параметр 𝜀 описує анiзотропiю в площинi.Пiдставляючи енергiю (17.2) в рiвняння Ландау–Лiфшиця (11.7), запи-

Змiст 69

шемо цi рiвняння в явному виглядi:⎧⎪⎨⎪⎩sin 𝜃

𝜕𝜑

𝜕𝑡=

𝛾

𝑀𝑆

𝛿E

𝛿𝜃,

− sin 𝜃𝜕𝜃

𝜕𝑡=

𝛾

𝑀𝑆

𝛿E

𝛿𝜑.

(17.3)

Шукатиме розв’язок рiвнянь у виглядi бiжучої хвилi, 𝜃 = 𝜃(𝑥 − 𝑣𝑡), 𝜑 =𝜑(𝑥− 𝑣𝑡). Тодi рiвняння матимуть вигляд системи двох зв’язаних звичайнихдиференцiальних рiвняння:{

ℓ2(sin2 𝜑′)′ + 𝜀 sin2 𝜃 sin𝜑 cos𝜑+ 𝑣𝜔0𝜃′ sin 𝜃 = 0

ℓ2𝜃′′ − sin 𝜃 cos 𝜃(1 + 𝜀 cos2 𝜑+ ℓ2𝜑′2

)− 𝑣

𝜔0𝜑′ sin 𝜃 = 0,

(17.4)

де ℓ =√

𝐴𝐾 — магнiтна довжина, 𝜔0 =

𝛾𝐾𝑀𝑆

— частота однорiдного ФМР.Почнемо аналiз з найпростiшого випадку, що вiдповiдає розв’язку типу

кiнк:𝜃 = 𝜃(𝜉 = 𝑥− 𝑣𝑡), 𝜑 = const. (17.5)

З другого рiвняння (17.4) матиме:

ℓ2(𝜑)𝜃′′ = sin 𝜃 cos 𝜃, ℓ(𝜑) =ℓ√

1 + 𝜀 cos2 𝜑. (17.6)

Перший iнтеграл цього рiвняння: ℓ2(𝜑)𝜃′2 = sin2 𝜃, звiдки структура кiнка маєвигляд

cos 𝜃 = κ th𝑥− 𝑣𝑡

ℓ(𝜑), 𝜑 = const (17.7)

Тут величина

κ = ±1 =1

2𝑀𝑆

∫d𝜉

𝜕

𝜕𝜉(𝑀𝑆 −𝑀𝑧) (17.8)

представляє собою топологiчний заряд доменної стiнки.З першого рiвняння (17.4) оримаємо для швидкостi ДС:

𝑣

𝑣0= −κ

𝜀 sin𝜑 cos𝜑√1 + 𝜀 cos2 𝜑

. (17.9)

Вiдразу можемо зробити висновок, що нерухомий кiнк (𝑣 = 0) може iснуватилише за умов 𝜑 = 0; 𝜋/2. Якщо 𝜑 = 𝜋

2 , матиме блохiвську ДС: cos 𝜃 = th 𝑥ℓ𝐵

,

ℓ𝐵 =√

𝐴𝐾 . Якщо 𝜑 = 0, матиме неелiвську ДС: cos 𝜃 = th 𝑥

ℓ𝑁, ℓ𝑁 = ℓ𝐵√

1+𝜀.

Врахування магнiтостатики веде до появимагнiтостатичного поля 𝐻ms𝑥 =

−4𝜋𝑀𝑥, що зумовлює перенормування сталої анiзотропiї:

𝜀→ 𝜀⋆ = 𝜀+4𝜋𝑀 2

𝑆

𝐾. (17.10)

70 Роздiл 17. Доменнi стiнки в двоосьових магнетиках

§ 17.2. Динамiка доменної стiнки

Згiдно з (17.9), для одноосьового ФМ швидкiсть стiнки нульова, тобтоДС в одноосьовому магнетику не може рухатися у вiдповiдностi iз наведени-ми на початку роздiлу мiркуваннями. Енергiя ДС залежить вiд швидкостi:

𝜎(𝑣) = 2√𝐴𝐾(1 + 𝜀⋆ cos2 𝜑). (17.11)

З формули (17.9) можна побачити, що iснує гранична швидкiсть доменноїстiнки, так звана уокерiвська границя:

𝑣𝑊 = 𝑣0

√1 + 𝜀⋆ − 1

, (17.12)

тобто ДС не може рухатися швидкiше, нiж ця гранична швидкiсть, 𝑣 < 𝑣𝑊 .Для одноосьових магнетикiв гранична швидкiсть нульова.

Розглянемо питання про масу доменної стiнки. Нехай швидкiть ДС мала,𝑣 ≪ 𝑣𝑊 . Тодi можливо розкласти енергiю ДС в ряд за швидкiстю, 𝜎(𝑣) =

𝜎0 +𝑚⋆𝑣2

2 . При цьому 𝑚⋆ iстотно назвати ефективною масою стiнки.Для блохiвської ДС в статичному випадку 𝜑(𝑣 = 0) = 𝜋

2 , звiдки, прималих швидкостях 𝜑 ≈ 𝜋

2 +𝑣

κℓ𝜔0𝜀. Тодi для ефективної маси матиме:

𝑚⋆ =4𝜎𝐵ℓ2𝜔2

0𝜀. (17.13)

Аналогiчно для ДС Нееля в нерухомому випадку 𝜑(𝑣 = 0) = 0, звiдки 𝜑 ≈−𝑣

√1+𝜀

κℓ𝜔0𝜀. Тодi ефективна маса неелiвської ДС:

𝑚⋆ =4𝜎𝐵ℓ2𝜔2

0𝜀. (17.14)

§ 17.3. Динамiка доменної стiнки в зовнiшньому полi

Розглянемо питання про рух доменної стiнки в зовнiшньому магнiтномуполi. Нехай поле спрямовано уздовж напрямку легкої вiсi 𝑧. Тодi замiстьрiвнянь (17.4) матиме:{

ℓ2(sin2 𝜑′)′ + 𝜀 sin2 𝜃 sin𝜑 cos𝜑+ 𝑣𝜔0𝜃′ sin 𝜃 = 0

ℓ2𝜃′′ − sin 𝜃 cos 𝜃(1 + 𝜀 cos2 𝜑+ ℓ2𝜑′2

)− 𝑣

𝜔0𝜑′ sin 𝜃 = ℎ sin 𝜃,

(17.15)

де ℎ = 𝐻𝑀𝑆

𝐾 — зовнiшнє поле, нормоване на поле анiзотропiї.Вважатиме, що поле досить слабке, ℎ ≪ 1. Тодi можна вважати, що

поле — мале збудження системи. При цьому структура розв’язку матиме ви-гляд, аналогiчний до (17.7):

cos 𝜃 = κ th𝑥−𝑋(𝑡)

ℓ(𝜑), 𝜑 = 𝜑(𝑡). (17.16)

Змiст 71

Однак тепер центр кiнка 𝑋(𝑡) рухається. При цьому кут розвороту намагнi-ченостi 𝜑(𝑡) також залежить вiд часу:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

d𝑋0

d𝑡= −𝑣0

𝜀 sin𝜑 cos𝜑√1 + 𝜀 cos2 𝜑

d𝜑

d𝑡= 𝜔0ℎ.

(17.17)

Розв’язок цiєї системи має вигляд:{𝑋(𝑡) = 𝑣0

ℎ

√1 + 𝜀 cos2 ℎ𝜔0𝑡

𝜑 = 𝜔0ℎ𝑡.(17.18)

Отже, в зовнiшньому сталому полi доменна стiнка починає коливатися, щосупроводжується прецесiєю намагнiченостi.

72 Роздiл Рекомендована лiтература

Рекомендована лiтература

[1] Aharoni A. Introduction to the theory of Ferromagnetism. — Oxford Uni-versity Press, 1996. — 319 pp.

[2] Blundell S. Magnetism in Condensed Matter. — Oxford University Press,2001. — 238 pp.

[3] Brown Jr. W. F. Micromagnetism. — Wiley, New York, 1963.

[4] Chikazumi S. Physics of Ferromagnetism. — Oxford University Press,1997. — 655 pp.

[5] Guimaraes A. P. Principles of Nanomagnetism. NanoScience andTechnology. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. — 221 pp.

[6] Hubert A., Schafer R. Magnetic domains: the analysis of magnetic mi-crostructures. — Berlin: Springer–Verlag, 1998. — 696 pp.

[7] Stohr J., Siegmann H. C. Magnetism: From Fundamentals to NanoscaleDynamics. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. — Vol. 152 of Spri-nger Series in solid-state sciences. — 820 pp.

[8] Tang D. D., Lee Y.-J. Magnetic Memory - Fundamentals and Technology. —Cambridge University Press, 2010. — 208 pp.

[9] Ахиезер И. А., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Спиновые вол-ны. — М.: Наука, 1967. — 368 с.

[10] Барьяхтар В., Иванов Б. А. В мире магнитных доменов. — Киев: Наук.думка, 1986. — 159 с.

[11] Барьяхтар В. Г., Криворучко В. Н., Яблонский Д. А. Функции Грина втеории магнетизма. — Киев: Наукова думка, 1984. — 368 с.

[12] Боровик Е. С., Еременко В. В., Мильнер А. С. Лекции по магнетизму. —Москва: Физматлит, 2005. — 512 с.

[13] Вонсовский В. С. Магнетизм / Под ред. А. А. Гусева. — Москва: Наука,1971. — 1032 с.

[14] Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебання и волны. — М.:Физматлит, 1994. — 464 с.

[15] Косевич А. М., Иванов Б. А., Ковалев А. С. Нелинейные волны нама-гниченности. Динамические и топологические солитоны. — Киев: Наук.думка, 1983. — 192 с.

[16] Кринчик Г. С. Физика магнитных явлений. — М.: Издательство Москов-ского университета, 1976. — 367 с.

[17] Крупичка С. Физика ферритов и родственных им магнитных окислов. —М.: Мир, 1976. — Т. 1. — 353 с.

Рекомендована лiтература 73

[18] Крупичка С. Физика ферритов и родственных им магнитных окислов. —М.: Мир, 1976. — Т. 2. — 504 с.

[19] Малоземов А., Слонзуски Д. Доменные стенки в материалах с цилин-дрическими магнитными доменами. — М.: Мир, 1982. — 380 с.

[20] Маттис Д. Теория магнетизма. — Москва: Мир, 1967. — 408 с.

[21] Уайт Р. Квантовая теория магнетизма. — Москва: Мир, 1985. — 304 с.

[22] Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. — Москва:Мир, 1977. — 306 с.

[23] Advanced Magnetic Nanostructures / Ed. by D. Sellmyer, R. Skomski. —Springer, 2006. — P. 508.

Навчальне видання

Шека Денис Дмитрович

Основи магнетизму

Методичний посiбник для магiстрiвприродничих спецiальностей унiверситету

Друкується за авторською редакцiєю

Оригiнал-макет виготовлено авторами за допомогою видавничогопакету LATEX2e з використанням шрифтiв PSCyr

Видавнича лабораторiя радiофiзичного факультетуКиївського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка

03022, Київ, просп. Глушкова, 4-гтел., факс: +38 (044) 521-35-90.

Пiдписано до друку 17.09.2012 Формат Вид. №Друк офсетний. Наклад Умовн. друк. арк.