Exemple Si Contraexemple

5/27/2018 Exemple Si Contraexemple

1/5

Exemple si contraexemple n analiza matematica liceala

Andrei Vernescu1) 2)

Abstract. We present some of the basic but nontrivial examples andcounterexamples in Calculus and in the beginning of the MathematicalAnalysis, respecting the level of the contemporary Romanian highschoolsyllabus.

Keywords: Sequence of real numbers, limit of a real function at a point,continuity, derivative, Riemann integral, antiderivative.

MSC : 26A06, 26A09, 26A15, 26A27, 26A36, 26C15.

I. IntroducereExemplele prezentate n cadrul diferitelor teorii matematice au rolul de

a ilustra definitiile, precum si functionarea teoremelor.Contraexemplele vin sa puna n evidenta anumite ,,delimitari teoretice,

n principal, n urmatoarele moduri:a) arata cum, uneori, o legitate aparent plauzibila nu se valideaza;b) arata cum, atunci cand nu sunt ndeplinite toate cerintele din ipoteza

unei teoreme, concluzia poate sa nu mai fie valabila, adica teorema sa nu maifunctioneze (pe scurt, arata cum, omiterea unor cerinte din ipoteza uneiteoreme poate s-o invalideze);

c) arata ca unele cerinte din ipotezele teoremelor reprezina doar conditiisuficiente (nu si necesare!);3)

d) argumenteaza, pentru cazuri individuale de teoreme, situat ia gene-rala (,,majoritara) ca reciprocele unor teoreme corecte nu sunt adevarate.

Analiza matematica se releva a fi acea ramura a matematicii care con-duce la construirea celor mai multe contraexemple si se considera ca aceastase datoreaza existentei celei mai mari varietati de situatii si nuante care aparn cuprinsul sau. Din aceasta cauza s-au si alcatuit carti dedicate special con-traexemplelor n analiza, cea mai cunoscuta fiind cea, devenita clasica, [8],a autorilor B. R. Gelbaum si J. M. H. Olmsted, tradusa si n limba romana([9]). Mai semnalam si cartea cea mai noua [19] (recenzata n paginile revistein nr. 4/2008, pag. 364), iar din literatura matematica romaneasca, lucrarile[5], [12], cat si sectiunea de contraexemple din [3].

Invatamantul romanesc are o veche traditie n prezentarea primelorelemente de analiza matematica (adica ale calculului diferential si integral

al functiilor de o variabila reala) cu ncepere deja din ultimii doi ani de1)Conf. dr., Universitatea Valahia din Targoviste, e-mail: [email protected])Prezentul text contine, sub o forma putin mai dezvoltata, conferinta prezentata n

ziua de 28 iulie 2009, n cadrul cursurilor pentru perfectionarea profesorilor, Busteni, 28iulie - 5 august 2009. (N.R.)

3) Reamintm ca, daca p q (unde p si q sunt propozitii), atunci se spune ca ,,p esteconditie suficienta pentru q, iar ,,qeste conditie necesara pentru p. (N.A.)

1


2/5

2

liceu.1) Aceasta prevedere a programei, de includere prin intermediul ele-mentelor de analiza matematica si a matematicii miscarii, a fenomenelor deevolutie, atat de actuale astazi, ntr-o lume n rapida si accelerata schimbaresi interdependenta, este menita sa ofere elevilor o imagine mai apropiata derealitate, a ceea ce nseamna matematica vie, contemporana. Ulterior, pentrucei care vor urma (si) cursuri universitare de matematica, stapanirea acestorelemente de analiza matematica este menita sa faciliteze ntelegerea lectiilor,indispensabile, din aceasta disciplina matematica.

Modernizarea prezentarii analizei matematice n nvatamantul universi-tar romanesc a nceput dupa venirea, n 1940, a lui Miron Nicolescu2) la Cate-dra de calcul diferential si integral a Universitatii din Bucuresti. Dupa putintimp s-a pus si problema (indisolubil legata de aceasta modernizare) a unei

asezari pe baze riguroase, corecte si a nvatamantului liceal de analiza mate-matica. Un prim pas, foarte important, n acest sens, l-a constituit aparitiamanualului intitulat ,,Elemente de Analiza matematica pentru clasa a XI-areala [6], scris de catre profesorul universitar Nicolae Dinculeanu, membrude onoare al Academiei Romane, n colaborare cu regretatul conferentiar dr.Eugen Radu, manual dupa care au nvatat toate seriile de elevi de la sect iareala, n perioada 1959-1979. Nu omitem aici reamintirea altor doua foarteimportante manuale de analiza matematica de liceu [11], pentru clasa a XI-asi [2] pentru clasa a XII-a, cu impact major timp de peste 20 de ani (ncepanddin 1980) n nvatarea analizei de catre elevi.

Incepand nca din perioada n care s-a introdus la liceu predarea analizeimatematice, aceasta a solicitat si continua sa solicite, ntr-un grad ridicat, cre-

ativitatea profesorilor, dar si ofera frumoase satisfactii, deoarece, n prezent,nu se (mai) predau mecanic ,,retete de determinare a limitelor sau de calcula derivatelor si primitivelor. Astazi, nu numai la facultate, dar si la liceu,se pune problema de a defini riguros notiunile, de a oferi toate explicatiile siconexiunile necesare! Astfel, pentru o buna predare a elementelor de analizamatematica la liceu, profesorul trebuie sa stapaneasca perfect printre al-tele un anumit ,,arsenal ,,minimal de contraexemple cu care sa ilustrezelectiile sale, pentru ca ideile sa se afle n largul lor, dar si cu care sa poataraspunde, cu usurinta, la eventualele ntrebari ale unor elevi cu spirit de

1)Aceasta traditie dateaza de la primele programe scolare moderne, introduse de catreSpiru Haret. In acea perioada, elementele de analiza matematica din programa liceala, erauncorp orate n asa-numita ,,Algebra superioara. (N.A.)

2)Miron Nicolescu(1903-1975), matematician roman, creatorul scolii romanesti modernede analiza matematica. Doctor n matematica de la Paris, din 1928, profesor de analizamatematica din 1940 si seful catedrei corespunzatoare de la Universitatea din Bucuresti din1948 pana la pensionare, n 1973. Are realizari n domeniul analizei matematice; a scris unvaloros si vestit tratat de Analiza matematica n trei volume. Director al Institutului deMatematica al Academiei n perioada 1963-1973, presedinte al Academiei, din 1966 panala deces; vicepresedinte al Uniunii Matematice Internationale din 1974. (N.A.)


3/5

3

observatie dezvoltat, cu ntelegere rapida. Desigur, aici ne referim la activi-

tatea profesorului la clasele cu nivel (suficient de) ridicat, din care, cu toatescaderile nvatamantului actual, mai exista si astazi! Cursurile, manualele,tratatele, prezinta uneori anumite contraexemple, pentru a ilustra teoria, darnumai n masura n care planul general al lucrarilor respective, stilul, anumiteelemente de subictivitate, anumite preferinte personale ale autorilor si, nu nultimul rand, spatiul tipografic avut la dispozitie, permit aceasta prezentare.

Din toate aceste motive, n cele ce urmeaza, oferim, cu explicatiile nece-sare, o lista ,,minimala de exemple si contraexemple nebanale, referindu-nenumai la cele care trebuie sa fie cunoscute dinainte de profesor, la care acestatrebuie sa fi reflectat detaliat n prealabil, exemple si contraexemple care,n marea lor majoritate, nu pot fi ,,produse ,,improvizand n fata clasei.Deci, n mod deliberat, am exclus din aceasta enumerare acele exemple si

contraexemple, a caror ,,producere instantanee n fata clasei ar trebui sa fieaccesibila oricarui absolvent al unui curs universitar de analiza matematica,ca urmatorul exemplu tipic: ,,o functie discontinua pe R, al carei patrat safie o functie continua.1).

Cunoasterea exemplelor si contraexemplelor pe care le vom prezenta, ipoate servi profesorului de liceu si la pregatirea diferitelor examene de titu-larizare, cat si examene pentru obtinerea gradelor didactice. Majoritatea loreste clasica, o mica parte este originala (avand trimiteri bibliografice precise).

Trecem acum la prezentarea anuntata.

II. Exemple si contraexemple n domeniul teoriei sirurilorde numere reale.

1. Un sir(an)npentru care limn

an+1

an= 1, dar care este marginit

si divergent

Este cunoscut ca, daca, pentru un sir de numere reale strict pozitive

(an)n, exista limita def

= limn

an+1

an(n [0, ){}), atunci, n cazul 1, rezulta limn

an=.In cazul n care = 1, nu se poate stabili o concluzie teoretic a pentru

sirul (an)n, putand avea loc urmatoarele situatii:(a) lim

nan=; exemplu: an= n;

(b) limnan= R; exemplu: an= +1

n .(Desigur, la exemplul (b) putem avea, n particular, si = 0.)

Fie acum an= 2 + cos

n. Atunci sirul este marginit:

1an3, (1.1)

1) Un astfel de exemplu este f :R R, f(x) =

1, pentru x Q1, pentru x R \ Q.

(N.A.)


4/5

4

iar pentru n= k2

, rezulta:ak2 = 2 + cos k = 2 + (1)k,

adica sirul (an)n poseda un subsir divergent, deci este si el divergent. Acumvom arata ca are loc egalitatea:

limn

an+1

an= 1. (1.2)

In acest scop, observam ca egalitatea (1.2) este echivalenta cu egalitatea

limn

an+1

an 1

= 0,

sau nca:

limn

an+1

an

an= 0, (1.2)

pe care o vom stabili fara dificultate. Intr-adevar, tinand seama si de (1.1),obtinem:an+1 anan

=|an+1 an||an| |an+1 an|=cos n + 1 cos n=

= 2

sin

n + 1 +

n

2

sin

n + 1 n2

2sin

n + 1 n2

= 2

sin

2

n + 1 +

n

(n)

0,

de unde, pe baza criteriului majorarii, concluzia cautata. (Exemplul este luatdin [24]; a se vedea si [23].)

2. Diferite comportari ale diferenteiandef==an+1 an, pentru

un sir (an)n care tinde la (sau la)Notatia an este consacrata; ea se foloseste n mod curent n calculul

cu diferente finite, ca si notatiaan = an an1 (n aceasta problematica,a se vedea [21], pp. 99-103). Daca an , atunci sirul (an)n poate aveadiferite comportari, astfel:

(a) an ; exemplu: an= n2; [an= 2n + 1];(b) an

R+; exemplu: an= n+

1

n

; an= + 1

n + 1

1

n;

(c) an0; exemplu: an=n;

an= n + 1 n

;1)

(d) (an)nnu are limita; exemplu: an= (2 + (1)n) n; [an=2n+1pentru n par; an= 2n + 3 pentru n impar].

2)

1) Daca n locul sirului (an)n

, care tinde la , am considera un sir convergent (an)n

,

atunci proprietatea an 0 ar rezulta n mod banal. (N.A.)2) Proprietatea ca (an)

nsa fie divergent poate avea loc si n cazul unui sir (an)

n

marginit. Exemplu: an= (1)n, pentru care an= 2 (1)

n+1. (N.A.)


5/5

5

Exemple asemanatoare se pot obtine n cazul n care an

.

3. Diferite tipuri de tindere la 0 a diferent ei an, pentru unsir (an)n care tinde la. Utilizarea logaritmului ca factorde ,,ncetinire

Am vazut la numarul 2 ca, si pentru un sir (an)n, care tinde la,putem avea an 0. Se pot gasi nsa diferite ,,viteze de tindere la 0pentru an. Astfel putem avea:

(a) nan1, daca an= ln n, sau an= Hn def== 1 +12

+1

3+ . . .+

1

n;

(b)nan0, dacaan= ln(ln n), sauan= 12 ln n

+ 1

3 l n 3+ . . .+

1

n ln n

(la stabilirea faptului can

k=2

1

k ln k(n) se va folosi partea dreapta a

inegalitatii 1

(k+ 1)(ln(k+ 1) < ln(ln(k + 1)) lnln k < 1

k ln k; pentru o

stabilire fara ajutorul derivatelor, a acesteia, a se vedea [27], pp. 93-94).Totodata, exista si posibilitatea de a avea, pentru un sir (an)n,an ,

o tindere nca si mai ,,lenta catre infinit; de exemplu, poate avea loc relatia:(c) an2 an0

(ceruta n problema [20]). Aceasta se realizeaza, de exemplu, pentru siruldefinit de ,,logaritmul triplu(n sensul compunerii), anumean= ln (ln (ln n))(pentru solutie, a se vedea, de exemplu [22], [27]).

4. Doua siruri (an)n si (bn) cu bn , pentru care reciprocalemei lui Stolz1) nu este valabilaFie an = (1)n si bn = n. Atunci lim

n

an

bn= 0 (n baza criteriului

majorarii), dar an+1 an

bn+1 bn = 2 (1)n+1 nu are limita. Deci reciproca lemei

lui Stolznu este, n general, valabila. Contraexemplul este preluat din [13].

III. Exemple si contraexemple referitoare la functii, limite,continuitate, proprietatea lui Darboux

5. O functie care nu admite limita la. Generalizare2)Este functiaf : R R, f(x) = sin x. Stabilirea rezultatului consta n a

arata ca nu este ndeplinita conditia din teorema de caracterizare a limitelor

de functii cu a jutorul sirurilor.Se poate proceda n doua moduri:

1)Enuntul si o demonstratie directa a lemei pot fi gasite n [14] (pentru editia din 1971,a se vedea pp. 317-319). (N.A.)

2)Exemplele 5 si 6 sunt de uz curent si, din aceasta cauza, probabil binecunoscute.Le-am inclus n enumerarea noastra numai pentru a da expunerii un caracter de sinestatator, tinand seama ca vom folosi mai departe rezultatele respective. (N.A.)

Exemple Si Contraexemple

Documents

Transcript of Exemple Si Contraexemple