8/18/2019 Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf

1/3

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

11

2. Regresie liniară 

Problema 

Se cunoaște un set de n  perechi de valori ( )ii   y x ,  cu ni   L1= . Se caută  funcția deregresie de gradul 1 (dreapta de regresie) care aproximează  cel mai bine legătura

dintre valorile date.

Dreapta de regresie este de forma

 xaa y   ⋅+= 10  

Principiul metodei

Se determină coeficien\ii dreptei de regresie:

( )2

11

2

1111

 

  

 −⋅

⋅−⋅⋅

=

∑∑∑∑∑

==

===

n

i

i

n

i

i

n

ii

n

ii

n

iii

 x xn

 y x y xna  

 xa ya   ⋅−= 10  

[n care:

n

 x

 x

n

i

i∑=

=1  

n

 y

 y

n

i

i∑=

=1  

Se calculează coeficientul de corelare liniar`:

S 

S S 

c

  r −=

 

8/18/2019 Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf

2/3

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

22

unde:

( )∑=

⋅−−=

n

i

iir    xaa yS 1

2

10  

( )∑=−=

n

i

i   y yS 1

2

 

Coeficientul de corelare liniar` are valori cuprinse în intervalul [ ]10L  și arat` gradulde dependen\` liniar` [ntre variabilele  x  ]i  y . Valorile extreme au următoarele

semnifica\ii: 1=c  arată  că exist` o corelare perfect` [ntre puncte, iar 0=c  arată  că 

nu exist` nicio corelare [ntre puncte. Coeficientul de corelar e trebuie să aibe o valoare

c@t mai apropiat` de 1.

Exemplu de calcul

Problemă:

Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:

x -1 0 1 2

y 1 0 1 4

Se determină dreapta de regresie liniară și coeficientul de corelare.

Rezolvare:

 Numărul perechilor de valori ( )ii   y x , :

4=n  

Calculul sumelor :

( ) 84211001)1(1

=⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅∑=

n

i

ii   y x  

( ) 221011

=+++−=∑=

n

i

i x  

( ) 641011

=+++=∑=

n

i

i y  

( ) 6210)1( 22221

2=+++−=∑

=

n

i

i x  

8/18/2019 Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf

3/3

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

33

Calculul valorilor medii:

5,04

21===

∑=

n

 x

 x

n

i

i

 

5,14

61===

∑=

n

 y

 y

n

i

i

 

Calculul coeficienților dreptei de regresie:

( )

1264

628422

11

2

1111   =

−⋅

⋅−⋅

=

 

  

 −⋅

⋅−⋅⋅

=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

 x xn

 y x y xn

a  

15,015,110   =⋅−=⋅−=   xa ya  

Dreapta de regresie:

 x x xaa y   +=⋅+=⋅+= 11110  

Calculul coeficientului de corelare liniară:

( )   ( ) ( )∑=

+⋅−−+−⋅−−=⋅−−=

n

i

iir    xaa yS 1

222

10 0110)1(111  

( ) ( ) 321141111 22 =⋅−−+⋅−−+  

( )   ( ) ( ) ( ) ( ) 75,25,145,115,105,11 2222

1

2

=−+−+−+−=−=∑=

n

i

i   y yS   

7475,075,2

375,2=

−=

−=

S 

S S c   r   

Soluția problemei:

Dreapta de regresie este:  x y   +=1  

cu coeficientul de corelare: 7475,0=c