Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
6
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR 1 1. Dezvoltarea în serie Taylor Problema Func\ia ) ( x y cu proprietatea c` derivatele de ordinul n ]i 1 + n sunt continue [n intervalul [ ] 1 , + i i x x poate fi aproximată printr-o funcție polinomială folosind dezvoltarea în serie Taylor. Valorea func\iei [n punctul 1 + i x se determină în funcție de valoarea func\iei ]i a derivatelor sale [n punctul i x după formula generală a dezvoltării [n serie Taylor: n n i n i i i i R h n x y h x y h x y x y x y + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = + ! ) ( ! 2 ) ( ' ' ! 1 ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 1 L [n care: n - ordinul dezvoltării în serie Taylor (gradul funcției polinomiale scrise prin dezvoltare în serie Taylor). i i x x h − = +1 - pasul de discretizare 1 ) 1 ( )! 1 ( ) ( + + ⋅ + = n n n h n f R ξ - restul de ordinul n (eroarea de trunchiere) Principiul metodei Se determină valoarea func\iei ]i a derivatelor sale [n punctul i x . Se calculează valorea func\iei [n punctul 1 + i x după formula generală a dezvoltării [n serie Taylor de ordinul dorit ( 0, 1, 2,…, n).
-
Upload
lavinia-maria -
Category
Documents
-
view
219 -
download
1
Transcript of Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
8/18/2019 Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/exemple-3-1-dezv-in-serie-taylorpdf 1/5
8/18/2019 Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/exemple-3-1-dezv-in-serie-taylorpdf 2/5
8/18/2019 Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/exemple-3-1-dezv-in-serie-taylorpdf 3/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
33
Calculul valorii derivatelor în punctul 0=i x :
- Derivata de ordinul 1:
110206041264)(2323,
=+⋅−⋅+⋅=+⋅−⋅+⋅=
iiiiiii
x x x x y
- Derivata de ordinul 2:
2201201221212)(22,,
−=−⋅+⋅=−⋅+⋅= iiiii x x x y
- Derivata de ordinul 3:
1212241224)(,,,
=+⋅=+⋅= iii x x x y
-
Derivata de ordinul 4:
24)( =i
IV x y
1. Dezvoltare în serie Taylor de ordinul 0 ( 0=n ):
)()( 10 iiT x y x y =+
Rezultatul calculului prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 0:
3)1,0(0 =T y
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 0:
( ) ( ) 0921,030921,31,01,0 00 =−=−= T a y yε
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 0:
( ) ( )
( )%4782,28100
0921,3
30921,3100
1,0
1,01,0 00% =⋅
−=⋅
−=
y
y yT ε
2. Dezvoltare în serie Taylor de ordinul 1 ( 1=n ):
( )ii
i
iiT x x
x y x y x y −⋅+=
++ 111!1
)(')()(
Rezultatul calculului prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 1:
( ) 1,301,0113)1,0(1 =−⋅+=T y
8/18/2019 Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/exemple-3-1-dezv-in-serie-taylorpdf 4/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
44
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 1:
( ) ( ) 0079,01,30921,31,01,0 11 =−=−= T a y yε
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 1:
( ) ( )
( )%2555,0100
0921,3
01,30921,3100
1,0
1,01,0 11% =⋅
−=⋅
−=
y
y yT ε
3. Dezvoltare în serie Taylor de ordinul 2 ( 2=n ):
( ) ( )2
1112
!2
)(''
!1
)(')()( ii
i
ii
i
iiT x x x y
x x x y
x y x y −⋅+−⋅+=+++
Rezultatul calculului prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 2:
( ) ( ) 09,301,021
201,0
1
13)1,0(
2
2 =−⋅
⋅
−+−⋅+=T
y
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 2:
( ) ( ) 0021,009,30921,31,01,0 12 =−=−= T a y yε
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 2:
( ) ( )
( )%0679,0100
0921,3
09,30921,3100
1,0
1,01,0 12% =⋅
−=⋅
−=
y
y yT ε
4. Dezvoltare în serie Taylor de ordinul 3 ( 3=n ):
( ) ( )
( )3
1
2
1113
!3
)('''!2
)(''
!1
)(')()(
ii
i
ii
i
ii
i
iiT
x x x y
x x x y
x x x y
x y x y
−⋅+
+−⋅+−⋅+=
+
+++
Rezultatul calculului prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 3:
( ) ( ) ( ) 092,301,0321
1201,0
21
201,0
1
13)1,0(
32
3 =−⋅
⋅⋅
+−⋅
⋅
−+−⋅+=T
y
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 3:
( ) ( ) 0001,0092,30921,31,01,0 13 =−=−= T a y yε
8/18/2019 Exemple 3 - 1 - Dezv in serie Taylor.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/exemple-3-1-dezv-in-serie-taylorpdf 5/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
55
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 3:
( ) ( )
( )%0032,0100
0921,3
092,30921,3100
1,0
1,01,0 13% =⋅
−=⋅
−=
y
y yT ε
5. Dezvoltare în serie Taylor de ordinul 4 ( 4=n ):
( ) ( )
( ) ( )4
1
3
1
2
1114
!4
)('
!3
)('''
!2
)(''
!1
)(')()(
ii
i
v
ii
i
ii
i
ii
i
iiT
x x x y
x x x y
x x x y
x x x y
x y x y
−⋅+−⋅+
+−⋅+−⋅+=
++
+++
Rezultatul calculului prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 4:
( ) ( )
( ) ( ) 0921,301,04321
2401,0
321
12
01,021
201,0
1
13)1,0(
43
2
4
=−⋅
⋅⋅⋅
+−⋅
⋅⋅
+
+−⋅
⋅
−+−⋅+=T y
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 4:
( ) ( ) 00921,30921,31,01,0 14 =−=−= T a y yε
Eroarea absolută de calcul prin dezvoltare în serie Taylor de ordinul 4:
( ) ( )
( )%0100
0921,3
0921,30921,3100
1,0
1,01,0 13% =⋅
−=⋅
−=
y
y yT ε
