Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
of 5
-
Upload
lavinia-maria -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
Transcript of Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
-
8/18/2019 Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
1/5
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
1
3. Metoda eliminării parțiale Gauss
Problema
Fie sistemul de n ecua\ii cu n necunoscute:
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
nnnnnn
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
L
LL
L
L
2211
22222121
11212111
[n care: i x ( )ni ,,1L=
- necunoscutele,ii
a ( )n ji ,,1, L= - coeficien\ii necunoscutelor,
ib ( )ni ,,1L= - termenii liberi ai ecua\iilor.
Se calculează valorile neconoscutelor printr-o metodă directă.
Principiul metodei
o Se scrie matricea extinsă a sistemului:
=
+
+
+
1,)0()0(
2)0(
1)0(
1,2)0(
2)0(
22)0(
21)0(
1,1)0(
1)0(
12)0(
11)0(
21
222221
111211
nnnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
aaaa
aaaaaaaa
baaa
baaabaaa
L
LL
L
L
L
LL
L
L
o Etapa I: Matricea extins` se rescrie succesiv pentru fiecare element de pe
diagonala principal` ( iia , 1,,1 −= ni L ). Elementul de pe diagonal` considerat
[ntr-o etap` de calcul se nume]te pivot . Matricea se rescrie după următoarul
algoritm de eliminare a necunoscutelor:
-
se consider` iia drept pivot- elementele de pe liniile de deasupra pivotului ]i de pe linia pivotului r`m@n
neschimbate (se copiaz`)- elementele situate pe coloanele din st@nga pivotului r`m@n neschimbate (se
copiaz`)- elementele situate pe coloana pivotului, sub acesta, devin nule-
celelalte elemente (de pe coloanele din dreapta pivotului ]i liniile de subacesta) se calculeaz` ca av@nd valoarea determinantului matricii de ordinul2 format` din elementele ce formeaz` dreptunghiul a c`rui diagonal` este
dat` de pivot ]i de elementul care urmeaz` s` fie [nlocuit:
-
8/18/2019 Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
2/5
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
2
Reprezentare a matricii la iteratia k :
Dup` aplicarea algoritmului de eliminare se ob\ine o matrice extins` format`dintr-o matrice diagonal` ]i un vector coloan`:
−
+
−
−
+
−−
−
+
−−−
−
+
−−−−
)1(
1,
)1(
)1(
1,
)1()1(
)1(
1,2
)1(
2
)1(
2
)1(
22
)1(
1,1
)1(
1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
000
00
0
n
nn
n
nn
n
nk
n
kn
n
kk
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
k
nn
aa
aaa
aaaa
aaaaa
LL
LLL
LL
LL
LL
LL
⋅−⋅
=
→
=
ik ji jk ii
ik iiik ii
jk ji
ik ii
D
D
λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
λ λ
0det0
elementul recalculat
pivotul
devine
+
+
+
+
)(
1,
)(
)(
1,
)()(
)(
1,2
)(
2
)(
2
)(
22
)(
1,1
)(
1
)(
1
)(
12
)(
11
000
00
0
k
nn
k
nn
k
nk
k
kn
k
kk
k
n
k
n
k
k
k
k
n
k
n
k
k
k k
aa
aaa
aaaa
aaaaa
LL
LLL
LL
LL
LL
LL
pivotul
linia pivotului
coloana pivotului aceste elemente
se recalculeaz`
pivo\i dinitera\iianterioare
-
8/18/2019 Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
3/5
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
3
o Etapa II: Din ultima matrice se calculeaz` pe r@nd fiecare necunoscut`,
începând de la ultima linie a matricii către prima ( 1,,1L−= ni ).
Necunoscutele se obțin prin substituție după următorul algoritm:
- Se calculează ultima necunoscută, n x , de pe linia n a matricii extinse
rescrise dup` itera\ia ( )1−n de aplicare a algoritmului de eliminare:
)1(
)1(
1,
−
−
+
=n
nn
n
nn
na
a x
- Se calculează celelalte necunoscute, de la penultima c`tre prima:
)1(
1
)1()1(1,
−
+=
−−
+ ∑ ⋅−
=n
kk
n
k j
jn jk
nnk
k a
xaa
x
o Condiții de aplicabilitate a metodei:
- elementele de pe diagonala principală a matricii extinse să fie diferite de
zero. Ordinea ecuațiilor în sistem poate fi schimbată astfel încât condiția să
fie satisf ăcute.
−
+
−
−
+
−−
−
+
−−−
−
+
−−−−
)1(
1,
)1(
)1(
1,
)1()1(
)1(
1,2
)1(
2
)1(
2
)1(
22
)1(
1,1
)1(
1
)1(
1
)1(
12
)1(
11
000
00
0
n
nn
n
nn
n
nk
n
kn
n
kk
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
k
nn
aa
aaa
aaaa
aaaaa
LL
LLL
LL
LL
LL
LL
n
k
x
x
x
x
⇒
⇒
⇒
⇒
2
1
-
8/18/2019 Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
4/5
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
4
Exemplu de calcul
Problemă:
Să se rezolve sistemul de mai jos prin metoda eliminării parțiale Gauss:
−=−+
=−+
=−+
22
12
132
321
321
321
x x x
x x x
x x x
;
=
=
=
?
?
?
3
2
1
x
x
x
Rezolvare:
Matricea extinsă a sistemului este:
−−
−
−
2211
1121
1132
Verificarea condițiilor de aplicabilitate a metodei:
- elementele de pe diagonala principală să fie diferite de zero:
02 ≠ ; 02 ≠ ; 02 ≠− ⇒ condiție îndeplinită
Etapa I. Algoritmul de eliminare:
o Itera ț ia 1: calcul asupra matricii extinse inițiale, considerând pivot elementul de
pe prima linie și prima coloană:
−−
−
−
2211
1121
1132
-
8/18/2019 Exemple 2 - 3 - Met eliminarii partiale.pdf
5/5
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
5
o Itera ț ia 2: se consideră pivot elementul de pe a doua linie și a doua coloană:
−−−
−
−
5310
1110
1132
o Itera ț ia 3:
−−
−
−
4400
1110
1132
Etapa II. Algoritmul de substituție:
o Din linia a 3-a a ultimei matrici rescrise:
14
43 =
−
−= x
o Din linia a 2-a a ultimei matrici rescrise:
21
1)1(12 =
⋅−−= x
o Din prima linie a ultimei matrici rescrise:
[ ]2
1
1)1(2311 −=
⋅−+⋅−= x
Soluția problemei:
=
=
−=
1
2
2
3
2
1
x
x
x
Verificare:
−=⋅−+−=−+
=−⋅+−=−+
=−⋅+−⋅=−+
212222112222
1123)2(232
321
321
321
x x x x x x
x x x
