Abstract The search of more robust solutions for multiple-input multiple-output (MIMO) process control has motivated the

development of complex modeling and control techniques for

such systems. In this work the performance of a distributed

controller (Distributed Model Predictive Control DMPC) versus

a centralized solution (Model Predictive Control, MPC) are

compared when faults in sensors and actuators occur.

Preliminary results show that for faults in actuators the

distributed solution has a better response but it requires more

calculation time.

Keywords Fault Tolerance, Model Predictive Control,

Distributed MPC, Continuous Stirred Tank Reactor.

I. INTRODUCCION

istemas a gran escala, espacialmente distribuidos o

sistemas en red, pueden ser difciles de controlar debido a

la complejidad de la comunicacin, la necesidad de cmputo

requerida, o la prdida de robustez cuando se confa en un solo

controlador centralizado. Motivado por estas dificultades se

han desarrollado diferentes alternativas de control que dividen

el sistema en subsistemas controlados por agentes [1] ya sea

de manera independiente (estrategia descentralizada) o

comunicados entre s (estrategia distribuida). Por su parte el

Control Predictivo basado en Modelos (conocido en ingls

como Model Predictive Control, MPC) ha demostrado su

eficacia y versatilidad frente al control PID para la industria de

procesos, debido a su capacidad para manejar mltiples

variables, restricciones y requerimientos de optimizacin que

lo convierten en un buen candidato para implementar

estrategias no centralizada [2]. El objetivo de este trabajo es

evaluar la conveniencia de aplicar una estrategia DMPC

(Distributed Model Predictive Control) analizando su robustez

ante fallas en los sensores y/o actuadores del sistema. Como

caso de estudio consideramos un sistema comnmente

empleado en la investigacin de MPC y sus variantes, el

Reactor tipo Estanque Agitado (Continuous Stirred Tank

Reactor, CSTR) [3][6]. En la seccin 2 de este artculo se presentan de manera

resumida los fundamentos de Control Predictivo. A

continuacin, en la seccin 3, se resumen los conceptos de

Control Distribuido. En la seccin 4 se presenta la

metodologa usada para evaluar la robustez ante fallas Luego,

en la seccin 5 se presenta el caso de estudio DMPC, aplicado

Este estudio fue financiado por el Proyecto Fondecyt N1120047,

Distributed Hybrid Model Predictive Control for Mineral Processing. B. Lagos, Pontificia Universidad Catlica de Chile, Santiago, Chile,

balagos@uc.cl A. Cipriano, Pontificia Universidad Catlica de Chile, Santiago, Chile,

aciprian@ing.puc.cl

a un reactor qumico tipo estanque agitado. La seccin 6

incluye las conclusiones del trabajo realizado.

II. FUNDAMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO

BASADO EN MODELOS (MPC)

El MPC corresponde a un conjunto de tcnicas de control

que tienen en comn el uso del modelo dinmico de un

sistema, informacin sobre acciones previas de control y la

optimizacin, considerando restricciones, de una funcin de

costos sobre un horizonte de prediccin [7], [8].

Una manera de implementarlo es resolviendo un problema

de optimizacin cuadrtica (en ingls Quadratic Program, QP)

en cada instante de control usando una funcin objetivo que

minimiza el error entre las salidas y una referencia deseada y

que adems minimiza las variaciones en las acciones de

control, esto es:

1

2 2

: 10

min 1 1 N

ref RQk k Ni

k i y k k i

u

y u

1)

s.a.

1k i A k i B k i x x u

( )k i C k i y x

1 ( 1 )k i k i k i u u u {0,..., 1}i N

1min maxk i y y y

min maxk i u u u En cada iteracin se requiere tener como informacin las

acciones de control aplicadas con anterioridad y el estado en el

instante anterior. Consideraremos que las variables de estado x

pueden estimarse por medio de un Filtro de Kalman a partir de

mediciones de las salidas y y las entradas u.

III. FUNDAMENTOS MPC DISTRIBUIDO (DMPC)

Cuando se desea controlar un sistema de Mltiples Entradas y

Mltiples Salidas (MIMO) una opcin es dividir el trabajo

entre diferentes agentes que controlen secciones del sistema

general. Controlar cada subsistema de manera

independiente considerando las interacciones con otros

subsistemas como perturbaciones se denomina solucin

descentralizada; en cambio si se consideran acoplamientos

entre subsistemas y comunicacin entre agentes, la

estrategia se denomina solucin distribuida, ver Fig. 1.

B. Lagos and A. Cipriano, Senior Member, IEEE

Performance Evaluation of a Distributed MPC Strategy Applied to the Continuous Stirred Tank

Reactor

S

Figura 1. Diferentes arquitecturas de control. Fuente [7].

En los ltimos aos se han propuesto diferentes alternativas de

control predictivo distribuido (DMPC) [1], [7][10]. La Tabla I muestra una clasificacin propuesta en [9].

Para este trabajo se escogi la metodologa descrita en [11],

que corresponde a una metodologa DMPC Iterativo

Cooperativo. El problema de control ptimo considera

comunicacin entre ellos y la funcin objetivo es global, por

lo que la solucin tiende al ptimo de Pareto.

Suponiendo que el sistema tiene al menos 2 entradas y 2

salidas, ste se puede dividir en M subsistemas, cada uno

asociado a cierta cantidad de entradas y salidas, de manera que

no se repitan en cada subsistema:

1 1( ) ( )

( ) ( )

k k

k k

k k

M M

y u

y u

y u

2)

La estrategia de solucin utilizada consiste en que en cada

iteracin k , cada agente resuelve el problema de optimizacin con toda la informacin disponible (estado actual y secuencia

de control dada por los dems agentes), minimizando una

funcin objetivo global, y obteniendo la secuencia de control

para el subsistema al que est asociado. Las soluciones son

comunicadas, ponderadas entre s y sometidas a una nueva

iteracin, hasta alcanzar una condicin de trmino o mximo

nmero de iteraciones. Este esquema tiende a la solucin

centralizada mientras ms iteraciones se realicen.

En cada ( 1)p -sima iteracin cada subsistema i resuelve el

problema de optimizacin descrito en la seccin 1.1, pero

aadiendo la siguiente restriccin de igualdad, donde [p]ju

corresponde a valores factibles para las entradas de los

subsistemas j i :

[ ]: 1 1, ,pj jk k N j i M u u 3) La solucin a estos problemas de optimizacin en paralelo se

denota como * : 1i k k N u .

Dada una iteracin factible : 1pi k k N u la siguiente

iteracin queda definida por una actualizacin convexa, la

cual se explica grficamente en la Fig. 2. 1 : 1 : 1 (1 ) : 1p pi i i i ik k N k k N k k N

*u u u

1

1 , 0 1, ,M

i i

i

i M

4)

Figura 2: Paso convexo desde p p1 2u ,u hacia p 1 p 11 2u ,u . Fuente [12].

Las iteraciones p continan hasta alcanzar cierto acuerdo

entre agentes, ya sea por haberse alcanzado un nmero

mximo de iteraciones maxp o bien por el cumplimiento de un

criterio de convergencia iterativo para la funcin de costos del

tipo , , 1V k p V k p .

Si bien la estrategia converge a la solucin centralizada, esta

no llega a ser exactamente igual por lo que su solucin es

Centralizada

Descentralizada

Distribuida

Controlador 2

SubsistemaS1

SubsistemaS2

Sistema

Referencias

Referencias

Controlador 1

SubsistemaS1

SubsistemaS2

Sistema

Controlador

Referencias

Referencias

Controlador 2

SubsistemaS1

SubsistemaS2

Sistema

Referencias

Referencias

Controlador 1

Solucin del agente 2

Iteracin Actual Solucin del agente 1

Siguiente Iteracin

TABLA I CLASIFICACIN DE ALGORITMOS DMPC

TOPOLOGA DE LA

RED DE

TRANSMISIN

Parcial: La informacin es transmitida slo entre los agentes cuya dinmica est acoplada entre s

Completa: La informacin es transmitida desde

un agente a todo el resto

INTERCAMBIO DE

INFORMACIN

Iterativo: La informacin es transmitida ms de una vez para cada instante de muestreo (en orden

de converger a una decisin)

No-Iterativo: La informacin es transmitida una

sola vez por cada instante de muestreo

RACIONALIDAD DEL ALGORITMO

Solucin en equilibrio de Nash: Juego no-

cooperativo donde las funciones objetivo de cada

jugador es diferente de las otras y busca optimizar costos locales.

Solucin en equilibrio de Pareto: Juego

cooperativo donde la funcin objetivo es la

misma para todos los jugadores. Tiende al ptimo centralizado.

subptima. Los detalles para la implementacin se presentan

en [13].

IV. ANLISIS DE ROBUSTEZ

Para comparar la robustez de los controladores diseados se

analiz el efecto que producen fallas en los sensores y fallas

en los actuadores.

Las fallas en los sensores ( )sif k fueron incluidas al momento

de estimar el estado y corresponden a una medicin 0. Las

fallas en los actuadores ( )ajf k , incluidas al momento de

aplicar las acciones de control a la planta, representan el caso

en que el actuador no respondi a la seal y se mantuvo en el

valor anterior 1k k u u . En el espacio de estados, las

fallas dan origen a las expresiones:

1 1 1 11 1

1

1 1

a a

a a

m m m m

f k u k f k u k

k A k

f k u k f k u k

x x B

real k C ky x

1 1

s

real

medida

s

p real p

f k y k

k

f k y k

y

5)

Tanto ( )ajf k como s

if k pueden tomar valores 1 o 0 segn

cierta probabilidad de ocurrencia.

La Tabla II resume los casos de fallas estudiados para ambos

ejemplos.

Como ndice de desempeo se utiliz el error RMS (Root

Mean Square) dado por:

2

1( )

N

refk

RMS

y k y k

N

6)

V. APLICACIN AL REACTOR CONTINUO DE TIPO

ESTANQUE AGITADO (CSTR)

El objetivo de este estudio es comparar el desempeo de los

controladores MPC y DMPC, basados en un modelo dinmico

lineal. Tambin se presenta una comparacin con la solucin

descentralizada.

A. Descripcin del proceso

Figura 3: Esquema del proceso con entradas (1 2,u u ) y salidas ( 1 2,y y ).

El sistema estudiado corresponde a un reactor exotrmico del

tipo CSTR (ver Fig. 3), en el cual se produce una reaccin del

tipo A B . Las ecuaciones que modelan el proceso son [14][16]:

, 1expiA A i AFdC E

C C a ydt V RT

exp

i hi A c

p p

F UAdT a ET T C T T

dt V C RT C V

, ( )

c c hc i c c

c p c

dT F UAT T T T

dt V C V

7)

Las variables controladas corresponden a la concentracin del

reactante a la salida del reactor AC y la temperatura al interior

del reactor T , y las variables manipuladas son el flujo de

entrada iF y el flujo de refrigerante cF .

Si se iguala el calor extrado por el refrigerante cQ con el

calor al interior del reactor rQ en estado estacionario es

posible encontrar 3 puntos de operacin de los cuales 2 son

estables y uno es inestable [14], [16]. Este fenmeno es

ilustrado en la Fig. 4 considerando los parmetros del reactor

analizado en [15]:

, ( )

h c i p chc

p h p c

A U T T C FUAQ T T

C V A U C F

,( ) expexp

i A iir i

pi

FCF a EQ T T T

EV C RTa V F

RT

8)

Flujo delRefrigerante

Concentracin de reactante a la salida

Flujo de Alimentacin

Temperatura del reactor

TABLA II FALLAS EN SENSORES Y ACTUADORES

CASO N FALLA SENSOR

(% DE OCURRENCIA)

FALLA ACTUADOR

(% DE OCURRENCIA)

1 0 0 2 40 0

3 80 0

4 0 25 5 40 25

6 80 25

7 0 50

8 40 50 9 80 50

10 0 75

11 40 75 12 80 75

Figura 4: Puntos de operacin presentes en el reactor exotrmico CSTR. Los puntos A y C son estables, el punto B inestable.

Linealizando (7) en torno a un punto de operacin estable es

posible encontrar una funcin de transferencia como la usada

en [17] y que ser usada para este estudio.

11

22

1 5

( ) 1 0.1 1

( ) 1 2

1 0.5 1 0.4

U sY s s s

U sY s

s s

9)

Las variables 1 2 e Y Y , 1 2 y U U son desviaciones con respecto

al punto de operacin en torno al cual se linealiz. La

discretizacin se realiz empelando retencin de orden cero

con un periodo de muestreo de 0.01[min]sT .

La formulacin del sistema en espacio de estados se llev a

cabo empleando la forma cannica modal [18], la cual asocia

un estado a cada polo de la funcin de transferencia. De este

modo, el modelo lineal discreto determinado es:

1 ( )k A k B k x x u

( )k C ky x

0.9048 0 0 0

0 0.9802 0 0

0 0 0.9900 0

0 0 0 0.9753

A

0.25 0

0.125 0

0 0.25

0 0.25

B

0.3807 0 0.199 0

0 0.1584 0 0.1975C

10)

B. Resultados de Simulacin

Los parmetros utilizados para el diseo de los controladores

se resumen en la Tabla III. El horizonte de prediccin, la

penalizacin del error y el nmero de iteraciones se

definieron mediante prueba y error.

Fig. 5, Fig. 6 y Fig. 7 muestran algunos de los casos

estudiados. En los grficos, los asteriscos representan los

instantes en que se introdujo una falla de sensores (grficos de

salidas) y/o de actuadores (grficos de entradas).

En el primer caso se incluye en la comparacin una solucin

descentralizada. Los controladores descentralizados usan los

mismos parmetros y estructura que el centralizado pero

considerando las entradas del otro subsistema como una

perturbacin medida.

Figura 5: Caso 1, sin fallas.

Figura 6: Caso 8, 40% ocurrencia de falla en Sensores y 50% en Actuadores.

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Temperatura del reactor en estado estacionario [R]

Calo

r [b

tu]

Calor al interior del reactor Qr

Calor Extrado por el refrigerante Qc

A

C

B

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35

0.4

0.45

0.5

0.55

Tiempo [minutos]

Outp

uts

y1 MPC

y1 DMPC

y1 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25

0.3

0.35

0.4

Outp

uts

Tiempo [minutos]

y2 MPC

y2 DMPC

y2 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u1 MPC

u1 DMPC

u1 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u2 MPC

u2 DMPC

u2 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Tiempo [minutos]

Outp

uts

y1 MPC

y1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Outp

uts

Tiempo [minutos]

y2 MPC

y2 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Inputs

Tiempo [minutos]

u1 MPC

u1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u2 MPC

u2 DMPC

TABLA III PARMETROS PARA LOS CONTROLADORES

MPC DMPC

Horizonte de Prediccin/ Control 3 3

Penalizacin del error y1 y2Q ,Q

[13,15] [13,15]

Penalizacin de las variaciones en la

accin de control u1 u2R ,R [1,1] [1,1]

N Iteraciones No aplica 10

Periodo de Muestreo para el Control 0.01 [min] 0.01 [min]

Figura 7: Caso 12, 80% ocurrencia de falla en Sensores y 75% en Actuadores.

Los valores del error RMS para cada caso se presentan en la

Fig. 8.

Figura 8: Error RMS para cada caso.

El tiempo de clculo promedio por muestreo fue de 0.55 [s]

por agente para DMPC y 0.055 [s] para MPC, calculados en

un computador con procesador Intel i7-4700HQ 2.4Ghz.

C .Evaluacin del Desempeo

Para el caso sin fallas se observa que la solucin

descentralizada para la salida 1 (Fig. 5, MPCDesc) se

aproxima a la centralizada (Fig. 5, MPC), pero pierde

efectividad cuando se considera la salida 2. Otro punto en

contra de la solucin descentralizada es que exige valores

elevados para la variable manipulada 1.

Por otra parte se observa que la solucin distribuida (DMPC)

tiende a comportarse como la centralizada, que es lo esperado.

Para los otros casos se aprecia que un aumento en las fallas de

los sensores empeora progresivamente el desempeo del

DMPC, mientras la solucin MPC no se ve tan afectada, tanto

para los casos sin falla en los actuadores (casos 1, 2 y 3) como

con falla (acasos restantes). En cambio, si comparamos el

desempeo slo ante fallas de actuadores por separado (casos

4, 7 y 10) vemos que en todos los casos DMPC logra el mejor

desempeo.

En los casos intermedios el desempeo de los controladores

depender de cmo se combinan los aportes ante cada falla,

siendo en general las ms crticas las fallas de actuador ya que

producen los mayores aumentos en el error, sobre todo pasado

el 50% de probabilidad (caso 7 en adelante). En estos casos el

DMPC presenta un mejor desempeo que el MPC.

Cabe destacar que cada agente DMPC resuelve un problema

QP con 1 variable de optimizacin, ya que la segunda variable

est sujeta a una restriccin de igualdad), mientras el

controlador MPC resuelve un problema QP con 2 variables de

optimizacin. Esta situacin no se refleja en el tiempo de

clculo por muestreo del DMPC, que es cerca de 10 veces el

tiempo usado en la solucin MPC, debido a las iteraciones de

la metodologa distribuida usada.

VI. CONCLUSIONES

En el presente trabajo se estudi el desempeo de una

estrategia DMPC ante fallas en sensores y actuadores de un

reactor qumico. Los resultados obtenidos muestran que para

fallas en sensores, sin la presencia de fallas en actuadores, la

solucin centralizada presenta un mejor desempeo, pero

cuando existen fallas en los actuadores la solucin distribuida

alcanza un mejor comportamiento. Sin embargo, un aspecto a

considerar es que los factores de penalizacin influyen en los

indicadores, pues pueden implicar un uso ms o menos

intensivo de los actuadores. Por otra parte, en los casos

estudiados DMPC no reduce el tiempo de clculo,

posiblemente debido la caracterstica iterativa de la

metodologa. A futuro se espera profundizarla evaluacin,

considerando sistemas de mayor complejidad y metodologas

ms eficientes para la solucin distribuida.

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[8] A. Bemporad, Decentralized and Hybrid Model Predictive Control, in 3rd WIDE PhD School on Networked Control Systems, 2009.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Tiempo [minutos]

Outp

uts

y1 MPC

y1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Outp

uts

Tiempo [minutos]

y2 MPC

y2 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Inputs

Tiempo [minutos]

u1 MPC

u1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u2 MPC

u2 DMPC

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y MPC y DMPC y MPC y DMPC

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Benjamn Lagos is currently a graduate student in the

Master of Science program at the Mechanical

Engineering Department, Pontificia Universidad Catlica de Chile (PUC). His thesis consists in the

design of a vibration energy harvester prototype to feed

wireless sensor networks optimized for heavy duty vehicles. In parallel, Benjamn worked in a research

project related to applying distributed hybrid control

strategies in mineral processing. Since 2014 he is member of the research team of the renewable energy company

Orbital Wave Energy. His research interests cover model predictive

control (MPC) and design, simulation and control of mechatronic systems.

Aldo Cipriano (M74SM95) received the M.Sc. degree in electrical engineering from Universidad de Chile in

1974 and the Ph.D. degree from the Technical University of Munich in 1981. Since 1974 he has been with the

Pontificia Universidad Catlica de Chile, where he has

been Deann (1998-2004), and Vice Dean (2010-2014) of the Faculty of Engineering, and and Director for Research, Innovation and Graduate Studies

of the College of Engineering (2014-2015), among other duties. He received

the AIE-IEEE Award Ingeniero Sobresaliente 2012, For outstanding contributions in Electrical Engineering and Automation and in Engineering

Education and Accreditation, the Conicyt Award by obtaining 10 research projects, Fondecyt Regular Competitions 1982-2012, and the IEEE Latinamerica Award, Ingeniero Eminente 2006. He is a Senior Member of the IEEE and a member of the Chilean Academy of Engineering. For many

years he has been involved in the design and implementation of a variety of advanced control systems for mineral processing plants. His current research

interests include theory and application of hybrid model predictive control.