Euler - Solutio Problem at Is Ad Geometriam Situs Pertinent Is

8/3/2019 Euler - Solutio Problem at Is Ad Geometriam Situs Pertinent Is

1/14

t28 SOLVTIO PROBLEMAT1SSOLVTIO PROBLEMATIS

ADGEOMETRIAM SIlViS',PERTINENT1S.

AVCTORELeonb . Eu le ro .

. .

. 1.Tabula V l I I . P : . Raerer illam Geometriae parrem 18uae circa Q l ' lf f i 1 : i .. rirares verfatur , et om ni tem pore fumm o 1}:pd\i~re a excu lta , alterius partis e tium uum adrnodumtgu9ta e p rirn us mentlo ne rn feci! Leibnitzius; .q~~mG e o - .

metriarn fitus vocauit -. ' lila. pars-nb ,~P{9 in (o:lg, fi~rid ererrninando , fitusque proprie tatibus eruend is occupataeffe ita 'iu itul'; in quo negorio . ~ ~ ql~ e ,,~ ~ { ,qll~utit~Jesre~fpiciendum, neque C a I C L l l ! ? qua n t i t a t u m vrendum : fit.C uiusm od i autern problernata ad Iianc fim s Gcometriam .pertineant , et quali methode in Us refolueadis vtiopor-teat, non fatis eft definitum, Quarnobrem , cum Duper,prob lem atis cu iusd am mentio effet filC h ~ quod quidem'ad .geornetriam pertinere videbatur , at ita erat corn-paratum, V:~ neque d eterm inationern quantitatum requi ....rerer , neque folutionem calcu li qunntitarum ope admit-tere t , id : ad geom etriam fitus refern~ haud dubitau i:praefertim quod in eius folutione Iolus fitus in confid e-rationern vem at , calcu lus vero nu llius prorfus fit vfus,Methoduffi .ergo mearn quam ad huius generis preble-mara


2/14

c

1 1

J . . F,-._ A _ n

, ,

r'


3/14


4/14

IjO ' SOLTJ 'TIO PROB LEMA "J JlS ) ~l 1 1 r g i a t m ' , quam oile~dat" v trum ta lisc urfu s,j ,n ftitu i g ue ai~ :~an fecus ; talern enim methodum multe Timpllciorear;fore fum fuspicatus. , '" .. ' . , - ,' ~ ~ + . Innititur autem tota rnea tu eth oilu s' .id on ec rm0G(} fingulos pontium tra nsitu s d efign and i , ill q u o v:tor:Iitteris maiusculis A" B, C, D, fingulis regionibus ad-fc rip tis, -q ua e flnmine fane f e p a - u a - t a e i . Ita fiE )u is'e xere '~ - - -t+gione A in: regionern B tr ansm igr at per ponterrr a fine b . "hunc tranfitum denote Iitteris A B" quatiUm prior prae ....bet regionem ex: qure exiernr viator; pofferior verodarregionem in ; quam: pontern t r a : l l s g r e i f ' u s l peruenit; 5 . deinceps viator ex regione B - abeatvin regionem D per':pontem f~ hie" tranfitns repraefeutabims. litteris,]3 D ~"duos autem hos tr ar if ir us - fuce effiue ' . in flitu to s A B 'et BV ., 'denoro tal1-tl1mi trib us litte ris A.BD)"quia;1't1t3dia 1 TIde-:lignat tam; regionem, inqnam; pri'm,Q'.'tJ.13.nfitu;peruenit:.,.quam regionern ex qual altere: tranfinnexit; ..

: . . 5 '.- S [m Ht m odo if viat01~-e ~ !L '~ gi'orie .n pro-. .grediatl!l.t i 'n1regionem: C_per.' poutenr g' , has tres trans-.itu s fiic ce tliu e' fa eto s' q ua tu or litteris A BD C denotabo,Ex h is enirn quatuor Iitteris. A B D G intelligerur v J : a . ~ " ,torem primo in regione it exiflentem tranfiiffe in re;, ....gionem B,. h inc eife progreflinn in ' , reg.ionem: D, ;ex,:hacque vltra eife profednm in C :- cum vero hae re-giones fluuiis fiut it fe' inuicern feparatae., necefle eit"vtviator tres pontes, transierir. Sic transirus per'qua""rtucr po ntes, fu cc effiu e infl:itu ti q uin qu e' 1 itte ri~ ,. deneta-:buaturcetfi viator trans qsotcunque pontes, ear, eiasmigratio per Iitterarumnumerum " qui vnitate eiima-.ior


5/14

.

.

AD CEOMElR IAM B IT rS ;P ER TI;J NE NT l~ ._-f3:ti~r quam num erus pontium , rlel1otabituP.~~lare t r a p s . . ,itus per feptem pontes ad de.f ign~nduUl '{},etolcquiritJ itteras. "

I-'~";-~ ' . 6. In hoc defigl1ando,Itlcido U()J! refpicin, perquos pontes tranfims fi t faCtus., fed .ft -idem .tranfirus ex

+ .. '

perind e eft pet quemnam t.ra.nseat_,modo:.in defjgnatamregionem perueniat. Ex. quo incelligitur, :f i c urfa s p ellfeptem figurae pontes ita inftitu i po!fet _ , vr per fingu-los femel ideoque per nullum bis rransearur ; hunc cur",fum octo litteris repraefentari poffe., . casque litteras fta

__e{fe__d ~ b e r ~ _ ' _ d i ~ _ P Q ! im _ ~ _ ' c 3 ! t .l m I D ,$ > _ d j ~ ~ ~_Utt~f~!,JdIDA : _ c ; t . .1 3 _fucceffio bis occurrat , quia ' funt duo pontes (t et b:hasregiones A et B iungentes , fim ili' modo fiicceffio lit-terarum A et C quogue debet bis occu rrere in illa odoIitrerarum ferie; deinde fiicceflio Iitterarum A et D [e...'mel occurret ; firniliterque fucceffio litterarum B et D,i remque C et D fem el occurrat nece!f~ ~ft.

. 7 ,Q !_m ef1 :io ergo hue red ucitu r , vt ex quatuorIitteris A , 13 ) C et D feriG~ oCto litterarum formerar 'i-in qua om nes illae fucceffiones toties occurrant quotieseft praeceptum. Anrequarn autem ad ralem dispofitio ...-nem opera adhibeatur , oflendi conuenir 1 vtrum talimodo hae lirterse disponiqueant an non. Si enimdemonflrar i poterit . . ta lemdispofi tionem .emnino -fieri1 1 0 n poife , inutilis erit em nis Iabor ~ qui ad hoc effi-ciendum locaretur. 'Qij~l 'PQhrem r e , g l , i l am inue l li . ..pRui, cnius ope tam pro ha~ 'Qlla~fciQue, quampfoR .2 omnibus


6/14

132!. SOLVTIO PROBLEMATISom nibus firnilibus , facile d iscerni queat~ , num talis He . . . .rerarum dispofitio .Iecum habere queat.

Flgura 2r .. 8., Confi?ero' ad ' l1U.]l1smod~ regnlam inuenierr-dam vnicam regionem A" Inquam quorcunqne pontesa, b, t', d. etc. conducant. ~orum pentium conremplorviator per hunc pontem transeat vel ante' tranfitum efledebuit in regione A vel POll: rranfiium ill A peruenier ;quare ill fiipra fta bilito tra nfitu s defignandi modo opor-ret vt !ittera! A fernel occurrat, Si: tres pontes" puta', b , C ' ill regionenr A. c orrd uc au t , et viaror per ornnestres . transeat , tum in defignatione eius migrationis lit-rem A b.s O C C U L T e t , . line ex A initio' c u r f i r m inftituerir .fine minus, Simili modo' 11 quinque pontes in; A con-ducaut , in defigna tione tranfiru s pe t eos ornnes littereA tel' occnrrerc debet; Atgue i T numerus pentium fue-.rit quicunque nnmerus impar , tum fi is , vnitate augen-tur , eius dimidiunn dabit 1quot, vicibus Iirrera. A. OC:""currere debeat,

Figura I. - . 9'. III earn ' ig imr . rentiLlm~ transeund orum Re-giomontano ,< quia in infulam A quinque pontes dedu-cnnt a, It, '., d,e, neceffe ell: " vr in defignarione trans-itus per hos pontes litters A re r occurrar, Deinde lit-tera B ,. quia in regionem B tres pontes conducu11t,.bis debet O'CGUrl7ere"1 fimilique modo Iittera D' bis de-bet oceurrere., .arque eriam littera C' bis, In [erie ergooqo Iic te ramm., quibus tranfirus per feptem pontes d eberet'd~gna ;I Ji ,~ .Jittera A ter adeife deber et , .I itte ranrm vera

B,C?


7/14

r .AD GEOMETR IAM S I TVS PERT INENT I S . 1 33B, C, et D vnaquaeque bis ; id quod .in [erie oCio lit-terarum om nino fieri nequit.. Ex quo perfpicuurn eft,per feptem pontes Regiomontanos talemrrranfitum in-ilitui non poffe,

omni alio cafir ntium

,.

ir .

u quidem num erus pontinrn , qui in quam que regionemconducit fherit impar, iudicari poreft , an per fingulospontes tranfitus femel fieri queat, . Si .eriim e u . e ' i 1 i F ~ - 'vt-fum ma om nium ' vicium, quibus ,lingulae litrerae occur-rere debe lit 7 aequalis fit num ero omnium pontium vni-tate' aneto" tum talis tranfims fieri potell ; {h i autem vrI I I noitro exern plo aecid it , fumma omnium vicium ma-lar firerit nurnero pontiunr vnitate aneta " tum talistranfitus nequaquam inflitui poteft. Regula autem 'quamdedi pro numero viciurrr A ex uurnero pentium inregionern A deducentium inueniendo aeque valet; fineornnes pontes ex vna regione B" vt' in figura reprae- Figura 2.fennrur, ducmt ' jhue ex d iuerfis ; tautum enim vregio- lnern A confidero , er inquire quot vicibus iittera A oc ..;currere debcat ... .~ I I. Si autern num erus pontium , qui in regie-nem A conducunr , fuerit par ~ tum circa tranfitum , perfingulos notandum eft" vrrum initio viator cnrfiim ..Iiiumex regione A inflituerit au non. Si enim duo pontes:in A conducanr , et viator ex A curium'. inceperit,turn Iitters A bis occurrere debet" femel enim ad': '". \e u e debet ad delignandum exitum ex A pet' alterum~xmtem , et feme! quoque ad Jefignandum rediturn

R 3 '1 111

.,


8/14

:I34 SOLVTID PROBLEMATISin A per alterum pontem, Sinautem viator exalia regione curfum inceperit , tum femei rantum 'lit ..tera A occurret , fem el enim pofita tam aduel1 tum in Aquam exitum inde denotabit , vt huiusmodi curfirs de-fig na re fta tu i,

. [2. Condncant iam quatuor pontes in regionem A,et viator ex A curfuro incipiat , tum in d efignarione to...

-- tillS c urfu s litte ra A te r adeifectebehlr,-U- q u i u " E m - - - - p e r - -fingulos Iernel transierir, At Ii ex alia regione arnbu-lare inceperit , tum bis tantum littera A occurret. Sifex pontes ad region em A conducant , tum Iittera A,fi ex A initiurn ieundi eft Ium tum , quater occurrer ,- at fi non ex A initio exierit viator , tum ter tantumoccurrere debebit, Quare generaliter Ii numerus pon-dum fuerit par, tum eius dirnidium dat nurnerum vi...cium , quibus lirtera A occurreredeber , fi .initium.none ft in reg ion e A fu rruum ; d im id ium vero vnitate auctumdabit nurnerum vicium , quoties Iittera A . occurrere d e ' : 'bet, in itio curfus in ipC a. regione A fum to,

. IS. Quia autern in tali curfu nonnifi ex VL1a.regione initiurn fieri potefl , ideo ex numero pentium,qui in quamuis regionem d ed ucu nt , ita numerum vi-dum ,quoties littera quamque regionem denotans oc-currere debet, d efinio , vt film am nurneri pontium vni-tate auc ti d ir nid iu rr r, fi numerus pentium fiicrit irnpar ;ipfins vera num eri pentium rnedie tatem, fi fuerit par,Deinde fi numerus omnium vicium a da equ et num erumpentium vnitate auctum , tum tranfitus defideratus fuc-ced it , at initium ex regione, in quam im par ponriummnne .. .


9/14

I' , AD rJEO METRIAM S ITVS .PERT INENT IS .I3S

,

figura '1 ad iuueftigandum'1 num quis per. fingnlos ferneltransire "qu eat'l fe qu enti modo ,o'perat-iQnem~~llilituo~-Primo' rtngulas regiones aqua a ie inuicem diremtas-Iitterie A; B" C etc. defign[). Secuudo fumo omnium-pontiurn num erurrr , eumque vnitateaugeo, atque fe-tjllerttl operationi praefigo.'fettiO' fingulis Iitteris A, B, Cetc, fibi Iubfcriptis '1 cniI ibe t adfcr ibo unmerum pentium~d e a r n .regionerrr deducenriurrr, Q uarto' eas Iitteras ,q L i a e pares, adfcriptos habenr numeros figno' aflerifco.'Quirito' fingnlorum lrcrum nur ne ro ru rtt p arium dimidiasd iic io , im p ariu rrt vera vnitate al1ctornmdimidia ipfisa d f c d b O ' " Sexto has num eros vltim o fcriptos in. vrramfiim mam coniicio , quae finnm s r u : v el v nita tem in or(uerit vel sequali s nu rne ro fupra: p ra efix o , qu i eltnn,...rne ru s pe ntium vnitare aU C1;us1tum C011CIudo rranfimmd e fid e ra tum per fic i poffer. H oc '. vero efl tenendum ,..fi firm ms inuenta fiierit vnitate illnor , quam numerusf iipra pof irus, tUITi in itiu rn ambu la tio nis e x: re gio ne afle-rifiico notata fieri debere ,:,contr~ vero ex regione nonfignata fi fumma fa erie a equu-lis,-rtL 1l1 1 erO ' p ra efc rip to .Ita ergo prO ' cafh Regiomontano .operationem inftituo 1Tt fequitur :

c

..iltulleruS ducit, capi debet.. Sin autem numerus omniumV ICmrrl fu erit v nitate minor, quam pontium numerusvnitate auctus, turn tranfitus fuccedet incipiendo ex re_,giane" in quam pal' pentium numerus ducit , quia hocmodo vicium numerus vnitate eft augendus ..

-

. . . . . , . . . . . . . _

Nume-


10/14

!36 SOLT/TIO PROBLEMATiSNumerus pentium 7 , ha.betur ergo $

Pontes' CA, 5 r :3,C, 3 I :, :3

huiusmodi tranfitus

"

nequaquamF'igur! 3' r . 15 Sint duae infulae A etB aqua , "c ir cum-datae , quacum aqua com rnunicent quatuor fluu ii , quem -

adrnodum figura repraefentat. Traiecto porro fint fir-per aquam infulas circurndantem tt fiuuios quindecimpontes a, b , c , d? etc, et .quaeritur, UUIn 'luis curfum~~:lw:~ttuere quea~.?yt pe r om pes pontes trsnseat ,per inullum autem , p l p s !qqa1IlJq:t1eJ~p"efiKno ~rgoprim um om nes regit;w es, quae aqua a fe . inuicem IiintIeparatae Iitteris A, ]3")' C .,;o ~ ~ ,~ F cuiusmodi etgofunt fex regiones. 'Dein uumerum pentium ; r , vni- /;tate augeo, et fumm am 16 fequenti operationi l ? r a e " " "figo.

J6A*"S 4-B . : l 1(: - 4"' 2. 'C.-4 2.D-S ~E~5,3F~-6 3--1-0"""'-

Tertio


11/14

quem ...nt n J 7 ' "

n se at ,. ergoIimt. /.

YD!-prae ...

Tertio

. .A D GEOMETR I AM S ITV_SPRTINENTIS . l 371ffe rtio Iitte ras ..A, B, C etr:.fibi i n u i G ~ J ? 1 ' fabfcribo , e tpd q uamqu e .1 1u .m ewm pontium , .qui c in .~ ~~ regio~c.:rr;L

_ .dUCLU1t ponp , 'imt. ad ;,._ oC to dUCLJ1#!p 0 l1 t~ s, ad B q u a - : - ~ T - , - .I \ ,.mor etc.: (~l~r:t;Q _,litreras, rqu~~i:Pa,r~s a ? i u p C 1 : 9 ~ . habcntrmmeros 'a fie rH c (L ;))otO .~ . Q_u in tP~n f~rtia):Ilcoll1mn~lmfcribo parium. n~ll l l .erc)I ; 'U,D; l ; , d im i dia ~ .iID J > a~ e sv er o vni-. . tertiae co...[nmnae numeros linuke(n ~...et,-R .. . .. .quae cum a equ a lis fi tn ume rq Iiipra 'poijto~6 , ' f e q u i :tur tranfirurn defiderato moclofieri peffe , f im0d(ohc-m~fus vel ex regione D vel E in cip iatu r , quippe quaenon funt afterifc .Q noratae . C urfus sntem ita fieri po-teritE a F iJBeF d'AIl 'F jeg Abe iD kA 1 1 2 E 1 2 Ap E o EIDvbi inte r litte ra s malu8cll1as pOLltesf iroulcnUocaui, per9 u O S fit tranfitus- .

. 16. H ac igitur ratione facile ed t in cafu quammaxime ,_ ! :o rnpofito iudicare, vtrum tranfitus per om nes'pontes fem el rsntum fieri queat , an 1100. H oc tarnenadhuc m ulto faciliorem trad arn m odum id em d ignofcen-d i., qui ex hoc ipfo m odo non d ifficu lter eruetur ,poftquam fequentes ob[erua~ iones . i n m ed ium protulero.Primo autetnobieruo ornnes nnm eros pentium fingulislirteris. A . .,R'? C adrcriptoS fimul iumtos 'duplo maioreseife toto pontium numero- Huius rei ratio eft, quodin hoc. computo, quo pontes om nes in datam regio-nern d ucentes numerantur, quilibet pons bis num eretur ;refertur enim quisque pons ud vtramqlle region em , quaiiungit. .

T om . V III . s . rio


12/14

138 SOLPTIO P ROB L EM A rtS :'. 17. Sequitu r ergo ex h ac obferuatione fhmmam

omnium p~nt ium" qui in fin gu la s re gio ne s v con du cu ns.,effe nurnerum parem , quia eius d im id ium . pOBti\~m nu-mero aequatur. Fieri ergo non po,teft, vt inter nu-meros pentium in quamlibet regionem ducentium vni...cus fit im par ; liileque etiam vt tres fint im pares , nequeguing!!~_" ~!


13/14


14/14

t+O SO tJ !'T IO P RO B LEM A T 1 S AD : r J : E O M . &b..,~

'~ ~'I.: Qu and o au tern 'inu entum 'fu eH t t{llem 'trans-itum inftitu i poife? quneftio fiiperefl quom od o curfus f i f .d irigendus. Pro hoc fequenti vtor regula; tollantur co:"gitatione quoties fieri poteft , b ini pontes, qui ex ' v n a :regione in aliarn ducunr , quo pacto pentium num erusl'eh em enter plerum que d im inuetur , tum quaeratur ,qnod facile fief? cur[usdefideratusper po nte s .r eJ ie l u 0 s - "quo inuento pontes cogitatione fublati hunc ipfum cur-fum non multum turbabunt , ia" quodpaulil lum a : U e n - . ; ; ;denti fratim patebit ; neque 'opus effe iudico plura adllIllliD relp{a formandos praeciperc.

THEO-, .

Euler - Solutio Problem at Is Ad Geometriam Situs Pertinent Is

Documents

Transcript of Euler - Solutio Problem at Is Ad Geometriam Situs Pertinent Is