Estructuras Palanqueadas - Hernan Cainzo

METODOMETODOMETODOMETODO ITERATIVO ITERATIVO ITERATIVO ITERATIVO PARA PARA PARA PARA ELELELEL CALCULO CALCULO CALCULO CALCULO

DEDEDEDE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS PALANQUEADASPALANQUEADASPALANQUEADASPALANQUEADAS (Outrigger Braced Structures)

Ing. HERNAN CAINZO

Linea de Columnas Exteriores


Flexion

MAITY PUBLISHING Co. New York - USA

A mi hija Marcela

Cálculo de Estructuras Palanqueadas

Outrigger Braced Structures

Ing. Hernán Cainzo

2

INDICE

1.- INTRODUCCIÓN 3 2.- PANTALLA CON BRAZOS CENTRADOS 6 3.- PANTALLA CON BRAZOS DESCENTRADOS 13 4.- PANTALLA CON BRAZO UNILATERAL 17 5.- SOBRE LOS COEFICIENTES Um,n 18 6.- SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO 19 7.- EJEMPLO RESUELTO 23

Prefacio

Conocidas en la Literatura Técnica Inglesa como Outrigger Braced Structures, se trata de

un efectivo sistema estructural, utilizado comunmente para controlar la deriva excesiva

debido a carga lateral de los edificios altos, incorporando durante la acción de cargas

laterales debidas sismo o viento (y solo durante dicha acción) un momento de contra-

flexión, que disminuye el riesgo de daño estructural y no estructural. Para edificios altos,

especialmente en zonas sísmicas o viento activos, este sistema suele presentarse como una

estructura apropiada. Este trabajo se presenta un Método Iterativo que permite resolver

rápidamente el problema Estático para su posterior verificación Resistente.

Al no encontrar en la Bibliografía Técnica Española un nombre para esta tipología

estructural, me he tomado el atrevimiento de llamarlas Estructuras Palanqueadas, en el

convencimiento de que dicho nombre encierra el concepto Físico-mecánico de su génesis.

Ing. Hernan E. Cainzo

New York – Marzo 1994



Ing. Hernán Cainzo

3

ESTRUCTURAS PALANQUEADAS (OUTRIGGER BRACED STRUCTURES)

1.- INTRODUCCION Como es sabido, frente a cargas horizontales (sismo o viento), las estructuras agotan su rigidez mucho antes que su resistencia. Ahora bien, el dimensionamiento de miembros por rigidez, conduce invariablemente a un dramático incremento del costo de la estructura, al punto que nos habla de una inadecuada distribución de la masa estructural. En principio un buen diseño nos sugiere alcanzar los límites de deformación y resistencia casi simultáneamente. Con esta idea en mente, nació este dispositivo que permite incrementar por encima del 40% la rigidez de una pantalla (o núcleo), como así también su resistencia a flexión; aunque no su resistencia al cortante.

Estructuras Palanqueadas(Outrigger Braced Structures)

Vista de FrenteVista Lateral

Fig 1

Una Estructura Palanqueada (Out-rigger Braced Structure) nace de conectar una pantalla o pórtico rígido con las columnas exteriores por medio de voladizos (brazos) sumamente rígidos a la flexión, los que se activan bajo la deformación horizontal de la pantalla introduciendo en la misma momentos de contraflexión que disminuyen los



Ing. Hernán Cainzo

4

momentos de flexión libre de la pantalla (aumento de la resistencia a flexión). Paralelamente, se introducen en la elástica de deformación libre de la pantalla puntos de inflexión que invierten el gradiente de deformación de la elástica, con la consiguiente disminución de la deformación horizontal (aumento de la rigidez). Este comportamiento queda reflejado en las figuras 2 y 3. En cuanto al emplazamiento de los brazos, estos por lo general son extendidos por ambos lados de la pantalla, con lo que se logra un máximo de interferencia, aunque también pueden tener un emplazamiento unilateral, como se muestra en figura 4b.




Fig 2

Pantalla con Brazos

Pantalla sin Brazos

Deformaciones Flexion


Fig 3



Ing. Hernán Cainzo

5

Como se observará mas adelante, la inercia de la viga brazo es directamente proporcional al valor del momento de interferencia, por lo que, dar gran rigidez de esta implica máxima eficiencia del sistema. Por esta razón estas vigas suelen proyectarse con una altura igual a un piso como mínimo e incluso de dos pisos, encontrándose entre los edificios construidos de este tipo tanto brazos de alma llena como reticulares tanto de acero como de hormigón (Vigas Vierendeel).

Estructuras PalanqueadasMateriales

Pantallas Celosias

Fig 4a

Estructuras PalanqueadasDisposiciones

Simetrica Asimetrica Unilateral

Fig 4b



Ing. Hernán Cainzo

6

También con el propósito de perfeccionar al sistema, se suele complementar al mecanismo ya explicado con una viga perimetral de gran rigidez (hmin= 1 piso), la que conectada con los brazos, a forma de bastidor, activa a Todas las columnas periféricas del edificio, mejorando de esta forma el apoyo externo de la viga brazo. Así nacen las Estructuras Cinchadas (Belt Truses-Outrigger Structures). Ejemplo de esto se grafica en figura 5.

Fig 5

Por sus características, esta tipología estructural cae dentro de las

categorizadas como Estructuras Complejas, y no se encuentra mayor bibliografía1, por ende su utilización en la práctica frecuente de la ingeniería estructural no está muy divulgada. En el presente trabajo se expone un método de cálculo del tipo iterativo desarrollado por el autor en New York durante los años 1993/1994.

El uso brazos de conexión y cinchas en edificios altos aumenta la

rigidez y promueve el uso mas eficiente de la masa estructural bajo carga lateral. El uso de brazos únicos en el centro de la altura de estructura reduce

el desplazamiento máximo en un 56 % (promedio) y cuando se dispone doble conjunto de brazos en la cima y en el centro de la altura de estructura reduce desplazamiento un 65%. 2.- PANTALLA CON BRAZOS CENTADOS

1

”Structural Analysis & Design of Tall Buildings” – Bungale S. Taranath – Mc-Graw Hill, Inc. 1988.



Ing. Hernán Cainzo

7

La deducción del método esta sujeta a que todos los brazos tengan igual inercia, aunque no condiciona la cantidad de brazos, ni la distancia de separación entre los mismos, ni la posición de ellos en la altura.

Fig 6

Así, de la figura 6 se tiene:

donde: Eb= Modulo de Elasticidad de la viga brazo ib= Momento de Inercia de las vigas brazo por otra parte si las deformaciones son pequeñas, entonces:

por lo tanto

reemplazando [4] en [1], se tiene

A1

b b

2M =3.E .i

a. h∆ (01)

P =3.E .i

a. h

b b

3 ∆ (02)

∆h

(a +l

2)

= tg = yAθ ′ (03)

y.2

l)+(2a=h

A′∆ (04

A1

b b

2 AM =3.E .i

2.a.(2a+ l). y′ (05)



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8

Fig 7

de la figura 7 podemos establecer que

de donde

reemplazando [101] en [99] se tiene

haciendo

se tiene

con la expresión [10] hemos arribado a la ecuación general del planteo. Con ella, si encontramos el valor de las rotaciones angulares y'i, el sistema estará resuelto.

A

A1

M

M=

(2a+ l)

2a (06)

A A1M =(2a+ l)

2a. M (07)

A

b b

3

2

AM =3.E .i

4.a.(2a+ l ) . y′ (08)

K =3.E .i

4.a.(2a + l )

b b

3

2 (09)

A AM = K.y′ (10)



Ing. Hernán Cainzo

9

Fig 8

Para determinar la magnitud de las rotaciones angulares, apelaremos al Teorema de MOHR, según se muestra en la figura 8. En ella se han separado las solicitaciones de flexión libre de una semipantalla, de la acción de los momentos de acoplamiento. Así, podemos calcular la rotación angular en el punto 1 como:

donde:

y'1 = Rotación angular en el punto 1 U = Area del diagrama de momentos (flexión libre) de la carga externa

sobre la pantalla M = Momento de acoplamiento en el punto 1 h = Altura del piso

E = Modulo de Elasticidad de la pantalla I = Momento de Inercia de la pantalla

La ecuación [11] representa la ecuación general para la determinación de las

rotaciones angulares, y ella vincula genéricamente la rotación de un piso general con la del piso inferior, y todas las rotaciones de los pisos superiores. Dicha ecuación, al ser aplicada a una pantalla de "n" brazos, generará un sistema de "n" ecuaciones (una por cada brazo) con "n+1" incógnitas; pero si agregamos a este sistema la condición de empotramiento de la pantalla en la base, entonces la ecuación

E.I

.hM-

E.I

U+y=y

11,2

21′′ (130

0=y1+n

′ (131)



Ing. Hernán Cainzo

10

constituirá la "n+1" ecuación y el sistema se transformara de "n+1" ecuaciones con "n+1" incógnitas, es decir, compatible y determinado.

Establezcamos, ahora, este sistema de ecuaciones para la pantalla genérica que se muestra en la figura 8

Obsérvese que al haber un solo valor para la constante K, el sistema condiciona que todos los brazos deban tener igual inercia en todos los niveles. Haciendo:

Obsérvese también, en la expresión [13] la presencia del coeficiente 2 en la formula de "delta", pues a un nivel determinado convergen dos momentos de acoplamiento, uno por cada brazo. En fin con las expresiones [14] el sistema [13] se transforma en:

n n-1

n,n-1 n

n

n-1 n-2

n-1,n-2 n-1

n n-1

n-2 n-3

n-2,n-3 n-2

n n-1 n-2

2 1

2.1 2

n n-1 n-2 3 2

1 0

1,0 1

y = y +U

E.I-2.K.h

E.Iy

y = y +U

E.I-2.K.h

E.I( y + y )

y = y +U

E.I-2.K.h

E.I( y + y + y )

.

.

.

.

y = y +U

E.I-2.K.h

E.I( y + y + y +......+ y + y )

y = y +U

E.I-2.K.h

E.

′ ′ ′

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′I

( y + y + y +......+ y + y )

y = 0

n n-1 n-2 2 1

0

′ ′ ′ ′ ′

′

(13)

i

i=

2.K.h

E.I

=1

E.I

δ

ξ

(14)

(1+ ) y - y +0 y +............+0 y +0 y +0 y = U

y +(1+ ) y - y +.........+0 y +0 y +0 y = U

y + y +(1+ ) y -......+0 y +0 y +0 y = U

.

.

.

.

y + y +

n n n-1 n-2 3 2 1 n,n-1

n-1 n n-1 n-1 n-2 3 2 1 n-1,n-2

n-2 n n-2 n-1 n-2 n-2 3 2 1 n-2,n-3

2 n 2 n-1 2

δ ξ

δ δ ξ

δ δ δ ξ

δ δ

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ δ δ δ ξ

δ δ δ δ δ δ ξ

n-2 2 3 2 2 1 2,1

1 n 1 n-1 1 n-2 1 3 1 2 1 1 1,0

y +............+ y +(1+ ) y - y = U

y + y + y +............+ y + y +(1+ ) y = U

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′



Ing. Hernán Cainzo

11

la transformación lineal la realizaremos ahora multiplicando cada línea por:

y sumándola a la inmediata inferior, así el sistema quedará:

donde genéricamente los coeficientes son:

y con ello el sistema [15] se puede escribir de manera mas compacta como:

si hacemos:

-( )i-1

i

δ

δ

(1+ ) y - y +0 y +..........+0 y +0 y +0 y = [U ]

- y + y - y +..........+0 y +0 y +0 y = [U - U ]

0 y - y + y -..........+0 y +0 y +0 y = [U -

n n n-1 n-2 3 2 1 n,n-1

n-1 n n-1 n-1 n-2 3 2 1 n-1,n-2 n-1 n,n-1

n n-2 n-1 n-2 n-2 3 2 1 n-2,n-3 n-2 n-1,n-2

δ ξ

α ρ ξ α

α ρ ξ α

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ U ]

.

.

.

.

0 y +0 y +0 y +............- y + y - y = [U - U ]

0 y +0 y +0 y +............+0 y - y + y = [U - U ]

n n-1 n-2 2 3 2 2 1 2,1 2 3,2

n n-1 n-2 3 1 2 1 1 1,0 1 2,1

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

α ρ ξ α

α ρ ξ α

(15)

i

i-1

i

i

i i+1 i+1

i+1

=

=(1+ )+

αδ

δ

ρδ δ δ

δ

(16)

nn

n,n-1

nn-1

n-1

n-1

n-1,n-2 n-1 n,n-1

n-1

n-2

n-1

n-1

n

n-2

n-2

n-2,n-3 n-2 n-1,n-2

n-2

n-3

n-2

n-2

n-1

2

2

2,1 2 3,2

2

1

2

2

3

1

1

1,0 1 2,1

y =(1+ )

.U +1

(1+ ). y

y = .[U - U ]+1

y + y

y = [U - U ]+1

y + y

.

.

.

.

y = [U - U ]+1

y + y

y = [U - U ]

′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′

ξ

δ δ

ξ

ρα

ρ

α

ρ

ξ

ρα

ρ

α

ρ

ξ

ρα

ρ

α

ρ

ξ

ρα + y

1

1

2

α

ρ′

(17)



Ing. Hernán Cainzo

12

donde el subíndice n corresponde al último piso. Con esto el sistema [17] toma la estructura:

La expresión [19] constituye el núcleo del método. En ella se enlazan las rotaciones

angulares de un piso genérico "i" con las rotaciones angulares de los pisos inmediatos superior e inferior (i+1 ; i-1). Los valores Yi representan las rotaciones angulares básicas de cada piso, y en esencia involucran la acción de la carga externa sobre la pantalla.

El proceso de calculo comienza considerando nulos los valores de y'i=0 con lo cual

se encontrará el primer valor para los y'i , es decir:

n

n

n,n-1

n(inf)n

i

i

i,i-1 i i+1,i

i(inf)

i

i(sup)

i

i

=(1+ )

.U

=1

(1+ )

= .[U - U ]

=1

=

Υ

Υ

ξ

δ

µδ

ξ

ρα

µρ

µα

ρ

(18)

n n n(inf) n-1

n-1 n-1 n-1(sup) n n-1(inf) n-2

n-2 n-2 n-2(sup) n-1 n-2(inf) n-3

2 2 2(sup) 3 2(inf) 1

1 1 1(sup) 2

y = + . y

y = + . y + .y

y = + . y + . y

.

.

.

.

y = + . y + .y

y = + . y

′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

µ

µ µ

µ µ

µ µ

µ

(19)



Ing. Hernán Cainzo

13

paso seguido, se procede a la segunda iteración, tomando como valor y'= y'(0), con lo cuál obtenemos la segunda aproximación, por lo tanto:

y así se repite sucesivamente el proceso, tomando y'(0) = y'(1) para calcular la tercera aproximación y'(2), hasta lograr el grado de aproximación prefijado. Una vez concluido el proceso de iteración, la simple aplicación de la ecuación [10], nos permitirá calcular la magnitud de los momentos de acoplamiento de los brazos; y con ellos componer el diagrama final de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales del conjunto estudiado y toda la información necesaria para proceder al dimensionado. 3.- PANTALLA CON BRAZOS DESCENTRADOS Tan frecuente como la pantalla con brazos simétricos es el uso de pantallas con brazos descentrados, por este motivo es interesante estudiar como se adapta el método para este tipo de estructura. De la figura 9 se puede establecer

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

10

1

20

2

3-n0

3-n

2-n0

2-n

1-n0

1-n

n0

n

=y

=y

.

.

.

.

.

=y

=y

=y

=y

(141)

0

2

1

1

0

1

0

31

0

3

0

11

0

2

01

01

.y+=y

.y+.y+=y

.

.

.

.

.y+.y+=y

.y+.y+=y

y.+=y

1(sup)1

2(inf)2(sup)22

n2(inf)-nn2(sup)-n2-n2-n


1-nn(inf)nn

µ

µµ

µµ

µµ

µ

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

−−

−

(21)



Ing. Hernán Cainzo

14

Fig 9

como también:

reemplazando [23] en [22], se tiene

A

b

2 a

B

b

2 b

M =3.E .i

a. h

.

M =3.E .i

b. h

∆

∆

(22)

∆

∆

A

b

h =(2a+ l)

2. y

.

h =(2b+ l)

2. y

′

′

(23)

A

b

2

B

b

2

M =3.E .i

2 a.(2a + l). y

.

M =3.E .i

2b.(2b+ l). y

′

′

(24)



Ing. Hernán Cainzo

15

Fig 10

Por otra parte, de la figura 10, se tiene

por lo tanto:

Donde: Eb= Modulo de Elasticidad del Brazo.

haciendo

las expresiones [116] se transforman en

GA A

GB B

M =(2a + l)

2a. M

.

M =(2b+ l)

2b. M

(25)

GA

b

3

2

GB

b

3

2

M =3.E .i

4 a.(2a+ l ) . y

.

M =3.E .i

4b.(2b+ l ) . y

′

(26)

a

b

3

2

b

b

3

2

K =3.E .i

4 a.(2a+ l )

.

K =3.E .i

4b.(2b+ l )

(27)



Ing. Hernán Cainzo

16

con esto arribamos a la expresión de los momentos de interferencia, en su forma general. Veamos ahora su incidencia en la evaluación de las rotaciones angulares. La pantalla posee ahora un solo cuerpo por lo tanto es obligado el trabajo con TODA la carga externa para calcular los coeficientes Um,n. Esto hace que en las ecuaciones [19], deba ingresar TODA la interferencia a los diversos niveles, por lo que estas ecuaciones tendrán la forma general:

y con esto, los coeficientes δ y ξ serán:

y las restantes operaciones quedan inalteradas. En resumen, para el caso de pantalla con brazos asimétricos, se usará el método general con las siguientes constantes:

y los coeficientes

GA a

GB B

M = K .y

M = K . y

′

′

(28)

i i-1

i,i-1 a b i

n n-1 n-2 iy = y +

U

E.I-( K + K ).h

E.I.( y + y + y +.........+ y )′ ′ ′ ′ ′ ′

i

a b i

i

=( K + K ).h

E.I

.

=1

E.I

δ

ξ

(29)

a

b

3

2

b

b

3

2

K =3.E .i

4 a.(2a+ l )

.

K =3.E .i

4b.(2b+ l )

(30.a)

i

a b i

i

i

i-1

i

i

i i+1 i+1

i+1

=( K + K ).h

E.I

.

=1

E.I

.

=

.

=(1+ )+

δ

ξ

αδ

δ

ρδ δ δ

δ

(30.b)



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17

4.- PANTALLA CON BRAZO UNILATERAL La adaptación del método a las estructuras con brazo unilateral es la más fácil de todas, ya que se logra con solo eliminar el coeficiente 2 de la expresión de la constante δδδδ1 (ecuación [19]). En lo restante, el método sigue idéntico, utilizando el paquete de constantes [16] y coeficientes [18].

Fig 11

n

n

n,n-1

n(inf)n

i

i

i,i-1 i+1,i

i(inf)

i

i(sup)

i

i

=(1+ )

.U

.

=1

(1+ )

.

= .[U - .U ]

.

=1

.

=

Υ

Υ

ξ

δ

µδ

ξ

ρα

µρ

µα

ρ

(30.c)



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18

5.- SOBRE LOS COEFICIENTES Um,n Los coeficientes Um,n recogen la influencia de la carga externa sobre la pantalla. En rigor representan el área del diagrama de momentos flectores que la carga externa desarrolla sobre la pantalla, considerada ésta como ciega, entre los pisos "m" y "n"; así podemos decir:

la integral [31] nos da el valor exacto del coeficiente Um,n aunque su evaluación no siempre sea enteramente necesaria. Los casos de cargas mas comunes que en la práctica se presentan como lo son fuerzas concentradas, cargas uniformemente distribuidas y linealmente variables, no requieren dicha evaluación.

M

M

Fig 12

Cuando la pantalla esta cargada con fuerzas horizontales concentradas, entonces el diagrama de momentos flectores entre dos pisos genéricos "m" y "n", será trapecial, como se muestra en la figura 10, en consecuencia, el valor de Um,n vendrá dado por la expresión:

para los restantes casos de cargas, (salvo una particular preferencia por la expresión [31], se puede determinar el valor de Um,n a través del método de SIMPSON, para el cálculo de integrales definidas.

(x)dx=U

n

m

nm, Μ∫ (31)

)+.(2

h=U nmnm, ΜΜ (155)



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19

M M=F(z)

M

Fig 13

recordemos que este método nos permite la evaluación de la integral [31] de manera aproximada a partir de las ordenadas de la función, para intervalos regulares. Así podemos decir que:

cabe destacar que para cargas uniformemente distribuidas, la expresión [33] será exacta, y en los casos de cargas linealmente variables lo suficientemente aceptable, ya que se puede demostrar que el error en la regla de SIMPSON, es proporcional a la derivada cuarta de la función integrante. De todas maneras si se desea aumentar la precisión, pueden tomarse los valores intermedios entre Mn,m ; Mn y Mm , es decir para intervalos h/4. 6.- SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO

Es preciso hacer dos consideraciones. Primero que el método trabaja con dos tipos de constantes, δδδδ que es adimensional y ξξξξ que es dimensionada; lo cual obliga a trabajar desde un comienzo en un mismo sistema de unidades de lo contrario se obtendrán resultados erróneos. En segundo término, debemos hablar sobre la convergencia. En este sentido podemos considerar como suficiente cuando una iteración corrige por debajo del 10% del valor de la rotación angular básica menor (del valor inicial de esta), a la rotación angular básica anterior. Por esta razón, y para simplificar el proceso iterativo, se trabajará con las rotaciones básicas reducidas. Las rotaciones básicas reducidas se obtienen dividiendo el valor de las rotaciones angulares básicas en el valor de la menor rotación angular básica del conjunto, así:

Υ

ΥΥ′

ji,

mn,mn, =

donde: Yi,j = menor valor del conjunto de rotaciones

angulares básicas.

)+4.+.(3

h=(x)dx=U nnm,m

n

m

nm, ΜΜΜΜ∫ (156)



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20

SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO

1. Se define completamente la pantalla colocando todos sus parámetros en un mismo sistema de unidades.

2. Se traza el diagrama de momentos flectores producido por las cargas

externas en el mismo sistema de unidades.

3. Se calculan las constantes y coeficientes de calculo, teniendo en cuenta el tipo de estructura:

Pantalla con Brazos Centrados:

K =3.E .i

4.a.(2a + l )

b b

3

2

i

i=

2.K.h

E.I

=1

E.I

δ

ξ

i

i-1

i

i

i i+1 i+1

i+1

=

=(1+ )+

αδ

δ

ρδ δ δ

δ

Pantalla con Brazos Descentrados:

a

b

3

2

b

b

3

2

K =3.E .i

4 a.(2a+ l )

.

K =3.E .i

4b.(2b+ l )

i

a b i

i

i

i-1

i

i

i i+1 i+1

i+1

=( K + K ).h

E.I

.

=1

E.I

.

=

.

=(1+ )+

δ

ξ

αδ

δ

ρδ δ δ

δ

Pantalla con Brazo Unilateral:



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21

)l+.(2aa4.

i.E3.=K

2

3

bb

E.I

1=

E.I

hK.= i

i

ξ

δ

i

i-1

i

i

i i+1 i+1

i+1

=

=(1+ )+

αδ

δ

ρδ δ δ

δ

4. Teniendo en cuenta las posibles variaciones de inercia se calculan los

coeficientes:

Formulas validas para Pantalla con Brazos Centrados, con Brazos Descentrados y con Brazo Unilateral:

ρα

µ

ρµ

δµ

i

i

i(sup)

i

i(inf)

n

n(inf)

=

1=

.

)+(1

1=

5. Con las formulas correspondientes, se calculan los valores de Um,n.

6. Se determinan los valores de las rotaciones angulares básicas, con las

expresiones:

]U-U.[=

U.)+(1

=

i+1,ii1-ii,

i

i

1-nn,

n

n

αρ

ξ

δ

ξ

Υ

Υ

.

donde: n = último piso i = piso genérico

7. Se determinan los valores de las rotaciones angulares reducidas:

Υ

ΥΥ′

j

mm =

donde: Ym = rotación angular básica del piso "m"



Ing. Hernán Cainzo

22

Yj = menor valor del conjunto de todas las rotaciones angulares básicas

8. Se llevan los valores al esquema de iteración.

9. Se realiza la primera iteración, tomando los y'i = 0 para aplicar

10. Se realiza la segunda iteración

0

2

1

1

0

1

0

31

0

3

0

11

0

2

01

01

.y+=y

.y+.y+=y

.

.

.

.

.y+.y+=y

.y+.y+=y

y.+=y

1(sup)1

2(inf)2(sup)22



1-nn(inf)nn

µ

µµ

µµ

µµ

µ

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

−−

−

11. Se repite el proceso iterativo hasta que la primera cifra decimal se mantiene constante

12. Se calculan las rotaciones angulares finales

y.=y i

(n)

ji,i′Υ′

Donde:

Yi,j es el valor de la Rotación Angular Básica

13. Se calculan los momentos de acoplamiento con

yK.=(A)A ′Μ

Pantalla con Brazos Centrados:

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

1o

1

2o

2

2-no

2-n

1-no

1-n

no

n

=y

=y

.

.

.

.

=y

=y

=y

157



Ing. Hernán Cainzo

23

K =3.E .i

4.a.(2a + l )

b b

3

2

Pantalla con Brazos Descentrados:

y.K=

y.K=

bB

aA

′Μ

′Μ

a

b

3

2

b

b

3

2

K =3.E .i

4 a.(2a+ l )

.

K =3.E .i

4b.(2b+ l )


yK.=(A)A ′Μ

)l+.(2aa4.

i.E3.=K

2

3

bb

14.- Se calculan las fuerzas cortantes en los brazos con: Pantalla Simétrica

y.2

l)+(2a.

a

i.E3.=P

A3

bb ′

Pantalla Asimétrica

yl).+.(2bb2

.iE3.=P

.

yl).+.(2aa2

.iE3.=P

bB

bA

′

′

3

3


y.2

l)+(2a.

a

i.E3.=P

A3

bb ′

15.- Se trazan los correspondientes diagramas de esfuerzos M, Q y N. 7.- EJEMPLO RESUELTO



Ing. Hernán Cainzo

24

Como ejemplo, apliquemos el método a la resolución del edificio indicado

en la figura 14. Se trata de una estructura palanqueada de 34 plantas, de 3 metros de altura cada una excepto la planta baja que posee 6 m (htotal= 105 mts).

La planta estructural tipo se grafica en la figura 15. Supongamos que el empuje de viento desarrolla sobre cada una de las pantallas externas un empuje de P= 1 ton en cada planta, por lo cual el diagrama de carga y dimensiones, corresponde al graficado en figura 16.

Fig 14



Ing. Hernán Cainzo

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Fig 15

Fig 16



Ing. Hernán Cainzo

26

CALCULO DE CONSTANTES Y COEFICIENTES

d = 0,30 m

h= 3,00 m

a= 2,50 m

l= 5,00 m

Ed= 2 . 106 T/m

2

h1= 58,5 m

h2= 45,0 m

i =d.h

12= 0,675[ m ]

3

4

I =d.l

12= 3,125[ m ]

3

4

K =3.E .i

4.a.(2a + l ) = 6.480.000[tm]

b

3

2

ξ

δ

δ

=1

E.I= 1,6.10

.

=2.K.h

E.I= 121,3056

.

=2.K.h

E.I= 93,312

-7

1

1

2

2

2

1

2

1

1 2 2

2

= = 1,3

.

=(1+ )+

= 123,6056

αδ

δ

ρδ δ δ

δ

2(inf)

1(sup)

2(inf)

= 0,0106

= 0,0105

= 0,0081

µ

µ

µ



Ing. Hernán Cainzo

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U1-2= 681,875 Ph2 Y2= 1,0411 10

-5 Y'2= 1,000

U0-1= 3543,00 Ph2 Y1= 3,1535 10

-5 Y'1= 3,029

CUADRO DE ITERACION

Cuadro de IteracionCuadro de IteracionCuadro de IteracionCuadro de Iteracion

1.0001.0001.0001.000 0.01060.01060.01060.0106

3.0293.0293.0293.029 0.01050.01050.01050.0105

1.0001.0001.0001.0001.0321.0321.0321.0321.0321.0321.0321.032

3.0393.0393.0393.0393.0403.0403.0403.0403.0403.0403.0403.040

VERDADEROS VALORES DE LAS ROTACIONES ANGULARES

y'2= 1,0411.10-5 . 1,032 = 1,0744.10-5 [rad] y'1= 1,0411.10-5 . 3,040 = 3,1649.10-5 [rad]

MOMENTOS DE INTERFERENCIA Y CORTANTES EN BRAZOS

M2= 69,621 [Tm] M1= 205,089 [Tm]

Qb1= 13,924 [ton] Qb2= 41,017 [ton]

El diagrama general de momentos flectores se detalla en la figura 18. Nótese la diferencia de momentos entre la pantalla libre y la pantalla palanqueada (incremento de la resistencia



Ing. Hernán Cainzo

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a flexión), y en figura 17 se describen los diagramas de deformación horizontal, donde se destaca el incremento de la rigidez. Por otra parte es también interesante observar como disminuye la cantidad de iteraciones (aceleración de la convergencia) cuando incrementa la rigidez del brazo (vigas de acoplamiento en el caso de pantallas con aberturas).

Fig 17



Ing. Hernán Cainzo

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Fig 18

Estructuras Palanqueadas - Hernan Cainzo

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