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8/20/2019 Estocastico-Lista02
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Mestrado Profissional - EESP - FGV
Lista de Exercícios 02
Cálculo Estocástico
Prof: Alexandre de Oliveira
1. (4.0 pontos) Lançando uma moeda repetidas vezes, considere que a probabilidade de cara (H)
seja p e de coroa (T) seja q . Seja X j = 1 se o j-ésimo lançamento resulta em H e X j = −1 em T.Considere o processo estocástico M 0, M 1, M 2,... com M 0 = 0 denominado de passeio aleatório
não-normalizado, ou seja,
M n =n∑
j=1
X j , n ≥ 1.
a. Determine a medida de probabilidade para que este processo estocástico seja Martingal.
b. Para um σ > 0 e n ≥ 0, mostre que o processo estocástico para a variável aleatóriaS n = e
σM n é Submartingal.
c. Considere uma função convexa ϕ(σ) tal que:
S n
ϕ(σ)n = En
S n+1
ϕ(σ)n+1
Determine ϕ(σ) de forma a termos um processo Martingal.
d. Mostre que, para um n ≥ 0 qualquer:
S n = eσM n
2
eσ + e−σ
n
determina um processo estocástico S 0, S 1, S 2,... Martingal.
2. (2.0 pontos) Considere que a taxa de juros r segue um processo estocástico, com velocidade de
reversão à média a, definido pela seguinte equação diferencial estocástica:
dr = a(r0 − r)dt + rσdz
onde a, r0 e σ são constantes positivas e dz é um processo de Wiener.
Considere que um título que paga $1 no vencimento T tenha seu preço definido por:
B(t) = e−r(T −t)
Obtenha o processo estocástico seguido por este título.
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8/20/2019 Estocastico-Lista02
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3. (4.0 pontos) Considere o modelo de Black-Scholes para uma call e uma put europeias, sobre
uma ação sem dividendos com preço S t em t, dados por:
C t = S tN (d1)−Ke−r(T −t)N (d2)P t = K e
−r(T −t)N (−d2)− S tN (−d1)
d1 = ln(S t
K ) + (r + σ
2
2 )(T − t)
σ√
T − td2 = d1 − σ
√ T − t
onde N (x) representa a distribuição normal acumulada padronizada.
a. Obtenha N ′(x).
b. Mostre que SN ′(d1) = K e−r(T −t)N ′(d2).
c. Obtenha ∂d1∂S t
e ∂d2∂S t
.
d. A partir deste item, considerando sempre a call, mostre que seu Delta é
∆ = ∂C t
∂S t= N (d1).
e. Mostre que seu Gama é
Γ = ∂ 2C t
∂ 2S t=
N ′(d1)
S tσ√
T −
t.
f. Mostre que seu Theta é
Θ = ∂C t
∂t = −rKe−r(T −t)N (d2)− S tN ′(d1)
σ
2√
T − t
g. Mostre que seu Vega é
Υ = ∂C t
∂σ = S tN
′(d1)√
T − t
h. Mostre que a probabilidade da call ser exercida, no mundo neutro ao risco, é N (d2).