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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Estimation non-parametrique de quantilesconditionnels
Laurent Gardes
INRIA Rhone-Alpes, equipe-projet MISTIShttp://mistis.inrialpes.fr/people/gardes/
8 mars 2011
en collaboration avec Abdelaati Daouia, Stephane Girard et d’apres le
travail de these d’Alexandre Lekina
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Introduction
Estimation des petites probabilites conditionnelles
Estimation des quantiles conditionnels
Illustration sur simulations
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Objectif
Estimation de quantiles d’ordres α arbitrairement petitsassocies a une v.a. Y de R definis par
P(Y > q(α)) = α, quand α→ 0.
+ Statistique fonctionnelle : une covariable X ∈ E (espacemetrique) est mesuree avec Y et on cherche a estimer desquantiles conditionnels definis par
P(Y > q(α, x)|X = x) = α, quand α ∈]0, 1[ est fixe.
= Estimation de quantiles conditionnels d’ordres arbitrairementpetits definis par
P(Y > q(α, x)|X = x) = α, quand α→ 0.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Illustration : covariable unidimensionnelle (E = R)
Donnees fournies par le Laboratoire de Conduite et Fiabilite desReacteurs (LCFR) du CEA Cadarache.
Y est la tenacite de la cuve (verticalement), X est la temperature(horizontalement).
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Illustration : covariable tridimensionnelle (E = R3)
Donnees fournies par le Laboratoire des Transferts en Hydrologie etEnvironnement (LTHE) de Grenoble dans le cadre d’une ANR.X = {longitude, lattitude, altitude}, Y : hauteur de pluie.
Objectif : Carte des niveaux de retour moyen (en mm) des pluieshoraires sur une periode de 10 ans dans la region Cevennes-Vivarais(Gardes & Girard, 2010)
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Deux problemes “duaux”
Partant d’un echantillon (Xi ,Yi ), i = 1, . . . , n de couples i.i.d.
• Estimer les quantiles conditionnels definis par
P(Y > q(αn, x)|X = x) = αn,
quand αn → 0 lorsque n→∞.
• Estimer les petites probabilites conditionnelles definies par
F (yn|x)def= P(Y > yn|X = x)
quand yn →∞ lorsque n→∞.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Introduction
Estimation des petites probabilites conditionnelles
Estimation des quantiles conditionnels
Illustration sur simulations
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Principe
On utilise l’estimateur a noyau de la fonction de survieconditionnelle
ˆFn(y |x) =n∑
i=1
K (d(x ,Xi )/h)I{Yi > y}
/n∑
i=1
K (d(x ,Xi )/h),
avec
• I{.} la fonction indicatrice,
• d une distance sur E ,
• h = hn une suite deterministe tq h→ 0 quand n→∞,
• K une fonction de support [0, 1] telle que0 < C1 ≤ K (t) ≤ C2 pour tout t ∈ [0, 1].
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Hypothese sur la loi conditionnelle
On suppose que la loi conditionnelle de Y |X = x est une loi depuissance i.e.
F (y |x) = y−1/γ(x)L(y |x) = y−1/γ(x)c(x) exp
(∫ y
1
ε(u|x)
udu
),
• γ(.) une fonction positive de la covariable x appelee indice dequeue conditionnel,
• L(.|x) est une fonction a variations lentes :
limy→∞
L(ty |x)
L(y |x)= 1, pour tout t > 0.
• c(.) est une fonction positive de la covariable x ,
• |ε(.|x)| une fonction continue et decroissante vers 0.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Hypotheses de regularite
• Conditions de Lipschitz. Il existe des constantes positives κγ ,κc et κε telles que pour tout (x , x ′) ∈ E × E ,∣∣∣∣ 1
γ(x)− 1
γ(x ′)
∣∣∣∣ ≤ κγd(x , x ′),∣∣log c(x)− log c(x ′)∣∣ ≤ κcd(x , x ′),
supu>1
∣∣ε(u|x)− ε(u|x ′)∣∣ ≤ κεd(x , x ′).
• Notations.B(x , h): boule de centre x et de rayon h,ϕx(h) = P(X ∈ B(x , h)): probabilite de petite boule,µx(h) = E(K (x ,X )/h)) � ϕx(h).
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Normalite asymptotique
TheoremeSoient 0 < a1 < a2 < · · · < aJ , J ∈ N∗ et x ∈ E tel queϕx(h) > 0. Si yn →∞ tel que nϕx(h)F (yn|x)→∞ etnϕx(h)(h log yn)2F (yn|x)→ 0, alors{√
nµx(h)F (yn|x)
(ˆFn(ajyn|x)
F (ajyn|x)− 1
)}j=1,...,J
est asymptotiquement gaussien centre de matrice de covariance
C (x) ou Cj ,j ′(x) = a1/γ(x)j∧j ′ pour tout (j , j ′) ∈ {1, . . . , J}2.
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Condition nϕx(h)F (yn|x)→∞
CNS pour qu’il y ait (avec une probabilite qui tend vers 1) aumoins un point dans la region B(x , h)× [yn,+∞[ de E × R.
Si yn est borne et E = Rp, alors on retrouve la condition denormalite asymptotique classique : nhp →∞.
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Condition nϕx(h)(h log yn)2F (yn|x)→ 0
• Condition pour que le carre du biais, de l’ordre de
(h log yn)2,
soit negligeable devant la variance, de l’ordre de
1
nµx(h)F (yn|x)� 1
nϕx(h)F (yn|x)
• Si yn est borne et E = Rp, alors on retrouve la condition denormalite asymptotique classique : nhp+2 → 0.
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Introduction
Estimation des petites probabilites conditionnelles
Estimation des quantiles conditionnels
Illustration sur simulations
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Principe
• On utilise l’inverse generalise de l’estimateur de la fonction desurvie conditionnelle
qn(αn|x) = ˆF←n (αn|x) = inf{y , ˆFn(y |x) ≤ αn},
avec (αn) ⊂]0, 1[.
• Lorsque αn = α fixe, la normalite asymptotique de qn(α|x)est etablie par exemple par (Samanta, 1989) ou (Berlinet etal., 2001) quand E = Rp et par (Ferraty et al., 2005) pour Equelconque.
• On pose σn(x) = (nµx(h)αn)−1/2.
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Normalite asymptotique
TheoremeSoient τ1 > τ2 > · · · > τJ > 0, J ∈ N∗ et x ∈ E tel que ϕx(h) > 0.Si αn → 0 tel que σn(x)→ 0 et σ−1
n (x)h logαn → 0, alors{σ−1
n (x)
(qn(τjαn|x)
q(τjαn|x)− 1
)}j=1,...,J
est asymptotiquement gaussien centre de matrice de covarianceγ2(x)Σ ou Σj ,j ′ = 1/τj∧j ′ pour tout (j , j ′) ∈ {1, . . . , J}2.
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Remarques sur la variance asymptotique
La matrice de variance-covariance asymptotique est :
γ2(x)Σ
nαnµx(h).
• Elle est proportionnelle a γ2(x) : Si γ(x) augmente (queue”plus lourde”), la variance des estimateurs augmente.
• Facteur supplementaire 1/αn par rapport au cas αn = α fixe(Berlinet et al., 2001, Theoreme 6.4).
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Remarque sur l’ordre des quantilesLa condition σn(x)→ 0 implique qu’il y a au moins un point (avecune probabilite qui tend vers 1) dans la regionB(x , h)× [q(αn|x),+∞[ de E × R.
On ne peut pas estimer des quantiles d’ordre ”trop petit”. Dans lecas E = Rp, on peut montrer que
αn >logp n
n.
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Estimation de l’indice de queue conditionnel
1) Estimateur de Pickands a noyau : adaptation de l’estimateur dePickands (Pickands, 1975) au cas conditionnel.
γPn(x) =
1
log 2log
(qn(αn|x)− qn(2αn|x)
qn(2αn|x)− qn(4αn|x)
).
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Normalite asymptotique
CorollaireSoit x ∈ E tel que ϕx(h) > 0. Si αn → 0 tel que σn(x)→ 0,σ−1
n (x)h log(αn)→ 0 et σ−1n (x)ε(q(2αn|x)|x)→ 0, alors
σ−1n (x)(γP
n(x)− γ(x))
est asymptotiquement gaussien centre de variance
γ2(x)(22γ(x)+1 + 1)2
4(log 2)2(2γ(x) − 1)2.
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Condition σ−1n (x)ε(q(2αn|x)|x)→ 0
Rappel : modele
F (y |x) = y−1/γ(x)L(y |x) = y−1/γ(x)c(x) exp
(∫ y
1
ε(u|x)
udu
).
• La fonction L(.|x) introduit un biais dans l’estimation de γ(x).
• La fonction ε(.|x) controle le biais des estimateurs de γ(x).
• On suppose que le biais est negligeable devant la variance.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Estimation de l’indice de queue conditionnel
2) Estimateur de Hill a noyau : adaptation de l’estimateur deHill (Hill, 1975) au cas conditionnel.
γHn(x) =
J∑j=1
[log qn(τjαn|x)− log qn(αn|x)]
/J∑
j=1
log(1/τj) ,
avec 1 = τ1 > τ2 > · · · > τJ > 0.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Normalite asymptotique
CorollaireSoit x ∈ E tel que ϕx(h) > 0. Si αn → 0 tel que σn(x)→ 0,σ−1
n (x)h log(αn)→ 0 et σ−1n (x)ε(q(αn|x)|x)→ 0, alors
σ−1n (x)(γH
n(x)− γ(x))
est asymptotiquement gaussien centre de variance γ2(x)VJ avec
VJ =
J∑j=1
2(J − j) + 1
τj− J2
/ J∑j=1
log(1/τj)
2
.
Exemple : Si τj = 1/j alors VJ = J(J − 1)(2J − 1)/(6 log2(J!)).est minimum pour J = 9 et V9 ' 1.25.
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Application a l’estimation des quantiles conditionnelsd’ordre arbitrairement petit
Estimateur de Weissman a noyau : adaptation de l’estimateur deWeissman (Weissman, 1978) au cas conditionnel.
qWn (βn|x) = qn(αn|x)(αn/βn)γn(x),
avec
• qn(αn|x) l’estimateur a noyau precedent,
• γn(x) un estimateur de l’indice de queue conditionnel.
Le facteur (αn/βn)γn(x) permet d’extrapoler et d’estimer desquantiles conditionnels d’ordres arbitrairement petits.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Normalite asymptotique
TheoremeSoit x ∈ E . Si
• αn → 0 tel que σn(x)→ 0 et σ−1n (x)h log(αn)→ 0,
• βn/αn → 0
• σ−1n (x)(γn(x)− γ(x))
d−→ N (0, v 2(x)) ,
alorsσ−1
n (x)
log(αn/βn)
(qWn (βn|x)
q(βn|x)− 1
)d−→ N (0, v 2(x)).
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Introduction
Estimation des petites probabilites conditionnelles
Estimation des quantiles conditionnels
Illustration sur simulations
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Illustration sur simulations
• Echantillon {(Yi ,Xi ), i = 1, . . . , n} de taille n = 300 simulesuivant le modele X ∼ U [0, 1] et Y sachant X = x estdistribue selon une loi de Frechet i.e.F (y |x) = 1− exp(−y−1/γ(x)), avec
γ(x) =1
2
(1
10+ sin (πx)
)(11
10− 1
2exp (−64(x − 1/2)2)
).
• But : estimation du quantile conditionnelq(αn|x) = (− log(1− αn))−γ(x) d’ordre αn = 5 log(n)/n .
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Choix de la fenetre de lissage
• Approche preconisee : validation croisee (Yao, 1999)
hcv = arg minh
n∑i=1
n∑j=1
(I{Yi ≥ Yj} − ˆFn,−i (Yj |Xi )
)2,
ou ˆFn,−i est l’estimateur a noyau (dependant de h) calculesur l’echantillon {(X`,Y`), 1 ≤ ` ≤ n, ` 6= i}.
• Approche de reference : oracle. Minimisation de la distance ∆entre quantile estime et quantile theorique :
horacle = arg minh
∆(q(αn|.), qn(αn|.)),
avec
∆(q(αn|.), qn(αn|.)) =
{1
L
L∑`=1
(qn(αn|t`)− q(αn|t`))2
}1/2
.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Histogramme des erreurs ∆ (calcule sur 100 replications)
bleu : validation croisee, transparent : oracle.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
9eme decile de l’erreur ∆
noir : vrai, bleu : validation croisee, rose : oracle.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
mediane de l’erreur ∆
noir : vrai, bleu : validation croisee, rose : oracle.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
1er decile de l’erreur ∆
noir : vrai, bleu : validation croisee, rose : oracle.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Retour sur l’illustration (E = R3)
Donnees fournies par le Laboratoire des Transferts en Hydrologie etEnvironnement (LTHE) de Grenoble dans le cadre d’une ANR.X = {longitude, lattitude, altitude}, Y : hauteur de pluie.
Carte des niveaux de retour moyen (en mm) des pluies horaires surune periode de 10 ans dans la region Cevennes-Vivarais (Gardes &Girard, 2010)
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Perspectives
• Normalite asymptotique pour des distributions plus generales.
• Extension des resultats de normalite asymptotiques multivariesa des resultats de convergence de processus (indexes par lacovariable x ou l’ordre des quantiles α).
• Definition d’autres estimateurs de l’indice de queueconditionnel.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Bibliographie
• Daouia, A., Gardes, L., Girard, S., Lekina, A. (2010) Kernelestimators of extreme level curves, Test, to appear.
• Bingham, N.H., Goldie, C.M., Teugels, J.L. (1987) RegularVariation, Cambridge University Press.
• Hill, B.M. (1975) A simple general approach to inferenceabout the tail of a distribution. The Annals of Statistics, 3,1163–1174.
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• Weissman, I. (1978). Estimation of parameters and largequantiles based on the k largest observations, Journal of theAmerican Statistical Association, 73, 812–815.
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Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations
Bibliographie
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• Samanta, T. (1989) Non-parametric estimation of conditionalquantiles. Statistics and Probability Letters, 7, 407–412.
• Yao, Q. (1999) Conditional predictive regions for stochasticprocesses, Technical report, University of Kent at Canterbury.