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New Jersey Center for Teaching and Learning

Iniciativa de Matemática Progres iva®

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8º Grado Matemática

Teorema de Pitágoras Distancia y

Punto Medio

www.njctl.org

2013-01-02

http://www.njctl.org



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Vínculo para preguntas de muestra PARCC

Cálculo N° 1

page103svg

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· Fórmula de Distancia

· Puntos Medios

Tabla de Contenidos

Click en un tema para ir a esta sección

· Teorema de Pitágoras

Common Core Standards: 8.G.6, 8.G.7, 8.G.8

· Glosario

page31svg

page18svg

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Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.

¿Cuántos tercios es en un entero?

¿Cuántos quintos hay en un entero?

¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para

armar una "pared de palabras".

(Haz click sobre el subrayado.)

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Volver al tema

FactorUn número entero que puede dividir a

otro número sin dejar resto

15 3 5

3 es un factor de 15 3 x 5 = 15

3 y 5 son factores de 15

1635 .1R

3 no es un factor de 16

4

Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer

número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario1

Su significado 2

Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la

página del tema.

(Cómo se utiliza en

esta lección)

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Teorema de Pitágoras

Click para volver a la tabla de Contenidos

page2svg

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Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró.

Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor.

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Catetos

- Opuesto al angulo recto- El mas largo de los 3 lados

- 2 lados que forman el ángulo recto

Lados de un Triángulo Rectángulo

ca

b

Hipotenusaclick para revelar

click para revelar

click para revelar

click para revelar

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En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c).

a2 + b2 = c2

Cliquea sobre los links de abajo para ver

varias animaciones de prueba

· Demostración con agua

· Mueve el cursor para mostrar c2

· Movimiento de cuadrados

http://youtu.be/CAkMUdeB06o

http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/taeil_yi/Pythagoras_1.html

http://www.mathsisfun.com/pythagoras.html

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a2 + b2 = c2

52 + b2 = 152

25 + b2 = 225

-25 -25

b2 = 200

Cateto que falta

Escribe la Ecuación

Sustituye los números

Eleva al cuadrado

Sustrae

Encuentra la Raíz Cuadrada

Marca la Respuesta

5 pies

15 pies

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9 pu

lgad

as

18 pulgadas

a2 + b2 = c2

92 + b2 = 182

81 + b2 = 324

-81 -81

b2 = 243

Cateto que falta



Eleva al cuadrado

Sustrae


Marca la Respuesta

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4 pulgadas

7 pulgadas

a2 + b2 = c2

42 + 72 = c2

16 + 49 = c2

65 = c2

Hipotenusa que falta



Eleva al cuadrados

Suma

Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Respuesta

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Cateto que falta



Eleva al cuadrado

Sustrae


Marca la Respuesta

Hipotenusa que falta



Eleva al cuadrado

Suma


Marca la Respuesta

Como usas la fórmula para encontrar los lados que faltan.

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1 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

4

7x

(Answer) / 109


4

7x

[This object is a pull tab]

Res

pues

ta

42 + 72 = x2

16 + 49 = x 2

65 = x 2

/ 109


41x

15

(Answer) / 109


41x

15


Res

pues

ta 152 + 412 = x2

225 + 1681 = x 2

1906 = x 2

/ 109


7

z4

(Answer) / 109


7

z4


Res

pues

ta x2 + 42 = 72

x2 + 16 = 49 x2 = 33

/ 109


3

4

x

(Answer) / 109


3

4

x


Res

pues

ta 32 + 42 = x2

9 + 16 = x2

25 = x2

5 = x

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3

4

Hay combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas.

3-4-5 es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiplo de una), ¡no será necesario usar una calculadora!

5

Ternas Pitagóricas

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12 = 1 112 = 121 212 = 44122 = 4 122 = 144 222 = 48432 = 9 132 = 169 232 = 52942 = 16 142 = 196 242 = 57652 = 25 152 = 225 252 = 62562 = 36 162 = 256 262 = 67672 = 49 172 = 289 272 = 72982 = 64 182 = 324 282 = 78492 = 81 192 = 361 292 = 841102 = 100 202 = 400 302 = 900

¿Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas?

Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan.

(Answer) / 109

12 = 1 112 = 121 212 = 44122 = 4 122 = 144 222 = 48432 = 9 132 = 169 232 = 52942 = 16 142 = 196 242 = 57652 = 25 152 = 225 252 = 62562 = 36 162 = 256 262 = 67672 = 49 172 = 289 272 = 72982 = 64 182 = 324 282 = 78492 = 81 192 = 361 292 = 841102 = 100 202 = 400 302 = 900

¿Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas?

Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan.


Res

pues

ta

Ternas pitagóricas

3 - 4 - 55 - 12 - 137 - 24 - 258 - 15 - 17

¡Múltiplos de esas combinaciones también

funcionan!

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6

8

(Answer) / 109


6

8 [This object is a pull tab]

Res

pues

ta 62 + 82 = x2 ó36+ 64 = x2

100 = x2

10 = x así que

/ 109


513

(Answer) / 109


513


Res

pues

ta

52 + x2 = 132

25+ x2 = 169 x2 = 144 x = 12

Ó

5-12-13

/ 109


48

50

(Answer) / 109


48

50


Res

pues

ta x2 + 482 = 502 Óx2 + 2304 = 2500 x2 = 196 x = 14

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8 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

(Answer) / 109

8 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?


Res

pues

ta 32 + 72 = x2 9 + 49 = x2

58 = x2

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9 Los catetos de un triángulo rectángulo son de 2 y 12 de longitud ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

(Answer) / 109

9 Los catetos de un triángulo rectángulo son de 2 y 12 de longitud ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?


Res

pues

ta

22 + 122 = x2 4 + 144 = x2

148 = x2

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10 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2.5. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

(Answer) / 109



Res

pues

ta x2 + 2.52 = 42 x2 + 6.25 = 16 x2 = 9.75

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(Answer) / 109



Res

pues

ta

x2 + 4.52 = 92

x2 + 20.25 = 81 x2 = 60.75

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Este es un problema genial y bosqueja mucho de lo que hemos aprendido. Inténtalo en tus grupos. Luego trabajaremos en él paso a paso juntos para responder las preguntas que desglosan al problema en partes.

From PARCC sample test

En ΔABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros.

¿Cuál es la longitud de AC?

http://practice.parcc.testnav.com/#

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12 ¿Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema?

A Teorema de PitágorasB Terna pitagóricaC Fórmula de distanciaD Sólo A y B





(Answer) / 109

12 ¿Qué hemos aprendido que nos ayudará a resolver este problema?

A Teorema de PitágorasB Terna pitagóricaC Fórmula de distanciaD Sólo A y B





Res

pues

ta

D Sólo A y B


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En Δ ABC, BD es perpendicular a AC. Las dimensiones se muestran en centímetros.


Primero, observa que tenemos dos triángulos rectángulos (rectas perpendiculares forman ángulos rectos). Los triángulos están remarcados en rojo y azul en el diagrama de abajo.

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13 ¿Cuál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo?A 3 cmB 6 cmC 9 cmD 13.45 cm



(Answer) / 109

13 ¿Cuál es la longitud del tercer lado en el triángulo rojo?A 3 cmB 6 cmC 9 cmD 13.45 cm




Res

pues

taB

a2 + 82 = 102

a2 + 64 = 100a2 = 36a = 6

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14 ¿Cómo se relaciona AD a CD?



6

A AD > CDB AD < CDC AD = CDD no hay suficiente información para relacionar esos

segmentos

(Answer) / 109

14 ¿Cómo se relaciona AD a CD?



6

A AD > CDB AD < CDC AD = CDD no hay suficiente información para relacionar esos

segmentos


Res

pues

ta

C AD = CD

Los dos triángulos rectángulos son iguales, de manera que sus ángulos correspondientes son iguales. También, si usas el Teorema de Pitágonas de nuevo, para calcular CD, también será igual a 6.

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15 ¿Cuál es la longitud de AC? Los alumnos escriben sus respuestas aquí



(Answer) / 109

15 ¿Cuál es la longitud de AC? Los alumnos escriben sus respuestas aquí


¿Cuál es la longitud de AC? [This object is a pull tab]

Res

pues

ta6 + 6 12

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Recíproco del Teorema de PitágorasSi a y b son las medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo

Si c2 ≠ a2 + b2, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo.

b = 4 pies

c = 5 piesa = 3 pies

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Corolario del Teorema de Pitágoras

En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto.

Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdadera, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo..

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¿Es un Triángulo Rectángulo?



Eleva al cuadrado

Simplifica ambos lados

¿Son iguales?

8 pulg. 17 pulg. 15 pulg

a2 + b2 = c2

82 + 152 = 172

64 + 225 = 289

289 = 289

¡Si!

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16 ¿Este triángulo es un triángulo rectángulo?

8 pies

10 pies6 pies

Si

No

(Answer) / 109


8 pies

10 pies6 pies

Si

No


Res

pues

ta

62 + 82 = 102 36 + 64 = 100 100 = 100

SI

Ó

Terna Pitagórica3-4-5

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30 pies

24 pies36 piesSi

No

(Answer) / 109


30 pies

24 pies36 piesSi

No


Res

pues

ta

242 + 302 = 362

576 + 900 = 1296 1476 = 1296

NO

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10 pulgadas

8 pulgadas12 pugadas

Si

No

(Answer) / 109


10 pulgadas

8 pulgadas12 pugadas

Si

No


Res

pues

ta 82 + 102 = 122

64 + 100 = 144 164 = 196

NO

/ 109


5 pies13 pies

12 pies

Si

No

(Answer) / 109


5 pies13 pies

12 pies

Si

No


Res

pues

ta ¡Si - Terna Pitagórica!

5-12-13

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20 ¿Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas?

Si

No

(Answer) / 109

20 ¿Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas?

Si

No


Res

pues

ta 7.52 + 182 = 19.52

56.25 + 324 = 380.25 380.25 = 380.25

SI

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Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras.

1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación. 2. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana.

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Trabaja con tus compañeros para completar:

Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego 4.0 millas al norte. Cuando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y 2.0 millas al sur. ¿Cuál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila?

From the New York S ta te Educa tion Department. Office of Assessment Policy, Deve lopment and Adminis tra tion. Inte rne t. Available from www.nysedregents .org/Integra tedAlgebra ; accessed 17, June , 2011.

(Answer) / 109


Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego 4.0 millas al norte. Cuando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y 2.0 millas al sur. ¿Cuál es la medida de la distancia más corta, expresada a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila?



Res

pues

ta 62 + 32 = x2

36 + 9 = x2

45 = x2

6.7 = x

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Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por 4 pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, ¿qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana ?


(Answer) / 109


Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por 4 pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina trasera superior derecha, ¿qué longitud tiene el sorbete, expresada a la décima de pulgada más cercana ?



Res

pues

ta

32 + 42 = 52

Terna pitagórica c = 5

c2 + d2 = e2 52 + 82 = e2

89 = e2

9.4 = e

a bc

de

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El teorema de Pitágoras puede aplicarse a Figuras de 3 Dimensiones

En esta figura:

a = altura inclnada (altura de la cara triangular )

b = 1/2 de la longitud de la base (del punto medio de lado de la base hacia el centro de la base de la pirámide)

h = altura de la pirámide

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Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes.

Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera.

EJEMPLO:Encuentra la altura inclinada de la pirámidecuya altura es de 5 cm y cuya basetiene una longitud de 8 cm

(Answer) / 109

Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes.

Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera.

EJEMPLO:Encuentra la altura inclinada de la pirámidecuya altura es de 5 cm y cuya basetiene una longitud de 8 cm


Res

pues

ta

/ 109

Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 12 cm. Coloca las medidas en el diagrama.

(Answer) / 109

Encuentra la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 12 cm. Coloca las medidas en el diagrama.

[This object is a pull tab]R

espu

esta

/ 109

Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 21 metros y la altura inclinada es de 29 m. Coloca las mediciones en el diagrama.

(Answer) / 109

Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 21 metros y la altura inclinada es de 29 m. Coloca las mediciones en el diagrama.


Res

pues

ta

/ 109

21 Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. ¿Cuál es la altura de la pantalla?

(Answer) / 109

21 Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. ¿Cuál es la altura de la pantalla?


Res

pues

ta

x2 + 112 = 142

x2 + 121 = 196 x2 = 75

/ 109

22 Calcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas Coloca las medidas en el diagrama.

(Answer) / 109

22 Calcula la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas Coloca las medidas en el diagrama.


Res

pues

tapulgadas

/ 109

23 Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. ¿Qué tan alto era el árbol originalmente?

(Answer) / 109

23 Un árbol fue alcanzado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está ahora a 8 m contantdo desde la base del árbol y aún parcialmente unido a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. ¿Qué tan alto era el árbol originalmente?


Res

pues

ta

32 + 82 = x2

9 + 64 = x2 73 = x2

La base del árbol es 3 m, la parte que cayó es de 8.5 m de altura, de manera que la altura del árbol en total es de 11.5 m.

/ 109

24 Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. ¿Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel?

Sí

No

(Answer) / 109

24 Supón que tienes una escalera de 13 pies de longitud. Para poder subirte la colocas a 5 pies de distancia de la pared del edificio. Tienes que colocar un cartel arriba del edificio a 10 pies de altura sobre el nivel del suelo. ¿Es suficientemente larga la escalera para que puedas llegar a la altura necesaria para colocar el cartel?

Sí

No


Res

pues

ta

Sí

p

pies

/ 109

25 Acabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. ¿Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado)

Casa

1ra base

2da base

3ra base

90 pies.

90 pies.90 pies

90 pies.

(Answer) / 109

25 Acabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. ¿Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado)

Casa

1ra base

2da base

3ra base

90 pies.

90 pies.90 pies

90 pies.


Res

pues

ta

902 + 902 = x2

8100 + 8100 = x2 16,200 = x2

/ 109

26 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. ¿Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana?

(Answer) / 109

26 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. ¿Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana?

Res

pues

ta


Res

pues

ta 102 + 252 = x2

100 + 225 = x2 325 = x2

/ 109

27 Scott quiere nadar a través de un río que tiene 400 metros de ancho. Comienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. ¿Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio?

(Answer) / 109

27 Scott quiere nadar a través de un río que tiene 400 metros de ancho. Comienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. ¿Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio?


Res

pues

ta

4002 + 1002 = x2

160,000 + 10,000 = x2 170,000 = x2

400 m

100 m

/ 109

Fórmula de Distancia


page2svg

/ 109

Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos simplemente contando las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical

La distancia entre esos dos puntos es 4 unidades.

El punto más alto esta á 4 unidades por encima del punto más bajo

/ 109

28 ¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos?

(Answer) / 109



Res

pues

ta La distancia es 5.El punto azuel está a cinco a la derecha del punto rojo. La distancia siempre es positiva.

/ 109


(Answer) / 109


[This object is a pull tab]R

espu

esta

3

/ 109


/ 109

La mayoría de los conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal.Por ejemplo:

Contando las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula usando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos.

/ 109

Dibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo.

a

bc

(Answer) / 109

Dibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo.

a

bc


Res

pues

ta

c2 = a2 + b2

c2 = 32 + 42

c2 = 9 + 16c2 = 25c = 5

La distancia entre los dos puntos (2,2) y (5,6) es 5 unidades

/ 109

Ejemplo:

(Answer) / 109

Ejemplo:


Res

pues

ta

c2 = a2 + b2

c2 = 32 + 62

c2 = 9 + 36c2 = 45

La distancia entre los dos puntos (-3,8) y(-9,5) es aproximadamente 6.7 unidades

/ 109

Intenta con este problema ahora

(Answer) / 109

Intenta con este problema ahora


Res

pues

ta

3

/ 109

Derivación de una fórmula para el cálculo de distancia...

/ 109

Dibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras

(x1, y1)

longitud = x2 - x1

longitud = y2 - y1

d

(x2, y2)

c2 = a2 + b2

d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores.

(Answer) / 109

Dibuja triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras

(x1, y1)

longitud = x2 - x1

longitud = y2 - y1

d

(x2, y2)

c2 = a2 + b2

d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Esta es la fórmula de distancia, ahora sustituída en valores.


d = (5 - 2)2 + (6 - 2)2

d = (3)2 + (4)2

d = 9 + 16

d = 25

d = 5

/ 109

Fórmula de Distancia

Puede encontrar la distancia d entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) utilizando la siguiente fórmula.

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

distancia en la coordenada x-. distancia en la coordenada y.

/ 109

Cuando solo damos dos puntos, usa la fórmula.

Encuentra la distancia entre:Punto 1 (-4, -7)Punto 2 (-5, -2)

(Answer) / 109

Cuando solo damos dos puntos, usa la fórmula.

Encuentra la distancia entre:Punto 1 (-4, -7)Punto 2 (-5, -2)


Res

pues

ta

/ 109

31 Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8). Redondea la respuesta a la décima más cercana.

x1 = 2y1 = 3x2 = 6y2 = 8

Pista

(Answer) / 109

/ 109

32 Encuentra la distancia entre (-7,-2) y (11,3). Redondea la respuesta a la décima más cercana.

x1 = -7y1 = -2x2 = 11y2 = 3

Pista

(Answer) / 109

/ 109

33 Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). Redondea la respuesta a la décima más cercana.

(Answer) / 109

/ 109

34 Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana

(Answer) / 109

34 Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la décima más cercana


Res

pues

ta

/ 109

¿Cómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo?

Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados.

(Answer) / 109

¿Cómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo?

Se puede hacer una cosa o la otra; contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos desde los pares ordenados.


Res

pues

ta longitud = 8ancho = 68 + 6 + 8 + 6 = 28

/ 109

A (0,-1)B (8,0)

C (9,4)D (3,3)

¿Podemos contar cuántas unidades de largo tiene cada segmento es en este cuadrilátero para encontrar el perímetro?

/ 109

Puedes usar la fórmula de distancia para resolver problemas de geometría.

A (0,-1)B (8,0)

C (9,4)D (3,3)

Encuentra el perímetro de ABCD.Utiliza la fórmula de la distancia paraencontrar las cuatro longitudes de los lados.A continuación, suma todos juntos

BC =BC =

CD =CD =

AB =AB =

DA =DA =

(Answer) / 109

/ 109

35 Encuentra el perímetro del EFG. Redondea la respuesta a la décima más cercana.

E (7,-1)

F (3,4)

G (1,1)

(Answer) / 109

/ 109

36 Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana.

H (1,5)

I (3,3)K (-1,3)

J (1,1)

(Answer) / 109

36 Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la décima más cercana.

H (1,5)

I (3,3)K (-1,3)

J (1,1)


Res

pues

ta

La longitud de cada lado es #8 Entonces el perímetro es 4 veces #8 # 11.3

/ 109

37 Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la decena más cercana.

L (1,2) M (6,2)

N (5,-1)O (0,-1)

(Answer) / 109

/ 109

Punto Medio


page2svg

/ 109

(2, 2)

(2, 10)

Encuentra el punto medio de este segmento.

¿Qué es un punto medio?¿Como encontraste el punto medio?¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?

/ 109

(3, 4) (9, 4)


¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?¿Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos?

(Answer) / 109

(3, 4) (9, 4)


¿Cuáles son las coordenadas del punto medio?¿Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos?


Res

pues

ta

Punto medio = (6, 4)

Está en el medio del segmento.

Promedio de las coordenas X.Promedio de las coordenadas y.

/ 109

Fórmula del Punto Medio

Para calcular punto medio de un segmento con los puntos extremos (x1,y1) y (x2,y2) usa la fórmula:

(x1 + x2 y1 + y2

22, )

Las coordenadas del punto medio de los ejes x e y son los promedios de las coordenadas de los puntos extremos de x e y, respectivamente.

/ 109

El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B.

B (8,1)

A (2,5)

Mira la próxima página para la respuesta

/ 109


B (8,1)

A (2,5)Usa la fórmula del punto medio:

( x1 + x2 y1 + y2

22, )

M

(Answer) / 109


B (8,1)

A (2,5)Usa la fórmula del punto medio:

( x1 + x2 y1 + y2

22, )

M


Res

pues

taSustituye en valores:

2 + 8 , 5 + 12 2( )

Simplifica los numeradores:10 62 2

,

Escribe fracciones simplificadas( )

(5,3) es el punto medio de AB

/ 109

Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3)

Usa la fórmula del punto medio:

( x1 + x2 y1 + y2

22, )

(Answer) / 109

Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3)

Usa la fórmula del punto medio:

( x1 + x2 y1 + y2

22, )

Ans

wer


Res

pues

ta

Sustituye en valores:1 + -5 , 0 + 3

2 2( )Simplifica los numeradores:

-4 32 2

,

Escribe fracciones simplificadas:( )

(-2,1.5) es el punto medio

/ 109

38 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (2,10) y (6,-4)?

A (3,4)B (4,7)C (4,3)D (1.5,3)

(Answer) / 109

38 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (2,10) y (6,-4)?

A (3,4)B (4,7)C (4,3)D (1.5,3)


Res

pues

ta

C

/ 109

39 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (4,5) y (-2,6)?

A (3,6.5)B (1,5.5)C (-1,5.5)D (1,0.5)

(Answer) / 109

39 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (4,5) y (-2,6)?

A (3,6.5)B (1,5.5)C (-1,5.5)D (1,0.5)


Res

pues

ta

B

/ 109

40 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-4,-7) y (-12,2)?

A (-8,-2.5)B (-4,-4.5)C (-1,-6.5)D (-8,-4)

(Answer) / 109

40 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-4,-7) y (-12,2)?

A (-8,-2.5)B (-4,-4.5)C (-1,-6.5)D (-8,-4) [This object is a pull tab]

Res

pues

ta

A

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41 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)?

A (6.5,2)B (6,7.5)C (7.5,6)D (15,12)

(Answer) / 109

41 ¿Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)?

A (6.5,2)B (6,7.5)C (7.5,6)D (15,12)


Res

pues

taC

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42 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2).

¿Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema?

A Fórmula Pitagórica

B Fórmula de Distancia

C Fórmula del Punto Medio

D Fórmula del Área de un Círculo

(Answer) / 109


¿Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema?

A Fórmula Pitagórica

B Fórmula de Distancia

C Fórmula del Punto Medio

D Fórmula del Área de un Círculo


Res

pues

ta

C

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A (2.5,-2)B (2,2.5)C (-2,2.5)D (-1,1.5)

(Answer) / 109


A (2.5,-2)B (2,2.5)C (-2,2.5)D (-1,1.5)


Res

pues

taC

/ 109


A (-7,8)B (-5,8)C (5,8)D (7,8)

(Answer) / 109


A (-7,8)B (-5,8)C (5,8)D (7,8)


Res

pues

ta

B

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Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta.

Usa la fórmula del punto medio y resuelve para el desconocido.

M (8,1)

P (8,-6)

Q = ?

(x1 + x2 y1 + y2

22, )

Sustituye

Multiplica ambos lados por 2 Suma o Resta

(8, 8)

/ 109

45 Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que falta?

A (-13,-22)B (-8.5,-9.5)C (-4.5,-7.5)D (-12.5,-6.5)

P = (-4,3)M = (-8.5,-9.5)Q = ?

(Answer) / 109


A (-13,-22)B (-8.5,-9.5)C (-4.5,-7.5)D (-12.5,-6.5)

P = (-4,3)M = (-8.5,-9.5)Q = ?


Res

pues

taA

/ 109


A (1,-1)B (-13,19)C (-8,11)D (-19,8)

Q = (-6,9)M = (-7,10)P = ?

(Answer) / 109


A (1,-1)B (-13,19)C (-8,11)D (-19,8)

Q = (-6,9)M = (-7,10)P = ?


Res

pues

taC

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Glosario


page2svg

/ 109

Volver al tema

Recíproco del Teorema de Pitágoras

Si a y b son las medidas de los lados más cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo y equivale al cuadrado de b más el cuadrado de a,

entonces ese triángulo es un triángulo rectángulo.

3

4 542+32 = 52

16+9 = 2525 = 25

Ejemplo:

b

a c

a2+b2 = c2

triángulo rectángulo

page73svg

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2 2 10 2

2 2 10 80 8

2 2 10 80 864 = 8

Fórmula de distancia

Volveral tema

DistanciaLongitud

Es la medida de cuán alejados están dos puntos a lo largo de un espacio.

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2distancia en la coordenada x-.distancia en la coordenada y.

page4svg

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Volveral tema

HipotenusaEl lado más largo de un triángulo rectángulo que es el opuesto al

ángulo recto.

a2+b2 = c2

Hipotenusa

page34svg

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Catetos 2 lados que forman el ángulo recto

de un triángulo rectángulo.

Volver altema

Catetos

a2+b2 = c2

page34svg

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Volver altema

Punto medio

El medio de algo.

El punto que está a la mitad de una recta.

( x1 + x2 y1 + y2

22, )

Fórmula de punto medio: ( x1 + x2 y1 + y2

22, )

( 2 + 2 10 + 222

, )( 4 12

22, )

( 62 , )

page78svg

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Volveral tema


El un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados (a y b)

es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c).

Fórmula:3

4 5

42+32 = 52

16+9 = 2525 = 25

Ejemplo:

page33svg

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Volver al tema

Ternas pitagóricas

Combinaciones de números enteros que funcionan en el

Teorema de Pitágoras.

3

4 5

42+32 = 52

16+9 = 2525 = 25 12

5 13 4

2 7

52+122 = 132

25+144 = 169169 = 169

22+42 = 72

4+16 = 4920 = 49

page45svg

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Hipotenusa

Catetos

Triángulo rectángulo

Un triángulo que tiene un ángulo recto (90°).

VelaEscalera30º

60º

45º

45º

Volver altema

page34svg

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Volver altema

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