Estadística aplicada IIEstadística en administraciónpara la toma de decisiones

Estadística aplicada IIEstadística en administraciónpara la toma de decisiones

Jesús Rodríguez Franco

Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

Elva Cristina Rodríguez Jiménez

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

info editorialpatria.com.mx

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Verónica Estrada FloresDiseño de interiores: Gustavo Vargas/Jorge MartínezDiseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/SignxRevisión Técnica: M. C. Alex Polo Velázquez UAM-A

Estadística aplicada II. Estadística en administración para la toma de decisiones

Derechos reservados:© 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez y Elva Cristina Rodríguez Jiménez

© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-857-2

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición ebook: 2014

Dedicatoria

A mi familia Cristina, Katia, Jesús Miguel

y a mis padres Martha Ester y Manuel.

Jesús RodRíguez FRanco

A mi familia María Irma y Alberto Isaac

y a mi madre Raquel Rodríguez H.

albeRto Isaac PIeRdant RodRíguez

A Jesús, a mis hijos Katia y Jesús Miguel

y a mis padres Ángel y Angelina.

elva cRIstIna RodRíguez JIménez

Acerca de los autores

Jesús Rodríguez Franco

Profesor-investigador del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (uam-x) y profesor definitivo de asignatura “B” en Matemáticas Financieras y Estadística I, en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (unam).

Estudio la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional (IPn), tiene la maestría en ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y Estudios Avanza-dos del Instituto Politécnico Nacional (cInvestav-IPn), diplomados en: “Educación Superior” en la Universidad Autónoma Metropolitana – Xochimilco y de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrati-vas”. Facultad de Contaduría y Administración Universidad Nacional Autónoma de México.

Tiene 29 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acredita-ción de Profesor de Perfil Idóneo otorgado por la Secretaría de Educación Pública (seP), es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas Aplicadas en las Ciencias Sociales” en la uam-x y es miembro de la Academia de Matemática de la Facultad de Contaduría y Administración (unam), es integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración (unam), también fue represen-tante ante el Consejo Académico de Departamento de política y Cultura (uam-x) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales (uam-x) ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana (periodo 2007-2009). Ha publicado un libro de matemáticas como coordinador y nueve libros de matemáticas como coautor, también ha publicado tres artículos en revistas especializadas y 16 artículos de difusión enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha tenido diferentes entrevistas radiofónicas en Radio Educación y en MVS- Noticias, también ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacio-nal e internacional.

Fue fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México de (noviembre de 1999 a junio 2004), Jefe del área de inves-tigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (2003-2005), trabajó como ingeniero en electrónica en la Refinería 18 de Marzo y en la Dirección de Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (1984-1989), también ha sido profesor en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (esIme) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus Sur.

Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

Profesor investigador del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (uam-x) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C.

Estadística aplicada IIviii

Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPn), tiene la maestría en ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la unam. Ha participado en diversos cursos de actualización, entre los que destacan: “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración Regional de Hidrocarburos I” en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarro-llo, Bogotá, Colombia.

“Evaluación Económica de Proyectos de Exploración Regional de Hidrocarburos II” en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia.

“Petroleum Energy” en The Institutte of Energy Economics, Japan, Septiembre-Noviembre 1989, Tokio, Japón.

Tiene 30 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acredita-ción de Profesor de Perfil Idóneo otorgado por la Secretaría de Educación Pública (seP), es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las ciencias Sociales” en la uam-x. Ha publicado cuatro libros de matemáticas como autor y cuatro libros de matemáticas como coautor hasta ahora, también ha publicado más de 20 artículos científicos y de difusión enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional.

Fue fundador y es actualmente director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979). Dentro de la consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, el ISSSTE, la comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola, FEMSA, el INBA, entre otros.

Elva Cristina Rodríguez Jiménez

Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (uam-x) y profesora definitiva de asignatura “B” Estadística I y asignatura “A” Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (unam).

Estudio la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” en la Fa-cultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional Autónoma de México.

Tiene 15 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de la “Acade-mia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (unam). Es coautora de los libros: Libro electrónico “Fundamentos de Matemáticas”, producto PAPIME Fomento Editorial FCA-UNAM, México, 2005 y Estadística para Administración, Editorial Grupo Editorial Patria, México, 2008. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional.

Participó en la investigación para el desarrollo de un método Fotocolorimétrico para la determinación de metio-nina, para la Organización de Estados Americanos (oea) y la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Química de la unam (1984). Ocupo el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Gases, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería 18 de Marzo (1985-1991).

Prólogo

Actualmente la Estadística se ha convertido en una herramienta indispensable en las ciencias administrativas y por ello los estudiantes de estas áreas deben tener un dominio suficiente de ella. La Estadística proporciona la base cuantitativa para la toma acertada de decisiones, partiendo de la organización, el análisis y la interpreta-ción de información. Decisiones tales como el lanzamiento de nuevos productos, la ampliación de un negocio, la diversificación de productos, la realización de inversiones tienen una justificación más firme si se fundan en métodos estadísticos.

En Estadística Aplicada II, Estadística en Administración para la Toma de Decisiones los autores tratan métodos estadísticos avanzados de gran importancia para las ciencias administrativas tales como: control estadístico de la calidad, análisis de varianza, análisis de datos categóricos, análisis de correlación y de regresión simple y múlti-ple, análisis de decisiones y estadística no paramétrica.

Este libro presupone que el lector cuenta con los conocimientos básicos de Probabilidad y Estadística que se presentan en el libro de los mismos autores “Estadística para Administración”.

Por su nivel este libro puede usarse como texto en los cursos avanzados de Estadística para ciencias adminis-trativas tanto de licenciatura como de posgrado. En particular en la UAM Xochimilco cubre los programas de estadística. También los de la Facultad de Contaduría y Administración de la unam y los de otras universidades que incluyen estos temas en sus programas de estudio.

El uso de herramientas computacionales (tales como excel y su herramienta de análisis de datos y el paquete sPss) es esencial en el análisis estadístico y, en particular, para los temas avanzados que se tratan en el presente libro. Para su uso completo y adecuado es necesario haber comprendido satisfactoriamente los conceptos teóri-cos. En Estadística en la toma de decisiones se presenta un equilibrio adecuado entre la presentación teórica y práctica de conceptos y el uso de herramientas computacionales para facilitar y agilizar el análisis estadístico de información. La explicación de las herramientas computacionales es muy didáctica ya que se hace paso a paso mostrando las diferentes pantallas y/o ventanas y explicando las diversas opciones que se presentan.

En Estadística Aplicada II se presenta un gran número de ejercicios tanto resueltos como propuestos con res-puesta, la mayoría de los cuales están relacionados con información real de instituciones o empresas nacionales lo cual lo hace más práctico y ameno.

La exposición clara de los temas resultará útil no sólo para los estudiantes de cursos avanzados de Estadística, sino también para profesionales en activo que deseen repasar o actualizar sus conocimientos e incluso para auto-didactas que sólo cuenten con conocimientos básicos de Probabilidad y Estadística.

M. en C. Alex Polo Velázquez

UAM-Azcapotzalco

Acerca de los autores viiPrólogo ix

Capítulo 1Control estadístico de la calidad 1Introducción 2Control estadístico de procesos 3Gráficas de control 4Gráfica para variables 4Gráfica de control de atributos 4Tipos de gráficas de control 4Gráfica de control para medias de procesos 5Gráfica 5Ejemplo 1.1 8Ejemplo de calidad en servicios 10Gráfica de control para variabilidad de procesos 12Gráfica R 12Ejemplo 1.2 13Gráfica G3 de control para variabilidad 14Ejemplo 1.3 15Gráficas de control para atributos 16Gráfica p 16Ejemplo 1.4 17Ejemplo 1.5 19Gráficas de control para el número de defectos

por unidad 20Gráfica c 20Ejemplo 1.6 21Ejemplo 1.7 23Gráficas de control para el número de defectos

por muestra 24Gráfica pn 24Ejemplo 1.8 25Cómo interpretar las gráficas de control 27Muestreo de aceptación 31Muestreo de aceptación simple 32Control de calidad 33Criterio de aceptación (c) 33

Ejemplo 1.9 33Procedimiento para elaborar gráficas de control

de calidad con SPSS 35Ejemplo de elaboración 36Problemas 38Solución de problemas 43Fórmulas 50Bibliografía sobre control de calidad 52Básica 52Especializada 52Anexo 1 53

Capítulo 2Análisis de varianza 55Introducción 56Conceptos básicos 56Análisis de varianza 58Ejemplo 2.1 59Cálculo de la varianza entre las medias muestrales 59Cálculo de la varianza dentro de las muestras 60Prueba de hipótesis mediante el estadístico F 62Cuadro resumen del análisis de varianza

para un factor 64Empleo del valor p en las pruebas de hipótesis 65Ejemplo 2.2 65Análisis de varianza para un factor con sPss 68Pruebas para la diferencia entre pares de medias 70Prueba de Tukey y de dms para diseños balanceados 70Ejemplo 2.3 70Prueba de Tukey para diseños balanceados 71Prueba de la diferencia mínima significativa

(DMS) para diseños balanceados 73Prueba dms modificada para diseños no balanceados 74Ejemplo 2.4 75Análisis de varianza con dos factores 76Ejemplo 2.5 77Análisis de varianza con dos factores

(diseño aleatorizado en bloques) 77

Contenido

Estadística aplicada IIxii

Prueba de hipótesis para anova con dos factores mediante el estadístico F 80

Cuadro resumen del análisis de varianza con dos factores 82

Ejemplo 2.6 83Análisis de varianza con dos factores mediante sPss 85Análisis de factores 87Ejemplo 2.7 89Procedimiento de cálculo del análisis de factores 89Problemas 92Solución de problemas 96Fórmulas 101anova con dos factores 101Análisis de factores 101Bibliografía 102Anexo de tablas 102Cuadros de la distribución de probabilidad F. 102Cuadros de la distribución de probabilidad F. 104Cuadros q para método Tukey. 105

Capítulo 3Análisis de datos categóricos 109Introducción 110Prueba de bondad de ajuste de Ji cuadrada χ2 110Estadístico Ji cuadrada χ2 110Distribución Ji cuadrada 111Problema 3.1 112Prueba de bondad de ajuste de χ2 con sPss 113Prueba de bondad de ajuste para normalidad 115Problema 3.2 115Prueba de bondad de ajuste para

normalidad con sPss 117Cuadros de contingencia (Crosstabs)

para prueba de independencia 119Problema 3.3 121Ejemplo 3.1 123Cuadros de contingencia (Crosstabs)

para prueba de independencia con sPss 125Problemas 128Solución de problemas 131Fórmulas 135Bibliografía 136Anexo 2 136

Capítulo 4Análisis de correlación y regresión simple 137Introducción 138Análisis de correlación 138Ejemplos de diagramas de dispersión 139Estimación mediante la línea recta de regresión 144

Análisis de regresión con el método de mínimos cuadrados 146

Ejemplo de regresión con el método de mínimos cuadrados 151

Línea ajustada por el método de mínimos cuadrados 153

Solución del modelo de regresión lineal con excel 154

Solución del modelo de regresión lineal con sPss 156

Análisis de correlación 160Medidas de variación en la regresión 160Coeficiente de determinación 162Método abreviado para calcular el coeficiente

de determinación de la muestra 164Coeficiente de correlación 165Cálculo de los coeficientes de determinación

y correlación con excel y sPss 166Supuestos para el análisis de regresión lineal 167Análisis del residual 168Evaluación de las suposiciones 169Linealidad 169Independencia 170Normalidad 171Igualdad de varianza u homoscedasticidad 171Error estándar de la estimación 172Intervalos de confianza para la estimación 175Ejemplo 175Intervalos de predicción para el caso

de muestras pequeñas (n < 30) 176Estimación del intervalo de confianza

para la media de Y con el error estándar exacto 177Inferencia de parámetros de la población 177Prueba de hipótesis para la pendiente β1

de población mediante la prueba t 179Ejemplo 179Estimación del intervalo de confianza

de la pendiente β1 180Prueba t para el coeficiente de correlación simple 182Ejemplo 183Ejemplo de un cambio en el valor de la pendiente 183Prueba F 185Problemas 187Solución de problemas 191Fórmulas 196Bibliografía 198

Capítulo 5Análisis de regresión múltiple 199Introducción 200Ecuación de regresión múltiple 200

Contenido xiii

Ejemplo 5.1 200Ejemplo 5.2 201Coeficientes parciales de la regresión 203Cálculo de los coeficientes parciales 203Error estándar de la estimación 203Coeficiente de determinación múltiple 205Coeficiente de correlación múltiple 205Coeficiente de determinación múltiple ajustado 206Estimación del plano de regresión de la población 207Intervalo de confianza 209Pruebas de significancia de un modelo

de regresión múltiple 209Prueba t para los coeficientes 209Prueba F 210Intervalos de confianza para el pronóstico 213Solución de un modelo de regresión

múltiple con excel 213Ejemplo 5.3 213Solución de un modelo de regresión

múltiple con sPss 217Multicolinealidad 220Ejemplo 5.4 220Problemas 223Solución de problemas 229Fórmulas 234Bibliografía 235

Capítulo 6Series de tiempo 237Introducción 238Tipo de variaciones en las series de tiempo 238Análisis de las tendencias seculares 241Ejemplo 6.1 244Ejemplo 6.2 245Ecuación de segundo grado en una serie de tiempo 247Ejemplo 6.3 248Variación cíclica 250Método de residuos 250Ejemplo 6.4 250Variación estacional 252Método de razón de promedio móvil 253Ejemplo 6.5 253Variación irregular 257Ejemplo 6.6 257Números índice 263Tipos de números índice 264Índice Nacional de Precios

al Consumidor (INPC) 265Sistema nacional de precios

al consumidor 265

Índice Nacional de Precios del Productor (INPP) 266

Índice de precios al mayoreo 268Promedio industrial Dow-Jones 268Elaboración de los números índice 268Índice simple o no ponderado 268Ejemplo 6.7 269Número índice compuesto 271Método de agregados ponderados 271Ejemplo 6.8 271Interpretación 272Método del promedio ponderado de relativos 273Consideraciones y problemas especiales 274Corrimiento de la base de un número índice 274Criterios para un buen índice 275Prueba de la inversión temporal 275Aplicaciones de los números índice 277Inflación 277Ejemplo 6.9 277Reexpresión de estados financieros 277Ejemplo 6.10 278Deflación de series cronológicas 278Ejemplo 6.11 279Problemas 280Solución de problemas 285Fórmulas 289Bibliografía 292

Capítulo 7Estadística no paramétrica 293Introducción 294Prueba del signo para comparar dos poblaciones 295Ejemplo 7.1 295Ejemplo 7.2 297Ejemplo 7.3 298Prueba de Rangos con signo de Wilcoxon

para un experimento por parejas 299Ejemplo 7.4 300Ejemplo 7.5 301Prueba U de Mann-Whitney-Wilcoxon

(muestras aleatorias independientes) 304Procedimiento de cálculo 304Ejemplo 7.6 306Ejemplo 7.7 307Prueba U de Mann-Whitney-Wilcoxon

con sPss 309Prueba H de Kruskal-Wallis 311Ejemplo 7.8 313Ejemplo 7.9 314Prueba H de Kruskal-Wallis con sPss 316

Estadística aplicada IIxiv

Coeficiente de correlación de rangos de Spearman 318

Ejemplo 7.10 319Prueba de hipótesis con el coeficiente de

correlación de rangos de Spearman 320Coeficiente de correlación de rangos

de Spearman con sPss 321Prueba de Kolmogorov-Smirnov 322Ejemplo 7.11 323Prueba de Kolmogorov-Smirnov con sPss 325Problemas 327Solución de problemas 332Fórmulas 337Bibliografía 339Anexo 339Tablas 339

Capítulo 8Análisis de decisiones 343

Introducción 344Elementos del análisis de decisiones 344

Ambientes en los que se toman las decisiones 346Toma de decisiones bajo riesgo 347Criterio del valor esperado o de Bayes 347Ejemplo 8.1 348Utilidad esperada con información perfecta 349Criterio de racionalidad 350Ejemplo 8.2 351Criterio de la máxima verosimilitud 352Toma de decisiones bajo incertidumbre 352Criterio Maximax 353Ejemplo 8.3 353Criterio maximin 354Ejemplo 8.4 355Criterio de arrepentimiento Minimax 355Ejemplo 8.5 356Árbol de decisiones 356Cálculo del valor esperado en un árbol de decisiones 358Ejemplo 8.6 358Ventajas de usar árboles de decisión 361Problemas 361Solución de problemas 364Fórmulas 368Bibliografia 369Consultas electrónicas 369

Capítulo 1

Control estadístico de la calidad

Estadística aplicada II�

IntroduccIón

Antes de la llamada Revolución Industrial, la producción de bienes que la sociedad consumía era elaborada por artesanos especializados, quienes en muchas ocasiones firmaban cada pieza. Pero la demanda de nuevos produc­tos, la producción en línea y la aparición de nuevos sistemas de fabricación, rompieron con el antiguo esquema de producción. En este nuevo sistema, el artesano pasó a ser un trabajador de fábrica, perdiéndose así la identifi­cación de éste con cada producto elaborado y disminuyendo su calidad, ya que los requerimientos de producción en masa descuidaban las características que satisfacían las necesidades de los consumidores.

Esta nueva forma de producir bienes disminuyó considerablemente la calidad de los productos, y no es sino hasta mediados de la década de 1920, que, Walter Shewhart, un investigador de Bell Laboratories, hizo un descubri­miento significativo en el área de mejoramiento de la producción:

Identificó que aunque la variación en la fabricación de productos era inevitable, este hecho podría vigilarse y contro-larse utilizando ciertos procesos estadísticos. Por lo que desarrolló la denominada carta de control, que es una gráfi-ca simple que permitía determinar cuándo la variación en un proceso de fabricación excedía los límites aceptables.

Más adelante, en el decenio de 1950-1959, un alumno de Shewhart, W. Edwards Deming, desarrolló toda una filosofía de gerencia de calidad con base en 14 puntos, los cuales establecen, entre otras cosas, que:

con un clima organizacional apropiado, los métodos estadísticos de mejoramiento de procesos pueden reducir la variación a que se refería Shewhart y, reducir al mismo tiempo, los costos de producción, mejorando la imagen de la organización así como su situación financiera.

Estas ideas fueron tomadas en las décadas de 1950 y 1960 por los fabricantes japoneses, lo que provocó una inva­sión mundial de sus productos de muy buena calidad. No es sino hasta la década de 1970 cuando los fabricantes estadounidenses voltearon a ver las ideas que Deming había enseñado a los fabricantes japoneses para retomarlas y elaborar productos de buena calidad.

Joseph M. Juran, otro pensador de los problemas de la calidad de los productos, también fue reconocido por las empresas japoneses y, junto con Deming, establecieron los principios de lo que ahora se conoce como el control estadístico de calidad.

Pero, ¿qué es la calidad? No existe una definición exacta de calidad, pero sí una infinidad de ideas que explican a su manera el concepto. Algunas de ellas son:

• Las cosas de buena calidad son las que funcionan de la manera en que se espera.�

• Joseph M. Juran afirmaba que calidad implica ser lo adecuado para usarse.

Esto significa que:

la calidad representa que un producto, bien o servicio debe cumplir con todos los requerimientos que satisfagan las necesidades de un consumidor.

Para obtener productos de calidad, éstos no deben tener defectos. Los defectos en un producto se deben a:

la variación en materiales, a la variación en las condiciones de la maquinaria de fabricación, a la variación en los métodos de trabajo y a la variación en las inspecciones.�

1 Levin, Rubin, Balderas, Del Valle y Gómez [2004], Estadística para administración y economía, Pearson Prentice Hall, México, p. 405. � Kume, Hitoshi [2002], Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad, Norma, Colombia, pp. 2 y 3.

Control estadístico de la calidad 3

Entonces un producto se considera de calidad o no defectuoso si las características de calidad satisfacen ciertos requisitos para que las variaciones estén bajo control.

En las líneas de producción actuales, las piezas defectuosas que no se detectan, provocan que todo el trabajo sub­siguiente se desperdicie cuando al final el producto es rechazado por los inspectores de control de calidad. Esto último ha llevado a las empresas al objetivo de evitar los defectos en cada etapa del proceso de fabricación o de prestación de un servicio. Para logarlo, las personas que están encargadas de cada etapa tienen la responsabili­dad de verificar su trabajo antes de entregarlo, de tal forma que el producto o servicio final se entregue al cliente sin defectos (cero defectos) al satisfacer así, totalmente todos sus requerimientos.

Aunque las causas de la variación en la calidad son innumerables, no todas la afectan de igual manera. Algunas la afectan enormemente, mientras que otras tienen poco efecto sobre la variación en la calidad cuando se controlan adecuadamente. Por otra parte, Kume nos indica que:

lo que necesitamos hacer es encontrar las causas vitales de los productos defectuosos y eliminar estas causas des-pués de que se hayan identificado claramente.�

El proceso de encontrar las causas que producen los productos defectuosos se conoce como diagnóstico del proceso. Hay muchos métodos de diagnóstico del proceso; algunos emplean la intuición, otros dependen de la experiencia, otros más recurren al análisis estadístico de los datos y hasta se puede utilizar la investigación ex­perimental.

Los dos primeros son poco efectivos ya que vivimos en una época de progreso rápido, en donde la intuición y la experiencia no son fáciles de obtener. Por otro lado, la investigación experimental es costosa y lenta para un mercado ávido de productos, así que los métodos estadísticos son hasta ahora el mejor medio para lograr un diag­nóstico adecuado del proceso y con ello establecer un buen sistema de control de la calidad.

Control estadístico de procesos

La calidad de un producto se puede lograr si como administradores entendemos que la variabilidad excesiva se puede evitar. Cuando algún proceso de producción no es confiable porque no cumple con los requerimientos es­tablecidos, debemos examinar el proceso para encontrar los mecanismos que nos permitan controlarlo.

Como resultado del proceso de producción podemos encontrar dos tipos de variación:

• Variación aleatoria (variación común o inherente).

• Variación sistemática (variación asignable o de causa especial).

Cada una de estas variaciones requiere una solución diferente. La reducción de la variación aleatoria o inheren­te, en general, no puede lograrse sin cambiar el proceso hasta estar seguros de que toda la variación sistémica o asignable ha sido identificada y está bajo control; es decir, si un proceso está fuera de control, debido a que toda­vía está presente alguna variación de causa especial, primero deberá identificarse y corregirse la causa de dicha variación. Esto es, poner el proceso bajo control para posteriormente lograr una mejora en la calidad mediante el rediseño del proceso que reduzca la variabilidad inherente.

Por ejemplo, considere el proceso de fabricación de lámparas incandescentes (focos) de 60 vatios (60 W), las va-riaciones en la producción pueden deberse a las variaciones de los materiales empleados (vidrio, lámina de hierro, tungsteno, entre otros); a fluctuaciones en la energía eléctrica que afectan a las máquinas de fabricación; a fluctua-ciones en la calibración de la maquinaria; a las mediciones de la prueba de funcionamiento de la lámpara y a otra gran variedad de factores.

3 Kume, Hitoshi [2002], Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad, Norma, Colombia, pp. 5 y 6.

Estadística aplicada II4

Sin embargo, si uno o varios de estos factores se pueden controlar, por ejemplo, colocar reguladores que eviten las fluctuaciones de la energía eléctrica en las máquinas, entonces la variabilidad sistémica podrá controlarse y reducir-se para obtener con ello una mejora de calidad.

Gráficas de control

En las siguientes secciones del capítulo se analizará con detalle la aplicación de las herramientas estadísticas ya estudiadas en el libro, Estadística para administración I 4 y las gráficas inventadas por Shewhart para inspec­cionar la salida de un proceso productivo y saber el momento en que éste se sale de control para proponer una solución, y mejorar así la calidad del producto.

Las técnicas estadísticas más usadas en el control de la calidad son los diagramas o gráficas de control y el mues­treo de aceptación.

Las gráficas, diagramas o cartas de control permiten detectar la variación sistémica generada en un proceso de producción con el objetivo de identificar y corregir antes de que se produzcan gran cantidad de partes o productos defectuosos. Existen gráficas de control tanto para las variables como para los atributos.

Gráfica para variables

Existen dos tipos de gráficas de control para variables; la primera sirve para medias de un proceso y la otra para la variabilidad de procesos y ambas sirven para analizar las medidas reales de una parte o producto y las representa en forma gráfica, por ejemplo, el peso de una lata de conservas o bien la cantidad de mililitros que contiene una botella de refresco.

Gráfica de control de atributos

Sólo miden la característica del producto como bueno (no defectuoso o aceptable) o defectuoso (inaceptable); por ejemplo, una lámpara incandescente (foco) que sale de una línea de producción es bueno (enciende) o defectuoso (no enciende).

Estos diagramas son medios gráficos que le indican a un operario, a un supervisor, a un ingeniero de calidad o a un gerente en la línea de producción cuándo la fabricación de una o varias partes de cierto producto están bajo control o fuera de control.

Si la situación en la línea está fuera de control, la gráfica de control no puede corregir la situación, ya que es sólo un documento con números y puntos; sin embargo, la persona responsable de esta parte del proceso podrá reali­zar los ajustes necesarios para regresar la línea de producción a un estado de control, lo que permite de manera inmediata mejorar la calidad del producto.

Tipos de gráficas de control

Antes de iniciar el estudio de las gráficas de control es importante establecer sus diferencias. H. Kume cita los tipos de gráfica5 prescritos por Japanese Industrial Standars (JIS; véase el cuadro 1.1).

4 Rodríguez, J., Pierdant, A. y Rodríguez, E. [2008], Estadística para Administración I, Grupo Editorial Patria, México, capítulos 2 y 6. 5 Kume, Hitoshi [2002], Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad, Norma, Colombia, pp. 93 y 94.

Control estadístico de la calidad 5

Cuadro 1.1 Clasificación de las gráficas de control para la calidad y sus características.

Tipo de variableNombre de la gráfica

Límite superior de control

LSC

Línea central LC

Límite inferior de control

LIC

Continua

Gráfica para mediasGráfica X

LSC X A Rx = + 2 LC X= LIC X A Rx = - 2

Gráfica de variabilidad o de rangos

Gráfica RLSC RDR = 4 LC R= LIC RDR = 3

Gráfica de valor medio Gráfica X

LSC x Rx s= + 2 66. LC x= LIC x Rx s= - 2 66.

Discreta

Gráfica de número de unidades defectuosas

Gráfica PNLSC pn pn p= + -3 1( ) LC pn= LIC pn pn p= - -3 1( )

Gráfica de fracción de unidades defectuosas

Gráfica PLSC p p p n= + -3 1( )/ LC p= LIC p p n= - -3 1( )/

Gráfica de número de defectos Gráfica C

LSC c c= + 3 LC c= LIC c c= + 3

Gráfica de número de defectos por unidad

Gráfica ULSC u u n= + 3 / LC u= LIC u u n= - 3 /

En el cuadro 1.1 se observa que las gráficas están clasificadas con base en el tipo de variable de estudio para la que se desean analizar algunas características de calidad. Si la variable es continua, podemos obtener una gráfica para medias, una gráfica de variabilidad o bien una gráfica de valor medio y, en los casos en los que la variable es discreta, las gráficas pueden ser de número de unidades defectuosas, de fracción de unidades defectuosas, de nú­mero de defectos y de número de defectos por unidad. Con base en esta clasificación revisaremos los principales tipos de gráficas de control estadístico de calidad más utilizados en la industria en México.

Gráfica de control para medias de procesos

Gráfica Permite medir la variación sistemática de una variable en un proceso de producción. Por ejemplo, la variación en la longitud de un eje automotriz, la variación en el diámetro interior de una tubería, la variación en la duración en horas de una lámpara incandescente, entre otras.

Este tipo de gráfica de control estadístico de calidad emplea los conceptos teóricos de la estadística descriptiva y del muestreo (véanse los capítulos 2 y 6, en Estadística para administración I).

En una línea de producción se selecciona una muestra pequeña de producto terminado, por ejemplo, cinco pro­ductos de un lote de fabricación y se calcula la media aritmética de la longitud de los productos en esa muestra (X1).

Xlongitud longitud longitud longitud

1

1 2 3 4=

+ + + + llongitudi

5

51

5

=∑

Estadística aplicada II6

Se seleccionan posteriormente varias muestras más del mismo tamaño y también se calcula su respectivo prome­dio; es decir, se cuenta con las medias de las diversas muestras ( X X X Xk1 2 3, , ... ), véase la figura 1.1.

Figura 1.1 Medias de las diversas muestras ( , , , ... , )x x x x k� � � .

Finalmente se calcula la media de las medias muestrales ( X ), la cual se denota como equis doble barra (véase la ecuación 1.1).

XX

kX X X

kik

i k= =+ + +=∑ 1 1 2 1 1... ( . )

El error estándar de la distribución de esas medias muestrales (véase la ecuación 1.2) se denomina como σ X(sigma de equis barra), y se calcula mediante:

σσ

X n= ( . )1 2

Si elaboramos una gráfica de distribución de frecuencias con las medias de todas las muestras, ésta se aproximaría a la curva 1 en forma de campana. Y si a esta gráfica le agregamos una segunda gráfica elaborada con las medi­ciones reales, se vería como en la curva � (véase la figura 1.2).

Curva 1Con medias muestrales

X

Curva 2Distribución de valoresde población

6 σ

n6 σ

Figura 1.2 Gráfica de distribución de frecuencias con las medias de todas las muestras.

Lote de producción (población)

Media de las medias X

Muestra �Muestra �

.

.

.

.Muestra k

x 2

x k

X 1

X 2

X K

X 1

Control estadístico de la calidad 7

Por tanto, la media aritmética (promedio) de una población (lote de producción) es igual a la media de todas las medias de las muestras aleatorias que fueron seleccionadas de esa población. Al mismo tiempo se observa que la dispersión total en la población (σ) es mayor que la de la distribución de las medias muestrales, en el factor n (véase la ecuación 1.2).

También puede observarse que aun si la población es normal sólo en forma aproximada, las inferencias respecto a la distribución de las medias muestrales pueden obtenerse con base en una distribución normal (véase el cuadro 1.2).

Cuadro 1.2 Distribución de las medias muestrales, en base a la distribución normal.

Porcentaje de los promedios de las muestras

Número de errores estándar dentro de la media de la población

68.26% 1 error ( ± 1σ )95.44% 2 errores ( ± 2σ )99.74% 3 errores ( ± 3σ )

Estas relaciones permiten establecer límites alrededor de los promedios de las muestras para mostrar qué tanta variación puede esperarse. Estos límites esperados reciben el nombre de límite superior de control (LSC) y, límite inferior de control (LIC).

La gráfica de control para medias de procesos tiene como objetivo mostrar las fluctuaciones de las medias mues­trales que se presentan dentro de estos límites.

Si las medias muestrales caen dentro de los límites establecidos para un proceso (rango de aceptación), se dice que la variación que presenta el proceso sólo es aleatoria. Pero si las medias muestrales exceden el límite superior de control (LSC), o bien, caen por debajo del límite inferior de control (LIC), entonces el proceso de producción está fuera de control, y deberá corregirse.

En el control estadístico de la calidad de un producto deberán establecerse ambos límites de control (LSC y LIC) alrededor de la media de las muestras X . Por tanto, se emplea una regla empírica que establece que 99.74% de las observaciones en una distribución normal estarán dentro de este rango. Con base en esto los límites de control estarán definidos como:

• Límite superior de control (LSC) para las medias de procesos:

LSC Xx x= + 3 1 3σ ( . )

• Límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos:

LIC Xx x= - 3 1 4σ ( . )Sin embargo, en la práctica el error estándar de las medias muestrales ( 3σ x ) se desconoce, entonces su valor se estima mediante A R� , en donde:

R Rango6 promedio de los rangos muestrales.

A� Constante determinada con base en el tamaño de la muestra y cuyos valores se pueden obtener al consultar la tabla �.� (pág. 5�) Factores críticos de las gráficas de control, en el Anexo � (pág. 5�).

Con base en estas estimaciones, nuestros límites de control del proceso se determinan con:

• Límite superior de control (LSC) para las medias de procesos:LSC X A Rx = + � 1 5( . )

6 Recuerde que para una muestra, un rango está definido como: Rango = dato de mayor valor - dato de menor valor.

Estadística aplicada II8

• Límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos:

LIC X A Rx = - � (1.6)

Ejemplo �.�Una compañía empaca pasta italiana para sopa en bolsas de 15 g; el encargado de calidad en la línea sospecha que el llenado no se realiza correctamente de acuerdo con los estándares establecidos, así que decide recolectar 20 muestras de 5 bolsas de pasta para pesarlas en el laboratorio.

Desea determinar si el proceso de empacado se encuentra bajo control, ya que un error considerable de empacado puede causarle serios problemas a la compañía, principalmente con sus clientes y con las autoridades de comercio (véanse los datos que obtiene el encargado de calidad en el cuadro 1.3).

Figura 1.3 Función PROMEDIO en ExcEl [=Promedio (rango de datos)].

Cuadro 1.3 Proceso de empacado de bolsas de pasta (g).Muestra Datos de la muestra

1 15.2 14.5 16.5 15.9 16.22 16.2 15.4 15.2 15.2 14.53 15.6 16.5 16.2 15.9 16.24 18.5 14.8 15.7 16.8 14.25 17.5 15.7 14.2 14.5 15.36 14.4 15.9 14.7 15.4 14.87 15.4 15.2 15.7 14.3 15.78 17.9 14.6 16.2 14.8 16.89 14.2 15.6 16.2 15.8 15.9

10 15.7 16.5 14.8 16.7 16.111 14.7 14.6 14.9 15.8 16.312 16.8 15.8 15.8 16.2 15.713 14.7 15.9 15.2 15.9 14.514 14.8 14.9 15.3 15.7 16.815 18.3 15.8 15.9 14.8 15.516 16.5 16.8 15.7 16.9 14.717 15.3 16.8 16.8 17 17.118 16.8 17.2 18.9 18.5 18.919 13.7 17.6 18.7 17.2 16.420 19.8 14.5 20.8 19.2 18.7

Para poder analizar si el proceso de empacado está bajo control, el encargado elabora una gráfica de control para la media con los pasos siguientes.

1. Se calcula la media aritmética de cada una de las muestras mediante la función pRoME-DIo en ExcEl [= Promedio (rango de datos)], véase la figura 1.3.

Control estadístico de la calidad 9

Figura 1.4 Cálculo rango en ExcEl [=MAX (rango de datos) – MIN (rango de datos)].

2. Se calcula el rango de cada muestra restando el valor mayor al menor. En ExcEl esta operación se obtiene con las funciones MAX( ) y MIN( ). Por ejemplo, para la muestra 1, el rango es: = MAX(C7:G7) - MIN(C7:G7) véase la figura 1.4.

3. Se calcula la media aritmética de las medias muestrales con la ecuación (1.1).

X =+ + + +

=15 66 15 30 16 08 18 60

2016 03 1 1. . . ... . . ( . )

4. Se calcula el promedio de los rangos ( R ).

R = + + + +=

2 0 1 7 0 9 6 320

2 47. . . ... . .

5. Se determina el límite superior de control y el límite inferior de control mediante las ecuaciones 1.5 y 1.6, respectivamente.

6. En la tabla 1.1 (Factores críticos de la gráficas de control) en el Anexo 1, se muestra el valor de A� para n = 5 (A� = 0.577).

7. Se determina el límite superior de control (LSC) para las medias de procesos mediante la ecuación 1.5:

LSC X A RLSCLSC

x

x

x

= += +

� 1 516 03 0 577 2 47

( . ). ( . )( . )

== 17 455. 8. Se determina el límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos mediante la ecuación 1.6:

LIC X A RLICLIC

x

x

x

= -= -

� 1 616 03 0 577 2 47

( . ). ( . )( . )

== 14 605.

9. Con ayuda de la hoja electrónica de ExcEl se elabora la gráfica de control de la media para este proceso de empacado (G1).

Estadística aplicada II10

Es importante observar en la gráfica 1.1 (G1) que, a partir de la muestra 17, el proceso empieza a generar medias grandes, con el cual se obtienen dos muestras (18 y 20) que exceden el límite superior de control, lo que permite afirmar que:

• El proceso de empacado de pastas está fuera de control debido a una variación de causa asignable.

• Es muy probable que el equipo esté desajustado.

• O bien, si una o varias piezas del mismo presentan desgaste y deberán ser cambiadas.

Una vez identificada la causa, deberá corregirse para lograr el control nuevamente con la finalidad de ob­tener productos que estén dentro de los estándares de calidad establecidos.

EjEmplo dE calidad En sErvicios

El gerente de un supermercado observó que los clien­tes que utilizan la caja exprés (máximo ocho artícu­los por cliente) están descontentos porque el tiempo requerido en la caja les parece demasiado, por lo que decide elaborar una gráfica para verificar el promedio de tiempo para atención al cliente y así poder verifi­car la calidad del servicio que presta la caja.

El gerente elabora un muestreo en la mañana, a mediodía y en la tarde durante tres semanas, por lo que toma el tiempo de cada cliente desde que llega a la caja hasta que se retira. Debido a que son múltiples las actividades de la gerencia, sólo puede tomar los tiempos de 10 clientes por día (véase el cuadro 1.4).

Con ayuda de una hoja electrónica de ExcEl, calcu­lamos la media aritmética del tiempo de atención y el rango para cada una de las muestras (véase la figura 1.5).

19LSC

LIC

Media de lospromedios

Medias

18

17

16

15

14

13

1 11 13 15 17 19 Muestra

Prom

edio

s de

las

mue

stra

s

3 5 7 9

Gráfica 1.1 Gráfica de control (G�) para la media de empacado de pastas.

Cuadro 1.4 Proceso: tiempo de atención al cliente en caja exprés.

Muestra Tiempo requerido por cliente (segundos)

lunes 33 37 39 39 31 35 31 39 37 34

martes 36 30 33 37 33 39 37 35 35 35

miércoles 40 40 32 31 34 40 30 31 34 35

jueves 33 38 31 40 36 36 40 39 38 31

viernes 32 38 32 33 32 34 35 34 40 35

sábado 41 37 44 44 36 36 35 38 41 37

domingo 37 39 45 41 41 43 38 45 44 39

lunes 31 40 40 38 36 38 36 36 30 40

martes 35 36 39 34 32 35 31 38 34 33

miércoles 40 30 36 34 38 38 34 39 40 30

jueves 38 34 36 38 35 38 32 35 31 33

viernes 32 36 40 37 38 40 40 38 30 36

sábado 41 40 41 35 45 43 40 39 45 44

domingo 42 45 44 45 45 45 41 43 39 41

lunes 33 32 34 39 35 33 39 35 32 35

martes 39 36 40 32 36 36 32 32 33 40

miércoles 38 34 34 38 36 36 32 40 38 38

jueves 30 33 38 34 33 32 36 40 37 38

viernes 36 34 40 35 39 33 39 30 31 31

sábado 45 36 39 43 39 40 39 37 44 45

domingo 36 36 44 35 39 36 40 44 41 37

Control estadístico de la calidad 11

Posteriormente calculamos la media de las medias de atención (36.91 segundos) y el promedio de los rangos (8.71 segundos).

En la tabla 1.1 Factores críticos de la gráficas de control del Anexo 1 (pág. 53) se muestra el valor de A� para n = 10 (A� = 0.308). Con este valor calculamos los límites de control para el problema de la siguiente manera:

1. Se calcula el límite superior de control (LSC) para las medias de procesos mediante la ecuación (1.5):

LSC X A RLSCLSC

x

x

x

= += +

� 1 536 91 0 308 8 71

( . ). ( . )( . )

== 39 593.

2. Se calcula el límite inferior de control (LIC) para las medias de procesos mediante la ecuación (1.6):

LSC X A RLSCLSC

x

x

x

= -= +

� 1 636 91 0 308 8 71

( . ). ( . )( . )

== 34 227.

3. Con ayuda de ExcEl construimos la gráfica de control (G2) para la media de tiempos de servicio en la caja

exprés.

Figura 1.5 Proceso: tiempo de atención al cliente en caja exprés.

32

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

37

42

Prom

edio

spo

r mue

stra

LSC

LIC

Media de lospromedios

Medias

Gráfica 1.2 Gráfica de control (G�) para la media de tiempos de servicio en caja exprés.

Estadística aplicada II12

Efectivamente, los clientes tienen razón, los tiempos del servicio de la caja exprés están fuera de control debido a una variación de causa asignable:

La empleada trabaja muy rápido de lunes a viernes (menos de �7 segundos), pero los fines de semana, sábado y domingo su eficiencia decae (más de �9 segundos), como puede observarse el primer domingo es de 4� segundos; el segundo sábado de 4� segundos; el domingo de 4� segundos, y el último sábado estudiado es de 4� segundos.

Sin embargo, existe una probabilidad de que esta variación en la velocidad de la atención al cliente se deba a la fatiga acumulada durante los primeros días de la semana, o bien, a que el número de artículos comprados en la caja exprés crece demasiado los fines de semana. El gerente deberá analizar esta situación, ya que, por un lado, podrá rotar a su cajera exprés los fines de semana, o bien, abrir otra caja de este tipo durante esos días.

Gráfica de control para variabilidad de procesos

Gráfica rComo ya indicamos, la calidad de un producto implica consistencia, confiabilidad y cumplimiento de los reque­rimientos para lo cual fue diseñado, de ahí que la variabilidad en esos requerimientos representa una disminución de calidad.

Las gráficas de control para variabilidad (o amplitud) de un proceso tienen como objetivo determinar si las va­riaciones (totales) de las muestras de un proceso se encuentran bajo o fuera de control de la siguiente manera:

Si los puntos que representan dichas amplitudes se encuentran dentro de los límites superior e inferior, nos permiten concluir que la producción en este proceso está bajo control.

Por el contrario, si una variación queda arriba o debajo de los límites se concluye que alguna causa asignable afecta a la producción de modo que algunos productos o partes presentan una variabilidad notoria (partes o productos más grandes, más pequeños, más pesados o menos pesados, o bien una variación en la característica que se esté analizando).

Sin embargo, es importante considerar que mientras en una gráfica de control para la media X se establecen límites para la media de muestras, en las gráficas de control de variabilidad la medición que se establece va dirigida a las observaciones individuales y no a las muestras debido a que la variabilidad en las medias de las muestras es mayor que la encontrada en una observación individual.

Ahora bien, las gráficas de control para medir la variabilidad de un proceso de producción reciben el nombre de gráficas R, en las cuales se grafican los valores de los rangos de cada una de las muestras; la línea central está ubicada en el valor promedio de los rangos (R) y, los límites de control se establecen con base en la distribución muestral de los rangos (R).

La distribución muestral de los rangos (R) se calcula a partir de su desviación estándar mediante la relación si­guiente:

σ σR d= 3 1 7( . )donde,

σ = desviación estándar de la población

d� = factor de dispersión calculado con base an

Los valores correspondientes a d3 se pueden obtener en la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control en el Anexo 1.

Control estadístico de la calidad 13

Por otro lado, la desviación estándar de la población puede sustituirse por: R/d�.

También los valores de d� se pueden obtener en la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control en el Anexo 1.

Entonces, σR = d3 R/d�, por lo que los límites de control para la variación (superior LSCR, e inferior LICR) de los procesos se pueden establecer como:

LSC R R d R d R d dLIC R

R R

R R

= + = + = += - =

3 3 1 33

3 2 3 2σ

σ

/ /( )RR d R d R d d- = -3 1 33 2 3 2/ /( )

definiendo,

D4 = (1 + 3d3/d�)y

D3 = (1 - 3d3/d�)

Por lo que al sustituir estos valores (D4 y D3) en las ecuaciones de los límites de control para la variación obte­nemos:

LSC RDLIC RD

R

R

==

4

3

1 81 9

( . )( . )

Para facilitar los cálculos en los laboratorios de calidad o en la línea de producción, los valores de D4 y D3 también se obtienen de la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control, en el Anexo 1.

En las gráficas de control para variabilidad de procesos, el cálculo de los límites de control con las ecuaciones 1.8 y 1.9 deberá considerar lo siguiente. El rango de una muestra siempre es un número positivo; sin embargo, cuando n ≤ 6, el LICR, calculado con la ecuación 1.9, será negativo. En estos casos, el valor de ese límite será igual a cero. Por tanto, los valores de D3 en la tabla 1.1. Factores críticos de las gráficas de control en el Anexo 1 toman valor cero.

Ejemplo �.�Retomando el ejemplo de la compañía que empaca pasta italiana para sopa en bolsas de 15 g, obtendríamos los límites de control por rango mediante los siguientes pasos:

1. Calculamos los rangos de cada muestra (véase la figura 1.6). 2. Calculamos el promedio de los rangos: R - 2.47 (véase la figura 1.6). 3. Obtenemos los valores d� y d3 de la tabla 1.1 para n = 5 (d� = 2.326, d3 = 0.8641). 4. Calculamos los límites de control por rangos del proceso.

LSC R d dLSC R

R

R

= += +

( )( . )( ( . ) .1 32 47 1 3 0 8631 �

3 2// 3326

5 2�1 3

2 47 13 2

).( )

( . )(

LSCLIC R d dLIC

R

R

R

== -=

/--

= -3 0 8631 � 326

0 2796( . ) / . )

.LICR

es decir:LICR = 0 ya que n ≤ 6

Estadística aplicada II14

5. O bien, si nos encontráramos en la línea de producción, los límites de control por rangos los obtendríamos con las ecuaciones 1.8 y 1.9 y los valores D4 y D3 de la tabla 1.1 para n = 5 (D4 = 2.115, D3 = 0).

LSC RDLSCLIC RDLIC

R

R

R

R

== ==

4

3

2 47 2 115 5 2�( . )( . ) .

== =( . )( )2 47 0 0

Con esta información podemos construir la gráfica G3 de control para variabilidad del proceso de producción estudiado.

Figura 1.6 Cálculo de rangos de cada muestra.

Gráfica G3 dE control para variabilidad

Con la gráfica G3 podemos confirmar que el proceso está fuera de control debido a una variación de causa asig­nable, ya que los rangos 19 y sobre todo el 20 se encuentran fuera de los límites. El encargado de la línea deberá corregir las causas para regresar el proceso a la zona de control y con ello garantizar los estándares de calidad establecidos.

Gráfica 1.3 Gráfica de control (G�) por rangos del empacado de pastas.

7

6

5

4

3

2

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0

Rang

o po

r mue

stra

LSC

LIC

Muestra

Promedio de rangos

Rangos

Control estadístico de la calidad 15

Ejemplo �.�Una compañía que elabora carátulas para teléfonos celulares presenta problemas en su área de ensamble final, ya que las carátulas del modelo E380 parecen estar fuera de especificaciones. El inspector de calidad analiza los datos de longitud de la carátula (en cm) de los últimos 15 días mediante una gráfica de control de variabilidad para determinar si el proceso de fabricación está fuera de control (véase el cuadro 1.5).

Cuadro 1.5 Proceso: fabricación de carátula para celular modelo E�80.

Muestra (día) Datos de la muestra en centímetros1 8.49 8.49 8.46 8.49 8.42 8.49 8.442 8.43 8.41 8.43 8.46 8.48 8.48 8.423 8.47 8.48 8.49 8.44 8.44 8.49 8.424 8.50 8.43 8.50 8.46 8.40 8.44 8.405 8.50 8.45 8.47 8.43 8.47 8.50 8.446 8.49 8.47 8.43 8.44 8.45 8.44 8.507 8.46 8.40 8.48 8.47 8.48 8.43 8.488 8.45 8.44 8.48 8.48 8.45 8.44 8.489 8.45 8.45 8.45 8.40 8.48 8.40 8.4110 8.40 8.41 8.45 8.44 8.48 8.45 8.4011 8.41 8.47 8.46 8.42 8.48 8.42 8.4612 8.40 8.45 8.43 8.40 8.50 8.42 8.4413 8.49 8.44 8.45 8.44 8.50 8.46 8.5014 8.46 8.50 8.46 8.50 8.44 8.48 8.4915 8.50 8.50 8.45 8.47 8.43 8.41 8.41

La solución a este problema comprende siguientes los pasos:

1. Calculamos los rangos de cada muestra (véase la figura 1.7).

Figura 1.7 Rangos y promedios de rangos de cada muestra.

2. Calculamos el promedio de los rangos: R = 0.07, como se muestra en la figura 1.7.

3. Obtenemos los valores d� y d3 de la tabla 1.1 para n = 7 (d� = 2.704, d3 = 0.833).

4. Calculamos los límites de control por rangos del proceso de la siguiente forma:

LSC R d dLSC

R

R

= += +

( )( . )( ( . ) .

1 30 07 1 3 0 833 2 70

3 2// 44

0 13471 3

0 07 13 2

).( )

( . )(

LSCLIC R d dLIC

R

R

R

== -=

/--

=3 0 833 � 704

0 0053( . ) . )

./

LICR

Estadística aplicada II16

5. O bien, si nos encontráramos en la línea de producción, los límites de control por rangos, los obtendríamos con las ecuaciones 1.8 y 1.9 y los valores D4 y D3 del cuadro 1.5 para n = 7 (D4 = 1.924, D4 = 0.076).

LSC RDLSCLIC

R

R

R

== ==

4 1 80 07 1 924 0 1347

( . )( . )( . ) .RRD

LICR

� 1 90 07 0 076 0 0053

( . )( . )( . ) .= =

Con esta información podemos construir la gráfica G4 de control para variabilidad del proceso de producción de la carátula del celular modelo E380.

0.160.140.12

0.10.080.060.040.02

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

LIC, 0.0053

LSC, 0.1347

Promedio derangos, 0.07Ra

ngo

por m

uest

ra

Gráfica 1.4 Gráfica de control (G4) por rangos de la fabricación de carátula E�80.

Un análisis de la gráfica 1.4 le indica al inspector de calidad que las longitudes de las carátulas no están fuera de especificaciones, por lo que el problema de ensamble no se debe a esta causa. Deberá inspeccionar el área de ensamble para detectar ahí el posible problema.

Gráficas de control para atributos

Gráfica pLas gráficas de control para las medias y la variabilidad en los procesos de producción ya revisadas permiten analizar la calidad mediante variables cuantitativas continuas; sin embargo, si la calidad de un producto se mide con un atributo que toma valores discretos, por ejemplo:

Un producto que sale de una línea de producción puede ser bueno o defectuoso (los atributos), pero un lote de pro-ducción de éste bien puede tener cinco productos defectuosos (el valor discreto del atributo).

Para estos casos, debemos utilizar gráficos que nos permitan medir el grado de aceptación del producto con base en la proporción7 del número de productos defectuosos (gráfica p) o bien del número de defectos por unidad (gráfica c).

Sea p la proporción de piezas defectuosas producidas por un proceso, entonces el número de defectuosos (x) en una muestra aleatoria de n artículos presenta una distribución binomial (bueno o defectuoso).

7 En los libros especializados de control de calidad el término utilizado es fracción de defectuosos, en vez de proporción de defectuosos. Creemos que este último término es más adecuado en el ámbito estadístico.

Control estadístico de la calidad 17

Para probar si un artículo es bueno o defectuoso, deberemos seleccionar muestras de tamaño n y calcular la pro­porción muestral p.

p Número de defectos en una muestraTamaño de la mue

=sstra

Al igual que en las gráficas anteriores es necesario tomar varias muestras, generalmente del mismo tamaño, pro­duciéndose así varios valores para p. La proporción media de defectos para este grupo de muestras p se calcula como:

p = Número total de defectos en todas las muestras Número total de artículos inspeccionados

Este último valor ( p ) sirve como estimador de la proporción de defectos poblacionales que es un valor desco­nocido, por lo que su estimación se obtiene con la desviación estándar de la proporción de defectos, definida como:

σ pp p

n=

-( ) ( . )1 1 10

Y cuyos límites superior e inferior de control se encuentran a tres desviaciones estándar por arriba y por debajo de la proporción media de defectos, es decir:

LSC pLIC p

p p

p p

= += -

3 1 113 1 12

σ

σ

( . )( . )

Sustituyendo el valor de la desviación estándar de la proporción de defectos (ecuación 1.10) en las ecuaciones 1.11 y 1.12, obtenemos los límites de control para una gráfica de atributos.

• Límite superior de control (LSC) para proporción de unidades defectuosas en procesos:

LSC p p pnp = +-3 1 1 13( ) ( . )

Cuadro 1.6 Prueba: Número de planchas defectuosas.

Muestra(n = 40)

Número de planchas defectuosas

1 82 123 84 145 276 77 128 109 13

10 1511 812 1713 2614 1715 17

• Límite inferior de control (LIC) para proporción de unidades defectuosas en procesos:

LIC pp p

np = --3 1 1 14( ) ( . )

Ejemplo �.4Una empresa que fabrica electrodomésticos está verifican­do si en la producción de la última semana hay planchas defectuosas. Si éste es el caso, el proceso de fabricación puede estar fuera de control. Se toman 15 muestras de 40 planchas de un lote de 1 500. El laboratorio de calidad prue­ba únicamente si son buenas o defectuosas (véase el cuadro 1.6). Se desea elaborar una gráfica de control para propor­ciones de unidades defectuosas.

Estadística aplicada II18

Para solucionar este problema debe­mos realizar los pasos siguientes:

1. Calcular la proporción de defectuo­sos para cada una de las muestras y la proporción media de defectos como se muestra en la figura 1.8.

2. Con los datos anteriores se calculan los límites de control de la siguiente manera:

• Límite superior de control (LSC) para proporción de unidades defectuosas en fabricación de planchas:

LSC pp p

np = +-3 1( )

LSCp = +-

=0 3517 3 0 3517 1 0 351740

0 5782. . ( . ) .

• Límite inferior de control (LIC) para proporción de unidades defectuosas en fabricación de planchas:

LIC pp p

np = --3 �( )

LICp = --

=0 3517 3 0 3527 1 0 352740

0 1252. . ( . ) .

3. Construimos en ExcEl la gráfica de control G5 para unidades defectuosas en fabricación de planchas.

Figura 1.8

Gráfica 1.5 Gráfica (G5) de proporción de unidades defectuosas (planchas).

0.800

0.700

0.600

0.500

0.400

0.300

0.200

0.100

0.0001 3 5 7 9 11 13 15

LSC

LIC

proporciónmedia

proporciónmuestral

Muestra

Prop

orci

ón d

e de

fect

uoso

spo

r mue

stra

Control estadístico de la calidad 19

En la gráfica 1.5 (G5) observamos que en general el proceso está bajo control, salvo en el caso de la muestra 5 ( p = 0.675) y la muestra 13 (p = 0.650), lo que le indica al administrador que en esos casos el proceso se salió de control.

Por tanto, el administrador deberá investigar lo que provocó que en ambas muestras su proporción sea defectuosa y que se haya salido del límite superior; es decir, deberá identificar la causa asignable del proceso, y remediar el proceso para poder regresar a los estándares de calidad establecidos.

Ejemplo �.5El departamento de tarjetas de crédito de Citibank detectó que el departamento de mercadotecnia les está envian­do solicitudes de tarjeta con errores, lo que puede provocar asignaciones incorrectas de créditos e incrementar los costos de operación del departamento, con lo cual se provocaría una mayor cartera vencida para el banco.

El licenciado González, gerente operativo de crédito, selecciona 20 muestras con 50 solicitudes cada una, que ya están aprobadas y en las cuales detectan algunas que no debieron ser aceptadas. En el cuadro 1.7 se muestra un resumen de este trabajo.

Para detectar si las solicitudes que presentan algún error fueron aceptadas y, por tanto, pueden representar para el banco un costo elevado, el gerente decide elaborar un gráfico de control de errores en solicitudes el cual elaboró de la siguiente manera:

1. Calcula la proporción de error en solicitudes por muestra como se observa en la figura 1.9.

2. Posteriormente calcula la proporción promedio de errores, por dos métodos.

• Primero con la relación:

P = Número total de errores en todas las muestras número total de solicitudes inspeccionadas

P = 198 = 0.198 (10 muestras) (50 solicitudes por muestra)

Cuadro 1.7 Proceso: solicitudes de crédito con errores.

Muestra (n = 50)

Solicitudes con errores (scerror)

1 82 123 84 55 116 77 158 109 810 1211 712 713 514 2215 2416 617 818 719 720 9

Figura 1.9 Prueba: proporción de errores de las �0 muestras.

• Segundo, se suma la pro­porción de errores de todas las muestras y se divide entre 20 que es el número de muestras (véase la figu­ra 1.9).

Estadística aplicada II20

3. Posteriormente se calculan los límites de control.

• Límite superior de control (LSC) para proporción de solicitudes con errores:

LSC p p pn

LSC

p

p

= +-

= +-

3 1 1 13

0 198 3 0 198 1 0

( ) ( . )

. . ( .119850

0 3671) .=

• Límite inferior de control (LIC) para proporción de unidades defectuosas en fabricación de planchas:

LIC p p pn

LIC

p

p

= --

= --

3 1 1 14

0 198 3 0 198 1 0

( ) ( . )

. . ( .119850

0 0289) .=

4. Construimos en ExcEl la gráfica de control 1.6 (G6) de proporciones de solicitudes con error aceptadas.

Gráfica 1.6 Gráfica de proporción de solicitudes con error aceptadas.

0.600

0.500

0.400

0.300

0.200

0.100

0.0001 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Muestra

Prop

orci

ón d

e er

rore

spo

r mue

stra

LSC

LIC

proporción media

proporción muestral

En la gráfica 1.6 (G6) se puede observar que el proceso relacionado con el llenado de solicitudes de crédito está fuera de control. Dos muestras deben de llamar la atención del licenciado González:

Las muestras 14 ( p = 0.440) y 15 ( p = 0.480). Ya que están muy alejadas del límite inferior de control LSC (0.3671). Parece que el departamento de tarjetas de crédito y mercadotecnia del banco deben trabajar con más coordinación, en relación con el llenado de las solicitudes y la aprobación de un crédito. Esto último permitirá reducir al máximo los errores y mejorar el proceso de solicitud de tarjeta de crédito.

Gráficas de control para el número de defectos por unidadGráfica cA diferencia de la gráfica 1.6, donde se busca encontrar el número de defectos o errores en una muestra de pro­ductos, en la gráfica c, se busca mostrar el número de defectos en un solo producto o unidad.

Las gráficas c sirven para controlar a partir de intervalos iguales el número de defectos por unidad y por área, volumen, peso o bien en un solo artículo.