ESTADO TRIAXIAL

ESFUERZOS PRINCIPALES CORRESPONDIENTES A UN ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

La mayoría de los elementos de máquinas y de estructuras soportan cargas que

generan estados de esfuerzos más complejos que el estado uniaxial. En este

capítulo, deduciremos relaciones para obtener el estado de esfuerzos en un sistema

de ejes tridimensional cualquiera, a partir de la información inicial para el sistema

coordenado x-y-z.

Considérese un cuerpo sujeto a la acción de un sistema de cargas genérico.

Figura 5.13

Sea Q un punto representativo del estado general de esfuerzos, para el cuál se

conocen las componentes del tensor de esfuerzos.

Figura 5.14

289

El tensor de esfuerzos en el sistema x-y-z

(5.28)

Considérese el plano inclinado definido por su normal n y que pasa por Q. El

esfuerzo resultante en este plano será S, y sus componentes normal y tangencial,

son respectivamente, .

Por lo tanto, se verifica que:

SX, SY , y SZ son las componentes del esfuerzo resultante sobre los ejes x, y, z respectivamente

Para obtener las proyecciones de la fuerza resultante según los ejes x, y, z;

determinaremos previamente las áreas de las caras del elemento.

dA es el área de la cara oblicua:

dAX = dA cos X = área de la cara X

dAY = dA cos Y = área de la cara Y

dAZ = dA cos Z = área de la cara Z

Por comodidad identificamos a los cosenos directores de la normal al plano como:

= cos X m = cos Y n = cos Z

Fuerzas actuantes en el elemento:

1. Cara oblicua: F = S dA

Las proyecciones de la resultante según los ejes x,y,z son:

FX = SX dA ; FY = SY dA FZ = SZ dA

2. Cara y :

Según el eje x :

Según el eje Y :

Según el eje Z :

- Cara x :

Según el eje x :

Según el eje y :

Según el eje z:

- Cara z :Según el eje x :Según el eje y :

290

Según el eje z :

Condición de equilibrio:

Simplificando el dA, tenemos

(5.31)

Vemos que es posible expresar las componentes SX, SY, y SZ del esfuerzo

resultante en función de las seis componentes del tensor de esfuerzos.

Para hallar el esfuerzo normal n bastará proyectar estas tres componentes

sobre la normal “n”

(5.32) reemplazando las relaciones (5.31) en (5.32) y simplificando:

Y el esfuerzo tangencial n sobre el plano oblicuo puede obtenerse mediante

la ecuación (5.29)

ESFUERZOS PRINCIPALES Y EJES PRINCIPALES

Como se sabe, un plano principal está definido como un plano sobre el cuál actúa el

esfuerzo normal máximo; y el cortante es cero. A este valor se le denomina

esfuerzo principal:

291

Si el plano oblicuo de la figura (5.14) es un plano principal con cosenos directores ,m y n, entonces:

S = y sus componentes respectivas en las direcciones x, y, z son:

reemplazando estas relaciones en (5.31):

ordenando,

que puede expresarse en forma de producto matricial de la forma:

(5.35-a)

Las ecuaciones (5.35) vienen a ser un sistema de ecuaciones homogéneas lineales

con incógnitas ,m,n ; que determinan la dirección del plano principal en el sistema

de ejes x-y-z. La solución no trivial debe dar valores no nulos de ,m y,n ; que

además verifican la relación:

De teoría matemática, el sistema de ecuaciones (5.35) tiene solución no trivial

solamente si el determinante de los coeficientes de ,m y n es igual a cero; es decir:

(5.37)

Entonces una de las tres ecuaciones (5.35) será la combinación lineal de las otras

dos, que conjuntamente con la ecuación (5.36), forman un sistema nuevo, suficiente

para determinar los valores de ,m y n.

El desarrollo del determinante producirá la siguiente ecuación cúbica, cuya solución

nos da los valores de los esfuerzos principales.

292

en forma simplificada esta ecuación puede escribirse como:

(5.39)

donde los coeficientes son:

(5.40)

Las tres raíces de la ecuación cúbica son reales. Estas raíces corresponden a los

tres valores de los esfuerzos principales:

Como puede observarse, las raíces de la ecuación cúbica se determinan por el

carácter del estado de esfuerzos y no dependen del sistema de ejes coordenados;

por lo tanto, al girar el sistema original x-y-z; los coeficientes 1, 2, e 3 de la

ecuación (5.39) se mantienen invariables.

A estos coeficientes se les denomina Invariantes del estado de esfuerzos.

Direcciones principales

Una vez conocidos los esfuerzos principales, es posible determinar sus cosenos

directores, resolviendo el sistema de ecuaciones (5.35), sucesivamente para:

.

Utilizando teoría matemática se demuestra, a partir de (5.35-a) y (5.36) que los

cosenos directores asociados a las direcciones principales verifican las siguientes

relaciones:

donde:

;

(*)

el subíndice “i” indica el plano principal de referencia.

293

PROBLEMA EJEMPLO: Dado el siguiente estado de esfuerzos, calcule los esfuerzos y

direcciones principales:

SOLUCION

Utilizaremos la ecuación cúbica por lo que requerimos conocer las invariantes:

Tenemos entonces:

Factorizando se obtiene:

Cuyas raíces en forma ordenada son:

Para determinar la dirección de , se sustituye su valor de 432 por

En las ecuaciones (5.35), luego:

Se observa que estas ecuaciones no son independientes por que (- 0.232) veces la

segunda más (-0.696) veces la tercera es igual a la primera ecuación.

De la segunda y tercera ecuaciones se obtiene:

Si además, debe cumplirse:

que al sustituir nos da: m = 0.1870, n = 0.560

Luego el eje principal correspondiente al esfuerzo principal máximo de 432 lb/pulg2

tiene la dirección “n”:

294

Las direcciones de se obtienen en forma similar sustituyendo

sucesivamente 0 y (-232) en las ecuaciones (5.35).

De la segunda y tercera ecuaciones se obtiene:

Si además, debe cumplirse: Luego el eje principal correspondiente al esfuerzo principal máximo de 0 lb/pulg2

tiene la dirección “n”:

Se deja al estudiante determinar la dirección del tercer eje principal.

CASO PARTICULAR: EJES PRINCIPALES COINCIDEN CON EJES COORDENADOS X-Y-Z

Si el tetraedro elemental separado tiene sus caras paralelas a los planos principales,

entonces el sistema de fuerzas sobre las caras del elemento se simplifica (figura 5.15).

Se simplifican también considerablemente las ecuaciones (5.31) pues, por tratarse de los planos principales, los esfuerzos vienen a ser respectivamente; y Tenemos entonces:

de donde:

295

y reemplazando en la ecuación (5.32):

(5.41)

que viene a ser la componente normal del esfuerzo “S” en un plano definido por su

normal n, en función de los esfuerzos principales.

De la ecuación (5.30) para el esfuerzo S, tenemos:

(5.42)

La componente tangencial lo obtenemos reemplazando la ecuación (5.29) en (5.42) y despejando

(5.43)

Por otro lado, como: , resulta:

(5.44)

A esta relación se le puede dar una interpretación simple e ilustrativa. Las

magnitudes SX, SY, SZ vienen a ser las coordenadas del extremo del vector esfuerzo

resultante S que actúa en el plano de orientación arbitraria. El lugar geométrico de

los extremos del vector S forma un elipsoide cuyos semiejes son los esfuerzos

principales (figura 5.16). El elipsoide obtenido se denomina “elipsoide de

esfuerzos”.

De esta representación geométrica se deduce como corolario que el mayor de los

tres esfuerzos principales es al mismo tiempo el valor máximo posible del esfuerzo

resultante en el conjunto de planos que pasan por el punto que se analiza; el menor

de los esfuerzos principales será por otra parte el valor mínimo posible de los

esfuerzos resultantes.

DIAGRAMA CIRCULAR DEL ESTADO TENSIONAL.

A partir de las expresiones obtenidas para , es posible establecer

relaciones con los esfuerzos principales y obtener finalmente una ecuación

simplificada de fácil interpretación:

De (5.36): (5.45)

Reemplazando (5.45) en (5.43) :

296

Reemplazando (5.45) en (5.41):

Reemplazando (5.47) en (5.46)

Sumando y restando para completar cuadrados:

que podemos ordenar como:

(5.48)

Esta ecuación es de la forma:

Si cada par de valores ( representa un punto en un sistema de coordenadas

cartesianas, el lugar geométrico de esta ecuación es una circunferencia.

Para analizar el problema con más amplitud, se efectuará procesos de deducción

similares al que condujo a la ecuación (5.48).

Siguiendo el mismo procedimiento a partir de la ecuación (5.45) pero esta vez

reemplazando , se obtendrá:

(5.49)

Similarmente, pero con , se obtendrá:

297

(5.50)

A continuación discutiremos las distintas posibilidades, según la orientación del

plano en cuestión. Para cada caso utilizaremos una de las tres últimas ecuaciones

que se acaba de determinar.

a) Planos paralelos al eje x. Se utiliza la ecuación 5.48.

Tenemos entonces:

Los esfuerzos en estos planos pueden

representarse gráficamente como

puntos ( ubicados sobre una

circunferencia con centro en

y radio

Figura 5.17 a

Para planos no paralelos al eje x, ; en este caso en el segundo miembro de la ecuación (5.48)

y los radios de las circunferencias

correspondientes a estos planos

serán mayores que .

Figura 5.17 b

En consecuencia los puntos que representan los pares de valores correspondientes a estos planos estarán ubicados en la zona rayada, externa a la

circunferencia de radio (figura (5.17b)).

b) Planos paralelos al eje y.- Se utiliza la ecuación (5.50)

298

Los esfuerzos en estos planos estarán representados por puntos sobre la

circunferencia con centro en y radio (figura 5.18)

Para planos no paralelos al eje y; , en el segundo miembro de (5.50)

En consecuencia los radios de la circunferencia correspondientes a estos planos

serán menores que y los puntos están en el interior de la

circunferencia.

Figura 5.18

c) Planos paralelos al eje z.- Se utiliza la ecuación (5.49)

Los esfuerzos en estos planos estarán representados por puntos sobre la

circunferencia con centro en y radio (figura 5.19)

Para planos no paralelos al eje z, en el segundo miembro de la ecuación (5.49) se tendrá:

299

Figura 5.19

Los radios de las circunferencias correspondientes serán mayores que .

Por lo tanto los puntos que representan los pares estarán ubicados en la

zona rayada, exterior a la circunferencia de radio . (Fig. (5.19)).

Superponiendo los gráficos correspondientes a las tres circunferencias se puede

inferir que todos los puntos estarán ubicados en la zona comprendida entre

las tres circunferencias incluyendo también las fronteras. Los puntos estarán

ubicados en la zona rayada que se muestra en la figura 5.20

Figura 5.20

Ubicación de los puntos en el gráfico

Sean los puntos: ;

300

Figura 5.211) A partir del punto C, consideramos un ángulo X con la vertical, se traza una

recta hasta encontrar el punto G sobre la circunferencia de radio mayor.

2) Con centro en D se traza un arco de radio .

3) A partir del punto A, formando un ángulo Z con la vertical, se traza una recta

hasta encontrar el punto H sobre la circunferencia de radio mayor .

4) Con centro F se traza un arco de radio .

5) La intersección de ambos arcos es el punto R, cuyas coordenadas son y .

También es posible ubicar el punto en el gráfico, utilizando a los ángulos y

ó a y .

3-a) A partir del punto B y formando un ángulo Z con la vertical se traza una recta

hasta encontrar el punto K sobre la circunferencia de radio .

4-a) Con centro en E se traza un arco de radio .

5-a) La intersección de los arcos trazados en los pasos (2) y (4-a) es el punto R.

3-b) Del mismo punto B y formando un ángulo con la vertical se traza la recta

que corta en L a la circunferencia de radio .

4-b) Con centro en E se traza el arco de radio .

5-b) La intersección de los arcos trazados en los pasos (4) y (4-b) determinan el punto R.

301

Figura 5.22

- MÁXIMO ESFUERZO CORTANTE Es obvio que el radio del círculo exterior dará el módulo del máximo esfuerzo

cortante. El plano en el que concurre forma ángulos de 45° con los planos de

máximo y mínimo esfuerzos normales.

Figura 5.23

En el caso del estado plano es conveniente tomar en cuenta que el máximo esfuerzo

cortante dado por las expresiones analíticas no es necesariamente el máximo

esfuerzo de corte que actúa en el punto de análisis.

PLANOS Y ESFUERZOS OCTAÉDRICOS

302

Con el estado de esfuerzos principales se asocia lo que se conoce como planos

octaédricos, cada uno de los cuales tiene la misma inclinación respecto a los ejes

principales 1, 2, 3.

sus cosenos directores verifican:

Reemplazando estos valores de l, m y n

en la ecuación (5.41) obtenemos para el

esfuerzo normal a un plano octaédrico:

303

también, para el esfuerzo resultante S, reemplazando en la ecuación (5.42):

La componente tangencial n, utilizando las dos últimas ecuaciones.

efectuando operaciones y ordenando obtenemos:

ó en función de los esfuerzos cortantes máximos:

La denominación de octaédrico se debe a que los ocho planos que cumplen la

condición (5.51) se intersecan formando un octaedro regular.

Figura 5.25

Una discusión mas completa de estos esfuerzos octaédricos se hace en el estudio de “Los criterios de falla” para el diseño de elementos estructurales y de maquinas.

ESTADO DE DEFORMACIONES

El estado de deformaciones en el punto Q se determina por sus seis componentes, que como en el caso del estado de esfuerzos, constituye un tensor.

El análisis del estado deformacional demuestra que tiene propiedades idénticas a las del estado de esfuerzos.

Entre el conjunto de ejes que se pueden tratar por el punto que se

analiza, existen tres ejes ortogonales en los cuales en los cuales las

deformaciones angulares son nulas. Estos ejes se denominan Ejes Principales

del estado deformacional y, las deformaciones lineales en este sistema,

Deformaciones Principales.

Las deformaciones principales son las invariantes del estado de deformaciones.

(5.56)

cuyos coeficientes son las invariantes del estado de deformaciones.

Conocidos los valores de las deformaciones principales ; las

máximas deformaciones angulares.

con

PROBLEMA 5.18.- El estado tridimensional de tensiones en un punto esta determinado por:

a) Hallar la tensión total y su dirección, en el plano cuyos cosenos

directores son y n < 0

b) Magnitud del esfuerzo cortante y del esfuerzo normal al plano

referido.

c) Tensiones principales y sus cosenos directores

SOLUCIÓN

Primero hallamos el valor del coseno director ”n”

Condición n<0 n = -1/2

Tensión total en el plano:

Cálculo de las componentes de S:

Tenemos entonces

Reemplazando en la expresión de S2 y sacando raíz cuadrada:

- Dirección: cosenos directores

b) Componentes normal y tangencial del esfuerzo.

c) Esfuerzos principales.

Cálculo de las invariantes: I1, I2, I3