Estadística descriptiva: tablas y gráficas

Estadıstica descriptiva: tablas y graficas.

Rocıo Meza MorenoUniversidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa

Rocıo Meza Moreno Estadıstica descriptiva

Variables cualitativasVariables cuantitativas

Tabla de frecuenciasFrecuencias relativas y porcentualesRepresentacion grafica de datos cualitativos

Tabla de frecuencias

Es un resumen tabular que agrupa datos cualitativos enclases mutuamente excluyentes y que muestra el numero deobservaciones en cada clase.

Por ejemplo:

Carrera Numero de alumnos

Administracion 7Economıa 16Psicologıa social 5No se registro 8

Total 36Tabla de frecuencias de los alumnos del grupo HC02 por carrera.

El numero de observaciones que corresponden a cada clase seconoce como frecuencia de clase.

Por ejemplo:

En ocasiones es util considerar la proporcion o el porcentajedel total de elementos que hay en cada clase.

Frecuencia relativa

Es la fraccion del total de elementos que hay en una clase.

Frecuencia relativa =Frecuencia de clase

Numero de observaciones

Frecuencia porcentual

Es la frecuencia relativa multiplicada por 100.

Frecuencia relativa

En el ejemplo anterior,

Frecuencia FrecuenciaCarrera Frecuencia relativa porcentual

Administracion 7 0.194 19.4Economıa 16 0.444 44.4Psicologıa social 5 0.139 13.9No se registro 8 0.222 22.2

Total 36 1 100Tabla de frecuencias, frecuencias relativas y porcentuales de los alumnos del grupo

HC02 por carrera.

Representacion grafica de datos cualitativos

Grafica de barras

La forma mas usual de representar datos cualitativos es pormedio de de una grafica de barras, que es una grafica que sirvepara representar las frecuencias, frecuencias relativas ofrecuencias porcentuales de una variable cualitativa.

En uno de los ejes (usualmente el horizontal) se muestra lavariable de interes y en el otro eje (usualmente el vertical) lacorrespondiente frecuencia (o frecuencia relativa o porcentual).

Representacion grafica de datos cualitativos

Grafica de barras

La forma mas usual de representar datos cualitativos es pormedio de de una grafica de barras, que es una grafica que sirvepara representar las frecuencias, frecuencias relativas ofrecuencias porcentuales de una variable cualitativa.

En uno de los ejes (usualmente el horizontal) se muestra lavariable de interes y en el otro eje (usualmente el vertical) lacorrespondiente frecuencia (o frecuencia relativa o porcentual).

Cuando se tienen datos cualitativos, la grafica de barras seconstruye con las siguientes consideraciones:

1 Se utiliza una barra por cada clase.

2 Las barras deben tener un ancho fijo.

3 Las barras deben estar separadas para enfatizar que lasclases son excluyentes y que los datos son cualitativos.

4 La altura de cada barra corresponde a la frecuencia declase (o bien a la frecuencia relativa o a la porcentual). Encualquier caso, la altura de cada barra resulta proporcionala la frecuencia de clase.

5 Si la variable de interes es de escala nominal, las clasespueden ordenarse indistintamente en el eje horizontal. Sinembargo, podrıa ser util ordenarlas alfabeticamente o pormedio de alguna otra categorizacion. Tambien podrıa serutil ordenarlas presentando las barras en orden de alturaascendente o descendente.

Ejemplo

Grafica de pastel

Es una grafica que representa la parte o porcentaje del totalque representa cada clase.

Para elaborar una grafica de pastel, se dibuja un cırculo querepresenta la totalidad de los datos y se usa la frecuenciarelativa para dividirlo en sectores que corresponden a lafrecuencia relativa de cada clase.

Grafica de pastel

Es una grafica que representa la parte o porcentaje del totalque representa cada clase.

Para elaborar una grafica de pastel, se dibuja un cırculo querepresenta la totalidad de los datos y se usa la frecuenciarelativa para dividirlo en sectores que corresponden a lafrecuencia relativa de cada clase.

En el ejemplo, la clase de alumnos de Administracionrepresenta una frecuencia relativa de 0.194 y como en lacircunferencia hay 360 grados,

el sector de la grafica de pastelcorrespondiente a los alumnos de Administraciontendra (0.194)(360)=69.84 grados.

El sector para los alumnos de Economıatendra (0.444)(360) = 159.84 grados,

el sector para los alumnos de Psicologıa Socialtendra (0.139)(360) = 50.04 grados y

el sector para los alumnos que no se registrarontendra (0.222)(360) = 79.92 grados.

En el ejemplo, la clase de alumnos de Administracionrepresenta una frecuencia relativa de 0.194 y como en lacircunferencia hay 360 grados, el sector de la grafica de pastelcorrespondiente a los alumnos de Administraciontendra (0.194)(360)=69.84 grados.

Observaciones

1 La suma de las frecuencias de las clases es siempre igual alnumero total de observaciones. La suma de las frecuenciasrelativas es siempre igual a 1 y la suma de los porcentajeses siempre igual a 100 (salvo una pequena discrepanciadebida al redondeo).

2 En ocasiones el numero de clases a considerar es muygrande, pero para algunas algunas de ellas la frecuencia esmuy pequena. En situaciones como esta, es recomendableagrupar las clases con frecuencia muy pequena en una solaclase llamada ((otros)).

Observaciones

1 La suma de las frecuencias de las clases es siempre igual alnumero total de observaciones. La suma de las frecuenciasrelativas es siempre igual a 1 y la suma de los porcentajeses siempre igual a 100 (salvo una pequena discrepanciadebida al redondeo).

2 En ocasiones el numero de clases a considerar es muygrande, pero para algunas algunas de ellas la frecuencia esmuy pequena. En situaciones como esta, es recomendableagrupar las clases con frecuencia muy pequena en una solaclase llamada ((otros)).

Distribucion de frecuenciasHistogramaSesgo

Cuando se trabaja con variables cuantitativas se debetener especial cuidado al definir las clases disjuntas en las quehan de agruparse los datos en una distribucion de frecuencias.

Los pasos para construir una distribucion de frecuencias paradatos cuantitativos son:

Cuando se trabaja con variables cuantitativas se debetener especial cuidado al definir las clases disjuntas en las quehan de agruparse los datos en una distribucion de frecuencias.

Los pasos para construir una distribucion de frecuencias paradatos cuantitativos son:

1 Definir el numero de clases.

1 El objetivo es tener suficientes clases de modo que semuestre la variacion de los datos (que se perciba la formade la distribucion).

2 Se recomienda usar entre 4 y 25 clases.

3 La eleccion del numero de clases es una cuestion decriterio, demasiadas clases o muy pocas podrıan nopermitir ver con claridad la variacion en los datos.

Una sugerencia para determinar el numero de clases es usarla

Regla 2k

Elegir como numero de clases k, el menor entero tal que 2k

sea mayor que el numero de datos.

Por ejemplo, considere que se tienen n = 52 datos. Como

25 = 32 y 26 = 64,

entonces la regla 2k sugiere usar k = 6 clases porque este es elmenor numero entero que cumple que 2k es mayor que 52.

Una sugerencia para determinar el numero de clases es usarla

Regla 2k

Elegir como numero de clases k, el menor entero tal que 2k

sea mayor que el numero de datos.

Por ejemplo, considere que se tienen n = 52 datos. Como

25 = 32 y 26 = 64,

entonces la regla 2k sugiere usar k = 6 clases porque este es elmenor numero entero que cumple que 2k es mayor que 52.

2 Determinar el ancho de clase.

1 En general se recomienda que el ancho de clase sea el mismopara todas las clases.

2 Entre mas grande sea el numero de clases mas pequeno es elancho de clase y viceversa.

3 Para obtener el ancho aproximado de clase usamos:

Ancho aproximado =M −m

Numero de clases

donde M es el valor maximo observado y m es el valormınimo observado.

4 El ancho obtenido con la formula anterior se redondea a unvalor mas adecuado a criterio de la persona que elabora ladistribucion de frecuencias.

Numero de clases

3 Establecer los lımites de clase.

1 Deben elegirse de modo que cada observacion pertenezca auna sola clase.

2 Se eligen los valores mınimo y maximo de cada intervalo demodo que sean numeros comodos de escribir y de leer.

3 Como las clases deben ser disjuntas, se debe tener cuidadocuando el lımite superior de una clase coindice con el lımiteinferior de la clase siguiente. Para evitar confusiones cuandoesta situacion se presenta usamos la notacion de intervalos.

Por ejemplo, si tres clases son [0, 10], (10, 20] y (20, 30],queda claro que el valor 10 pertenece a la primera clase y noa la segunda y que el valor 20 pertenece a la segunda y no ala tercera clase.

4 Determinar las frecuencias de clase.

1 La frecuencia de clase es el numero de observaciones quecaen en cada clase.

2 La frecuencia relativa la frecuencia de clase dividida entre elnumero de observaciones.

Observaciones

1 En la practica es usual repetir los pasos 1, 2 y 3 (haciendolas modificaciones pertinentes) hasta lograr numeroadecuado de clases en relacion al numero de datos con quese cuenta y de tal manera que los lımites y el ancho decada clase sean numeros lo mas comodo posible de escribiry de leer.

2 Conviene evitar que haya clases vacıas, esto es, clases cuyafrecuencia sea cero.

Observaciones

1 En la practica es usual repetir los pasos 1, 2 y 3 (haciendolas modificaciones pertinentes) hasta lograr numeroadecuado de clases en relacion al numero de datos con quese cuenta y de tal manera que los lımites y el ancho decada clase sean numeros lo mas comodo posible de escribiry de leer.

2 Conviene evitar que haya clases vacıas, esto es, clases cuyafrecuencia sea cero.

Ejemplo (tomado de [2])

Se tomo una muestra de 228 estudiantes de la UAMIztapalapa y se les pregunto, entre otras cosas, el tiempo enminutos que tardaron el dıa de la entrevista en transporte de sucasa a la universidad. Los datos que se obtuvieron son lossiguientes:

35 75 50 60 60 75 30 130 90 30 60 45 20 1510 60 180 210 30 220 30 90 90 120 60 150 75 45140 30 40 120 30 30 120 30 45 80 35 90 90 9045 80 100 50 70 130 40 90 60 60 120 90 120 4530 20 40 20 30 25 35 30 120 30 25 30 20 8570 120 60 10 24 30 25 30 30 120 25 30 30 12030 60 30 15 50 80 45 25 30 50 15 10 40 3030 20 45 30 10 30 75 30 30 40 105 45 90 2060 40 30 20 100 90 40 30 60 60 3 15 75 2045 60 80 25 60 60 120 40 20 10 20 45 60 9045 60 30 20 150 100 20 60 80 30 15 90 90 7590 90 75 130 90 105 60 15 90 20 45 5 45 3060 45 20 90 60 50 30 30 120 90 60 90 90 1545 120 110 90 60 90 70 90 5 15 40 30 30 4020 90 45 35 120 140 80 100 30 25 30 60 90 4030 15 80 30 25 75 15 90 20 40 120 30 40 4535 150 60 75

Se tienen 228 observaciones de las cuales el menor valor es 3 yel mayor es 220.

1 La regla 2k sugiere usar

k = 8 clases.

2 Como que M −m = 220− 3 = 217, con 8 clases el anchoaproximado de clase serıa:

Ancho aproximado =220− 3

8= 27.1.

Dado que los datos representan tiempos en minutos unabuena opcion es tomar un ancho de clase de 30 minutos.

1 La regla 2k sugiere usar k = 8 clases.

8= 27.1.

1 La regla 2k sugiere usar k = 8 clases.

8= 27.1.

3 Consideramos pues 8 clases de ancho 30.

4 Lımites de clase adecuados son los numeros 0, 30, 60,. . .,240. Tomamos 0 y no 3 como el primer lımite de claseporque permite obtener lımites de clase mas claros.

5 Ahora contamos el numero de observaciones que caen encada clase y determinamos la frecuencia, la frecuenciarelativa o la frecuencia porcentual, segun sea el caso.

4 Lımites de clase adecuados son los numeros 0, 30, 60,. . .,240.

Tomamos 0 y no 3 como el primer lımite de claseporque permite obtener lımites de clase mas claros.

Tabla de frecuencias de tiempode traslado de los alumnos de la UAM-I

Clase Intervalo Frecuencia

De 0 a menos de 30 [0, 30)De 30 a menos de 60 [30, 60)De 60 a menos de 90 [60, 90)De 90 a menos de 120 [90, 120)De 120 a menos de 150 [120, 150)De 150 a menos de 180 [150, 180)De 180 a menos de 210 [180, 210)De 210 a 240 [210, 240]

35 75 50 60 60 75 30 130 90 30 60 45 20 1510 60 180 210 30 220 30 90 90 120 60 150 75 45140 30 40 120 30 30 120 30 45 80 35 90 90 9045 80 100 50 70 130 40 90 60 60 120 90 120 4530 20 40 20 30 25 35 30 120 30 25 30 20 8570 120 60 10 24 30 25 30 30 120 25 30 30 12030 60 30 15 50 80 45 25 30 50 15 10 40 3030 20 45 30 10 30 75 30 30 40 105 45 90 2060 40 30 20 100 90 40 30 60 60 3 15 75 2045 60 80 25 60 60 120 40 20 10 20 45 60 9045 60 30 20 150 100 20 60 80 30 15 90 90 7590 90 75 130 90 105 60 15 90 20 45 5 45 3060 45 20 90 60 50 30 30 120 90 60 90 90 1545 120 110 90 60 90 70 90 5 15 40 30 30 4020 90 45 35 120 140 80 100 30 25 30 60 90 4030 15 80 30 25 75 15 90 20 40 120 30 40 4535 150 60 75

De 0 a menos de 30 [0, 30) 43De 30 a menos de 60 [30, 60)De 60 a menos de 90 [60, 90)De 90 a menos de 120 [90, 120)De 120 a menos de 150 [120, 150)De 150 a menos de 180 [150, 180)De 180 a menos de 210 [180, 210)De 210 a 240 [210, 240]

De 0 a menos de 30 [0, 30) 43De 30 a menos de 60 [30, 60) 81De 60 a menos de 90 [60, 90) 45De 90 a menos de 120 [90, 120) 34De 120 a menos de 150 [120, 150) 19De 150 a menos de 180 [150, 180) 3De 180 a menos de 210 [180, 210) 1De 210 a 240 [210, 240] 2

FrecuenciaIntervalo Frecuencia relativa

[0, 30) 43 0.189[30, 60) 81 0.355[60, 90) 45 0.197[90, 120) 34 0.149[120, 150) 19 0.083[150, 180) 3 0.013[180, 210) 1 0.004[210, 240] 2 0.009

Histograma

Es una representacion grafica de una distribucion defrecuencia para datos de tipo cuantitativo.

En un histograma:

1 El eje horizontal corresponde a las clases y el eje vertical alas frecuencias (o frecuencias relativas o frecuenciasporcentuales) de estas.

2 Las frecuencias de clase se representan por medio de barrasadyacentes.

Histograma

En un histograma:

Histograma

En un histograma:

El principal objetivo de un histograma es dar informacionacerca de la forma de la distribucion de los datos.

Un histograma se dice sesgado si su cola se extiende mas haciaun lado, ya sea a la izquierda o a la derecha. Un histograma sellama simetrico si su cola izquierda es la imagen de la derecha.

La siguiente figura fue tomada de [1].

Un histograma se dice sesgado si su cola se extiende mas haciaun lado, ya sea a la izquierda o a la derecha.

Un histograma sellama simetrico si su cola izquierda es la imagen de la derecha.

Ejemplos

Histogramas sesgados a la izquierda: calificaciones; nohay calificaciones mayores al 100 % y la mayorıa estanarriba de 70 % y solo hay unas cuantas bajas.

Histogramas sesgados a la derecha: precios de casas;unas cuantas casas caras crean el sesgo a la derecha.

Histogramas simetricos: los histogramas nunca sonperfectamente simetricos, pero en muchas aplicacionessuelen ser mas o menos simetricos, por ejemplo, caracteresmorfologicos como la estatura, los errores cometidos alhacer mediciones, etc.

Ejemplos

Distribucion normal

Mas adelante veremos con precision este concepto. Un primeracercamiento para determinar si un conjunto de datos tiene unadistribucion normal es la construccion de una distribucion defrecuencias y/o un histograma.

Una distribucion de frecuencias es aproximadamente normalsi:

1 Inicialmente las frecuencias son bajas, despues seincrementan a un valor maximo y luego disminuyen.

2 La distribucion debe ser aproximadamente simetrica, y lasfrecuencias deben distribuirse de manera uniforme a amboslados de la frecuencia maxima.

Distribucion normal

Ejemplo

A continuacion se muestra la distribucion de frecuencias delos datos obtenidos al medir la estatura de 1000 mujeresseleccionadas al azar.

Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10

← Frecuencias bajas,

(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324

← alcanzan un punto maximo,

(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6

← disminuyen.

Ejemplo

Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10 ← Frecuencias bajas,(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324

← alcanzan un punto maximo,

(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6

← disminuyen.

Ejemplo

Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10 ← Frecuencias bajas,(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324 ← alcanzan un punto maximo,(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6

← disminuyen.

Ejemplo

Estatura (cm) Frecuencia[142,147] 10 ← Frecuencias bajas,(147,152] 64(152,157] 178(157,162] 324 ← alcanzan un punto maximo,(162,167] 251(167,172] 135(172,177] 32(177,182] 6 ← disminuyen.

El correspondiente histograma es:

Referencias

[1] Anderson, D., Sweeney D. y Thomas W., Estadıstica paraadministracion y economıa, Thompson Editores, Mexico,2008, pp. 36-38.

[2] Castillo Morales, A., Estadıstica aplicada, Trillas, Mexico,2013, pp. 42-44.

[3] Triola, M., Estadıstica, Pearson Educacion, Mexico, 2009,pp. 75-86.

Estadística descriptiva: tablas y gráficas

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