Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

Variable Aleatoria

Se utiliza una letra mayúscula, por ejemplo X, para denotar una variable aleatoria, y su correspondiente minúscula, x en este caso, para denotar a cada uno de sus valores.

Cada valor de X representa un evento que es un subconjunto del espacio muestral para el experimento dado.

Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades, o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existen, se llama espacio muestral discreto.

Emily Rosali Lara Álvarez

• Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles.

Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de línea, se llama espacio muestral continuo.• Una variable aleatoria se llama variable aleatoria

continua si puede tomar valores en una escala continua.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Hay muchos problemas en donde se desea calcular la

probabilidad de que el valor observado de una variable

aleatoria X sea menor o igual que algún número real x. La distribución acumulada o función de

distribución F(x) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) es

Como consecuencia

EXPERIMENTO AL LANZAR DOS VECES UNA MONEDA

C

C

C

S

S

S

Eventos

CC

CS

SC

SS

X:NUMERO DE CARAS QUE CAEN AL HACER DOS LANZAMIENTO.

X f(x) F(x)

0 1/4 1/4

1 2/4 3/4

2 1/4 1

Sumas 1

𝑆= {𝐶𝐶 ,𝐶𝑆 ,𝑆𝐶 ,𝑆𝑆 }Espacio muestral:

f(0)

f(1)

f(2)

LANZAMIENTO DE UNA MONEDA DOS VECES

0 1 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Histograma

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETASEntre las distribuciones de probabilidad discretas mas empleadas, se encuentran la Uniforme Discreta, Poisson, Binomial, Binomial Negativa, Geometrica, Hipergeometrica, Multinomial, Hipergeometrica Multivariada.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

La función f(x) es una función de densidad de probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales R, si

Cuando X es continua, se puede notar que

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

Entre las distribuciones de probabilidad continuas mas empleadas, se encuentran la uniforme, exponencial, Gamma, Beta, Normal, T-student, Chi-cuadrado, F-fisher.

INFERENCIA ESTADISTICADe acuerdo con el diccionario de la

Real Academia Española, inferir significa "sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa".

Al conjunto de procedimientos estadísticos en los que interviene la aplicación de modelos de probabilidad y mediante los cuales se realiza alguna afirmación sobre poblaciones con base en la información producida por muestras se le llama Inferencia Estadística o Estadística Inferencial.

Población  Muestra

Probabilidad

Estadística

Inferencial

En un problema estadístico el experimentador, dispone de las características de una muestra, y esta información lo capacita para sacar conclusiones respecto de la población.

VARIABLE ALEATORIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

CURVA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ. Tiene un máximo en la media µ. Crece hasta la media µ y decrece a partir de

ella. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos

de inflexión. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES La distribución de probabilidad de un estadístico se llama

distribución muestral. Esta distribución depende del tamaño de la población, el

tamaño de las muestras y el método de elección de las muestras.

Existen distribuciones muestrales de y S2, que son el mecanismo a partir del cual se hace inferencias de los parámetros μ y σ2.

La distribución muestral de con tamaño muestral n es la distribución que resulta cuando un experimento se lleva a cabo una y otra vez y resultan los diversos valores de .

Esta distribución muestral describe la variabilidad de los promedios muestrales alrededor de la media de la población μ.

Se aplica el mismo principio en el caso de la distribución de S2.

Esta distribución produce información acerca de la variabilidad de los valores de s2 alrededor de σ2 en experimentos que se repiten.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE MEDIAS

Teorema del Límite Central. Si es la es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con media μ y varianza σ2, entonces la forma límite de la distribución de

Conforme n→ ∞, es la distribución normal estándar n (z; 0,1).

La aproximación normal para X por lo general será buena:

Si n≥ 30 sin importar la forma de la población.

Si n< 30, sólo si la población no es muy diferente a una distribución normal.

Si se sabe que la población es normal, la distribución muestral de la media seguirá una distribución normal exacta, no importa que tan pequeño sea el tamaño de las muestras.Inferencias sobre la media de la población:

Una aplicación muy importante del teorema del límite central es la determinación de valores razonables de la media de la población μ.

Se utiliza para la prueba de hipótesis, estimación, control de calidad, y otros.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROMEDIOS:

Teorema. Si se extraen al azar muestras independientes de tamaño n1y n2de dos poblaciones, discretas o continuas, con medias μ1y μ2, y varianzas y , respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las medias, está distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza dadas por

De aquí se obtiene Z, es aproximadamente una variable normal estándar

La aproximación normal para X1–X2por lo general será buena:

Si n1≥ 30 y n2≥ 30 sin importar la forma de las dos poblaciones.Si n1< 30 y n2 < 30, sólo si las dos poblaciones no son muy diferentes a una distribución normal.Si se sabe que las dos poblaciones son normales, la distribución muestral de la diferencia de las medias seguirá una distribución normal exacta, no importa que tan pequeño sea el tamaño de las muestras.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE S2

Si S2 es la varianza de la muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal que tiene la varianza σ2, entonces la estadística

Tiene distribución ji cuadrado con v= n–1 grados de libertad

La tabla Chi-cuadrado da los valores de para diversos valores de α y v. Las áreas α son los encabezados de las columnas; los grados de libertad v se dan en la columna izquierda; y las entradas de las tabla son lo valores χ2.

GRÁFICO DE CHI-CUADRADO

DISTRIBUCIÓN TTeorema: Sean X1, X2,…, Xn variables aleatorias independientes que son normales con media μ y desviación estándar σ. Sea

Entonces la variable aleatoria

Tiene una distribución t con v= n–1 grados de libertad. A la distribución t se le suele llamar como distribución t de Student.

GRÁFICO

La distribución de T es similar a la distribución de Z, pues ambas son simétricas alrededor de una media de cero y ambas tienen forma de campana. La diferencia entre las dos distribuciones es que la distribución t es más variable que la distribución normal estándar, ya que los valores de T dependen de las fluctuaciones de y S2, mientras que los valores de Z dependen sólo de de una muestra a otra. La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de T depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor que 1.Cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito, n → ∞ por lo que v= ∞, las dos distribuciones serán la misma.

DISTRIBUCIÓN FLa distribución F encuentra enorme aplicación en la comparación de varianzas muestrales. Las aplicaciones se encuentran en problemas que involucran dos o más muestras.Teorema. Si y son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianza y , respectivamente, entonces

Tiene una distribución F con v1 = n1–1 y v2 = n2–1 grados de libertad. La distribución F se usa en situaciones de dos muestras para extraer inferencias acerca de las varianzas de población.

GRÁFICO

La curva de la distribución F depende no sólo de los dos parámetros v1y v2, sino también del orden en el que se establecen. Una vez que se dan estos dos valores, se puede identificar la curva.