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Estadıstica Actuarial: Regresion

Ejercicios Recomendados

Examenes de 2007-2010

Tareas del CC

Edicion revisadaSeptiembre 2010

Queda terminantemente prohibida la reproduccion no autorizada de esta recopilacion, y la dis-tribucion no autorizada de copias de la misma, ası como cualquier otra infraccion de los derechosque sobre esta recopilacion corresponden al departamento de Econometrıa y Estadıstica de laFacultad de Ciencias Economicas y Empresariales de la UPV/EHU.

c©UPV/EHU 2000. Edicion revisada c©2010.

Autores:Departamento de Economıa Aplicada III

Indice

EJERCICIOS RECOMENDADOS 4

EXAMENES de los ANOS 2007/2010 40

PROBLEMA LCAF-2007/2008. 1 (Feb-2008) 40







TAREAS DEL LABORATORIO INFORMATICO 48

TAREA 1 48

TAREA 2 49

TAREA 3 49

TAREA 4 51

TAREA 5 51

TAREA 6 52

3

EJERCICIOS RECOMENDADOS

MODELO LINEAL SIMPLE

PROBLEMA 1 Sean las variables Xt, coste medio de las reclamaciones por siniestrosrealizados en t y Yt los beneficios de la empresa en t, ambos en miles de millones. Disponemosde la siguiente muestra:

X 2 3 1 5 9Y 4 7 3 9 17

Para el modelo:Yt = β1 + β2Xt + ut t = 1, . . . , 5 ut ∼ N(0, σ2)

1. Interpreta los coeficientes β1 y β2.

2. Escribe la matriz de regresores y el vector de valores de la variable endogena.

3. Calcula la recta de regresion muestral MCO.

4. Interpreta las estimaciones de los parametros.

5. Calcular los valores de Yt, ut , yt.

6. Estima la varianza de la perturbacion.

7. Calcula el coeficiente de determinacion,R2 e interpreta su significado.

8. Contrasta la significatividad de la variable coste medio de las reclamaciones.

9. Considerense los siguientes dos estimadores de la pendiente de la regresion:

β2,MCO β2 =Y5 − Y3

X5 −X3

a) Calcular los dos estimadores.

b) Razonar cual de los dos estimadores es “mejor”.

10. Calcular el intervalo de confianza del verdadero valor de Yp con α = 5% dado que Xp = 10.

PROBLEMA 2 Dados los siguientes momentos muestrales obtenidos con una muestra detamano T=100: ∑

y2t = 2000

∑x2

t = 10∑

xtyt = 100

X = 100 Y = 1200

4

1. Estimar por MCO el siguiente modelo lineal simple:

Yt = β1 + β2Xt + ut ut ∼ N(0, σ2u) (1)

2. Interpretar los parametros β1, β2 y sus correspondientes estimadores.

3. Estimar la varianza de la perturbacion.

4. Estimar la matriz de varianzas y covarianzas de los parametros estimados del modelo.

5. Calcular e interpretar el coeficiente de determinacion.

6. Analizar la significatividad de los regresores del modelo.

7. Contrastar la siguiente hipotesis nula:

Ho : β2 = 1 versus Ha : β2 < 1

PROBLEMA 3 Se han calculado las siguientes cantidades en una muestra de tamanoT = 100: ∑

Xt = 11, 34∑

X2t = 12, 16

∑Yt = 20, 72

∑Y 2

t = 84, 96∑

XtYt = 22, 13

Estimar las siguientes regresiones:

1. Yt = β1 + β2Xt + ut

2. Xt = α1 + α2Yt + εt

3. ¿Son los estimadores de β1 y β2 iguales a los de α1 y α2? ¿En que caso coincidiran?

PROBLEMA 4 Se ha estimado el siguiente modelo de regresion simple, utilizando el criteriode MCO:

Vt = 1767,61 + 7,48Wt R2 = 0,80 (2)

Los estadısticos t para el contraste de que el parametro correspondiente es igual a cero resultanser iguales a 1.4 para el termino constante y 18.5 para la variable W . Dado que el valor delestadıstico para el contraste de significacion del termino constante nos lleva a no rechazar lahipotesis nula, se formula y estima el siguiente modelo:

Vt = 11,71Wt R2 = 0,91 (3)

Como el mayor coeficiente de determinacion corresponde a la segunda regresion, se opta porelegir el modelo (3). ¿Te parece adecuada esta decision?

PROBLEMA 5 Supongamos que en la regresion mınimo cuadratica ordinaria de Y sobre Xel coeficiente estimado de X es 1.2. Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, razonandolas respuestas:

5

1. Tomando distintas muestras para la variable Y pueden obtenerse otras estimaciones.

2. La distribucion de estas estimaciones debe estar centrada en torno al verdadero valor 1.2.

PROBLEMA 6 Un profesor de Econometrıa encarga a sus estudiantes que elijan la mejorestimacion posible de un parametro, dados los distintos estimadores propuestos en los libros deEconometrıa. El estudiante A propone un estimador insesgado tal que:

β∗ = 5,0 V (β∗) = 8,0 R2∗ = 0,86

El estudiante B propone tambien un estimador insesgado con el que se obtuvo:

β∗∗ = 6,0 V (β∗∗) = 4,0 R2∗∗ = 0,43

Como no llegan a un acuerdo sobre el estimador que deben proponer finalmente al profesor,piden consejo a un companero. Este, muy diplomatico, les aconseja utilizar la media de las dosestimaciones, es decir, β = 5,5. ¿Cual de estas tres estimaciones hubieras elegido tu? ¿Por que?

PROBLEMA 7 Obtener la esperanza matematica y varianza del siguiente estimador delparametro de pendiente en el MLS cuando se cumplen todas las hipotesis basicas:

β = βMCO +c

T

donde c es una constante arbitraria.

PROBLEMA 8 Se quiere estimar un modelo que explique el ahorro generado, S, en funciondel tipo de interes, r, de la forma:

St = α + βrt + ut

1. Para estimar con mayor precision β, si pudieras elegir la muestra en diferentes perıodos,¿la elegirıas durante un perıodo de tiempo en el cual los tipos de interes fueran fluctuanteso durante un perıodo en el cual los tipos de interes fueran relativamente constantes?

2. ¿Que ocurrirıa con los estimadores MCO de los coeficientes de la regresion si el ahorro hafluctuado muy poco en torno a un valor constante durante el perıodo muestral?

PROBLEMA 9 Supongamos la siguiente relacion entre las variables Y , X:

Yt = βXt + ut

donde X es una variable no estocastica y ut ∼ NID(0, σ2). Se definen dos estimadores para elparametro desconocido β:

6

β∗ =∑

Yt∑Xt

β =∑

XtYt∑X2

t

1. Demuestra que ambos estimadores son insesgados.

2. ¿Cual de los dos estimadores elegirıas? ¿Por que?

MODELO LINEAL GENERAL

PROBLEMA 10 Supongamos que la variable Y se relaciona con las variables X1, X2, X3

mediante la ecuacion:

Yt = β1X1t + β2X2t + β3X3t + ut (4)

Donde ut ∼ iid(0, σ2IT ), los siguientes datos vienen dados por la tabla:

X1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1X2 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 0X3 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 0Y 3 6 10 5 10 12 5 10 10 8

1. Interpreta los parametros del modelo.

2. Escribe la matriz de regresores.

3. Estima la funcion de regresion muestral.

4. Estima la varianza de las perturbaciones.

5. Estima la matriz de varianzas y covarianzas de los parametros estimados.

6. Calcula e interpreta el R2.

7. Contrasta la significatividad individual y conjunta de los regresores.

8. Calcular el intervalo de confianza del verdadero valor de Yp con α = 5% dado que X2p = 1,X3p = −1.

PROBLEMA 11 En el modelo siguiente:

Yt = β0 + β1X1t + β2X2t + β3X3t + ut ut ∼ N(0, σ2) (5)

donde se dan las siguientes sumas y productos en desviaciones a la media para 24 observaciones:

7

∑y2

t = 60∑

ytx1t = 7∑

x1tx2t = 10∑x2

1t = 10∑

ytx2t = −7∑

x1tx3t = 5∑x2

2t = 30∑

ytx3t = −26∑

x2tx3t = 15∑x2

3t = 20

Se pide:

1. Contrastar las hipotesis:H0 : β1 = 1 H0 : β2 = 1 H0 : β3 = −2

2. Contrasta la hipotesis: H0 : β1 + β2 + β3 = 0

3. Contrasta la hipotesis:

H0 :

β1

β2

β3

=

11−2

4. Explica la diferencia entre los tres contrastes.

PROBLEMA 12 Con la siguiente tabla de momentos muestrales contrastar, utilizando elestadıstico de sumas residuales de cuadrados, la H0 : β2 + β3 = 0 en el modelo:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + ut

yt x2t x3t x4t

yt 10 3 -3 -2x2t 3 10 4 -2x3t -3 4 8 0x4t -2 -2 0 6

PROBLEMA 13 Para un conjunto de 21 individuos se quiere estudiar la relacion entre elprecio mensual de la poliza de un bien asegurado Yi y el valor asegurado del bien, X2i ambasexpresadas en unidades monetarias. Para ello se propone el siguiente modelo de regresion lineal:

Yi = β1 + β2X2i + ui i = 1, 2, . . . , 21 (6)

1. Estima los coeficientes de la regresion y sus varianzas respectivas a partir de los siguientesdatos: ∑

X2iYi = 35, 98∑

X22i = 641, 5

∑Y 2

i = 2, 02∑

X2i = 110, 1∑

Yi = 6, 16∑

x22i = 64, 26

∑y2

i = 0, 213

8

2. Contrasta la significacion de la regresion (6) para un α = 5 %.

3. A continuacion el investigador introduce una nueva variable en el modelo que recoge el costemedio mensual de las reclamaciones presentadas, X3i. Estimamos de nuevo el modelo (6),introduciendo una variable explicativa X3. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

Yi = −0, 017 + 0, 05X2i + 0, 07X3i + ui R2 = 0, 9985

Contrasta la significacion de la variable explicativa X3 para un α = 5 %

PROBLEMA 14 Un individuo desea invertir en bolsa en la empresa A. El individuo creeque la rentabilidad por euro de las acciones de cada empresa en un momento dado dependera dedos variables: el volumen de beneficios reales obtenidos por la misma durante ese periodo y elvolumen de activos medio mantenido en ese mismo periodo. Por ello decide estimar el siguientemodelo para la empresa A:

Y At = β1 + β2X

A2t + β3X

A3t + uA

t t = 1, . . . , T (7)

donde:Y A

t son los rendimientos por cada 100 euros invertidos en acciones de la empresa en el periodot.XA

2t son los beneficios reales de la empresa en el periodo t, en miles de millones de euros.XA

3t es el volumen de activos de la empresa en el periodo t, en miles de millones de euros.Se cumplen todas las hipotesis basicas y se dispone de la siguiente informacion para unamuestra de 20 observaciones de la empresa A:

∑X2t = 15

∑X3t = 200

∑Yt = 470

∑x2tyt = 47, 5∑

x22t = 10, 75

∑x2

3t = 3500∑

x2tx3t = 70∑

x3tyt = 100∑Y 2

t = 11295∑

y2t = 250 T = 20

Nota: Al final del ejercicio tienes informacion util.

1. Calcula las estimaciones MCO de los parametros de la ecuacion (1). Interpretalas.

2. Completa y razona:

∑ut =

E(ut) =

∑u2

t =

σ2 =

3. Estima la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores MCO.

4. Calcula e interpreta el coeficiente de determinacion.

5. ¿Son los beneficios reales de la empresa una variable util para explicar los rendimientos?

9

6. ¿Es el volumen de activos una variable significativa para explicar los rendimientos?

7. ¿Son ambas variables conjuntamente significativas?

8. Contrasta la hipotesis que beneficios y volumen influyen en la misma cuantıa y sentido enlos rendimientos.

9. Suponiendo que el inversor conoce los siguientes datos para el periodo T +1: XA2,T+1 = 2 y

XA3,T+1 = 5. Segun el modelo, ¿ que valor alcanzaran los rendimientos medios en el periodo

de prediccion?

10. Supongamos ahora que el inversor comenta con un amigo la inversion que piensa hacer yeste dispone de informacion sobre las mismas variables para la empresa B, tal que:

Y Bt = 16, 09 + 14, 32XB

2t − 0, 265XB3t (8)

σ2B = 1,71

y en el periodo T + 1: XB2,T+1 = 1 y XB

3,T+1 = 2 ¿En cual de las dos empresas decidira in-vertir?

Nota: puedes necesitar la siguiente informacion:

(X ′AXA)−1 =

0, 1109 −0, 0588 −0, 00168−0, 0588 0, 1070 −0, 00213−0, 00168 −0, 00213 0, 00032

(X ′

BXB)−1 =

0, 0883 −0, 0506 −0, 00091−0, 0506 0, 1717 −0, 00598−0, 00091 −0, 00598 0, 00051

PROBLEMA 15 Supongamos que el precio de la prima anual de un seguro sobre rentas decapital variable se determina por la siguiente ecuacion:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1976, . . . , 1998 ut ∼ NID(0, σ2) (9)

donde:Yt: precio anual de la prima, en miles de euros.X2t: cantidad invertida en el ano t en renta variable, en miles de euros.X3t: ındice de la bolsa de Madrid en el ano t.Si disponemos de la siguiente informacion muestral:

∑x2

2t = 12∑

x23t = 12

∑x2tx3t = 8∑

ytx2t = 10∑

ytx3t = 8∑

y2t = 10

Se pide:

1. Escribe el criterio de estimacion MCO y la funcion objetivo aplicada al modelo (1):

2. Interpreta los parametros del modelo:

10

3. Estima por MCO los parametros desconocidos β2 y β3. Escribe la Funcion de RegresionMuestral.


5. Calcula una medida de la bondad del ajuste e interpretala.

6. Para un nivel de significatividad del 5%, ¿es la cantidad invertida en renta variable signi-ficativa para explicar el precio de la prima? ¿Lo es el ındice de la Bolsa de Madrid?

7. Para un nivel de significatividad del 5 %, ¿son las variables exogenas conjuntamente signi-ficativas?

8. Contrasta la hipotesis nula Ho : β2 + β3 = 1:

9. Si a priori conocieras que β2 + β3 = 1.

a) ¿Como estimarıas mas eficientemente los parametros del modelo?. Razona tu respues-ta.

b) Lleva a cabo lo que has propuesto en el apartado anterior.

10. Suponiendo que el asegurador conoce los siguientes datos para el periodo T +1: X2,T+1 = 2y X3,T+1 = 5. Segun el modelo, ¿ que valor alcanzara el precio medio de la prima en elperiodo (T + 1)?

PROBLEMA 16

La expresion Rβ = r, donde R es una matriz de constantes de orden (qxk) y r un vector (qx1),se emplea para definir q restricciones lineales sobre los k parametros del modelo de regresion.Sobre el modelo lineal general:

Yt = β1 + β2X2t + . . . + β6X6t + ut (10)

Define los valores de R, q y r que permiten expresar las siguientes restricciones:

1. La variacion explicada por el modelo es cero.

2. Una de las variables exogenas no aporta capacidad explicativa.

3. Los ultimos cuatro betas son cero.

4. β2 + β3 = 1

5. β2 = β3 = 1

6. β2 = 23β4

PROBLEMA 17 Partiendo de la especificacion general siguiente:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, . . . , T ut ∼ NI(0, σ2) (11)

11

1. Escribe el modelo en forma matricial y desarrolla las matrices correspondientes.

2. Escribe la expresion matricial del estimador MCO de los coeficientes β1, β2 y β3. Desarrollalos componentes de las matrices involucradas.

3. Escribe la expresion del estadıstico de contraste para contrastar Ho : Rβ = r su distribu-cion y la regla de decision correspondiente.

4. Escribe R, r, q, para los siguientes casos:

a) H0 : β2 = β3 = 0,5, β1 = 1

b) H0 : β2 = β3

c) H0 : β2 = 10β3+2

d) H0 : 2β1 + 2β2 + 7β3 = 50

e) H0 : 2β1 + 2β2 + 7β3 = 50, β2 = β3

PROBLEMA 18 La funcion de produccion Cobb-Douglas tiene la forma

Y = AKβ1Lβ2

Dada una muestra de tamano N,

1. ¿Es el modelo lineal? ¿Que metodo se podrıa usar para estimar los parametros?

2. Interpreta los coeficientes del modelo.

3. ¿Como contrastarıas si la empresa tiene rendimientos constantes a escala?

4. Si Ho es cierta, ¿que metodo mejora la estimacion de los parametros? ¿por que?

PROBLEMA 19 Supon que el verdadero modelo de regresion es:

Yt = β1 + β2X2t + ut (12)

pero nosotros anadimos la variable X3 y estimamos el siguiente modelo:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut (13)

Discute si el coeficiente de determinacion R2 y el corregido R2 seran mayores en el modelo (12)que en el (13).

12

PROBLEMA 20 Se han obtenido los siguientes resultados al estimar dos rectas de regresion:

Yt = 1,72 + 0,37(0.03)

Xt R2X = 0,71 (14)

Yt = 2,37 + 0,81(0.35)

Zt R2Z = 0,22 (15)

1. Sabiendo que las variables X y Z no estan correlacionadas entre sı, y que Y = 20, indicacuales seran las estimaciones de los coeficientes y el valor del R2 al estimar por MCO lasiguiente ecuacion de regresion:

Yt = β1 + β2Xt + β3Zt + ut (16)

2. ¿Se puede decir que la suma de cuadrados residual del modelo (16) es igual a la suma delas SRC de los modelos (14) y (15)? ¿Por que?

PROBLEMA 21 Indica el significado de cada una de las siguientes expresiones y establecesu relacion con σ2:

1. 1T u′u

2. 1T u′u

3. E(u′u)

4. E(uu′)

PROBLEMA 22 En el modelo de regresion:

Yt = α + βXt + γZt + ut

donde β +γ = 1, la estimacion de α, β y γ por mınimos cuadrados restringidos no es equivalentea la estimacion de los parametros α y γ por MCO en el modelo:

Yt −Xt = α + γ(Zt −Xt) + ut

porque en el primer caso estimamos tres parametros y en el segundo solo dos. ¿Cierto o falso?¿Por que?

PROBLEMA 23 Se dispone de una base de datos anuales para EEUU en el periodo de1959-1994 con la que estudiar la dependencia del consumo agregado respecto de la renta salarialy otras rentas. Las variables disponibles son las siguientes:C: Consumo real agregado en billones de dolares de 1992.W : Renta salarial total en terminos reales, en billones de dolares de 1992P : Otras rentas, en terminos reales, en billones de dolares de 1992.

Ademas se dispone de la siguiente informacion:

13

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 36 observaciones1959-1994 Variable dependiente: Ct

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst -222,158 19,5527 -11,362 <0,00001 ***W 0,693262 0,0326064 21,262 <0,00001 ***P 0,735916 0,0488218 15,073 <0,00001 ***

Media de la var. dependiente = 2811,18Desviacion tıpica de la var. dependiente. = 945,543Suma de cuadrados de los residuos = 38976,5Desviacion tıpica de los residuos = 34,3672R-cuadrado = 0,998754R-cuadrado corregido = 0,998679Estadıstico F (2, 33) = 13230,3 (valor p < 0,00001)Estadıstico de Durbin-Watson = 0,969426Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,494451Log-verosimilitud = -176,851Criterio de informacion de Akaike (AIC) = 359,703Criterio de informacion Bayesiano de Schwarz (BIC) = 364,453Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = 361,361

Matriz de covarianzas de los coeficientes de regresion

const W P382,308 -0,0364456 -0,149065 const

0,00106317 -0,00155217 W0,00238357 P

1. ¿Que quiere decir que las variables esten medidas en terminos reales?

2. Escribe la ecuacion correspondiente al modelo que se esta estimando.

3. Escribe la correspondiente Funcion de Regresion Muestral:

4. Interpreta el coeficiente estimado asociado a la variable W . ¿Te parece adecuado su signo?

5. Interpreta la bondad del ajuste:

6. Estima la varianza de la perturbacion:

7. Utilizando el valor-p.

a) ¿Son las variables Renta Salarial y Otras Rentas significativas individualmente?

b) ¿Lo son conjuntamente?

8. Calcula el intervalo de confianza para el coeficiente asociado a la variable Otras Rentas.Interpretalo.

14

9. Contrasta la hipotesis de que un dolar extra de Renta Salarial incrementa el consumoreal agregado en la misma cantidad que un dolar extra en Otras Rentas.

PROBLEMA 24 Un agente inmobiliario quiere analizar los factores que infuyen en el preciode las viviendas en Houston. Para ello dispone de una muestra correspondiente a 321 viviendassobre las siguientes variables:P Precio de venta de la vivienda en miles de dolares U.S.A.A Anos de antiguedad de construccion de la vivienda.S Superficie de la vivienda en metros cuadrados.B Numero de banos.

En la siguiente tabla se resumen los resultados de estimacion de un modelo de regresion linealgeneral para determinar el precio de la vivienda:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 321 observaciones 1–321Variable dependiente: P

Variable Coeficiente Desv. tıpica Estadıstico t valor p

const 8,76 6,26 1,41 0,16A −0,31 0,06 −5,41 0,00S 0,33 0,04 9,17 0,00B 12,25 3,21 3,82 0,00

Media de la var. dependiente 96,10D.T. de la variable dependiente 43,22Suma de cuadrados de los residuos 281066Desviacion tıpica de los residuos (σ) 29,78R2 0,5299R2 corregido 0,5254F (3, 317) 119,096

Matriz de covarianzas de los coeficientesconst A S B39,14 -0,14 -0,05 -9,93 const

0,003 -0,0005 0,08 A0,001 -0,08 S

10,29 B

1. Escribe el modelo de regresion lineal general propuesto por el agente inmobiliario.

2. Escribe la recta de regresion muestral.

3. Manteniendose el resto de las caracterısticas de la vivienda constantes, ¿en cuantos dolaresse estima el valor de un cuarto de bano adicional?, ¿por que?

15

4. Escribe la expresion del coeficiente de determinacion. ¿Cual es su valor? Interpreta elcoeficiente de determinacion.

5. Contrasta la significacion conjunta de las variables.

6. Contrasta la significatividad individual de la variable antiguedad.

7. Propon un estimador insesgado para la varianza de las perturbaciones. Obtenlo.

8. ¿Existe evidencia en la muestra de que, ceteris paribus, se esta dispuesto a pagar 500dolares por un metro cuadrado adicional?

9. El agente inmobiliario piensa que el efecto negativo sobre el precio de la antiguedad deuna vivienda se ve compensado por el efecto de un aumento de la superficie. Dada lainformacion con la que cuentas, ¿esta este agente equivocado?

10. Dada la conclusion que has obtenido en el apartado anterior, ¿propondrıas un modeloalternativo para la determinacion del precio?, ¿por que?

PROBLEMA 25 Comenta con claridad las siguientes afirmaciones:

1. El estimador insesgado β con varianza V1 proporciona siempre mejores estimaciones queel estimador sesgado β∗ con varianza V2 donde V1 > V2.

2. En el modelo de regresion lineal general la matriz de covarianzas estimada del estimadorMCO de β es la misma para cualquier muestra que tomemos.

3. Las ecuaciones normales del modelo de regresion lineal general implican que el vector deresiduos MCO es ortogonal al vector de valores estimados Y .

4. El estimador mınimo cuadratico ordinario es siempre mas eficiente que el estimador mıni-mo cuadratico restringido, en el sentido de tener varianza mınima dentro de la clase deestimadores linales e insesgados.

5. Si Yt y X2t son variables que no estan correlacionadas, es decir,∑

(Yt− Y )(X2t− X2) = 0,entonces la estimacion MCO del coeficiente β2 en el modelo:

Yt = β1 + β2X2t + · · ·+ βkXkt + ut t = 1, 2, . . . , T

es cero.

6. En el MRLG, el supuesto de normalidad de las perturbaciones es necesario para poderestimar los parametros del modelo.

7. Bajo los supuestos clasicos del modelo de regresion lineal general, el estimador MCOde β sigue una distribucion normal multivariante centrada en el verdadero valor de losparametros β.

8. Dada una muestra de T observaciones, la ecuacion de regresion poblacional pasa por elpunto de medias (Y , X1, . . . , Xk).

16

9. En un modelo de regresion lineal simple donde ut ∼ iid(0, σ2), si se pudiera elegir entredos muestras de valores para la variable X, una de ellas con

∑(Xt − X)2 = 100 y la otra

con∑

(Xt − X)2 = 1000, se elegirıa la segunda muestra porque la precision al estimar losparametros serıa mayor.

10. Los residuos mınimo-cuadratico ordinarios de una regresion de Y sobre la variable expli-cativa X son ortogonales a X, pero no lo son a Y.

11. Se puede estimar por MCO un modelo con k variables explicativas con un tamano muestralde T = 5.

12. En un modelo de regresion lineal simple no existe ninguna relacion entre el estimador MCOde la pendiente de la regresion β y el coeficiente de correlacion simple entre la variabledependiente Y y la variable independiente X, rXY .

13. Si existe la siguiente relacion entre las variables X, Y, Z:

r2XY = 0,8 r2

XZ = 0,001 r2Y Z = 0,001

podemos concluir que el coeficiente r2XY es una mala medida de la correlacion entre las

variables X e Y y se deberıa utilizar r2XY.Z .

14. Si los valores muestrales de Xt en el modelo Yt = α+βXt +ut tienen media cero , entoncesla covarianza muestral de los estimadores MCO de α y β es cero.

15. La inexistencia de normalidad en las perturbaciones aleatorias no afecta a los contrastesde hipotesis.

PROBLEMA 26 Se dispone de una base de datos de 1959 a 1994 sobre el consumo agregadoCt, Rentas no salariales Yt, y rentas procedentes del trabajo, WAGESt con los cuales estudiarla evolucion del consumo en un determinado paıs. La descripcion de las variables es la siguiente:

C Consumo agregado real (en billones de dolares de 1992)Y Rentas no salariales (en billones de dolares de 1992)WAGES Rentas del trabajo (o salario) (en billones de dolares de 1992)

1. Especifica un modelo que permita estudiar la dependencia del consumo agregado conrespecto de las rentas salariales y no salariales e incluya termino independiente.

2. Especifica claramente las hipotesis de comportamiento del componente irregular que hasincluido en el modelo propuesto.

Los resultados de la estimacion del modelo que propone el investigador son los siguientes:

17

Estimaciones MCO utilizando las 36 observaciones 1959-1994Variable dependiente: Ct

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst -120,450 44,8344 -2,687 0,01122 **Y 0,669745 0,0169729 39,460 <0,00001 ***WAGES 0,0464035 0,0188695 2,459 0,01934 **

Media de la var. dependiente = 2811,18Desviacion tıpica de la var. dependiente. = 945,543Suma de cuadrados de los residuos = 33217,1Desviacion tıpica de los residuos = 31,7266R-cuadrado = 0,998938R-cuadrado corregido = 0,998874Estadıstico F (2, 33) = 15527,1 (valor p < 0,00001)

3. a) ¿Que criterio de estimacion esta utilizando el investigador?b) Escribe la funcion objetivo correspondiente.c) Escribe explıcitamente la expresion del estimador utilizado:

β1

β2

β3

......

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

d) Escribe la Funcion de Regresion Muestral. Interpreta los coeficientes estimados.


5. Interpreta la bondad del ajuste del modelo.

6. Para un nivel de significatividad del 5%, ¿son las variables exogenas conjuntamente sig-nificativas? No olvides escribir la hipotesis nula y alternativa, el estadıstico de contraste ysu distribucion.

7. Para un nivel de confianza del 95 % ¿son las variables exogenas individualmente significa-tivas? No olvides escribir la hipotesis nula y alternativa, el estadıstico de contraste y sudistribucion.

La matriz R de correlaciones entre las variables es la siguiente:

C Y WAGES1,0000 0,9994 0,9741 C

1,0000 0,9714 Y1,0000 WAGES

8. Interpreta los coeficientes anteriores. ¿Crees que existen problemas de colinealidad entrelas variables exogenas del modelo estimado? Razona tu respuesta.


18

Restriccion:b[Y] + b[WAGES] = 1Estimaciones restringidas:

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst 247,724 463,897 0,534 0,59681Y 0,371620 0,169647 2,191 0,03544 **WAGES 0,628380 0,169647 3,704 0,00075 ***

Desviacion tıpica de los residuos = 331,326

9. Contrasta la hipotesis nula H0 : β2 + β3 = 1. No olvides escribir la hipotesis nula yalternativa, el estadıstico de contraste y su distribucion.

MULTICOLINEALIDAD

PROBLEMA 27 Comenta la siguiente afirmacion:“Si al estimar un modelo de regresion lineal la matriz de datos presenta un alto grado demulticolinealidad, la varianza de los estimadores MCO sera muy grande y, por tanto, seranineficientes.”

PROBLEMA 28 Supon que se formula el siguiente modelo:

Yt = β1X1t + β2X2t + β3(X1t + X2t) + β4X21t + ut ut ∼ N(0, σ2) (17)

1. Indica que parametros son estimables y cuales no.

2. Supon que conocemos el valor que toma el parametro β3, por ejemplo β3 = β30. Indica siesta informacion adicional varıa la conclusion anterior.

PROBLEMA 29 Supon que se formula el siguiente modelo:

Yt = α0 + α1X1t + α2(7X1t) + α3X21t + ut (18)

1. Indica que parametros son estimables y cuales no.

2. Explica intuitivamente porque no podemos estimar todos los coeficientes.

3. Por lo tanto, ¿se puede predecir bien E(Yt)?

19

PROBLEMA 30 En el modelo:

Yt = α + βXt + γZt + ut ut ∼ N(0, σ2) (19)

surgen los mismos problemas si Xt + Zt = 5 que si β + γ = 5, ¿cierto o falso? ¿Por que?

PROBLEMA 31 Un economista estima el siguiente modelo:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, . . . , 36 ut ∼ N(0, σ2) (20)

Obteniendo los siguientes resultados:

Yt(estadıstico t)

= 0, 98 + 1, 33(0,27)

X2t + 0, 78(0,98)

X3t R2 = 0, 989

1. ¿Te parece que el modelo puede tener algun problema? ¿Cual? ¿En que basas tus respues-tas?

2. ¿Como cambiarıan tus conclusiones si en la estimacion anterior el coeficiente de determi-nacion hubiera sido R2 = 0, 12?

PROBLEMA 32 Sea el modelo:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut ut ∼ NID(0, 1) (21)

de la regresion auxiliar de X2 sobre X3 se obtiene:

X2t = 0, 5 + 1, 1875X3t (22)

y ademas sabemos que∑

x22t = 25,

∑x2

3t = 16.

1. Expresa la varianza del estimador MCO de β2 en funcion del coeficiente de correlacionmuestral entre las variables X2 y X3.

2. Calcula el coeficiente de correlacion muestral entre X2 y X3.

3. ¿Puede surgir algun problema en la estimacion por mınimos cuadrados ordinarios de losparametros β1, β2 y β3? Razona tu respuesta.

4. ¿Como cambia tu respuesta al apartado 3) si de la regresion auxiliar se obtuviera X2t =0, 5 + 0, 125X3t?

PROBLEMA 33 Sea Yt = β0 + β1X1t + β2X2t + β3X3t + ut con X1t = X2t − 1.

1. Propon un modelo estimable si ademas se conoce que β1 = 1.

20

2. ¿Y si se conoce que X1t = 1∀t?

PROBLEMA 34 Se han estimado, mediante MCO, los siguientes modelos para la inversionpara una muestra de 1968 a 1980:

It( ˆdes(βi))

= 0,6656 + 0,0424(0.0125)

Xt + 0,0610(0.0049)

Kt−1 R24 = 0,9383 (23)

It( ˆdes(βi))

= 0,7199 + 0,0290(0.0136)

Xt + 0,0012(0.012)

Xt−1 + 0,0258(0.0136)

Xt−2 + 0,0631(0.0051)

Kt−1 R25 = 0,9468(24)

1. Contrasta la significatividad individual de los parametros de ambos modelos e interpretalos resultados.

2. ¿Alguna de las variables es mas importante que el resto para la determinacion de la inver-sion?

3. ¿Cual de los dos modelos elegirıas? Razona tu respuesta.

PROBLEMA 35 Se dispone de informacion trimestral sobre las ventas de diferentes tipos deseguros de una aseguradora (en millones de euros) de 1995 a 2004. Como variables explicativas sedispone de informacion acerca del precio medio de los seguros en euros en el ano correspondiente( X2 ), del precio medio de la competencia (X3) y de los gastos realizados en publicidad por laaseguradora (X4). Se han obtenido los siguientes resultados de la estimacion MCO:

Yt

(desv(βi))

= β1

( ˆdesv(β1))

− 2, 9161(1,519)

X2t + 1, 6270(0,9689)

X3t

R2 = 0, 1924 (25)

Con la informacion muestral que se muestra a continuacion:

∑40t=1 Yt = 137,897

∑40t=1 X2t = 38,707

∑t=1 X3t = 43,407

∑t=1 x2

2t = 0,1799∑

t=1 x23t = 0,4426

∑t=1 x2tyt = −0,6459

∑t=1 x3tyt = 0,937516

∑t=1 x2tx3t = −0,07455

∑Y 2

t = 491,0543

1. Calcula el coeficiente de correlacion simple entre X2 y X3. Dados los resultados, ¿podemospensar en la existencia de un problema de multicolinealidad? Razona tu respuesta.

2. Si impones que β3 = 1 ¿Cual es el modelo restringido? Escribe su ecuacion:

a) Estima el modelo restringido.

21

b) En el modelo restringido, calcula la Suma de cuadrados de los residuos, la suma decuadrados total y el coeficiente de determinacion.

c) En el modelo restringido, estima la matriz de varianzas y covarianzas de los estima-dores restringidos.

3. Supongamos que X4t es una variable significativa para explicar el comportamiento de Yt

¿cual son las propiedades del estimador MCO obtenido en (25)?, ¿Que validez tienen loscontrastes realizados en el apartado 1)?. Razona claramente tu respuesta.

ERROR DE ESPECIFICACION

PROBLEMA 36 Sea el modelo correcto de regresion lineal :

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut ut ∼ N(0, σ2) (26)

y el estimado incorrectamente

Yt = β?1 + β?

2X2t + vt (27)

donde X2t y X3t son ortogonales,

1. ¿es β2?

insesgado?

2. ¿es β2?

= β2?

3. ¿es ˆV ar(β2?) = ˆV ar(β2)? ¿Por que?

4. ¿es valido el test de la t para contrastar la hipotesis H0 : β?2 = 0?

PROBLEMA 37 Si el verdadero modelo es:

Yt = β1 + β2X2t + ut ut ∼ N(0, σ2) (28)

y se estima:

Yt = β?1 + β?

2X2t + β?3X3t + vt vt ∼ N(0, σ2) (29)

1. Comenta la siguiente afirmacion:“ β?3 es siempre cero independientemente de la muestra

utilizada”.

2. Demuestra que E(β?3) = 0

22

VARIABLES FICTICIAS

PROBLEMA 38 En un estudio sobre el numero de siniestros automovilısticos declaradosse han obtenido los siguientes resultados estimando por MCO:

Yi = 40, 5 + 10, 5D1i + 0, 4Xi (30)

Y ahora proponemos el modelo alternativo:

Yi = αD2i + α?D1i + βXi + ui (31)

donde

D1i ={

1 si usa el automovil para trabajar0 en caso contrario

D2i ={

1 si no usa el automovil para trabajar0 en caso contrario

explica y halla los valores numericos de α, α? y β en (31) con la informacion facilitada por (30)

PROBLEMA 39 Supongamos que queremos analizar los salarios de una famosa empresaauditora y para ello hemos tomado una muestra de 500 empleados, de los cuales 300 son licen-ciados en Ciencias Actuariales.Se postula el siguiente modelo:

Wi = α + βDi + ui i = 1, 2, . . . , 500

donde Wi es el salario del empleado i-esimo y Di es una variable ficticia que toma el valor 1 siel empleado es licenciado y 0 en el caso contrario.Si el salario medio muestral de los licenciados es de 25.000 euros al ano y el salario mediomuestral de los que no son licenciados es 15.000 euros al ano:

1. Calcula αMCO y βMCO.

2. ¿Como contrastarıas si existe diferencia salarial entre los licenciados y los que no lo son?

3. Si ademas en esta muestra dispones de informacion sobre el sexo del empleado i-esimo¿como contrastarıas la hipotesis de que no existe en esta empresa discriminacion salarialpor razones de sexo?

PROBLEMA 40 En una muestra de 8 observaciones se quiere estudiar la dependencia delprecio de una prima de seguro obligatorio de automovil respecto de la renta del propietario y supaıs de matriculacion, distinguiendo entre vehıculos matriculados en Europa o el resto del mundo.

23

Europa Prima pagada Renta Resto del mundo Prima pagada Renta150 8.000 130 5.000180 11.000 100 3.000120 9.000 110 6.000160 12.000 140 10.000

1. Estima el modelo que exprese dicha dependencia. Interpreta los coeficientes del modelo.

2. Contrasta las siguientes hipotesis:

a) La renta no es una variable significativa.

b) El paıs de matriculacion no es una variable significativa.

PROBLEMA 41

Un investigador quiere analizar la inversion (Ii) realizada en planes de pensiones en la ComunidadAutonoma Vasca en funcion del salario percibido (Wi) y el sector (privado o publico) en el que setrabaja. Con una muestra de 500 individuos, de los cuales la mitad trabaja en el sector publico,se ha estimado por MCO el siguiente modelo:

Ii(t− est)

= 2, 7 + 0, 31(0, 22)

PUi + 0, 47(3, 7)

Wi R2 = 0, 71 (32)

donde PUi toma valor 1 si el individuo i-esimo trabaja en el sector publico y cero en caso con-trario.

1. Deriva los estimadores utilizados en la estimacion del modelo (32).


3. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativas.

4. Dados los resultados de los contrastes, ¿que propiedades tienen los estimadores de loscoeficientes del modelo (32)?, ¿por que?

Mas tarde, el investigador sospecha que la variable sexo puede afectar al incremento dela inversion media ante aumentos unitarios en el salario. Con este objetivo estima lossiguientes modelos:

Ii(t− est)

= 3, 87 + 2, 28(13, 8)

PUi + 0, 63(7, 26)

Wi + 0, 21(17, 4)

WiSi R2 = 0, 82 (33)

Ii(t− est)

= 4, 7 + 0, 32(5, 82)

Wi + 0, 15(1, 87)

WiSi R2 = 0, 75 (34)

donde Si toma valor 1 si el individuo i-esimo es hombre y cero en caso contrario.

24

5. Dadas las regresiones (32), (33) y (34), selecciona la especificacion mas adecuada paraanalizar la inversion en los planes de pensiones. Razona detalladamente tu proceso deseleccion.

6. ¿Que sucederıa en la estimacion de los modelos (33) y (34) si la muestra estuviera com-puesta solo por hombres?

7. Suponiendo que eliges el modelo (34) ¿que propiedades tienen los estimadores?

PROBLEMA 42 Para analizar la relacion entre los gastos de consumo, C, el ingreso dispo-nible, Y, y el sexo del cabeza de familia, S, se han estimado, con T=12, cuatro modelos cuyosresultados han sido:

a) Ct = 1663, 6 + 0, 75(21,12)

Yt R2 = 0, 978

b) Ct = 186, 12 + 0, 82(16,56)

Yt + 832, 09(1,82)

Dt R2 = 0, 984

c) Ct = 709, 18 + 0, 79(18,11)

Yt + 0, 05(1,51)

YtDt R2 = 0, 983

d) Ct = −184, 7 + 0, 83(13,65)

Yt + 1757, 99(1,03)

Dt − 0, 06(-0,57)

YtDt R2 = 0, 985

donde Dt es una variable ficticia que toma el valor 1 si el cabeza de familia es mujer y 0 en casocontrario. Entre parentesis aparecen los estadısticos t muestrales:

1. Interpreta los coeficientes del modelo d).

2. Contrasta si el termino constante es diferente segun sea el sexo del cabeza de familia.

3. Contrasta si el coeficiente asociado a Y es diferente segun sea el sexo del cabeza de familia.

4. Contrasta si tanto el coeficiente asociado a Y como el termino constante son diferentessegun sea el sexo del cabeza de familia.

5. ¿Cual es el modelo que mejor se ajusta a los datos?

PROBLEMA 43 Se quiere estudiar como influye el nivel de educacion en los salarios (Y )percibidos por los trabajadores de una empresa. En la empresa hay 100 empleados, de los cuales6 no tienen estudios, 38 tienen unicamente estudios primarios, 15 tienen estudios universitariosy el resto se incorporo a la empresa tras finalizar sus estudios secundarios. Para introducir elnivel de estudios en el modelo se definen las siguientes variables ficticias:

Pi ={

1 si i tiene al menos estudios primarios0 en caso contrario

25

Si ={

1 si i tiene al menos estudios secundarios0 en caso contrario

Ui ={

1 si i tiene al menos estudios universitarios0 en caso contrario

De modo que para un empleado que, por ejemplo, no haya realizado estudios primarios Pi =0,Si = 0 y Ui = 0 y para un universitario Pi = 1, Si = 1 y Ui = 1.

1. ¿Es estimable el modelo Yi = β1 + β2Pi + β3Si + β4Ui + Vi, con Vi ∼ NID(0, σ2)? Razonala respuesta. En caso de que no sea estimable, propon uno similar que sı lo sea.

2. Interpreta los parametros β1 y β4 en el modelo anterior, o en el modelo estimable propuesto.

3. Plantea un contraste para la hipotesis de que tener estudios primarios no afecta al salarioque se cobra. Escribe la hipotesis nula, el estadıstico de contraste y la regla de decision.

PROBLEMA 44 Plantea el modelo de determinacion del salario del trabajador de la empresaA en funcion de sus anos de experiencia, categorıa profesional (empleado, tecnico, directivo) ysexo (masculino, femenino).


2. Escribe la funcion de salarios de una tecnica.

3. Suponiendo que la empresa tiene 40 trabajadores, los cuales tienen la siguiente distribucionpor categorıas 5 tecnicas y 2 directivas, 4 directivos, 2 tecnicos y el resto son empleados.Escribe la matriz de regresores.

PROBLEMA 45

Un empleado de BBK-Pena opina que los pisos de Avenida Mazarredo alcanzan en las subastasun precio considerablemente superior al de cualquier otra zona de Bilbao. Un colega de Lagunarono esta de acuerdo con esta afirmacion, por lo que analizan las ventas de pisos de dicha callerealizadas por sus empresas en los ultimos anos. El numero total de pisos subastados fue de 10,de los que 4 estaban enclavados en la calle Mazarredo. Ambos creen que el tamano del piso yel precio inicial fijado en la subasta son tambien variables determinantes del precio finalmentealcanzado en la venta.

1. Especifica un modelo que exprese el precio final de venta de los pisos en funcion de losfactores citados y que permita contrastar la hipotesis del empleado de BBK.

2. Escribe la matriz de regresores del modelo que has propuesto.

3. ¿Como llevarıas a cabo el contraste? Escribe la hipotesis nula, la hipotesis alternativa, elestadıstico de contraste, su distribucion y la regla de decision.

26

PROBLEMA 46 Se quieren analizar las ventas de los veinte modelos de automovil masvendidos del mundo. Resulta que estos modelos estan encuadrados en solo cuatro firmas auto-movilısticas: BMW, General Motors, Renault y Fiat.

1. Especifica un modelo que relacione las ventas anuales de los diferentes modelos en funcionde las empresas que los fabrican.

2. Interpreta los parametros del modelo.

3. Explica como contrastarıas la hipotesis nula de que todos esos modelos venden, en terminosesperados, la misma cantidad de dinero al ano. Escribe la hipotesis nula en la forma Rβ = r,indica cuales son los grados de libertad y proporciona una interpretacion del contraste.

PROBLEMA 47

Se dispone de una muestra de 100 personas de las que se conocen sus gastos de consumo totalanual (en miles de euros), su genero y su actitud ante el tabaco (fumar o no fumar).

1) Plantea el modelo que te permita recoger la posible influencia del genero y la actitudante el tabaco, sobre los gastos totales bajo la hipotesis de independencia entre estas dosvariables. Describe con detalle todos los elementos.

2) Explica como contrastarıas la hipotesis de que ser fumador hace aumentar los gastostotales.

3) ¿Como recogerıas la posible dependencia entre el genero y la variable fumar/no fumar?Explica como contrastarıas la hipotesis de que las dos variables son independientes.

4) Si el resultado del contraste anterior te indica que se rechaza la hipotesis nula, ¿que pro-piedades tendrıan los estimadores de los coeficientes del modelo propuesto en el apartado1)?

5) En base al modelo que has propuesto en el apartado 3), ¿como calcularıas el valoresperado del gasto de una mujer fumadora? ¿y un intervalo del 95 % de confianza para elgasto de consumo total de una mujer fumadora?

PROBLEMA 48 Supon que se quieren explicar los rendimientos de los ındices bursatiles,Ri, de varios paıses a traves de su localizacion geografica y de los tipos de interes reales, Ii,considerando para estos ultimos que es suficiente con especificar si los tipos son positivos onegativos. Los datos aparecen en la tabla adjunta.

1. Especifica un modelo para el comportamiento de Ri con la informacion que se da.

2. Supon ahora que solo se considera importante en cuanto a la localizacion si el paıs esta ono en Europa (i.e. Europa v.s. Resto del Mundo) y reespecifica el modelo.

27

3. Estima el modelo que has propuesto en el apartado anterior.

4. Supon que, para Portugal, el tipo de interes es positivo y el rendimiento de su ındice bursatildel 35%. ¿Consideras que el mercado bursatil en Portugal tiene el mismo comportamientoque en los otros paıses europeos?

Rendimiento t/i

Ri Ii

Europa

...Alemania 10% positivo

...Francia 20% positivo

...ReinoUnido 15% positivo

...Italia 40% positivoAmerica...EEUU 20% negativo...Canada 22% negativoSudesteAsiatico...Japon −5% positivo...HongKong 30% positivo...Singapur 35% negativo...Taiwan 22% negativo

PROBLEMA 49 Una gestorıa comercializa 100 polizas de seguro. Para tener informacionacerca del tipo de poliza mas solicitada utiliza el siguiente modelo:

Ni = β1Hi + β2Vi + β3Mi + β4Ai + ui i = 1, . . . , 100

donde

Ni es el numero de polizas suscritas del producto i-esimo.

Hi ={

1 si la poliza pertenece a seguros del hogar0 en caso caso contrario.

Vi ={

1 si la poliza pertenece al ramo de seguros de vida0 en caso caso contrario.

Mi ={

1 si la poliza pertenece al ramo de seguros medicos0 en caso caso contrario.

Ai ={

1 si la poliza pertenece a seguros automovilısticos0 en caso caso contrario.

Las ventas para el ano 1994 se resumen en:∑

i∈Hogar

Ni = 380∑

i∈V ida

Ni = 150∑

i∈Medicos

Ni = 70∑

i∈Automoviles

Ni = 500

28

i=100∑

i=1

N2i = 20000

100∑

i=1

Hi =100∑

i=1

Vi =100∑

i=1

Mi =100∑

i=1

Ai = 25

1. Interpreta los parametros del modelo propuesto.

2. Estima los parametros por MCO.

3. Contrasta si hay diferencias significativas en el numero de suscripciones segun el ramo deseguros al que pertenecen.

4. Halla un intervalo de confianza del 95 % para el numero de suscripciones de polizas medicas.

PROBLEMA 50 Se quiere estudiar la relacion entre el numero de incendios forestales yla temperatura en una comarca catalana. Para ello se utilizan datos diarios de ambas variablespara el ano 1999 y se estiman los siguientes modelos:

(1) Yt = 105 + 400Dt + 4, 7Xt + 8, 3DtXt + u1t σ21 = 14, 71

(2) Yt = 205 + 43, 5Xt + 9, 0DtXt + u2t σ22 = 20, 15

(3) Yt = 124 + 557Dt + 7, 3Xt + u3t σ23 = 15, 14

(4) Yt = 350 + 7, 7Xt + u4t σ24 = 27, 05

siendo Dt ={

1 si t∈ Julio, Agosto o Septiembre0 en caso contrario

1. Interpreta los coeficientes del modelo (1).

2. El contraste del modelo (3) contra el (4) nos ha llevado a rechazar el modelo (4). Efectualos contrastes necesarios para decidir cual es el modelo al que mejor se ajustan los datos.

PROBLEMA 51

Se han utilizado datos trimestrales para estimar la funcion:

Ct = α + β1D1t + β2D2t + β3D3t + β4D4t + ut (35)

donde: Dit ={

1 si t pertenece al i-esimo trimestre0 en caso contrario

1. Indica que parametros son estimables y cuales no, razonando la respuesta. ¿Y si se imponela restriccion

∑βi = 0?

2. Un investigador impone la restriccion α = 0 y otro impone la restriccion β4 = 0. ¿Seranlas estimaciones de βi diferentes en ambos casos? ¿por que?

29

PROBLEMA 52

Considera el siguiente modelo y su estimacion:

Yt = β1D1t + β2D2t + β3D3t + β4D4t + β5Xt + ut t = 1, . . . , T

Yt = −5,7D1t − 1,2D2t + 4,1D3t + 3,2D4t + 0,8Xt t = 1, . . . , T

T=55∑T

t=1 u2t = 450

Dit ={

1 si t ∈ i-esimo trimestre0 en caso contrario

i = 1, . . . , 4

1. Plantea la hipotesis nula de que no existe efecto estacional.

2. Lleva a cabo el contraste sabiendo que:T∑

t=1

y2t = 691,59

T∑

t=1

x2t = 291

T∑

t=1

xtyt = 203,7

PROBLEMA 53

Para estudiar las ventas de un determinado modelo de moto se especifica el siguiente modelo deregresion lineal:

Yt = β0 + β1S1t + β2S2t + β3S3t + β4Xt + ut (36)

donde Sit ={

1 si t ∈ triemestre i-esimo0 en caso contrario

1. Explica que tipo de comportamiento refleja esta regresion e interpreta cada uno de loscoeficientes del modelo.

2. ¿Existe alguna forma alternativa de especificar el comportamiento reflejado por el modeloanterior? Comentala.

3. Los resultados obtenidos de estimar el modelo (36) con 16 observaciones trimestrales hansido:

Yt = 0, 07(3,7)

+ 0, 43(3,37)

S1t + 6, 55(3,4)

S2t − 2, 83(-3,37)

S3t − 0, 9(-0,27)

Xt R2 = 0, 68 (37)

A la vista de los resultados ¿se puede concluir que la variable Yt presenta un comporta-miento estacional?

30

PROBLEMA 54

Una empresa editorial ha recogido la siguiente informacion:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Yi 8 10 12 12 14 20 22 5 6 10 12 20 24Hi 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1ESi 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0EUi 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

donde Yi es el numero de horas semanales dedicadas a la lectura por el individuo i-esimo, Hi

es una variable que toma el valor 1 si el individuo i-esimo es Hombre, ESi es una variable quetoma el valor 1 si el nivel maximo de estudios alcanzado por el individuo i-esimo es la EnsenanzaSecundaria y EUi es una variable que toma el valor 1 si el nivel maximo de estudios alcanzadopor el individuo i-esimo es la Ensenanza Universitaria. De dicha informacion se deduce que:

Y =∑13

1 Yi

13= 13, 4615

13∑

1

(Yi − 13, 4615)2 = 457, 24∑

H

Yi = 77∑

ES

Yi = 48∑

EU

Yi = 86

∑

M,EP

Yi = 30∑

M,ES

Yi = 26∑

M,EU

Yi = 42∑

H,EP

Yi = 11∑

H,ES

Yi = 22∑

H,EU

Yi = 44

donde M=Mujer, EP= el nivel maximo de estudios alcanzado es Ensenanza Primaria.

a) El 4o individuo de la muestra ¿que numero de horas semanales dedica a la lectura? ¿Cualesson su sexo y nivel de estudios?

b) Obten la media muestral del numero de horas semanales dedicadas a la lectura de losgrupos (M,ES) y (H,EU).

Un economista de la editorial desea saber si la polıtica publicitaria de la empresa debe centrarseen las mujeres, por lo que ha estimado el siguiente modelo:

Yi = 9, 00(1, 04)

− 2, 00(1, 163)

Hi + 4, 00(1, 401)

ESi + 13, 50(1, 401)

EUi (38)

R2 = 0, 9147∑

u2i = 39, 00

c) Contrasta si realmente la polıtica publicitaria de la empresa debe ser diferente para lasmujeres.

Otro economista de la editorial opina que, dadas las medias muestrales, una especificacion masadecuada es:

Yi = 10, 00(1, 03)

− 4, 50(1, 636)

Hi+ 3, 00(1, 636)

ESi+11, 00(1, 636)

EUi+ 2, 50(2, 427)

(HiESi)+ 5, 50(2, 427)

(HiEUi)

R2 = 0, 95079∑

u2i = 22, 50 (39)

31

d) ¿Cual es la diferencia fundamental entre las especificaciones de los modelos (7) y (11)?Escribe los datos de las variables HiESi y HiEUi.

e) ¿Cuales son los efectos diferenciales entre los niveles educativos Ensenanza Universitariay Ensenanza Secundaria en el modelo (11)?¿Son iguales para los dos sexos?

f) Contrasta al nivel de significacion del 5% si el efecto diferencial del sexo es comun paratodos los niveles educativos.

g) Contrasta al nivel de significacion del 5% que ni el sexo ni el nivel educativo son relevantespara explicar el numero de horas dedicadas semanalmente a la lectura.

PROBLEMA 55

Un estudiante desea analizar el crecimiento de la produccion en la Union Europea (Yt). Paraello propone el siguiente modelo

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + ut

donde X2t es el tipo de interes nominal, X3t es el tipo de interes real y X4t es la tasa de inflacion.

a) Si el estudiante calcula el tipo de interes real como la diferencia entre el tipo de interesnominal y la tasa de inflacion, ¿que problema encontrara a la hora de estimar los coeficien-tes del modelo por MCO? ¿Y si a la hora de obtener el tipo de interes real ha cometidoun error de calculo de forma que la relacion anterior entre tipo de interes nominal, reale inflacion no se cumple de forma exacta, sino que el coeficiente de correlacion entre lostipos de interes nominal y real es 0,95? Describe ambos casos con detalle.

b) En los dos casos descritos en a), si se sabe con certeza que β3 = β2− β4, ¿como estimarıaslos coeficientes del modelo? Descrıbelo en detalle y comenta las propiedades del estimadorpropuesto.

PROBLEMA 56

Una agencia de viajes quiere realizar un estudio sobre el presupuesto que asignan las familias ala realizacion de viajes al extranjero. Ha observado que las familias con mas renta destinan masdinero a los viajes, pero a medida que aumenta el numero de hijos en la familia, esa asignacionpresupuestaria disminuye. Para ello, propone un modelo en el que analiza el presupuesto familiardestinado a este tipo de viajes, Yi, en funcion de la renta familiar, Ri, y el numero de hijos, Hi.

Yi = β1 + β2Ri + β3Hi + ui i = 1, 2, ..., 8 u ∼ N(0, σ2I) (40)

Se dispone de la siguiente informacion muestral, donde el presupuesto y la renta estan medidos

32

en miles de euros:

i Yi Ri Hi

1 2 18,5 32 4 24 23 3 22,5 24 4 27,5 35 6 31,5 16 6 36 37 3 28,5 28 4 33,5 2

(X ′X)−1 =

5, 63655 −0, 1313 −0, 830−0, 1313 0, 00424 0, 00606−0, 830 0, 00606 0, 2944

(X ′Y ) =

3293570

a) Estima el modelo propuesto por mınimos cuadrados ordinarios. ¿Tienen los coeficientes lossignos esperados? b) Obten una medida de la bondad del ajuste e interpreta el resultado.

c) ¿Crees que las variables explicativas son conjuntamente significativas? Realiza el contrasteque creas oportuno.

d) ¿Crees que es aceptable la idea de que una familia con una renta de 36.000 euros y 4 hijos,destine a viajes al extranjero 7.000 euros?

e) Contrasta conjuntamente si el incremento esperado en el presupuesto cuando la renta aumentaen 1.000 euros es 0,25 y el incremento esperado en el presupuesto cuando el matrimonio tieneun hijo mas es -0,5.

f) Suponiendo que fuese cierta la hipotesis del contraste del apartado e), propon y estima unmodelo que le permita recoger dicha hipotesis en su estudio a la agencia de viajes. ¿Aconsejarıastrabajar con este modelo a partir de ahora? ¿Por que?

PROBLEMA 57

El dueno de una cadena de cines en una ciudad costera pretende saber como influyen en elnumero de espectadores de sus salas , N (miles), dos factores: el empleo existente en la ciudad ,E (cientos de miles), y el numero de otros espectaculos que se programen, O (miles). Proponeel siguiente modelo

Nt = α0 + α1Et + α2Ot + ut ut ∼ NID(0, σ2) (41)

Dispone de informacion trimestral relativa a las tres variables que va desde el primer trimestrede 1985 hasta el primer trimestre de 2002, ambos inclusive. El resumen de dicha informacionaparece a continuacion:

(X ′X)−1 =

1,5334 −0,2122 0,007340,0320 −0,00379

0,00329

∑Nt = 2279, 4

∑NtEt = 16838,6∑

NtOt = 14193,8∑

(Nt − N)2 = 2435

a) Estima el modelo propuesto por el metodo de mınimos cuadrados ordinarios.

b) Calcula una medida de la bondad del ajuste e interpretala.

33

c) Estima la matriz de varianzas y covarianzas del estimador de los coeficientes.

d) ¿Son las variables explicativas conjuntamente significativas?

e) Contrasta al nivel de significacion del 5 % que la programacion de otros espectaculos tieneinfluencia sobre el numero de espectadores en las salas de cine.

f) Para poder planificar la proxima campana, el dueno hace el supuesto de que va a tener34.500 espectadores, dado que el numero de empleos sera de 754.000 y que estan previstosotros 8.800 espectaculos. Compruebalo.

Analizando los resultados con un amigo suyo, observan una pauta de comportamiento diferenteen los distintos trimestres. Por ello, piensan que no ha tenido en cuenta que la epoca del anomarca tambien la asistencia al cine, debido a que se va menos cuando hace mejor tiempo. Nuestrohombre decide incluir este factor.

g) Define las variables que creas necesarias para tener en cuenta este factor y propon unmodelo que incluya el posible efecto de la epoca del ano.

h) Interpreta los coeficientes de tu modelo. ¿Cuantas de las variables que has definido incluyesen el mismo? ¿Por que?

A los pocos dıas, su amigo le plantea la siguiente duda: a su ciudad acuden muchos turistas enverano, lo que aumenta el empleo temporal que suele cubrirse con gente joven, en general masaficionada al cine. Si esto es cierto, la composicion del empleo en verano puede tener influenciasobre la asistencia al cine.

i) ¿Como definirıas una variable para tener en cuenta esta interrelacion? ¿Como la incluirıasen el modelo?

En lınea con lo planteado, el empresario escoge y estima tres modelos diferentes de entre todoslos posibles, con los siguientes resultados:

Nt(σ

βi)

=β1︷︸︸︷

23,78(2,92)

+β2︷︸︸︷

1,371(0,421)

Et −β3︷︸︸︷

0,317(0,135)

Ot +β4︷︸︸︷

4,571(0, 658)

D3t,

69∑

t=1

u2t = 359,89 (42)

Nt(σ

βi)

=δ0︷︸︸︷

25,0(2,895)

+δ1︷︸︸︷

1,204(0,418)

Et −δ2︷︸︸︷

0,316(0,134)

Ot +δ4︷︸︸︷

0,624(0, 088)

EM3t,

69∑

i=1

u2t = 355,23 (43)

Nt(σ

βi)

=µ0︷︸︸︷

25,43(3,404)

+µ1︷︸︸︷

1,146(0,483)

Et −µ2︷︸︸︷

0,316(0,135)

Ot −µ3︷︸︸︷

1,613(6,552)

D3t +µ4︷︸︸︷

0, 841(0, 887)

EM3t,

69∑

i=1

u2t = 354,90 (44)

donde

34

D3t es una variable ficticia que toma el valor 1 en el tercer trimestre (verano) y cero enlos demas casos.

EM3t es una variable que incorpora el efecto estacional del empleo que se ha discutido enel apartado anterior (y tendra la interpretacion que le hayas atribuido anteriormente).

j) Dados los resultados anteriores, ¿hay evidencia de que existe efecto estacional? Si el efectoestacional existe ¿que forma toma?, ¿cual de los modelos propuestos te parece optimo pararecogerlo?, ¿por que? Lleva a cabo los contrastes precisos.

k) A la vista de los resultados obtenidos hasta el momento ¿es correcto utilizar los valores delos coeficientes que has obtenido en (41)?, ¿por que?, ¿que propiedades tienen?

l) ¿Como explicas los resultados del modelo (44) a la vista del (42) y el (43)? ¿Te parecelogico obtener este resultado?, ¿cual puede ser su causa?

PROBLEMA 58

Considera el modelo de regresion:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut ut ∼ N(0, σ2u) (45)

A partir de una muestra de 10 observaciones se han obtenido los siguientes resultados:

∑10t=1 Yt = 61, 5

∑10t=1 X2t = 530

∑10t=1 X3t = 58, 8

∑10t=1 Y 2

t = 385, 21∑10

t=1 X22t = 30196

∑10t=1 X2

3t = 353, 62

∑10t=1 X2tYt = 3376, 2

∑10t=1 X3tYt = 368, 97

∑10t=1 x2

2t = 2106

∑10t=1 x2

3t = 7,876∑10

t=1 x2tyt = 116,7∑10

t=1 x3tyt = 7,35

∑10t=1 x2tx3t = 125,5

1) Comprueba que la Funcion de Regresion Muestral es:

Yt = 0, 5023− 0, 0039X2t + 0, 9959X3t (46)

2) Calcula una medida de la bondad del ajuste realizado, empleando los coeficientes estimadosindicados en (46). Interpreta el resultado.

3) Contrasta la significatividad individual y conjunta de las variables explicativas X2 y X3.

4) Dados los resultados de los contrastes anteriores, ¿podemos pensar en la existencia de unproblema de multicolinealidad? Razona tu respuesta.

35

5) ¿Crees posible que un aumento unitario en X3 haga aumentar la media poblacional de Yen una unidad? Realiza el contraste oportuno.

6) Si impones que β3 = 1:

6.1) ¿Cual es el modelo restringido?

6.2) Dada la informacion muestral estımalo. Calcula la Suma de los Residuos al Cuadrado(SRC), la Suma Total de Cuadrados (STC) y la Suma Explicada de Cuadrados (SEC).

6.3) ¿Como estimarıas la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores restrin-gidos de β1 y β2?

PROBLEMA 59 Se quiere estudiar la dependencia del salario mensual con respecto a losanos de experiencia trabajados, el genero del trabajador y del tipo de trabajo realizado (oficina,mantenimiento, artesanal y cualificado) en un grupo de 49 individuos.

1. Especifica un modelo que permita estudiar dicha dependencia.

2. ¿Cuantos conjuntos de variables ficticias y con cuantas categorıas cada uno se cree queinfluyen en el salario mensual?

3. ¿Cual es el salario esperado de un individuo hombre con 5 anos de experiencia y dedicadoa labores de mantenimiento? (Supon que la perturbacion de tu modelo tienen media cero).

4. ¿Cual es el salario esperado de una mujer con 10 anos de experiencia en labores artesanales?(Supon que la perturbacion de tu modelo tienen media cero).

Se dispone de informacion para los 49 individuos anteriores sobre las variables: WAGE, salariomensual en euros, EXPER, el numero de anos del trabajador en la empresa y las variablesficticias:GENDER, que toma el valor 1 si el individuo es un hombre y 0 en el caso contrario,CLERICAL, que toma el valor 1 si el individuo realiza trabajo de oficina y 0 en caso contrario,MAINT , que toma el valor 1 si el individuo realiza trabajo de mantenimiento y 0 en caso con-trario,CRAFTS, que toma el valor 1 si el individuo realiza trabajo artesanal y 0 en caso contrario.

Con esta informacion se han obtenido los siguientes resultados de estimacion por mınimos cua-drados ordinarios.

Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 49 observaciones 1-49Variable dependiente: WAGE

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst 2093,84 184,529 11,347 <0,00001 ***GENDER 629,497 152,758 4,121 0,00017 ***CLERICAL -917,282 176,336 -5,202 <0,00001 ***

36

MAINT -1353,92 185,480 -7,300 <0,00001 ***CRAFTS -855,649 179,442 -4,768 0,00002 ***EXPER 25,4990 9,94433 2,564 0,01392 **

Suma de cuadrados de los residuos = 6,37683e+006Desviacion tıpica de los residuos = 385,095R-cuadrado = 0,683879R-cuadrado corregido = 0,647121

Matriz de covarianzas de los coeficientes de regresionGENDER CLERICAL MAINT CRAFTS EXPER23334,9 11205,5 -9055,42 -6628 258,975 GENDER

31094,3 11166,6 12697,9 433,745 CLERICAL34402,7 19626 -399,214 MAINT

32199,3 -258,801 CRAFTS98,889 EXPER

5. La muestra disponible, ¿es de serie temporal o de seccion cruzada? ¿por que?

6. Escribe la ecuacion del modelo que se ha estimado.

7. ¿Como interpretas el valor estimado 2093,84?

8. ¿Como interpretas el valor estimado -917,28?

9. ¿Como interpretas el valor estimado 25,499?

10. ¿Existe discriminacion salarial por razones de sexo? Razona tu respuesta apoyandote enresultados estadısticos.

11. ¿Son los anos de experiencia una variable significativa para explicar el salario?

12. Contrasta que no hay diferencia salarial entre los trabajadores especializados y los artesa-nos.

13. Contrasta que no existen diferencias salariales entre los trabajadores de mantenimiento ylos oficinistas.

Se dispone ademas de los siguientes resultados de estimacion MCO para modelos alternativos:

WAGEi( ˆdes(βi))

= 1820, 20(92,61)

R2 = 0 (1)

WAGEi( ˆdes(βi))

= 1580, 29(157,39)

+ 27, 15(14,58)

EXPERi R2 = 0, 0686508 (2)

WAGEi( ˆdes(βi))

= 1366, 27(160,09)

+ 525, 632(168,808)

GENDERi + 19, 80(13,60)

EXPER R2 = 0, 230784 (3)

14. Contrasta que la unica variable util para explicar el salario son los anos de experiencia.

37

15. Contrasta no hay diferencias significativas en el salario medio por el tipo de trabajo reali-zado.

16. ¿Cual es la media muestral de la variable salario?

17. ¿Que proporcion de la variacion del salario explicamos con la variacion de los anos deexperiencia?

18. ¿Que modelo esta mejor especificado? ¿En que te basas?

19. ¿Que propiedades tiene el estimador MCO en el modelo (2)? ¿Tiene validez la inferenciarealizada en el? Razona tu respuesta.

PROBLEMA 60 Se quiere analizar las ventas (en cientos de unidades) de los ciclomotoresen Bilbao (Ci) en funcion del sexo del comprador y el precio del seguro en cientos de euros, Pi.Se dispone de datos correspondientes a cuatro anos tanto para mujeres como para hombres:

Ci 19 21 24 30 45 51 55 48Sexo M M M M H H H HPi 3,00 3,30 4,02 5,22 6,01 5,22 4,50 5,70

∑8i=1 Ci = 293

∑8i=1 C2

i = 12233∑8

i=1 Pi = 36, 97∑8

i=1 SiPi = 15, 54∑8i=1 P 2

i = 179, 40∑8

i=1 SiCi = 94∑8

i=1 PiCi = 1437, 15

Para la siguiente especificacion del comportamiento de las ventas,

Ci = β1 + β2Si + β3Pi + ui i = 1, . . . , 8

siendo Si la variable Sexo, que toma valor uno si el individuo es mujer y cero en caso contrario,y siendo

(X ′X)−1 =

7, 0465 −2, 1180 −1, 2686−2, 1180 1, 0134 0, 3487−1, 2686 0, 3487 0, 2368

1) Escribe la matriz X correspondiente a las 8 observaciones que aparecen en la tabla de arriba.

2) Estima el modelo propuesto por MCO y calcula una medida de bondad del ajuste. Inter-pretala.

3) Interpreta los coeficientes estimados. ¿Te parece que tienen sentido desde el punto de vistaeconomico?

38

4) Contrasta la significatividad conjunta de las variables.

5) ¿Existen diferencias significativas en las ventas de ciclomotores entre los dos sexos?

6) Considera la restriccion β2 + 20β3 = 0.

a) Contrasta si la restriccion es compatible con los datos.

b) Si has aceptado la restriccion ¿querrıas reformular el modelo original? ¿Por que?

c) A efectos del modelo ¿es equivalente la restriccion anterior a la igualdad Si+20Pi = 0?

7) Dado que el precio del seguro es mas bajo para las mujeres, se sospecha que ello tieneun efecto diferencial sobre la venta de ciclomotores. Especifica un modelo que te permi-ta contrastar esta sospecha y explica que procedimiento seguirıas para realizar el contraste.

8) Si fuera cierta la sospecha del apartado anterior ¿que efectos tendrıa esto en los estimado-res del apartado 2)? ¿Y en los contrastes que has realizado?

39

EXAMENES de los ANOS 2007/2010

PROBLEMA LCAF-2007/2008. 1 (Feb-2008)

Supongamos que el precio de la prima anual de un seguro sobre rentas de capital variable sedetermina por la siguiente ecuacion:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1976, . . . , 1998 ut ∼ NID(0, σ2) (1)

donde:Yt: precio anual de la prima, en miles de euros.X2t: cantidad invertida en el ano t en renta variable, en miles de euros.X3t: ındice de la bolsa de Madrid en el ano t.Si disponemos de la siguiente informacion muestral:

∑x2

2t = 12∑

x23t = 12

∑x2tx3t = 8∑

ytx2t = 10∑

ytx3t = 8∑

y2t = 10

Se pide:

1. Escribe el criterio de estimacion MCO y la funcion objetivo aplicada al modelo (1):

2. Estima por MCO los parametros desconocidos β2 y β3. Escribe la Funcion de RegresionMuestral.



5. Para un nivel de significatividad del 5 %, ¿son las variables exogenas conjuntamente signi-ficativas?

6. Para un nivel de confianza del 95 % ¿son las variables exogenas individualmente significa-tivas?

7. Contrasta la hipotesis nula H0 : β2 + β3 = 1:

8. Si a priori conocieras que β2 + β3 = 1.

a) ¿Como estimarıas mas eficientemente los parametros del modelo?. Razona tu respues-ta.

b) Lleva a cabo lo que has propuesto en el apartado anterior.

40


Con el fin de analizar los determinantes de la funcion de salario en un estudio de seccion cruzada,un becario propone el siguiente modelo:

Wi = α + α2S2i + βX2i + ui i = 1, . . . , N ui ∼ N(0, σ2) (2)

donde:Wi es el salario medio por hora del individuo i.S2i es una variable ficticia que toma valor 1 si el individuo i es mujer y 0 en caso contrario.Xi mide los anos de educacion del individuo i.

El becario estima el modelo por MCO para un colectivo los 526 individuos activos con lossiguientes resultados: (Fuente: Wooldridge, J.M. (2002) Introductory Econometrics)

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 526 observaciones 1-526Variable dependiente: wage

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst 0,622817 0,672533 0,926 0,35483female -2,27336 0,279044 -8,147 <0,00001educ 0,506452 0,0503906 10,051 <0,00001


1. Interpreta los coeficientes de la ecuacion (2):

2. ¿Como se ha obtenido el valor 10, 051? Detalla claramente todos los elementos que inter-vienen en su calculo. ¿Para que es util?

3. ¿Que significa “valor-p”? ¿para que es util? ¿como se utiliza?

4. ¿Existe discriminacion salarial por sexo? Escribe la hipotesis nula y alternativa, el es-tadıstico de contraste y finalmente lleva a cabo el contraste con la informacion anterior.

Supongamos que el becario no confıa demasiado en que la especificacion (2) sea correcta y decideespecificar el siguiente modelo alternativo:

Wi = γ1S1i + γ2S2i + δX2i + ui i = 1, . . . , N ui ∼ N(0, σ2) (3)

41

donde S1i es una variable ficticia que toma valor 1 si el individuo i es hombre y 0 en casocontrario.

5. Interpreta los coeficientes de la ecuacion (3):

6. Si se estimara el modelo (3) por MCO, ¿cual serıa el valor estimado de γ1, γ2 y δ?

Supongamos que se dispone informacion sobre el estado civil del individuo i, recogido por lavariable ECi que toma valor 1 si el individuo i esta casado y 0 en caso contrario. Se cree quedicha variable tambien determina el salario medio por hora de los individuos.

7. Especifica un modelo en el que el salario medio por hora del individuo se explique mediantelas variables sexo, estado civil y anos de educacion del individuo.

8. Si la variable ECi es una variable significativa para explicar Wi ¿que propiedades tiene elestimador MCO en (2)? ¿que puedes decir de la inferencia realizada con dicho modelo?

9. En el modelo que has propuesto en el apartado (7), si todas las mujeres estuviesen casadas,¿plantearıa esto algun problema en la estimacion del modelo que has propuesto? ¿Cual?¿Que consecuencias tiene? Razona tu respuesta.


Se dispone de una base de datos de 1959 a 1994 sobre el consumo agregado Ct, Rentas nosalariales Yt, y rentas procedentes del trabajo, WAGESt con los cuales estudiar la evolucion delconsumo en un determinado paıs. La descripcion de las variables es la siguiente:

C Consumo agregado real (en billones de dolares de 1992)Y Rentas no salariales (en billones de dolares de 1992)WAGES Rentas del trabajo (o salario) (en billones de dolares de 1992)

1. Especifica un modelo que permita estudiar la dependencia del consumo agregado conrespecto de las rentas salariales y no salariales e incluya termino independiente.

2. Especifica claramente las hipotesis de comportamiento del componente irregular que hasincluido en el modelo propuesto.Los resultados de la estimacion del modelo que propone el investigador son los siguientes:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 36 observaciones1959-1994 Variable dependiente: Ct

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst -120,450 44,8344 -2,687 0,01122 **Y 0,669745 0,0169729 39,460 <0,00001 ***WAGES 0,0464035 0,0188695 2,459 0,01934 **

42


3. a) ¿Que criterio de estimacion esta utilizando el investigador?

b) Escribe la funcion objetivo correspondiente.

c) Escribe explıcitamente la expresion del estimador utilizado:

β1

β2

β3

......

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

d) Escribe la Funcion de Regresion Muestral. Interpreta los coeficientes estimados.


5. Interpreta la bondad del ajuste del modelo.

6. Para un nivel de significatividad del 5%, ¿son las variables exogenas conjuntamente sig-nificativas? No olvides escribir la hipotesis nula y alternativa, el estadıstico de contraste ysu distribucion.

7. Para un nivel de confianza del 95 % ¿son las variables exogenas individualmente significa-tivas? No olvides escribir la hipotesis nula y alternativa, el estadıstico de contraste y sudistribucion.

La matriz R de correlaciones entre las variables es la siguiente:

C Y WAGES1,0000 0,9994 0,9741 C

1,0000 0,9714 Y1,0000 WAGES

8. Interpreta los coeficientes anteriores. ¿Crees que existen problemas de colinealidad entrelas variables exogenas del modelo estimado? Razona tu respuesta.


Restriccion:b[Y] + b[WAGES] = 1

Estimaciones restringidas:

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VARIABLE COEFICIENTE DESV.TIP. ESTAD T VALOR Pconst 247,724 463,897 0,534 0,59681Y 0,371620 0,169647 2,191 0,03544 **WAGES 0,628380 0,169647 3,704 0,00075 ***

Desviacion tıpica de los residuos = 331,326

9. Contrasta la hipotesis nula H0 : β2 + β3 = 1. No olvides escribir la hipotesis nula yalternativa, el estadıstico de contraste y su distribucion.


Con el fin de analizar los determinantes de la funcion de salarios en una empresa, se propone elsiguiente modelo:

Wi = α + βHi + γ1D1i + γ2D2i + γ3D3i + γ4D4i + γ5D5i + ui (1)

i = 1, . . . , N ui ∼ NID(0, σ2u)

donde:Wi: es el salario del individuo i.Hi: son las horas trabajadas del individuo i.

D1i ={

1 si el individuo es varon0 en caso contrario

D2i ={

1 si la edad del individuo es < 25 anos0 en caso contrario

D3i ={

1 si la edad del individuo esta entre 25 ≤ edad ≤ 50 anos0 en caso contrario

D4i ={

1 si el nivel de educacion del individuo es EGB0 en caso contrario

D5i ={

1 si el nivel de educacion del individuo es COU0 en caso contrario

(Nota: suponemos que clasificamos a los individuos unicamente en su titulacion mas alta)

1. Interpreta el parametro α.

2. Interpreta el parametro γ4.

3. ¿Que significado tiene el contraste H0 : γ1 = 0?

4. ¿Que significado tiene el contraste conjunto H0 : γ2 = γ3 = 0?

5. ¿Cual es la funcion de salario de un individuo varon, de 40 anos de edad y un nivel deeducacion de EGB?

44

6. ¿Como analizarıas si estos factores (sexo, edad y nivel de educacion) influyen no solo enla ordenada si no tambien en la pendiente? Escribe: el modelo en el que contrastarıas estahipotesis, la hipotesis nula y la alternativa ası como el estadıstico de contraste, especifi-cando todos sus elementos. No olvides la regla de decision.


En el Modelo Lineal General:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut t = 1, . . . , T

donde se cumplen todas las hipotesis basicas. Razonar si las siguientes afirmaciones son ciertaso falsas:

1. El estimador MCO de β2 es insesgado porque β2 = β2.

2. Se cumple∑

utX2t = 0 y∑

utX3t = 0 pero∑

ut 6= 0.

3. Aun suponiendo que rX2X3 = 0, 9 los estimadores MCO son de mınima varianza.

4. Si tenemos un nuevo valor muestral: X2,T+1 = 5 y X3,T+1 = 8, la mejor prediccion lineale insesgada de YT+1 es:

YT+1 = β25 + β38


Se desea estudiar la funcion de gasto en espectaculos de las economıas familiares. Para ello sedispone de observaciones para 100 familias en el ano 2004 sobre las siguientes variables:

Yi: Gasto en espectaculos (cine, teatro y opera) de la familia i, medida en cientos de euros.X2i: Renta disponible, medida en miles de euros, de la familia i.X3i: Gasto en compra y alquiler de vıdeos y DVD en cientos de euros de la familia i.X4i: Anos del cabeza de familia.

Se propone el siguiente modelo:

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui ui ∼ N(0, σ2) (1)

El resumen de la informacion disponible es el siguiente:

(X ′X) =

100 200, 48 17, 97200, 48 468, 15 35, 5417, 97 35, 54 3, 6

(X ′X)−1 =

0, 1736 −0, 0342 −0, 5294−0, 0342 0, 0152 0, 0200−0, 5294 0, 0200 2, 7232

∑Yi = 3125

∑YiX2i = 7092

∑Y 2

i = 112262, 89∑

YiX3i = 551

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1. Interpreta los parametros del modelo propuesto. ¿Que signos esperarıas que tuvieran?

2. Escribe la funcion a minimizar que se corresponde con el criterio mınimo cuadratico ordi-nario.

3. Estima el modelo propuesto por el metodo de mınimos cuadrados ordinarios.


5. Estima la matriz de varianzas y covarianzas del estimador de los coeficientes del modelo.

6. Contrasta la significatividad individual y conjunta de las variables explicativas.

7. Contrasta H0 : β2 = −β3. A la vista de los resultados del contraste, ¿que concluyes sobrela especificacion del modelo?

8. Estima el modelo restringido correspondiente a la hipotesis nula anterior.

A continuacion se reestima el modelo (1) incluyendo la variable X4 para la misma muestrade familias.

Yi = γ1 + γ2X2i + γ3X3i + γ4X4i + ui (2)

Los resultados de reestimar el modelo por MCO:

Yi(estadıstico-t)

= 0, 7911(0,1508)

+ 12, 4656(10,8581)

X2i − 12, 7423( 8,3215)

X3i + 0, 1829X4i R2 = 0, 7158

9. ¿Por que aconsejarıas especificar el modelo (2) en vez del (1)? Razona tu respuesta.

10. Dadas las estimaciones de γ2 y γ3 en el modelo (2) se ha reespecificado el modelo obteniendolos siguientes resultados:

Yi(estadıstico-t)

= 0, 9043(0,3153)

+ 12, 4526(16,3898)

(X2i −X3i) + 0, 1798(3,1775)

X4i R2 = 0, 7060 (3)

¿cual de los tres modelos propuestos esta mejor especificado? ¿Por que?

11. Suponiendo que todas las familias acuden a la cadena de cines Cinesa S.A. y conocido elprecio de una entrada de cine en esta cadena, queremos incorporar esta variable a la ecua-cion (1). Escribe las cuatro primeras observaciones de la matriz de regresores del modelo

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en el que hayas incorporado la variable precio de la entrada de cine. ¿Te permite el mo-delo propuesto estudiar si el precio de la entrada de cine es una variable significativa parael gasto en espectaculos de las familias? Razona tu respuesta y si tienes algun problemapropon una solucion al mismo.


Para realizar un estudio sobre el ahorro de un colectivo de familias se propone el siguientemodelo:

Yi = α1D1i + α2D2i + γ1F1i + γ2F2i + βXi + ui i = 1, . . . , N (4)

donde

D1i =

{1 si en la familia i la mujer trabaja fuera del hogar0 en caso contrario

F1i =

{1 si i es una familia numerosa0 en caso contrario

D2i =

{1 si en la familia i la mujer no trabaja fuera del hogar0 en caso contrario

F2i =

{1 si i no es una familia numerosa0 en caso contrario

Xi: Renta disponible Yi: Ahorro familiar

1. ¿Es el modelo (4) estimable? ¿Por que? Propon un modelo estimable e interpreta susparametros.

En el modelo que hayas propuesto:

2. ¿Como contrastarıas que el hecho de que la mujer trabaje fuera del hogar no influye en elahorro familiar? Describe claramente todos los elementos del contraste: H0,Ha, estadısticode contraste incluido como se obtienen todos y cada uno de sus elementos y la regla dedecision.

3. ¿Como contrastarıas que la unica variable que explica el ahorro familiar es la renta disponi-ble? Describe claramente todos los elementos del contraste: H0,Ha, estadıstico de contrasteincluido como se obtienen todos y cada uno de sus elementos y la regla de decision.

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TAREAS DEL LABORATORIO INFORMATICO

TAREA 1

Se dispone de una base de datos sobre el precio de una vivienda y distintas caracterısticas dela misma para 14 viviendas vendidas en la comunidad universitaria de San Diego en 1980. Sondatos de seccion cruzada y la descripcion de las variables disponibles es 1:

PRICE = precio de venta de la vivienda en miles de dolares (RANGO 199.9-505)sqft = pies cuadrados de area habitable (Rango 1065 - 3000)bedrms= numero de dormitorios (Rango 3- 4)baths = numero de ba~nos (Rango 1,74 - 3)

Puedes acceder a estos datos ejecutando GRETL → En Archivo → Abrir datos → Archivo demuestra → Elige Ramanathan, el fichero data4-1.gdt

a) Especifica un primer modelo para analizar si el tamano, el numero de habitaciones y elnumero de banos son factores que explican o no el precio de la vivienda. Estima el modelopor Mınimos Cuadrados Ordinarios. Comenta los resultados obtenidos en terminos debondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados. Razona si teparecen adecuados los resultados.

b) Manteniendo el tamano de la vivienda constante, contrastar que el numero de habitacionesy el numero de banos, conjuntamente, no son significativas para explicar el precio de lavivienda.

c) Obten los siguientes graficos:

c.1) Grafico de los residuos de la estimacion MCO de esta especificacion.c.2) Grafico de la variable observada y estimada.c.3) Grafico de la variable observada y estimada frente a sqft.c.4) ¿Que te sugieren estos graficos? Comenta si crees que existe algun problema de mala

especificacion.

d) En el modelo propuesto en el apartado a). La variable sqft mide la superficie habitable enpies cuadrados. Sabiendo que un pie cuadrado equivale a 0,09 m2. Estudia como cambianlas estimaciones de los coeficientes del modelo si cambiamos las unidades de medida dedicha variable a m2.

e) En el modelo propuesto en el apartado a). La variable PRICE recoge el precio de ventaen miles de dolares, sabiendo que un dolar esta a 0,71 euros, estudia como cambian loscoeficientes estimados del modelo si cambiamos las unidades de medida de dicha variablea miles euros.

f) Define una nueva variable que sea HUECOS=BEDRMS+BATHS y reestima el modelo delapartado a incluyendo dicha variable. Analiza los resultados.

1Fuente: Ramanathan, Ramu (1992) Introductory econometrics with applications. Conjunto de datos data4-1

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TAREA 2

Se dispone de una base de datos anuales sobre la inversion y sus determinantes desde 1968a 1982. La descripcion de las variables disponibles es 2:

INVERR = Inversion agregada en un paıs en terminos reales.TIEM = Tiempo t=1, 2, 3,..., TPNBR = Producto Nacional Bruto en un paıs, en terminos reales.INTERES= Tipo de interes nominal en un paıs.INFLACION = Tasa de inflacion en un paıs.

a) Especifica un primer modelo para analizar si la inversion depende de la variabletemporal, el Producto Nacional Bruto, el tipo de interes y la inflacion de un paıs.

INV ERRt = β1 + β2 t + β3PNBRt + β4INTERESt + β5INFLACIONt + ut (5)

Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios. Comenta los resultados obte-nidos en terminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientesestimados. Razona si te parecen adecuados los resultados.

b) Contrasta si los inversores reaccionan exclusivamente al tipo de interes y a la tasade inflacion, luego debemos contrastar H0 : β2 = β3 = 0. Aceptar esta hipotesisimplicarıa quedarnos con la especificacion del modelo restringido que es:

INV ERRt = β∗1 + β∗4INTERESt + β∗5INFLACIONt + ut (6)

c) Contrasta si la propension marginal a invertir es la unidad (H0 : β3 = 1).

d) Contrasta que los inversores se preocupan unicamente del tipo de interes real. Si estoes cierto, incrementos iguales en el tipo de interes y la tasa de inflacion no deberıantener ningun efecto sobre la inversion, debemos contrastar H0 : β4 = −β5. En estecaso el modelo restringido serıa:

INV ERRt = β∗1 + β∗2t + β∗3PNBRt + β(INTERESt − INFLACIONt) + ut (7)

e) Contrasta la hipotesis conjunta H0 : β3 = 1 y β4 + β5 = 0 ¿Cual es el modelorestringido?

f) Estima el modelo sujeto a la restriccion β3 = 1, ¿Cual es el modelo restringido?

TAREA 3

Se dispone de una base de datos sobre el precio de una vivienda y distintas caracterısticasde la misma para 14 viviendas vendidas en la comunidad universitaria de San Diego en1980. Son datos de seccion cruzada y la descripcion de las variables disponibles es 3:

2Fuente: Libro de Greene (1998) Tabla 6.4 pagina 210. Esta disponible en ekasi con la notacion Tb64.txt yTb64.gdt. Las series de Inversion y Producto Nacional Bruto en terminos reales se han obtenido de dividir lasseries nominales por el IPC con ano base en 1972 y multiplicado por 10−1 tal que estan medidas en trillones dedolares. La tasa de inflacion se ha calculado como el porcentaje de variacion del IPC y el tipo de interes es elpromedio anual de la tasa de descuento en el Banco de la Reserva Federal de Nueva York.

3Fuente: Ramanathan, Ramu (1992) Introductory econometrics with applications. Conjunto de datos data7-3

49

PRICE = precio de venta de la vivienda en miles de dolares (RANGO 199.9-505)sqft = pies cuadrados de area habitable (Rango 1065 - 3000)bedrms= numero de dormitorios (Rango 3- 4)baths = numero de ba~nos (Rango 1,74 - 3)pool = 1 si la casa tiene piscina 0 en otro casofamroom = 1 si la casa tiene sala de estar 0 en otro casofirepl = 1 si la casa tiene chimenea 0 en otro caso

Puedes acceder a estos datos ejecutando GRETL → En Archivo → Abrir datos → Archivode muestra → Elige Ramanathan, el fichero data7-3.gdt

a) a.1) Especifica un primer modelo para analizar si el precio de la vivienda depende desi esta tiene o no piscina. Interpreta sus parametros.

a.2) Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los coeficientesestimados.

a.3) Comenta los resultados obtenidos en terminos de bondad de ajuste, significati-vidad y signos de los coeficientes estimados. Razona si te parecen adecuados losresultados.

a.4) ¿Cual es el precio medio estimado de las viviendas con piscina? ¿Y el de lasviviendas sin piscina?

b)b.1) Especifica un modelo que permita analizar si la existencia de piscina y el tamanode la vivienda son determinantes del precio de una vivienda. Estımalo, interpretalos coeficientes estimados y analiza la significatividad individual y conjunta delas variables explicativas.

b.2) Especifica un modelo que permita analizar si la variacion en el precio esperadode una vivienda determinada por su tamano cambia por la existencia de piscinaen la vivienda.

b.3) Contrasta si la existencia o no de piscina es una variable que determina el preciode una vivienda. ¿Que concluyes como resultado de este contraste?

c) Especifica un modelo que permita analizar si la existencia de piscina, la existencia desala de estar y de chimenea, ası como el tamano de la vivienda, el numero de habi-taciones y cuartos de bano son determinantes del precio de una vivienda. Estımalo,interpreta los coeficientes estimados y analiza la significatividad individual y conjuntade las variables explicativas anadidas.

Manteniendo el tamano de la vivienda constante, contrastar que el numero de habitacionesy el numero de banos, conjuntamente, no son significativas para explicar el precio de lavivienda.

c) En el modelo propuesto en el apartado a). La variable sqft mide la superficie habitable enpies cuadrados. Sabiendo que un pie cuadrado equivale a 0,09 m2. Estudia como cambianlas estimaciones de los coeficientes del modelo si cambiamos las unidades de medida dedicha variable a m2.

d) En el modelo propuesto en el apartado a). La variable PRICE recoge el precio de ventaen miles de dolares, sabiendo que un dolar esta a 0,71 euros, estudia como cambian los

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coeficientes estimados del modelo si cambiamos las unidades de medida de dicha variablea miles euros.

e) Define una nueva variable que sea HUECOS=BEDRMS+BATHS y reestima el modelo delapartado a incluyendo dicha variable. Analiza los resultados.

TAREA 4

El fichero data7-19 del libro de Ramanathan contiene datos para 1960-1988 sobre la demandade tabaco y sus determinantes en Turquıa. Las variables de interes para el ejercicio son lassiguientes:Q: consumo de tabaco por adulto (en kg).Y : PNB real per capita en liras turcas de 1968.P : precio real del kilogramo de tabaco, en liras turcas.D82: variable ficticia que toma valor 1 a partir de 1982.

A mediados de 1981 el gobierno turco lanza una campana de salud publica advirtiendo de lospeligros de salud que conlleva el consumo de tabaco. Nuestro objetivo es determinar si existencambios en la demanda de tabaco tras la campana institucional en cuyo caso la especificacion:

LnQt = α + βLnYt + γLnPt + ut t = 1960, . . . , 1988 (8)

no es correcta para todo el perıodo muestral y deberıamos especificar dos ecuaciones:

LnQt = α1 + β1LnYt + γ1LnPt + u1t t = 1960, . . . , 1981 (9)LnQt = α2 + β2LnYt + γ2LnPt + u2t t = 1982, . . . , 1988 (10)

Si existe cambio estructural rechazarıamos H0 : α1 = α2, β1 = β2 y γ1 = γ2

a) Contrasta la existencia de cambio estructural. Para ello debes estimar el modelo de laecuacion (8) y en la ventana de resultados de la estimacion harıamos:

Contrastes −→ Contraste de Chow

(A la pregunta Observacion en la cual dividir la muestra debes contestar 1982)

b) Como resultado del contraste ¿cual es el modelo a estimar?. Especifıcalo y estımalo.

TAREA 5

Se dispone de una base de datos anuales sobre el consumo real y sus determinantes para elperıodo de 1959 a 1994 en U.S. Los datos se encuentran en el fichero de datos: data4-2.gdtrecogido en Gretl en la pestana Ramanathan. Las variables que se consideran son:

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Ct Consumo real en billones de dolares de 1992, (Rango 1393,6-4471,1)Yt Producto interior bruto en billones de dolares de 1992

(Rango 2212,3 - 6604,2)WAGES Salarios en billones de dolares corrientes (Rango 281,2 - 4008,3)

PRDEFL Deflactor implıcito de los precios para el gasto en consumo,1992 = 100, (Rango 22,8 - 105,1)

1. ¿Que quiere decir: “Deflactor implıcito de los precios para el gasto en consumo, 1992=100”?

2. Crea las siguientes variables:

a) Salario en terminos reales, W = 100×WAGESPRDEFL .

b) Beneficios y otras rentas del capital, P = Y −W .

3. ¿Que quiere decir que las variables estan medidas en terminos reales?

4. Especifica un modelo para la evolucion del consumo en funcion del salario real y los bene-ficios y otras rentas del capital, para el periodo de 1959-1994.

5. Interpreta los coeficientes del modelo anterior.

6. Estima el modelo por Mınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los coeficientes estimadosque acompanan a las variables explicativas.

7. Comenta los resultados obtenidos de la estimacion en terminos de bondad de ajuste, sig-nificatividad y signos de los coeficientes estimados. Razona si te parecen adecuados losresultados.

8. Calcula y comenta la matriz de correlacion entre las variables. ¿Crees que puede haberalgun problema?

9. Calcula el Factor de Inflacion de Varianza y el Factor de Tolerancia para los regresores.Interpreta los resultados.

10. ¿Conoces otra forma de detectar la multicolinealidad? Explica cual y aplıcala.

11. ¿Que conclusiones extraes?

TAREA 6

Para la realizacion de este ejercicio utilizamos el fichero smoke del libro de Wooldridge (2003),Introductory Econometrics. A Modern Approach, que teneis como archivo de muestra en gretl4.Son datos para 807 individuos varones residentes en distintos estados americanos en el ano 1979.Las variables que estan en este fichero son:

4Wooldrige, J. M. (2003), Introductory Econometrics. A Modern Approach, 2sd. Ed., South-Western.

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educ A~nos de escolarizacioncigpric Precio de un paquete de cigarrillos en centavoswhite Variable ficticia que es igual a la unidad si el individuo

es blanco, cero en otro caso.age Edad del individuo en a~nos

income Renta anual, en dolarescigs Cigarrillos fumados al dıa

restaurn Variable ficticia que es igual a la unidad si una personareside en un estado donde hay restricciones al tabaquismoen los restaurantes, cero en otro caso.

lincome log(income)agesq Edad al cuadrado

lcigpric log(cigprice)

Considera la siguiente especificacion:

lincomei = β1 + β2cigsi + β3educi + β4agei + β5agesqi + ui i = 1, . . . , 807 (11)

1. Muestra los resultados de la estimacion por MCO del Modelo (11).

2. Comenta los resultados obtenidos sobre la bondad de ajuste, los signos de los coeficientesestimados y su significatividad. ¿Puedes justificar el signo del coeficiente estimado queacompana a la variable cigs?

3. ¿Hay evidencia de que la relacion entre la variable lincome y age sea cuadratica, mante-niendo constante el resto de las variables explicativas? Muestra los resultados del contrasteutilizado para tus conclusiones.

4. Incluye la variable restaurn en la ecuacion (11). Interpreta el parametro asociado a lavariable. Estima el modelo y contrasta si la existencia de restricciones al consumo detabaco en los restaurantes aumenta significativamente el logaritmo de la renta familiaranual.

5. Muestra el grafico de residuos MCO. ¿Crees que se cumpliran las hipotesis basicas sobreut?

6. Incluye la variable white en el modelo correspondiente al apartado cuatro. Interpreta elparametro asociado a la variable. Contrasta si la raza es una variable significativa paraexplicar a la variable lincome.

7. ¿Cual es la renta media muestral de un individuo de raza blanca? ¿y del resto de individuos?

8. Propon y estima un modelo que permita contrastar que el numero medio de cigarrillosfumados al dıa varıa con la raza del individuo. Realiza el contraste.

9. Fıjate en los valores de la variable cigs, esta variable esta discriminando entre individuosfumadores y no fumadores. Utilizando la variable cigs construye una variable ficticia quetome valor 1 si el individuo es fumador y cero en otro caso. ¿Dirıas que ambas varia-bles estan perfectamente correlacionadas? Calcula la correlacion entre ambas variables.Interpreta el resultado.

53

10. Suponiendo que la variable lincome solo depende de las variables educ y age. Contrasta laposibilidad de que la funcion de renta anual sea distinta para aquellos individuos fumadoresrespecto de los que no lo son.

11. Escribe una seccion de conclusiones donde finalices proponiendo una especificacion sen-sata para el logaritmo de la renta familiar anual teniendo en cuenta todos los resultadosanteriores.

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