equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
Transcript of equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
1/27
1
Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία σε Οικονομία μεΔύο Καταναλωτές και Έναν Παραγωγό
- Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από:
• Δύο καταναλωτές.
• Μία επιχείρηση.
• Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α.
1 1 1
2 2 2
( , )
( , )
U X A
U X A
: Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1
: Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 2
- Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις
συναρτήσεις χρησιμότητας:
όπου Χ i ( Ai) είναι η ποσότητα του αγαθού Χ ( Α) που καταναλώνει το
άτομο i=1,2.
- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματαπεριουσιών:
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
2/27
2
1 1 1 1
2 2 2 2
( , ) ( , 0)
( , ) ( ,0
X A
X A
e e e T
e e e T
= =
= = ) : Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή 2
: Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή 1
όπου e Χ i (e Ai) είναι η περιουσία που διαθέτει ο καταναλωτής i από το
αγαθό Χ ( Α).
- Κάθε καταναλωτής i κατέχει μερίδιο της επιχείρησης(δηλαδή εισπράττει μερίδιο θ i από τα κέρδη της επιχείρησης).
- H συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:
[0,1]iθ ∈
( ) , f L=
όπου είναι η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας και είναι
η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος εκ μέρους της επιχείρησης.
L
- Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού Χ στην οικονομία είναι:1 2 1 2 X X X S e e T T = + = +
- Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού Α στην οικονομία είναι:
1 2 A A AS e e A A= + + =
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
3/27
3
- Ορισμός. Μια κατανομή (allocation)
δείχνει τις ποσότητες των αγαθών που καταναλώνονται από κάθε
άτομο, τις χρησιμοποιούμενες ποσότητες εισροών και την ποσότητατου αγαθού που παράγεται από κάθε επιχείρηση στην οικονομία.
- Δηλαδή: Μια κατανομή περιγράφει τη χρήση των διαθέσιμων πόρων
στην οικονομία.
- Ορισμός. Μια κατανομή ονομάζεται
εφικτή ( feasible) για την οικονομία αν:
( )1 1 2 2( , ), (( , ), ( , ) X A X A L A
( )1 1 2 2( , ), (( , ), ( , ) X A X A L A
1 2 1 2
1 2
X X L T T
A A A
+ + ≤ +
+ ≤
- Δηλαδή: Μια κατανομή ονομάζεται εφικτή αν η συνολική ποσότητα
που καταναλώνεται από κάθε αγαθό δεν υπερβαίνει τη συνολική
διαθέσιμη ποσότητα αυτού του αγαθού στην οικονομία.
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
4/27
Ανταγωνιστική Ισορροπία
- Έστω ότι η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α
είναι p.
- Για κάθε διάνυσμα τιμών (w, p), το εισόδημα ( M i) του καταναλωτή
i είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και τo μερίδιο των κερδών
που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης:
, 1, 2.i Xi Ai i i i
M w e p e wT iθ π θ π = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ∀ =
- Ορισμός. Μια ανταγωνιστική (ή Βαλρασιανή) ισορροπία στην υπόεξέταση οικονομία αποτελείται από ένα διάνυσμα τιμών και
μια εφικτή κατανομή τέτοια ώστε:* * * *1 1 2 2(( , ), ( , ), ( *, *)) A X A L A
( *, *)w p
(i) Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τονεισοδηματικό του περιορισμό:
* * 2 * * * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
* * 2 * * * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( , ) ( , ) , ( , ) :
( , ) ( , ) , ( , ) :
U X A U X A X A w X p A w T
U X A U X A X A w X p A w T
θ π
θ π
+
+
′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ ℜ + ≤ +
′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ ℜ + ≤ +
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
5/27
5
(ii) Κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον
τεχνολογικό περιορισμό:
2 ( *, *) ( , ) , ( , ) : ( ) L A L A L A A f Lπ π +′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ ℜ ≤(iii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται, δηλαδή η συνολική ζήτηση (D)
είναι ίση με τη συνολική προσφορά (S) για όλα τα αγαθά:
1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) X X D S X w p X w p L w p T T = ⇔ + + = +i
1 2( , ) ( , ) ( , ) A A D S A w p A w p A w p= ⇔ + =i
(Συνθήκη Ισορροπίας
στην αγορά του αγαθού Χ)
όπου Li(w,p) είναι η συνάρτηση προσφοράς εργασίας του ατόμου i=1,2.
1 2[ή, ισοδύναμα: ( , ) ( , ) ( , ) L L D S L w p L w p L w p= ⇔ = +
(Συνθήκη Ισορροπίας
στην Αγορά του Αγαθού Α)
- Παρατήρηση. Γνωρίζουμε ότι η συνθήκη μεγιστοποίησης της
χρησιμότητας για τον καταναλωτή 1 είναι (βλ . Week 2, σελ. 27 ):
1 11
1 1
/ (1)/
U X w MRS p U A∂ ∂= =∂ ∂
(Συνθήκη Ισορροπίας
στην Αγορά Εργασίας )]
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
6/27
6
2 22
2 2
/ (2)/
U X w MRS p U A
∂ ∂= =∂ ∂
- Η συνθήκη μεγιστοποίησης των κερδών για την επιχείρηση είναι
(βλ . Week 5, σελ. 6 ):
- Όμοια, η συνθήκη μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τον
καταναλωτή 2 είναι:
(3) Lw
MP p
=
- Στην ανταγωνιστική ισορροπία, οι συνθήκες (1) έως (3) πρέπει ναισχύουν ταυτόχρονα:
1 2 (4)
L
w MRS MRS MP
p= = =
- Δηλαδή: Σε κάθε ανταγωνιστική ισορροπία, ο οριακός λόγος
υποκατάστασης πρέπει να είναι ίδιος για τους καταναλωτές 1, 2
και ισούται με το οριακό προϊόν της εργασίας (ενώ ταυτόχρονα
είναι ίσος με το λόγο των τιμών των αγαθών Χ , Α στην αγορά).
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
7/27
7
- Παράδειγμα 1.
▪ Έστω μια οικονομία που αποτελείται από:
• Δύο καταναλωτές: 1 και 2.• Μία επιχείρηση.
• Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α.
- Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τιςσυναρτήσεις χρησιμότητας:
1/ 2 1/ 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
( , )
( , )
U X A X A
U X A A
=
=
- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα:
1 1 1
2 2 2
( , ) (1,0)
( , ) (0,0) X A
X A
e e e
e e e
= =
= =
- Ο καταναλωτής 2 είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης.
- Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:( ) f L L= =
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
8/27
8
- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να
υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία.
1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το
εισόδημα κάθε καταναλωτή.
- Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p.
• Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*.
- To εισόδημα του καταναλωτή 1 είναι η αγοραία αξία της
περιουσίας του:1 1 1 X Aw e p e w= ⋅ + ⋅ =
- To εισόδημα του καταναλωτή 2 είναι τα κέρδη που εισπράττει ως
ιδιοκτήτης της επιχείρησης:
2 M π =
2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για
κάθε καταναλωτή.
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
9/27
9
Καταναλωτής 1
1 1
1/ 2 1/ 2
1 1 1 1 1{ , }
1 1
1 1
max ( , )
. .
0 1, 0
A U X A X A
s t wX A w
X A
Χ =+ ≤
≤ ≤ ≥
(UMP 1)
- Η λύση του UMP 1 είναι:
(Συναρτήσεις Ζήτησης των αγαθών Χ, Α
για τον καταναλωτή 1)( )1 11
( ), ( ) ,2 2
w
X w A w
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠(5)
1( ) 1/ 2 L w⇒ = (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας
για τον καταναλωτή 1)(6)
Καταναλωτής 2
2
2 2 2{ }
2
2
max ( )
. .0
AU A A
s t A A
π
=
≤≥
(UMP 2
)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
10/27
10
- Η λύση του UMP 2 είναι:
2
( ) A w π = (Συνάρτηση Ζήτησης του αγαθού Αγια τον καταναλωτή 2)(7)
{ , }max Π
. .
, 0
L AwL
s t A L
L A
= −
=
≥
{ }max Π (1 )
. . 0
Lw L
s t L
= −
≥⇔ (PMP)
3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε
επιχείρηση.
- Η λύση του PMP είναι:
( ) L w = (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας)
0 , αν 1w>
0 , αν 1w≥ = , αν 1w∞ <
(8)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
11/27
11
(Συνάρτηση Προσφοράς)
( )w =
0 , αν 1w >
0 , αν 1w≥ =
, αν 1w∞ <
( )wπ =
0 , αν 1w ≥
, αν 1w∞ <
(Συνάρτηση Κερδών)
(9)
(10)
4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές καιλύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας.
1
1
1 2
( ) ( ) (11)
[ή, ισοδύναμα: ( ) ( ) 1
( ) ( ) ( ) (12)
L L
X X
A A
D S L w L w
D S X w L w
D S A w A w A w
= ⇔ =
= ⇔ + =
= ⇔ + =
i
i
(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας )
(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά
του Αγαθού Α)
- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας καιλύνουμε ως προς w.
(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά
του αγαθού Χ ) ]
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
12/27
12
• Για w < 1, είναι:(6)
1
(8)
( ) ( ) 1/ 2 : Αδύνατο L w L w= ⇔ ∞ =
• Για w > 1, είναι:
• Για w = 1, είναι:
- Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*=1) για να υπολογίσουμε
τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας:
(6)
1
(8)
( ) ( ) 0 1/ 2 : Αδύνατο L w L w= ⇔ =
(6)
1(8)
( ) ( ) 1/ 2 L w L w L= ⇔ =
* * * * * * *
1 1 2 1 2* 0, 1/ 2, 1/ 2, 0 1/ 2, 0 A L L A A U U π = = = = = = ⇒ = =
- Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι:
( ) ( )( )
* * * * * *
1 1 2 2
* *
1 2
( *, *) (1, 1)
( , ), ( , ), ( , ) (1/ 2, 1/ 2), (0,0), (1/2, 1/2)
, (1/ 2, 0)
w p
X A X A L A
U U
=
==
(Τιμές Ισορροπίας)
(Κατανομή
Ισορροπίας)
(Χρησιμότητες Ισορροπίας)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
13/27
13
- Παράδειγμα 2.
▪ Έστω μια οικονομία που αποτελείται από:
• Δύο καταναλωτές: 1 και 2.• Μία επιχείρηση.
• Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α.
- Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τιςσυναρτήσεις χρησιμότητας:
1/ 2 1/ 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
( , )
( , )
U X A X A
U X A A
=
=- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα:
1 1 1
2 2 2
( , ) (1,0)
( , ) (0,0)
X A
X A
e e e
e e e
= =
= =
- Ο καταναλωτής 2 είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης.
- Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:( ) 2 f L L= =
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
14/27
14
- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να
υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία.
1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε τοεισόδημα κάθε καταναλωτή.
- Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p.
• Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*.
- To εισόδημα του καταναλωτή 1 είναι η αγοραία αξία της
περιουσίας του:1 1 1 X Aw e p e w= ⋅ + ⋅ =
- To εισόδημα του καταναλωτή 2 είναι τα κέρδη που εισπράττει ως
ιδιοκτήτης της επιχείρησης:
2 M π =
2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για
κάθε καταναλωτή.
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
15/27
15
Καταναλωτής 1
1 1
1/ 2 1/ 2
1 1 1 1 1{ , }
1 1
1 1
max ( , )
. .
0 1, 0
A U X A X A
s t wX A w
X A
Χ=
+ ≤
≤ ≤ ≥
(UMP 1)
- Η λύση του UMP 1 είναι:
(Συναρτήσεις Ζήτησης των αγαθών Χ, Α
για τον καταναλωτή 1)( )1 11
( ), ( ) ,2 2
w
X w A w
⎛ ⎞=
⎜ ⎟⎝ ⎠
(13)
1( ) 1/ 2 L w⇒ = (Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας
για τον καταναλωτή 1)(14)
Καταναλωτής 2
2
2 2 2{ }
2
2
max ( )
. .0
AU A A
s t A A
π
=
≤≥
(UMP 2 )
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
16/27
16
- Η λύση του UMP 2 είναι:
2
( ) A w π = (Συνάρτηση Ζήτησης του αγαθού Α
για τον καταναλωτή 2)(15)
{ , }max Π
. . 2
, 0
L AwL
s t A L
L A
= −
=
≥
{ }max Π 2
. . 0
L L wL
s t L
= −
≥⇔ (PMP)
3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε
επιχείρηση.
- Η λύση του PMP είναι:
2
( ) 1/ L w w= (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας)(16)( ) 2 /w w= (Συνάρτηση Προσφοράς)
( ) 1/w wπ = (Συνάρτηση Κερδών)
(17)
(18)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
17/27
17
4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και
λύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας.
1
1
1 2
( ) ( ) (19)
[ή, ισοδύναμα: ( ) ( ) 1
( ) ( ) ( ) (20)
L L
X X
A A
D S L w L w
D S X w L w
D S A w A w A w
= ⇔ == ⇔ + =
= ⇔ + =
i
i
(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά Εργασίας )
(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά
του Αγαθού Α)
- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας και
λύνουμε ως προς w.
(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά
του αγαθού Χ ) ]
(14)
1(16)
( ) ( ) 2 L w L w w= ⇔ =
- Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*= ) για να υπολογίσουμε
τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τη χρησιμότητα ισορροπίας:
- Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι:
2
* * * * *
1 1 2
* 3/ 4 *
1 2
* 2 / 2, 2, 1/ 2, 2 / 2, 2 / 2
2 , 2 / 2
A L L A A
U U
π
−
= = = = = =
⇒ = =
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
18/27
18
( ) ( )
( )
* * * * * *
1 1 1 2 2 2
* *
* * 3/4
1 2
( *, *) ( 2, 1)
( , , ),( , , ) (1/ 2, 2 / 2, 1/2), (0, 2 / 2, 0)
( , ) (1/ 2, 2)
, (2 , 2 / 2)
w p
X A L X A L
L A
U U −
=
=
=
=
(Τιμές Ισορροπίας)
(ΚατανομήΙσορροπίας)
(Χρησιμότητες Ισορροπίας)
w
01L ,L1/ 2
•Ε
( ) L w
1( ) L w
Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας
* 2w =
Π άδ 3
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
19/27
19
- Παράδειγμα 3.
▪ Έστω μια οικονομία που αποτελείται από:
• Δύο καταναλωτές: 1 και 2.• Μία επιχείρηση.
• Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α.
- Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τιςσυναρτήσεις χρησιμότητας:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
( , ) ln ln
( , ) ln ln
U X A X A
U X A X A
= +
= +
- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα:
1 1 1
2 2 2
( , ) (1,0)( , ) (2,0)
X A
X A
e e ee e e
= =
= =
- Οι καταναλωτές μοιράζονται εξίσου τα κέρδη της επιχείρησης.
- Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι:( ) 2 f L L= =
Α λ θ ύ θ δ λ ί ά ά
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
20/27
20
- Ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω για να
υπολογίσουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία.
1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε τοεισόδημα κάθε καταναλωτή.
- Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p.
• Θέτουμε p=1 και αναζητούμε το μισθό ισορροπίας w*.
- To εισόδημα του κάθε καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της
περιουσίας του και το μερίδιο των κερδών που εισπράττει ωςιδιοκτήτης της επιχείρησης:
1 1 1
2 2 2
/ 2 / 2
/ 2 2 / 2
X A
X A
M w e p e w
M w e p e w
π π
π π
= ⋅ + ⋅ + = +
= ⋅ + ⋅ + = +2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για
κάθε καταναλωτή.
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
21/27
21
Καταναλωτής 1
1 1 1 1 1 1 1{ , }
1 1
1 1
max ( , ) ln ln
. . / 2
0 1, 0
A U X A X A
s t wX A w
X A
π
Χ= +
+ ≤ +
≤ ≤ ≥
(UMP 1)
- Η λύση του UMP 1 είναι:
(Συναρτήσεις
Ζήτησης για τον
καταναλωτή 1)( )1 1( ), ( ) X w A w =
2 2, , αν / 2
4 4
w ww
w
π π π
+ +⎛ ⎞≥⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )1, / 2 , αν / 2wπ π ≤
(21)
(Συνάρτηση Προσφοράς
Εργασίας
για τον καταναλωτή 1)1( ) L w⇒ =
2, αν / 24
www
π
π
−≥
0 , αν / 2w π ≤
(22)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
22/27
22
Καταναλωτής 2
2 22 2 2 2 2
{ , }
2 2
2 2
max ( , ) ln ln
. . 2 / 2
0 2, 0
X A
U X A X A
s t wX A w
X A
π
= +
+ ≤ +
≤ ≤ ≥
(UMP 1)
- Η λύση του UMP 2 είναι:
(Συναρτήσεις
Ζήτησης για τονκαταναλωτή 2)( )2 2( ), ( ) X w A w = 4 4
, , αν / 44 4
w ww
w
π π π
+ +⎛ ⎞≥⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )2, / 2 , αν / 4wπ π ≤
(23)
(Συνάρτηση Προσφοράς
Εργασίας
για τον καταναλωτή 2)2 ( ) L w⇒ =
4, αν / 44
www
π
π
−≥
0 , αν / 4w π ≤
(24)
3 Λύνου ε ο ρόβλη α εγ ο οίη ης ων κερδών γ α κάθε
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
23/27
{ , }max Π
. . 2
, 0
L A wL
s t A L
L A
= −
=
≥
{ }max Π 2
. . 0
L L wL
s t L
= −
≥⇔ (PMP)
3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε
επιχείρηση.
- Η λύση του PMP είναι:
2( ) 1/ L w w=
( ) 2 /
(Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας)(25)
w w= (Συνάρτηση Προσφοράς)
( ) 1/w wπ = (Συνάρτηση Κερδών)
(26)
(27)
4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές καιλύνουμε ως προς το μισθό ισορροπίας.
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) (28)
[ή, ισοδύναμα: ( ) ( ) ( ) 3
L L
X X
D S L w L w L w
D S X w X w L w
= ⇔ = +
= ⇔ + + =
i
(Συνθήκη Ισορροπίας
στην Αγορά του αγαθού Χ ) ]
(Συνθήκη Ισορροπίας
στην Αγορά Εργασίας )
(Συνθήκη Ισορροπίας
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
24/27
1 2( ) ( ) ( ) (29)
A A D S A w A w A w= ⇔ + =i (Συνθήκη Ισορροπίας
στην Αγορά του Αγαθού Α)
- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά εργασίας καιλύνουμε ως προς w.
• Για w ≤ π / 4 , είναι:
(22),(24)
1 2 2(25)
1( ) ( ) ( ) 0 : Αδύνατο L w L w L w
w= + ⇔ =
(27)
1/ 2w⇔ ≤
• Για π / 4 ≤ w ≤ π / 2 , είναι:
(27)
1/ 2 2 / 2w⇔ ≤ ≤(22),(24)
1 2(25)
( ) ( ) ( ) 5/2 : Απορρίπτεται L w L w L w w= + ⇔ =
• Για w ≥ π / 2 , είναι:
(22),(24)
1 2(25)
( ) ( ) ( ) 1 L w L w L w w= + ⇔ =
(27)
2 / 2w⇔ ≥
- Χρησιμοποιούμε το μισθό ισορροπίας (w*=1) για να υπολογίσουμε
τα κέρδη, τις ποσότητες ισορροπίας και τις χρησιμότητες ισορροπίας:
* * * * * ** 1 2 1 1/ 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4A L L L A A
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
25/27
25
- Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι:
1 2 1 2
* * * *
1 2 1 2
* 1, 2, 1, 1/ 4, 3 / 4, 3 / 4, 5 / 4,
3 / 4, 5 / 4 ln(9 /16), ln(25 /16)
A L L L A A
X X U U
π = = = = = = =
= = ⇒ = =
( ) ( )
( ) ( )
* * * * * *1 1 1 2 2 2
* *
* *
1 2
( *, *) (1, 1)
( , , ), ( , , ) (3/ 4, 3/ 4, 1/ 4), (5/ 4, 5/ 4, 3/ 4)
( , ) (1,2)
, ln(9/16), ln(25/16)
w p
X A L X A L
L A
U U
=
=
=
=
(Τιμές Ισορροπίας)
(Κατανομή
Ισορροπίας)
(Χρησιμότητες Ισορροπίας)
Γραφική Απεικόνιση Ισορροπίας
- Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση κερδών (27) στις (22), (24) καιγράφουμε τις συναρτήσεις προσφοράς εργασίας ως εξής:
(Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας
για τον καταναλωτή 1)1( ) L w =
2
1 1 , αν 2 2
2 4w
w− ≥
0 , αν 2 2w ≤(30)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
26/27
26
(Συνάρτηση Προσφοράς Εργασίας
για τον καταναλωτή 2)2( ) L w =
211 , αν 1/ 2
4w
w− ≥
0 , αν 1/ 2w ≤
(31)
- Αθροίζουμε τις (30), (31) και παίρνουμε την αγοραία συνάρτηση
προσφοράς εργασίας:
( )S L w =
0 , αν 1/ 2w ≤
211 , αν 1/2 2 / 2
4w
w− ≤ ≤
2
3 1 , αν 2 / 22 2 ww− ≥
(Αγοραία Συνάρτηση
Προσφοράς Εργασίας)(32)
-
8/16/2019 equilibrium 2 consumer 1 producer.pdf
27/27
27
w
01L ,L
Ε
( ) L w
Ισορροπία στην Αγορά Εργασίας
2 / 2
1/2
•
( )S L w
3/2 1/2 1
w*=1