Équation de Schrödinger Effet TUNNEL

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Ph. DUROUCHOUX

INTRODUCTION

Biographie de Erwin Schrödinger Définition de la mécanique Quantique Interprétation de l’équation de Schrödinger Intégration et applications à différentes

distributions de potentiel

Biographie de Erwin Schrödinger

Né à Vienne en 1887, mort en 1961. 1920 : Nommé professeur à la Haute Ecole

technique de Stuttgart puis à l'université de Breslau l'année suivante.

1927 : il succède à Max Planck à l'université de Berlin. Israélite, il quitte le pays à l'avènement du

national-socialisme pour se rendre à Oxford. 1940 : Devient professeur de physique théorique à

Dublin à l'Institut des hautes études de l'Etat libre d'Irlande.

Schrödinger travaille sur l'étude des couleurs, mais il est plus reconnu pour ses recherches en mécanique ondulatoire et succèdera au français Louis de Broglie dans ce domaine.

L'équation de Schrödinger, élaborée en 1926, permet de calculer la fonction d'onde d'une particule se déplaçant dans un champ, elle constitue la base de la mécanique quantique.

En 1933, Schrödinger partage le prix Nobel de physique avec le Britannique Paul Dirac pour leur contribution au développement de cette nouvelle discipline.

Définition de la mécanique quantique

La mécanique quantique décrit le comportement des particules microscopiques (électrons, protons,

neutrons, ou des systèmes plus complexes tels qu'atomes et molécules) dans un cadre non-

relativiste et dans le cas où les particules sont conservées. Plus largement, on parle de physique

quantique. La physique quantique cherche donc à comprendre

les particules qui nous composent.

- EN=>E1, E2 ,…, EN : Énergies de liaison de l’électron de l’atome d’Hydrogène, il peut y avoir plusieurs énergies possibles qui sont quantifiées.

- Ψ => Fonction d’onde et |Ψ1|2 est la probabilité de trouver E1. D’où la condition de normalisation :

A chaque fois que l’on mesure une énergie il faut tenir compte de la probabilité de trouver l’électron de l’atome d’Hydrogène. En effet, l'électron de l'atome d'hydrogène est en mouvement incessant autour du noyau chargé positivement. La probabilité de présence ne dépend donc que de la distance r de l'électron au noyau. Elle s’annule que lorsque la distance au noyau tend vers l'infini.

- |ΨN)=> est la notation de Dirac pour un vecteur.

- H=> Hamiltonien, c’est une fonction qui représente l’énergie totale du système.

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Interprétation de l’équation de Schrödinger

Distribution de potentiels

V : Énergie potentielle

E0 : Énergie Cinétique de l’électron

Axe des énergies

V=0

Des électrons sont repoussés

E0

E0<V0 :Milieu Semi conducteurAtténuation, état

lié (ondes évanescentes)

x

-a +a

V0

V=0

E0>V : Etat librePropagation des électrons (milieu

Conducteur)

I II III

Un petit nombre d’électrons passe la

barrière

Sorte de Tunnel

E0>V : Etat librePropagation des électrons (milieu

Conducteur)

L’effet Tunnel

Imaginez une balle que vous lanciez contre un mur. Soit elle est lancée assez fort, et elle passe au dessus du mur, soit elle n'est pas lancée assez

fort, et elle rebondit. C’est le même phénomène qui se passe pour un électron essayant de sortir

du métal qui le contient. Si on le lance assez fort, il franchit la barrière et retombe de l'autre côté (autrement dit, si on lui impose un champ

électrique assez fort, il est capable de sortir du métal pour traverser le vide jusqu'à un autre métal ou matériau conducteur).

Toutefois une différence intervient : c'est si vous ne lancez pas assez fort votre électron. A la différence d'une balle, un ensemble d’électrons est une sorte de nuage. Un blob. Une partie de ce blob peut passer le mur

tandis que l'autre va rebondir. C'est la différence avec la balle. Confronté à une barrière, un nuage d’électrons a donc la possibilité de se

scinder en deux : une partie franchit la barrière, et l'autre non. Si on lance des électrons contre une barrière, plus la barrière est petite,

plus les électrons ont de chance de passer, par effet tunnel.

Application de l’effet tunnel

En fait, si nous ne connaissons pas la hauteur de la barrière, on peut la

calculer, si nous savons la proportion des électrons qui la

franchissent. C'est le principe du microscope à effet tunnel. Une pointe métallique est placée au

dessus de l'objet à étudier. Et on balade la pointe : plus l'écart entre

la pointe et l'objet est grand, moins les électrons contenus dans la pointe arrivent à passer. On arrive ainsi en

baladant la pointe, à créer une image 3D de l'objet qu'on étudie !

Atome d’or vu au microscope à effet tunnel

En mécanique quantique, il existe des électrons hors du

solide avec une énergie faible : c'est l'effet tunnel.

On balaye la surface de l'échantillon avec une

pointe monoatomique, ce qui permet l'application de l'effet tunnel. Il suffit alors de mesurer l'intensité entre la pointe et l'échantillon en

fonction des coordonnées (x,y).

L’effet tunnel : c’est donc le fait d’avoir des électrons qui passent une barrière de potentiel alors qu’ils n’ont pas selon la physique classique l’énergie nécessaire.

Il existe plusieurs types de barrières

Barrière de Potentiel

Puits de Potentiel

Rampe de Potentiel

Puits infini de potentiel

Barrière infinie de Potentiel

Principe de l’effet tunnel

Plus l’énergie cinétique augmente plus les électrons peuvent passer.

Si Ec=Ep => Tous les électrons ne passent pas, ils repartent donc dans l’autre sens

Si Ec>Ep => Plus d’électrons passent mais toujours pas tous.

Équation de Propagation

Domaine I E0>V : Be-ikx correspond aux électrons qui reviennent

au départ. Nous sommes ici dans un état libre.A et B sont appelés constantes d’intégration.

Domaine II E0<V : Etat lié.

Domaine III : F=0 pas de retour des électrons, état libre.

xkxkII DeCe 22

xik

BeAe xikI

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xikIII Ee 1

Autre exemple de barrière de potentiel

a

V=0

E0

II

Rampe de Potentiel

b c

V=αx

V=V0

I

III IV

x

V

Les équations des fonctions d’onde selon le milieu sont :

Pour le milieu I : ΨI= Aeik1x + Be-ik1x

avec k1 = f(E0), k le nombre d’onde

Pour le milieu II : ΨII= Ceik2x + De-ik2x

avec k2 = f(E0, Vvariant)

Pour le milieu III : ΨIII= Eek3x + Fe-k3x

avec k3 = f(E0, Vvariant)

Pour le milieu IV : ΨIV= Gek4x + He-k4x , x→ ∞, G=0 car e+∞ est impossible.

SOURCES http://romain.bel.free.fr/agregation/Lecons/LP

61.doc http://www.infoscience.fr/histoire/biograph/bi

ograph.php3?Ref=57 http://fr.wikipedia.org/wiki/

%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger http://www.e-scio.net/mecaq/imaginer.php3