Ensembles, applications -...

Chap 10

Ensembles, applications

1 Ensembles

1.1 Definitions

Definition. On appelle ensemble une collection dobjets que lon appelle des elements de lensemble et donton dit quils appartiennent a lensemble.On note lensemble vide qui na aucun element.Exemple.Remarque.Vocabulaire.

A est inclus dans B si et seulement si tout element de A appartient a B ; Deux ensembles sont egaux si et seulement si ils ont les memes elements.

Vocabulaire. A est strictement inclus dans B si et seulement si il est inclus dans B mais nest pas egal a B

Vocabulaire. Si E est un ensemble, ses sous-ensembles, ou parties, sont les ensembles inclus dans E. Si E et F sont deux ensembles, le produit cartesien de E et F est

Remarque.Exemple. Pour E t0, 1, 2u, enumerer les elements de PpEq.Remarque.Exercice. Determiner PpEq puis P pPpEqq lorsque E t0u puis lorsque E .Exercice. Quel est lensemble E ? Existe-t-il des ensembles E et F tels que E F ?

1.2 Operations sur les ensembles

Soit E un ensemble, A,B,C des elements de PpEq.

Definition. On appelle intersection de A et B la partie de E definie par :

AXB tx P E t.q. x P A et x P Bu

A

B

Definition. Deux parties de E sont dites disjointes si et seulement si leur intersection est vide.

2010-2011 http://mpsi1.lamartin.fr 1/14

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Chap 10 Ensembles, applications

Definition. On appelle reunion de A et B la partie de E definie par :

AYB tx P E t.q. x P A ou x P Bu

A

B

Propriete. X et Y sont des applications PpEq PpEq PpEq. On dit que ce sont des lois de compositioninterne de PpEq. Elles verifient :

Commutativite : AYB B YA et AXB B XA. Associativite : pAYBq Y C AY pB Y Cq et pAXBq X C AX pB X Cq Distributivite de X sur Y : AX pB Y Cq pAXBq Y pAX Cq Distributivite de Y sur X : AY pB X Cq pAYBq X pAY Cq

Definition. On appelle difference (ensembliste) de A par B la partie de E definie par :

ArB tx P E t.q. x P A et x R Bu

A

B

Exemple. ArA , Ar AExercice. Si A et B sont disjoints, que dire de ArB ?

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Definition. On appelle complementaire de A dans E la partie de E definie par :

AEA tx P E t.q. x R Au

A

B

Remarque.Exemple. AE E et AEE .Remarque. Est-ce que ABA B rA ?Propriete.

AEA E rA ; ArB AX AEB Ar pAXBq ; AEpAYBq AEA X AEB et AEpAXBq AEA Y AEB.

Definition. Soit E un ensemble et Ai des parties de E. On dit que les Ai forment une partition de E si etseulement si les Ai sont deux a deux disjoints et leur reunion est E.Exemple.

2 Applications

2.1 Generalites

Definition nave. Soit E et F deux ensembles. Une application f de E vers F est la donnee dune relationentre E et F qui a chaque element de E associe un element de F .Notation. f : E F

x fpxqRemarque. Pour que f soit une application, il faut dans cette definition quelle transforme tous les elementsde E, et qua chaque element de E elle associe un unique element de F .

Vocabulaire. E est la source, ou ensemble de depart, et F le but, ou ensemble darrivee de f .Si x0 P E et y0 fpx0q,y0 est limage de x0 par f ,tandis que x0 est un antecedent de y0 par f .Remarque.Definition. On appelle ensemble de definition, ou domaine de definition dune application f : E F

lensemble suivant :

Df tx P E | Dy P F, y fpxqu




La vraie application correspondante estNotation. Lensemble des applications de E dans F est note FpE,F q ou FE .Definition. Lapplication identique de E est definie par id : E E

x xDefinition. On dit que deux applications f et g sont egales si et seulement si elles ont meme source, memebut, et que pour tout x de la source commune, on a fpxq gpxq.

2.2 Restriction et prolongement

Definition. Soit f : E F une application et A E. On appelle restriction de f a A, et on note f|AlapplicationDefinition. Soit A E, F des ensembles et f : A F une application. Un prolongement de f a E estExemple. Soit f : R R

x x2, g : R R

x x2, h : R R

x x2

Exemple. Soit f : R Rx x lnx

.

Prolonger f a R.Combien y a-t-il de prolongements ?Y en a-t-il un particulier ?Exemple. Est-ce que IdR est un prolongement de IdZ ?

2.3 Proprietes

2.3.1 Injection

Definition. Une application f : E F est dite injective si et seulement si

@px, x1q P E E, x x1 fpxq fpx1q

soit encore, par contraposee

@px, x1q P E E, fpxq fpx1q x x1

Negation. La negation de linjectivite est :

Dpx, x1q P E E t.q. x x1 et fpxq fpx1q

Remarque.Exemple.

Definition. Soit E un ensemble et A E. Lapplication i : A Ex x

est injective. On lappelle

2.3.2 Surjection

Definition. Une application f : E F est dite surjective si et seulement si

@y P F, Dx P E t.q. fpxq y

Negation. f nest pas surjective si et seulement si :

Dy P F t.q. @x P E, fpxq y

Exemple.




2.3.3 Bijection

Definition. Une application f : E F est dite bijective si et seulement si f est injective et surjective.

Caracterisation.

f est bijective si et seulement si

@y P F, D! x P E t.q. fpxq y

ou encore

@y P F, Dx0 P E t.q.

#fpx0q y

@x P E, fpxq y x x0

Exemple.

Definition. Si f : E F est une bijection, on peut definir son application reciproque

f1 : F Ey lunique antecedent de y par f

Question. Pourquoi est-il indispensable davoir une bijection pour pouvoir definir une application reciproque ?

Remarque. Il y a un lien fort entre injectivite/surjectivite de f et letude du nombre de solution dune equationfpxq . Sauriez-vous le formaliser ?

2.4 Diagrammes

Illustrations. Les applications vont de E dans F .

EF

EF

EF

EF

EF

EF

Illustrations. Les applications vont de R dans R.




Question. Lorsque les ensembles E et F ont un nombre fini non nul delements, peut-on donner une conditionsur ce nombre delements pour quil soit possible de construire

une application de E dans F ; une injection ; une surjection ; une bijection ?

2.5 Composition des applications

Definition. Soit f : E F et g : F G deux applications. On definit lapplication composee de f et gpar

g f : E Gx g rfpxqs

Attention.Remarque.Propriete. La composee de deux injections (resp. surjections, resp. bijections) est une injection (resp. surjection,resp. bijection).Proposition. Soit f : E F et g : F G deux applications.

Si gof est injective, alors f est injective ; Si gof est surjective, alors g est surjective.

Theoreme.

Soit f : E F une application.f est une bijection si et seulement si il existe une application g : F E telle que g f IdE etf g IdF .Lorsquelle existe, cette application g est unique et on a g f1.

Corollaire.




(a) Si f est une involution de E (i.e. f f IdE), alors f est bijective et f1 f .

(b) Soit f : E F et g : F G deux bijections. Alors g f est une bijection et

pg fq1 f1 g1

3 Images directe et reciproque dune partie

3.1 Image directe

Definition. Soit f : E F et A E. Limage directe de A par f est

fpAq !y P F t.q. Dx P A t.q. y fpxq

)

EF

A

Propriete. f est surjective si et ssi fpEq F .

Propriete. Soit A et A1 deux parties de E.

A A1 fpAq fpA1q fpAYA1q fpAq Y fpA1q fpAXA1q fpAq X fpA1q

Remarque.

3.2 Image reciproque

Definition. Soit f : E F et B F . Limage reciproque de B par f est

f1pBq !x P E t.q. fpxq P B

)




EF

B

Exemple.

Propriete. Soit B et B1 deux parties de F .

B B1 f1pBq f1pB1q f1pB YB1q f1pBq Y f1pB1q f1pB XB1q f1pBq X f1pB1q f

f1pBq

B

f1 rfpAqs AAttention.

4 Complements

4.1 Definition dune application par son graphe

Definition. Soit E et F deux ensembles. Nous appellerons graphe toute partie G de E F .Le domaine de definition dun graphe est

DG tx P E t.q. Dy P F, px, yq P Gu

Un graphe est dit fonctionnel si

@x P E, ty P F t.q. px, yq P Gu est vide ou singleton.

Remarque.

Question. Comment quantifier quun graphe nest pas fonctionnel ?

Definition. La donnee dun graphe fonctionnel dont le domaine de definition estE permet de definir lapplicationf de E dans F qui a tout x P E associe lunique element appartenant a ty P F t.q. px, yq P Gu

Notation.

f : E Fx fpxq

Remarque. Cette definition est coherente avec la definition de la representation graphique dune fonction vueau lycee. Pour que f soit une application, il faut quelle transforme tous les elements de E, et qua chaqueelement de E elle associe un unique element de F . Le graphe de f est alors lensemble des couples px, fpxqq,cest-a-dire lensemble des couples px, yq tels que y fpxq. On dit que y fpxq est une equation de la courberepresentative de f .

Exemple. Parmi les schemas du paragraphe 2.4, determiner ceux correspondant a un graphe, a un graphefonctionnel, a une injection, a une surjection, a une bijection.




4.2 Famille delements dun ensemble

Definition. On appelle famille delements dun ensemble E indexee par un ensemble I une application de Idans E :

I Ei xi

Notation. On note generalement pxiqiPI une telle famille.Exemple. Lorsque I t1, 2u, on peut identifier les familles delements de E indexees par t1, 2u avec le produitcartesien E E. (La definition dune famille, cest la donnee de x1 et x2.)Plus generalement, lorsque I t1, . . . , nu, lensemble des familles delements de E indexees par t1, . . . , nusidentifie a En.

Notation. On note EI lensemble des familles delements de E indexees par I.Remarque. La notion de famille est bien la meme que celle dapplication. Seule la notation (et le point de vue)change.

Question. Quest-ce quune suite ?Remarque. Y a-t-il une difference entre pxkqkPK et txk | k P Ku ?Definition. On peut generaliser aux familles de parties dun ensemble E les notions dintersection et de reunion :

iPI

Ai tx P E t.q. @i P I, x P Aiu

iPI

Ai tx P E t.q. Di P I, x P Aiu

Remarque.

x PiPI

Ai @i P I, x P Ai

x PiPI

Ai Di P I t.q. x P Ai

4.3 Redactions classiques

Ce ne sont pas les seules redactions possibles, mais elles permettent de sen sortir dans la plupart des cas.Les notations sont les notations usuelles.

Pour montrer A B.Soit x P A quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alors x P B

Pour montrer A B.M1 On montre dabord A B puis B A.

M2 x P A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x P B

Pour montrer f g.On verifie legalite des sources et butsSoit x P source quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alors fpxq gpxq

Pour montrer f injective.Soit x, y P E quelconques.On suppose fpxq fpyq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alors x y.

Pour utiliser que f injective.Dans notre raisonnement, on a x, y P E tels que fpxq fpyq. On en deduit que x y.

Pour montrer f surjective.Soit y P F quelconque.On cherche x P E t.q. y fpxq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cette equation admet au moins une solution donc f est surjective.




Pour utiliser que f surjective.Dans notre raisonnement, on a un y P F . On en deduit quil existe x P E tel que y fpxq.

Pour montrer f est bijective.

M1 On montre que f est surjective puis injective.

M1bis On montre que f est surjective et unicite de lantecedent.

M2 Soit g : F E, y . . ..On a f g r. . . s IdF et g f r. . . s IdE donc f bijective.

Pour montrer x P f1pBq. cest facile !Calculons fpxq . . . . On a bien fpxq P B.

Pour montrer y P fpAq. cest dur !On cherche x P A t.q. y fpxq. Posons x . . . , il convient.

4.4 Utilisation de Maple

Un ensemble est de type set. Cest une collection non ordonnee dexpressions toutes differentes, separeespar des virgules, notees entre accolades. On peut effectuer des operations sur les ensembles en utilisant union,intersect, minus.

Une fonction est de type procedure et est caracterise par loperateur fleche ->. Certaines fonctions sontpredefinies. Par defaut, les variables sont complexes.

On veillera a ne pas confondre une fonction avec une expression. Lutilisation des outils de Maple necessitede savoir si largument a fournir est une fonction ou une expression. On doit etre capable de transformer unefonction en expression et reciproquement. Voir le cours de Maple a ce sujet.




Alphabet grec

nom minuscule majuscule

alpha

beta

gamma

delta

epsilon

zeta

eta

theta

iota

kappa

lambda

mu

nu

xi

pi

rho

sigma

tau

upsilon

phi ,

chi

psi

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Chap 10 Ensembles, applicationsO

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10.1

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Chap 10 Ensembles, applicationsensappl_38.tex

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Chap 10 Ensembles, applications10.2

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1 Ensembles1.1 Dfinitions1.2 Oprations sur les ensembles

2 Applications2.1 Gnralits2.2 Restriction et prolongement2.3 Proprits2.4 Diagrammes2.5 Composition des applications

3 Images directe et rciproque d'une partie3.1 Image directe3.2 Image rciproque

4 Complments4.1 Dfinition d'une application par son graphe4.2 Famille d'lments d'un ensemble4.3 Rdactions classiques4.4 Utilisation de Maple

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