Ensaios de Jearl Walker

8/18/2019 Ensaios de Jearl Walker

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M AT E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R


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MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR

FUNDAMENTOS DE FÍSICA9a Edição

HALLIDAY & RESNICK

JEARL WALKERCleveland State University

VOLUMES 1 a 4

Tradução e Revisão TécnicaRonaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia – IME


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Este Material Suplementar contém os Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 que podem ser usadoscomo apoio para o livro Fundamentos de Física, Volumes 1 a 4, Nona Edição, 2012. Este material é de usoexclusivo de professores que adquiriram o livro.

Material Suplementar Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 traduzido dos materiais originais:HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME ONE, NINTH EDITIONCopyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc.All Rights Reserved. This translation published under license.HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME TWO, NINTH EDITIONCopyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc.All Rights Reserved. This translation published under license. Obra publicada pela LTC:FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOLUMES 1 A 4, NONA EDIÇÃODireitos exclusivos para a língua portuguesaCopyright © 2012 byLTC __ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda.Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

Projeto de Capa: M77 DesignImagem de Capa: ©Eric Heller/Photo Researchers, Inc.. Used with permission of John Wiley & Sons, Inc.Reproduzida com permissão da John Wiley & Sons, Inc.

Editoração Eletrônica do material suplementar:


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SUMÁRIO

Bola Alta 1

Dando Luzes a um Árbitro 2Dimensão Fractal de uma Bola de Papel 3

Duas Camas de Pregos 4

Fervura e o Efeito Leidenfrost 6

Marcas de Derrapagem 14

Tráfego na Hora do Rush 15


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Bola AltaJearl Walker

Em 20 de agosto de 1938, Frankie Pytlak e Hank Helf, doisreceptores dos Cleveland Indians, se dispuseram a bater o re-

corde mundial de recepção de uma bola de beisebol lançadade grande altura. Enquanto esperavam na calçada ao lado daTerminal Tower, em Cleveland, Ken Keltner, o terceira base,

se preparou para lançar as bolas do alto do edifício, 210 macima do nível da rua. O recorde anterior de 170 m tinha sido

estabelecido em 1908 por dois receptores de outra equipe, que

pegaram bolas arremessadas do Monumento de Washington,

em Washington, D.C.Como Keltner não podia ver os companheiros na rua, ar-

remessou as bolas ao acaso. Pytlak e Helf estavam usandocapacetes de aço para se proteger das bolas, que iriam chegara uma velocidade da ordem de 225 km/h. Helf pegou a pri-meira bola, garantindo, com um sorriso, que tinha sido mui-to fácil. Entretanto, as primeiras cinco bolas lançadas paraPytlak erraram o alvo. Uma delas chegou ao 13o andar depois

de quicar a primeira vez e foi pega por um policial depois dequicar três vezes. Na sexta tentativa, Pytlak conseguiu pegara bola e dividiu o recorde com Helf.

No ano seguinte, Joe Sprinz, do San Francisco Baseball

Club, tentou pegar uma bola de beisebol arremessada de um

dirigível que estava a uma altura estimada de 240 m (de acor-

do com alguns relatos, a altura era muito maior no momentodo lançamento). Na quinta tentativa, Sprinz conseguiu aparar

a bola com a luva, mas o impacto levou mão, luva e bola emdireção ao seu rosto, fraturando seu maxilar superior em 12lugares, quebrando cinco dentes, deixando-o desacordado...e fazendo-o soltar a bola.

Mais engraçada foi a tentativa, em 1916, de pegar umabola de beisebol arremessada de um pequeno aeroplano. Wil-

bert Robinson, gerente dos Brooklyn Dodgers e ex-receptor,pediu ao treinador dos Dodgers, Frank Kelly, que lançasse abola de um avião voando a 120 m de altura. Entretanto, semque Robinson soubesse, Kelly trocou a bola por uma toranjavermelha. Quando o impacto com a luva fez a fruta se despe-daçar, o conteúdo vermelho empapou Robinson, que gritou:“Minha nossa! Ela abriu um buraco na minha mão! Estoucoberto de sangue!”

ReferênciaA velocidade da bola ao atingir Joe Sprinz foi calculada noExemplo 2-10 dos Problemas Suplementares do volume 1,

que acompanha a sexta edição de Fundamentos de Física.


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2 MATERIAL S UPLEME NTAR

Dando Luzes a um ÁrbitroJearl Walker

No conto “Um ligeiro caso de insolação”, de Arthur C. Clarke,

uma partida de futebol foi disputada entre dois países rivaisdiante de um público de mais de 100.000 pessoas. Metadedos espectadores era militar, não precisou pagar ingresso eainda recebeu grandes programas de capa prateada para co-memorar o evento.

O jogo estava sendo aguardado com ansiedade. No anoanterior, o time da casa havia perdido o jogo porque o juiztinha sido subornado pelo time visitante. Na verdade, o timeda casa também oferecera dinheiro ao juiz, mas, aparente-mente, menos que o necessário.

Como, de acordo com as regras, o time visitante tinha odireito de escolher o juiz e os bandeirinhas, o juiz seria o mes-

mo. A torcida estava curiosa para ver como ele se comportaria.

No início do jogo, parecia estar apitando com imparcialida-de, mas, depois que o time visitante marcou o primeiro gol,anulou o gol que seria de empate do time da casa e, logo emseguida, marcou um pênalti duvidoso para os visitantes, quefoi convertido. Com o time perdendo de dois a zero, a torcida

começou a temer pelo pior.As esperanças voltaram quando o time da casa, jogando

com muita raça, conseguiu marcar um gol tão limpo que nem

o juiz mais corrupto do mundo teria coragem de anular. Pouco

depois, a torcida comemorou de pé quando um dos atacantesdo time da casa passou por vários adversários e colocou a bola

no fundo das redes, empatando o jogo. No meio da gritaria,ouviu-se o apito do juiz. Ele anulou o gol com a alegação ab-surda de que o atacante havia colocado a mão na bola.

Parte da torcida ameaçou invadir o campo, revoltada, masos militares permaneceram onde estavam. Depois que os joga-

dores dos dois times se retiraram, deixando o árbitro sozinho

no centro do campo, alguém gritou um comando e, em perfeitosincronismo, todos levantaram seus programas no sol e apon-

taram as capas para o juiz. Houve um clarão e, no lugar ondeestava o juiz, só restou um monte de cinzas fumegantes.

Em alguns países, o futebol é levado muito a sério.

ReferênciaClarke, A.C., “A Slight Case of Sunstroke”, em Tales of TenWords, Harcourt, Brace & World, Inc., 1963. (Edição bra-sileira: Clarke, A.C., “Um Ligeiro Caso de Insolação”, em

Histórias de Dez Mundos, Editora Nova Fronteira, 1978.)


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MATERIAL S UPLEMENTAR 3

Dimensão Fractal de uma Bola de PapelUm problema aplicado envolvendo regressão linear

Jearl Walker

Uma folha plana de papel pode ser considerada bidimensional

(ou seja, possui uma dimensão d 2,0) e um cubo maciçofeito de papel é tridimensional (d 3,0). De acordo com ageometria fractal, quando usamos uma folha para fazer umabola de papel, a superfície bidimensional da folha passa aocupar três dimensões e dizemos que a folha possui uma di-mensão fractal d que pode ter um valor entre 2,0 e 3,0. Umvalor próximo de 2,0 significa que a folha tende a evitar a siprópria na formação da bola; um valor próximo de 3,0 sig-nifica o oposto.

A massa m do papel e o diâmetro D da bola estão relacio-nados à dimensão d da bola através da equação

m kDd , (1)

na qual k é uma constante desconhecida. Medindo o valorde m para vários valores de D – o que pode ser feito usandoo mesmo tipo de papel para fazer bolas de vários tamanhos–, podemos calcular o valor de d ajustando os resultados àEquação 1. Em vez disso, porém, é mais fácil transformar aEquação 1 em uma equação linear e determinar o valor ded por regressão linear, ou seja, encontrando a linha reta quemelhor se ajusta aos dados.

Como a dimensão d aparece na forma de um expoente naEquação 1, podemos transformá-la em uma equação lineartomando o logaritmo natural de ambos os membros:

ln m ln kDd

ln k ln Dd

ln k d ln D. (2)

O resultado está na forma de uma equação linear y a bx ,

na qual a é a ordenada do ponto de intercessão com o eixo y eb é a inclinação. Na Equação 2, a variável y é ln m, a ordenada

do ponto de intercessão com o eixo y é ln k , a inclinação (queé o valor procurado) é d e a variável x é ln D.

Podemos, portanto, calcular a dimensão fractal d fazendouma regressão linear dos valores de ln m em função de ln Dpara obter a inclinação da reta. Para isso, podemos usar umacalculadora científica ou um programa de computador.

Para obter os dados, começamos com uma folha de pa-pel relativamente grande, fazemos uma bola, medimos amassa m em uma balança e calculamos o diâmetro médio

D tomando a média das larguras da bola seguindo duas di-reções quaisquer. Depois de alisar a folha, cortamos a fo-lha pela metade e repetimos o processo para cada pedaço.Alisamos novamente uma das folhas, cortamos a folha pelametade e repetimos o processo. Continuamos o processo até

atingirmos o limite de nossa capacidade de medir a massaou o diâmetro.

Quando executei o experimento usando um papel relati-vamente grosso (com uma área original de aproximadamente

0,80 m2), as massas m foram 112; 56,6; 55,5; 25,9; 30,0; 15,2;

14,8; 7,57; 7,71; 3,85; 3,89; 2,05; 1,85 gramas. Os diâmetros D correspondentes foram 27,5; 20,0; 19,0; 14,5; 15,5; 10,0;9,0; 7,8; 6,5; 6,0; 4,8; 4,9; 4,8 cm.

Qual é a dimensão fractal d de minhas bolas de papel?Sugestão: Em uma calculadora científica, prepare primeiro

uma lista das massas e uma lista dos diâmetros. Em seguida,calcule o logaritmo natural das duas listas para obter duasnovas listas. Use as duas listas e a rotina de regressão linearda calculadora para obter a inclinação da reta que melhor seajusta aos dados experimentais. Os passos necessários paraobter as duas listas e regressão linear são explicados, paravários modelos de calculadoras, em outro recurso disponí-vel neste site. Atenção: Algumas calculadoras usam y a bx como equação linear genérica e outras usam y ax bcomo equação genérica, o que faz diferença na hora de exe-cutar uma regressão linear.

A resposta está mais próxima de 2,0 do que de 3,0. Inter-prete o resultado em termos da tendência do meu papel deevitar ou não evitar a si próprio na hora de formar a bola.

Determine experimentalmente a dimensão fractal de outros

materiais, como cartolina, plástico para embrulhar alimentos,

folha de alumínio e tortilhas. (Determinar a dimensão fractalde uma tortilha em um restaurante mexicano pode ser umaforma de conseguir popularidade instantânea. Pensando me-lhor, talvez não seja uma boa ideia.)

ReferênciaBaseado em “Fractal Geometry in Crumpled Paper Balls”, de

M.A.F. Gomes, American Journal of Physics, 55, 649-650(1987), e “A Simple Experiment that Demonstrates FractalBehavior”, de R.H. Ko e C.P. Bean, The Physics Teacher ,29, 78-79 (Feb. 1991).


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Duas Camas de PregosJearl Walker

Um dos meus passatempos preferidos é ser imprensado, semcamisa, entre duas camas de pregos, e convidar uma ou duaspessoas para subir na cama de cima. Quando estou realmen-te deprimido, peço para colocarem um bloco de concreto nacama de cima, que meu assistente quebra com uma marreta.(Essa demonstração confirma minha observação de que nãohá um modo melhor de atrair a atenção dos estudantes queapresentar uma demonstração na qual o professor aparente-mente corre risco de vida.) Devo confessar que, enquanto a

primeira demonstração é apenas exótica, a segunda pode serrealmente perigosa. Mais de uma vez fui atingido por frag-mentos de bloco de concreto, mas, felizmente, meus dentese meus olhos foram poupados.

O ComeçoComecei a dar essas demonstrações em 1974, depois de as-sistir à segunda em um espetáculo de caratê. Na verdade, fuio primeiro a fazer isso em uma sala de aula. Também usei asdemonstrações nas palestras do Circo Voador da Física (queapresentei em muitas cidades dos Estados Unidos e do Canadá

nas décadas de 1970 e 1980) e na série de televisão da PBS

“O Carnaval Cinético”. Em consequência, foram vistas pormuitos professores e, hoje em dia, demonstrações semelhan-tes são apresentadas em muitas escolas dos Estados Unidose de outros países.

Para dizer a verdade, a primeira vez que apresentei a de-monstração em sala de aula, as coisas não correram comoeu havia previsto. Pedi a um aluno para usar a marreta, mas,imprudentemente, eu havia escolhido um pequeno tijolo, emvez de um bloco de concreto, para ser colocado sobre a camade cima. O golpe foi tão forte que levei alguns minutos parame recuperar. Os estudantes ficaram assustados, mas meuprimeiro pensamento foi que aquilo era uma forma absurdade passar desta para melhor.

Quando uma ou duas pessoas sobem na cama de cima, opeso é distribuído por um número tão grande de pregos quea força aplicada por um dos pregos não é suficiente para per-furar minha pele. A força exercida pelos pregos da cama debaixo é maior, já que ela precisa também sustentar o meupeso. Depois de fazer alguns experimentos, determinei comboa precisão o peso máximo das pessoas que podem subir nacama de cima sem que eu fique ferido. (Não pense que é tudo

um mar de rosas; na verdade, sinto muita dor quando estoufazendo a demonstração.)

O grande bloco de concreto que é feito em pedaços na se-gunda demonstração não só acrescenta um toque teatral, mas

também aumenta a segurança de três formas sutis (das quaisnão me dei conta quando usei inicialmente um pequeno tijo-lo). (1) Para que eu sofra um grande impacto, é preciso queo bloco sofra uma grande aceleração; quanto maior o bloco,maior a massa e, portanto, menor a aceleração. (2) Boa parteda energia do golpe de marreta é usada para quebrar o blocoe não para movimentar a cama de cima. (3) O fato de que obloco se quebra significa que o tempo de colisão é mais longo

do que se o bloco não estivesse presente, e, portanto, a força

da colisão é menor.A Alfândega AmericanaQuando estava voltando de uma palestra do Circo Voador da

Física no Canadá, eu e minha mulher tivemos de passar naalfândega com um caixote que continha as camas de pregos.O funcionário da alfândega perguntou:

− O que está levando nesse caixote?− Duas camas de pregos − respondi.Ele olhou para mim, olhou para minha mulher e piscou

o olho.Eu e minha mulher enrubescemos.

TétanoUma vez, apresentei minha palestra do Circo Voador da Fí-sica na Oxford University, na Inglaterra, para um grupo deespecialistas em educação de várias nacionalidades. Infeliz-mente, poucos dos presentes falavam inglês e muito menosestavam em condições de compreender meu humor texano.Assim, no decorrer da palestra, ao perceber que ninguém riadas minhas piadas, fui ficando cada vez mais nervoso e me-nos cauteloso. Quando cheguei à demonstração das camas de

pregos, no final da palestra, descobri que teria de executar onúmero em cima de um banco para que todos pudessem vero que estava acontecendo. Meu assistente colocou o blocode concreto sobre o sanduíche de camas de pregos (eu era orecheio do sanduíche) e se preparou para usar a marreta.

Como eu sabia que, com aquele arranjo incomum, o assis-

tente teria dificuldade para quebrar o bloco sem que a camade cima deslizasse, tentei ajudá-lo segurando a cama comuma das mãos. Quando ele desferiu o golpe, um dos pregosproduziu um corte na minha mão. Não notei que estava ferido

até me levantar para encerrar a palestra, mas nesse momentoo sangramento se tornou evidente tanto para mim como paraa plateia. Os espectadores ficaram impressionados com a de-

monstração e principalmente com o sangue... não era precisosaber inglês para perceber que eu havia me machucado.


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Depois de guardar o equipamento, encontrei-me com oorganizador da palestra em um pub local para beber umascervejas, sentindo-me aliviado com o fato de pelo menos mi-nha demonstração final ter despertado uma reação por parteda plateia. Foi então que o homem me revelou que estavahavendo muitos casos de tétano naquela parte da Inglaterra.Eu não tinha me incomodado com a dor do ferimento, mas aideia de contrair tétano me deixou preocupado. (A bactériado tétano entra no corpo através de um ferimento causado,por exemplo, por um prego enferrujado. Se a pessoa não foivacinada e não recebe imediatamente soro antitetânico, morre

em poucos dias, com todos os músculos do corpo contraídos,o que a impede de respirar.)

Quando saí do pub, fui a um posto de saúde para receberuma injeção de soro antitetânico. Antes, porém, foi necessá-ri explicar à enfermeira como havia me ferido. Enquanto medava a injeção, a moça ria tanto que teve dificuldade paramanter a agulha na posição correta. Eu havia atravessado o

Oceano Atlântico para me exibir diante de uma plateia sele-ta e acabei baixando as calças na frente de uma enfermeiraàs gargalhadas.

Não Olhe AgoraTambém passei por uma situação constrangedora no dia emque apresentei a demonstração das camas de pregos em umaescola feminina do ensino médio. Como, em minha opinião,a parte da marreta seria violenta demais para as meninas, euplanejava fazer apenas a parte em que uma pessoa subia nacama de cima. Combinei com a mulher que me havia convi-dado que ela seria a pessoa a subir na cama. O que não me

ocorreu durante a conversa ao telefone foi discutir o tipo detraje que ela estaria usando. Só me dei conta da omissão quan-

do estava deitado entre as duas camas e a mulher começou asubir na cama de cima. Ela estava usando uma saia curta e,enquanto se posicionava alguns palmos acima da minha cabe-

ça, começou a explicar à plateia o que estava para acontecer.Fiz o que pude para manter a cabeça voltada para a audiência

em vez de olhar para cima; as meninas começaram a rir; amulher até hoje não sabe de que elas estavam rindo; e passeiuma semana com torcicolo.

Má Sorte

Eu costumava fazer a demonstração da cama de pregos nãosó em escolas e nas excursões do Circo Voador da Física,mas também em uma série de palestras para os vendedoresda IBM. Começava essas palestras fazendo o papel do típicoprofessor de física (falando de coisas esotéricas, deixando aplateia entediada), assumia gradualmente um tom coloquiale terminava com a demonstração das camas de pregos.

Minha mensagem era que, no dia a dia, meu trabalho resu-

mia-se a vender um produto (a física) a um público (os estu-dantes) que inicialmente não o desejava, assim como o pessoal

de vendas tentava vender um produto da IBM a consumido-res desinteressados. Parte da minha estratégia consistia em

simular uma queda do palco no meio da palestra. O supostoacidente deixava a plateia atônita, já que as palestras da IBMnormalmente eram planejadas nos mínimos detalhes. Quan-do os espectadores se davam conta de que tudo não passavade uma brincadeira, relaxavam de vez e o resto da palestratranscorria em um clima ameno.

Antes das palestras, eu me reunia com o executivo da IBM

responsável pelo evento, porque era ele que subia na cama de

cima durante a demonstração. Os executivos ficavam apreen-

sivos e eu dizia: “Não se preocupe, já fiz muitas vezes essa de-

monstração. Claro que vou sentir uma dorzinha quando vocêsubir na cama e os pregos fizerem pressão na minha pele, mas

estou acostumado. Tudo vai dar certo, você vai ver.”Em uma das palestras, o executivo se mostrou ainda mais

preocupado do que de costume, já que pesava cento e poucosquilos, mas repeti minhas palavras tranquilizadoras.

Infelizmente, quando chegou a hora do tombo proposital,caí de mau jeito e fraturei uma costela. Na hora, não sabia

que estava com uma costela quebrada; sentia apenas uma dorforte no peito. Continuei a palestra da melhor forma possível,

embora estivesse respirando com dificuldade.Chegou então a hora da demonstração das camas de pregos

com o executivo peso-pesado. Quando ele subiu na cama decima, eu vi estrelas; não sei como consegui levar a palestraaté o final.

No mesmo dia, voltei para Cleveland e fui direto ao con-sultório da minha médica. Ela me informou que eu haviafraturado uma costela e devia ficar de repouso por um mês.Comecei a rir (mas parei, porque a dor era insuportável) edisse: “Você deve estar brincando. Tenho outra palestra na

IBM programada para a semana que vem.” E prossegui como ciclo de palestras como se nada tivesse acontecido. Feliz-mente, nenhum dos executivos das palestras seguintes pesava

mais que uns oitenta quilos.

O Sangue Dá o Toque FinalUma vez, quando apresentei a palestra do Circo Voador daFísica na Western Illinois University, meu assistente não pôde

viajar comigo; por isso, pedi ao meu anfitrião para usar a mar-

reta no número final. Disse a ele para golpear o bloco comvontade, caso contrário a plateia ficaria desapontada.

Eu queria um final bombástico e foi isso que ele me pro-

porcionou. O homem bateu no bloco de concreto com tantaforça que ele se despedaçou e alguns fragmentos foram ar-remessados na minha direção. Protegi os dentes e os olhoscom a mão, mas um dos cacos fez um corte profundo nomeu queixo.

Quando saí do espaço entre as camas e me dirigi nova-mente à plateia, o sangue escorria do meu queixo, sujando acalça e os sapatos. Meu anfitrião ficou pálido de preocupa-ção, mas o público irrompeu em aplausos. Aquele foi o me-lhor final das minhas apresentações do Circo Voador. Todavez que dou uma palestra, sinto uma estranha vontade de mecortar novamente.


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Fervura e o Efeito LeidenfrostJearl Walker

Como ferve a água? Por mais comum que seja esse fenômeno,

talvez você não tenha notado todos os seus aspectos curiosos.

Alguns desses aspectos são importantes para aplicações indus-

triais, enquanto outros servem de base para certos númerosperigosos apresentados em espetáculos de circo.

Esquente uma panela com água da torneira em um fogãoa gás. Quando a água começa a esquentar, moléculas de arque estavam dissolvidas na água formam pequenas bolhasem irregularidades no fundo da panela (Fig. 1a). As bolhasaumentam gradualmente de tamanho e começam a se des-prender do fundo da panela e subir à superfície (Figs. 1 b- f ),sendo substituídas por outras bolhas, até que todo o ar queestava em solução na água seja consumido. A formação debolhas de ar é sinal de que a água está sendo aquecida, masnão tem nada a ver com a fervura.

Fig. 1 (a) Uma bolha se forma em uma irregularidade no fundo deuma panela com água. (b-f ) A bolha cresce, se desprende e sobeaté a superfície.

A água que está exposta diretamente à atmosfera ferve auma temperatura T S , conhecida como temperatura normalde ebulição, que depende da pressão atmosférica. Quando apressão do ar é 1 atm, T S é aproximadamente 100 oC. Comoa água no fundo da panela não está diretamente exposta àatmosfera, permanece no estado líquido, mesmo quando ésuperaquecida, ou seja, quando atinge uma temperatura umpouco maior que T S . Durante o processo, a água é constante-mente misturada por convecção, que faz a água quente subire a água fria descer.

Se a temperatura da panela continua a aumentar, a águado fundo da panela também começa a passar para o estadogasoso, com as moléculas de água formando pequenas bo-

lhas de vapor nas mesmas irregularidades onde bolhas dear, como a mostrada na Fig. 1a, se formaram. Essa fase da

fervura é acompanhada por estalidos, chiados e zumbidos.É quase como se a água estivesse se lamentando por virarvapor. Toda vez que uma bolha de vapor atinge uma alturaonde a temperatura é um pouco menor, a bolha sofre umaimplosão, pois o vapor volta a se condensar. Essa implosãoproduz uma onda sonora, que constitui o zumbido. Quando atemperatura da água como um todo aumenta mais um pouco,as bolhas começam a chegar intactas à superfície. Essa faseda fervura, conhecida como “bolhas isoladas de vapor” está

ilustrada na Fig. 2.

Fig. 2 Curva de ebulição da água. Quando a temperatura do fundoda panela é aumentada acima do ponto normal de fervura, a taxacom a qual o calor é transferido do fundo da panela para a águaaumenta a princípio. Acima de uma temperatura, porém, a taxa de

transferência cai bruscamente para quase zero. Em temperaturasainda maiores, a taxa volta a aumentar.

Conforme a temperatura da panela continua a aumentar,o barulho da implosão das bolhas primeiro fica mais alto edepois desaparece. O ruído começa a diminuir quando a tem-

peratura da água como um todo se torna tão alta que a maioria

das bolhas chega intacta à superfície. A água está agora emplena ebulição.

Se a fonte de calor é uma boca de fogão, a história para por

aqui. Entretanto, com um bico de Bunsen você pode continu-

ar a aumentar a temperatura da panela. Nesse caso, as bolhasde vapor se tornam tão abundantes e se desprendem do fun-

Bolha inicial

Formação de

um pescoço

A bolha

sobe

Ebulição

nucleada

Ebulição

de transição Ebulição

em filme

Colunas

e balas

Bolhas

isoladasde vapor

Início da

fervura

T a x a d e t r a n s f e r ê n c i a d e c a l o r

Temperatura acima de T S (°C)


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do da panela com tanta frequência que começam a se fundir,formando colunas de vapor que sobem de forma violenta ecaótica, às vezes se chocando com “balas” de vapor que seformaram previamente.

A produção de bolhas e colunas de vapor é chamada deebulição nucleada porque a formação e o crescimento dasbolhas dependem de irregularidades no fundo da panela, queno caso se comportam como centros de nucleação (locaisde formação). Cada vez que você aumenta a temperatura dapanela, a taxa com a qual o calor é transferido para a panelaaumenta. Se você continua a aumentar a temperatura alémdo estágio das colunas e das balas, a ebulição entra em umanova fase, conhecida como regime de transição. Nessa fase,novos aumentos da temperatura fazem diminuir a taxa com aqual o calor é transferido para a panela. Existe uma explica-ção para isso. No regime de transição, boa parte do fundo dapanela está coberta por uma camada de vapor. Como o vapord’água conduz calor em uma ordem de grandeza mais deva-

gar que a da água no estado líquido, a taxa de transferênciade calor para a água diminui. Quanto maior a temperatura dapanela, menor o contato direto da água com a panela e maislenta a transferência de calor. Esse fenômeno pode prejudi-car o funcionamento de um trocador de calor , cujo objetivoé transferir energia de um objeto para o ambiente. Se a águade um trocador de calor entra no regime de transição, a taxa de

transferência de energia diminui e o objeto pode sofrer algum

tipo de dano por causa do aquecimento excessivo.Se a temperatura da panela continua a aumentar, toda a

superfície da panela acaba ficando coberta de vapor. Nessecaso, a energia passa a ser transferida para o líquido apenas

por radiação e condução através do vapor. Essa nova fase éconhecida como regime de ebulição em filme.

Embora não seja possível produzir a ebulição em filmeem uma panela com água colocada na boca de um fogão,isso é relativamente comum na cozinha. Minha avó uma vezme mostrou o que fazer para verificar se a frigideira estavasuficientemente aquecida para fazer panquecas. Depois deesquentar a frigideira por algum tempo, ela aspergiu algu-mas gotas d’água na frigideira. As gotas evaporaram quaseimediatamente, o que, segundo minha avó, queria dizer quea frigideira ainda não estava quente o bastante. Depois decontinuar o aquecimento por mais algum tempo, minha avórepetiu o teste e, dessa vez, as gotas se mantiveram suspensas

por quase um minuto antes de desaparecer. Isso era sinal deque estava na hora de assar as panquecas.

Para reproduzir o teste da minha avó, aqueci uma placade metal com um bico de Bunsen. Enquanto media a tempe-ratura da placa com um termopar, deixei cair gotas de águadestilada de uma seringa de injeção mantida a uma pequenadistância da placa. As gotas caíam em uma depressão que euhavia feito na placa com uma verruma. Com a seringa, erapossível produzir gotas de tamanho uniforme. Depois de dei-

xar cair uma gota, eu media o tempo que a gota levava para

evaporar. Mais tarde, fiz um gráfico desse tempo em funçãoda temperatura da placa (Fig. 3). O gráfico apresenta um pico

interessante. Quando a temperatura da placa estava entre 100

e 200oC, as gotas formavam uma camada fina na superfície da

placa e evaporavam rapidamente. Em temperaturas um pouco

maiores que 200oC, as gotas mantinham a forma arredonda-da e levavam mais de um minuto para evaporar. Em tempe-raturas ainda maiores, as gotas evaporavam mais depressa.Experimentos semelhantes com água da torneira produziramgráficos com picos mais largos, provavelmente porque par-tículas suspensas de impurezas interrompiam a camada devapor, conduzindo calor para as gotas.

Fig. 3 Tempo de vida de gotas d’água em uma placa quente em fun-

ção da temperatura. Curiosamente, em um certo intervalo de tempe-

raturas, o tempo de vida aumenta quando a temperatura aumenta.

O fato de que uma gota d’água leva muito tempo para eva-

porar quando é depositada em uma placa de metal muito maisquente do que a temperatura de ebulição da água foi men-cionado pela primeira vez por Hermann Boerhaave em 1732,

mas a primeira investigação sistemática do fenômeno de quese tem notícia foi realizada em 1756, quando Johann GottlobLeidenfrost publicou “Um Tratado Sobre Algumas Qualida-des da Água Comum”. Como a obra de Leidenfrost não foitraduzida do latim até 1965, não teve muita divulgação. Mes-

mo assim, seu nome foi associado ao fenômeno. Além disso,a temperatura correspondente ao pico de um gráfico como da

Fig. 3 é conhecida como ponto de Leidenfrost.Leidenfrost executou seus experimentos com uma colher

de ferro aquecida ao rubro em uma lareira. Depois de colo-car uma gota d’água na colher, ele media o tempo que a gotalevava para evaporar, com a ajuda de um pêndulo. Leiden-frost observou que a gota parecia absorver a luz e o calor dacolher, deixando um ponto escuro em seu lugar. A primeiragota que depositou na colher durou 30 s, enquanto a gota se-guinte durou apenas 10 s. As gotas seguintes duraram apenas

alguns segundos.Leidenfrost interpretou erradamente suas observações por-

que não percebeu que as gotas que sobreviviam por maistempo estavam evaporando parcialmente. Vou explicar o que

acontece em termos de meus experimentos. Quando a tem-peratura da placa está muito abaixo do ponto de Leidenfrost,

Ponto de Leidenfrost

T e m p

o d e v i d a d a s g o t a s ( s )

Temperatura da placa (°C)


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a água se espalha pela placa e recebe energia da placa a umataxa elevada, evaporando totalmente em questão de segun-dos. Quando a temperatura está nas vizinhanças do ponto deLeidenfrost, a parte de baixo da gota evapora quase instanta-neamente. A pressão do vapor assim produzido impede queo resto da gota entre em contato com a placa (Fig. 4). Assim,o vapor protege e sustenta a gota durante mais de um minuto.

A camada de vapor é constantemente reposta pelo vapor quese forma quando a parte de baixo da gota continua a evapo-rar por causa da energia fornecida pela placa por radiação epor condução através da camada de vapor. Embora a camadatenha menos de 0,1 mm de espessura na periferia da gota eapenas cerca de 0,2 mm no centro, retarda a evaporação deforma extraordinária.

Fig. 4 Vista de perfil de uma gota flutuante.

Depois de ler a tradução da pesquisa de Leidenfrost, en-contrei por acaso a descrição de um número curioso, realizado

em alguns circos por volta de 1900, que envolvia enfiar osdedos da mão em um recipiente com chumbo fundido. Su-pondo que não se tratasse de um truque, cheguei à conclusão

de que o número deveria se basear no efeito Leidenfrost. Nomomento em que os dedos úmidos do artista tocassem o metal

líquido, parte da água se transformaria em vapor, protegendo

os dedos e evitando que se aquecessem muito.Não pude resistir à tentação de testar minha teoria. Usei

um bico de Bunsen para fundir uma quantidade considerá-vel de chumbo em um cadinho. Aqueci o chumbo até umatemperatura da ordem de 400oC, muito acima da temperatura

de fusão do metal, que é 328oC. Depois de molhar um dedoem água da torneira, preparei-me para tocar na superfície dochumbo fundido. Confesso que tinha um assistente a postoscom material de primeiros socorros. Confesso também queminhas primeiras tentativas falharam porque meu cérebro serecusou a permitir a execução de um experimento tão ridícu-lo, fazendo-me recolher o dedo na última hora.

Quando finalmente consegui superar o medo e toquei nochumbo, tive uma grande surpresa. Não houve nenhuma sen-

sação de calor. Como eu havia previsto, parte da água quecobria meu dedo se transformou em vapor, formando umacamada protetora. Como o contato foi breve, a radiação e acondução de calor através do vapor não foram suficientes para

fazer a temperatura do meu dedo aumentar de forma signi-ficativa. Minha ousadia aumentou. Depois de molhar bem a

mão, mergulhei todos os dedos no chumbo, chegando a to-car no fundo do recipiente (Fig. 5). O contato com o chumbo

continuou a ser totalmente inócuo. Aparentemente, o efeitoLeidenfrost, ou, mais exatamente, a ocorrência quase instan-tânea de uma ebulição em filme, protegia meus dedos.

Fig. 5 Walker demonstrando o efeito Leidenfrost com chumbo fun-

dido. Ele acabou de mergulhar os dedos no chumbo, tocando o fun-do do cadinho. A temperatura do chumbo está indicada em grausFahrenheit no termômetro industrial.

Eu ainda não estava totalmente convencido de que haviaencontrado a explicação correta. Seria possível tocar o chum-

bo com um dedo seco sem sofrer queimaduras? Deixando delado toda a cautela, fiz a experiência, percebendo imediata-mente a bobagem que fizera quando senti uma dor aguda.Mais tarde, experimentei com uma salsicha seca, mantendo-a

imersa no chumbo fundido por alguns segundos. A pele dasalsicha logo ficou preta, pois, como o meu dedo, não contava

com a proteção da camada de vapor.Devo prevenir o leitor de que mergulhar os dedos em

chumbo fundido é extremamente perigoso. Se o chumbo es-tiver apenas ligeiramente acima do ponto de fusão, a per-da de energia com a vaporização da água pode solidificar ochumbo em torno dos dedos. Essa luva de chumbo sólido auma temperatura de mais de 200 oC ficaria em contato comos dedos por tempo suficiente para evaporar toda a água ecausar sérias queimaduras. É preciso também levar em contaa possibilidade de respingos. Se houver água demais nos de-dos, a evaporação rápida pode causar uma pequena erupçãode chumbo fundido, capaz até mesmo de atingir os olhos. Jásofri algumas queimaduras nos braços e no rosto produzidaspor essas vaporizações explosivas. Em suma: não tente re-

petir esse experimento!

A ebulição em filme também pode acontecer quando nitro-gênio líquido é derramado no chão. O líquido está a uma tem-

Gota flutuante

Camada de vapor


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peratura de cerca de 200oC abaixo de zero. Quando as gotasse aproximam do piso, a parte inferior de cada gota se trans-forma em vapor, sustentando o resto do líquido e permitindoque sobreviva por um tempo surpreendentemente longo.

Ouvi falar de um espetáculo no qual um artista despeja-va nitrogênio líquido diretamente na boca sem se queimar;o líquido sofria uma ebulição em filme ao entrar na boca epor isso não chegava a entrar em contato com a língua. To-lamente, resolvi imitá-lo. Fiz isso muitas vezes sem nenhumproblema. Depois de inspirar fundo, despejava na boca umaquantidade considerável de nitrogênio líquido e soprava o ar.

O vapor presente no ar exalado se condensava, produzindouma linda nuvem que se estendia até um metro de distânciada minha boca. Entretanto, uma vez, o líquido produziu umacontração tão brusca dos meus dentes incisivos que eles so-freram dezenas de fissuras. Meu dentista me fez prometer que

aquela tinha sido minha última demonstração.O efeito Leidenfrost pode ser responsável por outro tipo

de feito, o de “andar sobre brasas”. De vez em quando, a mí-dia relata, com muito alarde, casos de indivíduos que andamdescalços sobre carvões em brasa, às vezes afirmando queo fato de não se queimarem é uma prova de que “a menteé mais forte que a matéria”. Na verdade, o que os protege éum fenômeno físico. Particularmente importante é o fato deque, embora a superfície dos pedaços de carvão esteja a umatemperatura muito elevada, a quantidade de energia envol-vida é surpreendentemente pequena. Se a pessoa caminhacom um passo relativamente apressado, a duração da cadapisada é tão curta que o pé recebe pouca energia dos pedaçosde carvão. Naturalmente, andar devagar pode ser um convi-

te para uma queimadura, pois o contato mais longo permiteque o calor proveniente do interior do carvão tenha tempode chegar ao pé.

Se os pés estão molhados no início da caminhada, issopode ajudar, graças ao efeito Leidenfrost. Para molhar ospés, a pessoa pode pisar em grama úmida antes de chegar àsbrasas. Outra possibilidade é que os pés estejam suados porcausa do calor das brasas, ou mesmo graças à emoção domomento. Quando a pessoa começa a pisar nas brasas, partedo calor das brasas é usada para vaporizar o líquido, o quedeixa pouca energia para queimar os pés. Além disso, podehaver pontos de contato onde a ebulição em filme protege a

sola do pé.Andei sobre brasas em cinco ocasiões. Nas quatro primei-

ras, eu sentia tanto medo que meus pés estavam molhados desuor. Na quinta vez, porém, já me sentia tão seguro que meus

pés estavam secos e sofri queimaduras extensas e extrema-mente dolorosas. Meus pés levaram semanas para sarar.

Meu fracasso pode ter sido causado pela falta de uma ca-mada de vapor entre meus pés e as brasas, mas eu também

havia omitido um fator adicional de segurança. Nas caminha-

das anteriores, eu tinha levado junto ao peito um exemplar de

Fundamentos de Física para reforçar minha fé na física. Nodia em que me queimei, tinha esquecido o livro em casa.

Faz alguns anos que defendo a ideia de que os cursos defísica deviam usar “caminhar sobre brasas” como exame fi-nal. O coordenador do programa ficaria esperando do outrolado de um leito de carvões em brasa a ser atravessado pelocandidato. Se a fé do candidato na física fosse suficiente para

que seus pés não sofressem queimaduras, o coordenador en-tregaria ao aluno seu diploma. Esse tipo de teste seria maisrevelador que os exames tradicionais.

ReferênciasLeidenfrost, Johann Gottlob, ‘‘On the Fixation of Water inDiverse Fire’’, International Journal of Heat and Mass Trans-

fer , Vol. 9, 1153-1166 (1966).

Gottfried, B. S., C. J. Lee, and K. J. Bell, ‘‘The Leidenfrost

Phenomenon: Film Boiling of Liquid Droplets on a Flat Pla-te’’, International Journal of Heat and Mass Transfer , Vol.9, 1167-1187 (1966).

Hall, R. S., S. J. Board, A. J. Clare, R. B. Duffey, T. S. Playle,

and D. H. Poole, ‘‘Inverse Leidenfrost Phenomenon’’, Natu-re, Vol. 224, 266-267 (1969).

Walker, Jearl, ‘‘The Amateur Scientist’’, Scientific American,

Vol. 237, 126-131, 140 (August 1977).

Curzon, F. L., ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, American Journal of Physics, Vol. 46, 825-828 (1978).

Leikind, Bernard J., and William J. McCarthy, ‘‘An Investi-gation of Firewalking’’, Skeptical Inquirer , Vol. 10, No. 1,23-34 (Fall 1985).

Bent, Henry A., ‘‘Droplet on a Hot Metal Spoon’’, American

Journal of Physics, Vol. 54, 967 (1986).

Leikind, B. J., and W. J. McCarthy, ‘‘Firewalking’’, Expe-rientia, Vol. 44, 310-315 (1988).

Thimbleby, Harold, ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, Phy-sics Education, Vol. 24, 300-303 (1989).

Taylor, John R., ‘‘Firewalking: A Lesson in Physics’’, ThePhysics Teacher , Vol. 27, 166-168 (March 1989).

Zhang, S., and G. Gogos, ‘‘Film Evaporation of a SphericalDroplet over a Hot Surface: Fluid Mechanics and Heat/MassTransfer Analysis’’, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 222,543-563 (1991).

Agrawal, D. C., and V. J. Menon, ‘‘Boiling and the Leiden-frost Effect in a Gravity-free Zone: A Speculation’’, Physics

Education, Vol. 29, 39-42 (1994).


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10 MATERIAL S UPLEMENTAR

FasoresApoio ao Capítulo 16, Volume 2, de Fundamentos de

Física, Nona Edição

Jearl Walker

Vamos discutir o uso de fasores, definidos na Seção 16-11,com mais detalhes e novos exemplos, primeiro com uma onda

e depois com duas ondas. Em seguida, vamos propor algunsproblemas (cujas respostas aparecem no final).

Uma ondaSuponha que uma onda dada pela função

y( x ,t ) (2,00 mm) sen(300 x − 700t ) (1)

esteja se propagando em uma corda. Essa função nos diz que a

onda se propaga no sentido positivo do eixo x (que é a direção

da corda), com a corda oscilando paralelamente ao eixo y (que

é uma direção perpendicular à corda). Na função, a posição x está em metros e o tempo t está em segundos.

Vamos calcular o deslocamento da corda em x 0, queé uma posição na qual a Equação 1 fica mais simples, por-que o termo 300 x se anula. Nesse ponto, o deslocamento dacorda é dado por

y(0, t ) (2,00 mm) sen(−700t). (2)No instante t 0, o deslocamento é

y(0, 0) (2,00 mm) sen[−700(0)] 0

No instante t 2,25 ms, o deslocamento é

y(0, 2,25 ms) (2,00 mm) sen[−700(2,25 × 10−3)]

−2,00 mm.

(Para refazer as contas na sua calculadora, não se esqueça decolocar a calculadora no modo de radianos.) No instante t 4,50 ms, o deslocamento é

y(0, 4,50 ms) (2,00 mm) sen[−700(4,50 × 10−3

)] 1,7 × 10−2 mm 0.

Dessa forma, podemos montar uma tabela do deslocamentoem nosso ponto de observação em função do tempo:

Tempo (ms) Deslocamento (mm)0 02,25 −2,004,50 06,75 +2,009,00 0

Uma forma de representar a oscilação da corda no pontode observação é usar um diagrama fasorial. Em um diagrama

desse tipo, um fasor é um vetor que gira em torno da origemde um sistema formado por dois eixos mutuamente perpen-diculares, com a cauda na origem (Fig. 1).

Os eixos não são os eixos x e y de um sistema de coorde-nadas convencional; vamos chamá-los simplesmente de eixo

horizontal e eixo vertical. O comprimento do vetor representa

a amplitude da onda (2,00 mm nas Equações 1 e 2). A veloci-

dade angular do vetor é a frequência angular da onda (700rad/s no caso que estamos discutindo). O sentido de rotaçãoé sentido horário.

Enquanto o fasor (o vetor) gira em torno da origem dodiagrama fasorial, sua projeção no eixo vertical, em qualquer

instante, corresponde ao deslocamento da onda nesse instante

em nosso ponto de observação. (A expressão “projeção noeixo vertical” significa a componente do vetor em relação aoeixo vertical, como mostra a Fig. 2.)

Já vimos que, no ponto x 0, o deslocamento da onda daEquação 1 é 0 no instante t 0, −2,00 mm no instante t 2,25 ms e 0, novamente, no instante t 4,50 ms. Podemosrepresentar esses resultados através dos fasores da Fig. 3.

Fig. 1

Fig. 2


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MATERIAL S UPLEME NTAR 11

No instante t 0, o fasor aponta para a direita e não pos-sui uma projeção (ou seja, uma componente) em relação aoeixo vertical (Fig. 3a). Assim, esse arranjo corresponde a umdeslocamento 0 da corda. No instante t 2,25 ms, o fasor

aponta para baixo e sua projeção no eixo vertical é igual aomódulo do fasor, 2,00 mm (Fig. 3b). Esse arranjo correspon-de a um deslocamento da corda de −2,00 mm. No instantet 4,50 ms, o fasor aponta para a esquerda e não possui umaprojeção em relação ao eixo vertical, o que corresponde a um

deslocamento 0 da corda (Fig. 3c).O deslocamento da corda no ponto de observação é sem-

pre dado pela projeção do fasor no eixo vertical do diagramafasorial, que varia de acordo com o ângulo de rotação do fa-sor. Podemos imobilizar mentalmente o fasor em um instante

qualquer e calcular qual é o deslocamento y da corda nesseinstante. Para isso, podemos traçar a projeção ou, uma vezconhecido o ângulo entre o fasor e o eixo horizontal ou ver-tical, calcular o deslocamento usando a equação

y (módulo do fasor) × sen (ângulo com o eixohorizontal)

ou a equação

y (módulo do fasor) × cos (ângulo com o eixo vertical).

Assim, por exemplo, no instante t 8,22 ms, o fasor fazum ângulo de aproximadamente 30o com o eixo horizontaldo diagrama fasorial. Nesse instante, o deslocamento é apro-ximadamente

y (2,00 mm) sen 30o 1,00 mm,

o que significa que o deslocamento da corda no ponto de ob-servação é 1,00 mm.

A vantagem de usar um fasor para representar uma ondaé que essa representação permite investigar a variação daamplitude da onda com o tempo em um certo ponto de ob-servação. Entretanto, quando se trata de uma única onda, avantagem é pequena. Vamos agora examinar uma vantagemmaior dos fasores: quando precisamos combinar duas (oumais) ondas de diferentes amplitudes, o uso de fasores podepoupar muito trabalho.

Duas ondasSuponha que temos agora duas ondas se propagando na mes-ma corda. Uma das ondas é dada pela Equação 1 (vamos usar

um índice inferior para distingui-la da segunda onda):

y1 ( x , t ) (2,00 mm) sen(300 x − 700t ) (3)

A outra onda é dada por

y2( x , t ) (1,00 mm) sen(300 x − 700t + /2 rad). (4)As duas ondas estão se propagando no sentido positivo doeixo x e têm o mesmo número de onda (300 m−1) e a mesmafrequência angular (700 rad/s). Entretanto, possuem ampli-tudes diferentes (2,00 mm, no caso da onda 1, e 1,00 mm,no caso da onda 2). Além disso, não estão em fase, já que aconstante de fase da onda 1 é 0 e a constante de fase da onda2 é /2.

Se pudéssemos ver as duas ondas passarem pelo nosso pon-

to de observação (que continua a ser o ponto x 0), notaría-mos que, por causa da diferença de fase, as ondas passariampor um pico (ponto de máximo deslocamento) em instantesdiferentes: a onda 1 passaria por um pico antes da onda 2.Entretanto, não podemos ver as ondas separadamente; o quevemos é a onda que resulta da interferência das duas ondas.

Estamos interessados em obter uma equação que represen-

te a onda resultante para calcular a variação com o tempo dodeslocamento da corda. Um ponto importante é o seguinte:

Como as ondas têm amplitudes diferentes, não podemos usar

as identidades trigonométricas simples da Seção 16-10 para

obter o resultado relativamente simples da Equação 16-51.

Resumindo, a tentativa de combinar as duas ondas para ob-ter a onda resultante leva a um beco sem saída. Entretanto,os fasores podem ser a salvação. Para começar, desenhamosum fasor para cada onda no mesmo diagrama fasorial. Emseguida, somamos vetorialmente os fasores para obter umfasor resultante. Finalmente, usamos o fasor resultante paraescrever a equação da onda resultante e calcular a variaçãocom o tempo do deslocamento da corda.

Como desenhar os dois fasores

Os fasores que representam as duas ondas giram em torno daorigem do diagrama fasorial com a mesma velocidade angu-

lar, já que as duas ondas possuem a mesma frequência angular( 700 rad/s). Por outro lado, os módulos dos fasores são

Fig. 3


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diferentes, já que as ondas têm amplitudes diferentes: o fasor1 (que corresponde à onda 1) tem um comprimento de 2,00mm e o fasor 2 (que corresponde à onda 2) tem um compri-mento de 1,00 mm.

Os fasores também têm orientações diferentes, uma vezque a onda 2 está defasada de /2 em relação à onda 1. Issosignifica que o fasor 2 faz um ângulo de /2 (ou 90o) com ofasor 1. Entretanto, os fasores estão orientados como na Fig.4a ou como na Fig. 4b?

O fasor 2 é perpendicular ao fasor 1 nas duas figuras. Pararesponder, basta lembrar que a onda 1 passa por um pico an-tes da onda 2. Quando uma onda passa por um pico, o fasorcorrespondente está alinhado com o eixo vertical do diagra-ma fasorial. Assim, o fasor 1 deve ser alinhado com o eixovertical antes do fasor 2, o que significa que a representaçãocorreta é a da Fig. 4a.

Como somar os dois fasores

Podemos agora somar vetorialmente os fasores 1 e 2 paraobter o fasor resultante e, a partir do fasor resultante, a ondaresultante. Embora seja possível somar os dois fasores emqualquer instante, vamos somá-los no instante t 0 para que

o fasor 1 não possua uma componente em relação ao eixovertical (Fig. 5a).

Para realizar a soma, podemos usar as técnicas do Capítulo

3 ou uma calculadora científica.

Técnicas do Capítulo 3:Deslocamos o fasor 2 até que sua cauda coincida com aponta do fasor 1 e desenhamos um fasor entre a origem e a

ponta do fasor 2 (Fig. 5b). No caso que estamos analisando,os três fasores formam um triângulo retângulo. ( Atenção:

isso acontece apenas quando a diferença de fase entre osdois fasores é /2.) O comprimento da hipotenusa,

[(2,00 mm)2 + (1,00 mm)2]1/2 2,24 mm,

é a amplitude da onda resultante. O ângulo entre a hipote-nusa e o fasor horizontal 1,

tan-1

[(1,00 mm)/(2,00 mm)] 0,464 rad,é a constante de fase da onda resultante em relação à onda

1 (Fig. 6).

Calculadora científica:A soma é executada entrando na calculadora com

[20] + [1 /2]

na qual os vetores são indicados por colchetes e a calcu-ladora deve estar no modo de radianos. (Nas calculadorasTI-89 e TI-92, é preciso digitar uma vírgula entre o módulo

e o símbolo de ângulo; em outras calculadoras, é preciso

substituir /2 por 1,571.) Na maioria das calculadoras, aresposta aparece na forma

[2,240,464]

que significa que o módulo e o ângulo do fasor resultantesão, respectivamente, 2,24 mm e 0,464 rad. Assim, a onda

resultante tem uma amplitude de 2,24 mm e uma constante

de fase de 0,464 rad.

Para somar os fasores em um instante diferente de t 0,usaríamos um arranjo como o da Fig. 5.b com o triângulo em

outra orientação em relação aos eixos. Os valores do móduloe do ângulo do fasor resultante em relação à onda 1, porém,seriam os mesmos. Como o fasor resultante liga a origem àponta do segundo fasor, ele gira em torno da origem com amesma velocidade angular que os fasores 1 e 2. Assim, a onda

resultante tem a mesma frequência angular ( 700 rad/s)que as ondas 1 e 2.

A onda resultante pode ser escrita na forma

y( x , t ) (2,24 mm) sen(300 x − 700t + 0,464 rad).

Quando a onda resultante passa pelo nosso ponto de obser-

vação, o deslocamento da corda varia senoidalmente comuma amplitude de 2,24 mm. Como a constante de fase de

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 6


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0,464 rad da onda resultante está entre as constantes defase de 0 e /2 das ondas 1 e 2, a onda resultante passa porum pico depois da onda 1 e antes da onda 2. Se você querficar com dor de cabeça, tente resolver esse problema semusar fasores.

Agora É a Sua Vez(As respostas estão no final do texto)

1. A onda 1 é

y1( x , t ) (2,00 mm) sen(300 x − 700t )

e a onda 2 é

y2( x , t ) (1,00 mm) sen(300 x − 700t − /2 rad).

(Note que a constante de fase da onda 2 tem um valor ne-gativo.) (a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t 0 edetermine o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c)a constante de fase da onda resultante?

2. Repita o Problema 1 para a mesma onda 1 e uma onda 2dada por

y2( x , t ) (1,00 mm) sen(300 x − 700t + 3 /4 rad).

3. (Agora vamos a um desafio de verdade.) Três ondas sepropagam na mesma corda:

y1( x , t ) (2,00 mm) sen(300 x − 700t ), y2( x , t ) (1,00 mm) sen(300 x − 700t − /2 rad),

y3( x , t ) (3,00 mm) sen(300 x − 700t + 2 /3 rad).

(a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t 0 e determine

o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) a constantede fase da onda resultante?

Respostas1. (b) 2,24 mm; (c) −0,464 rad (ou −26,6o)2. (b) 1,47 mm; (c) +0,501 rad (ou +28,7o)3. (b) 1,67 mm; (c) +1,27 rad (ou +72,7o)


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Marcas de DerrapagemJearl Walker

Um dos exemplos da Seção 6-2 de Fundamentos da Física,Nona Edição, se refere ao recorde de marcas de derrapagemem uma via pública, estabelecido em 1960 pelo motorista deum Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra, que estava a mais de

210 km/h quando as rodas foram travadas e o carro começoua derrapar. A velocidade do Jaguar era excessiva, é claro, mas

eu não me surpreenderia se descobrisse que velocidades ainda

maiores são atingidas rotineiramente nas autobahns alemãs,onde alguns motoristas se mostram dispostos a estabelecerum novo recorde de velocidade em terra.

As marcas de derrapagem do Jaguar foram impressionan-tes, mas não se comparam às marcas deixadas por Craig Bre-edlove, em outubro de 1964, no deserto de sal de Bonneville,no estado americano de Utah. Para tentar derrubar o recordeterrestre e romper a “barreira” das 500 milhas por hora (805km/h), Breedlove conduziu seu Spirit of America, movido afoguete, por uma milha medida, primeiro em um sentido edepois no sentido oposto, para eliminar a influência do vento.

Quando passou a segunda vez pela milha, estava se movendoa aproximadamente 870 km/h.

Para reduzir a velocidade, lançou um paraquedas, mas acorda arrebentou com o esforço; o paraquedas de reservatambém falhou. Breedlove recorreu aos freios, afundando opedal até o fim, mas eles só serviram para deixar marcas dederrapagem de quase 10 km de comprimento antes de quei-marem.

O veículo estava a cerca de 800 km/h quando passou entre

duas filas de postes telefônicos, deixando de colidir com elespor uma questão de centímetros. Finalmente, parou após su-bir em um monte de terra e cair, a 260 km/h, em um lago desalmoura com 6 m de profundidade. Como Breedlove estavapreso pelo cinto de segurança, quase se afogou no carro sub-merso. (Perigoso, sim, mas, pensando bem, menos do que em

uma autobahn.) As duas passagens de Breedlove pela milhaquebraram o recorde de velocidade: a velocidade média atin-gida foi 526,277 milhas por hora (846,961 km/h).


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Tráfego na Hora do RushUm problema aplicado envolvendo velocidade eaceleração

Jearl Walker

Os sinais de trânsito de uma pequena cidade em geral não pre-

cisam estar sincronizados. O tráfego pode ser desordenado,mas as filas que se formam nos sinais vermelhos são peque-nas. Nas grandes cidades, por outro lado, especialmente nahora do rush, o tráfego deve ser bem organizado, caso con-trário as filas crescem até bloquear os cruzamentos, produ-zindo um grande engarrafamento. Como, em casos extremos,

apenas os carros que estão na periferia do congestionamentopodem se mover, podem ser necessárias várias horas para queos carros no centro da cidade sejam liberados.

Suponha que você seja encarregado de planejar o sistemade sinais de trânsito de uma avenida de mão única, com várias

pistas, que apresenta um intenso movimento na hora do rush.Os sinais devem permanecer verdes durante 50 s, amarelosdurante 5 s e vermelhos durante 25 s (esses tempos são va-lores típicos para vias urbanas de grande movimento). Parafacilitar o movimento dos carros, você pode se sentir tentadoa aumentar a duração do sinal verde ou diminuir a duraçãodo sinal vermelho. Entretanto, não pode se esquecer de que

o tráfego nas ruas transversais não deve ser interrompido pormuito tempo, caso contrário serão formadas longas filas.

Como você deve programar o sincronismo dos sinais? Setodos os sinais ficarem verdes ao mesmo tempo, os carros sópoderão andar durante 50 s. Cada vez que os sinais abrem,pelotões de carros avançam na avenida até que todos os sinais

fiquem vermelhos. Para maximizar a distância percorrida, osmotoristas devem acelerar ao máximo. Grandes pelotões decarro se movendo, digamos, a 100 km/h em uma única viacriam um cenário de “fórmula um”, o que, obviamente, é uma

situação indesejável, em se tratando de pilotos amadores.Um sincronismo melhor e mais seguro é aquele no qual a

abertura dos sinais é escalonada de tal forma que o sinal sófica verde em um cruzamento quando os primeiros carros deum pelotão estão se aproximando. (A luz verde deve aparecer

um pouco antes da chegada dos carros, para que não reduzam

a marcha desnecessariamente.) Esse tipo de arranjo desenco-

raja os motoristas afoitos, já que, se acelerarem demais, terão

de parar em um sinal que ainda não abriu.A Fig. 1 mostra uma parte da avenida a ser controlada.

Suponha que os carros da frente de um pelotão acabaram dechegar ao cruzamento 2 e que o sinal abriu quando estavama uma distância d do cruzamento.

Fig. 1 A avenida de mão única cujos sinais devem ser programa-dos.

Os carros continuam a se mover a uma velocidade vP (o limi-te de velocidade) até chegarem ao cruzamento 3, no qual o

sinal fixa verde quando os primeiros carros do pelotão estãoa uma distância d . Os cruzamentos estão separados por umadistância D23.

Questão 1: Qual deve ser o tempo de retardo do sinal verde

do cruzamento 3 em relação ao sinal verde do cruzamento2 para que o pelotão se mova com velocidade constante?(Nesta pergunta e nas seguintes, apresente a resposta emtermos dos símbolos dados.)

A situação (e a resposta) muda se o pelotão teve que pararem um sinal vermelho no cruzamento anterior. Na Fig. 1, por

exemplo, o pelotão está parado no cruzamento 1. Quando osinal abre, os primeiros carros do pelotão precisam de umdeterminado tempo t R para reagir à mudança e de um tempoadicional para atingir a velocidade vP. Durante a aceleração,os carros da frente do pelotão percorrem uma distância menor

do que se estivessem à velocidade vP.

Questão 2: Se a distância entre os cruzamentos 1 e 2 é D12 e o sinal do cruzamento 2 deve ficar verde quando oscarros da frente do pelotão estão a uma distância d do cru-zamento, quanto tempo depois que o sinal do cruzamento1 abre, o sinal do cruzamento 2 deve abrir?


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Mesmo com um sistema de sinais que abrem sequencialmente,

o trânsito pode engarrafar. O problema está no fato de que,quando um pelotão para em um sinal vermelho e o sinal ficaverde, os carros não podem acelerar todos ao mesmo tempo.Em vez disso, uma “onda de movimento” se propaga em di-reção à parte traseira do pelotão com uma velocidade vS . Osmotoristas começam a reagir apenas quando a onda chega até

eles. Os motoristas da parte de trás do pelotão também têmuma distância maior a percorrer até o cruzamento seguinte.

Questão 3: Suponha que um motorista se encontra a umadistância d 1 da frente do pelotão que está parado no cruza-mento 1 e que a duração do sinal verde do cruzamento 2 ét V 2. Se o sinal do cruzamento 2 fecha quando o motoristaestá a uma distância d do cruzamento (e consegue passarno amarelo), qual é o retardo do sinal verde do cruzamento

2 em relação ao sinal verde do cruzamento 1?

Todos esses pontos aparecem na Fig. 2, que mostra o mapa dos

cruzamentos do lado esquerdo e um gráfico do progresso dopelotão (com os ciclos dos sinais de trânsito) do lado direito.

Um trecho d 1 do pelotão, que estava inicialmente paradono cruzamento 1, consegue passar por todos os sinais, semparar. Os períodos iniciais de aceleração estão representadospor linhas curvas, com os carros da parte de trás do pelotãolevando mais tempo para iniciar a aceleração. O sinal de cada

cruzamento fica verde momentos antes da chegada dos carros

da frente do pelotão.A figura também mostra que nem todos os carros do pe-

lotão conseguem passar pelo cruzamento 1 antes que o sinal

feche. Se isso acontece várias vezes em sequência, a fila decarros “abandonados” tende a crescer, chegando talvez aocruzamento anterior, caso em que pode bloquear o trânsitoda rua secundária, causando um engarrafamento.

Questão 4: Como se pode obter, a partir do gráfico, (a) avelocidade vP e (b) a velocidade vS ? (c) Qual é a duraçãoda fase de aceleração?

Um engarrafamento pode acontecer, mesmo que o sistemade sinais de trânsito tenha sido bem planejado. Uma vez fi-quei retido em um engarrafamento quando uma nevasca sú-bita atingiu a cidade de Cleveland na hora do rush da tarde.Como a rua em que eu estava ficou escorregadia, os carros da

parte da frente do pelotão reduziram a velocidade. A veloci-dade das ondas de movimento também diminuiu. Em menosde 20 minutos, a fila de carros abandonados da parte de trásdos pelotões atingiu os cruzamentos anteriores, bloqueandoas ruas secundárias. Em três quilômetros da minha rua e emcinco ruas paralelas, o trânsito ficou praticamente paralisado.

Só consegui avançar porque os carros que estavam na partedianteira do congestionamento escaparam gradualmente porvias laterais. Enquanto deixavam a via principal, uma ondade movimento progredia preguiçosamente ao longo do engar-

rafamento, permitindo que eu me adiantasse alguns poucoscarros de cada vez. O problema se agravou quando a neveficou mais funda e carros atolados começaram a bloquearas pistas. Embora o percurso que eu pretendia fazer levassenormalmente 5 minutos, naquele dia fatídico levei mais de 2horas para chegar ao destino.

Respostas das questões:1. t D23 / vP2. t t R vP /2a ( D12 − d )/ vP 3. t t R vP /2a d 1 / vS − t V 2 ( D12 − d d 1)/ vP

4. (a) vP é a inclinação da parte retilínea de x (t ). (b) vS é a in-clinação da parte inicial da curva de x (t ). (c) vP / a.

Fig. 2 Representação gráfica do movimento de um pelotão de carros que estavam inicialmente parados no cruza-mento 1. As barras coloridas mostram o tempo que os sinais permanecem verdes, amarelos e vermelhos.

Ensaios de Jearl Walker

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