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:

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Creative Commons.

, , ,

.

.

.

-

( )

.

: 2

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3/11

9 4

9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9.3 Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

: 3

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9

9.1

, ,

, 1

2.

.

,

Bolzano-Weierstrass3:

.

. ,

.

9.1.1. {Ui : i I} X

, J I, X =iJ

Ui . F X

, F .

9.1.2. () . , X =

{x1,x2, . . . ,xn} = iI

Ui , Ui , k = 1,2 . . . ,n ik I

xk Uik. X =n

k=1

Uik.

() X X(

X )

(;).

, . ,

, .

9.1.3. X F X. F

{Ui : i I} F X ( {Ui : i I}

X F iI

Ui) .

: .

1 f : [a,b] R , x1,x2 [a,b]

f(x1) f(x) f(x2), x [a,b].2 .3 ( ) .

: 4

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9.1.4. X F X, F .

: (Ui)iI F X. (Ui)iI {X\F}

()X. i1, . . . ik IX = Ui1 UikX\F.

F Ui1 Uik, F .

,

.

9.1.5. X (Fi)iI X

iI

Fi .

: X (Ui)iI X

X =iI

Ui , J I X =iJ

Ui . (Fi = Uci

i I) (Fi)iI X iI

Fi =, J I

iJ

Fi = . , (Fi)iI X

, iI

Fi .

,

. ,

.

.

9.1.6. X X

( , X ).

: () (x ) X. F =

{x : }. F F1 F2 2 1. , (F)

, 1, 2, . . . , n , 1, . . . , n,

F ni=1

Fi . X , 9.1.5, x

F.

x (x). , U Nx , U {x : }

(x F), x U.

() (Fi)iI X, . 9.1.5,

iI

Fi . H I

xH iH

Fi . = {H I : H}

H1 H2 H1 H2.

, (,) (xH)H X. ,

x X, (xH).

i0 I U Nx . x (xH),

H {i0} xH U.

xH iH

Fi Fi0 .

: 5

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6/11

, xH Fi0 U Fi0 U . x Fi0 = Fi0 ( Fi0 ).,

i0 I, x iI

Fi . ,iI

Fi X .

9.1.6 ,

.

9.1.7. X (x) X

. (x ) .

, .

, Hausdorff

, .

9.1.8. X K X.

(i) F X x K x F , K F .

(ii) X Hausdorff L X K, K L

.

(iii) X F X K, K F

.

: (i) x K , Ux ,Vx x Ux

F Vx . (Ux)xK K. ,x1, . . . ,xn KK

ni=1

Uxi . :

U =

ni=1

Uxi V =

ni=1

Vxi .

U,V ,K UF V. UV =. ,

x U, i {1,2, . . . n} x Uxi x Vxi . U V =

F, K .

(ii) x K y L x y , X Hausdorff, x,y

. L , (i), x K, x

L . K , (i), K L

.

(iii) x K, x,F , x F X T3.

, (i) KF .

9.1.9. X Hausdorff.

(i) X , .

(ii) X .

: 6

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: (i) F1,F2 X X. , F1 F2

( 9.1.4) , 9.1.8(ii), F1,F2

. X .

(ii)K X x X\K. {x} K X.

9.1.8(ii), . ,

UV,

x U X\ V X\ K.

X\K Nx , x X\K. X\K , K

.

9.1.10. 9.1.9 9.1.4 Hausdorff

, .

.

9.1.11. X Y .

f : X Y, Y . ,

.

: f : X Y (Vi)iI Y.

f , {f1(Vi) : i I} X. X

, i1,i2, . . . ,ik I,

X = f1(Vi1

) f1(Vi2

) f1(Vik).

f , Y =Vi1 Vi2 Vik. , Y

.

(

9.1.12) ,

( 9.1.13).

9.1.12. X f : X R. f

.

: 9.1.11, f(X) R . f(X)

, f . sup f(X) Rsup f(X) f(X).

f(X) , R. sup f(X) f(X) = f(X)

(sup f(X) =max f(X)). f . .

9.1.13. X Y Hausdorff. f :

X Y ,1 1 , f1 ( f

).

: f . F X. X, F. 9.1.11, f(F) Y

, Y Hausdorff, f(F) Y. f

.

: 7

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9.2

,

, .

.

, .

9.2.1( ). X Y .

x0 X U X Y, {x0} Y U,

V x0

{x0} Y V Y U4.

: y Y, (x0,y) U, Vy Wy

X Y (x0,y) Vy Wy U. {x0} Y ,

Y, , (Vy Wy)yY, .

y1,y2, . . .yk Y

{x0} Y Vy1 Wy1 Vy2 Wy2 Vyk Wyk U.

V =Vy1 Vyk. V x0 {x0} Y

VY U. , (x,y) VY, i {1,2, . . . ,k} (x0,y) Vyi Wyi .

(x,y) V Wyi Vyi Wyi U.

9.2.2. Y

. , X = Y = R

N =

(x,y) R2 : |x |