Examensarbete 15 högskolepoäng, avancerad nivå

En belysning av hur läroboksförfattare i

matematik kan påverka elevers lärande

An illustration of how textbook authors in mathematics can

influence student learning

Ove Glenberg

Lärarutbildning 90 hp

2012-11-06

Examinator: Peter Bengtsson

Handledare: Gion Koch Svedberg

Lärande och samhälle

Natur, miljö, samhälle

3

Sammanfattning

En nedåtgående trend hos svenska elevers matematikkunskaper föranleder behov av att

finna lösningar för att bryta denna trend. Studien som presenteras här har som syfte att

undersöka hur man via läroboken kan underlätta lärarens undervisningsplanering, och

möjlighet till att formativt bedöma eleverna, samtidigt som elevens möjlighet till ett mer

självständigt lärande förbättras. Först utförs en litteraturstudie för att sammanfatta

väsentliga begrepp och didaktiska aspekter, för att sedan följa upp med att presentera

några tidigare forskningsresultat vad gäller matematiklärobokens utförande och

användande av idag. Resultatet från denna litteraturgenomgång verifieras och

kompletteras i nästa steg via kvalitativa intervjuer av både lärare och elever på

högskolan och gymnasiet. Även en del egna observationer via deltagande i undervisning

ger ytterligare data till undersökningen. Genom att skapa insikter kring vad som

förbättrar elevers lärande, samt hur aktörerna bl.a. upplever läroboken av idag, är tanken

att kunna presentera ett underlag för konstruktion av läroböcker som förbättrar elevens

lärande och intresse i matematik.

Resultatet visar på att de flesta av läroböckerna i matematik har flera brister vad

gäller det pedagogiska utförandet och hur de följer styrdokumentens anvisningar.

Läroboken har en viktig roll för undervisningens kontinuitet och ännu viktigare är

lärarens ämneskompetens. Resultatet visar dessutom på att elevernas åsikter kring

hållbar skolutveckling fokuseras på fler lärare samt lösta exempel i läroboken, medan

lärarna fokuserar mer på digitala hjälpmedel.

Slutsatsen är att det ska vara elevens egen lärande konstruktion som ska vara det

centrala i samband med författande av läroböcker i matematik. Detta innebär att

feedback från elever som t ex. studerar första året på högskoleingenjörsutbildningen kan

erbjuda ett viktigt bidrag i uppdatering av läroböcker. Dessutom innebär det en tydligare

följning av styrdokumentens anvisningar samt att elevernas förkunskaper ska beaktas i

läroböckernas innehåll och progression mellan ämnesavsnitten.

Nyckelord: ERNIe, Formativ bedömning, IKT, Konstruktivism, Lärande,

Lärobok, Matematik, Metod, Styrdokument, Tillämpad matematik

4

5

Förord

Jag vill inledningsvis uttrycka min tacksamhet till min handledare Gion Koch Svedberg

som är universitetslektor på Malmö högskola, Teknik och samhälle, avdelning

datavetenskap. Jag vill också tacka de lärare och elever som bidragit med värdefulla

synpunkter och informationer till denna studie.

Rapporten utgör en redovisning av 15 hp kursen examensarbete inom 90 hp

lärarutbildningen vid fakulteten för lärande och samhälle, Malmö högskola.

6

7

Innehållsförteckning

1 INLEDNING ...................................................................................................................... 9

2 SYFTE OCH PROBLEMSTÄLLNING ....................................................................... 11

3 LITTERATURGENOMGÅNG ..................................................................................... 12

3.1 Elevers läroprocesser ................................................................................................. 12 3.2 Didaktiska aspekter med formativ bedömning .......................................................... 14 3.3 Styrdokumentens anvisningar .................................................................................... 17 3.4 Lärobokens konstruktion och användande ................................................................ 17

4 METOD OCH GENOMFÖRANDE ............................................................................. 21

4.1 Val av metod och urval .............................................................................................. 21 4.2 Kvalitativ forskningsintervju ..................................................................................... 22 4.3 Genomförande ........................................................................................................... 22 4.4 Analysförfarande ....................................................................................................... 23 4.5 Etik ............................................................................................................................. 23 4.6 Trovärdighet samt pålitlighet ..................................................................................... 24

5 RESULTAT, ANALYS OCH TEORETISK TOLKNING ......................................... 25

5.1 Intervju av lärare ........................................................................................................ 27 5.2 Intervju av elever ....................................................................................................... 33 5.3 Resultat från egna observationer ................................................................................ 36

6 SLUTSATS OCH DISKUSSION ................................................................................... 38

6.1 Egna reflektioner kring resultaten .............................................................................. 38 6.2 Slutsats ....................................................................................................................... 40 6.3 Förslag på fortsatt arbete ............................................................................................ 41

REFERENSER ....................................................................................................................... 42

Bilaga 1 - Skiss på matematiklärobok för Gymnasium och Högskola

8

9

1 Inledning

I en rapport skriven av Lars Brandell (Brandell, 2011) presenteras resultat från en

undersökning som visar på hur förkunskaperna i matematik har försämrats hos de

elever1 som börjar sina högskolestudier hos KTH. Man kan i denna rapport bl.a. se att

den kraftigaste nedgången i provresultatet från förkunskapstesterna var kring

millenium-skiftet, varefter trendkurvan har stagnerats på en låg nivå (Brandell, 2011,

s.11). Problemet med sjunkande elevresultat i matematik är dock något som är känt

sedan länge och gäller för hela landet, varför regeringen år 2003 tillsatte en

matematikdelegation hos utbildningsdepartementet som hade till uppgift att med hjälp

av olika metoder försöka lösa denna problematik. Redan under år 2004 kunde

delegationen presentera ett omfattande arbete som bl.a. innehöll en handlingsplan med

förslag till åtgärder i arton punkter i sin tur sorterade under fyra huvudförslag (SOU

2004:97, kap.5). Utöver handlingsplanen konstaterade dessutom delegationen att

matematikundervisningen till stora delar styrs av läroboken (SOU 2004:97, s.192) vilket

kan vara ett problem eftersom dessa läroböcker inte kontrolleras av någon statlig

institution, vad gäller exempelvis ett beaktande av styrdokumentens anvisningar (främst

läroplaner och ämnesplaner), (Larsson & Thörner, 2010, s.8). Det är åtta år sedan

matematikdelegationens arbete presenterades och i samband med en intervju nyligen

kunde det konstateras att trots den framtagna handlingsplanen har inte många åtgärder

vidtagits (FARAD, 2011).

Även om det kan konstateras att en omfattande problematik föreligger vad gäller

elevers sjunkande matematikkunskaper, finns också positiva resultat från senare tids

forskning kring skolan. Ett sådant forskningsresultat är från undersökningar av effekter

hos skolor vid införande av s.k. formativ bedömning (Skolverket, 2011a),

(Black&William, 1998). Formativ bedömning innebär bl.a. att läraren fortlöpande ska

informera eleven om vad som gått bra i deras lärande och vilka vidare utvecklingsbehov

som finns, vilket också har stöd i styrdokumentens anvisningar kap.2.5 (Lgy11). Även

egna erfarenheter har införskaffats under VFT perioden på lärarutbildningen då försök

att tillämpa formativ bedömning utförts. Detta gjordes genom att konstruera extra

1 För läsbarhetens skull används bara uttrycket elever även för studenter på högskoleutbildningen i detta

dokument.

10

övningsuppgifter i matematik enligt kursplanens anvisningar samt efter studier i

forskningsartiklar kring elevföreställningar, ett tidskrävande arbete.

Insikterna och erfarenheterna enligt ovan gav upphov till reflektioner över hur viktig

fas författandet av läroböcker i matematik faktiskt är för elevens lärande. Vidare väckte

detta intresse att försöka belysa hur lärobokförfattare i matematik skulle kunna bidra till

att elevers lärande förbättras, vilket också är det centrala i denna undersökning. Hur kan

en författare exempelvis lyckas med en mer pedagogisk framställning? Kan t.ex. den

formativa bedömningen underlättas via läroboken och kan den tillämpade matematiken

bidra till att elevers intresse och förståelse i matematik förbättras? Detta skulle i så fall

kunna innebära att tillämpade ämnen, som senare blir mer fördjupade på högskolan, kan

påbörjas redan under det sista året på gymnasiet. Samtidigt kan en del av den tidigare

gymnasiematematiken repeteras på högskolenivå.

Eftersom formativ bedömning är en metod som visat sig ge positiva effekter på

elevers lärande och därmed kan ses som en viktig del i en lärares yrkesutövande (se

även kapitel 3.3), beaktas ett förslag på anvisningar efter dessa kriterier, i samband med

lärobokförfattande, som en viktig fråga att undersöka.

11

2 Syfte och problemställning

Syftet med denna studie är att belysa hur man redan i samband med lärobokskrivandet i

matematik kan påverka elevens lärande på ett positivt sätt. Det bör finnas mycket att

vinna, i synnerhet vad gäller lärarnas undervisningsplanering, om läromaterialet redan

från början är anpassad för att effektivisera undervisningen. Genom att presentera olika

teorier om elevers läroprocess, didaktiska aspekter med formativ bedömning samt

tidigare forskningsresultat, är målet att via en empirisk studie försöka finna förslag på

vad som bör beaktas när man författar en lärobok i matematik. Undersökningen

fokuserar främst på lärobokens inverkan i elevers lärande från gymnasienivå till initiala

matematikkurser vid högskolan. Tanken är dock att tillvägagångssätt och resultat ska

vara tillämpbara både på mer avancerad matematik som på grundläggande matematik

nivå i grundskolan.

Förutom att ge förslag på hur formativ bedömning kan underlättas via läroboken, är

ytterligare avsikter med detta arbete är att försöka få fram kopplingar till andra typer av

läromedel (t ex. IKT samt olika programvaror) som underlag och komplettering till

läroboken. Dessutom tillkommer att undersöka om den tillämpade matematiken kan

användas för en bättre förståelse av den abstrakta matematiken.

De frågeställningar som diskuteras i detta arbete är:

Hur kan läroboksförfattare i matematik understöda elevers lärande?

Hur ser ett exempel på en lärobok ut som beaktar formativ bedömning?

Hur kan man använda den tillämpade matematiken för att underlätta förståelsen

av den abstrakta matematiken?

Huvudinriktningen för examensarbetet är alltså författande av läroböcker i matematik

med en fokusering på den vetenskapliga frågeställningen mot elevers läroprocesser,

formativ bedömning samt eventuella bidrag från tillämpad matematik.

12

3 Litteraturgenomgång

För att erhålla en bättre inblick i temat för denna undersökning, inleds detta kapitel med

studier kring elevers läroprocesser som definierar grunden för den kunskapssyn som

gäller här. Dessa teorier följs sedan upp med didaktiska aspekter som beskrivs via

formativ bedömning och ett förslag på undervisningsmetod som matchar kunskapssynen

enligt kapitel 3.1. En viktig del i den formativa bedömningen är att följa

styrdokumentens krav (Skolverket, 2011a, s.6), varför centrala delar i styrdokumentens

anvisningar inom ramen för denna undersökning presenteras, åtföljt av en del

forskningsresultat kring hur tidigare läroböcker uppfyller de krav som styrdokumenten

anger. Även en del ytterligare forskningsresultat kring vad som bör beaktas vid

författande av matematikläroböcker presenteras.

3.1 Elevers läroprocesser

Kunskapssynen på elevers läroprocess som följs här är främst det individuellt

konstruktivistiska enligt Piaget (Forsell, 2011, s.130 – 151) med (Illeris, 2011) som

främsta referens.

Lärande hos elever är ett komplext begrepp vilket t.ex. kan definieras som det eleven

har lärt sig efter en lektion (Illeris, 2011, s.13), med andra ord ett resultat av elevens

läroprocess. Utöver detta kan lärandet beskrivas via två skilda men lika viktiga

processer för ett effektivt lärande, samspelsprocessen samt tillägnelseprocessen, (Illeris,

2011, s.37). Med dessa två processer som grund definieras lärandet i tre dimensioner, se

den uppochnedvända triangeln i (Illeris, 2011, s.45) eller Fig.1, innehåll, drivkraft och

samspel. Med innehåll menas vad eleven ska lära sig medan dimensionen drivkraft

syftar till motivation hos eleven att vilja lära sig. Dessa två dimensioner bygger i sin tur

upp den s.k. individuella tillägnelseprocessen,(Illeris, 2011, s.39). Dimensionen

samspel associeras till yttre sociala förhållanden; kommunikation med andra människor

men även övriga samhälleliga aspekter. Vad gäller samspelsdimensionen omfattar den

även läromaterial och klassrumsmiljö.

13

För elevens drivkraft är förståelsen viktig och en central förmåga att beakta här är den

s.k. apperceptionsförmågan, (Stensmo, 2007, s.17). Med apperceptionsförmågan menas

att den uppfattning en elev får om någonting styrs av tidigare kunskaper. Exempel på en

undervisningsmetod som beaktar detta kommer från Herbarts formalstadielära

(Stensmo, 2007, s.17). Denna formalstadielära anger att läraren redan i samband med

förberedelsen av undervisningen ska väcka rätt apperceptionsinnehåll. Med detta menas

att val av innehåll också starkt kan påverka drivkraften. Att beakta

apperceptionsförmågan är också en viktig konsekvens av Piagets konstruktivistiska

kunskapssyn (Stensmo, 2007, s. 37):

”…..kunskap är något en människa konstruerar utifrån sina erfarenheter.”

Den konstruktivistiska kunskapssynen enligt Piaget baseras dessutom på att lärandet är

självreglerande via s.k. assimilativa- (tilläggande) samt ackommodativa

(omstrukturerande) faser (Stensmo, 2007, s.37). Samspelet mellan dessa två lärotyper

kan exempelvis beskrivas via en läromodell enligt Jens Bjerg m.fl. (Illeris, 2011, s.175).

Denna modell presenterar samspelet mellan assimilation och ackommodation som en

serie skiftningar, där individen via kritiska situationer övergår från assimilation till

ackommodation och via integrerande situationer övergår från ackommodation till

assimilation i sin läroprocess. Modellen visar också på hur viktigt det är att eleven får

indikationer på djupare uppmärksamhet och tid för reflektion när något nytt område ska

läras in. Eleven får alltså inte fastna i att samla upp ny information via tidigare

uppfattningar hela tiden utan måste emellanåt vara beredd på att ställa om sig i sina

tankegångar (ackommodation).

Avslutningsvis kan man sammanfatta en struktur över en elevs individuella

konstruktivistiska läroprocess i form av elevens personliga utveckling, enligt (Illeris,

2011, s. 157 – 165) benämnd identitet. Denna identitet delas upp i följande sex

personlighetsmässiga kvalifikationer, (Illeris, 2011, s.158 – 159):

1. Intellektuell kvalifikation (innehåll; analytiskt tänkande, planeringsförmåga,

etc.)

2. Perceptionskvalifikation (innehåll; uppfattningsförmåga, sensibilitet)

3. Självbehärskningskvalifikation (drivkraft; ansvar, pålitlighet, noggrannhet etc.)

14

4. Individualitetskvalifikation (drivkraft; självständighet, själförtroende, kreativitet

etc.)

5. Social kvalifikation (samspel; samarbetsförmåga, social kompetens etc.)

6. Motivationskvalifikation (drivkraft; initiativ-, handlingskraft etc.)

Beskrivningen av elevers läroprocesser kan sedan till sist sammanfattas enligt Fig.1,

genom att visa hur identiteten kan placeras i lärandets struktur med de tre

lärandedimensionerna som definierar läroprocessen och spänner upp en uppochnedvänd

triangel, se (Illeris, 2011, s.165):

3.2 Didaktiska aspekter med formativ bedömning

Enligt de rekommendationer som anges i (Skolverket, 2011a, s.18) bör läraren, utöver

en inblick i elevens läroprocess enligt beskrivningen ovan, redan i samband med

undervisning ta hänsyn till hur elever ska bedömas. Detta är grunden för s.k. formativ

bedömning (alt. bedömning för lärande) vars syfte definieras enligt (Skolverket, 2011a,

s. 7-9) genom en uppdelning i fem huvudkategorier:

1. ”kartlägga kunskaper”

2. ”värdera kunskaper”

3. ”återkoppla för lärande”

4. ”synliggöra praktiska kunskaper och”

5. ”utvärdera undervisning”

Drivkraft Innehåll

Samspel

Identitet

Figur 1: Elevers läroidentitet i lärandets triangelstruktur.

Individuell tillägnelseprocess

Samspelsprocess

15

Den formativa bedömningen görs för lärande, inte av lärande och de tre kärnfrågorna

som gäller är enligt (Skolverket, 2011a, s.16):

1. ”Vad är målet?”

2. ”Hur ligger jag/eleven till?”

3. ”Hur ska jag/eleven gå vidare?”

För att finnas svaret på dessa frågor rekommenderas i sin tur följande fem

nyckelstrategier (Skolverket, 2011a, s.16-17):

1. ”Vad ska eleverna lära sig?”

2. ”Vad kan de redan?”

3. ”Hur ska eleven göra för att komma vidare?”

4. ”Hur kan eleverna stödja varandras lärande?”

5. ”Hur kan eleven bedöma och stödja det egna lärandet?”

Kursplanerna för respektive ämne redogör för vad eleven ska lära sig och en grundtanke

med formativ bedömning är att läraren redan i förväg ska informera elever om vad de

behöver kunna. Detta hänger bra ihop med läroprocessens drivkraft enligt kapitel 3.1,

eftersom eleven i god tid får klart för sig vad som är viktigt att lära. Eleven får en

möjlighet att prioritera en del i kursmaterialet och får därmed en bättre överblick och

kontroll, något som bidrar till drivkraften (Newton, 2012, s.120). Läraren uppmanas

dessutom att ta reda på elevens förkunskaper vilket är en viktig ingrediens för en bra

undervisningsplanering (Löwing, s.115). Kopplat till den pedagogiska grundsynen,

kunskapssynen, är detta något som kan relateras till Vygotskijs proximala

utvecklingszon (Illeris, 2011, s.79-80).

Man kan enligt ovan konstatera att tanken med formativ bedömning inte enbart är

något som utförs med avsikten att se krav på förändringar i elevers lärande för att nå

kursmålen, utan också för att se hur läraren eventuellt behöver justera sin undervisning.

En viktig del att beakta i undervisningsplaneringen är enligt (Skolverket, 2011a, s.23-

24) att eleverna själva ska få tid till reflektion över sitt lärande och få möjlighet att

redovisa vad de har förstått. Detta är något som överensstämmer med Bjergs modell

(Illeris, 2011, s.175) som beskriver skiftningar mellan assimilation och ackommodation

i elevers läroprocesser, där man med ackommodationen åsyftar att eleven reflekterar

över sitt lärande, (Illeris, 2011, s.116). Eleven får en möjlighet att visa sin förståelse

vilket också ger en känsla av att lärandet äger rum och har en mening. Enligt (Newton,

16

s.14) rekommenderas att kunskaperna tillämpas på olika typer av övningar för ett

flexibelt användande som i sin tur kan påvisa förståelse på ett effektivt sätt.

Det finns sedan tidigare väl utarbetade och uttestade didaktiska metoder som ger goda

möjligheter för elever att reflektera över sitt lärande. En sådan metod är den s.k. ERNIe

(ERror aNalysIs) metoden redovisad i (Kembitzky, 2009). ERNIe kan beskrivas som en

typ av reflektionsverktyg som baseras på att eleverna ska göra skriftliga analyser på

felaktiga lösningar som de själva har gjort tidigare i samband med räkneövningar. Enligt

(Kembitzky, 2009, s.79) sammanfattas ERNIe i följande steg:

1. Eleverna får skriva om varje problem de tidigare har missat på ett separat papper

åtskilt från det ursprungliga frågeformuläret.

2. Därefter gör eleven ett nytt försök att lösa uppgiften med hjälp av läraren, ett

utdelat facit eller av andra elever.

3. Eleven bedömer om felet var av enklare eller svårare grad.

4. Eleverna beskriver slutligen med sina egna ord varför de hade en felaktig

lösning på det första försöket och vad de ska komma ihåg för att undvika ett

upprepande av felet.

Om läraren använder sig av ERNIe metoden och konsturerar extra övningsuppgifter

baserat på kursplanens anvisningar är stora delar av de kriterier som gäller för formativ

bedömning förberedda. Genom att låta elever lösa uppgifter som är konstruerade på

detta sätt får läraren en inblick i hur eleven ligger till relativt kursplanens mål, vilket

förordas enligt (Skolverket, 2011a, s. 6) samtidigt som eleverna får en möjlighet att

reflektera över sitt lärande och se vad de har förstått. Eleverna får via ERNIe en

möjlighet att producera själva samtidigt som läraren ser hur eleven ligger till och hur

undervisningen fungerar. Om läraren dessutom har genomgången av de lösta

övningsuppgifterna i samband med undervisning av hela klassen, uppfylls även

kriterierna för samspelsdimensionen, bl.a. med avseende på att eleverna är aktiva och

kreativa tillsammans.

17

3.3 Styrdokumentens anvisningar

Enligt styrdokumentens anvisningar innebär undervisning mer än bara en integrering av

ämneskunskaperna i lärandet. Detta kan man bl.a. återfinna i kursplanernas

målangivelser och i skollagen. Enligt 1 kap. 3§ (SFS 2010:800) anges:

”Sådana målstyrda processer som under ledning av lärare eller förskollärare syftar

till utveckling och lärande genom inhämtande och utvecklande av kunskaper och

värden”

Mer detaljerade anvisningar för undervisning kan man i sin tur återfinna i

Gymnasieboken (Skolverket, 2011b) som presenterar en strukturerad beskrivning av

kursplanerna (ämnesplanerna). Enligt (Skolverket, 2011b, s.48-62) får man en bra

beskrivning av hur undervisningen ska anpassas för att uppfylla kursplanens mål och

hur man bäst finner en balans i framställningen av de fyra kunskapsformerna (fakta,

färdighet, förståelse, förtrogenhet) sammanfattat i förmåga, för eleverna.

Vad gäller anvisningar för bedömning kan man återfinna följande i gymnasiets

läroplan, kap.2.5 (Lgy11) under Riktlinjer,

”Läraren ska:

Fortlöpande ge varje elev information om framgångar och utvecklingsbehov i

studierna.”

Denna anvisning i läroplanen kan direkt kopplas till den feedback mellan lärare och

elever som eftersträvas med den formativa bedömningen.

3.4 Lärobokens konstruktion och användande

Enligt kapitel 3.2 gavs förslag på hur lärare interaktivt under kursens gång kan

konstruera övningsuppgifter som underlättar formativ bedömning av elever. Detta är

något som antagligen ofta blir nödvändigt då läroböcker i matematik inte behöver vara

skrivna efter styrdokumentens anvisningar (Bouyer & Johansson, 2009, s.5-6).

Ytterligare en viktig notering vad gäller läroboken är dess stora betydelse för

undervisningens kontinuitet. Något som kan kopplas till den formativa bedömningen

vad gäller den kontinuerliga kommunikationen mellan lärare och elev. Eleven behöver

18

med jämna mellanrum bli uppdaterad kring hur han eller hon står i förhållande till

målen medan läraren behöver en uppföljning av hur undervisningen fungerar. Problemet

är att det tar mycket tid om en lärare ska följa upp varje elev på detta sätt och det finns

därför mycket att vinna på om läroboken redan i sitt grundutförande består av den typen

av förklarande text och övningsuppgifter som understöder formativ bedömning. Hur

dessa övningsuppgifter ska utformas är något som är en del i att utröna i samband med

denna undersökning.

Tidigare empiriska forskningsresultat, kring utförande och användande av läroböcker

i matematik, fokuserar främst på att analysera redan tryckta böcker som används ute i

skolorna. Ett sådant resultat kommer exempelvis från undersökningar om hur

läroböcker följer styrdokumenten. I (Bouyer & Johansson, 2009) presenteras en analys

som sammanfattar gymnasieskolans mål att sträva mot i sex olika kompetenser som

läroböckerna bör omfatta i sina övningar (Bouyer & Johansson, 2009, s.8):

1. Kommunikationskompetens

2. Modelleringskompetens

3. Resonemangskompetens

4. Begreppskompetens

5. Problemlösningskompetens

6. Algoritmkompetens

Kommunikationskompetensen innebär förmågan att kunna kommunicera matematik (att

kunna förstå och förklara olika matematiska tankegångar), medan

modelleringskompetens beaktar förmågan att utifrån generella situationer eller problem

som är mer vardagsnära (utanför matematiken) kunna designa och använda sig av olika

modeller för att t ex. lösa vardagsnära problem. Modelleringskompetens innebär

dessutom att man förstår vilka förutsättningar som måste gälla för att lösningen eller

den matematiska modellen ska vara giltig. Resonemangskompetensen innebär en

förmåga att kunna formulera och undersöka hypoteser samt att utföra större

undersökningar, för att finna mönster, logiska resonemang etc. Eleven ska kritiskt

kunna granska och förstå matematiska argument. Begreppskompetensen innebär

förtrogenhet med det matematiska språket, olika definitioner och innebörder.

Problemlösningskompetens innebär att eleverna kan använda befintliga kunskaper för

19

att lösa nya problem i nya situationer, att eleven är kreativ och själv kan finna rätt

lösningsmetod. Algoritmkompetens slutligen visar på färdigheten att använda olika

matematiska algoritmer, t.ex. behöver eleven kunna ekvationslösningsmetoder. Schema

över hur dessa sex olika kompetenser kategoriseras i uppgifter, återfinnes i (Bouyer &

Johansson, 2009, bilaga 2).

Om en lärobok följer styrdokumentens anvisningar ska samtliga sex kompetenser

enligt ovan beaktas vid konstruktion av övningsuppgifter, text, lösta exempel etc.

Resultatet av undersökningen i (Bouyer & Johansson, 2009) visade dock att begrepps-

och algoritm kompetenserna var kraftigt dominerande i läroboken (85 – 95 %). Man

kommer alltså fram till att de övriga kompetenserna inte täcks av läroböckerna och

därför måste täckas upp via extra läromaterial och arbeten som läraren får ta fram under

kursens gång.

Det finns naturligtvis andra läromedel än just läroböcker som skulle kunna

understöda undervisningen på ett effektivt sätt. Exempel på detta återges i (Ahnell,

2006) som framhäver vinster med laborativ matematik samt IT användning. Samtidigt

bör man ändå beakta läroboken som det viktigaste understödet vad gäller

matematikundervisningen än så länge. Som tidigare nämnts är läroboken central för

matematikundervisningen men även kompetensfrågor samt ekonomiska frågor måste

beaktas. En lärobok finns alltid där och kräver inga större kunskaper för hantering och

kan dessutom kompletteras med cd skiva som innehåller interaktiva övningar som

eleven ska utföra. Enligt (Andersson & Richard, 2005, s.14) kan mycket lösas med en

allsidig lärobok som även möjliggör för frånvarande elever att hänga med i

undervisningen genom att använda läroboken som en slags surrogatlärare (Newton,

2012, s.64). Vid användande av interaktiva läromedel måste man ta hänsyn till de ökade

krav på personal och kostnader som det medför, annars förloras den positiva effekten. I

en studierapport från skolverket (Skolverket, 2009) påvisades brister hos många skolor

både vad gäller strategier för IT användning samt senaste uppdatering av hård- och

mjukvara. Fördelarna med IT lösningar måste dock ses som ett viktigt komplement till

läroboken.

Från tidigare empiriska forskningsresultat finns en del viktiga råd att beakta vid

författande av läroböcker i matematik. Enligt (Andersson & Richard, 2005, s.7) borde

20

lärobokens utformande fokuseras på hur eleven tänker. Den slutsats som dras i

(Andersson & Richard, 2005, s.30) är dock att matematik läroböckerna av idag inte är

tillräckligt fokuserade på konstruktivistiskt lärande.

Begreppet tyst räkning, vilket innebär att eleven bara räknar igenom uppgifter för sig

själv utan reflektion eller förståelse, varnas också för i tidigare forskningsresultat,

exempelvis i (Larsson & Thörner, 2010, s.8). I denna studie rekommenderas dessutom

kreativa problemlösningar i läroböckerna (Larsson & Thörner, 2010, s.10), vilket kan

kopplas till problemlösningskompetensen i (Bouyer & Johansson, 2009) enligt

redogörelsen ovan.

Tidigare forskningsresultat ger också anvisningar om de karaktäristiska drag som ska

gälla för en lärobok. Enligt (Ahnell, 2006, s.12) definieras dessa enligt följande lista:

1. ”Kognem”, minst angiven information som kan definiera en kunskapsbärande

enhet, t.ex. inte endast årtal utan även vad som hände just då.

2. ”Förklaringar”, en lärobok måste kunna svara på frågorna Hur och Varför.

3. ”Strukturering”, en lärobok måste beakta varje tema som tas upp på ett likartat

sätt.

4. ”Anpassad till förkunskaper”

5. ”Sluten”, läroboken ska redogöra för allt som är dess uppgift att förklara utan

referenser.

6. ”Ikuggad”, ingen ironi får finnas med i texten.

7. ”Realreferens”, ska beskriva vad som verkligen gäller, sanningen.

8. ”Instruktioner till texten”, olika former av planeringar för kursen etc.

Vad gäller lärobokens konstruktion och användande presenteras slutligen en viktig

anmärkning i (Andersson & Larsson, 2007, s.7) som säger att läraren är viktigast och

hur han eller hon använder aktuella läromedel såsom läroböcker. Med andra ord är

lösningen för en komplett undervisning för att nå målen, ett krav på lärare, elever och

lärobok i ett samspel.

21

4 Metod och genomförande

Målet för den metod som presenteras här samt dess genomförande, är att resultatet ska

ge ett adekvat bidrag för att understöda och komplettera litteraturstudien i kapitel 3.

4.1 Val av metod och urval

Det som är viktigt att ta reda på i första hand vad gäller författandet av läroböcker är hur

lärare och elever ser på befintliga böcker och dessutom eventuella erfarenheter som

finns från äldre läroböcker. Detta utförs för att ta reda på vad som saknas och hur

lärarna lägger upp sina undervisningstillfällen i relation till läroboken. Via en

diskussion om olika didaktiska aspekter, med fokusering på formativ bedömning, är

tanken att få fram lämpliga uppdateringar som kan vara nödvändiga i läroboken eller via

komplement med andra läromedel. Exempel på frågor blir: Hur upplever elever

läroböckerna? Hur upplever lärare läroböckerna? Vad saknas? Vad behöver man

komplettera med?

I denna studie ska dessutom elevers övergång från gymnasiet till högskolan beaktas.

Därför intervjuas såväl gymnasielärare som högskolelärare. Även en elev på gymnasiet

samt en elev på högskolan blir intervjuade.

Förutsättningen för vilken metod som ska väljas är att den empiriska studien följer på

en narrativ litteraturstudie (Bryman, 2011, s.112f) som presenterades i kapitel 3. Som

intervjumetod används därför en kvalitativ intervjuform (Kvale & Brinkmann, 2011) för

att behandla frågeställningar som exempelvis upplevelser kring dagens läroböcker.

Förutom intervjuer inhämtas ytterligare information via deltagande observation i

samband med undervisning i matematik både hos gymnasiet och hos högskolan.

Intervjuerna och observationerna utgör den empiriska granskningen av resultatet från

litteraturstudien.

22

4.2 Kvalitativ forskningsintervju

Formen för denna studie utförs via en empirisk undersökning med intervjuer som

bedrivs i ett hermeneutiskt vetenskapligt perspektiv (Bryman, 2011, s.507f). Med detta

menas att forskaren försöker tolka och förstå upplevelser, åsikter och annat som

intervjupersonen redogör för. Intervjufrågorna i sin tur är semistrukturerade vilket

innebär att endast huvudfrågorna är nedskrivna i förväg medan nya underfrågor tillåts

dyka upp under intervjuns gång. Utöver detta är samtliga frågor öppna utan några låsta

svarsalternativ. Målet är att få fram en trygg diskussionssituation med uttömmande svar

från intervjupersonerna som ingår i undersökningen, (Bryman, 2011, s.243f). Mer

uttömmande svar ger i sin tur en bättre trovärdighet i slutsatserna. Analyserna av

intervjuerna får sedan komplettera de ursprungliga teorierna från litteraturstudien inför

diskussionsavsnittet.

Med den kvalitativa intervjun är tanken att försöka finna svar på forskningsfrågorna

enligt kapitel 2 som bl.a. handlar om att utröna ifall den tillämpade matematiken kan

vara till gagn för elevers förståelse och lärande av den abstrakta matematiken. Förutom

detta är tanken att hitta nya kompletterande åsikter från aktiva lärare och elever för

bättre underbyggda förslag bakom en bra lärobokskonstruktion.

4.3 Genomförande

Under intervjuerna användes diktafon för att få med allt som sades under vardera

intervjun som varade ca 40 minuter. Intervjupersonerna blev intervjuade var för sig i ett

enskilt rum och för att få ytterligare effekter av en trygg miljö, informerades alltid varje

respondent om etiska aspekter innan intervjun påbörjades. Intervjupersonerna blev

också informerade om vad forskningsarbetet handlade om samt fick se exempel på en

del huvudfrågor i förväg. På så sätt var respondenten väl förberedd innan intervjun utan

risk för viktade svar eftersom frågorna var semistrukturerade.

Ytterligare saker som beaktades i frågorna var att undvika ledande frågeställningar

som på något sätt manipulerade respondenten i sina svar. Huvudfrågorna visade

grunden av vad som skulle undersökas medan följdfrågorna anpassades under intervjuns

23

gång för unika fördjupningar från varje respondent. Huvudfrågorna var i sin tur snarlika

internt mellan lärare eller elever medan de varierade i sin inriktning beroende på om det

var en lärare som intervjuades eller en elev. Vad gäller läraren var inriktningen

exempelvis att utröna hur planering av undervisning påverkades av läroboken medan

inriktningen för eleverna var mer fokuserad på hur de upplevde undervisningen och

läroboken de använder sig av för att förstå och lära sig matematikämnet i sig.

Utöver intervjuer förekom också en del deltagande observation vid

matematikundervisningar hos gymnasiet och högskolan. I samband med

observationerna användes förberedda mallar inspirerad av FIAC schemat (Bryman,

2011, s.265). Bl.a. noterades hur läraren bedrev sin genomgång och hur pass aktiva

eleverna var i samband med den gemensamma genomgången. Utöver detta studerades

också de läroböcker som användes.

4.4 Analysförfarande

Efter varje intervju transkriberades allt inspelat material innan analysen kunde påbörjas.

Analysen i sin tur var förberedd på ett sådant sätt att intervjufrågorna ställdes i samma

följd som den tänkta strukturen för resultat redovisningen (Kvale & Brinkmann, 2011,

kap.11). Den transkriberade texten delades också upp i olika huvudkategorier för att

analys resultatet skulle bli noggrannare och väl förberedd för dokumentation (Kvale &

Brinkmann, 2011, kap.12). Till sist, för att vara ytterligare noggrann vad gäller analysen

och etiken, fick intervjupersonerna var och en läsa analysresultatet från sina intervjuer

och verifiera innan en sammanställning dokumenterades i rapporten.

4.5 Etik

Som underlag för de etiska principer som tillämpas här hänvisas till (Bryman, 2011,

s.131-139). Innan intervjuerna påbörjades inhämtades tillstånd från rektor, lärare och

elev. Intervjupersonerna informerades innan intervjun om vilken typ av frågor som

skulle ställas och vad undersökningen gick ut på. Vidare presenteras endast

24

intervjupersonens titel samt vilken skolform han eller hon är aktiv inom.

Intervjupersonerna fick också tillfälle att läsa analysresultatet från sin intervju.

4.6 Trovärdighet samt pålitlighet

Enligt (Bryman, 2011, s.52) kan det vara lämpligt att ersätta bedömningskriterierna

validitet respektive reliabilitet, som främst används vid kvantitativa

undersökningsformer, med motsvarande trovärdighet samt pålitlighet för kvalitativa

studier. Trovärdigheten är alltså inte baserad på någon statistik utan ska istället avgöra

hur sannolik ett resultat är med hänsyn till att man beaktar de väsentliga aspekter som

finns i samband med intervjuerna. Intervjustilen i denna undersökning var

samtalsinriktad med slumpmässigt utvalda aktörer, vilket leder till en god pålitlighet i

intervjusvaren (Bryman, 2011, s.66,69). Dessutom fick intervjupersonerna en möjlighet

att bekräfta analysresultatet enligt kapitel 4.4, vilket ger en god trovärdighet (Bryman,

2011, s.354f).

25

5 Resultat, analys och teoretisk tolkning

I detta avsnitt analyseras och tolkas de intervjuer och observationer som utgör den

empiriska studien i detta arbete. Huvudpunkterna som anges i kapitel 5.1 samt kapitel

5.2 återspeglar hur litteraturstudien kompletteras av den empiriska studien.

Undersökningens intervjudel omfattas av fem lärare och två elever som presenteras

enligt nedan med angivna beteckningar:

Lärare:

Ul är beteckningen för en universitetslektor som har sitt nuvarande ansvarsområde inom

högskoleingenjör programmet. Ul har flera decenniers erfarenhet av undervisning på

högskolan, främst i tillämpad matematik men även som matematiklärare. Det bör dock

tilläggas att även om han själv inte är verksam som ämneslärare i matematik just nu, har

han ett starkt beroende av en god kommunikation med lärare/kollegor som är

mattelärare och då även en viss insikt i vad som krävs eller bör krävas i deras

undervisning. Hans lärarprofession är främst mot högskolan men han har en del

allmänna uppfattningar kring gymnasiematematiken också.

Ht är beteckningen för en högskolelärare i matematik med erfarenhet av

lärobokskrivande. Även han har mest allmänna kunskaper vad gäller

gymnasiematematiken och är främst kunnig kring högskolans frågeställningar.

Doktorand är beteckningen för en av intervjupersonerna som innehar en

doktorandtjänst på högskolan med undervisning som en del av sin tjänst. Mer specifikt

ansvarar hon för en nystartad sommarkurs som fick en god respons. Denna kurs

möjliggör för eleverna att förbereda sig inför högskolematematiken genom att repetera

ämnesavsnitt från gymnasiet under sommaren. Hon har dessutom sedan tidigare

erfarenhet av ren gymnasielärartjänst och har en del inblick i några andra länders

skolsystem.

26

Lge är beteckningen för en gymnasielärare med ämnesområdet matematik. För

närvarande undervisar han en teknik tvåa och en natur tvåa efter det nya systemet samt

en matteE grupp som läser efter det gamla systemet. Han är dessutom biträdande

ämnessamordnare och samarbetar med fem andra matematiklärare i sin grupp, bl.a.

kring val av läroböcker till de olika programmen. Intervjupersonen har varit

gymnasielärare sedan några år tillbaka, baserat på studier i matematik, fysik och

praktisk pedagogik, och har erfarenheter både av elever som är intresserade och

ointresserade i matematik. Intervjupersonen har ett brinnande IKT intresse och det som

intresserar honom främst nu är en metod som kallas för ”flipped classroom”. Detta är en

metod som går ut på att läraren lägger ut sin genomgång på nätet så att eleverna kan titta

på detta när de vill och sedan arbetar eleverna med övningsuppgifter tillsammans med

läraren i samband med lektionstillfället. Man skiftar alltså på den traditionella

undervisningen på så sätt att läxorna görs på skolan istället medan eleverna kan se på

föreläsningen hemma i förväg.

Lgn är beteckningen för en relativt nyutexaminerad mattelärare på gymnasiet med

Kemi som andrahandsämne. För närvarande undervisar hon på naturprogrammet i

matte1C men har tidigare främst arbetat som forskare inom läkemedelsindustrin, mer

specifikt läkemedelskemi. Det bör dock tilläggas att även om intervjupersonen själv

endast har arbetat något år som mattelärare, har hon vissa erfarenheter från sin yrkestid

som kan påverka undervisningen och en del jämförelser från sin egen skoltid att beakta.

Dessutom arbetar sex mattelärare på hennes skola som hon har en god kommunikation

med.

Elever:

Elev är beteckningen för en elev som går sista året på naturprogrammet i gymnasiet.

Han läser för närvarande matteE kursen enligt gamla systemet, även om han inte tror sig

behöva så mycket matematik i sitt framtida yrke. Intervjupersonen ser främst värdet i

matematiken i mer vardagsnära problem som han inte hade kunnat lösa utan de

matematiska kunskaperna.

Student är beteckningen för en elev som läser på data/telekom

högskoleingenjörsprogrammet. Han har även läst ett tekniskt basår på högskolan, främst

27

studier inom matematik och fysik, som han anser har gett honom en bra grund inför

ingenjörsmatematiken.

Intervjusvaren från lärare och elever redovisas i ett delkapitel för sig, likaså resultat

från egna observationer.

5.1 Intervju av lärare

I detta avsnitt presenteras intervjusvaren från lärarna med följande huvudpunkter:

Den första huvudpunkten redogör för hur varje lärare ser på kunskaper och

lärande.

Den andra huvudpunkten redogör för hur lärarna ser på läroböcker i matematik

med reflektioner kring andra kompletterande läromedel.

Den tredje huvudpunkten redogör för hur lärarna ser på dagens elevresultat vad

gäller kunskaper i matematik.

Den fjärde huvudpunkten sammanfattar lärarnas syn på kopplingar mellan olika

skolformer.

Till sist redogörs för en sammanfattande lista kring de förslag på förbättringar

som framkommit ifrån intervjuerna av lärarna.

Kunskapssyn

Den gemensamma delen av lärarnas kunskapssyn kan främst beskrivas via Piagets

filosofi kring individens konstruktivistiska lärande (Forsell, 2011, sid. 130 – 151). Vad

gäller Vygotskijs fokusering på lärande via samspel (Forsell, 2011, sid. 152 – 177) är

det något som främst framgår i intervjusvaren från gymnasielärarna. I Lge:s fall kan

detta kopplas till hans intresse för IKT (Informations och Kommunikations Teknik). En

annan gemensam del av lärarnas kunskapssyn är att samtliga anser att nya fakta ska

presenteras med olika vinklingar som gör att eleverna får en möjlighet att göra

återkopplingar via analogier de har i minnet. Detta är också något som har visat på goda

resultat i hjärnforskningen (Illeris, 2011, sid. 28-30), se även kapitel 3.1. En del

28

olikheter i kunskapssynen mellan lärarna kommer sedan fram i samband med frågor

angående elevers färdighetsträning. Vad gäller denna fråga är Ul och doktoranden mer

ödmjuka än sina kollegor och anser att färdighetsträningen spelar en central roll vid

sidan av den tillämpade matematiken samt måste vara klar innan man ger sig in på

kreativa lösningar. Även de andra lärarna anser att färdighetsträningen är viktig men är

samtidigt betydligt mer forcerande. T ex. anser Ht att eleven vid konstruktion av sitt

lärande av olika matematiska metoder, direkt från början ska få en bra koppling till

olika tillämpningar. För tillämpningarna i sin tur betonar sedan alla lärare att det är

elevens intresseområde som ska beaktas. Ul betonar dessutom att det ska vara enklare

tillämpningar med endast små förkunskapskrav i exempelvis fysikämnet. Vad gäller

kompletterande läromedel till läroboken förekommer dessutom en del skillnader i vad

lärarna ser som viktigast. T ex. ser Lge IKT som det viktigaste hjälpmedlet, som bl.a.

bekräftas via hans intresse i ”flipped classroom” (via filmade genomgångar på nätet),

medan Ht vill lägga sin betoning på programvaror, för att underlätta den matematiska

hanteringen.

Syn på läromedel i matematik, hur de används och hur de kan förbättras

Lärarna är överlag kritiska till dagens matematikböcker, i synnerhet vad gäller

läroböckerna på gymnasiet. Enligt Ht är gymnasieböckerna för enkla och vardagsnära i

sitt utförande vilket gör dem dåligt anpassade för eleverna, i synnerhet för de elever som

ska läsa vidare på högskolan. Vad gäller högskoleböckerna betonar han istället att de

borde ändras i sitt innehåll, främst med tillämpningsövningar redan på ett tidigt stadium.

I gymnasielärarnas intervjusvar kan man dock utläsa ett visst försvar mot Ht:s

bedömning kring gymnasieböckerna. De anser att det är bra att läroböckerna är mer

vardagsnära. Detta är både i linje med styrdokumentens anvisningar och dessutom ser t

ex. Lgn det som positivt att det i dagens böcker finns mer av olika aktiviteter,

grupparbeten samt att man ”pratar” matematik. Gymnasielärarna menar alltså att

innehållet i läroböckerna har förändrats och försöker sikta på att lära ut mer

kompetensfaktorer än just den procedurella algoritmkompetensen. De anser å andra

sidan att författarna inte har lyckats så bra med detta än så länge och den starkaste

kritiken gymnasielärarna ger, tillsammans med doktoranden, är att läroböckerna inte

följer styrdokumentens anvisningar, främst vad gäller de olika kompetensområdena som

läroböcker i matematik ska omfatta, se kapitel 3.4 samt (Bouyer & Johansson, 2009,

29

s.8). Lge anger exempelvis att de få problemlösningar som ändå finns i läroböckerna

oftast är ytterst torftigt utförda vad gäller hänsyn till elevernas vardagsliv och vad de

kan vara intresserade av. Dessutom ser de en brist i att det inte finns något centralt

styrorgan som kontrollerar nyutkomna läroböcker. Istället blir det upp till varje

författare att göra sin tolkning av styrdokumenten vilket kan leda till problem för

lärarna.

Tolkningen från lärarnas intervjusvar blir att läroböckerna i första hand ska följa

styrdokumentens anvisningar på ett klart och tydligt sätt så att läraren vet vilka

kompetenser hos eleven som blir prövade. Läroböckerna är enligt lärarna fortfarande

främst fokuserade på det procedurella mekaniska arbetet (algoritmkompetens) och

skulle behöva mer av övriga viktiga kompetenser som exempelvis hur man resonerar

kring matematiska problem, vad de olika begreppen innebär, modelleringskompetens

samt problemlösningskompetens. Om detta uppfylls i läroboken, med tydliga angivelser

i boken vilken typ av kompetens som beaktas, har läraren en bra grund för formativ

bedömning eftersom det blir tydligt för läraren hur eleverna ligger till relativt

ämnesplanens mål. Det underlättar dessutom för eleven att se hur han eller hon ligger

till i sitt lärande relativt målen som läraren har informerat eleven om.

En annan faktor som är viktig för den formativa bedömningen är att beakta

forskningsresultat kring elevers lärande och uppfattningar. Även här brister de flesta

läroböcker, men Lge refererade till en lärobok i matematik som kan stå modell för hur

man både följer styrdokumentens krav och hur man beaktar forskningsresultat kring

elevers lärande: (Eriksson et al., 2007). Denna lärobok är visserligen skriven för det

gamla systemet, men läraren som studerar boken får ändå se ett bra exempel på hur en

lärobok på ett tydligt sätt kan beakta styrdokumentens kompetenskrav. Utöver detta är

boken skriven av fem författare med olika bakgrund (lärare, matematiker, etc.) vilket

ger en bra grund för att följa forskningsresultat inom flera delområden. Nyligen utförd

forskning kritiserar dock boken vad gäller läsbarheten (Erlandsson, 2012).

Intervjuerna gav också en inblick i om lärarna ser ett behov av att ta fram en lärobok

som täcker både gymnasiets sista års matematikkurser samt inledande tillämpade kurser

på högskolan. De flesta av lärarna förhåller sig positiva till detta och en fördel de ser är

att eleverna som kommer till högskolan har med sig sina böcker från gymnasiet och

30

därmed får en möjlighet att repetera vissa ämnesavsnitt, som är svårare att göra idag

(eftersom elever inte får ta med sig sina böcker till högskolan). Dock anger doktoranden

att författaren måste vara medveten om vilken målgrupper som gäller och med

målgrupper menas elever som ska studera på olika program på högskolan. Det blir alltså

fler böcker med olika typer av tillämpningar beroende på vilket program som de ska

läsa. Exempelvis tar man upp tillämpningar med integraler för de elever som ska läsa

vidare på fysik programmet eller diskret matematik för de som ska läsa vidare på ett

datorinriktat program. Varje sådan typ av bok som konstrueras ska alltså först beakta

vilken målgrupp som det gäller och sedan kontrollera ett lämpligt innehåll med

respektive institution eller ämnesansvarig. Ht lägger dessutom till en viss fokusering på

att en bok som ska koppla samman gymnasiekurser med högskolans inledande kurser,

också bör innehålla kreativa verktyg som exempelvis MATLAB (programvara för

datorsimulering). Ett sådant kreativt verktyg menar han underlättar för eleven att avkoda

den abstrakta matematiken. Även de andra lärarna, främst Ul och Lge, ser positivt på en

sådan typ av programvaror. Lärarna menar att eleven med hjälp av sådana verktyg kan

fokusera på helheten i t ex. en problemlösningseffekt eftersom programvaran löser den

procedurella beräkningsdelen. Dock varnar Ul för att det senare, i t ex. industriella

arbetsprojekt, kan leda till problem om utexaminerade ingenjörer inte själva kan

bedöma om ett beräkningsresultat är rimligt. Lge i sin tur varnade för att ta fram endast

en volym eftersom boken då skulle ta upp sådant som inte ingår i gymnasieskolans

matematikkurs vilket kan leda till att eleverna påverkas negativt. Han ser hellre en

uppdelning av en sådan bok i två volymer och är dessutom mer entusiastisk i en bok

som innehåller flera olika typer av övningar såsom problemlösningsuppgifter och ”rika

problem” (problem som kan lösas med olika matematikverktyg).

Från lärarnas intervjusvar kan man också uttolka att läroboken har en styrande roll för

de flesta av lärarnas undervisningsplanering. Detta är emellertid något som kan leda till

problem, främst hos gymnasiet. Doktoranden berättade om att tempot i genomgångarna,

under hennes tid som gymnasielärare, kunde bli för snabb i relation till hur pass väl

eleverna hängde med i sitt lärande. Lge var den av lärarna som verkade mest luttrad i

denna fråga och låter endast läroboken till en mindre del styra hans

undervisningsplanering. Exempelvis undervisar han just nu en klass som använder tre

olika läroböcker och han beaktar endast allmänt hur vardera boken följer ämnesplanen,

för att sedan själv ta fram mycket eget kompletterande läromaterial i form av extra

31

övningar etc. Dock bör det tilläggas att valet av tre olika läroböcker blev nödvändig

p.g.a. resursskäl.

Syn på trender från undersökningsresultat kring elevers matematikkunnande

Tolkningen av lärarnas intervjusvar vad gäller trender i elevers matematikkunnande är

att det förekommer en viss diskrepans mellan gymnasielärarnas syn och

högskolelärarnas syn. Främst högskolelärarna ser att svenska elevers kunskapsnivå har

sjunkit relativt ett internationellt perspektiv och ser den stora variationen hos olika

skolor, vad gäller elevers kunskapsnivåer, som en av de största anledningarna till

problemet. Vidare nämner Ht och doktoranden att lärarna har fått mindre tid att

undervisa elever i matematikämnet, vilket leder till mindre lärande för eleverna.

Gymnasielärarna är mer ödmjuka i sina bedömningar i denna fråga, främst Lge, och

anmärker att forskare som undersöker trender i elevresultat också måste beakta de nya

förutsättningar som gäller. Det märks också av en del i hur man beaktar den sjunkande

lärarstatusen. Gymnasielärarna verkar visserligen se detta som ett problem men

undviker att lägga några djupare värderingar i det medan t ex. Ul går ned lite djupare i

denna fråga. Ul påpekar att man bör vara noggrann och se en sjunkande lärarstatus som

en varning för den framtida skolan. Det han menar med detta är att risken med en låg

lärarstatus är att de lärare som ska undervisa i t ex. matematik inte är tillräckligt

kompetenta då de bästa eleverna satsar på industrin istället. Detta kan i sin tur enligt Ul

leda till att läraren inte är tillräckligt kompetent i ämnet för att få elevernas förtroende,

vilket är väsentligt för att läraren ska kunna bedriva en bra undervisning.

Syn på kopplingar mellan skolformerna

Vad gäller elevers övergång från gymnasiet till högskolan är både gymnasielärare och

högskolelärare överens om att det är högskolan som ska anpassa sig till rätt

kunskapsnivå efter hur gymnasiet måste följa styrdokumentens anvisningar.

Komplikationer uppstår ändå och Lge har t ex. erfarenheter av att inte alla lärarna på

högskolan tar hänsyn till detta, samtidigt som han nämner att man från gymnasiets sida

försöker tillmötesgå önskemål från olika program på högskolan så gott man kan. Båda

gymnasielärarna är dessutom överens om att eleverna får lära sig algebra och att hantera

miniräknaren på ett bra sätt på gymnasiet, och enligt Lgn är det grundskolan som är

32

sämre på den delen. Lge nämner dock att han saknar svårare övningsuppgifter som

ställer krav på elevernas tålamod vilket han menar är bra att arbeta med vad gäller

förberedelse inför högskolan.

Högskolelärarna är dock lite mer skeptiska till elevernas förkunskaper när de kommer

från gymnasiet. T ex. enligt Ul förekommer det att elever inte förmår att hantera

algebra, eller formler som innehåller symboler istället för siffror och anser att detta

beror på att eleverna har räknat för mycket med siffror i samband med att de har använt

miniräknaren på gymnasiet. Även doktoranden anser att sifferräkning på miniräknaren

är något som tillämpas alltför flitigt på gymnasiet, med tanke på att färdighet och

förståelse hos eleverna blir lidande. F.ö. anser hon att miniräknaren ska användas men

då mer som extra hjälpmedel när arbetet med papper och penna kan anses avklarat. Ul,

som är lärare i ett tillämpat matematikämne, ser dessutom en del problem med de

initiala matematikkurserna på högskolan. Han menar att dessa kurser är mycket

omfattande och de krav som föreligger i kursplanerna innehåller inte anvisningar om

krav på att varje enskilt delmoment måste vara godkänt. Med detta menar han att elever

t ex. kan bli godkända i analys A kursen utan att kunna komplexa tal som är viktigt

inför studier i de tillämpade ämnena.

Det största problem som högskolelärarna dock kan se, vad gäller nyintagna elever

från gymnasiet, är det stora steg i akademisk nivå som uppstår i samband med

övergången samt att högskolan måste förhålla sig till en kraftig variation i elevernas

förkunskaper beroende på vilket gymnasieprogram de kommer ifrån. Denna anpassning

leder enligt Ht till att vissa initiala kurser på högskolan startar på en för låg nivå för

vissa elever vilket endast bränner onödig tid.

Sammanfattning kring förslag på förbättringar

Nedanstående lista sammanför samtliga lärares förslag på förbättringar. Om ett förslag

är framfört av en enskild lärare anges det.

Mer övningar i läroböckerna för att även pröva de övriga kompetenserna som t

ex. problemlösning. Främst doktoranden och Lge påpekar att det är elevens

intresseområde som måste tillgodoses i problemlösningsuppgifterna som

33

dessutom bör vara autentiska. Lge poängterar dessutom att det tydligt ska anges

i böckerna vilken typ av kompetens det är som prövas.

Skolan behöver mer inslag av interaktiva läromedel så att eleven kan ha en mer

kontinuerlig kommunikation med sin lärare, en viktig grund för formativ

bedömning. Lge förespråkar också s.k. ”Flipped Classroom” som innebär

genomgångar på nätet och arbete med läxor och övningar i klassrummet.

Lärarna förespråkar dessutom ett användande av programvaror som exempelvis

WolframAlpha (Wolfram Mathematica 8, 2012) för att erbjuda eleverna extra

hjälpmedel utöver miniräknaren redan på gymnasiet.

Främst doktoranden välkomnar ett återinförande av centrala kontrollorgan för

nyutkomna läroböcker, vilket ger bättre möjligheter för en enhetlig tolkning av

styrdokumenten. Doktoranden föreslår dessutom tidsrekommendationer för olika

ämnesavsnitt.

Konstruktion av en extra lärobok som kan användas både på gymnasiet och på

högskolan. Vid författandet av en sådan bok måste elevens framtida

studieinriktning på högskolan beaktas. Lge är mer intresserad av en extra

övningsbok som t ex. innehåller s.k. ”rika problem” samt

problemlösningsuppgifter.

Främst Lgn föreslår en tidigareläggning av färdighetsträningen för att hinna med

mer tillämpad matematik redan på gymnasiet.

5.2 Intervju av elever

I detta avsnitt presenteras intervjusvaren från eleverna med följande huvudpunkter:

Den första huvudpunkten redogör för hur eleven upplever undervisningen i

matematik.

Den andra huvudpunkten redogör för hur eleverna ser på läroböcker i matematik

med reflektioner kring andra kompletterande läromedel.

Den tredje huvudpunkten sammanfattar elevernas erfarenheter av övergångar

mellan olika skolformer.

Till sist redogörs för en sammanfattande punktlista kring de förslag på

förbättringar som framkommit ifrån intervjuerna av eleverna.

34

Elevens upplevelser av hur undervisningen fungerar

Både eleven och studenten är relativt nöjda med undervisningen och lägger stor vikt vid

att kommunikationen mellan lärare och elever fungerar bra. Främst studenten

poängterar detta och tycker det är viktigt att läraren är tydlig och kan göra sig förstådd

inför eleverna. Den kritik som främst kan utrönas från intervjusvaren är att både

studenten och eleven anser att det är för få tillgängliga lärare i samband med

räkneövningarna. Eleverna får vänta länge för att få hjälp och detta kan leda till

osäkerheter på sikt samt att vissa elever inte hinner med kunskapsmässigt i kursens

tidskrav. Utöver detta föreslår studenten att ämnesintegrering kan vara ett väsentligt

inslag i matematikundervisningen. Detta menar han kan realiseras antingen via

problemlösningsuppgifter i samband med matematikövningarna eller att de

yrkesinriktade kurserna också tar upp kopplingar till matematiken i sina undervisningar.

En sådan åtgärd menar han hade med stor säkerhet ökat motivationen hos eleverna.

Elevens syn på läroböcker och hur de kan förbättras

Det blir en större diskrepans mellan studenten och elevens åsikter när man undersöker

deras syn på läroböckerna i matematik. Eleven, som jämför övergången från grundskola

till gymnasium, tycker att läroböckerna är likartade i sina utföranden hos båda

skolformerna. I denna fråga upplever studenten en betydligt större differens och ser en

stor skillnad mellan hur en bok på gymnasiet är utformad jämfört med en högskolebok.

Högskoleboken är betydligt mer akademiskt och professionellt skriven jämfört med

böckerna på gymnasiet. Studenten tycker dock att läroböckerna på högskolan också har

samma brister som gymnasieskolans böcker vad gäller beaktande av olika

kompetensområden. Läroböckerna täcker främst procedurella algoritmkunskaper och är

bristfälliga vad gäller väl utarbetade problemlösningar, kontroll av begreppskompetens

samt hur man resonerar kring matematiska problem. Studenten hade dessutom gärna

sett flera lösta exempel i böckerna för att förstå innebörden i nya fakta bättre. Även

eleven har en del kritik vad gäller gymnasieböckerna men är inte lika utförlig som

studenten i sina åsikter. Eleven saknar främst mer fördjupningsuppgifter i vissa av de

böcker han använt på gymnasiet.

35

Från intervjusvaren uttolkas att studenten och eleven har en gemensam syn när det

gäller hur de upplever läroboken jämfört med övriga typer av läromedel. För dem är det

läroboken i kombination med en professionell lärare som är det viktigaste för deras

inlärning i matematik. IKT och övriga hjälpmedel är ett bra komplement men ska endast

ses som extra hjälpmedel för att understöda läroboken och läraren. Eleven påpekar

dessutom att det är endast innanför skolans väggar som läraren kan räkna med elevens

uppmärksamhet. Att lägga ut genomgångar på nätet som eleverna ska titta på efter

skoltid förhåller han sig skeptisk till. Som exempel nämner eleven att de

lektionsplaneringar som redan finns att hämta på nätet endast uppmärksammas av ett

fåtal elever.

Vad gäller frågan om eleverna skulle uppskatta en lärobok konstruerad på ett sådant

sätt att den kan börja användas på gymnasiet och sedan på tillämpade kurser på

högskolan, verkade studenten mest entusiastisk. Studenten menar att om det finns vissa

moment som man vet kommer senare på högskolan, borde eleven få en inblick i detta

redan på gymnasiet. Dessutom påpekar han att båda skolformerna bör beakta att

eleverna inte får ta med sina böcker när de börjar på högskolan.

Elevens syn på övergång mellan skolformerna

Både eleven och studenten märkte av stora förändringar i samband med byte mellan

skolformer fast på olika sätt. Eleven upplever att man får ta ett större eget ansvar för sin

inlärning vid studier på gymnasiet medan grundskolan var betydligt mer regelstyrd. Vad

gäller matematikämnet i sig upplevdes dock inga större skillnader enligt eleven, endast

att ämnet blir lite mer avancerat med en del som är nytt. Studenten märkte istället av att

tempot i kurserna ökade i samband med övergång från gymnasiet till högskolan. På

högskolan menar han blir allt mycket djupare teoretiskt och läraren har inte möjlighet

att ge en personlig feedback på samma sätt som på gymnasiet. En introduktionskurs på

sommaren som förbereder högskolestudierna är önskvärd enligt studenten. Vad gäller

matematikämnet blir det mesta helt nytt enligt honom och det krävs stora omställningar

under kort tid för att kunna ta in nya kunskaper, vilket han anser försvårar lärandet.

36

Sammanfattning kring förslag på förbättringar

De förslag som gavs av eleven och studenten är enligt nedanstående lista:

Det bör vara med fler lärarassistenter i samband med övningar.

Läroböckerna bör innehålla fler problemlösningsuppgifter och lösta exempel.

Studenten ansåg dessutom att det finns behov av en introduktionskurs i

matematik innan högskolestudierna påbörjas.

5.3 Resultat från egna observationer

I detta avsnitt beskrivs egna observationer från deltagande i föreläsningar och lektioner i

matematik (Analys A kursen) på högskolan samt från deltagande i lektioner med

sistaårs elever på naturprogrammet vid gymnasiet. Det som beaktas är elevaktiviteten,

om eleverna frågar mycket, om läraren söker feedback från eleverna, vilka läromedel

som används etc. Dessutom presenteras en kort jämförelse mellan de läroböcker som

används.

Från observationerna dras först slutsatsen att man märker av hur det ökade

elevansvaret också påverkar klassrumsklimatet när man jämför högskolan med

gymnasiet. Vid deltagande på lektioner vid gymnasiet (med ca 30 elever) är det mycket

mer spring och pratigheter om annat än matematiken. Föreläsningen på högskolan (med

ca 90 elever) är å andra sidan mer formell än en genomgång i ett klassrum på

gymnasiet, vilket kan ha till nackdel att eleverna mestadels sitter tysta under en

föreläsning med få tillfällen att ställa frågor. Vid en genomgång på gymnasiet är

eleverna mer aktiva med frågor och har överlag en intensivare kommunikation med

läraren. Detta kan vara en fördel, men ofta låses denna kommunikation upp med att

läraren är fokuserad endast vid en grupp elever, de som ställer frågorna. Man märker

dessutom av att det inte förekommer någon individualisering (anpassning efter elevers

förkunskaper), utan alla elever får samma typer av problem att räkna. Detta gäller hos

båda skolformerna och ytterligare ett gemensamt drag är att eleverna får vänta länge på

hjälp från läraren i samband med när de arbetar med övningar och har frågor kring

37

uppgifterna de räknar på. Något som för övrigt framkom vid intervjun av studenten

enligt kapitel 5.2. De elever som är duktiga sitter mestadels för sig själva i egna grupper

och det var sällan som det observerades att elever hjälpte varandra.

Vad gäller genomgången för gymnasieklassen märkte man av att läraren försökte

använda sig av analogier för att förklara saker som elever inte förstod, något som också

har framkommit som viktigt i samband med litteraturstudie och empiriskt studie.

Läraren på gymnasiet är dessutom aktiv på nätet via egen facebooksida för att kunna ge

elever feedback även efter skoltid. De observationer som gjordes i samband med

föreläsningar på högskolan var att läraren istället tog fram lösta exempel för att förklara

nya teorier. När det gäller personlig feedback på högskolan blir det svårt för lärarna att

hinna med detta.

Ytterligare en sak som kan bekräftas från intervjuerna är jämförelsen mellan

läroböcker som användes på gymnasiet med högskoleböckerna. För matte E kursen på

gymnasiet beaktades (Björk & Brolin, 2002) och för högskolan (Analys A kursen)

studeras (Persson & Böiers, 1990), en lärobok som är snarlik den lärobok som användes

idag (Nordbeck & Månsson, 2011). Vad gäller högskolekurserna är de relativt konstanta

i sina innehåll jämfört med gymnasiekurserna, och den skillnad som främst kunde

observeras mellan högskoleböckerna, var att den nya boken för Analys A kursen också

innehåller en inledande del med elementär algebra och geometri. Vid en jämförelse

mellan gymnasieboken (Björk & Brolin, 2002) och högskoleboken (Persson & Böiers,

1990) är den första noteringen att övningsuppgifterna ges i ett parallellt häfte till

högskoleboken medan allt är mixat i gymnasieboken. Vidare är högskoleboken skriven

på ett akademiskt sätt vad gäller begrepp och beskrivande text, förklaringar via

definitioner och figurer som främst visar rena funktionskurvor. I gymnasieboken är

texten mycket mer populärt skriven och har med bilder av mer vardagsnära slag som

fotografier och ritade bilder på personer och vardagssaker, hus etc. Gymnasieboken tar

dock med flera viktiga historiska händelser och personligheter inom matematiken med

en kort översikt om bl.a. Gauss och Kepler. Man kan alltså konstatera att de åsikter som

framfördes under intervjuerna är verifierade, högskoleböckerna är klart mer akademiska

i sin utformning medan gymnasieböckerna är mer populärt utformade.

38

6 Slutsats och diskussion

6.1 Egna reflektioner kring resultaten

En erfarenhet från denna studie är att den kvalitativa intervjumetoden gav ett väsentligt

bidrag till undersökningen medan bidraget från den deltagande observationen var mer

begränsad. Ett antagande är att deltagande observationer är mer lämpliga i samband

med undersökningar som varar över en längre tid.

En första reflektion från resultaten i denna studie, är mönstret av att matematikämnet

har förlorat en stor del av sin status i skolan både vad gäller elevkunskaper och i

läromedlens konstruktioner. Att kursplanerna inte kräver att man ska ha fullgoda

kunskaper i varje delmoment i en mattekurs är en del av problemet, men något som är

än värre är att läroböckerna inte har som krav att följa styrdokumentens anvisningar för

elever som går gymnasiet, se (SOU 2004:97). I den rapporten åberopas behov kring en

närmare analys vad gäller läromedel som används i matematikämnet. Läroboksförfattare

försöker visserligen till största delen följa kursplanernas anvisningar, men det blir deras

tolkningar som gäller istället för en central styrning, vilket i sin tur försvårar en

jämbördig bedömning över landets skolor. Det har dock framkommit i denna studie att

det finns ett fåtal exempel på läroböcker som både på ett noggrant och utförligt sätt

följer styrdokumentens anvisningar. Från den empiriska studien framkom en sådan bok

(Eriksson et al., 2007), vilket är en lärobok i matematik som både beaktar de sex olika

kompetenskraven (Bouyer & Johansson, 2009, s.8) och tydligt anger när de tas upp.

Exempelvis inleder boken med övningar på metoder efter ett avsnitt som sedan följs av

uppgifter som hanterar begrepp, logiska resonemang i matematik samt problemlösning.

Utöver detta beaktar (Eriksson et al., 2007) hur olika metoder i matematiken hänger

ihop och organiserar till ett sammanhang, som i sin tur ger en positiv inverkan i elevens

inlärning (Illeris, 2011, s. 28-30) eller som författarna själva uttrycker det (Eriksson et

al., 2007, s.3):

”Det är lättare att studera matematik på nästa nivå om man ser hur det hänger ihop

med det man redan lärt sig.”

39

Läroboken (Eriksson et al., 2007) utmärker sig utöver detta på flera sätt, bl.a. med ett

inledande avsnitt som beskriver matematiken i sig, som exempelvis beskrivningar av

tal, metod och begrepp. Boken använder sig också av ett digitalt stöd, benämnd

matteboxen, som bl.a. kan underlätta individualiserad inlärning via olika

träningsmoduler, simuleringar etc.

Interaktiva hjälpmedel (IKT) är något som kan vara högaktuellt i synnerhet för

gymnasiet med en – till - en projektet (Skolverket, 2010) i beaktande. Läroboken har

dock en viktig roll även för framtiden. Detta med tanke på matematikämnets

komplexitet, läraren kan inte ta ut vissa bitar från olika håll utan behöver en

sammanhållande helhet för sin undervisning. Från intervjuerna kan man dessutom

uttolka att lärarna är betydligt mer entusiastiska kring IKT och användande av

programvaror än eleverna är. Eleverna är mer ödmjuka inför detta och anser att det är

läraren och en välstrukturerad lärobok som är det viktigaste för deras inlärning av

matematik. Dock verkar lärare och elever vara överens om att den tillämpade

matematiken är viktig både för förståelse och för drivkraft i sig, samt för att eleverna

ska få en möjlighet att koppla den abstrakta matematiken till sitt framtida yrke.

Vad gäller uppfattningen att elevernas resultat i matematikkunskaper har minskat, vid

övergång från gymnasiet till högskolan, finns konkret material att hämta i exempelvis

(Brandell, 2011). Det kan också vara intressant att läsa en intervju som pekar på vad

som hänt sedan matematikdelegationen i sin rapport från 2004 (SOU 2004:97) satte upp

en lista på arton punkter om vilka åtgärder som bör ske. Enligt (FARAD, 2011) anges

istället:

”När jag nyligen pratade med delegationens huvudsekreterare Bengt Johansson,

som nu är föreståndare för Nationellt centrum för matematikundervisning, NCM,

konstaterade han att han kunnat pricka av punkt efter punkt på den ”om -inget-

görs”-lista som fanns i delegationens slutrapport.”

En notering från intervjuerna är att främst gymnasielärarna försvarade denna nedgång

med att andra delar av matematiken lärs ut idag, inte enbart färdighetsträning av

metoder som gällde förr, utan även mer vardagsnära kopplingar, varför mätresultaten

inte blir riktigt rättvisande. Lärarna är däremot överens om att ett problem föreligger

vad gäller elevernas förkunskaper idag när man beaktar samtliga elever. Detta problem

40

kan kopplas till stora variationer i elevernas förkunskaper, som i sin tur kan kopplas till

vilken skola de kommer ifrån. Ett ytterligare problem, som lärarna verkar vara överens

om, är den nedåtgående lärarstatusen som kan bero på att elever värdesätter sociala

umgängen högt, men också på minskade befogenheter hos läraren som medför

svårigheter att upprätthålla ett starkt ledarskap. Ur denna aspekt kan Piagets individuella

konstruktivistiska pedagogik medföra ett positivt bidrag.

6.2 Slutsats

En slutsats från denna undersökning är att läroboksförfattare i matematik kan påverka

elevers lärande på ett positivt sätt genom att:

Vara tydliga i sin text, exempelvis vad gäller vilka kompetenskrav som prövas.

Exempel på detta belyses i rapporten, kapitel 5, s.29 samt s.34.

Ta med fler lösta exempel som förklarar det nya faktainnehållet tydligare

Förklara olika matematiska begrepp och hur olika ämnesavsnitt hänger samman.

Läroboksförfattare påverkar dessutom indirekt elevens lärande på ett positivt sätt genom

att erbjuda läraren ett material med många intressanta, gärna ämnesintegrerade,

uppgifter som kan användas i undervisningen. Utöver detta ska läroboksförfattare vara

noggranna i sin tolkning av ämnesplanen och beakta forskningsresultat vad gäller

elevers lärande.

Exempel på en bok som kan godkännas efter ovanstående föreslagna kriterier är

(Eriksson et al., 2007), en bok som representerar ett viktigt delresultat i denna studie.

Vad gäller läsbarheten för denna bok finns dock en del tidigare kritik (Erlandsson,

2012).

Ytterligare ett viktigt delresultat från denna studie är slutsatsen kring behovet av att

konsturera läroböcker i matematik som kopplar samman gymnasiets matematikkurser

med tillämpade ämnen på högskolan. Detta behov kan försvaras av två viktiga

anledningar som påverkar elevens lärande på ett positivt sätt. Den ena anledningen, som

främst kan kopplas till studenten på högskolan, är att eleverna inte får ta med sig sina

41

läroböcker från gymnasiet och missar därför viktigt repetitionsmaterial. Den andra

anledningen, som kan kopplas till både gymnasieleven och högskoleeleven, är att eleven

får en möjlighet till en helhetssyn som bl.a. ger en bättre förståelse kring varför man

behöver lära sig vissa matematiska metoder. När man konsturerar en sådan typ av bok

innebär detta att författaren bör vara noggrann med att informera sig hos rätt institution

på högskolan om vilket innehåll som är väsentligt för det tillämpade ämnet. Dessutom

kan ett extra bidrag erhållas från tidigare årskullar av högskoleelever, vad gäller hur

man ska utforma boken samt hur man tar upp gymnasiematematiken.

6.3 Förslag på fortsatt arbete

Ett förslag på lärobokkonstruktion kan vara efter den undervisningsmetod som

presenterades i litteraturgenomgången, kapitel 3, en lärobok som bl.a. innehåller

övningar konstruerade efter de kriterier som gäller för en formativ bedömning. Först ger

styrdokumenten en central inriktning för övningsuppgifternas konstruktion varefter

författaren enligt (Grevholm, 2011, s.126) ska se till att uppgifterna i boken har en

relevans för den didaktiska situationen. Exempel på detta är att beakta

elevföreställningar inom olika ämnesavsnitt, där forskningsresultat pekar på vad elever

brukar ha svårt för att förstå och vilka vanliga missuppfattningar som förekommer. Vad

gäller möjligheten för en elev att reflektera över sina lösningar föreslås att facit är

separerad från huvudboken som endast visar slutsvaret. Lösningsproceduren presenteras

mer utförligt i ett skede efter att eleverna försökt räkna på vissa avsnitt i läroboken.

Läraren kan under dessa förutsättningar t.ex. tillämpa ERNIe metoden som beskrivs i

kapitel 3, genom att hålla gemensamma genomgångar i samband med utdelning av facit

för aktuellt ämnesavsnitt. Eleverna kan då se vilka fel de har gjort och sedan på egen

hand skriva ned sina reflektioner om detta för att slutligen lämna in till läraren.

För att belysa hur en lärobok i matematik skulle kunna utföras med övergång mellan

gymnasium till högskola i beaktande, återges i bilaga 1 ett förslag på en grundstruktur

av en lärobok som kombinerar en genomgång av gymnasial abstrakt matematik för att

sedan via fysiken visa på kopplingar till ett tillämpat ämne som exempelvis matematiskt

modellbygge i MATLAB.

42

Referenser

Andersson, Karl G.(1985). Lineär algebra. Lund: Studentlitteratur.

Björk, Lars-Erik & Brolin, Hans. (2002). Matematik 3000 – Kurs E, Naturvetenskap

och teknik. Stockholm: Natur och Kultur.

Brandell, Lars. (2011). Matematikkunskaperna 2011 hos nybörjarna på

civilingenjörsprogrammen och andra program vid KTH – bearbetning av ett

förkunskapstest. Stockholm: KTH. Hämtad september 4, 2012, från

http://www.lilahe.com/KTH2011.pdf

Bryman, Alan. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm : Liber.

Eriksson, Kimmo et al. (2007). Tal och rum NT kurs A+B. Stockholm: Liber.

Forsell, Anna (red). (2011). Boken om pedagogerna. (2:a uppl.). Stockholm: Liber.

FARAD.(2011, september). Matten behöver miljarder. Farad bloggen. Hämtad

september 4, 2012, från http://farad.se/article.php?rowId=213

Glad, Torkel & Ljung, Lennart. (2009). Modellbygge och simulering. (2:a uppl.). Lund:

Studentlitteratur.

Grevholm, Barbro. (red.). (2001). Matematikdidaktik: ett nordiskt perspektiv. Lund:

Studentlitteratur.

Gustafsson, Fredrik & Bergman, Niclas. (2003). MATLAB® for Engineers Explained.

London: Springer Verlag.

Holmström, Martin & Smedhamre, Eva. (2001). Matematik från A till E - Gymnasiets

matematik kurs B. (2:a uppl.). Stockholm: Liber.

43

Illeris, Knud (2011). Lärande (2:a uppl.). Lund: Studentlitteratur.

Ingelstam, E., Rönngren, R., Sjöberg, S.(1984). TEFYMA – Handbok för teknisk fysik,

fysik och matematik.(3:e uppl.). Helsingborg: Sjöbergs Förlag.

Kvale, Steinar. & Brinkmann, Svend. (2011). Den kvalitativa forskningsintervjun (2:a

uppl.). Lund: Studentlitteratur.

Lennerstad, Håkan. och Jogréus, Claes. (2002). Serier och transformer.(2:a uppl.).

Lund: Studentlitteratur.

Lundqvist, Hans & Olofsson, Stefan.(1983). Ellära, Faktabok 1 GyT. Stockholm: Liber.

Löwing, Madeleine. (2006). Matematikundervisningens dilemman: hur lärare kan

hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur.

Matematiklärarna på teknik och samhälle. (2012A). Överbryggningskurs i matematik –

del I. Malmö: Malmö Högskola.

Matematiklärarna på teknik och samhälle. (2012B). Överbryggningskurs i matematik –

del 2. Malmö: Malmö Högskola.

Newton, Douglas P. (2012). Teaching for understanding. London & NY: Routledge.

Nordbeck, Patrik & Månsson, Jonas. (2011). Endimensionell analys. Lund:

Studentlitteratur.

Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer. (1990). Analys i en variabel. Lund:

Studentlitteratur.

Schmidtbauer, Bengt. (1988). Analog och digital Reglerteknik. Lund: Studentlitteratur.

Schmidtbauer, Bengt. (1999). Modellbaserade Reglersystem. (2:a uppl.). Lund:

Studentlitteratur.

44

Stensmo, Christer. (2007). Pedagogisk Filosofi. Lund: Studentlitteratur.

WolframAlpha. (2012). Wolfram Mathematica 8 – HowMathematica made

Wolfram|Alpha possible . Hämtad oktober 13, 2012, från:

http://www.wolfram.com/mathematica/how-mathematica-made-wolframalpha-

possible.html

Forskningsartiklar:

Ahnell, Torbjörn. (2006). Läromedelsanalys Matematik A. Examensarbete. Linköping:

Linköpings Universitet. Hämtad september 14, 2012, från http://liu.diva-

portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:21801

Andersson, Josefin & Richard, Åsa. (2005). Uppmuntrar läroboken i matematik

eleverna till att tänka självständigt? Examensarbete. Malmö: Malmö Högskola. Hämtad

september 14, 2012, från

http://dspace.mah.se:8080/bitstream/handle/2043/2067/%C5saoJosefin%5B2%5D%5B

2%5D?sequence=1

Andersson, Sven & Larsson, Peter. (2007). Läromedlets funktion i klassrummet, i

matematik. Examensarbete. Jönköping: Högskolan i Jönköping. Hämtad september 14,

2012, från http://www.uppsatser.se/uppsats/0107f822f7/

Black, Paul. & Wiliam, Dylan. (1998). Inside the black box – raising standards through

classroom assessment. Hämtad september 14, 2012, från:

http://blog.discoveryeducation.com/assessment/files/2009/02/blackbox_article.pdf

Bouyer, Melinda & Johansson, Irma M. (2009). Matematiska kompetenser i

läroböckernas uppgifter- En granskning av två Matematik A läroböcker.

Examensarbete. Kalmar Växjö: Linné Universitetet. Hämtad september 14, 2012, från

http://lnu.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:295565

45

Erlandsson, Josefine.(2012). Språket i läroböcker i matematik – En textanalytisk studie

av läroböcker i matematik på gymnasial nivå. Examensarbete. Västerås: Mälardalens

Högskola. Hämtad oktober 24, 2012, från

http://mdh.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:540409

Kembitzky, Kimberle, Ann. (2009). Adressing Misconceptions in Geometry through

written error analyses. USA: Ohio state university. Hämtad oktober 14, 2012, från

http://etd.ohiolink.edu/view.cgi?acc_num=osu1259169709

Larsson, Malin & Thörner, Caroline. (2010). Vilken betydelse har matematikböckers

utformning för träning av modellering? – En studie av läromedel för årskurs tre, fyra

och fem. Examensarbete. Göteborg: Göteborgs Universitet. Hämtad september 14,

2012, från https://gupea.ub.gu.se/handle/2077/26053

Styrdokument, beslut från offentliga myndigheter, nyhetsbrev och rapporter

Ny Skollag (SFS 2010:800).

Skolverket. (2010). Kommuner satsar på en-till-en. Nyhetsbrev nr.8 2010. Stockholm:

Skolverket. Hämtad oktober 13, 2012, från http://www.skolverket.se/om-

skolverket/publicerat/2.3364/2.5111/2.5729/kommuner-satsar-pa-en-till-en-1.164475

Skolverket. (2011a). Kunskapsbedömning i skolan – praxis, begrepp, problem och

möjligheter.

Skolverket.(2011b). Gymnasieboken.

Skolverket, Rapport 2009-08-28, dnr 84-2008:3780, Redovisning av uppdraget att

bedöma verksamheters och huvudmäns utvecklingsbehov avseende IT-användningen

inom förskola, skola och vuxenutbildning samt ge förslag på insatser.

Läroplan för Gymnasiet. (Lgy11).

46

SOU 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens. Stockholm:

utbildningsdepartementet. Hämtad oktober 14, 2012, från

http://www.regeringen.se/sb/d/220/a/30348.

Bilaga 1 Skiss på matematiklärobok för Gymnasium och

Högskola

I denna bilaga redogörs en skiss på en lärobok som kopplar samman

Gymnasiematematik, sista året, med Högskolematematik, första året. Endast avkortade

exempel på ämnesavsnitt presenteras här med en fokusering på att belysa hur olika

nivåer i matematiken kan presenteras på ett organiserat sätt.

Skissen inleds med en innehållsförteckning med källhänvisning för varje delavsnitt med

tillhörande avancerad nivå, gymnasial- eller eftergymnasial nivå. Sedan följer några

sammanfattande utdrag på hur olika ämnesavsnitt kan kopplas samman mellan olika

nivåer.

Syftet med skissen är att visa på hur vissa avsnitt av gymnasiematematiken kan kopplas

till olika avsnitt i den tillämpade matematiken på högskolan. Exempel på övriga

gymnasiala ämnesavsnitt, som inte tas upp här, är:

Trigonometriska funktioner

Kurvkonstruktioner

Numeriska metoder

Rymdgeometri

Sannolikhetslära

Dessa ämnesavsnitt förutsätts från annan kurslitteratur, eller från tidigare årskurser på

gymnasiet. Dessutom förutsätts vissa förkunskaper i fysik, exempelvis ellära för

likström och växelström system.

Nedan följer exempel på hur gymnasial matematik kan kopplas samman till

högskolematematik med tillämpningar. Som exempel på progression presenteras här

följande:

1. Derivator och integraler (bakgrund)

2. Komplexa tal med talet e för presentation av komplexa talplanet och Eulers

formel

3. j – metoden baserad på halva Eulers formel. En metod för att analysera system

med periodiska signaler i form av en ren sinus. Denna metod introducerar

signalhantering via vektorer i det komplexa talplanet och leder till förenklingar

av den algebraiska hanteringen i samband med systemanalys.

4. Fourierserier baserad på hela Eulers formel för att analysera system med alla

typer av periodiska signaler. Via Fourierserier kan man t ex. möjliggöra ett

utökat användningsområde för j- metoden.

Med ovanstående 4 huvudnivåer som bas kan man sedan utöka med Fouriertransformen

som även kan hantera icke periodiska signaler samt Laplacetransformen som ger

ytterligare generalisering av användbarheten. Laplacetransformen i sin tur är en viktig

metod som användes mycket i samband med systemanalys och för att underlätta

beräkningar av differential ekvationer.

Innehållsförteckning med källhänvisning

Inledning:

Beskriver upplägg och mål med boken.

Gymnasial del:

Kapitel 1:

Ekvationssystem (Holmström & Smedhamre, 2000, s.107 – 119)

Kapitel 2:

Derivator och Integraler (Björk & Brolin, 2002, s.58 - 105), (Matematiklärare på

teknik och samhälle, 2012B, s.67, 93) samt (Persson & Böiers, 1990, s.251 - 266).

Definition, derivata och integral

Analysens huvudsats

Kapitel 3:

Komplexa tal (Björk & Brolin, 2002, s.7-57)

Definition, komplexa talplanet

Potenser, talet e (Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012B, s.111f)

Tillämpning, j - metoden (Lundqvist & Olofsson, 1983, s.148-173), (Schmidtbauer,

1989, s.95-99)

Kapitel 4:

Differentialekvationer (Björk & Brolin, 2002, s.106-175).

Definition

Homogena, separabla etc.

Tillämpning

Kapitel 5:

Vektorer (Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012A, s.101-116)

Kapitel 6:

Funktioner (Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012A, s.65-86) samt

(Matematiklärare hos teknik och samhälle, 2012B, s.33-54)

Kapitel 7:

Gränsvärden och kontinuitet (Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012B, s.55-

66)

Eftergymnasial del:

Kapitel 8:

Matristeori (Andersson, 1985)

Kapitel 9:

Från Fourierserie till Laplacetransform (Lennerstad & Jogréus, 2002)

Fourierserie (generella periodiska signaler)

Fouriertransform (även icke periodiska signaler)

Laplacetransform (ytterligare generalisering vad gäller signalhantering, lösningar av

differentialekvationer etc.)

Kapitel 10:

Tillståndsmetodik (Schmidtbauer, 1999, s.11-38)

Kapitel 11:

Fysikaliska analogier och bindningsgrafer (Glad & Ljung, 2009, s.11-150)

Systembeskrivning

Fysikaliska analogier

Bindningsgrafer

Appendix:

A. Nomenklatur

B. Begrepp

C. Programvaror MATLAB(Gustafsson & Bergman, 2003)

Inledning

Målet med boken är främst förkunskapskrav inför kurserna reglerteknik, reglerteori

samt digital signalbehandling. Övningsuppgifterna förutsätts konstruerade i en separat

bok medan huvudboken endast innehåller lösta exempel.

1 Ekvationssystem

Allmänt kring ekvationer, ekvationslösningar exempelvis enligt (Holmström &

Smedhamre, 2000, s.107–119).

2 Derivator och integraler

Baserad på studier i (Björk & Brolin, 2002, s.58-105), (Matematiklärare på teknik och

samhälle, 2012B, s.67, 93) samt (Persson & Böiers, 1990, s.251 - 266). Derivata:

Grunden för att beskriva dynamik baseras på beskrivningen av snabbheten i en

förändring. Som exempel kan tas ett objekt i rörelse där aktuell position s vid tiden t

beskrivs med en funktion f(t) = vt där v är hastigheten.

.vttfs (2.1)

Derivatan av funktionen f(t) som beskriver hur stor förändringen i position är vid en

viss tidpunkt t = t0 betecknas df(t0)/dt där f(t0) anger sträckan vid t = t0. En första ansats

för att utröna derivatan är att se hur stor differensen i sträcka blir en kort tid efter t0, t1 =

t0 + h

.0001 tfhtftftfs (2.2)

Den genomsnittliga förändringen mellan t1 och t0 erhålls sedan genom att dividera (2.2)

med tidsdifferensen t1 – t0 = t = h

.

00

h

tfhtf

t

s

(2.3)

För att utröna förändringen exakt vid t = t0 ansättes ett gränsvärde där intervallet t = h

går mot 0

.lim

00

0

0

h

tfhtf

dt

tdf

dt

ds

h

(2.4)

Derivatans definition beskrivs av (2.4) under förutsättningen att gränsvärdet h → 0

existerar samt att funktionen f(t) är definierad i en omgivning av tidpunkten t0.

Observera att hastigheten v motsvarar derivatan på sträckan s som användes i detta

exempel. En mer generell bild av derivatan ges av nedanstående figur.

Fig.2.1 Geometrisk tolkning av derivatan för en funktion f(Y) = Y

2 + 1.

Exempel 2.1:

Beräkna derivatan till funktionen f(Y) = Y2 + 1.

.22lim

112lim

11limlim

0

222

0

22

00

YhYh

YhYhY

h

YhY

h

YfhYf

dY

Ydf

hh

hh

(2.5)

…………………………………………………………..

Rent generellt gäller för ett monom Xn att d(X

n)/dX = nX

n-1.

En del viktiga räkne regler och skrivsätt som användes vid derivering kan sammanfattas

enligt följande:

.5........................

4..............

3.............

2...........................................

1................)(

2

Dxgxgfxgfdx

dxgf

dx

d

Dxg

xgxfxgxf

xg

xf

dx

dx

g

f

dx

d

Dxgxfxgxfxgxfdx

dxfg

dx

d

Dxfxfdx

dxf

dx

d

Dxgxfxgxfdx

dxgf

dx

d

(2.6)

Regel [D5] benämns ”kedjeregeln” då man beaktar inre derivatan.

Integral:

Integral beräkning har en nära anknytning till derivatan som kommer att visas här.

Derivatan anger en kurvas lutning (tangent) vid en viss punkt medan integralen baseras

på area beräkningar under en funktionskurva. Grundförståelsen av integraler inses bäst

genom att först beakta en trappfunktion och beräkna arean under den enligt nedan.

Fig.2.2 Area beräkning under en trappfunktion.

För att beräkna arean mellan en sträckvis konstant funktion och x – axeln erhålls en

serie där kurvans amplitud fk vid varje intervall multipliceras med intervallet xk.

.)(1

xfFI k

n

kk

(2.7)

Vi kan nu utvidga detta resonemang till en mer generell funktion som är integrerbar,

exempelvis baserat på funktionen f(Y) = Y2 + 1. En approximation av ytan mellan f(Y)

och x – axeln kan erhållas via två trappfunktioner som ansluter över (T1(x)) respektive

under kurvan (T2(x)) i varje intervall.

Fig.2.3 Approximation av ytan under f(Y) via två trappfunktioner.

Baserat på Fig.2.3 kan en integrerbar funktion f definieras enligt villkoren att f är

begränsad i ett intervall [x1, x2] samt att det till varje reellt tal > 0 finns

trappfunktioner T1 respektive T2 så att

.21

21

xTxT

xTxfxT (2.8)

Utifrån (2.8) kan sedan definitionen för en integral anges med ett unikt tal som

uppfyller T1(x) ≤ ≤ T2(x) för alla trappfunktioner i (2.8). Detta unika tal definierar

integralen av f(x) i intervallet [x1, x2] enligt

.2

1

dxxfx

x

(2.9)

För att beräkna en integral kan man utgå från derivatans beräkningsregler och beräkna

ytan via rektanglar vars delintervall x = h. Figuren nedan illustrerar förfarandet.

Fig. 2.4 Approximation av ytan mellan en funktions kurva och x – axeln via rektanglar.

Ytan från x = x1 till x = x0 betecknas A(x0) medan ytan från x = x1 till x = x0 + h

betecknas A(x0 + h). Om man antar att funktionens amplitud i intervallet har

medelvärdet f(h) där x0 ≤ h ≤ x0 + h kan man beräkna delytan enligt följande

approximation:

.00 hhfxAhxA (2.10)

Om man i nästa steg låter h → 0 blir gränsvärdet att f(h) → f(x0) varvid man via (2.10)

samt derivatans definition enligt (2.4) kan konstatera följande:

.lim 0

000

0xf

dx

xdA

h

xAhxA

h

(2.11)

Med andra ord utgör f(x) derivatan till funktionen A(x) som beräknar arean under

kurvan. Mer generellt beskrivs ovanstående förfarande av analysens huvudsats:

Analysens huvudsats:

Om en funktion f(x) är kontinuerlig i ett intervall [x1, x2] är f(x) integrerbar i detta

intervall och då gäller

).(

21

1

xfxFdx

xdF

xxx

dxxfxFx

x

(2.12)

Funktionen F(x) kallas då för en primitiv funktion till f(x) och analysens huvudsats

definierar integralberäkningens nära anknytning till derivatan.

Om man åter beaktar area beräkningen i intervallet [x1, x2] kan man konstatera att ytan

fram till x0 blir enligt

.00 CxFxA (2.13)

För att erhålla den slutgiltiga ytan måste en eventuell konstant läggas till för att beakta

eventuella initialvärden som försvinner i deriveringen enligt (2.11). Konstanten C

baseras på den primitiva funktionens värde vid startpunkten för intervallet F(x1) då ytan

A(x1) = 0, se Fig. 2.4 blanka ytan. Via detta villkor erhålls konstanten C som

.

0

1

11

xFC

CxFxA

(2.14)

Integralen kan därmed slutgiltigt definieras via area beräkningen A samt den primitiva

funktionen F enligt

.122

1

2

1

xFxFxFdxxfA x

x

x

x

(2.15)

Exempel 2.2:

Beräkna ytan under funktionen f(Y) = Y2 + 1 mellan Y1 = 0.5 till Y2 = 2.

Först ansätts den primitiva funktionen F(Y) vars derivata motsvarar f(Y). Enligt

deriveringsregler för monom gäller d(Xn)/dX = nX

n-1. Den primitiva funktionen till f(Y)

blir då Y3/3 + Y vars derivata enligt deriveringsreglerna blir

.133

1

3

20133

YYYYY

dY

d (2.16)

Den slutgiltiga ytan erhålls sedan enligt (2.15)

)..(8

33

24

99

24

13

3

145.0

3

5.02

3

2

5.02

33

122

1

2

1

ea

FFYFYFYFdYYfA Y

Y

Y

Y

(2.17)

……………………………………………..

En del viktiga räkne regler som gäller vid integrering av kontinuerliga funktioner kan

sammanfattas enligt följande (Ingelstam et al., 1984):

.

4........................................

3.......................

2........................................................

1...............................

bg

ag

Idttgtgfdxxf

IdxxgxFxgxFdxxgxf

Idxxfdxxf

Idxxgdxxfdxxgxf

b

a tgx

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

(2.18)

Regel [I1] och [I2] följer av linjär superposition, regel [I3] betecknas ”partiell

integrering”, medan regel [I4] refereras som ”variabelsubstitution.”

3 Komplexa tal

Definition, komplexa tal etc. enligt (Björk & Brolin, 2002, s.7–57). Ett utdrag enligt

nedan är från (Björk & Brolin, 2002, s.38f), (Matematiklärare på teknik och samhälle,

2012B, s.111f) med kopplingar till derivatans definition samt (Lundqvist & Olofsson,

1983, s.148-173), (Schmidtbauer, 1989, s.95-99) för beskrivning av j-metoden.

Talet e:

En viktig grundfunktion som användes flitigt vid systemanalys av dynamiska modeller

är det så kallade talet e. Detta tal är en specifik exponentialfunktion med den unika

egenskapen att funktionen motsvarar sin egen derivata. Denna unika egenskap kommer

visa sig vara väl användbar för utförande av systemanalyser genom att transformera

mellan olika domäner. Exempelvis kan det vara fördelaktigt att beskriva en process

matematiskt via dess frekvensegenskaper istället för hur den uppför sig i tidsdomänen.

Talet e kan generellt beskrivas som en exponentialfunktion enligt f(x) = ax där a är en

konstant och x en variabel. Då en exponentialfunktion deriveras erhålls följande resultat

enligt derivatans definition (2.4)

.

1limlimlim

000 h

aa

h

aa

h

xfhxf

dx

da

dx

xdf h

h

xxhx

hh

x

(3.1)

Talet e är alltså det basvärde (a) som resulterar i att gränsvärdet i (3.1) resulterar i 1. Då

blir derivatan av ex = e

x. Beaktar man detta i en tabell med en successiv förfining av h

vid a = 2 respektive a = 3 erhålls följande resultat:

h

h

h 12

h

h 13

0.2 0.7435 1.2287

0.1 0.7177 1.1612

0.01 0.6956 1.1047

0.000001 0.6932 1.0986

Talet e kan antas vara mellan värdet 2 och 3 med en exakt beräkning via följande ansats:

.7183.21lim

111

11

lim

/1

0

0

h

h

hhh

h

he

heh

e

h

e

(3.2)

För att utröna exponenten x i ex = y tillämpas den så kallade naturliga logaritmen,

förkortad ln med följande räkne regel:

.1ln

ln

e

yxyex

(3.3)

Ytterligare en viktig egenskap med talet e är den så kallade komplexa

exponentialfunktionen (eller Eulers formel) som definieras enligt följande:

.sincos xjxejx (3.4)

I (3.4) multipliceras exponenten x med ett tal j som är definierad enligt j2 = -1. Detta tal

benämns den imaginära enheten i ett komplext tal z = x + jy, alternativt z = [x, y] där x

är den så kallade realdelen. Komplexa tal kan också beskrivas grafiskt via det komplexa

talplanet enligt nedan.

Fig. 3.1 Det komplexa talplanet.

Utifrån en summa av komplexa exponentialfunktioner (3.4) kan man uttrycka sinus och

cosinus termer enligt Eulers formel

.2

sin

2cos

sincos

j

eex

eex

xjxe

jxjx

jxjx

jx

(3.5)

Den komplexa exponentialfunktionen kan verifieras genom att följa deriveringsregler

för talet e samt för trigonometriska funktioner (Ingelstam et al., 1984)

.cossinsincos jexjxxjxdx

d

dx

ed jxjx

(3.6)

j - metoden (Lundqvist & Olofsson, 1983, s.148-173):

En klassisk metod i samband med analys av växelströmkretsar är den s.k. j – metoden,

en metod vars förutsättningar är en insignal som kan uttryckas i rena sinussignaler.

Metoden utgår från att insignalen kan skrivas om till en cosinusfunktion för att sedan

basera analysen på roterande vektorer avbildade på den reella axeln i ett komplext

talplan.

J – metoden definieras via ”halva” Eulers formel enligt (3.5), projektion på real -

axeln

.ReRecos)(

sincos

tjyKetKty

tjKtKKeKetjy

tj

tjtj

(3.7)

Det centrala i j – metoden är att svängningen omvandlas till en vektor med längden K

vilket ger följande resultat av cosinussignalen beskriven i det komplexa talplanet:

Fig. 3.2 Representation av en cosinussignal som vektor i det komplexa talplanet.

Vektorns längd K är ett mått på amplituden och svängningen motsvaras av en rotation

moturs.

Vektorn i Fig. 3.2 roterar moturs och projiceras på real – respektive imaginär axeln via

Kcos(t + ) samt Ksin(t + ). Vardera projektionen beskriver en harmonisk

svängning med samma amplitud och frekvens dock fasförskjutna mot varandra med /2

radianer enligt Fig. 3.2. Då t = 0 kan väljas var som helst på x – axeln justeras

vinkelläget via en extra fasförskjutning enligt (3.7) så att kurvan startar i origo för t =

0. Sedan kan man göra en direkt koppling mellan sinussignaler till cosinussignaler via

en fasvridning med /2 radianer enligt nedan

.2

cossin

tKtKtf (3.8)

En förutsättning för att använda j – metoden är rena sinussignaler och det centrala med

metoden ligger i en konvertering från tidsdomän till frekvensdomän genom att

representera svängningen som en vektor med t som oberoende variabel istället för

enbart tiden t.

Fig.3.3 Del av cosinus signal med t som oberoende variabel

Räkne reglerna för vektorer i komplexa talplanet kan sammanfattas i följande lista:

1. De kan uttryckas antingen på rektangulär- (y = Kcost + jKsint) eller

polär form (y = Kejt

).

2. De kan summeras med realdel och imaginärdel uppdelade för sig, z1 = x1

+ jy1, z2 = x2 + jy2 => z1 + z2 = (x1 + x2) + j(y1 + y2)

3. Vektorerna multipliceras genom multiplikation av belopp samt addition av

fasvinklar (K1ej1

K2ej2

= K1K2e j(1+2)

).

4. Derivering av en sinusformad storhet motsvaras av multiplikation med

motsvarande komplexa storhet j enligt räkne regler för den komplexa

exponentialfunktionen. På samma sätt ger integrering en division med j

istället.

0

00

111e

je

je

jdte

ejedt

d

tj

t

tjt

tj

tjtj

(3.9)

En fysikalisk tolkning av j – metoden beaktat i ett kretssystem med en växelspänning

som insignal är enligt nedan

.2

cosˆsinˆ

21

21

tUtUtU

(3.10)

Styrkan med j – metoden är att framställningen av signaler i vektorform underlättar

räkne reglerna för systemanalys vid periodiska insignaler. Detta inses exempelvis

genom att beakta effekterna från kondensatorn i en växelspänningskrets

tjtj

tjtj

tj

eUUeii

UCjeUCjeUdt

dCi

eUtjUUtUtU

dt

tdUCti

;

cos (3.11)

På motsvarande sätt kan följande påvisas för induktansen:

.iLjU (3.12)

En förenkling i algebraiska uttryck via j – metoden är att derivator och integraler, nu

ersätts med multiplikationer och divisioner med jse räkne reglerna 1-4 ovan.

Effekterna blir förenklade beräkningar för dynamik där exempelvis kondensator effekt

och induktor effekt kan beaktas med trivial likströmsalgebra via reaktanserna XC =

1/jC samt XL = jL. Vidare gäller för den imaginära faktorn att j = ej/2

enligt den

komplexa exponentialfunktionen (3.4). Detta innebär att en multiplikation med j

motsvarar en fasvridning med /2 radianer för vektorn. Uttrycken för ström och

spänning vid inverkan från induktans och kondensator kan då skrivas om enligt

följande:

.2

cos

22

tUCti

eUCeeUCeUCjitj

tjj

tj

(3.13)

Kondensator effekten leder till att strömmen ligger 2 radianer före spänningen vilket

faller sig naturligt då kondensatorn är spänningströg. På samma sätt ligger spänningen

/2 radianer före strömmen vid induktor effekt

.2

cos

22

tiLtU

eiLeeiLeiLjUtj

tjj

tj

(3.14)

Exempel 3.1: Tillämpning av j - metoden (Schmidtbauer, 1989, s.95 - 99):

Följande krets matas med en inspänning bestående av en lågfrekvens- och en

högfrekvens komponent:

Fig. 3.4 LR – kretsen med markerade signaler.

.105cos10cos 00 5

00

tjtjeUeUtjUUtUtUtU

(3.15)

Via j – metoden kan kretsscheman ritas om enligt nedan och vanlig likströmsalgebra

kan tillämpas på de komplexa reaktanserna XL = jL samt XR = R.

Fig. 3.5 LR – kretsen omritat med signaler i vektorform

Genom att uttrycka strömmar och spänningar som roterande vektorer i det komplexa

talplanet erhålls följande matematiska uttryck för spänningen Y(jt) över resistansen R:

.

51

10

1

10

11

1

2

0

5arctan5

2

0

arctan

5

arctan2

0000

00

R

L

eU

R

L

eUtjY

eUeUtjUU

eR

L

tjUtjU

R

Lj

RLj

tjRUtjY

RLj

tjUtjII

tjRItjYY

R

Ltj

R

Ltj

tjtj

R

Lj

(3.16)

För att till sist utröna tidsuttrycket y(t) projiceras vektorn Y(jt) på reella axeln

.5arctan5cos

51

10

arctancos

1

002

0

002

0

R

Lt

R

L

U

R

Lt

R

L

Uty

(3.17)

……………………………………………………………………………

4 Differentialekvationer

Definition av differentialekvationer, homogenlösning, partikulärlösning (Björk &

Brolin, 2002, s.106 - 175). Avslutningsvis presenteras en del tillämpningar.

5 Vektorer

Allmänt kring vektorberäkningar, definitioner, skalärprodukt, kryssprodukt etc.

(Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012A, s.101-116).

6 Funktioner

Allmänt kring funktioner (Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012A, s.65-86)

samt (Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012B, s.33-54).

7 Gränsvärden och kontinuitet

Allmänt kring gränsvärden för funktioner, definition av kontinuitet etc.

(Matematiklärare på teknik och samhälle, 2012B, s.55-66).

Eftergymnasial del:

8 Matristeori

Allmänt kring matriser, determinanter, egenvärden etc. (Andersson, 1985).

9 Från Fourierserie till Laplacetransform

Utifrån studier i (Lennerstad & Jogréus, 2002).

Fourierserier definieras via ”hela” Eulers formel enligt (3.5) och beskrivs med en

likströmskomponent åtföljt av en serie med trigonometriska signaler enligt följande

alternativ:

A1. ,.......4,3,2,1sin)(1

00

ktkAAtfk

kk

A2. ....4,3,2,1sincos)(1

02010

ktkFtkFAtfk

kk (9.1)

A3. ....4,3,2,1,0sincos)( 0201

ktkFtkFtfk

kk

A4. ....4,3,2,1,0)( 0

keFtfk

tjk

k

Grunden för Fourierserier är att representera en signal i tidsplanet med en komplexvärd

funktion där signalen baseras på en summa av två komplexkonjugerade funktioner med

halva amplituden.

Fig. 9.1 Grafisk representation av uttrycket K/2(ejt

+ e-jt

) med vektorer i ett komplext

talplan

Vektorerna i Fig. 9.1 ger en matematiskt mer lätthanterlig förutsättning med mer

generell hantering av insignaler möjlig jämfört med j - metoden. De två vektorerna

bygger gemensamt upp en representation av cosinussignalen på den reella axeln genom

att rotera i motsatta riktningar, den ena moturs (+) och den andra medurs (-). Med

omskrivningen till komplexkonjugerade funktioner påvisades av Jean Baptiste Joseph

Fourier att periodiska funktioner generellt byggs upp med basfunktioner av typen ejk0t

där k är ett heltal enligt

........,.........4,3,2,1,0,2

0 kT

kk

(9.2)

Frågeställningen som låg bakom Fourier’s arbete var hur man generellt kan representera

en periodisk funktion med en summa av sinus och cosinus signaler i en s.k. Fourierserie.

Ett exempel återges på nästa sida.

Fig. 9.2 Framställning av ett typexempel på hur en periodisk funktion återskapas via en

summa viktade sinussignaler med olika frekvens och amplitud.

Förutsättningen vid tillämpande av Fourier serier är enligt nedanstående lista

1. f(t) är periodisk

2. f(t) är absolutintegrerbar över varje period:

dttfT

3. f(t) har ett ändligt antal max och min under varje period

4. f(t) har i ett ändligt intervall endast ett ändligt antal ändliga

diskontinuiteter

Det är värt att notera införandet av negativa frekvenser i (9.1) som inte existerar

fysikaliskt. Detta införande är endast till för att förenkla matematisk hantering av

signaler som beskrivs i frekvensdomänen. Energin hos en signal vid en viss frekvens

delas alltså upp i två delar där halva energin förläggs vid den positiva naturliga

frekvensen som sedan kompletteras av motsvarande negativ frekvens med den andra

halvan av energin. Vid framtagande av Fourierserier utgår man alltså oftast från den

komplexa exponential serien enligt alternativ A4 (9.1) då den är enklast att hantera

beräkningsmässigt. Standard metoden för att beräkna Fourierserie koefficienter blir

enligt nedan med en konvertering från A4 till A1 i (9.1)

.arctan

22

ImRe

)(1

2

12

2

2

1

2

010

2211

21

0

0

k

k

kkkk

kkkk

kkkk

Ttjk

k

F

FFFAFA

FFFF

FFFF

dtetfT

F

(9.3)

Från exempel 3.1 inses att j – metoden, som introducerar signalhantering via vektorer

i komplexa talplanet, kraftigt förenklar den algebraiska hanteringen samtidigt som

möjligheterna till djupare insikter i systemegenskaperna förbättras. Dock förutsätts att

insignalerna måste bestå av rena sinus- eller cosinus komponenter. Periodiska

funktioner som fyrkantpulser etc. kan inte hanteras direkt. För att generalisera

hanteringen av periodiska funktioner måste ”hela” Eulers formel (3.5) att beaktas.

Framställningen av insignalen i exempel 3.1, (3.15) blir med hela Eulers formel enligt

nedan

.2

1022

102

5cos10cos

0000 55

00

tjtjtjtje

Ue

Uje

Ue

UtjUU

tUtUtU

(9.4)

Istället för att hantera cosinussignalen som realdelen för en komplexvärd funktion,

baseras signalen på en summa av två komplexkonjugerade funktioner med halva

amplituden.

Det resulterande uttrycket för en Fourierserie blir en likströmskomponent åtföljt av en

serie trigonometriska signaler enligt nedan

,.......4,3,2,1sin)(1

00

ktkAAtfk

kk (9.5)

Med Fourierserie utveckling möjliggör man att j – metoden kan tillämpas generellt

bara man har en periodisk insignal. I exempel 3.1 påvisades hur j – metoden kunde

tillämpas med fördel då insignalen bestod av två cosinus komponenter. I följande

exempel beaktas samma krets med en fyrkantspuls som insignal istället.

Exempel 3.4:

Följande insignal appliceras på LR – kretsen i Exempel 3.1:

Fig. 9.3 Periodisk insignal u(t) i form av en fyrkantspuls.

J – metoden kan inte tillämpas direkt utan först måste insignalen uttryckas i

sinuskomponenter, en Fourierserie

,.......4,3,2,1sin)(1

00

ktkAAtuk

kk (9.6)

Fyrkantpulsen i Fig. 9.3 kan beskrivas enligt följande:

TtT

U

TtU

tu

2

20

)( (9.7)

Beräkning av Fourier seriens koefficienter enligt (9.3) inleds med att beakta

likspänningskomponenten A0 enligt alternativ A1 i (9.1)

.0

0Re

011

)(1

010

01

2

2

00

0

0

FA

FF

UdtT

UdtT

dtetuT

F

k

T

T

TT

(9.8)

Likspänningskomponenten är 0 då fyrkantpulsen är symmetrisk. I nästa steg beräknas

Fourierserien’s ingående koefficienter Ak samt k enligt alternativ A1 (9.1). Observera

att integrationsintervallen är uppdelade från –T/2 -> T/2 för att underlätta beräkningarna

2

cos12

2cos22

1

21

111

11

11)(

1

0

0

0

0

22

0

22

0

2

00

0

20

2

0

0

2

2

2

00

00

00

000

TkjkT

UTkjkT

U

eejkT

U

eejkT

U

ejk

ejkT

U

dteUT

dteUT

dtetuT

F

TjkTjk

TjkTjk

T

tjk

T

tjk

tjkT

tjk

T

T

T

tjk

k

(9.9)

Sätter in 0T = 2 per definition

kuddakjk

U

jk

Uk

jk

UF k

k ....5,3,1;2

)1(1cos1

(9.10)

Division med den imaginära termen j innebär multiplikation med – j enligt den

komplexa exponentialfunktionen

.2

2sin

2cos

112

2

k

UjF

jje

ej

k

j

j

(9.11)

Vi är nu redo att uttrycka Fourierserien’s koefficienter enligt (9.3) och (9.6)

).(0)(4

0arctan

40

4202

2Im0Re

2

0

2211

21

k

Uk

UAA

k

UFFFF

k

UFFFF

k

UjF

kk

kkkk

kkkk

k

(9.12)

Insignalen kan därmed skrivas som en serie av sinuskomponenter, Fourierserie

kuddaktkk

Utu

k

_,.......5,3,1sin4

)(1

0

(9.13)

Alternativt kan serien uttryckas enligt nedan efter omskrivning med n = (k-1)/2

.0.........4,3,2,1,0)12(sin)12(

4)(

00

nntnn

Utu

n

(9.14)

Insignalens uttryck som Fourierserie kan också inses grafiskt genom att ta med de två

första komponenterna i Fourierserien enligt nedan

Fig. 9.4 Insignalen i Fig. 9.3 illustrerad med de två första komponenterna i Fourierserien

som visar hur en fyrkantsvåg börjar träda fram.

Då insignalen är uttryckt i rena trigonometriska uttryck kan j – metoden tillämpas för

att beräkna utspänningen y(t). Beräkningsgången sker här med följande tre steg:

1. Beräkna utsignalens likspänningskomponent Y(0)

2. Beräkna sedan uttrycket för en term n i Fourierserien (9.14). För denna

term tillämpas j – metoden med insatt vinkelfrekvens = (2n+1)0

3. Slutligen beräknas hela utsignalsserien via superposition

1:

Vid likspänning agerar induktorn som en kortslutning. I detta fall är dock

likspänningskomponenten A0 = 0 varvid även Y(0) = 0.

2:

Beräkning av utsignalen baserat på en av komponenterna i Fourierserien ger följande

kretsschema att beakta:

Fig. 9.5 Komplexschema giltig för en av sinuskomponenterna (2n+1) i Fourierserien

(9.14)

Baserat på induktorns reaktans vid termen (2n+1) erhålls följande uttryck på en av

utsignalens komponenter:

.

)12(1)12(

4)12(

)12(

4/)12(/

)12(sin)12(

4)(

11

1

2

0

)12(arctan)12(

0

)12(

0

0

arctan2

00

0

R

Lnn

UetnjY

en

UntjUU

tnn

Utu

eR

L

tjUtjU

R

Lj

RLj

tjRUtjY

RLj

tjUtjII

tjRItjYY

R

Lntnj

tnj

R

Lj

(9.15)

Utsignalen baserat på term n blir då enligt nedanstående tidsuttryck

.12arctan)12(sin

)12(1)12(

4)( 00

2

0

R

Lntn

R

Lnn

Utyn

(9.16)

3:

Via superposition kan nu den totala utspänningen y(t) beräknas baserat på insignalens

Fourierserie (9.14)

.012arctan)12(sin

)12(1)12(

4

)(

000

2

0

nR

Lntn

R

Lnn

U

ty

n

(9.17)

……………………………………………………………………….

Vi har i detta avsnitt studerat fördelarna med att beakta vinkelfrekvensen som ny bas i

det matematiska modellbygget, istället för tiden då periodiska signaler förutsätts. Detta

kan sedan följas upp med metoder som kan hantera mer generella typer av signaler, inte

bara periodiska.

Fouriertransform

Laplacetransform

10 Tillståndmetodik

Allmänt kring tillståndsmetodiken enligt (Schmidtbauer, 1999, s.11-38)

11 Fysikaliska analogier och bindningsgrafer

Allmänna bakgrundsfakta för matematiskt modellbygge med systembeskrivning,

fysikaliska analogier samt bindningsgrafer efter studier i (Glad & Ljung, 2009, s.11-

150).

Appendix

Appendix A

Nomenklatur:

U Elektrisk spänning [V]

i Elektrisk ström [A], versal i frekvensdomän

R Resistans []

L Induktans [Vs/A]

C Kapacistans [As/V], kan också representera en konstant

XC Reaktans, 1/jC []

XL Reaktans, jL []

f Funktion

F Primitiv funktion (integraler)

v hastighet (translaterande rörelse) [m/s]

Frekvens (roterande rörelse) [rad/s]

A Area [m2]

h tidssteg (derivata) [s]

K Amplitud (j-metoden)

T Periodisk tid [s]

0 Fundamental frekvens, 2/T, [rad/s]

Vinkelförskjutning [rad]

Fk Fourierserie koefficient

k Fourierserie vinkel förskjutning[rad]

t tid [s]

s Sträcka [m]

u Insignal, versal i frekvensdomän

y Utsignal, versal i frekvensdomän

e talet e = 2.72, operator för transformationer

representerar ett litet värde

Appendix B

Begrepp:

Dynamik: Tidsberoende, t ex. kan ingående variabler i ett system

variera med tiden. Induktansens strömtröghet leder till en

dynamisk effekt, U(t) = Ldi(t)/dt.

Frekvensdomän: Funktionsbeskrivning baserad på frekvensvariation, f().

Modell: Ett försök att avbilda verkligheten, t ex. i form av en

matematisk framställning.

Reaktans: Frekvensberoende elektriskt motstånd, t ex. XL = jL

System: Ett objekt som drivs av insignaler och som respons till

insignalerna producerar utsignaler.

Variabel: T ex. en signal i en systembeskrivning som kan anta vilka

värden som helst i ett definierat intervall.

Tidsdomän: Funktionsbeskrivning baserad på tidsvariation, f(t).

Appendix C

Programvaror

C1 MATLAB

En viktig programvara för att implementera och testa matematiska modeller är

MATLAB (Gustafsson & Bergman, 2003).