GEOMETRÍA ANALÍTICA

INTEGRANTES

Joselyne Salcedo García Marisol Nuño Arriaga Mónica Yarely Torres Urenda Fátima Lourdes Bolaños Hernández Martha Lizbeth García Rivera

QUE ES UN ELIPSE:

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

EJEMPLO:

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

el semieje menor (el segmento C-b de la figura).Miden la mitad del eje mayor y menor

respectivamente.

…

Focos :Son los puntos fijos F y F'. Eje focal :Es la recta que pasa por los

focos.Eje secundario :Es la mediatriz del

segmento FF'.

Centro :Es el punto de intersección de

los ejes. Radios vectores :Son los segmentos que van

desde un punto de la elipse a los focos:PF y PF'

Distancia focal :Es el segmento de longitud

2c, ces el valor de la semidistancia focal.

…

Vértices :Son los puntos de

intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor :Es el segmento de longitud

2a, aes el valor del semieje mayor.

Eje menor :Es el segmento de longitud

2b, bes el valor del semieje menor.

Ejes de simetría :Son las rectas que

contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría:

Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

PUNTOS DE UNA ELIPSE:

Los focosde la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto Pde la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

Si F1 y F2son dos puntos de un plano, y 2aes una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

EJES DE UNA ELIPSE

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

CONSTANTE DE LA ELIPSE

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2(color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2a En la elipse de la imagen 2avale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

DIRECTRICES DE LA ELIPSE

La recta dDes una de las 2 directrices de la elipse.Cada foco F de la elipse está asociado con una recta

paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco Fes una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto Pa la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

 

Ecuación reducida de la elipse Tomamos como centro de la elipse el

centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a: Realizando las operaciones llegamos a:

EJEMPLO

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_elipse.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse http://

www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html

BIBLIOGRAFIA

ECUACION DE LA ELIPSE VIDEO

http://www.youtube.com/watch?v=KbUv71ehgpM