MSc. Erick Barillas

Elementos de Estadística descriptiva

ESTUDIANTES DEL 6º SEMESTRE SECCIONES A y B DE LA CARRERA DE AUDITORIA DEL CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DE LA UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAElementos de POBLACION

Introducción

La Estadística es una ciencia que facilita la solución de problemas en los cuales necesitamos conocer características sobre el comportamiento de algún suceso o evento.

Nos permite inferir el comportamiento de sucesos iguales o similares sin necesidad de que estos ocurran.

Introducción

La Estadística se ocupa de los fenómenos llamados atípicos, o sea no los singulares sino los colectivos

Aquellos cuya manifestación singular no es posible generalizar, o sea que para el estudio de dichos fenómenos, es necesario un colectivo, esto es conjunto de datos e informaciones

Introducción

Esto nos da la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, así como realizar proyecciones del comportamiento del suceso.

Sólo se realizan los cálculos y el análisis con los datos obtenidos de una muestra de la población y no con toda la población.

Introducción

Actualmente el INE es el encargado de concentrar y publicar la información estadística del estado y del país.

Conceptos básicos

Estadística:

Es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, resumir y analizar datos para después obtener conclusiones. Se divide en Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial.

Conceptos básicos

Estadística descriptiva: Se encarga de la

recolección, organización, presentación y análisis de los datos de una población.

Estadística inferencial:Se encarga de analizar la información presentada por la estadística descriptiva mediante técnicas que nos ayuden a conocer, con determinado grado de confianza, a la población. Lo que nos permite tomar decisiones.

Conceptos básicos

DESCRIPCIÓN: Proceso de resumen numérico y exposición de las características de los hechos observados.

ANALISIS: Relación comparativa entre una experiencia y la teoría que ha probado

PREDICCIÓN: Anticiparse aproximadamente a sucesos posteriores del tipo estudiando

PROBLEMAS QUE ASPIRA RESOLVER LA ESTADISTICA

Conceptos básicos

Población:Conjunto definido de TODOS los INDIVIDUOS, de donde se observa cierta característica. Al número de integrantes de la población se llama tamaño de la población y se representa con la letra N.

Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

Conceptos básicos

Población Estadística:Conjunto de TODOS los DATOS que se obtienen al realizar la medición de una variable en los elementos de una población. Muestra:Subconjunto de una población, que intenta reflejar las características de la población lo mejor posible.El número de individuos que integran la muestra, llamado tamaño de la muestra se representa con la letra n.

Conceptos básicos

CARACTERISTICAS CUALITATIVAS:Se les designa en estadística con el nombre de atributos, no admiten grados de comparación. Ej. El sexo, se puede ser varón o hembra no mas, estado civil

Los atributos se agrupan en modalidades

Conceptos básicos

CARACTERISTICAS CUANTITATIVAS:Se les conoce con el nombre de variables, son susceptibles de ser expresadas en forma de cantidades, si pueden compararse porque admiten la continuidad, ya que varían en más o en menos, de una persona a otra, de un caso a otro

Ej. Edad, peso,, número de hijos, etc.Las variables de clasifican en clases.

Conceptos básicos

Individuo:Es el elemento de la población o de la muestra que aporta información sobre lo que se estudia.

Variable:Característica o propiedad de los individuos que se desea estudiar y se puede medir o calificar; cambia o varía con el tiempo en un individuo dado, o cambia o varía de elemento a elemento.

Ej. Edad, peso, número de hijos, etc.

Conceptos básicos

Dato:Valor que se obtiene al realizar la medición de la característica de la variable en estudio.Pueden ser univariados, bivariados o multivariados.La naturaleza de los datos pueden ser datos cuantitativos o datos cualitativos.

Conceptos básicos

Datos Cuantitativos (números):Valores obtenidos al medir peso, estatura, temperatura, número de hijos. Datos Cualitativos

(categorías):Se obtienen al calificar la característica en cuestión como el sexo, estado civil, grado máximo de estudios.

Conceptos básicos

Variable Dicotómica:Sólo puede tomar dos valores (sí – no, 0 – 1, hombre – mujer, bueno – malo, encendido – apagado).

En la variable CUANTITATIVA se pueden distinguir dos tipos: continua y discreta.

Conceptos básicos

Variable Continua:Si la variable puede tomar cualquier número real entre dos valores dados (decimal o entero). Ej. El peso de un individuo.

Variable Discreta:Si la variable sólo puede tomar números enteros.Ej. El número de hijos de un individuo.

Escalas de Medición

Escala Nominal Escala

Ordinal Escala de

Intervalo Escala de Razón

Escalas de Medición

Escala Nominal:Está asociada a variables cualitativitas y es denominada de este modo si no se pueden hacer operaciones aritméticas entre sus valores, pues éstos son únicamente ETIQUETAS.Ejemplo: sexo, código postal, estado civil, número telefónico, número al correr en un maratón, deporte favorito, carrera a estudiar, etc.

Escalas de Medición

Escala Ordinal:Los valores de la variable que tienen un ORDEN con un nivel específico, pero no se pueden hacer operaciones aritméticas entre ellas.Ejemplo: Pésimo – Malo – Regular – Bueno – ExcelentePrimaria – Secundaria – Preparatoria - Licenciatura

Escalas de Medición

Escala de Intervalo:En ella existe un orden entre los valores de la variable y además una NOCIÓN DE DISTANCIA aunque no se puedan realizar operaciones. El cero o punto de inicio no es único, es más bien un punto de referencia.Ejemplo: Escalas de temperatura, la edad de la Tierra, la línea del tiempo de la humanidad.

Escalas de Medición

Escala de Razón:La magnitud tiene SENTIDO FÍSICO, existe el cero absoluto, existe orden, se puede determinar cuántas veces es mayor uno que otro.

Ejemplo: peso, estatura, edad, distancia, dinero, etc.

Fuentes de información

Encuesta:Recopilar los datos mediante el uso de cuestionarios o entrevistas.

Experimento:Procedimiento utilizado en la investigación científica para obtener información que permita conocer el comportamiento de algún proceso.

Fuentes de Información

Investigación Documental:Procedimiento para obtener datos mediante la consulta de información ya escrita y concentrada en documentos que se localicen en libros o revistas en bibliotecas, hemerotecas, o en centros virtuales.

Redondeo de datos, notación científica y cifras

significativas. Redondeo:

El redondeo de datos es un procedimiento que consiste en escribir un número que representa a una cantidad con menos cifras de las que tiene realmente para tener una idea rápida de la cantidad.

Notación Científica

Es una manera de escribir en forma breve cifras muy grandes o pequeñas. La forma general es a x 10 , en donde “a” es un número entre 1 y 9, “n” es un número entero.

Ejemplo:El número 25 000 se escribe 2.5 x 10 , o el número 0.00025 se escribe como 2.5 x 10 .

n

4

- 4

Cifras Significativas

A los dígitos exactos que se utilizan para escribir una cifra, a parte de los ceros para localizar el punto decimal, se les llama cifras significativas.

Ejemplos: 3.22 tiene 3 cifras significativas.

0.0032 = 3.2 x 10 tiene 2 cifras significativas.

0.00320 = 3.20 x 10 tiene 3 cifras significativas.

- 3

- 3

Cifras Significativas

La cifra 3.22 se encuentra realmente entre 3.215 y 3.225.

La cifra 0.0032 es un valor que se encuentra entre 0.00315 y 0.00325.

La cifra 0.00320 se encuentra entre las cifras 0.003195 y 0.003205

Orden de datos

La ordenación es el proceso mediante el cual los datos están acomodados de tal manera que se establece un orden (ascendente o descendente) entre ellos.

Hay dos métodos comunes:• Listado en orden

ascendente• Método de tallo y hojas

Ejemplo

Considera que la variable de estudio es el peso de 25 estudiantes. Los pesos se encuentran en la siguiente tabla:

Peso de 25 estudiantes (en kg)

40 43 48 51 4956 44 42 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58

Listado en orden ascendente

El proceso consiste en ordenarlos de menor a mayor

Peso de 25 estudiantes (en kg)

42 40 48 51 4956 44 43 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58

Peso de 25 estudiantes (en kg)

40 42 43 44 4445 48 49 50 5051 51 52 52 5555 5656 57 5859 62 63 63 66

Método de tallo y hojas

Si los números de los datos están formados por dos dígitos, se hace una columna con el primer dígito (decenas) y a la derecha de cada uno de ellos se escribe, en fila, sólo el segundo dígito (unidades) de cada uno de los datos que tengan el mismo primer dígito.

Datos sin ordenar:

Datos ordenados:

456

456

0,2,3,4,4,5,8,90,0,1,1,2,2,5,5,6,6,7,8,92,3,3,6

Peso de 25 estudiantes (en kg)

42 40 48 51 4956 44 43 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58

2,0,8,9,4,3,4,51,6,5,2,2,0,9,0,6,5,7,1,82,3,6,3

Doble tallo

Una variante de este método es en lugar de dividir en un grupo las decenas, se divide en dos grupos. El primero abarcando los dígitos del 0 al 4 y el segundo del 5 al 9.

El ejemplo anterior queda:

4 0,2,3,4,44 5,8,95 0,0,1,1,2,2,5 5,5,6,6,7,8,96 2,3,36 6

Caso de variables cualitatitivas El procedimiento es:

Se identifican todos los valores diferentes y se acomodan en columna.

Se agrega una segunda columna en donde se van registrando, mediante una línea vertical, la veces que aparece el valor dado.

Ejemplo

Considera que la variable de estudio es el color de playera de 25 estudiantes. Los colores se encuentran en la siguiente tabla:

rosa azul blanco azul rosa

gris blanco café negro blanco

rosa azul café blanco blanco

gris azul blanco rosa gris

gris blanco café negro verde

rosa azul blanco

azul rosa

gris blanco

café negro blanco

rosa azul café blanco

blanco

gris azul blanco

rosa gris

gris blanco

café negro verde

Color Frecuencia

Azul

Blanco

Café

Gris

Negro

Rosa

Verde

I I I I

I I I I I II I I

I I I II I

I I I I

I

Tabla de Frecuencia de Datos

Una vez que se tenga ordenados los datos, se acomodan en la “Tabla de distribución de frecuencias o tabla de frecuencias”.

La tabla es básicamente una tabla de valores x-y, dónde “x” representa el dato y “y” representa la frecuencia.

Tabla de Frecuencia de Datos La frecuencia es el número de veces que

aparece cada dato.

Hay dos clases de tablas de frecuencias: Para datos NO agrupados. Para datos agrupados.

Tabla de frecuencias para datos NO agrupados

Está formada por dos columnas: una para la variable “xi” y la otra para su frecuencia “f”, a esta frecuencia se le llama frecuencia absoluta o frecuencia observada.

Ejemplo

Tabla de frecuencias de los pesos en kg de 25 alumnos.

Peso de 25 estudiantes (en kg)

40 42 43 44 4445 48 49 50 5051 51 52 52 5555 5656 57 5859 62 63 63 66

xi f

40

42

43

44

45

48

49

50

51

xi f

52

55

56

57

58

59

62

63

66

Total

1

1

12

1

1

1

2

2

2

2

2

11

1

1

21

25

Frecuencia relativa y acumulada Por lo regular, se agregan dos columnas:

la de la frecuencia relativa “fr” y la de la frecuencia acumulada “fa”.

La frecuencia relativa se obtiene mediante el cociente de la frecuencia y el número total de datos, esto es fr = f/n.

La frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias anteriores a las frecuencias de un dato dado.

Ejemplo

xi f fr fa

40 1

42 1

43 1

44 2

45 1

48 1

49 1

50 2

51 2

xi f fr fa

52 2

55 2

56 2

57 1

58 1

59 1

62 1

63 2

66 1

Total

25

0.04

0.04

0.04

0.040.040.04

0.040.040.040.04

0.04

0.08

0.080.08

0.080.080.08

0.08

1/25

2/25

1

2

3

5

6

78

10

12

14

1618

1920

21

22

2425

1

Siempre es el

número total

Siempre es 1

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE VALORES AGRUPAGOS

EJEMPLO: Las calificaciones de los estudiantes del 6º semestre de auditoria del CUNOC varían de 16 a 99 puntos

Si el número de valores que toma la variable es muy grande, siempre que se trate de valores distintos, conviene hacer una agrupación de dichos valores.

Intervalo de clase

En ocasiones es conveniente acomodar los datos en pequeños grupos de igual tamaño, llamados intervalos de clase.

Estos pueden ser de amplitud constante o variable

La amplitud del intervalo es el número de valores o unidades que contiene

La cantidad de intervalos se recomienda que no sea mayor a veinte, ni menor de diez

Intervalo de clase

Un intervalo cualquiera viene dado por dos números que forman sus limites.

Ejemplo: 16-20

El limite inferior es 16 y el limite superior 20

Entenderemos que el intervalo 16-20 incluyendo los limites, comprende todos los casos que estan entre 16 y 20

Número y Amplitud de Intervalo de clase

Aunque ya se dijo que no hay reglas fijas para la determinación del numero de los intervalos:

DETERMINAR LA AMPLITUD DE LA DISTRIBUCIÓN

DIVIDIR EL RECORRIDO ENTRE EL NUMERO DE INTERVALOS QUE SE DESEE

EL COCIENTE DE LA DIVISIÓN SERÁ LA AMPLITUD DE LOS INTERVALOS

Intervalo de clase

Obteniendo la diferencia que hay entre dichos valores

99-16=83 Hay 83 valores distintos entre la

puntuación mayor y la menor Esta diferencia recibe el nombre de

recorrido o amplitud de la distribución

Intervalo de clase

AMPLITUD O RECORRIDO DE LA DISTRIBUCIÓN = A

VALOR MAXIMO O MAYOR DE LA DISTRIBUCIÓN = Xs

VALOR MÍNIMO O MENOR DE LA DISTRIBUCIÓN = Xi

A=(Xs-Xi)+1 A=(99-16)+1=84

Amplitud del Intervalo de clase AMPLITUD O RECORRIDO DE LA

DISTRIBUCIÓN = A NUMERO DE INTERVALOS DESEADOS AMPLITUD DEL INTERVALO AMPLITUD DEL INTERVALO=

A=84/15= 5.6

A Nº DE

INTERVALOS DESEADOS

Intervalo de clase

El punto medio o marca de clase “xi”, se obtiene con:

El tamaño del intervalo se obtiene mediante la diferencia de los límites superior e inferior.

Marca de clase =

Límite inferior + límite superior 2

Ejemplo

Intervalo de clase Punto medio “xi”

38 – 42 40

43 – 47 45

48 – 52 50

53 – 57 55

58 – 62 60

63 – 67 65

Límite inferior Límite superior Lím inf + Lim sup2

+5+5

+5

Límite verdadero del intervalo Frontera de clase o límite verdadero del

intervalo:Intervalo de clase Punto medio “xi”

37.5 – 42.5 40

42.5 – 47.5 45

47.5 – 52.5 50

52.5 – 57.5 55

57.5 – 62.5 60

62.5 – 67.5 65

5/2 = 2.540 – 2.5 40 + 2.5

+5+5

Tabla de intervalos con límites verdaderos

Usando símbolos de desigualdad

Usando paréntesis y corchetesIntervalo de

clasePunto medio

“xi”

37.5 ≤ x < 42.5

40

42.5 ≤ x < 47.5

45

47.5 ≤ x < 52.5

50

52.5 ≤ x < 57.5

55

57.5 ≤ x < 62.5

60

62.5 ≤ x < 67.5

65

Intervalo de clase

Punto medio

“xi”

[37.5 , 42.5) 40

[42.5 , 47.5) 45

[47.5 , 52.5) 50

[52.5 , 57.5) 55

[57.5 , 62.5) 60

[62.5 , 67.5) 65

Está incluido No está incluido Está incluido No está incluido

El tamaño del intervalo es de 5

Si por alguna razón no es fácil decidir el ancho del intervalo y el número de ellos, se pueden utilizar las siguientes fórmulas: K = 1 + 3.3 log (n) Donde K = número aproximado de

clasesn = número de datos. Amplitud de los intervalos = Rango / K

Donde Rango = diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

Ejemplo

Para el ejemplo de los datos de los pesos de 25 alumnos, el valor de K:

Y la amplitud de los intervalos sería:

K = 1 + 3.3 log (n) = 1 + 3.3 log (25) = 5.6.Por lo tanto se requieren aproximadamente 6 intervalos.

Amplitud = Rango / K = (66 – 40) / 5.6 = 4.64.Aproximadamente 5 unidades es la amplitud de los intervalos.

Tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados

Se elabora con los intervalos de clase, sus puntos medios y las frecuencias correspondientes para cada uno de los intervalos.

xi f

40 1

42 1

43 1

44 2

45 1

48 1

49 1

50 2

51 2

52 2

55 2

56 2

57 1

58 1

59 1

62 1

63 2

66 1

Total

25

Dato

s si

n

ag

rup

ar

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f

38 – 42 40

43 – 47 45

48 – 52 50

53 – 57 55

58 – 62 60

63 - 67 65

Total

Datos agrupados

24

8

5

3

3

25

Se agregan las columnas de frecuencia relativa “fr” y frecuencia acumulada “fa”:Interval

o de clase

Punto medio “xi”

f fr Fa

38 – 42 40 2

43 – 47 45 4

48 – 52 50 8

53 – 57 55 5

58 – 62 60 3

63- 68 65 3

Total 25

0.08

0.16

0.32

0.20

0.12

0.12

1

2

6

14

19

22

25

2/25

4/25

8/25

Por último se agregan las columnas: Frecuencia porcentual, “f%” ó “%f”,

se obtiene multiplicando la frecuencia relativa “fr” x 100.

Frecuencia relativa acumulada “fra”, se obtiene sumando las frecuencias relativas anteriores a un dato dado.

Frecuencia porcentual acumulada, “f%a”, se obtiene sumando las frecuencias porcentuales acumuladas a un dato dado.

Tablas de frecuencias absoluta, relativa y

acumuladaInterval

o de clase

Punto medio “xi”

f fr f% fa fra f%a

38 – 42 40 2 0.08 2

43 – 47 45 4 0.16 6

48 – 52 50 8 0.32 14

53 – 57 55 5 0.20 19

58 – 62 60 3 0.12 22

63- 68 65 3 0.12 25

Total 25 1

8

16

32

20

1212

100

0.080.240.560.760.881

8

24

56

76

88100

0.08 x 100

2/25

0.08 x 100

Gráfica de Datos

Existen dos tipos de gráficas mas usuales: Polígono de Frecuencias Histograma

Otros gráficos: Gráfica de barras Pictograma Gráfico Circular o de pastel.

Polígono de Frecuencias

Es la representación mediante un gráfico de línea. En él se muestra la distribución de frecuencias y está formado por segmentos de línea que unen los puntos correspondientes a la frecuencia de cada una de las clases.

El eje “x” representa el dato “xi” y el eje “y” las frecuencias.

0

10

20

30

40

50

60

Ejemplo

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f

38 – 42 40 2

43 – 47 45 4

48 – 52 50 8

53 – 57 55 5

58 – 62 60 3

63 - 68 65 3

Total 25

35 40 45 50 55 60 65 700

2

4

6

8

10

Polígono de Frecuencias

xi

f

El eje “y” puede ser sustituido por las frecuencias relativas o porcentuales.

35 40 45 50 55 60 65 700

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

fr

xi

Polígono de Frecuencia Relativa

% f

xi

Polígono de Frecuencia Porcentual

35 40 45 50 55 60 650

5

10

15

20

25

30

35

Histograma

Es la representación gráfica de los datos mediante una sucesión

de rectángulos. Está formado por rectángulos cuya

anchura representa a cada uno de los intervalos y la altura corresponde a la frecuencia.

En el eje “x” estarán los límites verdaderos, los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias.

0.95 2.95 4.950

2

4

6

8

10

12

14

35 40 45 50 55 60 650

2

4

6

8

Histograma

xi

f

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f

38 – 42 40 2

43 – 47 45 4

48 – 52 50 8

53 – 57 55 5

58 – 62 60 3

63 - 68 65 3

Total 25

Ejemplo

También podemos usar la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual.

35 40 45 50 55 60 650

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Histograma con frecuencias rela-tivas

fr

xi

35 40 45 50 55 60 650

5

10

15

20

25

30

35

Histograma con frecuencias porcentuales

% f

xi

Pirámide Poblacional

Una variante en el histograma es colocar en el eje “x” de tal manera que las columnas quedarán en forma horizontal, es muy común en datos poblacionales.

Ojiva

Es la representación gráfica de las frecuencias acumuladas mediante un gráfico de línea. Se muestra la distribución de frecuencias acumuladas de los datos.

En el eje “x” estarán los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias acumuladas.

Ejemplo

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f fr fa

38 – 42 40 2 0.08 2

43 – 47 45 4 0.16 6

48 – 52 50 8 0.32 14

53 – 57 55 5 0.20 19

58 – 62 60 3 0.12 22

63- 68 65 3 0.12 25

Total 25 1

35 40 45 50 55 60 650

5

10

15

20

25

30

02

6

14

19

22

25

Ojiva

xi

fa

Usando la frecuencia acumulada y la frecuencia porcentual.

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f fr f% fa fra f%a

38 – 42 40 2 0.08

8 2 0.08

8

43 – 47 45 4 0.16

16 6 0.24

24

48 – 52 50 8 0.32

32 14 0.56

56

53 – 57 55 5 0.20

20 19 0.76

76

58 – 62 60 3 0.12

12 22 0.88

88

63- 68 65 3 0.12

12 25 1 100

Total 25 1 100

35 40 45 50 55 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

00.08

0.24

0.56

0.760000000000001

0.88

Ojiva con frecuencia relativa acumulada

xi

fra

35 40 45 50 55 60 650

102030405060708090

100

0

8

24

56

76

88

Ojiva con frecuencia porcentual acumulada

xi

f%a

Gráfico Circular

También es llamado gráfico de pastel.

Sólo se representan datos de frecuencias relativas o frecuencias porcentuales.

Se debe dividir el área del círculo de manera proporcional a las frecuencias.

13%

17%

57%

13%PERRO

PAJARO

HAMSTER

GATO

Agregaremos una columna a nuestra tabla de frecuencias “Frecuencia relativa al círculo”, multiplicando (fr)(360°), para mostrar la parte proporcional de círculo medida en grados que corresponde a cada intervalo.

Ejemplo 1

Intervalo de clase

Punto medio “xi”

f fr (fr ) (360°)

38 – 42 40 2 0.08

43 – 47 45 4 0.16

48 – 52 50 8 0.32

53 – 57 55 5 0.20

58 – 62 60 3 0.12

63- 68 65 3 0.12

Total 25 1

28.8°

0.08 x 360°

0.16 x 360°

57.6°

115.2°72°

43.2°

43.2°

360°

408%

4516%

5032%

5520%

6012%

6512%

Gráfico Circular

Ejemplo 2

Color Frecuencia

Conteo

Azul 4

Blanco 7

Café 3

Gris 4

Negro 2

Rosa 4

Verde 1

I I I I

I I I I I II I I

I I I II I

I I I I

I

16%

28%

12%

16%

8%

16%4%

Color de Playera

Azul Blanco Café GrisNegro Rosa Verde

Otros Gráficos

La gráfica de barras se traza similar al Histograma, sólo que las barras se dibujan separadas unas de otras.

La escala en el eje “x” es para mostrar categorías o intervalos de números NO consecutivos.

0

10

20

30

40

50

60

PERRO PAJARO HAMSTER GATO

Fre

cuen

cia

abso

luta

Carrera Alumnos

Medicina 8

Mecánica 11

Civil 8

Agronomía 3

Físico - Matemáticas 3

Leyes 6

Contaduría 11

811

8

3 36

11

Elección de Carrera

Pictograma

Similar al de barras, sólo que se sustituyen por figuras, generalmente relacionadas con la variable estudiada.