Digitalni udžbenik

M. Essert, J. Grilec

ELEKTRICITET i MAGNETIZAM

- fizikalne osnove -

Katedra za strojarsku automatikuFakulteta strojarstva i brodogradnje

Zagreb, 2009.

Predgovor

Ovaj udžbenik iz podrucja elektrotehnike, želi pomoci studentima obnoviti sred-njoškolsko znanje elektrotehnike, koja se uci u fizici, kako bi lakše svladali pred-met ELEKTROTEHNIKA na studiju. Namijenjen je ponajprije studentima Fakultetastrojarstva i brodogradnje, ali može korisno poslužiti i drugima.

Pojam elektrotehnika, ukljucuje u sebi dva pojma. Prvi je upoznavanje osnovnihfizikalnih zakona o elektricitetu i magnetizmu, a drugi njihovu primjenu u tehnickojpraksi. Upoznati fizikalni zakon najcešce znaci opisati posljedice njegova djelo-vanja, dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni. Matematicki aparat kojim se uteoriji služimo i instrumenti kojima mjerimo ovise dakako o dubini naših prouca-vanja. Gradivo izneseno u ovom udžbeniku koristi matematicki aparat primjerensrednjoškolskoj matematici.

Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena podrucja, cije se dis-cipline znatno ispreplecu, od mjeriteljstva do automatskog vodenja proizvodnihprocesa. Buduci da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane uz elektrote-hniku, ovaj udžbenik može poslužiti i strojarskim strucnjacima u njihovoj svakod-nevnoj praksi.

Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhvacaju osnovna elektrotehnickapodrucja:

1. elektrostatika

2. istosmjerna struja

3. magnetizam

4. prijelazne pojave

5. izmjenicne struje

Udžbenik koristi vecinu gradiva obradenog u rasprodanom izdanju udžbenikaM. Essert, Z. Valter: "Osnove elektrotehnike", SNL Liber 1991. god., a prakticnu or-jentaciju interaktivnim applet-ima na CD-u zahvaljuje diplomskom radu ValentineFrankovic, prof. fizike. Svako poglavlje ukljucuje i niz zadataka s rješenjima, zaprovjeru naucenog gradiva.

Kvalitetan prijenos znanja traži danas i nove alate. Oni su prisutni ponajvišezahvaljujuci racunalima i razlicitim edukacijskim programima. Temeljna znacajkatakvih programa je interaktivnost i usmjerenost na fizikalne modele. Racunala i

i

PREDGOVOR

programi omogucuju da korisnik više razmišlja o tomu ’što’ i ’zašto’, nego o ’kako’.Sam izracun - dobivanje numerickog ili grafickog rezultata, u takvim je metodama,programima, manje znacajan. Java applet-i su popularni programi koji nude svenabrojeno i danas su zahvaljujuci Internetu dostupni na mnogim sveucilištima iškolama. Pisani su u besplatnom Java okruženju pa su vec od samih pocetaka (oko1995.) postali osnovna nastavna pomagala.

Iako postoje applet-i za mnoga podrucja fizike (i ne samo nje), u ovom radupokušalo se prikupiti najbolje uzorke za podrucje fizikalnih osnova elektrotehnike.Poštujuci autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilagodeni su našim prilikama(za slucaj da u nastavi nema mogucnosti korištenja Interneta i/ili da korisnici neznaju engleski). Direktni linkovi na pojedinacne Java applete navedeni su u do-datku, a obradeni i prilagodeni appleti za ovaj udžbenik mogu se dohvatiti na adresi:http://scriptrunner4.fsb.hr/EIM.

Na istom stroju, pod Scriptrunner sustavom nalazi se i digitalni oblik ovog udžbe-nika. Kako se s ovim sustavom provodi cjelokupna nastava iz nekoliko kolegijana našem Fakultetu (od predavanja i vježbi, modeliranja, rada na daljinu, inter-aktivnog citanja nastavnog sadržaja, domacih zadaca, preko kolokvija i ispita, do’studentskog kartona’) zamišljeno je da ovo bude prvi od triju udžbenika iz elek-trotehnike. Iduca dva odnose se na gradivo iz kolegija "Elektrotehnika" - prvi zapredavanja, a drugi za auditorne vježbe.

Prednost ovakve realizacije je mogucnost dodavanja interaktivnog sadržaja (’živi’-PDF udžbenici, zahvaljujuci Scriptrunner-u), smanjeni troškovi objavljivanja, be-splatno dohvacanje s web-a, ljepši višebojni izgled i na koncu, zaštita okoliša (manjepapira, više šuma). Nadamo se da ce studenti biti zadovoljni ovakvim pogledam ijoš više ga podupirati. To nam pak, s druge strane, omogucuje trajno poboljšavanjeobjavljenog materijala, kako u ispravljanju eventualnih pogrešaka, tako i dodovanjunovog, kvalitetnijeg sadržaja.

Elektricne sheme i slike izradio je student Matija Kovacic i to u TikZ/PGF gra-fickom paketu koji je dio LATEX programskog alata s kojim je složen ovaj udžbenik.Njemu, a takoder i svim kolegama s Katedre za strojarsku automatiku Fakultetastrojarstva i brodogradnje Sveucilišta u Zagrebu, koji su pogledali i komentirali ru-kopis, najsrdacnije se zahvaljujemo.

Autori

ii

Sadržaj

Predgovor i

Sadržaj iii

Popis slika vii

1 ELEKTROSTATIKA 11.1 Struktura materije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Elementarni naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Elektricna svojstva tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Elektricno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Polarizacija i influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Gustoca elektricnog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Elektricni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Elektricni kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Spojevi kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.3 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.1 Elektricno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.2 Test naboj u elektricnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.3 Elektroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.4 Kapacitet plocastog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.5 Applet - prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 ISTOSMJERNA STRUJA 312.1 Elektricni napon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Elektricni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Elektricna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Elektricni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Promjena otpora s temperaturom . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Ohm-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

SADRŽAJ

2.6 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Elektricni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.1 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.2 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8 Elektricna struja u ioniziranom plinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9 Elektrokemijske pojave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9.2 Primarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.9.3 Sekundarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.10 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.11 Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.12 Realni naponski izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.12.1 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . 572.12.2 Spojevi elektricnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.13 Mjerenje struje, napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.13.1 Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar . . . . 62

2.14 Rad i snaga istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.15 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.15.1 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.15.2 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.15.3 Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu . . . . . . 692.15.4 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.15.5 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.15.6 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.15.7 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.16 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 MAGNETIZAM 773.1 Magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.1 Magnetsko polje ravnog vodica . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Magnetske velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Djelovanje magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.1 Sila na gibljivi naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.2 Sila na vodic kojim tece struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6.3 Sila izmedu dva vodica kojima teku struje . . . . . . . . . . . 94

3.7 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.7.1 Lenz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.7.2 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.8 Meduindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.9 Energija magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.9.1 Izmjenicno magnetiziranje željeza . . . . . . . . . . . . . . . 102

iv

3.9.2 Privlacna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.10 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.10.1 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.10.2 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.10.3 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.10.4 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.11 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 PRIJELAZNE POJAVE 1114.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1.1 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.2 Energija na otporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1.3 Nabijanje (punjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1.4 Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.1 Energija zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.2 Ukapcanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.3 Iskapcanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3 Elektromagnetski oscilirajuci krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.5.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5.3 Elektromagnetski oscilirajuci krug . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5 IZMJENICNE STRUJE 1255.1 Harmonicki oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.1.1 Frekvencija i kružna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.1.2 Srednja i efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.1.3 Faza i razlika faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Predocivanje izmjenicnih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.1 Prikazivanje rotirajucim dužinama i vektorima . . . . . . . . 1355.2.2 Fazni pomak u vektorskom prikazu . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3 Jednostavni krug izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.1 Otpor u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.2 Kapacitet u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.3 Induktivitet u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . 142

5.4 Spojevi R, L i C u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.4.1 Serijski RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.2 Serijski RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4.3 Serijski RLC -krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.4 Paralelni RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.4.5 Paralelni RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.6 Paralelni RLC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.5 Rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

v

SADRŽAJ

5.6 Snaga i faktor snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6.1 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.7 Trofazni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.1 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7.2 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.7.3 Snaga trofaznog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.8 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.8.1 Elektricni elementi u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . 1595.8.2 Složeni R, L i C strujni krugovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A WEB-adrese applet-a 165

Literatura 167

Indeks 169

vi

Popis slika

1.1 Sastav atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron) . . . . . . 31.3 Ionizacija atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Elekticna sila u okolišu nabijenog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Elektricno polje jednog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Elektricno polje dvaju naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Homogeno elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Polarizacija dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Elektricna influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Sila na naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11 Ekvipotencijalne linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12 Elektricno polje i potencijal kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13 Simboli kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.14 Serijski spoj triju kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.15 Paralelni spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.16 Mješoviti spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.17 Nabijanje kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.18 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.19 Applet - elektricno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.20 Test naboj u elektricnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.21 Elektroskop - oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.22 Model elektroskopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.23 Plocasti kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Istosmjerni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Oznacavanje naponskih i strujnih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Simbol i oznaka elektricnog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Ovisnost otpora i temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 I=f(V) u metalnom vodicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 I Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8 Paralelni spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9 (V,I) karakteristika elektricne struje u zraku . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10 Proces elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

vii

POPIS SLIKA

2.11 Leclanché-ov element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.12 Element baterije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.13 Olovni akumulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.14 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.15 Vanjska karakteristika realnog izvora napona . . . . . . . . . . . . . . . . 542.16 Realni jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.17 Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji elektricne mreže . . . 552.18 Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.19 Realni naponski izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.20 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.21 Serijski spoj realnih elektricnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.22 Paralelni spoj realnih naponskih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.23 Pojedinacno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu . . . . . . . . . . 612.24 Istodobno mjerenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.25 Instrument s pomicnim svitkom i permanentnim magnetom . . . . . . 632.26 Proširenje mjernog podrucja voltmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.27 Proširenje mjernog podrucja ampermetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.28 Nadomjesna shema ommmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.29 Skala ommetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.30 Ommetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.31 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.32 Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem . . . . . . . . . . 692.33 Mjerenje napona, struje i snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.34 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.35 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.36 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.37 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.1 Magnetsko polje oko vodica kojim tece struja . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Primjer uz zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Magnetsko polje ravnog vodica kroz koji tece struja . . . . . . . . . . . . 803.4 Ovisnost H=f(r) ravnog vodica kroz koji tece struja . . . . . . . . . . . . . 813.5 Magnetsko polje ravnog vodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Magnetsko polje zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7 Magnetiziranje željeza s pomocu indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.8 Magnetsko polje ravnog vodica, prstena i okvira . . . . . . . . . . . . . . 833.9 Magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.10 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.11 Petlja histereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.12 Magnetski materijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.13 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.14 Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem . . 903.15 Magnetsko polje naboja u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.16 Gibanje nabijene cestice u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . 913.17 Sila na vodic kojim tece struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.18 Dijelovi galvanometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

viii

3.19 Galvanometar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.20 Sila izmedu dva vodica protjecana strujom . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.21 Definicija jedinice amper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.22 Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije . . . . . . . . . . . . . . . 953.23 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.24 Gibanje vodica po metalnom okviru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.25 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.26 Meduinduktivna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.27 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.28 Izmjenicno magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . 1033.29 Razmagnetiziranje jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.30 Privlacna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.31 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.32 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.33 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.34 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1 RC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2 v=f(t) u RC krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3 RL krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4 i=f(t) za ukljucenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 i=f(t) za iskljucenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.6 LC oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.8 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.9 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.10 Elektromagnetski oscilirajuci krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1 Istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Izmjenicna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 Periodicke struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4 Periodicka struja sa Is r ≈ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5 Harmonicka struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.6 Referentni smjer struje i pripadajuci polaritet napona izvora . . . . . . . 1285.7 Shematizirani prikazi generatora izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . 1285.8 Srednje vrijednosti struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.9 Odredivanje efektivne vrijednosti struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.10 Izmjenicna struja i njezina efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . 1325.11 Fazni pomaci napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.12 Dobivanje sinusoide pomocu rotirajuce dužine . . . . . . . . . . . . . . . 1355.13 Prikaz sinusoida rotirajucim dužinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.14 Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.15 Vektorski prikaz napona i struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.16 Zbroj dviju struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.17 Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu . . . . . . . . . . . . . 1385.18 Radni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

ix

POPIS SLIKA

5.19 Napon i struja kroz radni otpor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.20 Kapacitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.21 Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.22 Induktivitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.23 Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.24 Serijski RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.25 Vektorski dijagram serijskog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.26 Trokuti napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.27 Serijski RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.28 Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.29 Serijski RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.30 Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.31 Trokut otpora serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.32 Paralelni RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.33 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.34 Paralelni RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.35 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.36 Paralelni RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.37 Dijagrami paralelnog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.38 Trokuti otpora i snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.39 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.40 Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz . . . . . . . . . . . . . . . 1575.41 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.42 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.43 Elektricni elementi u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.44 Kombinacija R, L i C u krugu izmjenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . 161

x

1POGLAVLJE

ELEKTROSTATIKA

Elektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izucavanjem i primjenomelektricnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izucavanjemodvo pripada prirod-nim znanostima i cini njezinu fizikalnu osnovu, a dio koji se bavi primjenom cininadgradnju i pripada tehnickim znanostima.

U tumacenju elektricnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja struk-ture materije i njezinih elektricnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju postojanjuelektricnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Elektricni naboji mogu se sma-trati svojevrsnim elementarnim cesticama, djelicima materije i nosiocima njezinihelektricnih svojstava. Spoznat ih se može preko njihovih vanjskih manifestacija, ato su elektricne i magnetske sile. Djelovanje elektricnih naboja ovisi i o znacajkamaprostora oko njih.

Elektricni naboji mogu u prostoru mirovati ili biti u pokretu. Naboji u mirovanjunazivaju se staticki naboji. Naboji u gibanju mogu imati razlicite smjerove, a oni uusmjerenom gibanju cine elektricnu struju.

Elektrostatika opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko mirujucihelektricnih naboja. Djelovanje naboja u prostoru tumaci se elektricnim poljem,posebnim stanjem prostora, koje svaki naboj stvara u svom okolišu.

U prostoru oko statickih naboja zbivaju se elektricne pojave, pa se to stanjeprostora naziva elektricnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju seuz elektricne i magnetske pojave. U njemu se pored elektricnog javlja i magnetskopolje, a zajednicki se naziva elektromagnetskim poljem.

1.1 STRUKTURA MATERIJE

Poznato je da se materija sastoji od tvari u cistom stanju i od onih u obliku sm-jesa. Ciste tvari mogu biti jednostavne i složene. Jednostavne se nazivaju kemi-jskim elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razložiti na jed-nostavnije. Složene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno novasvojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od razlicitih elemenata i spo-jeva.

1

1. ELEKTROSTATIKA

Najsitnije su cestice elementa koje još predstavljaju element atomi. Danas jepoznato 105 elemenata, a time i 105 razlicitih vrsta atoma. Najmanji medu njimaje atom vodika i može ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 ·10−10 m, a najveci jeatom cezija, promjera 5,3·10−10 m. Velicina svih ostalih atoma krece se u spomenu-tim granicama.

Svi atomi izgradeni su od elementarnih cestica, a njihovu gradu utvrdili su fiz-icari E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omotaca (slika1.1). U središtu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne cesticekoje cine njegovu jezgru. To su protoni, neutroni i ostale cestice. Oko jezgre atomakrecu se velikim brzinama elektroni tako da cine omotac oko nje.

Elektroni su elementarne cestice koje posjeduju negativni elektricni naboj. Masaelektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno mase kojuima najmanji atom, atom vodika.

Protoni su elementarne cestice koje posjeduju naboj jednak po velicini nabojuelektrona, ali suprotnog predznaka. Masa protona približno je jednaka jediniciatomske mase.

atom

omotac elektroni (+ naboj)

jezgra

protoni (- naboj)

neutroni

ostale cestice

SLIKA 1.1: Sastav atoma

Kolicina naboja koju posjeduju elektron i proton naziva se elementarni naboj,jer ga u prirodi nema manjeg.

Neutroni nemaju elektricnog naboja, a masa im je približno jednaka masi pro-tona, odnosno jedinici atomske mase. Ostale cestice u jezgri kao npr. pozitron,mezon, neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno i brzo se raspadaju. Priraspadanju pretvaraju se jedne u druge i bez znacenja su za elektricne pojave.

U normalnim uvjetima broj elektrona u omotacu jednak je broju protona u jez-gri, što znaci da svaki atom sadrži jednaku kolicinu pozitivnog i negativnog nabojai promatrano izvana elektricki je neutralan.

Dimenzije elektrona i protona nije moguce pouzdano odrediti, jer te cestice ne-maju oštre granice. Nije ih moguce ni vidjeti, vec je moguce u odredenim uvjetimavidjeti i snimiti tragove koje ostavljaju pri prolazu kroz odredena sredstva. Iz tihtragova moguce je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj.

Izmedu protona, neutrona i ostalih cestica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje ihdrže na okupu. To su nuklearne sile. Izmedu protona i elektrona, medutim, postojeelektricne sile koje zajedno s nuklearnim drže atom jednom cjelinom.

Gibanje elektrona u atomu ima složen karakter, jer oni pored gibanja u omotacuistovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski spin. Uz to

2

Struktura materije

se mijenja i položaj omotaca u odnosu na jezgru.Atomi razlicitih elemenata medusobno se razlikuju po broju protona u jezgri i

broju elektrona u omotacu. Tako atom vodika kao najjednostavniji ima jedan pro-ton u jezgri i jedan elektron u omotacu. Atom helija ima dva protona i dva elek-trona, litija tri protona i tri elektrona itd.

Atomi istog elementa mogu se medusobno razlikovati samo po broju neutrona.Pritom imaju isti atomski broj jer posjeduju isti broj protona, ali se razlikuju u masizbog razlicitog broja neutrona. Takvi atomi se nazivaju izotopi. Najsloženiji atom jeizotop urana U koji ima 146 neutrona, 92 protona i 92 elektrona. Neke jednostavnijeprimjere modela atoma prikazuje slika 1.2.

Jedino je jezgra atoma obicnog vodika bez neutrona, dok jezgre svih ostalihatoma pored protona sadrže i neutrone.

Svi elektroni u omotacu nemaju jednaku energiju. S obzirom na sadržaj energijepojedinih elektrona u atomu, elektroni se mogu u omotacu raspodjeliti u 7 ljusakaili ovojnica.

p

e

vodik 11H

e

p

n

helij He

e

n

p

K

L

litij Li

SLIKA 1.2: Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron)

Te se ljuske prema svojem redoslijedu oznacavaju slovima K , L, M , N , O, P iQ, pri cemu se ljuska najbliža jezgri oznacava s K , a najudaljenija s Q. Elektroni uljuskama bližim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama. Vanj-ska ljuska sadrži najviše do 8 elektrona, a unutrašnje do 2 ·n2, gdje je n broj ljuskeracunajuci od jezgre. Na slici 1.2 prva dva atoma imaju jednu, a treci dvije ljuske.

1.1.1 ELEMENTARNI NABOJ

U prirodi, dakle, postoje dvije vrste elementarnih naboja, jednima je dogovornopridodan naziv ’pozitivni’ (kod protona), a drugima ’negativni’ (kod elektrona).Iako je masa protona veca od mase elektrona, njihov naboj je po apsolutnom iznosujednak i iznosi:

Q0 = 1,6 ·10−19 As

3

1. ELEKTROSTATIKA

Velicinu elementarnog naboja utvrdio je 1917. god. fizicar R. A. Millikan, aizražava se u ampersekundama [As] ili kulonima [C ].

Proton je cvrsto vezan u jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijama medujezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do promjene sadržajajezgre, a traju vrlo kratko.

Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu ionizacijeatoma može osloboditi veze s jezgrom. Njegovo sudjelovanje u elektricnim po-javama je stoga aktivnije.

Elektroni u atomu mogu posjedovati samo odredenu konacnu kolicinu energijei gibati se putanjama odredenim njihovom energijom. Oni nastoje zaposjesti putanjekoje odgovaraju najnižoj energetskoj razini i popunjavaju ljuske bliže atomskoj jez-gri. Takav se atom nalazi u normalnom stanju.

Dovodenjem energije atomu u obliku npr. topline ili svjetlosti, postiže se nje-govo uzbudeno stanje, pri cemu elektroni mogu primiti toliko energije da mogupromijeniti ljusku i prijeci u ljuske udaljenije od atomske jezgre.

Mogu se cak i osloboditi veze s jezgrom i napustiti atom. Obratno, elektronimogu izvana biti ubaceni u putanje oko jezgre. Postupak koji vodi do promjenebroja elektrona naziva se ionizacijom.

Ako elektron napusti atom, narušava se nabojska ravnoteža atoma, jer ukupnipozitivni naboj protona postane veci od ukupnog negativnog naboja preostalihelektrona. Atom izvana više nije neutralan, a zbog prevladavanja pozitivnih nabojapostaje pozitivni ion. Ako medutim u atom ude jedan elektron i time ukupni neg-ativni naboj elektrona postane veci od ukupnog pozitivnog naboja protona, atompostaje negativni ion (slika 1.3).

atom atome e

pozitivni ion negativni ion

SLIKA 1.3: Ionizacija atoma

Svaka kemijska veza temelji se na razmjeni elektrona medu atomima. U skupiniatoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj mjeri pripadati svim atomima unjoj. Kako i skupina atoma može biti izvrgnuta procesu ionizacije, ionima se sma-traju elektricki nabijeni atomi ili njihove skupine.

Dok negativni naboj u normalnim uvjetima može biti prisutan ili kao nabojelektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao nabojpozitivnih iona.

1.1.2 ELEKTRICNA SVOJSTVA TVARI4

Elektricno polje naboja

Pokretljivost i gustoca naboja nastalih ionizacijom, utjece na osnovno elektricnosvojstvo tvari - elektricnu vodljivost.

Tvari koje se odlikuju velikom elektricnom vodljivošcu nazivaju se vodicima. Unjih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom struk-turom, kojih se atomi medusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom vezivanjujavlja se veliki broj slobodnih elektrona koji se lako stavljaju u gibanje i pritomnailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj rešeci. To su kruti vodici.

Vodicima takoder pripadaju elektroliti i vodljivi plinovi. Elektroliti su soli odnosnokrute tvari kristalne strukture s ionskom vezom medu atomima, te kiseline i lužineotopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se odredeni broj suprotno nabijenih iona.Slicno se stanje javlja i kod nekih plinova.

Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena pokretlji-vost i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, cega pri gibanjuelektrona nema. Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodicima.

Uz vodice postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom elek-tricnom vodljivošcu. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima. U njih seubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi medusobno povezujukovalentnom vezom. U toj vezi elektroni su cvrsto vezani uz jezgre fiksirane ukristalnoj rešeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u izolatore se ubra-jaju i neke tvari nekristalne strukture kao npr. guma, papir, staklo, mineralna ulja,cista voda i nevodljivi plinovi, te vakuum.

Medu tvarima s kristalnom strukturom nalaze se i tvari u kojih veza medu atom-ima može biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno man-jom vodljivošcu nego što je imaju vodici, ali vecom od one izolatora, pa se nazivajupoluvodicima. Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim fizickim i kemijskim utje-cajima. Tu se ubrajaju npr. olovni sulfid i neki spojevi silicija, germanija i selena.Slobodni elektroni u krutim vodicima gibaju se u prostoru izmedu atoma kaoticno,bez rezultatntnog smjera, što podsjeca na gibanje molekula plina. Pritom je nji-hov statisticki raspored takav da je vodic, izvana promatrano, elektricki neutralan.Usmjereno gibanje slobodnih elektrona javlja se u vodicu tek pod vanjskim utjeca-jem, kojim se elektronu dodaje usmjerena komponenta. Srednja brzina kaoticnoggibanja elektrona u vodicu reda je velicine 106m/s, a brzina njihova usmjerenoggibanja 10−2m/s.

Pri prolazu struje kroz pojedine tvari mogu se ostvariti toplinski, magnetski,kemijski, svjetlosni i fiziološki ucinci. Oni se mogu vrlo uspješno koristiti i njima sebavi tehnicki dio elektrotehnike. Toplinski ucinci koriste se u elektrotermiji, mag-netski kod elektricnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a fiziološki u djelovanju elek-tricne struje na žive organizme.

1.2 ELEKTRICNO POLJE NABOJA

Proucavanje elektriciteta povijesno se bilo zapocelo proucavanjem sila koje se uoca-vaju izmedu nabijenih, elektriziranih tijela. Najpoznatiji nacin elektriziranja (odvo-

5

1. ELEKTROSTATIKA

denja ili dovodenja naboja nekom tijelu) bio je trenjem. Analiza uocenih sila dovelaje do zakljucka da u elektricnim pojavama postoje dvije elektricne velicine: naboj ipolje. Elektricni naboj javlja se kao svojstvo cestica, a elektricno polje se zamjecujekao polje sila oko nabijenih cestica, oko naboja.

A. Coulomb je još 1785. godine uocio i formulirao osnovni zakon o sili izmeduelektricki nabijenih tijela. Coulombova sila oblikom se izraza podudara s Newto-novom gravitacijskom silom, samo što u njoj umjesto masa dolaze elektricni naboji,a s obzirom da mogu biti i pozitivni i negativni, slijedi da se elektrizirana tijela mogui odbijati, a ne samo privlaciti.

Zakon se može eksperimentalno potvrditi samo za silu izmedu vrlo malih elek-tricnih tijela, koja se mogu smatrati matematickim tockama (tzv. tockasti naboj ilitest-naboj; eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju jednos-tavne za proucavanje i mjerenje kad se tockasti naboj nade u okolišu velikog, naprimjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1.4). Neka se pretpostavi da su i tijelo ikuglica nabijeni pozitivnim elektricnim nabojem. Pokusom se opaža da je sila nanabijenu kuglicu to veca što je veci iznos Q naboja kojim je nabijena i to u bilo kojojtocki prostora.

++

+

++

+

++

+ +

2P

3P

1P

SLIKA 1.4: Elekticna sila u okolišu nabijenog tijela

Ako se pak, uz neizmjenjen naboj kuglice, mijenja njezin položaj oko metalnogtijela (P1, P2, P3,. . . ) sila na kuglicu imat ce opcenito razlicitu velicinu i smjer.

Sila ovisi dakle i o fizikalnoj velicini stvorenoj prisutnošcu nabijenog tijela. Tase velicina zove elektricno polje nabijenog tijela i njen iznos oznacuje se s E . Sila natockasti naboj može se prema tome izraziti umnoškom dviju nezavisnih velicina:

F =Q ·E [N ] (1.1)

gdje su:

Q - naboj [As]E - jakost elektricnog polja [V/m]

Elektricno polje zamjecuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih cestica. Kadse u okolišu nekog naboja nalazi više drugih naboja, tada se ukupna sila na taj

6

Elektricno polje naboja

naboj može dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od okol-nih naboja po smjeru i po iznosu (vektorski zbroj). Elektricno polje je rezultat djelo-vanja svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unošenjem dodatnog naboja utaj prostor mijenja se i polje).

Jakost elektricnog polja E , u nekoj tocki jednaka je omjeru sile F na naboj (po-stavljen u tu tocku) i velicine naboja Q, a smjer polja jednak je smjeru koji bi imalaelektricna sila na pozitivni naboj postavljen u tu tocku. J

Jakost polja u odredenoj tocki prostora može se odrediti, poznavajuci silu F nanaboj Q (doveden u tu tocku) s pomocu jednadžbe

E = F

Q[V /m]

Jedinica za jakost elektricnog polja je volt po metru (V /m).Silnice elektricnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem elektricne

sile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i us-mjerene su prema negativnim nabojima u kojima završavaju (poniru). Gustoca sil-nica razmjerna je gustoci elektricnog polja.

Obicno se pod pojmom ’elektricno polje’ misli na ’jakost elektricnog polja’, tj.na iznos vektora. Buduci da se sila u svakoj tocki opcenito mijenja (po smjeru i/iliiznosu), znaci da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj tocki prostora, možese izravno iz izraza (1.1) izracunati sila na bilo koji elektricni naboj koji se dovede ubilo koju tocku tog prostora. Odavde se razabire prakticna korist elektricnih polja,koja se zbog toga i graficki predocuju.

Elektricno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja pose-bno. Buduci da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, može se predociti lin-ijama polja ili silnicama. Smjer elektricnog polja jednak je smjeru djelovanja elek-tricne sile na pozitivan naboj (slika 1.5), pa je u okolišu pozitivnog naboja suprotanod onog u okolišu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile na test naboj koji jedoveden u njihov okoliš.

a) električno polje pozitivnog naboja b) električno polje negativnog naboja

SLIKA 1.5: Elektricno polje jednog naboja

7

1. ELEKTROSTATIKA

Elektricno polje dvaju naboja prikazuje slika 1.6. Tu je polje u svakoj tocki vek-torski zbroj polja iz slike 1.5. Tangenta u svakoj tocki silnice pokazuje pravac djelo-vanja sile. I ovdje se ta sila zorno uocava kao vektor sile test naboja.

Dugo vremena su polja bila shvacana kao matematicke konstrukcije kojima suse pregledno mogle prikazati sile u okolišu elektricnih naboja. Realnim su smatranesamo sile i naboji. Zahvaljujuci Maxwell-u i Faraday-u, polja dobivaju realna obil-ježja, ništa manje stvarna nego su vidljivi mehanicki predmeti koji nas okružuju.Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su proucavanjem elektromagnetskih va-lova.

a) naboji suprotnog polariteta b) naboji istog polariteta

SLIKA 1.6: Elektricno polje dvaju naboja

Tu naboji nemaju više svoja primarna znacenja, vec polje. Naboji postaju samomjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru elektricne silnice. Za pozitivan nabojkaže se da je izvor, a za negativan da je ponor elektricnog polja (slika 1.6).

Za elektricno polje veli se da je homogeno ako u svakoj tocki ima jakost jednakoginteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Q u homogeno elektricnopolje (slika 1.7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj −Q suprotna je smjerupolja. Buduci da i dovedeni elektricni naboj stvara vlastito elektricno polje, redovitose pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je njegovo djelovanje zanemarivo.

Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, pocinje na pozitivnim izavršava na negativnim nabojima smještenim na površini. Buduci da se naboji ko-jim je elektroda nabijena (zbog istog polariteta) medusobno odbijaju, sav se nabojrasporedi po površini, pa u unutrašnjosti elektrode nema elektricnog polja. Svo-jstvo elektricnih polja da završavaju na površinama vodica koristi se kod zaštite ti-jela od djelovanja elektricnih polja zastorima od metalnih limova ili metalnih mreža.To je nacelo tzv. Faraday-evog kaveza.

1.2.1 POLARIZACIJA I INFLUENCIJA8

Elektricno polje naboja

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−~E

+

−

F,+Q

F,−Q

SLIKA 1.7: Homogeno elektricno polje

Kao neposredni rezultat djelovanja sile u elektricnom polju uocavaju se dvije važnepojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i influencijski ucinci u vodljivim tije-lima.

Staticka elektricna polja pri mirujucim nabojima moguca su samo u elektrickinevodljivim sredstvima, tj. izolatorima. Izolatori se stoga nazivaju i dielektrici(grcki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju elektricne sile.

U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se dielektrici unesu u elek-tricno polje, u njima može doci samo do odredenog razmještanja naboja u atom-ima i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja, negativni usuprotnom, stvarajuci tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija (slika 1.8).

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−~E−+ −+ −+ −+...

−+ −+ −+ −+...

−+ −+ −+ −+...

....

..

SLIKA 1.8: Polarizacija dielektrika

S druge pak strane, djelovanje polja na vodice, koji imaju slobodne naboje, ma-nifestirat ce se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka.

Ta se pojava zove influencija (slika 1.9). Kolicina influenciranog naboja (razdvo-

9

1. ELEKTROSTATIKA

jenog) jednaka je kolicini naboja koje je influenciju izazvalo (slucaj a).

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−~E

−−−−−−−−−

+++++++++

a) pod 90o

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−~E

−−−−−−−−−

+++++++++α

b) pod 45o

SLIKA 1.9: Elektricna influencija

Može se pokazati da kolicina influenciranog naboja ovisi i o površini na kojuje polje djelovalo. Metalne plocice postavljene u homogeno polje na slici 1.9 b)pod kutem od 450 , zatim razdvojene u polju, pa izvucene iz polja, primit ce svakaotprilike 71% naboja u odnosu na pokus a).

1.2.2 GUSTOCA ELEKTRICNOG TOKA

Sve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q, cine u prostoru oko naboja elektricni tokΦ. Radi lakšeg proucavanja pojava u polju pri razlicitim dielektricima uvodi se novavektorska velicina D . Istog je smjera kao i jakost polja, a iznos joj je jednak plošnojgustoci influenciranog naboja koji bi se na vodicu u toj tocki elektricnog polja izd-vojio, inducirao. Naziv tog vektora je gustoca elektricnog toka, dielektricni pomak,ili elektricna indukcija.

Gustoca elektricnog toka D u nekoj tocki prostora razmjerna je jakosti polja E :

D = ε ·E (1.2)

Faktor razmjernosti ε, naziva se dielektricnost (ili dielektricna konstanta) i zna-cajka je tvari u kojoj se elektricno polje nalazi. Dielektricnost vakuma je ε0 = 8,85 ·10−12 [As/V m].

Dielektricnost tvari iskazuje se pomocu dielektricnosti vakuma i relativne dielek-tricnosti εr :

ε= ε0 ·εr

10

Elektricno polje naboja

Relativna dielektricnost εr je znacajka pojedine tvari koja pokazuje koliko putaje veca gustoca elektricnog toka u toj tvari, nego što bi, uz istu jakost polja, bila uvakumu. Relativna dielektricnost εr je bezdimenzijski broj i za vecinu materijalamanji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2 − 4 za staklo), u nekim keramickimmasama do 100, a najvece vijednosti idu cak i do 10000.

Poznavanjem naboja, geometrije tijela i materijala u prostoru elektricno je poljeu svakoj tocki potpuno odredeno.

Primjerice, uz naboj na jednoj ploci Q i površinu ploce A, za gustocu elektricnogtoka D u homogenom polju, prema slici 1.7 vrijedi:

D = Q

A

U slucaju kugle polumjera R0 nabijene nabojem Q površinska gustoca nabojaje iz razloga simetrije istog iznosa u svakoj tocki površine:

D = Q

4R02π

[C

m2

](1.3)

1.2.3 COULOMBOV ZAKON

Sila F kojom elektricno polje jakosti E stvoreno od naboja Q djeluje na tockastinaboj Q ′ (u tocki A, slika 1.10 a) jednaka je:

F =Q ′ ·E =Q ′ · Q

4πεr 2 = k · Q ·Q ′

r 2 [N ] (1.4)

gdje je k = 1

4π ·ε0 ·εrkonstanta.

Izraz (1.4) zove se Coulombov zakon, a dobiven je povezivanjem izraza (1.1),(1.2) i (1.3).

~E ,~FA

+Q’

r

+Q

A ~E2

~E1 ~E1,2

~Er ez

~E3

+Q2

+Q1

-Q3

SLIKA 1.10: Sila na naboj

11

1. ELEKTROSTATIKA

Buduci da je ε u nazivniku izraza (1.4), ocevidno je da se sila izmedu dvajunaboja smanjuje, ako se izolator zamijeni s nekim vece dielektricnosti. Ovisnostelektricnih sila o prisutnosti materije jedan je od osnovnih utjecaja materije izola-tora na prilike u elektricnom polju.

Ako se u prostoru nalazi više tockastih naboja, kao na primjer +Q1, +Q2 i −Q3

na slici 1.10, jakost polja u nekoj tocki A odreduje se vektorskom superpozicijomjakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj Q A u tocki A imala biiznos i smjer prema (1.4) jednak F =Q A ·Er ez .

1.3 ELEKTRICNI POTENCIJAL

Odredivanje jakosti polja u nekoj tocki kao rezultat djelovanja više polja pojedi-nacnih naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva duži racun zbog vek-torske prirode polja. Ocevidna je potreba za jednostavnijom, lako mjerljivom ska-larnom velicinom, koja bi ipak pružala bitne informacije o prilikama u elektricnompolju. Tu potrebu, osobito u pogledu energetskih odnosa, zadovoljava elektricnipotencijal.

Kad se naboj nade u elektricnom polju jakosti E , na njega djeluje sila F prema(1.1). Ako se naboj giba po putanji s, sila ce na putu d s obavljati rad:

dW = F ·d s · cos(α) =Q ·E ·d s · cos(α) (1.5)

gdje jeα kut izmedu putanje naboja i smjera polja (silnice) u promatranoj tocki.Ako se naboj giba po silnici, kut α = 0. Naboj se giba dok na njega djeluje sila, tj.dok se nalazi pod djelovanjem polja. Sila išcezava i naboj se prestaje gibati tek u ∞,gdje i polje poprima iznos 0. Ukupni rad kojeg naboj obavi gibajuci se iz neke tockepolja A do ∞ iznosi:

W =∫ ∞

0Q ·E ·d s · cos(α)

Rad koji naboj Q može obaviti krecuci se do ∞ ocevidno je važna znacajka tetocke. Ako se taj rad podijeli s nabojem Q, dobiveni omjer ne ovisi o naboju, negopredstavlja energetski potencijal neke tocke polja i naziva se elektricni potencijal.

ϕ= W

Q=

∫ ∞

AE ·d s · cos(α) =−

∫ A

∞E ·d s · cos(α) =

∫E ·d s · cos(α) (1.6)

Granice integracije ispuštaju se, jer A može biti bilo koja tocka.Jedinica za potencijal je volt [V ], a važne znacajke potencijala su:

• dvije su tocke na istom potencijalu ako izraz (1.5) daje za svaku isti iznos.Takve tocke zovu se ekvipotencijalne tocke.

• oblik putanje s od tocke polja A do ∞ ne utjece na iznos (1.6) potencijala

12

Elektricni potencijal

• ako putanja ima istu pocetnu i završnu tocku, onda je obavljeni rad jednaknuli, tj. ∮

E ·d s = 0

,

• rad potreban za gibanje naboja po tockama istog potencijala jednak je nuli(α= 900) (slika 1.11),

• linije (plohe) koje cine tocke istog potencijala okomite su na silnice (smjerpolja),

• potencijalna energija koju ima naboj u nekoj tocki polja iz (1.6) iznosi jed-nostavno

W =Q ·ϕ= 0

• poznavajuci potencijale bliskih tocaka moguce je iz (1.6) izracunati jakostpolja:

E =− dϕ

d s · cos(α)=−dϕ

dl

gdje je dl element silnica u smjeru polja

• polje je uvijek usmjereno od tocke višeg potencijala prema tocki nižeg poten-cijala.

Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se jed-naka "potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske sile,na novoj razini pripisuje mu se energija niža za onoliko koliko se rada dobije kodtog spuštanja. Pomaci tijela po putu okomitom na smjer djelovanja sile ne mijen-jaju razinu i ne daju rad.

Slicno se i naboju u elektricnom polju, a i samim tockama u kojima se nabojmože naci, mogu pripisati razlicite potencijalne energije, odnosno energetske razi-ne. Opravdano je pocetni nivo potencijalne energije uzeti u beskonacnosti. Tamo jejakost elektricnog polja E jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energijepri pomicanju. Ako se pozitivni naboj Q dovede iz beskonacnosti u neku tockuelektricnog polja izvršeni rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u tojtocki. Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja.

Ako bi pak pozitivan naboj pod utjecajem polja bio odveden u beskonacnost, natom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad. Omjer izmedu rada potrebnog da se nabojQ iz bskonacnosti dovede u neku tocku polja i naboja Q na kome je rad izvršen zovese elektricni potencijal te tocke.

ϕ= W

Q=

∫ ∞

AQ ·E · cos(α) ·d s =−−Q

∫ ∞A E · cos(α) ·d s

Q=−

∫E · cos(α) ·d s (1.7)

Potencijalna energija naboja Q u nekoj tocki elektricnog polja lako se izražavapomocu potencijala ϕ te tocke i iznosa naboja:

W =Q ·ϕ [J ]

13

1. ELEKTROSTATIKA

Prema tomu, ako se kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje tockepotencijala ϕ do bilo koje tocke potencijala ϕ1, potencijal promijeni za

ϕ1 −ϕ=−dϕ= E ·dl (1.8)

onda iz gornjih izraza (1.7) i (1.8) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izražen spomocu potencijala:

E =−dϕ

dl(1.9)

Razlika potencijala dviju tocaka u elektricnom polju zove se napon i oznacuje ses V (americka varijanta) ili s U (njemacka varijanta). Napon je jedan od najvažnijihpojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se mjeri.

Treba uociti da bi rad izmedu dviju tocaka u elektricnom polju E bio isti bezobzira na krivulju s po kojoj bi se naboj gibao. Drugim rijecima, to znaci da radovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu:∫

(s)Es ·d s =

∫(s1)

Es ·d s = . . . =ϕ−ϕ1 =V

U posebnom slucaju, kad su izvorišna i odredišna tocka iste, tj. kad je krivuljaputa zatvorena, krivuljni integral vektora E po bilo kakvoj zatvorenoj krivulji imatce vrijednost nula: ∮

Es ·d s = 0 (1.10)

Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika poten-cijala izmedu dviju tocaka jednaka nuli), ne troši se (niti dobiva) rad. Linije istogpotencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije,(slika 1.11).

a) jedan naboj b) dva istovrsna naboja c) dva različita naboja

SLIKA 1.11: Ekvipotencijalne linije

S obzirom da je u realnosti prostiranje elektricnog polja trodimenzionalano,govori se o ekvipotencijalnim plohama. Buduci da za gibanje naboja po ekvipoten-

14

Elektricni kapacitet

cijalnoj plohi nije potreban rad, vektori jakosti elektricnog polja (elektricne silnice)okomiti su na ekvipotencijalne plohe.

Ako primjerice u elektricnom polju, zbog jednostavnosti homogenom, tocka Aima potencijal ϕA , a tocka B potenijal ϕB i neka je ϕA >ϕB , polje E bit ce u smjeruA → B . Razlika potencijala iznosi

ϕA −ϕB =−∫ A

∞E ·dl +

∫ B

∞E ·dl

=−∫ B

∞E ·dl −

∫ A

BE ·dl +

∫ B

∞E ·dl

=−∫ A

BE ·dl

=VAB [V ]

Napon VAB je potencijal tocke A u odnosu na referentnu tocku B , a VB A je po-tencijal tocke B u odnosu na referentnu tocku A. Ocevidno vrijedi:

VB A =−VAB

Pozitivni naboj Q koji prolazi razliku potencijala VAB krecuci se od A prema Bobavlja rad

W =Q ·VAB (1.11)

Ako se naboj krece od tocke B prema A, giba se nasuprot polju i rad se trebauložiti.

Napon se kao razlika potencijala dostupnih tocaka mnogo koristi i lako se mjerivoltmetrima.

1.4 ELEKTRICNI KAPACITET

Prikljuce li se plocaste elektrode na elektricki izvor (npr. na bateriju ili akumu-lator), na njima ce se pod utjecajem napona izvora V razdvojiti jednake kolicinenaboja suprotnog predznaka Q, koji ce u dielektriku medu plocama stvoriti elek-tricno polje stalne jakosti E (slika 1.12).

Ako se za referentnu tocku izabere negativna elektroda s potencijalom 0, tockaudaljena l od referentne imat ce potencijal

ϕ=−∫

E ·dl =−∫

(−E) ·dl = E · l (1.12)

dakle, potencijal linearno raste. Za l = d razlika potencijala jednaka je prikljucenomnaponu ϕ=V , te slijedi

V = E ·d i l i E = V

d

15

1. ELEKTROSTATIKA

Izraz (1.12) je u suglasju s (1.9) i omogucuje lako nalaženje iznosa polja E .U homogenom polju homogena je i elektricna influencija D = εE s iznosom

jednakim plošnoj gustoci naboja D = QA . Naboj Q koji se izdvojio na elektrodama

jednak je

Q = A ·D = A ·εE = Aε · V

d= εA

d·V =C ·V

Faktor C sadrži znacajke materijalaa i geometrije izmedu ploca i naziva se ka-pacitet. Kapacitet pokazuje sposobnost sustava elektroda da kod prikljucenog nabojapohranjuje naboj. Ako se djelovanjem napona u nekom sustavu pohranjuje razm-jeran naboj, onda taj sustav posjeduje kapacitet

C = Q

V(1.13)

Oznaka za kapacitet je C , a jedinica farad (F ).Vrijedi uociti da se nabijene elektrode mogu i odvojiti od izvora, a da se ništa

ne mijenja: ostaje naboj na elektrodama i napon medu njima, te elektricno polje udielektriku.

Ovdje se može pokazati korist potencijala pri racunanju energije (rada). Akose (slika 1.12) pozitivni naboj Q pomice iz tocke M1 u tocku M2, utrošit ce se radjednak razlici potencijalnih energija

W =Q ·ϕ1 −Q ·ϕ2 =Q(ϕ1 −ϕ2) =Q ·V12

Kako jeϕ1 <ϕ2, tj. V12 < 0 i rad je negativan, jer je utrošen na pomicanje nabojasuprotno silama polja.

1.5 KONDENZATOR

Elektricni element koji e namijenjen ostvarivanju kapaciteta i kome je glavno svo-jstvo kapacitet naziva se kondenzator. Tvore ga plocaste elektrode izmedu kojih senalazi dielektrik. Izvedbe kondenzatora razlikuju se s obzirom na oblik elektroda(plocasti, cilindricni, kuglasti...) i vrstu izolatora (zracni, keramicki, elektrolitski,. . . ).

Ako se nabijeni kondenzator prikljuci na izvor napona V , naboj iz izvora stru-jat ce prema elektrodama dok se izmedu njih ne uspostavi isti napon. Taj procesnaziva se nabijanje kondenzatora. Na svakoj elektrodi naci ce se jednaka kolicinanaboja, samo suprotnog predznaka. Izolator izmedu elektroda sprijecava da senaboji ponište.

Kapacitet se mjeri u faradima F [As/V], a realne izvedbe kondenzatora imajukapacitete u iznosima µ F (10−6F), nF (10−9F) i pF (10−12F).

S obzirom na stalnost kapaciteta razlikuju se nepromjenljivi i promjenljivi kon-denzatori. Simboli kondenzatora prikazani su na slici (1.13).

Osnovna obilježja kondenzatora su:

16

Kondenzator

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+~E

Q+

d

−Q +Q

M2

V2

V1

l

V

M1

SLIKA 1.12: Elektricno polje i potencijal kondenzatora

a) stalnog kapaciteta b) promjenljivog kapaciteta c) elektrolitski

SLIKA 1.13: Simboli kondenzatora

• nazivni kapacitet Cn u [F ],

• tolerancija (dopušteno odstupanje od Cn ) u postocima,

• dopušteno temperaturno podrucje u 0C ,

• nazivni radni napon [V ] i napon proboja

Vrijednosti kapaciteta standardizirane su u nizove.Napon proboja proizlazi iz najveceg iznosa jakosti polja koji dielektrik može

podnijeti. Kod previsokih iznosa polja dolazi u dielektriku do lavinske ionizacijepopracene lokalno ekstremnim temperaturama. Pojava traje kratke i zbog prom-

17

1. ELEKTROSTATIKA

jena u dielektriku redovito dovodi do neupotrebljivosti kondenzatora. Kvalitetnijidielektrici posjeduju više iznose probojnih polja.

1.5.1 SPOJEVI KONDENZATORA

Ako su u praksi potrebni kapaciteti cija vrijednost se ne nalazi u nizu raspoloživih,moguce je razlicitim spajanjem više kondenzatora postici željenu vrijednost ka-paciteta. Spajanje dvaju kondenzatora moguce je na dva osnovna nacina: serijski iparalelno. Složeni ili mješoviti spojevi dobiju se kombinacijom osnovnih nacina stri i više kondenzatora.

Serijski spoj postiže se spajanjem kondenztora u niz, tako da je svaki kondenza-tor povezan sa susjednim s pomocu jedne svoje elektrode. Pocetna elektroda prvogi završna zadnjeg serijski spojenog kondenzatora nemaju susjedni konedenzator ipredstavljaju izvode serijskog spoja.

U paralelnom spoju jedna elektroda svakog kondenzatora spaja se u jednu za-jednicku tocku, a druga u drugu zajednicku tocku. Zajednicke tocke predstavljajuizvode paralelnog spoja.

1.5.1.1 Serijski spoj

Prikljuci li se serijski spoj triju kondenzatora na izvor napona V (slika 1.14), lijevaploca kondenzatora C1 i desna ploca kondenzatora C3 nabit ce se u kratkom vre-menu nabojima istog iznosa i suprotnog predznaka.

Influencijom ce se i na desnoj ploci kondenzatora C1, kao i na lijevoj ploci kon-denzatora C3, pojaviti jednak naboj, dakako suprotnog predznaka. Lijeva plocakondenzatora C2 osiromašena odlaskom negativnog naboja na desnu plocu C1 po-staje pozitivna, a njegova druga ploca s istog razloga negativna. Tako se nakon nabi-janja (prijelaznog procesa strujanja naboja) na svakom kondenzatoru nalazi jed-nak iznos naboja, i to je ujedno ukupni naboj Qs serijskog spoja doveden iz izvoranapona V :

V1

+C1−

V2

+C2−

V3

+C3−

−+V

SLIKA 1.14: Serijski spoj triju kondenzatora

Q1 =Q2 =Q3 =Qs (1.14)

18

Kondenzator

Onaj ekvivalentni Cs koji bi pod djelovanjem istog napona Vs pohranio isti nabojQs je:

V =Vs = Qs

Cs(1.15)

ocevidno je identican u nabojskom pogledu serijskom spoju. Cs se naziva ka-pacitet serijskog spoja kondenzatora.

Ukupna razlika potencijala jednaka je zbroju pojedinacnih:

V =V1 =V1 +V2 +V3 (1.16)

Iz (1.14) mora i za svaki kondenzator vrijediti:

V1 = Q1

C1V2 = Q2

C2V3 = Q3

C3

što zajedno s (1.15) i (1.16) daje za spoj na slici (1.14):

1

Cs= 1

C1+ 1

C2+ 1

C3

odnosno opcenito:

1

Cs=∑

n

1

Cn(1.17)

Kapacitet serijskog spoja dva kondenzatora prema (1.17) iznosi tako:

Cs = C1 ·C2

C1 +C2

a za n jednakih kondenzatora C1 :

Cs = C1

n

Kapacitet serijskog spoja Cs manji je od najmanjeg kapaciteta serijsko spojenihkondenzatora. Serijski se spoj cesto primjenjuje tamo gdje je dopušteni naponjednog kondenzatora manji od napona izvora Vs .

1.5.1.2 Paralelni spoj

Prikljuce li se dva ili više kondenzatora paralelno spojena na izvor napona V , kaona slici (1.15), na svakom ce od njih postojati isti napon:

V =V1 =V1 =V2 =V3 (1.18)

a naboj na pojedinom kondenzatoru ovisit ce od velicine njegova kapaciteta. Zapojedine kondenzatore vrijedi:

Q1 =C1 ·V1 Q2 =C2 ·V2 Q3 =C3 ·V3 (1.19)

19

1. ELEKTROSTATIKA

C1+

C2+

C3+

−+V

SLIKA 1.15: Paralelni spoj kondenzatora

Paralelni spoj kondenzatora bit ce nabojski ekvivalentan kondenzatoru kapacitetaCp ako vrijedi:

Qp =Cp ·V (1.20)

gdje je:

Qp =Q1 +Q2 +Q3

Iz izraza (1.18), (1.19) i (1.20) slijedi da ekvivalentni kapacitet Cp paralelno spo-jenih kondenzatora jednak:

Cp =C1 +C2 +C3

odnosno opcenito:

Cp =∑n

Cn

Za paralelni spoj n kondenzatora jednakog kapaciteta C, ekvivalentni Cp jednakje:

Cp = n ·Cn

Kondenzatori se spajaju paralelno kad je kapacitet pojedinacnog nedostatan.Kapacitet paralelnog spoja veci je od kapaciteta najveceg paralelnog kondenzatora.

1.5.1.3 Mješoviti spoj

Paralelnim spajanjem povecava se ukupni kapacitet spoja, a serijskim smanjuje.Kod serijskog spoja ukupni prikljuceni napon dijeli se na pojedine kondenzatore, akod paralelnog spoja je napon na svim kondenzatorima isti. Ponekad je potrebnorealizirati kapacitet cija vrijednost nije u standardiziranom nizu. U tu svrhu koristese razliciti mješoviti spojevi, od kojih jedan prikazuje slika (1.16).

Mogu se ostvariti razlicite kombinacije. Ukupni kapacitet mješovitog spoja izracu-nava se postupnim odredivanjem kapaciteta pojedinih paralelnih i serijskih grupa.On može biti manji ili veci od kapaciteta pojedinog kondenzatora ili pojedine skupinekondenzatora, vec prema tome da li prevladava utjecaj serijskih ili paralelnih skupina.

20

Kondenzator

C1

C2 C3

C4 C5

−+V

C23 = C2 C3C2+C3

C1

C23

C45

−+V

C45 = C4 C5C4+C5

C1 CP

−+V

Cp =C23 +C45

C

−+V

C = C1 Cp

C1+Cp

SLIKA 1.16: Mješoviti spoj kondenzatora

1.5.2 ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

Kad se prazan kondenzator prikljuci na izvor napona V , kao na slici (1.17), konden-zatoru se dovodi naboj i time povecava razlika potencijala V medu plocama. Nakonodredenog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C ·V i popriminapon izvora V .

Tijekom nabijanja kondenzatora porast naboja za d q uzrokuje porast naponaza d v , prema:

d q =C ·d v

Malim slovima oznacuju se trenutne vrijednosti pojedinih velicina. Kod gibanjanaboja d q , elektricno polje prema izrazu (1.11) obavlja rad:

dW = v ·d q = v ·C d v =C · v ·d v

21

1. ELEKTROSTATIKA

+ −Q Ci

−+V

SLIKA 1.17: Nabijanje kondenzatora

Ovaj je rad utrošen u stvaranje polja u dielektriku i povecanju energije konden-zatora. Kondenzator se nabija na napon V , te je pohranjena energija:

dW =C∫ V

0v ·d v = C ·V 2

2[J ]

S pomocu izraza (1.13) slijede još dva ekvivalentna izraza za energiju nabijenogkondenzatora:

W = C ·V 2

2= Q ·V

2= Q2

2 ·C (1.21)

Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izmedu ploca (elek-troda), kao energija elektricnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, elektricno poljeu izolatoru se razgraduje. Ta se energija oslobada i može se pretvoriti u neki drugioblik energije: toplinsku, svjetlosnu ili opet u elektricnu. Pritom se nabijeni kon-denzator može izbiti u dužem ili kracem vremenu. Srednja snaga kod izbijanja,ako se odvija u kratkom vremenu, može biti velika. To se koristi kod elektronskihbljeskalica, za paljenje stroboskopskih cijevi i sl. Kod pražnjenja u zraku ili izo-lacijskoj tekucini mogu nastati iskre, pa se na tome zasniva i nacelo elektroerozijskeobrade metala.

Da je energija u kondenzatoru lokalizirana u izolatoru kao energija elektricnogpolja, lako se vidi povezujuci izraze (1.21) i (1.11):

W = C ·V 2

2= ε · A

2 ·d·V 2 = ε · A

2 ·d·E 2 ·d 2 = ε ·E 2

2· A ·d = ε ·E 2

2·Vol

gdje je:Vol - volumen kondenzatora.

1.5.3 PRIRODNI KONDENZATOR

Oblaci i zemlja se mogu usporediti s velikim kondenzatorom. Proces isparavanja ikondenziranja vode u unutrašnjosti oblaka uzrokuje sudare izmedu kapljica vode i

22

Appleti

razlicitih cestica u oblacima (prašina, ioni, fotoni). U tim sudarima elektroni izbi-jeni iz cestica cine negativan naboj, koji se nakuplja u podnožju oblaka. Tako sepodnožje oblaka može usporediti s negativnom plocom kondenzatora. Taj nabojuzrokuje nakupljanje pozitivnog naboja na zemlji, koja se zbog toga može uspored-iti s pozitivnom plocom kondenzatora.

SLIKA 1.18: Prirodni kondenzator

Zrak izmedu oblaka i zemlje postaje dielektrik prirodnog kondenzatora. Elek-tricno polje izmedu oblaka i zemlje može proizvesti ione i slobodne elektrone uzraku. Razlika potencijala izmedu oblaka i zemlje može postati tako velika i poljetako jako da se ostvari ionizacija u lavinskom obliku; kaže se da je došlo do probojazracnog dielektrika. Ioni i slobodni elektroni ostvaruju svojim gibanjem struju izme-du oblaka i zemlje, što je popraceno optickom i akusticnom pojavom (munja, grom).Pritom se nastali prirodni kondenzator ispraznio (atmosfersko pražnjenje).

1.6 APPLETI

1.6.1 ELEKTRICNO POLJE NABOJA

Ovaj applet omogucuje promatranje elektricnog polja dobivenog razlicitim kom-binacijama pozitivnih i negativnih naboja. Žuti krug predstavlja pozitivni naboj, aplavi krug negativni naboj. Bijele krivulje oko njih su ekvipotencijalne linije (lin-ije istog potencijala). Zelene strelice pokazuju vektore elektricnog polja. Nabojemožemo pomicati po ekranu pomocu miša.

Slijedi opis padajuceg izbornika:SETUP - pruža mnogo mogucnosti, od kojih je ovog casa zanimljivo samo elek-tricno polje naboja (pozitivnih i negativnih):

• SINGLE CHARGE - jedan pozitivan naboj

23

1. ELEKTROSTATIKA

SLIKA 1.19: Applet - elektricno polje naboja

• DOUBLE CHARGE - dva pozitivna naboja

• DIPOLE CHARGE - jedan pozitivan i jedan negativan naboj

MOUSE - odreduje što ce se dogadati lijevim click-om miša:

• MOVE OBJECT - vuku se objekti po zaslonu

• DELETE OBJECT - brišu se objekti po zaslonu

• ADD + DRAGGABLE CHARGE - dodaju se pozitivni naboji na zaslon

• ADD − DRAGGABLE CHARGE - dodaju se negativni naboji na zaslon

• CLEAR SQUARE - brišemo pozadinu

SHOW - odreduje što ce biti prikazano na ekranu:

• SHOW ELECTRIC FIELD (E) - bit ce prikazano elektricno polje pomocu stre-lica. Strelice idu od tamno zelenih do svijetlozelenih, zatim postaju bijele,kako polje postaje jace.

• SHOW E LINES - bit ce prikazane linije elektricnog polja. Boja linija ide odtamno zelene do svijetlo zelene, zatim postaje bijela kako polje postaje jace.Gustoca linija se skoro ne mijenja, pa ako nas zanima jacina polja trebamogledati boju linija, a ne njihovu gustocu.

• ACCURACY - odreduje se tocnost prikazivanja polja

Lijevim click-om na gumb CLEAR ALL briše se cijeli zaslon.

• STOP CALCULATION - zaustavlja se izracun polja

24

Appleti

• ENABLE CURRENT - prikazuje se tok struje

• DRAW EQUIPOTENTIALS - prikazuju se ekvipotencijalne linije

S pomocu klizaca:

• RESOLUTION - namješta se rezolucija

• BRIGHTNESS - namješta se osvjetljenje

• EQUIPOTENTIAL COUNT - namješta se broj ekvipotencijalnih linija bez obzirana osvjetljenje

1.6.2 TEST NABOJ U ELEKTRICNOM POLJU

Ovaj applet na slici 1.20 omogucuje promatranje djelovanja elektricnog polja natest naboj. Elektricno polja može se stvoriti s jedinim ili dva naboja u razlicitimkombinacijama polariteta i iznosa. Mogu se prikazati ekvipotencijalne plohe, sil-nice i vektori polja. Click-om na restart/play zapocinje djelovanje polja, animacija,na test naboj. Naboji se takoder mogu pomicati po ravnini.

SLIKA 1.20: Test naboj u elektricnom polju

1.6.3 ELEKTROSKOP

Za model elektroskopa (1.22) sastavljenog od dvije kuglice jednakih masa m i nabojaq , obješenih na klatno duljine L vrijede jednadžbe:

25

1. ELEKTROSTATIKA

L

m, q

mg

T

Θ

SLIKA 1.21: Elektroskop - oznake

T · cos(θ) = m · g T · si n(θ) = Fe = k ·q2

r 2 r = 2L · si n(θ)

tocno:

t an(θ) · si n2(θ) = k ·q2

4m · g ·L2

ili približno:

θ3 = k ·q2

4m · g ·L2

Ovaj applet (slika 1.22) omogucuje animaciju elektroskopa za razlicite m, q i L.

1.6.4 KAPACITET PLOCASTOG KONDENZATORA

• DIELECTRIC (dielektrik) - bira se dielektrik izmedu ploca kondenzatora

• PLATE AREA (površina ploca) - bira se površina ploca

• DISTANCE (udaljenost) - bira se udaljenost izmedu ploca

Za odabrane vrijednosti ε (dielektricnost), A (površina ploca) i d (udaljenostploca), izracunava se vrijednost kapaciteta kondenzatora (engl. capacitance).

Može se zakljuciti sljedece:

• povecanjem površine ploca, povecava se i kapacitet,

• ako se poveca udaljenost medu plocama, kapacitet se smanjuje,

26

Appleti

SLIKA 1.22: Model elektroskopa

SLIKA 1.23: Plocasti kondenzator

• dielektrik vece dielektricnosti uzrokovat ce i veci kapacitet.

To znaci da je kapacitet proporcionalan dielektricnosti i površini ploca, a obr-nuto proporcionalan razmaku izmedu ploca.

1.6.5 APPLET - PRIRODNI KONDENZATOR

Skupljanjem (gomilanjem) pozitivnog naboja na zemlji i negativnog u oblacima(atmosferi) dolazi do prirodnog izbijanja naboja (munje), što se može vidjeti u prirodiili na applet-u, slika 1.18.

27

1. ELEKTROSTATIKA

1.7 ZADACI

1.1 Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da imse površine dodiruju. Pošto smo ih nabili nabojem 5·10−9 C, one su se otklonile takoda medusobno zatvaraju kut 400. Kolika je masa svake kuglice ako je udaljenost odmjesta gdje je nit obješena do središta kuglice 20 cm?

Rješenje: 3,364 ·10−6 kg

1.2 Atom vodika ima jedan proton u jezgri i jedan elektron koji kruži oko jezgre.Uz pretpostavku daje staza elektrona kružna, nadite:

a) silu kojom medusobno djeluju proton i elektron ako je razmak izmedutih dviju cestica 5,3 ·10−11m,

b) linearnu brzinu elektrona.

Rješenje: a) 8,202 ·10−8 N b) 2,1844 ·106 m/s

1.3 Koliki rad moramo utrošiti da u elektricnom polju premjestimo naboj 10−9

C iz jedne tocke polja u drugu ako je razlika potencijala izmedu tih tocaka 200 V?

Rješenje: 2 ·10−7 J

1.4 Dva naboja Q1 = 1,5 ·10−9 C i Q2 = 6 ·10−8 C nalaze se u zraku i udaljeni sumedusobno za r = 70 cm. Kolika je jakost elektricnog polja u sredini izmedu njih?

Rješenje: 4298 N/C

1.5 Dvije paralelne nabijene ploce svaka s površinom 1 m2 nalaze se u vakumuudaljene 2 cm. Izmedu tocaka A i B postoji razlika potencijala 5 V.

a) koliki je napon izmedu ploca

b) koliki je iznos plošne gustoce na plocama

c) koliki je iznos vektora elektricne indukcije u tocki A, a koliki u tocki B ikojeg je smjera

d) koliki je iznos energije po jedinici volumena medu plocama

e) ako naboj negativne ploce cine elektroni, a naboj pozitivne se sastoji umanjku elektrona, kolika je razlika u broju elektrona na plocama.

Rješenje: a) 10 V b) 4,427 ·10−9 C/m2 c) D je neovisan o tocki, iznosa D , smjerA → B d) 1,101 ·10−6 J/m3 e) 5,534 ·1010 [elektrona]

28

Zadaci

1.6 U homogeno elektricno polje jakosti 4000 V/m uleti okomito na silnicepolja elektron brzinom 5,7 ·103 km/s.

a) Koliko ce elektron skrenuti od svojega pocetnog smjera pošto u polju pri-jede put od 8 cm?

b) Kakav oblik imastaza elektrona?

Rješenje: a) 6.88 cm b) parabola (horizontalni hitac)

1.7 Na istosmjerni izvor stalnog napona E serijski su spojeni kondenzatori C1 =1 F i C2 = 3 F.

a) koliki je napon na C1 ako je na C2 napon V2 = 50 V,

b) koliki je napon izvora E ,

c) kolika je energija pohranjena u spoju,

d) ako se paralelno kondenzatoru C1 doda još jedan istog kapaciteta, kolikice napon biti na njemu,

e) koliki naboj sadrži tada C1?

Rješenje: a)150 V b) 200 V c) 15 mJ d) 120 V e) 1,2 ·10−4 C

1.8 Kondenzator kapaciteta C1 = 0,6 µF nabijemo na napon 200 V i zatim gaiskljucimo s izvora napona. Zatim paralelno kondenzatoru prikljucimo drugi kon-denzator kapaciteta C2 = 0,4 uF. Odredite toplinske gubitke koji nastaju (energijuiskre koja preskoci pri spajanju kondenzatora).

Rješenje: 4,8 mJ

29

2POGLAVLJE

ISTOSMJERNA STRUJA

Elektricnom strujom naziva se usmjereno gibanje elektricnih naboja. Da bi gibanjebilo moguce, nužna su dva uvjeta: postojanje slobodnog (pokretnog) naboja i pos-tojanje elektricnog polja.

Slobodan naboj je za razlicite tvari razlicit: u metalima i njihovim legurama slo-bodni naboj cine elektroni, u elektrolitskim otopinama to su pozitivni i negativniioni, kod poluvodica elektroni i šupljine, a kod plinova elektroni i ioni. Zbog jed-nostavnosti prikaza i tumacenja promatrat ce se u nastavku djelovanje elektricnogpolja na metalne vodice, a struji u elektrolitskim otopinama i plinovima posvetit cese posebna potpoglavlja.

Elektricno polje je vektor, pa osim inteziteta (sile na naboj) ima i smjer. Ako sesmjer elektricnog polja ne mijenja, ne mijenja se ni smjer gibanja naboja u vodicu,pa odatle naziv istosmjerna struja. Ako se uz to ni jakost polja ne mijenja, onda jestruja stalna ili konstantna istosmjerna struja.

U prakticnoj primjeni izvori konstantnog elektricnog polja najcešce su elek-trokemijski izvori (ili galvanski elementi), tj. razlicite vrste baterija i akumulatora.Takvi izvori pretvaraju kemijsku energiju u elektricnu i pritom na svojim stezaljkamaosiguravaju stalnu razliku potencijala. Svi slobodni elektroni unutar metalnog vo-dica konstantnog presjeka spojenog na takav izvor bit ce izloženi djelovanju sileiste jakosti i smjera, pa ce kroz sve paralelne presjeke vodica istodobno prolazitiisti broj elektrona. Brzina gibanja pojedinacnog naboja mnogo je manja od brzineširenja elektricnog efekta: iako žarulja u New Yorku spojena preko transatlanskogkabela zasvijetli gotovo istodobno s ukljucenjem izvora u Zagrebu, elektroni krozto vrijeme produ neznatan put.

Smjer istosmjerne struje jednak je smjeru elektricnog polja, dakle suprotan jesmjeru gibanja elektrona.

Gibanje naboja ima za posljedicu nekoliko razlicitih ucinaka: zagrijavanje vodica(Jouleov efekt), stvaranje magnetskog polja u njegovu okolišu, prijenos tvari u elek-trolitickim otopinama, te emitiranje zracenja pri vodenju u plinu. Ponekad štetne,sve te pojave prakticno se koriste u velikom broju trošila, uredaja i procesa.

2.1 ELEKTRICNI NAPON31

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Energija koju naboj ima u elektricnom polju naziva se elektricna potencijalna en-ergija [W ]. Omjer te energije i velicine naboja u nekoj tocki je stalan i predstavljasvojstvo pojedine tocke elektricnog polja, koje se zove elektricni potencijal.

Elektricni potencijal (prema izrazu (2.1)) oznacuje se sa ϕ, a jedinica mu je volt[V ].

ϕ= W

Q(2.1)

Razlika potencijala izmedu dvije tocke naziva se napon. Napon izmedu tocakaB i A, VB A , je pozitivan ako je tocka B na vecem potencijalu od tocke A, a neg-ativan je ako je obrnuto. Za uspostavljanje elektricnog napona treba razdvojitiraznoimene naboje, a za to je potrebno uložiti rad, tj. utrošiti energiju.

Pozitivni i negativni naboji razdvajaju se u izvorima elektricnog napona na racunneke uložene energije (kemijske, mehanicke, . . . ). Zbog toga se prikljucnice izvoraoznacuju sa ’+’ i ’−’ i nazivaju se polovi naponskog izvora. Instrument za mjerenjenapona zove se voltmetar.

Postoje istosmjerni i izmjenicni naponi. Istosmjerni napon stalnog je polariteta,a kod izmjenicnog, polaritet se izmjenicno mijenja.

2.2 ELEKTRICNI IZVORI

Elektricni izvor je uredaj koji na svojim stezaljkama trajno održava razliku potenci-jala kako bi mogao davati struju prikljucenom trošilu.!

Trošilo ce u nacelu obavljati neki koristan rad. Izvor ima zadatak pretvoritijedan oblik energije (mehanicku, kemijsku, toplinsku i sl.) u elektricnu, dok trošiloradi obrnut postupak. S obzirom na vrstu i nacin pretvorbe jednog oblika energijeu drugi, najvažniji tipovi elektricnih izvora su :

Kemijski elektricni izvori: pretvaraju kemijsku energiju u elektricnu. Takav izvorse (nazvan galvanski element u cast L. Galvaniu) sastoji unacelu od dvijuelektroda i elektrolita. Na elektrodama se pojavljuje napon kao posljedicakemijskog procesa u kojem sudjeluju tvari od kojih su elektrode napravljenei elektrolitska otopina u koju su uronjene. Razlikuju se primarni i sekundarnielementi. Za razliku od primarnih, u sekundarnima je kemijski proces reverz-ibilan, što znaci da se elektricna energija dovedena iz drugog izvora može uizvoru koji je "ispražnjen" opet povratiti u kemijsku. Kemijski izvori su uvijekistosmjerni.

Fotonaponski elementi: izvori koji djelovanjem vidljivog svjetla stvaraju elektricninapon. Na temelju ponašanja poluvodica kao osnovni materijal koristi sesilicij i galijev arsenid. Vrlo efikasnim smatraju se silicijevi fotonaponski el-ementi, koji danas pretvaraju do 20% dobivene svjetlosne energije u elek-tricnu. Napon takvog fotoelementa iznosi do 0,6 V, a maksimalna postizivastruja ovisi o materijalu, površini i tehnologiji. Solarni silicijevi elementi dajui do 180 W/m2 ovisno o svjetlosnom zracenju.

32

Elektricni izvori

Termoelementi: izvori koji daju napon pretvorbom toplinske energije. U naceluse za tu svrhu uzmu dvije žice razlicitog materijala i na jednom kraju medu-sobno spoje. Ako se spojno mjesto izloži višoj temperaturi, onda se na hlad-nijim krajevima javlja istosmjerni napon. Velicina tog napona ovisi o razlicitemperatura i vrsti upotrijebljenih materijala. Primjerice, kod para željezo-konstantan dobiva se prosjecno 52µV/0C.

Generatori: strojevi koji mehanicku energiju (rotacija rotora) magnetskim putem(indukcija) pretvaraju u (izmjenicni) napon. Daleko najveci dio u svijetu ko-rištene elektricne energije dobiva se danas putem generatora. Istosmjerni senapon lako dobiva iz izmjenicnog s pomocu ispravljaca.

Nuklearni izvori: atomska se energija složenim postupkom preko toplinske i meha-nicke putem generatora (atomske centrale) pretvara u elektricnu energiju.Ekonomicni i neopasni izvori s izravnim pretvaranjem nuklearne energije uelektricnu još se ocekuju.

Elektricni izvori dijele se na naponske i strujne. Zadatak naponskog izvora je dana svojim stezaljkama (vanjskim prikljucnicama) daje konstantan napon, a stru-jnog izvora da daje konstantnu struju, neovisno o opterecenju. Zbog uobicajeneupotrebe ovdje se promatra samo ponašanje realnog naponskog izvora.

Istosmjerni naponski i strujni izvori u elektricnim shemama obilježavaju se sim-bolom kao na slici (2.1. Elektroda na višem potencijalu oznacuje se oznakom ’+’.

E+

a) naponski

I

+

b) strujni

SLIKA 2.1: Istosmjerni izvori

Oznaci li se u spojnoj elektricnoj shemi, prema slici (2.2), jedna tocka s oznakom’a’, a druga s oznakom ’b’ (to mogu biti i elektrode, tzv. stezaljke izvora), onda jenapon izmedu tocaka ’a’ i ’b’ jednak razlici potencijala ’a’ i ’b’, pa se dogovornooznacuje indeksima:

Vab =Va −Vb

Ako je algebarski iznos Vab pozitivan, onda je tocka koja odgovara prvom in-deksu ’a’ pozitivna, odnosno, nalazi se na višem potencijalu od tocke drugog in-deksa ’b’. Za slucaj negativnog iznosa V tocka ’b’ ima viši potencijal od tocke ’a’.Dobro je uociti da je Vab =−Vba .

Uvedenim oznacivanjem potencijala odreden je i smjer struje koja u strujnomkrugu s takvim izvorom tece izvan izvora. Smjer struje izvan izvora poklapa se s

33

2. ISTOSMJERNA STRUJA

a, +

Vab > 0

I

b

a

Vab < 0

I

b, +

SLIKA 2.2: Oznacavanje naponskih i strujnih velicina

orijentacijom od tocke višeg prema tocki nižeg potencijala i u spojnim shemamanajcešce se oznacuje strelicom (slika 2.2).

2.3 ELEKTRICNA STRUJA

Medu raznoimenim nabojima, razdvojenim na prikljucnicama izvora, vlada pri-vlacna sila. Ako se prikljucnice izvora vodljivo spoje, izmedu naboja se uspostavivodljivi put, kroz koji nastaje usmjereno gibanje naboja, koje se zove elektricnastruja.

Uzrok struje je elektricno polje, a smjer struje jednak je smjeru polja, daklesmjeru kojim bi se gibali pozitivni naboji. Glavna znacajka elektricne struje je njenajakost. Jakost struje jednaka je omjeru kolicine naboja koja prode presjekom vodicau nekom vremenu i tog vremena.

i = dQ

d t(2.2)

gdje je dQ diferencijal (djelic) naboja, a d t diferencijal vremena. Mjerna je-dinica jakosti struje je amper [A]. Za stalnu istosmjernu struju izraz (2.2) postaje:

I = Q

t

Instrument za mjerenje jakosti struje zove se ampermetar. Kao i naponi, strujemogu biti istosmjerne i izmjenicne. Istosmjerna struja tece stalno istim smjerom,dok se kod izmjenicne struje smjer s vremenom mijenja.

Gustoca struje definirana je kao kvocijent iznosa struje i površine okomitog pres-jeka kroz koji tece:

J = I

A[A/m2]

2.4 ELEKTRICNI OTPOR34

Elektricni otpor

Pri toku struje kroz metalnu žicu (vodic) slobodni elektroni nailaze na atome, kojizbog topline titraju oko svojih ravnotežnih položaja u kristalnoj rešetki metala. Možese zamisliti da atomi tako prijece slobodni put elektronima, što se ocituje kao opi-ranje tvari protoku elektricne struje.

Opcenito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja, koja se nazivajuelektricni radni otpor (krace elektricni otpor ili samo otpor). Oznaka za elektricniotpor je R, a jedinicaΩ.

Otpor vodica razmjeran je duljini vodica l , a obrnuto razmjeran njegovu pres-jeku A. Faktor razmjernosti razlicit je za pojedini materijal i naziva se otpornost (ilispecificni otpor) i oznacava sa % .

Prema tomu, otpor vodica racuna se prema:

R = % l

A(2.3)

Reciprocna vrijednost otpora zove se vodljivost i oznacuje s G :

G = 1

R= 1

%· A

l= γ · A

l(2.4)

gdje je specificna vodljivost:

γ= 1

%[S/m]

Specificni otpor % ima jedinicuΩm, a zbog cestog izražavanja presjeka vodica umm2 i duljine u m koristi se iΩmm2/m.

Jedinica elektricnog otpora je om (Ω), a elektricne vodljivosti simens (S). Simboli oznaka elektricnog otpora prikazuje slika (2.3).

R

SLIKA 2.3: Simbol i oznaka elektricnog otpora

2.4.1 PROMJENA OTPORA S TEMPERATUROM

Povecanje temperature metalnih vodica izaziva vecu amplitudu titranja kristalnerešetke. To uvjetuje povecanje broja sudara slobodnih elektrona, smanjenje nji-hove rezultantne brzine i smanjenje gustoce struje. Pad jakosti struje uz isti naponodgovara povecanju otpora . Dakle, otpor vodica se kod vecine materijala povecan-jem temperature povecava:

Rϑ = R20 +∆R (2.5)

gdje su:

35

2. ISTOSMJERNA STRUJA

R20 - vrijednost otpora kod sobne temperature (20C),

∆R - povecanje otpora s porastom temperature,

Rϑ - vrijednost otpora na temperaturi ϑ.

Prirast otpora ovisi o materijalu (temperaturni koeficijent otpora α [1/0C], pri-rastu temperature (∆ϑ=ϑ−20C) i pocetnoj vrijednosti otpora R20 :

∆R =α ·∆ϑ ·R20 (2.6)

Uvrsti li se izraz (2.6) u izraz (2.5) dobiva se linarni model:

Rϑ = R20(1+α ·∆ϑ) = % · l

A· [1+α(ϑ−20)] (2.7)

Lako se iz ovog izraza vidi da se kod pozitivnog a smanjivanjem temerature kodistog materijala smanjuje i njegov otpor, tj. da je za temperature manje od 20Cotpor R manji od R20.

TABLICA 2.1: Elektricna svojstva metalnih vodica

Naziv Oznaka %[Ωmm2/m] γ[Sm/mm2] α[1/0C ]

Aluminij Al 0,0270 37 0,0040

Bakar (mek) Cu 0,0172 58 0,0039

Bronca Bc 0,0278 35,8 0,004

Kositar Sn 0,115 8,6 0,0042

Mjed Mj 0,075 13,3 0,0016

Nikal Ni 0,09 11 0,006

Olovo Pb 0,208 4,8 0,0043

Srebro Ag 0,0163 61,4 0,0041

Željezo Fe 0,098 10,1 0,0065

Živa Hg 0,958 1,04 0,0009

Cekas 1,11 0,93 0,00019

Kanthal 1,45 0,7 0,000032

Manganin 0,48 2,14 0,000015

Konstantan 0,49 2,1 0,00005

Tablica 2.1 pokazuje metale i metalne legure s njihovim specificnim otporom,specificnom vodljivosti i temperaturnim koeficijentima. Treba napomenuti da jetemperaturni koeficijentα konstantan samo za uski temperaturni opseg. Za tocnijutemperaturnu ovisnost linearni model nije dovoljan, pa se proširuje s kvadraticnimkoeficijetnom β i pocetak izraza (2.7) postaje:

Rϑ = R20(1+α ·∆ϑ+β · [∆ϑ]2)

Zanimljivo bi bilo izracunati kod koje temperature otpor vodica postaje jednaknuli. Iz izraza (2.7) uz pretpostavku konstantnog α slijedi:

36

Ohm-ov zakon

Rϑ = R20 · [1+α(ϑ−20)] = 0

pa je

ϑ=−(

1

α−20

)(2.8)

Primjer: Za bakar (α= 0,00392) iz izraza (2.8) slijedi ϑ=−235,140C . Medutim,mjerenja pokazuju da bezotporno stanje, tzv. supravodljivost, nastaje tek na tem-peraturama oko apsolutne nule (0K = −273,150C ). To ujedno potvrduje da ovis-nost R = f (ϑ) nije linearna.

Veza otpora i temperature može se prikazati dijagramom prema slici 2.4. Pristanovitoj kriticnoj temperaturi ϑK (koja je, na primjer, za živu 4,12K , aluminij1,14K , cink 0,79K ) otpor naglo pada i približno je jednak nuli.

θK θ

R

SLIKA 2.4: Ovisnost otpora i temperature

Pojava supravodljivosti za buducu elektrotehniku je od izuzetnog znacenja. Us-mjereno gibanje naboja u takvoj okolini ne nailazi na prepreke, pa nema toplinskihgubitaka.

2.5 OHM-OV ZAKON

Jakost struje kroz vodic ovisi samo o naponu na vodicu i otporu vodica: raste s po-rastom napona V, a opada s porastom otpora R. To je Ohm-ov zakon , koji napisanu obliku jednadžbe izgleda ovako:

I = V

R(2.9)

Iz grafickog prikaza tog zakona (slika 2.5) predocena linearnost izmedu napona,kao uzroka pojave, i njegove posljedice, elektricne struje znaci da je otpor R kon-stantan. Elektricni otpor R predocuje kut α nacrtanog pravca i jednak je kotan-gensu tog kuta. Za veci otpor (pravac b) uz isti napon tece manja struja (I2 < I1). Ot-por vodica može se povecati izraz (2.3) smanjenjem presjeka, povecanjem duljine

37

2. ISTOSMJERNA STRUJA

−V V

−I

I

αI1

I2

a

b

SLIKA 2.5: I=f(V) u metalnom vodicu

vodica ili uporabom materijala veceg specificnog otpora. Jednakovrijedan grafickiprikaz dobiva se medusobnom zamjenom koordinatnih osi.

Ohmov zakon nije ogranicen materijalom. S obzirom na njihov specificni ot-por, materijale dijelimo na vodice (srebro, bakar, aluminij, željezo, konstantan i dr.),poluvodice (germanij, silicij) i izolatore (staklo, teflon, kvarc i dr.).

2.6 KIRCHHOFF-OVI ZAKONI

Spajanjem dvaju ili više elektricnih elemenata dobiva se elektricna mreža. Teori-jsko proucavanje elektricnih mreža temelji se na teoriji grafova, jer se svaka realnaelektricna mreža može predociti grafom. Osnovni elementi grafa su grane i cvorišta.Svaka grana ima dva cvorišta. Realni elektricni elementi koji se ovdje spominju (ot-pornik, kondenzator, zavojnica, izvor) imaju po dvije stezaljke ili prikljucnice. Re-alnim stezaljkama odgovaraju apstraktna cvorišta grafa, a realni elementi oznacujuse odgovarajucim simbolima u granama (teorijski: oznakom grane).

Jednostavni strujni krug, npr. kondenzator spojen na naponski izvor, je takoderelektricna mreža, i to s dvije grane i dva cvorišta. U jednoj grani je simbol napon-skog izvora, a u drugoj, paralelno spojenoj, simbol kondenzatora.

U elektricnim mrežama vrijede tri temeljna zakona. Prva dva su Kirchhoff -ovizakoni i izricu strujno-naponske prilike u mreži. Pritom je bitno samo kako suelementi medusobno spojeni (topologija mreže), a nije bitan karakter (vrsta) ele-menata. Treci zakon definira odnos struje i napona u pojedinoj grani, što dakakoovisi o vrsti realnog elementa koji predstavlja tu granu. Za otpor, predstavljen ot-pornikom, ovaj je odnos vec izrecen u obliku Ohm-ova zakona.

2.6.1 I. KIRCHHOFF-OV ZAKON38

Kirchhoff-ovi zakoni

Buduci da je elektricna mreža izoliran sustav, iz zakona o ocuvanju materije možese zakljuciti, a eksperimentalno potvrditi, da je zbroj jakosti struja koji u bilo kojecvorište ulaze jednak zbroju jakosti struja koje iz tog cvorišta izlaze. Struje kojeulaze u cvorište imaju suprotan predznak od onih koje izlaze iz cvorišta. Prvi Kirch-hoff -ov zakon govori kako u elektricnoj mreži ne postoji cvorište u kojem bi senaboj gomilao, stvarao ili nestajao.

Opcenito vrijedi: zbroj struja koje ulaze u cvorište mreže jednak je zbroju strujakoje iz te tocke (cvorišta) izlaze.

Prvi Kirchhoff -ov zakon izražen jednadžbom, za bilo koje cvorište mreže, dakleglasi:

n∑i=1

Ii = 0 (2.10)

gdje je n broj grana spojenih u promatrano cvorište.Ako postoji neko cvorište u koje ulazi struja I , a iz tog cvorišta izlaze struje I1, I2

i I3, onda vrijedi:

I = I1 + I2 + I3

Prebace li sve struje na lijevu stranu gornje jednadžbe, dobiva se sljedeci izraz:

I − I1 − I2 − I3 = 0

S lijeva strane jednadžbe nalaze se (s razlicitim predznacima) sve struje iz pro-matranog cvorišta. Pozitivan predznak pritom imaju struje koje ulaze u cvorište, anegativan predznak koje iz cvorišta izlaze.

To vrijedi za bilo kako složeni elektricni krug u kojem možemo odabrati bilokoje cvorište s bilo kojim brojem grana. Kad se algebarski zbroje pojedine struje Ii

u svim granama promatranog cvorišta (ulazne s pozitivnim, a izlazne s negativnimpredznakom, ili obratno), rezultat mora biti nula.

Ovo je lako objasniti imajuci u vidu da elektricna struja pretstavlja protok nabojau vremenu. Koliko naboja ude u neku tocku, toliko mora iz nje i izaci.

Primjer: Za cvor na slici 2.6. po I. Kirchhoff -ovom zakonu vrijedi:

I1 + I2 + I3 = I4 + I5

I1 + I2 + I3 − I4 − I5 = 0

Ako je mjerenjem utvrdeno da su I1 = I2 = I3 = 2A, a I4 = 1A, onda se sigurnozna (nesigurni neka provjere :), da je I5 = 5A.

Ako je uz iste vrijednosti struja I1, I2 i I3 izmjereno I4 = 10A, znaci da je I5 = 4A,ali ovog puta suprotnog smjera (struja I5 utjece u cvorište).

39

2. ISTOSMJERNA STRUJA

I4I2

I1

I3I5

SLIKA 2.6: I Kirchhoff-ov zakon

2.6.2 II. KIRCHHOFF-OV ZAKON

Drugi Kirchhoff -ov zakon odnosi se na naponske prilike u mreži. Put po mrežikojim se iz bilo kojeg cvorišta, iduci po uvijek novim granama mreže, dode u istocvorište, zove se petlja.

Drugi Kirchhoff -ov zakon izrice da je zbroj napona u bilo kojoj petlji u elek-tricnoj mreži jednak nuli. Buduci da je napon u svakoj grani mreže razlika poten-cijala dvaju njezinih cvorišta, taj zakon primjenjuje poznati izraz (1.10) iz elektro-statike na prilike u elektricnoj mreži. Zakon se obicno formulira u sljedecem obliku:

n∑i=1

Ei =m∑

i=1Ii ·Ri (2.11)

gdje je:

n - broj elektricnih izvora u promatranoj petlji

m - broj otpora u ostalim granama iste petlje

Primjerice, ako se mreža sastoji od izvora napona E i dva serijski spojena otporana kojima postoje naponi V1 i V2, za obilazak petlje po II. Kirchhoff -ovom zakonuvrijedi:

E =V1 +V2 (2.12)

Prebace li se svi naponi na jednu stranu jednadžbe (2.12), dobiva se:

E −V1 −V2 = 0

S lijeve strane jednadžbe nalaze se (s razlicitim predznacima) svi naponi iz pro-matrane petlje, što potvrduje opci oblik da je algebarski zbroj napona uzduž (zatvo-rene) petlje elektricnog kruga jednak nuli, tj.

40

Elektricni otpor u strujnom krugu

n∑i=1

Ei −m∑

i=1Vi = 0

Ovo vrijedi za bilo kako složeni elektricni krug u kojem možemo odabrati bilokoju zatvorenu putanju (petlju) i obici je zbrajajuci algebarski pojedine napone Vi

svakog elektricnog elementa na tom putu. Rezultat uvijek mora biti nula.To je lako objasniti gleda li se napon kao razlika potencijala: iz koje god tocke

kruga zapoceli obilazak, na kraju se vratimo na istu tocku, a to znaci na isti poten-cijal.

2.7 ELEKTRICNI OTPOR U STRUJNOM KRUGU

U bilo kojem dijelu strujnog kruga dva otpornika mogu biti medusobno spojenana dva nacina: serijski ili paralelno. Kombinacijom tih nacina dobivaju se razlicitesložene sheme. Pri rješavanju odnosa u strujnim krugovima cesta je potreba da sespoj s više otpora zamijeni ili izrazi ekvivalentnim otporom. Sljedeci primjeri, osimrješavanja tog zadatka, pokazuju i tehniku rješavanja elektricnih mreža, koristeciOhm-ov zakon i Kirchhoff -ove zakone.

2.7.1 SERIJSKI SPOJ OTPORNIKA

Neka se spoje serijski dva otpornika u strujni krug, kao što prikazuje slika 2.7. Po IKirchhoff-ovom zakonu vrijedi da je struja kroz oba otpora ista (slika 2.7 a):

+ R1I1 + R2I2

V

−+I

a) dva serijski spojena otpornika

+ RSI

V

−+

b) ekvivalentan spoj

SLIKA 2.7: Serijski spoj otpornika

I1 = I2 = I (2.13)

a po II. Kirchhoff-ovom i Ohm-ovom zakonu da je:

V =V1 +V2 = I1 ·R1 + I2 ·R2 (2.14)

41

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Za ekvivalentni strujni krug (slika 2.7 b) u kojem pod djelovanjem istog naponatece ista struja I kao u a) slucaju, vrijedi:

V = I ·Rs (2.15)

Povežu li se sva tri izraza: (2.13), (2.14) i (2.15) dobiva se:

I ·Rs = I ·R1 + I ·R2

odnosno:

Rs = R1 +R2

Za više serijski spojenih otpora, razmatranje bi bilo analogno, pa se može za-kljuciti: ekvivalentni otpor serijski spojenih otpora jednak je njihovu zbroju:

Rs =n∑

i=1Ri (2.16)

Kroz serijski spojene elemente tece ista struja. Zbog toga se intrument za mjerenjestruje - ampermetar, uvijek spaja serijski. Opcenito, za serijski spoj raznih otpora izuvjeta jednakosti struja dobiva se omjer napona:

I = I1 = I2

V1

R1= V2

R2

iz cega proizlazi:

V1

V2= R1

R2(2.17)

Na serijskom spoju otpora napon se dijeli u omjeru velicina otpora.Ako se mijenjaju serijski spojeni otpori u strujnom krugu, zbroj napona na ot-

porima ne mijenja se i bit ce uvijek jednak ukupnom naponu izvora.Kod serijskog spoja n jednakih otpora, ukupni otpor je n puta veci od pojedinog

otpora. Prikljucak serijskog spoja otpora na izvor opterecuje izvor isto kao jedanotpor jednak ukupnom otporu tog serijskog spoja.

2.7.2 PARALELNI SPOJ OTPORA

Paralelno spojeni otpori imaju isti napon, jer imaju zajednicka cvorišta.Ako su u strujnom krugu paralelno spojeni otpori R1 i R2, naponi na njima V1 i

V2, bit ce jednaki

V1 =V2

42

Elektricni otpor u strujnom krugu

I

+R1

I1

+R2

I2

V+

a) dva paralelno spojena otpornika

I

+RpV

+

b) ekvivalentan spoj

SLIKA 2.8: Paralelni spoj otpornika

Nakon primjene Ohm-ovog zakona (2.9)slijedi:

I1 ·R1 = I2 ·R2

Iz ovoga proizlazi sljedeci odnos struja kroz paralelno spojene otpore:

I1

I2= R2

R1= G1

G2

gdje su G1 i G2 vodljivosti.Struja se dijeli na paralelne grane elektricnog kruga tako da se jakosti struja u

granama odnose obrnuto razmjerno otporima grana, a upravo razmjerno vodljivos-tima grana.

Ovo znaci da u paralelnom spoju otpora jaca struja tece kroz manji otpor.U krajnjem slucaju, ako bi u jednoj paralelnoj grani otpor bio jednak nuli, onda

bi sva struja paralelnog spoja tekla kroz kratki spoj.Ako se strujni krug sastoji od izvora napona V i dva paralelno spojena otpora R1

i R2, vrijedi Kirchhoff-ova jednadžba za struje (2.10):

I = I1 + I2

Dijeljenjem obje strane jednadžbe s naponom izvora dobiva se:

I1

V= I1

V+ I2

V

Omjer struje i napona jednak je reciprocnoj vrijednosti otpora ili elektricnojvodljivosti G .

Na desnoj strani jednadžbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok lijevastrana (omjer struje i napona izvora) pretstavlja ukupnu vodljivost kruga, što semože napisati kao:

Gp =G1 +G2

Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti paralel-nih grana.

43

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Za više paralelno spojenih otpora razmatranje bi bilo analogno, pa se može za-kljuciti: ekvivalentna vodljivost (vidi (2.4)) paralelno spojenih otpornika jednaka jezbroju njihovih pojedinacnih vodljivosti:

Gp =n∑

i=1Gi (2.18)

odnosno

1

Rp=

n∑i=1

1

Ri

ili:

1

Rp=

n∑i=1

(1

R1+ 1

R2+ . . .+ 1

Rn

)(2.19)

Na temelju ove jednadžbe (2.19), otpor dvaju paralelno spojenih otpora R1 i R2

iznosi:

Rp = R1 ·R2

R1 +R2

Iz jednadžbe za vodljivost (2.18) vidi se da povecanjem broja paralelno spojenihotpora raste ukupna vodljivost, tj. smanjuje se ukupni otpor spoja Rp .

Otpor paralelnog spoja n jednakih otpora R, n puta je manji od pojedinog ot-pora, tj.

Rp = R

n

2.8 ELEKTRICNA STRUJA U IONIZIRANOM PLINU

Dok je u metalnim vodicima struja moguca pod djelovanjem polja zahvaljujuciutvrdenom postojanju slobodnih elektrona, unaprijed nije sigurno ima li u plino-vima slobodnih naboja. Na prvi pogled nisu jasne okolnosti pod kojima struja nas-taje i održava se u plinu. Takoder je problematicno da li struja može teci u vakuumu(plinu pri tlaku 0) ili ne. Intenzivno eksperimentiranje strujom u plinu, vec od sre-dine 19. stoljeca, dovelo je do spoznaja koje se mogu sažeti u nekoliko tocaka:

1. Struja u plinu znaci naboj u gibanju, za što su neophodni dakako naboji ipolje. Polje se održava vanjskim izvorom prikljucenim na granice prostora splinom (elektrode).

2. Naboji mogu biti razlicitog porijekla. U prvom slucaju jedna od elektroda(katoda) žarenjem isijava elektrone u plin (katodne zrake), a druga elektroda(anoda) ih skuplja, a u drugom slucaju (hladna katoda), naboj se stvara ion-izacijom atoma plina pomocu stranog zracenja i/ili djelovanjem polja.

44

Elektricna struja u ioniziranom plinu

3. Na jakost struje u plinu, osim jakosti elektricnog polja utjece i vrsta korištenogplina (helij, neon, argon, živine i litijeve pare itd.) i njegov tlak. Plin vodistruju kod normalnog tlaka (oko 100kPa), pri razrijedenom plinu (izmedu100 i 1000Pa), te uz tehnicki vakuum (izmedu 1 i 100mPa). Idealni vakuumpredstavlja savršen izolator, koji to prestaje biti kada se u njega ubace naboji,na primjer, elektroni.

4. Povecanjem napona izmedu elektroda raste brzina slobodnih naboja u plinu.Oni sudarom s drugim cesticama plina generiraju nove slobodne ione i taj seucinak može razviti poput lavine.

Na slici 2.9 prikazana je (V , I ) karakteristika zraka za normalni tlak uz razmakelektroda od 1 mm. Pojedina su podrucja:

0 - A : vrijedi približno Ohmov zakon - povecanjem napona struja raste, premdaizuzetno male jakosti. Medu 27 · 1018 molekula po cm3 zraka postoji samo100 do 1000 ioniziranih.

A - B : podrucje zasicenja. Kineticka energija slobodnih elektrona tako je mala dase poništava prilikom sudara s molekulama plina, pa porastom napona neraste jakost struje. Proteže se na naponima od nekoliko volta do nekolikodesetaka volta.

B - C : udarna ionizacija. Povecanjem napona elektroni dobivaju dovoljnu energijuza ionizaciju plina, uslijed cega se broj nosilaca naboja (ioni i elektroni) po-vecava. U tocki C pojavljuje se tinjavi izboj - pojava svjetla izmedu katode ianode.

C - D : daljnjim povecanjem napona gustoca struje na katodi raste, svjetlosni uci-nak se pojacava i u tocki D dolazi do lucnog izboja. Za lucni izboj karakteris-ticne su velike gustoce struje (od 102 do 104 A/cm2 ) i smanjenje napona nasamo 15 do 55 V.

A B

C

D

V [V ]

I [A]

10 102 103

10−15

10−12

10−9

10−6

10−3

1

SLIKA 2.9: (V,I) karakteristika elektricne struje u zraku

45

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Premda pojedini slucaji struje u plinu imaju štetan karakter, kao na primjeriskrenje na kontaktima ili pojava korone na dalekovodima visokog napona, ipakelektricna struja u plinu ima brojne primjene: razlicite svijetlece cijevi (podrucjeC-D), zavarivanje (iznad tocke D), elektrofilter, elektrostatsko lakiranje i slicno.

2.9 ELEKTROKEMIJSKE POJAVE

Kad se u vodi ili nekom otapalu otope molekule soli, kiseline ili lužine, dolazi do di-jeljenja neutralnih molekula na pozitivno i negativno nabijene ione. Atomi vodika imetala predaju svoje valentne elektrone ostalom dijelu molekule koja tako postajenegativni ion. Urone li se elektrode u takvu otopinu (elektrolit) i na njih prikljuciistosmjerni napon dolazi do elektrolize. Pozitivna elektroda (anoda) privlaci nega-tivne ione, dok negativna elektroda (katoda) privlaci pozitivne ione. Gibanje iona -molekula i/ili dijelova molekule znaci prijenos tvari prema elektrodama, na kojimasu moguce i naknadne, sekundarne kemijske reakcije. Kao primjer može se pro-motriti proces elektrolize u vodenoj otopini srebrnog nitrata Ag NO3. Kao anodakoristi se srebrena plocica, a kao katoda neki metalni predmet, na primjer od bakra(slika 2.10).

Ag

V

−

+A

AgNO3

Cu

-K

Ag

SLIKA 2.10: Proces elektrolize

Ioni srebra koji su predali svoje valentne elektrone kiselinskom ostatku NO3

postaju pozitivni, pa se talože na bakrenoj katodi, dok se NO3 lako spaja sa sre-brom anode, dajuci opet AgNO3 u otopinu. Koncentracija soli AgNO3 ostaje tako

46

Elektrokemijske pojave

u otopini nepromijenjena i konacni rezultat je da se srebro s ploce, posredstvomelektrolita i elektricne struje, prenosi na katodu. To je jedan od brojnih postupakau galvanostegiji, gdje se na predmete zbog zaštite od korozije ili zbog estetskih ra-zloga elektricnim putem nanosi sloj metala.

2.9.1 FARADAY-EVI ZAKONI ELEKTROLIZE

Proucavajuci elektroliticke reakcije Faraday je uocio i formulirao dva zakona. Prviizrice da je kolicina izlucenih cestica materije na elektrodama ovisna o vrsti tvarikoja se izlucuje i kolicini protjecanog elektriciteta koji u elektrolizi djeluje. Ako sesa m oznaci masa izlucene tvari, a s Q kolicina elektriciteta, onda vrijedi:

m = a ·Q (2.20)

Faktor razmjernosti a naziva se elektrokemijski ekvivalent i razlikuje se za po-jedine tvari. To znaci da ce za istu kolicinu elektriciteta kolicina izlucene tvari zarazlicite tvari biti razlicita. Kako je Q = I · t , isti se izraz može napisati i kao:

m = a · I · t

Kolicina izlucene tvari na elektrodama razmjerna je ukupnoj kolicini elektricitetakoja je prošla kroz elektrolit. Pritom svaki ion u elektrolitu u sebi nosi odredenukolicinu naboja (koja je za razlicite tvari razlicita, a za iste ista).

Drugi Faraday-ev zakon opisuje elektrokemijski ekvivalent elementa s obziromna njegovu atomsku strukturu, te medusobne odnose elektrokemijskih ekvivale-nata razlicitih kemijskih elemenata.

Ako se s A oznaci atomska masa, a s v valencija, onda za dva kemijska elementavrijedi:

a1 : a2 = A1

v1:

A2

v2(2.21)

To znaci da se elektrokemijski ekvivalenti dvaju elemenata odnose kao njihoveekvivalentne mase (omjer atomske mase i valencije). Drugim rijecima: ioni ele-menata kojih je valencija dva, tri, cetiri, ... puta veca u odnosu na vodik, prenosedvostruku, trostruku, cetverostruku, ... kolicinu naboja.

Iz izraza (2.21) slijedi još jedan zanimljiv rezultat:

A1

a1 · v1= A2

a2 · v2= . . . = A

a · v=QF (2.22)

gdje je QF = 96,489106 As/kg (Faraday-eva konstanta).

Elektrokemijski ekvivalent nije neka empirijska konstanta razmjernosti, kako bise to iz izraza (2.20) moglo pomisliti, nego egzaktna velicina koja se za svaki ele-ment može unaprijed izracunati (a = A/QF · v). Tako se povezujuci oba izraza (I.

47

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Faraday-ev zakon (2.20) i II. Faraday-ev zakon (2.22)) za masu izlucene tvari kaorezultat elektrolize dobije:

m = A

v· 1

QF· I · t = 1

96,489106 · A

v·Q [kg ]

i time elektroliticki odnosi postaju potpuno odredeni.

2.9.2 PRIMARNI ELEMENTI

Do sada je bilo opisano ponašanje elektrolita pod djelovanjem elektricnog naponaprikljucenog na elektrode uronjene u elektrolit. Druga zanimljiva pojava vezana jeuz elektrolitsku polarizaciju koja se dogada kad se u elektrolit urone dvije elektroderazlicitog kemijskog sastava. Izmedu takvih dviju elektroda, bez vanjskog djelo-vanja, pojavit ce se napon. Iznos napona osim o kemijskom sastavu elektroda ovisitakoder i o elektrolitu. Tako su dobiveni prvi elektricni izvori, nazvani galvanskielementi. Na istim nacelima, uz stanovita poboljšanja u velicini napona i vijekutrajanja, ti elementi nalaze svoju široku primjenu gotovo vec dva stoljeca. (Prvi ele-ment konstruirao je A.Volta 1800. godine.) Ne ulazeci u kemijske promjene koje sepritom dogadaju vrijedno je napomenuti da se izmjenom kemijskog sastava (kakoelektroda tako i elektrolita) mijenja i potencijal pojedine elektrode. To se dogadacak i kad je elektroda uronjena u otopinu vlastitih iona. Buduci da se ne možemjeriti apsolutni potencijal jedne elektrode, vec samo razlika potencijala izmedudviju elektroda, dogovorno je utvrdeno da se svi potencijali usporeduju s poten-cijalom vodikove elektrode. Drugim rijecima, dogovorno je proglašen njezin po-tencijal jednakim nuli. Kemijski elementi poredani po velicini njihova potencijalaprema vodikovoj elektrodi tvore elektrokemijski naponski niz. U tablici 2.11 nave-deni su potencijali nekih elemenata s obzirom na vodikovu elektrodu u elektrolit-skoj otopini vodikovih iona.

Spoji li se galvanski element kao izvor napona u zatvoreni strujni krug, on ce,ovisno o trošilu i naponu izmedu svojih elektroda, davati elektricnu struju.

TABLICA 2.2: Elektrokemijski naponski niz

Elektroda Potencijal [V]

Li -3,02

K -2,92

Ca -2,87

Mn -1,05

48

Elektrokemijske pojave

Elektroda Potencijal [V]

Zn -0,76

Pb -0,13

Cu +0,52

Ag +0,79

Ona ce dakako, osim u vanjskom krugu, teci i u samom izvoru: od katode prekoelektrolita do anode. Pritom ce se zbog elektrokemijskih procesa neutralizacijeiona elektrolita s molekulama elektroda dogadati promjene u kemijskom sastavuelektroda, što ce smanjivati prvotni napon izmedu njh.

Na primjer, ako se na anodi Voltina elementa Cu/H2SO4/Zn (prva elektroda-/elektrolit/druga elektroda) vodik razvija brže nego što se može ukloniti, dobiva senovi element H2/H2SO4/Zn kojem je napon izmedu elektroda puno manji nego pr-votnom. To smanjenje napona zbog promjena na elektrodama zove se polarizacija.

Taj nepoželjni efekt nastojali su mnogi znanstvenici u prošlom stoljecu (Daniel,Meidinger, Bunsen, Leclanché) poništiti korištenjem takozvanih depolarizatora. De-polarizatori služe da bi se najcešce oksidacijom uklonio vodik s pozitivnog pola. ULeclanché-ovom elementu (slika 2.11) iz kojeg se razvio najveci broj današnjih ba-terija (slika 2.12) kao depolarizator služi MnO2 kojim je obložena ugljikova anoda.

MnO2

CZn

+ -

NH4Cl

SLIKA 2.11: Leclanché-ov element

Takve baterije koriste cinkovu limenu posudu kao negativnu elektrodu, dok jeugljeni štapic pozitivna elektroda obložena praškastim manganovim superoksidom.Napon jednog elementa je 1,5 V, a serijskim spojem takvih elemenata dobivene suplosnate baterije od 4,5 V, cetvrtaste od 9 V i sl.

Spomenuta izvedba pripada baterijama s tekucim elektrolitom koji je pogod-nim dodacima zgusnut (suhe baterije). U klasu suhih baterija ubrajaju se i živinebaterije (održavaju razmjerno konstantan napon do potpunog iskorištenja), sre-brno-kloridne (nizak napon i dug vijek trajanja), vanadijeve i druge.

Danas su sve više u uporabi živine (živin oksid - cink), srebrene (srebrni oksid -cink), magnezijeve i litijeve baterije, koje se odlikuju stabilnim naponom (od 1,3V

49

2. ISTOSMJERNA STRUJA

MnO2

C

+

-Zn

SLIKA 2.12: Element baterije

do 3V), širokim podrucjem radnih temperatura, mehanickom cvrstocom i dugimvijekom skladištenja.

Postoje i baterije s krutim elektrolitom (malih dimenzija i naponom vrlo dugavijeka, cak do 20 godina), zatim baterije koje se aktiviraju tekucinom (nalivne ba-terije), plinom ili grijanjem (termalne baterije). Sve one uglavnom služe za posebne(vojne) svrhe.

Regeneracija, obnova primarnih elemenata nije moguca, pa su istrošene bater-ije neupotrebljive. Zahtjev za regeneracijom ostvaruje se kod akumulatora.

2.9.3 SEKUNDARNI ELEMENTI

Osnovno svojstvo akumulatora kao elektricnog izvora u kojem se kemijska energijapretvara u elektricnu je njegova mogucnost regeneracije. S obzirom da se radi oreverzibilnom kemijskom procesu, regeneracija se ostvaruje strujom iz stranog elek-tricnog izvora koji se na elektrode akumulatora prikljucuje tako da struja u elek-trolitu tece u suprotnom smjeru od onog kojim je tekla kad je akumulator davaostruju prikljucenom trošilu ostvarujuci suprotni kemijski proces. Prvi olovni aku-mulator nacinio je G. Plant’e 1859. godine. Iako danas postoji više razlicitih vrstaakumulatora, osnovna nacela izvedbe i rada u nastavku se prikazuju na olovnomakumulatoru. Napon jedne celije olovnog akumulatora je oko 2 V, i obicno se 6 ili12 celija povezuje serijski, pa daju ukupni napon od 12 V, odnosno 24 V.

Jednu celiju akumulatora prikazuje slika 2.13. Elektrolit je razrijedena sumpornakiselina, anoda je olovni superoksid, a katoda cisto olovo. Prikljuci li se trošilo nastezaljke napunjenog akumulatora, poteci ce struja, koja ce u elektrolitu potaknutisljedecu kemijsku reakciju:

PbO+2 +Pb−+2H2SO4 → PbSO+

4 +PbSO−4 +2H2O (2.23)

50

Elektrokemijske pojave

+,A

PbO2

I

trošilo

−,K

Pb

H2SO4

SLIKA 2.13: Olovni akumulator

To znaci da se obje elektrode postupno kemijski izjednacuju i pretvaraju u olovnisulfat, što ce dakako smanjivati njihovu medusobnu razliku potencijala. Iz kemi-jske reakcije (2.23) vidljivo je još nešto: u elektrolitu se kiselina sve više razrjedujevodom, pa nam uz naponske promjene i gustoca kiseline može poslužiti kao kazaloda li je akumulator pun ili prazan. Posebno izgradeni areometri za mjerenje gus-toce kiseline koriste se za takva mjerenja. Kad napon akumulatora padne ispod90% nazivnog, potrebno je akumulator "napuniti". Izvor istosmjerne struje za re-generaciju akumulatora treba sada spojiti tako da na anodu dode ’+’ pol, a na ka-todu ’-’ pol izvora. To ce rezultirati odvijanjem suprotnog kemijskog procesa:

PbSO+4 +PbSO−

4 +2H2O → PbO+2 +Pb−+2H2SO4 (2.24)

Za vrijeme punjenja, dakle, elektrode i elektrolit vracaju se po svom kemijskomsastavu u prvotno stanje, koje osigurava i prvotne naponske prilike (usporeditekemijske jednadžbe (2.23) i (2.24)).

Postoje još tri pojma koja je korisno poznavati u radu s akumulatorima: ka-pacitet akumulatora, dobrota i korisnost.

Kapacitet akumulatora je umnožak struje i vremena u kojem tu struju akumu-lator može davati. Oznacen je na izvedenim akumulatorima za nazivnu struju,što znaci da se akumulator kapaciteta 90 Ah i nazivne struje 10 A, može njomeopteretiti 9 sati.

Kapacitet ipak nije konstanta akumulatora nego ovisi o uvjetima eksploatacije.Za struje manje od nazivnih, za intermitirajuci pogon, te pri višim temperaturamakapacitet je veci. Za gornji primjer: strujom od 15 A isti akumulator ne bismo mogliopteretiti 6 sati, nego manje. Omjer

ζ= Ahpr ažn j en j a

Ahpun j en j a

51

2. ISTOSMJERNA STRUJA

zove se dobrota akumulatora. Punjenje ce trebati više ampersati nego što sedobiva pri pražnjenju, pa je kod olovnih akumulatora dobrota oko 0,95.

S obzirom da se prilikom punjenja privodi viši napon na stezaljke akumulatoranego što je napon pražnjenja, energetski omjer koji se zove korisnost

η= ζ · Vpr ažn j en j a

Vpun j en j a= W hpr ažn j en j a

W hpun j en j a

bit ce manji od ζ, te za olovne akumulatore iznosi oko 0,80. Osim olovnih pos-toje i ’alkalijski’ željezno-nikaljni (otporni na elektricne i mehanicke udarce), ni-kaljno-kadmijevi (najveca brzina punjenja), srebreno-cincani (mala težina i volu-men) i drugi akumulatori.

2.10 JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG

Elektricni strujni krug nastaje povezivanjem elektricnog izvora s trošilom. Vodljivaveza izvora s trošilom u elektroenergetici se naziva vod. Trošilo ce primljenu en-ergiju izvora u nacelu pretvarati u koristan rad. Jednostavni strujni krug sastoji sedakle od tri osnovna dijela: elektricnog izvora, trošila i dvožicnog voda (slika 2.14).

U elektricnom se izvoru djelovanjem neelektricne sile razdvajaju raznoimeninaboji i povecava njihova potencijalna energija. To rezultira naponom na polovima(stezaljkama) izvora ciji se najveci moguci iznos zove elektromotorna sila izvora inajcešce se oznacuje s E ili E MS.

I

+RTE

+

a) bez instrumenata

IA

+RT VE

+

b) s mjernim instrumentima

SLIKA 2.14: Jednostavni strujni krug

Ako se negativnoj stezaljki izvora pridjeli referentni potencijal iznosa 0, najvecipotencijal bit ce na pozitivnom (’+’) polu, a onda ce u smjeru struje potencijal opa-dati.

Iz elektrostatike je poznato (poglavlje 1, izraz 1.11) da gibanje naboja u prostoruu kojem se elektricni potencijal tog naboja mijenja predstavlja rad (W =Q ·V ). Nekase pretpostavi da su svi otpori strujnog kruga izraženi otporom R. Dakako, na njemuvrijedi Ohm-ov zakon: struja ce uz isti napon biti manja ako je otpor veci, i obratno.

52

Jednostavni strujni krug

Opcenito, u prirodi postoje dva temeljna zakona: zakon o ocuvanju energije izakon o ocuvanju materije (moglo bi se u nacelu govoriti o istom zakonu). Prvizakon izrice da je energija u izoliranom sustavu (nezavisnom od svoje okolice) uvi-jek konstantna. To znaci da je u idealnom slucaju energija koju daje izvor jednakaenergiji koja se dobiva u trošilu:

E ·Qi =VT ·QT (2.25)

Prema drugom zakonu kolicina je naboja (materije) u izoliranom sustavu takoderkonstantna, a to znaci da je kolicina naboja koja iz izvora ode jednaka kolicininaboja koja kroz trošilo prode i natrag se u izvor vrati (Qi = QT ). Buduci da naotporu trošila vrijedi Ohm-ov zakon (VT = I ·RT ), gornji izraz (2.25) sad izgleda:

E = I ·RT

Iz dobivenog rezultata može se zakljuciti sljedece:

1. Napon VT na R (tzv. pad napona na trošilu), jednak je elektromotornoj siliizvora:

E =VT

2. Struja koja u jednostavnom strujnom krugu tece ovisi o naponu izvora i ot-poru kruga:

I = E

RT(2.26)

3. Jakost struje jednaka je u svakom dijelu jednostavnog strujnog kruga, samoje smjer s obzirom na stezaljke u izvoru od ’-’ prema ’+’ polu, a kroz vanjskistrujni krug od ’+’ pola prema ’-’ polu.

Svi navedeni zakljucci mogu se provjeriti spajanjem mjernih instrumenata (slika2.14 b).

Jakost struje mjeri se ampermetrom. Ampermetar se u strujni krug prikljucujeserijski (prekidom vodica i spajanjem instrumenta na prekinute prikljucke). Da bišto manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što manji.

Iznos napona mjeri se voltmetrom. Voltmetar mjeri razliku potencijala izmedudviju tocaka. Zato se prikljucuje paralelno izvoru ili trošilu ciji napon želimo mjer-iti. Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor štoveci. Veliki otpor instrumenta paralelno spojenog manjem otporu trošila ne mi-jenja znacajno ukupni otpor paralelnog spoja.

U realnom strujnom krugu pojave su nešto složenije u odnosu na opisani. Prijesvega elektricni izvor ima svoje gubitke, pa dovedena energija (mehanicka, kemi-jska, magnetska i sl.) nije jednaka odvedenoj elektricnoj energiji. Nadalje, realniizvor nema na svojim stezaljkama isti napon kad mu se prikljuci trošilo i kad jeneopterecen. Realno ponašanje takva izvora može se prikazati dijagramom kao naslici 2.15.

Da bi se takvo ponašanje uzelo u obzir, pretpostavlja se da u svakom realnomizvoru postoji stanoviti otpor Ru na kojem dolazi do pada napona, pa se u slucaju

53

2. ISTOSMJERNA STRUJA

I

V

SLIKA 2.15: Vanjska karakteristika realnog izvora napona

prikljucenog trošila na vanjskim stezaljkama izvora pojavljuje napon jednak elek-tromotornoj sili umanjenoj za taj pad napona. Zato se u realnom izvoru uz simbolelektromotorne sile E crta i otpor Ru , koji se zove unutarnji ili nutarnji otpor izvora(slika 2.16).

Nadalje, vod ima svoj elektricni otpor (oznacuje se najcešce s Rv ), koji trebauzeti u obzir, ako nije zanemariv prema otporu trošila.

U novim okolnostima struja I više nece zadovoljavati izraz (2.26) vec ce bitimanja (zbog dodanih otpora izvora i otpora voda). Zbog manje struje je i naponna trošilu VT takoder manji od napona izvora E .

12 RV

12 RV

I

+RT

E++

Ru

SLIKA 2.16: Realni jednostavni strujni krug

Dakako, u praksi se ni trošilu dovedena elektricna energija ne pretvara potpunou koristan rad. Sve tehnicke tvorevine rade s nekim stupnjem iskorištenja, tj. ko-risni, dobiveni ucinak manji je od uložene energije.

2.11 SLOŽENI STRUJNI KRUG

Zadatak rješavanja elektricne mreže je potpuno odrediti struje u svim granama (povelicini i smjeru) i razlike potencijala izmedu cvorova. Svaki elektricni element (ot-pornik, kondenzator, izvor,. . . ) predocen je u elektrickoj mreži s vlastitom granom

54

Složeni strujni krug

i to obicno sa svojim simbolom, oznakom i iznosom fizikalne velicine koju pred-stavlja. Za rješavanje elektricne mreže razvijene su brojne metode (metoda naponacvorova, metoda konturnih struja, metoda superpozicije, razlicite transfiguracije islicno), te izvedeni brojni teoremi koji pomažu u analizi elektricnih mreža (Theve-nen-ov teorem, Norton-ov teorem, Millman-ov teorem i drugi). Treba naglasiti dasve metode i teoremi samo doprinose brzini i lakoci rješavanja naponsko-strujnihprilika u mreži, a da se temelji rješavanja uvijek nalaze u Ohm-ovu zakonu i Kirch-hoff -ovim zakonima.

U postupku rješvanja mreže treba najprije utvrditi što je zadano, a koje se nepoz-nanice traže, te postaviti primjenom I. i II. Kirchhoff-ova zakona, toliko nezavisnihjednadžbi koliko ima nepoznanica. Primjena I. Kirchoff-ova zakona na cvorove,razmjerno je jednostavna, ako se na pocetku definiraju smjerovi struja po granama.U primjeni II. Kirchhoff-ova zakona treba biti pozorniji jer treba posebno voditiracuna o strujama koje teku kroz iste grane koje pripadajaju razlicitim petljama.

Tako na primjer za izdvojenu petlju u nekoj složenoj mreži, kao na slici 2.17 dabi se primijenio II. Kirchhoff-ov zakon potrebno je:

1. Definirati smjer obilaženja petlje. Po volji možemo odabrati u smjeru (kao naslici, crtkano) ili suprotno od smjera kazaljke na satu.

2. Uociti smjer djelovanja izvora elektromotorne sile. Smjer je onaj koji se do-biva kretanjem kroz izvor od negativne prema pozitivnoj stezaljki.

3. Po volji odabrati smjerove struja u pojedinoj grani.

4. Primijeniti II. Kirchhoff-ov zakon.

I3

I2

I1

R2

R1

R3

E2

E1

SLIKA 2.17: Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji elektricne mreže

Ako se smjer djelovanja E MS podudara sa smjerom obilaženja, onda se ta E MSu jednadžbi uzima s pozitivnim predznakom. Ako se smjer struje I kroz otpornikR podudara sa smjerom obilaženja, onda se pad napona I ·R uzima s pozitivnimpredznakom. Za shemu na slici 2.17 vrijedi:

E1 −E2 = I1R1 − I2R2 + I3R3

55

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Na koncu treba osmisliti predznake dobivenih rezultata. Naime, ukoliko je nu-mericki rezultat za pojedinu struju negativan, znaci da joj je stvaran smjer suprotanpretpostavljenom.

Primjer: Na slici 2.18 prikazan je jedan složen strujni krug:

R2

I2

+E2

I

+R3

E1+

R1

I1

SLIKA 2.18: Složeni strujni krug

Zadane su vrijednosti otpora R1, R2 i R, te naponskih izvora E1 i E2. Trebaizracunati struje po granama.

Prvo se ucrtaju i oznace struje po granama (proizvoljnog smjera). Zatim trebapostaviti 3 nezavisne jednadžbe (3 nepoznanice) koristeci Kirchhoff-ove zakone.Iako postoje 2 cvora, I. Kirchhoff-ov zakon primjenjuje se na samo jednom, jer je zadrugi cvor jednadžba ista. Od 3 moguce petlje za primjenu II. Kirchhoff-ova zakonajedna je zavisna, dakle treba postaviit jednadžbe za dvije petlje.

Vodeci racuna o prethodnom naputku mogu se napisati tri jednadžbe:

I1 + I2 − I = 0

I1R1 − I2R2 = E1 −E2

I2R2 + I R = E2

Jednadžbe su napisane tako da se uoci mogucnost matricnog rješavanja. Tejednadžbe za poznate vrijednosti otpora R, R1 i R2, te naponskih izvora E1 i E2,daju rješenja za struje I , I1 i I2.

2.12 REALNI NAPONSKI IZVORI

Kako je vec opisano, realni naponski izvor predocuje se (slika 2.19) serijskim spo-jem idealnog naponskog izvora elektromotorne sile E i nutarnjeg otpora Ru.

56

Realni naponski izvori

IZVOR

RT

E

Ru

SLIKA 2.19: Realni naponski izvor

Prikljuci li se na izvor trošilo otpora RT , strujnim krugom ce poteci struja I cijajakost iznosi (uz zanemarenje otpora voda, tj. uz pretpostavku Rv = 0):

I = E

Ru +RT(2.27)

(Ekvivalentna pretpostavka bila bi da su svi otpori izvan izvora obuhvaceni s RT ).Odavde je:

E = I ·Ru + I ·RT (2.28)

Napon V (V = I ·RT ) koji se može mjeriti na stezaljkama izvora je prema gorn-jem izrazu (2.28) jednak:

V = E − I ·Ru (2.29)

dakle, napon idealnog izvora elektromotorne sile E umanjen za pad napona nanutarnjem otporu.

2.12.1 VANJSKA KARAKTERISTIKA REALNIH IZVORA

Izraz (2.29) vrlo je znacajan i u obliku V = f (I ). Njegov graficki prikaz vec je danslikom 2.15, a ovdje se daje detaljnija analiza. Prva važna tocka vanjske karakter-istike nalazi se pri I = 0, dakle otvorenom strujnom krugu (što odgovaa slucajuRT =∞. Iz (2.29) slijedi da je napon na stezaljkama V jednak E . Takvo stanje krugai izvora naziva se prazni hod. U grafickom prikazu tocka praznog hoda je na osi Vu vrijednosti E .

Druga ekstremna tocka vanjske karakteristike nastupa za RT = 0 i naziva sekratki spoj izvora, jer se postiže kad se stezaljke izvora spoje bez otpora.

Ako je RT = 0, iz izraza (2.27) slijedi

I = E

Ru= Ik

57

2. ISTOSMJERNA STRUJA

koja se naziva struja kratkog spoja.Struja Ik redovito je mnogo puta veca od nazivne, pa je kratki spoj izvora nepožel-

jan za izvor i vodice, jer ih može oštetiti. U grafickom prikazu tocka kratkog spojaje na sjecištu karakteristike s osi I u vrijednosti Ik . Graficki prikaz vanjske karakter-istike daje slika 2.15. Vrijedi uociti kako je izraz (2.29) linearna funkcija V = f (I ):

V =−Ru I +E

što graficki predstavlja pravac s odsjeckom E na ordinati i nagibom −Ru .Karakteristika jasno predocuje da povecanjem struje iz izvora I opada napon

stezaljki V . Primjerice, za radnu tocku P pri struji I , napon na stezaljkama izvoraje V , a pad napona na nutarnjem otporu I ·Ru . Zbroj napona V i pada napona nanutarnjem otporu uvijek mora biti jednako E . Strmina vanjske karakteristike ovisio kutu β ciji je tangens jednak Ru .

E E

IK

R ′T > RT

RT

β

α

I [A]

V [V ]

II ′

P ′V ′

PV

E E

IKI ′K

RT

ββ′

α

I [A]

V [V ]

I

PV

I ′

P ′V ′

SLIKA 2.20: Vanjska karakteristika realnih izvora

U isti koordinatni sustav V − I može se ucrtati i V − I karakteristika otpora RT

(V = RT · I ). Otpor RT jednak je tangensu kuta α. Radna tocka P (par vrijednostiV , I ) bit ce u sjecištu karakteristika. Lako se prate promjene: kad raste RT povecavase kut α, kad raste Ru povecava se kut β. Kad se mijenja E , vanjska karakteristikapomice se paralelno samoj sebi.

U idealnom naponskom izvoru, u kojem bi bio Ru = 0 vanjska karakteristika biobi horizontalan pravac u tocki E (β= 0), pa bi napon V bio stalan za sva opterecenja(V = E), a struja kratkog spoja bila bi Ik =∞.

2.12.2 SPOJEVI ELEKTRICNIH IZVORA

U slucaju da jedan izvor nema dovoljan napon ili ne može dati dovoljnu strujutrošilu, koriste se razliciti spojevi više elektricnih izvora.

58

Realni naponski izvori

Serijski spoj dvaju ili više izvora ostvaruje se nizom izvora tako da stezaljkujednog izvora spojimo sa stezaljkom drugog, pa slobodne stezaljke krajnjih izvorapostaju stezaljke novodobivenog izvora. Kod ovakvog spajanja imamo dakako dvijemogucnosti, što je za dva izvora prikazano na slici 2.21.

A +E1 Ru1 +

E2 Ru2 B

A +E1 Ru1

E2

+ Ru2 B

SLIKA 2.21: Serijski spoj realnih elektricnih izvora

U prvom slucaju (slika 2.21 a) ukupni napon E AB = E1 +E2, a u drugom, tzv.protuspoju (slika 2.21 b) E AB = E1 −E2. Spoji li se novi izvor u strujni krug, kroznjega ce poteci ista struja kao kroz prikljuceno trošilo. Stoga treba voditi racuna onazivnim (pretpostavljenim) strujama pojedinih izvora od kojih je novi izvor sas-tavljen, te spoj izvora koristiti samo za takva trošila koja nece uzimati struju vecuod najmanje pojedinacne nazivne struje. Poopcenje na više serijski spojenih izvoraanalogno je prije opisanom spoju. Ukupni napon E bit ce jednak zbroju napona po-jedinacnih izvora uz odgovarajuci polaritet (negativan za protuspoj), a struja krozsvaki izvor bit ce ista:

E =n∑

i=1Ei I1 = I2 = . . . = I

Novodobiveni izvor ima ekvivalentan nutarnji otpor Ru =∑ni=1 Rui .

Ako se trošilo otpora RT prikljuci u krug s više serijski spojenih izvora, onda cestruja I teci kroz otpor i sve izvore u iznosu:

I = E1 +E2 + . . .+En

R1 +R2 + . . .+Rn +RT(2.30)

s odgovarajucim predznakom elektromotorne sile svakog pojedinacnog izvora.Spojimo li izvore jednakih elektromotornih sila E i nutarnjeg otpora Ru gornja

jednadžba (2.30) postaje:

I = n ·E

n ·Ru +RT

Kod paralelnog spoja dvaju izvora imamo takoder dvije mogucnosti, kako jeprikazano slikom 2.22.

Iz prakticnih se razloga nikad ne koristi protuspoj (slika 2.22 b)), osim pogreškom,jer donosi nepotreban gubitak energije.

59

2. ISTOSMJERNA STRUJA

A

+E1 Ru1 +

+E2 Ru2 +

BI

A

+E1

+ Ru1

E2

+ Ru2 +

BI

+E1 Ru1 +

+Ru2E2

+

RT+I

SLIKA 2.22: Paralelni spoj realnih naponskih izvora

Izvor ce u praznom hodu za slucaj na slici 2.22 a) na svojim stezaljkama imatinapon E jednak:

E AB = E1 − I ·Ru1

pa kako je:

I = E1 −E2

Ru1 +Ru2

slijedi:

E AB = E1 − (E1 −E2) ·Ru1

Ru1 +Ru2(2.31)

Ako su E1 i E2 jednaki, iz izraza (2.31) slijedi E AB = E1 = E2, što se u nacelu odtakva izvora i traži. Ako naponi nisu jednaki, onda u samim izvorima tece stalnastruja, koja može biti i veca od nominalne pojedinog izvora, pa tako uništiti samizvor.

Razlog uporabe paralelnog spoja dvaju ili više izvora je u struji koju taj izvormože dati trošilu. S obzirom da se radi o dvije ili više grana spojenih u jednu tocku,po I. Kirchhoff-ovu zakonu slijedi da ce takav izvor dati ukupnu struju jednakuzbroju svih struja pojedinih grana u toj tocki (slika 2.22 c). Treba uociti da na jakoststruje pojedine grane u slucaju istih elektromotornih sila presudnu ulogu ima nu-tarnji otpor pojedinog izvora.

Paralelni spoj izvora omogucuje dakle, uz isti napon, vecu struju za trošilo:

60

Mjerenje struje, napona i otpora

E =n∑

i=1Ii E1 = E2 = . . . = E

Pri paralelnom spajanju n jednakih izvora, jednake elektromotorne sile E i jed-nakih nutarnjih otpora Ru struja kroz trošilo bit ce jednaka:

I = ERu

n+RT

2.13 MJERENJE STRUJE, NAPONA I OTPORA

Mjerni se instrumenti spajaju u strujni krug radi mjerenja željenih velicina: struje,napona, otpora, snage. Spajanje bilo kojeg realnog instrumenta (ima konacni ot-por) u strujni krug mijenja prilike u krugu. Tako ce ampermetar sa svojim otporomRi A utjecati da se, na primjer, struja u jednostavnom strujnom krugu (slika 2.23 a)smanji, jer se ukupni otpor zbog instrumenta povecava (serijski spoj otpornika).

IA

+Ri A

+RT

E++

Ru

I

+RT

I − Ii

V RiV

E++

Ru

SLIKA 2.23: Pojedinacno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu

Dakako, pritom ce na ampermetru postojati pad napona (I ·Ri A), pa ce i naponna trošilu biti manji s obzirom na prilike bez ampermetra. To je identicno razma-tranju da je uz manji I i pad napona na trošilu (I ·RT ) takoder manji. Zato se zahti-jeva da otpor ampermetra bude što manji (idealno: jednak nuli) u odnosu na otportrošila.

Slicno razmatranje vrijedi i za voltmetar (slika 2.23 b), za koji se s obzirom nanjegovo paralelno spajanje traži da otpor bude jako velik (idealno: beskonacan).Samo beskonacno velik otpor spojen paralelno trošilu ne mijenja prilike.

Ukoliko se mjerenja više elektricnih velicina izvode istodobno, potrebno je prim-ijeniti takve nacine spajanja, pri kojima se pogreške zbog instrumenata mogu zane-mariti. Ako je pogreška ipak prevelika, onda je potrebna analiticka korekcija. Od-abir ispravnog spoja ovisi o zahtjevu koji se na mjerenje postavlja.

Neka se ampermetar i voltmetar spoje u strujni krug kao na slici 2.24. Prvi nacinspajanja (slika 2.24 a) koristi se za mjerenje napona izvora i struje koja tece kroz

61

2. ISTOSMJERNA STRUJA

trošilo. (Struja kroz trošilo jednaka je struji izvora umanjenoj za iznos struje kojatece kroz voltmetar).

I

V

+RiV

A+

Ri A

+RT

E+

+Ru

a) struje trošila i napona izvora

A

Ri A

V

+RiV

+RT

E+

+Ru

b) struje izvora i napona trošila

SLIKA 2.24: Istodobno mjerenje

Ovim se spojem ne bi mogao tocno mjeriti napon na trošilu, jer voltmetar isto-dobno mjeri i pad napona na trošilu i pad napona na ampermetru. Zato se zamjerenje napona na trošilu koristi spoj prikazan na slici 2.24 b). U tom pak slucajuampermetar mjeri struju koju daje izvor, a koja (zbog konacnog otpora voltmetra)ne tece citava kroz trošilo.

Za mjerenje otpora najcešce se koriste tri nacina: V/I metoda, ommetar i Wheat-stone-ov most. Prvi nacin, temeljen na Ohm-ovu zakonu, sasvim je jednostavan:nepoznati otpor jednak je kvocijentu izmjerenog napona i struje.

2.13.1 MJERNI INSTRUMENTI: VOLTMETAR, AMPERMETAR, OMMETAR

Postoje razlicite izvedbe mjernih instrumenata, temeljene na razlicitim fizikalnimefektima, a ovdje se prikazuje samo izvedba vrlo poznatog i cesto korištenog instru-menta s pomicnim svitkom i permanentnim magnetom.

Ako kroz svitak smješten unutar polova permanentnog magneta (kao na slici2.25) prolazi struja, na svitak djeluje moment (u poglavlju o magnetizmu bit ceto objašnjeno) koji uzrokuje otklon kazaljke instrumenta. Veca jakost struje dajeveci moment, a veci moment veci otklon. Protumoment djelovanju elektricnogmomenta ostvaruje se s pomocu spiralne mehanicke opruge. Ovakvi instrumenti,dakle, mjerila su jakosti istosmjerne struje (ampermetar). Medutim, posredno ihkoristimo i za mjerenje napona (voltmetar) i za mjerenje otpora (ommetar).

Uz otpor instrumenta Ri A (to je otpor žice svitka), još je važno poznavati jakoststruje Ii kod koje kazaljka pokazuje puni otklon. Ako je na primjer otpor instru-menta Ri A = 50Ω , a Ii = 2 mA, to znaci da instrument može mjeriti struju do 2 mA,a napon do Vi = Ri A · Ii = 0,1 V.

62

Mjerenje struje, napona i otpora

Kako mjeriti vece napone i struje? Proširenje mjernog podrucja instrumenta ost-varuje se prikladnim dodavanjem otpornika. Za mjerenje viših napona otporniketreba spajati serijski sa Ri v , a za mjerenje vecih struja - paralelno.

01 2 3 4 5

6

N S

SLIKA 2.25: Instrument s pomicnim svitkom i permanentnim magnetom

Slika 2.26 prikazuje proširenje mjernog podrucja voltmetra dodavanjem seri-jskog otpora Rs .

Napon koji voltmetar mjeri pri punom otklonu je:

V = Ii · (Ri v +Rs ) (2.32)

Potrebno je, dakle, prema izrazu 2.32, otpornik Rs dimenzionirati kao:

Rs = V − Ii ·Ri v

Ii= V −Vi

Ii(2.33)

VOLTMETAR

+

Ii

V+

RiV

+ RS

−

SLIKA 2.26: Proširenje mjernog podrucja voltmetra

Iz izraza (2.33) uz V ÀVi (V puno vece od Vi ) slijedi:

63

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Rs∼= V

Ii

Za mjerenje vecih struja od Ii (proširenje mjernog podrucja ampermetra) svitkutreba paralelno spojiti otpornik Rp (slika 2.27), koji se naziva shunt (citaj: šent), pavrijedi:

(I − Ii ) ·Rp = Ii ·Ri A

odnosno:

Rp = Ii ·Ri A

I − Ii= Vi

I − Ii(2.34)

Uz I À Ii gornji izraz (2.34) postaje:

Rp∼= Vi

I

Dok je kod mjerenja napona V bilo nužno da otpornik Rs ima vecu vrijednostod Ri v približno onoliko puta koliko puta je V vece od Vi , kako bi na sebe preuzeoveci dio mjerenog napona,

AMPERMETAR

+

I

I − Ii

+RP

A

Ri AIi

−

SLIKA 2.27: Proširenje mjernog podrucja ampermetra

kod mjerenja struje (paralelnog spoja) Rp je toliko puta manji od Ri A koliko jepribližno željena struja I puta veca od struje instrumenta Ii (Rp /Ri A ≈ Ii /I ).

Ampermetar se može upotrijebiti i za mjerenje elektricnih otpora, uz stanoviteprilagodbe, kako je to prikazano na slici 2.28, cime se dobiva ommetar. Prikljucili se na stezaljke A i B otpornik nepoznatog otpora Rx struja koju ce ampermetarpokazivati bit ce odredena izrazom:

I = E

Ru +Ri A +Rr eg +Rx

64

Mjerenje struje, napona i otpora

a nepoznata vrijednost otpornika Rx je:

Rx = E

I− (Ru +Ri A +Rr eg )

A + Rx B

+Rr eg

+Ru

+

A

+Ri A

I

SLIKA 2.28: Nadomjesna shema ommmetra

Struja ima najvecu vrijednost (kazaljka pokazuje maksimalni otklon), kad sustezaljke ommetra AB kratko spojene (Rx = 0). Za prekid izmedu stezaljki (Rx =∞)struja u strujnom krugu ne tece, pa je otklon kazaljke nula. Za vrijednosti otporaRx izmedu tih krajnjih vrijednosti i otklon kazaljke bit ce odgovarajuci. To znacida je skala ommetra oznacena tako da za otklon pri struji 0 ima oznaku ∞Ω, a zastruju punog otklona oznaku Ω0. Izmedu tih dviju oznaka raspodijeljene su ostalevrijednosti (slika 2.13.1).

Ω∞

1000100 20 10 5 3 2 1

0

SLIKA 2.29: Skala ommetra

Umjeravanje (baždarenje) ommetra prije svakog mjerenja izvodi se tako da sestezaljke AB kratko spoje, a sa Rr eg namjesti se otklon kazaljke na oznaku 0 (RAB =0). Takvim nacinom eliminira se utjecaj promjene napona izvora na mjerni rezultat(npr. zbog starenja baterije).

2.14 RAD I SNAGA ISTOSMJERNE STRUJE65

2. ISTOSMJERNA STRUJA

O energiji naboja u gibanju vec je bilo govora u elektrostatici (poglavlje 1.) i jednos-tavnom strujnom krugu (potpoglavlje 2.10). S obzirom da je struja naboj koji se uvremenu giba (Q = I ·), izraz za rad tj. energiju naboja: W =Q ·V može se pisati kao:

W =V · I · t [J ] (2.35)

Jedinica za rad je J (joul). Izražena pomocu osnovnih jedinica velicina s desnestrane izraza (2.35) ona je jednaka. V As (volt - amper- sekunda) ili W s (vatsekunda).

Primjenjen na otpor R uz korištenje Ohm-ovog zakona, izraz (2.35) može sepisati na još dva nacina:

W = I 2 ·R · t

i

W = V 2

R· t

Isti se rad može obaviti u dužem ili kracem vremenu, što ovisi o snazi P koja sedefinira kao :

P = W

t[W ] (2.36)

Iz izraza (2.35) i (2.36) proizlazi da je jedinica za snagu V A (volt-amper). Ona sekrace zove vat i oznacuje sa W . Preko navedenih izraza (2.35) - (2.36) slijedi da jesnaga na otporniku:

P =V · I = I 2 ·R = V 2

R

Nazivna snaga trošila (obicno oznacena na elektricnim trošilima, na primjer 100W žarulja) je snaga za koju je trošilo gradeno i koja se ostvaruje pri naponu za koji jeprikljucak trošila predviden (nazivni napon). Treba uociti da stvarnu (trenutnu) vri-jednost snage odreduje otpor tog trošila i trenutna vrijednost prikljucenog naponaili struje koja kroz njega tece. Ono što trošilo obicno trajno posjeduje jest njegovotpor (premda je u praksi uslijed vanjskih utjecaja: starenja, temperature, vlage,necistoce i sl., ipak promjenjiv).

Osim nazivne snage, za elektricne uredaje zanimljiva je i njihova korisnost ilistupanj djelovanja. Ukupna privedena energija Wu nije u trošilu u potpunosti isko-rištena. Ako je Wg gubitak energije, a W korisna energija, onda se korisnost nekoguredaja definira kao:

η= W

Wu= W

W +Wg

Korisnost se za slucaj istog vremena t može izraziti i s pomocu omjera snaga (uziste oznake indeksa):

η= P

P +Pg

66

Appleti

Snaga se može odrediti tako da se ampermetrom izmjeri struja, a voltmetromnapon željenog dijela strujnog kruga. Umnožak izmjerenih velicina daje snaguizraženu u vatima. Po tom nacelu napravljeni su instrumenti, nazvani vatmetri, ko-jima je skala oznacena razmjerno umnošku mjerene struje i napona. Prilikom spa-janja vatmetra potrebno je osobitu pozornost obratiti na ispravno spajanje strujnihi naponskih stezaljki. Naponske stezaljke spajaju se paralelno mjerenom objektu(kao voltmetar), a strujne serijski (kao ampermetar).

Za mjerenje elektricne energije koriste se elektricna brojila. Elektricna energijaje W = P · t (iz izraza (2.36), pa su ti instrumenti zapravo modificirani vatmetri.Faktor vremena t uzima se u obzir time što ce moment koji bi u vatmetru djelo-vao na otklon kazaljke instrumenta ovdje okretati okruglu plocicu spojenu na bro-jcanik instrumenta. Uz istu snagu, kroz duže vrijeme, instrument ce registrirativeci broj okretaja (više ce se puta plocica okrenuti), a za vecu snagu, u istom vre-menu, takoder ce se registrirati veci broj okretaja (jer ce se plocica brže okretati).S obzirom da je jedinica vremena u tim uredajima sat, a jedinica snage kilovat(1kW = 1000W ), ti se instrumenti još zovu kilovatsatna brojila.

2.15 APPLETI

2.15.1 OHMOV ZAKON

SLIKA 2.30: Ommetar

Pomocu klizaca mijenjamo :

• RESISTANCE - vrijednost otpora od 2 do 10Ω

• VOLTAGE - vrijednost napona od 5 do 20 V

67

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Ampermetar je prikljucen u strujni krug serijski sa otporom i mjeri struju kojatece krugom. Ako povecavamo napon, povecavat ce se i struja, a smanjenjem napona,smanjit ce se i struja. Povecanjem otpora, uz isti napon, struja se smanjuje, a sman-jenjem otpora struja se povecava. Struja je razmjerna naponu i obrnuto razmjernaotporu prema (2.9).

Neka se provjeri ova jednadžba (Ohmov zakon) za R = 8Ω , V = 16V. Koliko jeI =?

I = V

R= 16V

8Ω= 2A

2.15.2 JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG

SLIKA 2.31: Jednostavni strujni krug

Strujni krug se sastoji od cetiri dijela:

• Baterija - click-om na bateriju željenog napona, možemo je "dovuci" u stru-jni krug,

• Otpor - click-om možemo "dovuci" razlicite kombinacije otpornika u strujnikrug,

• Sklopka - click-om na sklopku ukljucujemo i iskljucujemo strujni krug,

• Žarulja - promatramo što se s njom dogada za razlicite kombinacije naponai ukupnog otpora, kada ukljucimo strujni krug.

Zakljucak:Ako je otpor prevelik, kroz žarulju tece premala struja, pa ona ne svijetli. Ako

je otpor premali, žaruljom ce poteci prevelika struja, pa ce žarulja pregorjeti (uzukljucene zvucnike, na racunalu se cuje prasak).

Žarulja svijetli samo kada je iznos otpora dvostruko manji od iznosa napona. Toznaci da je jakost struje potrebna da žarulja svijetli 2A.

Moguce je pozvati applet tako da je jakost struje potrebna da žarulje svijetli jed-naka 3A.

68

Appleti

SLIKA 2.32: Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem

Zadatak je složiti strujni krug tako da žarulja svijetli. Žarulja ce svijetliti ako jeiznos napona tri puta veci od iznosa ekvivalentnog otpora.

2.15.3 MJERENJE NAPONA, STRUJE I SNAGE U STRUJNOM KRUGU

SLIKA 2.33: Mjerenje napona, struje i snage

Pomocu klizaca R mijenja se otpor u strujnom krugu s naponskim i strujnimizvorom. Applet pokazuje serijsko ukljucivanje ampermetra i paralelno prikljuci-vanje voltmetra u strujni krug, te ocitavanje mjernog rezultata na zaslonu instru-menta. Kod toga je važno uociti i odrediti polaritet napona i struje.

Umnožak napona i struje odreduje snagu, a snaga u vremenu elektricku en-ergiju.

2.15.4 MULTIMETAR69

2. ISTOSMJERNA STRUJA

SLIKA 2.34: Multimetar

S pomocu ovog applet-a moguce je razumjeti i nauciti (virtualno) mjerenje os-novnih elektricnih velicina (napon, struja, otpor) s idealnim i realnim instrumen-tom (Rm - realni otpor instrumenta). Applet pokazuje nutarnju strukturu galvanome-tra i dodavanje odgovarajucih (engl. shunt) otpornika za proširivanje mjernog po-drucja.

2.15.5 SERIJSKI SPOJ OTPORA

Pomocu klizaca R1, R2 i Vs podešavamo vrijednosti otpora serijski spojenih ot-pornika R1 i R2 (od 2 do 49Ω ) i napon naponskog izvora Vs (od 1 do 49 V ).

U krugu tece struja I , koja je proporcionalna naponu izvora Vs . Struju mjeriampermetar koji spojen serijski sa otporima R1 i R2.

Prema (2.16) vrijednost ekvivalentnog (ukupnog) otpora jednaka je zbroju ot-pora R1 i R2.

Ruk = R1 +R2

2.15.6 PARALELNI SPOJ OTPORA70

Appleti

SLIKA 2.35: Serijski spoj otpora

SLIKA 2.36: Paralelni spoj otpora

Pomocu klizaca R1, R2 i Is pdešavamo vrijednosti otpora paralelno spojenih ot-pornika (od 2 do 99Ω) i jakost struje strujnog izvora (od 1 do 19 A).

Voltmetar, koji je spojen paralelno strujnom izvoru (a time i otpornicima R1 iR2) mjeri napon na strujnom izvoru i na otpornicima.

Ekvivalentni (ukupni otpor) racunamo prema jednadžbi (2.19)

71

2. ISTOSMJERNA STRUJA

Ruk = R1 ·R2

R1 +R2i V = I ·Ruk = I · R1 ·R2

R1 +R2

2.15.7 KIRCHHOFF-OVI ZAKONI

SLIKA 2.37: Kirchhoff-ovi zakoni

Pored izvora napona i otpornika u strujnom krugu napisane su njihove vrijed-nosti u voltima odnosno ohmima.

Click-om miša (lijevi click) ispod ili iznad napisane vrijednosti, smanjujemo ilipovecavamo te vrijednosti. Napon izvora možemo mijenjati od −10 do 10V, a ot-pore na otpornicima od 1 do 10Ω.

Moguce je s pomocu miša dovuci vodic ili otpornik u strujni krug (prikazani sus lijeve strane strujnog kruga) i smjestiti ih izmedu tocaka A i C , B i D , C i E ili D iF . Isto tako mogu se maknuti (izbrisati) iz strujnog kruga s pomocu brisala (engl.eraser).

Iznad izvora strujnog kruga (u elipsi) upisana je jakost struje koju daje izvor.U pravokutnicima mogu se ocitati vrijednosti napona izmedu pojedinih tocaka(VAC =VBD i VC E =VDF ).

72

Zadaci

2.16 ZADACI

2.1 Odredite jakost elektricnog polja u bakrenom vodicu promjera 0,5 mm kadnjime tece struja jakosti 0,3 A.

Rješenje: 26,7 mV/m

2.2 Pri elektrolizi neke srebrne otopine izlucilo se za 3 sata 4,55 g srebra. Kolikaje bila jakost struje pri elektrolizi?

Rješenje: 0.377 A

2.3 Baterija od 6 jednakih paralelno spojenih clanaka od kojih svaka ima elek-tromotornu silu E = 1,5V, daje struju od 4 A trošilu ciji otpor iznosi 0,25Ω.

a) nacrtajte elektricku shemu spoja,

b) koliki napon vlada na trošilu,

c) koliki je unutrašnji otpor svakog clanka,

d) za koju snagu mora biti gradeno trošilo,

e) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije, a koliki pojedinog clanka?

Rješenje: b) 1 V c) 0,75Ω d) 4 W e) 12 A, 2 A

2.4 Cetiri jednaka istosmjerna izvora, spojena serijski imaju struju kratkogspoja 1 A, a paralelno spojeni imaju napon praznog hoda 1 V.

a) nacrtajte shemu serijskog i paralelnog spoja i oznacite elemente,

b) koliki je napon praznog hoda E svakog pojedinacnog izvora,

c) koliki je unutarnji otpor serijski spojenih izvora,

d) koliki je unutarnji otpor svakog pojedinacnog izvora,

e) koliki je napon na stezaljkama serijski spojenih izvora ako je otpor tereta2Ω?

Rješenje: a) - b) 1 V c) 4Ω d) 1Ω e) 1,333 V

2.5 Struja kratkog spoja izvora iznosi 120 A, a napon praznog hoda 2 V.

a) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije sastavljene od 6 serijski spo-jenih izvora,

73

2. ISTOSMJERNA STRUJA

b) koliko ce iznositi struja kratkog spoja baterije sastavljene od 6 paralelnospojenih izvora,

c) koliku snagu ima trošilo otpora 2Ω prikljuceno na bateriju iz a)

d) koliki je faktor iskoristivosti spoja iz c),

e) koliku elektricnu energiju mora razviti baterija iz c) za 1 sat?

Rješenje: a) 120 A b) 720 A c) 65,3 W d) 0,9523 e) 0,0653 kWh

2.6 Izvoru s E = 36 V i nutarnjim otporom 2Ω prikljuci se trošilo s oznakama 24V, 15 W.

a) kolika struja tece trošilom,

b) kolika se energija troši za 24 sata na trošilu,

c) kolika je korisnost spoja η(otpor vodova se zanemaruje),

d) kako se promijeni korisnost ako se unutrašnji otpor udvostruci,

e) kolika je u slucaju d)struja kratkog spoja izvora?

Rješenje: a) 0,891 A b) 731,8 Wh c) 0,95 d) 0,906 e) 9 A

2.7 Na naponski izvor unutarnjeg otpora Ru = 3Ω spojeno je naponsko djelilo(potenciometar)otpora R = 100Ω. Na izlaze treba spojiti žarulju s oznakama 12 V,36 W tako da svijetli punim sjajem.

a) nacrtajte elektricnu shemu spoja,

b) kolika struja tece kroz žarulju,

c) kako je podešen klizni kontakt djelitelja napona, ako izvor daje strujujakosti 3,3 A,

d) kolika je elektromotorna sila izvora,

e) hoce li se struja iz izvora promijeniti ako žarulju odspojimo i zašto?

Rješenje: a) - b) 3 A c) 60Ω/40Ω d) 219,9 V e) da, struja smanjuje zbogporasta ukupnog otpora

2.8 Sklop prema slici spojen je na izvor 12 V.

a) oznacite polaritete napona i smjerove struja,

b) koliku struju pokazuje idealni ampermetar, a koliki napon idealni volt-metar prema shemi,

c) na koju vrijednost se promijeni pokazivanje voltmetra, ako se R2 odspoji?

74

Zadaci

Rješenje: a) - b) 0,04 A, 8 V c) 6 V

2.9 Deset galvanskih clanaka elektromotornog napona 2 V spojeno je u dvijeparalelne grane s po pet serijski spojenih clanaka. Vanjski otpor kruga je 4Ω, a kru-gom tece struja 1,5 A. Koliki je nutarnji otpor svakog clanka? Nacrtajte shemu stru-jnog kruga.

Rješenje: 1,067Ω

2.10 Koliku jakost ima struja koja tece tramvajskim motorom ako se kola mase10 tona pokrenu iz stanja mirovanja i nakon 20 s postignu brzinu 36 km/h? Motorje prikljucen na napon 600 V. Faktor trenja je 0,02.

Rješenje: 58 A

75

3POGLAVLJE

MAGNETIZAM

Magnetizam opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko trajnih mag-neta i gibljivih elektricnih naboja. Djelovanje gibljivog naboja u prostoru tumaci semagnetskim poljem koje svaki gibljivi naboj stvara u svom okolišu.

3.1 MAGNETSKO POLJE

Proucavanje magnetizma povijesno je prethodilo proucavanju elektricnih pojavai temeljilo se na uocavanju i mjerenju sila uzrokovanih permanentnim (trajnim)magnetima koji se u prirodi nalaze najcešce u rudama željeza, nikla i kobalta. Mag-netizam je i dobio ime od minerala željeznog oksida - magnetita.

Magnetsko djelovanje koncentrirano je na suprotnim krajevima magneta, kojise nazivaju sjeverni i južni pol. Istoimeni polovi medusobno se odbijaju, a raznoimeniprivlace. Njihova imena preuzeta su iz zemljovidne orijentacije. Naime, zemaljskakugla, kao veliki prirodni magnet usmjerava sobodne magnetizirane igle u pravcusjever-jug, jer takoder ima svoje magnetske polove nedaleko geografskih polova.Pol magnetske igle usmjeren na sjeverni geografski pol nazvan je sjevernim polommagneta (N), a suprotan južnim polom (S).

Djelovanje bilo kojeg pola magneta na sitne cestice željezne piljevine stvara ge-ometrijske oblike slicne silnicama elektricnog polja. Sve to vodi na izravnu poveza-nost magnetizma i elektriciteta, no postoje i bitne razlike.

Cinjenica je da se pol magneta nikad ne pojavljuje samostalno. Ako se magnet-ski štap presijece na polovici, ne dobiva se na jednoj polovici sjeverni, a na drugojjužni pol,vec svaka polovica postaje magnet koji sadrži oba svoja na svojim završec-ima. To temeljno iskustvo ukazuje da ne postoji neki "magnetski naboj", vec je po-java magneta prouzrokovana na drugi nacin.

Godine 1820. H.C. Örsted je otkrio da se u okolišu vodica kroz koji tece elek-tricna struja stvara magnetsko polje. Tako je nadena veza izmedu magnetizmai elektriciteta, postavljena je hipoteza o elementarnim strujama u molekulama iatomima po kojoj se objašnjava postojanje permanentnog magneta. Zbog mogucno-sti stvaranja magnetskih polja s pomocu elektricne struje i dodatnih elektromag-

77

3. MAGNETIZAM

netskih pojava nastalih njihovom promjenom, to je otkrice dobilo veliku vrijednostu praksi.

Elektricna struja proizvodi dakle oko sebe magnetsko polje. Njegovo postojanjemože se ustvrditi uocavanjem i mjerenjem sile na (male) magnete u blizini vodicakojim elektricna struja tece (slika 3.1 a). Magnetsko polje je polje sila, pa se slicnokao elektricno, može prikazati linijama polja ili silnicama. Cestice željezne piljevineu ravnini okomitoj na vodic poredat ce se upravo po takvim linijama (slika 3.1 b).

I

a)

I

b)

SLIKA 3.1: Magnetsko polje oko vodica kojim tece struja

Povezanost magnetskog polja i elektricne struje nudi zgodnu mogucnost da seosnovne velicine magnetskog polja upoznaju upravo na primjeru najjednostavni-jeg polja koje u svojem okolišu stvara ravni, strujom protjecani, vodic. U korištenjuefekata magnetskih polja u praksi, polja koja su nastala protjecanjem struje dalekosu važnija i cešca od onih koja su nastala djelovanjem trajnih magneta.

Smjer magnetskog polja dogovorno je definiran smjerom sjevernog pola mag-netske igle. Smjer odgovara smjeru vrtnje desnog vijka, ako je smjer struje u pravcupomicanja vijka duž njegove osi. Promjenom smjera struje mijenja se i smjer mag-netskog polja. Jakost magnetskog polja koja se oznacava s H veca je što je strujaveca (npr. dvaput jaca struja daje dvaput jace magnetsko polje). Nadalje, jakostpolja pada s udaljenosti od vodica (npr. u dvostrukoj udaljenosti je polje dvostrukoslabije). Tako su se potpuno neocekivano povezala dva dotada potpuno odijel-jena podrucja: magnetizam i optika. Kasnije se ta veza teorijski i eksperimentalnodokazala (Maxwell, Herz).

3.2 ZAKON PROTJECANJA

Temeljni zakon odnosa magnetskih polja i struja koje proizvode polje dan je s relacijom:

∮l

−→H ·−→dl =∑

I (3.1)

78

Zakon protjecanja

koja se naziva zakon protjecanja ili Amperov zakon. Po tom zakonu integral sklarnihumnožaka jakosti polja koje na djelicu puta djeluje i infinitezimalne duljine togdjelica puta po zatvorenoj krivulji l jednak je zbroju struja koje krivulja obuhvaca.

I1

I2

I3 I

4I

5

l1

l2

l3

Hl

t

ab

SLIKA 3.2: Primjer uz zakon protjecanja

Za slucaj na slici 3.2 primjena zakona protjecanja daje:- za krivulju l1 :

∑I = I1 − I2 − I3 + I4

- za krivulju l2 :∑

I =−I3 + I4

- za krivulju l3:∑

I = 0Dobro je uociti da ce u slucaju istih jakosti struja I3 i I4 za krivulju l2 rezultat

biti jednak nuli. Magnetski ucinak koji je stalan pratilac elektricne struje ne možese izbjeci, ali se dakle, može poništiti.

Struja I5 koja nije obuhvacena krivuljama ne utjece na vrijednost linijskog inte-grala u navedenim slucajima.

Po analogiji s elektrostatikom, umnožak H · l odgovarao bi ’magnetskom poten-cijalu’ Vm .

3.2.1 MAGNETSKO POLJE RAVNOG VODICA

Primijeni li se zakon protjecanja (3.1) na ravni vodic kojim tece struja jakosti I , zamagnetsko polje na koncentricnim kružnicama (silnicama) oko vodica (slika 3.2.1)vrijedi: ∮

l

−→H ·−→dl = I (3.2)

Razložno je pretpostaviti da je na svim tockama koncentricne kružnice s polum-jerom r jakost polja H jednakog iznosa, pa uz:∮

dl = l = 2π · r

79

3. MAGNETIZAM

slijedi:

H = I

l= I

2π · r[A/m] (3.3)

Jakost magnetskog polja opada dakle, obrnuto razmjerno s udaljenošcu od osivodica.

r H

I

SLIKA 3.3: Magnetsko polje ravnog vodica kroz koji tece struja

Magnetsko polje ne nastaje samo u okolišu vodica protjecanog strujom I , negoi u njemu samome. Nakon primjene zakona protjecanja na koncentricnoj kružnicipolumjera r unutar vodica (u kojoj tece struja jakosti I ′, što je dio ukupne jakostiI ), slijedi da je jakost magnetskog polja u vodicu kružnog presjeka i polumjera R zar ≤ R jednaka:

H = I ′

2π · r= I

2π ·R2 · r

Kako promjena jakosti polja H ovisi o udaljenosti r od osi vodica prikazuje slika3.4 za nekoliko vrijednosti jakosti struja.

Ako se od vodica kroz koji tece struja nacini zatvorena petlja (ili zavoj), onda cesve silnice prolaziti kroz površinu koju zavoj okružuje (slika 3.2.1 a) i b) ).

Dobiveno magnetsko polje potpuno se podudara s magnetskim poljem kratkogmagneta u obliku valjka (slika 3.2.1 c). Nizanjem više magnetskih valjaka s istimsmjerom polja dobio bi se snažniji magnet (slika 3.2.1 a)), što je ekvivalentno povezi-vanju više zavoja u tzv. svitak ili zavojnicu (slika 3.2.1 b)). Buduci da je magnetskopolje i ovdje identicno, svitak protjecan strujom se zove još i elektromagnet.

Umnožak broja zavoja i struje koja kroz njih tece zove se magnetska uzbuda ilimagnetomotorna sila (M MS) i cesto se izražava u Az (amper-zavojima) kako bi seistaknulo znacenje broja zavoja (a ne samo jakosti struje) u stvaranju magnetskogpolja.

3.3 MAGNETSKE VELICINE

Magnetske silnice (silnica = linija sile) koje se prikazuju linijama koje izlaze iz sjev-ernog pola (slika 3.2.1) (elektro)magneta i završavaju na južnom, uvijek se nasta-

80

Magnetske velicine

SLIKA 3.4: Ovisnost H=f(r) ravnog vodica kroz koji tece struja

N S

SLIKA 3.5: Magnetsko polje ravnog vodica

vljaju kroz tijelo (elektro)magneta od južnog do sjevernog pola. Magnetske silnicesu dakle zatvorene linije. Skup svih silnica naziva se magnetski tok i oznacuje sim-bolom φ . Jace magnetsko polje ima veci tok nego slabije polje. Jedinica magnet-skog toka mjeri se u W b (Weber).

Gustoca toka B izražava broj magnetskih silnica po jedinici površine A okomitena smjer magnetskog toka:

B = ΦA

[T ] (3.4)

Jedinica gustoce toka je T (Tesla).Elektromagnetski utjecaj jednog tijela na drugo bez njihova fizickog dodira, u

smislu promjene elektricnog ili magnetskog stanja tijela na koji se djeluje, zove se

81

3. MAGNETIZAM

N S

SLIKA 3.6: Magnetsko polje zavojnice

indukcija. Na primjer, permanentni magnet inducira nemagnetizirano željezo da iono postane magnet (slika 3.3).

Naime, molekularni magneti (tzv. magnetske domene ili magnetski dipoli) uželjeznom uzorku djelovanjem magnetskog polja permanentnog magneta usmjer-avaaju se iz svog dotad slucajnog rasporeda tako, da sjeverni pol permanentnogmagneta privuce južni pol molekularnih magneta uzorka.

SS

NN

Permanentnimagnet

željezni uzorak

SLIKA 3.7: Magnetiziranje željeza s pomocu indukcije

Nemagnetizirano željezo postaje magnet, pol tog magneta bit ce suprotan polukoji ga je inducirao i željezo - novi magnet bit ce privuceno. Treba uociti da je in-ducirani pol uvijek suprotnog polariteta od pola koji ga je inducirao. To objašnjavacinjenicu zašto bilo koji pol magneta privlaci magnetski materijal.

Magnetski materijali medusobno se razlikuju s obzirom na indukciju. Sposob-nost koncentriranja magnetskog toka zove se permeabilnost i oznacuje se s µ. Svakimaterijal koji se lako magnetizira ima veliku permeabilnost i naziva se feromagnet-ski. Što je permeabilnost materijala veca, to je uz istu jakost magnetskog polja gus-toca silnica B u induciranom materijalu veca. Zato se gustoca silnica naziva još imagnetska indukcija.

Jakost magnetskog polja H povezana je dakle, preko permabilnosti materijala,s magnetskom indukcijom B pa vrijedi:

B =µ ·H [T ] (3.5)

Veca indukcija postiže se ili vecom jakosti polja ili/i korištenjem materijala vece

82

Magnetske velicine

permeabilnosti. Najcešce se permeabilnost materijala µ izražava u relativnim je-dinicama µr u odnosu na permeabilnost vakuuma µ0, tako da je permeabilnost

µ=µ0 ·µr (3.6)

a permeabilnost vakuuma potvrdena eksperimentalno iznosi:

µ0 = 4π ·10−7 [V s/Am]

Vrijednosti relativne permeabilnosti µr za feromagnetske materijale krecu seizmedu 100 i 190.000.

Buduci da je H vektor, a µ skalar, magnetska indukcija B može se takoder sma-trati vektorom. Magnetsko polje je homogeno ako je velicina indukcije u svakojtocki promatranog prostora jednaka.

Zbog visoke permeabilnosti feromagnetski materijali koriste se kao jezgre elek-tomagneta. Ista magnetska uzbuda u zatvorenoj ce jezgri stvoriti µr puta vecu gus-tocu silnica nego u slucaju kad jezgre nema. To slijedi izravno iz izraza (3.5) i (3.6):

B =µ0 ·H =µr ·µ0 ·H

Polje unutar jezgre (slika 3.8 a) približno je homogeno, a nije homogeno na kra-jevima jezgre i izvan nje. Približno homogeno polje duž citave jezgre postiže seizvedbom feromagnetske jezgre u obliku prstena (slika 3.8 b) ili okvira (slika 3.8 c).

I φ

b)

I

φ

c)

φ

a)

I

SLIKA 3.8: Magnetsko polje ravnog vodica, prstena i okvira

Jezgre od neferomagnetskih materijala ponašaju se slicno kao vakuum: njihovarelativna permeabilnost približno je jednaka jedinici. Ipak, preciznija mjerenjapokazuju da je za jednu grupu materijala tzv. diamagnetske materijale µr < 1, dok

83

3. MAGNETIZAM

je za drugu grupu, tzv. paramagnetske materijale µr > 1. U tablici 3.1 napisane suvrijednosti relativnih permeabilnosti nekih neferomagnetskih materijala.

TABLICA 3.1: Neferomagnetski materijali

Materijal µr

bizmut 0,99984Diamagnetici srebro 0,9999736

voda 0,999991vodik 0,9999999979

platina 1,00027Paramagnetici aluminij 1,0000196

kisik 1,000000181zrak 1,00000036

Permeabilnost vakuuma je konstantna velicina i naziva se kao apsolutna perme-abilnost. Permeabilnost feromagnetskih materijala nije pak konstantna velicina,vec ovisi o prethodnom magnetiziranju materijala, iznosu polja H i temperaturi.

Slika 3.9 a) prikazuje krivulju magnetiziranja nekog feromagnetskog materijala.Povecanjem struje magnetiziranja raste polje H , a s poljem i indukcija B , gotovolinearno u pocetnom dijelu karakteristike.

Medutim, nakon linearnog dijela, povecanjem uzbude krivulja postupno ulaziu zasicenje. Ta se pojava objašnjava postavljanjem gotovo svih magnetskih dipola usmjeru djelujuceg polja, pa novi prirast uzbude više ne doprinosi porastu indukcije.

1000 2000 3000 4000 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

H [Az/m]

B [T ]

a)

I

V+ N

Rl

b)

SLIKA 3.9: Magnetiziranje feromagnetskog materijala

Primjer: Uz pretpostavku promjene napona od 20 V do 100 V, otpora zavojniceod 10Ω, te željezne jezgre duge l = 0,2 m u zavojnici s N = 100 zavoja (slika 3.9 b)

84

Magnetska histereza

sljedeca tablica 3.2 (uz mjereni B) pokazuje ponašanje feromagnetskog materijalacija je krivulja magnetiziranja prikazana slikom 3.9 a).

TABLICA 3.2: Magnetiziranje željezne jezgre

V [V] I [A] N I [Az]H

[Az/m]B [T] µr

20 2 200 1000 0,126 10040 4 400 2000 0,252 10060 6 600 3000 0,378 10080 8 800 4000 0,428 85

100 10 1000 5000 0,441 70

Iz krivulje magnetiziranja kao i izracunatih vrijednosti iz tablice 3.2 u primjerupodvrduje se da relativna permeabilnost nije konstantna velicina. U zasicenju µr

približuje se vrijednosti 1, što je µr za vakuum.Sa slike 3.2 a) nije vidljivo kolika je magnetska indukcija uzorka kad je uzbuda

jednaka nuli. Ta velicina ovisi o njegovoj dotadanjoj magnetiziranosti. Ako se pokusmagnetiziranja nacini s potpuno razmagnetiziranim feromagnetskim materijalom(B = 0 za H = 0), onda se dobivena krivulja naziva krivulja prvog magnetiziranja.

Feromagnetici gube svoja magnetska svojstva kad im temperatura prijede sta-novitu vrijednost (Curie-eva tocka), koja je za željezo na 7600C, za nikal 3600C, a zakobalt 11200C.

3.4 MAGNETSKA HISTEREZA

Magnetska indukcija B mijenja se u magnetskom materijalu promjenom magnetskeuzbude. Ako magnetski materijal nije magnetican, onda se povecanjem uzbude odvrijednosti nula na više dobiva se krivulja prvog magnetiziranja. Zanimljiva pojavanastaje ako se kod neke maksimalne uzbude +Hmax (i postignute gustoce +Bmax )uzbuda pocne smanjivati. Magnetska gustoca odupirat ce se promjeni - nastojat cezadržati prijašnje stanje magneticnosti (slika 3.4 a). To se ocituje u indukciji kojapri opadanju uzbude ima vece vrijednosti od onih kad je uzbuda rasla. Kad uzbudapadne na nulu, materijal ce još zadržati stanovitu vrijednost indukcije, tzv. rema-nentni magnetizam Br ili remanenciju. Remanentni magnetizam je glavno svojstvopermanentnih magneta.

Taj se magnetizam može poništiti samo uzbudnom strujom suprotnog predz-naka. Vrijednost uzbude kod koje se to postiže zove se koercitivnost ili koercitivnasila Hc (slika 3.4 b)).

Nastavi li se povecanje uzbude suprotnog smjera, stvara se magnetski tok i gus-toca suprotnog predznaka (promjena magnetskih polova uzorka). Porast takve uzbu-de takoder vodi do magnetskog zasicenja −Bmax uz −Hmax . Slicnim postupkom(smanjivanje uzbude, tj. struje do nule i povecanjem do +Hmax ) zatvara se ciklus,a nastala krivulja zove se petlja histereze (slika 3.4).

85

3. MAGNETIZAM

Br

+H [Az/m]-H

+B [T]

-B

200 400 600 800-200-400

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

-0.4

-0.2

Br

Hc

+H [Az/m]-H

+B [T]

-B

200 400 600 800-200-400-600

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

-0.4

-0.2

SLIKA 3.10: Magnetska histereza

-0.8

0.4

-400

-Hc

-Br

-H +H [Az/m]

-B

+B [T]

200 400 600 800-200-600-800

0.2

0.6

0.8

1.0

-1.0

-0.6

-0.4

-0.2

SLIKA 3.11: Petlja histereze

Magnetski materijali dijele se s obzirom na koercitivnost na meke i tvrde ma-terijale. Meki materijali (slika 3.4 a) imaju malu koercitivnost, dakle usku petljuhistereze, i veliku relativnu permeabilnost. Takvo je na primjer cisto željezo sa na-jvecimµr = 180.000, legirani limovi sa 2 do 4% silicija, feriti i drugi. Treba istaknuti ileguru permaloj (78,5% Ni + 21,5% Fe) sa najvecimµr = 85.000. Ti materijali koristese za jezgre transformatora, statore i rotore elektricnih strojeva, releje i sl.

Tvrdi magnetski materijali imaju veliku koercitivnost i veliku remanenciju, dakleveliku petlju histereze (slika 3.4 b). Služe za izradu trajnih magneta, a proizvode seod legura celika s dodatkom volframa, kobalta, nikla, aluminija i titana. Ugljicnikaljeni celik ima na primjer Hc = 5.000 A/m i Br = 0,9 T.

3.5 MAGNETSKI KRUG86

Magnetski krug

H H

B

B

Br

Br

Hc

Hc

SLIKA 3.12: Magnetski materijali

Koristeci opisane magnetske velicine moguce je, po analogiji s elektricnim krugom,govoriti o magnetskom krugu. U elektricnom krugu struja je velicina koja zatvarakrug, u magnetskom krugu je to magnetski tok. Usmjeravanje magnetskog tokaostvaruje se s pomocu feromagnetskog materijala kruga. Rasipanje magnetskihsilnica u prostor oko takva kruga se zanemaruje - velika permeabilnost feromag-netskog materijala cini da glavnina silnica prolazi kroz materijal (osim u slucajuzracnih raspora). Za jednostavni magnetski krug prikazan slikom 3.13 magnetskitok jednak je:

φ= B · A =µ ·H · A =µN · I

l· A = N · I

1

µ· l

A

= M MS

Rm[W b] (3.7)

gdje su Rm tzv. "magnetski otpor", a M MS "magnetomotorna sila". Dobiveni izrazslican je izrazu za Ohm-ov zakon:

I = E1

γ· l

A

= E MS

R(3.8)

pa se stoga izraz (3.8) naziva Ohm-ov zakon za magnetske krugove.Tok φ odgovara elektricnoj struji I , a magnetomotorna sila M MS elektromo-

tornoj sili E MS. Permeabilnost magnetskog materijala odgovara specificnoj vodlji-vosti metalnog vodica, pa se uz slicnost odnosa duljine i presjeka, govori o magnet-skom otporu Rm , analogno elektricnom otporu R.

U slucaju složenog magnetskog kruga, dobivenog na primjer zracnim rasporom(slika 3.13 b)) u jednostavnom magnetskom krugu, prilike se mijenjaju. Magnetskiotpor zracnog raspora razlikuje se od magnetskog otpora feromagnetskog materi-jala. S obzirom da je ukupni otpor povecan, slijedi da se magnetski tok smanjio (uzkonstantnu struju).

87

3. MAGNETIZAM

I

N

φ

Bµ

a) jednostavan

l

l2

I

N

φ

b) složen

B1,µ1

B2,µ2

SLIKA 3.13: Magnetski krug

φ= N · I1

µ1· l1

A1+ 1

µ2· l2

A2

= M MS

Rm1 +Rm2

Ako bi se htjela održati indukcija kao u slucaju bez zracnog raspora, potrebno jeviše amper-zavoja uzbude. Dobro je uociti da se i ovdje magnetski otpor serijskogspoja magnetskih otpora dobiva njihovim zbrajanjem (kao što bi se magnetski ot-por njihovog paralelnog spoja dobio kao reciprocna vrijednost zbroja pojedinacnihreciprocnih vrijednosti). Iz izraza (3.13) slijedi:

φ

A1· l1

µ1+ φ

A2· l2

µ2= N · I

odakle je:

B1 · l1

µ1+B2 · l2

µ2= N · I

odnosno:

H1 · l1 +H2 · l2 = N · I (3.9)

što je u skladu s vec dobro poznatim zakonom protjecanja (3.1). U magnetskimkrugovima dakle zakon protjecanja odgovara drugom Kirchhoff-ovu zakonu u elek-tricnim krugovima.

Najopcenitije gledajuci zakon protjecanja može se prikazati u obliku diskretnog(pojedinacnog) zbroja:

∑i

Hi · li = N · I =∑I (3.10)

88

Djelovanje magnetskog polja

gdje se svaki pojedinacni element magnetskog kruga može razlikovati po bilokojoj magnetskoj ili geometrijskoj velicini:

Hi = Bi

µi= φi

Ai ·µi(3.11)

Ako se povežu izrazi (3.10) i (3.11) slijedi:

N · I = φi · li

Ai ·µi

što za zatvoreni krug (bez grananja i rasipanja, dakle uz konstantni tok φ) dajeekvivalent II. Kirchhoff-ovog zakona za magnetski krug :

φ= N · I∑i

1

µi· li

Ai

3.6 DJELOVANJE MAGNETSKOG POLJA

Vec je u uvodu o magnetizmu konstatirano da svaki gibljivi naboj stvara magnetskopolje. Isto tako receno je da je magnetsko polje karakterizirano silom kojom se dvapola magneta (ovisno o polaritetu) privlace ili odbijaju. To znaci da ce i na gibljivinaboj u magnetskom polju djelovati sila.

Sila ce djelovati i na struju koja tece kroz vodic, ako se ovaj nade u magnetskompolju, jer struja nije ništa drugo nego niz naboja u gibanju. Pritom nije važno kakonastaje magnetsko polje koje djeluje silom - je li to magnetsko polje permanentnogmagneta, elektromagneta ili jednostavno žice kojom struja tece. To navodi na za-kljucak da postoji sila i medu vodicima kojima teku struje.

Svaki od tih slucaja razmatrat ce se posebno.

3.6.1 SILA NA GIBLJIVI NABOJ

Ako se naboj krece u magnetskom polju, na njega djeluje sila. Pokazuje se da je silarazmjerna iznosu naboja, njegovoj brzini i indukciji magnetskog polja, a buduci dasu sila, brzina i indukcija vektorske velicine, slijedi:

−→F =Q · (−→v ×−→

B ) (3.12)

Izraz u zagradi predocuje vanjski umnožak ("ex-produkt") vektora −→v i−→B . Sila

je okomita istodobno i na vektor brzine i na vektor indukcije, dakle na ravninu koju

odreduju vektori brzine i indukcije (slika 3.6.1). Iznos vektora (−→v ×−→B ) izracunava

se prema:

89

3. MAGNETIZAM

B

F=QvB

v

+Q+

+αα

F=QvB sin· α

v sin· α

B

Q

SLIKA 3.14: Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem

a) a = 90 b) a < 90

F =Q · v ·B · sin(α) (3.13)

gdje je α kut izmedu vektora brzine i indukcije. Smjer vektora ima smjer napre-dovanja vijka s desnim navojem kad rotira preko manjeg kuta od v u B (slika 3.6.1b.

Djelovanje sile na gibljivi naboj objašnjava se promjenama nastalim u magnet-skom polju u kojem se naboj krece. Kako se vidi na slici 3.6.1 a), silnice magnet-skog polja Bv stvorenog gibanjem pozitivnog naboja u podrucju −1− podudarajuse sa smjerom polja Bm u kojem se naboj krece, dok im je u podrucju −2− smjersuprotan. Rezultantno polje prikazano je na slici 3.6.1 b) sa smjerom sile od po-drucja s gušcim tokom, prema podrucju s manjom gustocom toka. Kaže se da senaboj ’istiskuje’ prema polju manje gustoce. Okomit smjer od oka promatraca napovršinu oznacuje se s križicem ⊗, a suprotan smjer s tockom ¯.

Treba naglasiti da je smjer djelovanja sile za negativan naboj suprotan smjerusile na pozitivan naboj:

−→F −Q =−Q · (−→v ×−→

B ) =−−→F +Q (3.14)

a) zajedno sa poljem u kojem se naboj giba b) rezultantno polje

Primjer: Uleti li nabijena cestica u homogeno magnetsko polje indukcije B sbrzinom v okomitom na polje (slika 3.16), sila F jednaka (Q · v ·B) djelovat ce nacesticu u svakoj tocki.

Buduci da je sila okomita na brzinu nece se mijenjati iznos te brzine, vec samonjezin smjer. Na slici 3.16 prikazani su vektori brzine i sile. Cestica se dakle krecepod djelovanjem sile koje je iznos konstantan, ali smjer je uvijek pod pravim kutemna brzinu cestice.

90

Djelovanje magnetskog polja

F

Bm

Bv

2 1

SLIKA 3.15: Magnetsko polje naboja u gibanju

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

B B

R

F

vQ

F vQ

F

vQ

v

F

+Q

SLIKA 3.16: Gibanje nabijene cestice u magnetskom polju

Iz toga slijedi da je putanja cestice kružnica, opisana s konstantnom tangenci-jalnom brzinom v , a sila F je centripetalna sila. Buduci da je centripetalna akcel-

eracija jednaka v2

r , iz drugog Newton-ova zakona slijedi:

Q · v ·B = m · v2

r

pa je polumjer kružne putanje nabijene cestice jednak:

r = m · v

Q ·B(3.15)

Ako je poznata masa cestice m i njezin naboj Q, kao i indukcija B u kojoj se ces-tica krece, može se, koristeci izraz (3.15), odrediti vrijeme jednog obilaska, odnosnofrekvencija kruženja cestice:

T = 1

f= l

v= 2π · r

v= 2π ·m

Q ·B

91

3. MAGNETIZAM

Dobro je uociti da frekvencija ne ovisi o polumjeru kružne staze i da se povecan-jem indukcije povecava. Opisani primjer temelj je rada akceleratora cestica (cik-lotrona) koji se koriste u nuklearnoj fizici.

3.6.2 SILA NA VODIC KOJIM TECE STRUJA

Magnetska sila na vodic kojim tece elektricna struja posljedica je sile na svaki poje-dini naboj koji se krece u magnetskom polju. Korištenjem izraza (3.12) za magnet-sku silu na naboj dobiva se izraz za silu na vodic kojim tece struja (gibanje diferen-cijala naboja brzinom v), a vodic je postavljen okomito na magnetske silnice.

dF = B ·dQ · v = B ·dQ · dl

d t= B · dQ

d t·dl = B · I ·dl (3.16)

pa je na duljini l ukupna sila prema gornjem izrazu (3.16)jednaka:

F = B · I · l (3.17)

Ako vodic zatvara kut s magnetskom indukcijom, izraz (3.17) postaje:

F = B · I · l · sin(α) ili vektorski−→F = I · (

−→l ×−→

B )

što je prikazano na slici 3.17.

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

l

I I

B BF

SLIKA 3.17: Sila na vodic kojim tece struja

Primjer: Instrument s pomicnim svitkom i permanentnim magnetom, naz-van galvanometar, radi na nacelu sile koja se javlja na vodic kroz koji tece struja umagnetskom polju. Protumoment ovoj sili drži mehanicka spirala (slika 3.18 a). Nasvitak je namotano N zavoja tanke žice promjera zavoja d i duljine zavoja l (slika3.18 b). Svitak je postavljen unutar polova permanentnog magneta. Zbog pregled-nosti je nacrtan samo jedan zavoj.

92

Djelovanje magnetskog polja

N

-

+

l

d

a) b)

SLIKA 3.18: Dijelovi galvanometra

Kad kroz svitak potece struja, javlja se sila na svakoj strani svitka, kako se vidi naslici 3.19. Elektricni moment jednak je:

Mel = B · I · l ·N ·d = ke · I (3.18)

a mehanicki protumoment

Mmeh = km ·α (3.19)

gdje su ke i km elektricna i mehanicka konstanta razmjernosti, aαotklon kazaljkepricvršcene na osovini svitka. Povezujuci oba izraza (3.18) i (3.19) slijedi:

α= ke

km· I = k · I

Otklon je dakle razmjeran jakosti struje koja tece svitkom, pa se galvanometarponajprije koristi za mjerenje struje (ampermetar), a posredno i kao voltmetar iommetar. Polovi magneta lucno se profiliraju kako bi se vodici i pri zakrenutomsvitku (i kazaljci) uvijek nalazili pod djelovanjem istog iznosa indukcije.

B F

dF

SLIKA 3.19: Galvanometar

3.6.3 SILA IZMEÐU DVA VODICA KOJIMA TEKU STRUJE93

3. MAGNETIZAM

Izmedu dva vodica kroz koje teku struje javlja se sila. Zbog jednostavnosti izvodapretpostavlja se da su vodici ravni, dugi i medusobno paralelni na udaljenosti d .Iz slike 3.20 vidi se da ce sila F1, kojom magnetsko polje H1 (nastalo strujom I1)privlaci vodic kroz koji tece struja I2, biti jednaka:

F1 = B·I2 · l =µ0 ·H1 · I2 · l (3.20)

a jakost magnetskog polja:

H1 = I1

2π ·d(3.21)

Povezujuci izraze (3.20) i (3.21) dobiva se:

F1 = µ0 · I1 · I2 · l

2π ·d[N ] (3.22)

d

I1 I2

H2 H2

lF2 F1

SLIKA 3.20: Sila izmedu dva vodica protjecana strujom

Treba uociti da i magnetsko polje struje I2 djeluje istom silom na vodic kojimtece struja I1. Takvo djelovanje dviju struja naziva se elektrodinamicko djelovanje.

Koristeci pravilo za smjer sile, izraz (3.13), lako je zakljuciti da ce se dva par-alelna vodica u kojima teku struje u istom smjeru medusobno privlaciti, dok ce seu paralelnim vodicima u kojima teku struje u razlicitom smjeru medusobno odbi-jati. Razmatranja gustoce silnica potvrduje ovaj zakljucak: u podrucju izvan vodica,polje je jace, jer se magnetska djelovanja oba vodica potpomažu, a izmedu vodicapolja djeluju suprotno. Sile nastoje istisnuti vodice prema podrucju sa slabijomgustocom polja. Kod struja razlicitih smjerova vodici se privlace.

U SI sustavu jedinica definiran je amper (A) na temelju predocenog elektrodi-namickog djelovanja:

Elektricna struja ima jakost jedan amper (A) ako prolazeci kroz jako dugi i jakotanki vodic djeluje u vakuumu na isto takvu paralelnu struju u udaljenosti od jednogmetra silom 2 ·10−7 njutna po jednom metru duljine vodica (slika 3.21).

Iznos sile slijedi iz izravnog uvrštavanja vrijednosti d = 1 m, I1 = I2 = 1 A, u izraz(3.22), pa je:

F1 = µ0 ·1 ·1 ·1

2π ·1= 4π ·10−7

2π= 2 ·10−7 N

94

Elektromagnetska indukcija

1m

1mF = 2 ·10−7 N

1 A 1 A

SLIKA 3.21: Definicija jedinice amper

3.7 ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

Neposredno pretvaranje mehanicke energije u elektricnu je moguce. Do tog izuzetnogotkrica došla su 1831. godine nezavisno i istodobno dva znanstvenika: M. Faradayu Velikoj Britaniji i J. Henry u Americi. Današnja proizvodnja, prijenos i potrošnjaelektricne energije nezamislive su bez tog otkrica.

Svaka promjena, svako djelovanje u prirodi ima svoju posljedicu. Tako na prim-jer gibanje naboja stvara magnetsko polje, koje prema (3.3) nestaje tek u beskon-acnosti. Gibanje naboja u magnetskom polju ne ostaje nazapaženo - na njegadjeluje sila. Postavlja se pitanje: može li možda magnetsko polje pokretati elek-tricni naboj, uzrokovati struju? Odgovor je: Može, ako se polje mijenja!

Faraday je u okoliš magneta donio žicani zavoj (slika 3.7). Onda je naglo udaljiomagnet (ili zavoj, svejedno): u žici je potekla elektricna struja!

Br

+H [Az/m]-H

+B [T]

-B

200 400 600 800-200-400

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

-0.4

-0.2

Br

Hc

+H [Az/m]-H

+B [T]

-B

200 400 600 800-200-400-600

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

-0.4

-0.2

SLIKA 3.22: Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije

Magnetski se zavoj nije nalazio u polju iste jakosti prije i poslije udaljavanja

95

3. MAGNETIZAM

(jakost polja i broj silnica koje kroz zavoj prolaze opada s udaljenošcu). Uzrok jedakle promjena magnetskog toka. A posljedica svakako je elektricno polje, jer beznjega nema ni struje.

Opisanu pojavu vrijedno je pobliže razmotriti. Ako se vodic duljine l kreceu magnetskom polju brzinom v okomito na polje (prema slici 3.7 a) magnetskesilnice idu od oka promatraca okomito na površinu), onda na svaki naboj u tomvodicu djeluje sila F = Q · v · B , prema (3.12). No kako ta sila prema (3.14) imasuprotan smjer za naboje razlicitog polariteta, slijedi da ce se slobodan, negativannaboj vodica pomaknuti na jednu, a pozitivan naboj na drugu stranu. Pokusom seto može provjeriti tako da se vodic prilikom gibanja prepolovi. Svaka polovica bitce nabijena, i to nabojem suprotnog polariteta.

v

B Ba

b

-

+

v

a) b)

SLIKA 3.23: Elektromagnetska indukcija

Na slici 3.7 b) prikazane su i silnice elektricnog polja koje nastaje zbog prisut-nosti nabijenih krajeva vodica. Ta se pojava naziva elektromagnetska indukcija,dobiveni naboj inducirani naboj, a dobivena razlika potencijala inducirani napon.

Ako se to kretanje vodica ostvari na vodljivom okviru (slika 3.24), onda ce in-ducirani naboj poteci okvirom i struja ce teci sve dok se vodic po okviru giba. Ta sestruja naziva inducirana struja. Izraz za iznos induciranog naboja najlakše se do-biva preko energetskih odnosa. Naime, pomak naboja Q od tocke a do b znaci radostvaren silom F na putu l . Iznos sile je poznat (3.12), pa slijedi:

W = F · l =Q · l · v ·B [J ] (3.23)

No kako je prema (1.10)

e = W

Q(3.24)

iz (3.23) i (3.24) slijedi:

e = l · v ·B (3.25)

96

Elektromagnetska indukcija

Inducirani napon ovisi dakle o duljini i brzini vodica koji se krece u magnetskompolju i iznosu magnetske indukcije tog vektora v i B .

Inducirani napon može se promotriti i s druge tocke gledišta. Za infinitezimalnipomak vodica u gibanju, površina okvira abcd se poveca (ako je pomak u desno, ilismanji ako je pomak u lijevo), prema slici 3.24, za iznos:

d A = l ·d s

Buduci da magnetski tok φ ovisi o površini A, slijedi da ce se i on promijeniti:

dφ= B ·d A = B · l ·d s (3.26)

Taj se pomak dogodio u infinitezimalnom vremenu d t , pa (3.26) postaje:

dφ

d t= l ·B · d s

d t= l ·B · v (3.27)

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

l

d s

SLIKA 3.24: Gibanje vodica po metalnom okviru

Buduci da je (l ·B ·v) jednako induciranom naponu slijedi da je trenutna vrijed-nost napona numericki jednaka brzini promjene magnetskog toka, pa se iz (3.25) i(3.27) dobiva:

e =−dφ

d t(3.28)

Negativan predznak govori o smjeru induciranog napona koji je takav da izazivaposljedice koje ce se suprostavljati promjeni polja. Izraz (3.28) poznat je kao Faraday-ev zakon elektromagnetske indukcije.

Faraday-ev zakon sadrži mnogo više nego što je bilo pokazano. Svejedno jepomice li se magnet ili zavoj: napon se inducira ako se tok mijenja. Štoviše, imaslucaja kad je i vodic i polje (magnet) u mirovanju, a postoji vremenska promjenapolja - i onda se u vodicu izloženom tim promjenama inducira napon. Vremenskapromjena toka dφ obicno se ostvaruje ili promjenom efektivne površine u stalnojmagnetskoj indukciji B (npr. okretanjem ili pomakom zavoja) ili izmjenicnom stru-jom koja stvara izmjenicni tok.

97

3. MAGNETIZAM

3.7.1 LENZ-OVO PRAVILO

Njemackom znanstveniku F. E. Lenz-u pripisuje se sljedece korisno pravilo za pred-vidanje smjera inducirane struje. Ono glasi: Djelovanje induciranih velicina uvijekse suprotstavlja ili opire uzroku induciranja.

Neka se u razmatranje uzme vec opisani primjer sa slike 3.24. Inducirana strujace takoder, prema (3.3), stvarati oko gibanog vodica koncentricno magnetsko polje,koje se unutar okvira suprotstavlja polju u kojem se vodic krece. Na slici 3.24 površinase povecava, a s njom i magnetski tok i to je uzrok induciranja. Inducirana strujapak smanjuje iznos toka (jer generira drugi tok suprotnog smjera).

Kad bi se vodic kretao u suprotnom smjeru, i struja bi imala suprotan smjer odprikazanog. U tom bi slucaju polje opadalo, a inducirana struja bi ga podržavala(uvecavala). Lezov se zakon ocituje i u tomu što sila na vodic protjecan strujom umagnetskom polju indukcije B ima smjer suprotan smjeru brzine vodica, što zancida treba svladavti silu, tj. ulagati enegiju da bi se došlo do inducirane struje.

Lenzov zakon ima slicnosti s mehanickim nacelom inercije. Kad god pokušamopromijeniti status quo prirodnog sustava, sustav ce uciniti sve moguce da nas utome sprijeci. U ovom smislu negativan predznak Faraday-eva zakona (3.28) postajejasniji.

3.7.2 SAMOINDUKCIJA

Istosmjerna struja stvara stalni (konstantni) magnetski tok, a izmjenicna izmjenicni.Svaki promjenljivi tok, a to znaci i izmjenicni, inducira napon. U zavojnici ko-jom tece izmjenicna struja inducirat ce se dakle napon zbog promjena toka vlastitestruje (koja mijenja magnetski tok). Dakako, napon ce se inducirati, prema Faraday-evu zakonu (3.28) kako god se tok mijenja. Ta se pojava induciranja napona proizve-denog od vlastitog promjenljivog toka zove samoindukcija.

Neka je idealna zavojnica s N zavoja smještena na jezgru torusnog oblika kaona slici 3.25.

Nes

idφd t

SLIKA 3.25: Samoindukcija

Napon samoindukcije es ovisi o broju zavoja i brzini promjene toka, prema

98

Meduindukcija

(3.28) :

e =−N · dφ

d t(3.29)

Prema (3.7) za jednostavni magnetski krug vrijedi razmjernost promjene toka ipromjene struje:

dφ= µ ·N · A

l·di (3.30)

Uvrštenjem (3.30) u (3.29) dobiva se:

es =−N ·µ ·N · A

l·di

d t

odakle slijedi:

es =−N · µ ·N · A

l· di

d t=−µ ·N 2 · A

l· di

d t

Koeficijentµ ·N 2 · A

lnaziva se koeficijent samoindukcije ili induktivitet zavoj-

nice i oznacuje se s L. Jedinica mu je henri (H).

es =−L · di

d t(3.31)

Henri je složena jedinica koja se može izraziti preko drugih jedinica:

[H ] =[

V s

A

]=

[W b

A

]Prema II. Kirchhoff-ovu zakonu mora vrijediti : es +e = 0.

3.8 MEÐUINDUKCIJA

Zanimljivo je promotriti utjecaj promjenljivog toka jednog svitka (zavojnice) nadrugi svitak koji obuhvaca citav ili dio promjenljivog toka. Neka se na istu jezgrusa slike 3.25 namota nova zavojnica s N2 zavoja, kako je prikazano na 3.26. Prom-jenljiva struja u prvoj zavojnici stvara promjenljivi magnetski tok φ u jezgri. Zbogsamoindukcije u prvoj se zavojnici inducira napon:

e1 =−N1 · dφ1

d t(3.32)

Medutim i druga zavojnica obuhvaca isti promjenljivi tok. Zato ce se i u njojinducirati napon, ovisno o broju njezinih zavoja:

e2 =−N2 · dφ1

d t(3.33)

99

3. MAGNETIZAM

N1e1,es N2 e2

i1

dφd t

SLIKA 3.26: Meduinduktivna veza

Treba još pogledati o cemu ovisi promjenljivi tok φ1, napisati uzrok njegovepromjene. Slicno kao kod samindukcije iz (3.4), (3.5) i (3.7) slijedi:

φ1 = B · A =µ ·H1 · A =µ · N1 · i1

l· A

Uvrštenjem u (3.33) dobiva se:

e2 =−µ ·N1 ·N2 · A

l· di1

d t=−M · di1

d t(3.34)

Koeficijent M naziva se meduinduktivitet i ima istu jedinicu henri (H) kao i in-duktivitet. Meduinduktivitet se može izraziti i preko induktiviteta pojedinih svi-taka. Buduci da oba svitka obuhvacaju istu jezgru, prema slici 3.26, za L1 slijedi:

L1 =−µ ·N 21 · A

l= N 2

1

1

µ· l

A

= N 21

Rm(3.35)

i potpuno analogno za L2:

L2 =−µ ·N 22 · A

l= N 2

2

1

µ· l

A

= N 22

Rm

Povezujuci (3.32) sa (3.33) i (3.34) dobiva se:

M =−N1 ·N2

Rm=p

L1 ·Rm ·pL2 ·Rm

Rm=√

L1 ·L2

Ta je veza dobivena za slucaj potpunog magnetskog vezanja - sav tok od prvezavojnice prolazi kroz drugu zavojnicu. Ako to nije slucaj, u proracun meduinduk-tiviteta treba uzeti i dodatni faktor k magnetskog vezanja.

M = k ·√

L1 ·L2

100

Energija magnetskog polja

Primjer: Zanimljivo je pokazati vezu induciranog napona u drugoj zavojnici(sekundar) s naponom prve zavojnice (primar). Ako se izraz (3.32) podijeli s izra-zom (3.33) dobiva se:

e1

e2= N1

N2(3.36)

iz cega slijedi napon sekundara:

e2 = N2

N1·e1 (3.37)

Iz (3.36) vidi se da se naponi primara i sekundara odnose kao omjeri njihovihbrojeva zavoja. Izlazni napon može se mijenjati promjenom omjera broja zavoja,izraz (3.37). Na tom nacelu radi transformator (slika 3.27).

i1

e1 N1 e2N2

SLIKA 3.27: Transformator

Treba imati na umu da je inducirani napon posljedica promjene toka, te je stogauvijek promjenljiv. U praksi se izmjenicni napon primara transformira u izmjenicninapon željenog iznosa na sekundaru.

Kod idealnog transformatora (bez gubitaka), snage na primarnoj i sekundarnojstrani jednake su, što znaci da je pri višem sekundarnom naponu (veci broj zavojasekundara), sekundarna struja manja. Dobiti veci napon na sekundarnoj strani(povecanjem broja zavoja) moguce je samo uz smanjenje sekundarne struje.

Transformatori tako i služe pri prijenosu energije na velike udaljenosti. Visokon-aponski dalekovodi imaju vrlo visok napon, uz malu struju, cime se minimizirajugubici zbog zagrijavanja vodica (voda).

3.9 ENERGIJA MAGNETSKOG POLJA

Magnetsko polje, kao i elektricno, posjeduje energiju. Iznos energije W pohran-jene u zavojnici induktiviteta L jednak je radu koji se obavi pomicanjem nabojaprotiv napona samoindukcije es . U pocetku t = 0, neka je i = 0, a nakon toga neka

101

3. MAGNETIZAM

struja raste s prirastom di /d t . U vremenskom intervalu d t naboj koji kroz zavo-jnicu prode je prema (2.2):

dQ = i ·d t

a samoinducirani napon koji sprecava gibanje naboja je prema izrazu (3.31) jednak:

es =−L · di

d t

Iz toga slijedi da je ucinjeni rad:

dW =−es ·dQ = L · di

d t· i ·d t = L · i ·di

Ukupan rad W potreban za povecanje struje od nule do i je prema tomu:

W = 1

2L · i 2 (3.38)

Dok tece struja zavojnica induktiviteta L posjeduje energiju sadržanuu magnet-skom polju.

Ako napon na zavojnici koji je struju prouzrokovao trenutacno nestane, ondace ta energija sprecavati trenutni pad struje na nulu.

Zanimljivo je pogledati gdje je ova energija uskladištena (u elektricnom poljukondenzatora bila je u dielektriku izmedu ploca). Ako se u (3.38) uvrsti L iz (3.35) iI iz (3.9) slijedi:

W = 1

2L · i 2 = 1

2· µ ·N 2 · A

l

(H · l

N

)2

= µ ·H 2

2· A · l

Buduci da je A · l =Vol može se zakljuciti da je energija pohranjena u volumenuVol magnetskog polja koji zavojnica obuhvaca (npr. volumenu torusa kod torusnezavojnice) i da ovisi o kvadratu jakosti magnetskog polja, odnosno indukcije kojatu postoji.

W = µ ·H 2

2·Vol =

B 2

2µ·Vol =

B ·H

2·Vol

3.9.1 IZMJENICNO MAGNETIZIRANJE ŽELJEZA

Ako se feromagnetski materijal nalazi u magnetskom polju kojem se neprestanomijenja smjer (na primjer, polje koje stvara izmjenicna struja), onda ce promjenajakosti polja mijenjati indukciju na nacin opisan u potpoglavlju 3.4.

Jednim periodom izmjenicne struje opisat ce se jedna petlja histereze, a okre-tanjem smjera magnetskih dipola u feromagnetskom materijalu razvijat ce se toplina.Može se zamisliti stanovito ’unutrašnje trenje’ prilikom njihova okretanja.

102

Energija magnetskog polja

Diferencijal utrošene energije za porast struje i u vremenu d t koja uzrokujepromjenu jakosti polja, a s njim i promjenu indukcije dB jednak je:

dW = e · i ·d t = N · dφ

d t· H · l

N·d t = d(B · A) ·H · l = H · A · l ·dB (3.39)

odakle slijedi uz Vol = A · l

dW = H ·Vol ·dB

Ukupna energija dovedena u jednom periodu bit ce:

W =∫

dW =Vol

∫H ·dB (3.40)

gdje je Vol - volumen koji zavojnica, odnosno torusna jezgra unutar zavojnice ima.Integraciju treba dakle obaviti po zatvorenoj krivulji histereze, kao što je to prikazano

na slici 3.28. Poteškoca je medutim što H nije moguce izraziti kao jednostavnufunkciju od B , pa se integral u izrazu (3.40) ne može izracunati analiticki.

H

B

H

dB

SLIKA 3.28: Izmjenicno magnetiziranje feromagnetskog materijala

Integracija po zatvorenoj krivulji rezultira površinom koju zatvara, pa kao neposrednizakljucak slijedi da je utrošena energija to veca što je površina histereze veca. Toisto slijedi i za razvijenu toplinu, pa se toplinski gubici prilikom magnetiziranja izovu gubici petlje histereze. Da bi se gubici energije zbog histereze smanjili, poželjnoje da njezina površina bude što manja.

Osim gubitaka zbog histereze u jezgri postoje i gubici zbog tzv. vrtložnih struja.Promjenljivo magnetsko polje ima za posljedicu ne samo induciranje napona u za-vojnici oko jezgre nego i u feromagnetskoj jezgri kao vodicu. Posljedica pak in-duciranog napona u masivnom vodicu su vrtložne struje. Toplinski gubici zbogvrtložnih struja nisu zanemarivi. Zbog toga se dijelovi elektrickih strojeva izloženiizmjenicnom magnetiziranju izraduju od medusobno izoliranih limova kako bi sevrtložne struje smanjile.

103

3. MAGNETIZAM

Ako se iznos izmjenicne struje nakon svakog perioda smanji za odgovarajuciiznos, onda se i petlja histereze smanjuje, kako se vidi na slici 3.29 Nakon smanji-vanja iznosa struje na nulu jezgra više nema magnetska svojstva (B = 0 uz H = 0).Taj se postupak zove razmagnetiziranje jezgre.

H

B

SLIKA 3.29: Razmagnetiziranje jezgre

3.9.2 PRIVLACNA SILA MAGNETA

Poznavajuci energiju koju (elektro)magnet ima nije teško odrediti silu kojom mag-net privlaci ili nosi feromagnetski uzorak. S obzirom da je energija, odnosno rad,jednak sili na odredenom putu, prema slici 3.30 i izrazu (3.39) može se pisati :

dW = B 2

2µ0·dV = B 2

2µ0· A ·dl (3.41)

i

dW = F ·dl (3.42)

pa je iz (3.42) i (3.41):

F = B 2

2µ0· A

Nosiva, odnosno privlacna sila magneta razmjerna je kvadratu magnetske in-dukcije i efektivnoj (zajednickoj) površini predmeta i magneta na kojoj ta indukcijadjeluje.

3.10 APPLETI104

Appleti

SLIKA 3.30: Privlacna sila magneta

N

B

A

dl

F

3.10.1 NABOJ U MAGNETSKOM POLJU

SLIKA 3.31: Naboj u magnetskom polju

Pomocu klizaca namješta se:

• B (UPPER) - gustocu magnetskog toka u gornjoj polovici prozora

105

3. MAGNETIZAM

• B (LOWER) - gustocu magnetskog toka u donjoj polovici prozora

• MASS - masu naboja koji ulijece u magnetsko polje

• VELOCITY - brzinu s kojom naboj ulijece u magnetsko polje

• ANGLE - kut ulijetanja naboja click-om na gumb RESET vracamo simulacijuna pocetak.

3.10.2 LORENTZ-OVA SILA

SLIKA 3.32: Lorentz-ova sila

Click-om na gumb:

• ON/OFF - ukljucuje se i iskljucuje struja,

• REVERSE CURRENT - mijenja se smjer struje,

• TURN MAGNET - mijenja se smjer magnetskog polja.

Tri izborne ponude ispod posljednjeg gumba odreduju hoce li se vidjeti smjer:

• Struje - crvene strelice

• Magnetskog polja - plave strelice

• Lorentzove sile - crne strelice

106

Appleti

Oko vodica kojim tece struja postoji magnetsko polje. Ako se taj vodic nalazi uvanjskom magnetskom polju, na njega ce djelovati sila, tako da ce ga gurati u po-drucje manje gustoce silnica ukupnog magnetskog polja, koje se dobiva zbrajanjemmagnetskog polja vodica i vanjskog magnetskog polja. Ova sila zove se Lorentzovasila. Prema (3.2) Iznos Lorenzove sile je

F = B · I · l

gdje su:

• F - sila na vodic

• B - gustoca magnetskog toka

• l - duljina vodica

3.10.3 FARADAY-EV ZAKON

SLIKA 3.33: Faraday-ev zakon

Click-om na gumb:

• START - pokrece se simulacija,

• STOP - zaustavlja se simulacija.

S pomocu izbornih ponuda bira se da li ce se vidjeti smjer (strelice) za:

• magnetsku silu,

• magnetsko polje.

107

3. MAGNETIZAM

Klizaci služe za namještanje brzine promjene toka (engl. vary speed) i jakostimagnetskog polja (engl. vary field strenght).

Vertikalni štap se giba uzduž dva horizontalna vodica i zatvara strujni krug. Ukrug je prikljucen ampermetar koji mjeri struju koja se inducira. Buduci da jeinducirana struja proporcionalna induciranom naponu vi = B · l · v , povecanjembrzine gibanja štapa i jakosti magnetskog toka struja ce rasti. Vertikalni štap možese vuci s pomocu miša lijevo i desno. Ocevidno je kako smjer i brzina povlacenjautjecu na induciranu struju, ciju jakost pokazuje ampermetar.

3.10.4 LENNZ-OVO PRAVILO

Povlacenjem miša uz pritisnutu lijevu tipku miša moguce je približavati i udaljavatimagnet od vodica (prstena).

SLIKA 3.34: Lennz-ovo pravilo

Kada se magnet približava vodicu (prstenu), tok magnetskog polja kroz prstense povecava. U prstenu se inducira napon i tece struja. Smjer struje je takav da semagnetsko polje oko vodica suprotstavlja povecanju magnetskog toka.

Kada se magnet udaljava, inducirana struja i magnetsko polje oko vodica imasuprotan smjer od onog kad se magnet približava. U ovom se slucaju magnetskopolje oko vodica suprotstavlja smanjenju magnetskog toka.

Lenzovo pravilo: Inducirani napon stvara struju takvog smjera da se ona svojimdjelovanjem suprotstavlja promjeni (magnetskog toka) koja ga je izazvala.

108

Zadaci

3.11 ZADACI

3.1 Na polovici radiusa jednog vodica kružnog presjeka kroz koji tece strujakonstantne gustoce J postoji magnetsko polje H1.

a) koliki je iznos magnetskog polja na površini vodica (izrazite ga pomocuH1),

b) oznacite na presjeku vodica smjer magnetskog polja na površini vodicauz slobodno izabran smjer struje,

c) kako se mijenja iznos magnetskog polja od osi vodica prema površini,prikažite graficki,

d) izvedite ovisnost c).

Rješenje: a) 2H1 b) 0,75Ω d) 4 W d) 12 A, 2 A

3.2 Ravan vodic duljine 1m, mase 0,00784 kg, smješten je u zraku okomito nahorizontalno magnetsko polje jakosti 6,34 ·103 A/m. Nadite potrebnu jakost strujeda vodic miruje u magnetskom polju .

Rješenje: 9,65 [A]

3.3 Elektron ubrzan razlikom potencijala 300V giba se usporedno s ravninivodicem od njega udaljenim 4 mm. Kolika sila djeluje na elektron ako vodicemprolazi struja jakosti 5 A?

Rješenje: b) 4,12 ·10−16 N

3.4 Nabijena cestica uleti u homogeno magnetsko polje magnetske indukcije0,52 T brzinom 2 · 106 m/s. Koliki je specificni naboj cestice ako je ona u poljuopisala luk polumjera 4 cm? Koja je to cestica?

Rješenje: 0,961 ·108, proton

3.5 Na zatvorenu željeznu jezgru srednje duljine 0,6 m i presjeka 5 cm2 namotanoje 450 zavoja kroz koje tece struja 8,8 A i stvara magnetski tok 700 Wb.

a) kolika je indukcija,

b) koliki je iznos jakosti magnetskog polja,

c) koji je iznos relativne permeabilnosti željeza,

d) koliki otpor ima zavojnica ako je na nju prikljucen napon 10 V,

e) uz kvadraticni profil presjeka jezgre i jednoslojan namot, koliki je iznospresjeka bakrene žice namotaja?

109

3. MAGNETIZAM

Rješenje: a) 1,4 T b) 6600 A/m c) 168,8 Vs/Am d) 1,136Ω e) 0,623 mm2

3.6 Kroz dva ravna usporedna vodica teku struje 5 A i 10 A. Kolika sila djelujemedu vodicima na duljinu 1m ako su oni medusobno udaljeni 10 cm?

Rješenje: 0,0001 N

3.7 U homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 2 ·104 smješten je dugiravni vodic okomito na silnice. Vodicem tece struja jakosti 50 A. Nadi geometrijskomjesto tocaka u kojima je magnetska indukcija jednaka nuli.

Rješenje: 5 cm

3.8 Kroz 800 zavoja namotanih na nemagneticno tijelo oblika torusa srednjedužine 0,2π m i presjeka 50 cm2 tece struja I = 10 A.

a) koliki je iznos jakosti magnetskog polja u zavojnici,

b) koliki je induktivitet zavojnice,

c) koliku magnetsku energiju sadrži zavojnica?

Rješenje: a) 12734 A/m b) 6.4 mH c) 0,32 J

3.9 Koji se napon inducira u zavojnici sa 10 zavoja površine 5 cm2 ako tu zavo-jnicu za 0,005 s unesemo u magnetsko polje jakosti 8 ·104 A/m? Površina zavojniceokomita je na silnice.

Rješenje: 0,1 [V]

3.10 U zavojnici se za vrijeme 0,2 s promijeni jakost struje od 15 A na 10 A.Pritom se inducira napon 2 V. Koliki je induktivitet zavojnice?

Rješenje: 0,08 H

110

4POGLAVLJE

PRIJELAZNE POJAVE

Elektricki elementi koji mogu uskladištiti energiju elektricnog (kondenzator) i mag-netskog (zavojnica) polja, mogu se nalaziti u dva stacionarna stanja: sa i bez en-ergije. Od interesa je upoznati pojave koje nastaju pri prijelazu iz jednog u drugostacionarno stanje, jer se njima obuhvaca preraspodjela energije u strujnim kru-govima, što je cest slucaj u praksi. Skup svih dogadaja pri tom prijelazu obuhvacanaziv ’prijelazne pojave’. Glavno pitanje koje se u sljedecim tockama rješava jest:kako se mijenja napon i struja na kondenzatoru i zavojnici izmedu dva stacionarnastanja.

4.1 RC-KRUG

4.1.1 ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

Kad se prazan kondenzator prikljuci na izvor napona V , kondenzatoru se dovodinaboj i time povecava razlika potencijala v , izmedu ploca. Nakon dovoljno dugovremena kondenzator se nabije nabojem Q = C ·V , izraz 1.13, i poprimi naponizvora V . Tijekom nabijanja, porastu napona kondenzatora v , za vrijednost d v ,uzrok je porast naboja d q :

dQ =C ·d v

Malim slovima oznacuju se trenutacne vrijednosti pojedinih velicina. Kod gibanjanaboja d q , elektricno polje obavlja rad (izraz 1.11):

dW = d q · v

Ukupna energija koju do kraja nabijanja pohrani kondenzator, prema izrazu1.21, iznosi:

W =C∫ V

0v ·d v = C ·V 2

2= Q ·V

2= Q2

2 ·C

111

4. PRIJELAZNE POJAVE

Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izmedu ploca (elek-troda), kao energija elektricnog polja.

Kod izbijanja kondenzatora, elektricno polje u izolatoru se razgraduje. Ta se en-ergija oslobada i može se pretvoriti u neki drugi oblik energije (toplinsku, svjetlosnuili opet u elektricnu).

4.1.2 ENERGIJA NA OTPORU

Može se dokazati da kod nabijanja kondenzator dobije samo polovicu energije kojudaje izvor. Druga polovica energije izvora potroši se na otporu kruga R.

WR =Wi −WC =Q ·V −Q · V

2=Q · V

2=WC

Na otporu kruga potroši se do kraja nabijanja toliko energije koliko je dobijekondenzator.

4.1.3 NABIJANJE (PUNJENJE) KONDENZATORA

Ukljucenjem pocetno praznog kondenzatora u strujni krug s otporom R koji zam-jenjuje sve otpore kruga (radni otpor, otpor voda, nutarnji otpor izvora) (slika 4.1)dogada se prijelazna pojava nabijanja kondenzatora dok mu napon ne poprimi vri-jednost napona izvora. Struja nabijanja kondenzatora u pocetku je velika, a kakonaboj na plocama raste, tako njezin iznos pada.

2

−+V

1

R

C

0S

SLIKA 4.1: RC krug

Struja I u trenutku prikljucenja odredena je samo naponom V i otporom krugaR, tj. Ohm-ovim zakonom (I =V /R).

Kako nakon prikljucenja napon kondenzatora vC nabijanjem postupno raste,tako se smanjuje napon na otporu vR (vR =V · vC ), a s njime i jakost struje u krugui (i = vR /R ).

112

RC-krug

Naponi se na pocetku nabijanja mijenjaju brže, a prema završetku nabijanja svesporije. Trajanje nabijanja je dulje što su veci kapacitet C i otpor kruga R. Umnožakvrijednosti kapaciteta i otpora takoder ima dimenziju vremena i zove se vremenskakonstanta:

τ= R ·C (4.1)

Nakon isteka jedne vremenske konstante kondenzator se nabije na 63% kon-acnog napona.

Napon kondenzatora raste sve sporije prema konacnoj vrijednosti (napona izvo-ra V , a uzima se da je kondenzator nabijen nakon vremena t = 5τ (tj. pet vremen-skih konstanti). Struja tada prakticki više ne tece iz izvora, pa se kaže da je konden-zator nabijen.

4.1.4 IZBIJANJE (PRAŽNJENJE) KONDENZATORA

Nabijeni kondenzator odspojen od izvora sadrži elektricnu energiju. Vodljivim spa-janjem njegovih elektroda višak elektrona s negativne elektrode odlazi na pozitivnutvoreci tako struju kroz vodljivi spoj izmedu elektroda.

Strujom kondenzator predaje energiju otporu, preko kojeg su elektrode vodljivospojene. Ovo predavanje energije popraceno smanjenjem naboja i napona nazivase izbijanje (ili pražnjenje) kondenzatora.

Kod izbijanja, kondenzator se ponaša kao izvor kome se napon postupno sman-juje. Pocetna struja izbijanja I odredena je naponom nabijenog kondenzatora VC iotporom R vodljivog spoja izmedu prikljucnica kondenzatora:

I = VC

R

Izbijanjem se smanjuje naboj, napon kondenzatora i struja. Proces je u pocetkubrz, a prema završetku izbijanja sve sporiji. U svakom trenutku vrijedi Kirchhoff-ovzakon za napone:

vR = vC

U svakom trenutku napon na otporu vR jednak je naponu kondenzatora vC ,pa je time preko Ohm-ovog zakona u svakom trunutku odredena i veza izmedunapona kondenzatora vC i struje izbijanja i jednaka:

i ·R = vR

Na slici 4.2 prikazana je naponska funkcija nabijanja i izbijanja kondenzatorav = f (t ).

4.2 RL-KRUG113

4. PRIJELAZNE POJAVE

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

nabijanje

izbijanje

V

t

v

SLIKA 4.2: v=f(t) u RC krugu

4.2.1 ENERGIJA ZAVOJNICE

Porastom struje zavojnice od nule do neke vrijednosti I u svitku se stvara magnet-sko polje. Energija tog polja pohranjuje se u svitku. Smanjenjem struje magnetskopolje se razgraduje i svitak putem induciranog napona energiju vraca natrag u krug.

Snaga na zavojnici odredena je u svakom trenutku umnoškom struje i i induci-ranog napona vL :

pL = i · vL = i · L ·∆i

∆tEnergija svitka jednaka je umnošku snage i promjene vremena:

∆WL = pL ·∆t = i ·uL ·∆t = i ·L · ∆i

∆t·∆t = i ·L ·∆i (4.2)

Ukupna energija svitka jednaka je zbroju svih diskretnih porasta energije ∆WL

pri porastu struje od 0 do I , pa se ukupna energija svitka dobije zbrajanjem, odnosnointegriranjem jednadžbe (4.2):

W =l∑0

i ·L ·∆i = L · I 2

2

gdje je:

• WL - energija pohranjena u svitku

• L - induktivitet svitka

• I - struja svitka

što je identicno vec izvedenom izrazu u (3.38).Energija svitka (stalnog induktiviteta) odredena je njegovim induktivitetom i

jakošcu struje. Promjena struje svitka znaci promjenu njegove energije. Kako nijemoguca trenutacna promjena energije, tako nije moguca ni trenutacna promjenastruje svitka i on se tome opire svojim induciranim naponom.

Kod ukapcanja i iskapcanja strujnog kruga sa svitkom (RL - krug), stacionarnostanje se zbog toga ne uspostavlja trenutacno, nego se javlja prijelazno stanje ukojem se postupno uspostavljaju konacne velicine struje i napona.

114

RL-krug

4.2.2 UKAPCANJE RL - KRUGA

Svaka se realna zavojnica može predociti kao spoj radnog otpora R i induktivitetaL. Dovede li se napon u strujni krug u koji je spojena realna zavojnica (spajanjepreklopke u položaj 0−1 na slici 4.3) struja ce od pocetne vrijednosti i = 0 do svojestacionarne vrijednosti i = V /R s vremenom mijenjati svoj iznos. Promjena strujeinducirat ce prema (3.31) napon samoindukcije, koji ce se po Lenz-ovu zakonusuprotstavljati promjeni struje, tj. usporavat ce njezin porast.

2

−+V

1

R

L

0S

SLIKA 4.3: RL krug

Jakost struje raste u zavojnici po eksponencijalnom zakonu. Za vrijeme jednevremenske konstante (t = τ) struja postigne 63,2% svoje konacne vrijednosti. Vri-jednost stacionarnog stanja prakticki se postiže vec nakon vremena od 4 do 5 vre-menskih konstanti. To se osobito zorno vidi na slici 4.4.

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

0.632 I

I

t

i

SLIKA 4.4: i=f(t) za ukljucenje RL kruga

Suprotstavljajuci se trenutacnoj promjeni struje, na svitku se nakon ukapcanjajavlja inducirani napon iznossa jednakog iznosu izvora.

Da bi struja neposredno nakon ukapcanja bila ista kao u casu neposredno prijetoga, to jest nula, inducirani napon na svitku u trenutku ukapcanja mora poništitinapon izvora. Stoga, neposredno nakon ukapcanja, inducirani napon na induk-tivitetu po iznosu je jednak naponu izvora.

115

4. PRIJELAZNE POJAVE

Inducirani napon najveci je u trenutku ukapcanja, jer je tad najveca promjenamagnetskog toka. Potom, kako se u svitku postepeno uspostavlja magnetski tok,smanjuje se brzina njegove promjene. Time se postupno smanjuje i induciraninapon vL .

Napon na otporu vR u svakom je casu jednak razlici napona izvora V i naponana induktivitetu vL :

vR =V − vL

Kako se smanjuje napon vL tako raste napon na otporu vR , a isto tako postupnoraste struja:

i = vR

R= V

R− vL

R

Struja raste od nule do konacne vrijednosti:

i = V

R

koja je odredena samo naponom izvora i otporom kruga. To je velicina struje ustacionarnom stanju.

Porast struje je sporiji i prijelazno stanje traje dulje, što je veci omjer induk-tiviteta i otpora kruga. Analogno slucaju kondenzatora, izraz 4.1, ovaj omjer oz-nacava se s τ i naziva vremenska konstanta RL-kruga.

τ= L

R

Jedinica za vremensku konstantu je sekunda.Vremenska konstanta τ je vrijeme nakon ukapcanja svitka, u kojem struja RL -

kruga poraste na 63% svoje konacne vrijednosti. U istom vremenu napon na in-duktivitetu padne na 37% svoje pocetne vrijednosti.

Struja se sve sporije približava svojoj konacnoj vrijednosti I , a uzima se da jerealno doseže (te nastupa stacionarno stanje) nakon vremena:

Tuk = 5 ·τ

4.2.3 ISKAPCANJE RL - KRUGA

Drugi slucaj prijelazne pojave u RL-krugu jest prekidanje toka stacionarne strujeI , na primjer spajanjem preklopke u položaj 0−2 u shemi na slici 4.3. U strujnomkrugu bez izvora struja mora pasti na nulu (utrnuti). Promjene struje neizbježne prismanjivanju stacionarne vrijednosti I na stacionarnu vrijednost i = 0 uzrokom sunapona samoindukcije, ciji je smjer po Lenz-ovom zakonu takav da se suprotstavljapromjeni, tj. nastoji održati dotadašnju struju.

116

Elektromagnetski oscilirajuci krug

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

I

t

i

SLIKA 4.5: i=f(t) za iskljucenje RL kruga

Struja dakle eksponencijalno trne u beskonacnosti (prakticki nakon 4−5τ). Brz-ina pada opet ovisi o vremenskoj konstanti. Vidi se (slika 4.5) da zbog prisutnostiinduktiviteta L strujni krug pokazuje stanovitu tromost pri promjeni struje.

Kod iskapcanja, suprostavljajuci se padu struje, svitak djeluje kao naponski izvorkoji nastoji i dalje tjerati struju u istom smjeru.

U trenutku prekida struje otvaranjem sklopke, na induktivitetu se javlja induci-rani napon vrlo velikog iznosa (može biti i nekoliko kilovolti). Velicina induciranognapona, može se ograniciti tako da se svitak pritom kratko spoji.

Polaritet induciranog napona vL je takav da on djeluje kao izvor, nastojeci održatistruju kroz svitak i nakon odspajaanja izvora. Da bi struja u casu neposredno nakoniskapcanja bila jednaka I kao prije iskapcanja, iznos induciranog napona u tomcasu jednak je umnošku velicine struje prije iskapcanja i otpora preko kojeg se svi-tak kratko spaja. To je i najveca vrijednost induciranog napona, koji potom pos-tupno pada prema nuli.

Struja je kod iskapcanja jednaka omjeru induciranog napona i otpora preko ko-jeg je svitak kratko spojen. Ona, slicno kao napon vL , s vremenom postupno padaod pocetne vrijednosti I do nule. Pritom se potpuno razgradi magnetsko poljesvitka i potroši njegova energija.

Brzinu smanjivanja struje svitka, kao i trajanje prijelaznog stanja pri iskapcanjusvitka, odreduje vremenska konstanta τ, koja je jednaka omjeru induktiviteta i ot-pora iskapcanja.

Struja, kao i napon vL , nakon jedne vremenske konstante padne na 37% pocetnevrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti prakticno padne na nulu (ti s = 5 ·τ).

4.3 ELEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUCI KRUG

Zanimljive pojave nastaju, ako se nabijeni kondenzator spoji u strujni krug sa za-vojnicom. Kondenzator se nabije u strujnom krugu koji ima izvor istosmjernognapona. Zatim se, pomocu prikladne sklopke, zatvori krug u kojem se nalaze samokondenzator i zavojnica. Pocetno je zavojnica bez struje, dakle i bez energije, dokje u kondenzatoru pohranjena energija Q2/2 ·C .

Tada se kondenzator pocinje izbijati preko zavojnice. Promjena toka naboja u

117

4. PRIJELAZNE POJAVE

zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste, a elektricno polje u ko-nenzatoru pada. Nakon prijelaznog procesa, kondenzator je cijelu svoju potenci-jalnu energiju Q2/2 ·C predao zavojnici, koja tako dobiva najvecu energiju L · I 2/2.Ako nema gubitaka (npr. na otporu), ta energija jednaka je prvotnoj elektricnoj.Nakon toga slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na racun magnetske energijezavojnice. Može se primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu.

Buduci da se proces ponavlja, a struja, naboj i napon su harmonickog oblika,govori se o elektricnim oscilacijama. Ako je pocetna energija kruga bila Q2/2 ·C ,ukupna energija u bilo kojem vremenu izracuna se iz:

q2

2 ·C +L · i 2

2= Q2

2 ·Cgdje su q i i trenutne vrijednosti naboja, odnosno struje.

Rješenjem te jednadžbe slijedi da je frekvencija oscilacija f jednaka:

f = 1

T= 1

2 ·πpL ·Ciz cega se vidi da je frekvencija (brzina promjene) to veca što su induktivitet i ka-pacitet manji.

L

C

a

a

b

b

S

a

a

b

b

a

a

b

b

++++++

mI mI

−−−−−−

mV mV

SLIKA 4.6: LC oscilator

Ono što je pritom zadivljujuce jest povezanost sa slicnim fizikalnim velicinamamehanickih oscilacija. Povezanost izmedu elektricnih i mehanickih sustava je to-liko velika da je moguce riješiti složene mehanicke ili akusticke probleme postavl-janjem analognih elektricnih krugova i mjerenjem na lak nacin napona i struja kojeodgovaraju mehanickim i akustickim ’nepoznanicama’. Ako je m masa tijela ob-ješenog na spiralnoj opruzi krutosti k, onda ce kružna frekvencija ω toga sustavabiti

ω=√

k

m

118

Elektromagnetski valovi

što odgovara elektricnim oscilacijama:

ω=√

1

L ·CBuduci da je sustav zatvoren, zbroj kineticke i potecijalne (elasticne) energije

je konstantan i jednak potencijalnoj energiji koju tijelo ima na maksimalnoj udal-jenosti xm .

Usporedba nekih izraza koji vrijede za oba oscilacijska kruga, mehanickog ielektricnog dana je u tablici 4.1.

Utjecaj otpora u oscilatorima je potrošak energije u vidu topline. To odgovaratrenju u mehanickom sustavu. Gubitak energije ima za posljedicu smanjenje am-plituda oscilacija ili ga je potrebno nadoknadivati iz stranog izvora energije.

Hertz je 1888. godine pokazao da oscilacijski krugovi (odašiljaci) mogu poslatienergiju kroz prostor do slicnog kruga (prijemnika). Osim potvrde poznatih zakonaiz optike, Hertz-ovi pokusi dokazali su i Maxwell-ovu teoriju elektromagnetskih val-ova, koja je sigurno jedan od najvecih uspjeha znanosti 19. stoljeca.

TABLICA 4.1: Usporedba mehanickih i elektrickih oscilacija

Masa na elasticnoj opruzi LC krug

m·v2

2 + k·x2

2 = m·x2m

2L·i 2

2 + q2

2·C = Q2

2·Cv =

√km · (x2

m −x2) i =√

1L·C · (Q2 −q2)

v = d xd t i = d q

d tx = xm · si nωt q =Q · si nωt

4.4 ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

Elektricitet i magnetizam pocetno su promatrani i proucavani kao razlicita podrucja.Medutim, elektromagnetska indukcija pokazala je da gdje god postoji promjena umagnetskom polju, da se tu stvara i elektricno polje (3.28). Isto tako gibanje naboja,tj. postojanje i promjena elektricnog polja, stvara magnetsko polje kako je objašn-jeno u poglavlju 3. Ocevidno, nemoguce je postojanje jednog efekta bez pojavedrugog. Na tome je Maxwell gradio svoju teoriju o nerazdvojivosti elektrickog imagnetskog polja, te njihova širenja kroz prostor.

Godine 1864. uspio je postaviti zakone u opcem matematickom obliku. Ti za-koni zajedno daju diferencijalne jednadžbe širenja elektromagnetskih valova, elek-tromagnetskih - zbog elektricne (E) i magnetske (B) velicine od koje su sastavljeni,a valova - zbog njihove formalne podudarnosti s jednadžbama širenja mehanickihvalova.

Otkrivena veza elektricnog i magnetskog polja može se sažeti u nekoliko važnihcinjenica:

119

4. PRIJELAZNE POJAVE

Ovo nije baš dobra slika, ali se sjećam da je Stanković jednom crtao identičnu pa bi to trebalo pronaći

SLIKA 4.7: Elektromagnetski valovi

a) Sve promjene se istodobno dogadaju u oba polja (elektricnom i magnet-skom), koje svoje minimalne i maksimalne vrijednosti imaju na istommjestu i u isto vrijeme.

b) Jakosti elektricnog polja B i indukcije magnetskog polja E medusobno suokomiti vektori, istodobno okomiti na smjer širenja vala (slika 4.4).

c) Iznosi tih dvaju vektora povezani su s konstantom c:

E = c ·B

d) Elektromagnetski valovi nose energiju i njihovo širenje je tok energije

elektricne gustoce ( ε0·E 2

2 ) i magnetske gustoce ( B 2

2·µ0).

e) Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakuumu je:

c = 1

µ0 ·ε0= 3 ·108 m/s

Elektromagnetski valovi šire se, dakle, u vakuumu brzinom svjetlosti!Izražena u strogom matematickom obliku Maxwell-ova teorija dovela je do za-

kljucka da je svjetlost elektromagnetski val. Hertz-ovi pokusi, kako je vec receno,potvrdili su ispravnost te teorije.

4.5 APPLETI

4.5.1 RC-KRUG120

Appleti

SLIKA 4.8: RC-krug

Pomocu tri padajuca izbornika biraju se vrijednosti otpora, kapaciteta i napona.Nakon svakog odabira mora se click-nuti na gumb UPDATE, da bi se odabrane vri-jednosti upisale pored odgovarajucih elemenata u strujnom krugu.

Napon se još može mijenjati clickom iznad baterije i povlacenjem gore ili doljenaponskog stupca s pomocu miša (pritisnuta lijeva tipka miša). Taj stupac prikazujeiznos napona baterije.

Click-om na crveni prekidac pokrece se simulacija. Trenutne vrijednosti naponana kondenzatoru i otporniku prikazane su pored tih elemenata. Crvena krivuljaprikazuje napon kao funkciju vremena, a plava struju, takoder kao funkciju vre-mena.

Click-om na gumb RESET vraca se vrijeme na nulu. Click-om na crveni preki-dac mijenja se njegov položaj, tj. zatvara se veci ili manji strujni krug.

U vecem krugu postoji izvor napona (baterija), pa se zatvaranjem tog kruga kon-denzator puni. Ako se, nakon punjenja kondenzatora, zatvori manji strujni krug,kondenzator ce se prazniti preko otpora R.

Simulacija se možemo zaustaviti držanjem pritisnute lijeve tipke miša, a kodotpuštanja simulacija se nastavlja.

4.5.2 RL-KRUG

Click-om miša (lijevi click) na prekidac na appletu ukljucuje se, odnosno iskljucujestrujni krug. S pomocu klizaca namješta se otpor na reostatu (0−10Ω) i induktivitet

121

4. PRIJELAZNE POJAVE

SLIKA 4.9: RL-krug

na zavojnici (0−2H).Nakon zatvaranja strujnog kruga, iznad zavojnice se pojavljuju dvije strelice:

plava pokazuje smjer struje koja tece krugom, a crvena pokazuje smjer induci-rane struje u zavojnici. Ako se želi da na ekranu osciloskopa napon bude prikazankrivuljom, treba se click-nuti na oznaku ’curve’ (hrv. krivulja).

4.5.3 ELEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUCI KRUG

SLIKA 4.10: Elektromagnetski oscilirajuci krug

Click-om na gumb:

122

Appleti

a) RESET - kondenzator ce se spojiti na izvor napona, pa ce se na njemurazdvojiti naboji. Gornja ploca bit ce pozitivna, a donja negativna.

b) START - prekidac ce doci u drugi položaj i oscilacije ce zapoceti. Nakontoga isti gumb omogucuje prekidanje (PAUSE) i nastavljanje simulacije(RESUME).

c) Opcije SLOW MOTION omogucuju 10 ili 100 puta sporiji prikaz oscilacijaod realnih.

U tekstovna polja upisuju se vrijednosti kapaciteta (CAPACITY : 100−1000µ F),induktiviteta (INDUCTIVITY : 1−10 H), otpora (RESISTANCE: 0−1000Ω) i naponana izvoru (MAX. VOLTAGE).

Na lijevoj strani appleta piše vrijeme proteklo od pocetka oscilacija, a ispod pišeperiod oscilacija.

Mogu se odabrati jednu od dvije opcije u donjem desnom kutu:

a) VOLTAGE, AMPERAGE - u dijagramu ce biti prikazani napon V (plavo) ijakost struje I (crveno) kao funkcije vremena.

b) ENERGY - graficki ce biti prikazana transformacija energije (energija elek-tricnog polja kondenzatora - crveno, energija magnetskog polja zavo-jnice - plavo i energija potrošena na otporniku - crno)

123

4. PRIJELAZNE POJAVE

4.6 ZADACI

4.1 Kondenzator je sastavljen od dviju paralelnih ploca od površine 60 cm2

koje su jedna od druge udaljene 3 mm. Medu njima je bakelit, kojemu je relativnadielektricnost 4. Kondenzator ima napon od 500 V. Kolika se energija oslobodi izbi-janjem tog kondenzatora?

Rješenje: 8,85µ J

4.2 Zavojnica ima otpor 5Ω i induktivitet 100 mH. U jednom specificnom trenutkunakon ukljucivanja baterije, potece struja u zavojnici iznosa 2 A i promjene Λi

∆t = 20A/s. Odredite:

a) napon baterije,

b) vremenska konstanta kruga,

c) konacnu vrijednost struje?

d) konacnu vrijednost energije kondenzatora?

Rješenje: a) 12 V b) 0,02 s c) 2,4 A c) 0,288 J

4.3 Kondenzator ima kapacitet 15µF, otpornik ima otpor 8MΩ, a baterija napon800 V. U jednom specificnom trenutku nakon ukljucivanja baterije tece struja kojapuni kondenzator, a napon na njemu je 350 V. Kondenzator je u pocetku prazan.Odredite:

a) brzina promjene napona na kondenzatoru u odabranom trenutku nakonukljucivanja,

b) vremensku konstanta kruga,

c) konacnu vrijednost struje?

d) konacnu vrijednost energije kondenzatora?

Rješenje: a) 0,375 V/s b) 120 s c) 0 A d) 4,8 J

124

5POGLAVLJE

IZMJENICNE STRUJE

Vec pri prijelaznim pojavama u strujnom krugu uocene su elektricne velicine (struje,naponi, elektromotorne sile) koje nisu vremenski konstantne. Njihove vrijednostipoprimaju u svakom trenutku drugi iznos.

Opcenito se trenutna vrijednost, uzmimo struje, može iskazati izrazom:

i = f (t ) (5.1)

Konstantna struja, istosmjerna bez promjene iznosa, kakva je prikazana na slici5.1, gdje je i = I , tek je poseban slucaj gornjeg izraza. Ako struja i = f (t ) mijenjasamo iznos, a ne i predznak, ostaje istosmjerna (slika 5.1 b.).

a)

t

i

b)

t

i

SLIKA 5.1: Istosmjerne struje

Ako struja i = f (t ) uz iznos mijenja i predznak, naziva se izmjenicna (slika 5.2).Fizikalno to znaci da ima vremenskih odsjecaka u kojima se nosioci naboja gibajui u suprotnom smjeru. Obicno se smjer gibanja pozitivnog naboja pridružuje pozi-tivnim iznosima u izrazu i = f (t ), a smjer negativnog naboja negativnim.

Promjena struje može biti periodicka, što znaci da se u izrazu i = f (t ) u kon-stantnim vremenskim razmacima ponavljaju iste vrijednosti s istom derivacijom ida to vrijedi za bilo koji trenutak. Minimalni vremenski razmak takvih tocaka zovese period T . Dva primjera periodicki promjenljivih struja prikazuje slika 5.3. Naslici 5.3 a. je istosmjerna, a na slici 5.3 b. izmjenicna periodicka struja.

Periodicka struja prema tome zadovoljava izraz:

i (t ) = f (t +k ·T )

125

5. IZMJENICNE STRUJE

t

i

SLIKA 5.2: Izmjenicna struja

T

a)

t

i

b)

t

i

T

SLIKA 5.3: Periodicke struje

gdje je k = 0,1,2,3, . . . Ako je srednja vrijednost periodicke struje i (t ), definiranaizrazom:

Isr = 1

T

∫ T

0i (t ) ·d t

jednaka nuli, struja i (t ) je cista izmjenicna.

5.1 HARMONICKI OBLIK

Ako je dobivena srednja vrijednost Isr razlicita od nule, tada je ta periodicka strujasastavljena od dvije komponente: od konstantne istosmjerne iznosa Isr i ciste izm-jenicne, kako je za jedan slucaj prikazano na slici 5.4. Struja u lijevom dijagramujednaka je zbroju komponenata prikazanih na preostala dva dijagrama.

Medu cistim izmjenicnim strujama neki se oblici pojavljuju cešce. Tako su cešcioblici u kojih je negativni dio iznosima jednak pozitivnom, a medu takvima najza-stupljeniji je harmonicki oblik (slika 5.5).

126

Harmonicki oblik

t

i

ISR

=ISR

t

i

+

t

i

SLIKA 5.4: Periodicka struja sa Is r ≈ 0

Mnoge prirodne pojave cesto se odvijaju po harmonickoj promjeni. Važno jenjezino svojstvo da joj derivacija i integral ostaju harmonicki uz vremenski pomak.

t

i

SLIKA 5.5: Harmonicka struja

Najjednostavniji matematicki opis harmonickog oblika je onaj pri kojem je uvremenu t = 0 iznos funkcije nula, uz pozitivnu derivaciju. Za struju to je izraz:

i (t ) = Im · sin(ωt )

gdje je Im - amplituda, ω - konstanta, a ωt - kut.Cesto se takav oblik jednostavno zove sinusnim ili sinusoidalnim.Neharmonicki periodicki oblici mogu se primjenom Fourier-ove analize pre-

dociti kao zbroj harmonickih komponenata i jedne konstantne.U nastavku se pod pojmom izmjenicne struje podrazumijeva struja harmonickog

oblika, jednostavno zvana sinusoidalnom strujom. Nju daje izvor napona istog ob-lika.

Uobicajeno je da se fizicki smjer struje u vodicu kome pripadaju pozitivni iznosiu izrazu i (t ) utvrduje kao referentni i oznacuje strelicom u shemama strujnih kru-gova (slika 5.6). Njemu pripada referentni polaritet napona izvora koji se može oz-naciti oznakama ’+’ i ’−’. Pri negativnim trenutnim vrijednostima i (t ) i v(t ) smjerstruje i polaritet napona su suprotni od naznacenog.

5.1.1 FREKVENCIJA I KRUŽNA FREKVENCIJA127

5. IZMJENICNE STRUJE

V−

+i

SLIKA 5.6: Referentni smjer struje i pripadajuci polaritet napona izvora

U vremenu perioda T izmjenicna struja izvrši jedan potpuni titraj. Broj titraja N uvremenu ∆t naziva se frekvencijom:

f r ekvenci j a f = br o j t i tr a j a N

vr i j eme ∆ t[

1

s] = [H z]

Jedinica frekvencije je H z (Herc). Ako se vrijeme promatranja iste pojave svedena period ∆t = T , broj titraja N je jedan, a frekvencija iznosi:

f = 1

t[H z]

Vrijeme trajanja jednog titraja ili period T reciprocno je vrijednosti frekvencije.Frekvencija izmjenicne struje korištene u elektroenergetskim sustavima ovisi o

brzini vrtnje i o broju magnetskih polova generatora u kojem se proizvodi, što semože prikazati slikom 5.7. Tu se nalaze shematizirani presjeci dvaju generatora sjednim namotom na statoru i s magnetskim polovima na rotoru. Rotor na slici 5.7a) ima dva, a na slici 5.7 b) cetiri magnetska pola. Broj pari polova p u prvom slucajuje jedan, a u drugome dva.

N

S

p = 1

a)

N

N

SS

p = 2

b)

SLIKA 5.7: Shematizirani prikazi generatora izmjenicne struje

128

Harmonicki oblik

Rotacijom magnetskih polova u statorskom namotu inducira se izmjenicni napon.U jednom okretaju rotora na slici 5.7 a) inducira se jedan titraj, a u jednom okretajurotora na slici 5.7 b) induciraju se dva titraja. Kod p pari polova u jednom okretajuinducirat ce se p titraja.

Kod n broja okretaja u generatoru na slici 5.7 a) inducira se n titraja, u genera-toru na slici 5.7 b) n ·2 titraja, a u generatoru s p pari polova n ·p titraja. U jednojsekundi inducirat ce se opcenito:

f = n ·p [H z]

titraja, ako je n broj okretaja u sekundi, ili:

f = n ·p

60[H z]

ako je n broj okretaja u minuti.Jednom titraju induciranog napona pripada kut αel = 2π. U istom vremenu

rotor generatora na slici 5.7 a) prijede kut αg eom = 2π , a rotor na slici 5.7 b) kutαg eom = 2π/2. Rotor s p pari polova prijeci ce u istom vremenu kut αg eom = 2π/p.Elektrickom kutu odgovara p puta manji geometrijski kut, pa je:

αg eom = αel

p

Uz konstantnu kutnu brzinu vrtnje rotora ωg eom vrijedi:

αg eom =ωg eom · t

a uz konstantnu frekvenciju:

αel =ω · t

gdje se ω naziva kružnom frekvencijom.Za αel = 2π, t = T , pa je:

2 ·π=ω ·T

i

ω= 2 ·πT

[H z]

Kružna frekvencija jednaka je kutnoj brzini generatora samo ako ovaj ima jedanpar polova, jer je tada elektricki kut jednak geometrijskom. Uz f = 1/T slijedipovezanost frekvencije i kružne frekvencije:

ω= 2 ·π · f

Primjer: Struja javne elektricne mreže ima frekvenciju 50 Hz, pa trajanje jednogperioda kod nje iznosi:

T = 1

f= 1

50= 0,02s = 20ms

129

5. IZMJENICNE STRUJE

a kružna frekvencija:

ω= 2 ·π ·50 = 314s−1

Ako se ona proizvodi npr. u generatorima s brojem pari polova p = 2, oni semoraju vrtjeti brzinom:

n = 60 · f

p= 60 ·50

2= 1.500mi n−1

Izmjenicne struje niskih frekvencija koriste se u prijenosu energije, a one sred-njih i visokih frekvencija u prijenosu informacija. U elektroenergetskim sustavimapored frekvencije od 50 Hz u nekim se zemljama susrecu i frekvencije od 60 Hz. Uprijenosu informacija koriste se frekvencije u vrlo širokom rasponu, od praga cu-jnosti u iznosu od oko 15 Hz pa do nekoliko GHz (gigaherca).

5.1.2 SREDNJA I EFEKTIVNA VRIJEDNOST

Srednja i efektivna vrijednost statisticke su velicine, a služe za skraceno i efikasnoopisivanje neke promjenjive velicine koje se trenutne vrijednosti mijenjaju s vre-menom. Srednja vrijednost je ocekivanje trenutnih vrijednosti, a efektivna njihovostandardno odstupanje. U elektrotehnici se obje vrijednosti naširoko koriste, efek-tivna osobito za struje i napone, a srednja i za snage. Srednja vrijednost struje zan-imljiva je sa stanovišta pretvorbe elektricne u kemijsku ili mehanicku energiju kodistosmjernih trošila, a njezina efektivna vrijednost sa stanovišta pretvorbe u toplin-sku energiju i kod istosmjernih i kod izmjenicnih trošila.

Iz definicije srednje vrijednosti za kontinuirane varijable s periodom T :

Fsr = 1

T

∫ T

0f (t ) ·d t

slijedi srednja vrijednost Is r struje i (t ) u periodu T :

Isr = 1

T

∫ T

0f (t ) ·d t

Integral odreduje površinu omedenu krivuljom i (t ) i apscisom t i predstavljakolicinu elektricnog naboja koji protekne u vremenu T . Dijeljenje s iznosom togvremena daje vrijednost konstantne istosmjerne struje po kojoj bi u istom vremenuT protekla ista kolicina naboja.

Srednja vrijednost harmonicke izmjenicne struje:

i = Im · sin(ωt )

u vremenskom intervalu struje perioda T , jednaka je nuli:

Isr = 1

T

∫ T

0sin(ωt ) ·d t = 0

130

Harmonicki oblik

jer je jednak nuli njezin integral (slika 5.8 a).Vrijednost Im je maksimalna, vršna ili tjemena vrijednost koju struja poprima u

odredenom trenutku (T /4, 3T /4 itd), a ω kružnu frekvenciju.Srednja vrijednost struje zadržava isti iznos ako je vremenski interval u kojem se

odreduje višekratnik perioda T . Na isti nacin mogu se odrediti srednje vrijednostistruja i napona slicnih matematickih opisa. Tako npr. za struju prema slici 5.8 b),koja se javlja kod poluvalnog ispravljanja i (t ) iznosi:

T4

T2

3T2

T t

i

ISR = 0

a)

T4

T2

3T2

T t

i

b)

ISR = 0.318 Im

SLIKA 5.8: Srednje vrijednosti struja

i = Im sin(ωt ) za 0 < t < T

2

i = 0 zaT

2< t < T

(5.2)

a njezina srednja vrijednost u periodu ponavljanja T , jednaka je:

Is r = 1

T

∫ T

0i ·d t = 1

T[∫ T

2

0Im · sin(ωt )+

∫ T

T2

0 ·d t ] = Im

π= 0,318Im

Efektivna vrijednost I struje i (t ) odreduje se usporedbom toplinskog ucinkastruje i (t ) i konstantne istosmjerne struje na jednakom otporu R u istom vremen-skom intervalu T . Efektivna vrijednost izmjenicne struje jednaka je onoj vrijednostikonstantne istosmjerne struje I koja u otporu R za vrijeme perioda T proizvede istukolicinu topline Q kao i i (t ) u istom vremenu (slika 5.9):

Q1 = I 2 ·R ·T =Q2 =∫ T

0i 2(t ) ·R ·d t

pa slijedi:

I =√∫ T

0i 2(t ) ·R ·d t

131

5. IZMJENICNE STRUJE

Efektivna vrijednost oznacuje se kao istosmjerna struja, slovom I . Kod peri-odickog oblika i (t ) vremenski interval T mora biti period ili njegov višekratnik.

R

Q1

IQ1 =Q2

=R

Q2

i

SLIKA 5.9: Odredivanje efektivne vrijednosti struje

Efektivna vrijednost harmonicke struje:

i = Im · Im sin(ωt )

jednaka je:

I =√

1

T

∫ T

0I 2

m · sin2(ωt ) ·d t

Zamjenom kvadrata sinusa poznatim izrazom iz trigonometrije:

sin2(ωt ) = 1

2(1−cos(2ωt )) = 1

2(1−cos

4π

Tt )

te integriranjem i uvrštavanjem granica integrala slijedi:

I = Imp2= 0,707 · Im

Efektivna vrijednost struje ucrtana je u slici 5.10.

T2

T t

i

I = 0.707 Im

SLIKA 5.10: Izmjenicna struja i njezina efektivna vrijednost

Na isti se nacin mogu odrediti efektivne vrijednosti struja i napona slicnih matem-atickih opisa.

132

Harmonicki oblik

Izmjenicne velicine vrlo se cesto izražavaju u svojim efektivnim vrijednostima,pa se u njima najcešce oznacavaju i skale instrumenata namijenjenih mjerenjustruja i napona.

5.1.3 FAZA I RAZLIKA FAZA

Pojmovi faza i razlika faza javljaju se kod harmonickih oblika. Fazom ili faznimkutom naziva se kut u matematickom izrazu harmonicke izmjenicne velicine. Takoje u izrazu za napon:

v =Vm · sin(ωt )

to kut ωt , a u izrazu za struju:

i = Im · sin(ωt −ϕ)

kut (ωt −ϕ). Razlikom faza ili faznim pomakom naziva se razlika kutova dvijuizmjenicnih velicina. Može se slicno kao i faza izražavati u radijanima ili stupnje-vima. Za gore navedene napon i struju fazni pomak je:

ωt − (ωt −ϕ) =ϕIstofazne su velicine s ϕ = 0, a protufazne s faznim pomakom π. Razlici faza ϕ

pripada vremenski pomak najbližih istovrsnih tocaka (primjerice prolaz kroz nulus pozitivnom derivacijom ili pozitivno tjeme):

∆t = ϕ

ω

Za odnos u pomaku kaže se da prethodi ona velicina koja pri manjim iznosimakuta ili vremena prolazi kroz istovrsnu tocku. Velicina koja ima veci kut ili vrijemeu takvoj tocki usporedivanja zaostaje.

Razlika faza može odredivati i odnos izmedu dvaju napona ili dviju struja.Zornija predodžba faze i razlike faza dobije se prikazom izmjenicnih velicina u

vremenskom dijagramu, pri cemu se na vremensku os mogu nanositi vrijednostiili vremena ili faze. Ako za vrijeme trajanja perioda vrijeme t raste od 0 do T ,faza ωt rast ce linearno s vremenom od 0 do 2π postižuci u vremenima T , 2T , 3T ,. . . vrijednosti 2π , 4π, 6π, . . .

Uz izbor bilo kojeg referentnog trenutka napon v = Vm sin(ωt ) (slika 5.11 a) istruja i = I1m sin(ωt −ϕ1) dali bi graficki prikaz na slici 5.11 b) Struja i1 nema vri-jednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku t = 0, kao što to ima napon, negokada je njezina faza jednaka nuli (ωt −ϕ1) = 0, pa je ωt =ϕ1.

Izmedu napona v i struje i1 postoji razlika fazaϕ1, a struja zaostaje za naponomza fazni kut ϕ1, odnosno za vremenski pomak:

∆t1 = ϕ1

ω

133

5. IZMJENICNE STRUJE

π 2π

T2 T

ωt

V , i

a)

π 2π

T2 T

ωt

V , i

∆t1

ϕ1

V

i1

b)

π 2π

T2 T

ωt

V , i

∆t2

ϕ2

V

i2

c)

π 2π

T2 T

ωt

V , i V

i3

d)

SLIKA 5.11: Fazni pomaci napona i struje

Za neku drugu struju, na primjer i2 = I2m sin(ωt +ϕ2), faza ce biti ωt +ϕ2), afazni pomak prema naponu ϕ2. Struja i2 prethodi naponu za fazni kut ϕ2, a imavrijednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku kada je njezina faza jednakanuliωt+ϕ2) = 0, pa jeωt =−ϕ2 (slika 5.11 c). Struja prethodi naponu za∆t2 =ϕ2/ω.

Struja i3 = I3m sin(ωt ) i napon 5.11 imaju istu fazu i medu njima je fazni pomakjednak nuli.

5.2 PREDOCIVANJE IZMJENICNIH VELICINA

Izmjenicne velicine do sada su prikazivane ili algebarskim izrazima ili vremenskimdijagramima. Radi jednostavnijeg racunanja, crtanja i tumacenja odnosa u stru-

134

Predocivanje izmjenicnih velicina

jnim krugovima one se mogu prikazivati i rotirajucim dužinama, a s njima se možeracunati i u Gauss-ovoj ravnini.

Ove metode prikazivanja i racunanja nazivaju se simbolickim metodama.

5.2.1 PRIKAZIVANJE ROTIRAJUCIM DUŽINAMA I VEKTORIMA

Prikazivanje izmjenicnih velicina rotirajucim dužinama zasniva se na grafickoj kon-strukciji sinusoide pomocu dužine koja rotira jednolicnom kutnom brzinom iz pocetnoghorizontalnog položaja. Tako se na primjer sinusoida napona v =Vm sin(ωt ) možedobiti projekcijom rotirajuce dužine Vm , kutne brzine ω = 2π · f , na vertikalnu os(slika 5.12).

α

ωt

V , I

x

y

ω I (α)

α

SLIKA 5.12: Dobivanje sinusoide pomocu rotirajuce dužine

Projekcija rotirajuce dužine Vm na vertikalnu os za bilo koji kut α=ωt jednakaje trenutnoj vrijednosti napona v = Vm sin(ωt ). Kada rotirajuca dužina opiše punikut α= 2π, sinusoida opiše puni titraj.

Prikaz sinusoida napona v =Vm sin(ωt ) i struje i = Im sin(ωt−ϕ) odgovarajucimrotirajucim dužinama daje slika 5.13.

Obje rotiraju istom kutnom brzinom jer su istih frekvencija, a razlika faza ϕ

ocituje se kao geometrijski kut. Dužine su prikazane u položaju koji zauzimaju utrenutku t1. Izbor tog trenutka je slobodan, ali se u praksi najcešce poklapa s pro-lazom kroz nulu ili π/2 velicine koja se smatra referentnom.

Prikazivanje istofrekvencijskih izmjenicnih velicina rotirajucim dužinama omogucavajednostavnije racunanje s njima, jer se graficko zbrajanje i oduzimanje rotirajucihdužina može izvesti na isti nacin kao zbrajanje i oduzimanje planarnih vektora. Toopravdava postupak da se rotirajuce dužine zamijene mirujucim vektorima, cijedužine odgovaraju efektivnim vrijednostima prikazanih velicina, a razlika faza oci-tuje se kao kut medu njima.

Uobicajeno je da se pri crtanju više vektora jedan uzima kao referentni i postavljau pozitivni smjer osi apscisa ili ordinata, a ostali se, s odgovarajucim faznim po-

135

5. IZMJENICNE STRUJE

ϕ

ωt

V , i

x

y

ω

V

i

ϕ

SLIKA 5.13: Prikaz sinusoida rotirajucim dužinama

macima, crtaju prema njemu. Oni s pozitivnim kutovima prema referentnomeprethode mu, a oni s negativnim zaostaju.

ωt

V , I

x

y

ω

α0

α

α0 α

t = 0

SLIKA 5.14: Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu

Vektor koji predstavlja napon, odnosno struju, rotira u koordinatnom sustavu(sl. 5.14) stalnom kutnom brzinom ω, pa kut vektora α stalno raste s vremenom.Ako je pocetna vrijednost kuta α= 0 za t = 0, kut je α=ωt . Projekcija vektora na osy mijenja se u vremenu po sinusnoj funkciji:

Y (A) = A · sin(ωt )

Y (A) - uspravna koordinata vektoraA - vektor koji rotiraVektor može zapoceti vrtnju iz pocetnog položaja α = 0 ili iz bilo kojeg drugog

položaja odredenog nekim pocetnim kutem α0 (sl. 5.14 b). U tom drugom slucajuvremenska promjena kuta vektora α izražena je jednadžbom:

α= (ωt +α0)

136

Predocivanje izmjenicnih velicina

pa vremenska promjena uspravne koordinate vektora ima oblik opce sinusnefunkcije:

Y (A) = A · sin(ωt +α0)

Sinusoida se na ovaj nacin može predstaviti rotirajucim vektorom, pri cemu jeduljina vektora jednaka vršnoj vrijednosti sinusoide, kutna brzina vrtnje vektorajednaka je kružnoj frekvenciji sinusoide, a pocetni kut vektora jednak je pocetnomkutu sinusoide.

Vektori izmjenicnih velicina mogu se nacrtati tako da se napon V uzme kao ref-erentna velicina i postavi u pozitivni smjer osi apscisa, a struje se crtaju pomaknuteprema njemu (slika 5.14).

ϕ2

ϕ1

V

I3

I2

I1

SLIKA 5.15: Vektorski prikaz napona i struja

Dužine tih vektora odgovaraju, u odredenom mjerilu, tjemenim, a posredno iefektivnim vrijednostima prikazanih velicina, a kutovi ϕ1 i ϕ2 faznim pomacimaprema naponu kao referentnoj velicini. Vektor I2 prethodi naponu za kutϕ2, vektorI3 je s njime u fazi, a vektor I1 zaostaje za njim za kut ϕ1.

Trebaju li se zbrojiti dvije izmjenicne velicine, npr. struje I1 i I2 iz slike 5.16, cijesu trenutne vrijednosti:

i1 = I1m · sin(ωt −ϕ1)

i

i2 = I2m · sin(ωt −ϕ2)

može se to naciniti graficki (slika 5.16). Rezultat je novi vektor I koji predstavljaefektivnu vrijednost zbroja struja i = i1 + i2. Njegova faza ϕ je kut koji on zatvara svektorom napona, pa je:

i = i1 + i2 = Im · sin(ωt −ϕ)

Izmjenicne velicine nemaju svojstva vektora i nisu vektori, pa njihov vektorskiprikaz ima simbolicko znacenje i služi samo za graficko predocavanje i jednos-tavnije graficke operacije zbrajanja i oduzimanja. Pritom se zbrajati i oduzimatimogu samo iste fizikalne velicine.

137

5. IZMJENICNE STRUJE

ϕ2

ϕ1ϕ

V

I2

I1

I

SLIKA 5.16: Zbroj dviju struja

5.2.2 FAZNI POMAK U VEKTORSKOM PRIKAZU

Pocetni kut sinusode α0, koji pokazuje pomak nultocke sinusoide od ishodišta,odreden je vremenom t0 za koje je nultocka sinusoide pomaknuta od trenutka t =0, tako da vrijedi α0 = t0 (slika 5.17).

Ovaj pomak sinusoide od ishodišta naziva se još i fazni pomak.

t0

Vm

−Vm

ωt

V , i

x

y

V m

α0

α0

SLIKA 5.17: Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu

U vektorskom prikazu fazni pomak odreden je pocetnim kutem koji vektor si-nusne velicine zatvara s pozitivnim dijelom osi x. Pozitivni pocetni kut pokazujepomak nultocke sinusne funkcije ulijevo od ishodišta, što vremenski znaci prethodenjenultocke trenutku t = 0. Negativni pocetni kut pokazuje pomak nultocke sinusnefunkcije udesno od ishodišta, a vremenski oznacava kašnjenje nultocke iza trenutkat = 0.

U vektorskom prikazu pozitivni fazni pomak (prethodenje) znaci zakret vektoraod osi +x u smjeru suprotnom okretanju kazaljki sata, dok negativni fazni pomak(kašnjenje) znaci zakret vektora u suprotnom smjeru.

Fazni pomak može se odrediti samo izmedu harmonijskih velicina jednakihfrekvencija. Fazni pomak izmedu dviju sinusoida jednak je razlici njihovih pocet-

138

Jednostavni krug izmjenicne struje

nih kuteva. U vektorskom prikazu fazni pomak jednak je kutu izmedu vektora dvijuvelicina. Kao fazni pomak uzima se manji (nutarnji) kut.

5.3 JEDNOSTAVNI KRUG IZMJENICNE STRUJE

U istosmjernim krugovima konstantnih struja odnose izmedu struja i napona odredi-vali su Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni. Kod prijelaznih pojava Kirchhoff-ovi zakonisu vrijedili i dalje, dok je Ohm-ov zakon ostao mjerodavan samo za trenutne iznosestruja i napona na otporu R, ali ne i na induktivitetu L i kapacitetu C .

Slicno vrijedi i kod izmjenicnih struja. Prijelazne pojave iskazivane su trenut-nim vrijednostima napona i struja. Isti tretman mora vrijediti i kod harmonickihoblika. I tu moraju vrijediti oba Kirchhoff-ova zakona, a Ohm-ov samo za odnosena otporu R. Kako je s trenutnim vrijednostima teško i analiticki i graficki manipuli-rati, pogodnije je to ciniti s efektivnim, jer se na njih mogu primijeniti ranije nave-deni nacini izražavanja i racunanja.

Postavlja se pitanje kako se kod efektivnih velicina mogu primijeniti Ohm-ov iKirchhoff-ovi zakoni, ako su one fazno pomaknute. Najprije se to može pogledatina pojedinim elementima, a zatim dobivene odnose primijeniti u složenim stru-jnim krugovima.

5.3.1 OTPOR U KRUGU IZMJENICNE STRUJE

Kao i u krugu istosmjerne struje, tako su i u krugu izmjenicne struje, struja i naponna otporu povezani preko Ohm-ovog zakona (2.9).

RVRV−

+i

SLIKA 5.18: Radni otpor u strujnom krugu

Trenutna vrijednost napona v(t ) na otporu R, kroz koji tece izmjenicna strujaoblika:

i (t ) = Im · sin(ωt )

jednaka je u svakom trenutku umnošku otpora i trenutne vrijednosti struje:

v(t ) = R · i (t ) = R · Im · sin(ωt )

139

5. IZMJENICNE STRUJE

To znaci da sinusoida napona na otporu ima nule i maksimume istodobno kadi sinusoida struje, tj. izmedu struje i napona na otporu nema faznog pomaka: naotporu su struja i napon u fazi.

π 2π ωt

V

VRiR

VR

iR

ϕ= 0

SLIKA 5.19: Napon i struja kroz radni otpor R

U grafickom prikazu odredenog mjerila, sinusoide struje i napona na otporurazlikuju se samo po vršnoj ili tjemenoj vrijednosti, pri cemu je vršna vrijednostnapona jednaka umnošku otpora i vršne vrijednosti struje:

Vm = R · Im

Omjer vršnih (a time i efektivnih) vrijednosti vrijednosti napona i struje jednakje otporu R:

Vm

Im= V

I= R

5.3.2 KAPACITET U KRUGU IZMJENICNE STRUJE

Dovede li se na kondenzator kapaciteta C izmjenicni napon, zbog stalne promjenepolariteta napona, kondenzator se naizmjence nabija i izbija. Za trenutne vrijed-nosti napona i struje prema slici 5.20 mora vrijediti:

i = iC i v = vC

pri cemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovuzakonu. Iz odnosa koji vrijede za kondenzator, gdje je:

dQ =C ·d vC i iC = d q

d t

slijedi struja kondenzatora:

iC =C · d vC

d t

140

Jednostavni krug izmjenicne struje

CVCV−

+i

SLIKA 5.20: Kapacitet u strujnom krugu

Uz v = vC =Vm ·si n(ωt ), trenutna vrijednost struje kroz kondenzator kapacitetaC slijedi iz:

iC =C · d

d t(Vm · sin(ωt ))

i iznosi:

iC =Vm ·ω ·C ·cos(ωt ) = IC m · sin(ωt +π/2) (5.3)

Iz gornjeg izraza (5.3) vidljivo je da je vršna vrijednos IC m jednaka:

IC m =Vm ·ω ·C (5.4)

a prema (5.4) to vrijedi i za efektivne vrijednosti:

IC =V ·ω ·C = V1

ω ·C(5.5)

Ova relacija izražava Ohm-ov zakon za efektivne vrijednosti harmonickih naponai struja na kondenzatoru kapaciteta C, a njezin se nazivnik naziva kapacitivni jaloviotpor i oznacava se s XC . Uz:

XC = 1

ω ·C = 1

2π · f ·C [Ω]

izraz (5.5) može se pisati kao:

IC = V

XC

što ukazuje da na kondenzatoru postoji cvrst odnos izmedu efektivnih vrijed-nosti napona i struje ovisan o kapacitetu C i frekvenciji f .

Za strujnu frekvenciju ω = 0 (istosmjerna struja) kapacitet predstavlja beskon-acni otpor. S porastom frekvencije kapacitivni se otpor smanjuje jer je obrnutorazmjeran frekvenciji.

Kod nabijanja kondenzatora struja kondenzatora je najveca u trenutku kad jenapon kondenzatora jednak nuli (kondenzator prazan), a jednaka je nuli kad jenapon najveci (kondenzator nabijen). Slicno tomu i sinusoida struje kroz kapacitetima maksimum kad je sinusoida napona na nuli, a jednaka je nuli kad sinusoida

141

5. IZMJENICNE STRUJE

−π2

π2

π 2π3π2

ωt

V , i

VC

iC

VC

iC

ϕ= 90o

SLIKA 5.21: Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C

napona ima maksimum. Ovakav odnos sinusoida ukazuje na njihov fazni pomakkoji se može prikazati i vektorski.

Struja i napon na kapacitetu nisu u fazi, nego su fazno pomaknuti za kut ϕ =π/2 = 900, što znaci da struja na kapacitetu prethodi naponu za 900.

5.3.3 INDUKTIVITET U KRUGU IZMJENICNE STRUJE

Tece li kroz svitak induktiviteta L izmjenicna struja, zbog njenog vremenskog mi-jenjanja na induktivitetu se javlja napon samoindukcije.

Ako se na izvor izmjenicnog napona v = Vm · sin(ωt ) prikljuci samo zavojnicainduktiviteta L zanemarivog radnog otpora R, energija koju daje izvor pretvara seu njoj u magnetsku. Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.22 moravrijediti :

i = iL i v = vL

pri cemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovuzakonu.

LVLV−

+i

SLIKA 5.22: Induktivitet u strujnom krugu

Iz zakona o samoindukciji (3.31)):

142

Jednostavni krug izmjenicne struje

e =−Ldi

d t

slijedi odnos izmedu napona i struje na induktivitetu:

vL =−e = Ldi

d t

pa je:

vL = LdiL

d t

odnosno:

diL = 1

L· vL ·d t

Uz v =Vm ·sin(ωt ) slijedi trenutna vrijednost struje kroz zavojnicu induktivitetaL:

iL =∫

1

L·Vm · sin(ωt ) ·d t = Vm

ω ·L(−cos(ωt )) = ILm · sin(ωt − π

2)

Ono što vrijedi za tjemene vrijednosti:

ILm = Vm

ω ·L

vrijedi i za efektivne:

IL = V

ω ·L

Kako ovaj izraz s efektivnim vrijednostima napona i struje strukturom podsjecana Ohm-ov zakon, umnožak ωL mora imati jedinicu koja vrijedi i za otpore (Ω =V /A), oznacava se s XL i naziva se induktivni jalovi otpor. Uz:

XL =ω ·L = 2π · f ·L [Ω]

je:

IL = V

XL

što ukazuje da na zavojnici induktiviteta L pri frekvenciji f postoji cvrst odnosizmedu efektivnih vrijednosti napona i struje. Struja iL = ILm ·sin(ωt−π/2) zaostajeza naponom v =Vm · sin(ωt ) za kut π/2 (slika 5.23).

Za frekvenciju jednaku nuli i induktivni otpor jednak je nuli, što znaci da zaistosmjernu struju induktivitet predstavlja kratki spoj. S porastom frekvencije rastei induktivni otpor XL , tj. induktivni otpor je razmjeran frekvenciji.

Porast induktivnog otpora može se pojasniti s pomocu svojstva svitka da seopire promjeni struje (koja znaci promjenu energije magnetskog polja svitka). S

143

5. IZMJENICNE STRUJE

π2

π 2π3π2

ωt

V , i

VL

iL

VL

iL

ϕ=−90o

SLIKA 5.23: Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L

porastom frekvencije raste brzina promjene struje (a toj promjeni se induktivitetopire), pa se stoga povecava (induktivni) otpor svitka.

Napon samoindukcije razmjeran je brzini promjene struje u vremenu (∆i /∆t ),koja je odredena strminom sinusoide. Strmina sinusoide struje najveca je u casukad je struja jednaka nuli. U tom casu inducirani napon ima najveci iznos. Utrenutku kada struja dosegne najveci iznos, tada prestaje rasti i u tom casu je in-ducirani napon jednak nuli.

Slicno kao kod kapaciteta, izmedu struje i napona postoji fazni pomakϕ=π/2 =900. Za razliku od kapaciteta, na induktivitetu napon prethodi struji za 900.

5.4 SPOJEVI R, L I C U KRUGU IZMJENICNE STRUJE

Elementi obradeni u jednostavnim strujnim krugovima mogu u složenim krugov-ima biti spojeni serijski, paralelno i mješovito. Na svakom elementu vrijede upravoizvedeni odnosi izmedu napona i struje, a odnos izmedu napona i struje izvora ovisio broju i nacinu spajanja elemenata u složenom spoju.

Ako izvor napona trenutne vrijednosti v i efektivne V napaja složeni strujnikrug, tece iz njega struja trenutnog iznosa i i efektivnog I . Fazni pomak medu njimaovisi o karakteru složenog strujnog kruga. Za vremenski nepromjenjive parametreu krugu efektivni iznosi napona V i struje I moraju biti razmjerni:

V = I ·Z (5.6)

Ovaj izraz ima strukturu Ohm-ova zakona, pa se Z izražava u Ω i predstavlja’ekvivalentni otpor’ složenog strujnog kruga, a naziva se prividni otpor ili impedan-cija. Njegov iznos odreduje se iz iznosa pojedinih radnih i jalovih otpora ovisno onacinu njihova spajanja. Reciprocna vrijednost prividnog otpora je vodljiva vrijed-nost ili admitancija:

144

Spojevi R, L i C u krugu izmjenicne struje

Y [S] = 1

Z[

1

Ω]

s kojom se može jednostavnije racunati kod paralelnih i mješovitih spojeva.

5.4.1 SERIJSKI RL - KRUG

R

+ VR −L, XL

+ VL −

I

V

−+

SLIKA 5.24: Serijski RL-krug

Kod serijskog spoja (slika 5.24) raznih vrsta otpora (ovdje su to radni otpor R i in-duktivni otpor XL), naponi su medusobno pomaknuti u fazi, pa se ne može jednos-tavno zbrojiti njihove efektivne vrijednosti, nego treba uzeti u obzir i njihov faznipomak. U tu svrhu se crta vektorski prikaz napona (vektorski dijagram), i naponi sezbrajaju vektorski.

Vektorski dijagram (slika 5.25) zapocinje se crtati sa zajednickom velicinom, ato je u serijskom spoju struja. Vektor struje I uzima se s pocetnim kutem 0, pa seprema njemu postavljaju vektori napona na induktivitetu VL i napona na otporuVR .

ϕ2 I

VR

VL V

SLIKA 5.25: Vektorski dijagram serijskog RL-kruga

Napon na otporu VR u fazi je sa strujom I , dok napon na induktivitetu VL prethodistruji za 900. Vektor napona izvora V jednak je vektorskom zbroju napona na ot-poru VR i induktivitetu VL . Ova tri napona cine pravokutni trokut, pa vrijedi:

V 2 =V 2R +V 2

L

Kut napona V prema struji je pozitivan, tj. ukupni napon prethodi struji za nekikut ϕ (0 <ϕ< 900).

145

5. IZMJENICNE STRUJE

Dijeljenjem svake stranice trokuta napona (slika 5.26 a) s I , dobiva se slican pra-vokutni trokut s katetama jednakim radnom otporu R i induktivnom otporu XL . Onse naziva trokut otpora (slika 5.26 b).

VR

VLV

ϕ

a)

R = VRI

XL = VLI

Z = VI

ϕ

b)

SLIKA 5.26: Trokuti napona i otpora

Hipotenuza ovog trokuta jednaka je omjeru ukupnog napona V i struje I spo-jašto je jednako impedanciji Z iz izraza (5.6). Hipotenuza trokuta izražena nje-govim katetama jednaka je:

Z 2 = R2 +X 2L

Kut ϕ (izmedu R i Z ) naziva se kut impedancije i identican je kutu izmedunapona VR i V .

5.4.2 SERIJSKI RC - KRUG

R

+ VR −C , XC

+VC−

I

V

−+

SLIKA 5.27: Serijski RC-krug

U vektorskom dijagramu za serijski RC-spoj vektor struje I uzima se referent-nim (s pocetnim kutem 00). Napon na otporu VR u fazi je sa strujom, a napon nakapacitetu VC zaostaje u fazi iza struje za 900. Vektorski zbroj napona na otporu VR

i napona na kapacitetu VC daje napon izvora V . Ovi naponi cine pravokutni trokutiz kojeg proizlazi da je:

146

Spojevi R, L i C u krugu izmjenicne struje

V 2 =V 2R +V 2

C

Ovdje je kut napona V prema struji negativan (slika 5.28 a), tj. napon V zaostajeiza struje za kut ϕ(−900 <ϕ< 00).

VR

VCV

ϕ

a)

R

XC

Z

ϕ

b)

SLIKA 5.28: Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga

U trokutu otpora (5.28 b), dobivenom iz trokuta napona, zbog negativnog kutaϕ kapacitivni otpor XC je ispod radnog otpora R (nasuprot induktivnog otpora XL

u trokutu otpora RL-kruga). Prividni, radni i reaktivni (kapacitivni) otpor povezanisu i ovdje Pitagorinim pouckom:

Z 2 = R2 +X 2C

5.4.3 SERIJSKI RLC -KRUG

R

+ VR −L, XL

+ VL −

C , XC

+VC−

I

V

−+

SLIKA 5.29: Serijski RLC-krug

U serijskom RLC -krugu uz radni otpor R su induktivni otpor XL i kapacitivniotpor XC (slika 5.29).

U vektorskom dijagramu (slika 5.30), vektor napona na otporu VR u fazi je svektorom struje I , koja se uzima kao referentna (s pocetnim kutem 00). Napon na

147

5. IZMJENICNE STRUJE

induktivitetu VL prethodi struji za 900, a napon na kapacitetu VC istodobno zaostajeza strujom za 900, pa je kut izmedu ovih napona 1800.

U serijskom spoju, vektori napona na induktivitetu i kapacitetu suprotnog susmjera. To znaci da su ovi naponi u svakom casu suprotnih polariteta (kaže se dasu naponi u protufazi).

ϕ|VL |− |VC |

I

VR

VL

VC

VC

V

SLIKA 5.30: Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga

Napon na serijskom spoju induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednak razlicinapona VL i VC , a ima smjer veceg od ovih napona. Kad je VL = VC , tada je naponna LC - spoju jednak nuli i sav napon izvora je na otporu R. U tom slucaju kažemoda je u serijskom RLC - krugu došlo do rezonancije. Vektor ukupnog napona V jestvektorski zbroj napona na otporu, induktivitetu i kapacitetu.

U slucaju prikazanom na slici 5.30 napon VL veci je od napona VC , pa ukupninapon V prethodi struji za kut ϕ. U slucaju kad je VC veci od VL tad ukupni naponzaostaje u fazi iza struje (ϕ< 00). U rezonanciji napon V je u fazi sa strujom (ϕ= 0).

Iz trokuta napona proizlazi jednadžba:

V 2 =V 2R + (VL −VC )2

Dijeljenjem ove jednadžbe s I dobiva se izraz

(V

I)2 = (

VR

I)2 + (

VL

I− VC

I)2

Z 2 = R2 + (XL −XC )2 = R2 +X 2(5.7)

Ova jednadžba opisuje trokut otpora (slika 5.31) gdje je ukupni jalovi, reaktivniotpor X jednak razlici induktivnog i kapacitivnog otpora (X = XL −XC ).

R

X = XL −XCZ

ϕ

SLIKA 5.31: Trokut otpora serijskog RLC-kruga

148

Spojevi R, L i C u krugu izmjenicne struje

U rezonanciji je ukupni jalovi otpor X jednak nuli, pa je prividni otpor jednakradnom (Z = R).

5.4.4 PARALELNI RL - KRUG

R G

IR

L, XL BL

IL

V−

+

SLIKA 5.32: Paralelni RL-krug

Kod paralelnog spoja otpora R i induktiviteta L (slika 5.32), napon je isti na obaelementa, a ukupna struja je zbroj struja pojedinih elemenata. Pri zbrajanju trebauzeti u obzir fazni pomak izmedu struja.

U vektorskom prikazu vektor napona V (slika 5.33 a), zajednicki za oba ele-menta, uzima se kao referentan i crta s kutem jednakim nuli. Struja kroz otpor IR ufazi je s naponom, a struja kroz induktivitet IL zaostaje za naponom za 900. Vektorstruje I je zbroj vektora struja IR i IL . Ova tri vektora cine pravokutan trokut gdje je:

I 2 = I 2R + I 2

L

Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V , dobiva se slican pravokutnitrokut, cije su katete jednake reciprocnim vrijednostima radnog i induktivnog ot-pora, tj. vodljivostima elemenata. Ove vodljivosti oznacuju se s G = IR

V = 1R (radna

vodljivost) i BL = ILV = 1

XL= 1

ω·L (induktivna vodljivost), a taj trokut naziva se trokutvodljivosti (slika 5.33).

IRV

ILILI

ϕY

a)

G = IRV

BL = ILV

Y = IV

ϕY

b)

SLIKA 5.33: Dijagrami paralelnog RL-kruga

149

5. IZMJENICNE STRUJE

Hipotenuza ovog trokuta, jednaka omjeru ukupne struje i napona (I /V ) nazivase prividna vodljivost (ili admitancija) i oznacava s Y . Pritom vrijedi:

Y 2 =G2 +B 2L

Admitancija Y je vodljivost cijelog spoja i jednaka je reciprocnoj vrijednostiimpedancije Z paralelnog RL-spoja (Y = 1/Z ).

Kut ukupne struje I prema naponu V naziva se kut admitancije i oznacuje sϕY .On je po iznosu jednak, a predznakom suprotan kutu impedancije:

ϕY =−ϕUkupna struja I ovdje zaostaje iza napona, pa je kut admitancije negativan

(−900 <ϕY < 00). To znaci da je kut impedancije ϕ pozitivan, što znaci da napon Vprethodi struji I (to je opce svojstvo induktivnog spoja).

5.4.5 PARALELNI RC - KRUG

R G

IR

C , XC BC

IC

V−

+

SLIKA 5.34: Paralelni RC-krug

Kod paralelnog spoja otpora R i kapaciteta C (sl. 5.34), napon V isti je na obaelementa.

Struja kroz otpor IR u fazi je s naponom V , a struja kroz kapacitet IC prethodinaponu za 900. Vektor struje I je zbroj vektora struja IR i IC . Ova tri vektora cinepravokutni trokut (slika 5.35 a), gdje je:

I 2 = I 2R + I 2

C

Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V dobiva se slican trokut nazvantrokut vodljivosti (slika 5.35 b). Katete ovog trokuta jednake su radnoj vodljivostiG (G = IR

V = 1R ) i kapacitivnoj vodljivosti (BC = IC

V = 1XC

= ω ·C ), a hipotenuza jejednaka prividnoj vodljivosti spoja Y , gdje je

Y 2 =G2 +B 2C

Ukupna struja I ovdje prethodi naponu V , pa je kut admitancije pozitivan (00 <ϕY < 900). To znaci da je kut impedancije ϕ negativan, što znaci da napon zaostajeza strujom (to je opce svojstvo kapacitivnog spoja).

150

Spojevi R, L i C u krugu izmjenicne struje

IRV

ICICI

ϕY

a)

G = IRV

BC = ICV

Y = IV

ϕY

b)

SLIKA 5.35: Dijagrami paralelnog RL-kruga

5.4.6 PARALELNI RLC - KRUG

R G

IR

L, XL BL

IL

C , XC BC

IC

V−

+

SLIKA 5.36: Paralelni RLC-krug

U paralelnom RLC -krugu (slika 5.36) uz radni otpor R paralelno su spojena ioba tipa jalovih otpora, induktivni otpor XL i kapacitivni otpor XC .

U vektorskom dijagramu (slika 5.37 a), vektor struje kroz otpor IR u fazi je svektorom napona V , koji se uzima kao referentan (s pocetnim kutem 00). Strujakroz induktivitet IL prethodi naponu za 900, dok struja kroz kapacitet IC zaostajeiza napona za 900, pa je kut izmedu ovih struja 1800.

U paralelnom spoju, vektori struja kroz induktivitet i kapacitet suprotnog susmjera.

Struja paralelnog spoja induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednaka razlici strujaIC i IL , a ima smjer vece od tih struja. Kad je IC = IL , tad je ukupna struja LC -spojajednaka nuli i sva struja izvora tece kroz otpor R. Tada se kaže da je nastupila rezo-nancija.

Vektor ukupne struje I jednak je vektorskom zbroju struja kroz otpor, induk-tivitet i kapacitet. U slucaju prikazanom na slici 5.37 struja IC veca je od struje IL ,pa ukupna struja I prethodi naponu V za kut ϕY . U slucaju kad je IL veca od IC

tada ukupna struja zaostaje u fazi za naponom (ϕY < 00). U rezonanciji struja I jeu fazi s naponom (ϕY = 00). Iznosi struja medusobno su povezani jednadžbom:

I 2 = I 2R + (IC − IL)2

151

5. IZMJENICNE STRUJE

ϕY

|IC |− |IL |V

IR

IC

IL

IL

I

a)

G = IRV

B

Y = IV

ϕY

B = IC−ILV = BC −BL

b)

SLIKA 5.37: Dijagrami paralelnog RLC-kruga

Dijeljenjem ove jednadžbe sa V dobiva se izraz:

(I

V)2 = (

IR

V)2 + (

IC

V− IL

V)2

Y 2 =G2 + (BC −BL)2

Ovaj izraz opisuje trokut vodljivosti (slika 5.37 b). Ukupna reaktivna vodljivostB jednaka je razlici kapacitivne i induktivne vodljivosti (B = BC −BL).

U rezonanciji je ukupna reaktivna vodljivost B = 0 (otpor paralelnog spoja L i Cje beskonacan), pa je prividna vodljivost jednaka radnoj (Y =G).

5.5 REZONANCIJA

Rezonancija je pojava koja se javlja u strujnom krugu kada je induktivni jalovi otporjednak kapacitivnom:

XL = XC

Ako su ovi otpori spojeni u seriju rezonancija se naziva serijskom ili naponskom,a ako su spojeni paralelno naziva se paralelnom ili strujnom.

Za prividni otpor u serijskom RLC spoju vrijedi:

Z =√

R2 + (XL −XC )2

pa je pri rezonanciji uz XL = XC on minimalan i jednak radnom:

Z = R

Struja izvora je maksimalna, jer je ovisna samo o radnom otporu:

152

Rezonancija

I = V

Z= V

R

i u fazi je s naponom. Jednake su i efektivne vrijednosti napona na zavojnici ikondenzatoru:

VL =VC

jer je:

VL = XL · I i VC = XC · I

a medu njima je fazni pomak π.Kako je pri serijskoj rezonanciji struja izvora maksimalna, naponi na zavojnici i

kondenzatoru mogu biti znatno veci od napona izvora, što može dovesti do njihovaproboja i oštecenja.

Za prividni otpor u paralelnom RLC spoju vrijedi:

Z = 1√( 1

R )2 + ( 1XL

− 1XC

)2

pa je pri rezonanciji uz XL = XC on maksimalan i jednak radnom:

Z = R

Struja izvora je stoga minimalna i jednaka:

I = V

Z= V

R

i u fazi je s naponom.Jednake su i efektivne vrijednosti struja kroz zavojnicu i kondenzator:

IL = IC

jer je:

IL = V

XLi IC = V

XC

a medu njima je fazni pomak π.Kako je pri paralelnoj rezonanciji struja izvora minimalna i jednaka struji kroz

radni otpor, struje kroz zavojnicu i kondenzator mogu biti znatno vece od strujekoju daje izvor, što može dovesti do njihova oštecenja i razaranja.

Pri rezonanciji je XL = XC pa slijedi:

ω ·L = 1

ω ·Ciz cega proizlazi:

153

5. IZMJENICNE STRUJE

ω= 1pL ·C

Uz povezanost frekvencije i kružne frekvencije:

f = ω

2π

slijedi da pri rezonanciji iznosi induktiviteta i kapaciteta odreduju rezonantnuili vlastitu frekvenciju po izrazu:

f = 1

2π ·pL ·C [H z]

To istodobno znaci da ce rezonancija nastupiti u strujnom krugu s L i C i uslucaju ako izvor struje ima frekvenciju jednaku vlastitoj frekvenciji toga kruga.

Rezonancija ima široku primjenu u radio-tehnici i komunikacijama, gdje se izm-jenom magnetske energije zavojnice i elektricne energije kondenzatora mogu emi-tirati elektromagnetski valovi u okolni prostor. Oni se mogu iz okolnog prostora iprimati. Strujni krugovi koji sadrže L i C te imaju tu funkciju nazivaju se antenskikrugovi. Prijem elektromagnetskih valova odredene frekvencije odvija se tako da seu prijemnom antenskom krugu, podešavanjem iznosa L ili C , vlastita frekvencijastrujnog kruga izjednaci s frekvencijom tih valova.

5.6 SNAGA I FAKTOR SNAGE

Pri odredivanju snage i rada konstantne istosmjerne struje utvrdeno je da je snagajednaka umnošku napona i struje, a rad umnošku napona, struje i vremena:

P =V · I i W = P · t =V · I · t

Za izmjenicnu struju harmonickog oblika, s pomakom ϕ u fazi izmedu naponai struje, srednja snaga P , razvijena u vremenskom intervalu T , iznosi:

P = 1

T

∫ T

0p(t ) ·d t = 1

T

∫ T

0v · i ·d t = 1

T

∫ T

0[V · I ·cos(ϕ)−V · I ·cos(2ω · t −ϕ)]d t

Buduci da je integral drugog dijela izraza jednak nuli, slijedi:

P =V · I ·cos(ϕ) [W ]

a rad se racuna kao:

W = P ·T =V · I ·cos(ϕ) ·T [J ]

Srednja snaga jednaka je umnošku efektivnih vrijednosti napona i struje i kos-inusa njihova faznog pomaka. Izraz cos(ϕ) stoga se naziva faktorom snage. Kako

154

Snaga i faktor snage

fazni pomak ϕ može pri trošenju energije poprimiti vrijednosti −π/2 ≤ ϕY ≤ π/2,faktor snage krece se izmedu 1 i 0 (00 ≤ cos(ϕ) ≤ 1).

Ako je fazni pomak struje prema naponu −π/2, kao na induktivitetu L srednjasnaga je:

P =V · I · cos(−π2

) = 0

Ako je fazni pomak struje prema naponu π/2, kao na kapacitetu C , srednjasnaga je:

P =V · I · cosπ

2= 0

5.6.1 TROKUT SNAGA

Izraz za srednju snagu P =V ·I ·cos(ϕ) navodi na predodžbu trokuta s hipotenuzomV · I i katetom V · I ·cos(ϕ). Druga kateta odgovarala bi umnošku V · I ·sin(ϕ). Timesu dobivene tri komponente snage koje graficki tvore trokut.

Za svaki dio strujnog kruga koji se dade predociti trokutom otpora moguce jepostaviti i trokut snaga. Radnom otporu pri tom odgovara radna ili srednja snaga,jalovom jalova i prividnom prividna snaga (slika 5.38).

R

XZ

ϕ

a)

V I cosϕ

V I sinϕV I

ϕ

b)

SLIKA 5.38: Trokuti otpora i snaga

Radna energija predstavlja korisno upotrebljivu energiju u trošilu, jalova služiza izgradnju magnetskog polja u zavojnici i elektricnog u kondenzatoru, a prividnaje mjerodavna za dimenzioniranje izvora struje koji treba podmiriti potrebu za rad-nom i jalovom.

Za svaku komponentu snage (energije u vremenu) koristi se uz drugu oznaku idruga mjerna jedinica, pa je:

• radna ili srednja snaga P =V · I ·cos(ϕ) [W ]

• jalova snaga PQ =V · I · sin(ϕ) [V Ar ]

• prividna snaga PS =V · I [V A]

155

5. IZMJENICNE STRUJE

Jedinica V Ar cita se ’reaktivni voltamper’. Za medusobni odnos komponenatasnage vrijedi:

PS =√

P 2 +P 2Q

gdje su:

P = PS ·cos(ϕ) i PQ = PS · sin(ϕ)

Za fazni pomak napona i struje jednak nuli je cos(ϕ) = 1, a radna snaga jednakaje prividnoj.

Ako za neki dio strujnog kruga vrijedi da je XL > XC , onda u trokutu snaga za tajdio prevladava induktivna jalova komponenta, pa trokut snage izgleda kao na slici5.39 a). Ako pak vrijedi da je XL < XC , onda prevladava kapacitivna jalova kompo-nenta, pa trokut snage izgleda kao na slici 5.39 b). U prvom slucaju kaže dse a jefazni pomak induktivan, a u drugom kapacitivan.

P

PQPS

ϕ

ϕ− i ndukti van

a)

P

PQPS

ϕ

ϕ−kapaci t i van

b)

SLIKA 5.39: Trokut snaga

Za složene strujne krugove trokuti snaga se mogu zbrajati. Zbrajanje se obavljatako da se algebarski zbroje radne i istoimene jalove (npr. induktivna i induktivna ilikapacitivna i kapacitivna) komponente, a graficki, povezivanjem njihovih vrhova,dobije se rezultantna prividna snaga. Kod raznoimenih jalovih komponenata nji-hovi iznosi se oduzimaju.

Ako je jalova snaga PQ na slici 5.39 a) jednaka:

PQ = PQL =VL · IL

onda može jalova snaga PQ na slici 5.39 b) biti jednaka:

PQ = PQC =VC · IC

Ukupna jalova snaga npr. u serijskom spoju je onda:

PQ = PQL −PQC

156

Trofazni sustav

5.7 TROFAZNI SUSTAV

Ako se umjesto jednoga u statoru generatora nalaze tri medusobno odvojena namota,onda ce se pri rotaciji magnetskog polja permanentnog magneta u njima induci-rati naponi pomaknuti u fazi. Kako je geometrijski raspored namota kod trofaznogsustava simetrican, bit ce simetricni i inducirani naponi, jer su iznosom jednaki imedusobno jednako fazno pomaknuti za 2π/3. Trenutne vrijednosti napona tro-faznog sustava su:

v1 =Vm · sin(ωt )

v1 =Vm · sin(ωt − 2π

3)

v1 =Vm · sin(ωt − 4π

3)

Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz efektivnih vrijednosti naponaprikazani su na slici 5.40.

2π3

4π3

2π ωt

VV1

V2V3

2π3

2π3

2π3

V1 V2 V3

SLIKA 5.40: Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz

Neovisno o nacinu spajanja kod trofaznog sustava, razlikuju se dvije vrste velicina:fazne i linijske. Fazne se odnose na jednu fazu izvora ili trošila, a linijske na vodicelinija koji spajaju izvor s trošilom, te na prikljucke izvora i trošila. Osnovne mogucnostispoja izvora i trošila su spoj u zvijezdu i spoj u trokut.

5.7.1 NAPONI I STRUJE U SPOJU ZVIJEZDA

Kod spoja u zvijezdu krajevi namota spajaju se u zajednicku tocku koja se nazivazvjezdište ili nul-tocka. Vodic koji izlazi iz zvjezdišta naziva se nul-vodic, a ostalikrajevi namota su slobodni i služe za prikljucak na mrežu.

157

5. IZMJENICNE STRUJE

2π3

4π3

2π ωt

VV1

V2V3

2π3

2π3

2π3

V1 V2 V3

SLIKA 5.41: Naponi i struje u spoju zvijezda

Kod spoja u zvijezdu postoji razlika izmedu faznih i linijskih napona, a kako sustruje faza istovremeno struje koje teku kroz vodice izmedu izvora i trošila, fazne ilinijske struje su jednake, za sve tri faze. Stoga u zvijezda spoju vrijede izrazi:

I = I f

V =p3 ·V f

5.7.2 NAPONI I STRUJE U SPOJU TROKUT

Kod spoja u trokut spaja se kraj jednog namota s pocetkom susjednog, cime se do-biju tri spojne tocke.

i1

i2

i3

iu

iv

iw

VUV

VV W

VW U

Z1 Z3

Z2

V1 =V f

V2V3

IU = I

IV

IW

−I3

I1

I3

I2

SLIKA 5.42: Naponi i struje u spoju trokut

Fazni i linijski naponi su jednaki, jer je napon jedne faze istovremeno i napon

158

Appleti

izmedu dva vodica mreže. Fazne i linijske struje medusobno se razlikuju, pa u spojutrokut vrijede izrazi:

V =V f

I =p3 · I f

5.7.3 SNAGA TROFAZNOG SUSTAVA

Ukupna snaga simetricnoga trofaznog sustava jednaka je zbroju snaga pojedinihfaza:

P = 3 ·V f · I f ·cos(ϕ) [W ]

Kada se naponi i struje izraze preko linijskih vrijednosti, tada je srednja snagaza spoj trokut i spoj zvijezda opisana istim izrazom:

P = 3 ·Vl · Il ·cos(ϕ) [W ]

Pored srednje (radne) snage, postoje još kao i u jednofaznom sustavu: - jalovasnaga:

PQ =p3 ·V · I · sin(ϕ) [V Ar ]

- prividna snaga:

PS =p3 ·V · I [V A]

5.8 APPLETI

5.8.1 ELEKTRICNI ELEMENTI U KRUGU IZMJENICNE STRUJE

Ovaj applet prikazuje jednostavni krug izmjenicne struje sa jednim elementom (ot-por, kondenzator ili zavojnica).

U krug su ukljuceni ampermetar i voltmetar koji mjere jakost struje i napon.Ispod strujnog kruga prikazane su oscilacije napona i struje, pomocu vektora

(fazora) i sinusoida. Napon je prikazan plavom bojom, a struja crvenom.Pomocu prve tri mogucnosti (desni gornji kut), odabiremo osnovni element

strujnog kruga (otpor, kondenzator ili zavojnica).Lijevim click-om na gumb:

• RESET - krug se vraca u pocetni položaj,

159

5. IZMJENICNE STRUJE

SLIKA 5.43: Elektricni elementi u krugu izmjenicne struje

• START/PAUSE/RESUME - pokrece se, zaustavlja i nastavlja simulacija,

• SLOW MOTION - simulacija se može usporiti pet puta.

Tri tekstovna polja u koja se upisuju željene vrijednosti omogucuju promjenufrekvencije, tjemene vrijednosti ulaznog napona, te vrijenosti otpora, kapaciteta iliinduktiviteta. Za zadane vrijednosti u simulaciji se može ocitati tjemena vrijednoststruje i promatrati vremenski i vektorski V , I dijagram.

5.8.2 SLOŽENI R, L I C STRUJNI KRUGOVI

U prva dva tekstovna polja upisuje se iznos napona na izvoru (VOLTAGE) i frek-vancija (FREQUENCY). Pomocu padajuceg izbornika izabire se element strujnogkruga: otpornik (resistor), kondenzator (capacitor) ili zavojnica (inductor).

U iduce tekstovno polje upisuje se iznos otpora (resistance), kapaciteta (capac-itance) ili induktiviteta (inductivity), ovisno o tome koji je element odabran.

Lijevim click-om miša na gumb:

• REPLACE - zamjenjuje se oznaceni (narancastim pravokutnikom) element(ili dio) strujnog kruga sa elementom koji je odabran iz padajuceg izbornika,

• ADD (IN SERIES) - dodaje se odabrani element u seriju s oznacenim elemen-tom (dijelom) strujnog kruga,

• ADD (IN PARALLEL) - dodaje se odabrani element u paralelu oznacenom el-ementu (dijelu) strujnog kruga,

160

Appleti

SLIKA 5.44: Kombinacija R, L i C u krugu izmjenicne struje

• REMOVE - vraca se zadnje stanje strujnog kruga (briše se dodani element)

Lijevim click-om miša oznacuju se elementi u strujnom krugu, kako bi se do-davali novi ili brisali postojeci.

Izborom:

• VOLTAGE - prikljucuje se voltmetar, koji ce mjeriti napon na oznacenom el-ementu (dijelu),

• AMPERAGE - prikljucuje se ampermetar, koji ce mjeriti jakost struje kroz oz-naceni element (dio) strujnog kruga.

Ispod strujnog kruga mogu se ocitati vrijednosti napona (VOLTAGE), jakostistruje (AMPERAGE), impedancije (IMPEDANCE) i faznog kuta (PHASE ANGLE), kojese odnose na oznaceni (markirani) dio (ili element) strujnog kruga.

161

5. IZMJENICNE STRUJE

5.9 ZADACI

5.1 Odredite:

a) Ako je period neke pojave 2/3 sekunde, kolika je njena frekvencija,

b) kolika joj je kružna frekvencija ako je pojava harmonicka,

c) izrazite pojavu analiticki ako joj amplituda iznosi 1 volt, a u pocetku pro-matranja ima pozitivni maksimum,

d) izrazite analiticki napon iste amplitude i frekvencije koji onome iz c)prethodi za π/2,

e) kolika je efektivna vrijednost oba napona, a kolika im je srednja vrijed-nost?

Rješenje: a) 1,5 Hz b) 3π rad/s c) cos(3πt ) d) −sin(3πt ) e) ve f = 1/p

2 V ,vsr = 0 V

5.2 100 · sin(200 · t ) V je analiticki izražen napon. Odredite:

a) kolika je efektivna vrijednost napona,

b) kolika mu je frekvencija,

c) koliko milisekundi mu traje period,

d) izrazite analiticki struju koja tece kroz kondenzator od 1µ F na koji jeprikljucen na ovaj napon.

Rješenje: a) 70,71 V b) 31,83 Hz c) 31,4 ms d) 0,02 · sin(200t +π/2) A

5.3 Na napon v = 220p

2sin(100t ) V spojena je preko voda otpora 6Ω žarulja soznakom 150 W, 220 V. Odredite:

a) kolika efektivna struja tece kroz trošilo,

b) kolika je snaga na trošilu,

c) koliki je gubitak snage na vodu,

d) koliki je stupanj djelovanja (korisnost) spoja,

e) kolika bi struja potekla da se žarulja kratko spoji?

Rješenje: a) 0,67 A b) 144,86 W c) 2,693 W d) 0,982 e) 36,67 A

5.4 Kroz kondenzator prikljucen na linijski napon mreže 220/380 V, 50 Hz tecestruja 1 A. Odredite:

162

Zadaci

a) kolika je vrijednost kapaciteta kondenzatora,

b) kolika je jalova snaga na kondenzatoru,

c) skicirajte vektorski dijagram napona i struje,

d) nacrtajte i=f(t) i u=f(t) na istoj apscisi za vrijeme 0 t 0,04 s s potrebnimoznakama,

e) koja velicina prethodi.

Rješenje: a) 8,38µ F b) 380 VAr e) struja prethodi naponu za 900

5.5 Zavojnica s omskim otporom ima radnu snagu 40 W, a prividnu 50 VA kadje prikljucena na 220 V / 50 Hz. Odredite:

a) kolika struja tece krugom,

b) koliki je omski otpor,

c) koliki je induktivitet zavojnice,

d) koliki je faktor snage,

e) kolika je snaga ako se prikljuci istosmjerni napon 220 V.

Rješenje: a) 0,2273 A b) 774,2Ω c) 1,849 H d) 0,8 e) 62.5 W

5.6 Kad se realna zavojnica prikljuci na istosmjernih 12 V, tece struja 0,2 A. Akoli se prikljuci na 220 V / 50 Hz, uzima struju 1,4 A. Odredite:

a) koliki je induktivitet zavojnice,

b) koliki je faktor snage zavojnice,

c) kolika je njezina prividna snaga,

d) skicirajte u približnom mjerilu trokut impedancije,

e) skicirajte pripadni vektorski dijagram.

Rješenje: a) 0,4623 H b) 0,38 s c) 308 VA

5.7 Paralelni spoj otpora R i induktiviteta L prikljucen je na napon 120 V. Odred-ite:

a) ako je IR = 15 A, IL = 8 A i f = 1 kHz koliki su R i L,

b) kolike ce biti struje u granama ako se frekvencija poveca dvostruko,

c) vektorski skicirajte odnose pri a) i b),

d) da li ukupna struja prethodi ili zaostaje za naponom,

163

5. IZMJENICNE STRUJE

e) pri kojoj frekvenciji ce struje u granama biti jednakog iznosa?

Rješenje: a) 8Ω , 2,39 mH b) IL = 4[A], IR = 15 A d) zaostaje e) 533 Hz

5.8 Serijski spoj omskog i jalovog otpora prikljuci se na napon v = 220p

2sin(100πt )V . Krugom tece struja i =p

2sin(100πt −π/3) A. Odredite:

a) koliku efektivnu vrijednost ima struja,

b) nacrtajte elektricnu shemu spoja i vektorski prikaz napona i struje,

c) odredite faktor snage,

d) kolike su vrijednosti elemenata,

e) kolika se energija pretvara u toplinu za 1 minutu?

Rješenje: a) 1 A c) 0,5 d) R = 4,5mΩ , L = 0,6065 H e) 6600 J

5.9 Ukupna struja paralelnog spoja dva elementa prikljucenog na 220 V / 50 Hziznosi 10 A i zaostaje sa naponom 300 . Odredite:

a) o kojim je elementima rijec, skicirajte spoj,

b) nacrtajte pripadni vektorski dijagram,

c) izracunajte impedanciju spoja,

d) izracunajte radnu i jalovu snagu spoja,

e) koji element i kojeg iznosa treba dodati paralelno da ukupna struja dodeu fazu s naponom?

Rješenje: a) otpornik, zavojnica c) 22Ω d) 1,9 kW , 1,1 kVAr e) kondenzator,72,3µF

5.10 Kolike su fazna struja i snaga peci koja ima tri grijaca tijela od po 25Ωspojena u zvijezdu i prikljucena na napon 380/220 V ?

Rješenje: 8,8 A , 5,81 kW

164

ADODATAK

WEB-ADRESE APPLET-A

1. Elektrostatika

1. Elektricno polje naboja: http://www.falstad.com/emstatic/

2. Kapacitet plocastog kondenzatora: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/capacitance/index.html

3. Prirodni kondenzator: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lightning/index.html

2. Istosmjerna struja

1. Ohmov zakon: http://www.zaz.com.br/fisicanet/simulacoes/simulacoes/lei_de_ohm.html

2. Jednostavni strujni krug: http://jersey.uoregon.edu/vlab/Voltage/index.html

3. Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/ClickDevice/refdir.html

4. Serijski spoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/SeriesRDesign.html

5. Paralelni spoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/ParallelRDesign.html

6. Kirchhoff–ovi zakoni: http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/ipmj/java/resist4/index.html

3. Magnetizam

1. Naboj u magnetskom polju: http://surendranath.tripod.com/Applets/Electricity/MovChgMag/MovChgMagApplet.html

2. Lorenz-ova silahttp://www.walter-fendt.de/ph11e/lorentzforce.htm

165

A. WEB-ADRESE APPLET-A

3. Faraday-ev zakon: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Induction.htm

4. Lennz-ov zakonhttp://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenzlaw/index.html

4. Prijelazne pojave

1. RC-krug: http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc.html

2. RL-krug: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/RL.htm

3. Elektromagnetski oscilirajuci krug: http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm

5. Izmjenicna struja

1. Elektricni elementi u krugu izmjenicne struje: http://www.walter-fendt.de/ph14e/accircuit.htm

2. Kombinacija R, L i C u krugu izmjenicne struje: http://www.walter-fendt.de/ph14e/combrlc.htm

166

LITERATURA

[1] Mario Essert; Zdravko Valter, Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1991.

[2] H. Linse, Elektrotechnik f ur Maschinenbauer, B.G. Teubner, Stuttgart 1972.

[3] Josip Loncar, Osnovi elektrotehnike, knjiga prva i druga, Tehnicka knjiga Za-greb, 1958.

[4] Antun Maletic, Osnove elektrotehnike za studente strojarstva, Sveucilište uSplitu - FESB, Split 1987.

[5] Armin Pavic, Osnove elektrotehnike, 1. dio, Element Zagreb, 1997.

[6] Armin Pavic, Osnove elektrotehnike, 2. dio, Element Zagreb, 1997.

[7] Vladimir Pinter, Osnove elektrotehnike, knjiga prva i druga, Tehnicka knjiga Za-greb, 1975.

[8] Edward M. Purcell, Elektricitet i magnetizam, Tehnicka knjiga Zagreb, 1988.

[9] J. A. Richards; F. W. Sears; M. R. Wehr; M. W. Zemansky, Modern UniversityPhysics, Addison-Wesley, Massachusetts, USA, 1960.

[10] F. W. Sears, Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Massachusetts, USA,1951.

[11] R. L. Sproull, Modern Physics, J. Wiley & Sons, New York, 1963.

[12] Ivan Supek, Nova fizika, Školska knjiga Zagreb, 1966.

167

INDEKS

akumulatordobrota, 52kapacitet, 51korisnost, 51

akumulatori - sekundarni elementi, 50amper, [A], 94ampermetar

proširenje mjernog podrucja, 64atom, 2

ljuska, 3neutron, 2proton, 2

baterije - primarni elementi, 48

depolarizator, 49

efektivna vrijednost, 131ekvipotencijalne tocke, 12elektricna

energija, 67snaga, 66vodljivost, 5, 35

elektricna struja, 34- u otopinama, 46- u plinu, 44smjer, 31

elektricnigenerator, 129izvori, 32

fotonaponski, 32generator, 33kemijski, 32termoelementi, 33

kapacitet, 16naboj, 3

napon, 32otpor vodica, 35potencijal, 12rad, 15, 66

elektricni izvorelektromotorna sila izvora, 52nutarnji otpor, 54vanjska karakteristika, 53

elektricnobrojilo, 67

elektricno polje, 6homogeno, 8jakost, 7

elektricna struja, 31elektrode

anoda, 46katoda, 46

elektrodinamicko djelovanje, 94elektrokemijski

elementi, 48naponski niz, 48

elektroliza, 46elektromagnetski valovi, 120energija

nabijenog kondenzatora, 22, 111potencijalna, 13zavojnice, 114

Faradayzakon elektromagnetske induk-

cije, 96Faraday-evi zakoni elektrolize, 47fazna razlika, 133frekvencija, 128

kružna, 129

169

INDEKS

galvanometar, 92

histereza, 85

indukcija(elektro)magnetska, 82

influencijadielektricna, 9

instrumenti, 62ampermetar, 34, 53voltmetar, 32, 53

ion, 5izmjenicna struja

jalova snaga, 155kondenzator, 140otpor, 139Paralelni RC - krug, 150Paralelni RL - krug, 149Paralelni RLC - krug, 151prividna snaga, 156radna snaga, 156RC krug, 146rezonancija, 148RL krug, 145RLC spoj, 144Serijski RLC -krug, 147snaga, 154srednja snaga, 155strujni krug, 139trokut snaga, 155zavojnica, 142

Kirchhoff-ovi zakoni, 39kondenzator, 16

izbijanje, 113nabijanje, 112napon proboja, 17prirodni, 23spojevi, 18

krivulja magnetiziranja, 85

LC spoj - oscilator, 118Lenzovo pravilo (zakon), 98

magnetizamremanentni, 85

magnetomotorna sila, 87

magnetskaenergija, 102histereza, 102meduindukcija, 99permeabilnost, 82privlacna sila, 104samoindukcija, 98

magnetskedomene, 82

magnetskiakcelerator, 92krug, 87otpor, 87tok, 81

magnetskorazmagentiziranje jezgre, 103

magnetsko polje, 78homogeno, 83izvan vodica, 80ravnog vodica, 80sila, 89sila na naboj u gibanju, 89zavojnice, 80

materijaliferomagnetski, 84magnetski, tvrdi i meki, 86neferomagnetski, 84

napon, 14naponski izvor

realni, 56

Ohm-ov zakon, 37olovni akumulator, 50oscilacijski, titrajni krug, 119otpor

temperaturni koeficijent, 36

polarizacija dialektrika, 9

RC krug, 112rezonancija, 152RL krug, 117RL spoj, 114

sila na vodic protjecan strujom, 92spojevi

170

s otpornicima, 41paraleleno, 42serijski, 41

srednja vrijednost, 130struja

istosmjerna, 125izmjenicna, 125periodicka, 126sinusoidalna, 127

strujni krugjednostavni, 52složeni, 55

supravodljivost, 37

transformator, 101trofazni sustav, 157

snaga, 159trokut spoj, 158zvijezda spoj, 157

vektorski prikaz, 137vodic, 5volt, 12voltmetar

proširenje mjernog podrucja, 64vremenska konstanta, 113

zavojnicaiskapcanje, 116ukapcanje, 115

171