Electromagnetic Wavesคลนแมเหลกไฟฟา

ดร. ยงยศ อนฟาแสงภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยธรรมศาสตร

2

Waves in Everyday Lifeการแผของคลนจากบรเวณหนงไปยงอกบรเวณหนง

แผนดนไหวน าพาพลงงานสงไปตามพนผวโลก และท าใหเกดคลนยกษซนาม

คลนเสยงหรอการสนของสายดนตร น าพาพลงงานไปไดนอยกวา

แสงจากดวงอาทตยแผพลงงานในรปแบบของคลน ท าใหสงมชวตบนโลกด ารงอยได

คลนวทย ท าใหเกดการสอสารโทรคมนาคม

คลน x-rays ท าใหเกดการพฒนาทางการแพทยและอนๆ..... ^^

• คลน (Waves)

• การเคลอนทแบบคลน (Wave motion) คอ

3

What is Waves?

คอ การรบกวน (Disturbance) ทสามารถสงตอไปหรอแผออกไป (Propagation) หรอเคลอนทจากจดหนงไปยงอกจดหนงตามระยะทาง

การสงผานพลงงาน (Energy transfer) จากจดหนงไปยงอกจดหนงตามระยะทาง อาจจะผานหรอไมผานตวกลาง โดยทตวกลางหรอสสาร (Matter) ไมไดเคลอนทตามไปดวย

• คลนเกดจาก

4

What is Waves?

Equilibrium or Undisturbed Level

การสน (Vibration, Oscillation) หรอการเคลอนทกลบไปกลบมาซ าแนวทางเดมผานจดสมดล (Harmonic motion: SHM, DHM, FHM)

1. คลนกล (Mechanical Waves)- คณสมบตทางฟสกสของตวกลางบางอยางจะถกรบกวน- เปนการแผของสงรบกวนผานตวกลาง- ตวอยางเชน คลนเสยง คลนน า คลนในเสนเชอก- คลนเสยงในสญญากาศ http://youtu.be/ce7AMJdq0Gw

2. คลนแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic Waves)- ไมอาศยตวกลางในการแผหรอเคลอนทของคลน- ปรมาณทางฟสกสบางอยางจะเปลยนไปในตวกลางตางๆ- ตวอยางเชน คลนแสง คลนวทย รงสเอกซ

5

Types of Waves

• คลนตามขวาง (Transverse Wave) คอ คลนททศทางการเคลอนทขององคประกอบตวกลางซงถกรบกวน ตงฉาก กบทศทางการเคลอนทของคลน

• Direction of vibration Direction of propagation

• ตวอยางเชน แสง, คลนบนเสนเชอก

6

Transverse Wave

Note:

- ทศทางการเคลอนทของอนภาคตวกลางแสดงดวยลกศรสด ำ

- ทศทางการเคลอนทของคลนแสดงดวยลกศรสแดง

• คลนตามยาว (Longitudinal Wave) คอ คลนททศทางการเคลอนทขององคประกอบตวกลางซงถกรบกวน ขนาน กบทศทางการเคลอนทของคลน

• Direction of vibration Direction of propagation• ตวอยางเชน คลนเสยง

7

Longitudinal Wave

สวนอด (Compression)

สวนขยาย (Expansion)

ระยะขจดของขดลวดมทศ ขนาน กบทศทางการเคลอนทของคลน

1. คลนดล (Pulse waves): คลนทเกดขนในชวงเวลาสนมากๆ

2. คลนรปไซน (Sinusoidal waves): คลนทมรปรางแบบฟงกชนไซน

3. คลนนง (Standing waves): คลนในบรเวณจ ากด

4. คลนเดอบอยล (De-Broglie waves): ฟสกสยคใหม

8

Waves Patterns

• คลนนเกดจากการสะบดปลายดานหนงของเสนเชอก

• เสนเชอกเกดแรงตงเชอก

• สวนนนๆ ลกหนงเกดขนและเคลอนทไปตามเสนเชอก• เรยกสวนนนลกนวา คลนดล (Pulse)

• แผนภาพแสดงภาพถายชวขณะของการเกดและการแผของคลนดลทเคลอนท

9

Pulse Wave on the String

1. แหลงก าเนดการรบกวนของคลนคอ.............

2. ตวกลางของคลนคอ..............3. ความสงและความเรวคลนดลขนอยกบ..........

คลนดลเคลอนท (Traveling Pulse)

1. รปรางของคลนดลทเวลา t = 0 แสดงดงรป a ซงต าแหนงขององคประกอบ y ตามขวางทต าแหนง x ใดๆแสดงเปนฟงกชนคณตศาสตรไดวา y(x,0) = f(x)

2. ความเรวของคลนดลคอ v ดงนน ทเวลา t ใดๆ คลนดลจะเคลอนทเปนระยะทาง vt ตามรป b โดยรปรางของคลนดลจะไมเปลยนไปตามเวลา และต าแหนงแนวตงแสดงเปนฟงกชนคณตศาสตรไดวา y = f(x-vt)

3. ดงนน

4. ลองพจารณากราฟเสนตรง10

Traveling Pulse Wave

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡)

คลนดลเคลอนท (Traveling Pulse)

1. ส าหรบคลนดลเคลอนทไปทางขวา y(x,t) = f(x-vt)

2. ส าหรบคลนดลเคลอนทไปทางซาย y(x,t) = f(x+vt)

11

Traveling Pulse Wave

• ฟงกชน y นจะเรยกวา ฟงกชนคลน (Wave Function): y(x,t)

• ฟงกชนคลนแสดงระยะพกด y ขององคประกอบทต าแหนง x ทเวลา t ใดๆ ซงในกรณน ระยะพกด y เปนต าแหนงตามขวางกบทศการเคลอนท

• ถาพจารณาเวลา t คาหนง รปรางของฟงกชนคลนจะเรยกวา รปแบบคลน (Waveform)

12

Traveling Pulse Wave• คลนดลเคลอนทไปทางขวาตามแกน x ถกนยาม

ดวยฟงกชนคลนคอ

• จงหานพจนของฟงกชนคลนทเวลา t = 0 s, t = 1 s และ t = 2 s

อตราเรวของคลน

𝑦 𝑥, 𝑡 =2

𝑥 − 3.0𝑡 2 + 1

13

Pulse Wave Speed• อตราเรวของคลน (Wave speed, v) เปนอตราเรว

ทคลน (อาจจะพจารณาไดจากยอดคลน) เคลอนทตามทศ +x

• อตราเรวตามขวาง (Transvers speed, vy) เปนอตราเรวทองคประกอบเคลอนท (สน) ตามแนวพกด y

อตราเรว =ระยะเวลา

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑣𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡

อตราเรวของคลน

ความเรว (Velocity) – Vectorอตราเรว (Speed) – Scalar

• คลนรปไซน (Sinusoidal wave) เปนคลนอยางงายสดของคลนตอเนองแบบซ าไปซ ามา เปนฟงกชน sin หรอ cosine กได รปขางลางแสดงรปแบบคลน (Waveform) ของคลนรปไซน

• รปแบบของคลนเปนแบบเดยวกบเสนโคงทเปนกราฟระหวาง sin หรอ cosและ มม

14

Sinusoidal Wave

ยอดคลน (Crest)

ทองคลน (Trough)

15

ยอดคลน (Crest)

ทองคลน (Trough)

(a) (b)

ทองคลน (Trough)

ยอดคลน (Crest)

ความยาวคลน คาบ

แกนการกระจด แกนเวลา

y

x

t = 0 t = 0

Ԧ𝑣𝑣𝑡

Sinusoidal Wave

• ความยาวคลน (Wavelength, ) – ระยะทาง (ขนานไปกบทศการเคลอนท) ระหวางจดซ าซอนของรปรางคลน เชนจากยอดคลนไปยงยอดคลนทอยถดไป (หนวย: เมตร, m)

• เลขคลน (Wave number, k) – จ านวนลกคลนทมในระยะทางวงกลมหนงหนวย (2πrad) (หนวย: รอบตอเมตร, rad/m)

• เฟส (Phase) – อารกวเมนท (Argument) ของพจน kx - t + โดยพจนสดทาย คอเฟสเรมตน (Initial phase) (หนวย: องศา หรอ เรเดยน)

16

Waves Characteristics

𝑘 =2𝜋

𝜆

360° ≡ 2𝜋

• แอมพลจด (Amplitude, A, ym) – ขนาดการกระจดมากสดขององคประกอบการสน โดยคดจากระดบสมดล (หนวย: เมตร, m)

• ความถ (Frequency, , f) – จ านวนการสนของคลนทผานจดหนงจดใดตอหนวยเวลา (หนวย: รอบตอวนาท, cycle/second, Hz, s-1) คลนเคลอนทครบ 1 รอบ = 1 cycle

• ความถเชงมม (Angular Frequency, ) - จ านวนการสนของคลนทมในชวงเวลาทคลนเดนทางครบรอบวงกลมหนงหนวย (หนวย: เรเดยนตอวนาท, rad/s)

• คาบ (Period, T) – เวลาทคลนใชในการสนครบรอบ 1 รอบ หรอ 1 cycle (หนวย: วนาท, s)

17

Waves Characteristics

𝑓 =1

𝑇

𝜔 = 2𝜋𝑓

• ฟงกชนคลน (Wave function), y(x,t) จะใชอธบายคลนเชงคณตศาสตร ในฟงกชนน y คอการกระจดขององคประกอบตามพกด y ทเวลา t ใดๆและต าแหนง x ใดๆ

• ฟงชนคลนส าหรบคลนรปไซนทเคลอนทไปตามทศ +x ตามรปขางลางคอ

18

Mathematical of Waves

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙)

Displacement Amplitude

Oscillating term

Phase

Angular wave number

Position Angular frequency

Time

Initial phase

19

Speed of Sinusoidal Waveพจารณาคลนรปไซน ซงแสดงรปแบบคลนทเวลา t = 0 สมการทคาดวาจะใชนยามรปแบบคลนนไดคอ

𝑦 𝑥, 0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)

ทต าแหนง x = 0 เราจะไดวา 𝑦 0,0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑎 0 = 𝐴

ทต าแหนง x ถดไปทจะท าให y มคาเปน -A คอ 𝑥 = 𝜆/2

ดงนน 𝑦 𝜆/2,0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑎𝜆/2 = −𝐴

เพอใหสมการนเปนจรง จะไดวา a𝜆/2 = 𝜋 หรอจะไดวา 𝑎 = 2𝜋/𝜆

จาก f(x) = f(x-vt) จะไดวา𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠

2𝜋

𝜆𝑥 − 𝑣𝑡

20

Speed of Sinusoidal Waveโดยนยาม คลนเคลอนทผานระยะขจด x จะเทากบหนงความยาวคลน ในชวงเวลา t ของหนงคาบ T ดงนนอตราเรวของคลนรปไซนจะนยามไดวา

𝑣 =Δ𝑥

Δ𝑡=𝜆

𝑇= 𝜆𝑓

ดงนนจะไดวา

Note:

𝑣 = 𝜆𝑓 = (𝜆

2𝜋)(2𝜋𝑓) =

𝜔

𝑘

หนวย: เมตรตอวนาท, m/s

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑥

𝜆−𝑡

𝑇= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

21

Transvers Speedอตราเรวตามขวาง (Transvers speed, vy) เปนอตราเรวทองคประกอบเคลอนท (สน)ตามแนวพกด y

จะไดวา 𝑣𝑦 =𝜕𝑦

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑥

𝜆−𝑡

𝑇= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑣𝑦 = −𝐴 −𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑣𝑦 = 𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

22

Transvers Accelerationอตราเรงตามขวาง (Transvers acceleration, ay) เปนอตราเรวทองคประกอบเคลอนท (สน) ตามแนวพกด y

จะไดวา

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑥

𝜆−𝑡

𝑇= 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑎𝑦 =𝜕2𝑦

𝜕2𝑡=𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑎𝑦 = 𝜔𝐴 −𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑎𝑦 = −𝜔2 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = −𝜔2𝑦(𝑥, 𝑡)

กราฟ (a) แสดงรปรางของเชอกทเวลา t = 0

กราฟ (b) แสดงการกระจด y ทเปนฟงกชนของเวลาทต าแหนง x = 0

23

Graph of Wave Function

𝑦 𝑥, 𝑡 = 0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠2𝜋

𝜆𝑥

𝑦 𝑥 = 0, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 −𝜔𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 −2𝜋

𝑇𝑡

24

Wave Function in –x direction

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑥

𝑣+ 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋

𝑥

𝜆+𝑡

𝑇= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)

เราเรยก (𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡) วา เฟส ซงมความส าคญตอปรมาณเชงมม ส าหรบคา x และ t ใดๆ จะก าหนดวาสวนใดของรปแบบกราฟไซนจะเกดขนบนต าแหนงและเวลานนๆเชน บนยอดคลน (y = A และ cosine มคาเปน 1) เฟสควรจะเปน 0, 2π

ส าหรบคลนทเคลอนทตามทศ +x, 𝑘𝑥 − 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 และเราสามารถหาอนพนธไดวา

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝜔

𝑘

เรยกอตราเรวนไดวา อตรำเรวเฟส (Phase speed)

𝑑

𝑑𝑡𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 =

𝑑

𝑑𝑡(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)

𝑑(𝑘𝑥)

𝑑𝑡−𝑑(𝜔𝑡)

𝑑𝑡= 0

Linear Waves Equationจากสมการคลน หาอนพนธยอย (Partial differential) เทยบกบการกระจด (dx)

อนพนธอนดบหนง จะเปนความชนของเชอกทต าแหนง x และทเวลา t ใด

อนพนธอนดบสอง จะเปนความโคงของคลน

25

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝜕𝑦

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = −𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥=

𝜕

𝜕𝑥−𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = −𝑘2𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = −𝑘2𝑦(𝑥, 𝑡)

Linear Waves Equationจากสมการคลน อตราเรงตามขวางของคลน ความโคงของคลน และอตราเรวของคลน

จะไดวา

สมการคลนเชงเสน (Linear Wave Equation)

: รปแบบของ Differential Equation ซงเกยวของกบ Harmonic Waves26

𝑦 𝑥, 𝑡 = −1

𝜔2

𝜕2𝑦

𝜕2𝑡𝑦 𝑥, 𝑡 = −

1

𝑘2𝜕2𝑦

𝜕2𝑥𝑣 =

𝜔

𝑘

−1

𝑘2𝜕2𝑦

𝜕2𝑥= −

1

𝜔2

𝜕2𝑦

𝜕2𝑡

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥=

𝑘

𝜔

2𝜕2𝑦

𝜕2𝑡𝜕2𝑦

𝜕2𝑥=

1

𝑣2𝜕2𝑦

𝜕2𝑡

Traveling Wavesทจดทเชอกมความโคงขน (2y/ x2 > 0) ความเรงของจดนนเปนบวก (2y/ t2 > 0)

ทจดทเชอกมความโคงลง ( 2y/ x2 < 0) ความเรงของจดนนเปนลบ (2y/ t2 < 0)

ทจดเปลยนความโคง ( 2y/ x2 = 0) ความเรงของจดนนเปนศนย (2y/ t2 = 0)vy และ ay เปนความเรวและความเรงตามขวางของจดบนเชอก จดเหลานเคลอนทตามทศ y ไมใชตามทศการแผของคลน

27

A. 3x107 Hz B. 4x109 Hz

C. 5x1011 Hz D. 6x1014 Hz

E. 4x1015 Hz

28

Questions

A. y(x,t) = A sin (–kx – t)

B. y(x,t) = A sin (kx + t)

C. y(x,t) = A cos (kx + t)

D. both B. and C.

E. all of A., B., and C.

1. ฟงกชนคลนใดทเคลอนทไปตามทศ -x

2. ความยาวคลนของแสงทมองเหนไดของตามนษย อยในระดบ 500 nm ถาอตราเรวแสงในอากาศคอ 3x108 m/s ความถของแสงจะมคาเทาใด

29

Questions

3. จงหา3.1 ความถของคลน f =3.2 ความถเชงมม =3.3 เลขคลน k =3.4 สมการฟงคชนคลน y =

4. จากสมการคลน y 𝑥, 𝑡 = 2 𝑚𝑚cos(8𝜋𝑥 − 800𝜋𝑡) จงหา4.1 เลขคลน k =4.2 ความถเชงมม =4.3 ความยาวคลน =4.4 ความถ f =4.5 อตราเรวของคลน v =4.6 อตราเรวตามขวางของคลน vy =

t(s)

2 mm

-2 mm

1 mm

-1 mm

1 2 3 4 5 6

v = 10 m/s

คลนแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic Waves) ไมตองการ ตวกลางในการเคลอนทแสงเปนคลนแมเหลกไฟฟาชนดหนง

คลนแมเหลกไฟฟาอนๆ เชน คลนวทย รงสเอกซ

แหลงก าเนดคลนแมเหลกไฟฟาคอ ประจไฟฟาทก าลงสน (Oscillating Electric Charges)

30

Electromagnetic Waves

จากสมการของแอมแปร

31

Ampere’s law

ท s1 จะไดวา ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0𝐼

ท s2 จะไดวา ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0𝐼 = 0

แลวจะแกปญหานไดอยางไร

𝑞 = 𝜀0𝐴𝐸 = 𝜀0Φ 𝑖𝑑 =𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝜀0

𝑑Φ

𝑑𝑡

𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡(𝑖𝑐) + 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡(𝑖𝑑)

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0𝐼

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0 𝑖𝑐 + 𝜀0𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡

สมการแมกซเวลท านายวาประจไฟฟาทมการสนจะปลอย รงสแมเหลกไฟฟา ในรปแบบของคลนแมเหลกไฟฟา

32

Maxwell’s Equation

ර𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 =𝑄𝑒𝑛𝑐𝑙𝜀0

ර𝐵 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0(𝑖𝑐 + 𝜀0𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡)

ර𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡

กฏของเกาส

กฏของเกาสส าหรบแมเหลก

กฏของแอมแปร

กฏของฟาราเดย

𝜀0 = 8.85 × 10−12 𝐶2/𝑁 ∙ 𝑚2

สภาพซมซาบไดทางไฟฟา, Permittivity𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 𝑇 ∙ 𝑚/𝐴

สภาพซมซาบไดทางแมเหลก, PermeabilityHertz Experimenthttp://youtu.be/xNTHbiKmwNQ

33

Plane Waveสมมตใหเวกเตอรของสนามไฟฟาและแมเหลกในคลนแมเหลกไฟฟามคณสมบตเฉพาะของกาล-ปรภม (Space-Time) ทสอดคลองกบสมการแมกซเวล

สมมตคลนแมเหลกไฟฟาเคลอนท (Direction of Propagation)ในทศพกด +x โดยมสนามไฟฟาสม าเสมอในทศ +y และสนามแมเหลกสม าเสมอในทศ +z

คลนทสนามไฟฟาและแมเหลก ขนาน กบคสนามทตงฉากกบแกนการเคลอนท จะเรยกวา คลนโพลาไรซเชงเสน (Linearly Polarized Waves)

ดงนนบนจดใดๆ บนปรภม ขนาดของสนามไฟฟาและแมเหลกขนอยกบ x และ t เทานน

จากรป ใหสนามไฟฟาและแมเหลกมคาเปน 0ส าหรบทางขวาของระนาบของหนาคลนทแรเงา และใหมขนาดของสนามใดๆ เทากนทงหมดส าหรบทางซายของระนาบของหนาคลนทแรเงา

34

Plane Waveรงส (Rays) คอเสนทลากไปตามการเคลอนทของคลน

รงสทกเสนส าหรบคลนโพลาไรซเชงเสนจะ ขนาน กน

คลนจากรงสใดๆ ทมสนามสม าเสมอขนาดเทากนตลอดพนผวระนาบใดๆ ทตงฉากกบทศการเคลอนทของคลน เรยกคลนเหลานวา คลนระนาบ (Plane Wave)

พนผวทเชอมตอคลนทมเฟสใดๆ เทากน จะเรยกวา หนาคลน (Wave Front)

สรางผวเกาสเซยน (Gaussian) เปนผวกลองสเหลยมผนผาตามรปภายในกลอง ไมมประจไฟฟาใดๆ อย ฟลกซ (Flux) ไฟฟาและแมเหลกสทธทผานกลองเปน ศนย ทงค

คลนนสอดคลองกบสมการแมกซเวลขางตนหรอไม?ดงนนสนามไฟฟาและแมเหลกมทศ ตงฉาก กบทศการเคลอนท (แผ) ของคลนดงนนคลนระนาบแมเหลกไฟฟาอยางงายเปนคลนตามขวาง

35

EM Plane Wave

ර𝐸 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 =𝑄𝑒𝑛𝑐𝑙𝜖0

ර𝐵 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 = 0

กฏของเกาส

กฏของเกาสส าหรบแมเหลก

• สรางสเหลยมผนผา efgh ทขนานกบระนาบ xy

• สเหลยมนสง a และกวาง Δ𝑥

• หนาคลนแรกเคลอนทผานสเหลยม efgh ไปบางสวน ดงนนสนามไฟฟาและแมเหลกจะเปน ศนย บนดาน ef

• เวกเตอร 𝑑 Ԧ𝐴 ของสเหลยมผนผา efgh อยในทศ +z

• ตามกฎมอขวา จ าเปนตองหาปรพนธ (integrate) ของ 𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙ตามทศ ทวนเขมนาฬกา รอบรปสเหลยม efgh

• บนดาน ef สนามไฟฟาเปนศนย

• บนดาน fg และ he ถาสนามไฟฟาไมเปนศนย มนกตงฉากกบ dl

• บนดาน gh เทานนทมผลตอปรพนธ ซงจะไดวา

36

EM Plane Wave and Ampere’s Law

ර𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡

ර𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −𝐸𝑎

จากกฎของฟาราเดย จะตองมองคประกอบของสนามแมเหลกในทศ +zเพอทจะท าใหมฟลกซแมเหลกทไมเทากบศนยผานพนผวสเหลยม efgh และมคาอนพนธ (derivative) 𝑑Φ𝐵/𝑑𝑡

ในชวงเวลา 𝑑𝑡 หนาคลนเคลอนเปนระยะทาง 𝑐 ∙ 𝑑𝑡 ไปทางขวา

หนาคลนกวาดพนทส เหลยม efgh ไปได 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡 ในชวงเวลาน ฟลกซแมเหลกทผานพนทส เหลยม efgh เพมขน

𝑑Φ𝐵 = 𝐵(𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡) ดงนน อตราการเปลยนฟลกซแมเหลกคอ

จากสมการกอนหนา เราจะไดวา −𝐸𝑎 = −𝐵𝑎𝑐 ดงนน

37

EM Plane Wave and Ampere’s Law

𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡= 𝐵𝑎𝑐

𝐸 = 𝑐𝐵 คลนแมเหลกไฟฟาในสญญากาศ

ถาสนามแมเหลกอยในทศ –z สมการขางตนจะมเครองหมายลบหนา Bถาสนามแมเหลกอยในทศ +y ?

• พจารณาสมการของแอมแปรทไมมกระแสการน า (ic = 0)

• สรางสเหลยมผนผาบนระนาบ xz เวกเตอรพนท 𝑑 Ԧ𝐴 อยในทศ +y

• หาปรพนธ (integrate) 𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 ตามทศ ทวนเขมนาฬกา รอบรปสเหลยม efgh

• บนดาน ef สนามแมเหลกเปนศนย• บนดาน fg และ he ถาสนามแมเหลกไมเปนศนย มนกตงฉากกบ dl

• บนดาน gh เทานนทมผลตอปรพนธ ซงจะไดวา

38

EM Plane Wave and Ampere’s Law

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0(𝑖𝑐 + 𝜖0𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡)

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐵𝑎

เมอทางซายไมเทากบศนย ทางขวากตองไมกบศนยดวย ดงนนสนามไฟฟาตองอยบนแกน y และตงฉากกบสนามแมเหลกเพอให ฟลกซไฟฟา Φ𝐸 ผานรปสเหลยมและอนพนธยอยเทยบเวลา 𝑑Φ𝐸/𝑑𝑡 ไมเทากบศนย

ในชวงเวลา 𝑑𝑡 ฟลกซไฟฟา Φ𝐸 ผานรปสเหลยมจะเพมขน 𝑑Φ𝐸 = 𝐸(𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡) เนองจากเราเลอก 𝑑 Ԧ𝐴 ในทศ +y การเปลยนฟลกซจงเปนบวก และอตราการเปลยนของสนามไฟฟาคอ

จากสมการกอนหนา จะไดวา B𝑎 = 𝜇0𝜖0𝐸𝑎𝑐 ดงนน

39

EM Plane Wave and Ampere’s Law

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0𝜖0𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡

𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡= 𝐸𝑎𝑐

B = 𝜇0𝜖0𝑐𝐸

คลนแมเหลกไฟฟาตองสอดคลองตามกฎของฟาราเดยและแอมแปรทงค ดงนนสมการผลลพธตองเปนจรงทงค

ซงจะเปนจรงกตอเมอ

จะไดวา อตราเรวคลนแมเหลกไฟฟาในสญญากาศมคา 3x108 m/s ซงเทากบอตราเรวแสง

40

Speed of EM Wave

𝐸 = 𝑐𝐵

𝐵 = 𝜖0𝜇0𝑐𝐸

กฎของฟาราเดย

กฎของแอมแปร

𝑐0 =1

𝜖0𝜇0อตราเรวของคลนแมเหลกไฟฟาในสญญากาศ

• คลนเปนคลนตามขวาง ทงสนามไฟฟาและแมเหลกตงฉากกบทศทางการแผของคลน สนามไฟฟาและแมเหลกตงฉากกนเอง ทศทางการเคลอนทคอทศทางของผลคณเวกเตอร 𝐸 × 𝐵

• อตราสวนระหวางขนาดของสนามไฟฟาและแมเหลกมคาทแนนอน นนคอ 𝐸 = 𝑐𝐵

• คลนเคลอนทในสญญากาศดวยอตราเรวแนนอนทไมเปลยนคา• คลนแมเหลกไฟฟาไมตองการตวกลางในการเคลอนท

41

EM Wave Characteristics

42

Direction of EM Wave

จงหาทศทางขององคประกอบของคลนแมเหลกไฟฟาทเหลอ1. คลนเคลอนทไปทศ +z และสนามไฟฟาอยในทศ +x2. คลนเคลอนทไปทศ +y และสนามแมเหลกอยในทศ –z3. สนามแมเหลกอยในทศ –x และสนามไฟฟาอยในทศ +z

43

Questions

+x+z

+y

• จากสมการคลนเชงเสน

• พจารณาคลนแมเหลกไฟฟาแบบระนาบ นนคอให 𝐸𝑦 และ 𝐵𝑧 มคาสม าเสมอตลอดระนาบทตงฉากกบแกนเคลอนท x ดงนนทงสนามไฟฟาจะเปนฟงกชนทขนอยกบ 𝑥 และ 𝑡 เทานน

• พจารณาวา 𝐸𝑦 และ 𝐵𝑧 มคาอยบนระนาบ 2 ระนาบทตงฉากกบแกน 𝑥 ทต าแหนง 𝑥 และ 𝑥 + Δ𝑥

44

Differential of EM Wave Equation

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕2𝑥=

1

𝑣2𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕2𝑡

• พจารณากฎฟาราเดยบนรปสเหลยม efgh ทขนานกบระนาบ xy ตามรป จะไดวา

• ส าหรบฟลกซแมเหลกผานสเหลยม efgh จะสมมตให x มคานอยท าให Bz มคาเขาใกลสม าเสมอตลอด จะไดวา Φ𝐵 =𝐵𝑧 𝑥, 𝑡 𝐴 = 𝐵𝑧 𝑥, 𝑡 𝑎Δ𝑥 ดงนน

• เราใช partial-derivative เนองจาก Bz เปนฟงกชนทง x และ t

45

Differential of EM Wave Equation

ර𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 𝑎 + 𝐸𝑦 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 𝑎

= 𝑎 𝐸𝑦 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 − 𝐸𝑦 𝑥, 𝑡

𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡=𝜕𝐵𝑧(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡𝑎Δ𝑥

• จากผลลพธสมการกอนหนา และกฎของฟาราเดย เราจะไดวา

• สดทายแลว เมอใหลมตสมการขางตนคอ Δ𝑥 → 0 จะไดวา

• สมการนแสดงใหเหนวาเมอมการเปลยนเทยบเวลา t ของสนามแมเหลก จะตองมการเปลยนเทยบระยะ x ของสนามไฟฟาดวย

46

Differential of EM Wave Equation

𝑎 𝐸𝑦 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 − 𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 = −𝜕𝐵𝑧𝜕𝑡

𝑎Δ𝑥

𝐸𝑦 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 − 𝐸𝑦 𝑥, 𝑡

Δ𝑥= −

𝜕𝐵𝑧𝜕𝑡

𝜕𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −

𝜕𝐵𝑧(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

ර𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡

• พจารณากฎแอมแปรบนรปสเหลยม efgh ทขนานกบระนาบ xy ตามรป จะไดวา

• ส าหรบฟลกซไฟฟาผานสเหลยม efgh จะสมมตให x มคานอยท าให Ey มคาเขาใกลสม าเสมอตลอด จะไดวา Φ𝐸 = 𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 𝐴 = 𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 𝑎Δ𝑥 ดงนน

47

Differential of EM Wave Equation

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑎 −𝐵𝑧 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 + 𝐵𝑧 𝑥, 𝑡

𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡=𝜕𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡𝑎Δ𝑥

• จากผลลพธสมการกอนหนา และกฎของแอมแปรเราจะไดวา

• สดทายแลว เมอใหลมตสมการขางตนคอ Δ𝑥 → 0 จะไดวา

• สมการนแสดงใหเหนวาเมอมการเปลยนเทยบเวลา t ของสนามไฟฟา จะตองมการเปลยนเทยบระยะ x ของสนามแมเหลกดวย

48

Differential of EM Wave Equation

𝑎 −𝐵𝑧 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 + 𝐵𝑧 𝑥, 𝑡 = 𝜖0𝜇0𝜕𝐸𝑦

𝜕𝑡𝑎Δ𝑥

−𝐵𝑍 𝑥 + Δ𝑥, 𝑡 − 𝐵𝑧 𝑥, 𝑡

Δ𝑥= 𝜖0𝜇0

𝜕𝐵𝑧𝜕𝑡

−𝜕𝐵𝑧(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝜖0𝜇0

𝜕𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

ර𝐵 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜇0𝜖0𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡

• จากอนพนธยอย (partial derivatives) ทงสอง

• จะไดวา

• ซงคอ สมการคลนแมเหลกไฟฟาในสญญากาศ (Electromagnetic wave equation in vacuum)

• โดยท49

EM Wave Equation

−𝜕𝐵𝑧(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝜖0𝜇0

𝜕𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

𝜕𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −

𝜕𝐵𝑧(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

𝜕2𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕2𝑥= 𝜖0𝜇0

𝜕2𝐸𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕2𝑡

𝑐 =1

𝜖0𝜇0

• คลนแมเหลกไฟฟาแบบไซนมลกษณะเดยวกบคลนตามขวางในเสนเชอกแบบไซน

• คลนแมเหลกไฟฟาแบบไซนเคลอนทผานพนทเลกๆทระยะไกลพอจากแหลงก าเนด จะประมาณวาเปนคลนระนาบได

• ในคลนแมเหลกไฟฟาแบบไซนน สนามไฟฟาและแมเหลกจะเปน ฟงกชนแบบไซนทขนอยกบทงเวลาและการกระจด

50

Sinusoidal EM Wave

Emax และ Bmax คอแอมปลจดสงสด (Amplitude) ของสนามไฟฟาและสนามแมเหลก

k คอเลขคลน (Wave number)

คอความถเชงมม (Angular frequency)T คอคาบ (Period), T = 1/f

f คอความถ (Frequency)

คอความยาวคลน (Wavelength)

51

Sinusoidal EM Wave

+x+z

+y Ƹ𝑗

Ƹ𝑖𝑘

𝐸 𝑥, 𝑡 = Ƹ𝑗𝐸𝑚𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝑘𝐵𝑚𝑎𝑥cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

ระวง: ในคลนระนาบ สนามไฟฟาและแมเหลกเปนสนามทอยบนผวระนาบ 𝑐 = 𝜆𝑓 =

𝜔

𝑘

เลเซอรคารบอนไดออกไซดใหคลนแมเหลกไฟฟาแบบไซน เคลอนทในสญญากาศทศทาง –x ความยาวคลนของเลเซอรคอ 10.6 µm โดยสนามไฟฟาขนานกบแกน z ดวย Emax = 1.5 MV/m จงเขยนสมการเวกเตอรของ E และ B ในรปฟงกชนของเวลาและต าแหนง

52

Example 1

53

Example 1

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝑘𝐸𝑚𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡

𝐵 𝑥, 𝑡 = Ƹ𝑗𝐵𝑚𝑎𝑥cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)

54

Example 1𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝐵𝑚𝑎𝑥จากกฎของฟาราเดย

𝐵𝑚𝑎𝑥 =𝐸𝑚𝑎𝑥

𝑐=1.5 × 106 𝑉/𝑚

3.0 × 108 𝑚/𝑠= 5.0 × 10−3 𝑇

ความยาวคลน = 10.6 x 10-6 m

𝑘 =2𝜋

𝜆=

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

10.6 × 10−6 𝑚= 5.93 × 105 𝑟𝑎𝑑/𝑚

𝜔 = 𝑐𝑘 = 3.00 × 108 𝑚/𝑠 5.93 × 105 𝑟𝑎𝑑/𝑚= 1.78 × 1014 𝑟𝑎𝑑/𝑠

แทนคาในสมการคลนจะไดวา

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝑘 1.5 × 106𝑉/𝑚 cos 5.93 × 105𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝑥 + 1.78 × 1014𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡

𝐵 𝑥, 𝑡 = Ƹ𝑗 5.0 × 10−3𝑇 cos 5.93 × 105𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝑥 + 1.78 × 1014𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡

อตราเรวของคลนแมเหลกไฟฟาในสารไดอเลกตรก

n คอคาดชนหกเหในวสด (index of refraction)

K คอคาคงตวไดอเลกตรก (Dielectric Constant)

Km คอคาซมผานสมพทธของไดอเลกตรก(Relative permeability of dielectric), Km 1

55

EM Wave in Matter

𝑣 =1

𝜖𝜇=

1

𝐾𝐾𝑚

1

𝜖0𝜇0=

𝑐

𝐾𝐾𝑚

𝑛 =𝑐

𝑣≅ 𝐾

คาดชนหกเหในน า K = 1.8 ส าหรบแสงชวงทมองเหน อตราเรวของแสงนในน าคดเปนกเปอรเซนตเทยบกบอตราเรวของแสงในสญญากาศ

75%

กระบวนการเกบพลงงาน

- พลงงานจลน (Kinetic Energy)

- พลงงานศกย (Potential Energy)

- พลงงานภายใน (Internal Energy)

กระบวนการวเคราะหพลงงาน

- nonisolated system: มการสงถายพลงงานขามขอบเขต (Boundary) ท าใหเกดการเปลยนแปลงพลงงานโดยรวม แตยงวเคราะหไดโดยใชหลกการอนรกษพลงงาน (Conservation of Energy)

- isolated system: การสงผายพลงงานไมขามขอบเขต ท าใหพลงงานโดยรวมมคาคงท

56

Energy

57

Mechanism of Energy Transfer

คลนแมเหลกไฟฟาน าพาพลงงานไปดวย

ความหนาแนนของพลงงานทงหมด (Total energy densities)

ความหนาแนนพลงงานนขนอยกบต าแหนงและเวลาของคลนทก าลงเคลอนท

เราสามารถอธบายการสงผานพลงงานของคลนในหนวยของ

พลงงานทสงผานตอหนวยเวลาตอหนวยพนทหนาตด, J/sm2

หรอ ก าลงตอหนวยพนท, W/m2

ส าหรบพนทซงตงฉากกบทศการเดนทางของคลน

58

Energy in EM Wave

𝑢 = 12𝜖0𝐸

2 +1

2𝜇0𝐵2 = 𝜖0𝐸

2

59

Poynting Vector

𝑑𝑈 = 𝑢𝑑𝑉 = 𝜖0𝐸2 𝐴𝑐 𝑑𝑡

นยาม S เปนพลงงานทไหลผานพนท A ในชวงเวลา dt

𝑆 =1

𝐴

𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝜖0𝑐𝐸

2 =𝜖0𝜇0

𝐸2 =𝐸𝐵

𝜇0

โดย S สามารถนยามเปนเวกเตอรไดวา

Ԧ𝑆 =1

𝜇0𝐸 × 𝐵

เราเรยกเวกเตอร Ԧ𝑆 วา Poynting vector ในกรณนอยในสญญากาศ ทศของเวกเตอรนชทศการแผของคลน

พจารณาระนาบซงตงฉากกบแกน x ททบซอนกบหนาคลนทเวลาขณะหนง

• พลงงานทงหมดตอเวลาหนงหนวย (ก าลง P) ออกจากผวปดใดๆ คอปรพนธของ Ԧ𝑆 ทวผวนน

• เนองจากความถของคลนแมเหลกไฟฟาโดยทวไปจะสงมาก การเปลยนแปลงตามเวลาของ Poynting vector จงเรวมาก ดงนนคาเฉลยในชวงเวลาหนงจงเหมาะแกการพจารณามากกวา

• คาเฉลยตามเวลาของ Poynting vector ทจดๆ หนง เรยกวา ความเขม(Intensity) ของการแผรงสทจดๆ หนง มหนวยเปน W/m2

60

Intensity

𝑃 = ර Ԧ𝑆 ∙ 𝑑 Ԧ𝐴 𝐼 =𝑃

4𝜋𝑟2

ส าหรบพนทแบบวงกลม

• ในการหาความเขมของคลนแบบไซน พจารณาสมการคลนรปไซนของสนามไฟฟาและสนามแมเหลก จะไดวา

61

Intensity

𝐸 𝑥, 𝑡 = Ƹ𝑗𝐸𝑚𝑎𝑥cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝑘𝐵𝑚𝑎𝑥cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Ԧ𝑆 𝑥, 𝑡 =1

𝜇0𝐸 𝑥, 𝑡 × 𝐵 𝑥, 𝑡 =

1

𝜇0Ƹ𝑗𝐸𝑚𝑎𝑥cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) × 𝑘𝐵𝑚𝑎𝑥cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

ดงนน Poynting vector จะไดวา

ผลคณเวกเตอรหนงหนวย และ Ƹ𝑗 × 𝑘 = Ƹ𝑖 cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) > 0

ดงนน Poynting vector จงมทศช +x เสมอ (ทศของการเคลอนทของคลน) โดยมองคประกอบคอ

𝑆𝑥 𝑥, 𝑡 =𝐸𝑚𝑎𝑥𝐵𝑚𝑎𝑥

𝜇0cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) =

𝐸𝑚𝑎𝑥𝐵𝑚𝑎𝑥

2𝜇01 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

• คาเฉลยในเวลาของ 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) มคาเปน ศนย เพราะทจดใดๆ ปรมาณนเปนบวกครงคาบและเปนลบในอกครงคาบ

• ดงนนคาเฉลยของ Poynting vector, Ԧ𝑆𝑎𝑣 ครบหนงรอบของคลนแมเหลกไฟฟาในสญญากาศคอ

62

Intensity

Ԧ𝑆𝑎𝑣 = Ƹ𝑖𝑆𝑎𝑣

𝐼 = 𝑆𝑎𝑣 =𝐸𝑚𝑎𝑥𝐵𝑚𝑎𝑥

2𝜇0

𝐼 = 𝑆𝑎𝑣 =𝐸𝑚𝑎𝑥𝐵𝑚𝑎𝑥

2𝜇0=𝐸𝑚𝑎𝑥2

2𝑐𝜇0=1

2

𝜀0𝜇0

𝐸𝑚𝑎𝑥2 =

1

2𝜀0𝑐𝐸𝑚𝑎𝑥

2

𝑐 =1

𝜖0𝜇0

𝐸 = 𝑐𝐵

จงประมาณคามากทสดของขนาดของสนามไฟฟาและแมเหลกของแสงทกระทบลงบนหนากระดาษ ซงหาง 0.3 m จากแหลงก าเนดแสงของโคมไฟตงโตะทมก าลง 60 W พจารณาใหแสงจากโคมไฟเปนแหลงก าเนดแสงแบบจดของการแผรงสแมเหลกไฟฟา ทมประสทธภาพ 5% ในการแปลงก าลงไฟฟาเปนแสง

63

Example 2

Irradiance:ในกรณน ความเขม (Intensity) นยามโดยก าลงตอพนทหนาตดหนงหนวย อยางไรกตาม ในอตสาหกรรมทางแสง ก าลงตอพนทจะนยามวาเปน Irradiance และความเขมการแผรงส (Radiance Intensity) นยามจากก าลง (watt) ตอขนาดของมมตน (Solid angle)

• ความสมพนธระหวางความเขม I ทระยะ r จากแหลงก าเนดคอ

• ขนาดของสนามไฟฟาคอ

• ก าลงเฉลยของแสงจากโคมไฟคอ 5% ของ 60 W นนคอ 3.0 W ดงนน

• ขนาดของสนามแมเหลกคอ

64

Example 2

𝐼 =𝑃𝑎𝑣𝑔

4𝜋𝑟2𝐸𝑚𝑎𝑥 =

𝜇0𝑐𝑃𝑎𝑣𝑔

2𝜋𝑟2

𝐸𝑚𝑎𝑥 =4𝜋 × 10−7 𝑇 ∙ 𝑚 3.00 × 108 𝑚/𝑠 3.0 𝑊

2𝜋 0.30 𝑚 2 = 45 𝑉/𝑚

𝐵𝑚𝑎𝑥 =𝐸𝑚𝑎𝑥

𝑐=

45 𝑉/𝑚

3.00 × 108 𝑚/𝑠= 1.5 × 10−7 𝑇

หลงคาบานมพนท 160 m2 พลงงานแสงจากดวงอาทตยเฉลยอยท 1000 W/m2

ก าลงทงหมดทแสงจากดวงอาทตยจะตกกระทบหลงคาบานมคาเทาไหร

65

Question

160 kW

แอร 2400 Btu ใชไฟ 2.5 kW

• คลนแมเหลกไฟฟาน าพาโมเมนตมไปดวย จงมความดนบนพนผวหนงๆ ได

• โมนเมนตมนเปนสมบตของสนาม ไมมสวนสมพนธกบมวลของอนภาค

• โมเมนตมนมผลตอความดนการแผรงส เมอคลนแมเหลกไฟฟาถกดดกลนโดยพนผว โมเมนตมของคลนจะถายเทพลงงานไปยงพนผว

• ในชวงเวลาหนงๆ โมเมนตมทถายเทไปท าใหเกดแรง และความดนการแผรงสบนพนผวนนๆ

66

Momentum and Pressure

Laser Balloon Pophttp://youtu.be/EzY30Ah8bKYhttp://youtu.be/m0csYf9sllY

http://youtu.be/0FbJRPG64So

• ความหนาแนนของโมเมนตมตอหนวยปรมาตรคอ

• โมเมนตมนเปนคณสมบตของสนาม ไมเกยวกบมวลของอนภาค

• ในปรมาตร dV ทคลนเคลอนทดวยความเรว c ผานพนทหนาตด A ในชวงเวลา dt จะไดวา

• ดงนนอตราการไหลโมเมนตมของคลนแมเหลกไฟฟา (Flow Rate of Electromagnetic Momentum) คอ

67

Flow Rate of Electromagnetic Momentum

𝑑𝑝

𝑑𝑉=

𝐸𝐵

𝜇0𝑐2=

𝑆

𝑐2

𝑑𝑉 = 𝐴𝑐𝑑𝑡

1

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑡=𝑆

𝑐=𝐸𝐵

𝜇0𝑐

จากอตราการไหลโมเมนตมของคลนแมเหลกไฟฟา

เราสามารถหา อตราการถายโอนโมเมนตมตอหนวยพนทหนาตดโดยการแทน S ในสมการขางตนดวย Sav = I

โมเมนตมนท าใหเกดปรากฏการณ ความดนการแผรงส (Radiation Pressure)

เมอคลนแมเหลกไฟฟาถกดดกลนหมดดวยพนผวหนง โมเมนตมของคลนจะถกถายโอนไปใหพนผวนนดวย

68

Radiation Pressure1

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑡=𝑆

𝑐=𝐸𝐵

𝜇0𝑐

𝑝𝑟𝑎𝑑 =𝐼

𝑐

𝑝𝑟𝑎𝑑 =2𝐼

𝑐

ความดนการแผนรงส เมอคลนถกดดกลนหมด

ความดนการแผนรงส ถาคลนสะทอนกลบหมด การเปลยนแปลงโมเมนตมจะเปนสองเทา

𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒 =𝐹

𝐴=1

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑡

คาความเขมหรอคาเฉลยของ Poynting vector ส าหรบแสงแดดตรงๆ หลงจากทผานชนบรรยากาศของโลกมคาประมาณ 1000 W/m2

ความดนเฉลยเนองจากแสงนบนผวทดดกลนแสงทงหมดคอ

ถามแผนโลหะบางรองรบความดนจากแสงนขนาด 6.25 cm2 แรงลทธทกระท าตอแผนโลหะนคอ

69

Example 3

𝑝𝑟𝑎𝑑 =𝐼

𝑐=

1000 𝑊/𝑚2

3.0 × 108 𝑚/𝑠= 3.33 × 10−6 𝑃𝑎

𝐹 = 𝑝𝑟𝑎𝑑𝐴 = 3.33 × 10−6 𝑁/𝑚2 × 6.25 × 10−4𝑚2 = 20.8 × 10−10𝑁

• คลนแมเหลกไฟฟาสามารถสะทอนจากพนผวได• การทบซอนกนของคลนกระทบและคลนสะทอนท าใหเกดคลนนง

70

Standing EM Wave

- ไมมสนามไฟฟาใดวางตวขนานอยบนผวระนาบของโลหะน าไฟฟาสมบรณ- สนามไฟฟาจากคลนแมเหลกไฟฟาตกกระทบบนผวระนาบไมเปนศนย- การเปลยนแปลงนเหนยวน าใหเกดกระแสบนผวระนาบ ซงท าใหเกดสนามไฟฟาเพมขน- ผลรวมสนามไฟฟาทเกดขนบนผวระนาบจะเปนศนย- กระแสเหนยวน ายงท าใหเกดคลนสะทอนออกมา

จากรป สนามไฟฟาและแมเหลกของคลนนงโพราไรเซชนเชงเสนเมอ t = 3π/4บนระนาบทต งฉากกบแกน x สนามไฟฟามคามากสด antinode เมอสนามแมเหลกเปนศนย node

• ฟงกชนคลนทเกดการทบซอนกนของคลนสนามไฟฟาและแมเหลกคอ

71

Standing EM Wave

𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 − cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝐵𝑧 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑚𝑎𝑥 −cos 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 − cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

จากตรโกณมต

cos 𝐴 ± 𝐵 = cos𝐴 cos𝐵 ∓ sin 𝐴 sin𝐵

ดงนน

𝐸𝑦 𝑥, 𝑡 = −2𝐸𝑚𝑎𝑥 sin 𝑘𝑥 sin𝜔𝑡

𝐵𝑧 𝑥, 𝑡 = −2𝐵𝑚𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡

• ระนาบบพส าหรบสนามไฟฟา

• ระนาบบพส าหรบสนามแมเหลก

72

Nodal planes

𝑥 = 0,𝜆

2, 𝜆,

3𝜆

2, …

𝑥 =𝜆

4,3𝜆

4,5𝜆

4,…

• พจารณา เพมระนาบตวน าแผนทสองวางขนานกบแผนแรกทระยะ L ตามแกน +x ท าใหเกดโพรง (cavity) ขนระหวางแผนตวน าทงสอง

• โพรงดงกลาวยาว L สามารถพจารณาไดเสมอนเชอกขงตงปลายทงสองดาน• ทต าแหนง x = 0 และ L = 0 ระนาบทงสองตองเปนระนาบบพของสนามไฟฟา นนคอ 𝐸 𝑥, 𝑡 = 0

• การจะมคลนนงได L ตองเปนเลขจ านวนเตมเทาของ 𝜆/2 ดงนน

• หรอ

• ดงนนจงมชดโหมดปกต (Normal mode) ทแตละชดมความถ รปรางคลน และรปแบบบพ เฉพาะตว

73

Standing waves in a cavity

𝜆𝑛 =2𝐿

𝑛(𝑛 = 1,2,3,… )

𝑓𝑛 =𝑐

𝜆𝑛= 𝑛

𝑐

2𝐿(𝑛 = 1,2,3,… )

74

Electromagnetic Spectrum

• แสงทเรามองเหน (Visible Light)เปนสวนเลกๆของสเปกตรมแมเหลกไฟฟาจาก 400 ถง 700 นาโนเมตร

75

Visible Light

Relative sensitivity ของตามนษยโดยเฉลยตอคลนแมเหลกไฟฟาทความยาวคลนตางๆ

76

Bird and Insect?

เตาไมโครเวฟส าหรบหงอาหาร มความถอยทระดบ 1010 Hz ความยาวคลนของไมโครเวฟนจะอยทระดบ

ก) กโลเมตร ข) เมตร ค) เซนตเมตร ง) ไมโครเมตร

ท าไมมดในเตาไมโครเวฟไมตาย

ท าไมเตาไมโครเวฟถงตองมจานหมน

77

Microwaves

เตาไมโครเวฟปกตใชความยาวคลน 12.2 cm

1. รงสอลตราไวโอเลต (Ultraviolet light) มอย 2 ชนด คอ Ultraviolet A (UVA) ซงมความยาวคลนระหวาง 320 nm ถง 400 nm รงสชนดนจะไมเปนอนตรายตอผวหนง อกทงยงเปนสวนส าคญตอการผลตวตามน D อกดวย อกชนดคอ Ultraviolet B (UVB) ซงมความยาวคลนระหวาง 280 nm ถง 320 nm รงสชนดนเปนอนตรายโดยเฉพาะเปนสาเหตของโรงมะเรวผวหนง จงหา ก) ชวงความถของ UVA และ UVB ข) ชวงเลขคลนของ UVA และ UVB

2. องคประกอบสนามไฟฟาของคลนแมเหลกไฟฟาแบบไซน เคลอนทในแทงพลาสตกทรงกระบอก มสมการคลน 𝐸 = 5.35 𝑉/𝑚 𝑐𝑜𝑠ሾ

ሿ(

)1.39 ×

107 𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝑥 − 3.02 × 1015 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡 จงหา ก) ความถ ความยาวคลน และอตราเรวของคลนในแทงพลาสตก ข) คาดชนหกเหของแทงพลาสตก

78

Exercises

3. สถานวทยหนงบนผวโลกแผคลนไมโครเวฟรปไซน C-Band ทความถ 12 GHz มก าลงสงเฉลย 50 kW สมมตวาเครองสงเปนแหลงก าเนดคลนแมเหลกไฟฟาแบบจด แผคลนออกไปเทากนในทกทศเหนอพนดนเปนครงทรงกลม จงหา

ก) ขนาดของสนามไฟฟาทระยะ 36.0 km จากแหลงก าเนด

ข) ขนาดของสนามแมเหลกทระยะ 36.0 km จากแหลงก าเนด

ค) เลขคลน

ง) ความถเชงมมจ) เขยนสมการคลนระนาบแมเหลกไฟฟาแบบโคไซนของสนามไฟฟาและ

แมเหลก

79

Exercises