Elasticna Linija Grede
description
Transcript of Elasticna Linija Grede
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
1/22
5/27/2013
1
ELASTINA LINIJA GREDE
1
Deformisani oblik osovine grede naziva se elastina linija grede.
Ordinate el. linije su ugibi grede v
Z
v
Promena ugla izmeu tangente na el.liniju i ose tapa je nagib grede
x
x2
2
EI
zM
z
v1
Krivina je proporcionalna momentu
ODREIVANJE DEFORMACIJA GREDE
Maksvel-Morova metoda fiktivnog nosaa
x
x2
2
EIzM
zv1
Koristimo za odreivanje ugiba i nagiba elastine linije.
Bazira se na matematikoj analogiji izmeu diferencijalne jednaine
elastine linije
i diferencijalne zavisnosti izmeu napadnog momenta i spoljanjeg
optereenja zq
z
M2
2
Znai ugib mozemo odrediti tretirajui desnu stranu jednaine 1
kao optereenje fiktivnog grednog nosaa, pa za njega nacrtati
dijagram momenata. Tako dobijene vrednosti momenata su ugibi
elastine linije.
.........1
.........2
2
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
2/22
5/27/2013
2
Nagibi su jednaki transverzalnoj sili na fiktivnom nosau zTz
My
Fiktivni nosamora da ispuni analogiju graninih uslova
Ugibu odgovara momenat a nagibu transverzalna sila
a b c d e
Stvarni nosa vor aFiktivni
nosa
0M0v f
Stvarni
nosa
0T0 f
Fiktivni
oslonac
vor b
Fiktivni
nosa0M0v f
Stvarni
nosa
0TT0 DfLf
DL
Fiktivni
oslonacFiktivni nosa
D
L
L=D
Reakcija je sila koja menja vrednost T sile
Nema promene T silenema oslonca3
a b c d e
Stvarni nosa vor c
Fiktivni
nosa
0M0v f
Stvarni
nosa
Fiktivni
oslonac
vor dFiktivni
nosa
0M0v f
Stvarni
nosa
0TT0 DfLf
DL
Fiktivni
oslonac
0TT0 D
fLf
DL
vor e
Fiktivni
nosa
0M0v f
Stvarni
nosa
0T0 f
Fiktivni
oslonac
Slobodan kraj
Fiktivni nosa
D
L
DL Reakcija je sila koja menja vrednost T sile
Ima promene T sileima oslonac-reakcija
Reakcija je sila koja menja vrednost T sile
Ima promene T sileima oslonac-reakcija
4
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
3/22
5/27/2013
3
5
7.1 Za zadati nosaodrediti ugibvora A i nagibe tangente u
takama A i C
Postupak:
1. Na stvarnom nosau nacrtamo dijagram
momenata usled spoljanjeg optereenja
2. Usvojimo i nacrtamo fiktivni nosa
3. Opteretimo fiktivni nosasa fiktivnim
optereenjem odnosno dijagramom
momenata iz take 1 sa predznakom
minus.
F
AB C
L L
4. Vrednost fiktivnog momenta u voru
A je vrednost ugiba uvoru A
5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila u
vorovima A i C je vrednost nagiba u
timvorovima
F
AB C
L L
1. Crtanje dijagrama momenata
MB=-FLMomenat je negativan sa leve strane
DL
Uvorovima A i C M=0
-Fiktivni nosa
2. Usvajanje fiktivnog nosaa
vor A
0M0v f
0T0 f
vor B0M0v f
0TT0 DfLf
DL
vor C 0M0v f
6
0T0 f
MFL
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
4/22
5/27/2013
4
3. Opteretimo fiktivni nosasa fiktivnim
optereenjem odnosno dijagramommomenata iz take 1 sa predznakom
minus.-
MFL
FL
A B C
L L VfC
Prenesemo dijagram momenata na
fiktivni nosa, obrnemo strelice i tako
dobijemo fiktivno optereenje
4. Vrednost fiktivnog momenta u voru
A je vrednost ugiba uvoru A
FLL/2 FLL/2
Potrebno je da odredimo reakcije
fiktivnog nosa
aTrougaono podeljeno optereenje
zamenimo silama.
2/3L 2/3L 2/3L
VfA
MfA
HfA=0
7
Iz
FL
A B C
L L VfC
FLL/2 FLL/2
2/3L 2/3L 2/3L
VfA
MfA
0M)1 DB
2fC
2f
C FL6
1V0L
3
1
2
LFLV
Iz 0M)3 LB
3fA
22f
A
FL3
2M
0L3
1
2
LFLLF
6
5M
0V)2 f
2fA
22f
A
FL65V
06
LF
2
LF2V
Iz
8
Nije potrebno da crtamo
Dijagrame presenih sila
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
5/22
5/27/2013
5
Vrednost fiktivnog momenta uvoru A je vrednost ugiba uvoru A
x
3
A3f
AEIFL
32vFL
32M DL
Ugib je pozitivan ako se fiktivni momenat poklapa sa pozitivnim
smerom momenta
5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila uvorovima A i C je vrednost
nagiba u timvorovima
x
2
A2f
AEI
FL
6
5FL
6
5V Transverzalna sila je suprotna
pozitivnom smeru T sile
x
2
C2f
CEIFL
61FL
61V Transverzalna sila se poklapa
sa pozitivnim smerom T sile
Vrednost Eixse naziva krutost na savijanje i zavisi od materijala
grede (E) i njenog poprenog preseka (Ix)9
A
B C
vAAC
10
Pozitivan ugib je ugib na dole
Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru
kazaljke naasovniku
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
6/22
5/27/2013
6
7.2 Odrediti metodom fiktivnog nosaa ugib i nagib uvoru C
AC D B E z
1) Hi=02) Vi=03) MA=0
Uslovi ravnotee
kN20V06104V40610;0M)3 BBA
kN0V010VV10;0V)2 ABA sila.hornema;0H)1
11
10kN
2 2
10
10 10
FBdijagram -silaT
dijagramM
40 kNm
40
20
10
AC D
10kN
2 2
20
B E z
Dijagrami presenih sila na stvarnom nosau usled spoljanjeg
optereenja
12
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
7/22
5/27/2013
7
Usvajanje fiktivnog nosaa
vorovi A i B
0M0v f
0T0 f
2 2
A
A B E z
C
C
D
D
E z
2 2
B
vorovi C i E
0M0v f
0TT0 D
fLf
DL 13
Fiktivni nosasa
optereenjem
Opteretimo fiktivni nosasa dijagramom momenata sa predznakom -
Prosta greda u sredini
sa optereenjem
Konzole na krajevima
sa optereenjem
FfA
FfA
FfB
FfB
40
40
20
20
20 20
A
A
A
B
B
B
E
E
z
z
z
C
C
D
D
14
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
8/22
5/27/2013
8
Prosta greda u sredini sa optereenjem
Q1=202=40 kNQ2=202/2=20 kNQ2=202/2=20 kN
04V23
5Q2
3
2Q1Q;0M)1
fB321A
FfA F
fB
4020
20
Q1
Q2
Q3
A B zD
2 2
2fB
fB kNm33,33V04V
3
1020
3
420140
2fA
fA kNm67,46V033,33202040V
0VQQQV;0V)2 fB321f
A
15
Vf
C
MfCF
fA=46,67
20
AC
2
Krajnja konzola uvoru C
0M23
2
2
12202F;0M)1
fC
fAA
3fC
fC kNm38,73M0M2
3
2
2
1220267,46
0F2/220V;0V)2 f
Af
C
2fC
fC kNm67,66V067,462/220V
xC
fC
EI
67,6667,66V
xC
fC
EI
38,73v38,73M
vcjC
DL
16
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
9/22
5/27/2013
9
Maksvel-Morova metoda jedinine sile
Metoda Vereagina
l
0 x
)z(x)z(xdz
EI
MMf
Gde su Mx(z) momenti usled spoljanjeg optereenja
Mx(z) momenti usled jedinine sile na mestu
traene deformacije
l
0
)z(x)z(x
x
dzMMEI
1f Za konstantnu krutost na savijanje
l
0
)z(x)z(x dzMMDobijamo mnoenjem dijagrama od spoljanjeg
optereenja i dijagrama momenata usled
jedinine sile17
M
MM
l
0
)z(x)z(x AdzMM
Gde su
AM-povrina dijagrama momenata usled
spoljanjeg optereenja
M-ordinata dijagrama momenata usledjedinine sile na mestu teita dijagrama
momenata od spoljanjeg optereenja
18
TAM
M
M
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
10/22
5/27/2013
10
7.3 Odrediti metodom Vereagina ugib i nagib kraja konzole usled
dejstva vertikalne sile F na kraju konzole
F
L
FL- M
Dijagram momenata od
osnovnog optereenja
1
L
1L- M
Dijagram momenata od jedinine sile na
mestu i u pravcu traenog pomeranja
Ugib kraja konzole
Odreivanje ugiba kraja konzole: Opteretimo nosasa jedininom
silom na mestu traenog pomeranja i u pravcu traenog pomeranja
Zadati nosa
19
Jedinice: FL3= kNm3
MM
l
0
)z(x)z(x AdzMM
l
0
)z(x)z(x
x
dzMMEI
1f
3
FL)L
3
2()
2
LLF(A
3
MM
3
FL
EI
1v
3
x
Ugib kraja konzole
Odreivanje ugiba
24
2x kNmm
m
kNEI m
kNm
kNmv
2
3
FL- M
1L- M
L
M=2/3L
AM=FLL/2
L/3 2/3L
T
Znak pri mnoenju dijagrama: U ovom sluaju oba dijagrama momenata
su negativna pa je proizvoda pozitivan - - =+Zakljuak: Ako su dijagrami sa iste strane proizvod je +, a ako su sa
suprotnih strana nulte linije proizvod je -20
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
11/22
5/27/2013
11
7.4 Odreivanje nagiba kraja konzole: Opteretimo nosasa
jedininim momentom na mestu traenog pomeranja i u pravcu
traenog pomeranja
F
L
FL- M
1
L
Zadati nosa Nagib kraja konzole
MM
l
0
)z(x)z(x AdzMM
l
0
)z(x)z(x
x
dzMM
EI
1f
2
FL)1()
2
LLF(A
2
MM
2
FL
EI
1 2
x
Nagib kraja konzole (rad)
Odreivanje nagiba
1 1M-
21
Z
v
Pozitivan ugib je ugib na dole
Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru
kretanja kazaljke naasovniku
22
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
12/22
5/27/2013
12
7.5 Odrediti metodom Vereagina ugib u sredini proste grede
usled dejstva koncentrisane sile F u sredini grede
Dijagrami momenata usled
spoljanjeg optereenja
F
L
A B
A BF
F/2 F/2
+ M
FL/4
Reakcije u A i B su jednake i
vrednost im je F/2
Vrednost momenta u sredini
proste grede je
F/2l/2=FL/4
23
Dijagrami momenata usled jedinine sile u
pravcu traenog pomeranja
1
L
A B
A B1
1/2 1/2
Reakcije u A i B su jednake i
vrednost im je 1/2
Vrednost momenta u sredini
proste grede je 1/2L/2=L/4
MM
x
l
0
)z(x)z(x
x
AEI
1dzMM
EI
1f
48
FL)
4
L
3
2()
2
1
2
L
4
LF(2A
3
MM
Odreivanje ugiba+ M
L/4M
M+ M
FL/4
T
AM
T
48
FL
EI
1v
3
x
Ugib proste grede (m)
24
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
13/22
5/27/2013
13
7.6 Odrediti pomeranjevora C i obrtanje poprenog preseka B
nosaa na slici. Takoe odrediti i promenu rastojanja izmeu
taaka B i C.
Dato je: F1=10 kN F2=20 kN E=20 MN/cm2 I=3000 cm4
F1=10 kN
F2=20 kN
A B
C
2 2
2
Crtanje dijagrama momenata
Za reenje zadatka potrebni su nam samo dijagrami momenata.
Odrediemo dijagrame momenata bez odreivanja reakcija
oslonaca.
25
Crtanje dijagrama momenata
A B
C
D
F1=10 kN
F2=20 kN
A B
C
2 2
2
D
20
20
206
0
-
M
MdoleD=-102=-20 kNmsve do B je isti momenat
MdesnoA=-102-202=-60 kNm
mora imati suprotan smer
da bi suma bila O (vor u
ravnotei)
izjednaavanje momenata u uglu
crta se odtapa prema dijagramu
26
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
14/22
5/27/2013
14
2
Horizontalno pomeranjevora C
Opteretimo nosasa jedininom silomna mestu traenog pomeranja. Smer
pomeranja pretpostavimo (smer
strelice).1
A B
C
2 2
2
D
A B
C
D2
2
-
M1
MdoleD=-12=-2 msve do A je isti momenat
Odreivanje pomeranja
MM
x
l
0
)z(x)z(x
x
AEI
1dzMM
EI
1f
za odreivanje vrednosti integrala
koristiemo tablice u kojima su dati
obrasci za mnoenje dijagrama27
A B
C
2 2
2
D20
20
206
0
-
M
A B
C
D2
22
-
M1
67,262203
2A MM
mnoenje dijagrama
tap C-D x
802202A MM
tap B-D x
160220602
2A MM
tap A-B x
3MM kNm67,26616067,2680A
cm44,430001020
1067,266
EI
67,266A
EI
1h
3
6
xMM
xC
28
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
15/22
5/27/2013
15
Vertikalno pomeranjevora C
Opteretimo nosasa jedininom silom namestu traenog pomeranja. Smer
pomeranja pretpostavimo (smer strelice).
4
1
A B
C
2 2
2
D
MdoleD=0
MA=-14=4 mOdreivanje pomeranja
MM
x
l
0
)z(x)z(x
x
A
EI
1dzMM
EI
1f
29
A B
C
D
-
M1
2
0A MM
mnoenje dijagrama
tap C-D
402202
2A MM
tap B-D x
3MM kNm32028040A
cm33,530001020
10320
EI
320A
EI
1v
3
6
xMM
xC
30
A B
C
2 2
2
D20
20
206
0
-
M
A B
C
D
4
-
M2
2 tap A-B x
2806022046020226
2A MM
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
16/22
5/27/2013
16
Obrtanje preseka B
Opteretimo nosasa jedininim momentomna mestu traenog obrtanja. Smer obrtanja
pretpostavimo (smer strelice).
MA=-1 (nema jedinice)
Odreivanje pomeranja
MM
x
l
0
)z(x)z(x
x
A
EI
1dzMM
EI
1f
31
A B
C
D
1
-
M3
1
1
A B
C
2 2
2
D
0A MM
mnoenje dijagrama
tap C-D
0A MM tap B-D
2MM kNm80A
rad013,030001020
1080
EI
80A
EI
13
4
xMM
xB
32
tap A-B x
80160202
2A MM
A B
C
2 2
2
D20
20
206
0
-
M
A B
C
D
1
-
M3
1
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
17/22
5/27/2013
17
Promena rastojanja izmeu B i C
Opteretimo nosasa jedininim silama upravcu B-C
Momenti se javljaju samo izmeu sila
Odreivanje pomeranja
MM
x
l
0
)z(x)z(x
x
A
EI
1dzMM
EI
1f
33
1
A B
C
2 2
2
D
122
2
2M D
A B
C
D
1
M4
2
2
- 2
2
2
2
mnoenje dijagrama
tap A-B
3MM kNm472,288,18A
cm78,030001020
1047
EI
47A
EI
13
6
xMM
xCB
34
2,282202
2A MM
tap B-D x
0A MM
A B
C
2 2
2
D20
20
206
0
-
M
A B
C
D
1
M4
2
2
- 2
2
2
2
8,182203
2A MM
tap C-D x
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
18/22
5/27/2013
18
7.7 Za zadati nosaodrediti: a) Dijagrame M, N,
b) Ugib zgloba E EI=const.
q=10 kN/m
A B
C D E
3 4 2
4
35
Reenje
Zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca
q=10 kN/m
A B
C D E
3 4 2
4
VA
HA
VB
HB
Imamoetri nepoznate
reakcije
Uslovi ravnotee
1) Hi=02) Vi=03) MA=04) MDdole=00HH;0H)1 BAi
0V610V;0V)2 BAi
07V6610;0M)3 BA
04H;0M)4 BdoleD
36
DL
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
19/22
5/27/2013
19
0H04H;0M)4 BBdoleD Iz
0H00H;0H)1 AAi kN42,51V07V360;0M)3 BBA
kN58,8V042,5160V;0V)2 AAi
q=10 kN/m
A B
C D E
3 4 2
4
8,58 51,42
3
4tg
5
3cos
5
4sin
3
45
37
Dijagram normalnih sila
vor A
A
8,58
/2-
/2-
q=10 kN/m
A B
C D E
3 4 2
4
8,58 51,42
tap A-C N=-8,58sin=-6,86tap B-D N=-51,42
tap D-E N=0
tap C-D N=0
-51,42
N
DL
38
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
20/22
5/27/2013
20
Dijagram transverzalnih sila
q=10 kN/m
A B
C D E
3 4 2
4
8,58 51,42
vor A TA=8,58cos=5.15
8,58
vor C TC=8,58
vor Dlevo TLD=8,58-104=-31,42vor Ddesno TDD=-31,42+51,42=20
vor E TE=0
31,42
T-
20
x
Tx=0
8,58-10x=0
x=8,58/10=0,86 m
x
DL
39
Dijagram momenata savijanja
vor A MA=0 (zglob)
vor CL MLC=8,583=25,74vor CD MDC=M
LC
q=10 kN/m
A B
C D E
3 4 2
4
51,42
8,58
vor DL MLD=8,587-1042=MLD=-20 kNm
vor DD MDD=-1022/2=MDD=-20 kNm
vor E ME=0
f1=1042/8=20f2=1022/8=5
M
20
25,74
20
f1
f2
x=0,86Mx=8,58(3+0,86)-100,862/2=Mx=29,42 kNm
Maksimalna vrednost momenta
DL
40
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
21/22
5/27/2013
21
Ugibvora E
0H0M)1 BdoleD
79V0917V0M)2 BBA
7
2V01
7
9V0V)2 AA
F=1
A B
C D E
3 4 2
4
2/7 9/7
41
F=1
A B
C D E
3 4 2
4
2/7 9/7
6/76/7
22
M
- -
42
DL
-
5/25/2018 Elasticna Linija Grede
22/22
5/27/2013
22
Odreivanje ugiba mnoenjem dijagrama
MMx
l
0
)z(x)z(xx
AEI
1f
dzMMEI
1f
mnoenje dijagrama
f2=5
M
20
25,74
20
f1=20
0,860,86
22
M
- -
A B
C
D E
51,3647,2586,03
5A MM
tap A-C x
x
202204
2A MM
tap D-E
43
0,86
2
-
tap C-D
M
25,74
20
f1=20
= +f1=20
20
25,74M
I II
III
IIIxIIIIIxIA MM
3MM
MM
kNm30,75A
20286,03
420274,2522074,25286,0
6
4A
3MM kNm81,912051,3630,75A
xMM
xE
EI
81,91A
EI
1v
44