Celso Vargas

El papel del principio de continuidad de Leibnizen el desarrollo del cálculo infinitesimal

Abstraet: This paper explores the hypo-thesis proposed by Lakatos in the sense that theperspective from which the calculus is unders-tood and formulated by Weierstrass is enterelydifferent from that of Cauchy. According toLakatos there exist two intrepretations of thecalculus: one based in the conception of conti-nuity of Leibniz and the other in the conceptionof limits offunctions. This distinction isproposedto explain some "mistakes" committed by Cau-chy, specifically the proof of the theorem thatclaims that a continuous series is continuous inall its point, given that he knows the resultsfromFourier that shows that there exist exceptionsto this approach. According to Lakatos is thatCauchy still use the principie of continuity ofLeibniz; while Weierstrass introduces a calculusthat is not depend on this leibnizian principie.

Key words: Lakatos. Weiertrass. Cauchy.Leibniz.

Resumen: Este artículo explora la hipótesisde Lakatos de que la perspectiva desde la queel cálculo diferencial e integral es entendido yformulado por Weierstrass muy diferente del deCauchy. De acuerdo con él, existen dos inter-pretaciones del cálculo: uno basado en la con-cepción de, Leibniz; específicamente con baseen el principio de continuidad y el otro basadoen .el concepto de límite de una función. Estadistinción se establece para explicar algunos"errores" de Cauchy, especialmente la pruebaque afirma que una serie continua es continua

en todos sus puntos, sobretodo sabiendo queFournier había encontrado algunos resulta-dos que eran contrarios a esta afirmación. Deacuerdo con Lakatos, Cauchy utiliza como baseel principio de continuidad de Leibniz, mientrasque Weierstrass elabora una interpretación queno depende de este principio.

Palabras clave: Lakatos. Weiertrass. Cau-chy. Leibniz.

o. IntroducciónSe considera a Cauchy como el matemáti-

co al que le correspondió formalizar el cálculodiferencial e integral como lo conocemos en laactualidad. Desde luego que ningún pensadorcomienza desde un punto de partida absoluto,sino que, en este caso, hay un importante grupode matemáticos que hicieron importantes con-tribuciones orientadas a la clarificación de esteimportante campo de las matemáticas. Se afirmaque fue Cauchy el que "vio el cálculo con nuevosojos". Esta es la visión de un Bell (1939) y deun Boyer en su famosísima obra de (1959). Sinembargo, como ha señalado Lakatos (1966) estareconstrucción racional del desarrollo del cálculodeja sin explicar una serie de "errores" que seatribuyen a Cauchy, como la demostración de sufamoso teorema de la convergencia uniforme,es decir, de que toda serie continua es continuaen todos sus puntos Lo que Lakatos pone de

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), 113-118, Enero-Agosto 2009 / ISSN: 0034-8252

114 CELSO VARGAS

manifiesto, siguiendo un sugerencia de Robinson,es que no hay tales errores, sino que se trata dedos concepciones teóricas diferentes de continui-dad. El error que cometen los historiadores esconfundir estas dos concepciones del continuo: laleibniziana y de Weierstrass.

En esta ponencia analizamos el principioleibniziano de continuidad y el de Weierstrassprocurando clarificar sus diferencias y evaluandola justicia de la afirmación lakatiana de la compe-tencia de dos teorías rivales.

1. Aproximación leibniziana

Como se ha señalado repetidamente, Newtonconsideró las fluxiones (tasas de variación) y losfluentes (curvas) como directamente ligados a lamecánica. Para él tanto las matemáticas comola teología tienen su fundamento en la mecánica(Buckley, 2003) Este marco general establecía lasmatemáticas como una disciplina dependiente.

A diferencia de Newton, fue Leibniz el queproporcionó un marco general dentro del cualpoder entender los nuevos desarrollos en mate-máticas, específicamente, el cálculo infinitesimalcomo un campo por sí mismo. Dicho marcotuvo tal papel que, mientras en Gran Bretaña sesometía a una severa crítica los fundamentos delcálculo, en el continente, éste gozaba de granpopularidad y aceptación. Los seguidores deLeibniz, como los Bemoulli, jugaron un papelfundamental en este proceso de formalizacióndel mismo así como de su divulgación. Todosellos tuvieron como fondo la visión leibinizianade continuidad.

Leibniz organizó su perspectiva en términosde un conjunto de principios con diferente nivelde generalidad. Muchos de estos principios man-tienen un nivel de interdependencia de maneraque puede ser fácil transitar de unos a otros. Entrelos principios utilizados por Leibniz encontramosel de plenitud, el de continuidad, el de gradualidadlineal y el de razón suficiente. Leibniz se refirióa estos principios en varias ocasiones explorandodiferentes formulaciones y ofreciendo diferentesmatices y estableciendo su orden jerárquico. Enocasiones parece como si Leibniz considerara

que la armonía universal es una consecuenciade los principios indicados, pero en otras, parecederivar algunos de los principios mencionados delde continuidad y armonía universal. Es probableque las visiones del mundo que derivan de variosmodos de jerarquización de principios presentenimportantes diferencias. Sin embargo, cualquieraque sea la aproximación que hagamos, él con-sideró todos estos principios como a priori, enconcordancia con visión racionalista. Finalmente,debemos observar que Leibniz introduce otrosprincipios más específicos como el principiogeneral de orden aplicado en las demostracionesen geometría y en las de física.

De acuerdo con el principio de plenitud, elmundo es infinitamente complejo y lleno, "encada partícula del universo hay contenido unmundo de infinitas criaturas" (citado en Wiener,1951).Leibniz estuvo profundamente maravilladocon los detalles descritos por Leeuwenhoek cuan-do aplicó el microscopio para analizar lo "infini-tamente pequeño". Esto reforzó la idea de Leibnizde que existen infinitas series de criaturas; dichasseries puede organizarse en infinitos niveles,desde lo infinitamente grande hasta lo infinita-mente pequeño y sus diferentes jerarquías.

De acuerdo con el segundo principio el decontinuidad, estas series infinitas que parten de loinfinitamente grande a lo infinitamente pequeñomantiene un nivel de continuidad de manera quepueden ser recorridos en forma progresiva (haciaarriba y hacia abajo) desde cualquier punto delas series que nos ubiquemos. La continuidades transparente a la razón, aun cuando de factotengamos algunas limitaciones para realizar taltránsito.

Directamente relacionado con este principioestá el de graduación lineal, es decir, que entrelos extremos de las series existe continuidad demanera que no hay saltos en la naturaleza, no haynichos vacíos en la naturaleza. Leibniz introdujoel concepto de mónada para referirse a cada unode las "entidades" ubicadas en cada uno de losnichos de la naturaleza de manera que siemprepodemos esperar que exista al menos una caracte-rística (no necesariamente física, puede ser psico-lógica) que diferencia a una entidad de otra. Peroesta diferencia es tal que preserva el principio decontinuidad.

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), 113-118, Enero-Agosto 2009/ ISSN: 0034-8252

EL PAPEL DEL PRINCIPIO DE CONTINUIDAD DE LEIBNIZ ... 115

Viene finalmente, el principio de razón sufi-ciente indica que "nada ocurre sin una razón".Sin embargo, este principio indica más que lo queenuncia. En efecto, este principio nos exige queponderemos las distintas opciones de explicación.Como señala Leibniz, debemos evitar aquellasexplicaciones o razones que sean inestables,debemos siempre esforzarnos por encontramosaquellas razones que pongan de manifiesto lanecesidad de la misma hasta donde sea posible.Junto con el principio de contradicción constitu-ye el método que debe ser seguido. Como indicaLeibniz (1686), debemos aplicar el método decontradicción de la siguiente manera: debemosconsiderar siempre la relación sujeto-predicado,de manera que, si encontramos una contradicción,debemos concluir que la razón que queremos bus-car es falsa. De otro modo, debemos determinar sihay un proceso de reducción de lo que queremosestablecer a la forma del enunciado de identidad"A es f!\'. En el caso en que no encontremos o con-tradicción o identidad, es decir, en los enunciadoscontingentes, debemos buscar la razón suficienteen otros aspectos, específicamente, en términosde lo que es bueno, del orden o de la perfección.Debemos suponer, en este sentido, que de todaslas posibilidades lógicas Dios escogió aquellasque representaban el mejor mundo posible. Estecriterio de escogencia seguido por Dios es unaheurística importante para encontrar las razonesde los fenómenos bajo consideración.

De la aplicación de estos cuatro principiosgenerales obtenemos una concepción del mundomuy poblada pero bastante coherente. Una visióndel mundo en la que todo está interconectado, elpresente con el futuro, el futuro con el pasado, elpresente con el pasado, lo actual con lo posible,lo posible con lo necesario y el ser con el deberser. Además existe una relación directa entre estaperspectiva y el enfoque lingüístico propuesto porLeibniz, el "Ars Combinatoria", de manera quepodemos considerar que estos cuatro principios ledan sentido a este lenguaje universal. Sin embar-go, no es transparente la aplicación de estos prin-cipios en las matemáticas, específicamente parala comprensión del cálculo. Por ello, debemoshacer un análisis más detallado, centrándonos,por su relevancia, en el principio de continuidad.

2. El principio de continuidad enmatemáticas

En un ensayo publicado por Leibniz en 1715,titulado "Los fundamentos metafísicos de lasmatemáticas" muestra que las matemáticas soninstanciaciones de estos principios generales, esdecir, estos dominios las ponen de manifiesto:el espacio, el tiempo y al movimiento, siendo losdos primeros los básicos y el segundo el ámbitoprivilegiado de la física de su tiempo. Lo que esimportante es que estos tres dominios muestranun nivel importante de isomorfismo. El mismoconcepto de cantidad puede ser entendido en tér-minos espaciales, temporales o de movimiento.En efecto, hablamos de cantidad para referimostanto a la extensión, a la duración como a laposición.

Otras propiedades importantes que compar-ten estos tres dominios son las siguientes: co-existencia para referimos a eventos en el mismoespacio o límite espacial, sucesión para referimosa eventos según la relación de orden de antece-dente-consecuente, y adyacencia para referimosa las posiciones ocupados sucesivamente por unobjeto en movimiento. Estas propiedades comopuede verse son también presentan un importantegrado de isomorfismo.

Para ilustrar el hecho de que los principios decontinuidad, plenitud y gradación lineal van másallá de las matemáticas, por lo menos de su tiem-po, Leibniz considera la diferencia entre cantidady cualidad. La cantidad remite a la magnitud, seaesta espacial, temporal o de posición, mientrasque la cualidad tiene que ver con las diferenciasen las cualidades de los individuos o una espe-cie considerados por sí mismos. Las cualidadesconstituyen algo así como los atributos funda-mentales de un individuo o una especie. Cuandoobservamos como van variando las cualidades enel orden natural, encontramos una gradualidadprogresiva a la cual podemos aplicar las mismasmedidas matemáticas: la relación todo-parte, larelación mayor que, menor que, igual que, etc.

O como dice Leibniz, "la continuidad estápresente en el tiempo tanto como en el proce-so de la naturaleza debido a que ese procesonunca tiene lugar por saltos repentinos" (pág.

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), 113-118, Enero-Agosto 2009 / ISSN: 0034-8252

116 CELSO VARGAS

221). Comprender la naturaleza (como lo crea-do) es encontrar un orden construido a partir deestos principios generales y básicos, y ver comoestos adquieren especificidades en diferentesdominios.

En este sentido, afirma Leibniz, una ecua-ción es un caso particular de la inecuación, elreposo es un caso particular del movimiento y lascurvas son un caso particular de las líneas rectas.Debemos interpretar los infinitesimales comoel esfuerzo que hacemos por convertir una serieinfinita, es decir, una inecuación en una ecuación,donde la graduación lineal pone de manifiestocierto orden en la serie bajo consideración.

3. La disputa en relación con Cauchy

El principio de continuidad como ha sidoexpuesto, proporciona una base conceptual paraentender los infinitesimales implicados en elnuevo cálculo. En efecto, este principio exige queentre cualesquiera dos fenómenos, conceptos, etc.existe un infinito número de otros fenómenos oconceptos. Así lo expresa Leibniz en una cartaenviada a Varignon en 1702: "de acuerdo con mipunto de vista, existe un régimen de continuidadperfecta en el orden sucesivo de las cosas, así hayun orden similar en las cosas simultáneas, que dehecho establecen el pleno como real, y consignanlos espacios vacíos al reino de la imaginación.En las cosas que existen simultáneamente debeexistir continuidad aun cuando la imaginaciónpercibe únicamente saltos; porque muchas cosasaparecen a nuestros ojos como completamentedisímiles y separadas, las cual sin embargo sevuelven perfectamente similares y unidas inter-namente si pudiéramos conocerlas distintamen-te". En este sentido, hay una licencia para quepodamos suponer la continuidad, aun en aquellosámbitos, como el caso de los números reales enlos que no era fácil en ese momento visualizar lacontinuidad.

Los infinitesimales requeridos por el cálculodiferencial para establecer las tasas de variaciónde un proceso son tan reales como sus puntosiniciales, ya se trate de magnitudes infinitamentegrandes o infinitamente pequeñas. En efecto,

en esa misma carta, Leibniz señala: "la Ley deContinuidad demanda que cuando las determina-ciones esenciales de un ente (being) se aproximena aquellas de otro, como una consecuencia, todaslas propiedades del primero deberían tambiéngradualmente aproximarse a aquellas del últi-mo". En este sentido, podemos organizar esasvariaciones como series cada una de las cualestiene el mismo nivel de realidad. Autores comoEuler, profundamente influenciados por Leibniz,no cuestiona este tipo de principios, aunque sí elde las mónadas, que consideró como un abuso delprincipio de razón suficiente.

En la formulación moderna del cálculo noaparecen los infinitesimales, sino el conceptode límites. Aun cuando este concepto de límitefue sugerido en las discusiones mantenidas porNewton, Leibniz y otros matemáticos, éste fueentendido en el marco de los otros conceptos deprimos y razones últimas, aplicadas a los fluenteso derivadas. El concepto moderno de límite, comoseñalan Courant y Robbins (1967) puede definir-se como la convergencia de una sucesión an, "Lasucesión al' llz, a3,···· tiene el límite a, cuando ntiende a infinito, sil para todo número positivo€, por pequeño que sea, existe un entero N (quedepende de E), tal que Ia- an I<e para todo n ~ N"( pág. 303). En este sentido, aunque formulado demanera general, el límite adquiere sentido en elcontexto de una sucesión específica y es relativaa éste. A ese formulación se le llama "análisis ocálculo estándar" o de "convergencia uniforme".El uso de los límites adquiere significación en elmarco de la formulación de los números realescomo conjunto en el que una de sus propiedadesfundamentales es el de la continuidad, tarea fun-damental que realiza Weierstrass.

Tal y como Lakatos lo presenta, el problemase presenta cuando se atribuye a Cauchy la formu-lación del cálculo diferencial e integral tal y comolo conocemos en la actualidad. Esta posiciónprivilegiada ha sido reconocida por numerososhistoriadores de las matemáticas, como ya hemosmencionado. Sin embargo, Lakatos ha cuestio-nado esta atribución debido a que la explicaciónestándar deja sin explicar una serie de "errores"cometidos por Cauchy. Claramente, la opinión deLakatos es que no hay tales errores. Veamos conmayor detalle su análisis.

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), 113-118, Enero-Agosto 2009/ ISSN: 0034-8252

EL PAPEL DEL PRINCIPIO DE CONTINUIDAD DE LEIBNIZ ...

La explicación estándar todavía asume queel conocimiento matemático es una especie deacumulación de "verdades" de manera que de unmomento a otro, todas las piezas calzan dentrodel rompecabezas. Esta visión de la historia dela ciencia deja de lado el hecho de que las ela-boraciones teóricas se realizan desde diferentesperspectivas, no todas con igual fecundidad. Estees el caso de Cauchy. Realizó sus investigacionestomando como base el concepto de continuidaddominante en el continente. El concepto leib-niziano se había convertido en transparente demanera que no se consideraba necesario ningunaprueba adicional. Valga mencionar que fue Cau-chy uno de los primeros en tratar de probar dichoprincipio desde el punto de vista matemático.

Cauchy prueba algunos teoremas del cálculo(1853) para los cuales había evidencia de que eranfalsos o que tenían sus excepciones. Entre ellos,probó que cualquier serie convergente de funcio-nes continuas tiene una función límite continua.Fourier había establecido una serie de funciones(trigonométricas) que no cumplen esta propiedady Cauchy conocía estos resultados. La conjeturade Lakatos es que Cauchy considero estos resul-tados como excepciones al principio de conti-nuidad, es decir, que la no convergencia de estoscontraejemplos es por que "no pueden convergeren sentido propio". Tanto es así, señala Lakatos,que no fue sino Seidel el que corrigió algunos deestos resultados 20 años más tarde.

La opinión de Lakatos es que Abel, añosdespués, "no acertó a descubrir dilema oculto dela convergencia uniforme: por que nunca se liberódel sistema conceptual Leibniz-cauchiano". Loque ha ocurrido es que los historiadores interpre-tan a Cauchy con los ojos de Weierstrass que fueel que introdujo de manera rigurosa el conceptode límite en lugar del de los infinitesimales. Deesta manera, la única manera de explicar lasinconsistencias entre la formulación moderna yla de Cauchy consiste en atribuida a "errores"cometidos por este último (Lakatos, 1981,72).

Lakatos formula una hipótesis sobre razonespor las cuales la teoría de Leibniz se derrumbó:"se debió a que solo era susceptible de un desa-rrollo limitado. Fue el potencial heurístico dedesarrollo -y la potencia explicativa- de la teoríade Weierstrass lo que produjo el derrumbamiento

117

de los infinitesimales. Los lemas ocultos crucialesque emergieron bajo la presión de la crítica de suspruebas no eran independientemente contrasta-bles: ello desanimó a los defensores de los infini-tesimales, llevó a algunos de ellos, como Cauchy,a creer que los infinitesimales eran admisibles enlas pruebas pero no en la formulación de teoremasy, finalmente, los hizo desaparecer durante unsiglo de la historia de las matemáticas"( pág. 82).

¿Qué evidencia puede utilizarse para apoyaresta hipótesis? Lakatos recurre a algunos de losresultados de Robinson en su obra de 1966 titu-lada Non Standard Analysis en el que este mate-mático construye una teoría "leibniziana" delcontinuo que permite interpretar los resultados deCauchy tanto como sus excepciones o "errores".Dicho enfoque es conocido como "análisis noestándar". Aun cuando Lakatos advierte contralos errores historiográficos de reconstruir, segúnel nuevo corte, la historia obviando las otras pers-pectivas teóricas que se elaboraron durante todaesa época.

Sin embargo, es interesante insistir en loque todos ya sabemos: que las presuposicionesteóricas condicionan lo que analizamos, lo quepriorizamos, al tiempo que nos "hace ciegos"hacia aquellos aspectos que pueden convertirseen eventuales contraejemplos de la posición adop-tada. Esto pone al historiador de la ciencia en ungran dilema: tratar de "ver los hechos" con ojosnuevos, sabiendo que no se puede prescindir detodo el bagaje cultural y de entrenamiento propiode la época en la que le ha correspondido vivir.

Si tomamos como correcto lo que hemospresentado hasta el momento, uno de los aspec-tos sorprendentes es la persistencia del conceptoleibniziano de continuidad que, durante casi dossiglos, exhibió su gran poder heurístico, hastaque surgieron contraejemplos que mostraron suslimitaciones y fue, por tanto, desplazado poruna teoría más poderosa, la weierstrassiana.Sin embargo, como Robinson parece mostrar,es posible siempre recuperar una vieja teoría eintroducirle algunas modificaciones que la hagancompatible con desarrollos propios del campo,aunque posiblemente se pierda algún nivel desimplicidad en la explicación. Sin embargo,siguiendo a Lakatos no se trata simplemente derecuperar una teoría, sino que mostrar (lo que es

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), 113-118, Enero-Agosto 2009/ ISSN: 0034-8252

118 CELSO VARGAS

más difícil) que el poder heurístico de esta nuevaformulación es mayor que el de la teoría están dar,de otro modo, se tratara de un esfuerzo sin ningu-na implicación mayor.

Bibliografía

Ball, w.w. R (1960) A Short Account of the Historyof Mathematics. Dover Publications Inc. NewYork, USA.

Bell. E. T (1939)Men of Mathematics. Victor Gollanz,London

Boyer, Carl (1959) The History of Calculus. DoverPublications Inc. New York, USA.

Buckley, M. (2003) "El Programa Newtoniano y elOrigen del Ateísmo" En Rusell y otros (2003)

Ftsica, Filosofía y Teología: Una búsquedaComún. Editorial EdaMex, México.

Cohen y Smith (2002) Cambridge Companion to New-ton. Cambridge University Press.

Courant y Robbins (1967) ¿Qué es la Matemática?Editorial Aguilar, España

Garber y Ayers (1998) The Cambridge History of Sev-enteeth-Centure Philosophy. Vol. 1. CambridgeUniversity Press.

Hall, R. (2002) "Newton versus Leibnir: From Geom-etry to metaphysics". En Cohen y Smith (2002),pp.431-454.

Lakatos, Imre (1981)Matemáticas, Ciencia y Episte-mología. Alianza Editorial, España.

Leibniz (1715) "Metaphysical Foundations of Math-ematics". En Wiener (1951);pp. 201-216

Wiener, P. (1951) Leibniz Selections. Charles Scrib-ner's Sons. New Cork, USA.

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVII (120-121), 113-118, Enero-Agosto 2009 / ISSN: 0034-8252