El grafeno algunos aspectos R. Baquero Departamento de Física Cinvestav.

El grafenoalgunos aspectos

R. BaqueroDepartamento de Física

Cinvestav

11/04/23 Grafeno. RBP 2

Graphene Wins Nobel PrizeA pair of U.K. physicists are awarded the prize for

demonstrating the material's unusual properties.

The 2010 Nobel Prize in Physics has been awarded to the two researchers who performed the first experiments on graphene, a two-dimensional sheet of carbon atoms. The award, given to University of Manchester physicists Andre Geim and Konstantin Novoselov, recognizes work that began less than a decade ago on a material that's since been usedto make record-breaking transistors and stretchy electrodes.

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/


Andre Geim Research ProfessorBorn: 1958, Sochi, RussiaDirector of Manchester Centre for Mesoscience and Nanotechnology

Chair of Condensed Matter Physics

U. of Manchester, UK

factual summary

- published over 150 peer-refereed papers including 14 Nature and Science articles and more than 20 papers in PRL and Nature Mater, Physics & Nano (see current research & selected publications)- more than 25 papers are cited >100 times with 3 cited >1,000 times - according to ScienceWatch, is responsible for initiating two research fronts (graphene & gecko tape)- also, notoriously ;-) known for levitating the frog


UNA CURIOSIDAD INTERESANTE: GEIM HIZO LEVITAR UNA RANITA EN UN CAMPO MAGNÉTICO DE 16 TELSAS


Konstantin NovoselovBorn: 1974, Nizhny Tagil, RussiaAffiliation at the time of the award: University of Manchester, Manchester, United KingdomPrize motivation: "for groundbreaking experiments regarding the two-dimensional material graphene"


El átomo de carbono

1S2

2S2 2P2TODO ESTO ESTÁ BASADO EN

EL CARBONO

2 n2 el/capa


Las funciones de onda tipo 2p difieren en sus propiedades de las del tipo 2s. Las 2s no dependen del ángulo, mientras que las 2p si. Hay tres funciones de onda tipo 2p, 2px , 2py , 2pz . Difieren en la parte angular pero tienen la misma parte radial .La funcion 2pz es, por ejemplo:

Donde:( , , ) ( ) ( , )r R r Y


La parte radial (común) es

Y la parte angular (pz) es

0

3

22

0 0

1( )

23

Zr

aZ ZrR r e

a a

1

23( , ) cos

4Y


La función angular que representa a un orbital de tipo s es independiente del ángulo


Parte angular de la función de onda de los orbitales p


¿ CÓMO SE ENLAZA ESTE ÁTOMO PARA

COMPONER LAS DIFERENTES FORMAS

EN QUE SE LE CONOCE, DE TAN

DIFERENTES PROPIEDADES?

ai

jkR = pa i + qa j + ra k

electrones

En un modelo clásico, los iones interactúan de acuerdo a la Ley de Hooke (resorte) y los electrones (de valencia en el átomo) o están libres o están ligados formando los enlaces.

ai


Semi-conductor y aislante

Los electrones se encuentran

atrapados en los enlaces

De amarre(bonding)

Anti-enlace

(anti-bonding)

Ejemplos de estados electrónicos en el enlace

σ

π

a

i


Metal

Los electrones están “libres” dentro del espacio de la red

bcc

17

¿CÓMO FUNCIONA TODO?

RED

ELECTRONESESTADOS VIBRACIONALES

FONÓN

METAL

METAL EN EL E

STADO NORMALUNA ESTRUCTURA DE BANDAS, SE CALCULA HACIENDO UNA HIPÓTESIS VÁLIDA CERCA DE LA TEMPRATURA , T=0K. SE SUPONE QUE LOS ELECTRONES SE MUEVEN EN EL POTENCIAL GENERADO POR LOS IONES EN SUS POSICIONES DE EQUILIBRIO Y SE DESPRECIA LA INFLUENCIA DEL MOVIMIENTO DE ESTOS SOBRE LOS ESTADOS ELECTRÓNICOS. ESTA APROXIMACIÓN, CONOCIDA CON EL NOMBRE DE BORN-OPPENHEIMER, FUNCIONA BIEN INCLUSO A TEMPERATURA AMBIENTE, POR LO GENERAL. HAY EXCEPCIONES.

LOS ELECTRONES Y LA RED INTERCAMBIAN ENERGÍA Y MOMENTO EN PAQUETES LLAMADOS FONONES . UN FONÓN ES UNA CUASI-PARTÍCULA QUE TIENE LA ENERGÍA Y EL MOMENTO IGUAL A LA DIFERENCIA ENTRE DOS ESTADOS VIBRACIONALES.

En un modelo clásico de la energía de los electrones:

E=P2/2m= 2 k2/2m,

la configuración

referida es una esfera.

En este modelo, la Superficie de Fermi es una esfera de radio: kf=(2mEf)1/2/

donde Ef es la Energía de Fermi.

A T=0K la esfera está llena.

kf

LOS METALES se caracterizan por tener un “Mar de Fermi”. Se trata de una configuración tridimensional que permite situar y contabilizar los estados electróni-cos de la banda de conducción.

LOS ELECTRONES LIBRES +++

18¿Qué es el Estado Sólido?

PRINCIPIO DE PAULI


SISTEMAS CRISTALINOS Y MOLÉCULAS QUE FORMA EL

CARBONO


Estructura del diamante

EL DIAMANTE ES CONOCIDO POR SU DUREZA


http://www.virlab.virginia.edu/VL/Nanocarbon.htm/state/1

UVA Virtual Lab: Nanocarbon from Graphene to Nanotubes to Buckyballs

sp3

One of the four hybrid orbitals formed by hybridization of an s orbital and three p orbitals.

hybridization: a model that describes the changes in the atomic orbitals of an atom when it forms a covalent compound.


"Graphene is a single planar sheet of sp²-bonded carbon atoms that are densely packed in a honeycomb crystal lattice. From a physicist point of view, graphene is the basic structural element for all other graphitic materials including graphite, carbon nanotubes and fullerenes." (Wikipedia)

"Electrons in graphene, obeying a linear dispersion relation, behave like massless relativistic particles. This results in the observation of a number of very peculiar electronic properties - from an anomalous quantum Hall effect to the absence of localization - in this, the first two-dimensional material. It also provides a bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics, and opens new perspectives for carbon-based electronics." (M.I. Katsnelson)

24

EL PANAL DE ABEJAS (GRAFENO) NO ES UNA RED DE BRAVAIS

1- RED DE BRAVAIS DEL GRAFENO

NO PUEDO DEFINIR VECTORES

PRIMITIVOS QUE ME CUBRAN TODOS LOS

PUNTOS DE LA RED

DEFINA VECTORES QUE PERMITAN REPRODUCIR TODOS LOS PUNTOS DEL ESPACIO BIDIMENSIONAL FORMADO POR UN PANAL DE ABEJAS.

¿CÓMO LLEGO AQUÍ? ¿CÓMO LLEGO AQUÍ?

¿Qué es el Estado Sólido? 25

EL PANAL DE ABEJAS NO ES UNA RED DE BRAVAIS

1- RED DE BRAVAIS DEL GRAFENO

26

EL PANAL DE ABEJAS (EL GRAFENO)SI ES UNA RED DE BRAVAIS CON UNA BASE DE DOS ÁTOMOS DE CARBONO

3- ESTRUCTURAS CRISTALINAS Y REDES CON BASE.

LOS VECTORES PRIMITIVOS HACEN UN ÁNGULO DE 60°


Establecida la red de Bravais, la forma normal de calcular una estructura de bandas de cualquier sistema es definir la red recíproca . Esta se construye en el espacio recíproco y nos permite definir el momento cristalino, k, que es el número cuántico que se conserva. Este nos permite caracterizar los distintos estados que los electrones de conducción (“libres”) pueden ocupar en un espacio periódico. El momento, p, se conserva en el espacio libre real. El momento cristalino se conserva en el espacio “libre” con periodicidad dada, periodicidad impuesta por la simetría de la red.


CELDA DE WIGNER-SEITZ

La celda de Wigner-Seitz de una red de Bravais cúbica centrada (CC). La figura que resulta es un octaedro truncado. Las caras hexagonales constituyen planos bisectores de la distancia entre el átomo central y el átomo ubicado sobre cada un de los vértices.


Introducción al Estado Sólido. R. BaqueroO

1- Definición de Red Recíproca

Consideremos una Red de Bravais. Está compuesta por todos los puntos:

i ii

nR a

donde los ai son los vectores primitivos de la Red de Bravais.

Consideremos también una onda plana de la forma exp(ik.r)Para que la onda plana tenga la periodicidad de la Red de Bravais, es necesario:

. ( )i ie e k r k r R

Esta condición, en general, se cumple sólo para ciertos valores escogidos de k.

La serie de todos los vectores K que cumplen la condición (1) y que, por consiguiente, dan a la onda plana la periodicidad de la Red de Bravais, se llama Red Recíproca para esa Red de Bravais particular. Es decir,

(1)

21 3 1

2 , 2 , 2

y yx x z ziK n aiK n a iK n ai

x x y y z z

e e e e

K a K a K a

K R

2i j ijK a


Introducción al Estado Sólido. R. Baquero1- Definición y propiedades de la Red Recíproca

2i j ijK a La relación se cumple trivialmente si definimos K ( ≡b) así:

2 3

1 2 3

3 12

1 2 3

1 23

1 2 3

2

2

2

1

a x ab

a (a x a )

a x ab

a (a x a )

a x ab

a (a x a )

La Red Recíproca es una Red de Bravais:


Introducción al Estado Sólido. R. Baquero

RED RECÍPROCA DE UNA RED CÚBICA SIMPLE UNA CÚBICA SIMPLE

RED RECÍPROCA DE UNA CCC (fcc) UNA CC de lado

4

a

RED RECÍPROCA DE UNA CC (bcc) UNA CCC de lado 4

a

RED RECÍPROCA DE UNA RED EXAGONAL UNA RED EXAGONAL


Introducción al Estado Sólido. R. Baquero

2- PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN

La celda de Wigner-Seitz de la Red Recíproca se conoce con el nombre de Primera Zona de Brillouin y juega un papel muy importante en la descripción de la dinámica de interna (electrones y fonones, entre otras cosas) del cristal. El término Primera Zona de Brillouin, se aplica a la celda en el espacio k únicamente.

La RR de la CCC (fcc) es laCC (bcc).

La PZB de la CCC (fcc) es la celda de Wigner-Seitz de la CC (bcc)


ES EN LA PRIMERA ZONA DE BRILLOUIIN DONDE BUSCAMSOS LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SHRODINGER. HAY MUCHOS MÉTODOS MUY BIEN TRABAJADOS HOY EN DIA. EL RESUADO ES MAPA QUE NOS DICE PARA QUE VALORES DE K DENTRO DE LA PZB EXISTEN ESTADOS ELECTRÓNICOS OCUPADOS (POR DEBAJO DEL NIVEL DE FERMI) Y VACÍOS (POR ENCIMA, ESTADOS EXCITADOS).

YBCO7

TEORÍA DEL FUNCIONAL DE DENSIDAD

WIEN-2K

ABINIT

HAMILT

SIESTAINTEGRALES DE

WEYLS

35

LOS VECTORES PRIMITIVOS HACEN UN ÁNGULO DE 60°

1,2,3

B A A Bi a i i i a

i A a

H c c c c

ESTE HAMILTONIANO DESCRIBE EL SALTO DE UN ELECTRÓN DESDE UN PUNTO DE LA RED A OTRO PUNTO DE LA REDDE BRAVAIS

AB


Continuum approximation to graphene: Dirac-Weyl equation

To see how the Dirac-Weyl equation arises from the particular symmetry and electron number of graphene is not difficult. First consider a simple tight-binding model for graphene


here the sum i is over the sublattice A, while the sum a is over the 3 nearestneighbors to site i. This Hamiltonian just describes the ’hopping’ of electrons from sublattice A to B (and back), controlled by the parameter γ. This model is not necessary to derive the effective Dirac-Weyl equation (it can be done more generally) but it makes the derivation very simple, and is a very reasonable model for graphene in any case.

1,2,3

B A A Bi a i i i a

i A a

H c c c c


O

1 2 3

1 1 1 1 1(0, ) v ( , ) ( , )

2 23 2 3 2 3v a a v a

RE DE BRAVAIS

PRIMEROS VECINOSS

VECTORES DE LA RED RECÍPROCA(TAMBIEN HEXAGONAL)

1 2

1 3a (1,0) a ( , )

2 2a a

1 2

2 2 3 1 2 2( , ) (0,1)

2 23 3a a

b b

a


PARA TOMAR EN CUENTA LA PERIODICIDAD, LA FUNCIÓN DE ONDA TIENE QUE SER DEL TIPO BLOCH

.1| | 0

2i s

s ii a

e c

k k r

.

1,2,3

*

| | ( )

| | ( )

iA B

a

B A

H e f

H f

ak vk k

k k

k

k

LOS ELEMENTOS DE MATRIZ DEL HAMILTONIANO SON


.

1,2,3

*

| | ( )

| | ( )

iA B

a

B A

H e f

H f

ak vk k

k k

k

k

LOS ELEMENTOS DE MATRIZ DEL HAMILTONIANO SON

| | | | 0B B A AH H k k k k

LOS OTROS DOS ELEMENTOS DE MATRIZ SON IGUALE S Y PUEDEN PONERSE COMO EL ORIGEN DE LA ENERGÍA


*

0 ( ) | |( )

( ) 0 | |A A

B B

fE

f

k k

k k

kk

k

LA ECUACIÓN DE SHRÖDINGER QUEDA:

LOS EIGENVALORES DAN:

( ) | ( ) |E fk k


.

1,2,3

( )i

a

e f

ak v k

1 2 3

1 1 1 1 1(0, ) v ( , ) ( , )

2 23 2 3 2 3v a a v a

3| ( ) | 3 4cos cos 2cos

2 2yx

y

kkf k

k

USANDO

OBTENEMOS


3| ( ) | 3 4cos cos 2cos

2 2yx

y

kkf k

k

1 2

2 2 3 1 2 2( , ) (0,1)

2 23 3a a

b b 2

1a


LINEAL EN K Y EN K’

( ) | ( ) |E fk k

NIVEL DE FERMI

ESPERAMOS UN COMPORTAMIENTO

TOTALMENTE DIFERENTE AL DEL ELECTRÓN LIBRE


CON EL FIN DE ESTUDIAR MEJOR EL EFECTO DE ESA LINEARIDAD PODEMOS CONSTRUIR UN HAMILTONIANO QUE ES VÁLIDO

ÚNICAMENTE ES ESOS PUNTOS DE LA ZONA DE BRILOUIN (K Y k’)

HACEMOS UNA EXPANSIÓN DE F(k ) ALREDEDOR DEL PUNTO K:

'( ) ( ) ( ')f f f k k K kK k K k

LAS COORDENADAS DEL PUNTO K SON:4

,03a

K

0

0302

x y

x y

k ikH

k ik

K

x xk i


0 .FH v K p

( , )x y

ECUACIÓN DE DIRAC-WEYL

POR CONSIGUIENTE LOS ESTADOS EXCITADOS DE BAJA ENERGÍA CON MOMENTO CRISTALINO ALREDEDOR DEL PUNTO K, NO SE GUÍAN POR LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER SINO POR ESTA ECUACIÓN QUE NORMALMENTE SE APLICA A PARTÍCULAS COMO LOS NEUTRINOS, ES DECIR, A PARTÍCULAS RELATIVISTAS DE MASA CERO. LA ECUACIÓN DE DIRAC-WEYL SE OBTIENE DE LA ECUACIÓN DE DIRAC PONIENDO LA MASA EN REPOSO IGUAL A CERO.


ESTE AMILTONIANO SE PUEDE TAMBIÉN EXPRESAR DE ESTA FORMA

0 | |0

i

F i

eH v

e

k

k

K 0k

| |FE v k

/ 2.

/ 2

1( )

2

ii

i

ee

e

k

k

K k rk r

/ 2.

/ 2

1( )

2

ii

i

ee

e

k

k

K k rk r

ELECTRONES E>0 AGUJEROS E<0


LA CHIRALIDAD ES UN BUEN NÚMERO CUÁNTICO PARA EL GRAFENO

Chirality (mathematics)A figure is chiral if it is not identical to its miror image, or more particularly if it cannot be mapped to its mirror image by rotations and translations alone.

Chirality in two dimensionsIn two dimensions, every figure which possesses an axis of symmetry is achiral (non-chiral), and it can be shown that every bounded achiral figure must have an axis of symmetry.


LA CHIRALIDAD EN EL CASO DEL GRAFENO COMO NÚMERO CUÁNTICO ES LA PROYECCIÓN DEL

MOMENTO EN LA DIRECCIÓN DEL SEUDO-ESPÍN:

. / | |p p

LOS ELECTRONES TIENEN CHIRALIDAD POSITIVA Y LOS HUECOS NEGATIVA


“THE FACT THAT THE LOW ENERGY EXCITATIONS ARE GOVERED BY SUCH A EXTRANGE EQUATION IS CLEARLY GOING TO MAKE THE PHYSICS OF GRAPHENE VERY DIFFERENT FROM THAT OF e.g. COPPER”


1- EL PRIMER CRISTAL REALMENTE BI-DIMENSIONAL2- EFECTO HALL ANÓMALO3- UN SEMICONDUCTOR DE BRECHA CERO4- SE COMPORTA COMO UNA PARTÍCULA RELATIVISTA E MASA CERO5- AUSENCIA DE LOCALIZACIÓN6- UN PUENTE REAL ENTRE EL ESTADO SÓLIDO Y LA ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA

ALGUNAS PROPIEDADES ENTRE LAS MÁS SOBESALIENTES


CONCLUSIÓN:

EL GRAFENO ES UN MATERIAL NOVEDOSO DESDE MUCHOS PUNTOS DE VISTA QUE DEVELA UNA NUEVA FÍSICA EN EL ESTADO SÓLIDO QUE REPRESENTA UN PUENTE MUY INTERESANTE DESDE EL PUNTO DE VISTA TEÓRICO ENTRE EL ESTADO SÓLIDO Y LA ELECTRDINÁMICA CUÁNTICA.

SUS APLICACIONES TECNOLÓGICAS POSIBLES LO CONVIERTENEN EL “MATERIAL DEL FUTURO”

HA UNA GRAN ACTIVIDAD EN ESTE CAMPO QUE TENDRÁ CONSECUENCIAS EN LO TEÓRICO, LO EXPERIMENTAL Y LO APLICADO.

ES UN CAMPO QUE ESTARÁ DE MODA POR MUCHOS AÑOS.

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