EJERCICIOS MOHR 17

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERA

E.A.P. ING. CIVILCURSO: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II

DOCENTE:

RUBEN LOPEZ CARRANZA

CICLO:

XI

ALUMNOS:-

Lavado Palacios Mixuri lozano gonzales jos espinoza matumay santiago obregon flores ronald sanchez camones miguel morales avila edwin

NVO. CHIMBOTE, Noviembre del 2009

TENSIONES COMPUESTAS

1


RESISTENCIA DE LOS

PROBLEMAS DE CRCULO DE MOHR20. Una barra uniforme de seccin 6x9cm esta sometida a una fuerza de traccin axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensin cortante mxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg 5400kg y =0xy =0

x = P/A x = 5400kg/6x9cm2 x = 1000 Kg/ cm2 Cortante mximo:

mx =

mx = (5400-0)2/2+02

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 500 Kg/ cm2

21. En el problema 20 determinar la tensin normal y cortante que TENSIONES COMPUESTAS 2


RESISTENCIA DE LOS

actual que actan en un plano inclinado de 20 con la lnea de accin de las cargas axiales. Datos:

=20x = 1000 Kg/ cm2 y =0xy =0

Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40 )/2+0 Sen40 n =116.98 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen40(1000- 0)/2+0 Cos40 t= 321.39 Kg/ cm2


3


RESISTENCIA DE LOS

22. Una barra cuadrada de 2 centmetros de lado esta sometida a una

carga de compresin axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actan en un plano inclinado =30 respecto a la lnea de accin de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg =30 2240kg x = P/A x = -2240kg/2x2cm2 x = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60 )/2+0 Sen60 n =-140 Kg/ cm2 2240kg y =0xy =0

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen60(-560- 0)/2+0 Cos60 t= -242.49 Kg/ cm2


4


RESISTENCIA DE LOS

23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el crculo de

Mohr. Datos: x = -560 Kg/ cm2 y =0xy =0

=30 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=-280 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =0s n,t280 280Sen60 2

-RADIO R2=a2+b2 R=280 2=60

t

s min=-560

C=-280

O

s max=0

s

DEL GRFICO: n =280Sen60 n =242.49 Kg/ cm2 t= 280Cos60

t= -140 Kg/ cm2


5


RESISTENCIA DE LOS

24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , x = 210 Kg/ cm2, y =0,xy =280

Kg/

cm2

,

determinar

analticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado =45con el eje X. Datos: x = 210 Kg/ cm2 y =0xy =280 Kg/ cm2

=45Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90 )/2+280 Sen90 n =385 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen90(210- 0)/2+280 Cos90 t= 105 Kg/ cm2


6


RESISTENCIA DE LOS

25. Determinar analticamente, para el elemento del Problema 24, las

tensiones principales y sus direcciones, as como las mximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: x = 210 Kg/ cm2 y =0xy =280 Kg/ cm2

=45a) Calculando los esfuerzos principales: x + y x y 2 2 2

1, 2 =

+ 2 XY 2

max =( (210+ 0) /2)+ ((210- 0) /2+280 max =404.04 Kg/ cm2

min =( (210+ 0) /2)- ((210- 0) /2+280 =-194.04 Kg/ cm2

2

min

b) Hallamos las direcciones:2 xy

tan2 p =

x y

Tan2 p=-2x280/210 2 p=-2.667 IIQ, IVQ 90-2 p=20.554 2 p1=20.554+90 p1=5516 2 p2=20.554+270 p2=14516


7

Ing. Civil MATERIALES II c) Cortante mximo:

RESISTENCIA DE LOS

mx =

mx = (210-0)2/2+2802

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 299.04 Kg/ cm2Tan2 c=(x- y)/2 xy

c=101641


8


RESISTENCIA DE LOS

26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el crculo de

Mohr. Datos: x = 210 Kg/ cm2 y =0xy =280 Kg/ cm2

=45MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=105 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =280 -RADIO R2=a2+b2 R=299.04

t

210

t max=299.04kg/cm s x,t xy

2qp2

280

s min=-194280

O R=299 2qc

C=105 2qp1

s max=404.04

s

s y,t xy

105

DEL GRFICO: Sen2 c=105/299 2 c=20.55 2 p=20.55+90 2 p=110.55

t max=-299.04kg/cm


9


RESISTENCIA DE LOS

27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones

indicadas en la Figura adjunta. Determinar analticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes mximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos: 210kg/cm2

280 kg/cm2 210kg/cm2 280 kg/cm2

x =-210 kg/cm2

xy =-280 kg/cm2

y = 0

a) Calculando los esfuerzos principales: x + y x y 2 2 2

1, 2 =

+ 2 XY 2

max =( (-210+ 0) /2)+ ((-210- 0) /2+-280 max =194.04Kg/ cm2 min =( (210+ 0) /2)- ((210- 0) /2+280 -404.04Kg/ cm22

min

Hallamos las direcciones:tan2 p = 2 xy

x y

Tan2 p=-2x-280/-210 2 p=-69.44 IIQ, IVQ 90-2 p=20.554 2 p1=20.554+90 TENSIONES COMPUESTAS 2 p2=20.554+270 10


RESISTENCIA DE LOS

p1=5516b) Cortante mximo:

p2=14516

mx =

mx = (-210-0)2/2+-2802

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 299.04 Kg/ cm2Tan2 c=(x- y)/2 xy

c=101641 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actan en un plano inclinado 30 con el eje X Datos: x =-210 kg/cm2 y = 0xy =-280 kg/cm2

=30Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60 )/2+280 Sen60 n =-294.99 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen60(-210- 0)/2+-280 Cos60 t= -230 Kg/ cm2

29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones x =560kg/cm2, TENSIONES COMPUESTAS 11

Ing. Civil MATERIALES II y =560 kg/cm2 y Datos: x =560 kg/cm2 y =560 kg/cm2 Cortante mximo:

RESISTENCIA DE LOS determinar analticamente la tensin cortante

mxima que existe en el elemento.xy =0

mx =

mx = 560-560)2/2+02

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 030. Qu forma adopta el crculo de Mohr para las solicitaciones

descritas en el problema 29? Datos: x =560 kg/cm2 y =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=560 a = (x - y)/2 a=0 b= xy =0El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del origen.O C=560

xy =0

-RADIO R2=a2+b2 R=0

t

s

31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones x =560 kg/cm2 y y =-560 kg/cm2. Determinar analticamente la tensin cortante TENSIONES COMPUESTAS 12


RESISTENCIA DE LOS

mxima que existe en el elemento. Cul es la direccin de los planos en que se producen las mximas tensiones cortantes? Datos: x =560 kg/cm2 y =-560 kg/cm2 Cortante mximo:xy =0

mx =

mx = 560--560)2/2+02

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 560 kg/cm2Tan2 c=(x- y)/2 xy 2 c=45

32. Para el problema 31 determinar analticamente las tensiones

Normal y Cortante que actan en un plano inclinado un ngulo de 30 con el eje x. Datos: x =560 kg/cm2 y =-560 kg/cm2

xy =0

=30Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60 )/2+0 Sen60 n =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen60(560--560)/2+0 Cos60 t= 484.974 Kg/ cm2TENSIONES COMPUESTAS 13


RESISTENCIA DE LOS

33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones x =560 kg/cm2 y y =-560 kg/cm2. Determinar el crculo de Mohr, las tensiones que actan en un plano inclinado 20 con el eje X. Datos: x =560 kg/cm2 y =-560 kg/cm2xy =0

=20MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=0 a = (x - y)/2 a=560 b= xy =0 2 =40 -RADIO R2=a2+b2 R=560

t

DEL GRFICO:

t =560sen40 t =-359.961 kg/cm2n =560cos40 n =-428.985kg/cm234.

s y,t xy-560

sn t40 R=560 O=centro

s x,t xy560

s

Un elemento

plano

extrado de una envuelta cilndrica delgada, sometido a torsin, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. TENSIONES COMPUESTAS 14

Ing. Civil MATERIALES II 560 kg/cm2 560kg/cm2 560 kg/cm2 Datos: x =0 y =0 Calculando los esfuerzos principales: x + y x y 2 2 2

RESISTENCIA DE LOS

560 kg/cm2

xy =560 kg/cm2

1, 2 =

+ 2 XY 2

max =( (0+ 0) /2)+ ((0- 0) /2+560 max =560 Kg/ cm2 min =( (0+ 0) /2)- ((0- 0) /2+560 min 2

=-560 Kg/ cm2

tDEL GRFICO: 2 p=90560

s x,t xy

2qp O=centro

s

35. Un elemento plano

-560

s y,t xy

esta sometido a las tensiones indicadas en la figura determinar analticamente.a) Las tensiones principales y sus direcciones.


15


RESISTENCIA DE LOS

b) Las tensiones cortantes mximas y las direcciones de los planos

que actan.840 kg/cm2 560kg/cm2 1400 kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 1400 kg/cm2 560 kg/cm2

Datos: x =1400 kg/cm2 y = 840 kg/cm2

840 kg/cm2

xy =-560 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales: 1, 2 = x + y x y 2 2 + 2 XY 2

max =( (1400+ 840) /2)+ ((1400- 840) /2+-560 max =1746.099 Kg/ cm2 min =( (1400+ 840) /2)- ((1400- 840) /2+-560 min 2

2

=493.901 Kg/ cm2

b) Hallamos las direcciones:tan2 p =

2 xy

x y

Tan2 p=-2x-560/1400-840 2 p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 p2=+63.435 2 p1=+63.435 +180

p2=3143c) Cortante mximo:

p1=1214657


16


RESISTENCIA DE LOS

mx =

mx = (1400-840)2/2+-5602

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 626.099 Kg/ cm2Tan2 c= (x- y)/2 xy Tan2 c= (1400- 840)/2(-560) 2 c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90-26.565 /2

03

c=7643


Mohr.


17

Ing. Civil MATERIALES II Datos: x =1400 kg/cm2 y = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=1120 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =-560

RESISTENCIA DE LOS

xy =-560 kg/cm2

-RADIO R2=a2+b2 R=626.099

t(8400,560)

t max=626.099kg/cm

2qp O

s min=493.9kg/cm2qc

C=1120

s max=1746.099kg/cm

s

-560

(1400,-560)

37.

Considerar

nuevamente

el

problema

35.

Determinar

analticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ngulo de 20 con el eje X. Datos: x =1400 kg/cm2

xy =-560 kg/cm2


18

Ing. Civil MATERIALES II y = 840 kg/cm2

RESISTENCIA DE LOS

=20Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40 )/2+-560 Sen40 n =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen40(1400-840)/2+-560 Cos40 t= -249 Kg/ cm2


Mohr. Datos: x =1400 kg/cm2 y = 840 kg/cm2 MOHR TENSIONES COMPUESTAS 19xy =-560 kg/cm2

=20

Ing. Civil MATERIALES II -CENTRO C= x+ y) /2 C=1120 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =-560

RESISTENCIA DE LOS -RADIO R2=a2+b2 R=626.099 2 =40

t(8400,560)

t max=626.099kg/cm

s tO

b

40

a

s min=493.9kg/cm

C=1120

s max=1746.099kg/cm

s

560

626.099

-560 bsenb=560/626.099 b=63.435

626.099sen a (1400,-560)

626.099

b=63.435 a=23.435

a=23.435626.099cos b 626.099sen =249 a 626.099cos =574.45 b

560

626.099

626.099sen a

626.099

bsenb=560/626.099 b=63.435

t =249kg/cmb=63.435 a=23.435 a=23.435626.099cos b 626.099sen =249 a 626.099cos =574.45 b

s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm39.

Un

elemento

plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura, determinar analticamente. a)

t =249kg/cm

s =R-574.45+493.9 Las tensiones principales y sus direcciones s =545.54kg/cm


20


RESISTENCIA DE LOS

b) Las tensiones cortantes mximas y las direcciones de los planos que actan.840 kg/cm2 700kg/cm2 560 kg/cm2 700 kg/cm2 840 kg/cm2 700 kg/cm2 560 kg/cm2 700kg/cm2

Datos: x =-560 kg/cm2

xy =700 kg/cm2

y = -840 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales: 1, 2 x + y x y = 2 2 + 2 XY 2

max =( (-560+-840) /2)+ ((-560--840) /2+700 max =13.863 Kg/ cm2 min =( -560+-840) /2)- ((-560--840) /2+700 min 2

2

=-1413.863 Kg/ cm2

b) Hallamos las direcciones:tan2 p = 2 xy

x y

Tan2 p=-2x-700/-560--840 2 p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90-78.69=11.3099 2 p1=11.3099+90 2 p2=11.3099+270

p1=5039c) Cortante mximo:

p2=14039


21


RESISTENCIA DE LOS

mx =

mx = (-560--840)2/2+7002

x + y 2

+ J xy 2

2

tmax= 713.863 Kg/ cm2Tan2 c= (x- y)/2 xy Tan2 c= (-560--840)/2(700) 2 c=11.3099 (IIQ, IVQ)

17.88

c=539

40. Repetir el problema 39 utilizando el crculo de Mohr.

Datos: TENSIONES COMPUESTAS 22

Ing. Civil MATERIALES II x =-560 kg/cm2 y = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=-700 a = (x - y)/2 a=140 b= xy =700

RESISTENCIA DE LOSxy =700 kg/cm2

-RADIO R2=a2+b2 R=713.86

tt max=713.86kg/cm2qc R=713.86 2

s x,t xy700

2qp

s min=-1413.86

C=-700

O

s max=13.86

s

s y,t xyt max=-713.86kg/cm840


23

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