Êîíñïåêò ñïåöêóðñà ïî ... -...

Êîíñïåêò ñïåöêóðñà ïî àääèòèâíîé êîìáèíàòîðèêå

Ä. Ì. Ñòîëÿðîâ

29 äåêàáðÿ 2018 ã.

Îãëàâëåíèå

1 Ìíîæåñòâà ñ ìàëûì óäâîåíèåì 2

1.1 �Ýëåìåíòàðíûå� íåðàâåíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Îáçîð äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôðåéìàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.5: àíàëèç Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.6: ãåîìåòðèÿ ðåø�åòîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Ãîìîìîðôèçìû Ôðåéìàíà è êîíåö ãëàâû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Â ïîèñêàõ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 26

2.1 Òåîðåìà Ñåìåðåäè è ëåììà îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Ëåììà ðåãóëÿðíîñòè Ñåìåðåäè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Ëåììà îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Ëåììà ðåãóëÿðíîñòè äëÿ ãèïåðãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Ôîðóìëèðîâêà ñ÷èòàþùåé ëåììû è äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà . 38

3 Çàäà÷è îá èãîëêàõ 42

3.1 Ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à íà ïëîñêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Ãèïîòåçà Êàêåéÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Ãèïîòåçà Êàêåéÿ â êîíå÷íûõ ïîëÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Ëèòåðàòóðà 51

1

Ãëàâà 1

Ìíîæåñòâà ñ ìàëûì óäâîåíèåì

3.9.2018Ïóñòü Z � íåêîòîðàÿ êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà, A � å�å êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì ñóììó

A+A = {a1 + a2 | a1, a2 ∈ A}.

Íàñêîëüêî âåëèêî èëè ìàëî ìîæåò áûòü ìíîæåñòâî A + A? Íàïðèìåð, ïóñòü Z � ãðóïïà öåëûõ÷èñåë Z. Åñëè A � îòðåçîê àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, òî |A+A| = 2|A|−1. Åñëè æå A � îòðåçîêãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, òî |A+A| = |A|(|A|+1)

2 . Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî A+Aíå î÷åíü âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ A, òî ìíîæåñòâî A îáëàäàåò áîãàòîé àðèôìåòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé.Òåîðåìà Ôðåéìàíà ïîçâîëÿåò òî÷íî âûðàçèòü ýòîò ýâðèñòè÷åñêèé ïðèíöèï. Äëÿ òîãî, ÷òîáû å�åñôîðìóëèðîâàòü, íàì ïîíàäîáèòñÿ îáîáùèòü ïîíÿòèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.

Îïðåäåëåíèå 1.0.1. Ïóñòü g1, g2, . . . , gk � ýëåìåíòû ãðóïïû Z, ïóñòü I1, I2, . . . , Ik � îòðåçêè öåëûõ÷èñåë. Ìíîæåñòâî

P ={ k∑j=1

ajgj

∣∣∣∀j aj ∈ Ij}

(1.0.1)

íàçûâàåòñÿ îáîáù�åííîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. Íàèìåíüøåå ÷èñëî k, äëÿ êîòîðîãî âîçìîæíîïðåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà P â âèäå (1.0.1), íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ îáîáù�åííîé àðèôìåòè÷åñêîéïðîãðåññèè P .

Òåîðåìà 1.0.2 (Òåîðåìà Ôðåéìàíà). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà C > 1 ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû d(C)è s(C), îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìèì ñâîéñòâàìè. Äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà A ⊂ Z, òàêîãî ÷òî

|A+A| 6 C|A|, (1.0.2)

ñóùåñòâóåò îáúåìëþøàÿ îáîáù�åííàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ P ðàçìåðíîñòè íå áîëåå d(C) èìîùíîñòè íå áîëåå s(C)|A|.

Ìíîæåñòâà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó (1.0.2), íàçîâ�åì ìíîæåñòâàìè ñ ìàëûì óäâîåíèåì(çäåñü íàäî ïðåäñòàâëÿòü, ÷òî ìíîæåñòâî A îãðîìíî, à êîíñòàíòà C ñðàâíèòåëüíî íåâåëèêà). Ëó÷-øóþ êîíñòàíòó C â íåðàâåíñòâå (1.0.2) íàçîâ�åì êîíñòàíòîé óäâîåíèÿ ìíîæåñòâà A. Íåòðóäíî âè-äåòü, ÷òî îáîáù�åííàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ P ðàçìåðíîñòè íå áîëåå α îáëàäàåò êîíñòàíòîéóäâîåíèÿ, íå áîëüøåé, ÷åì 2α.

1.1 �Ýëåìåíòàðíûå� íåðàâåíñòâà

Ìàòåðèàëû äàííîé ãëàâû îñíîâûâàþòñÿ íà âòîðîé ãëàâå êíèãè [11], êîíñïåêòå [5], ñòàòüå [9] è êíè-ãå [4].

2

Îïðåäåëåíèå 1.1.1. Ïóñòü A è B � êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà ãðóïïû Z. Îïðåäåëèì èõ ñóììó

A+B = {a+ b | a ∈ A, b ∈ B}.

Òàêæå áóäåì ïèñàòü nA, n ∈ N, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ n-êðàòíîé ñóììû ìíîæåñòâà A ñ ñàìèì ñîáîé è −Aäëÿ ìíîæåñòâà {−a | a ∈ A}. Òàêèì îáðàçîì,

mB − nB ={ m∑i=1

bi −m+n∑i=m+1

bi

∣∣∣∀i bi ∈ B}.

Íåòðóäíî äîêàçàòü íåðàâåíñòâà

max(|A|, |B|) 6 |A+B| 6 |A||B|. (1.1.1)

Óïðàæíåíèå 1.1.1. Ïóñòü Z = Z. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî |A+B| > |A|+ |B| − 1.

Çàäà÷à 1.1.2 (Òåîðåìà Êîøè�Äàâåíïîðòà). Ïóñòü Z = Zp � öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà p, ÷èñ-ëî p ïðîñòîå. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî |A+B| > min(p, |A|+ |B| − 1).

Èçó÷èì ñëó÷àè ðàâåíñòâà â îöåíêå (1.1.1) ñíèçó ìîùíîñòè ìíîæåñòâà A+B.

Ëåììà 1.1.2. Ñëåäóþùèå ïÿòü óòâåðæäåíèé ðàâíîñèëüíû.

1. |A+B| = |A|.

2. |A−B| = |A|.

3. |A+mB − nB| = |A| äëÿ íåêîòîðîé ïàðû (m,n) ∈ Z2 \ {(0, 0)}.

4. |A+mB − nB| = |A| äëÿ âñåõ ïàð (m,n) ∈ Z2.

5. Ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà G ⊂ Z, òàêàÿ ÷òî ìíîæåñòâî A åñòü îáúåäèíåíèå å�åêëàññîâ ñìåæíîñòè, à ìíîæåñòâî B ïðèíàäëåæèò îäíîìó êëàññó ñìåæíîñòè ãðóïïû G.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî çàìåíÿÿ ìíîæåñòâî B åãî ñäâèãîì B+{−b} (çäåñü b ∈ B � íåêîòî-ðûé ýëåìåíò), ìû íå èçìåíèì ìîùíîñòè ìíîæåñòâ A+mB − nB (êàæäîå òàêîå ìíîæåñòâî ïðîñòîñäâèíåòñÿ íà (m − n)b); òàêæå íå ïîìåíÿåòñÿ âûïîëíèìîñòü ïÿòîãî óñëîâèÿ. Ïîýòîìó, íå óìàëÿÿîáùíîñòè, ìîæåì ñ÷èòàòü 0 ∈ B.

Èìïëèêàöèè 5→ 4 è 4→ 3 î÷åâèäíû. Êðîìå òîãî, î÷åâèäíû èìïëèêàöèè 4→ 2 è 4→ 1.Äîêàæåì, ÷òî ëèáî 3 → 2, ëèáî 3 → 1. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ìû ïðåäïîëîæèëè 0 ∈ B,

âûïîëíåíî ëèáî âêëþ÷åíèå B ⊂ mB−nB, ëèáî âêëþ÷åíèå −B ⊂ mB−nB. Ïîýòîìó ëèáî |A+B| 6|A|, ëèáî |A − B| 6 |A|. Áëàãîäàðÿ íåðàâåíñòâó (1.1.1), ýòè íåðàâåíñòâà îáÿçàíû îáðàùàòüñÿ âðàâåíñòâî.

Îñòàëîñü äîêàçàòü èìïëèêàöèþ 1→ 5, ïîòîìó ÷òî èìïëèêàöèè 2→ 5 åñòü íè÷òî èíîå, êàê 1→ 5äëÿ ìíîæåñòâ A è −B. Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî |A+B| = |A|. Òàê êàê 0 ∈ B, èìååì A ⊂ A+B, èñòàëî áûòü, A+B = A. Îïðåäåëèì ãðóïïó G:

G = {g ∈ Z | g +A = A}.

Ìû ïîêàçàëè, ÷òî B ⊂ G. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî A åñòü îáúåäèíåíèå êëàññîâ ñìåæíîñòè G (îòñþäàòàêæå áóäåò ñëåäîâàòü êîíå÷íîñòü ãðóïïû G). Íî ýòî î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ G.

Òàê êàê ìû õîòèì îïèñûâàòü ìíîæåñòâà ñ ìàëûì óäâîåíèåì, æåëàòåëüíî ïîëó÷èòü áîëåå ãèáêèéàíàëîã ýòîé ëåììû, â êîòîðîì ðàâåíñòâà áóäóò çàìåíåíû íà ïðèáëèçèòåëüíûå ðàâåíñòâà. ×òîáû ìå-ðèòü ìàëîñòü îòêëîíåíèÿ, ïîëåçíî îïðåäåëèòü ïîäõîäÿùóþ ìåòðèêó. Îïðåäåëèì äèñòàíöèþ Ðóæè.

3

Îïðåäåëåíèå 1.1.3. Âåëè÷èíà d(A,B) = log |A−B||A|

12 |B|

12íàçûâàåòñÿ äèñòàíöèåé Ðóæè ìåæäó íåïó-

ñòûìè êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè A è B.

Íåðàâåíñòâî (1.1.1) âëå÷�åò d(A,B) > 0, îäíàêî äîâîëüíî ÷àñòî d(A,A) > 0. Ïîýòîìó äèñòàíöèÿÐóæè � íå ìåòðèêà. Òåì íå ìåíåå, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà äëÿ íå�å âûïîëíåíî.

Ëåììà 1.1.4 (Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà Ðóæè). Äëÿ âñåõ íåïóñòûõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ A è Bâûïîëíåíî íåðàâåíñòâî d(A,C) 6 d(A,B) + d(B,C).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

|B||A− C| 6 |A−B||B − C|. (1.1.2)

Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Π: (A−B)×(B−C)→ Z, êîòîðîå åñòü ïðîñòî ñëîæåíèå êîîðäèíàò: Π(x, y) =x + y. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A − C íàêðûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì Πõîòÿ áû |B| ðàç. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò z ∈ A − C è çàôèêñèðóåì åãî ïðåäñòàâëå-íèå â âèäå z = a − c, ãäå a ∈ A è c ∈ C. Êàæäîìó ýëåìåíòó b ∈ B òîãäà ìîæíî ñîïîñòàâèòüïàðó (x, y) = (a− b, b− c). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âñå òàêèå ïàðû (x, y) ðàçëè÷íû è Π(x, y) = z.

Çàìå÷àíèå 1.1.5. Õîòü äèñòàíöèÿ Ðóæè è íå ìåòðèêà, å�å ñóæåíèå íà ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷-íûõ ïîäãðóïï Z ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé.

Âîïðîñ 1.1.3. Êàêèå íåïðåðûâíûå àíàëîãè äèñòàíöèè Ðóæè ìîæíî ïðåäëîæèòü? Ñêàæåì, íåëü-çÿ ëè ââåñòè ïîäîáíóþ äèñòàíöèþ íà îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâàõ ïðÿìîé?

Îïðåäåëåíèå 1.1.6. Ïóñòü A� êîíå÷íîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Âåëè÷èíà σ[A], çàäàííàÿ ïî ïðàâèëó

σ[A] =|A+A||A|

,

íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé óäâîåíèÿ ìíîæåñòâà A. Âåëè÷èíà δ[A], çàäàííàÿ ïî ïðàâèëó

δ[A] =|A−A||A|

,

íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé ðàçíîñòè ìíîæåñòâà A.

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îáå îïðåäåë�åííûå êîíñòàíòû ìîãóò ëåæàòü â ïðåäåëàõ îò åäèíèöû äî 12 |A|.

Ìíîæåñòâàì ñ ìàëûì óäâîåíèåì ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå çíà÷åíèÿ σ[A]. Îïèøåì ñëó÷àè ðàâåíñòâàýòèõ êîíñòàíò åäèíèöå.

Ëåììà 1.1.7. Ñëåäóþùèå øåñòü óòâåðæäåíèé ðàâíîñèëüíû.

1. σ[A] = 1.

2. δ[A] = 1.

3. Ñóùåñòâóåò íåïóñòîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî B, òàêîå ÷òî d(A,B) = 0.

4. |mA− nA| = |A| äëÿ íåêîòîðé ïàðû (m,n) ∈ Z2 \ {(0, 0), (±1, 0), (0,±1)}.

5. |mA− nA| = |A| äëÿ âñåõ ïàð (m,n) ∈ Z2 \ {(0, 0)}.

6. Ìíîæåñòâî A åñòü êëàññ ñìåæíîñòè êîíå÷íîé ïîäãðóïïû ãðóïïû Z.

4

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìïëèêàöèè 6→ 5→ 4 î÷åâèäíû. Äîêàæåì 4→ 3. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òî m > 0. Ïîëîæèì B = (m− 1)A− nA. Ñîãëàñíî íàøèì ïðåäïîëîæåíèÿì î ïàðå (m,n),ìíîæåñòâîB íåïóñòî. Êðîìå òîãî, |A| 6 |B| è |B| 6 |mA−nA| (ïî íåðàâåíñòâó (1.1.1)), ïîýòîìó |B| =|A|. Ñòàëî áûòü,

ed(A,B) =|mA− nA|√|A||B|

= 1.

Èìïëèêàöèÿ 3→ 2 ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà Ðóæè:

δ[A] = ed(A,A) 6 e2d(A,B) = 1.

Èìïëèêàöèÿ 2 → 1 ñëåäóåò èç ðàâíîñèëüíîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî óòâåðæäåíèé ëåììû 1.1.2.Çàâåðøàþùàÿ êðóã èìïëèêàöèÿ 1 → 5 ñëåäóåò èç ðàâíîñèëüíîñòè âòîðîãî è ïÿòîãî óòâåðæäåíèéëåììû 1.1.2.

Êîíñòàíòû ðàçíîñòè è óäâîåíèÿ ìîãóò áûòü ðàâíû åäèíèöå ëèøü îäíîâðåìåííî. Íåëüçÿ ëè âû-ðàçèòü ýòîò ôàêò â âèäå íåðàâåíñòâà? Îäíî òàêîå íåðàâåíñòâî ëåãêî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà òðå-óãîëüíèêà.

Ñëåäñòâèå 1.1.8. Äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî δ[A] 6 σ2[A].

Äîêàçàòåëüñòâî.δ[A] = ed(A,A) 6 e2d(A,−A) = σ2[A].

Óïðàæíåíèå 1.1.4. Ðàññìîòðèòå ìíîæåñòâî A = {x ∈ Zd |∑i xi 6 n,∀i xi > 0}, âû÷èñëèòå

åãî êîíñòàíòó óäâîåíèÿ è êîíñòàíòó ðàçíîñòè. Ïîñëå ÷åãî, ïîäáèðàÿ ïàðàìåòðû d è n äîêàæèòåòî÷íîñòü ïî ïîðÿäêó òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî íåðàâåíñòâà. À èìåííî, ïîêàæèòå, ÷òî íè äëÿêàêîãî ÷èñëà ε ∈ (0, 2) íå ñóùåñòâóåò êîíñòàíòû Cε, òàêîé ÷òî äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî ìíîæå-ñòâà A âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî δ[A] 6 Cεσ

2−ε[A].

Îáðàòíîå íåðàâåíñòâî σ[A] 6 δ2[A] ñëîæíåå è îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà 1.1.9 (Íåðàâåíñòâî Ïëþííåêå). Ïóñòü A è B � êîíå÷íûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà, ïóñòü |A+B| 6 K|A|. Ñóùåñòâóåò íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî X ìíîæåñòâà A, òàêîå ÷òî äëÿ âñÿêîãî íàòó-ðàëüíîãî ÷èñëà n âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |X + nB| 6 Kn|X|.

Íåíàäîëãî îòëîæèì äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà Ïëþííåêå. Ïîêà ÷òî ïîëó÷èì åãî ïîëåçíûåñëåäñòâèÿ.

Ñëåäñòâèå 1.1.10 (Íåðàâåíñòâà Ïëþííåêå�Ðóæè). Ïóñòü êîíå÷íûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà A è Bóäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó |A+B| 6 K|A|. Òîãäà |mB − nB| 6 Km+n|A|.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ìíîæåñòâî X, îïèñàííîå â òåîðåìå 1.1.9 è âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîìòðåóãîëüíèêà Ðóæè â ôîðìå (1.1.2) (ïîëîæèì A := mB,C := nB è B := −X):

| −X||mB − nB| 6 |mB +X|| −X − nB| 6 Km+n|X|2.

Ñîêðàòèâ íà |X| = | −X|, ïîëó÷èì îöåíêó |mB − nB| 6 Km+n|X|, ÷òî òî÷íî íå ñëàáåå òðåáóåìîãî,òàê êàê X � ïîäìíîæåñòâî A.

Ñëåäñòâèå 1.1.11. Äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî σ[A] 6 δ2[A].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì B := −A, K = δ[A] â ñëåäñòâèå 1.1.10 è âûáåðåì m = 0 è n = 2.

5

Óïðàæíåíèå 1.1.5. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà ε0 > 0, òàêàÿ ÷òî íå ñóùåñòâóåòêîíñòàíòû Cε0 , òàêîé ÷òî äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî σ[A] 6Cε0δ

1+ε0 [A].10.9.2018

Ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.1.9. Êëàññè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà Ïëþííåêåâåñüìà èçîùð�åííî è îïèðàåòñÿ íà òåîðèþ ãðàôîâ, â ÷àñòíîñòè, íà òåîðåìó Ìåíãåðà î ñòðóêòóðå k-ñâÿçíîãî ãðàôà. Ñ êëàññè÷åñêèì äîêàçàòåëüñòâîì ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ, íàïðèìåð, â øåñòîé ãëàâåêíèãè [11]. Â 2011 ãîäó Ïåòðèäèñ [9] ïðåäëîæèë áîëåå êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî. Îíî îñíîâûâàåòñÿíà ñëåäóþùåé çàìå÷àòåëüíîé ëåììå.

Ëåììà 1.1.12 (Ëåììà Ïåòðèäèñà). Ïóñòü A è B � êîíå÷íûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà, òàêèå÷òî |A + B| 6 C|A|. Ïóñòü ìíîæåñòâî A ìèíèìàëüíî â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ìíî-æåñòâà T A èìååò ìåñòî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî |T + B| > C|T |. Òîãäà |A+ B + S| 6 C|A+ S|äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà S ⊂ Z.

Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì âåñòè èíäóêöèþ ïî ìîùíîñòè ìíîæåñòâà S. Áàçà, êîãäà S ñîñòîèò èç îä-íîãî ýëåìåíòà, î÷åâèäíà: îò ñäâèãà ìîùíîñòè ìíîæåñòâ íå ìåíÿþòñÿ. ×òîáû îñóùåñòâèòü ïåðåõîä,îòùåïèì îò ìíîæåñòâà S îäèí ýëåìåíò: S = S′ ∪ {x}. Çàïèøåì ìîùíîñòè îöåíèâàåìîãî è îöåíèâà-þùåãî ìíîæåñòâ ïðè ïîìîùè ôîðìóë äå Ìîðãàíà:

|A+ S| = |(A+ S′) ∪ (A+ {x})| = |A+ S′|+ |A|− |(A+ S′) ∩ (A+ {x})|;|A+B + S| = |(A+B + S′) ∪ (A+B + {x})| = |A+B + S′|+ |A+B|− |(A+B + S′) ∩ (A+B + {x})|.

Ýòè ôîðìóëû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà æåëàåìîãî íåðàâåíñòâà |A+B + S| 6 C|A+B|äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü òðè îöåíêè:

|A+B + S′| 6 C|A+ S′|; (1.1.3)

|A+B| 6 C|A|; (1.1.4)

|(A+B + S′) ∩ (A+B + {x})| > C|(A+ S′) ∩ (A+ {x})|. (1.1.5)

Íåðàâåíñòâî (1.1.3) eñòü ïðîñòî ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè äëÿ ìíîæåñòâà S′ (ìîùíîñòü S′ ìåíüøåìîùíîñòè S). Íåðàâåíñòâî (1.1.4) âåðíî ïî óñëîâèþ ëåììû. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (1.1.5) äîêàçàòüòðóäíåå. Äàâàéòå ïåðåïèøåì åãî, ñäâèíóâ îáà ìíîæåñòâà íà x:

|(A+B + S′ − {x}) ∩ (A+B)| > C|(A+ S′ − {x}) ∩A|.

Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî (A+S′−{x})∩A ñèìâîëîì T . Î÷åâèäíî, ÷òî T ⊂ A, ïîýòîìó ê ìíîæåñòâó Tõî÷åòñÿ ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå î ìèíèìàëüíîñòè A. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.

Ñëó÷àé T = A. Â ýòîì ñëó÷àå, A+S′−{x} ⊃ A. Ñëåäîâàòåëüíî, A+S′ ⊃ A+{x} è A+S = A+S′.Îòñþäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî A+B+S = A+B+S′. Ïîýòîìó, äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî |A+B+S| 6C|A+S| ñëåäóåò èç ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè |A+B+S′| 6 Ñ|A+S′|. Â ýòîì ñëó÷àå ìû íå ïîëüçóåìñÿðàññóæäåíèÿìè ñ ôîðìóëàìè äå Ìîðãàíà, ïðèâåä�åííûìè âûøå.

Ñëó÷àé T A. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäïîëîæåíèåì î ìèíèìàëüíîñòè A,à èìåííî, íåðàâåíñòâîì |T +B| > C|T |, êîòîðîå ðàñøèôðîâûâàåòñÿ êàê∣∣∣((A+ S′ − {x}) ∩A

)+B

∣∣∣ > C|(A+ S′ − {x}) ∩A|. (1.1.6)

Îòìåòèì î÷åâèäíîå âëîæåíèå

X ∩ Y +B ⊂ (X +B) ∩ (Y +B),

6

êîòîðîå ïðè ïîäñòàíîâêå X := A+ S′ − {x} è Y := A âëå÷�åò∣∣∣((A+ S′ − {x}) ∩A)

+B∣∣∣ 6 ∣∣∣(A+ S′ − {x}+B) ∩ (A+B)

∣∣∣. (1.1.7)

Ñîáåð�åì âñå íåðàâåíñòâà âìåñòå:

C|(A+ S′) ∩ (A+ {x})| = C|(A+ S′ − {x}) ∩A|(1.1.6)

6∣∣∣((A+ S′ − {x}) ∩A

)+B

∣∣∣ (1.1.7)6∣∣∣(A+ S′ − {x}+B) ∩ (A+B)∣∣∣ = |(A+B + S′) ∩ (A+B + {x})|.

Íåðàâåíñòâî (1.1.5) äîêàçàíî, à ñ íèì è ëåììà.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.1.9. Ðàññìîòðèì ïîäìíîæåñòâî X ìíîæåñòâà A, äëÿ êîòîðîãî âåëè÷è-íà

cX =|X +B||X|

ìèíèìàëüíà ñðåäè âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A. Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî X óäîâëåòâîðÿåò óñëî-âèÿì ëåììû 1.1.12 â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà A (ñ êîíñòàíòîé C := cX). Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ëèøüìèíèìàëüíîñòü â òåðìèíàõ ëåììû 1.1.12 ìíîæåñòâà X. Ïóñòü Y � ïîäìíîæåñòâî X, òîãäà

|Y +B| = cY |Y | > cX |Y |,

÷òî è âëå÷�åò ìèíèìàëüíîñòü X. Ïðèìåíèì ëåììó 1.1.12 è ïîëîæèì S = (n− 1)B:

|X + nB| = |X +B + S| 6 cX |X + S| = cX |X + (n− 1)B|.

Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïðîèòåðèðîâàòü (òî åñòü, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèòü ëåììó Ïåòðèäèñàñ S = (n− 2)B, S = (n− 3)B è ò.ä.) è ïîëó÷èòü

|X + nB| 6 cnX |X|.

Îñòàëîñü ëèøü çàìåòèòü, ÷òî cX 6 K.

Óïðàæíåíèå 1.1.6. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâà

|A−A| 23 6 |A+A| 6 |A−A| 32 .

Êàê ñïðàâèòåñü, äîêàæèòå íåðàâåíñòâà Ïèãàåâà�Ôðåéìàíà

|A−A| 34 6 |A+A| 6 |A−A| 43 .

Çàìå÷àíèå 1.1.13. Íåðàâåíñòâî Ïëþííåêå 1.1.9 óòâåðæäàåò, ÷òî âåëè÷èíà |A+B||A| â íåêîòîðîì

ñìûñëå êîíòðîëèðóåò âåëè÷èíû |X+nB||X| äëÿ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà X ⊂ A è âñåõ íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë n. Åñòåñòâåííûé âîïðîñ: à íåëüçÿ ëè ïîëó÷èòü êîíòðîëü çà ïîäîáíûìè âûðàæåíèÿìèâ ñëó÷àå n 6 0? Íàïðèìåð, íå ñóùåñòâóåò ëè êîíñòàíòû C ′, çàâèñÿùåé òîëüêî îò C, òàêîé÷òî äëÿ âñÿêèõ ìíîæåñòâ A è B, òàêèõ ÷òî |A + B| 6 C|A|, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî X ⊂ A,óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó |A−X| 6 C ′|X|? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòâåò íà ýòîò âîïðîñ îòðè-öàòåëüíûé, ñì. ðàáîòó [7].

Íåðàâåíñòâî Ïëþííåêå è îöåíêè Ïëþííåêå�Ðóæè ïîçâîëÿò ïîëó÷èòü áîëåå ãèáêóþ âåðñèþ ëåì-ìû 1.1.7. ×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü å�å, íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå ïðèáëèçèòåëüíîé ïîäãðóïïû.

7

Îïðåäåëåíèå 1.1.14. Ïóñòü K > 1. Ìíîæåñòâî H ⊂ Z íàçûâàåòñÿ K-ïðèáëèçèòåëüíîé ïîäãðóï-ïîé, åñëè îíî ñèììåòðè÷íî (òî åñòü, H = −H) è ìíîæåñòâî H + H ìîæåò áûòü íàêðûòî íå áîëåå÷åì [K] ñäâèãàìè ìíîæåñòâà H.

Çàìå÷àíèå 1.1.15. Â ñëó÷àå K = 1 ìû ïîëó÷èëè îïðåäåëåíèå ïîäãðóïïû. Îòìåòèì, ÷òî åñ-ëè H � êëàññ ñìåæíîñòè, òî ìíîæåñòâî H −H ÿâëÿåòñÿ 2-ïðèáëèçèòåëüíîé ïîäãðóïïîé.

Ëåììà 1.1.16. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèå ýêâèâàëåíòíû.

1. σ[A] 6 KC1 .

2. δ[A] 6 KC2 .

3. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî B, òàêîå ÷òî d(A,B) 6 C3 logK.

4. Äëÿ âñåõ ïàð (m,n) ∈ Z2 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C4, òàêàÿ ÷òî |mA−nA| 6 KC4(|m|+|n|)|A|.

5. Ñóùåñòâóåò KC5-ïðèáëèçèòåëüíàÿ ïîäãðóïïà H, òàêàÿ ÷òî A ⊂ x + H äëÿ íåêîòîðîãîýëåìåíòà x è |H| 6 KC5 |A|.

Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê: åñëè ïðåäïîëîæèòü âûïîëíåíèå óòâåðæäåíèÿ ïóíê-òà i ñ êîíñòàíòîé Ci, òî óòâåðæäåíèå ïóíêòà j âûïîëíåíî ñ êîíñòàíòîé Cj , êîòîðàÿ çàâèñèò ëèøüîò Ci (íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü Cj = 239Ci).

Ýêâèâàëåíòíîñòü ïåðâûõ ÷åòûð�åõ ïóíêòîâ åñòü ïðîñòîå ñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà èíåðàâåíñòâà Ïëþííåêå. ×òîáû ðàáîòàòü ñ ïÿòûì óòâåðæäåíèåì, íàì ïîíàäîáèòñÿ ëåììà Ðóæè îïîêðûòèè.

Îïðåäåëåíèå 1.1.17. Ìíîæåñòâà A è B íàçîâ�åì àääèòèâíî íåçàâèñèìûìè, åñëè |A+B| = |A||B|.

Èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâà A è B íåçàâèñèìû, åñëè óðàâíåíèå

a1 + b1 = a2 + b2, a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B,

èìååò ëèøü òðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ a1 = a2 è b1 = b2, ñì. íåðàâåíñòâî (1.1.1). Ïîíÿòèå àääèòèâíîéíåçàâèñèìîñòè ðîäñòâåííî ïîíÿòèþ íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ â òåîðèè ãðàôîâ.

Ëåììà 1.1.18 (Ëåììà Ðóæè î ïîêðûòèè). Äëÿ âñÿêèõ êîíå÷íûõ íåïóñòûõ ìíîæåñòâ A è Bñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî X ⊂ B, àääèòèâíî íåçàâèñèìîå ñ ìíîæåñòâîì A, òàêîå ÷òî B ⊂ A −A+X.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X � íàèáîëüøåå ïîäìíîæåñòâî B, íåçàâèñèìîå ñ ìíîæåñòâîì A. Ïîêàæåì,÷òî B ⊂ A− A+X. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü b ∈ B íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A− A+X,èíûìè ñëîâàìè, óðàâíåíèå

b = a1 − a2 + x, a1, a2 ∈ A, x ∈ X,

íå èìååò ðåøåíèé. Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî óðàâíåíèå b + a2 = a1 + x íå èìååò ðåøåíèé, è èç ýòîãîñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâîX ′ = X∪{b} íåçàâèñèìî ñ ìíîæåñòâîì A, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòèìíîæåñòâà X.

Öåííîñòü ëåììû Ðóæè â òîì, ÷òî åñëè âåëè÷èíà |A+B||A| íåâåëèêà, òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà X

òîæå. Åñëè |A+B| 6 C|A|, òî

|X| = |A+X||A|

6|A+B||A|

6 C.

Ñëåäñòâèå 1.1.19. Ïóñòü A è B � êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, òàêèå ÷òî |A + B| 6 C|A|. Ìíîæå-ñòâî B ìîæíî ïîêðûòü íå áîëåå ÷åì C ñäâèãàìè ìíîæåñòâà A−A.

8

Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî A−A ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê �ñãëàæèâàíèå� ìíîæåñòâà A. Â íåêî-òîðîì ñìûñëå, âû÷èòàíèå ìíîæåñòâà èç ñàìîãî ñåáÿ �çàìàçûâàåò â í�åì äûðû�. Èëëþñòðàöèåé ýòîãîïðèíöèïà ñëóæèò õîðîøî èçâåñòíûé ôàêò òåîðèè ìåðû: åñëè ëåáåãîâà ìåðà èçìåðèìîãî ìíîæå-ñòâà A íà ïðÿìîé ïîëîæèòåëüíà, òî ìíîæåñòâî A−A ñîäåðæèò îòðåçîê.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.1.16. Äîêàçàòåëüñòâà èìïëèêàöèé 4 → 3, 3 → 2 è 2 → 1 ïîëíîñòüþïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ èìïëèêàöèé ëåììû 1.1.7. Èìïëèêàöèÿ 1 → 4 ëåãêîâûâîäèòñÿ èç ñëåäñòâèÿ 1.1.10.

Äîêàæåì 5→ 1:|A+A| 6 |H +H| 6 KC5 |H| 6 K2C5 |A|

ïî îïðåäåëåíèþ KC5 -ïðèáëèçèòåëüíîé ïîäãðóïïû.Îñòàëîñü äîêàçàòü èìïëèêàöèþ 1 → 5. Ïîëîæèì H = A − A. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî

ñèììåòðè÷íî è ñîäåðæèò ñäâèã ìíîæåñòâà A. Êðîìå òîãî, èç ýêâèâàëåíòíîñòè ïåðâîãî è âòîðîãîïóíêòîâ íàñòîÿùåé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî |H| 6 KC2 |A|, çäåñü ìîæíî âûáðàòü C2 = 2C1. Îñòàëîñüïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî H + H = 2A − 2A ìîæíî ïîêðûòü íå áîëåå ÷åì KC5 ñäâèãàìè ìíîæå-ñòâà H = A − A. Ïðèìåíèì ñëåäñòâèå 1.1.19, ïîäñòàâèâ â íåãî A := A, B := 2A − 2A. Ñëåäñòâèåóòâåðæäàåò, ÷òî B = H +H ìîæíî ïîêðûòü C ñäâèãàìè ìíîæåñòâà A−A = H, ãäå C = |A+2A−2A|

|A| .Êîíñòàíòó C íåòðóäíî îöåíèòü, ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì 1.1.10:

C =|3A− 2A||A|

6 K5C1 .

Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî H = A−A åñòü K5C1-ïðèáëèçèòåëüíàÿ ïîäãðóïïà.17.9.2018

1.2 Îáçîð äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôðåéìàíà

Íàïîìíèì ÷èòàòåëþ êëàññè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Ôðåéìàíà.

Òåîðåìà 1.2.1 (Òåîðåìà Ôðåéìàíà, 59�64). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà C > 1 ñóùåñòâóþò êîíñòàí-òû d(C) è s(C), îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. Äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà A ⊂ Z, òàêîãî÷òî σ[A] 6 C, ñóùåñòâóåò îáúåìëþùàÿ îáîáù�åííàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ P ðàçìåðíîñòèíå áîëåå d(C) è ìîùíîñòè íå áîëåå s(C)|A|.

Ñ êëàññè÷åñêèì äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû Ôðåéìàíà ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â åãî êíèãå [3].Â íà÷àëå 90-õ Ðóæà ïðåäëîæèë äîêàçàòåëüñòâî, äàþùåå îöåíêè d(C) . C4 è s(C) . ee

C

(ñèì-âîë . îçíà÷àåò, ÷òî íåðàâåíñòâî âåðíî ñ òî÷íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíòû). Â 2002ãîäó ×àíã [1] óëó÷øèëà åãî ìåòîä, ÷òî ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü îöåíêè d(C) 6 220C(logC)2 è s(C) 6e220C(logC)2

. Ïîñëåäíåå äîêàçàòåëüñòâî ìû è èçëîæèì. Îòìåòèì, ÷òî, ïî-âèäèìîìó, ýòè îöåíêè íåîïòèìàëüíû ïî ïîðÿäêó. Êðîìå òîãî, àíàëîã òåîðåìû Ôðåéìàíà âåðåí è äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîéîáúåìëþùåé ãðóïïû. À èìåííî, Ãðèí è Ðóæà â 2007 ãîäó äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà 1.2.2 (Òåîðåìà Ãðèíà�Ðóæè, 2007). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà C > 1 ñóùåñòâóþò êîíñòàí-òû d(C) è s(C), îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìèì ñâîéñòâàìè. Ïóñòü A ⊂ Z � êîíå÷íîå ïîäìíîæå-ñòâî ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû, òàêîå ÷òî σ[A] 6 C. Òîãäà ñóùåñòâóåò îáîáù�åííàÿ àðèôìåòè÷å-ñêàÿ ïðîãðåññèÿ P ðàçìåðíîñòè íå áîëåå d(C) è êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà H, òàêèå ÷òî A ⊂ P + Hè |P +H| 6 s(C)|A|.

Óïðàæíåíèå 1.2.1. Ïóñòü A è B � êîíå÷íûå íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà Z, êàæäîå èç íèõ ñî-äåðæèò õîòÿ áû äâà ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â íåðàâåíñòâå óïðàæíåíèÿ 1.1.1 äîñòèãàåòñÿðàâåíñòâî, òî A è B ñóòü îòðåçêè àðèôìåòè÷åñêèõ ïðîãðåññèé ñ îäèíàêîâûì øàãîì.

9

Çàäà÷à 1.2.2. Ïóñòü A ⊂ Z òàêîâî, ÷òî |2A| 6 3|A| − 3. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî A ñîäåð-æèòñÿ â îòðåçêå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè äëèíû íå áîëåå |2A| − |A|+ 1.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ôðåéìàíà â ôîðìå ×àíã ðàçáèâàåòñÿ íà òðè ÷àñòè: ïåðâàÿ îñíîâû-âàåòñÿ íà àíàëèçå Ôóðüå, âòîðàÿ íà êîìáèíàòîðíîé ãåîìåòðèè ðåø�åòîê è âûïóêëûõ òåë, òðåòüÿêîìáèíàòîðíà. Êðàòêî îïèøåì ñîäåðæàíèå ýòèõ ÷àñòåé.

Îïðåäåëåíèå 1.2.3. Îáîáù�åííàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ P íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè âñåñóììû

∑j ajgj ðàçëè÷íû (ñì. îïðåäåëåíèå 1.0.1).

Ïåðâàÿ è âòîðàÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôðåéìàíà ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëè ïîäìíîæå-ñòâî A öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ZN (÷èñëî N áóäåì ñ÷èòàòü ïðîñòûì) èìååò ìàëîå óäâîåíèå, òî ìíî-æåñòâî 2A − 2A ñîäåðæèò áîëüøóþ ïðàâèëüíóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ P . Òàêèì îáðàçîì,çàäà÷àìè òðåòüåé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà ÿâëÿþòñÿ: à) ïåðåõîä îò ãðóïïû ZN ê ãðóïïå Z, á) ïîêðûòèåìíîæåñòâà A íåáîëüøèì ÷èñëîì ñäâèãîâ ïðîãðåññèè P . Ïóíêò à) áóäåò íåñëîæíî ïîëó÷èòü, ââåäÿïîíÿòèå ãîìîìîðôèçìà Ôðåéìàíà. Ïóíêò á) íàïîìèíàåò ñëåäñòâèå 1.1.19, è ïî ñóòè, áóäåò åãî îáîá-ùåíèåì (ëåììó Ðóæè î ïîêðûòèè ìû çàìåíèì ëåììîé ×àíã î ïîêðûòèè, êîòîðàÿ ïðåäíàçíà÷åíàäëÿ ðàáîòû ñ àðèôìåòè÷åñêèìè ïðîãðåññèÿìè).

Ïîèñê ïðàâèëüíîé ïðîãðåññèè P â ìíîæåñòâå 2A − 2A ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè: ñíà÷àëà ìûíàéä�åì â ìíîæåñòâå 2A− 2A áîëüøóþ îêðåñòíîñòü Áîðà, à ïîòîì óæå â íåé � ïðàâèëüíóþ àðèô-ìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ.

Îïðåäåëåíèå 1.2.4. Ïóñòü R ⊂ ZN è δ > 0. Îïðåäåëèì îêðåñòíîñòü Áîðà B(R, δ) ìíîæåñòâà R ïîôîðìóëå

B(R, δ) ={x ∈ ZN

∣∣∣ ∀ξ ∈ R dist(xξN,Z)< δ}.

Êàê îáû÷íî, âû÷åò xξ ìû èíòåðïðåòèðóåì êàê öåëîå ÷èñëî îòðåçêà [0, . . . , N − 1]. Íàïîìíèì,÷òî ÷èñëî N ìû ñ÷èòàåì ïðîñòûì.

Ïðî îêðåñòíîñòü Áîðà ìîæíî äóìàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè ìíîæåñòâî Rñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, à ÷èñëî δ äîñòàòî÷íî ìàëî, òî ìíîæåñòâî R íàïîìèíàåò àðèôìåòè÷åñêóþïðîãðåññèþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îêðåñòíîñòü Áîðà ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê �ïîëÿðó� ìíîæå-ñòâà R.

Ïåðâàÿ ÷àñòü ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé òåîðåìû.

Òåîðåìà 1.2.5. Ïóñòü |A| = αN è σ[A] 6 C. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî K ⊂ ZN è ÷èñëî δ > 0,òàêèå ÷òî |K| 6 8C| logα|, δ > 1

160C| logα| è B(K, δ) ⊂ 2A− 2A.

Âòîðàÿ æå ÷àñòü ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé òåîðåìû.

Òåîðåìà 1.2.6. Ïóñòü R ⊂ ZN è δ ∈ (0, 12 ). Òîãäà ìíîæåñòâî B(R, δ) ñîäåðæèò ïðàâèëüíóþ

àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ðàçìåðíîñòè R è ìîùíîñòè ( δ|R| )|R|N .

1.3 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.5: àíàëèç Ôóðüå

Îïðåäåëåíèå 1.3.1. Ïóñòü A è B � êîíå÷íûå íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà ãðóïïû Z. Îïðåäåëèì èõàääèòèâíóþ ýíåðãèþ E(A,B) ñîãëàñíî ôîðìóëå

E(A,B) =

∣∣∣∣{(a1, a2, b1, b2) ∈ A×A×B ×B∣∣∣ a1 + b1 = a2 + b2

}∣∣∣∣. (1.3.1)

Óïðàæíåíèå 1.3.1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî

E(A,B)2 6 E(A,A)E(B,B).

10

Àääèòèâíàÿ ýíåðãèÿ äâóõ ìíîæåñòâ äîñòèãàåò íàèìåíüøåãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ |A||B|, åñëèìíîæåñòâà A è B àääèòèâíî íåçàâèñèìû è òåì áîëüøå, ÷åì �ëó÷øå ñêëàäûâàþòñÿ� ìíîæåñòâà Aè B.

Ëåììà 1.3.2. Àääèòèâíàÿ ýíåðãèÿ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

E(A,B) >|A|2|B|2

|A+B|.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ôîðìóëó (1.3.1) ìîæíî çàïèñàòü ÷óòü èíà÷å:

E(A,B) =∑

x∈A+B

∣∣∣∣{(a, b) ∈ A×B∣∣∣ a+ b = x

}∣∣∣∣2. (1.3.2)

Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì Êîøè�Áóíÿêîâñêîãî�Øâàðöà:

E(A,B)|A+B| =( ∑x∈A+B

∣∣∣∣{(a, b) ∈ A×B∣∣∣ a+ b = x

}∣∣∣∣2)( ∑x∈A+B

12

)>

( ∑x∈A+B

∣∣∣∣{(a, b) ∈ A×B∣∣∣ a+ b = x

}∣∣∣∣)2

= |A|2|B|2.

Ýâðèñòè÷åñêèé ïðèíöèï: ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ñ ìà-ëûì óäâîåíèåì õîðîøî ñêîíöåíòðèðîâàíî. Òî÷íîå âûðàæåíèå ýòîãî ïðèíöèïà, èñïîëüçóåìîå â äî-êàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ôðåéìàíà, ñîäåðæèòñÿ â ëåììå 1.3.3 íèæå. Ñåé÷àñ ìû ðàçáåð�åì ïðèìåð.Ïóñòü A � îòðåçîê àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:

A = {jν ⊂ ZN | j ∈ [a..b]}, ν ∈ ZN \ {0}.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A ñðàâíèìà ñ ÷èñëîì N (ñêàæåì, |A| = αN , ãäå ÷èñ-ëî α < 1

2 , íî íàïðèìåð, α > N−ε). Êàê ìû çíàåì, îòðåçîê àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè � ìíîæå-ñòâî ñ î÷åíü ìàëûì óäâîåíèåì. Âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ñëîæèâ ñóììóãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:

χA(ξ) =∑j∈[a,b]

e2πi jνξN = e2πi aνξN1− e2πi

(b−a+1)νξN

1− e 2πiνξN

.

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî B ={ξ∣∣∣ dist

(νξN ,Z

)6 1

2|A|

}è îòìåòèì, ÷òî òàê êàê b−a+1 = |A|, ïðè ξ ∈ B

âåðíû íåðàâåíñòâà ∣∣1− e2πi(b−a+1)νξ

N

∣∣ > |A|νξ2N

;∣∣1− e2πi νξN∣∣ 6 2νξ

N.

Ñòàëî áûòü,

|χA(ξ)| > |A|4, ξ ∈ B.

Îòìåòèì, ÷òî â ìíîæåñòâå B ëåæèò ïðèìåðíî N2|A| òî÷åê (ýòî ìîæíî ïîíÿòü íàãëÿäíî, èçîáðà-

çèâ ZN êàê ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ êîðíåé èç åäèíèöû N -îé ñòåïåíè � òîãäà ìíîæåñòâî B áóäåò

11

îáúåäèíåíèåì �îòðåçêîâ îêðóæíîñòè�, â êàæäîì èç êîòîðûõ ëåæèò ïðèìåðíî N2ν|A| òî÷åê, à âñåãî

îòðåçêîâ ν). Îòìåòèì, ÷òî ïî òåîðåìå Ïëàíøåðåëÿ,∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|2 = N |A|.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìû ïîêàçàëè, ÷òî∑ξ∈B

|χA(ξ)|2 &( |A|

4

)2 N

2|A|>N |A|

32.

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ χA íàáèðàåò ñóùåñòâåííóþ ÷àñòü ñâîåé L2-íîðìû íà ìíîæåñòâå B. ×òîìîæíî ñêàçàòü î ìíîæåñòâå B? Åñëè íàøà ïðîãðåññèÿ äîñòàòî÷íî äëèííàÿ (÷òî ìû ïðåäïîëîæè-ëè), òî ìíîæåñòâî B èìååò íè÷òîæíóþ ìåðó. Òî åñòü, ôóíêöèÿ χA êîíöåíòðèðóåòñÿ íà ìíîæåñòâåìàëîé ìåðû: âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â B ðàâíà ïðèìåðíî 1

2|A| = 12αN . Êðîìå òîãî, ìû âèäèì, ÷òî ìíî-

æåñòâî B õîðîøî ñòðóêòóðèðîâàíî, îíî íàïîìèíàåò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Òåïåðü ïåðåéä�åìê ðàññóæäåíèÿì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà ñ ìàëûì óäâîåíèåì.

Óäèâèòåëüíî, íî àääèòèâíóþ ýíåðãèþ ìîæíî ëåãêî âûðàçèòü â òåðìèíàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüåõàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîæåñòâ A è B.

Ëåììà 1.3.3. Ïóñòü A è B � ïîäìíîæåñòâà ãðóïïû ZN . Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

E(A,B) =1

N

∑ξ∈ZN

∣∣χA(ξ)∣∣2∣∣χB(ξ)

∣∣2.Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì ðàâåíñòâî∣∣∣{(a, b) ∈ A×B

∣∣∣ a+ b = x}∣∣∣ = χA ∗ χB (x),

êîòîðîå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ñâ�åðòêè. Ïîäñòàâèì åãî â ôîðìóëó (1.3.2):

E(A,B) =∑

x∈A+B

∣∣∣∣χA ∗ χB (x)

∣∣∣∣2 =∑x∈ZN

∣∣∣∣χA ∗ χB (x)

∣∣∣∣2.Ñîãëàñíî òåîðåìå Ïëàíøåðåëÿ è òîìó, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò ñâ�åðòêó â óìíîæåíèå,ïîëó÷àåì òðåáóåìîå:∑

x∈ZN

∣∣∣∣χA ∗ χB (x)

∣∣∣∣2 =1

N

∑ξ∈ZN

∣∣∣∣(χA ∗ χB) (ξ)

∣∣∣∣2 =1

N

∑ξ∈ZN

∣∣∣χA(ξ)∣∣∣2∣∣∣χB(ξ)

∣∣∣2.

Çàìå÷àíèå 1.3.4. Ýòà ëåììà âåðíà â áîëüøåé îáùíîñòè, îáúåìëþùàÿ ãðóïïà ìîæåò áûòü ïðî-èçâîëüíîé êîíå÷íîé.

Ñîâìåùàÿ ëåììû 1.3.2 è 1.3.3, âèäèì, ÷òî ìíîæåñòâà ñ ìàëûì óäâîåíèåì èìåþò áîëüøóþ L4-íîðìó ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, à èìåííî,∑

ξ∈ZN

|χA(ξ)|4 >N |A|3

σ[A]. (1.3.3)

Ñëåäóþùåå óïðàæíåíèå íå èìååò ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê àääèòèâíîé êîìáèíàòîðèêå, íî îíî î÷åíüõîðîøî ïîêàçûâàåò ñâÿçü ìíîæåñòâ Áîðà ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå.

12

Óïðàæíåíèå 1.3.2. Ïóñòü f � ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå Rd. Ïóñòü ìíîæåñòâî Ròàêîâî, ÷òî ∫

R

f > 0.9‖f‖L1(Rd).

Òîãäà<f(ξ) > 0.5‖f‖L1

, ξ ∈ 0.1R∗.

Ñèìâîëîì R∗ îáîçíà÷åíà ïîëÿðà ìíîæåñòâà R.

Âåðí�åìñÿ òåïåðü ê êîíå÷íûì ãðóïïàì.

Òåîðåìà 1.3.5 (Òåîðåìà Áîãîëþáîâà�Ðóæè). Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ ZN óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-ñòâó σ[A] 6 C. Òîãäà B(R, 1

20 ) ⊂ 2A− 2A, ãäå

R ={ξ ∈ ZN

∣∣∣ |χA(ξ)| > |A|2√C

}\ {0}.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êà x ïðèíåäëàæèò ìíîæåñòâó 2A − 2A, åñëè χA ∗ χA ∗ χ−A ∗χ−A(x) > 0. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî(

χA ∗ χA ∗ χ−A ∗ χ−A)ˆ = χ2

A¯χ2A = |χA|4.

Ïîýòîìó, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåíñòâî∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4e−2πi ξxN > 0 (1.3.4)

äëÿ âñÿêîé òî÷êè x ∈ B(R, 120 ). (Õîòÿ â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà è íàïèñàíî, âîîáùå ãîâîðÿ, êîì-

ïëåêñíîå ÷èñëî, îíî, íà ñàìîì äåëå, âåùåñòâåííî.) Ïåðåïèøåì åãî ëåâóþ ÷àñòü êàê∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4 −∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4(1− e−2πi ξxN )

è âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ íåðàâåíñòâàìè∣∣∣1− e−2πi ξxN

∣∣∣ 6 1

2, ξ ∈ R ∪ {0}, x ∈ B

(R,

1

20

);∣∣∣1− e−2πi ξxN

∣∣∣ 6 2, âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.

Ïîëó÷èì îöåíêó∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4 −∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4(1− e−2πi ξxN ) >1

2

∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4 − 2∑ξ/∈Rξ 6=0

|χA(ξ)|4, x ∈ B(R,

1

20

)×òîáû îöåíèòü ïåðâóþ ñóììó ñíèçó, âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (1.3.3), êîòîðîå â íàøåì ñëó÷àåäàñò

1

2

∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|4 >N |A|3

2C.

Îöåíèòü âòîðóþ ñóììó ñâåðõó ïîìîæåò îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà R è òåîðåìà Ïëàíøåðåëÿ:

2∑ξ/∈Rξ 6=0

|χA(ξ)|4 6 2 maxξ/∈Rξ 6=0

|χA(ξ)|2∑ξ∈ZN

|χA(ξ)|2 < N |A|3

2C.

Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (1.3.4) äîêàçàíî, à ñ íèì è òåîðåìà.

13

24.9.18Îòìåòèì òðèâèàëüíóþ îöåíêó ìîùíîñòè ìíîæåñòâà R, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç íåðàâåíñòâà ×å-

áûøåâà è òåîðåìû Ïëàíøåðåëÿ:

|R| =∣∣∣{|χA| > |A|

2√C

}∣∣∣ 6 4CN

|A|.

×òîáû äîêàçàòü òåîðåìó 1.2.5, íàì ïîíàäîáèòñÿ ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü ìíîæåñòâî R, ïðè ýòîì,ðàçóìååòñÿ, óìåíüøèâ δ = 1

20 .

Îïðåäåëåíèå 1.3.6. Ìíîæåñòâî Λ ⊂ ZN íàçûâàåòñÿ äèññîöèàòèâíûì, åñëè óðàâíåíèå∑λi∈Λ

±λi = 0, Λ ⊂ Λ,

äîïóñêàåò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå Λ = ∅.

Òåîðåìà 1.3.7. Ïóñòü A ⊂ ZN � ïîäìíîæåñòâî è |A| = αN . Ëþáîå äèññîöèàòèâíîå ïîäìíîæå-ñòâî ìíîæåñòâà

R = {ξ ∈ ZN | |χA(ξ)| > ρ|A|}

èìååò ìîùíîñòü íå áîëåå 2 | logα|ρ .

Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.3.7 ïðåäïîøë�åì ëåììó î òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìàõ, ÷àñòîòûêîòîðûõ ïðèíàäëåæàò äèññîöèàòèâíîìó ìíîæåñòâó.

Ëåììà 1.3.8. Ïóñòü Λ � äèññîöèàòèâíîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f(x) =∑λi∈Λ

ci cos(2πxλi

N+ βi

), ci ∈ R. (1.3.5)

Ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

1

N

∑x∈ZN

etf(x) 6 exp( t2N

∑x∈ZN

f2(x)), t ∈ R.

Ïåðåä òåì êàê äîêàçûâàòü ëåììó, ïîñòàðàåìñÿ ïîäîáðàòü ðîäñòâåííîå åé êëàññè÷åñêîå óòâåð-æäåíèå. Â ãàðìîíè÷åñêîì àíàëèçå èçâåñòâåí ïðèíöèï, ÷òî ôóíêöèè ζi âèäà

ζi(x) = cos(2πλix), x ∈ [0, 1),

âåäóò ñåáÿ êàê íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü λi ðàñò�åò äîñòàòî÷íîáûñòðî (õîòÿ áû êàê 2i). Äèññîöèàòèâíîñòü ìíîæåñòâà Λ ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ïîäîáíûé ïðèíöèïäëÿ ôóíêöèé

ζi(x) = cos(2πxλi

N+ βi

), λi ∈ Λ.

Ïðåâàðòèì ìíîæåñòâî ZN â âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, ñíàáäèâ ðàâíîìåðíîé âåðîÿòíîñòíîé ìå-ðîé. Î ôóíêöèÿõ ζi áóäåì äóìàòü êàê î ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íîëü íå ìîæåòëåæàòü â äèññîöèàòèâíîì ìíîæåñòâå. Ïîýòîìó,

Eζi =1

N

∑x∈ZN

cos(2πxλi

N+ βi

)= 0.

14

Åñëè áû âåëè÷èíû ζi è ζj áûëè íåçàâèñèìûìè â ñòðîãîì ñìûñëå ñëîâà, òî îáÿçàòåëüíî âûïîëíÿëîñüáû ðàâåíñòâî Eζiζj = 0. Òàê ëè ýòî â íàøåì ñëó÷àå? Ïðîâåðèì:

1

N

∑x∈ZN

cos(2πxλi

N+ βi

)cos(2πxλj

N+ βj

)=

1

2N

∑x∈ZN

(cos(2πx(λi + λj)

N+ βi + βj

)+ cos

(2πx(λi − λj)N

+ βi − βj))

= 0,

òàê êàê λi + λj 6= 0 è λi − λj 6= 0 ïî äèññîöèàòèâíîñòè ìíîæåñòâà Λ. Àíàëîãè÷íî, äëÿ âñÿêîãîìíîæåñòâà Λ ⊂ Λ,

E∏λj∈Λ

ζj = 0. (1.3.6)

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåëè÷èíû ζj , äî íåêîòîðîé ñòåïåíè íåçàâèñèìû. Ïî êðàéíåéìåðå, îíè îðòîãîíàëüíû êàê ýëåìåíòû L2. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ ôóíêöèè f , çàäàííîé ôîðìóëîé (1.3.5),èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:

1

N

∑x∈ZN

f2(x) = E(∑

j

cjζj)2

=∑j

c2jEζ2j +

∑i 6=j

cicjEζjζi =∑j

c2jEζ2j =

1

2

∑j

c2j , (1.3.7)

òàê êàê

Eζ2j =

1

N

∑x∈ZN

cos2(2πxλj

N+ βj

)=

1

2+

1

2N

∑x∈ZN

cos(4πxλj

N+ 2βj

)=

1

2.

Íàïîìíèì ÷èòàòåëþ, ÷òî ÷èñëî N ïðîñòîå (è íå 2). Åñëè ôóíêöèþ f =∑cjζj èíòåðïðåòèðîâàòü

êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, òî ëåììà 1.3.8 óòâåðæäàåò íåðàâåíñòâî

Eetζ 6 e2t2Eζ2

.

Ó ýòîãî íåðàâåíñòâà åñòü ÷èñòî âåðîÿòíîñòíûé àíàëîã.

Óïðàæíåíèå 1.3.3. Ïóñòü ξ1, ξ2, . . . , ξn � íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íóëåâûìè ñðåäíè-ìè, òàêèå ÷òî |ξj | 6 cj. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî Õîôôäèíãà:

P(ξ > t

)6 e− n2t

2∑c2j , ξ =

n∑j=1

ξj .

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1.3.8. Ïîäìåòèì ýëåìåíòàðíîå íåðàâåíñòâî eτy 6 ch τ+y sh τ , |y| 6 1. ×òî-áû åãî äîêàçàòü, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ñëåâà ñòîèò âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà y, ñïðàâàëèíåéíàÿ, à íà êîíöàõ îòðåçêà |y| 6 1 äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî. Ïîäñòàâèì â ýòî ýëåìåíòàðíîå íåðà-âåíñòâî τ = cit è y = cos( 2πλix

N + βi) ïðè êàæäîì λi ∈ Λ, ïåðåìíîæèì ïî âñåì λi ∈ Λ è óñðåäíèì ïîïàðàìåòðó x:

1

N

∑x∈ZN

etf(x) =1

N

∑x∈ZN

∏λi∈Λ

ecit cos(2πλix

N +βi) 61

N

∑x∈ZN

∏λi∈Λ

(ch(cit) + sh(cit) cos

(2πλix

N+ βi

)).

Òåïåðü ìûñëåííî ðàñêðîåì ñêîáêè â ïîñëåäíåì ïðîèçâåäåíèè è ïåðåñòàâèì çíàêè ñóììû. Ïîëó÷èòñÿ

1

N

∑x∈ZN

∏λi∈Λ


(2πλix

N+ βi

))=∑Λ⊂Λ

KΛE∏λi∈Λ

cos(2πλix

N+ βi

),

15

ãäå KΛ =∏λi∈Λ sh(cit)

∏λi /∈Λ ch(cit). Ðàâåíñòâî (1.3.6) ïîäñêàçûâàåò íàì, ÷òî âî âíåøíåé ñóììå (ïî

ïàðàìåòðó Λ) íå ðàâíî íóëþ ëèøü ñëàãàåìîå c Λ = ∅, òî åñòü,

1

N

∑x∈ZN

∏λi∈Λ


(2πλix

N+ βi

))=∏λi∈Λ

ch(cit).

Ïîäìåòèì åù�å îäíî ýëåìåíòàðíîå íåðàâåíñòâî:

chu =

∞∑k=0

u2k

(2k)!6∞∑k=0

u2k

2kk!= e

u2

2 .

Ïðèìåíèâ åãî ê êàæäîìó ìíîæèòåëþ è âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì (1.3.7), çàâåðøàåì äîêàçà-òåëüñòâî ∏

λi∈Λ

ch(cit) 6 e

t2

2

∑λi∈Λ

c2i= e

t2

N

∑x∈ZN

f2(x)

.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.3.7. Ðàññìîòðèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì

f(x) = <(∑r∈Λ

χA(r)e−2πi rxN

)è èçó÷èì ñâîéñòâà. Âî-ïåðâûõ,

f(x) =∑r∈Λ

|χA(r)| cos(− 2πrx

N+ arg

(χA(r)

)),

òî åñòü, ìíîãî÷ëåí f èìååò âèä (1.3.5) ñ ci = |χA(ri)|. Âî-âòîðûõ,

f(ξ) =

{N2 χA(ξ), ξ ∈ Λ ∪ (−Λ),

0, èíà÷å.(1.3.8)

Äåéñòâèòåëüíî, ïî ôîðìóëå <(ab) = 12 (ab+ ab),

f(x) = <(∑r∈Λ

χA(r)e−2πi rxN

)=∑r∈Λ

(1

2χA(r)e2πi rxN +

1

2¯χA(r)e−2πi rxN

)=∑r∈Λ

(1

2χA(r)e2πi rxN +

1

2χA(−r)e−2πi rxN

).

Ôîðìóëó (1.3.8) ìîæíî çàïèñàòü ÷óòü èíà÷å:

f =N

2χAχΛ∪(−Λ),

òî åñòü, ôóíêöèÿ f åñòü îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ â L2 ôóíêöèè χA íà ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé,íîñèòåëü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå êîòîðûõ ëåæèò â ìíîæåñòâå Λ ∪ (−Λ). Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî∑

x∈ZN

f(x)χA(x) =2

N

∑x∈ZN

f2(x). (1.3.9)

Ýòó ôîðìóëó ìîæíî äîêàçàòü, ïðîñòî ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (1.3.8) è òåîðåìîé Ïëàíøåðåëÿ.

16

Ïðèìåíèì òåïåðü ëåììó 1.3.8 ê íàøåìó ìíîãî÷ëåíó f :

exp( t2N

∑x∈ZN

f2(x))>

1

N

∑x∈ZN

etf(x) >1

N

∑x∈A

etf(x)AM-GM

>

|A|N

exp( 1

|A|∑x∈A

tf(x))

(1.3.9)=|A|N

exp( 2t

N |A|∑x∈ZN

f2(x)).

Òàêèì îáðàçîì,

α =|A|N

6 exp

(( t2N− 2t

N |A|

) ∑x∈ZN

f2(x)

).

Âûáèðàÿ t = 1|A| , ïîëó÷àåì îöåíêó ∑

x∈ZN

f2(x) 6 N |A|2| logα|.

Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî òåîðåìå Ïëàíøåðåëÿ, ôîðìóëå (1.3.8) è òîìó, ÷òî Λ ëåæèò â ìíîæåñòâåíàäóðîâíÿ χA (à òîãäà è −Λ òîæå, ò.ê. χA(−ξ) = ¯χA(ξ)),∑

x∈ZN

f2(x) =1

N

N2

4

∑r∈Λ

|χA|2 > |Λ|ρ2|A|2N

2.

Ñðàâíèâàÿ ïîñëåíèå äâà íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.1.10.2018

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.5. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 1.3.5, îïðåäåëèì ìíîæåñòâî R êàê âýòîé òåîðåìå. Ïîëîæèì ρ = 1

2√C

è K = Λ, ãäå Λ � íàèáîëüøåå ïî âêëþ÷åíèþ äèññîöèàòèâíîåïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà R. Òåîðåìà 1.3.7 äà�åò îöåíêó

|K| 6 2| logα|ρ2

= 8C| logα|. (1.3.10)

Îñòàëîñü ëèøü ïðîâåðèòü âëîæåíèå B(K, 1160C| logα| ) ⊂ B(R, 1

20 ). Âûáåðåì ëþáîé ýëåìåíò ξ èç ìíî-

æåñòâà B(K, 1160C| logα| ):

∀λ ∈ Λ dist(ξλN,Z)6

1

160C| logα|. (1.3.11)

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò r ∈ R ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå∑λi∈Λ±λi (èíà÷å ìíîæåñòâî Λ �

íå ìàêñèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ). Ïîýòîìó äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà r ∈ R,

dist(rξN,Z)

= dist(ξ∑λi∈Λ±λi

N,Z)6 |Λ|max

λ∈Λdist

(ξλN,Z) (1.3.10),

(1.3.11)

61

20,

÷òî è îçíà÷àåò ξ ∈ B(R, 120 ).

1.4 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.6: ãåîìåòðèÿ ðåø�åòîê

Îïðåäåëåíèå 1.4.1. Ïóñòü v1, v2, . . . , vs � ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû â Rd. Ìíîæåñòâî Λ =s⊕j=1

Zvj íàçûâàåòñÿ ðåø�åòêîé.

17

Ëåììà 1.4.2. Ïóñòü Λ =d⊕j=1

Zvj � ðåø�åòêà â Rd, à Br(x) � åâêëèäîâ øàð ðàäèóñà r ñ öåíòðîì

â òî÷êå x. Èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

|Λ ∩BR(x)| = volBr(x)

|det[v1, v2, . . . , vd]|+ o(Rd), R→∞.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà Rd ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëåíàêàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ vj . Ïîýòîìó ïàðàëëåëåïèïåäû pm, m ∈ Zd,

pm ={x ∈ Rd

∣∣∣x =

d∑j=1

xjvj , xj ∈ [mj ,mj + 1)},

çàìîùàþò Rd. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî vol pm = det[v1, v2, . . . , vd] è diam pm 6∑‖vj‖ = V (îáîçíà-

÷èì ïîñëåäíþþ ñóììó ñèìâîëîì V ). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ðàçëè÷íûå òî÷êè ìíîæåñòâà Λ ëåæàò âðàçëè÷íûõ ïàðàëëåëåïèïåäàõ pm. Ðàññìîòðèì ôèãóðó FR, îáðàçîâàííóþ ïàðàëëåëåïèïåäàìè pm,íàêðûâàþùèìè òî÷êè ìíîæåñòâà Λ ∩BR(x). Ïîëó÷àåì:

|λ ∩BR(x)|det[v1, v2, . . . , vd] = vol(Fr)FR⊂BR+V

6 vol(BR+V (x)) = vol(BR(x)) + o(Rd).

Îöåíêà â îáðàòíóþ ñòîðîíó ïîëó÷àåòñÿ èç âëîæåíèÿ BR−V (x) ⊂ FR.

Ñëåäñòâèå 1.4.3. Âåëè÷èíà |Λ| = det[v1, v2, . . . , vd] íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà {vj}, à ëèøü îòñàìîãî ìíîæåñòâà Λ. Îíà íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì ðåø�åòêè.

Ñëåäñòâèå 1.4.4. Ëþáàÿ äèñêðåòíàÿ ïîäãðóïïà Rd � ðåø�åòêà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Λ � äèñêðåòíàÿ ïîäãðóïïà Rd. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîå�å ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà � âñ�å ïðîñòðàíñòâî Rd. Ïóñòü ÷èñëî r ñòîëü ìàëî, ÷òî Br(0) ∩ Λ = {0}.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

|Λ ∩BR(x)| 6 volBR+r(x)

volB r2(0)

,

òàê êàê øàðèêè B r2(x) è B r

2(y), x 6= y ∈ Λ, íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ñòàëî áûòü, ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ

êîíñòàíòà c, òàêàÿ ÷òî |Λ∩BR(x)| 6 cRd. Ïîñìîòðèì òåïåðü íà âñåâîçìîæíûå ëèíåéíî íåçàâèñèìûåñèñòåìû {vj}dj=1 â ãðóïïå Λ è ïóñòü µ� èíôèìóì ôóíêöèè det[v1, v2, . . . , vd] íà ìíîæåñòâå âñåõ òàêèõáàçèñîâ. Ðàññìîòðèì òåïåðü êàêóþ-íèáóäü êîíêðåòíóþ ñèñòåìó {vj}dj=1, íà êîòîðîé èíôèìóì ïî÷òèäîñòèãàåòñÿ:

det[v1, v2, . . . , vd] 6 1.1µ.

Äîêàæåì, ÷òî òîãäà Λ =⊕Zvj .

Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ýëåìåíò w =∑d

1 mjvj ∈ Λ, òàêîé ÷òî äëÿ íåêîòîðîãîèíäåêñà k êîýôôèöèåíò mk íåöåëûé. Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò w′ =

∑d1 m′jvj ∈ Λ

cm′k ∈ (0, 12 ]. Áóäåì èçìåíÿòü ýëåìåíò w è êîýôôèöèåíòûmk, ñîõðàíÿÿ èõ îáîçíà÷åíèÿ. Âû÷èòàÿ èç

ýëåìåíòà w êðàòíîå êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ vk, ìîæåì äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî mk ∈ [0, 1). Åñëè mk ∈ ( 12 , 1),

çàìåíèì ýëåìåíò w íà vk − w è ïîëó÷èì mk ∈ [0, 12 ] (à åñëè ýòî âëîæåíèå è òàê áûëî âåðíî,

îñòàâèì âñ�å êàê åñòü). Ïîñìîòðèì òåïåðü íà çíà÷åíèå ôóíêöèè, êîòîðóþ ìû ìèíèìèçèðîâàëè, íàáàçèñå v1, v2, . . . , vk−1, w, vk+1, . . . , vd (â áàçèñå {vj} ìû çàìåíèëè âåêòîð vk íà w):

det[v1, v2, . . . , vk−1, w, vk+1, . . . , vd] = mk det[v1, v2, . . . , vd] 61

2· 1.1µ < µ.

Ïðîòèâîðå÷èå.

18

Ñëåäñòâèå 1.4.5. Ïóñòü Λ � ðåø�åòêà â Rd, à Λ′ � å�å ïîäðåø�åòêà. Òîãäà èíäåêñ Λ′ â Λ êàê

ïîäãðóïïû ðàâåí |Λ′||Λ| .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü èíäåêñ Λ′ â Λ ðàâåí k. Âûáåðåì â Λ ýëåìåíòû w1, w2, . . . , wk � ïðåäñòàâèòå-ëåé ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ Λ/Λ′. Â òàêîì ñëó÷àå, ìíîæåñòâà wj+Λ′ íå ïåðåñåêàþòñÿ è ïîêðûâàþò Λ.Îñòà�åòñÿ ïîäìåòèòü ðàâåíñòâî

|Λ ∩BR(0)| =k∑j=1

∣∣(wj + Λ′) ∩BR(0)∣∣ =

k∑j=1

∣∣Λ′ ∩BR(−wj)∣∣

è âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé 1.4.2.

Ëåììà 1.4.6 (Ëåììà Áëèõôåëüäòà). Ïóñòü Λ � ðåø�åòêà â Rd, à K � èçìåðèìîå ìíîæåñòâî,òàêîå ÷òî volK > |Λ|. Ñóùåñòâóþò âåêòîðû a 6= b ∈ K, òàêèå ÷òî b− a ∈ Λ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæåì ñ÷èòàòü ìíîæåñòâî K îãðàíè÷åííûì. Ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå: ïóñòü äëÿ âñÿêèõ a 6= b ∈ Λ ìíîæåñòâà a + K è b + K íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ðàññìîòðèììíîæåñòâî ∪a∈Λ∩BR(0)(K + a). Ïî ëåììå 1.4.2,

vol(∪a∈Λ∩BR(0) (K + a)

)= volK|Λ ∩BR(0)| = volK

|Λ|vol(BR(0)) + o(Rd).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ∪a∈Λ∩BR(0)(K + a) ⊂ BR+diamK(0) è ïîýòîìó,

vol(∪a∈Λ∩BR(0) (K + a)

)6 vol(BR(0)) + o(Rd),

÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó |Λ| < volK.

Îïðåäåëåíèå 1.4.7. Ïóñòü Λ � ðåø�åòêà â Rd, à K � âûïóêëîå öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå òåëî.Îïðåäåëèì ÷èñëà λi ñîãëàñíî ôîðìóëå

λi = inf{λ ∈ R+

∣∣∣λK ∩ Λ ñîäåðæèò õîòÿ áû i ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ}.

Òåîðåìà 1.4.8 (Âòîðàÿ òåîðåìà Ìèíêîâñêîãî). Ïóñòü Λ � ðåø�åòêà â Rd, à K � âûïóêëîåöåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå òåëî. Òîãäà

λ1λ2 . . . λd volK 6 2d|Λ|.

Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ìíîæåñòâà A, òàêîãî ÷òî volA = 2−dλ1λ2 . . . λd volKè ïðè ýòîì A − A ∩ Λ = {0}. Ìíîæåñòâî A áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç ìíîæåñòâà 1

2λdK ïîñëåäîâàòåëü-íûìè ñæàòèÿìè. Íà ñàìîì äåëå, êðîìå ñæàòèé, íàì ïðèä�åòñÿ íåìíîãî ñäâèãàòü ðàçëè÷íûå ñëîèìíîæåñòâà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b1, b2, . . . , bd � ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ýëåìåíòû ðåø�åòêè Λ, òàêèå ÷òî bi ∈λiK. Ïóñòü êðîìå òîãî Vj � ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ b1, b2, . . . , bj . Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî ñòðî-èòü ìíîæåñòâàKj íà÷èíàÿ ñKd = 1

2λdK è çàêàí÷èâàÿ íàK1. Ïîêà ÷òî íàì áóäóò âàæíû ñëåäóþùèåäâà ñâîéñòâà ìíîæåñòâ Kj :

Kj ⊂ Kj+1, (1.4.1)

∀ω ∈ Rd ìíîæåñòâî Kj ∩ (Vi + ω) âûïóêëî, åñëè i 6 j. (1.4.2)

19

Ïóñòü ìíîæåñòâî Kj óæå ïîñòðîåíî, îïèøåì ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà Kj−1. Áóäåì ðàáîòàòü â êîîð-äèíàòàõ Vj−1 × V ⊥j−1. Äëÿ âñÿêîé òî÷êè w ∈ V ⊥j−1 âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó (f(w), w) â ìíîæå-ñòâå Kj∩(Vj−1 +(0, w)) (åñëè ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî ïóñòî, íè÷åãî âûáèðàòü íå áóäåì). Îò ôóíêöèè fìû íå áóäåì òðåáîâàòü íèêàêèõ ñâîéñòâ, êðîìå èçìåðèìîñòè (õîòÿ ÷èòàòåëü ñ ë�åãêîñòüþ ïîñòðîèò,íàïðèìåð, íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f); íàïðèìåð, â êà÷åñòâå f(w) ìîæíî âçÿòü öåíòð ìàññ ìíîæå-ñòâà Kj ∩ (Vj−1 + (0, w)). Ïîñòðîèì ìíîæåñòâî Kj−1:

Kj−1 ={

(v, w)∣∣∣ v = θu+ (1− θ)f(w), (u,w) ∈ Kj

},

ãäå θ =λj−1

λj. Èíûìè ñëîâàìè, ìû ñíà÷àëà ðåæåì ìíîæåñòâî Kj íà ñëîè ñäâèãàìè ïëîñêîñòè Vj−1,

ïîñëå ÷åãî ê êàæäîìó ñå÷åíèþ ïðèìåíÿåì ãîìîòåòèþ ñ êîýôôèöèåíòîì θ è öåíòðîì âíóòðè ñå÷å-íèÿ. Ïðàâèëüíûé âûáîð öåíòðà ãîìîòåòèè ïîçâîëÿåò óäîâëåòâîðèòü ñâîéñòâó (1.4.1). Êðîìå òîãî,òàê êàê ãîìîòåòèÿ ñîõðàíÿåò âûïóêëîñòü ìíîæåñòâ, ïîñòðîåííûå òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâà Kj

óäîâëåòâîðÿþò è ñâîéñòâó (1.4.2).Äîêàæåì ïî èíäóêöèè ôîðìóëó volKj = 2−dλdλd−1 . . . λj+1λ

jj volK. Èíäóêöèÿ, ðàçóìååòñÿ, èìå-

åò ñëó÷àé j = d â êà÷åñòâå áàçû, è ïåðåõîä îò j ê j−1. Îñóùåñòâèì ïåðåõîä. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîéÔóáèíè (ñèìâîëîì vols îáîçíà÷èì s-ìåðíûé îáú�åì):

volKj−1 =

∫V ⊥j−1

volj−1

(Kj−1 ∩ (Vj−1 + w)

)dw =

∫V ⊥j−1

θj−1 volj−1

(Kj ∩ (Vj−1 + w)

)dw = θj−1 volKj .

Îñòàëîñü âñïîìíèòü, ÷òî θ =λj−1

λjè âîñïîëüçîâàòüñÿ èíäóêöèîííûì ïðåäïîëîæåíèåì.

Äîêàæåì òåïåðü ïî èíäóêöèè âëîæåíèå

(Kj −Kj) ∩ Vj ⊂ λjK.

Áàçà j = d î÷åâèäíà, äîêàæåì ïåðåõîä îò j ê j − 1. Áóäåì ðàáîòàòü â êîîðäèíàòàõ Vj−1 × V ⊥j−1, èïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà ëåæèò â ìíîæåñòâå Kj−1 − Kj−1 ∩ Vj−1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îíà ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíàÿ êàê (x,w)− (y, w), ãäå (x,w), (y, w) ∈ Kj−1. Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâ Kj−1,

x = θx+ (1− θ)f(w), y = θy + (1− θ)f(w), (x, w), (y, w) ∈ Kj , θ =λj−1

λj.

Ïîýòîìó (x,w) − (y, w) =λj−1

λj(x − y, 0). Ïîñëåäíÿÿ òî÷êà ëåæèò â ìíîæåñòâå θ(Kj −Kj) ∩ Vj , ÷òî

ëåæèò â λj−1K ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè.Òåïåðü ìû ìîæåì çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî K1 − K1

ïåðåñåêàåòñÿ ñ Λ ëèøü ïî íà÷àëó êîîðäèíàò (òîãäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç óæå äîêàçàííîéôîðìóëû volK1 = 2−dλ1λ2 . . . λd volK è ëåììû 1.4.6). Ïóñòü íå òàê è íàøëàñü òî÷êà L =

∑k1 mjbj

(ïóñòü mk 6= 0), ëåæàùàÿ â ìíîæåñòâå K1 −K1. Â òàêîì ñëó÷àå,

L ∈ K1 −K1 ∩ Vk(1.4.1)

⊂ Kk −Kk ∩ Vk.

Ýòî ìíîæåñòâî, êàê ìû äîêàçàëè, ëåæèò â λkK. À ýòî óæå ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî mk 6= 0, òàêêàê λkK ∩ Λ ⊂ Vk−1.

8.10.2018

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.2.6. Ïóñòü R = {r1, r2, . . . , rk}. Òàê êàê íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå íóëÿâ ìíîæåñòâå íå âëèÿåò íà åãî îêðåñòíîñòü Áîðà, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî rj 6= 0. Ïîëîæèì

Λ = NZk + (r1, r2, . . . , rk)Z.

20

Ïî ñëåäñòâèþ 1.4.4, Λ � ðåø�åòêà. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èíäåêñ NZk â ãðóïïå Λ ðàâåí N (íàïîìíèì÷èòàòåëþ, ÷òî ÷èñëî N ïðîñòîå). Ïîýòîìó, ïî ñëåäñòâèþ 1.4.5

|Λ| = Nk−1. (1.4.3)

Ïóñòü K = {x ∈ Rk | ∀j |xj | 6 1} � åäèíè÷íûé øàð ïðîñòðàíñòâà `∞. Ïóñòü ÷èñëà λj è âåêòîðû bjîïðåäåëåíû òàê æå, êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.4.8. Îïðåäåëèì âû÷åòû sj ñîãëàñíî ôîðìóëå

sj(r1, r2, . . . , rk) ≡N bj

è îòðåçêè Ij =[− δN

λjk, δNλjk

]. Çàäàäèì íàøó îáîáù�åííóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ P ôîðìóëîé

P ={ k∑j=1

ajsj

∣∣∣ ∀j aj ∈ Ij}.

Íà÷í�åì ñ òîãî, ÷òî äîêàæåì íåðàâåíñòâî

∥∥∥ k∑j=1

ajbj

∥∥∥`∞

6 δN. (1.4.4)

Äåéñòâèòåëüíî, ∥∥∥ k∑j=1

ajbj

∥∥∥`∞

6 kmaxj|aj |‖bj‖`∞ 6 kmax

j

δN

λjkλj 6 δN.

Íàì íàäî äîêàçàòü òðè ôàêòà ïðî ïîñòðîåííóþ ïðîãðåññèþ P . Âî-ïåðâûõ, ÷òî P ⊂ B(R, δ); âî-âòîðûõ, ÷òî P � ïðàâèëüíàÿ; è â òðåòüèõ, îöåíêó ìîùíîñòè P .

Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî P ⊂ B(R, δ). Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü

∀i dist(∑ ajsjri

N,Z)< δ.

Ýòî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó

dist(∑

ajsjri, NZ)< δN,

êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü ñëåäóåò èç

dist(∑

ajbj , NZk)< δN.

À ýòî íåðàâåíñòâî ëåãêî âûâåñòè èç (1.4.4) è îãðàíè÷åíèÿ δ < 12 .

Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî P � ïðàâèëüíàÿ îáîáù�åííàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Ïóñòü íå òàê, èíàøëèñü äâà íàáîðà {aj} è {aj}, òàêèå ÷òî

k∑j=1

ajsj ≡Nk∑j=1

ajsj , ∀j aj , aj ∈ Ij .

Â òàêîì ñëó÷àå,k∑j=1

ajbj ≡Nk∑j=1

ajbj .

21

Íåðàâåíñòâî (1.4.4) è îãðàíè÷åíèå δ < 12 âëåêóò

k∑j=1

ajbj =

k∑j=1

ajbj ,

÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ bj .Íàêîíåö, îöåíèì ìîùíîñòü ïðîãðåññèè Pj . Îòìåòèì, ÷òî êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê â

îòðåçêå Ij � íå ìåíåå δNλjk

. Ïîýòîìó,

|P | >k∏j=1

δN

λjk=( δk

)k Nk∏λj.

Îòìåòèì, ÷òî volK = 2k, ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1.4.3), òåîðåìà 1.4.8 ïîçâîëÿåòíàì çàêëþ÷èòü:

k∏j=1

λj 6 Nk−1,

÷òî è äà�åò òðåáóåìóþ îöåíêó |P | >(δk

)kN .

1.5 Ãîìîìîðôèçìû Ôðåéìàíà è êîíåö ãëàâû

Îïðåäåëåíèå 1.5.1. Ïóñòü k > 2 � íàòóðàëüíîå ÷èñëî, Z1 è Z2 � êîììóòàòèâíûå ãðóïïû. Îòîá-ðàæåíèå ϕ : X → Z2, X ⊂ Z1, íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k, åñëè äëÿ âñÿêèõýëåìåíòîâ x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk ∈ X, òàêèõ ÷òî

x1 + x2 + . . .+ xk = y1 + y2 + . . .+ yk,

òàêæå âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå

ϕ(x1) + ϕ(x2) + . . .+ ϕ(xk) = ϕ(y1) + ϕ(y2) + . . .+ ϕ(yk).

Ãîìîìîðôèçì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k íàçûâàþò èçîìîðôèçìîì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k, åñëè îí åñòüáèåêöèÿ íà îáðàç, è îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k.

Çàìå÷àíèå 1.5.2. Îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà åãî åñòåñòâåííîå ïðîäîëæåíèå

ϕ∗(x1 + x2 + . . .+ xk) = ϕ(x1) + ϕ(x2) + . . .+ ϕ(xk)

êîððåêòíî îïðåäåëåíî íà ìíîæåñòâå kX.

Çàìå÷àíèå 1.5.3. Ãðóïïîâûå ãîìîìîôèçìû ñóòü ãîìîìîðôèçìû Ôðåéìàíà ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿä-êà.

Óïðàæíåíèå 1.5.1. Ïóñòü I � îòðåçîê èç âû÷åòîâ ãðóïïå ZN (ìû ñìîòðèì íà âû÷åòû êàêíà êîìïëåêñíûå êîðíè èç åäèíèíöû ïîðÿäêà N è áåð�åì íåñêîëüêî ïîðäÿä èäóùèõ). Ïóñòü äëèíà I(òî åñòü, ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìèíóñ îäèí) íå ïðåâîñõîäèò N−1

k . Òîãäà ñóæåíèå íà îòðåçîê I ñòàí-äàðòíîãî âëîæåíèÿ ZN â Z (âëîæåíèå åñòü ïðåäñòàâëåíèå âû÷åòà îñòàòêîì ïî ìîäóëþ N) åñòüãîìîìîðôèçì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k.

22

Óïðàæíåíèå 1.5.2. Ïóñòü êîíå÷íûå ìíîæåñòâà A è B èçîìîðôíû ïîðÿäêà 2. Òîãäà E(A,A) =E(B,B).

Óïðàæíåíèå 1.5.3. Ïóñòü ϕ � ãîìîìîðôèçì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà mn è â ãðóïïå Z2 íåò ýëåìåíòîâïîðÿäêà m. Òîãäà ϕ � ãîìîìîðôèçì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà n.

Ëåììà 1.5.4. Ïóñòü A ⊂ Z � êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî, òàêîå ÷òî |A| = n è |A+A| 6 cn, k > 2 �íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à ÷èñëî m > 2c2kn � ïðîñòîå. Ñóùåñòâóåò ïîäìíîæåñòâî A′ ⊂ A ìîùíîñòèõîòÿ áû n

k , èçîìîðôíîå ïîðÿäêà k ïîäìíîæåñòâó Zm.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p � î÷åíü áîëüøîå ïðîñòîå ÷èñëî (ìíîãî áîëüøåå, ÷åì ìàêñèìàëüíûé ýëå-ìåíò ìíîæåñòâà A). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòîáðàæåíèé:

[0..(p− 1)]ψ1−→ Zp

ψ2[q]−→ Zpψ3−→ Z ψ4−→ Zm.

Çäåñü ψ1 � �çàöèêëèâàíèå� îòðåçêà [0..(p−1)] (êàê ìû ïðåäïîëîæèëè, âñ�å ìíîæåñòâî A ñîäåðæèòñÿâ ýòîì îòðåçêå), òî åñòü, ðàññìîòðåíèå ÷èñëà îòðåçêà [0..(p − 1)] êàê âû÷åòà ïî ìîäóëþ p. Îòîáðà-æåíèå ψ2[q] åñòü ïðîñòî óìíîæåíèå íà âû÷åò q â ãðóïïå Zp. Îòîáðàæåíèå ψ3 � �ðàñöèêëèâàíèå�ãðóïïû Zp, ýòî îòîáðàæåíèå êàæäîìó ýëåìåíòó Zp åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîïîñòàâëÿåò îñòàòîê ïîìîäóëþ p. Íàêîíåö, îòîáðàæåíèå ψ4 � çàöèêëèâàíèå ïî ìîäóëþ m (òî åñòü, îíî ñîïîñòàâëÿåò êàæ-äîìó ÷èñëó åãî îñòàòîê ïî ìîäóëþ m). Îòìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ ψ1, ψ2[q], ψ4 � ãîìîìîðôèçìûÔðåéìàíà ïîðÿäêà k. Îòìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ óïðàæíåíèþ 1.5.1, îòîáðàæåíèå ψ3 ñòàíåò ãîìîìîð-ôèçìîì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k, åñëè åãî ñóçèòü íà ìíîæåñòâî âèäà

ψ−11 ◦ (ψ2[q])−1

([j − 1

k(p− 1),

j

k(p− 1)

]). (1.5.1)

(åñòåñòâåííî, ìû ðàññìàòðèâàåì ëèøü öåëî÷èñëåííûå òî÷êè îòðåçêà[j−1k (p−1), jk (p−1)

]). Îòìåòèì,

÷òî ïðè íåêîòîðîì âûáîðå èíäåêñà j ìíîæåñòâî A′, ïîëó÷àåìîå êàê ïåðåñå÷åíèå ïðîîáðàçà (1.5.1) ñìíîæåñòâîì A, èìååò ìîùíîñòü õîòÿ áû n

k . Äëÿ êàæäîãî âû÷åòà q çàôèêñèðóåì ýòî ìíîæåñòâî A′

ðàç è íàâñåãäà. Òîãäà îòîáðàæåíèå φ = ψ4 ◦ ψ3 ◦ ψ2[q] ◦ ψ1 : A′ → Zm � ãîìîìîðôèçì Ôðåéìàíàïîðÿäêà k.

Ïîêàæåì, ÷òî ïàðàìåòð q ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû îòîáðàæåíèå φ áûëî èçîìîðôèçìîì Ôðåé-ìàíà ïîðÿäêà k. Ïóñòü ïðè íåêîòîðîì âûáîðå q îòîáðàæåíèå φ íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì Ôðåéìàíàïîðÿäêà k. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàéä�åòñÿ íåíóëåâîé ýëåìåíò s ∈ kA è ýëåìåíòû x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . yk,òàêèå ÷òî

s = x1 + x2 + . . .+ xk − y1 − y2 − . . . yk, íîφ(x1) + φ(x2) + . . .+ φ(xk)− φ(y1)− φ(y2)− . . . φ(yk) = 0.

(1.5.2)

Äëÿ êàæäîãî íåíóëåâîãî ýëåìåíòà s ∈ kA, ìû õîòèì îöåíèòü êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ q, òàêèõ ÷òîâûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.5.2). Îòìåòèì, ÷òî ïåðâîå óñëîâèå â (1.5.2) âëå÷�åò

φ2[q](x1) + φ2[q](x2) + . . .+ φ2[q](xk)− φ2[q](y1)− φ2[q](y2)− . . . φ2[q](yk) ≡p qs, φ2[q] = ψ2[q] ◦ ψ1.(1.5.3)

Òåïåðü ïðèïîìíèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû φ2[q](z), z ∈ A′, ëåæàò â îòðåçêå âèäà[j−1k (p − 1), jk (p − 1)

](ñì. ôîðìóëó (1.5.1)). Ïîýòîìó, âñåâîçìîæíûå ñóììû âèäà

φ3[q](z1) + φ3[q](z2) + . . .+ φ3[q](zk), zj ∈ A′, φ3[q] = ψ3 ◦ φ2[q],

ëåæàò â íåêîòîðîì îòðåçêå äëèíû íå áîëåå p− 1, à ñòàëî áûòü, ðàçíîñòè òàêèõ ñóìì ïðèíàäëåæàòîòðåçêó [−(p− 1), p− 1]. Ïîýòîìó, èç (1.5.3) ñëåäóåò

φ3[q](x1) + φ3[q](x2) + . . .+ φ3[q](xk)− φ3[q](y1)− φ3[q](y2)− . . . φ3[q](yk) =

{qs,

qs− p.

23

Çäåñü âû÷åò qs ðàññìàòðèâàåì êàê îñòàòîê ïî ìîäóëþ p, òî åñòü, ÷èñëî îòðåçêà [0..p− 1]. Ñ äðóãîéñòîðîíû, âòîðàÿ ñòðîêà ðàâåíñòâà (1.5.2) ãëàñèò, ÷òî

φ3[q](x1) + φ3[q](x2) + . . .+ φ3[q](xk)− φ3[q](y1)− φ3[q](y2)− . . . φ3[q](yk) ≡m 0

è ïîýòîìó ëèáî qs, ëèáî qs − p äåëèòñÿ íà m. Íàïîìíèì, ÷òî, ôèêñèðóÿ s ∈ kA \ {0}, ìû õîòèìîöåíèòü êîëè÷åñòâî �ïëîõèõ� âû÷åòîâ q, òî åñòü òàêèõ, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ðàâåíñòâî (1.5.3).Òåïåðü âèäíî, ÷òî òàêèõ âû÷åòîâ q íå áîëåå, ÷åì 2p

m .Òàêèì îáðàçîì, âñåãî �ïëîõèõ� âû÷åòîâ q, òî åñòü òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî s ∈ kA\{0} âîçìîæíà

ñèòóàöèÿ (1.5.2) (ò.å. φ � íå èçîìîðôèçì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà k), íå áîëåå 2pm |kA|. Ïî ñëåäñòâèþ 1.1.10,

ýòî íå ïðåâîñõîäèò 2pc2knm < p. Ïîýòîìó íàéä�åòñÿ âû÷åò q, äëÿ êîòîðîãî φ � èçîìîðôèçì Ôðåéìàíà

ïîðÿäêà k.

Ñëåäñòâèå 1.5.5. Ïóñòü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî A ⊂ Z òàêîâî ÷òî |A + A| 6 C|A|. Òîãäà ìíî-æåñòâî 2A−2A ñîäåðæèò ïðàâèëüíóþ îáîáù�åííóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ðàçìåðíîñòè íåáîëåå 211C logC è ìîùíîñòè õîòÿ áû exp(−214C(logC)2)|A|.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì k = 8 è m � ïðîñòîå ÷èñëî èíòåðâàëà 2C16|A|, 4C16|A| (êîòîðîå ñó-ùåñòâóåò ïî ïîñòóëàòó Áåðòðàíà). Ïî ëåììå 1.5.4, ñóùåñòâóåò ïîäìíîæåñòâî A′ ⊂ A ìîùíîñòèõîòÿ áû 1

8 |A|, èçîìîðôíîå ïîðÿäêà 8 íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó X ⊂ Zm. ×èñëî m íå÷�åòíî, ïîýòîìóìíîæåñòâà A′ +A′ è X +X èçîìîðôíû ïîðÿäêà 4 è

|X +X| = |A′ +A′| 6 8C|X|.

Êðîìå òîãî,

α =|X|m

>|A|

8 · 4C16|A|> 2−5C−16.

Ïîýòîìó, òåîðåìà 1.2.5 ïîçâîëÿåò íàéòè ìíîæåñòâî K ⊂ Zm ìîùíîñòè íå áîëåå 8 ·8C| log 2−5C−16| 6211C logC, òàêîå ÷òî ìíîæåñòâî 2X−2X ñîäåðæèò îêðåñòíîñòü Áîðà B(K, δ), è δ > 2−14

C logC . Ïî òåîðå-ìå 1.2.6, îêðåñòíîñòü Áîðà B(K, δ) ñîäåðæèò ïðàâèëüíóþ îáîáù�åííóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþðàçìåðíîñòè íå áîëåå 211C logC è ìîùíîñòè õîòÿ áû( 1

214C logC · 211C logC

)211C logC

4C16|A| & exp−214C(logC)2

|A|.

Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå φ−1, áóäó÷è èçîìîðôèçìîì Ôðåéìàíà ïîðÿäêà 8, åñòåñòâåí-íûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ äî 2-èçîìîðôèçìà ìíîæåñòâ 2X − 2X è 2A′ − 2A′, è çàìåòèòü, ÷òîèçîîìîðôèçìû Ôðåéìàíà ïîðÿäêà 2 ïåðåâîäÿò ïðàâèëüíûå îáîáù�åííûå àðèôìåòè÷åñêèå ïðîãðåñ-ñèè â ïðàâèëüíûå îáîáù�åííûå àðèôìåòè÷åñêèå ïðîãðåññèè.

15.10.2018Ìû õîòèì âûâåñòè òåîðåìó Ôðåéìàíà èç ñëåäñòâèÿ 1.5.5. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû õîòèì ïîêðûòü

ìíîæåñòâî A íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì ñäâèãîâ áîëüøîé ÷àñòè ìíîæåñòâà 2A− 2A. Ìû óæå èñïîëü-çîâàëè ïîäîáíóþ êîíñòðóêöèþ â ëåììå 1.1.18. Òåïåðü íàì ïðèä�åòñÿ å�å íåìíîãî óñëîæíèòü.

Ëåììà 1.5.6 (Ëåììà ×àíã î ïîêðûòèè). Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ Z òàêîâî, ÷òî |A| = n, |A +A| 6 Cn è ìíîæåñòâî 2A−2A ñîäåðæèò ïðàâèëüíóþ îáîáù�åííóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ Pðàçìåðíîñòè d è ìîùíîñòè ηn. Òîãäà ìíîæåñòâî A ñîäåðæèòñÿ â îáîáù�åííîé àðèôìåòè÷åñêîé

ïðîãðåññèè ðàçìåðíîñòè d+ 4C log(C4

η ) è ìîùíîñòè íå áîëåå 2d(C4

η )5Cηn.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ Pj , Rj è Sj èíäóêòèâíî. Îñíîâíóþ ðîëüèãðàþò ìíîæåñòâà Pj , à Sj è Rj � âñïîìîãàòåëüíóþ. Â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà P0 âûáåðåì èñõîäíóþïðîãðåññèþ P .

24

Íà j-ì øàãå, ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîæåñòâî Pj−1 è â êà÷åñòâå Rj âûáèðàåì íàèáîëüøåå ïî âêëþ-÷åíèþ ïîäìíîæåñòâî A, àääèòèâíî íåçàâèñèìîå ñ ìíîæåñòâîì Pj−1 (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1.17). Äàëååðàññìàòðèâàåì äâà ñëó÷àÿ.

1. Åñëè |Rj | > 2C, òî â êà÷åñòâå Sj ïîëàãàåì ëþáîå ïîäìíîæåñòâî Rj ìîùíîñòè 2C (îòìåòèì,÷òî òîãäà ìíîæåñòâà Pj−1 è Sj àääèòèâíî íåçàâèñèìû), ïîñëå ÷åãî îïðåäåëÿåì Pj := Pj−1 +Sjè ïåðåõîäèì ê ñëåäóþùåìó øàãó àëãîðèòìà.

2. Åñëè |Rj | 6 2C, òî àëãîðèòì ïðåêðàùàåò ñâîþ ðàáîòó.

Ïîêàæåì, ÷òî àëãîðèòì çàêîí÷èò ñâîþ ðàáîòó íå ïîçæå, ÷åì ÷åðåç log2(C4

η ) øàãîâ. Äåéñòâèòåëü-íî, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî |Pj | = |P |(2C)j = (2C)jηn. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî Pj ñîäåðæèòñÿ âìíîæåñòâå 2A− 2A+ jA = (j + 2)A− 2A. Ïî ñëåäñòâèþ 1.1.10,

(2C)jηn = |Pj | 6 |(j + 2)A− 2A| 6 Cj+4n.

Ñðàâíèâàÿ ëåâóþ ÷àñòü ñ ïðàâîé, ïîëó÷àåì îöåíêó j 6 log2(C4

η ).

Ïóñòü àëãîðèòì îñòàíîâèëñÿ íà øàãå t 6 log2(C4

η ). Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 1.1.18,

A ⊂ Pt − Pt +Rt,

òàê êàê Rt � íàèáîëüøåå ïî âêëþ÷åíèþ ïîäìíîæåñòâî A, íåçàâèñèìîå ñ Pt. Òàêèì îáðàçîì,

A ⊂ P0 − P0 + S0 − S0 + S1 − S1 + . . .+ St − St +Rt.

Ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèòñÿ â àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè

P = (P0 − P0) + S0 + S1 + . . . St + Rt,

ãäå X � àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, îáðàçóþùèìè êîòîðîé ñëóæàò ýëåìåíòû ìíîæåñòâà X, àîòðåçêàìè I � îòðåçêè {−1, 0, 1} èç òð�åõ ýëåìåíòîâ. Ðàçìåðíîñòü ïðîãðåññèè P íå ïðåâîñõîäèò

d+ (2C) · (t+ 2) 6 d+ 4C log(C4

η

),

òàê êàê ðàçìåðíîñòü ïðîãðåññèè P0 − P0 ðàâíà d. Îñòàëîñü îöåíèòü ìîùíîñòü P:

|P| 6 2dηn(32C)log

(C4

η

)6 2dηn

(C4

η

)5C

.

Îòìåòèì, ÷òî ÷åì ìåíüøå ïàðàìåòð η, òåì õóæå îöåíêà ðàçìåðíîñòè è ìîùíîñòè ïîñòðîåííîéïðîãðåññèè. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ýòî êàæåòñÿ ñòðàííûì, òàê êàê ïðîãðåññèÿ P ïîëó÷èëàñü èç Pïðèáàâëåíèåì ìíîæåñòâ ôèêñèðîâàííîé ìîùíîñòè. Íà ñàìîì äåëå, íè÷åãî ñòðàííîãî íåò, ïðîñòîïðè ìàëîì η àëãîðèòì áóäåò ðàáîòàòü äîëüøå, è ïîýòîìó ðàçìåðíîñòü è ìîùíîñòü P ìîãóò ñòàòüáîëüøå.

Òåîðåìà 1.5.7 (Ýôôåêòèâíàÿ òåîðåìà Ôðåéìàíà). Ïóñòü A � êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî öåëûõ÷èñåë, òàêîå ÷òî |A+A| 6 C|A|. Ìíîæåñòâî A ñîäåðæèòñÿ â îáîáù�åííîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðî-ãðåññèè ðàçìåðíîñòè íå áîëåå 220C2(logC)2 è ìîùíîñòè íå áîëåå exp(220C2(logC)2)|A|.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñîñòîèò â ïðèìåíåíèè ëåììû 1.5.6 ê ðåçóëüòàòàì ñëåäñòâèÿ 1.5.5.

25

Ãëàâà 2

Â ïîèñêàõ àðèôìåòè÷åñêîé

ïðîãðåññèè

2.1 Òåîðåìà Ñåìåðåäè è ëåììà îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà

Òåîðåìà 2.1.1 (Òåîðåìà Ñåìåðåäè, 1975). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ν > 0 è âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñ-ëà k > 3, íàéä�åòñÿ ÷èñëî N(ν, k), òàêîå ÷òî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî N > N(ν, k), âñÿêîå ìíî-æåñòâî A ⊂ [1..N ], óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó |A| > νN , ñîäåðæèò íåâûðîæäåííóþ àðèôìå-òè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ äëèíû k.

Çàìå÷àíèå 2.1.2. Åñëè k > 3, îöåíêè ÷èñëà N(ν, k) î÷åíü ïëîõèå.

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû Ñåìåðåäè: ÷èñòî êîìáèíàòîðíîå äîêàçàòåëüñòâîÑåìåðåäè, ýðãîäè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî (Êàöíåëüñîí è Ôþðñòåíáåðã, 1977), ãàðìîíèêî-àíàëèòè÷åñêîå(Ãàóýðñ, 2001) è ãðàôñêîå (íåñêîëüêî àâòîðîâ, ïðèáëèçèòåëüíî 2006). Âñå îíè âåñüìà òðóäíû, ìûïîñòàðàåìñÿ èçëîæèòü îñíîâíûå èäåè ïîñëåäíåãî ïîäõîäà. Îòìåòèì, ÷òî âñå äîêàçàòåëüñòâà èñ-ïîëüçóþò ñëåäóþùóþ ñõåìó: åñëè ìíîæåñòâî A �õàîòè÷íî� (ïñåâäîñëó÷àéíî), òî ñóùåñòâîâàíèå âí�åì àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñëåäóåò èç ïðèíöèïîâ ñðîäíè çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë, à åñëè Aóïîðÿäî÷åííî, òî ìîæíî ïåðåéòè ê åãî ïîäìíîæåñòâó, ëåæàùåìó â àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, èèìåþùåìó â ýòîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè áîëüøóþ ïëîòíîñòü.

Ðàçâèòèå ñþæåòà ïðèâåëî ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Ãðèíà�Òàî î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî ïðîñòûõ÷èñåë ñîäåðæèò ñêîëü óãîäíî äëèííûå àðèôìåòè÷åñêèå ïðîãðåññèè. Êîíå÷íî, ìíîæåñòâî ïðîñòûõ÷èñåë èìååò íóëåâóþ ïëîòíîñòü, êàê èçâåñòíî,

|P ∩ [1..N ]| ∼ N

logN, N →∞.

Ãðèíó è Òàî óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë ïñåâäîñëó÷àéíî (ïðîñòûå ÷èñëà âåäóòñåáÿ õàîòè÷åñêè), è ïîýòîìó ê íåìó ïðèìåíèìû ïðèíöèïû ïåðâîãî ñöåíàðèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìûÑåìåðåäè. Îòìåòèì ëþáîïûòíóþ ãèïîòåçó.

Ãèïîòåçà 2.1.3 (Ãèïîòåçà Ýðä�åøà�Òóðàíà). Ïóñòü áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an}n íàòó-ðàëüíûõ ÷èñåë òàêîâà, ÷òî ∑

n

1

an=∞.

Òîãäà ìíîæåñòâî å�å çíà÷åíèé ñîäåðæèò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñêîëü óãîäíî áîëüøîé äëè-íû.

26

Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü � äîêàçàòü òåîðåìó Ñåìåðåäè â ñëó÷àå k = 3 (ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àéïîëó÷åí Ðîòîì â 1954 ãîäó ïðè ïîìîùè àíàëèçà Ôóðüå). Ìû æå õîòèì ñëåäîâàòü ãðàôñêîìó äîêà-çàòåëüñòâó è ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà.

Ëåììà 2.1.4 (Ëåììà îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ε > 0 íàéä�åòñÿ ÷èñëî δ > 0,òàêîå ÷òî èç âñÿêîãî ãðàôà G íà n âåðøèíàõ, èìåþùåãî íå áîëåå δn3 òðåóãîëüíèêîâ, ìîæíîóäàëèòü íå áîëåå εn2 ð�åáåð, óíè÷òîæèâ âñå òðåóãîëüíèêè.

Ðàç è íàâñåãäà ïîñòóëèðóåì, ÷òî íàøè ãðàôû íå èìåþò ïåòåëü è êðàòíûõ ð�åáåð.

Âûâîä ñëó÷àÿ k = 3 â òåîðåìå 2.1.1 èç ëåììû 2.1.4. Çàôèêñèðóåì ïàðàìåòð ν. Ïóñòü íàì òàêæåäàíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî A ⊂ [1..N ] ïëîòíîñòè õîòÿ áû ν. Ïîñòðîèì ãðàôG, îí áóäåò òð�åõäîëüíûì,ñ äîëÿìè

V1 = [1..N ], V2 = [1..N ], V3 = [1..N ].

Âåðøèíû x ∈ V1 è y ∈ V2 ñîåäèíèì ðåáðîì, åñëè y − x ∈ A, âåðøèíû y ∈ V2 è z ∈ V3 ñîåäèíèìðåáðîì, åñëè z − y ∈ A, à âåðøèíû x ∈ V1 è z ∈ V3 ñîåäèíèì ðåáðîì, åñëè z−x

2 ∈ A (â ÷àñòíîñòè,ðàçíîñòü z−x äîëæíà áûòü ÷�åòíîé). Â ãðàôå G ïîëó÷èëîñü 3N âåðøèí. Îòìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèêèâ ãðàôå G âçàèìíîîäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò àðèôìåòè÷åñêèì ïðîãðåññèÿì äëèíû 3 â ìíîæåñòâå A:

y − x = a;

z − y = b;

z − x = 2c;

⇐⇒ a+ b = 2c.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìíîæåñòâå A íåò íåâûðîæäåííûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðîãðåññèé, è ïîêàæåì, ÷òîâ òàêîì ñëó÷àå ÷èñëî N îãðàíè÷åíî ñâåðõó íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, çàâèñÿùåé ëèøü îò ïàðàìåòðà ν.Åñëè â ìíîæåñòâå A íåò íåâûðîæäåííûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðîãðåññèé, òî âñå òðåãîëüíèêè â ãðàôå Gñîîòâåòñòâóþò âûðîæäåííûì àðèôìåòè÷åñêèì ïðîãðåññèÿì (òî åñòü òåì, äëÿ êîòîðûõ a = b = c).Êàæäûé òàêîé òðåóãîëüíèê (x, y, z) îäíîçíà÷íî çàäà�åòñÿ ÷èñëîì a ∈ A è íàïðèìåð, ÷èñëîì x ∈[1..N ]. Çíà÷èò, ÷èñëî òàêèõ òðåóãîëüíèêîâ ëåæèò â ïðåäåëàõ îò νN2 äî N2. Îòìåòèì òàêæå, ÷òîëþáûå äâà òàêèõ òðåóãîëüíèêà íå èìåþò îáùèõ ð�åáåð.

Âîçüì�åì òåïåðü ε < 19ν è ïî ýòîìó ÷èñëó ε âûáåðåì δ, òàêîå ÷òî âåðíî óñëîâèå ëåììû 2.1.4. Åñëè

÷èñëî N ñòîëü âåëèêî, ÷òî N2 < 27δN3, òî ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ëåììó 2.1.4 è óäàëèòü íå áîëåå÷åì 9εN2 ð�åáåð, óíè÷òîæèâ âñå òðåóãîëüíèêè. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó ε < 1

9ν (íàïîìíèì, ÷òîòðåóãîëüíèêè, ïîðîæäàåìûå âûðîæäåííûìè àðèôìåòè÷åñêèìè ïðîãðåññèÿìè, äèçúþíêòíû).

Çàìå÷àíèå 2.1.5. Ìû ïîëó÷èëè îöåíêó N(ν, 3) 6 27δ, ãäå δ = δ( 19ν) çàäà�åòñÿ ëåììîé îá óäàëåíèè

òðåóãîëüíèêà.

2.2 Ëåììà ðåãóëÿðíîñòè Ñåìåðåäè

Îïðåäåëåíèå 2.2.1. Ïóñòü A è B � ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Ïëîòíîñòüþ ïà-ðû (A,B) íàçîâ�åì âåëè÷èíó

d(A,B) =|E(A,B)||A||B|

.

Çäåñü E(A,B) � ìíîæåñòâî ð�åáåð, ñîåäèíÿþùèõ ìíîæåñòâî A ñ ìíîæåñòâîì B.

Îïðåäåëåíèå 2.2.2. Ïóñòü ε ∈ (0, 1). Ïàðó (A,B) ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôàG íàçîâ�åì ε-ðåãóëÿðíîé,åñëè äëÿ âñÿêîé ïàðû ìíîæåñòâ A′ ⊂ A, B′ ⊂ B, òàêèõ ÷òî |A′| > ε|A| è |B′| > ε|B|, èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâî ∣∣∣d(A′, B′)− d(A,B)

∣∣∣ < ε.

27

Îïðåäåëåíèå 2.2.3. Ïóñòü X = (X1, X2, . . . , Xn) � ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà G. Íà-çîâ�åì åãî ε-ðåãóëÿðíûì, åñëè

1

|V (G)|2∑

(Xi,Xj) íå

ε−ðåãóëÿðíà

|Xi||Xj | 6 ε.

Ëåììà 2.2.4 (Ëåììà ðåãóëÿðíîñòè Ñåìåðåäè). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî M ∈ N,òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãî ãðàôà G ñóùåñòâóåò ε-ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå íà íå áîëåå ÷åì M ÷àñòåé.

Íåôîðìàëüíûé ñìûñë ëåììû ðåãóëÿðíîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ãðàô íà áîëüøîì ÷èñëå âåðøèíïðèáëèçèòåëüíî âûãëÿäèò êàê ñëó÷àéíûé ãðàô. Âåðîÿòíîñòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ çäåñü î÷åíü âàæíà,ïîýòîìó äîêàçàòåëüñòâó ëåììû ðåãóëÿðíîñòè ïðåäïîøë�åì âåðîÿòíîñòíîå èñòîëêîâàíèå ââåä�åííûõïîíÿòèé. 22.10.2018

Ìíîæåñòâî V áóäåì èíòåðïðåòèðîâàòü êàê âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, ñíàáäèâ åãî àëãåáðîéâñåõ ìíîæåñòâ è ðàâíîìåðíîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé (ìåðà êàæäîé âåðøèíû ðàâíà 1

|V (G)| ). Òàêèìîáðàçîì, ìíîæåñòâî V × V òîæå ñíàáæåíî ñòðóêòóðîé âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàññìîòðèìíà ýòîì ïðîñòðàíñòâå âàæíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó

E(i, j) =

{0, âåðøèíû i è j íå ñîåäèíåíû ðåáðîì;

1, âåðøèíû i è j ñîåäèíåíû ðåáðîì,i, j ∈ V (G).

Â òàêîì ñëó÷àå, |E(G)| = |V |2EE. Ïóñòü A è B � ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âåðøèí. Òîãäà

d(A,B) =1

|A||B|∑i∈Aj∈B

E(i, j) = E(E | A×B). (2.2.1)

Ðàçáèåíèþ X ìû ñîïîñòàâèì àëãåáðó ìíîæåñòâ X, ïîðîæäàåìóþ ýëåìåíòàìè ðàçáèåíèÿ. Êðîìåòîãî, ñ êàæäûì ðàçáèåíèåì ñâÿæåì âàæíóþ âåëè÷èíó. Ñíà÷àëà äàäèì êîìáèíàòîðíîå îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå 2.2.5. Ïóñòü X = (X1, X2, . . . , Xn) � ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âåðøèí ãðàôà. Îïðåäå-ëèì ñðåäíåêâàäðàòè÷íóþ ïëîòíîñòü ãðàôà ïî ýòîìó ðàçáèåíèþ ôîðìóëîé

MSD(G,X) =1

|V (G)|2n∑

i,j=1

|Xi||Xj |d2(Xi, Xj).

Ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ïëîòíîñòü äîïóñêàåò âåðîÿòíîñòíóþ èíòåðïðåòàöèþ, ñëåäóþùóþ èç èíòåð-ïðåòàöèè ïëîòíîñòè:

MSD(G,X) =1

|V (G)|2n∑

i,j=1

|Xi||Xj |(E(E | Xi ×Xj)

)2

= E(E(E | X× X)

)2

.

Ñëåäóþùàÿ ëåììà åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà Éåíñåíà äëÿ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæè-äàíèé (èëè ñëåäñòâèå îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êàê îðòîãîíàëüíîãî ïðî-åêòîðà â L2). Ââèäó ïðîñòîòû, ìû îïóñòèì å�å äîêàçàòåëüñòâî.

Ëåììà 2.2.6. Ïóñòü Y � ïîäðàçáèåíèå X (òî åñòü, êàæäîå ìíîæåñòâî ðàçáèåíèÿ Y ñîäåð-æèòñÿ â íåêîòîðîì ìíîæåñòâå ðàçáèåíèÿ X). Äëÿ êàæäîé ïàðû (A,B) ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõîòíîñèòåëüíî àëãåáðû X, èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

E[(E(E | X× X)

)2

χAχB

]6 E

[(E(E | Y×Y)

)2

χAχB

],

ãäå Y � àëãåáðà, ïîðîæä�åííàÿ Y . Â ÷àñòíîñòè, MSD(G,X) 6 MSD(G, Y ).

28

Ýòà ëåììà óòâåðæäàåò, ÷òî ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ïëîòíîñòü åñòü ïîëóèíâàðèàíò îòíîñèòåëüíîèçìåëü÷åíèÿ ðàçáèåíèÿ. Áîëåå òîãî, ýòî ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè ëîêàëüíî. Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðå-âåñòè íà ÿçûê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèå ε-ðåãóëÿðíîé ïàðû ìíîæåñòâ. Òî÷íåå, ìû èçâëå÷�åì èçýòîãî ïîíÿòèÿ ñëåäñòâèå, êîòîðîå âûðàæàåòñÿ íà âåðîÿòíîñòíîì ÿçûêå.

Ëåììà 2.2.7. Ïóñòü G � ãðàô è ïàðà (A,B) íå ε-ðåãóëÿðíà. Òîãäà ñóùåñòâóþò ðàçáèåíèÿ A =A1 ∪A2 è B = B1 ∪B2, òàêèå ÷òî

E[ 2∑i,j=1

(E(E | Ai ×Bj)

)2

χAiχBj

]> E

[(E(E | A×B)

)2

χAχB

]+ ε4P (A)P (B).

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïàðà (A,B) íå ÿâëÿåòñÿ ε-ðåãóëÿðíîé, ñóùåñòâóþò ïîäìíîæåñòâà A′ ⊂ Aè B′ ⊂ B, òàêèå ÷òî

|A′| > ε|A|, |B′| > ε|B|, è |d(A,B)− d(A′, B′)| > ε.

Ïîëîæèì A1 = A′ è B1 = B′ (ñîîòâåòñòâåííî, A2 = A\A′ è B2 = B\B′). Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì

E[ 2∑i,j=1

(E(E | Ai ×Bj)

)2

χAiχBj −(E(E | A×B)

)2

χAχB

]=

E[ 2∑i,j=1

(E(E | Ai ×Bj)− E(E | A×B)

)2

χAiχBj

]>

E[(E(E | A1×B1)−E(E | A×B)

)2

χA1χB1

](2.2.1)

= P (A1)P (B1)(d(A1, B1)−d(A,B))2 > ε4P (A)P (B).

Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ïàðà (A,B) íå ε-ðåãóëÿðíà, òî å�å ìîæíî ïîäðàçáèòü òàê, ÷òî êóñî÷åêñóììû, äàþùåé ñðåäíåêâàäðàòè÷íóþ ïëîòíîñòü, ïîäðàñò�åò õîòÿ áû íà ε4P (A)P (B).

Ëåììà 2.2.8. Ïóñòü ðàçáèåíèå X = (X1, X2, . . . , Xk) íåÿâëÿåòñÿ ε-ðåãóëÿðíûì. Òîãäà ñóùåñòâó-åò åãî ïîäðàçáèåíèå X, ñîñòîÿùåå íå áîëåå ÷åì èç k2k ìíîæåñòâ, òàêîå ÷òî

MSD(G, X) > MSD(G,X) + ε5.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì êàæäóþ ïàðó (Xi, Xj), íå ÿâëÿþùóþñÿ ε-ðåãóëÿðíîé. Ïî ëåììå 2.2.7,ñóùåñòâóþò ïîäðàçáèåíèÿ Xi = Xi1 ∪ Xi2 è Xj = Xj1 ∪ Xj2 , òàêèå ÷òî âûïîëíåíî îïðåäåë�åííîåíåðàâåíñòâî. Ïîïîëíèì ðàçáèåíèå X ìíîæåñòâàìè Xi1 è Xj1 è ïîëó÷åííîå ðàçáèåíèå íàçîâ�åì Xij .Òîãäà, ìû íåðàâåíñòâî èç ëåììû 2.2.7 ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå

E[(E(E | Xij)

)2

χXiχXj

]> E

[(E(E | X)

)2

χXiχXj

]+ ε4P (Xi)P (Xj). (2.2.2)

Ðàçáèåíèå X îïðåäåëèì êàê îáúåäèíåíèå ðàçáèåíèé Xij ïî âñåì ïàðàì (i, j), òàêèì ÷òî ïàðà (Xi, Xj)

íå ε-ðåãóëÿðíà. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò X ê X, êàæäîå ìíîæåñòâî Xi ðàçáèëîñü íå áîëåå÷åì íà 2k ïîäìíîæåñòâ (ïîòîìó ÷òî êàæäàÿ ïàðà (Xi, Xj), j ∈ [1..k], äà�åò ðàçáèåíèå íà äâå ÷àñòè),ñòàëî áûòü, X � ðàçáèåíèå íà íå áîëåå, ÷åì k2k ÷àñòåé. Îöåíèì ïðèðàùåíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé

29

ïëîòíîñòè:

MSD(G, X) =∑i,j

E[(E(E | X)

)2

χXiχXj

]Ëåì. 2.2.6

>

∑(Xi,Xj) íå


E[(E(E | Xi,j)

)2

χXiχXj

]+

∑(Xi,Xj)


E[(E(E | X)

)2

χXiχXj

] (2.2.2)

>

∑i,j

E[(E(E | X)

)2

χXiχXj

]+ ε4

∑(Xi,Xj) íå


P (Xi)P (Xj) > MSD(G,X) + ε5

ïîòîìó ÷òî ðàçáèåíèå X íå ε-ðåãóëÿðíî.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ðåãóëÿðíîñòè 2.2.4. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåëü÷àþùèõñÿ ðàç-áèåíèé Xj ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Âî-ïåðâûõ, X0 åñòü òðèâèàëüíîå ðàçáèåíèå. Âî-âòîðûõ, åñëèðàçáèåíèå Xj ÿâëÿåòñÿ ε-ðåãóëÿðíûì, àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó. Åñëè æå Xj � íå ε-ðåãóëÿðíî,òî ïðè ïîìîùè ëåììû 2.2.8 ìû ñòðîèì ðàçáèåíèå Xj+1, òàêîå ÷òî

|Xj+1| 6 3|Xj | è MSD(G,Xj+1) > MSD(G,Xj) + ε5.

Òàê êàê ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ïëîòíîñòü íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöó, àëãîðèòì çàêîí÷èò ñâîþ ðàáîòóíå ïîçäíåå, ÷åì ÷åðåç [ε−5] õîäîâ. Ñòàëî áûòü, ïî çàâåðøåíèè åãî ðàáîòû ìû ïîëó÷èì ε-ðåãóëÿðíîåðàçáèåíèå èç íå áîëåå ÷åìM(ε) = T (3, [ε−5]) ÷àñòåé. Ôóíêöèÿ T (3, n) åñòü áàøíÿ èç òðîåê âûñîòû n,òî åñòü,

T (3, n+ 1) = 3T (3,n).

Çàìå÷àíèå 2.2.9. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îöåíêè ÷èñëà M(ε) íå ìîãóò áûòü ñóùåñòâåííî ëó÷øåïîëó÷åííûõ íàìè. À èìåííî, Ãàóýðñ [6] ïîêàçàë, ÷òî ôóíêöèÿ M(ε) ðàñò�åò õîòÿ áû êàê áàøíÿâûñîòû ïîëèíîìèàëüíîé çàâèñèìîñòè îò ε−1 ïî îñíîâàíèþ 2.

2.3 Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà

Ëåììà 2.3.1 (Ñ÷èòàþùàÿ ëåììà). Ïóñòü ïàðû (X,Y ), (X,Z) è (Y,Z) ìíîæåñòâ âåðøèí ãðàôà Gÿâëÿþòñÿ ε-ðåãóëÿðíûìè è

d(X,Y ) = α, d(Y, Z) = β, d(X,Z) = γ.

Åñëè α, β, γ > 2ε, òî ÷èñëî òðåóãîëüíèêîâ ãðàôà G âèäà (x, y, z), x ∈ X, y ∈ Y è z ∈ Z, íåìåíåå (1− 2ε)(α− ε)(β − ε)(γ − ε)|X||Y ||Z|.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñèìâîëîì degU (v) îáîçíà÷èì ÷èñëî âåðøèí èç ìíîæåñòâà U , ñìåæíûõ ñ v. Ðàñ-ñìîòðèì äâà ìíîæåñòâà

{x ∈ X | degY (x) < (α− ε)|Y |} è {x ∈ X | degZ(x) < (γ − ε)|Z|}.

Èç ε-ðåãóëÿðíîñòè ïàð (X,Y ) è (X,Z) ëåãêî âûâåñòè, ÷òî ìîùíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ìíîæåñòâíå áîëåå ε|X|. Âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà X, íå ïðèíàäëåæàùèå ýòèì äâóì ìíîæåñòâàì, íàçîâ�åìõîðîøèìè. Òàêèì îáðàçîì, õîðîøèõ âåðøèí õîòÿ áû (1− 2ε)|X|.

30

Ïóñòü x � õîðîøàÿ âåðøèíà, à Yx è Zx � ìíîæåñòâà å�å ñîñåäåé â ìíîæåñòâàõ Y è Z ñîîòâåò-ñòâåííî. Òàê êàê ïàðà (Y, Z) ÿâëÿåòñÿ ε-ðåãóëÿðíîé è

|Yx| > (α− ε)|Y | > ε|Y | è |Zx| > (γ − ε)|Z| > ε|Z|,

÷èñëî ð�åáåð ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâ Yx è Zx � íå ìåíåå

(β − ε)|Yx||Zx| > (α− ε)(β − ε)(γ − ε)|Y ||Z|.

Ñòàëî áûòü, âñåãî òðåóãîëüíèêîâ õîòÿ áû (1 − 2ε)(α − ε)(β − ε)(γ − ε)|X||Y ||Z|, òàê êàê õîðîøèõâåðøèí õîòÿ áû (1− 2ε)|X|.

29.10.2018

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.1.4 îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà. Âûáåðåì 14ε-ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå ãðà-

ôà G íà íå áîëåå ÷åì M ÷àñòåé ñîãëàñíî ëåììå ðåãóëÿðíîñòè 2.2.4. Âûêèíåì èç ãðàôà ð�åáðàñëåäóþùèõ òð�åõ òèïîâ:

1) Âñå ð�åáðà ìåæäó ÷àñòÿìè Xi è Xj , åñëè ïàðà (Xi, Xj) íå 14ε-ðåãóëÿðíà;

2) Âñå ð�åáðà ìåæäó ÷àñòÿìè Xi è Xj , åñëè d(Xi, Xj) 6 12ε;

3) Âñå ð�åáðà ñ êîíöîì â ÷àñòè Xi, åñëè |Xi| 6 14M εn.

Íàïîìíèì, ÷òî n = |V (G)|. Ïîêàæåì, ÷òî ìû âûêèíóëè íå áîëåå ÷åì εn2 ð�åáåð. Îöåíèì ÷èñëî ð�åáåðïåðâîãî òèïà: ∑

(Xi,Xj)

íå 14ε−ðåãóëÿðíà

|E(Xi, Xj)| 6∑

(Xi,Xj)

íå 14ε−ðåãóëÿðíà

|Xi||Xj | 6εn2

4

ïî îïðåäåëåíèþ 14ε-ðåãóëÿðíîãî ðàçáèåíèÿ. Ð�åáðà âòîðîãî òèïà:∑

d(Xi,Xj)6 12ε

|E(Xi, Xj)| 6∑

16i,j6M

1

2ε|Xi||Xj | =

εn2

2.

È íàêîíåö, ð�åáðà òðåòüåãî òèïà: ∑|Xi|6

14M

εn

n|Xi| 6εn2

4,

òàê êàê âñåãî ÷àñòåé íå áîëååM . Ñêëàäûâàÿ òðè îöåíêè, ïîëó÷àåì, ÷òî âñåãî âûêèíóòî íå áîëåå εn2

ð�åáåð. Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëå âûêèäûâàíèÿ ð�åáåð òðåóãîëüíèêîâ íå îñòàëîñü, åñëè

δ <(

1− 1

2ε) ε6

3 · 212M3n3. (2.3.1)

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîñëå âûêèäûâàíèÿ îñòàëñÿ òðåóãîëüíèê, çíà÷èò ñóùåñòâóþò òðè ìíîæå-ñòâà Xi, Xj , Xk, òàêèå ÷òî âñå ïàðû (Xi, Xj), (Xi, Xk), è (Xj , Xk) 1

4ε-ðåãóëÿðíû, ïëîòíîñòü ýòèõ ïàðíå ìåíåå 1

2ε, à òàêæå ðàçìåð êàæäîãî èç ìíîæåñòâ íå ìåíåå1

4M εn. Ñîãëàñíî ñ÷èòàþùåé ëåììå 2.3.1,

â èñõîäíîì ãðàôå áûëî íå ìåíåå (1− 12ε)

ε6

3·212M3n3 òðåóãîëüíèêîâ ñ âåðøèíàìè â ìíîæåñòâàõ Xi, Xj

è Xk (ìû ïîäåëèëè êîëè÷åñòâî òðåóãîëüíèêîâ íà òðè â òîì ñëó÷àå, åñëè i = j = k). ×òî ïðîòèâî-ðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ.

Çàìå÷àíèå 2.3.2. Êàê ìû âèäèì, îöåíêà (2.3.1) âêëþ÷àåò â ñåáÿ ÷èñëî M(ε), ïîýòîìó çàâèñè-ìîñòü δ îò ε äîâîëüíî ïëîõàÿ.

31

Íà ñàìîì äåëå, ïðèâåä�åííîå äîêàçàòåëüñòâî äà�åò íåìíîãî áîëüøå èíôîðìàöèè, ÷åì îñòàëîñü îòíåãî â ôîðìóëèðîâêå ëåììû îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà. Ìû óäàëÿåì ð�åáðà ïî î÷åíü ïðîñòîé ñõå-ìå. À èìåííî, óäàëÿåì âñå ð�åáðà, ñîåäèíÿùèå âåðøèíû îïðåäåë�åííûõ ÷àñòåé ãðàôà, ïîëó÷åííûõïðè ðàçáèåíèè êîíå÷íîé ñëîæíîñòè. Òàêàÿ áîëåå ïîëíàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèãîäèòñÿ íàì â ñëåäó-þùåé ãëàâå. Ñôîðìóëèðóåì ëåììó äëÿ ñëó÷àÿ òð�åõäîëüíûõ ãðàôîâ (âåðñèÿ äëÿ îáû÷íûõ ãðàôîâïîëó÷àåòñÿ èç ýòîé óòðîåíèåì ãðàôà).

Ëåììà 2.3.3 (Ëåììà îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà, âòîðàÿ âåðñèÿ). Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùå-ñòâóþò ÷èñëà δ > 0 è M ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ âñÿêèõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ V1, V2, V3, èâñÿêîãî òð�åõäîëüíîãî ãðàôà G = (V1, V2, V3, E12, E13, E23), ñîäåðæàùåãî íå áîëåå δ|V1||V2||V3| òðå-óãîëüíèêîâ, ñóùåñòâóþò ðàçáèåíèÿ X1, X2, X3 ñëîæíîñòè íå áîëåå M ìíîæåñòâ V1, V2, V3 ñî-îòâåòñòâåííî, à òàêæå ìíîæåñòâà ð�åáåð E′12 ⊂ V1 × V2, E

′23 ⊂ V2 × V3 è E′13 ⊂ V1 × V3, òàêèå

÷òî:

1) Ãðàô G′ = (V1, V2, V3, E′12, E

′13, E

′23) íå ñîäåðæèò òðåóãîëüíèêîâ;

2) Äëÿ ïàð i 6= j ∈ [1..3] èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå |Eij \ E′ij | 6 ε|Vi × Vj |;

3) Ìíîæåñòâî E′ij èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî àëãåáðû Xi × Xj (i 6= j ∈ [1..3]).

Ãðàô G′ ñòðîèòñÿ òàê. Ïî ãðàôó G âûáèðàåì 14ε-ðåãóëÿðíîå ðàçáèåíèå (åñëè â êàêîå-òî ìíîæå-

ñòâî ðàçáèåíèÿ ïîïàëè âåðøèíû ðàçíûõ äîëåé, íàäî ýòî ìíîæåñòâî åù�å ðàçáèòü íà òðè ìíîæåñòâà).Ïóñòü X1

i ⊂ V1 è X2j ⊂ V2 � äâà ìíîæåñòâà ðàçáèåíèÿ ðàçíûõ äîëåé. Ïàðó (X1

i , X2j ) íàçîâ�åì õî-

ðîøåé, åñëè, âî-ïåðâûõ, îíà 14ε-ðåãóëÿðíà, âî-âòîðûõ, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî d(X1

i , X2j ) > 1

2ε, è âòðåòüèõ, ìíîæåñòâà ïàðû íå ñëèøêîì ìàëû, |X1

i | > 14M ε|V1| è |X2

j | > 14M ε|V2|. Àíàëîãè÷íî îïðåäå-

ëèì õîðîøåñòü ïàð ìíîæåñòâ ðàçáèåíèÿ èç äðóãèõ ïàð äîëåé. Äâå âåðøèíû â ãðàôå G′ ñîåäèíåíûðåáðîì åñëè è òîëüêî åñëè ïàðà ìíîæåñòâ ðàçáèåíèÿ, ê êîòîðûì îíè ïðèíàäëåæàò, õîðîøàÿ. Òàêèìîáðàçîì, ãðàô G′ óñòðîåí ïðîñòî (èçìåðèì îòíîñèòåëüíî àëãåáðû êîíå÷íîé ñëîæíîñòè) è ïðè ýòîìïðèáëèæàåò ãðàô G. Îòñóòñòâèå òðåóãîëüíèêîâ â G′ ñëåäóåò èç ñ÷èòàþùåé ëåììû 2.3.1. Îòìåòèì,÷òî ãðàô G′ íå ïîëó÷àåòñÿ âûêèäûâàíèåì ð�åáåð èç ãðàôà G. Ïðî G′ íàäî äóìàòü êàê ïðî øàáëîíâûêèäûâàíèÿ, êîòîðûé óêàçûâàåò, êàêèå ð�åáðà âûêèíóòü èç ãðàôà G, à êàêèå îñòàâèòü.

2.4 Ëåììà îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âåðñèé äîêàçàòåëüñòâà ëåììû îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà, ìû áóäåì ñëåäîâàòüðàáîòå [10]. Íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå äåòàëè äîêàçàòåëüñòâ ìû ïðîïóñòèì è ïðèãëàøàåì ÷èòàòåëÿîçíàêîìèòüñÿ ñ íèìè â óêàçàííîé ðàáîòå.

Îïðåäåëåíèå 2.4.1. Ïóñòü J � êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à d ∈ [1..|J |]. Ñèìâîëîì(Jd

)îáîçíà÷èì ìíî-

æåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ J ìîùíîñòè d. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî(Jd

)íàçîâ�åì d-ðàâíîìåðíûì ãèïåð-

ãðàôîì íà ìíîæåñòâå âåðøèí J .

Åñòåñòâåííî, êëàññè÷åñêèå ãðàôû áåç ïåòåëü è êðàòíûõ ð�åáåð ñóòü ïðîñòî 2-ðàâíîìåðíûå ãè-ïåðãðàôû.

Îïðåäåëåíèå 2.4.2. ×åòâ�åðêó (J, {Vj}j∈J , d,H), ãäå J � êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, {Vj} � íàáîð êî-íå÷íûõ ìíîæåñòâ, ïðîèíäåêñèðîâàííûõ ýëåìåíòàìè J , d ∈ [1..|J |], à H � d-ðàâíîìåðíûé ãèïåðãðàôíà ìíîæåñòâå J , íàçîâ�åì ãèïåðãðàôîâîé ñèñòåìîé.

Ïðèìåð 2.4.3. Ñèñòåìà ({1, 2, 3}, {V1, V2, V3}, 2,∆) � ãëàâíûé ãåðîé âòîðîé âåðñèè ëåììû îá óäà-ëåíèè òðåóãîëüíèêà (ëåììà 2.3.3).

32

Ïðèìåð 2.4.4. Ïðè ïîìîùè ñèñòåìû ({1, 2, 3, 4}, {V1, V2, V3, V4}, 3,({1,2,3,4}

3

)) ìîæíî ñôîðìóëèî-

âàòü ëåììó îá óäàëåíèè ñèìïëåêñà.

Î ãèïåðãðàôîâîé ñèñòåìå íàäî äóìàòü êàê î äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðå íà âåðîÿòíîñòíîì ïðî-ñòðàíñòâå V =

∏j∈J Vj (êàê îáû÷íî, ìû ñíàáæàåì ýòî ìíîæåñòâî àëãåáðîé âñåõ ìíîæåñòâ è ðàâ-

íîìåðíîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé). Î ìíîæåñòâàõ Vj ïîëåçíî äóìàòü êàê î ìíîæåñòâàõ çíà÷åíèÿ j-îéêîîðäèíàòû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Vj � ìíîæåñòâî âåðøèí j-îé äîëè ãèïåðãðàôà.

Îïðåäåëåíèå 2.4.5. Ïóñòü e ⊂ J � íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ñèìâîëîì Ae áóäåì îáîçíà÷àòü îáîçíà-÷àò àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ V , çàâèñÿùèõ ëèøü îò êîîðäèíàò, íîìåð êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ìíîæå-ñòâó e.

Êàê ìû âèäåëè â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, óäîáíî èíòåðïðåòèðîâàòü ìíîæåñòâî ð�åáåð ãðàôàêàê ñëó÷àéíîå ñîáûòèå. Íàïðèìåð, çàäàòü ìíîæåñòâî E12 ð�åáåð ìåæäó âåðøèíàìè äîëåé V1 è V2

� ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî çàäàòü ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà V1 × V2. Îäíàêî, óæå âëåììå 2.3.3 ó íàñ áûëî òðè äîëè. ×òîáû ðàáîòàòü íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, óäîáíîîïðåäåëèòü E12 êàê ñîáûòèå, íå çàâèñÿùåå îò òðåòüåé êîîðäèíàòû (òî åñòü, âçÿòü �ñòàðîå� ìíîæå-ñòâî E12 è çàìåíèòü åãî ìíîæåñòâîì E12 × V3 â ñëó÷àå ëåììû 2.3.3). Èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâîð�åáåð ìåæäó äîëÿìè V1 è V2 åñòü ñîáûòèå íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå V1 × V2 × V3, èçìåðèìîåîòíîñèòåëüíî àëãåáðû A12. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, â ïðèìåðå 2.4.4 ìíîæåñòâà, èçìåðèìûå îòíî-ñèòåëüíî àëãåáðû A{1,2,3}, ìîæíî ïîíèìàòü êàê ìíîæåñòâà ãèïåðð�åáåð ìåæäó âåðøèíàìè ïåðâîé,âòîðîé è òðåòüåé äîëåé ãèïåðãðàôà.

Ëåììà 2.4.6 (Ëåììà îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà). Äëÿ âñÿêèõ ÷èñåë J ∈ N è ε > 0, ñóùåñòâóåò ÷èñ-ëî δ ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ âñÿêîé ãèïåðãðàôîâîé ñèñòåìû (J, {Vj}j∈J , d,H) è äëÿ âñÿêîãîâûáîðà ìíîæåñòâ Ee ∈ Ae, e ∈ H, òàêîãî ÷òî E

∏e χEe < δ, ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà E′e ∈ Ae ñî

ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) èõ ïåðåñå÷åíèå ïóñòî, òî åñòü ∩e∈HE′e;

2) äëÿ âñÿêîãî ãèïåððåáðà e ∈ H èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå EχEe\E′e 6 ε;

3) ñóùåñòâóþò àëãåáðû Bi ⊂ Ai, ïðîíóìåðîâàííûå ïîäìíîæåñòâàìè J ìîùíîñòè íå áîëåå d− 1,òàêèå ÷òî E′e ∈

∨i∈e Bi è ñëîæíîñòè àëãåáð Bi îãðàíè÷åíû íåêîòîðûì ÷èñëîì, çàâèñÿùèì

ëèøü îò ε.

Îïðåäåëåíèå 2.4.7. Ñëîæíîñòüþ àëãåáðû íàçîâ�åì íàèìåíüøåå ÷èñëî ìíîæåñòâ, ïîðîæäàþùèõýòó àëãåáðó. Îáîçíà÷àòü ñëîæíîñòü àëãåáðû A áóäåì compl. A.

Óïðàæíåíèå 2.4.1. Äîêàæèòå, ÷òî ñëîæíîñòü àëãåáðû A íå ïðåâîñõîäèò log2dlog2 |A|e+ 1.

Ñëåäñòâèå 2.4.8. Ïóñòü B ⊂ [1..N ]d � êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïëîòíîñòè õîòÿ áû ν > 0. Åñëè÷èñëî N äîñòàòî÷íî âåëèêî (â çàâèñèìîñòè îò ν), òî ìíîæåñòâî B ñîäåðæèò ïðÿìîóãîëüíûéñèìïëåêñ âèäà{

x, (x1 + k, x2, x3, . . . , xd), (x1, x2 + k, x3, . . . , xd), . . . , (x1, x2, . . . , xd + k)}. (2.4.1)

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñëåäñòâèÿ � ïî÷òè òî÷íîå ïîâòîðåíèå âûâîäà òåîðåìû Ðîòà èç ëåììû îáóäàëåíèè òðåóãîëüíèêà, ïðèâåä�åííîãî â êîíöå ïàðàãðàôà 2.1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ãèïåðãðàôîâó ñèñòåìó. Ïîëîæèì J := [1..d+ 1], d := d, H :=({1..d+1}

d

)(òî åñòü, H åñòü (d + 1)-ìåðíûé ñèìïëåêñ). Â êà÷åñòâå V1, V2, . . . , Vd âûáåðåì ãèïåðïëîñêîñòè ïðî-ñòðàíñòâà Rd, ïàðàëëåëüíûå êîîðäèíàòíûì:

Vj = {vjs | s ∈ [1..N ]}, ãäå vjs = {x ∈ Rd | xj = s}.

33

Â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà Vd+1 âûáåðåì ãèïåðïëîñêîñòè, îðòîãîíàëüíûå âåêòîðó (1, 1, 1, . . . , 1):

V(d+1)s = {v(d+1)s | s ∈ [1..dN ]}, ãäå v(d+1)s ={x ∈ Rd

∣∣ ∑j

xj = s}.

Îòìåòèì, ÷òî ïðîèçâîëüíûé âûáîð d ãèïåðïëîñêîñòåé èç ðàçíûõ äîëåé äàñò íàáîð èç d ãèïåðïëîñ-êîñòåé îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ñòàëî áûòü, îíè ïåðåñåêàþòñÿ ïî òî÷êå. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà òî÷êàöåëî÷èñëåííà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñÿêîãî ðåáðà ej ∈ H, ej = {1, 2, . . . , (j − 1), (j + 1), . . . , d + 1},ïîñòðîèì ìíîæåñòâî Eej ñîãëàñíî ôîðìóëå

Eej =

{(v1s1 , v2s2 , . . . , v(j−1)sj−1

,

v(j+1)sj+1, . . . , v(d+1)sd+1

) ∣∣∣∣∣ îáùàÿ òî÷êà ãèïåðïëîñêîñòåé v1s1 , v2s2 , . . . , v(j−1)sj−1,

v(j+1)sj+1, . . . , v(d+1)sd+1

ëåæèò â ìíîæåñòâå B

}.

Îòìåòèì, ÷òî (d+ 1)-ìåðíûé ñèìïëåêñ â òàêîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóåò êàê ðàç ïðÿìîóãîëüíîìó ñèì-ïëåêñó, êîòîðûé ìû èùåì, êðîìå ñëó÷àÿ âûðîæäåííîãî ñèìïëåêñà (ñëó÷àé k = 0 â ôîðìóëå (2.4.1)).Ïîëîæèì ε < ν

d2+d è ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü â ìíîæåñòâå A íåò íåòðèâèàëüíûõ ñèìïëåêñîâ.Âûáåðåì ÷èñëî N áîëüøèì, ÷åì ÷èñëî δ−1. Îòìåòèì, ÷òî â ïîñòðîåííîì ãèïåðãðàôå ÷èñëî (d+ 1)-ìåðíûõ ñèìïëåêñîâ ðàâíî ìîùíîñòè B è ïîýòîìó,

E∏ej

χEej =|A|

dNd+16

1

dN< δ.

Ïðèìåíèì ëåììó 2.4.6 è ïîñìîòðèì íà ãèïåðãðàô ñ ãèïåðð�åáðàìè Eej \ E′ej . Îòìåòèì, ÷òîòðèâèàëüíûå (d + 1)-ìåðíûå ñèìïëåêñû äèçúþíêòíû ïî ãèïåðð�åáðàì (òàê êàê ëþáàÿ òî÷êà çà-äà�åòñÿ îäíîçíà÷íî ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íå�å d ãèïåðïëîñêîñòÿìè îáùåãî ïîëîæåíèÿ). Ñòàëî áûòü,åñëè ∩ej∈HE′ej = ∅, òî ìû óäàëèëè õîòÿ áû |A| ðàçëè÷íûõ ãèïåðð�åáåð, è ñòàëî áûòü,

d+1∑j=1

EχEej \E′ej >|A|dNd

>ν

d> (d+ 1)ε.

Äëÿ êàêîãî-òî j ïîëó÷èëîñü ïðîòèâîðå÷èå.

Óïðàæíåíèå 2.4.2. Ðàññìîòðåâ ìíîæåñòâî B = {x ∈ [1..N ]d | x1 + 2x2 + 3x3 + . . . + dxd ∈ A},âûâåäèòå òåîðåìó Ñåìåðåäè 2.1.1 èç ñëåäñòâèÿ 2.4.8.

12.11.2018

2.5 Ëåììà ðåãóëÿðíîñòè äëÿ ãèïåðãðàôîâ

Îñíîâíóþ ñëîæíîñòü â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2.4.6 ïðåäñòàâëÿåò íàõîæäåíèå óäîáíîé ôîðìóëè-ðîâêè ëåììû ðåãóëÿðíîñòè: ñ îäíîé ñòîðîíû, îíà íå ìîæåò áûòü ñëèøêîì ñèëüíîé, à ñ äðóãîéñòîðîíû, äîëæåí íàéòèñü ïðàâèëüíûé àíàëîã ñ÷èòàþùåé ëåììû 2.3.1, êîòîðûé â êîìáèíàöèè ñ íåéäàñò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà. Ôîðìóëèðîâêà ëåììû äîâîëüíî ãðîìîçäêàÿ,ìû áóäåì ïðèáëèæàòüñÿ ê íåé ïîñòåïåííî. Íî ñíà÷àëà íàì íóæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîãîðàçáèåíèÿ, èëè ðåãóëÿðíîé àëãåáðû.

Îïðåäåëåíèå 2.5.1. Ïóñòü H åñòü d-ðàâíîìåðíûé ãèïåðãðàô. Ãðàíèöåé ∂e ãèïåððåáðà e ∈ H íà-çîâ�åì ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ f ⊂ e, òàêèõ ÷òî |f | = |e|−1. Ãðàíèöåé ∂H íàçîâ�åì îáúåäèíåíèåãðàíèö âñåõ ãèïåðð�åáåð H.

Îòìåòèì, ÷òî ∂H åñòü (d− 1)-ðàâíîìåðíûé ãèïåðãðàô.

34

Îïðåäåëåíèå 2.5.2. Ïóñòü (J, {Vj}j∈J , d,H) � ãèïåðãðàôîâà ñèñòåìà, e ∈ H � ãèïåððåáðî, E ∈Ae � ñîáûòèå, B � íåêîòîðàÿ àëãåáðà. Îïðåäåëèì e-èñêàæåíèå ìíîæåñòâà E ñîãëàñíî ôîðìóëå

∆e(E | B) = supEf∈Af

∣∣∣E((χE − E(χE | B)) ∏f∈∂e

χEf

)∣∣∣.Â ôîðìóëå äëÿ èñêàæåíèÿ ñóïðåìóì âûáèðàåòñÿ ïî âñåì íàáîðàì Ef ìíîæåñòâ, òàêèõ ÷òî Ef ∈

Af . Ïàðàìåòð e-èñêàæåíèÿ èçìåðÿåò, íàñêîëüêî ãèïåðãðàô E ðåãóëÿðåí îòíîñèòåëüíî ðàçáèåíèÿ B.

Ïðèìåð 2.5.3. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé d = 2, J = {1, 2}, e = {1, 2}. Âûáîð ìíîæåñòâà E ∈ A{1,2}çàäà�åò ãðàô G(V1, V2, E). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà B � òðèâèàëüíàÿ àëãåáðà. Â òàêîìñëó÷àå,

∆e(E | B) = supV1⊂V1V2⊂V2

∣∣∣E((χE − E(χE | B))χV1

χV2

)∣∣∣ = supV1⊂V1V2⊂V2

|V1||V2||V1||V2|

∣∣∣d(V1, V2)− d(V1, V2)∣∣∣.

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî èñêàæåíèå ìàëî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðà (V1, V2) ðåãó-ëÿðíà. À èìåííî, åñëè ïàðà (V1, V2) ε-ðåãóëÿðíà, òî

∆e(E | B) 6 ε. (2.5.1)

Â îáðàòíóþ ñòîðîíó, åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (2.5.1), òî ïàðà (V1, V2) ε14 -ðåãóëÿðíà. Ïóñòü

òåïåðü B = X1 × X2, ãäå X1 è X2 � ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâ V1 è V2. Â òàêîì ñëó÷àå,

∆e(E | B) � 1

|V1||V2|∑i,j

|X1i ||X2

j | supV1⊂X

1i

V2⊂X2j

∣∣∣d(V1, V2)− d(V1, V2)∣∣∣,

(òàê êàê ôóíêöèÿ E(E | X1×X2) ïîñòîÿííà íà ìíîæåñòâàõ ðàçáèåíèÿ, îïòèìèçèðîâàòü âûðàæå-

íèå∣∣∣E((χE − E(χE | B)

)χV1

χV2

)∣∣∣ ìîæíî íà êàæäîé êëåòêå ðàçáèåíèÿ èíäèâèäóàëüíî). Ïîýòîìó,

ìàëîñòü èñêàæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåãóëÿðíîñòè ðàçáèåíèÿ X1 ×X2.

Ëåììà 2.5.4 (Àíàëîã ëåììû 2.2.7). Ïóñòü ε ∈ (0, 1), (J, {Vj}j∈J , d,H) � ãèïåðãðàôîâà ñèñòå-ìà, e ∈ H � ãèïåððåáðî, E ∈ Ae � ñîáûòèå, à àëãåáðû Bf ⊂ Af , f ∈ ∂e, òàêîâû ÷òî

∆e

(E∣∣∣ ∨f∈∂e

Bf)> ε.

Òîãäà ñóùåñòâóþò àëãåáðû B′f , òàêèå ÷òî Bf ⊂ B′f ⊂ Af , è

1) compl.B′f 6 compl.Bf + 1;

2) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

E(E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f))2

− E(E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

Bf))2

> ε. (2.5.2)

Äîêàçûâàòü ýòó ëåììó ìû íå áóäåì � å�å äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâóëåììû 2.2.7. Ïðåæäå ÷åì èòåðèðîâàòü ýòó ëåììó, ìû å�å íåìíîãî îáîáùèì. Â áóäóùåì íàì íàäîáóäåò âåñòè èíäóêöèþ ïî d, ïîýòîìó ëîãè÷íî çàìåíèòü åäèíñòâåííîå ìíîæåñòâî E ∈ Ae ïîäàëãåáðîéàëãåáðû Ae îãðàíè÷åííîé ñëîæíîñòè.

35

Ëåììà 2.5.5. Ïóñòü ε, δ ∈ (0, 1), m,M ∈ N, (J, {Vj}j∈J , d,H) � ãèïåðãðàôîâà ñèñòåìà. Ïóñòü äëÿêàæäîãî ãèïåððåáðà e ∈ H âûáðàíà àëãåáðà Be ⊂ Ae, òàêàÿ ÷òî

compl.Be 6 m.

Ïóñòü òàêæå äëÿ âñÿêîãî ãèïåððåáðà f ∈ ∂H çàäàíà àëãåáðà Bf ⊂ Af , òàêàÿ ÷òî

compl.Bf 6M.

Òîãäà ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = C(|J |,m, ε, δ) è àëãåáðû B′f , Bf ⊂ B′f ⊂ Af , òàêèå ÷òî âûïîëíåíîäèì èç äâóõ ñöåíàðèåâ:

1) äëÿ âñÿêîãî ðåáðà e ∈ H è âñÿêîãî ìíîæåñòâà E ∈ Be

• íåðàâåíñòâî (2.5.2) íå âûïîëíåíî,

• èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

∆e

(E∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)6 δ; (2.5.3)

2) ñóùåñòâóþò ãèïåððåáðî e ∈ H è ìíîæåñòâî E ∈ Be, òàêèå ÷òî

• âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (2.5.2),

• âåðíà îöåíêàcompl.B′f 6M + C(|J |,m, ε, δ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîåíèå àëãåáð B′f ïðîâåä�åì àëãîðèòìè÷åñêè. Ñíà÷àëà ïîëîæèì B′f := Bf äëÿâñåõ f ∈ ∂H.

Íà êàæäîì øàãå àëãîðèòì äåëàåò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ. Åñëè óñëîâèå (2.5.3) âûïîëíåíî äëÿâñåõ ãèïåðð�åáåð e ∈ H è âñåõ ìíîæåñòâ E ∈ Ae, àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ. Åñëè óñëîâèå (2.5.2)âûïîëíåíî äëÿ êàêîãî-òî ãèïåððåáðà e ∈ H è êàêîãî-òî ìíîæåñòâà E ∈ Ae, òî àëãîðèòì òîæåîñòàíàâëèâàåòñÿ.

Åñëè æå óñëîâèå (2.5.3) íå âûïîëíåíî äëÿ êàêîãî-òî ãèïåððåáðà e ∈ H è êàêîãî-òî ìíîæåñòâà E ∈Ae, òî àëãîðèòì ïðè ïîìîùè ëåììû 2.5.4 c ε := δ (è àëãåáðàìè B′f â ðîëè àëãåáð Bf ) ñòðîèò ïîàëãåáðå B′f àëãåáðó B′′f , òàêóþ ÷òî

compl.B′′f 6 compl.B′f + 1,

è âåëè÷èíà ∑e∈H

∑E∈Ae

E(E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f))2

(2.5.4)

óâåëè÷èëàñü õîòÿ áû íà δ2 ïðè çàìåíå B′f íà B′′f . Ïîñëå ÷åãî àëãîðèòì ïîëàãàåò B′f := B′′f è ïåðåõîäèòê ñëåäóþùåìó øàãó.

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñóììà (2.5.4) íå ïðåâîñõîäèò |H|22m , ïîýòîìó àëãîðèòì ñîâåðøèò íå áîëåå÷åì C(|J |,m, ε, δ) øàãîâ. ßñíî, ÷òî êîãäà àëãîðèòì îñòàíîâèòñÿ, áóäåò âûïîëíåíî îäíî èç äâóõóòâåðæäåíèé ëåììû.

Çàìå÷àíèå 2.5.6. Â ýòîé ëåììå ïåðâàÿ ïàðà óñëîâèé â äâóõ ñöåíàðèÿõ, â íåêîòîðîì ñìûñëå, íåçà-âèñèìà îò âòîðîé. Íà ïåðâîì ìåñòå ìîæíî ñòàâèòü ëþáîå óñëîâèå: â ïåðâîì ñöåíàðèè êàêîé-òîêðèòåðèé âûïîëíåí äëÿ âñåõ ð�åáåð è âñåõ ìíîæåñòâ àëãåáðû, à âî âòîðîì ñöåíàðèè äëÿ íåêîòîðîãîðåáðà è íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ýòî óñëîâèå íå âûïîëíåíî.

Îïðåäåëåíèå 2.5.7. Âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ F : R+ → R+ íàçîâ�åì ôóíêöèåé ðîñòà, åñëè F (x) >1 + x.

36

Ëåììà 2.5.8 (Ïðåäâàðèòåëüíàÿ ëåììà ðåãóëÿðíîñòè). Ïóñòü ε ∈ (0, 1), m ∈ N, F � ôóíê-öèÿ ðîñòà, à òàêæå çàôèêñèðîâàíà ãèïåðãðàôîâà ñèñòåìà (J, {Vj}j∈J , d,H). Ïóñòü äëÿ âñåõ ãè-ïåðð�åáåð e ∈ H çàäàíû àëãåáðû Be ⊂ Ae, òàêèå ÷òî compl.Be 6 m. Ñóùåñòâóþò ÷èñëî M , êîí-ñòàíòà C = C(|J |,m, F, ε) è ñèñòåìà ïàð àëãåáð Bf ⊂ B′f ⊂ Af , f ∈ ∂H, òàêèå ÷òî

1) F (m) 6M 6 C(|J |,m, F, ε);

2) Äëÿ âñÿêîãî ãèïåððåáðà f ∈ ∂H èìååò ìåñòî îöåíêà compl.Bf 6M ;

3) Äëÿ âñÿêîãî ãèïåððåáðà e ∈ H è âñÿêîãî ìíîæåñòâà E ∈ Be íåðàâåíñòâî (2.5.2) íåâåðíî;

4) Äëÿ âñÿêîãî ãèïåððåáðà e ∈ H è âñÿêîãî ìíîæåñòâà E ∈ Be èìååò ìåñòî îöåíêà

∆e

(E∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)6

1

F (M).

Çàìå÷àíèå 2.5.9. Êëàññè÷åñêàÿ ëåììà ðåãóëÿðíîñòè íàõîäèëà íàì àëãåáðó îãðàíè÷åííîé ñëîæ-íîñòè log2M(ε), òàêóþ ÷òî ðàçáèåíèå ïî íåé ε-ðåãóëÿðíî. Ëåììà 2.5.8 ñòðîèò íàì ïàðó àëãåáð,�ðàññòîÿíèå� ìåæäó êîòîðûìè íå ïðåâîñõîäèò ε2, òàêèõ ÷òî âòîðàÿ àëãåáðà ñâåðõðåãóëÿðíà (ò.ê.ôóíêöèÿ F ìîæåò ðàñòè î÷åíü áûñòðî), à ïåðâàÿ èìååò îãðàíè÷åííóþ ñëîæíîñòü. Îêàçûâàåò-ñÿ, ÷òî òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ áîëåå óäîáíà äëÿ âåäåíèÿ èíäóêöèè ïî ïàðàìåòðó d, êîòîðàÿ íàìïðåäñòîèò â ñëåäóþùåé ëåììå.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.5.8. Ïàðû àëãåáð Bf , B′f áóäåì ñòðîèòü ïðè ïîìîùè àëãîðèòìà. Ñíà÷àëàïîëîæèì Bf ðàâíûìè òðèâèàëüíîé àëãåáðå.

Íà êàæäîì øàãå àëãîðèòì ïîëó÷àåò íàáîð àëãåáð Bf ⊂ Af , f ∈ ∂H. Ïîëîæèì

M := max(F (m), {compl.Bf}f∈∂H); δ :=1

F (M)

è ïðèìåíèì ëåììó 2.5.4 ê ýòîìó íàáîðó àëãåáð, ε è δ. Ëåììà ïîñòðîèëà íàì íàáîð àëãåáð B′f . Åñëèîíè óäîâëåòâîðÿþò ïåðâîìó ñöåíàðèþ, òî àëãîðèòì çàâåðøàåò ñâîþ ðàáîòó. Åñëè îíè óäîâëåòâîðÿþòâòîðîé ïàðå óñëîâèé, òî ìû ïîëàãàåì Bf := B′f äëÿ âñÿêîãî f ∈ ∂H, è àëãîðèòì ïåðåõîäèò êñëåäóþùåìó øàãó.

Îòìåòèì, ÷òî íà êàæäîì øàãå âåëè÷èíà (2.5.4) (ñ àëãåáðàìè Bf âìåñòî B′f ) ðàñò�åò õîòÿ áû íà ε2.Ïîýòîìó àëãîðèòì çàâåðøèò ñâîþ ðàáîòó çà C(|J |,m, ε) øàãîâ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íàáîð ïàðàëãåáð Bf , B′f , ïîëó÷èâøèéñÿ â ðåçóëüòàòå ðàáîòû àëãîðèòìà, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû.

Òåïåðü ìû ãîòîâû ñôîðìóëèðîâàòü ïîëíóþ ëåììó ðåãóëÿðíîñòè. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì j-ðàâíîìåðíûåãðàôû Hj ïî ïðàâèëó Hd = H è Hj = ∂Hj+1.

Ëåììà 2.5.10 (Ëåììà ðåãóëÿðíîñòè äëÿ ãèïåðãðàôîâ). Ïóñòü F � ôóíêöèÿ ðîñòà, (J, {Vj}j∈J , d,H) �ãèïåðãðàôîâà ñèñòåìà, {Be}e∈H � ñèñòåìà àëãåáð ñëîæíîñòè íå áîëåå Md ∈ N. Ñóùåñòâóþò ÷èñ-ëà M0,M1, . . . ,Md−1, êîíñòàíòà C(|J |,Md, F ), à òàêæå ñèñòåìû àëãåáð Bf , B′f , f ∈ Hj, òàêèå÷òî Bf ⊂ B′f ⊂ Af è

1) Md 6 F (Md) 6Md−1 6 F (Md−1) 6Md−2 6 · · · 6 F (M1) 6M0 6 C(|J |,Md, F );

2) Äëÿ âñÿêîãî j ∈ [0..d] è âñåõ f ∈ Hj èìååò ìåñòî îöåíêà compl.Bf 6Mj;

3) Äëÿ âñÿêîãî j ∈ [0..(d− 1)], âñåõ ãèïåðð�åáåð e ∈ Hj è âñåõ E ∈ Be èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

E(E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f))2

− E(E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

Bf))2

61

F 2(Mj);

37

4) Äëÿ âñÿêîãî j ∈ [0..(d − 1)], âñåõ ãèïåðð�åáåð e ∈ Hj è âñåõ ìíîæåñòâ E ∈ Be èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâî

∆e

(E∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)6

1

F (M0). (2.5.5)

Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì âåñòè èíäóêöèþ ïî ïàðàìåòðó d (íå ìåíÿÿ ìíîæåñòâî J). Çàïàñ�åìñÿ ôóíê-öèåé ðîñòà F , êîòîðóþ ïðåäñòîèò âûáðàòü è ïðèìåíèì ëåììó 2.5.8 ñ m := Md, ε := F (Md) è F := F .Ýòî äàñò íàì íàáîð ïàð àëãåáð Bf , B′f , ïàðàìåòðèçîâàííûõ f ∈ Hd−1. Òåïåðü ê ãðàôó Hd−1 è ñè-ñòåìå àëãåáð Bf ïðèìåíèì ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè ñ Md−1 := F (Md). Ýòî ïîçâîëèò ïîñòðîèòü÷èñëà Mj , j = 0, 1, . . . , d− 1, è ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû ìëàäøèõ àëãåáð. Âñå óòâåðæäåíèÿ áóäóòâûïîëíåíû ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, êðîìå íåðàâåíñòâ (2.5.5) â ñëó÷àå j = d. Îäíàêî, ó íàñèìåþòñÿ íåðàâåíñòâà (îáåñïå÷åííûå ëåììîé 2.5.8)

∆e

(E∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)6

1

F (Md), e ∈ Hd, E ∈ Be.

Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî âûáðàòü F òàê, ÷òîáû F (Md) > F (M0). Îòìåòèì, ÷òî F (M0) îãðàíè÷åíî àá-ñîëþòíîé êîíñòàíòîé, çàâèñÿùåé ëèøü îò |J |, d,Md (è íå çàâèñÿùåé îò ôóíêöèè F ). Ïîýòîìó ìûìîæåì âûáðàòü F ðàñòóùåé ñòîëü áûñòðî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü òðåáóåìîìó íåðàâåíñòâó.

19.11.2018

2.6 Ôîðóìëèðîâêà ñ÷èòàþùåé ëåììû è äîêàçàòåëüñòâî ëåì-

ìû îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà

Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ ãèïåðãðàôàìè, ê êîòîðûì óæå ïðèìåíåíà ëåììà ðåãóëÿðíî-ñòè 2.5.10. Êàê îáû÷íî, ìû áóäåì ÷åðïàòü âäîõíîâåíèå èç êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ. Ïðè äîêàçàòåëüñòâåëåììû îá óäàëåíèè òðåóãîëüíèêà 2.1.4, ìû �âûáðàñûâàëè� èç ìíîæåñòâà E òå ÷àñòè, êîòîðûå ïî-ïàëè â �ìàëåíüêèå� èëè íåðåãóëÿðíûå àòîìû àëãåáðû (X×X)

∨{∅, V, E, E}. Â ñëó÷àå ãèïåðãðàôîâ

ìû áóäåì äåéñòâîâàòü òî÷íî òàêæå.Ðàññìîòðèì �îáúåìëþùóþ� àëãåáðó

∨06j6de∈Hj

Be. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ëþáîé å�å àòîì ìîæíî ïðåä-

ñòàâèòü â âèäå ⋂06j6de∈Hj

Ae, Ae � àòîì àëãåáðû Be.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ êàæäîãî íàáîðà àòîìîâ {Ae} 06j6de∈Hj

, èõ ïåðåñå÷åíèå åñòü ëèáî àòîì îáúåìëþ-

ùåé àëãåáðû, ëèáî ïóñòîå ìíîæåñòâî.Óäîáíî ââåñòè îáîçíà÷åíèå H äëÿ �îáúåìëþùåãî� ãèïåðãðàôà:

H =⋃

06j6d

Hj .

Îòìåòèì, ÷òî ãèïåðãðàô H íåîäíîðîäåí.

Îïðåäåëåíèå 2.6.1. Íàáîð àòîìîâ {Ae}e∈H àëãåáð Be, e ∈ H, íàçîâ�åì õîðîøèì, åñëè âûïîëíåíûäâà óñëîâèÿ

∀e ∈ H P(Ae ∩

( ⋂f∈∂e

Af

))>

1

logF (Mj)P( ⋂f∈∂e

Af

); (2.6.1)

∀e ∈ H, E ∈ Be E([E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)− E

(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

Bf)]2 ∏

f(eχAf

)6

1

F (Mj)P( ⋂f(e

Af

). (2.6.2)

38

Çàìå÷àíèå 2.6.2. Ïîÿâëåíèå ëîãàðèôìà logF (Mj) â ôîðìóëå (2.6.1) âåñüìà ñëó÷àéíî. Âàæíîëèøü ÷òî ýòà âåëè÷èíà ìíîãî áîëüøåMj (åñëè ôóíêöèÿ F ðàñò�åò äîñòàòî÷íî áûñòðî) è ìåíüøå,÷åì ëþáàÿ ñòåïåíü F (Mj).

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â ôîðìóëå (2.6.2) ðå÷ü èä�åò î ïåðåñå÷åíèè àòîìîâ âñåõ àëãåáð, ïîä-÷èí�åííûõ ðåáðó e.

Ïðèìåð 2.6.3. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé J = {1, 2}, d = 2 è ñðàâíèì òðåáîâàíèå (2.6.1) ñ òðåáîâàíèÿ-ìè, êîòîðûå ìû ïðåäúÿâëÿëè ê õîðîøèì àòîìàì â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå. Â ýòîì ñëó÷àå

B{1,2} = {∅, V, E12, E12}, B1 = X1 × {∅, V2},B2 = {∅, V1} × X2,

ãäå X1 è X2 � ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâ V1 è V2 ñîîòâåòñòâåííî. Àòîì îáúåìëþùåé àëãåáðû � ýòîëèáî (E,X1

i , X2j ), ëèáî (E,X1

i , X2j ), ãäå X1

i è X2j � ýëåìåíòû ðàçáèåíèé X1 è X2, óìíîæåííûå

íà V2 è V1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü íàø àòîì � (E,X1i , X

2j ). Â òàêîì ñëó÷àå, óñëîâèå (2.6.1)

ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå

P(E ∩ (X1

i ×X2j ))>

1

logF (M2)P (X1

i ×X2j );

P (X1i × V2) >

1

logF (M1), P (V1 ×X2

j ) >1

logF (M1).

Âòîðàÿ ñòðî÷êà ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ãðàíèöà òî÷êè � ïóñòîå ìíîæåñòâî. Îòìåòèì, ÷òî ïåð-âàÿ ñòðî÷êà ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèþ d(X1

i , X2j ) > 1

logF (M2) . Ïîýòîìó íîâûå òðåáîâàíèÿ (2.6.1)ñîîòâåòñòâóþò òðåáîâàíèÿì 2 è 3 äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2.1.4.

Îïðåäåëåíèå 2.6.4. Ïóñòü e ∈ H è Ae � àòîì àëãåáðû Be. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî �ïëîõèõ�íàáîðîâ àòîìîâ

Πe,Ae ={{Af}f(e

∣∣∣ äëÿ ýòîãî íàáîðà {Af} íå âûïîëíåíî ëèáî óñëîâèå (2.6.1), ëèáî óñëîâèå (2.6.2)}.Îïðåäåëèì òåïåðü ìíîæåñòâî Be,Ae :

Be,Ae =⋃

{Af}∈Πe,Ae

( ⋂f(e

Af

).

Îòìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ìíîæåñòâà Πe,Ae ìû ïðîâåðÿåì óñëîâèÿ (2.6.1) è (2.6.2) òîëüêîñ äàííûì ðåáðîì e è àòîìîì Ae ∈ Be, âûáèðàÿ òå íàáîðû �ìëàäøèõ� àòîìîâ, äëÿ êîòîðûõ îäíî èçýòèõ óñëîâèé íå âûïîëíåíî. Òàêæå íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

Be,Ae ∈∨f(eBf (2.6.3)

Îòìåòèì, ÷òî íàáîð {Af}f∈H àòîìîâ õîðîøèé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñÿêîãî e ∈ Hìíîæåñòâî ∩f(eAf íå ëåæèò â ìíîæåñòâå Be,Ae . Ñëåäóþùàÿ ëåììà, â íåêîòîðîì ñìûñëå, óòâåð-æäàåò, ÷òî áîëüøèíñòâî íàáîðîâ àòîìîâ � õîðîøèå.

Ëåììà 2.6.5. Äëÿ âñÿêîãî e ∈ H è âñÿêîãî Ae ∈ Be, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

P (Ae ∩Be,Ae) = O( 1

logF (Mj)

).

39

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà îöåíèâ âêëàä â ìíîæåñòâî Be,Ae òåõ íàáîðîâ àòîìîâ, äëÿ êîòîðûõ íåâûïîëíåíî óñëîâèå (2.6.1):∑

{Af}f(e(2.6.1) íåâåðíî

P(Ae ∩

( ⋂f∈∂e

Af

))6

1

logF (Mj)

∑{Af}f(e

(2.6.1) íåâåðíî

P( ⋂f∈∂e

Af

)6

1

logF (Mj),

òàê êàê ìíîæåñòâà⋂f∈∂eAf íå ïåðåñåêàþòñÿ äëÿ ðàçíûõ íàáîðîâ àòîìîâ. Òåïåðü îöåíèì âêëàä

íàáîðîâ àòîìîâ, íàðóøàþùèõ óñëîâèå (2.6.2):∑{Af}f(e

(2.6.2) íåâåðíî

P(Ae ∩

( ⋂f(e

Af

))6

F (Mj)∑

{Af}f(e(2.6.2) íåâåðíî

E([E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)− E

(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

Bf)]2 ∏

f(eχAf

)6

F (Mj)E[E(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

B′f)− E

(χE

∣∣∣ ∨f∈∂e

Bf)]2 Ëåì. 2.5.10

61

F (Mj).

1

logF (Mj).

Íàêîíåö, ìû ãîòîâû ñôîðìóëèðîâàòü àíàëîã ñ÷èòàþùåé ëåììû 2.3.1.

Ëåììà 2.6.6. Ïóñòü (J, {Vj}j∈J , d,H) � ãèïåðãðàôîâà ñèñòåìà, F � ôóíêöèÿ ðîñòà. Ïóñòü êýòîé ãèïåðãðàôîâîé ñèñòåìå è àëãåáðàì Be ñëîæíîñòè íå áîëåå Md ïðèìåíåíà ëåììà 2.5.10.Ïóñòü íàáîð àòîìîâ Ae ∈ Be, e ∈ H � õîðîøèé. Åñëè ôóíêöèÿ F ðàñò�åò äîñòàòî÷íî áûñò-ðî (â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà |J |), òî

P( ⋂e∈H

Ae

)=(

1 + oMd→∞(1)) ∏e∈H

P(Ae

∣∣∣ ⋂f∈∂e

Af

)+O|J|,Md

( 1

F (M0)

). (2.6.4)

Ïðèìåð 2.6.7. Ïîñìîòðèì, ÷òî ýòà ëåììà îçíà÷àåò â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå J = {1, 2, 3}, H = ∆,ðàññìîòåííîì ðàíåå â ëåììå 2.3.1. Ñèìâîëîì Eij áóäåì îáîçíà÷àòü ïîäìíîæåñòâî V , ïîëó÷åí-íîå óìíîæåíèåì ìíîæåñòâà ð�åáåð ìåæäó äîëÿìè Vi è Vj (òî åñòü, íåêîòîðîãî ïîäìíîæå-ñòâà Vi×Vj) è ìíîæåñòâà Vk (i, j, k çäåñü ðàçëè÷íû). Òîãäà ìû ìîæåì ñôîðìèðîâàòü �èñõîäíûå�àëãåáðû Be, ãäå e � ðåáðî òðåóãîëüíèêà:

B{i,j} = {∅, V, Eij , Eij}.

Àëãåáðû B{1}, B{2} è B{3} çàäàþòñÿ ðàçáèåíèÿìè X1, X2, X3 ìíîæåñòâ V1, V2, V3 ñîîòâåòñòâåí-

íî. Â ýòîì ñëó÷àå àòîì îáúåìëþùåé àëãåáðû � ýòî íàáîð (E12, E13, E23, X1i , X

2j , X

3k), ãäå Eij �

ëèáî Eij, ëèáî åãî äîïîëíåíèå, à X1i , X

2j , X

3k , � àòîìû ðàçáèåíèé X1, X2, X3 ñîîòâåòñòâåííî. Â

òàêîì ñëó÷àå, ôîðìóëà (2.6.4) ïðèìåò âèä

P(E12 ∩ E13 ∩ E23 ∩

(X1i ×X2

j ×X3k

))=

(1 + o(1))P (E12 | X1i ×X2

j )P (E13 | X1i ×X3

k)P (E23 | X2j ×X3

k)|X1||X2||X3|+O(. . .) =

(1 + o(1))d(X1, X2)d(X1, X3)d(X2, X3)|X1||X2||X3|+O(. . .).

Ãëàâíûé ÷ëåí â ýòîé ôîðìóëå ñîâïàäàåò ñ ãëàâíûì ÷ëåíîâ â îöåíêå ëåììû 2.3.1.

40

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.6.6 ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.3.1, è ìû îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ êîðèãèíàëüíîé ñòàòüå [10]. Ìû æå âûâåäåì èç ýòîé ëåììû ëåììó îá óäàëåíèè ãèïåðãðàôà.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.4.6. Âûáåðåì äîñòàòî÷íî áûñòðóþ ôóíêöèþ ðîñòà F , ïðèìåíèì ëåì-ìó 2.5.10 ê íàøåé ãèïåðãðàôîâîé ñèñòåìå è àëãåáðàì Be = {∅, V, Ee, Ee} è ïîëó÷èì ñèñòåìó ïàðàëãåáð, óäîâëåòâîðÿþùèì âûâîäàì ëåììû.

Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ÷èñëî δ äîñòàòî÷íî ìàëî (â çàâèñèìîñòè îò ôóíêöèè F ), òî â îáúåìëþùåéàëãåáðå

∨f∈H Bf íå áóäåò íàáîðîâ õîðîøèõ àòîìîâ ñ Ae = Ee äëÿ âñåõ e ∈ H. Ïðåäïîëîæèì

ïðîòèâíîå, ïóñòü íàø�åëñÿ õîðîøèé íàáîð àòîìîâ {Ae}e∈H , Ae ∈ Be. Â òàêîì ñëó÷àå, ñîãëàñíîëåììå 2.6.6,

P( ⋂e∈H

Ae

)=(

1 + oMd→∞(1)) ∏e∈H

P(Ae

∣∣∣ ⋂f∈∂e

Af

)+O|J|,Md

( 1

F (M0)

) (2.6.1)

>

(1 + oMd→∞(1)

) ∏06j6d

∏e∈Hj

1

logF (Mj)+O|J|,Md

( 1

F (M0)

)>

(1 + oMd→∞(1)

) 1

(logF (M0))O(|J|) +O|J|,Md

( 1

F (M0)

).

Ïîýòîìó ìîæíî âçÿòü ÷èñëî Md íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû ïåðâîå ñëàãàåìîå áûëî ñòðîãî ïîëî-æèòåëüíî, è çàôèêñèðîâàòü åãî. Ïîñëå ÷åãî âçÿòü ôóíêöèþ F äîñòàòî÷íî áûñòðîé, ÷òîáû M0 >F (Md) áûëî ñòîëü âåëèêî, ÷òîáû âòîðîå ñëàãàåìîå áûëî ñèëüíî ìåíüøå ïåðâîãî ïðè ëþáîì âûáî-ðå F (M0) >M0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàäëåæàùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ, âåðîÿòíîñòü õîðîøåãî àòîìàîáúåìëþùåé àëãåáðû îòäåëåíà îò íóëÿ. Ñòàëî áûòü, åñëè δ äîñòàòî÷íî ìàëî (â çàâèñèìîñòè îò Md

è F ), òî õîðîøèõ íàáîðîâ àòîìîâ, òàêèõ ÷òî Ae = Ee äëÿ ãèïåðð�åáåð e ∈ H, ïðîñòî íåò.Äëÿ âñÿêîãî ãèïåððåáðà e ∈ H îïðåäåëèì ìíîæåñòâî E′e ñîãëàñíî ôîðìóëå

E′e = V \(Be,Ee ∪

( ⋃f(ef∈H

Af ∩Bf,Af)).

Ïåðâîå òðåáîâàíèå ëåììû 2.4.6 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ íåò õîðîøèõ àòî-ìîâ, òàêèõ ÷òî Ae = Ee äëÿ ãèïåðð�åáåð e ∈ H. Òðåòüå òðåáîâàíèå ñëåäóåò èç ôîðìóëû (2.6.3) èëåììû 2.5.10. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü âòîðîå òðåáîâàíèå:

P (Ee \ E′e) 6 P (Ee ∩Be,Ee) +∑f(e

∑Af

àòîìBf

P (Af ∩Bf,Af )Ëåì. 2.6.5

6

1

logF (Md)+∑j<d

∑f∈Hj

∑Af

àòîìBf

1

logF (Mj)=∑j

O(Mj)1

logF (Mj),

ïîýòîìó ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî øóñòðîé ôóíêöèè F ýòà âåëè÷èíà áóäåò ìåíüøå ε.

41

Ãëàâà 3

Çàäà÷è îá èãîëêàõ

26.11.20183.1 Ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à íà ïëîñêîñòè

Îïðåäåëåíèå 3.1.1. Ìíîæåñòâî X ⊂ Rd íàçîâ�åì ìíîæåñòâîì Áåçèêîâè÷à åñëè äëÿ âñÿêîãî âåê-òîðà e ∈ Rd, |e| = 1, íàéä�åòñÿ x ∈ X, òàêîé ÷òî

{x+ te | t ∈ [0, 1]} ⊂ X.

Èíûìè ñëîâàìè, ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à îáÿçàíî ñîäåðæàòü îòðåçîê åäèíè÷íîé äëèíû ïðîèçâîëü-íîãî íàïðàâëåíèÿ. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóåò î÷åíü ìíîãî ìíîæåñòâ Áåçèêîâè÷à � íàïðèìåð, åäèíè÷íûéøàð, èëè åäèíè÷íûé êóá. Âïîëíå åñòåñòâåííûé âîïðîñ, íåêîòîðûå íåïîëíûå îòâåòû íà êîòîðûé ìûäàäèì â ýòîé ãëàâå, ýòî íàñêîëüêî ìàëûì ìîæåò áûòü ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à.

Òåîðåìà 3.1.2 (Òåîðåìà Áåçèêîâè÷à). Ñóùåñòâóåò êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à íà ïëîñ-êîñòè, èìåþùåå íóëåâóþ ëåáåãîâó ìåðó.

Íàøå èçëîæåíèå äîêàçàòåëüñòâà áóäåò ñëåäîâàòü [12]. Îäíàêî, ìû äàäèì ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñà-íèå ïîñòðîåíèÿ, çà àðèôìåòè÷åñêèì îïèñàíèåì òîé æå êîíñòðóêöèè ÷èòàòåëü ìîæåò îáðàòèòüñÿ êêíèãå [12].

Îïðåäåëåíèå 3.1.3. Êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî F ïîëîñû {(x, y) ∈ R | 0 6 x 6 1} íàçîâ�åì õîðî-øèì, åñëè äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà m ∈ [0, 1], ìíîæåñòâî F ñîäåðæèò îòðåçîê íàêëîíà m, ñîåäèíÿþùèéêðàÿ ïîëîñû. Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ âñÿêîãî m ∈ [0, 1] íàéä�åòñÿ ÷èñëî b, òàêîå ÷òî

{(x,mx+ b) | x ∈ [0, 1]} ⊂ F.

Ïðåäëîæåíèå 3.1.4. Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò õîðîøåå ìíîæåñòâî F ⊂ [0, 1]×[−1, 1],òàêîå ÷òî äëÿ âñÿêîãî x0 ∈ [0, 1] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî∣∣F ∩ {(x0, y) | y ∈ R}

∣∣ 6 ε.

Ìîäóëü îáîçíà÷àåò ìåðó Ëåáåãà íà ïðÿìîé. Åñòåñòâåííî, äâóìåðíàÿ ìåðà Ëåáåãà ïîñòðîåííîãîìíîæåñòâà íå ïðåâîñõîäèò ε.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâî F óäîáíî áóäåò çàäàòü â íåñêîëüêî øàãîâ. Íî ñíà÷àëàìû îïèøåì îáùóþ ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà F . Çàôèêñèðóåì áîëüøîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , êîòîðîåâûáåðåì âïîñëåäñòâèè. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê T1 ñ âåðøèíàìè (0, 0), (−1, 0) è (1, 0). Êîíå÷íî, ýòîòòðåóãîëüíèê õîðîøèé. Ðàçäåëèì åãî îñíîâàíèå {(0, y) | y ∈ [−1, 0]} íà NN ðàâíûõ îòðåçêîâ. Ýòî

42

èíäóöèðóåò ðàçáèåíèå òðåóãîëüíèêà T1 íà NN òðåóãîëüíèêîâ ñ ðàâíûìè îñíîâàíèÿìè, à èìåííî,êàæäûé òðåóãîëüíèê ðàçáèåíèÿ èìååò ñâîèìè âåðøèíàìè òî÷êè (1, 0), (− k

NN, 0) è (−k+1

NN, 0), ãäå k =

0, 1, . . . , NN − 1. Ìíîæåñòâî F áóäåò îáúåäèíåíèåì íåêîòîðûõ ñäâèãîâ ïî âåðòèêàëè òðåóãîëüíèêîâðàçáèåíèÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî F áóäåò õîðîøèì. Äâèãàòü òðåóãîëüíèêè áóäåò óäîáíîãðóïïàìè, ïîýòîìó ìû áóäåì ðåçàòü òðåóãîëüíèêè è äâèãàòü ïîýòàïíî.

Íà k-ì øàãå àëãîðèòì ïîëó÷àåò íàáîð èç Nk−1 òðåóãîëüíèêîâ T jk , j = 1, 2, . . . , Nk−1. Ó êàæäîãîèç ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ îñíîâàíèå èìååò äëèíóN1−k è ëåæèò íà îñè èãðåê, à åù�å îäíà âåðøèíà ëåæèòíà ïðÿìîé x = 1. Êðîìå òîãî, ìíîæåñòâî Fk = ∪jT jk óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì äâóì ñâîéñòâàì:

1) Fk ∩ {(x, y) | x 6 k−1N } ⊂ Fk−1;

2) Ìíîæåñòâî Fk∩{(x0, y) | y ∈ R}, ãäå x0 ∈ [k−1N , kN ], ìîæíî ïîêðûòü Nk−1 îòðåçêàìè äëèíû 2N−k.

Ñ êàæäûì òðåóãîëüíèêîì T jk ïðîäåëàåì ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ. Ðàçîáú�åì åãî îñíîâàíèå (òî åñòü,ñòîðîíó, ëåæàùóþ íà îñè y) íà N ðàâíûõ ÷àñòåé, ýòî èíäóöèðóåò ðàçáèåíèå T jk íà N òðåóãîëüíè-

êîâ T (j−1)N+ik+1 , i = 1, 2, . . . , N . Ïîñëå ýòîãî ïîñìîòðèì íà îòðåçêè, âûñåêàåìûå ýòèìè òðåóãîëüíèêàìè

íà ïðÿìîé x = k−1N . Ïåðåäâèíåì êàæäûé òðåóãîëüíèê T (j−1)N+i

k+1 ïàðàëëåëüíî îñè y òàê, ÷òîáû îò-ðåçîê, âûñåêàåìûé èì íà ïðÿìîé x = k−1

N ñîâïàë ñ îòðåçêîì, âûñåêàåìûì íà îíîé ïðÿìîé âåðõíèì

èç òðåóãîëüíèêîâ T (j−1)N+ik+1 , i = 1, 2, . . . , N . Òàêîé ñäâèã òðåóãîëüíèêà T (j−1)+i

k è íàçîâ�åì T(j−1)+ik .

Ïðèìåð ýòîé ïðîöåäóðû èçîáðàæ�åí íà ðèñóíêå 3.1. Íîâûå òðåóãîëüíèêè ïîñòðîåíû, è àëãîðèòììîæåò ïåðåõîäèòü ê ñëåäóþùåìó øàãó.

Ðèñ. 3.1: Ïðèìåð ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîæåñòâà F1 â ìíîæåñòâî F2 ïðè N = 3.

Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ Fk óäîâëåòâîðÿåòäâóì òðåáóåìûì ñâîéñòâàì. Ïåðâîå ñâîéñòâî ëåãêî âûâåñòè èç òîãî ôàêòà, ÷òî

T(j−1)N+ik+1 ∩

{(x, y)

∣∣∣x 6k − 1

N

}⊂ T jk .

Âòîðîé ôàêò íåñêîëüêî ñëîæíåå. Â ñëó÷àå x0 = k−1N îí ñëåäóåò èç ïîñòðîåíèÿ íîâûõ òðåóãîëüíèêîâ.

Îáùèé ñëó÷àé íåòðóäíî âûâåñòè èç ðàññìîòðåííîãî è òîãî ôàêòà, ÷òî íàêëîíû ñòîðîí òðåóãîëüíè-êîâ T (j−1)N+i

k+1 , i = 1, 2, . . . , N îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå, ÷åì íà N1−k, ïðè ôèêñèðîâàííîì j.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà F ìîæíî âçÿòü FN , åñëè N > 1

2ε .

Óïðàæíåíèå 3.1.1. Äîêàæèòå, ÷òî êîíñòðóêöèÿ, ïðèâåä�åííàÿ â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæå-íèÿ 3.1.4, äîïóñêàåò ñëåäóþùóþ ïåðåôîðìëèðîâêó. Ïîëîæèì δ = 0.1N−N . Ñóùåñòâóåò íàáîðäèçúþíêòíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ Tj âèäà 1× δ, òàêèõ ÷òî ìåðà îáúåäèíåíèÿ èõ ñäâèãîâ íà ðàññòî-ÿíèå dj, 5 6 dj 6 10, âäîëü ãëàâíûõ îñåé, èìååò ìåðó íå áîëåå N−1.

43

Ëåììà 3.1.5. Äëÿ âñÿêèõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë δ è ε è âñÿêîãî õîðîøåãî ìíîæåñòâà G ñóùå-ñòâóåò õîðîøåå ìíîæåñòâî E ìåðû íå áîëåå ε, ëåæàùåå â δ-îêðåñòíîñòè G.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü `j , j = 0, 1, . . . , [δ−1], � îòðåçîê â ìíîæåñòâå G íàêëîíà jδ, ñîåäèíÿþùèéîñü èãðåê ñ ïðÿìîé x = 1. Ïîñòðîèì ïàðàëëåëîãðàììû Pj :

Pj = {(x, y) | ∃(x, y) ∈ `j , |y − y| 6 δ}.

Ïóñòü F � ìíîæåñòâî, ïîñòðîåííîå â ïðåäëîæåíèè 3.1.4. Ñäåëàåì àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïå-ðåâîäÿùåå ïðÿìîóãîëüíèê [0, 1]× [−1, 1] â ïàðàëëåëîãðàìì Pj , ïóñòü Fj � îáðàç ìíîæåñòâà F ïðèýòîì îòîáðàæåíèè. Â òàêîì ñëó÷àå, Fj ñîäåðæèò îòðåçêè íàïðàâëåíèé [δj, δj+δ], ñîåäèíÿþùèå êðàÿïîëîñû. Ïîëîæèì E = ∪jFj . Îòìåòèì, ÷òî ýòî õîðîøåå ìíîæåñòâî. Åãî ìåðó òîæå ëåãêî îöåíèòü:

|E| 6[δ−1]∑j=0

|Fj | 6 ([δ−1] + 1)εδ 6 2ε,

(ìû ïðåäïîëîæèëè δ < 1, ÷òî, ðàçóìååòñÿ, íå îãðàíè÷èòåëüíî). Ïîýòîìó íàäî ëèøü óìåíüøèòü ε âäâà ðàçà.

Ëåììà 3.1.6. Ñóùåñòâóåò õîðîøåå ìíîæåñòâî ìåðû íóëü.

Ýòà ëåììà âëå÷�åò òåîðåìó 3.1.2: íàäî ïðîñòî îáúåäèíèòü ïîâîðîòû õîðîøåãî ìíîæåñòâà ìåðûíóëü íà óãëû kπ

4 , k = 0..4, îáúåäèíåíèå áóäåò ìíîæåñòâîì Áåçèêîâè÷à íóëåâîé ìåðû.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.1.6. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîðîøèõ ìíîæåñòâ {Fn} è óáûâàþ-ùóþ ê íóëþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë {εn} ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) Bεn(Fn) ⊂ Bεn−1(Fn−1);

2) |Bεn(Fn)| 6 2−n.

Ñòðîèòü ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàäî òàê: ïîëüçóÿñü ëåììîé 3.1.5 ñ ε := 2−n, δ := 12εn−1 è G :=

Fn−1, ñòðîèòü ìíîæåñòâî Fn := E. Ïîñëå ÷åãî, âûáèðàòü εn ñòîëü ìàëûì, ÷òîáû âûïîëíèëîñü âòîðîåóñëîâèå (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî ðåãóëÿðíîñòè ìåðû Ëåáåãà).

Èñêîìîå ìíîæåñòâî åñòü íè ÷òî èíîå êàê ∩nBεn(Fn).

Ìàëåíüêèå ìíîæåñòâà Áåçèêîâè÷à âñòðå÷àþòñÿ â çàäà÷àõ ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà, íåëèíåéíûõóðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è äàæå â çàäà÷àõ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Íàïðèìåð, êîíñòðóê-öèÿ óïðàæíåíèÿ 3.1.1 ñûãðàëà êëþ÷åâóþ ðîëü â ïîñòðîåíèè ×. Ôåôôåðìàíîì êîíòðïðèìåðà ê çà-äà÷å î øàðîâîì ìóëüòèïëèêàòîðå. Ýòà çàäà÷à áûëà î÷åíü çíàìåíèòîé ãèïîòåçîé â ãàðìîíè÷åñêîìàíàëèçå â 1960-õ ãîäàõ. Ãèïîòåçà ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî íåðàâåíñòâî

‖(fχB1(0)) ‖Lp(R2) . ‖f‖Lp(R2)

âåðíî ïðè p ∈ ( 43 , 4). Îêàçàëîñü, ÷òî êîíòðïðèìåð ñòðîèòñÿ èç ìíîæåñòâà Áåçèêîâè÷à è åäèíñòâåííîå

âîçìîæíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà p � ýòî 2, ïðè ýòîì ïîêàçàòåëå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òåîðåìûÏëàíøåðåëÿ.

Â 1970-õ ãîäàõ âûÿñíèëîñü, ÷òî îöåíêè ðàçìåðíîñòè ìíîæåñòâ Áåçèêîâè÷à ïî÷òè ðàâíîñèëü-íû íåêîòîðûì âàæíûì â ãàðìîíè÷åñêîì àíàëèçå íåðàâåíñòâàì. Îá ýòèõ îöåíêàõ ìû ðàññêàæåì âñëåäóþùåé ãëàâå.

44

3.2 Ãèïîòåçà Êàêåéÿ

Ãèïîòåçà 3.2.1 (Ãèïîòåçà Êàêåéÿ). Ëþáîå ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à â Rd èìååò ïîëíóþ ðàçìåð-íîñòü Õàóñäîðôà.

Îòìåòèì, ÷òî Êàêåéÿ èíòåðåñîâàëñÿ çàäà÷àìè, ñõîæèìè ñ òåîðåìîé Áåçèêîâè÷à, íî âðÿä ëè ñòà-âèë ýòó ãèïîòåçó. Îíà ïîñòàâëåíà â 1950-õ ãîäàõ. Â ðàçìåðíîñòè 2 å�å äîêàçàë Äýâèñ â 1971 ãîäó. Âðàçìåðíîñòÿõ d = 3 è âûøå ãèïîòåçà îòêðûòà. Ìåòîäàìè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà (èëè êëàññè÷å-ñêèìè ìåòîäàìè ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðèè ìåðû) ìîæíî äîáèòüñÿ îöåíêè dimHaus F > d

2 + 1, ãäå F �ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à â Rd. Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè â [12]. Â êîíöå 1990-õ ãîäîâÁóðãåéí äîêàçàë îöåíêó dimHaus F > 13

25d−c, ãäå c � íåêîòîðàÿ àáñîëþòíàÿ êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿîò ïàðàìåòðà d. Åãî äîêàçàòåëüñòâî îïèðàëîñü íà òåîðåìû àääèòèâíîé êîìáèíàòîðèêè. Ìû èçëî-æèì òåîðåìó Êàöà è Òàî, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé õîòü è íå èñïîëüçóåò ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõãëàâ, íî ïî äóõó � àääèòèâíî êîìáèíàòîðíîå. Íà ñàìîì äåëå, ýòîò ðåçóëüòàò � ëèøü ïðåäâàðèòåëü-íàÿ ñòóïåíü ê áîëåå ñèëüíîé îöåíêå, êîòîðóþ ÷èòàòåëü ìîæåò èçó÷èòü ïî îðèãèíàëüíîé ðàáîòå [8].

Òåîðåìà 3.2.2 (Êàö�Òàî, 2002). Ðàçìåðíîñòü Ìèíêîâñêîãî ëþáîãî ìíîæåñòâà Áåçèêîâè÷à â Rdíå ìåíåå 4

7 (d− 1).

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ðàçìåðíîñòè Ìèíêîâñêîãî.

Îïðåäåëåíèå 3.2.3. Ïóñòü F ⊂ Rd, δ > 0. Ñèìâîëîì Nδ îáîçíà÷èì íàèìåíüøåå ÷èñëî øàðîâ ðàäè-óñà δ, òðåáóåìîå, ÷òîáû ïîêðûòü ìíîæåñòâî F . Îïðåäåëèì ðàçìåðíîñòü Ìèíêîâñêîãî ìíîæåñòâà Fñîãëàñíî ôîðìóëå

dimMink F = limδ→0

logNδ(F )

| log δ|.

Óïðàæíåíèå 3.2.1. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà λ > 0 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C =C(d, λ), òàêàÿ ÷òî

Nδ(G) 6 CNλδ(G).

Óïðàæíåíèå 3.2.2. Äîêàæèòå, ÷òî ðàçìåðíîñòü Õàóäîðôà íå ìåíüøå ðàçìåðíîñòè Ìèíêîâñêî-ãî. Ïîñòðîéòå ïðèìåð ìíîæåñòâà íåíóëåâîé ðàçìåðíîñòè Ìèíêîâñêîãî è íóëåâîé ðàçìåðíîñòèÕàóñäîðôà.

3.12.2018

Îïðåäåëåíèå 3.2.4. Ïóñòü Z � êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà, r ∈ Z. Ñèìâîëîì πr : Z×Z → Z îáîçíà÷èìïðîåêöèþ

πr(z1, z2) = z1 + rz2.

Ñèìâîë π∞ îáîçíà÷àåò îòîáðàæåíèå (z1, z2) 7→ z2.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.2.2 îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò àääèòèâíîé êîìáèíàòîðèêè.

Òåîðåìà 3.2.5. Ïóñòü Z � àáåëåâà ãðóïïà, G ⊂ Z×Z � êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òàêîå ÷òî π−1|G �èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå (èíûìè ñëîâàìè âñå ýëåìåíòû b− a ðàçëè÷íû êîãäà (a, b) ∈ G). Èìååòìåñòî íåðàâåíñòâî (êîíñòàíòû â íåðàâåíñòâå íå çàâèñÿò îò ìíîæåñòâà G è ãðóïïû Z)

|G| .(

maxr=0,1,2,∞

|πr(G)|) 7

4

.

Ñëåäñòâèå 3.2.6. Ïóñòü G ⊂ Rd × Rd. Òîãäà

Nδ(π−1(G)) .(

maxr=0,1,2,∞

Nδ(πr(G))) 7

4

.

45

Âûâîä ñëåäñòâèÿ 3.2.6 èç òåîðåìû 3.2.5. Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà δ ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Gδ:

Gδ ={x ∈ δ(Zd × Zd)

∣∣∣ dist(x,G) 6√

2dδ}.

Äîêàæåì, ÷òî Nδ(G) � |Gδ|. Êîíñòàíòû â ýòîì ñîîòíîøåíèè, ðàçóìååòñÿ, ìîãóò çàâèñåòü îò ðàç-ìåðíîñòè d. Íà âðåìÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ââåä�åì îáîçíà÷åíèå D = 2d, òî åñòü, âñ�åïðîèñõîäèò â ïðîñòðàíñòâå RD.

Ñíà÷àëà ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî Nδ(G) . |Gδ|. Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî G ñîäåðæèòñÿ â√Dδ-

îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà Gδ, òàê êàê â çàìêíóòîé√Dδ-îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà RD

ëåæèò êàêàÿ-òî òî÷êà ðåø�åòêè δZD. Ñòàëî áûòü, ìíîæåñòâî G ìîæíî ïîêðûòü |Gδ| øàðàìè ðàäè-óñà√Dδ. Ñëåäîâàòåëüíî, N√Dδ(G) 6 |Gδ| è ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç óïðàæíåíèÿ 3.2.1.

Òåïåðü äîêàæåì îáðàòíîå íåðàâåíñòâî |Gδ| . Nδ(G). Ïóñòü Bδ(xj), j = 1, 2, . . . ,Nδ(G), � ïîêðû-òèå ìíîæåñòâà G øàðàìè ðàäèóñà δ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

Gδ ⊂{x ∈ δZD

∣∣∣ dist(x,∪jBδ(xj)) 6√Dδ}

=

Nδ(G)⋃j=1

{x ∈ δZD

∣∣∣ dist(x,Bδ(xj)) 6√Dδ}.

Ñëåäîâàòåëüíî, îñòàëîñü äîêàçàòü îöåíêó∣∣∣{x ∈ δZD ∣∣∣ dist(x,Bδ(y)) 6√Dδ}∣∣∣ . 1

íåçàâèñèìî îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè y è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà δ. Âî-ïåðâûõ, èçáàâèìñÿ îò ïàðàìåòðà δ,ïîëüçóÿñü ðàñòÿæåíèÿìè è ïðîèçâîëüíîñòüþ òî÷êè y:∣∣∣{x ∈ δZD ∣∣∣ dist(x,Bδ(y)) 6

√Dδ}∣∣∣ =

∣∣∣{x ∈ ZD ∣∣∣ dist(x, B1(y)) 6√D}∣∣∣, y =

y

δ.

Âî-âòîðûõ, èçáàâèìñÿ îò øàðà:∣∣∣{x ∈ ZD ∣∣∣ dist(x, B1(y)) 6√D}∣∣∣ =

∣∣∣{x ∈ ZD ∣∣∣ dist(x, y) 6 (1 +√D)}∣∣∣.

Òåïåðü îñòà�åòñÿ îòìåòèòü, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè x èç ýòîãî ìíîæåñòâà, øàðèê B 12(x) ëåæèò â

øàðå B 32 +√D(y), è òàêèå ìàëåíüêèå øàðèêè äèçúþíêòíû. Ñòàëî áûòü,

∣∣∣{x ∈ ZD ∣∣∣ dist(x, y) 6 (1 +√D)}∣∣∣ 6 2D

(3

2+√D)D

.

Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñîîòíîøåíèå Nδ(G) � |Gδ| è ìîæåì ïðèñòóïèòü ñîáñòâåííî ê âûâîäóñëåäñòâèÿ 3.2.6 èç òåîðåìû 3.2.5.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî Gδ è âûêèíåì èç íåãî, åñëè íàäî, íåêîòîðûå òî÷êè òàê, ÷òîáûîòîáðàæåíèå π−1|Gδ ñòàëî èíúåêòèâíûì, à ìíîæåñòâî π−1[Gδ] íå ïîìåíÿëîñü. Ïîëó÷åííîå ìíîæå-ñòâî íàçîâ�åì Gδ. Ðàññóæäàÿ òàê æå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåðàâåíñòâà Nδ(G) . |Gδ| (çàìå÷àÿ,÷òî êàæäàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà π−1(G) ëåæèò â

√2dδ-îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà π−1(Gδ)), çàïèøåì öå-

ïî÷êó íåðàâåíñòâ:

Nδ(π−1(G)) . |π−1(Gδ)| = |Gδ|Òåîð.3.2.5

.(

maxr=0,1,2,∞

|πr(Gδ)|) 7

4

.

Ñòàëî áûòü, äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü íåðàâåíñòâî

|πr(Gδ)| . Nδ(πr(G))

46

äëÿ âñÿêîãî r = 0, 1, 2,∞. Âûâîä àíàëîãè÷åí äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà |Gδ| . Nδ(G), ïðè-âåä�åííîìó âûøå. À èìåííî, ïóñòü Bδ(yj), j = 1, 2, . . . ,Nδ(πr(G)), � ïîêðûòèå ìíîæåñòâà πr(G)øàðàìè ðàäèóñà δ (â Rd). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

πr(Gδ) = πr(Gδ) ⊂Nδ(πr(G))⋃

j=1

{x ∈ δπr[ZD]

∣∣∣ dist(x,Bδ(yj)) 6√Dδ},

ïîýòîìó ðåçóëüòàò áóäåò ñëåäîâàòü èç îöåíêè∣∣∣{x ∈ πr[ZD]∣∣∣ dist(x, y) 6 1 +

√D}∣∣∣ . 1.

Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî πr[ZD] � ðåø�åòêà.

Âûâîä òåîðåìû 3.2.2 èç ñëåäñòâèÿ 3.2.6. Ïóñòü K � ìíîæåñòâî Áåçèêîâè÷à â Rd. Äëÿ âñÿêîé òî÷-êè ξ ∈ Sd−1, âûáåðåì òî÷êè aξ, bξ, òàêèå ÷òî |bξ − aξ| = 1, bξ − aξ ‖ ξ è îòðåçîê [aξ, bξ] öåëèêîìñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå K. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî G ⊂ R2d:

G = {(aξ, bξ) | ξ ∈ Sd−1}

è ïðèìåíèì ê íåìó ñëåäñòâèå 3.2.6. Çàìåòèì, ÷òî π0(G) ⊂ K, π∞(G) ⊂ K, π1(G) ⊂ 2K è π2(G) ⊂ 3K,ãäå ìíîæåñòâà nK îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðàñòÿæåíèÿ ìíîæåñòâà K â n ðàç (â ÷àñòíîñòè, Nδ(nK) 6ndNδ(K)). Ïîýòîìó,

maxr=0,1,2,∞

Nδ(πr(G)) . Nδ(K).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ñâîéñòâó ïîñòðîåíèÿ òî÷åê aξ, bξ, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî π−1(G) = Sd−1 èïîýòîìó Nδ(π−1(G)) & δ1−d. Ïî ñëåäñòâèþ 3.2.6,

Nδ(K) & δ47 (1−d),

÷òî è äà�åò îöåíêó ðàçìåðíîñòè:

dimMinkK = limδ→0

logNδ(K)

| log δ|>

4

7(d− 1).

Òàêèì îáðàçîì, íàì îñòàëîñü äîêàçàòü òåîðåìó 3.2.5. Äëÿ ýòîãî íàì áóäåò óäîáíî ââåñòè íåñêîëü-êî îïðåäåëåíèé.

Îïðåäåëåíèå 3.2.7. Ïóñòü f : X → Y � îòîáðàæåíèå. Ââåä�åì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íàìíîæåñòâå X:

x1 ∼ x2 ⇐⇒ f(x1) = f(x2).

Ñèìâîëîì [x]Xf áóäåì îáîçíà÷àòü êëàññ ñìåæíîñòè ýëåìåíòà x îòíîñèòåëüíî ýòîãî îòíîøåíèÿ ýêâè-âàëåíòíîñòè.

Çàìå÷àíèå 3.2.8. Îòìåòèì ïðîñòîå, íî î÷åíü âàæíîå íåðàâåíñòâî∣∣∣{x ∈ X ∣∣∣ |[x]Xf | >|X|2|Y |

}∣∣∣ > |X|2.

Äåéñòâèòåëüíî, ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ñìåæíîñòè íå áîëåå Y , ñòàëî áûòü, îáúåäèíåíèå òåõ èç íèõ,

ìîùíîñòü êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò |X|2|Y | , ïîêðûâàåò íå áîëåå ïîëîâèíû ìíîæåñòâà X.

47

Îïðåäåëåíèå 3.2.9. Óëó÷øåíèåì ìíîæåñòâà X ïðè ïîìîùè îòîáðàæåíèÿ f íàçîâ�åì ìíîæåñòâî{x ∈ X

∣∣∣ |[x]Xf | >|X|2|Y |

}.

Â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.2.5 âàæíóþ ðîëü áóäåò èãðàòü ìíîæåñòâî V :

V = {((a, b1), (a, b2)) ∈ Z4 | (a, b1), (a, b2) ∈ G}.

Åãî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìíîæåñòâî âåðòèêàëüíûõ îòðåçêîâ ñ êîíöàìè â ìíîæåñòâå G.

Ëåììà 3.2.10. Ïóñòü N = maxr=0,1,2,∞ |πr(G)|. Òîãäà |V | > |G|2N .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a1, a2, . . . , aN � âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïåðâîé êîîðäèíàòû òî÷åê ìíîæå-ñòâà G (â ÷àñòíîñòè, N 6 N), ïóñòü

Ai = {g ∈ G | π0[g] = ai}, i = 1, 2, . . . , N .

Òîãäà |V | =∑Ni=1 |Ai|2, |G|2 = (

∑Ni=1 |Ai|)2 è óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè�

Áóíÿêîâñêîãî�Øâàðöà.

Ëåììà 3.2.11. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 3.2.5 è îáîçíà÷åíèè N = maxr=0,1,2,∞ |πr(G)|, èìååò ìåñòî

îöåíêà |V | . N52 .

Çàìå÷àíèå 3.2.12. Òåîðåìà 3.2.5 åñòü ïðÿìîé ñëåäñòâèå ëåìì 3.2.10 è 3.2.11.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.2.11. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ν : V → Z, çàäàííóþ ïî ïðàâèëó

ν((a, b1), (a, b2)) = a+ 2b1 − b2.

Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî w ∈ V èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

|[w]Vν | 6 N. (3.2.1)

Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì âñå ïàðû ((a, b1), (a, b2)), òàêèå ÷òî

ν((a, b1), (a, b2)) = (a− b2) + 2b1 = z

äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà z ∈ Z, îïðåäåëÿþùåãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îòìåòèì,÷òî ïåðåìåííàÿ b1 ïðîáåãàåò íå áîëåå ÷åì N ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé. Èç èíúåêòèâíîñòè π−1 ñëåäóåò,÷òî äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ b1 ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîé ïàðû (a, b2), ðåøàþùåé óðàâíåíèå. Ñòàëîáûòü, ïðè ôèêñèðîâàííîì z âñåãî ðåøåíèé íå áîëåå N , ÷òî è äîêàçûâàåò íåðàâåíñòâî (3.2.1).

Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó (3.2.1), ÷òîáû äîêàçàòü ëåììó, äîñòàòî÷íî íàéòè ýëåìåíò w0 ∈ V , òàêîé÷òî

[w0]Vν &|V |2

N4. (3.2.2)

Ðàññìîòðèì åù�å äâå ôóíêöèè, îòîáðàæàþùèå V â Z × Z:

π1 ⊗ π1[(a, b1), (a, b2)] = (a+ b1, a+ b2);

π2 ⊗ π∞[(a, b1), (a, b2)] = (a+ 2b1, b2).

Îòìåòèì, ÷òî ν åñòü ôóíêöèÿ îò êàæäîé èç ýòèõ ôóíêöèé (òî åñòü, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàêêîìïîçèöèÿ ïàðû ïðîåêöèé è åù�å êàêîãî-òî îòîáðàæåíèÿ). Ïîýòîìó äëÿ âñÿêîãî w ∈ V è âñÿêîãîìíîæåñòâà V ⊂ V èìåþò ìåñòî âëîæåíèÿ

[w]Vν ⊂ [w]Vπ1⊗π1; [w]Vν ⊂ [w]Vπ2⊗π∞ . (3.2.3)

48

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèè π1⊗ π1 è π2⊗ π∞ ïîðîæäàþò �òðàíñâåðñàëüíûå ðàçáèåíèÿ� â òîìñìûñëå, ÷òî åñëè π1⊗ π1(v1) = π1⊗ π1(v2) è π2⊗ π∞(v1) = π2⊗ π∞(v2), òî v1 = v2. Ýòîò ôàêò ëåãêîóñòàíîâèòü, ðåøèâ ëèíåéíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé.

Òåïåðü ïðèøëî âðåìÿ óëó÷øåíèé! Ïóñòü W � óëó÷øåíèå ìíîæåñòâà V ïðè ïîìîùè îòîáðàæå-íèÿ π1 ⊗ π1, à W0 � óëó÷øåíèå ìíîæåñòâà W ïðè ïîìîùè îòîáðàæåíèÿ π2 ⊗ π∞. Ñîãëàñíî çàìå-÷àíèþ 3.2.8, ìíîæåñòâî W0 íåïóñòî (ìû êîíå÷íî æå ïðåäïîëîæèëè |V | > 4, â ïðîòèâíîì ñëó÷àåíå÷åãî äîêàçûâàòü). Ïóñòü w0 ∈W0. Â òàêîì ñëó÷àå, âëîæåíèÿ (3.2.3) ïîçâîëÿþò çàêëþ÷èòü⋃

w∈[w0]Wπ2⊗π∞

[w]Vπ1⊗π1⊂ [w0]νV .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî �òðàíñâåðñàëüíîñòè� îòîáðàæåíèé π1 ⊗ π1 è π2 ⊗ π∞, ìíîæåñòâà [w]Vπ1⊗π1,

êîòîðûå ìû îáúåäèíÿåì, äèçúþíêòíû. Ìîùíîñòü êàæäîãî èç íèõ õîòÿ áû |V |22N , è âñåãî èõ õîòÿ

áû |V |24N2 , ÷òî è äîêàçûâàåò íåðàâåíñòâî (3.2.2), à ñ íèì è âñþ ëåììó.

10.12.2018

3.3 Ãèïîòåçà Êàêåéÿ â êîíå÷íûõ ïîëÿõ

Çà÷àñòóþ â àíàëèçå äëÿ ðåøåíèÿ íåïðåðûâíîé çàäà÷è (ïðî ôóíêöèè íà åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå)ñòðîÿò äèñêðåòíóþ ìîäåëü (íàïðèìåð, ïðî ôóíêöèè íà êîíå÷íîì èëè ñ÷�åòíîì ìíîæåñòâå). Ðåøà-þò çàäà÷ó â äèñêðåòíîé ìîäåëè, ïîñëå ÷åãî ïåðåíîñÿò ðåøåíèå íà íåïðåðûâíûé ñëó÷àé. Â ñëó÷àåãèïîòåçû Êàêåéÿ, äèñêðåòíóþ ïîñòàíîâêó ïðåäëîæèë Âîëüô.

Ïóñòü Fq � êîíå÷íîå ïîëå èç q ýëåìåíòîâ, Fdq åñòü d-ìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä íèì.

Îïðåäåëåíèå 3.3.1. Ìíîæåñòâî K ⊂ Fdq íàçîâ�åì ìíîæåñòâîì Êàêåéÿ, åñëè äëÿ âñÿêîãî ýëåìåí-òà y ∈ Fdq íàéä�åòñÿ ýëåìåíò x ∈ Fdq , òàêîé ÷òî ïðÿìàÿ

Ly,x = {x+ ay | a ∈ Fq} (3.3.1)

öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåñòâå K.

Äèñêðåòíûé àíàëîã ãèïîòåçû Êàêåéÿ òàêîâ: ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = C(d), òàêàÿ ÷òî äëÿâñÿêîãî ìíîæåñòâà Êàêåéÿ â Fdq èìååò ìåñòî îöåíêà |K| > C(d)qd. Â 2008 ãîäó Ç. Äâèð ([2]) äîêàçàëäèñêðåòíóþ ãèïîòåçó Êàêåéÿ.

Îïðåäåëåíèå 3.3.2. Ïóñòü δ, γ ∈ (0, 1). Ìíîæåñòâî K íàçîâ�åì (δ, γ)-Êàêåéÿ, åñëè äëÿ õîòÿ áû δqd

âåêòîðîâ y ∈ Fdq ñóùåñòâóþò òî÷êè x ∈ Fdq , òàêèå ÷òî ïðÿìàÿ (3.3.1) ïåðåñåêàåò ìíîæåñòâî K ïîõîòÿ áû γq òî÷êàì.

Òåîðåìà 3.3.3. Ïóñòü ìíîæåñòâî K åñòü (δ, γ)-Êàêåéÿ. Òîãäà

|K| > Cd−1n+d−1, n = [qmin(δ, γ)]− 2.

Ñëåäñòâèå 3.3.4. Åñëè K � ìíîæåñòâî Êàêåéÿ, òî |K| > C(d)qd−1.

Ñëåäñòâèå 3.3.5. Äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C = C(d, ε), òàêàÿ ÷òî |K| >Cqd−ε, åñëè K � ìíîæåñòâî Êàêåéÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ÷èñëî r ∈ N òàêîâî, ÷òî 1r 6 ε. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

K ×K × . . .×K︸︷︷︸r ðàç

⊂ Fdrq

49

è çàìåòèì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî åñòü ìíîæåñòâî Êàêåéÿ â Fdrq . Ïðèìåíèâ ê íåìó ñëåäñòâèå 3.3.4,ïîëó÷èì îöåíêó

|K|r > Cqdr−1,

÷òî ïîñëå èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ r-îé ñòåïåíè è äàñò òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.

Ïðèïîìíèì ïîëåçíóþ ëåììó. Äîêàçàòåëüñòâî îñòà�åòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.

Ëåììà 3.3.6 (Ëåììà Øâàðöà�Çèïïåëÿ). Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f ∈ Fq[x1, x2, . . . , xd] ñòåïåíè D, îáíó-ëÿþùèéñÿ â áîëåå ÷åì Dqd−1 òî÷êàõ, òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ.

Çàìå÷àíèå 3.3.7. Ëåììîé Øâàðöà�Çèïïåëÿ çà÷àñòóþ íàçûâàþò áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.3.3. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü |K| < Cd−1n+d−1. Èíûìè ñëîâàìè,

ìîùíîñòü ìíîæåñòâà K ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ìîíîìîâ ñòåïåíè n â Fq[x1, x2, . . . , xd]. Ñëå-äîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí g ñòåïåíè n, òàêîé ÷òî g 6= 0, íî g|K = 0. Ìû õîòèìïðèäòè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ëåììîé Øâàðöà�Çèïïåëÿ, äîêàçàâ, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ó ìíîãî÷ëåíà gáîëåå ÷åì nqd−1 êîðåíü.

Ïóñòü L ⊂ Fdq åñòü ìíîæåñòâî õîðîøèõ íàïðàâëåíèé:

L = {y | ∃x ∈ Fdq |K ∩ Ly,x| > γq}.

Ïîêàæåì, ÷òî g(y) = 0 åñëè y ∈ L. Â ñëó÷àå y = 0 âñ�å è òàê ÿñíî, òàê êàê ìíîãî÷ëåí g îäíîðîäåí,ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü y 6= 0. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà a 7→ g(x+ay) îäíîé ïåðåìåííîé íå áîëüøå n. Ïðèýòîì îí îáíóëÿåòñÿ õîòÿ áû â γq > n+ 2 òî÷êàõ. Çíà÷èò, îí òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ. Ïîñìîòðèìòåïåðü íà ìíîãî÷ëåí b 7→ g(bx + y). Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îí òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ (òîãäàåãî çíà÷åíèå â íóëå ðàâíî íóëþ, à ýòî è åñòü g(y)). Íî ïî îäíîðîäíîñòè g(bx + y) = bng(x + b−1y),åñëè y 6= 0, à ýòî âûðàæåíèå îáíóëÿåòñÿ ïðè âñåõ b−1. Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìûé ìíîãî÷ëåí òîæåèìååò ñòåïåíü íå áîëåå n è îáíóëÿåòñÿ õîòÿ áû â γq−1 > n+ 1 òî÷êàõ, îí òîæå òîæäåñòâåííî ðàâåííóëþ.

Îñòà�åòñÿ çàìåòèòü, ÷òî |L| > δqd > nqd−1, ÷òî è äà�åò ïðîòèâîðå÷èå ñ ëåììîé Øâàðöà�Çèïïåëÿ.

Óïðàæíåíèå 3.3.1. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî Êàêåéÿ â Fdq óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

|K| > Cdq+d−1 & qd,

íåñêîëüêî èçìåíèâ ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3.3.

50

Ëèòåðàòóðà

[1] M. C. Chang, A polynomial bound in Freiman's theorem, Duke Math. J. 113 (2002), 289�311.

[2] Z. Dvir, On the size of Kakeya sets in �nite �elds, J. Amer. Math. Soc. 22 (2009), 1093�1097.

[3] Ã. À. Ôðåéìàí, Íà÷àëà ñòðóêòóðíîé òåîðèè ñëîæåíèÿ ìíîæåñòâ, Êàçàíü 1966.

[4] A. Geroldinger, I. Rusza, Combinatorial number theory and additive group theory, Advanced coursesin Mathematics, CRM Barcelona, 2009.

[5] B. J. Green, Structure theory of set addition, Edinburgh lecture notes.

[6] W. T. Gowers, Lower bounds of tower type for Szemeredi's regularity lemma, Geom. Funct. Anal. 7(1997), 322�337.

[7] K. Gyarmati, S. Konyagin, I. Z. Ruzsa, Double and triple sums modulo a prime, AdditiveCombinatorics, CRM Proceedings and Lecture Notes 43 (2007), 271�277.

[8] N. H. Katz, T. Tao, New bounds for Kakeya problems, J. d'Anal. Math. 87:1 (2002), 231�263.

[9] G. Petridis, Plunnecke's inequality, Comb. Prob. Comt. 20:6 (2011), 921�938.

[10] T. Tao, A variant of the hypergraph removal lemma, J. of Comb. Theory, ser. A 113:7 (2006),1257�1280.

[11] T. Tao, V. Vu, Additive combinatorics, Camb. Stud. Adv. Math., Camb. Univ. Press, 2010.

[12] T. Wol�, Recent work connected with the Kakeya problem, lecture notes.

51

Êîíñïåêò ñïåöêóðñà ïî ... -...

Documents

Transcript of Êîíñïåêò ñïåöêóðñà ïî ... -...