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OutlineMotivation
Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
Efficient Learning of Label Ranking by SoftProjections onto Polyhedra
Thomas Achenbach
Technische Universitat Darmstadt
18. Januar 2008
Thomas Achenbach Label Ranking by Projections onto Polyhedra
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OutlineMotivation
Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
MotivationSzenarioNotation
Optimierung des Algorithmusduales ProblemWeitere Schritte
BenchmarksVoraussetzungenTests
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
Gegeben:
I Menge von Instanzen (z.B. Newsfeeds) aus instance space χ
I Endliche Menge von Labeln: γ mit γ = {1, 2, . . . , k} = [k]
I Feeds konnen ein oder mehrere Label zugeordnet werden:Mapping von Feed auf Label
I Jedes Label hat fur jeden Feed bestimmte Relevanz:Preference (Feed handelt z.B. hauptsachlich von Politik, einwenig von Wirtschaft usw.)
Problem:Wie moglichst schnell automatisch den Feeds die richtigen Labelsmit den richtigen Praferenzen zuordnen???
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
Also Ziel:
I Exaktes Mapping von instance space (Newsfeeds) zum targetspace (labels).
I dabei richtige Voraussage der label preferences
I moglichst schnell
Hier: Lernen aus Trainingsbeispielen (batch learning)
Betonung auf moglichst schnellGeht hier nur um Performance - Optimierung; dass Ziel erreichbarschon bekannt.Also zuerst: ansehen, was genau optimiert werden sollDazu: Vorarbeiten mit Notation... :
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
Ausgangspunkt:
I Instanz aus instance space: x ∈ χ, χ ⊆ Rn
I Vordefinierte endliche Menge von Labeln γ mitγ = {1, 2, . . . , k} = [k]
Lernziel: Label Ranking Function:I f : χ→ Rk mit Ruckgabewert:
I ~γ ∈ Rk target vector / label rankingI ~γi ∈ RI fr (x) rtes Element von ~γI ~γy > ~γy ′ ⇒ γ relevanter fur x als γ′
I ~γy = ~γy ′ moglichI Darstellung von ~γ als gerichteter gewichteter Graph moglich
z.B. Edge (3,1): ~γ3 − ~γ1 = 3 bei ~γ = (−1, 0, 2, 0,−1)
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
I fγ(x) > fγ′(x)⇒ γ relevanter fur x als γ′
I fr (x) = wr · x; wr ∈ Rn, χ ⊆ Rn ⇒ lineare Funktion (Das aberkeine echte Einschrankung (SVM Kernel trick...)
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
I Trainingsbeispiel: S = {(xi , ~γi )}mi=1; x ∈ χ,~γi ∈ Rk
Performance via Loss Function evaluiert(Notation: (a)+ = max{0, a}):
I ` : Rk × Rk → RI `r ,s(f(x), ~γ) = (((~γr − ~γs)− (fr (x)− fs(x)))+
I `r ,s zeigt wieweit constraint fr (x)− fs(x) ≥ ~γr − ~γs nichtberucksichtigt wird
Bis hierher nur paarweiser Vergleich der Label (r , s)Jetzt: Alle paarbasierten losses in einen loss zusammenfassen!
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
Paare von Labeln in d unabhangige Mengen aufteilen. Jede Mengeisomorph zu vollst. biparititem Graphen
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
I loss eines Subgraphen (Vj ,Ej): maximum uber den losses derPaare im Subgraphen
I zusatzl. Gewichtung der einzelnen Subgraphen mit(nichtnegativem) σj
=⇒ Loss:
`(f(x), ~γ) =d∑
j=1
σjmax(r ,s)∈Ej`r ,s(f(x), ~γ)
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
Mit loss-function jetzt label-ranking-function bilden:
I constrained optimization problem definieren (mit SVMParadigma)
I optimale Losung davon: label-ranking-function mit 2 Termen:
1. empirischer loss der label-ranking-function bezgl. Trainingsset2. penalty fur Komplexitat der Funktion (Regularisierungsterm),
i.e. Summe der Quadrate der Normen von {w1, . . . ,wk}3. Tradeoff zwischen beiden Termen durch Parameter C
kontrolliert
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
minw1,...,wk
1
2
k∑j=1
‖wj‖2 + Cm∑
i=1
`(f(xi ), ~γi ) mit : fγ(xi ) = wγ · xi
Und andere Notation der loss-function:
`(f(x), ~γ) = minξ∈Rd+
d∑j=1
σjξj
mit: ∀j ∈ [d ],∀(r , s) ∈ Ej , fr (x)− fs(x) ≥ ~γr − ~γs − ξj
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
SzenarioNotation
Ergibt das quadratische Optimierungsproblem:
minw1,...,wk ,ξ1
2
k∑j=1
‖wj‖2 + Cm∑
i=1
|E(~γ i )|∑j=1
σjξij
mit: ∀i ∈ [m],∀Ej ∈ E(~γ i ),∀(r , s) ∈ Ej ,wr · xi −ws · xi ≥~γ i
r − ~γ is − ξij ∀i , j , ξij ≥ 0
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duales ProblemWeitere Schritte
Ziele Optimierung:
I schnell
I soll mit allen Dekompositionen in Subgraphenzurechtkommen.
Herleitung des Algorithmus komplex!
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Grober Ablauf:
1. Iteration uber die Trainingsbeispiele
2. Iteration uber die Subgraphen
3. dort die ranking-function fur neues Beispiel verbessern
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Kern des Algorithmus:3. Punkt: ranking-function fur neues Beispiel verbessern:Dabei Ausgangsposition:
I schon label-ranking-function vorhanden ( {u1, . . . ,uk})I E(~γ) besteht aus nur einem vollstandigen bipartiten Graphen
I Ziel: Funktion verbessern wenn neues Beispiel verarbeitet wird
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Ergibt constrained optimization problem:
minw1,...,wk ,ξ1
2
k∑y=1
‖wy − uy‖2 + Cξ
mit: ∀(r , s) ∈ E ,wr · x−ws · x ≥ ~γr − ~γs − ξ, ξ ≥ 0
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
I label-ranking function schon vorhanden, reprasentiert durch{u1, . . . ,uk}
I Erinnerung: label-ranking-function fr (x) = ur · x;ur ∈ Rn, χ ⊆ Rn
Problemlosung kann aufgefasst werden als: Projektion von{u1, . . . ,uk} auf das Polyeder, dass mit den BeschrankungenDefiniert wird.Daher Name des Algorithmus: SOft-Projection Onto POlyhedraSOPOPO
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duales ProblemWeitere Schritte
Erlauterung zur Projektion (aus Wikipedia):
turkis, schwarz, violett sind die Beschrankungen; erlaubte punkte im blauen Polyeder; gestrichelte Rote sollen
optimiert werden (soweit wie moglich nach rechts schieben)
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Losung des Problems in mehreren Schritten:
I Duales Problem finden
I Anzahl m der Variablen im dualen Problem von k2/4 ≥ m aufk reduzieren
I Aufteilung des Problems in zwei einfachere
Ergebnis: Komplexitat von O(k log(k))
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Duales Problem:
I primare Zielfunktion ist konvex
I primare constraints sind linear
I Es gibt Losung fur primares Problem (setze wy = 0 undξ = max(r ,s)∈E (~γr − ~γs)
=⇒ strong duality
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Finden des Problems:Lagrange des Primarproblems bilden:
mit: ∀(r , s) ∈ E : τr ,s ≥ 0, ζ ≥ 0
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
I teilterme fallen weg
I Primaervariablen konnen beseitigt werden
I Umformung fuhrt zu Ergebnis
I Dann Anzahl der Variablen im dualen Problem auf kreduzieren.
I Problem in zwei einfache Teilprobleme aufteilen
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duales ProblemWeitere Schritte
Zur Ansicht:
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Weiter im Algorithmus:
I Jetzt nur eine Projektion fur einen einzigen vollstandigenbipartiten Graphen
I Algorithmus soll aber auf jeder beliebigen Aufteilungfunktionieren
I Gesucht also Algorithmus der Urspruengliche Aufgabe lost,indem er immer wieder SOPOPO verwendet
I ursprungliches Problem vereinfachen (syntax) ⇒
minw’,ξ1
2‖w’‖2 +
m∑i=1
Ciξi
Mit Beschrankungen
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OutlineMotivation
Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Fur die Vereinfachung:
I Duales Problem suchen (Lagrange...)I Dann Algorithmus der in Runden arbeitet:
I In jeder Runde wird eine Menge von dualen Variablenupgedatet
I alle anderen variablen sind fix
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
duales ProblemWeitere Schritte
Ansicht des Algorithmus in Pseudocode:
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
VoraussetzungenTests
LOQO: Kommerzielles Paket zur linearen Optimierung, basiertauf interior point MethodeAngesteuert mit Matlab-Interface, Implementierung selbst: C++SOPOPO: Implementiert in MatlabTestdaten immer zufallig gewahlt (Normalverteilt)
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
VoraussetzungenTests
Erster Test: Performance Soft-projection auf ein Polyeder /originares Problem
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
VoraussetzungenTests
Aber: Test ’unfair’, da:
I LOQO ist general purpose, nimmt daher immer interial pointAlgorithmus
I SOPOPO optimiert immer auf:
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VoraussetzungenTests
Daher LOQO direkt auch auf das optimierte Problem angesetzt:
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Optimierung des AlgorithmusBenchmarks
VoraussetzungenTests
Gesamttest batchlearning:Jeweils 10x mehr Beispiele als Labels (k) generiert
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