拡散現象

不可逆な過程

ランダムウォーク 1

!!

１ステップの移動

! : 定数!: ランダム

1000 粒子 反射壁拡散現象

ランダムウォーク 2

分布は空間的に一様化注：個々の粒子は有意に空きスペースに行こうとする訳ではない.

１次元ランダムウォーク

(1) 各粒子は 秒ごとに距離 だけ右か左に移動する.! !

(2) 各ステップで左右に行く確率はそれぞれ 1/2 であり, 前のステップでどちらに動いたかは記憶していない.

(3) 各粒子は他の粒子と独立に動き, 相互作用することは ない.

! 2! 3!!3! !2! !! 0

粒子の位置の平均

i n第 番目の粒子の第 ステップにおける位置 : xi(n)

xi(n) = xi(n ! 1) ± ! 確率 1/2

初期時刻に 個の全粒子が原点にいる場合を考える.I

n第 ステップにおける粒子の平均位置 : !x(n)" =1I

I!

i=1

xi(n)

+!!!

xi(n ! 1)

!x(n)" !x(n " 1)#粒子数が十分大きいとき と　　　　　の関係は

⇤x(n)⌅ =1I

I�

i=1

(xi(n � 1)± �)=1I

I�

i=1

xi(n� 1)= ⇥x(n � 1)⇤

粒子の位置の分散!x(n)" = 0

n第 ステップにおける粒子の位置の分散 :!x(n)2

"!x(0)" = 0

xi(n)2 = xi(n ! 1)2 ± !xi(n ! 1) + !2

!x(n)2

"=

!x(n ! 1)2

"+ !2

!x(n)2

"=

1I

I#

i=1

xi(n)2

=!x(n ! 2)2

"+ 2!2

= · · · =!x(0)2

"+ n!2

!x(n)2

"= n!2

粒子の広がり具合

粒子の広がり具合の指標

!x(t)2

"=

!2

"t

D =!2

2"とおくと

!x(t)2

"= 2Dt

D : 拡散係数!(t) =

!2Dt

標準偏差 !(t)

[D] = L2T!1

!x(n)2

"= n!2

時間変数 を導入する.t t = !n

粒子の広がる速さ

空気中の微粒子の拡散係数! 10!1cm2/sec

サイズ 10m 程度の部屋の 端から端まで香水の分子が 拡散によって移動するのに どれぐらいかかるか？

Ex. 4-1半径 の円 !

2Dt

長い距離を拡散で移動するには時間がかかる！

t =�(t)2

2D=

102

2� 10�5= 5� 106sec ⇥ 2 month

ランダムウォーク再びBox 1 Box 2

比率

0.0

0.5

1.0

t

0.0

0.5

1.0

t

0.0

0.5

1.0

t

0.0

0.5

1.0

t

粒子数とゆらぎ

1000粒子

10000粒子

10粒子

100粒子

粒子数：大

密度ゆらぎ：小

拡散のマクロな描像

ランダムさを含まない 決定論的方程式で記述可能になる．

拡散方程式（2 Box System）

u2(t)u1(t)Box 1 Box 2

Ex.4-2 の時間発展を記述する方程式を求めよ．u1, u2

面積 : A 面積 : A

密度 : 密度 :

Box 1 Box 2単位時間あたり 移動�u1(t)

単位時間あたり 移動Box 1 Box 2

�u2(t)�u2(t)

�u1(t)

最も簡単な拡散方程式2 Box System

Adu1

dt= �(u2 � u1), A

du2

dt= �(u1 � u2) k = �/A とおいて

du1

dt= k(u2 ! u1)

du2

dt= k(u1 ! u2)

初期値を (u1(0), u2(0)) = (u01, u

02) とするとき

この方程式を解き， のときのグラフを描け.

du1

dt= k(u2 ! u1)

du2

dt= k(u1 ! u2)

2 Box System の方程式を解く

いくつかの初期値に対し， 平面に解曲線をプロットしてみよ．

u1-u2

解曲線とは曲線 のこと {(u1(t), u2(t)); 0 t < 1}

Ex.4-3

Hint: ! = u1 + u2, " = u1 ! u2

とおいて と の方程式にする! !

2 Box System の方程式を解く

が保存され, 最終的には一様になるu1 + u2

d⇥

dt= 0,

d�

dt= �2k�

�(t) � �(0) = u01 + u0

2

�(t) = �0e�2kt = (u0

1 � u02)e

�2kt

Ex.4-3の解答

u1

u2

指数的収束！

t

u1

u2

拡散方程式（離散１次元版）uiui!1 ui+1u1 uI

dui

dt= k(ui!1 ! ui) + k(ui+1 ! ui) i = 2, 3, · · · , I ! 1

du1

dt= k(u2 ! u1)

duI

dt= k(uI!1 ! uI)

が保存されることを示せ.u1 + u2 + · · · + uI

Ex.4-4

両辺をすべて足しあわせれば明らか．

ui!1

ui+1

ui

離散ラプラシアン

dui

dt= k(ui!1 ! ui) + k(ui+1 ! ui)

= k(ui!1 ! 2ui + ui+1)

= 2k

!ui!1 + ui+1

2! ui

"

隣接セルの平均値の方に行こうとするダイナミクス

隣接セルの平均値と自分自身の差を測っている.

空間的な凹凸をなくそうとするはず

離散ラプラシアン

シミュレーション

拡散とは空間均一化のダイナミクスである.

最終的には limt!"

ui(t) = u0 =1I

I!

i=1

ui(0)

離散から連続へ

u 密度分布

x0 !

拡散方程式（１次元連続版）

流束 J = !D!u

!x

適当な区間 (a, b) での物の出入りを考えると

d

dt

! b

audx = !J(b) + J(a)

密度分布の勾配に比例 して物が流れる.

Fick の法則

a b

J(a) J(b)

拡散方程式（１次元連続版）Ex. 4-5

!J(b) + J(a) = D

! b

a

!2u

!x2dx であることを示せ.

(a, b)区間　　　 は任意であったので

１次元拡散方程式D：拡散係数（必ず正）

Ex. 4-6 の満たすべき方程式を求めよ. u

!u

!t= D

!2u

!x2

! b

a

"!u

!t! D

!2u

!x2

#dx = 0

u 密度分布

x0 !

拡散方程式（１次元連続版）

初期分布 ( における分布）が与えられたとき，その後の密度分布 がどのようになるのか？

区間の両端での条件が必要

!u

!t= D

!2u

!x2

初期値境界値問題 (ディリクレ条件)

for 0 < x < !, t > 0!u

!t= D

!2u

!x2

初期条件for 0 < x < !u(x, 0) = f(x)

x

t

B.C. B.C.

I.C.

u(x, t) ?

境界条件for t > 0u(0, t) = u(!, t) = 0

B.C.：境界条件boundary condition

I.C.：初期条件initial condition

初期値境界値問題 (ノイマン条件)

for 0 < x < !, t > 0!u

!t= D

!2u

!x2

for 0 < x < !u(x, 0) = f(x)

for t > 0!u

!x(0, t) =

!u

!x(", t) = 0

ノイマン境界条件は, 境界において物の出入り がないことを意味している.

初期条件境界条件

! !

0udxu の総量　　　　は保存されることを示せ.

Ex.4-7

d

dt

Z `

0udx =

Z `

0

@u

@tdx =

Z `

0D@2u

@x2dx =

D@u

@x

�`

x=0

= 0

境界条件についてlディリクレ (Dirichlet) 条件

lノイマン (Neumann) 条件

l周期境界条件 　

これは実は境界がないという条件である.

のように境界で の値が与えられる.uu(0, t) = u(!, t) = 0

のように境界で の値が与えられる.!u

!x(0, t) =

!u

!x(", t) = 0

!u

!x

u(0, t) = u(!, t),"u

"x(0, t) =

"u

"x(!, t)

円周上の関数

モード数の２乗に比例して, 素早く減衰する.

初期値が正弦波の解

um(x, t) = e!D(!m

" )2t sin

!mx

"

初期値が正弦波 であるような解を構成せよ. (ディリクレ条件）

sin!mx

"

Ex.4-8

(m = 1, 2, 3, · · ·)um(x, t) = am(t) sin⇡mx

`

am(t) = e!D(!m

" )2t

am(0) = 1

モード数の２乗に比例して, 素早く減衰する.ただし...

um(x, t) = e!D(!m

" )2t cos

!mx

"

um(x, t) = am(t) cos!mx

"(m = 0, 1, 2, · · ·)

初期値が正弦波 であるような解を構成せよ. (ノイマン条件）

cos

!mx

"

Ex.4-9

初期値が正弦波の解

am(t) = e!D(!m

" )2t

am(0) = 1

シミュレーション

4モード解

8モード解

ディリクレ条件

線形重ね合わせ区間 上で拡散方程式の初期値境界値問題を考える.[0, !]

u1(x, t), u2(x, t)

それらの１次結合 は初期条件u = a1u1 + a2u2

Ex.4-10上のことを確かめよ.

を満たす初期値境界値問題の解である．

u1(x, 0) = f1(x), u2(x, 0) = f2(x)がそれぞれ初期条件

を満たす解である時

u(x, 0) = f(x) f(x) = a1f1(x) + a2f2(x)ただし

�u

�t= a1

�u1

�t+ a2

�u2

�t= a1D

�2u1

�x2+ a2D

�2u2

�x2= D

�2u

�x2

u(0, t) = a1u1(0, t) + a2u2(0, t) = 0 u(�, t) = a1u1(�, t) + a2u2(�, t) = 0u(x, 0) = a1u1(x, 0) + a2u2(x, 0) = a1f1(x) + a2f2(x) = f(x)

区間 上で, 拡散方程式　　　　　　 の初期値境界値問題を考える. ただし, 境界条件はディリクレ条件で初期値が　　　　　　　　　　　 　　のとき

!u

!t= D

!2u

!x2

u(x, t)

(0, �)

u(x, 0) = 2 sin�x

⇥� sin

2�x

⇥を求めよ.

u(x, t) = 2 exp��D�2t

⇥2

�sin

�x

⇥� exp

��4D�2t

⇥2

�sin

2�x

⇥

u1(x, t) = exp��D�2t

⇥2

�sin

�x

⇥, u2(x, t) = exp

��4D�2t

⇥2

�sin

2�x

⇥

と置くと、解は と の一次結合 となる.u1 u2 u = 2u1 � u2

Ex.4-11

線形重ね合わせ

区間 上で, 拡散方程式　　　　　　 の初期値境界値問題を考える. ただし, 境界条件はノイマン条件で初期値が　　　　　　　　　　　 　　 のとき

!u

!t= D

!2u

!x2

u(x, t)

(0, �)

を求めよ.u(x, 0) =

13� cos

2�x

⇥+ 2 cos

3�x

⇥

と置くと、解は定数と と の一次結合 となる.u2 u3 u =13u0 � u2 + 2u3

u0(x, t) � 1

u2(x, t) = exp��4D�2t

⇥2

�cos

2�x

⇥, u3(x, t) = exp

��9D�2t

⇥2

�cos

3�x

⇥

u(x, t) =13� exp

��4D�2t

⇥2

�cos

2�x

⇥+ 2 exp

��9D�2t

⇥2

�cos

3�x

⇥

線形重ね合わせEx.4-12

シミュレーション

4モード解

20モード解＋

まず、高いモードの解（短波長の解）が先に減衰して、低いモードの解はゆっくりと .....

初期値　　　をフーリエサイン展開して構成する.f(x)

f(x) =!!

m=1

bm sin!mx

"

一般の初期値について (ディリクレ条件)

初期値が何であれ　　　　　　　であることを示せ.limt!"

u(x, t) = 0

Ex.4-13初期値境界値問題の解 を級数の形で求め，u(x, t)

u(x, t) =��

m=1

bm exp��D�2m2t

⇥2

�sin

�mx

⇥

limt!"

u(x, t) = 0 は明らか．

区間 (0,1) 上で, 拡散方程式　　　　　　 の

初期値境界値問題を考える. ただし, 境界条件は

ディリクレ条件で初期値は次のように与えられる.

!u

!t= D

!2u

!x2

u(x, t)フーリエ級数を用いて を求めよ.u(x, 0) = x(1� x) (0 � x � 1)

x(1� x) =8�3

�

n:odd

1n3

sin�nx (0 � x � 1)

フーリエ級数を用いて解くEx.4-14

u(x, t) =8

⇡3

X

n:odd

1

n3e�D⇡2n2t sin⇡nx

一般の初期値について (ノイマン条件)初期値　　　をフーリエコサイン展開して構成する.f(x)

f(x) = a0 +!!

m=1

am cos!mx

"

Ex.4-15初期値境界値問題の解 を級数の形で求め，u(x, t)

limt!"

u(x, t) を求めよ.

limt!"

u(x, t) = a0 =1

!

! !

0

f(x)dx f(x)の平均値

u(x, t) = a0 +��

m=1

ame�D(�m⇥ )2

t cos�mx

⇥

区間 (0,1) 上で, 拡散方程式　　　　　　 の

初期値境界値問題を考える. ただし, 境界条件は

!u

!t= D

!2u

!x2

また limt!"

u(x, t) は何になるか.u(x, t)フーリエ級数を用いて を求めよ.

Ex.4-16

フーリエ級数を用いて解く

ノイマン条件で初期値は次のように与えられる.

拡散方程式の シミュレーション

数値解法：差分法

偏微分方程式の数値解法の中で, 元の微分方程式の微分の部分を差分で置き換えて解く方法を差分法と言う.

他にも，有限要素法，有限体積法，境界要素法， スペクトル法など，いろいろある．

€

ʹ U (x) =U(x + δx) −U(x)

δx+Ο(δx)

€

ʹ U (x) =U(x) −U(x − δx)

δx+Ο(δx)

€

ʹ U (x) =U(x + δx) −U(x − δx)

2δx+Ο(δx 2)

Ex.4-18U !(x) U(x + !x) U(x)を を用いて近似せよ.と(1)

U(x ! !x)U !(x) U(x)を を用いて近似せよ.と(2)

U(x ! !x)U !(x)を を用いて近似せよ.と(3) U(x + !x)

関数　　 を のまわりで３次の項までTaylor 展開せよ.

€

U(x)

€

x(0 < !x ! 1)

Ex.4-17

U(x) +U !(x)

1!!x +

U !!(x)2!

!x2 +U !!!(x)

3!!x3 + O(!x4)

U(x) ! U !(x)1!

!x +U !!(x)

2!!x2 ! U !!!(x)

3!!x3 + O(!x4)

U(x + !x) =

U(x ! !x) =

の差分近似

€

ʹ U (x)

U !(x) ! U(x + !x) " U(x)!x

前進差分, 右側差分

U !(x) ! U(x) " U(x " !x)!x

U !(x) ! U(x + !x) " U(x " !x)2!x

y = U(x)y

xx + !xx ! !x x

後退差分, 左側差分

中心差分

の差分近似Ex.4-19

を を用いて近似せよ.U(x), U(x + !x), U(x ! !x)U !!(x)

U !!(x)

U !!(x) =U(x ! !x) ! 2U(x) + U(x + !x)

!x2+ O(!x2)

U !!(x) ! U(x " !x) " 2U(x) + U(x + !x)!x2

中心２階差分, 離散ラプラシアン

区間の離散化のしかた

京都方式

0 !等分I

!x = "/I

札幌方式

xi = i!x (i = 0, 1, · · · , I)

xi = (i ! 1/2)!x (i = 1, 2, · · · , I)

空間と時間の離散化

t

x

!x

!t

xi

tnxi = (i ! 1/2)!x

(i = 1, 2, · · · , I)

tn = n!t(n = 0, 1, 2, · · ·)

uni = u(xi, tn)

空間：札幌, 時間：京都

拡散方程式の差分化�u

�t= D

�2u

�x2

時間微分は前進差分で， 空間微分は中心２階差分で

u(x, t + �t)� u(x, t)�t

� Du(x� �x, t)� 2u(x, t) + u(x + �x, t)

�x2

t

x

(i = 1, 2, · · · , I; n = 0, 1, · · ·)

un+1i ! un

i

!t= D

uni!1 ! 2un

i + uni+1

!x2

境界条件の処理

un0

un1

unI+1

unI

un0 = !un

1 , unI+1 = !un

I

l ディリクレ条件un

0 + un1

2� u(0, tn) = 0,

unI + un

I+1

2� u(�, tn) = 0

差分のcellを両側に1つずつ広げて，そこでの値を とおく.un0 , un

I+1

境界条件の処理l ノイマン条件

un1 � un

0

�x� �u

�x(0, tn) = 0,

unI+1 � un

I

�x� �u

�x(�, tn) = 0

un0 = un

1 , unI+1 = un

I

un0 = un

I , unI+1 = un

1

l 周期境界条件

0 1 2

I +I 1I 1�

拡散方程式

境界条件

初期条件

(i = 1, 2, · · · , I; n = 0, 1, · · ·)

un+1i ! un

i

!t= D

uni!1 ! 2un

i + uni+1

!x2

(i = 1, 2, · · · , I)u0i = f(xi)

(n = 0, 1, · · ·)un0 = un

1 , unI+1 = un

I

un0 = !un

1 , unI+1 = !un

I

un0 = un

I , unI+1 = un

1

ディリクレ条件ノイマン条件周期境界条件

初期値境界値問題の計算スキーム

新しいステップの計算

i ! 1 i + 1i

n

n + 1

とおくと! =D"t

"x2

un+1i = un

i + !(uni!1 ! 2un

i + uni+1)

Explicit scheme

un+1i ! un

i

!t= D

uni!1 ! 2un

i + uni+1

!x2

計算手順

D.Eq. u1i (i = 1, 2, · · · , I)

B.C. u00, u

0I+1

I.C. u0

i = f(xi) (i = 1, 2, · · · , I)

計算の初め

von Neumann の安定性解析

波数 の周期関数 の成長を見る.k e!"1kx

数値シミュレーションでは, 各計算ステップで微小な 誤差が混入する.　これが計算ステップとともに指数的に成長するようならば, 計算は破綻する！

境界条件は無視.

すべての波数 に対し ある波数 に対し

k

k

|µ| ! 1

|µ| > 1

安定

不安定

成長係数 を調べる.µとおいて差分方程式に代入し, un

i = µne!"1kxi

µn+1e!"1kxi ! µne

!"1kxi

!t= D

µne!"1kxi!1 ! 2µne

!"1kxi + µne

!"1kxi+1

!x2

µ ! 1 =D!t

!x2(2 cos k!x ! 2) µ = 1 ! 4D!t

!x2sin2 k!x

2

1 ! 4D!t

!x2" µ " 1 !1 " 1 ! 4D!t

!x2は任意の数 k

!t ! !x2

2D

安定条件 空間の解像度を上げるために を小さくとると, を非常に小さく取らなければならない.

!x!t

拡散方程式の Explicit scheme の安定性を調べよ.

Explixcit Scheme の安定条件Ex.4-20

uni!1

uni+1

uni

安定条件が破れるとun+1

i = uni +

2D!t

!x2

!un

i!1 + uni+1

2! un

i

"

un+1i

un+1i!1

un+1i+1

2D!t

!x2> 1

un+1i

uni!1 + un

i+1

2は を行き過ぎる！

メッシュごとのジグザグ波形で指数発散 これが出たら, 安定性の破れをまず疑うべし！

Fully Implicit Scheme

uni ! un!1

i

!t= D

uni!1 ! 2un

i + uni+1

!x2

後退差分

とおくと! =D"t

"x2

��uni�1 + (1 + 2�)un

i � �uni+1 = un�1

i

i ! 1 i + 1i

n

n� 1

を既知とするとき，上式はに関する連立1次方程式となる．

書くとき，Dirichlet 条件と Neumann 条件、さらに周期境界条件それぞれの場合について行列 を書き下せ。

前述の連立方程式を行列を使って と

Fully Implicit SchemeAun = un�1

A

Ex.4-21

. . . . . .

. . . . . .. . . . . .A =

�

�����

�

�����

��

��

��1 + 2�

�� ��1 + 2�

��

1 + �

1 + �

Neumann

. . . . . .

. . . . . .. . . . . .A =

�

�����

�

�����

��

��

��1 + 2�

�� ��1 + 2�

��

1 + 3�

1 + 3�

Dirichlet

Periodic

. . . . . .

. . . . . .. . . . . .A =

�

�����

�

�����

��

��

��1 + 2�

�� ��1 + 2�

��

��

�� 1 + 2�

1 + 2�

無条件安定なScheme

Fully Implicit schemeEx.4-22

が無条件に安定であることを示せ．

uni ! un!1

i

!t= D

uni!1 ! 2un

i + uni+1

!x2

µne��1kxi � µn�1e

��1kxi

�t= D

µne��1kxi�1 � 2µne

��1kxi + µne

��1kxi+1

�x2

µ� 1 = µD�t

�x2(2 cos k�x� 2)

µ =�

1 +4D�t

�x2sin2 k�x

2

��1

ゆえに常に 0 < µ < 1 無条件安定

を大きくとれるかわり、連立１次方程式を解く必要あり�t

無条件安定なSchemeEx.4-23

Crank-Nicolson scheme

が無条件に安定であることを示せ．µne

��1kxi � µn�1e

��1kxi

�t=

D

2

�µne

��1kxi�1 � 2µne

��1kxi + µne

��1kxi+1

�x2

µn�1e��1kxi�1 � 2µn�1e

��1kxi + µn�1e

��1kxi+1

�x2

�

µ = (1�A)/(1 + A)

ただし A =2D�t

�x2sin2 k�x

2� 0 ゆえに常に |µ| � 1 無条件安定

µ� 1 = (µ + 1)D�t

2�x2(2 cos k�x� 2)

を大きくとれるかわり、連立１次方程式を解く必要あり�t

初期値問題（ 上の拡散方程式）!u

!t= D

!2u

!x2

u(x, 0) = f(x)

実は解は で与えられる．

これを示してみよう．

有限区間の場合と違い， がたまたま周期関数でないf(x)限り をフーリエ級数で書けない．f(x)

正規分布と熱核平均 ，標準偏差 の正規分布μ σ

平均 ，標準偏差 0 2Dt の正規分布

初め原点に集中していた大量のランダムウォーク粒子の時刻 における分布関数t

Ex.4-24G(x, t) が拡散方程式 を満たすことを確かめよ．

熱核（Heat Kernel）

0

+∞

これ何?

ディラックのデルタ関数

0

+∞

偶関数

平行移動したデルタ関数

1点での値を取り出す

ディラックのデルタ関数ヘビサイド関数

0

1

畳み込み積分

第1種不連続点なら微分もOK!

Ex.4-25を示せ．

熱核による解の表現!u

!t= D

!2u

!x2

u(x, 0) = f(x)

Ex.4-26

が上の初期値問題の解であることを示せ．

レポート課題Report4

(1) Ex.4-16 を解け．

(2) Ex.4-16 で与えられた初期値境界値問題をとして差分法によって解き，

における解 のグラフを描け．

（重ね描きでも，別々に描いてもよい. 　空間方向には100分割にしておこう．）

４つの時刻