CENTRO DE INVESTIGACION EN MATEMATICAS, A.C.Maestrıa en Ciencias con Especialidad en Matematicas Aplicadas

PROYECTO

Ecuaciones de Reaccion-Difusion

Estudiante: ROSA PATRICIA PENA ESCOBARProfesor: JESUS ADRIAN ESPINOLA ROCHA

Curso de Ecuaciones Diferenciales ParcialesGuanajuato-GTO, Diciembre de 2012

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Indice

1. Sistemas de reaccion-difusion 2

2. Reaccion y Difusion 42.1. Difusion. Ecuacion de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Ecuacion de calor en una barra finita con extremos mantenidos a temper-atura cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2. Conduccion de calor en una barra infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3. Conduccion de calor tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4. Conduccion de calor en un cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Reaccion. Modelo de crecimiento logıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Ejemplos fısicos de las ecuaciones reaccion-difusion 153.1. Genetica Poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Dispersion de mamıferos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Modelo lineal de Fischer del avance de los genes ventajosos . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Modelo continuo de morfogenesis de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Modelo de FitzHugh de la propagacion de un impulso voltaico en un nervio de axon

de una celula nerviosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6. Modelo de Brusselator para la reaccion Belousov-Zhabotinsky (RBZ) . . . . . . . . 18

4. Analisis del modelo de Fisher 194.1. Ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Apendice A. Serie de Fourier 24

6. Apendice B. Integral y Transformada de Fourier. 25

1

1. Sistemas de reaccion-difusion

Los sistemas de reaccion-difusion son modelos matematicos que describen como una o massustancias distribuidas en el espacio cambian bajo la influencia de dos procesos:

1) Difusion (Movimiento local)

2) Reaccion (Crecimiento, interacciones, cambios de estado)

1.1. DifusionDifusion es un fenomeno por medio del cual un grupo de partıculas se mueven como grupo deacuerdo a la trayectoria irregular de cada una de las partıculas. Ası los movimientos particularesirregulares dan como resultado un movimiento regular como grupo, a este fenomeno se le conocecomo proceso de difusion.

Por ejemplo, la ecuacion de calor que mas adelante estudiaremos. Para un subconjunto Ω deRn con frontera suave, si u ∈ C2(Ω × R+,R) denota la densidad de las partıculas, es decir paraΩ1 ∈ Ω ∫

Ω1

u(x, t) ≈ numero de partıculas en Ω (si la integral existe),

entonces, la ecuacion∂u(x, t)

∂t= D∆u(x, t)

con ∆u(x, t) =∑n

j=1∂2u(x,t)

∂x2j

y condicion inicial u(x, 0) = u0(x) es el problema de valores iniciales

de la ecuacion de calor. Las condiciones de frontera pueden ser

u|∂Ω(x, t) = 0 (Problema de Dirichlet),

o bien∂u

∂n

∣∣∂Ω

(x, t) = 0 (Problema de Neumann).,

donde n es un vector normal saliente en ∂Ω y ∂u∂n

:= ∇u · n representa el flujo.

1.2. ReaccionLas partıculas pueden tener reacciones quımicas o procesos biologicos, debido por ejemplo a inter-acciones o tambien de manera espontanea. Por ejemplo, consideremos un modelo poblacional enel que p(t) representa la densidad de la poblacion en un tiempo t. Un modelo para dicha densidadviene dado por la ecuacion

dp

dt= f(p)

donde, por ejemplo, el termino de ”reaccion”f puede ser de la forma f(p) := rp (crecimiento lineal)o f(p) := r(1− p

k)p (crecimiento logıstico).

2

1.3. Combinacion de reaccion y difusionSi sumamos los dos procesos anteriores con alguna de las condiciones de frontera tenemos unsistema de reaccion-difusion:

∂tu(x, t) = D∆u(x, t) + f(u(x, t)) en Ω× R+, (1)

u(x, 0) = u0(x) para x ∈ Ω, (2)

(3)

u(x, t) = 0 en Ω× R+, (Problema de Dirichlet),

o bien∂u(x, t)

∂n= 0 en Ω× R+, (Problema de Neumann).

donde Ω = Rn o algun abierto acotado de Rn con frontera suave, cada componente del vectoru(x, t) ∈ C2(Ω×R+,R) representa la concentracion de una sustancia en Ω al tiempo t, f : Rn → R+

es el termino de reaccion, D = diagd1, ..., dn es una matriz diagonal de coeficientes de difusion,di es una constante positiva para cada i, ∆ denota el operador laplaciano.

Los sistemas de reaccion difusion tienen la forma de ecuaciones parabolicas en derivadas par-ciales. Una ecuacion en derivadas parciales de segundo orden del tipo

auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f = 0

donde a, b, c, d, e, f ∈ Z, es parabolica si la matriz

[a bb c

]tiene un determinante igual a 0.

Los sistemas de reaccion-difusion se aplican a la modelacion de procesos tanto quımicos co-mo dinamicos de naturaleza no quımica. Encontramos ejemplos de tales aplicaciones en biologıa,quımica, geologıa, fısica, medicina, genetica, ciencias sociales, finanzas, economıa y ecologıa, ver[1],[2],[3].

La ecuacion de reaccion-difusion mas simple, tambien llamada ”ecuacion KPP” (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov) afecta la concentracion u de una sola sustancia en una dimension espacial:

∂tu = D∂2xu+R(u),

Si eliminamos el termino reaccion, representa un proceso de difusion, siendo la ecuacioncorrespondiente la ecuacion del calor.

Si R(u) = u(1− u), obtenemos la ecuacion de Fisher, utilizada originalmente para describirla expansion de las poblaciones biologicas, ver [9].

Si R(u) = u(1 − u2), obtenemos la ecuacion Newell-Whitehead-Segel para describir la con-venccion de Bernard, ver [10].

Si R(u) = u(1− u)(u− α) y 0 < α < 1, obtenemos la ecuacion Zeldovich que aparece en lateorıa de la combustion, ver [11].

Los sistemas de reaccion-difusion pueden dar lugar a un numero de interesantes fenomenos comocomportamiento asintotico, multiples estados eatcionarios, pulsos o frentes moviles y oscilaciones.

3

2. Reaccion y Difusion

En esta seccion veremos algunos ejemplos especıficos de procesos de reaccion y de difusion.Para el caso de difusion analizaremos la ecuacion de calor y para el caso de reaccion veremos elmodelo de crecimiento logıstico poblacional.

2.1. Difusion. Ecuacion de Calor

2.1.1. Ecuacion de calor en una barra finita con extremos mantenidos a temperaturacero

Modelo: Sea u = u(x, t) la funcion de distribucion de temperatura, entonces la ecuacion difer-encial que gobierna a u es la ecuacion de calor unidimensional:

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2, 0 < x < L, t > 0,

ademas las condiciones de frontera son u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 con la condicion inicial u(x, 0) =f(x).

Solucion: Por separacion de variables sea u(x, t) = X(x)T (t). Entonces

∂u

∂t= XT ′ y

∂2u

∂x2= X ′′T

Sustituyendo en la ecuacion diferencial

XT ′ = k2X ′′T.

Separando variables T ′

k2T= X′′

X. Esta igualdad se da solo cuando son iguales a una constante real

−λ, es decir T ′

kT= X′′

X= −λ. λ se llama constante de separacion. De aquı se tienen dos ecuaciones

ordinarias:X ′′ + λX = 0 (4)

T ′ + k2λT = 0. (5)

Ahora aplicando las condiciones de frontera a u(x, t) tenemosu(0, t) = 0 entonces X(0)T (t) = 0 si y solo si X(0) = 0 yu(L, t) = 0 entonces X(L)T (t) = 0 si y solo si X(L) = 0.Resolviendo (4):

Si λ = 0, entonces X ′′ = 0 cuya solucion es X(x) = c1 + c2x. Aplicando las condiciones defrontera tenemos que c1 = c2 = 0. Por lo tanto tenemos la solucion trivial X(x) = 0

Si λ < 0, entonces las raıces de la ecuacion caracterıstica son reales. r2 + λ = 0, r2 = −λ,r = ±

√−λ. Sea α =

√−λ, entonces X(x) = c1e

αx + c2e−αx aplicando las condiciones de

frontera tenemos la solucion trivial X(x) = 0.

4

Si λ > 0, entonces las raıces de r2 +λ = 0 son r = ±√−λ complejas conjugadas, sea r1 = βi

y r2 == −βi con β =√λ, entonces

X(x) = c1 cos βx+ c2 sin βx

aplicando las condiciones de frontera tenemos que si X(0) = 0, entonces c1 = 0 y si X(L) = 0entonces c2 sin βL = 0, esto pasa cuando c2 = 0 o sin βL = 0. Haciendo c2 6= 0, entoncesβL = nπ para n = 1, 2, 3..., de aquı β = nπ

Lo√λ = nπ

L, entonces

λn =(nπL

)2

.

Ası la solucion de (4) es

Xn(x) = cn sin(nπLx)

n = 1, 2, 3...

Ahora, resolviendo (5):

T ′ + k(nπL

)2T = 0 entonces Tn(t) = c∗e−k(

nπL )

2t, donde c∗ ∈ Z.

Por lo tanto para n = 1, 2, 3... tenemos las funciones

un(x, t) = bn sin(nπLx)c∗e−k(

nπL )

2t,

satisfacen la ecuacion de calor en [0, L] y las condiciones de frontera u(0, t) = u(L, t) = 0. Faltaencontrar una solucion que satisfaga la condicion inicial u(0, t) = f(x), entonces

f(x) = bn sin(nπLx).

Dado que no se puede deducir el valor de bn se aplica el principio de superposicion

u(x, t) =∞∑n=1

un =∞∑n=1

bn sin(nπLx)e−k(

nπL )

2t

y aplicando la condicion inicial tenemos f(x) =∑∞

n=1 bn sin(nπLx)

que esto representa la serie deFourier en senos1 de f en [0, L]. Ası elegimos

bn =2

L

∫ L

0

f(ξ) sin(nπLξ)dξ.

Ası tenemos la solucion para la distribucion de tempartura:

u(x, t) =2

L

∞∑n=1

(∫ L

0

f(ξ) sin(nπLξ)dξ

)sin(nπLx)e−k(

nπL )

2t . (6)

1Ver Apendice A para mas informacion de la Serie de Fourier

5

2.1.2. Conduccion de calor en una barra infinita

Para una situacion en donde la longitud del medio es mas grande que las otras dimensiones,algunas veces es conveniente modelar la conduccion de calor imaginando que la variable espacialse mueva sobre toda la recta real. Consideramos el problema

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2para −∞ < x <∞, t > 0, (7)

u(x, 0) = f(x) para −∞ < x <∞. (8)

No hay condiciones en la frontera, de manera que imponemos las condiciones fısicamente real-istas que las soluciones deben ser acotadas.Separamos las variables haciendo u(x, t) = X(x)T (t) para obtener:

X ′′ + λX = 0, T ′ + λkT = 0.

El problema para X es el mismo encontrado para la recta finita, y el mismo analisis produce losvalores propios λ = ω2 para ω ≥ 0 y las funciones propias de la forma aω cos(ωx) + bω sin(ωx).

El problema para T es T ′+ω2kT = 0, con solucion general e−ω2kt, que esta acotada para t ≥ 0.

Ahora tenemos, para ω ≥ 0, funciones

uω(x, t) = [aω cos(ωx) + b sin(ωx)]e−ω2kt

que satisface la ecuacion de calor y estan acotadas en la recta real. Para satisfacer la condicioninicial, intentamos una superposicion de estas funciones sobre todo ω ≥ 0, que toma la forma deuna integral:

u(x, t) =

∫ ∞0

[aω cos(ωx) + b sin(ωx)]e−ω2ktdω . (9)

Necesitamos

u(x, 0) =

∫ ∞0

[aω cos(ωx) + b sin(ωx)] = f(x).

Esta es la integral de Fourier de f(x) en la recta real 2, que nos lleva a elegir los coeficientes

aω =1

π

∫ ∞−∞

f(ξ) cos(ωξ)dξ

y

bω =1

π

∫ ∞−∞

f(ξ) sin(ωξ)dξ.

La integral (9) para la solucion algunas veces se escribe en forma mas compacta. Sustituimoslas integrales para los coeficientes en la integral para la solucion para escribir

u(x, t) =

∫ ∞0

[1

π

∫ ∞−∞

f(ξ) cos(ωξ)dξ cos(ωx) +1

π

∫ ∞−∞

f(ξ) sin(ωξ)dξ sin(ωx)

]e−ω

2ktdω

=1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

[cos(ωξ) cos(ωx) + sin(ωξ) sin(ωx)]f(ξ)dξe−ω2ktdω

2Ver apendice B para mas informacion de la integral de Fourier

6

u(x, t) =1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

[cos(ω(ξ − x))f(ξ)e−ω2ktdξdω (10)

Solucion fundamental de la ecuacion de calor por medio de separacion de variablesConsideramos nuevamente el problema

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2para −∞ < x <∞, t > 0, (11)

u(x, 0) = f(x) para −∞ < x <∞. (12)

Hemos resuelto este problema para obtener la doble integral

u(x, t) =1

π

∫ ∞0

∫ ∞−∞

[cos(ω(ξ − x))f(ξ)e−ω2ktdξdω

Como el integrando es una funcion par en ω, entonces esta solucion tambien se puede escribir como

u(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

[cos(ω(ξ − x))f(ξ)e−ω2ktdξdω.

Probaremos como esta solucion puede ponerse en terminos de una sola integral. Necesitamoslo siguiente:

LEMA:Para α y β, con β 6= 0, ∫ ∞

−∞e−ζ

2

cos

(αζ

β

)dζ =

√πe−α

2/4β2

.

Prueba: Sea

F (x) =

∫ ∞0

e−ζ2

cos(xζ)dζ.

Uno puede probar que esta integral converge par todo x, como sucede con la integral obtenida alintercambiar d/dx y

∫∞0· · · dζ. Podemos por tanto calcular

F ′(x) =

∫ ∞0

−e−ζ2ζ sin(xζ)dζ.

Integrando por partes para obtener

F ′(x) = −x2F (x).

EntoncesF ′(x)

F (x)= −x

2

y una integracion produce

ln |F (x)| = −1

4x2 + c.

EntoncesF (x) = Ae−x

2/4.

7

Para evaluar la constante A, usamos el hecho que

F (0) = A =

∫ ∞0

e−ζ2

dζ =

√π

2.

Por tanto ∫ ∞0

e−ζ2

cos(xζ)dζ =

√π

2e−x

2/4.

Finalmente, sea x = α/β y usamos el hecho de que el integrando es par respecto a ζ para obtener∫ ∞−∞

e−ζ2

cos

(αζ

β

)dζ = 2

∫ ∞0

e−ζ2

cos

(αζ

β

)dζ =

√πe−α

2/4β2

.

Ahora seaζ =√ktω, α = x− ξ, y β =

√kt.

Entoncesαζ

β= ω(x− ξ)

y ∫ ∞−∞

e−ζ2

cos

(αζ

β

)dζ =

∫ ∞−∞

e−ω2kt cos(ω(x− ξ))

√ktdω =

√πe−(x−ξ)2/4kt.

Entonces ∫ ∞−∞

e−ω2kt cos(ω(x− ξ))dω =

√π√kte−(x−ξ)2/4kt.

La solucion de la conduccion de calor en la recta real es, por tanto

u(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(ξ) cos(ω(ξ − x))e−ω2ktdξdω (13)

=1

2π

∫ ∞−∞

√π√kte−(x−ξ)2/4ktf(ξ)dξ. (14)

Ası la ecuacion (10) se reescribe como

u(x, t) =1

2√πkt

∫ ∞−∞

e−(x−ξ)2/4ktf(ξ)dξ . (15)

Solucion fundamental de la ecuacion de calor con transformada de Fourier.

Consideramos nuevamente el problema

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2para −∞ < x <∞, t > 0, (16)

u(x, 0) = f(x) para −∞ < x <∞. (17)

8

que hemos resuelto por separacion de variables. Como x varıa sobre la recta real, podemosintentar el uso de la transformada de Fourier3 en la variable x. Sea u = F[u(x, t)]. Tomamos latransformada de la ecuacion de calor para obtener

F

[∂u

∂t

]= kF

[∂2u

∂x2

].

Debido a que x y t son independientes, la transformada pasa a traves de la derivada parcial respectoa t:

F

[∂u

∂t

](ω) =

∫ ∞−∞

∂u(ξ, t)

∂te−iωξdξ =

∂

∂t

∫ ∞−∞

u(ξ, t)e−iωξdξ =∂

∂tu(ω, t).

Para la transformada, en la variable x, de la segunda derivada parcial de u respecto a x, usamosla formula operacional:

F

[∂2u

∂x2

](ω) = −ω2u(ω, t).

La transformada de la ecuacion de calor es, por tanto

∂

∂tu(ω, t) + kω2u(ω, t) = 0,

con solucion generalu(ω, t) = aωe

−ω2kt.

Para determinar el coeficiente aω, tomamos la transformada de la condicion inicial para obtener

u(ω, 0) = f(ω) = aω.

Por tanto,u(ω, t) = f(ω)e−ω

2kt.

Esta es la transformada de Fourier de la solucion del problema. Para recuperar la solucion aplicamosla inversa de la trasformada de Fourier

u(x, t) = F−1[f(ω)e−ω

2kt]

(x) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ω)e−ω2kteiωxdω.

La parte real de esta expresion es u(x, t). Para ver que esta solucion coincide con la obtenidapor separacion de las variables, insertamos la integral para f(ω) para obtener

1

2π

∫ ∞−∞

f(ω)e−ω2kteiωxdω =

1

2π

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

f(ξ)e−iωξdξ

)eiωxe−ω

2ktdω

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(ξ)e−iω(ξ−x)e−ω2ktdξdω (18)

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(ξ) cos(ω(ξ − x))e−ω2ktdξdω

− 1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(ξ) sin(ω(ξ − x))e−ω2ktdξdω.

3Ir a apendice B para ver informacion de la transformada de Fourier

9

Tomando la parte real de esta expresion, tenemos

u(x, t) =1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(ξ) cos(ω(ξ − x))e−ω2ktdξdω,

que concuerda con la solucion obtenida por separacion de variables.Otra manera de ver esto es cambiando el orden integracion de (18)

1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(ξ)e−iω(ξ−x)e−ω2ktdξdω =

1

2π

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

e−iω(ξ−x)e−ω2ktdω

)f(ξ)dξ

=1

2π

∫ ∞−∞

(2π

2√πkt

e−iω(ξ−x)2/4kt

)f(ξ)dξ

ası llegamos a la solucion fundamental

u(x, t) =1

2√πkt

∫ ∞−∞

e−(x−ξ)2/4ktf(ξ)dξ.

2.1.3. Conduccion de calor tridimensional

Consideramos la distribucion de temperatura u(x, y, z, t) en un prisma rectangular, plano yhomogeneo que cubra la region 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b y 0 ≤ z ≤ c en el espacio. Los lados semantienen a temperatura cero y la temperatura interior en el tiempo cero en (x, y, z) esta dadapor f(x, y, z). El problema para u es

∂u

∂t= k

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)para ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c, t > 0,

u(0, y, z, t) = u(a, y, z, t) = 0

u(x, 0, z, t) = u(x, b, z, t) = 0

u(x, y, 0, t) = u(x, y, c, t) = 0

u(x, y, z, 0) = f(x, y, z).

Sea u(x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t) obtenemos

XY ZT ′ = k(X ′′Y ZT +XY ′′ZT +XY Z ′′T )

de donde se tieneT ′

T= k

(X ′′

X+Y ′′

Y+Z ′′

Z

).

De aquı tenemos

X ′′ + αX = 0, Y ′′ + βY = 0, Z ′′ + γZ = 0 T ′ + (α + β + γ)kT = 0.

Aplicando las condiciones en la frontera tenemos

X(0) = X(a) = 0, Y (0) = Y (b) = 0, Z(0) = Z(c) = 0.

10

Los valores y funciones propios son

αn =(nπa

), Xn(x) = sin((nπ/a)x),

para n = 1, 2, 3...,

βm =(mπb

), Ym(y) = sin((mπ/b) y),

para m = 1, 2, 3...,

γp =(pπc

), Zp(x) = sin((pπ/c) z),

para p = 1, 2, 3....El problema para T es ahora

T ′ +

((na

)2

+(mb

)2

+(pc

)2)π2kT = 0,

con solucion generalTnmp(t) = cnmpe

((na

)2+(mb

)2+( pc

)2)π2kt.

Para cada entero positivo n,m, p, ahora tenemos las funciones

unmp(x, y, t) = dnmp sin(nπax)

sin(mπby)

sin(pπcz)e−((n

a)2+(m

b2+( p

c)2)π2kt.

que satisfacen la ecuacion de calor y las condiciones en la frontera. Por principio de superposicion

u(x, y, z, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

∞∑p=1

dnmp sin(nπax)

sin(mπby)

sin(pπcz)e−((n

a)2+(m

b2+( p

c)2)π2kt.

Aplicando condicion inicial

f(x) = u(x, y, z, 0) =∞∑n=1

∞∑m=1

∞∑p=1

dnmp sin(nπax)

sin(mπby)

sin(pπcz),

donde dnmp es el coeficiente de la serie tridimensional de Fourier

dnmp =8

abc

∫ a

0

∫ b

0

∫ c

0

f(x, y, z) sin(nπax)

sin(mπby)

sin(pπcz)dzdydx.

Ası la solucion es

u(x, y, z, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

∞∑p=1

dnmp sin(nπax)

sin(mπby)

sin(pπcz)e−((n

a)2+(m

b2+( p

c)2)π2kt ,

con

dnmp =8

abc

∫ a

0

∫ b

0

∫ c

0

f(x, y, z) sin(nπax)

sin(mπby)

sin(pπcz)dzdydx .

11

2.1.4. Conduccion de calor en un cilindro infinito

Consideremos el problema de determinar la funcion de distribucion de temparatura en uncilindro solido, de longitud infinita, homogeneo de radio R. El eje del cilindro esta a lo largo deleje z en el espacio x, y, z. Si u(x, y, z, t) es la funcion de temperatura, entonces u satisface

∂u

∂t= k

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

Es conveniente usar coordenadas cilındricas, las cuales consisten de las coordenadas polares en elplano junto con la coordenada usual z. Con x = r cos(θ) y y = r sin(θ), sea

u(x, y, z, t) = U(r, θ, z, t).

Sabemos que∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=∂2U

∂r2+

1

r

∂U

∂r+

1

r2

∂2U

∂θ2.

Ası, en coordenadas cilındricas, con U(r, θ, z, t) la temperatura en el cilindro en el punto (r, θ, z) yel tiempo t, U satisface:

∂U

∂t= k

(∂2U

∂r2+

1

r

∂U

∂r+

1

r2

∂2U

∂θ2+∂2U

∂z2

).

Supondremos que la temperatura en cualquier punto en el cilindro depende solamente del tiempo t yla distancia horizontal r desde el eje z. Esta suposicion simetrica significa que ∂U/∂θ = ∂U/∂z = 0,y la ecuacion de calor se convierte en

∂U

∂t= k

(∂2U

∂r2+

1

r

∂U

∂r

)para 0 ≤ r < R, t > 0.

En este caso escribiremos U(r, t) en lugar de U(r, θ, z, t).La condicion en la frontera es

U(R, t) = 0 para t > 0.

Esto significa que la superficie exterior del cilindro se mantiene a temperatura cero. La condicioninicial es

U(r, 0) = f(r) para 0 ≤ r < R.

Separamos las variables en la ecuacion de calor haciendo U(r, t) = F (r)T (t). Obtenemos

F (r)T ′(t) = k

(F ′′(r)T (t) +

1

rF ′(r)T (t)

).

Ya que r y t son variables independientes, esto produce

T ′

kT=F ′′ + (1/r)F ′

F= −λ.

Ası tenemos

T ′ + λkT = 0 y F ′′ +1

rF ′ + λF = 0.

12

Mas aun, U(R, t) = F (R)T (t) = 0 para t > 0, ası tenemos la condicion en la frontera F (R) = 0.El problema es singular en [0, R], con solo una condicion en la frontera. Imponemos la condicion

que la solucion debe ser acotada. Consideramos casos sobre λ:

CASO 1 λ = 0.

F ′′ +1

rF ′ = 0.

Hacemos w = F ′(r) obteniendo

w′(r) +1

rw(r) = 0,

orw′ + w = (rw)′ = 0.

Esta tiene solucion general rw(r) = c, ası w(r) = cr

= F ′(r). Entonces

F (r) = c ln(r) + d.

Tenemos que ln(r) → −∞ conforme r → 0+ (centro del cilindro), de manera que elegimosc = 0 para obtener una solucion acotada. Esto significa que F (r) =constante para λ =0. La ecuacion para T en este caso es T ′ = 0, con T =constante tambien. En este caso,U(r, t) =constante. Como U(R, t) = 0, esta constante debe ser cero. De hecho U(r, t) = 0es la solucion en el caso que f(r) = 0. Si la temperatura en la superficie se mantiene encero, y la temperatura en todo el cilindro es inicialmente cero, entonces la distribucion detemperatura permanece cero en todo tiempo, en ausencia de fuentes de calor.

CASO 2 λ < 0.Escribimos λ = −ω2 con ω > 0. Ahora T ′ − kω2T = 0 tiene solucion general

T (t) = ceω2kt,

que es no acotada a menos que c = 0, llevando nuevamente a U(r, t) = 0. Ası tenemos lasolucion trivial.

CASO 3 λ > 0, digamos λ = ω2.Ahora T ′ + kω2T = 0 tiene soluciones que son multiplos constantes de e−ω

2kt, y estas sonacotadas para t > 0. La ecuacion para F es

F ′′(r) +1

rF ′(r) + ω2F (r) = 0,

or2F ′′(r) + rF ′(r) + ω2r2F (r) = 0.

En esta forma reconocemos la ecuacion de Bessel de orden cero4 , con solucion general

F (r) = cJ0(ωr) + dY0(ωr).

4Ver referencia [4] para mayor informacion de funciones especiales

13

J0 es la funcion de Bessel de primer tipo de orden cero, y Y0 es la funcion de Bessel desegundo tipo de orden cero. Como Y0(ωr) → −∞ conforme r → 0+, debemos tener d = 0.Sin embargo, J0(ωr) esta acotada en [0, R], ası F (r) es una constante multiplo de J0(ωR).

La condicion F (R) = 0 ahora requiere que esta constante sea cero (en cuyo caso tenemos lasolucion trivial) o que ω sea elegida de manera que

J0(ωR) = 0.

Recordemos que J0(x) tiene una infinidad de ceros positivos, los cuales ordenamos como0 < j1 < j2 < · · · . Por tanto, podemos tener J0(ωR) = 0 si ωR es cualquiera de esosnumeros, ası elegimos ωn = jn

R. Los numeros

λn = ω2n =

j2n

R2

son los valores propios de este problema, y las funciones propias son constantes distintas decero multiplos de J0(jnr/R).

Ahora tenemos para cada entero positivo n, una funcion

Un(r, t) = anJ0

(jnr

R

)e−j

2nkt/R

2

.

Para satisfacer la condicion inicial U(r, 0) = f(r) generalmente tenemos que usar una super-posicion por ser la ecuacion de calor lineal

U(r, t) =∞∑n=1

anJ0

(jnr

R

)e−j

2nkt/R

2

.

Ahora debemos elegir los coeficientes de manera que

U(r, 0) =∞∑n=1

anJ0

(jnr

R

)= f(r).

Este es un desarrollo en funciones propias de f(r) en terminos de las funciones propias de unproblema de Sturm-Liouville singular para F (r). Encontremos los coeficientes. Sea ξ = r/R.Entonces

f(Rξ) =∞∑n=1

anJ0(jnξ,

y

an =2

[J1(jn)]2

∫ 1

0

ξf(Rξ)J0(jnξ)dξ.

Ası la solucion del problema es

U(r, t) =∞∑n=1

(2

[J1(jn)]2

∫ 1

0

ξf(Rξ)J0(jnξ)dξ

)J0

(jnr

R

)e−j

2nkt/R

2

.

14

Figura 1: Solucion del modelo logıstico del crecimiento poblacional para varios valores iniciales f0,con A = α = 1.

2.2. Reaccion. Modelo de crecimiento logıstico.

Un ejemplo de ecuacion de reaccion es el modelo de crecimiento logıstico. El crecimiento deuna poblacion con recursos limitados es gobernado por la siguiente ecuacion diferencial ordinaria

u′(t) = αu(t)(A− u(t)), u(0) = f0, (19)

Aquı u = u(t) es la densidad de poblacion, α > 0 es la tasa de crecimiento, y A > 0 es lamaxima capacidad del entorno. Este modelo establece que para poblaciones pequenas, tenemoscrecimiento exponencial gobernado por u(t) ≈ αAu(t). Pero mientras u incrementa, el termino−αu2 se vuelve significativo, el crecimiento crece mas lento, y la poblacion gradualmente llega ala capacidad maxima del entorno. La solucion de (19) es

u(t) =Af0

f0 + (A− f0)e−αAt, t ≥ 0,

y notamos que u = A es la solucion asintotica cuando t → ∞ para cualquier dato inicial f0 > 0.Podemos ver en la siguiente imagen la solucion para distintos valores de f0.

3. Ejemplos fısicos de las ecuaciones reaccion-difusion

3.1. Genetica Poblacional

Consideremos una poblacion de individuos en donde cada uno porta dos genes, digamos a y A,ası, la poblacion se divide en tres genotipos aa, aA y AA. Sea el habitat donde vive la poblacion ysean ui(x, t), i = 1, 2, 3, las densidades de poblacion de aa, aA y AA respectivamente. Supongamosque la poblacion se cruza de manera aleatoria con una tasa de nacimiento r y que la poblacion semueve con una constante de difusion D. Tambien suponemos que las tasas de muerte dependende los genotipos y los denotamos respectivamente con ti, i = 1, 2, 3. Bajo estas condiciones lasdensidades ui satisfacen el sistema

(ui)t −∆(Di∆ui) = fi(x, t, u1, u2, u3), i = 1, 2, 3.

15

Figura 2: Genetica poblacional.

3.2. Dispersion de mamıferos

Los modelos espaciales para la dispersion de mamıferos en ecologıa vienen desde Skellam, quienmodelo la expansion de la poblacion de muskrats (roedores acuaticos) en Europa. Skellam encon-tro una relacion lineal entre la raız cuadrada del area habitada por los muskrats y el tiempo, usandoun modelo de dos dimensiones con dispersion aleatoria y crecimiento exponencial de la poblacionen coordenadas polares. Suponiendo que la dispersion se da por igual en todas direcciones, y queel crecimiento de la poblacion es proporcional a la densidad poblacional, el modelo es:

∂S

∂t=D

r

∂

∂r

(r∂S

∂r

)+ αS,

donde D es la constante de difusion y α es la tasa neta de crecimiento.

3.3. Modelo lineal de Fischer del avance de los genes ventajosos

Considere la poblacion de una especie dada, distribuida uniformemente a lo largo de un habitatlineal. Supongamos que el tamano del habitat es grande en comparacion con las distancias queseparan los lugares de la descendencia de aquellos que son de sus padres. Supongamos ademasque en algun punto del habitat una mutacion ventajosa ocurre (es decir, una mutacion que es dealguna manera ventajosa para la supervivencia de algun miembro de la poblacion). Esta mutacionse difunde, primero en la vecindad de la ocurrencia de la mutacion y despues en los alrededores dela poblacion. Sea u = u(x, t) la concentracion de los miembros de la poblacion con el gen mutantey sea q = q(x, t) la concentracion de los miembros de la poblacion cuyos descendientes tienen elgen mutante (x es la posicion dentro el habitat). Podemos asumir que q = 1−u. Denotemos por laintensidad de la seleccion en favor del gen mutante, el cual tomamos como independiente de p. Paraα suficientemente pequena, la concentracion u varıa continuamente con el tiempo de generacionen generacion. Suponga que la razon por generacion a la cual los miembros de la poblacion conel gen mutante se difunde dentro de la poblacion total esta dada por −k ∂p

∂x, donde k > 0 es una

constante de difusion (independiente de x y u). Bajo todas estas suposiciones se puede mostrarque la concentracion del gen mutante satisface:

∂u

∂t= αu(1− u) + k

∂2u

∂x2.

16

Figura 3: Embrion idealizado y manchas en la piel de un trigre.

3.4. Modelo continuo de morfogenesis de Turing

La morfogenesis es el desarrollo embriologico de la estructura de un organismo o de algunaparte del mismo. Turing sugiere un modelo en el cual un embrion idealizado contiene dos sustanciasquımicas caracteristicas x y y llamados morfogenos. Estas sustancias reaccionan entre sı en cadacelula y se difunden entre celulas vecinas con coeficientes de difusion µ y ν respectıvamente.Considere un embrion idealizado con la forma de un anillo de tejido de radio ρ. Sean X y Y lasconcentraciones de los correspondientes quımicos. Sean f(X, Y ) y g(X, Y ) las razones a las cualeslas concentraciones X y Y cambian debido a la interaccion quımica. Cada morfogeno se mueve deuna region de mayor concentracion a una de menor concentracion con una razon proporcional algradiente de la concentracion. Entonces las ecuaciones son

Xt = f(X, Y ) +µ

ρ2Xθθ,

Yt = g(X, Y ) +ν

ρ2Yθθ,

donde ρ es el angulo entre los radios. Turing uso las siguientes formulas para las funciones

f(X, Y ) = −aX2 − bXY + d,

g(X, Y ) = aX2 + bXY − cY + e,

donde a, b, c, d, e ∈ R+ son parametros de la reaccion.

3.5. Modelo de FitzHugh de la propagacion de un impulso voltaico enun nervio de axon de una celula nerviosa

Hodgkin y Huxley propusieron un modelo para describir los eventos ionicos y electricos queocurren durante la transmision de un impulso a traves de la membrana superficial y la propagaciondel impulso voltaico a traves del nervio de un axon. Sin embargo este modelo consiste de cuatroecuaciones diferenciales que son todavıa difıciles para un riguroso analisis matematico. R. FitzHughsugirio un modelo para la propagacion del impulso voltaico a traves del nervio de un axon que esmas simple que el anterior. R. FitzHugh considera la celula nerviosa como un oscilador electricono lineal

v + (v2 − 1)v + cv = 0,

17

donde v es una variable adimensional correspondiente al potencial de la membrana V y c > 0 unaconstante. Haciendo

w = −v + v − v3

3,

obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales

v = v − v3

3− w,

w = cv.

La variable w es llamada la variable de recuperacion. Posteriormente R. FitzHugh modifico estesistema quedando de la siguiente manera

v = v − v3

3− w + i,

w = c(v + a− bw),

donde a y b son constantes positivas e i una variable adimensional correspondiente al total de ladensidad de la corriente de la membrana. Combinando estas ecuaciones obtenemos

vt = v − v3

3− w + kvxx,

wt = c(v + a− bw).

donde k es proporcional a ρ2R

(ρ es el radio del nervio del axon y R la resistencia especıfica delaxon). Si w = 0 obtenemos el modelo unidimensional de FitzHugh:

vt = v − v3

3+ kvxx.

3.6. Modelo de Brusselator para la reaccion Belousov-Zhabotinsky(RBZ)

La reaccion RBZ es una reaccion quımica en la cual la concentracion de los reactivos exhibecomportamiento oscilante. El modelo Brusselator de la RBZ describe el caso de un solo modode oscilacion para el cual el sistema regresa si es perturbado. La reacciones quımicas siguen elesquema:

A → x,

B + x → y + D,

2x + y → 3x,

x → ε,

donde A, B, D,ε, x y y, son componentes quımicos. Sean x e y las concentraciones de los com-ponentes x y y y A y B las concentraciones de los componentes A y B. Asumiendo que lasconcentraciones A y B se mantienen constantes durante la reaccion quımica y que el sistema tieneunicamente una dimension espacial se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

18

Figura 4: Resultados obtenidos por computadora del modelo de RBZ.

∂x

∂t= A− (B + 1)x+ x2y +D1

∂2x

∂ξ2,

∂y

∂t= Bx− x2y +D2

∂2y

∂ξ2,

donde D1 y D2 son constantes de difusion y ξ es la coordenada espacial.

4. Analisis del modelo de Fisher

Para esta seccion consideremos ut = ∂u∂t

y uxx = ∂2u∂x2 . El caso clasico mas simple de una ecuacion

de reaccion difusion no lineal esut = ku(1− u) +Duxx.

Si reescalamos tomando

t∗ = kt, x∗ = x

(k

D

)1/2

y omitiendo los asteriscos para simplificar notacion obtenemos

ut = u(1− u) + uxx. (20)

La cual es conocida como ecuacion de Fisher. Supondremos que existen soluciones suaves para elproblema

ut = u(1− u) + uxx. (21)

con condiciones de fronteraux(0, t) = ux(1, t) = 0 (22)

y condicion inicialu(x, 0) = f(x) (23)

y veremos 2 propiedades de esta ecuacion.

19

Region invariante

Suponiendo que u, ux, uxx, ut ∈ C([0, 1] × [0,∞)) vamos a asumir que hay una funcion suaveunica u que satisface (21)-(23). Mostraremos que el intervalo

[ε, 1 + ε], 0 < ε < 1,

es una region invariante para u. Para esto asumimos que

0 < ε ≤ f(x) ≤ 1 + ε

para todo x ∈ [0, 1]. Para probar que u permanecera en el intervalo [ε, 1+ε], asumimos lo contrario,especıficamente asumimos que u excede el valor de 1 + ε. Entonces existe un tiempo t0 tal que

u(x, t) ≤ 1 + ε

para todo x ∈ [0, 1] y t < t0. Ademas, en t = t0 debe haber un x = x0 tal que

(i) ut(x0, t0) ≥ 0,

(ii) uxx(x0, t0) ≤ 0,

(iii) u(x0, t0) = 1 + ε.

Usando (21), (ii) y (iii) tenemos

ut(x0, t0) = uxx(x0, t0) + u(x0, t0)(1− u(x0, t0))

≤ (1 + ε)(1− (1 + ε))

= −ε(1 + ε) < 0,

lo cual contradice (i). Ası no hay tal punto (x0, t0), y en consecuencia u permanece en [ε, 1+ε]. Conun argumento similar se sigue que u no puede ser menor que ε. Ası se tiene el siguiente resultado:

Teorema 4.1 Supongamos que u satisfaciendo u, ux, uxx, ut ∈ C([0, 1]× [0,∞)), resuelve (21)-(23). Entonces, si la condicion inicial f satisface 0 < ε ≤ f(x) ≤ 1 + ε, entonces

0 < ε ≤ u(x) ≤ 1 + ε

para cualquier x ∈ [0, 1], t ≥ 0.

20

Convergencia hacia el equilibrio

En esta parte necesitaremos lo siguiente:Desigualdad de GronwallSea y : [0, b]→ R continua, diferenciable, y que satisface

y′(t) ≤ αy(t), t ∈ (0, b),

para un α ∈ R adecuado. Entonces

y(t) ≤ eαty(0), t ∈ [0, b].

Sea u solucion de (21)-(23) para el dato inicial f que satisface 0 < ε ≤ f(x) ≤ 1+ε y definimos

E(t) =

∫ 1

0

(u(x, t)− 1)2dx

para t ≥ 0. Usando la ecuacion (21) y las condiciones iniciales (22) obtenemos

E ′(t) = 2

∫ 1

0

(u− 1)utdx

=

∫ 1

0

(u− 1)uxx − u(1− u)2dx

= −2

∫ 1

0

(ux)2dx− 2

∫ 1

0

u(1− u)2dx.

Entonces se sigue del Teorema 4.1 que

u(x, t) ≥ ε > 0

para todo x ∈ [0, 1], t ≥ 0, y ası

E ′(t) ≤ −2ε

∫ 1

0

(1− u(x, y))2dx = −2εE(t).

Ası, la desigualdad de Gronwall implica que

E(t) ≤ e−2εtE(0),

y tenemos el siguiente resultado

Teorema 4.2 Sea u solucion de (21)-(23) con condicion inicial f que satisface 0 < ε ≤ f(x) ≤1 + ε, para todo x ∈ [0, 1]. Entonces u se aproxima a la solucion u = 1 en el sentido de que∫ 1

0

(u(x, t)− 1)2 ≤ e−2εt

∫ 1

0

(1− f(x))2dx

para todo t ≥ 0.

21

4.1. Ondas viajeras

Se le llama onda viajera a una onda que viaja sin cambiar de forma.

u(x, t) = u(x− ct) = u(z), z = x− ct (24)

u(x, t) es una onda viajera, y se mueve a una velocidad constante c en la direccion positiva x. cgeneralmente se tiene que determinar.

Sea∂u

∂t= u(1− u) +

∂2u

∂x2. (25)

En la situacion espacial homogenea los puntos de equilibrio son u = 0 que es inestable y u = 1que es estable. Esto sugiere que podemos buscar soluciones de frente de onda viajera (25) para0 ≤ u ≤ 1.

Supongamos que existe una solucion onda viajera de la forma

u(x, t) = U(z), z = x− ct,

donde c es la velocidad de onda. Como (25) es invariante si x→ −x, c debe ser positivo o negativo.Para ser mas especıficos asumiremos que c ≥ 0. Sustituyendo en la ecuacion de Fischer (25) tenemos

U ′′ + cU ′ + U(1− U) = 0, (26)

donde las primas denotan diferenciacion con respecto a z. Una solucion de frente de onda es cuandoU es un estado estacionario cuando z → −∞, y cuando z → ∞ es el otro estado estacionario.Ası tenemos un problema de eigenvalores por determinar el valor de c tal que la solucion U de (26)existe y satisface

lımz→∞

U(z) = 0, lımz→−∞

U(z) = 1.

Entonces tenemos el sistema

U ′ = V, V ′ = −cV − U(1− U),

que da las trayectorias del plano fase como soluciones de

dV

dU=−cV − U(1− U)

V.

Los puntos singulares para (U, V ) son (0,0) y (1,0) que son los estados estacionarios. Un analisisde estabilidad lineal nos lleva a que los eigenvalores λ de los puntos singulares son

(0,0): λ± = 12

[−c± (c2 − 4)1/2

]si c2 > 4 es nodo establesi c2 < 4 es foco estable.

22

Figura 5: (a)Trayectorias en el plano fase de la ecuacion (26) para la solucion de onda viajera:aquı c2 > 4. (b) Solucion de onda viajera para la ecuacion de Fisher (25): velocidad de onda c ≥ 2.

(1,0): λ± = 12

[−c± (c2 + 4)1/2

]es punto silla para todo c.

La ecuacion de Fisher tiene una solucion onda viajera para c > 2 y su estabilidad depende delcomportamiento de la condicion inicial para valores grandes de |x|.

23

5. Apendice A. Serie de Fourier

Sea f una funcion con integral de Riemann en [−L,L].

1. Los numeros

an =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

(nπxL

)dx, para n = 0, 1, 2...

y

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

(nπxL

)dx, para n = 1, 2, 3...

son los coeficientes de Fourier de f en [−L,L].

2. La serie1

2a0 +

∞∑n=1

an cos(nπxL

)+ bn sin

(nπxL

)es la serie de Fourier de f en [−L,L] cuando las constantes son los coeficientes de Fourierde f en [−L,L].

Teorema: Sea f suave a pedazos en [−L,L]. Entonces, para −L < x < L, la serie de Fourier def en [−L,L] converge a

1

2(f(x+) + f(x−)) .

Esto significa que en cada punto entre −L y L, la funcion converge al promedio de sus lımitesizquierdo y derecho.

Definicion:Funcion par: f es una funcion par en [−L,L] si f(−x) = f(x) para −L ≤ x ≤ L.Funcion impar: f es una funcion impar en [−L,L] si f(−x) = −f(x) para −L ≤ x ≤ L.

Si f(x) es una funcion par,

1. Los coeficientes

an =2

L

∫ L

0

f(x) cos(nπxL

)dx, para n = 0, 1, 2...

son los coeficientes de Fourier en cosenos de f en [0, L].

2. La serie1

2a0 +

∞∑n=1

an cos(nπxL

)es la serie de Fourier en cosenos de f en [0, L] cuando las constantes son los coeficientesde Fourier en cosenos de f en [0, L].

Si f(x) es una funcion impar,

24

1. Los coeficientes

bn =2

L

∫ L

0

f(x) sin(nπxL

)dx, para n = 0, 1, 2...

son los coeficientes de Fourier en senos de f en [0, L].

2. La serie∞∑n=1

bn sin(nπxL

)es la serie de Fourier en senos de f en [0, L] cuando las constantes son los coeficientes deFourier en senos de f en [0, L], aquı a0 = an ≡ 0..

6. Apendice B. Integral y Transformada de Fourier.

Integral de Fourier: Sea f absolutamente integrable, es decir∫∞−∞ |f(x)|dx converge y f es suave

a pedazos en todo intervalo [−L,L], la integral de Fourier se escribe∫ ∞0

[Aω cos(ωx) +Bω sin(ωx)]dω,

en donde los coeficientes de la integral de Fourier de f son

Aω =1

π

∫ ∞−∞

f(ξ) cos(ωξ)dξ

y

Bω =1

π

∫ ∞−∞

f(ξ) sin(ωξ)dξ.

La transformada de Fourier de f se define como la funcion

F[f ](ω) =

∫ ∞∞

f(x)e−iωtdt.

Por notacion tomaremosF[f ](ω) = f(ω).

Algunas propiedades de la transformada de Fourier son:

F[f ′(t)](ω) = iωf(ω)

F[f ′′(t)](ω) = −ω2f(ω)

Si f es continua y f ′ es continua a pedazos en todo el intervalo [−L,L], entonces la transformadaInversa de Fourier es

f(t) =1

2π

∫ ∞−∞

f(ω)eiωtdω.

25

Transformada de Fourier en cosenos y senos:Sea f definida en [0,∞] y sea

∫∞0|f(ξ)|dξ convergente. La transformada de Fourier en cosenos

de f es

Fc[f ](ω) = fc =

∫ ∞0

f(t) cos(ωx)dt.

y

f(t) =2

π

∫ ∞0

fc(ω) cos(ωt)dω.

La transformada de Fourier en senos de f es

Fs[f ](ω) = fs =

∫ ∞0

f(t) sin(ωx)dt.

y

f(t) =2

π

∫ ∞0

fs(ω) sin(ωt)dω.

Referencias

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