Economic Catastrophy Bonds Covan Jurek Stafford

7/31/2019 Economic Catastrophy Bonds Covan Jurek Stafford

1/41

628

Aerican Econoic Review 2009, 99:3, 628666tt://www.aeaweb.org/articles.?oi=10.1257/aer.99.3.628

T -

. P

q w , W

S . A y

z w () y , y . T -

z w w . Hw, yy ,

y .

T K J. Aw (1964) G D (1959) y y

. S y w

w w , y w -

. Cqy,

y .

Iy, w

y , w -

. C y y y . Hw, y

y w , y .

N, , y y y

Economic Catastrophe Bonds

By Joshua D. Coval, Jakub W. Jurek, and Erik Stafford*

Te central insigt o asset ricing is tat a secritys vale eens bot onits istribtion o ayos across econoic states an on state rices. In fxeincoe arkets, any investors ocs exclsively on estiates o execte

ayos, sc as creit ratings, witot consiering te state o te econoyin wic ealt occrs. Sc investors are likely to be attracte to secri-ties wose ayos reseble econoic catastroe bonsbons tat ealtonly ner severe econoic conitions. We sow tat any strctre fnance

instrents can be caracterize as econoic catastroe bons, bt oer arless coensation tan alternatives wit coarable ayo rofles. (JEL G11,G12)

* C: H B S, S F R, B, MA 02459 (-: j@.); J:B C F, P Uy, 26 P A, P, NJ 08540 (-: jj@-.); S: H B S, S F R, B, MA 02459 (-: @..)W J C, M C, J C, P C-D, F L, B M,A P, C S, Jy S , B C, B Uy, G S Uy, H M Cy, H Uy,O S Uy, P Uy, MIT, NYU, Uy C, Uy Py, VT, Y Uy, 2007 NBER A P S I, 2007 UNC/D A P C, 2008 U W F C, 15 M L Sy F M, 2008W F A C. W y C .


2/41

VOL. 99 NO. 3 629COVAL ET AL.: ECONOmIC CATASTROphE BONdS

, w -

y w y . I , -

w y . T w

y , w - - .

T y , w -

w. I W F. S (1964) J L(1965) CAPM, w z .T w q D

B R Lz (1978). I y w y w w . W y -

, y y z

w, Aw-D z-

. T - y, w y R C. M

(1974) , w y .T w y y z

. S w , -

y y y y y

. Fy, , w -

y y - . A -

w y

, -y . T w

w- , w -

y .

O w- w y y w w

. B w y z

z , w q y conitional

, w

. T y . U -

y , w y

y y w (CDX). T . W w

y y y,

y . Sy,

y 30 wy CDX, w y .

Ry, , w CDX

y - . W w -

AAA- CDX y y

. T y y

, y, y y

US . I , y -

w y -y 60

. O 2004 2007, CDX y

qy , w , y

y .


3/41

JuNE 2009630 ThE AmERICAN ECONOmIC REVIEW

I. The Impact o Pooling and Tranching on Asset Prices

S w . I , -

(, , w, .) oole . I

, w , trance, - . T y w

, , w w ( ) y y . I ,

.

T y w

y y w qy. A z

, y j .

M, z , -

, w y w . T y

y y (Ew J. E .2001; J D 2005; J H, M P, A W 2005).

T y y

. W w

w y -

w , y y y

- w . Sy,

y .

I , -

Aw (1964) D (1959).T S II ,

w .

A. Te Econoic Setting

I y ,

, w -y . S

- w w y y w -

y , , s, -

y. I w w, w s y

y , (-) (). I y Aw (1964) D (1959) w y -y.

S y y y , w w qy, y

y y , y

econoic assets, y y y .1 T

, w y, , w y , w y,d(s), y z. T y y w

, s. I , w

1 Ey, w w qy S, , E F. F K R. F (1993).


4/41


s, y (d(s)/s < 0).Fy, w y s y (s).

I , y

qy y - . T (..,

My, S&P, F) - .2 T y w

. Cqy, y w yy

y y

.

B. Caracterizing Trance prices

T w - y

, w y w

$1, N qy w y . T , , y y

1 X, z w. T X , y w

y.3 I -

z y z y .

I y z

, s, y

w , w d(s) N. I , y q -

y , w w y w ,Nd(s), ,Nd(s)(1 d(s)).

4 T

w N ,

w y . T

w , w y

qy . U

, - y ,dX(s), y

y y ,X,

(1) dX(s) = 1

Q__N

(X d(s))_______________

_____________d(s)(1 d(s)) R ,w () . F 1 - y, y 1 d

X(s), w X - y y w y w

2 I , y z, y .

3 I -w , w w , y w (X) (Y) , y X, z Y, y y w X Y.

4 T y w , s, y w d(s) d(s)(1-d(s))/N. A yw , w y wN.


5/41


w y. Hw, N, y w

y, .

T y

(2) dX=

s

dX(s) (s)s.

F , y y -z, X. L w y N. I ,

s

d1(X), N. T

y y,d

X, w

y w ,

w . Iy,

z y X

w y y w, ,

N y ,d

X.

M q w z ,Ny , w

y *, .., w .

Recession Boom

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

N (small)

N (medium)

N (large)

Economic state (s)

Tranche

payoff

Figure 1. The Effect of Collateral Pool Diversification on the State-Contingent Payoffs

of a CDO Tranche

Notes: T y - y CDO y y , X, y z w ( ). T y N , wN 10, 100, 1,000.


6/41


U - Aw (1964) D (1959), w s y q(s) Aw-D s y y - y y

. F , - y y

(3) B= s

(1 d(s)) q(s)s.A , , y

q . I , w

X(*,N) w ,d

X q

*, w y N, w y

(4) BX(*,N) =

s

Q__N (X(*,N) d(s))_____________________________d(s) (1 d(s)) Rq(s)s.By y , -

y q - -

y,d

X(*,N)(s); . By y

,X, q , y N, w

y *. T yX(*,N).

W w q w y.

PROPOSITION 1:holing te nconitional ealt robability constant at *, te vale o a

igital trance, BX(*, N), eclines as te nber o secrities in te nerlying bon ortolio,

N, increases.

PROOF:

S A A.

T y P 1 N, w

, y w y () ww y (). Cqy, , - q y . I

y , -

, .

C. Ceaest to Sly

I ,

, y, y,*. I

, w w -

, w w w y - , w y . U -

w, w w w


7/41


y 1 *, w w (.., y ),5 w w . W y

ceaest to sly.

PROPOSITION 2: Te ceaest secrity to sly wit an nconitional execte ayoo1 * ays zero on a set wit easre * containing te worst econoic states, an oneelsewere.

PROOF:

S A A.

F , w w , s, y z

, y w -

, w *- - . Ay, y z

* z, w.A F 1 , y y -

N . T , -

, - y y ,

1 d(s). I , w - X y z - w s, wd(s) =X. T, w *, y y

y y w y *.

PROPOSITION 3: For any esire robability o ealt *, te ceaest asset to sly wit

tat robability o ealt can be constrcte by issing a trance wit a loss attacent ointo X(*,) against an asytotically iversife collateral ool (N). I te clativeistribtion o econoic states is given by (s), te attacent oint o te liiting trance isgiven by, d(

1(*)).

PROOF:

S A A.

Fy, w -

y y . I ,

y , w w .

Hw, N , y, y y y . T

y F 2, w y

,

y. A w , y , y

() w y (). Cqy, y -

, , y

. I w y

5 Y , , z y y y y y y - w .


8/41


y y y y

, w y .

II. Pricing CDO Tranches

O wy z ,

CDO. A CDO w z

y . I y CDO, y y ( CDO) w (y CDO), w .6 T

, w, - y

w. Cqy, w w, w -

CDO, qy w w y CDO, w

j y.

T - y y

-w CDO . T q () y , () y z

6 A w (CDS) y , y .

Recession Boom

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Economic state (s)

Payoff

Bond portfolioCheapest to supply

Figure 2. State-Contingent Payoffs of a Bond Portfolio and a CDO Tranche with the Same Expected Loss

Note: T y - y CDO ( ) - CDO y .


9/41


. I S (1964) L (1965) CAPM, w z y z qy . T

w y

q B Lz (1978).

T z y , w - y y y . W -

y , CDO y y y

, y y

y y . I z -

y, w y - y,

d(s), - y , w w y z. T , w y M (1974) y - .7 Sy, w y

CAPM-y , w w -

y z . By w -

, w - , w y y

y .8

Iy, w y y y z

, w -

. T - (O V1987, 1991; P S 2000; H, P, W 2006), w - -

.9 F, y - (..,) , y w y -

, w y yz - .Fy, CDO y, w y qy

. By - , w w j. F,

w w y w- , w

y y y

(G, -, ).10 A, , w y , w y $1 .

A.Integrating mertons Creit moel wit te CApm

I M (1974) ,

,Ai,T, w , di.11 Fy, y y y CDO, w w w

w N, w . I

, w y

7 S Y H E, J Hw, J-Z H (2004), , y .

8 C Z (2001) y .

9 T V , w y , G , q CDO , w ilie correlation.

10 S z , - .

11 F B J C. C (1976) , w .


10/41

VOL. 99 NO. 3 637 COVAL ET AL.: ECONOmIC CATASTROphE BONdS

w y N (oogenos ortolio asstion). Cqy, z y-

. I , M , w -

z y : , w w y

, a, -- ,d/At, y , a.I y z , - , w y M y

. Sy, w y -

, Z, y , Zi,. Iy, w

y y y, w

, w y, -G

. Oy conitional z w

G (.., Zi, y ). M, w ww , w , -

, y y, T. I w y , y, T t, () y

(5) Ai,T Ai,t = Qr+a a2

___

2 R + a_ Z+ _ Zi,,

(6) mT mt = Qr + 2

___

2 R + _ Z,

w r , a , a CAPM , y y, y, qy -

, y. Fy, y, a, y, _________a22 + 2, CAPM a a2/2 = a( 2/2).S w y z

, w w y w w

A i,T. I w y, ,

, mT, t ,mt ((r )), w , A i,T, y q ,

y

(7) A i,T( ) = (Ai,t) (r + a + _

Zi,).

T, y i z ,

w y y A i,T( )


11/41


U , w y ( = 0), econoic assets CAPM ( > 0). Cqy, y y (i

d()/< 0).12

T , - y, w

y y y . I M (1974) - , y y y , A i,T. Hw, w w w y y

y y . Cqy,

, , y (Hy L 1994). F, , Mj C, D, P M (2008) y y q 50 .13 W

y , - y qy w N

y y

(10) p( )= 1__Ni=1

N

Q1 (1 1A i,T( ) d) + (1 )

A i,T()_____________d 1A i,T( ) dR ,w 1A i,T( ) d

z

i , z w.

T , w - y -

qy . S w

, y w --

y . W i ,

w - y

(11) Et[p( )]= 1 Q1 (1 )Et[AT( )| AT( )


12/41


Fy, y , w y Aw-D -

q - y. S w -

z , y qy

. I , B Lz (1978) w

E y w y . By

y , q( ), z , w () y , V:

(13) V=

Et[p( )]q( ) .

S y , - y-

z y , p( ). F , w w X Y. T y q z y 1 Y; y 1 X; j y w z y w 1 Y 1 X. T y y y w 1/(Y X) y 1 X, 1/(YX) 1 Y:

(14) p[X,Y]( )= 1 1_____

YXQ A(1 X) p( ), 0B A(1 Y) p( ), 0BR .

Cy, , V[X,Y],

wy y , y -

y , (13). Hw, , - y yy

y p( ) y y , (14).Cqy, y y

. I , -

y w , y y

y y .

III. Data Description

O y w . T y

CDO w w DJ CDX N A I G I. T

, w F L A Rj (2008), qy w 125 q -y w (CDS) US w .15 A CDS y ,

w w w y. T

y y , w ,

,

15 D D K J. S (2003) CDS CDO. Ay y D N G (2001), .


13/41


y . T

CDX -

qy w y . I w

CDS, w w j y y

. W y y , CDX w y q

y CDS .

O S 2004 S 2007 y

CDX w 03, 37, 710, 1015, 1530 CDX .16 T CDX

w y y CDX,

. F , $1 710

y $1 CDX 7 ; $0

CDX 10 ; y y j CDX w

7 10 . A w CDS, q

y w y y. 17 I

, y y y . Cqy,

, y y .

I , CDX y M S

q . I ,

w CDX, y ,

. S jy y -- , w

S 3 S 8 CDX NA IG -

-- -y , L Rj (2008). F , w CDX y

AA, A, BBB, BB, B- . T q -y CDS y .

Fy, y q ---y

. T CDX y, w

q y y. Uy, ,

w y y z . I w

y y -- q -y S&P 500 C.

T q 13 w z y 0.70

(30 ---y) 1.30 (30 --y) 5 ,w y - y.18

16 A , J 2007, w S2006. B A 2007, w y . T y w w S 2007 . T w ://w..//5725..

17 Fy, q 03 q - y y , 500. I 03 , w - y q .

18 A oneyness K/Ft,, w K Ft, -y (= 5) S&P 500 .


14/41


A. Sary Statistics

T 1 y CDX w

y. P A

. A ,

qy . T CDX y

BBB , w CDS

CDX BBB, y A K By M (2004).P B wy P C

. C - y y w , y y -

.19 T w - y

CDX w .

IV. Calibrating the Bond Pricing Model

A CDX y -

y y y. I

y , q CDX

19 J P K J. S (2006) w w y.

Table 1Summary Statistics for US Credit Market (9/20049/2007)

5y AA BBB CDX [03] [37] [710] [1015] [1530]

panel A. Tie series eans an stanar eviations o aily seriesM 18.20% 15.60 47.90 45.90 34.00% 138.00 39.10 18.20 8.60

S 1.40% 5.00 7.10 10.10 8.50% 61.40 25.10 11.00 5.30

panel B. Correlations between weekly series

5y 1.00AA 0.59 1.00BBB 0.61 0.77 1.00CDX 0.20 0.50 0.51 1.00

[03] 0.19 0.47 0.49 0.93 1.00[37] 0.03 0.26 0.32 0.80 0.66 1.00[710] 0.18 0.18 0.23 0.70 0.55 0.95 1.00[1015] 0.00 0.33 0.37 0.87 0.73 0.97 0.94 1.00[1530] 0.17 0.47 0.49 0.95 0.86 0.81 0.73 0.89 1.00

panel C. Correlations between canges in weekly series

5y 1.00AA 0.22 1.00BBB 0.13 0.67 1.00CDX 0.45 0.28 0.37 1.00

[03] 0.38 0.14 0.25 0.69 1.00[37] 0.37 0.10 0.16 0.67 0.87 1.00[710] 0.32 0.18 0.21 0.69 0.77 0.91 1.00[1015] 0.37 0.23 0.27 0.76 0.76 0.88 0.94 1.00[1530] 0.37 0.26 0.26 0.75 0.73 0.77 0.79 0.86 1.00

Notes: T y . R -y w y w . T CDX Dw J CDX N A I G -y w. S CDX y w,X, , Y, , [XY]. A , [03] , (1 = 0.01 ). F-y --y

y S&P 500 5y .


15/41


y y

y ( ) y q y ( ). Cqy, w CDX , w

, w w q . T ,w, y y w w y

y CDX, V, w S II.

I y y y w

CDX, w - . I , w

S II - y y

, (11), w w -y , (13). I w, w j y y , Aw-D

y . T q

w y .

T y , w y y y CDX , .., y N-

. Cqy, ,

d/At, y y, , , a , w y , w z

. O y, w , w q

w : () - CDX y ; () - qy q

__

; , () - w qy q __

.A , w y ,

CDX -j , y qy . I, L, Sjy M, E N

(2005) y , w, w

qy y .

T w - y -

z y (d/At,,a) - . I y y ,

w y CDX y w

, CDX . T y

, w y . F, w

w y y. S, w w y . T, w w

w R2 CDX y

q, y y

. T - y

CDX . W w w

, w

.

A.Extracting State prices

I - y S

II, w z - ,


16/41


q( ). A , w y y () y, w ,mt+, - t,

(15) = mt+____

Ft,=

mt+_______________(m

t)

((r

)

)

.

T w Aw-D

. I , B Lz (1978) w E w - y K,C(K,) Aw-D y q w . Cqy,

(16) q( )=2C(K,)_______

K2 |K=xFt,,

wx = ( ) y . T Aw-D y w y w - .

A w w , w, y , w

---y w y

- . T , w B

Lz (1978) y . Sy, w , C(K,), B-S w y , CBS(K,(K,),), w

(17) q( )=2CBS_____K2 + ___K Q2 Q2CBS_____KR+2CBS_____2 Q___KRR+ 2___K2 CBS____ |K=x Ft,.

F y w- y , (K,), Aw-D . C

w , y ,

w - . W

y w w y w -

y .

S y w- y Aw-D

, y w -y . O , w y

w y 0.7 1.3, w

y . Ty

y (J R RF. E 2001) (R B N Pz 2004).20 I, w , w y z y ,

w y , ,

20 Y A-S Aw W. L(1998

) ,

- y, q y qy. F w - y , JC. Jw (1999) B B R H (2003).


17/41


w ( A B ). O y

(18) (x,)=a+b (c x) (a>b> 0),

wx y . T

y , w Aw-D ,

13 E w w , z q () . T w -

, w y ,

Aw-D (17 ) . T y y w ,

y q 0.29 .

F 3 y -y y

CDX . T -y --y y 20 10 y y . A y z,

y y 30 . T y

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

Moneyness

Stateprice[$]

Five-year optionimplied state prices

Series 4

Series 6

Series 8

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

10

20

30

Moneyness

Impliedvo

latility[%]

Fitted five-year optionimplied volatility function

Series 4

Series 6

Series 8

Figure 3. Calibrated Five-Year Implied Volatility Functions and State Prices as of

Selected CDX Initiation Dates

Notes: T w y y -yS&P 500 . T y . T y 13 w z y -y S&P 500 (y), 0.7 1.3, 0.05 . T y - q B Lz (1978), j y w.


18/41


w y 0 0.5,

.

T y Aw-D z ,

w w , y. T y

y y - w , w w q

CDX . T y, w

y y q -

y w w . T y

y w w y 0 0.7

y 0.7. T y w

w ,21 w -

--y . W

y

y .

B.Ilying te Conitional payo

Eq (13) w y y CDX y y - y y , -

, . By - qy

, w y y CDX y

w . T w y C,

D, M (2008), w w w - .

G y , CDX , y, w -

(d/At,a,) CDX y. T q , w w . I

, w q qy w

. W w qy ,__

, - CDX 2003 2007 0.2 qy ,

__

, .T CDX - y

US .

O y y , (11), M y , w yy. O y-

y y , w w - q . T , w w

y . Sy, w y

M y - y ,__

R , 40

:22

(19) Et[p()]= 1 (1 __

R)d( ).

21 T y q 3.20 .

22 T CDS- w 40 y , w wA (2006). W qy w 50 y .


19/41


W , y CDX 0.40

z, w w M y , CDX y

z . A , , , ww- -

y y .

W y , (d/At,a,), - w y w y

. T y

y y . Sy

T 2. A -

, y , .

T y

y ---y

CDX . M, , q .

C.Evalating te Bon pricing moel

S ,

CDX y . T,

y y z ,

w y -

Aw-D . I y y-

, y - y CDX . Cqy, yz j

y CDX, w

Table 2CDX Calibration Results (9/20049/2007)

M 5-y MD-- Iy y

M A y y

M y (1) 0.7359 0.3435 0.2688 0.0410 0.4103(0.0196) (0.0249) (0.0140) (0.0029) (0.0042)

S- 0.7317 0.3494 0.2672 0.0423 0.4000

y (2) (0.0186) (0.0236) (0.0136) (0.0032) (0.0000)

M y w 0.7150 0.3725 0.2612 0.0417 0.4110 y (3)

(0.0197) (0.0251) (0.0139) (0.0030) (0.0043)

S- y 0.7133 0.3750 0.2605 0.0423 0.4000w y (4)

(0.0187) (0.0237) (0.0135) (0.0032) (0.0000)

Notes: T y y , - y ,

CDX y. T CDX Dw J CDX N A I G -y w. A y y . M 1 3 M (1974) y . M 2 4 - y 40 . M 3 4 y y q y y -y . T (a), -- (d/A), y y (). T - -y y y . T wy .


20/41


wy CDX y , w

y .

T 3 . W

t t+ 1 w y t+ 1, t, y t. T y -

y w R2 . I -

(M 1), t- 8.70 R2 0.34.W w - ,

S&P 500 , -y --y y, -y -

y w. T y CDX

, y w . T

y w, w y .

T ,

y y CDX. A,

y y

y CDX ,

y qy . Fy, y w

y CDS (P C-D, R S. G, J. S M 2001; Bj Z, H Z, H Z ).

Table 3Regressions Explaining the Time Series of Changes in CDX Yield Spreads (9/20049/2007)

I E[y1] E[y2] E[y3] E[y4] r S&P 5y Sw R2[N]

0.0000 0.0687 0.0096 0.0188 0.0089 0.4138(1.47) (3.16) (5.16) (3.50) (3.00) [146]

0.0000 0.3787 0.3402(0.78) (8.70) [146]

0.0000 0.6100 0.0088 0.0022 0.0152 0.0169 0.4423(1.37) (2.87) (0.30) (0.49) (1.17) (4.21) [146]

0.0000 0.4050 0.3497

(0.85) (8.89) [146]

0.0000 0.7217 0.0002 0.0043 0.0179 0.0172 0.4461(1.37) (3.04) (0.01) (0.87) (1.36) (4.33) [146]

0.0000 0.4002 0.3400

(0.96) (8.70) [146]

0.0000 0.5609 0.0107 0.0021 0.0055 0.0165 0.4336(1.45) (2.44) (0.33) (0.41) (0.49) (3.86) [146]

0.0000 0.4200 0.3479(1.01) (8.85) [146]

0.0000 0.6381 0.0046 0.0036 0.0071 0.0166 0.4360(1.45) (2.56) (0.14) (0.66) (0.62) (3.97) [146]

Notes: T wy CDX . T CDX Dw J CDX NA I G -y w. T CDX ,E[yi], w y t+ 1, t, y t, . A y y. M 1 3 M (1974) y . M 2 4 - y 40 . M 3 4 y y q y y -y . T -yw r . S&P S&P 500 . F-y --y y

S&P 500 5y . Sw w y -y30 ---y y -y --y . Wy y . T jR-q R2, t- , q .


21/41


V. Pricing Credit Derivatives

T M (1974) w , CAPM, - y . T y-

y z , w w . I w, w

w qy . T

y w w y, -

w y . W w q w

w .

T w . H

( , , y y) - CDX, w - y CDX (10).23S (.., ) y y CDX(.., y y), y y y y . I , y y CDX y. Fy, , y -

y y Aw-D .

T - y w. F, w y

y (.., z ), 0 10 0.005. S, y , , w

q (10) CDX (N= 125), w . T y. W

10,000 - y , w

y - .24

T - y CDX 710 , - , y

F 4.

T 4 y w

y CDX . I , , w

w wy y

y. T -, qy, (03) , y .25

O y

qy . A , y y

710 1015 . T 710 y

y . F 1015 . F 5

. A ,

23 M w y - q - . I , w w 60 (1-y ) 25 -, A (2006).

24 A y y execte- CDX y, , -CDX y. A J y y , y y .

25 T - 03 q CDX , w . T 03 T 4 y y .


22/41

qy . O , wy

w y . T

y , y

y .

T Aw-D . I -, w

z . T

y . A y -

y - y w -

y--

(.., w y w w ) w y . T w y . F, y w

. S, y w

, .T w

. W wy ,

Figure 4. Simulated State-Contingent Payoffs for the CDX and the 7 percent10 percent CDX Tranche

Notes: T y CDX 7 10 CDX y , w M (1974) y . T - y () (). T y y w y -, w w 0.4 0.25.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Moneyness

Bondportfolio

(CDX)payoff

Merton recovery

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Moneyness

Bondportfolio

(CDX)payoff

State-independent recovery

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Moneyness

7%10%t

ranche

payoff

Merton recovery

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Moneyness

7%10%t

ranche

payoff

State-independent recovery


23/41


w y y execteCDX

y. F , w

w X, Y, w (11) q 1 X, y , . Cy, y- y ---y (.., ). T -- y (.., ), w CDX y q 1 Y.

T 5 -- .

T - y

.26 A, y y -

qy CDO . M, w wy

q . T ,

CDX

26 I y w y q.

Table 4 Comparison of Actual and Model Tranche Spreads (9/20049/2007)

C C T M M

() [] [] () ()

merton recovery30100 1 NA NA NA1530 28 9 0.94 0.681015 87 18 0.85 0.66710 150 39 0.67 0.5837 267 138 0.80 0.5803 914 1,508 0.92 0.75

State-ineenent recovery30100 1 NA NA NA1530 25 9 0.95 0.701015 85 18 0.85 0.67710 150 39 0.67 0.5737 273 138 0.80 0.5803 953 1,517 0.93 0.75

merton recovery wit constraine ilie volatility nction30100


24/41


w y , w w

.

VI. Discussion

O w CDO

- ,

w . T y y

y y

4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

Series

Spread

[bps]

CDX

Model Actual

4 5 6 7 8500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

Series

Spread

[bps]

0%3% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

200

400

600

800

Series

Spread

[bps]

3%7% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

100

200

300

400

Series

Spread

[bps]

7%10% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

Series

Spread

[bps]

10%15% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

Series

Spread

[bps]

15%30% Tranche

Model Actual

Figure 5. Time Series Comparison of Model and Actual Tranche Spreads (9/20049/2007)

Notes: O y, CDX , y y - CDX y y- . Dy y - y - . T CDX Dw J CDX N A I G -y w.T y w .


25/41


- , y . I

, CDO w , w

y .T y y j y (F

1970). T, CDX , w

.

A.moel Robstness

T y y : () ; ()

; () CDX y y y . T w .

Table 5Comparison of Actual and Put Spread Approximated Tranche Spreads (9/20049/2007)

T()

M

[]

M

[]

C ()

C ()

merton recovery30100 2 NA NA NA1530 29 9 0.59 0.201015 82 18 0.45 0.19710 139 39 0.30 0.1237 263 138 0.42 0.0903 837 1,508 0.55 0.34

State-ineenent recovery30100 1 NA NA NA1530 26 9 0.59 0.201015 80 18 0.45 0.19710 139 39 0.30 0.1237 269 138 0.42 0.09

03 872 1,517 0.54 0.35

merton recovery wit constraine ilie volatility nction30100


26/41


Single-Factor.A w w

w y q w - -

. T , y y 10

qy , w

- -w. T y w y

w y y . O ,

wy y -

. F , (.., ) w y , - y y

q, - .

F 6 y y

w w -y -

. T w ( = 0.60) w w 1987. T , ,

w . T - , w -y

y - w

. L w

. O, -w

- qy -

w US 19 y.

Ilie Volatility Extraolation.T y -

-y --

. I , y y 0.7 1.3. My y w y

w w 0.7. T, y

-y y y w 0.7, y

OTC y w , w -

- S&P 500 (SPX). Sy, w y SPX

. T w y y wy

w y w 0.7, w 0.4. T -

y w y -y -

y. M y, -

y w y w 1.0. I, , w w y 1.0 - w y ww

y y.

W , y w

w y 0.7 y w

y y 0.7. A S IV, y -

wy. A, y, , w

y (x,)=a+b (cx), wx y. B y y

y ---y , .

I , 2007 y w y ---y y w CDX

, .


27/41


hoogeneity.A y

125 CDX y y . F,

w CDX w R2 w , y

w .

S, w - , y

y w-y -

. T -,

qy zz , -

zz . O , y

- w , y , . A, CDX

w , y y -

7 . A , w w-y

y w wy. Ry,

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Downgraderate(percent)

40

30

20

10

0

10

20

30

40

50

Laggedone-yearmarketreturn(percen

t)

Downgrade rate Lagged return

Figure 6. US Bond Downgrade Rate and Lagged Market Returns (12/19874/2007)

Notes: Dw y- US w S&P- w . T -y S&P500 12 . U , w:

P (Dw i,t= 1)= (X)/(1 + (X)), wX=b0+b1R,t+b2(Ri,tR,t)

T y w, w :

b0 b1 b2 N

3.90 3.27 3.01 129,330

(0.03) (0.13) (0.06)


28/41


y- My 2005 w GM

F, w y y- w. T

y zz ww

y . Eqy w y

zz , y y- w qy

zz .

4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

Series

Spread

[bps]

CDX

Model Actual

4 5 6 7 8500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

Series

Spread

[bps]

0%3% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

200

400

600

800

Series

Spread

[bps]

3%7% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

100

200

300

400

Series

Spread

[bps]

7%10% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

Series

Spread

[bps]

10%15% Tranche

Model Actual

4 5 6 7 80

20

40

60

80

100

Series

Spread

[bps]

15%30% Tranche

Model Actual

Figure 7. Robustness of Model Results to Ruling Out Extreme Market States (9/20049/2007)

Notes: T w w y w 0.4 z, w y . O y, CDX , y y - CDX y y- . Dy y - y - . T CDX Dw J CDX N A I G -y w. T y w .


29/41


B.Rling Ot Extree States

T , CDX

- w w -

, . O , w y y , . T

y , y , -

(.., ---y ) w .S w y

, y y . R

y ---y w w , w

q z. T -

y , -

y , y

CDX . I , w w y 0.40 z,

w y .27 T - y y w

0.40 ,

, y ---y . Ny, -

y

w j z . W

y CDX CDX ( F 7).Iy, y j ,

qy , w 37, 710, 1015

. T

y .

C. Wic market Is misrice?

O y w -

: S&P , ,

CDX . A w

CDO y , q w w -

y CDX y w .

T q q y

.28 I

CDO , y w CDO y y CDO

w 2008,

w.

A y y-

. T

j y . W

27 T j y y y. T 0.40 y w y -qy .

28 O B (2003) D B (2006), , -, w M B, M C, M J (2007) w .


30/41


y w . A

w . F , y

L Rj (2008), S Azz Ky G (2008), A E(2008) CDX CDX w - ,

y y .I , w

, qy y, jy CDX CDX

. T y, w -

z y y y . T y w

y y. W

y , w jy

CDX CDX . S q CDX

, CDX. B ,

w y w : CDO

bot .

D. Creit Risk preia

A w w S I, y w

, -

. I , (.., ) z , , y w

y. W y yy

(N),

, y . I y y , y ECB y

. T , y,

, w , =Yiel Srea/Loss Rate.29 W y

w , z -

y w .30

W w ,

- .

I , w , w

y . T, w y , w

, , q 5 y y, , y --y -y- y. T w

. T T 6.T

, y w

y . F , y, q

29 W y z,

- -

y - .30 T y,Loss Rate=(1/T) E[Py] q y w y-

w .


31/41


.

Cy, y y w

y . C w ,

y - .31 T

w y w

w w y y . Hy, -

CDX BBB A. F , K

M (2004) CDX BBB+ J2004. O w . T

y CDX 31 , -y y 1.54 ,w w A- (0.50 ) BBB- (2.08 ) , R C . (2005). T CDX 2.9, y , 2.3 3.3.

R y w y

( ), z y , . A , , y

- . I

31 E . (2001) Aj B . (2004) y - ; H, P, W (2005) w A- BBB- w 1996 2004.

Table 6Credit Risk Premia (9/20049/2007)

MIy A M 5-y M

D-- y ySy A y [] [] []

Five-year creit ealt swa inicesAA 0.85 0.19 0.31 16 16 36 0.41 4.3A 0.81 0.25 0.29 27 27 73 0.41 3.5BBB 0.73 0.35 0.27 48 48 162 0.41 2.8BB 0.44 0.75 0.16 145 145 724 0.43 1.9B 0.12 1.14 0.05 250 249 1,616 0.47 1.6

dow Jones CdX Nort Aerica IG inexCDX 0.74 0.34 0.27 46 46 153 0.41 2.9

CdX trances(ercentage)30100 NA 1 0.03 0.96 6,106.61530 9 28 4 0.81 364.51015 18 87 22 0.56 69.6710 39 150 77 0.45 25.237 138 267 599 0.61 7.203 1,508 914 5,943 0.75 1.7

Notes: T y - . R -y w y w . T CDX Dw J CDX NA I G -y w. T CDX y w . T (a), -- (d/A), y y (). T . T , , y . L z y . T - , -y y y j , w y S&P 500 .


32/41


y --

- , w w

y . I , w

w y y y

. T y T 6, w CDX -CDS w y, y -

, y y . T y , y -

y q y- .

F 8 y - - , y .

T y , w y

, y . I

qy CDX y w

- . I , y - , y

. F 8 y y

5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.00

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Model[03]

Model[37]

Model[710]

Model[1015]

Model[1530]

CDXAAA

BBB

BBB

Actual[03]Actual

[37]

Actual[710]

Actual

[1015]

Actual[1530]

Annualized loss rate (log10

)

(log10

)

Cheapest to supply

Figure 8. Credit Risk Premia for Single-Name Credits and CDX Tranches (9/20049/2007)

Notes: T y 10 , , 10 y . M () y () y . L z y . - - y . T CDX y q CDX y .


33/41


34/41


w CDO , w q -

, y y w ---

y . W y w

w y CDO w,

, y q .

Appendix A: Proofs of Propositions

PROOF OF PROPOSITION 1:

L d

X(*,N)(s) - y, w

y *, y N. S

w w y

y w w

(A1)

ss

d

X(*,N)______N (s) (s) s+

s>s

d

X(*,N)______N (s) (s) s= 0,

w s () w() s. N - y y 1

dX(

*,N)(s),w q , y -

,

(A2)BX____N |

dX

=*=

ss

d

X(*,N)______

N (s) Qq(s)____(s)R(s) s

s>s

d

X(*,N)______

N (s) Qq(s)____(s)R(s) s.

Hw, s w ,

q(s)/(s).., s y w y s,

. U y , w w w w __

_, w__ > _, w q

(A3) BX____

N

|

dX

=*=

__

ss

d

X(*,N)______

N (s) (s) s _

s>s

d

X(*,N)______

N (s) (s) s.

Fy, (A1), w w w q , w . I w , , w y

(A4) BX____

N |

dX=*= (

__ _ ) < 0.

Cqy, y ,N, w j- X(*,N), y , y.


35/41



C w - , d(s), y *. T y -

, y z y , q 1 *. I w

y y , y r,

(A5) B(*)= (r) s

d(s) (s) (s) s

= (r) S1 *s

d(s)(s)___________s d(s) (s)s

((r)(s)) s T

= (r)[(1 *)__ (*,d(s))],

w w

- , (r), (s) q y, q(s)/(s). A , ,(s) w y s. Fy,

__ (*,d(s)),

(s) w , w w w (.., y ) y w * w .


C q , w X(*,N), -

y ,N, - y *. AN, - y y, w:

(A6) N

a__N (X(*,N) d(s))__________________________d(s)(1 d(s)) b = {01 s


36/41


wx y,

- . T y w y . F, y y w w

--y, yz - . S, -

w, w y w w . T

y

(D S 1993; J M. C . 1997), y . T y G Bw K B. T

(1999) . W q (x,) - --y, (1,), x. Fy, , w q Aw-D y y y

y .

F y , y

w y y

(B3)(x,)______x = Qbc___x R 2(c x),

(B4)2(x,)_______

x2 =Qbc___

x2R 3(c x)( (c x)+ 2c (c x)).

T y

(B5) (x,)______x =bc(cx),(B6)

2(x,)_______x2

=bc2 (cx).

T Aw-D

y B-S w

. D - ty Ft,, w

(B7) 2CBS_____K2

|K=x Ft,= er

(2(x))_____________xFt, (x, )_ ,(B8) C

BS____

|K=x Ft,= erxFt,(2(x))

_

,

(B9) 2CBS_____2

|K=x Ft,= erx Ft,(2(x))

_

1(x)2(x)________(x,)

(B10) 2CBS_____

K|K=x Ft,= er 1(x) (2(x))__________(x,) ,


37/41


w

(B11) 1(x)=x________

(x,)_

+ 1__

2(x,)

_

,

(B12) 2(x)=1 (x,)_

.

S Aw-D , y -

y z y

.

REFERENCES

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