電弱相互作用

織田 勧

大学院講義 素粒子実験2018年 12月 21日 (金)2019年 1月 11日 (金)

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弱い相互作用のフェルミ理論

フェルミ理論は弱い相互作用を現象論的に 4つのフェルミオンの相互作用として記述する.そのラグランジアンは

L4−fermion = −GF√2J†µJ

µ

であり, GF はフェルミ結合定数と呼ばれ, 過程によらず,

GF = 1.166378(6)× 10−5 GeV−2

= 1.03× 10−5m−2proton (1)

である.

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フェルミ理論でのダイアグラム

+µJ µ

J

2FG

−

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荷電カレント

Jµは荷電カレントと呼ばれ, レプトンによるものと, クォークによるものに分けられる.

Jµ = J leptonµ + Jquark

µ

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荷電カレント, カイラリティ演算子

ディラック場 ψe, ψνeを e, νeなどと書くことにすると, 弱い相互作用は V − A型なので，レプトンの荷電カレントは

J leptonµ = eγµ(1− γ5)νe + µγµ(1− γ5)νµ + τγµ(1− γ5)ντ

と表せる.ここで γ5はカイラリティ演算子と呼ばれ,

γ5 ≡ −iγ0γ1γ2γ3

で定義される.

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射影演算子

スピノルの左手型の部分を抽出する射影演算子 PLを

ψL ≡ PLψ =1− γ5

2ψ

で定義する.同様に, スピノルの右手型の部分を抽出する射影演算子 PR

を

ψR ≡ PRψ =1 + γ5

2ψ

で定義する.

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左手型の2重項

電子と電子ニュートリノの左手型の 2重項 Leを

Le ≡(νeLeL

)= PL

(νee

)で定義する.

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電子と電子ニュートリノの荷電カレント

荷電カレントのうち, 電子と電子ニュートリノの部分のみに注目する. Leを用いて,

Jelectronµ = eγµ(1− γ5)νe

= 2eγµPLνe

= 2eLγµνeL

= 2(νeL eL

)( 0 01 0

)γµ

(νeLeL

)= 2Le

(0 01 0

)γµLe

と表せる.

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パウリ行列パウリ行列が

σ1 =

(0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

)であることを思い出すと,(

0 01 0

)=

σ1 − iσ2

2

がわかる.

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荷電カレントのSU(2)構造

jaµ =∑

k=e,µ,τ

Lkγνσa

2Lk (a = 1, 2, 3) (2)

を導入すると,

J leptonµ = 2

(j1µ − ij2µ

)≡ 2j1−i2

µ

J leptonµ

†= 2

(j1µ

†+ ij2µ

†)= 2

(j1µ + ij2µ

)≡ 2j1+i2

µ

と書ける.これはレプトンの荷電カレントが SU(2)カレントの 1∓ i2成分になっていることを意味する.Jquarkµ も同様で, Jµも SU(2)の代数を満たす.

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弱アイソスピン

この SU(2)を弱アイソスピンと呼び, 生成子をT a(a = 1, 2, 3), 大きさを T と書く.この弱アイソスピン SU(2)をSU(2)L(添え字 Lは左手型 (left handed)を表す) もしくはSU(2)W (添え字W は弱アイソスピン (weak isospin)を表す)と呼ぶ.

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電荷と弱アイソスピン

電荷Q 弱アイソスピン T 3

Le =

(νeLeL

)0−1

+12

−12

Leは SU(2)Lの 2重項であるが, Qと T 3が独立でないので,電磁相互作用の U(1)EMと SU(2)Lは直交していない.弱い相互作用と電磁相互作用は同時に考え, 統一せざるを得ない.

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弱超電荷

SU(2)Lに直交した U(1)Y 群を導入し, その生成子 (電荷)を弱超電荷 (weak hyper charge) Y と呼ぶ.2重項 Le, Lµ, Lτ が Y = −1を持つとすると

Q = T 3 +Y

2(3)

を満たす.

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これから述べるワインバーグ・サラム理論(電弱統一理論)の構造

自発的対称性の破れ

ゲージ群 SU(2)L × U(1)Y −→ U(1)EM生成子 T a Y Q = T 3 + Y

2

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ゲージ場SU(2)Lのゲージ場を

W⃗µ = (W 1µ ,W

2µ ,W

3µ) =

∑a=1,2,3

W aµ

とし, 結合定数を gとする.U(1)Y のゲージ場をBµ, 結合定数を g′とする.ラグランジアンのゲージ場の運動項は

Lgauge = −1

4

(∂µW⃗µ − ∂νW⃗µ − gW⃗µ × W⃗ν

)2−1

4(∂µBν − ∂νBµ)

2 (4)

となる. ここで,

W⃗µ × W⃗ν =∑a,b,c

εabcWbµW

cν

であり, SU(2)が非可換群のため生じる.

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ヒッグス場

ヒッグス 2重項を

Φ =

(ϕ1

ϕ2

)とする. ここで, ϕ1と ϕ2は複素スカラー場で, 全部で 4自由度ある.対称性が破れた後の真空期待値を

⟨0|Φ|0⟩ =1√2

(0v

)とする.

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ヒッグス場の電荷

vは 0でない実スカラーなので, 電荷Q = 0であるように,ヒッグス 2重項は Y = +1を持つとする.すると, ϕ1は

Q = T 3 + Y/2 = +1/2 + 1/2 = +1

ϕ2はQ = T 3 + Y/2 = −1/2 + 1/2 = 0

を持つ.

17 / 65

共変微分

ヒッグス場Φに対する共変微分を

DµΦ =

(∂µI + ig′

1

2IBµ + ig

1

2W⃗µ · σ⃗

)Φ

で定義する. ここで, Iは単位行列, σiはパウリ行列であり,

W⃗µ · σ⃗ = W 1µσ

1 +W 2µσ

2 +W 3µσ

3

である.

18 / 65

U(1)Y 変換

Φ(x) → Φ′(x) = eiθ(x)Φ(x)

の U(1)Y 変換の際

Bµ(x) → B′µ(x) = Bµ(x)−

2

g′∂µθ(x)

と変換される.

19 / 65

SU(2)L変換

Φ(x) → Φ′′(x) = U(x)Φ(x) = exp(iσ⃗ · θ⃗(x)

)Φ(x)

の SU(2)L変換の際

W⃗µ(x) · σ⃗ → W⃗ ′′µ (x) · σ⃗

= U(x)W⃗µ(x) · σ⃗U †(x)− 2i

gU(x)∂µU

†(x)

と変換される.

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ヒッグス場の運動項とポテンシャル

ラグランジアンのヒッグス場の運動項とポテンシャルは

LHiggs = (DµΦ)†DµΦ + µ2Φ†Φ− λ

(Φ†Φ

)2(5)

である.

21 / 65

対称性が破れた後のヒッグス場

対称性が破れた後は, v2 = µ2/λとして

Φ(x) = exp

(iχ⃗(x)

v· σ⃗)

1√2

(0

v + ϕ(x)

)と表せる.

U−1 = exp(i χ⃗(x)

v· σ⃗)とすれば,

Φ′ = UΦ =1√2

(0

v + ϕ(x)

)として, Φを定義し直せば χ⃗の自由度は消すことができる.

22 / 65

対称性が破れた後のヒッグス場の運動項とポテンシャル

式 (5)は

LHiggs

=1

2

∣∣∣∣{∂µI + i

2

(gW 3

µ + g′Bµ g(W 1

µ − iW 2µ

)g(W 1

µ + iW 2µ

)−gW 3

µ + g′Bµ

)}·(

0v + ϕ(x)

)∣∣∣∣2 + µ2

2(v + ϕ)2 − λ

4(v + ϕ)2

23 / 65

対称性が破れた後のヒッグス場の運動項とポテンシャル

LHiggs

=1

2

∣∣∣∣( 0∂µϕ(x)

)+i

2

(g(W 1

µ − iW 2µ

)−gW 3

µ + g′Bµ

)(v + ϕ(x))

∣∣∣∣2+µ2

2(v + ϕ)2 − λ

4(v + ϕ)2

=1

2(∂µϕ)

2 +1

8g2[(W 1

µ

)2+(W 2

µ

)2](v + ϕ)2

+1

8

(gW 3

µ − g′Bµ

)2(v + ϕ)2 +

µ2

2(v + ϕ)2 − λ

4(v + ϕ)4

(6)

となる.24 / 65

W±粒子, Z0粒子, 光子, ヒッグス粒子ここで,

Wµ ≡ 1√2

(W 1

µ − iW 2µ

)W †

µ =1√2

(W 1

µ + iW 2µ

)(Zµ

Aµ

)≡ 1√

g2 + g′2

(g −g′g′ g

)(W 3

µ

Bµ

)=

(cos θW − sin θWsin θW cos θW

)(W 3

µ

Bµ

)を導入する.θW は弱混合角またはワインバーグ角と呼ばれる.WµはW+粒子, W †

µはW−粒子, ZµはZ0粒子, Aµは光子(質量ゼロ), ϕはヒッグス粒子を表す.

25 / 65

W±粒子, Z0粒子とヒッグス粒子の質量ここで,

cos θW =g√

g2 + g′2

sin θW =g′√

g2 + g′2

MW =1

2gv

MZ =1

2

√g2 + g′2v =

MW

cos θW

MH =√2µ2 =

√2λv

を導入する.結合定数 g, g′, ポテンシャルのパラメーター λと真空期待値v/√2がW 粒子の質量MW , Z粒子の質量MZ , ヒッグス粒

子の質量MH を決めている.26 / 65

対称性が破れた後のヒッグス場の運動項とポテンシャル

すると, 式 (6)は

LHiggs =1

2(∂µϕ)

2

+M2WW

†µW

µ

(1 +

ϕ

v

)2

+1

2M2

ZZµZµ

(1 +

ϕ

v

)2

+µ2

2(v + ϕ)2 − λ

4(v + ϕ)4

27 / 65

対称性が破れた後のヒッグス場の運動項とポテンシャル

LHiggs = M2WW

†µW

µ +1

2M2

ZZµZµ

+

(gMWϕ+

g2

4ϕ2

)(W †

µWµ +

1

2 cos2 θWZµZ

µ

)+1

2

((∂µϕ)

2 −M2Hϕ

2)− 1√

2MH

√λϕ3 − λ

4ϕ4

+const.

と表せる.

28 / 65

ゲージ場のラグランジアン

ゲージ場のラグランジアン式 (4)はWµ, Zµ, Aµを用いて,

Lgauge = −1

4FAµνF

Aµν − 1

4FZµνF

Zµν

−1

2(DµWν −DνWµ)

† (DµW ν −DνW µ)

+i(eFA

µν + g cos θWFZµν

)W µ†W ν

+g2

2

(|WµW

µ|2 −(Wµ

†W µ)2)

と表せる.

29 / 65

ゲージ場のラグランジアン

ここで,

FXµν ≡ ∂µXν − ∂νXµ

e = g sin θW =gg′√g2 + g′2

gA3µ = g sin θWAµ + g cos θWZµ

= eAµ + g cos θWZµ

DµWν =(∂µ + igA3

µ

)Wν

= (∂µ + ieAµ + ig cos θWZµ)Wν (7)

である. 式 (7)はWµの電荷がQ = +1であることを表している.

30 / 65

レプトン2重項と1重項

左手型のレプトンが SU(2)Lの 2重項を組み (T = 1/2),Y = −1を持ち,右手型のレプトンが SU(2)Lの 1重項を組み (T = 0),Y = −2を持つとする.

弱アイソスピン 弱超電荷 第 1 世代 第 2 世代 第 3 世代

T = 12

Y = −1 Le ≡(

νee

)L

Lµ ≡(

νµµ

)L

Lτ ≡(

νττ

)L

T = 0 Y = −2 Re ≡ eR Rµ ≡ µR Rτ ≡ τR

31 / 65

レプトン2重項と1重項

式 (3) Q = T 3 + Y/2を使って, 電荷Qを確認してみると,

νeL Q = +1

2+

1

2(−1) = 0

eL Q = −1

2+

1

2(−1) = −1

eR Q = 0 +1

2(−2) = −1

であることがわかる.右手型のニュートリノ νeR, νµR, ντRは実験的に観測されておらず, 標準模型には含めない.存在しているとしても, 電荷Q = 0であることから, SU(2)Lの 1重項 (T = 0)ならば, Y = 0となり, 電磁相互作用も弱い相互作用もせず, 実験事実とは矛盾しない.

32 / 65

レプトンのラグランジアン

レプトンのラグランジアンを相互作用項と質量項に分ける.

Llepton = Lint.lepton + Lmass

lepton

33 / 65

レプトンの相互作用項

レプトンの相互作用項は

Lint.lepton =

∑j=e,µ,τ

Ljiγµ

(∂µ −

i

2g′Bµ + ig

σ⃗

2· W⃗µ

)Lj

+∑

j=e,µ,τ

Rjiγµ (∂µ − ig′Bµ)Rj

=g

2√2

(W †

µJµ +W µJ†

µ

)+ eAµJ

µem +

g

cos θWZµJ

µZ

となる.

34 / 65

レプトンの相互作用項

ここで, 電磁カレント Jµem, 荷電カレント Jµ, 中性カレント

JµZ はそれぞれ

Jµem = −

∑k=e,µ,τ

kγµk

Jµ =∑

k=e,µ,τ

kγµ(1− γ5)νk

JµZ = jµ3 − sin2 θWJ

µem

である.jµa は式 (2)で定義されている.弱い相互作用と電磁相互作用を統一することで, 未知の中性カレント Jµ

Z が現れた.

35 / 65

標準模型での荷電カレントのダイアグラム

+µJ µ

J22

g

22

g2W-M2p

νµg

36 / 65

荷電カレントW 粒子のプロパゲーターは

gµνp2 −M2

W

である. 運動量 pがW 粒子の質量MW に比べて十分小さければ

−g2

8

1

M2W

≃ −GF√2

と近似できる.

GF√2

=g2

8M2W

=g2

8 ·(12gv)2 =

1

2v2

である.37 / 65

荷電カレント

式 (1)を用いると,

v ≃ 246 GeV

MW =

(g2

8

√2

GF

) 12

=

( √2

8GF

e2

sin2 θW

) 12

=37.3

sin θWGeV

MZ =MW

cos θW=

37.3

cos θW sin θWGeV =

74.6

sin 2θWGeV

が得られる.

38 / 65

標準模型での中性カレントのダイアグラム.

µν , eν µν , eν

, u, d-e , u, d-e

0Z

Z粒子が関与する中性カレント過程を観測すれば θW がわかる.

39 / 65

中性カレント

1972年から 1973年にかけて, 断面積の測定からsin2 θW ≃ 0.23がわかった.これから, MW ≃ 78 GeV, MZ ≃ 87 GeVと求まる.1983年にW 粒子とZ粒子が発見された.2018年現在,

MW = 80.379± 0.012 GeV

MZ = 91.1876± 0.0021 GeV

と実験的に決定されており, 高次の効果を含めれば, 理論と実験の一致は非常に良い.

40 / 65

レプトンの質量項

次に, レプトンの質量項Lmassleptonを見てみる.

ディラック質量項は−mψψという形をしている.

PR =1 + γ5

2

PL =1− γ5

2

P †R = PR

P 2R = PR

ψ = ψ†γ0

γ5γ0 = −γ0γ5

などを使うと,

41 / 65

レプトンの質量項

ψψ = ψ (PR + PL)ψ

= ψ (PRPR + PLPL)ψ

=(ψPR

)(PRψ) +

(ψPL

)(PLψ)

= (PLψ) (PRψ) + (PRψ) (PLψ)

= ψLψR + ψRψL

が得られる.SU(2)Lでは, 左手型は 2重項, 右手型は 1重項なので, ψψは2重項になり, SU(2)L変換で不変でない.

42 / 65

レプトンの質量項

電子ニュートリノ νeと電子 eに注目する. ヒッグス 2重項Φを用いて,

−fe(LeΦ

)Re + h.c. (8)

とすると,

Le =(νeL eL

)Φ =

(ϕ1

ϕ2

)=

(ϕ+

ϕ0

)Re = eR

であるので, LeΦは 1重項となり, 全体でも 1重項になるので, SU(2)L変換で不変になる.

43 / 65

レプトンの質量項

ここで, feは湯川結合 (スピン 1/2のフェルミオンとスピン0のボソンの結合)定数, h.c.はエルミート共役を表す.弱超電荷 Y は, LeはLeのディラック共役を取っているのでマイナスが付いて−(−1), Φは+1, Reは−2なので

−(−1) + (+1) + (−2) = 0

となり, U(1)Y 変換でも不変になる.

44 / 65

レプトンの質量項

式 (8)は対称性が破れると,

−fe(νeL eL

)( 0v√2

)eR + h.c.

= −fev√2eLeR + h.c.

= −fev√2(eLeR + eReL)

= −meee

となる.

45 / 65

レプトンの質量項

ここで,

me =fev√2

であり, 湯川結合定数 feと真空期待値 v/√2が電子の質量

meを決めている.電弱対称性が破れることで電子の質量が生じる.

fe =

√2me

v=

me√2MW

g

である.

46 / 65

レプトンの湯川結合のダイアグラム

R-τ ,

R-µ , R

-e L-τ ,

L-µ , L

-e

ef

2v

47 / 65

3世代のレプトンの質量項とニュートリノの質量

3世代のレプトンの質量項Lmassleptonは

Lmasslepton = −

∑j=e,µ,τ

fj[(LjΦ

)Rj +Rj

(Φ†Lj

)](9)

となる.ニュートリノの質量項はないので, 標準模型ではニュートリノの質量は 0である.

48 / 65

湯川結合定数

式 (9)で fjは実数である. これを複素数のGijを用いて一般化すると,

Lmass,gen.lepton = −

∑i,j=e,µ,τ

[Gij

(LiΦ

)Rj +G∗

ijRj

(Φ†Lj

)]となる. 任意の複素行列は, 2つのユニタリー行列 ULと UR

で実対角行列に変換できることを利用する.

G = U †LFUR

ここで F は実対角行列で, その成分 Fijは i ̸= jのとき,Fij = 0である.

49 / 65

湯川結合定数

R′i =

∑j

URijRj

L′i =

∑j

ULijLj

とし, さらにR′i → Ri, L

′i → Liと置き換えて, Fjj = fjとす

れば, 元のLmassleptonに戻せる.

このように, レプトンの場合には一般化で差は生じない.しかし, 後述するように, クォークの場合には差が生じ, カビボ・小林・益川 (CKM)行列の起源となる.

50 / 65

クォークの3世代

レプトンと同様に, クォークも 3世代存在する.

電荷 Q 第 1世代 第 2世代 第 3世代アップ型 uA + 2

3 u c t(A = 1, 2, 3) アップ チャーム トップ

ダウン型 dA − 13 d s b

ダウン ストレンジ ボトム

51 / 65

クォークの2重項と1重項

左手型のクォークが SU(2)Lの 2重項, 右手型のクォークがSU(2)Lの 1重項とすると以下のように分類できる.

弱アイソスピン 弱超電荷 第 1 世代 第 2 世代 第 3 世代

T = 12

Y = + 13

qL1 =

(ud

)L

qL2 =

(cs

)L

qL3 =

(tb

)L

T = 0 Y = + 43

uR cR tRY = − 2

3dR sR bR

52 / 65

クォークの電荷

Q = T 3 + Y/2を満たすことは

uL Q = +1

2+

1

2

(+1

3

)= +

2

3

dL Q = −1

2+

1

2

(+1

3

)= −1

3

uR Q = 0 +1

2

(+4

3

)= +

2

3

dR Q = 0 +1

2

(−2

3

)= −1

3

で確かめられる.

53 / 65

クォークのラグランジアンクォークのラグランジアンLquark

Lquark = Lint.quark + Lmass

quark

のうち, クォークの相互作用項Lint.quarkは

Lint.quark =

∑A=1,2,3

{q(W )RA iγ

µ

(∂µ + ig′

1

6Bµ + ig

σ⃗

2· W⃗µ

)q(W )LA

+u(W )LA iγµ

(∂µ + ig′

2

3Bµ

)u(W )RA

+d(W )

LA iγµ(∂µ − ig′

1

3Bµ

)d(W )RA

}である. ここで (W )は弱い相互作用の固有状態を表す.

ψ(W )RA = ψ

(W )

LA , ψ(W )LA = ψ

(W )

RA である.

54 / 65

クォークの質量項質量項Lmass

quarkは

Lmassquark = −

∑A,B

(f(d)ABq

(W )RA Φd

(W )RB + f

(u)ABq

(W )RA Φ̃u

(W )RB + h.c.

)と書ける. ここで,

Φ̃ ≡ iσ2Φ∗

σ2 =

(0 −ii 0

)⟨0|Φ̃|0⟩ =

(0 1−1 0

)(0v√2

)=

( v√2

0

)であり, アップ型クォーク uAに質量を与えるためである.f(X)AB は湯川結合定数であり, 複素数である.

55 / 65

クォークの質量項

電弱対称性が破れると,

Lmassquark

= −∑A,B

(1√2f(d)ABvd

(W )

RA d(W )RB +

1√2f(u)ABvu

(W )RA u

(W )RB + h.c.

)

となる.

56 / 65

クォークの質量項

湯川結合定数 f(X)AB は 2種類のユニタリー行列 SX と TX

(X = d, u)を使って, 実対角行列に変換され, その固有値m

(X)A はクォークの質量と解釈される.∑

C,D

(S†X

)AC

(1√2f(X)CD v

)(TX)DB = m

(X)A δAB

これは, 行列の積

S†XFTX = M

を表している.

57 / 65

弱い相互作用の固有状態と質量の固有状態

弱い相互作用の固有状態 ψ(W )と質量の固有状態 ψ(M)は SX

と TX により関係づけられる.

d(W )LA =

∑B

(Sd)AB d(M)LB

u(W )LA =

∑B

(Su)AB u(M)LB

d(W )RA =

∑B

(Td)AB d(M)RB

u(W )RA =

∑B

(Tu)AB u(M)RB

58 / 65

クォークの電磁カレント

ゲージ場との相互作用項はレプトンの場合と同様に与えられる. 電磁カレント Jµ

emは

Jµem = +

2

3

∑A

u(W )A γµu

(W )A − 1

3

∑A

d(W )

A γµd(W )A

= +2

3

∑A

u(M)A γµu

(M)A − 1

3

∑A

d(M)

A γµd(M)A

である. アップ型とダウン型を混合しないので, 相互作用の固有状態 (W )でも, 質量の固有状態 (M)でも式の形は不変である.

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クォークの中性カレント

中性カレント JµZ も同様で,

JµZ = jµ3 − sin2 θWJ

µem

jµ3 =∑A

q(W )RA γ

µσ3

2q(W )LA

=1

4

∑A

{u(W )A γµ(1− γ5)u

(W )A − d

(W )

A γµ(1− γ5)d(W )A

}=

1

4

∑A

{u(M)A γµ(1− γ5)u

(M)A − d

(M)

A γµ(1− γ5)d(M)A

}である.

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クォークの荷電カレント荷電カレント Jµは

Jµ =∑A

u(W )A γµ(1− γ5)d

(W )A

= 2∑A

u(W )RA γµd

(W )LA

= 2∑A,B

u(M)RA γµ

(S†uSd

)AB

d(M)LB

となる. ここで,

VCKM ≡ S†uSd

をカビボ・小林・益川 (CKM)行列という. 相互作用と質量の固有状態が異なることにより生じ, 湯川結合に起因する.

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CKM行列

CKM行列の成分を書くと

VCKM =

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

となる. 3個の回転角と, 1つの複素位相の物理的自由度を持つ.

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CKM行列

CKM行列はユニタリー行列の積なので, ユニタリー行列であり,

V †CKMVCKM = VCKMV

†CKM = I

を満たす. 成分で書けば,∑i=u,c,t

V ∗imVin = δmn (m,n = d, s, b)∑

m=d,s,b

VimV∗jm = δij (i, j = u, c, t) (10)

となる.

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ユニタリティー3角形

例えば, 式 (10)でm = b, n = dとすると,

V ∗ubVud + V ∗

cbVcd + V ∗tbVtd = 0

となり, 複素平面上で V ∗ubVud, V

∗cbVcd, V

∗tbVtdが 3角形をなす

ことを意味する. この 3角形をユニタリティー 3角形と呼ぶ.

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ユニタリティー3角形

cdV*cbV

udV*ubV tdV*

tbV

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