c::; E Fl E &:i. TIM CJ 5 H ENKCJ

_JJL.ICJ E! ECJl51 KEEMPAT

�lass .. .. �.QJ .... � .... �� ..... ' Ne>. lnduk .. !':\.\��� Tgl J�. : .�� : .��

Hadiah/.se.H ......... ................•.. . \J�� U\l�� Dari ............ .......... ··· ···········

lb.OS:-· �t'.l\b

Konversi antara Satuan USCS dan SI

Faktor konversi pengali Satuan USCS

Akselerasi (linier)

foot per second squared ft/s2

inch per second squared in./s2

Luas

squared food

squared inch

Densitas (massa)

(Massa jenis)

ft2

in.2

Akurat

0,3048*

0,0254*

0,09290304*

645,16*

slug per cubic foot slug/ft3 515,379

Densitas (berat) (Bernt jenis)

pound per cubic foot

pound per cubic inch

Energi; ke1ja

foot-pound

kilowatt-hour

British thermal unit

Ga ya

pound

kip (I 000 pounds)

Gaya per satuan panjang

(Intensitas gaya)

pound per foot

pound per inch

kip per foot

kip per inch

Panjang

l.t- foot-

' _.J . inch

I ... Lmil c

.

,.t

Massa ·- � slug

_ ....

Momen gaya; torque

pound-foot

pound-inch

kip-foot

kip-inch

lb/ft3

lb/in.3

.ft-lb

kWh

Btu

lb

k

lb/ft

lb/in.

k/ft

k/in.

157,987

271,447

1,35582

3,6*

1055,06

4,44822

4,44822

14,5939

175,127

14,5939

175,127

ft

in. '•mi

-f 0,3048*

f 25,4*

1,609344*

��+f

i�o lb-ft lb-in.

k-ft

k-in.

14,5939

1,35582 0,112985

1,35582

0, 112985

Praktis

0,305

0,0254

0,0929

645

515

157

271

1,36

3,6

1055

4,45

4,45

14,6

175

14,6

175

0,305

25,4

1,61

14,6

1,36

0,113

1,36

0,113

Saluan SI yang sebanding

meter per second squared m/s2

meter per second squared m/s2

squared meter

squared millimeter

m2

mm2

kilogram per cubic meter kg/m3

newton per cubic meter B/m3

kilonewton per cubic meter kN/m3

joule

megajoule

joule

newton

kilonewton

newton per meter

newton per meter

kilonewton per meter

kilonewton per meter

meter

millimeter

kilometer

kilogram

newton meter

newton meter

kilonewton meter

kilonewton meter

J

MJ

J

N

kN

Nim

Nim

kN/m

kN/m

m

mm

km

kg

N·m

N·m

kN·m

kN·m

Kon -

I· M

M

D<

T(

M

K

Is

Ru1

Konversi antara Satuan USCS dan SI C/1111j1111111l -

� Faktor konversi pengali Satmm uses Saluan SI yang sebanding

Akurat Praktis

Momen inersia (luas) ls2 inch to fourth power in.4 416,231 416,000 millimeter to fourth power mm4

ls2 inch to fourth power in.4 0,416231 x 10-6 0,416 x 10-6 meter to fourth power m4

Momen incrsia (massa)

m2 slug foot squared slug-ft2 1,35582 1,36 kilogram meter squared kg·m2

Daya

foot-pound per second ft-Ibis 1,35582 1,36 watt w

;/m3 foot-pound per minute ft-/b/min 0,0225970 0,0226 watt w horsepower (550 ft-Ibis) hp 745,701 746 watt w

Tekanan; tegangan

'm3 pound per square foot psf 47,8803 47,9 pascal (N/2) Pa

�/m3 pound per square inch psi 6894,76 6890 pascal Pa

kip per square foot ksf 47,8803 47,9 kilopascal kPa

kip per square inch ksi 6,89476 6,89 megapascal MPa

J Modulus penampang

inch to third power in.3 16.387,I 16,400 millimeter to third power mm3

inch to third power in.3 16.387,1 x 10-6 16,4 x J0-6 meter to third power mm3

Kecepatan (linier)

foot per second ft/s 0,30448* 0,305 meter per second mis

inch per second in.ls 0,0254* 0,0254 meter per second mis

mile per hour mph 0,44704* 0,447 meter per second mis

mile per hour mph 1,609344* 1,61 kilometer per hour km/h

m Isi

m cubic foot ft.3 0,0283168 0,0283 cubic per second

Jim mis

Jim cubic inch in.3 16,3871 x 10-6 16,4 x 10-6 cubic meter m3

cubic inch in.3 16,3871 16,4 cubic centimeter (cc) cm3

gallon (231 in.3) gal. 3,78541 3,79 liter L

gallon (231 in.3) gal. 0,00379 0,00379 cubic meter m3

11 *Tancla asteriks melambangkan faktor konversi yang eksak Catalan: Untuk mengkonversi satuan SI menjadi satuan uses, bagilah satuan SI dengan faktor konversi.

Rumus Konversi Suhu

T(0C) = % (T(°F) - 32) = T(K) - 273, 15

m T(K) = % (T(°F) - 32) + 273, 15 = T(°C) + 273, 15 m

l·m T(°F) = t T(°C) + 32 = t T(K) - 459,67 l·m

EDISI KE-4

MEKANIKA BA HAN

JILID 2

EDISI KE-4

MEKANIKA BAHAN

JILID 2

JAMES M. GERE Profesor Emeritus Stanford University

STEPHEN P. TIMOSHENKO (1878-1972)

Mantan Dosen Stanford University

• PENERBIT ERI..ANGGA JI. H. Baping Raya No. l 00 Ciracas, Jakarta 13740 e-mail: mahameru@rad.net.id (Anggota IKAPI)

b?-0. \ GE.\L

'(\'vl 14 \ o�<b - V.-116 -:rT�

\�. Oli" . �D\b

Gere, James M. Mekanika Bahan/James M. Gere, Stephen P. Timoshenko;

alihbahasa, Bambang Suryoatmono; editor, H. Wibi Hardani. -- Ed. 4. -- Jakarta: Erlangga, 2000

... jil.; ... cm

Judul asli: Mechanics of Material. ISBBN 979-688-055-5 (no. jil. lengkap) ISBBN 979-688-056-3 (iii. 1) ISBBN 979-688-057-1 (iii. 2)

1. Mekanika Bahan I. Judul II. Tirnoshenko, Stephen P. IV. Hardani, Wibi, Hilarius

Ill. Suryoatmono, Bambang

620.1123

Judul Asli:

MECHANICS OF MATERIAL, Fourth l:tlition

./mm•s i\.1. Gere, Stephen P. Timo!>heuko

Copyright © 1997, 1990 by PWS Publishing Company, a Division of International Thomson Publishing Inc.;© 1984 by Wadsworth, Inc.

Hak cipta © dalam Bahasa Inggris 1997, 1990 pada PWS Publishing Company, sebuah divisi dari International Thomson Publishing Inc.; hak cipta © 1984 pada Wadsworth, Inc. Hak terjemahan dalam Bahasa Indonesia pada l'e11erhit 1;rta11gga berdasarkan perjanjian

pada tahun 1996.

Alih Bahasa Ir. Bamhang Sur) oat mono, \I St'. PhD. Jurusan Sipil Fakultas Teknik Universitas Parahyangan, Bandung

Editor 11. Wihi 1-hlrdani, S.T.

Buku ini diset dan dilayout oleh Bagian Produksi '"m'rhit /:"r/a11J.!�" dengan Power Mac 61 00/60Av (Times 10)

Dicetak oleh

OS 04 03 02

1· 1 udura Ak.,ara Pratama

7 6 5 4 3 2

Difarang keras 111e11gutip, menjiplak, memperbanyak, memfotokopi, baik sebagian

maupun keselurnhan isi buku ini serta mempe1j11albefikannya tanpa izi11 tertulis dari

P1•m•rhif I· rl1mgga

(i) llAK ("!PTA l>ILINDLN(;I OLEll l.INl>\N(; l1Nl>.\N(;.

-

DAFTAR ISi

Pengantar ix Simbol xiii Huruf Yunani xvi

ANALISIS TEGANGAN DAN REGANGAN

7.1 Pendahuluan 7.2 Tegangan B idang 2

1

7.3 Tegangan Utama dan Tegangan Geser Maksimum 9 7.4 Lingkaran Mohr untuk Tegangan B idang 18 7.5 Hukum Hooke untuk Tegangan Bidang 32 7.6 Tegangan Triaksial 36 7.7 Regangan Bidang 41

Soal-soal 54

PENERAPAN TEGANGAN BIDANG

8.1 Pendahuluan 70 8.2 Bejana Tekan Bola 70 8.3 Bejana Tekan Silinder 76 8.4 Tegangan Maksimum di Balok 82 8.5 Beban Gabungan 91

Soal-soal 104

DEFLEKSI BALOK 1 14

9.1 Pendahuluan 114

70

9.2 Persamaan Diferensial untuk Kurva Defleksi J 14 9.3 Defleksi dengan Integrasi Persamaan Momen Lentur 119 9.4 Defleksi dengan Integrasi Persamaan Gaya Geser dan

Persamaan Beban 128 9.5 Metode Superposisi 133 9.6 Met6de Luas Momen 140 9.7 Balok Nonprismatis 147 9.8 Energi Regangan Lentur I 51 *9.9 Teorema Castigliano 155

Vi Dahar Isl

*9.1 0 Defleksi yang Diakibatkan Ke jut 166 *9.1 1 Efek Temperatur 1 68

Soal-soal 170

__ 1•0 I BALOK STATIS TAK TENTU 186

1 0.1 Pendahuluan 1 86 1 0.2 Jenis-jenis Balok Statis Tak Ten tu 1 87 1 0.3 Analisis dengan Persamaan Diferensial Kurva Defleksi 1 88 1 0.4 Metode Superposisi 194 *10.5 Balok Menerus 203 *10.6 Efek Temperatur 2 1 2 *10.7 Peralihan Longitudinal di Ujung Balok 215

Soal-soa/ 218

11 I KOLOM --� 229

� I

1 1 .1 Pendahuluan 229 1 1 .2 Tekuk dan Stabilitas 230 1 1 .3 Kolom dengan Kedua Ujung Sendi 233 1 1 .4 Kolom dengan Kondisi Tumpuan Lainnya 243 1 1 .5 Kolom dengan Beban Aksial Eksentris 253 1 1 .6 Rumus Sekan untuk Kolom 257 1 1. 7 Perilaku Kol om Elastis dan Inelastis 262 1 1 .8 Tekuk Inelastis 264 1 1 .9 Rumus Desain untuk Kolom 269

Soal-soal 280

TINJAUAN ULANG MENGENAI PUSAT BERAT DAN MOMEN INERSIA 295

1 2.1 Pendahuluan 295 1 2.2 Pusat Berat suatu Area Bidang 295 1 2.3 Pusat Berat Area Gabungan 298 1 2.4 Momen Inersia Area Bidang 301 12.5 Teorema Sumbu Sejajar untuk Momen Inersia 303 1 2.6 Momen Inersia Polar 306 1 2.7 Produk lnersia 308 1 2.8 Rotasi Sumbu 31 I 1 2.9 Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama 313

Soa/-soal 317

Referensi dan Catatan Sejarah 323

Lampiran A Sistem Satuan dan Faktor Konversi 331

A.1 Sistem Satuan 33 1 A.2 Saluan SI 332 A.3 Satuan Umum Amerika Serikat 338 A.4 Satuan Temperatur 340 A.5 Konversi antara Satuan 34 l

1 88

Lampiran B Pemecahan Soal-soal 344

B.1 Jenis Soal 344

Mekanika Bahan vii

B.2 Langkah-langkah dalam Memecahkan Soal 345 B.3 Homogenitas Dimensional 346 B.4 Angka Penting 347 B.5 Pembulatan Bi langan 349

Lampiran C Rumus-rumus Matematika 350

Lampiran D Besaran Luas Bidang 354

Lampiran E Besaran Profit Baja Struktural 360

Lampiran F Besaran Kayu Struktural 366

Lampiran G Defleksi dan Kemiringan Balok 367

Lampiran H Sifat Bahan 373

Jawaban Soal 378

-

PENGANTAR

Dengan mengambil mata kuliah mekanika bahan, mahasiswa mempelajari topik teknik dasar sekaligus juga mengembangkan kemampuan analitis dan pemecahan masalah. Selama persiapan Edisi Keempat ini, penulis selalu mengingat tujuan-tujuan tersebut. Fakta-fakta dan teori-teori mekanika disajikan sedemikian rupa sehingga mudah dalam proses belajar mengajar, dengan pembahasan yang mendalam dan contoh yang banyak, supaya mahasiswa dapat segera menguasai suatu pokok bahasan. Selain itu, penekanan diberikan pada bagaimana menganalisis sistem mekanis dan struktural, dan banyak soal yang mengharuskan mahasiswa melakukan pemikiran orisinal.

Buku ini meliputi semua topik dasar mengenai mekanika bahan, yang disajikan pada level yang cocok untuk mahasiswa teknik tingkat dua dan tiga. Topik-topik utama adalah analisis dan desain elemen struktural yang mengalami tarik, tekan, torsi, dan lentur, termasuk konsep-konsep dasar seperti tegangan, regangan, perilaku elastis, perilaku inelastis, dan energi regangan. Topik-topik lain yang menarik adalah transformasi tegangan dan regangan, pembebanan gabungan, konsentrasi tegangan, defleksi balok, dan stabilitas kolom. Topik-topik yang lebih khusus adalah efek termal, pembebanan dinamis, elemen nonprismatis, balok dua bahan, pusat geser, bejana tekan, dan balok statis tak tentu. Untuk kelengkapan dan rujukan ke1ja, topik-topik dasar seperti gaya geser, momen lentur, pusat berat, dan momen inersia juga disajikan di dalam buku ini.

Buku ini membahas materi yang jauh lebih banyak daripada yang dapat dibahas dalam satu mata kuliah sehingga dosen mempunyai kesempatan untuk memilih topik yang menurutnya paling mendasar dan relevan. Topik-topik lanjut di dalam suatu subbab diberi kode bintang (*) . Dosen juga dapat memanfaatkan ratusan soal baru (dengan total lebih dari 1100 soal) yang tersedia sebagai pekerjaan rumah dan diskusi kelas. Soal­soal di letakkan di akhir setiap bab agar mudah dicari dan tidak menyela penyajian suatu bab. (Soal yang sangat sulit atau panjang diberi kode satu atau lebih tanda bintang di dekat nomor soal.)

Baik Sistem Satuan lnternasional (SI) atau U.S. Customary System (USCS) digunakan dalam contoh-contoh dan soal-soal numerik.

>elajari inalitis JCllUJis ·i-teori belajar 1anyak, Se lain

1ekanis 1kukan

1, yang ua dan ii yang ' dasar energi

sangan balok,

tennal, . geser, ujukan at. dan

a yang punyai ;ar dan ng (*). )jh dari ;. Soal-1enyela de satu

Syste1n 1nerik.

1111

Meka111ka Ba/Jan ! x

Pe1nbahasan tentang kcdua siste1n clan label faktor konversi diberikan dala1n la1npiran. lJntuk soal-soal dengan solusi nun1erik, soal berno1nor ganjil 1nenggunakan satuan lJSC:S dan soal bernon1or genap 111cnggunakan satuan SI. Satu-satunya pengecualian adalah pada soal dan contoh yang n1elibatkan tabel besaran untuk profil baja struktural karena tabe.J untuk profil ini hanya terse<lia dalan1 satuan lJSC:s. Jawaban soal dicantun1kan di bagian belakang buku ini, schingga 1nahasiswa dapat 1ne1neriksa hasil peke1jaannya.

]{ujukan dan catatan scjarah juga diku1npulkan di bagian belakang buku ini. H.ujukan dan catatan ini tcrdiri atas sun1ber asli pokok bahasan

dan catatan biografis inengenai insinyur, iln1uwan, dan n1aten1atikawan pclopor yang 111enen1ukan pokok bahasan n1ekanika bahan. Jndcks nan1a yang terpisah akan n1cn1pennudah pcncarian 1nasing-n1asing tokoh scjarah ini. Buku ini dira1npungkan dengan indeks subjek yang dipcrsiapkan secant ckstensif dan hati-hati sehingga setiap topik, konsep, kata kunci, atau definisi dapat ditcn1ukan dengan cepat.

l�disi Kcen1pat dari Mekanika Bahan ini tclah ditulis ulang secara hali-hati dengan diskusi yang diperluas, tokoh-tokoh baru, contoh-contoh dan soal-soal baru, serta banyak perubahan dalan1 pengaturannya agar buku ini lebih bcrguna di dala1n ruangan kelas. Scn1ua perubahan dalan1 pengaturan dan penyajian ini diajukan olch para dosen dan 1nahasiswa yang telah n1engenal baik Edisi Ketiga.

Usaha yang keras telah dilakukan dala1n 1ne1neriksa dan n1e1nbaca ulang teks agar dapat n1enghilangkan kesalahan, nan1un apabila pe1nbaca 1nencn1ukannya, betapapun kecilnya, beritahulah penulis di Depart1nent of Civil Engineering, Stanford University, Stanford, California 94305-4020, U.S.A. (email jgere@cive.stanford.edu), atau kontaklah pencrbit (se1nua surat akan dibalas).

Edisi pcrtan1a buku ini, diterbitkan pada tahun 1972 dan ditulis olch pcnulis sekarang, n1erupakan pengc111bangan dari buku tcrdahulu yang disusun oleh Profesor Stephen P. Timoshenko ( l 878-1972), yang menggunakan judul Strength of Materials. Ti1noshenko adalah perintis yang paling dihorn1ati dalan1 bidang n1ekanika tcrapan. Me\alui penclitian dan buku­bukunya, ia 111erevolusi cara peng;;�jaran inekanika, bukan hanya di A1nerika Serikat n1clainkan juga di seluruh dunia. (Pcn1baca dapat 1ncnen1ukan biografi ringkas dari 'rilnoshenko di dalarn rujukan pertan1a di bagian helakang buku ini.)

Penulis n1cnyadari bahwa untuk n1enyan1paikan pcnghargaan kepada sen1ua orang yang berkontribusi dala1n penyusunan buku ini adalah sesuatu yang tidak 1nungkin. Pcnulis hanya bisa 111cnyan1paikan penghargaan kepada n1antan doscn Stanford penulis, tern1asuk raksasa-raksasa 1nekanika, Wilhchn FlUgge, Ja1nes Nonnan Goodier, Mik16s Het6nyi, Nicholas J. Hoff, dan Donovan H. Young. Penulis juga 1nenghargai kolega Stanford-"-­khususnya Toni Kane, Anne Kiren1idjian, Hcln1ut Krawinklcr, Kincho l..aw, Peter Pinsky, llarcsh Shah, Sheri Sheppard, Allison Sn1ith, dan al1narhun1 J3ill Weaver--yang tclah n1en1bahas filosofi pendidikan dan n1ekanika dengan pcnulis pada banyak kesen1patan. Sclain itu, banyak

x Pengantar

korncntar dan ide yang berguna yang clisun1bangkan olch �rhalia Anagnos dari San Jose State University, John Burgess dari lJnivcrsity of 1-Iawaii, clan Aron Zaslavsky dari Technion.

Pcnc!aah berikut ini telah n1embaca kcseluruhan Edisi Kcetnpat dalan1 bentuk konsep clan telah rnernbcrikan baik korncntar u1nu1n nutupun khusus untuk perubahan dan perbaikan. Saran-saran 1ncrcka tcrbukti sangat berguna, dan penulis sangat rnenghargai telaahan dan ketelitian 1ncrcka. 'fcrin1a kasih pcnulis snrnpaikan kepada: M'�jid R. C�hitsa/', dari Pennsyl­vania State University; R.obert D. Cook dari University of Wisconsin­Madison; Janak Dave dari University of Cincinnati; Scrgcy l)rabkin dari Polytechnic lJniversity of New York; Raghu Echeinpati dari lJnivcrsity of Mississippi; 1-Iarvey Lipkin dari (}eorgia Institute of Technology; f)ouglas Nin1s dari lJniversity of rfoJedo; Douglas B. I<.igby dari flong Kong University of Science adn 1'echnology; clan P.O. Scarlatos clari Florida Atlantic University.

Selain itu, penelaah bcrikut ini telah 1ne1nbcrikan ko1ncntar terhadap Edisi Ketiga dalarn tclaah sebelun1 perbaikan. Saran-saran n1ercka sangal rnenentukan dalan1 pernbentukan Edisi Kec1npat, dan penulis sangat 1ncnghargai ide-ide rnercka. rferirna kasih pcnulis san1paikan kepada: Hojjat Adeli dari Ohio State University; Kcvyan Ahdut dari University of the l)istrict of Colutnbia; John B. Brunski clan Robert f-I. P. l)unn, kcduanya dari Rensselaer Polytechnic Institute; "fed A. Conway dari University of Akron; Xiaon1in Deng dari University of South Carolina; Arya Ebrahin1pour dari Pennsylvania State University; M. Elgaaly clan Anisur l�ahn1an, keduanya dari Drexel University; Ahmed Ibrahiln dari State University of New York at Farmingdale; Norrnan F. Knight dan I<.an1an1urthy Prabhakaran, keduanya dari ()\cl l)oininion University; Giadius Lewis dari University of fVIe1nphis, Zhong Ming Liang dari Purdue University; E.L. Parker dari Valley Forge Military Colege; Edwin Powers dari Catonsville Corn1nunity C�ollcge; C�harles l�ondeau clari Ja1nestown Con11nunity C�ollcge; Michael Schwartz dari University of St. 'rhon1as; Sheri Sheppard dari Stanford; R. Sierakowski dari Ohio State lJniversity; L.'r.f). Topoleski dari lJnivcrsity of Maryland at Baltin1orc; Morteza 'f'orka1nani clari lJnivcrsity of Pittsburgh, dan fVlanoochehr Zoghi clari University of Dayton.

Pcnulis dibantu dala1n pengolahan kata (\vord processing) dan persiapan naskah, pcrnhacaan ulang oleh [)uc Wong, yang telah beke1ja dengan perhatian dan ketelitian penuh. Selain itu, rnahasiswa pascasarjana berikut ini telah 1ne1nberikan bantuan keahliannya dalarn 1nc1nbaca ulang clan rnenyiapkan solusi soal: Yih-Lin Shelley Cheng, Krista Marie f)onaldson, Denise M. Fennell, Jan1ic Hsieh, Peter I. l-Iuang, C�hao-l·Iua (Eric) Lin, Angela Chia-Lin Teng, dan May Min-Chiao Wong.

Pcnyuntingan clan produksi dilaksanakan secara tran1pil clan efisien o\eh staf PWS Publishing Cornpany, tennasuk Jonathan Plant, Mary 'f'hon1as Slone, clan f-lelen M. Walden. Penulis secara khusus berterilna kasih pada Mary 'I'ho1nas Slone, yang n1erupakan penyunting untuk buku ini clan n1en1berikan kotncntar, pandangan, clan bantuan yang jauh n1clebihi yang penulis duga. Setnangat bcke1ja sa1na clan bersahabat yang ditunjukkan oleh sen1uanya di PWS 1ncnjadikan pcke1:jaan ini suatu kebahagiaan.

Akhirnya, pcnulis sangat rncnghargai kesabaran dan dorongan yang dibcrikan o!eh kcluarga pcnulis, khususnya istri penu!is, Janice, di seluruh proyck ini.

\nagnos Hawaii,

at dalam i khusus

1 sangat mereka. :>ennsyl­sconsin­•kin dari ersity of Douglas g Kong

Florida

:erhadap a sangat : sangat 1: Hojjat y of the ;:duanya !rsity of 1; Arya 1 Anisur 1ri State �ht dan 1versity; i Purdue Powers

nestown fhomas; iversity; \1orteza ghi dari

ig) dan bekerja

asarjana ;a ulang 1 Marie iao-Hua

1 efisien t, Mary !rterima uk buku nelebihi njukkan iaan. an yang seluruh

Mekanika Bahan xi

Kepada masing-masing orang baik ini, penulis dengan gembira menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya.

James M. Gere

• Alat Bantu Tambahan

Edisi Keempat menyertakan juga disket 3.5" yang mengandung program ·komputer yang berguna dan mudah-MathcadTM Engine 5.0 for Win­dows©-dan sekumpulan lembar ke1ja untuk memecahkan soal-soal mekanika bahan. Lembar ke1ja tersebut diperiksa silang terhadap contoh­coFltoh dan soal-soal teks yang sesuai dengan ikon bergambar diskel. Ikon ini menunjukkan jenis soal atau contoh yang sesuai dengan lembar ke1ja tersebut. Semua soal dan contoh di dalam teks dimaksudkan unluk dipecahkan sesuai pilihan dosen dan mahasiswa dan tidak didesain untuk perangkal hitung lertenlu.

Juga tersedia pakel baru yang unik berupa buku ketja dan CD-ROM, Visual.Mechanics. Dikembangkan di University of Washington oleh Gre­gory R. Miller dan Stephen C. Cooper, paket ini terdiri atas CD-ROM dengan dua program (disebut Dr. Beam dan Dr. Stress), dan sebuah buku pegangan dengan lembar ke1ja, latihan, dan contoh-contoh, yang terpusat pada lentur balok dan analisis kondisi tegangan. Perangkat lunak dan bahan instruksional pendukungnya memberikan mahasiswa laboratorium virtual yang mudah dipakai untuk memvisualisasikan perilaku balok, memahami model matematika, dan mengeksplorasi teori mekanika bahan dan metode desain.

Kedua alat bantu yang didasarkan atas perangkat lunak ini ditujukan sebagai pelengkap; buku teks ini dapat digunakan dengan efektif secara tersendiri.

Instructor's Solution Manual dengan solusi lengkap untuk semua soal tersedia untuk pengguna buku ini.

PWS Publishing Compan}

-

SIMBOL

A Luas/area/daerah Ar Luas sayap (flens)

Aw Luas badan (web) a, b, c Dimensi (ukuran), jarak

C Pusat berat (centroid), konstanta integral, gaya tekan c Jarak dari sumbu netral ke permukaan luar balok

D Diameter d Diameter, dimensi, ukuran jarak (distance) E Modulus elastisitas

E,. Modulus elastisitas reduksi E, Modulus elastisitas tangensial

e Eksentrisitas, dimensi (ukuran), jarak, perubahan volume satuan (dilatasi)

F Gaya

f Aliran geser, faktor bentuk untuk lentur plastis, fleksibilitas, frekuensi (Hz)

fr Fleksibilitas torsional batang G Modulus clastisitas dalm kondisi geser g Percepatan gravitasi

H Tinggi, jarak, gaya, reaksi, tenaga kuda h Tinggi, dimensi (ukuran)

1x• fy, 1z 1.d' Jyl

IX)' �dyl

'" JI' '2

J K

Momen inersia (atau momen kedua) dari sebuah luas bidang Momen inersia terhadap sumbu x, y, dan z

Momen inersia terhadap sumbu x1 dan y1 (sumbu diputar) Perkalian (produk) inersia terhadap sumbu xy Perkalian (produk) inersia terhadap sumbu x1y1 (sumbu diputar) Momen inersia polar Momen inersia ulama Konstanta torsi Faktor konsentrasi tegangan, modulus elastisitas padat (bulk), faktor panjang cfektif untuk sebuah kolom

k

k,.

L L,, L11

J.,,og

M M,, My M N 11

() ()' p

F)izin I1cr p I' P,. p ' F\. p Q q R

I'

s ,\'

1e satuan T

1�) sibilitas, 1:v

I 1;

7�1' u u

u,. u, v

bi dang

v v', v " dsL

utar)

dipi:1tar) w w

x, y, z. x,., Ye' z.1•

x, y, z

z t (bulk),

Mekanlka Ba/7an x l \ i

Konstanta pegas, kekakuan, sin1bol untuk ,/fjTf�j Kekakuan torsional sebuah batang

Panjang jarak

Panjang efektif scbuah kolon1

L,ogaritn1a natural (basis e) Logaritma umum (basis I 0) Mon1cn lentur, kopel, 1nassa

Mo1nen plastis untuk sebuah balok

Mc)Jncn luluh untuk scbuah balok

Mc)Jnen per satuan panjang, 1nassa per satuan panjang

Ciaya aksial

faktor kean1anan, bilangan bulat, putaran per n1enit (rp111)

Pusat koordinat

Pusat kelengkungan

Gaya, bcban tcrpusat, daya

Behan izin (atau ke1ja izin)

Behan kritis untuk sebuah kolo1n

Behan plastis untuk sebuah struktur

13eban 1nodulus-rcduksi untuk sebuah kolo1n

Behan 1nodulus tangensial untuk sehuah kolo1n

Bcban luluh untuk scbuah struktur

'rekanan (gaya per satuan luas)

Gaya beban terpusat, n1on1en perta1na sebuah bidang

Intensitas beban terdistribusi (gaya per satuan jarak)

H.eaksi; jari-jari (radius)

Jari-jari (radius), jari-jari girasi (gyration) �]jii�i Modulus potongan pena1npang sebuah balok, pusat gescr

Jarak, jarak di scpanjang sebuah garis Jengkung

Gaya tarik; n101ncn puntir atau n10111cn putar (torque), tc1nperatur

Mo1nen putar (forque) plastis

Mon1cn putar (torque) luluh

'febal; waktu; intensitas torque

Tcbal sayap (}lens) Tebal badan (web) Encrgi regangan

l)cnsitas cnergi regangan (cncrgi rcgangan per satuanvolun1e)

Modulus resistansi

Modulus kctangguhan

Gaya geser; volu1ne

deflcksi sebuah balok; kcccpatan

dv/dx, d2v/dx2, dst.

Gaya; bcrat; usaha (ke1ja)

13cban per luas satuan (gaya per satuan luas)

Sun1bu pcrsegi panjang

Su1nbu persegi panjang

Koordinat pusat berat

Modulus plastis pcnan1pang scbuah balok

xiv Simbol

<X Sudut, koefisien ckspansi panas, rasio nondirncnsional

f3 Sudut, rasio nonclin1cnsional, konstanta pegas, kekakuan

/3R Kckakuan putar sebuah pcgas

g

/'."ry' Yr�' 1'.�x Yr1.v1

Yo 8, Ll.

Ll.T 8i, i5 y £

Ex, �v' Ez Eo

El' E2, E3 E1 E,. f)

EP

Es I( il v p

(Y O:r' Gr, O:�

G,·.rl• O:rl a,,

0'1, G2, 0"3 Gizin Ger Gp1 a,. (JT a;, O:v

T -�ry' �r�· r,�r

·zr1y 1

Rcgangan gcser, densitas/rapat berat (berat per satuan volun1e)

1-(cgangan gescr paJa biclang xy, yz, Jan z�r Regangan gcser terhadap sun1bu x1y1 (su1nbu diputar)

Regangan geser untuk sumbu n1iring

I)cfleksi, pclepasan, pcrpanjangan sebuah batang atau pcgas

Beda tc1npcratur

Pelepasan statis

Pclcpasan luluh

Regangan nonnal

Regangan gcscr dalarn arah x, y, clan z Regangan norn1al untuk su1nbu rniring

Regangan nonnal utama

Regangan lateral

Regangan luluh

Sudut-sudut rotasi sun1bu balok, laju puntiran scbuah batang dala1n keadaan torsi (suJut puntir per satuan panjang )

Sudut terhadap sebuah bidang ulatna atau terhadap sebuah su111bu utama

Sudut tcrhadap sebuah bidang tegangan gescr n1aksi1num

Kelengkungan ("= lip)

Jarak

Rasio poisson

Jari-jari radius kclengkungan, jarak radial dalan1 koordinat po­lar, rnassa jcnis (massa per satuan volu1nc)

'I'egangan nonnal

'fcgangan nonnal pada bidang yang tcgak lurus terhadap stunbu x, y, Jan z

Tegangan nonnal pada biJang yang tcgak lurus terhadap surnbu x1y1 (sun1hu diputar)

Tegangan nonnal pada bidang rniring

1'egangan normal uta1na

Tcgangan sisi (atau tcgangan ke1ja)

'['egangan kritis untuk scbuah kolom (at:r = /)c/A) Tegangan litnit-proposal

'fcgangan sisa (residual) Tegangan tennal

'fcgangan ulti1natc

1'egangan luluh

'I'cgangan gcser

'I'egangan gcscr pada bidang yang legak lurus terhadap su111bu x, y, z, dan beketja sejajar sun1bu y, z, clan x

'I'cgan1ga1n geser pada sebuah bidang yang tegak lurus tcrhadap su1nbu x1 clan yang bcketja sejajar surnbu y1 (sun1bu diputar)

r0 "I'egangan gcser pacla scbuah bidang 1niring

riziu Tegangan izin (atau tcgangan kc1ja) pada kondisi gcser

if:P 0%!� l@t'

,1;

11

olun1e)

pc gas

batang

sun1bu

1111

1at po-

st11nbu

sun1bu

sun1bu

rhadap iputar)

1111

r,, �)' "' •p (0

*

legangan ultiinatc pada kondisi gcscr

tcgangan luluh pada kondisi gcser

Mekanika Ballan xv

sudut, sudut puntir sebuah batang pada kondisi torsi

sudut, sudut rotasi

kecepatan sudut (angular), frekucnsi sudut (angular) (w::::: 27f/)

l�anda asteriks dicantun1kan pada non1or subbab untuk 111cnandai bahwa subbab tcrsebut 1ne1nbahas suatu topik lanjuL Soal-soal yang sangat sulit, yang run1it pc1nccahannya, bisa saja ditandai dcngan lebih dari satu tanda astcriks ini.

!1uruf 'lunani

A Ci Alpha N v Nu

B [3 Beta - I; Xi

r y (Jan1n1a () 0 ()111icron

LI 8 Delta n re Pi

E E Epsilon p p Rho

z s Zeta }; (5 Sign1a

H 1) Eta T r Tau

e e Theta y v Upsilon

I Iota <I> rp Phi

K /( Kappa x x Chi

;\ Jc L,a1nbda �/ vr Psi

M µ Mu [2 (V On1ega

7 - ANALISIS

TEGANGAN DAN REGAN GAN

PENDAHULUAN

Tegangan normal dan geser di balok poros dan batang dapal dihilung dari rumus-rumus dasar yang telah dibahas dalam bab-bab sebelum ini. Sebagai contoh, tegangan di balok dinyatakan dengan rumus lentur dan geser (<J = My/I dan -r = VQl!b), dan tegangan di batang yang mengalami torsi dinyatakan dengan rumus torsi (-r= Tpl!P). Namun, tegangan yang dihitung dari rumus-rumus ini beke1ja di penampang (potongan melintang) suatu elemen struktur, dan kadang-kadang tegangan yang lebih besar te1jadi di polongan miring. Dengan demikian, kita akan mulai analisis tegangan dan regangan dengan membahas metode-metode untuk mencari tegangan normal dan geser yang beke1ja di potongan miring suatu elemen struktur.

Kita telah menurunkan rumus untuk tegangan normal dan geser yang beke1ja di potongan miring baik untuk tegangan uniaksial maupun geser murni (lihat Subbab 2.6 dan 3.5). Dalam hat tegangan uniaksial, kita telah mendapatkan bahwa tegangan geser maksimum te1jadi di bidang yang miring 45° terhadap sumbunya, sedangkan tegangan normal maksimum terjadi di potongan mel inlang. Dalam hat geser murni, kita telah mendapatkan bahwa tegangan tekan dan tarik maksimum te1jadi di bidang 45°. Dengan cara analogi, tegangan di potongan miring suatu balok dapat lebih besar daripada tegangan yang bekerja di potongan melintang. Untuk menghitung tegangan tersebut, kita perlu menentukan tegangan yang beke1ja di bidang miring yang lebih umum dikenal dengan tegangan bidang (Subbab 7.2).

Di dalam pembahasan kita mengenai tegangan bidang, kita akan menggunakan elemen tegangan untuk merepresentasikan keadaan tegangan di suatu titik di dalam benda. Elemen tegangan telah dibahas pada konteks khusus (lihat Subbab 2.6 dan 3.5), tetapi sekarang kita akan menggunakan­nya secara lebih formal. Kita akan mulai analisis kita dengan meninjau suatu elemen yang padanya diketahui ada tegangan, dan selanjutnya kita akan menurunkan hubungan transformasi yang memberikan tegangan yang bekerja di sisi-sisi suatu elemen yang berorientasi dalam arah yang berbeda.

Di dalam meninjau elemen tegangan, kita harus selalu mengingat bahwa hanya satu keadaan tegangan yang ada di suatu titik di benda yang mengalami tegangan, Lidak peduli bagaimana orientasi elemen yang digunakan untuk menggambarkan keadaan tegangan tersebut. Apabila kita

2 Bab 7 Ana/isis Tegangan dan Regangan

7.21

Gambar 7·1 Elcmcn yang berada dalam kcadaan tcgangan

bidang: (a) tinjauan tiga dimensi suatu clcmcn yang bcrorientasi

pada sumbu-sumbu xyz, (b) tinjauan clua climensi clemen yang

sama, dan (c) tinjauan dua

climcnsi elemen yang berorientasi

pada sumbu x1y1z1

ly

T..,. a, Tl:" ' ' O

.--Ls..J-J -Z--[.. I I .. (])'

(a)

a,

mempunyai duaelemen dengan orientasi yang berbeda di titik yang sama di suatu benda, maka tegangan yang bekerja di permukaan kedua elemen akan berbeda, tetapi ini masih merepresentasikan keadaan tegangan yang sama, yaitu tegangan di titik yang sedang ditinjau. Situasi ini analog dengan representasi suatu vektor gaya dengan komponen-komponennya -meskipun kornponen-ls;ornponennya berbeda apabila sumbu koordinatnya dirotasikan ke posisi yang baru, gaya itu sendiri tetap sarna.

Selain itu, kita harus selalu ingat bahwa tegangan bukanlah vektor. Fakta ini kadang-kadang dapat rnernbingungkan, karena kita biasanya merepresentasikan tegangan dengan panah, sebagaimana pada vektor gaya. Meskipun panah digunakan untuk merepresentasikan tegangan yang mempunyai besar dan arah, ini bukanlah vektor karena tidak dapat di­jumlahkan mengikuti aturan jajar�n genjang. Sebenarnya, tegangan lebih merupakan besaran yang rumit dibandingkan vektor, dan dalam matematika disebut tensor. Besaran tensor lainnya di dalam mekanika adalah regangan dan mornen inersia.

TEGANGAN BIDANG

Kondisi tegangan yang kita jumpai dalam bab-bab sebelurn ini dalarn rnenganalisis batang yang mengalami tarik, tekan, atau torsi, serta di balok yang mengalarni lentur adalah contoh-contoh keadaan tegangan yang disebut tcgangan bidang. Untuk menjelaskan tegangan bidang, kita akan meninjau elernen tegangan yang terlihat dalam Gambar 4-1 a. Elernen ini berukuran sangat kecil dan dapat digambarkan sebagai sebuah kubus atau sebagai parallelepiped persegi panjang. Sumbu xyz sejajar dengan tcpi­tepi elernen, dan muka-muka elemen didesain dengan arah normal ke luarnya, sebagaimana telah diterangkan dalam Subbab 1.6. Sebagai contoh, muka elernen sebelah kanan disebut sebagai muka x positif, dan rnuka sebelah kiri (tak terlihat) disebut sebagai muka x negatif. Dengan cara yang sarna, rnuka atas adalah muka y positif, dan muka depan adalah muka z positif.

Apabila bahannya berada dalam keadaan tegangan bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan y dari elemen yang mengalami tegangan, dan semua tegangan beke1ja sejajar sumbu x dan y, seperti terlihat dalam Gambar 7-1 a. Kondisi tegangan ini sangat biasa karena ini te1jadi di permukaan benda yang bertegangan, kecuali di titik di mana beban luar beke1ja di permukaan tersebut. Apabilaelemen yang terlihat dalam Gambar 7- l a terletak di muka bebas suatu benda, maka muka z ada dalam bidang

x

' )' l a,.

��[9t�-x T,. ,,

• (JV (b)

y

x

(c)

ng sama 1elemen an yang

analog ennya -jinatnya

1 vektor. >iasanya .or gaya. rn yang apat di­an lebih tematika egangan

1i dalam di balok an yang :ita akan :men ini bus atau �an tepi­rmal ke i contoh, m muka �an cara 1 adalah

g dalam �gangan, :it dalam !1jadi di ban luar Gambar

n bidang

Mekanika Bahan 3

permukaan tersebut (tidak bertegangan), dan sumbu z adalah normal permukaan tersebut.

Simbol-simbol untuk tegangan yang terlihat dalam Gambar 7- 1 a mem­punyai arti sebagai berikut. Tegangan normal a mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di mana tegangan bekerja; sebagai contoh, tegangan o:, bekerja di muka x dari elemen dan tegangan o;. beke1ja di muka y dari elemen. Karena elemen ini berukuran sangat kecil, maka tegangan normal yang sama beketja di muka yang berlawanan. Pe1janjian. tan.da untuk tegangan normal adalah yang sudah kita kenal, yaitu tarik adalah positif dan tekan adalah negatif.

Tcgangan gcser -r mempunyai dua subskrip. Subskrip pertama me­nunjukkan muka di mana tegangan bekerja, dan yang kedua menunjukkan arah di muka tersebut. Jadi, tegangan •xv bekerja di muka x dalam arah sumbu y (Gambar 7-1 a), dan tegangan -S.x bekerja di muka y dalam arah sumbu x.

Perjanjian tanda untuk tegangan geser adalah sebagai berikut. Tegangan geser adalah positif jika bekerja pada muka positif suatu elemen dalam arah positif suatu sumbu, dan bertanda negatif jika bekerja di muka positif suatu elemen dalam arah negatif suatu sumbu. Dengan demikian, tegangan •xy dan •yx yang terlihat di muka x dan y positif dalam Gambar 7- la adalah tegangan geser positif. Dengan cara yang sama, di muka negatif elemen, tegangan geser adalah positif jika bekerja di arah negatif suatu sumbu. Dengan demikian, tegangan rxy dan •yx yang ditunjukkan dalam muka x clan y suatu elemen juga positif.

Jadi pe1janjian tanda untuk tegangan geser mudah untuk diingat jika kita menyatakannya sebagai berikut: Suatu tegangan geser adalah positif jika arah yang berkaitan dengan subskrip adalah positif-positif atau negatif­negatif; tegangan adalah negatif jika arah-arahnya positif-negatif atau negati f-positi f .

Petjanjian tanda di atas untuk tegangan geser konsisten dengan ke­setimbangan elemen, karena kita mengetahui bahwa tegangan geser di muka-muka yang berlawanan dari elemen yang sangat kecil harus sama besar dan berlawanan arah. Dengan demikian, menurut perjanjian tanda, tegangan positif rxy bekerja ke atas di muka positif (Gambar 7-1 a) dan ke bawah di muka negatif. Dengan cara yang sama, tegangan •yx yang bekerja di muka atas dan bawah dari suatu elemen adalah positif meskipun mempunyai arah yang berlawanan.

Kita juga mengetahui bahwa tegangan geser di bidang-bidang yang saling tegak lurus adalah sama besar dan mempunyai arah sedemikian rupa sehingga keduanya saling mendekati, atau keduanya saling menjauhi, garis-garis perpotongan kedua muka. Apabila tegangan •xy dan •yx adalah positif dalam arah seperti terlihat dalam gambar tersebut, keduanya konsisten dengan pengamatan ini. Dengan demikian, kita catat bahwa

(7-1)

Hubungan ini telah diturunkan sebelumnya dari kesetimbangan elemen (lihat Subbab 1.6).

Untuk memudahkan penggambaran elemen tegangan bidang, biasanya kita menggambar hanya tinjauan dua dimensi dari elemen, seperti terlihat dalam Gambar 7-1 b. Meskipun gambar seperti ini sudah memadai untuk menunjukkan semua tegangan yang bekerja di elemen, kita perlu mengingat

4 Bab 7 Ana/Isis Tegangan dan Regangan

y Yi

T,y�__,

n-. vr,. (a) TcgangmHcgangan ,

y Y1

A ...-".r 1 T ., ,- · ojfo "\ '

·' '/ a A () ·' ' 0 sec o x

.______ -r .. Ao 1an O I

t O:,/I 0 Ian 0 (b) Gaya-gaya

Gambar 7-2 Elcmcn tegangan dalam keadaan tegangan bidang: (a) tegangan-tcgangan yang bekcrja di clcmen, clan (b) gaya­gaya yang bckcrja di clcmcn 1erscbu1

bahwa elemen tersebut adalah benda padat dengan suatu tebal yang tegak lurus bidang gambar.

• Tegangan di Potongan Miring

Sekarang kita telah siap untuk meninjau tegangan-tegangan yang bekerja di potongan miring, dengan mengasumsikan bahwa tegangan-tegangan ax, q., dan 't'xy (Gambar 7- l a dan b) diketahui. Untuk menggambarkan tegangan-tegangan yang bekerja di potongan miring, kita meninjau elemen tegangan baru (Gambar 7 - l c) yang terletak di titik yang sama di bahan tersebut seperti di elemen semula (Gambar 7- l b). Namun, elemen baru ini mempunyai muka yang sejajar dan tegak lurus arah miring. Berkaitan dengan elemen baru ini adalah sumbu-sumbu x" Yp dan z1 sedemikian hingga sumbu z1 berimpit dengan sumbu z dan sumbu x1y1 diputar ber­lawanan jarum jam melalui sudut e terhadap sumbu-sumbu xy. Tegangan normal dan geser yang bekerja di elemen baru ini diberi notasi ax , a;. , I . I 't',. Y , dan 't'Y ,. , dengan menggunakan notasi subskrip sama dan perjanjian Al I I · I tanda sebagaimana diuraikan di atas untuk tegangan-tegangan yang bekerja di elemen xy. Kesimpulan sebelumnya mengenai tegangan geser tetap berlaku sehingga

't' = 't' X1Y1 Y1X1 (7-2)

Dari persamaan ini dan kesetimbangan elemen tersebut, kita lihat bahwa tegangan geser yang beke1ja di empat sisi suatu elemen yang men.galami tegangan bidang diketahui jika kita menentukan. tegan.gan geser yang bekerja di salah satu muka tersebut.

Tegangan yang beke1ja di elemen miring x1y1 (Gambar 7- J c) dapat dinyatakan dalam tegangan di elemen xy (Garn bar 7-1 b) dengan mengguna­kan persamaan kesetimbangan. Untuk itu, kita pilih potongan elemen tegangan dengan bentuk seperti terlihat dalam Gambar 7-2a yang mem­punyai muka miring yang sama dengan muka x1 dari elemen miring. Dua muka lainnya dari potongan ini sejajar dengan sumbu-sumbu x dan y .

Untuk menulis persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, kita perlu membuat diagram benda bebas yang menunjukkan gaya-gaya yang beke1ja di semua muka. Luas muka kiri (yaitu muka x negatif) kita beri notasi A0. Selanjutnya, gaya-gaya normal dan geser yang beke1ja di muka tersebut adalah cr_.,40 dan -rxyAo seperti terlihat dalam diagram benda bebas dalam Gambar 7-2b. Luas muka bawah (atau muka y negatit) adalah A0 tan 8, dan luas muka miring (atau muka x1 positit) adalah A0 sec 8. Jadi, gaya normal dan geser yang bekerja di muka-muka tersebut mempunyai besar dan arah sebagaimana terlihat dalam gambar tersebut.

Gaya-gaya yang bekerja di muka kiri dan bawah dapat diuraikan menjadi komponen-komponen ortogonal yang beketja dalam arah x1 dan y1• Selanjutnya, kita dapat memperoleh dua persamaan keseimbangan dengan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah-arah tersebut. Persamaan pertama, diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah x" yaitu

ax1A0 sec e - O:.Ao cos e - ir>Ao sin e - o;.Ao tan e sin e - -i:.yAo tan e cos e = 0

Dengan cara yang sama, pe1jumlahan gaya-gaya dalam arah y1 meng­hasilkan

g tegak

bekerja :gangan 1barkan elemen i bahan barn ini :rkaitan :mikian tar ber­:gangan

O:r1' o;,1, 1janjian bekerja !r tetap

(7-2)

: bahwa igalami �r yang

;) dapat :igguna­elemen

g mem­ng. Dua Ian y. ersebut, ya-gay a tif) kita kerja di n benda ) adalah 0 sec 8. ersebut ersebut. iuraikan 1 x1 dan 1bangan ·samaan rp yaitu

8 = 0

1 meng-

f

Mekanika Bahan 5

•x1y1A0 sec (} + a�0 sin (} - •xf4o cos (} - o;.Ao tan () cos (} + -s, . .Ao tan (} sin (} = 0

Dengan menggunakan hubungan •xy = �vx• dan juga dengan menyeder­hanakan dan menyusun ulang, maka kita dapat memperoleh dua persamaan berikut:

CJXI : O:r COS2 (} + (jy Sin2 8 + 2oxy Sin 8 COS 8 (7-3a)

•x1y1 = - (ax - a) sin 8 cos 8 + -Z:ry (cos2 8 - sin2 8) (7-3b)

Persamaan (7-3a) dan (7-3b) memberikan tegangan normal dan geser yang beke1ja di bidang x1 yang dinyatakan dalam Sudut 8 dan tegangan-tegangan

CJx, O:v• dan •xy yang beke1.ja di bidang-bidang x dan y. Untuk kasus khusus dengan 8 = 0, kita perhatikan bahwa Persamaan

(7-3a) dan (7-3b) menghasilkan CJx = q. dan •x v = -Z:ry• sebagaimana diharapkan. Juga, jika 8 = 90°, persariiaan-persama�·n

l tersebut memberikan

ax = o;, dan •x Y = -•xy = -•yx· Dalam kasus yang terakhir ini, karena su:nbu x1 adalah 1vertikal jika 8 = 90°, maka tegangan 'rxlYI akan positif jika bekerja ke kiri. Namun, tegangan •yx beke1ja ke kanan, sehingga -Z:r1y1 = -'ryx·

Persamaan (7-3a) dan (7-3b) dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih memudahkan dengan menggunakan identitas trigonometri (lihat Lampiran C):

cos2 8 = t ( I + cos 28) sin2 8 = t ( I - cos 28)

sin 8 cos 8 = t sin 28

Jika substitusi ini dilakukan, maka persamaan-persamaan di atas menjadi

(7-4a)

(7-4b)

Persamaan-persamaan ini dikenal sebagai persamaan transformasi untuk

tegangan bidang karena persamaan-persamaan tersebut mentransfor­masikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya. Namun, sebagaimana telah disebutkan sebelum ini, keadaan te­gangan di titik yang sedang ditinjau adalah sama, apakah dinyatakan dengan tegangan yang bekerja di elemen xy (Gambar 7- 1 b) ataukah dengan tegangan yang beke1ja di elemen miring x1y1 (Garn bar 7- 1 c).

Karena persamaan transformasi diturunkan hanya dari tinjauan ke­seimbangan suatu elemen, maka persamaan ini dapat diterapkan untuk tegangan di bahan apa pun, apakah itu tinier atau nonlinier, apakah itu elastis atau inelastis.

Suatu pengamatan penting mengenai tegangan normal dapat diperoleh dari persamaan transformasi. Mula-mula, kita perhatikan bahwa tegangan normal a yang bekerja di muka y1 dari elemen miring (Gambar 7- Lc) Yi dapat diperoleh dari Persamaan (7-4a) dengan memasukkan 8 + 90° untuk 8. Hasi lnya adalah persamaan berikut untuk (j>'I :

(7-5)