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E-learning: superfici matematiche in 3D 1
E-Learning: superfici matematiche in 3D
Nicla PalladinoDottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica
XVI ciclo
Università degli Studi di Napoli “Federico II”
10 Dicembre 2004
E-learning: superfici matematiche in 3D 2
La tesi traccia una “roadmap” per la trasposizione on line dei corsi di geometria. Prodotto finale:
Un Ambiente Virtuale di Apprendimento
(Un ambiente di supporto per l’apprendimento della geometria delle quadriche).
E-learning: superfici matematiche in 3D 3
Capitolo Secondo: L'E-Learning•Un Learning Object per le quadriche•La rappresentazione di oggetti 3D nel Web SemanticoCapitolo Terzo: algoritmi di approssimazione •3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs•NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati •Verso l'integrazione e il riuso delle collezioni di modelli matematici…
La tesi è il risultato di un’attività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dell’E-Learning.
Capitolo Primo: La didattica con le nuove tecnologie•Strumenti per la didattica sul web•La geometria con i modelli di superfici•I Learning Object
E-learning: superfici matematiche in 3D 4
•Con gli strumenti dell’E-learning, si sono trasposte lezioni ispirate alla didattica del Prof. Luigi Campedelli (1903-1978);
•Si è reintrodotto il metodo didattico elaborato da Luigi Campedelli ed Emma Castelnuovo;
“….Sostituire, dove possibile, le dimostrazioni matematiche con le scoperte”
Luigi Campedelli, Fantasia e logica nella
matematica, Feltrinelli, 1966
Punto di partenza:Le lezioni di Geometria di Luigi CampedelliPunto di partenza:Le lezioni di Geometria di Luigi Campedelli
E-learning: superfici matematiche in 3D 5
-Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo.
-Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e, come rappresentazioni 3d, sono accessibili alla simulazione.
-Con un modello matematico si rendevano auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate.
-I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione.
Punto di partenza: i modelli matematiciPunto di partenza: i modelli matematici
E-learning: superfici matematiche in 3D 6
Punto di partenza: i modelli matematiciPunto di partenza: i modelli matematiciQuegli stessi modelli hanno influenzato l’architettura contemporanea:
Ellissoide, 1890 Swiss Re Tower, Londra, 2004,progettato come ellissoide NURBS
dall’architetto Norman Foster
E-learning: superfici matematiche in 3D 7
Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Molte di queste collezioni –come accaduto per tanti materiali didattici- sono state trasformate in repository di Modelli 3D.
The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate,
but the means we use for threading through the consequent
maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-
rigged ships.
Vannevar Bush, “As we may think”, 1945
Come renderle facilmente reperibili ?Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ?
PROBLEMA:PROBLEMA:
Per trasporre on-line le lezioni di Geometria della scuole classiche con successo, è necessario risolvere questi problemi.
E-learning: superfici matematiche in 3D 9
-Presupposti:“La geometria euclidea è completa e decidibile”
(Tarski, 1936)
• Ogni proprietà di un modello della geometria euclidea può essere dimostrata,
• I modelli delle superfici matematiche sono modelli della geometria euclidea.
Quindi
• Le proprietà dei modelli matematici possono essere dimostrate,
• La scoperta di una proprietà è equivalente ad una sua dimostrazione.
Un Ambiente Virtuale di ApprendimentoUn Ambiente Virtuale di Apprendimento
Grazie al teorema di Tarski la logica si sposta sul piano della percezione
E-learning: superfici matematiche in 3D 11
Scoperte e dimostrazioni matematicheScoperte e dimostrazioni matematicheTeorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici.
…Il piano per B che contiene s contiene anche la retta v. Analogamente succede per il piano contente r passante per B. Quindi per B passano due rette contenute in Q necessariamente tangenti…
E-learning: superfici matematiche in 3D 12
Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce l’Ontologia e costruisce le risorse didattiche.Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche.Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti;Studente: costruisce le proprie conoscenze con l’aiuto del tutor che gli fornisce i “Learning Object” ed un’interpretazione personalizzata dell’Ontologia costruita dall’Instructor.
Ambiente
Mediatore didattico
Studente
LearningManagement
System
Ontologia
Instructor
E-learning: superfici matematiche in 3D 13
L’e-learning è la principale fonte di finanziamento per
l’Università
E-learning: superfici matematiche in 3D 14
E-learning vs didattica tradizionaleE-learning vs didattica tradizionale
-Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che impartisce la lezione; -Nell’E-learning la lezione è una costruzione di conoscenze personalizzate;
-E’ necessario un mediatore didattico, che puo’ essere umano -Tutor- o automatico -Intelligent Tutoring System.
E-learning: superfici matematiche in 3D 15
Definizione1: Un Learning Object è un’entità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia.
D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning
Objects’’, pp. 10-11, AIT Editions, 2002.
Learning ObjectLearning Object
E-learning: superfici matematiche in 3D 16
Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica.
Learning ObjectLearning Object
Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità”
I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi
1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file-
2) altri Learning Object più semplici
E-learning: superfici matematiche in 3D 17
Learning ObjectLearning Object
• Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai
Learning Object.
→ I Learning Object sono gli strumenti che popolano le Ontologie;
→ I Learning Object sono rappresentati con metadata;
→ I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi;
→ Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato è lo standard SCORM.
• I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.
E-learning: superfici matematiche in 3D 18
Curato da Advanced Distributed Learning ADLNet,
definisce un standard per
Learning Object: Lo standard SCORMLearning Object: Lo standard SCORMSCORM Sharable Content Object Reference Model
•I metadata,•Il modello dati dei Learning Object –SCORM Content Aggregation Model,•L’architettura Run-Time di un Learning Mangement System,•Il formato di interscambio per l’impacchettamento dei corsi -“Manifest”.
E-learning: superfici matematiche in 3D 19
Learning Object: Lo standard SCORMLearning Object: Lo standard SCORM
•Si preparano gli asset,
•Si associano i metadata SCORM ai Learning Object,
•Si pianifica la sequenza del materiale didattico,
•Si esporta il Manifest su un Learning Management System –LMS.Il Manifest del corso è in formato XML e quindi è indipendente dal costruttore della piattaforma. Per importarlo è sufficiente che la piattaforma sia conforme allo standard SCORM.
E-learning: superfici matematiche in 3D 20
Learning ObjectLearning Object
L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente
• l’accessibilità, • l'interoperabilità,• la condivisione delle risorse.
Disporre di uno standard comune significa
• poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, • poterli integrare tra loro, • saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, • poterli certificare.
E-learning: superfici matematiche in 3D 21
• Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici;
Per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano “riutilizzabili”.
Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model)
• Prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare incapsulandone i componenti.
E-learning: superfici matematiche in 3D 29
Problemi principali per il riutilizzo dei LO:Problemi principali per il riutilizzo dei LO:
Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore);
Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti;
Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi.
Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.
E-learning: superfici matematiche in 3D 30
- Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati.
Prima parte della soluzione: il Web SemanticoPrima parte della soluzione: il Web Semantico
- Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web.
- Gli attuali Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto.
T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998
Nel Web Semantico
l’informazione diventa machine-
processable.
E-learning: superfici matematiche in 3D 31
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF
Tutti i livelli sono
codificati in XML.
La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). - L’RDF è un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…
L’URI è in corrispondenza biunivoca
con la locazione
della risorsa
E-learning: superfici matematiche in 3D 32
- Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML,
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF
- I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array,
- L’RDF è costituito da due componenti:
•RDF Data Model, fornisce un insieme di termini -vocabolario- per descrivere le risorse •RDF Schema, definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse
E-learning: superfici matematiche in 3D 33
FORMALMENTE:•Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D=(R,T) tali che R T = . •Chiamiamo RDF DATA Model di D l’insieme dei termini del dominio D.•L’RDF Schema di D è un grafo G=(V,E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classi e delle relazioni binarie.•L’RDF di D è un grafo G’=(V’,E’) in cui V’ ed E’ sono, rispettivamente, un insieme di classi di elementi di D, detti istanze di classe, ed un insieme di relazioni esteso con la relazione di appartenenza di un’istanza alla classe.
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF
A. Di Simone F. Formato , N. Palladino Endowing Geographic Information System
with a cognitive level Proc. Multimedia Databases and Image Communications
(MDIC'04), Salerno, Italy June 2004.
E-learning: superfici matematiche in 3D 34
Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche:
Quadrica
PianoImproprio
Intersezione Cdet(Quadrica)
det=0
det>0
C immaginaria C reale nondegenere C degenere
C 2 rettereali C 1 retta
C 2 retteimmagina
rie
det<0
det0
Equazione
tangenti
Punti impropriLink alla teoria
Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF
35
Codifica dell’RDF in XMLCodifica dell’RDF in XMLSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF
<?xml version="1.0" ?> <RDF><Domain xmlns:xsd="http://www.w3.org/2001/XMLSchema" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" id="0" name="Tutorial Intelligente ToonTalk"> <Taxon id="0" name="Quadriche" level="0"> <Description>Quadriche</Description> </Taxon><Taxon id="0" name="Piano tangente" level="0"><Taxon id="0" name="Quadrica" level="0"> <Description>Piano tangente</Description>
...
...
Grazie all’RDF codificato in XML, un Tutor Intelligente può ritagliare il corso che gli interessa facendo il parsing del file xml.
E-learning: superfici matematiche in 3D 36
I tool del Web Semantico formalizzano la struttura del Learning Object, mentre, per poter riutilizzare i singoli componenti, una soluzione è l'integrazione del Web Semantico con l'approssimazione mediante NURBS.
Seconda parte della soluzione:Seconda parte della soluzione:
Per costruire l'ambiente di apprendimento si sono voluti riutilizzare i modelli della collezione già costruiti e disponibili nel Web (http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo).-alcuni modelli hanno dimensioni anche di 2.5 Mbyte
-che succede se si vuole disporre di altri modelli?
-che succede se l'interconnessione offre prestazioni limitate ?
E-learning: superfici matematiche in 3D 37
Seconda parte della soluzione: Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati
Grazie alla loro flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D alla progettazione.
u,v [0,1]
)()()( ,,, uNuu
uuuN
uu
uuuN 1h1i
1i1hi
1hi1hi
ihi
ihi
con
altrimenti 0
uuu se 1uN 1ii
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Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado hN sul vettore dei nodi U=(u0,…,up), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente
E-learning: superfici matematiche in 3D 38
dove u, v [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le Ni,h(u) e le Nj,k(v) sono le funzioni di base B-Spline.
I pij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v:
p=m+h+1 e q=n+k+1
1n
0i
1m
0jjijikjhi1n
0iihi
pwvNuNwuN
1vuS ,,,,
,
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),(
Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati
•Assegnati mn punti pi,jR3, dei pesi wijR, un vettore di nodi U=(u0,…,up), un vettore di nodi V=(v0,…,vq), un grado h ed un grado k, si definisce superficie NURBS una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da
E-learning: superfici matematiche in 3D 39
Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati
•Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue:
di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: 21m
0i
1n
0jjiji QtsS
,),(
per opportuni valori si e tj dei parametri.
Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS
1n
0i
1m
0jjijikjhi1n
0iihi
pwvNuNwuN
1vuS ,,,,
,
)()()(
),(
E-learning: superfici matematiche in 3D 40
Punti di controllodella superficieNURBS
Punti appartenenti al modello da costruire
E-learning: superfici matematiche in 3D 41
L’algoritmoL’algoritmoPer risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline.
•Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è
con parametro u[0,1]; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i
punti di controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline
sul vettore dei nodi U=(u0,…,um). Una relazione lega il
grado della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi:
m=n+h+1.
E-learning: superfici matematiche in 3D 42
Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j.
L’algoritmoL’algoritmo
43
L’algoritmoL’algoritmo
•Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineareNTNP=NTQ dove
•Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1)
1
0
2)(
n
kkk tCQ
per opportuni valori tj del parametro.
1n
1
0
p
p
p
P...
1n
1
0
q
q
q
Q...
nn1nh1n1nh11nh0
1h11h0
0h1n0h10h0
tNtNtN
tNtN
tNtNtN
N
)(...)()(
.........
)()(
)(...)()(
,,,
,,
,,,
E-learning: superfici matematiche in 3D 44
L’algoritmoL’algoritmo
1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s0,s1,
…,sm), (t0,t1,…,tn);
2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u0,u1,…,um+h) e
V=(v0,v1,…,vn+k) ;
Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Qij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, l’algoritmo
3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Qij), dai
parametri (s0,s1,…,sm), dai
nodi U=(u0,u1,…,um+h),
costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(si))
i,j=0,…,m-1;
E-learning: superfici matematiche in 3D 45
4. Calcola il prodotto NTN (matrice simmetrica definita positiva);
5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT;
6. Calcola i prodotti NTa, NTb, NTc;
7. Risolve i tre sistemi finali LLTx=NTa, LLTy=NTb, LLTz=NTc mediante forward e back substitution.8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1;
L’algoritmoL’algoritmo
E-learning: superfici matematiche in 3D 46
L’algoritmoL’algoritmo
9. Su ogni riga della matrice P=(pij) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t0,t1,…,tn), dai nodi V=(v0,v1,…,vn+k), effettua l’approssimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(Mj,k(ti)) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto MTM (matrice simmetrica definita positiva);
11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice MTM ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che MTM=LLT;
12. Calcola i prodotti MTx, MTy, MTz;
13. Risolve i tre sistemi finali LLTx=MTx, LLTy=MTy, LLTz=MTz mediante forward e back substitution;14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1.
E-learning: superfici matematiche in 3D 47
Risultati dell’algoritmoRisultati dell’algoritmo
File di input
Gradi della NURBS
3 3
Dimensioni della griglia
5 5
Punti appartenenti al modello da costruire
(-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8)
Pesi Tutti uguali ad 1
Paraboloide parabolico
E-learning: superfici matematiche in 3D 48
Risultati dell’algoritmoRisultati dell’algoritmo
Paraboloide parabolico
approssimato mediante superficie
NURBS
E-learning: superfici matematiche in 3D 49
Risultati dell’algoritmoRisultati dell’algoritmoIperboloide iperbolico
approssimato mediante superficie
NURBS
Sfera approssimata
mediante superficie NURBS
E-learning: superfici matematiche in 3D 50
Unione delle due soluzioniUnione delle due soluzioni
Codifiche in xml delle superfici NURBS
1n
0i
1m
0jjijikjhi1n
0iihi
pwvNuNwuN
1vuS ,,,,
,
)()()(
),(
<?xml version = "1.0"?>
<nurbs>
<degree> 3</degree>
<degree_u> 3</degree_u>
<degree_v>3 </degree_v>
<knot_spanning_u length_u= "9">
<knot_spanning_item_u>0</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>0</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>0</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>0.5</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>1</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>1</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>1</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>1</knot_spanning_item_u>
<knot_spanning_item_u>1</knot_spanning_item_u>
</knot_spanning_u>
. . .
E-learning: superfici matematiche in 3D 51
- Le NURBS sono strumenti flessibili per la rappresentazione di oggetti 3D;
- Il web semantico è uno strumento di rappresentazione sul web dei learning object;
-L'approccio combinato consente di implementare sul Web risorse di Geometria che risultano machine processable.
Unione delle due soluzioniUnione delle due soluzioni
E-learning: superfici matematiche in 3D 52
Perché queste scelte?Perché queste scelte?•Le collezioni 3D di oggetti matematici nelle repository web possono essere riutilizzate costruendo una shell semantica intorno alla loro repository.
•Le risorse disponibili sono essenzialmente asset e learning object presenti sul web.
“La proliferazione delle risorse sulla rete sta spostando l’attenzione dalla produzione al
riutilizzo”
Kahzdan, Shape Representation and Algorithms for 3d
model retrivial
E-learning: superfici matematiche in 3D 53
3D Resource discovery con Shape Descriptor3D Resource discovery con Shape Descriptor
• Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere
i) Correttoii) Efficiente.
• Esistono diverse metriche di insiemi di R3 in grado di confrontare oggetti 3D.
• Nessuna di queste è efficiente per l’uso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web.
SOLUZIONE (Kazdhan 2004):Invece di indicizzare l’intero oggetto 3D,
si indicizza il suo shape descriptor
•L’attributo più importante di un oggetto 3D è la sua forma.
E-learning: superfici matematiche in 3D 54
3D Resource discovery con Shape Descriptor3D Resource discovery con Shape DescriptorIntuitivamente, lo shape descriptor è un astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni.
3D Shape descriptor di un ellissoide
Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3D
http://shape.cs.princeton.edu/search.html
E-learning: superfici matematiche in 3D 55
3D Resource discovery con Shape Descriptor3D Resource discovery con Shape Descriptor
•Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. •Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. •Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptor di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori.
E-learning: superfici matematiche in 3D 56
• Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S’ a dimensione finita.
• IDEA: 1)Definire uno shape descriptor s, tale che
due oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y),
2)Codificare s con una opportuna RDF del web semantico.
• In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel data base e usato nel linguaggio di query come una stringa XML.
Shape Descriptor e Web SemanticoShape Descriptor e Web Semantico
E-learning: superfici matematiche in 3D 57
Resource DiscoveryResource Discovery- Problema: Cercare in una repository 3D Web un
componente LO’ di un Learning object più complesso LO.
- Soluzione: Per ciascuna quadrica Q nella repository di modelli
matematici, consideriamo uno shape descriptor (Q) e la sua rappresentazione RDF(Q):
1) Rappresentiamo LO’ come un insieme di punti S, 2) Consideriamo la NURBS generata da S con
l’algoritmo di approssimazione come lo shape descriptor (S),
3) Calcoliamo la distanza tra (S) e lo shape descriptor (Q) della risorsa sul web S’. (Per esempio [Kazdhan 2004]),
4) Se la distanza tra (S) e (Q) è piccola, allora i) se la rete è veloce –oppure Q è un file piccolo-
riusiamo Q come parte di LO e RDF(Q) viene inclusa in RDF(LO),
ii) altrimenti riusiamo l’approssimazione NURBS come LO’.
E-learning: superfici matematiche in 3D 58
RDF
RDF
LO
RDF
LO
RDF
LO
RDF
LO
RDF
LO
NURBS -basedShape
descriptor
NURBS -basedShape
descriptor
Resource broker
3D repository
Learning Object
Resource DiscoveryResource Discovery
Mondo web
Componenti del Learning Object
59
•Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object
http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/iperboloide_ellittico.wrl
1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF.<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>
<xs:schema xmlns:xs="http://www.w3.org/2001/XMLSchema">
......
</xs:schema>
2) Si mette questo file nel URL http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd
che è l'URI del "namespace" delle quadriche.
3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF:<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>
<xs: xlns = quadriche
uri = URL: http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd
<quadriche : equazione> x^2 + y^2 ....</quadriche:equazione>
<quadriche: determinante>30 </quadriche:determinante>
chiamato superficie_2305352.xml
Resource DiscoveryResource Discovery
E-learning: superfici matematiche in 3D 60
4) Quando il broker prende il file “superficie_2305352.xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd.
5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra lo shape descriptor della superficie e lo shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS.
Se la distanza è minore di una certa soglia, allora
i) Se il file dell’iperboloide è piccolo o la rete è veloce allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito
ii) Viene considerata l’approssimazione NURBS e l’RDF dell’approssimazione NURBS viene aggiunta all’RDF del LO
Resource DiscoveryResource Discovery
E-learning: superfici matematiche in 3D 61
Risultati:Risultati: Ho sviluppato un algoritmo per l’approssimazione
mediante NURBS delle superfici quadriche,
Ho incapsulato l’algoritmo in API di classi Java per renderlo riusabile nella Computer Grafica,
Ho costruito un Learning Object 3D per la trasposizione delle lezioni di Luigi Campedelli con gli strumenti dell’e-learning,
Ho proposto una shell semantica per l’integrazione delle collezioni di modelli matematici.
E-learning: superfici matematiche in 3D 62
Risultati:Risultati:Teorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici.
La dimostrazione “ Visuale” si comprende navigando in questo ambiente 3D.
E-learning: superfici matematiche in 3D 63
Un Ambiente Virtuale di ApprendimentoUn Ambiente Virtuale di Apprendimento
Strumenti utilizzati per lo sviluppo
•Mathematica
•MathGL3D
•VRML
•…
Mathematica è stato utilizzato per il calcolo dei modelli matematici a partire dall’equazione MathGL3D è stato utilizzato per il rendering 3D VRML è stato utilizzato per lo sviluppo del software applicativo Web e come formato di interscambio per i file 3DMaya 3D è stato utilizzato per la costruzione di una ambiente virtuale di apprendimento
…
E-learning: superfici matematiche in 3D 64
Tutto è stato contestualizzato in un corso on line, per l’insegnamento della geometria delle superfici del secondo ordine, presente al sito www.dol.unina.it.
Risultati:Risultati:
E-learning: superfici matematiche in 3D 65
Sviluppi futuri:Sviluppi futuri:• Estensione di un LMS con una shell semantica
-Integrazione delle collezioni di modelli 3D
-Aule virtuali
-4D modelling con superfici NURBS;
• Ambienti di apprendimento 3D “enattivi”
-il tipo di punto della quadrica è classificato da un sensore;
• Approssimazione mediante NURBS di superfici generiche.