1 UNIVERSIDAD JUREZ AUTNOMA DE TABASCO DIVISIN ACADMICA DE CIENCIAS ECONMICO ADMINISTRATIVAS e-book PARA LAASIGNATURA DE

MATEMTICAS FINANCIERAS AUTORES M en C. ALFREDO MANZUR BOCANEGRA M. A. CARLOS ALBERTO PAZ GOMEZ M. A. JENNER PRIEGO PADRON VILLAHERMOSA, TABASCOENERO2010

2 CONTENIDO UNIDAD I. INTRODUCCION INTRODUCCION lgebra elemental.El conjunto de los nmeros reales. Nmeros racionales.Nmeros irracionales.Nmeros enteros. Nmeros naturales. Formulas. Coeficientes.Valor absoluto y relativo.Nomenclatura.Ley de los signos. Monomios y Polinomios.Operaciones con monomios y polinomios. Fracciones.Mximo comn divisor. Binomios conjugados.Factorizacin. UNIDADII.EXPONENTES, RADICALES Y LOGARITMOS Exponente numrico.Exponentes fraccionarios.Exponente negativo.Exponente cero.Leyes de los exponentes.Logaritmo.

3 Caracterstica y mantisa. Propiedades generales de los logaritmos.Operaciones con logaritmos.Logaritmo de un coeficiente, de una potencia y de una raz. Logaritmos vulgares base 10. UNIDAD III.INTERES SIMPLE Concepto.Tasa de inters. Tiempo. Montoy valor actual. Inters real e inters comercial.Descuento ordinario y comercial. UNIDAD IV. INTERES COMPUESTO Inters simple vs. Inters compuesto.Tasa nominal, tasa efectiva, tasas equivalentes.Monto con periodos de capitalizacin fraccionario. Calculo de la tasa y el tiempo. Ecuaciones de valores equivalentes. UNIDAD V.ANUALIDADES Anualidades simples, ciertas y ordinario. Monto.Valor actual.Renta. Tasa de inters. Anualidades anticipadas.

4 Anualidades diferidas. Casos generales. UNIDAD VI. AMORTIZACION Amortizacin de una deuda.Saldos insolutos.Tablas de amortizacin.Fondos de amortizacin.Tablas de fondos de amortizacin. UNIDAD VII. DEPRECIACION Definicin depreciacin. Clculo de los cargos peridicos por depreciacin. Mtodo uniforme o de la lnea recta.Depreciacin por fondo de amortizacin. Mtodo de la suma de dgitos o enteros que corresponden a los aos de duracin del activo. Mtodo de depreciacin por porcentaje fijo o de variacin geomtrica. Mtodo de depreciacin con intereses sobre la inversin. Mtodos de agotamiento.

5 UNIDAD I. INTRODUCCIONCONCEPTO DE MATEMATICAS 1.1 INTRODUCCIN Matemtica es simplemente unacuerdo arbitrariosobre el significado de unsmbolo,untrminoounaoperacinmatemtica.Lamatemticaesuna cienciaabstracta.Ydelamismamaneraenqueaprendemoslasreglasdelagramtica, aprendemos las reglas, o leyes,de las operacionesque se hacen con los nmerosde la aritmticay con los smbolosliterales del lgebra.Eneldesarrollodelasactividadesseidentificancontenidosquecorrespondena diversasramasdelasmatemticascomogeometra,medicin,tratamientodela informacin,probabilidad,etctera.Peroadems,existerelacincontemasde otrasasignaturas como biologa, fsica, qumica, geografa. Dado que muchas de las grabaciones se realizaron en ambientes naturales, cada programa puede servir como apoyo en diversas reas de conocimiento.EL ALGEBRA COMO CIENCIA Ellgebraeslaramadelasmatemticasenlaqueseusanletraspara representarrelacionesaritmticas.Aligualqueenlaaritmtica,lasoperaciones fundamentalesdellgebrasonadicin,sustraccin,multiplicacin,divisiny clculo de races.Ellgebra es una ciencia cuyo objeto es simplificary generalizar las cuestiones relativasalosnmeros,enlgebra,lomismoqueenaritmticaseutilizan operacionesconlosnmeros,peroelmododerepresentarlosdifiereenambas ciencias.Enaritmticasolosehaceusodelossignoscomnmentellamados arbigos0,1,2,3etc.,paraescribirlosnmeros;mientrasqueenlgebrapara representarlos, se usan letras como a, b, x, etc., las primeras letras del abecedario sellamanliteralesyseaplicanparasealarlascantidadesconocidas,ylas

6 ltimasletrasselellamanvariablesysirvenparaexplicarlascantidades desconocidas. 1.2. SISTEMA DE NUMEROS REALES Nmeroreal,cualquiernmeroracionaloirracional.Losnmerosrealespueden expresarseenformadecimalmedianteunnmeroentero,undecimalexacto,un decimalperidicooundecimalconinfinitascifrasnoperidicas.Sepueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. setoma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1, la distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los nmeros enteros. Losrestantesnmerosreales(racionaleso irracionales)sesitansobrelarecta, bienvalindosedeconstruccionesgeomtricasexactas,bienmediante aproximacionesdecimales.Esimportanteelhechodequeacadapuntodela recta le corresponde un nmero real y que cada nmero real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunvoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. 1.3 CLASIFICACIN DE LOS NMEROS REALES Nmeros racionales Son los que se puedenexpresarcomococientededosnmerosenteros.El conjuntoqdelosnmerosracionalesestcompuestoporlosnmerosenterosy por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos nmeros racionales es siempre otro nmero racional.

7 Nmeros irracionalesSonnmerosrealesquenopuedenexpresarsecomolarazndedosenteros. Ejemplos = 3014159265..,2 = 104142. Nmeros naturales (N) Son los que sirven paracontarloselementosdelosconjuntos,oseasonlos enteros positivos ms el cero: N = {0, 1, 2, 3,, 9, 10, 11, 12,} Los enteros (Z)Sontodos los nmeros enteros negativos y positivosZ- = {, -11, -10, -9,, -3, -2, -1,} yZ+ = {1, 2, 3,, 9, 10, 11,} Nmeros reales A diferencia de los naturalesydelosenteros,losnmerosracionalesnoestn colocadosde manera quesepuedanordenarde unoenuno.Es decir,noexiste elsiguientedeunnmeroracional,puesentredosnmerosracionales cualesquierahayotrosinfinitos,demodoquesiserepresentansobreunarecta, staquedadensamenteocupadaporellos:sitomamosuntrozoderecta,un segmento,porpequeoquesea,contieneinfinitosnmerosracionales.Sin embargo,entremediasdeestosnmerosdensamentesituadossobrelarecta existen tambin otros infinitos puntos que no estn ocupados por racionales.Son los nmeros irracionales. El conjunto formado portodoslosnmerosracionalesylosirracionaleseselde losnmerosreales,demodoquetodoslosnmerosmencionadoshastaahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) sonreales.

8 Estos nmeros ocupan la recta numrica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los Nmeros realesestn definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicacin y divisin, salvo por cero). PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES Elconjuntodelosnmerosrealesse puederepresentarenlarectadelos nmerosreales,alaquenosreferimoscomorectanumrica.Acontinuacin aparece una lista de algunas propiedades importantes, que usted puede usar para referencia. Propiedad clausurativa o de cerradura Propiedad conmutativa Adicin a +b es un nmero real Adicin a +b = b +a Multiplicacina *b es un nmero realMultiplicacina *b = b *a Propiedad asociativa Propiedad distributiva Adicin (a +b)+c = a + (b +c) Adicin a (b +c)= a b +a c Multiplicacin(a *b)*c =a*(b *c)(b +c) a = b a +c a Nmeros RealesNmeros Racinales

EnterosNaturalEntero negativoEnteros PositivosFraccionalesNmeros Irracionales

9 Propiedad de identidadPropiedad del cero Adicin 0 + a =a +0= a 0*a = a*0=0 Multiplicacin1*a =a*1 =a Propiedad de los inversos Propiedad elemento neutro Adicin a + (-a) = (-a)+a a +0-a Multiplicacina*1/a =1/a *a =1 a0 Por ejemplo: 12+17=17+12propiedad conmutativa (15*23)*18=15*(23*18) propiedad asociativa Frmula Es la representacin por medios de letras, de una regla o principio general S=C (1+i)n Coeficientes El coeficiente indica las veces que se debe sumar la otra cantidad. Si tenemosdos factores cualquierade ellos es el coeficiente del otroeindica las veces en que se deber considerar. Si tememos 4bel factor 4 es el coeficiente del factor b expresa que el factor b se considerecomosumado4veces,esdecir4b=b+b+b+byseleconocecomo coeficiente numrico.

10 Coeficiente literal Es cuando el coeficiente presenta literal en lugar de nmero.Ejemplobz, cw. Valor absoluto y relativo El valor absoluto de un nmero real es la magnitud o tamao del nmero sin signo. La notacin |a | expresa el valor absoluto de a. Ejemplo: |-7|=7, |16|=16, |-58|=58 El valor relativo es el sentido de la cantidad representado por el signo. Demostracin: $2000 el valor absoluto es 2000 y el valor relativo es +$2000 que significahaber.Elvalorabsolutode$-500es$500yelvalorrelativoesdeuda, expresado por el signo menos (-). NomenclaturaExpresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son representaciones, por medio de nmeros, letras ysignos,deunconjuntodeoperacionesquehanderealizarseenunorden determinado para obtener un resultado. Ejemplo: 5x,10x + 25, x + v - 2y Trmino Trminoesunaexpresinalgebraicaqueconstadeunoovariossmbolosno separadosporunsigno.Suselementossonelsigno(+,-)elcoeficiente,laparte literal y el grado. Ejemplo: 4b,5ab,-4xyz, 7ab2, 2b/x.

11 El termino semejante es cuando las letras son iguales y si presentan exponentes son del mismo valor. Monomio Es una expresin algebraica que constade un solo trmino. Ejemplo:7b, -9c, 3xzw4 Para sumar monomios de semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. 8x3y2 + 9 x3y2- 4 x3y2 = (8+9-4) x3y2 = 13 x3y2 La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar; se ha de dejar indicada. Para restar monomios semejantes, se suma al primero el opuestodel segundo.Ejemplo: (-3x2y3) (7 x2y3) = (-3 x2y3) + (-7 x2y3) = [(-3)+ (-7)] x2y3= -10 x2y3 Paramultiplicardosmonomiosemultiplicasuscoeficientesysesumanlos exponentes de la misma base. Ejemplo: 2x (3x) = 2(3) xx =6x2 5x2 (-10x3) = -50x5

12 Paradividirdosmonomiossedividenloscoeficientesdecadamonomioyse restan los exponentes con la misma base. 12x2/3x = 4x 10x2y4 / -5xy3 = -2xy Ley de los signos MultiplicacinDivisin +por+=+ +entre+=+ +por- =- +entre- =- - por+=- -entre +=- - por -= + -entre - =+ NOTA.-Enlamultiplicacinydivisinsignosigualeselresultadoespositivo, signos contrarios el resultado es negativo. Polinomios Un polinomio es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos. Son polinomios las expresiones siguientes: a) 4x2 +3ab 2xc b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5 Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio:Ejemplo: x2y + 3ab2y3; 2x + 3 son dos binomios.

13 Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio.Ejemplo: 5x + 6y + 3z. Con ms de tres trminos ya se denomina en general polinomio. El grado de un trmino algebraico corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: el grado de 5x2yz2 es 5 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 2. OPERACIONES CON EXPRESIONES LGEBRAICAS Sumaorestademonomios:Parasumarorestarmonomiosesnecesarioque seansemejantes.Monomiossemejantessonaquellosquetienenlamismaparte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3. Parahacerlaoperacinsumamosloscoeficientesydejamoslamismaparte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3 Multiplicacindemonomios:Paramultiplicarmonomiosnoesnecesarioque sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: (3xy) (4x2y3) = 12x3y4 Divisindemonomios:Paradividirdosmonomios,sedividenloscoeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3/2x2y = 2x3y2 Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes. Ejemplo: 7x5 +0x4 +3x3 +4x2-2x5x5 +0x4 +0x3 -x2 -x 12x5 +0x4 +3x3 +3x2 -3x

14 Ejemplo: 7x 4x + 2x x = 4x 2ab + 6ab + 4ab 8ab ab = - abx2y + 5 x2y 2x2y = 4x2y Eliminacin de parntesis Tenemosdossituaciones:quealparntesisloantecedaunsignopositivooun signo negativo, si es positivo, no varan los trminos al eliminar el parntesis, si es negativo, los trminos cambian al signo opuesto que tena. Ejemplo: a + (b + c) = a + b + c a (b + c) = a b cx + (y + z) (x y + z) = x + y + z x + y z = 2y Multiplicacin de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que paramultiplicarmonomios,multiplicamosloscoeficientesysumamoslosgrados de las letras que son iguales. Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final. Se debe multiplicar cada trmino del primer factor por cada trmino del otro factor, considerandoenlaparteliterallareglacorrespondientealamultiplicacinde potencias de igual base. Ejercicios: P(x)= 2x5 +3x4 -2x3 -x2 +2x Q(x)= 2x3

P(x).Q(x)= 4x8 +6x7-4x6-2x5 +4x4

15 Ejemplos: 5xy2 (-7x3y2) = -35x4y4 2xy (-5x + 4y 3xy) = -10x2y + 8xy2 6x2y2

(3x 2y)(4x + 5y) = 12x2 + 15xy 8xy 10y2 = 12x2 + 7xy 10y2 (2a 5b)(a 2b + 5ab 7) = 2a2 4ab + 10a2b 14a 5ab + 10b2 25ab2 + 35b.= 2a2 9ab + 10a2b 14a + 10b2 25ab2 + 35b Divisindepolinomios:Paradividirunpolinomioyunmonomio,ordenamosy completamoslospolinomios,dividimoselprimermonomiodeldividendoporlos monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. As sucesivamente. Paradividirdospolinomiosharemoslomismoqueparadividirmonomiosy polinomios,teniendoencuentaqueeneldivisornosencontraremoscon2 trminos. Ejemplos:

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Aplicaciones:1.-(-15x2y3) / (3xy-2) = -5xy5

2.-=== = 3.-(-1) -1 (-1)0 (-1) = 1 ( 1 ) ( -1 )= -1 (1) (-1) = 1-1 4.-(x2 + 2x -1) (3x4 - 4x2 +2x)= x2 +2x- 1 -3x4+ 4x2 2x = -3x4 + 5x2 -1 5.-(2v + 4) (v2 - 6v)=2v3 -12v2 + 4v2 -24v =2v3 - 8v2-24v 6.-(y2 +2y - 4) (y2 y +5) y2 +2y - 4 y2 - y+ 5 y4 + 2y3- 4y2 -y3 - 2y2 +4y 5y2 +10y- 20 y4+ y3 y2 + 14y - 20 7.-(2x -3)3 = (2x 3) (2x 3)(2x 3) = 8x3 -12x2 +18x -27 a4b2 b5-1a4b2 b5-1a4b7-1a4b7-1(a4)-1(b7)-1(a4)-1(b7)-1a-4 b-7a-4 b-7b7 a4b7 a4a 4 b - 5 b 2 -1 a 4 b - b 2 a 4 b b 2 -1

17 8.-(x 2/3 x1/3)( x2/3 + x1/2 )= x4/3 + x7/6 x 3/3 x 5/6= x4/3 + x7/6 xx5/6 Realice las operaciones indicadas Ejercicios: 1.10 y + 3y8. (x-3) (x4-4x+4) 2. 4x3 + 2x3 - 7x3 9. (10x3-9y3+ 4x) (-3x) 3. (3y -2y2 +y) + (4y3 -7y)10. 24x4y3/ (4xy2) 4. (y -3z) - (3y -4z) + (y-z) 11. x4 -x2 -2x -1 entre x2 + x +1 5. (7x2) (3xy2)12. y 4- y2 - 2y -1 entre y2 - y - 1 6. (-2x2) (x3 - y) 13.m6 + m5 - 4m4 -4m + m2 -1 entre m3 +m2 -4m -1 7. (a + b) (a - b) 14. 21x5 - 21y5 entre 3x - 3y Fracciones -Suma y resta de fracciones Ejemplos:

18

() ()

Multiplicacin y divisin

Ejemplos:

( )()( )

( )

( )

Ejemplos:

19

(

)

()

Mximo comn divisor (m.c.d.) Dedosomsexpresioneseslaexpresindemayorcoeficientenumricoyde mayor grado que est contenida en cada una de ella. Paramonomiosseobtieneelm.c.d.deloscoeficientesyseescribenlasletras comunesconsiderandoacadaletraelmenorexponentedelasexpresiones dadas. 20x, 40 xwm.c.d. 20x Ejercicios.1.a2x, ax2 2.bc2d, b2cd 3.4x4y, x8y2 4.12x2y3, 18xy2, 24x3y2 5.25b4c4, 75b2c2, 150b2c2 y PRODUCTOS NOTABLES

20 Definicin.-Sonaquellosproductoscuyodesarrolloseconocenfcilmentepor simple observacin. Cuadrado de la suma de dos cantidades ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Elcuadradodelasumadedostrminosesigualalcuadradodelprimertrmino ms el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Elcuadradodeladiferenciadedostrminosesigualalcuadradodelprimer trmino menos el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Lasumadedostrminosmultiplicadaporsu diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino. Cubo de una suma Elcubodelasumadedostrminosesigualalcubodelprimertrminomsel tripledelcuadradodelprimertrminoporelsegundotrminomseltripledel primertrminoporelcuadradodelsegundotrminomselcubodelsegundo trmino. Cubo de una diferencia ( a + b ) ( a - b ) =a2 -b2 ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ( a - b )3 = a3 -3a2b + 3ab2 -b3

21 El cubo de la diferencia de dos trminos es igual al cubo del primer trmino menos eltripledelcuadradodelprimertrminoporelsegundotrminomseltripledel primertrminoporelcuadradodelsegundotrminomenoselcubodelsegundo trmino. Producto de dos binomios que tienen un trmino comn (x + a )(x + b ) =x2 +(a+b) x +ab El producto de dos binomios de esta forma que tienen un trmino comn es igual alcuadradodeltrminocomnmslasumadelostrminosnocomunes multiplicado por el trmino comn ms el producto de los trminos no comunes. EJERCICIOS PREGUNTAS SOLUCIONES 01 (x + 5)2= x2 + 10x + 25 02(7a + b)2=49a2 + 14ab + b2 03(8 - c)2=64 16c + c2 04(3x4 -5y2)2=9x8 - 30x4y2 + 25y4 05(xa+1 - 4xa-2)2=x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4 06(5a + 10d)(5a 10d) =25a2 100d2 07(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) =49x4 - 144y6 08(3a3 - 7xy4)3=27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12 09(b + 9)(b - 6)=b2 + 3b 54 10(z - 12)(z - 7)=z2 19z + 84

22 1.10. FACTORIZACION Sisemultiplicanentresidosamsexpresiones,entoncesestasrecibenel nombre de factores del producto, por tanto, si c = a b, entonces a y b son factores del producto c. el proceso por el cual se escribe una expresincomo producto de sus factores se denomina factorizacin. Acontinuacinseenuncianlasreglasdefactorizacion,lamayorpartede las cuales se obtiene a partir de los productos notables que se describieron en la seccin1.6elsegundomiembrodecadaentidadeslaformafactorizadadel primer miembro. Reglas de factorizacion 1.-x y + x z = x (y + z) 2.-x2 + (a + b) x + a b = (x + a)(x + b). 3.-abx2 + (a d + c b) x + c d = (a x + c)(b x + d). 4.-x2 + 2ax + a2 =(x + a)2(trinomio cuadrado perfecto). 5.-x2-2a x + a2=(x - a)2(trinomio cuadrado perfecto). 6.-x2-a2=(x + a) (x-a) (diferencia de dos cuadrados). 7.-x3 + a3=(x + a) (x2-a x + a2) (suma de dos cubos). 8.-x3-a3=(x-a) (x2+ a x + a2) (diferencia de dos cubos). Cuandosefactorizaunpolinomio,porlogeneralseeligenfactoresquesean tambin polinomios. Por ejemplo, x2-4 = (x + 2) (x - 2). No se escribe x 4. Siempresedebefactorizarenformacompleta.Porejemplo,2x2 8=2(x2 4)= 2(x + 2) (x -2)

23 Ejemplo 1 Factorizar en forma completa las expresiones a.- 3k2x2 + 9k3x. Dadoque,3k2x2=(3k2x)(x)y9k3x=(3k2x)(3k),cadaterminodelaexpresin original contiene el factor comn 3k2x, de modo que por la regla 1, 3k2 x2 + 9k3x = 3k2x (x + 3k). Obsrvesequeaunque3k2x2 +9k3=3(k2x2 +3k3x),nosedicequelaexpresin este completamente factorizada, pues todava puede factorizarse k2x2 + 3k3x. b.-8 a5x2y3- 6a 2 b3yz 2a4b4xy2z2 8a5 x2y3 -6 a2 b3yz -2 a4b4xy2z2 =2 a2y (4 a3x2y2 3b3z a2b4xyz2) c.- 3x2+ 6x+ 3 3x2+ 6x +3 =3(x2+ 2x +1) =3(x + 1)2 (regla 4). Ejemplo 2 Factorizar completamente las expresiones:a.- x2 - x- 6 NOTA.- Se deben buscar dos nmeros tales que multiplicados den-6 y sumados den -1. Si se factoriza este trinomio de la siguiente forma: x2-x-6=(x+a)(x+b),queeselproductodedosbinomios,entoncesdeben determinarselosvaloresdeayb.puestoque(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab, entonces:

24 x2 +(-1)x +(-6 ) = x2 +(a + b)x + a b. Igualando los coeficientes correspondientes, entonces: a + b = -1 ya b = -6 Si a = -3 y b = 2, entonces se satisfacen ambas condiciones y, as: x2 x - 6 = (x -3) (x + 2) x2 -7x +12 Dos nmeros que multiplicados den +12 y sumados den -7 x2 - 7 x + 12 = (x-3) (x-4). Ejemplo 3 Enseguidaselistanexpresionescompletamentefactorizadas,losnmerosen parntesis se refieren a las reglas que se utilizaron. x2 +8x+16=(x + 4)2 9x2+ 9x+2= (3x+2) (3x+1)abx2 + (a d + c b) x + c d = (a x + c) (b x + d) ab = 9a = 3c = 2 ad + cb = 9b =3 d = 1 cd = 2

25 6y3 +3y2 -18y = 3y (2y2 +y -6) =3y (2y -3) (y +2) x2 -6x +9=(x -3)2 z1/4 +z5/4 =z1/4(1+ z) x4 -1= (x2+1)(x2-1) = (x2+1) (x+1) (x-1) x2/3 -5x1/3+4=(x1/3 -1)(x1/3 -4) ax2-ay2+bx2-by2= (ax2-ay2)+(bx2-by2) = a(x2-y2)+b(x2-y2) = (x2-y2) (a + b) =(x + y) (x - y) (a + b) 8-x3= (2)3-(x)3= (2-x)(4 +2x+ x2) x6-y6=(x3)2-(y3)2=(x3+ y3)(x3-y3) =(x + y) (x2-x y +y2) (x-y) (x2+ x y + y2). Aplicaciones: 1. 36x2- 25=(6x+ 5) (6x-5) 2.r2 +2r +1 =(r +1)(r + 1) 3.s2 + 5s -14 = (s +7) (s -2) 34. (x2 - 4) 3 + (4 y2)3 =(x2 - 4) (4 y2) 5. a3 + a2b- b3 ab2

26 a3 + a2b - b3 +ab2 (a3 + a2b) - ( b3 +ab2) a2(a + b) - b2 (b+a) (a2- b2) (a+b) Factorice los polinomios Ejercicios. 1.2ax -8a3 2.4x3z - 6xz3 + 8x3y3 3.x2 - 8x +12 4.x3 + x + 3 5.t2 + 9t -36 6.y3 + 4 7..100x2 -225 8.x3 - 3x2 - 40x UNIDAD II. EXPONENTES, RADICALES Y LOGARITMOS Exponentes Sinesunenteropositivo,lanotacinexponenciala2quesedefineenlatabla, representaelproductodelnmerorealamultiplicadonvecesporsimismo.La expresina2seleeaalaensimapotenciaosimplementeaalan.Elentero positivosellamaexponenteyelnmeroreala,base.

27 Notacin exponencialCaso general (n es cualquier entero positivo) Casos especiales Ejemplos: Esimportanteobservarquesinesunenteropositivo,entoncesunaexpresin como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El nmero real 3 se llama coeficiente de an en la expresin 3an.Ejemplo Ahoraampliamosladefinicindeanaexponentesnopositivos. Exponente cero y negativoDefinicin (a diferente de 0) Ejemplo

28 Si m y n son enteros positivos, entonces Envistadequeelnmerototaldefactoresdeaaladerechaesm+n,esta expresin es igual a am+n ; es decir, Deestaformasepuedellegaralasleyesdeexponentesquemuestrana continuacin:LeyEjemplo Las leyes de los exponentes pueden generalizarse: La raz n-sima principal de x es aquella raz n-sima de x que sea positiva, si x es positiva, y que sea negativa si x es negativa y n es impar. Se le denota por nx .

29 Por lo tanto: nxes Positiva si x es positiva. Negativa si x es negativa y n es impar. A la expresin nxse le denomina radical, aqu, n es el ndice, x es el radicando y eselsignodelradical.Conlasracescuadradasprincipalesnormalmentese omite el ndice y se escribe soloxen vez de 2x . Por tanto9 =3 Porconceptopodemosentenderqueelradicaleselsignoqueseutilizapara indicarlaextraccinderaces,dependiendodirectamentedeloqueindiqueel ndice y esto a su vez se multiplica para llegar al radical. Ejercicios: 1.a3/2. a4/3 2.x1/3. x2/5. x3/10 3.625 4.16a8b4 Radicales: Si

Entonces a es la raz n-sima de b. Si

Entonces a=

= 2

30

Leyes de radicales I.- (

)

II.-

( )

III.-

IV.-

V.-

Ejemplos: (

)

(

)

( )

()

31 ()

()

()

(49)-1/2 = 1/(49)1/2 = 1/7 Logaritmos Ellogaritmoeslapotenciaalaqueseelevaunabaseparaqueresulte determinado nmero, o sea el logaritmo viene ha ser un exponente. Los logaritmos contemplandospartesunallamadacaractersticaqueeslaparteenteradel logaritmoquepuedeserpositivaonegativaylamantisaqueeslaparte fraccionaria de los logaritmos. 100 = 1 101 =10 102 =100 103 =1000 104=10000 Propiedades generales de los logaritmos. Propiedad 1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de cada uno de los logaritmos de los factores.Logb uv = logb u + logb v

32 Propiedad 2: Ellogaritmodeuncocienteesigualalarestadecadaunodelos logaritmosde los dividendos: Logb u/v = logb u logb v Propiedad 3: El logaritmo de una potenciaes igual al exponente por el logaritmo de la base. Logbun = n logb u Propiedad 4: Logb b = 1 Propiedad 5: Logb 1 = 0 Propiedad 6: Logb blogb x = x Propiedad 7: Logb bx = x Resolver por logaritmo las siguientes operaciones Ejercicios. 1.2342 2.45 (23546) 3.4563 entre 25 4.(2345)3 5.0.276534

33 UNIDADIII.INTERS SIMPLE M MA AT TE EM MA AT TI IC CA AS S F FI IN NA AN NC CI IE ER RA AS S Esunaramadelasmatemticasaplicadaqueresultainteresanteporsi misma debido a su aplicabilidad inmediata en problemas prcticos; as mismo, es unaherramientabsicaenfinanzas,ingenieraeconmica,evaluacinde proyectos, economa, etc.1 El estudio de la matemtica financiera nos capacita para elaborar modelos matemticosquenospermitanresolverdeunamaneramsracionallos problemas financieros que se nos presenten en la vida diaria. Lasmatemticasfinancierassigueteniendocomopropsitoprimordial presentarlasherramientasmatemticasnecesariasparaevaluarlaequivalencia delvalordeldineroendiferentestiemposyendiferentescircunstanciasdela maneramssencillaposible,esdecir,abordandolostemasconlamenor complejidad matemtica que el tema permite.2 Las Matemticas Financieras son una herramienta para la toma de decisiones en elreafinanciera,ynecesariasparacualquierprofesionalqueestrelacionado conelmanejoderecursosfinancierospropiosodelaempresa.Coneste programasepretendebrindarlosfundamentosrequeridosparalatomade decisiones en el quehacer cotidiano, como prstamos e inversiones. Es la rama de las matemticas aplicadas enfocadas a la resolucin de problemas sobreelvalordeldineroeneltiempo:monto,tasadeinters,anualidades, gradientes(pagoscrecientesydecrecientes),etc. La base matemtica para el anlisis de los problemas anteriores son los despejes, 1 Libro: Matemticas Financieras, Hctor m. Vidaurri Aguirre. 2 Libro: Matemticas Financieras, Alfredo Daz Mata

34 lasleyesdelosexponentes,lasoperacionesconlogaritmos,ylasprogresiones aritmticas y geomtricas principalmente. Las Matemticas Financieras se refieren al clculo de los factores que conforman el Mercado Financiero. La existencia de un Mercado viene dada por la presencia deunbienescaso:nosreferimosenestecasoalCapital,unodelosrecursos bsicos de la actividad econmica. PARA QUE SIRVEN LAS MATEMATICAS FINANCIERAS LasMatemticasFinancierassirvenparacalcular;intereses,rentasyla matemtica de seguros. Abarca tambin el anlisisque se refiere al valor del dinero en diferentes tiempos; como inversiones, prstamos, etc. LasMatemticasFinancierassirvenparaelaborarmodelosmatemticos encaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancierosquesepresenten en la vida diaria. INTERES SIMPLE TASA DE INTERES: Lastasasdeinterssonelpreciodeldineroenelmercadofinanciero.Al igualqueelpreciodecualquierproducto,cuandohaymsdinerolatasabajay cuandohayescasezsube,porloquelosdemandantesdeseancomprarmenos, esdecir,solicitanmenosrecursosenprstamoalosbancosointermediarios financieros, mientras que los oferentes buscan colocar ms recursos.Lo contrario sucede cuando baja la tasa: los demandantes del mercado financiero solicitan ms crditos y los oferentes retiran sus ahorros.

35 DEFINICIONES DE TASA DEFINICIONDERAU:"latasaeslacontraprestacinporunservicioespecial dispensado por l a quien se la abona". DEFINICION DE GARCIA BENSULCE: "tasa es la contraprestacin en dinero que paganlosparticulares,elestadouotrosentesdederechopblicoenretribucin de un servicio pblico determinado y divisible". Las tasas financieras son: La tasa nominal (J) que indica el porcentaje durante un ao. Latasaefectiva(i)queintervieneenlaoperacinfinancierayqueseaplicaa cada periodo de tiempoi = j / m TIEMPO ElTiempoeselperiodoporelcualestomarprestadoeldinero,enun problema financiero, con la finalidad de su pago en un plazo definido. Das inicial y terminal. Para llevar la cuenta de los das, se acostumbra excluir el primerdaeincluirelltimo.As,paraunprstamocontradoel10deeneroy pagado el25delmismo mes,eltiempocomercialtranscurridoesde 15 das.En algunospasesseacostumbracontarelprimeroyelltimoda;entalcaso,el tiempo comercial seria de 16 das. Fechadevencimiento.Lafijacindelafechadevencimientoseestablece contractualmente.Porejemplo,unprstamoqueserecibeel10demarzoa3 meses deber pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo prstamo se recibe a 90das,deberpagarseel8dejunio,siseacostumbracontabilizarsoloelda terminal. Si la fecha terminal corresponde a un da festivo, el sistema local indicara sielpagodeberecibirseel primer dahbil siguiente,sincontar dasadicionales para el cobro de intereses.

36 La unidad de tiempo es el ao AODASMESESDIAS/MES REAL36512REAL COMERCIAL3601230 PERIODOSEN EL AO: MESES12 BIMESTRE6 TRIMESTRE4 SEMESTRE2 Inters: pago realizado por la utilizacin del dinero de otra persona. En Economa, se considera, ms especficamente, un pago realizado por la obtencin de capital. Los economistas tambin consideran el inters como la recompensa del ahorro, es decir,elpagoqueseofrecealosindividuosparaqueahorren,permitiendoque otraspersonasaccedanaesteahorro.Paralateoraeconmica,elintersesel precio del dinero. Inters: Es la manifestacin del valor del dinero a travs del tiempo Inters: Es el pago por el uso del dinero. Todapersonaqueobtieneunprstamoquedaobligadaapagarunrdito (rentadecapital)ointereses,porelusodeldinerotomadoenprstamo,en general el dinero genera dinero, acumulando valores que varan con el tiempo. Inters Simple: Cuando solo el capital gana intereses

37 Normalmenteslose paganinteresessobreelprincipal,esdecir, sobrela totalidad del dinero prestado, lo que se denomina Inters Simple Ejemplo: una persona realiza un deposito en una inversin a plazo fijo de 28 das por $ 1,000.00 y si al final del plazo retira su inversin junto con los intereses $ 100.00 entonces estar ganando un Inters Simple es decir $ 1,100.00, pero si noserealizaningnretiroentonceslosintereseformaranpartedelcapital$ 1,100.00 y generaran intereses, en estas condiciones su inversin estar ganando unIntersCompuesto,porquealfinaldelsegundomessuinversinseriade$ 1,210.00. Inters simple: es cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido,sinqueelcapitaloriginalvari.Seusaprincipalmenteeninversionesy crditos a corto plazo, de un ao o menos. El intersa pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversin, depende de la cantidad de dinero tomada en prstamooinvertidaydeltiempoquedureelprstamoolainversin.Enotras palabras el inters simple vara en forma directamente proporcional al capital y al tiempo.

Se llama inters simple aquel en el cual los intereses devengados en un periodo no ganan intereses en el periodo siguiente. El inters simple se define como el producto del capital inicial, la tasa de inters y el tiempo. Elinterssimpleseusaprincipalmenteendeudasacortoplazo,deunaoo menos, y el inters se calcula solo sobre el importe que se debe. Inters ordinario o comercial: es el inters que se calcula, considerando el ao en 360 das.

38 Intersrealoexacto:eselintersquesecalculaconaodecalendarioa365 das o 366 das si se trata de un ao bisiesto. Frmula para calcular el inters ordinario o comercial: C = capital. T = tiempo. I = inters ordinario. R = tasa de inters. Formula para calcular el inters real o exacto: C = capital.T = tiempo. Ir = inters real R = tasa de inters. EJEMPLO:Calcularelintersordinarioocomercialyelintersrealde$ 15,000.00 prestado al 20% durante 90 das.DATOS:FORMULAS: SUSTITUCIONES: C = 15,000.00T = 90 das.R = 20%I = ?

I = $ 750.00Ir = $ 739.73 Generalizado la formula, para el clculo del inters tenemos la siguiente formula:

39 I = inters C = capital I= C n in = Tiempoi= Tasa de inters. Ejemplo: calcular el inters que debe pagar por un prstamo de $7, 000,000.00 a una tasa de 10% en 240 das en el ao real o exacto. DATOS:FORMULA: I =?I = 7, 000,000 (0.66) (0.10) C = $ 7, 000,000.00I = C n i I = $ 462,000.00 i = 10% n = 240/365 = 0.66 Monto: Es el estudio del valor en fecha futura que se obtendr o que se convertir elcapitalcolocadosenfechasanteriores.estrasladaryvalorizarcapitalesdel presente al futuro. FORMULA PARA EL CLCULO DEL MONTO: C = CapitalFORMULA: i = Tasa del inters.n = Tempo.S = C (1 + ni) S = Monto. EJEMPLO: Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20,000.00 al 8% de inters a 143 das. DATOS:FORMULA: SUSTITUCION:

C = $ 20,000.00 S = 20,000[1+ (0.40)(0.08)] i = 8% = 0.08 S = C (1 + n i) S = 20,000 (1.032)

40 n = 143/360 = 0.40S = $ 20,640.00 S = ? Tasanominal:eslaconvenidaenunaoperacinfinanciera,puedesertasa anticipada o tasa vencida segn se convenga aplicar, la tasa de inters al inicio o al trmino de la operacin financiera. Ejemplo: Calcular la tasa de inters simple proporcional mensualmente a la tasa del 9% anual. Cul ser la tasa de inters el monto de $ 20,000.00 a un monto de$ 21,200.00a un inters simple, en 9 meses? Datos:Formula: Sustitucin: S = $ 30,100.00 C = $ 20,000.00 n = 9/12 = 0.75 ao.i = ? i = 0.08

RESULTADO = 8%anual

PROBLEMA 1 Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20,000 el 22 de julio, si el pagare se firma el 30 de enero del mismo ao no bisiesto, al 8% de inters. Datos:

41 C = 20,000 S =? J = 8 % 0.08 t = 30 de enero 22 de junio Enero 143 das Ejemploaosaotn 414= = =2 / 1126= = =mesest n aos 3917 . 0365143=S = C (1- ni ) S = 20,000| | ) 08 . 0 ( 3917 . 0 1+S = 20,000| | 3917 . 0 . 1S= 20,626.72 PROBLEMA 2 Calcular la tasa de inters simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9 % anual. Datos J = 9 % anual 28 1313031 22 JMFMA30

42 mJi = i = 0.75% mensual 0075 . 01209 . 012% 9= = = i PROBLEMA 3 Calcular el inters simple que produce un capital de 10,000 en 4 aos 6 %. C = 10,000 n = 4 aos i = 6 %I = 10,000(4) (0.06) I = ? I = 2,400 4.- Determinar la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de los siguientes pagars. Valor nominal fecha inicialplazotasa a) $ 3,00020 de mayo2 meses 7% b) $ 5,0005 de abril60 das8 % c) $ 2,0003 de mayo 3 meses 6 % d) $ 4,000 28 de noviembre 120 das 8 % S = c (1 + ni) n = 2*30 = 60/360 = 0.1666 S =?2/12 meses = 0.1666 C = 3,000i = 0.07S = 3,000 (1 + 0.1666) (0.07)) S = 3034. 986 Cni I =

43 Vencimiento = 20 de Julio S = c (1 + ni) n = 60/360= 0.1666 S =?i = 0.08 C = 5,000S = 5,000(1 + (0.1666) (0.08))S = 5,066.64 Vencimiento = 4 de junio S = c ( 1 + ni ) S = 2,000 (1 + (0.25) (0.06)) C = 2,000S= 2,030.00 N = 3/12 = 0.25 S = c ( 1 + ni 0 i = 0.06c= 4,000 n= 120/ 360 das =0.3333S= 4,000 (1 + (0.3333) (0.08)) i = 0.08S = 4,106.65 5.- Calcular el inters simple comercial de: a) $ 2,500 durante 8 meses al 8 % I =C ni C = 2,500I = (2,500) (0.6666) (0.08) N = 8/12 = 0.6666I = $ 133.32 I = 0.08 b) $ 60 durante 63 das al 9 % I = C ni i = 0.09C = 60,000I = (60,000) (0.175) (0.09)n = 63/360 = 0.175I = $ 945.00

44 c) $ 12,000 durante tres meses al 8 % I = C ni i = 0.085C = 12,000I = (12,000) (0.25) (0.085) N = 3/12 = 0.25 I = $ 255.00 d) $ 15.000 al 10 % en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo ao. C = 15,00018-4= 14 i= 0.10 abril - septiembre = 153

I = $ 15,000 (0.4555) (0.10) I = $ 683.25 6.- Calcular el inters simple comercial de: a) $ 2,000 durante 3 aos al 0.75 % mensual. I = CniC= 2,000 I= (2,000 ) ( 3 ) ( 0.09 )n= 3 aosI = $ 540.00 i = 0.0075 * 12 = 0.09* 0.75/100 = 0.0075 b) $ 4,000durante 2 aosy 3 meses al 0.5 % mensual I = C ni C = 4,000 n= 2 + 3/12 = 2 + 0.25 = 2025 ( 4,000) ( 2 ) ( 0.06 ) = 480

45 i = 0.5/100 = 0.005 * 12 = 0.06( 4,000) ( 3 ) ( 0.005)=I = ( 4,000 ) ( 2.25 ) ( 0.06 )I = $ 540.00

c) $ 10,000 durante 4 aos al 5 % semestralI = C ni C = 10.000 I = (10,000) ( 4 ) ( 0.10 )n = 4 aos = 8 semestresI = $ 4,000.00 i = 5/100 = 0.05 * 2 0 0.10I = (10,000 ) ( 8 ) ( 0.05 ) I = $ 4,000 d) $ 25,000 durante 1 ao 3 meses al 6 % semestralI = C ni C = 258,000 n= 1+ 3/12 = 1 + 0.25 = 1.25 I = (25,000) (1.25) (0.12)i= 6/100= 0.06 * 2 = 0.12I= $ 3,750.00 7.- Calcular el inters simple comercial a) $ 5,000 durante 3 aos 2 meses 20 das al 0.75 % mensual I = C niC =5,000 n = 3+2/12+20/360= I = (5,000) (3.222) (0.09)n = 3+ 0.1666 + 0.0555 n = 3.222I = $ 1,449.90 i = 0.75/100= 0.0075 * 12 = 0.09b) $ 8,000 durante 7 meses 15 das al 1.5 % mensual. I = C niC = $ 8,000 I = (8,000) (0.625) (0.18)n = 7/12 + 15/360 I = $ 9*00.00 n = 0.5833 + 0.04166

46 n = 0.625i = 1.5/100 = 0.015 * 12 = 0.18 8.- Calcular el inters exacto o real de: Del problema 15 (a) utilizando la relacin entre el exacto y el comercial $ 2,500 durante 8 meses al 8 %

C = $ 2,500t = 8 meses * 30 = 240 dasr = 8 % =$131.33 = $131.50 Ir = Io 1/73IoIr = 133.33 1/73 (133 .33)Ir = 133.33 1.826438356Ir = $ 131.50 $ 7,000 durante 105 das al 8 % I = C tr C = $ 7,000I = (7,000) (105) (0.0002191781)t = 105 dasI = $ 161.09

47 f = 0.0002191781 r = 8 %

$ 4,000 el 16 de noviembre si el pagare se firmo el 16 de julio del mismo ao C= $ 4,000t = 123 das/ 365 = 0.3369r = 5 % I = (4,000) (0.3369) (0.05)I = 67.38

C = 6,000 I = (6000) (0.3333) (0.09) n = 0.3333 I = $ 179.98 i = 0.09 d) $ 6,000 durante 4 meses al 9 % C = $ 6,000 t = 4 meses * 30 = 120 diasr = 9 % 9.- Un seor pago $ 2,500.20 por un pagare de $ 2,400 firmado el 10 de abril de 1996 a un con 4 % de intersEn que fecha lo pago? C = 2,400

48 t=?r= 4 % = 4.5I= 2,500.20 2,400 = 100.20 El da10 de mayo de 1997 lo pago 1 ao 360 0.927 -x 20.-El propietario recibi el 15 de mayo de l996 de una casa las tres ofertas que se detallan a continuacin Cul es la mejor, si el rendimiento es del 9%? $60,000 al contado y un pagare al 10 de septiembre de l996 por $32,600

49 118 das / 360= 0.3277 $60,000 + 31,666.07= $91,666.07 mejor opcin $30,000 a 120 das y $63,500 a 180 das Si = 30,000 n= 120/360=0.3333 i= 9 % = 0.09c =$29,126.29 S2 =63,500 n2 =180/360=0.50 i= 9 % = 0.09 c = $60,765.55 $29,126.29 +$60765.55= $89,891.84 $20,000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $71,000 a 120 das S= 71,000 n= 120 dias/360 = 0.3333 i= 0.08

50 c =69,156.02 $20,000 + 69,156.02 = $89,156.02 10.- Un inversionista recibi un pagar por valor de $120,000 a un inters del 8% el15deJulioconvencimientoa150das.El20deoctubredelmismoaolo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. Cunto recibe por el pagar el primer inversionista? C = $ 120,000 S = C (1+ n i) n = 150 / 365 = 0.4109 S= 120,000 (1+ (0.4109)(0.08)) i =0.08 S= 120.000 (1.032872) S= 123,944.64 C= 120,000 i =0.10 S= 120,000(1+(0.1452)(0.10) n= 0.1452 S= 121,742.40 53 DIAS/365= 0.1452 11.- Cerrar el 30 de junio una cuenta corrientecon intereses del 9% sobre saldo, que ha tenido el siguiente movimiento: 1 de enero saldo debito$15,000 10 de febrero abono$12,000 20 de febrero cargo $8,000

51 18 de marzoabono$20,000 30 de abrilcargo $10,000 20 de mayocargo $ 8,000 6 de junioabono$ 3,000 FechaDetalleDebeHaberSaldoDs.Numeral 1 de enerosaldo15,000 10 de febreroabono12,0003,00040600,000 20 de febrerocargo8,00011,0001030,000 18 de marzoabono20,000(9,000)26286,000 30 de abrilcargo10,0001,00043387,000 20 de mayocargo8,0009,0002020,000 6 de junioabono3,0006,00017153,000 30 de junio21224144,000 846,000 I= NF 9/36,000=0.00025 I= 846,000 (0.00025) I = 211.50 12.-Unapersonadebecancelar$14,000a3meses,conel8%deinters.Siel pagare tiene como clusula penal que,en caso de mora , se cobre el 10% por el tiempoqueexcedaalplazofijado,qucantidadpagaeldeudor,70das despus del vencimiento? S = C (1+ ni)

52 C = $14,000 S = $ 14,000(1+(0.25)(0.08)) n= 3/12=0.25 S = $14,000(1,02) i= 0.08S =$14,280 3 meses x 30 3 meses * 30= 90 das +70 das = 160 das =90 das n2= 70/360= 0.1944I = C n i +70das i2= 0.10I = (14,000)(0.1944)(0.10) 160 I = 272.16 160/360= 14,280+272.16= $14,552.16 0.4444 13.enelproblemaanterior,calculareltotaldeinteresespagadosylatasade inters cancelada por el deudor en toda la operacin. S=C(1+ni)14,552.16=14,000(1+0.4444i) 14,552.16= 14,000+6,221.60 S=14,552.16C=14,000n= 0.25+0.1944=0.4444 aosi = 0.0887i = ?

I=S-C I= Cni I= 14,552.16- I= (14,000)(0.25)(0.08)= 280.00 14,552.16 14,000.00 I= (14,000)(0.1944)(0.10) =I = 552.16 I= Cni 552.16= 14,000 (0.4444) i I=8.87% i= 8.87%

53 14.-Unapersonadescuentael15demayounpagarde$20,000.00con vencimientoparael13deagostoyrecibeslo$19,559.90Aquetasade descuento racional o matemtico se le descont el pagare? S = C (1+ ni) S = 20,000 20,000= 19,559.90 (1+ (0.25) i) C = 19,559.9020,000= 19,559.90 + 4,889.975 n= 90 das/360 = 0.25 S = 20,000 i= s/c 1 i=0.090 n = 90 das/360= 0.25 20,000 i= 9% C = 19,559.90= 0.09

i = 9% 15.- Una persona firma los siguientes pagares con el 8% de rendimiento: $10,000 a 130 das; $12,000 a 90 das y $8,000 a 180 das. Transcurridos 30 das, propone efectuar un pago de $10,000 al contado y un pago nico a 180 das con el 9% de rendimiento, determinar el valor de este pago nico Nuevos valores: X + 10,000|1 + 1 (0.09)| 6 X 30 = 180 180/360= 0.5 = X + 10,450 C (1 + ni) Antiguos: 10,000 |1 + 1/3 (0.08) ||1+1/4 (0.09) |+ 12,000 | 1 + (0.08) ||1+ 1/3 (0.09) |+8,000 | 1 + (0.08) ||1 + 1/12 (0.09) |

54 10,000 (1.026666667) (1.0225) + 12,000 (1.02)(1.03)+ 8,000 (1.04)(1.0075) 10,000(1.049766667) + 12,000 (1.0506) + 8,000 (1.0478) 10,497.66 + 12,607.20 + 8,382.40 X + 10,450 =10,497.66 + 12,607.20 + 8, 382.40 X= 10,497.66 + 12,607.20 + 8, 382.40 10,450 X = $21, 037.26 16.Unapersonadebe$20,000convencimientoa3mesesy$16,000con vencimiento a 8 meses. Proponepagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimientoa6mesesyunaorespectivamente.Determinarelvalordelos nuevos pagares al 8% de rendimiento (tmese como fecha focal la fecha dentro de un ao) X |1 + (0.08)(6/12|+ X =20,000 |1 + (0.08)(9/12) |+ 16,000 |1 + (0.08)(4/12) | 1.04x+ x = 20,000 (1.06) + 16,000 (1.0267) 2.04x= 21,200 + 16,426.67 2.04x=37,626.67

c/ pagar 17. 10,000 a 30 das = $10,065.7512,000 a 30 das = $12,078.908,000 a 30 das = $8,052.6030,000 a 30 das = $30,177.27 $18,444.45

55 Pago hecho- 10,000.0020,197.27a 180 das Con un 9% de rendimiento $ 21,093.68 18. Una persona debe los siguientes pagares con el 8%:$6000 exigible dentro de 3meses,firmandoa6mesesdeplazo,$8000,exigibledentrode6meses, firmandoaunaoplazo,yotrode$5000sinintereses,exigiblesdentrode9 meses. Su acreedor acepta recibir tres pagos iguales con el 9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obligaciones, as: el primer pago de contado, el segundo a6mesesyelterceroaunaodeplazo.Determinarelvalordeestospagos iguales.Determnese la fecha focal. X (1+0.99 + x [1+6/12)] (0.9) + x = 6,240 [1+0.9)(9/12)]8,640 [1+0.9) (9/12 ]5,000 [1+0.9) (9/12 ]x (1.09) + x(1.045) + x = 6,240 (1.0675) + 8,640 (1.045) + 5000 (1.0225)3.135x = 6,661.20 + 9,028.80 + 5,112.503.135x = 20,802.50x = 20,802.503.135= $6,635.56c/pagar I = c n iI = (6,000) (0.08) (6/12)= 240 + 6000 = 6,240I = (8,000) (0.08) (1) = 640+8,000 =8,640 19. tabular un flujo de caja y elaborar un diagrama para la siguiente situacin: una persona obtiene un prstamo de $24,000, el cual debe pagar mas los intereses, en

56 6pagosmensualesigualesapartirdeltercermes,aunatasade19.5%. I = C n iI = (24,000) (3) (0.01625)= $1,170S = C (1+ ni)S =25,170I =S-C i = 25,170 -24,00=1,17025,170/ 6=$4,195 S1 = $4,195 (1+1(0.01625)= $4,263.61I = $4,263.16-4,195= $68.16S2=$4,263.16 [1+1(0.01625)] =$4,332.43I = $4,332.43- 4,263.16 =$69.27S3=$4,332.43 [1+1(0.01625)]= $4,402.83I = $4,402.83-4,332.43 =$70.40S4=$4,402.83 [1+1(0.01625)]=$4,447.37I = $4,474.37- 4,402.83 0$71.54 $24,000 $25,595.95+ 1,170 - 24,000.0068.16$1,595.9569.27inters Ganado70.4071.54S5 =$4,474.37 [1+1(0.01625)]=$4,547.0772.70 I = 4,547.07 4,474.37 =$72.7073.88 S6=4,547.07 [1+1(0.01625)]=4,620.95$125,595.95I =4,620.95-4,547=473.88 20. tabular un flujo de caja y elaborar su diagrama para el comprador de bonos por valor de 30000, emitidos por una empresa, los cuales son redimiblesdentro de 9

57 meses,sipagael5.6%trimestraldeinteresesportrimestrevencidoyelbono tiene un valor de $29,000. $35,327.505.6%=0.056S1 = 30,000 [1+1(0.056)] = $31,380I =S-C = $31,680 - 30,000 = $1,680.00S2 = $31,680 [1+1(0.056)]= $33,454.08INTERES GANADOI = $33,454.08 - 31,680 = $1,774.08$35,327.50S3 = $35,454.08 [1+1(0.056)] = $35,327.50- 29,000.00I = 35,327.50 - 33,454.08= 1,873.426,327.50 Ejercicios 1.calcular el inters simple comercial de : A-$4900 durante 11 meses al 6% B-$105000 durante 89 das al 10% C-$ 3500 durante 4 aos al 0.65% mensualD-$5100 durante 3 aos 5 meses al 0.4% mensual E-$9000 durante 5 aos 4 meses 15 das al 0.65% mensual F-$11000durante 11 meses 24 das al 1.8% 2. Calcular el inters exacto de: A- $5000 durante 145 das al 6% B- $20000 durante 8 meses al 7% C- $3000 el 22 de enero si fue firmado el 11 de septiembre del mismo ao 3. Alejandro pag $ 37100.20 por un pagare de $3600 firmando el 16 de mayode 1999 con 5% de inters en que fecha lo pago?

58 4.Cerrar al 26 de julio una cuenta corriente con inters del 11% sobre saldos, que ha tenido el siguiente movimiento: 1de enero saldo debito $18,000 15 de febrero abono $9,000 24 de febrero cargo$5,000 22 de marzo abono$19,000 30 de abril cargo$ 8,000 12 de junio cargo $ 6,000 2 de julio abono $ 2,500 5.Danielacastrodescuentaunpagarde$33000al13deabrilconvencimiento el 11 de julio y recibe solo 32 559.90 a que tasa de descuento racional o matemtico le fue descontado el pagar? 6.JuanPrezdebe$200000convencimientoa6mesesy$160000con vencimientoa16meses.Proponepagarsudeudamediantedospagos iguales a 12 meses y dos aos, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagares con el 16% de rendimiento (toma como fecha focal la fecha dentro de un ao).

UNIDADIV.INTERS COMPUESTO

59 Siencadaintervalodetiempoconvenidoenunaobligacinseagreganlos intereses al capital formando un monto sobre el cual se calcularan los intereses en elsiguienteintervalooperiododetiempoyassucesivamentesedicequelos interesessecapitalizanyquelaoperacinfinancieraesaINTERS COMPUESTO. FACTORES QUE AFECTAN EN EL CLCULO DEL INTERS COMPUESTO: Funcindeltiempo:Elcrecimientonaturalesunavariacinproporcionalala cantidad presente en todo instante, estos crecimientos son funciones continuas del tiempo;enlacapitalizacindelinterscompuestotambinseproduceel crecimiento continuo. Periododecapitalizacin:Eselintervaloconvenidoenlaobligacin,para capitalizar los intereses. Tasa de inters compuesto: Es el inters fijado por el periodo de capitalizacin. Valorfuturodeuncapitalainterscompuestoomontocompuesto:Esel valor del capital final, o capital acumulado, despus de sucesivas adiciones de los intereses. Tasa nominal: Es la tasa convenida para una operacin financiera. Tasaefectiva:Eslaquerealmenteactasobreelcapitaldelaoperacin financiera. Tasasequivalentes:Sonaquellasqueencondicionesdiferentesproducenla misma tasa efectiva anual. Smbolos i = Tasa efectiva

60 j = Tasa nominal anual m = nmero de capitalizaciones en el ao. Formulas para el monto: (S F) S = C (1 + i) mn Ejemplo Se conviene una deuda de $ 1,000.00 en 5 aos de plazo alinters del 10% con capitalizacin anual. NUMERO CAPITAL AL PRINCIPIOINTERESES EN ELCAPITAL MAS INTERES AL DE PERIODOS DEL PERIODO PERIODOFINAL DEL PERIODO 11000 1001100 21100 110 1210 31210 121 1331 41331 133.10 1464.10 51464.10 146.41 1610.51 Sustituyendo en la formula anterior tenemos un monto: $ 1, 610.51 Donde: s = monto c = capital i = tasa de inters n = periodo de tiempo CLCULO DEL TIEMPO Se puede calcular usando la tabla 1 o mediante la aplicacin de logaritmos. Ejemplo:

61 Enquetiempoundepsitode1000seconvertiren1500al6%con capitalizacin semestral? F = P (1+ j /m) m n F = 1500p = 1000j = 0.06 m = 2 1500 = 1000 (1+0.03)2n (1+0.03)2n = 1500/1000 = 1.5

En la tabla I buscan en la columna del 3% los valorespor exceso y por defecto- mas prximos a 1.5 este valor se encuentra entre 1.46853371 que corresponde a 13 periodos y 1.5125872 que corresponde a 14 periodos. Interpolando como en el caso anterior se tiene: A 14 corresponde 1.51258972a 13 + x corresponde 1.50000000 A 13 corresponde 1.46853371a 13 + x corresponde 1.46853371 1 es a0.04405601 como x es a0.03146629 1/445601 _ x/ 3146629 x = 3146629/4405601 x = 0.7142337 2n= 13+0.7142337= 13.7142337 n = 6.8571 aos. Mediante la funcin de logaritmos (1.03)2n = 1.5 2n Log (1.03) = Log (1.5) 2n Log (1.5)/ Log (1.03) = 0.176091/0.012837 2n=13.7172 n = 6.8586 aos.

62 EJERCICIOS APLICADOS AL INTERES COMPUESTO 1. Hallar el valor futuro a inters compuesto de $100 para 10 aos: a)Al 5 %efectivo anual F =p(1+ j/m) = S = C(1+ i) DATOS: C = $100 n= 10 aosm= 1 ao i=0.05% S= $100 (1+0.05) S = $100 (1.6289) S = $162.89 b)Al 5 % capitalizable mensualmente C= $100 i= 0.05 m= 12 meses i= 0.05 = 0.00416 m 12 N = 10 aosmn = (12)(10) = 120 S= C(1+i/m)S= $100 (1+0.05/12)S= $100 (1.004166667) S= $100(1.64009498) S= $164.70 c)Al 5 % capitalizable trimestralmente DATOS C = $100 I = 0.05 S= C(1+ i/m)S= $100 (1+0.05/4) nmnm (10)(1) nm (12)(10) 120 nm (10)(4)

63 m= 4 trimestres i = 0.05 = 0.0125 m 4 n= 10 aos mn= (4)(10)= 40S= $100 (1.0125)S= $100 (1.643619463) S= $164.36 d)Al 5 % capitalizable semestral DATOS C = $100 i= 0.05 m = 2 semestres i = 0.05 = 0.025 m 2 n = 10 aos mn= (2)(10)= 20 S= C(1+ i/m)S= $100 (1+0.05/4) S= $100 (1+ 0.025)S= $100 (1.6386) S= $163.86 2. Hallar el valor futuro a inters compuesto de: a.$5,000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 aos DATOS C = $5,000 j = 0.06 m= 2 semestres i =j/m = 0.06/2 = 0.03 n= 20 aos mn= (2)(20)= 40 S= C(1+ i/m)S= $5,000 (1+0.03) S= $5,000 (3.2620) S= $16,310.00 b.$4,000 al 7% capitalizable semestralmente en 70 aos DATOS 40 nm (10)(2) 20 nm 40 nm

64 C = $4,000 j = 0.07 m= 2 semestres i=j/m=0.07/2= 0.035 m= 2 N = 70 aos Mn = (2)(70)=140S= C(1+ i/m)S= $4,000 (1+0.01875) S= $4,000 (123.4948) S= $493,979.20 c.$9,000 al 7 capitalizable trimestralmente en 12 aos DATOS C= $9,000 j= 0.075 m = 4 trimestres i=j/m=0.075/4= 0.01875 m= 4 n= 12 aos mn= (4)(12)= 48 S= C(1+ i/m)S= $9,000 (1+0.01875) S= $9,000 (2.43919) S= $21,952.71 d.$8,000 al 6 capitalizable mensualmente en 30 aos DATOS C= $8,000 j= 0.065 m= 12 meses i =j/m= 0.65/12 = 0.005416 m =12 n= 30 aos mn= (12)(30)= 360 S= C(1+ i/m)S= $8,000 (1+0.005416) S= $8,000 (6.991797974) S= $55,934.38 48 nm 48 nm 360

65 3. Hallar el valor futuro $20,000 depositados al 8% capitalizable anualmente durante 10 aos 4 meses en forma. A.Terico DATOS C = $20,000 j = 0.08 m= 10 aos 4 meses 4/12= 0.33333 m= annual (1) S= C(1+ i/m)S= $20,000 (1+0.008/1) S= $20,000 (2.215025889) S= $44,300.51 B.Comercial S = C(1+ i/m)S = $20,000 (1+0.08/1) = 43,178.49 [1+ 4/12 (0.08)] S= $43.329.91 4- Hallar el VF de $10,000 depositados al 8%, capitalizables trimestralmente durante 32 aos 7 meses, 22 das. DATOS mn C=10,000A) S= C (1+ j/m) 130 j = 0.08 S=10,000 n = 32 aos, 7 meses, 22 dasB) S= $131,226.73[1+ 52/360 (0.08)] nm 10.33 (1) nm10

66 S= $132,743.15 m = 4 trimestres 7/12 = 0.583333333 22/360 = 0.061111111 n = 32x4+2=130 Trimestres 22 das + 30 = 52 das Sobra un mes 3+3= 6-7 meses = 1 mes = 30 das 5-Unapersonadeposita$3,000el22deabrilde1995,enunacajade ahorros que paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada ao Cunto podr retirar el 14 de noviembre del 2002? DATOSmn S= S= C (1+i )m 15.15 C= 3,000 S= $3,000 ( 1+0.06) 2j= 0.06 S= $4,694.67 m= 2 semestres n = ? 2002-1995=7 aos Abril - nov =214 das

67 22-14=8 -8 206 das 206/30 = 6.87= 6 meses = 1 semestre 0.87/6 = 0.145= 0.145 semestres 7x2 = 14+1+0.145=15.145 semestres = 15. 15 6-Unbancopagabael5%deinterscompuesto,capitalizable trimestralmente,el1deenerode1996modificlatasaelevndoloal7% capitalizable semestralmente. Calcular el monto compuesto que tendr el 1 de enero del 2006, un depsito de $10,000, efectuando el 1 de abril de 1993. DATOS mn S= ? S= C (1+i) mC =10,000S = 10,000 (1+ 0.05)11 4 i = 0.05 S = 11,464.24 m = 4 trimestres n = 2 aos 9 meses =11 trimestres 1994-1995 = 2 aosx 4 = 8 trimestres 1993= 3 trimestres 8+3 =11 trimestres 40 C=11,464.24S=11,464.24 (1+ 0.07) 2 S=? S= 45,389.90

68 j= 0.07 m= 2 semestral 1996 2016 = 20 aos n = 20 aos mn =20x2 = 40 semestres i=i/m = 0.07/2= 0.035 7- Un padre muere el 20 de marzo de 1996 y deja a su hija $100,000 para que leseanentregadosalcumplir18aos.Laherenciasedepositaenuna cuenta que gana el 6% capitalizable anualmente. El 22 de septiembre del ao enquemurielpadre,lahijacumpli10aos.Calcularlacantidadque recibir en la edad fijada. (int. Real.). DATOSnm S= ?S= C (1+i/m ) (8.52) (1) C= 100,000 S=100,000 (1+ 0.06/1)i= 0.06 S= 164,288.049 m= 1 anual n= 8.516666667 = 8.52 22 Sep - 20 marzo = 2 Marzo sept.=184das+ 2 =186das186/360=0.516666666 1996 + 8 = 2004 18 10 = 8 aos 8-HallarelVFdeuncapitalde$100depositadosdurante10aos,5meses. Ala tasa efectiva anual de 6.32%.

69 DATOS n C = $100S = C (1+i) 10.4166 n = 10 aos, 5 mesesS = $100 (1 + 0.0632) i = 6.32%S = $ 189.33 5/12 = 0.4166 10+0.4166= 10.4166 9- Qu tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable trimestralmente? nmnm(1+ i ) = (1+ i )0.08/4= 0.02 (1+ 0.02)4 = (1+ i 2 (1.02)4 = (1+ i)2 1.08243216 = (1+ i )2 (1+ i ) = 1.08243216 2 log (1+ i) = log 1.08243216 (1+i)= log 1.0824216 2 log (1+i)= 0.017200343

70 (1+i ) = 0.017200343 1+ i = 1.0404 i= 1.0404 1 i = 0.0404 j = 0.0808 j = 8.08% 10-Calcularlatasadeinterssimpleequivalenteal7%,capitalizable semestralmente durante 12 aos. DATOS n ic = inters compuestois =(1+ i c)- 1 is=?n ic= 0.07 / 2 = 0.035 ic= 12 aos x 2 = 24 semanas is= (1+ 0.035)24 - 1 24 is= 0.0534 x 100 = 5.34% semestralJ=im J= 5.34 (2) J =10.68%annual 11-Hallarlatasanominalconvertiblesemestralmente.Alacual$10,000se convierten en $12,500 en 5 aos.

71 DATOS nm C= 10,000 S= C (1+ j / m ) n= 5 aos 12,500=10,000 (1+j / 2) 5 (2) m= 212,500/10,000 =(1+j/2)10 1.2 =(1+j/2)10 (1+j/2)10 = 1.2 10 log (1+j/2) = log 1.2

i=4.51 % 12. Se estima que un bosque maderable evaluado en $750,000 aumentara su valor cada ao en el 8.5% durante los prximos 6 anos cual ser su valor al final del plazo calculado? C=750 n = 6 aos j=8.5% VF= ? S=C (1+i)6 S =$750(1+0.085)6 S =1,223.60 13.cuantosaosdeberdejarseundepositode$6,000enunacuentade ahorros que se acumula el 8% semestral para que se conviertan en 10,000? S-F =10,000 C =P =6,000 J =0.08% m =2 S=C (1+j/m)2n 10,000 = 6,000 (1+0.08/2)2n n =log(s/c) /log (1+C/m)/m n

72 n= (log (00/6,000)/log1.04)/2 n=6.512 aos 1 ao 12 mesesAOS =6 0.512- X MESES = 6 X = (0.5129)(12)=6.144 Das = 4 1 MES 30 DIAS 0.144 X X=(0.1449(30)/1=4.32 14. Calcular el monto de $4000 depositados durante 12 aos 5 meses al 6.4% con acumulacin semestral. C = 4000S = 4000(1+0.064/2)2(12.4166) j= 0.064m=2 S = 4000(2.186313733)24.83 i/m=0.064/2=0.32S =$8,745.25 5/12=0.4166 15.Quesmasconveniente;inventarenunasociedadmadereraque garantiza duplicar el capital invertido cada 10 aos o deposita en an cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente C= 10000 j= 0.06 m = 4 trimestres S= 10000(1+0.06/4)40

S =10,000 (1.015) S =$18,140.18 n =10 aos mn = (4)(10)040 40

73 b) 10,000 (2 )=$20,000 R = es mas conveniente invertir en una sociedad maderera 16. Un inversionista ofreci comprar un pagar de 120,000 sin intereses que vencedentrode3aos,aunprecioqueleproduzcael8%efectivoanual, calcular el precio ofrecido. S= $120,000 j= 0.08 n = 3 aos C = S/(1 + i)n C = 120,000 / (1+0.08)3 C =$95,259.87 17- Hallar el valor actual de: a)20,000 pagadero dentro de 10 aos al 5% con acumulacin anual S =10,000 m =1 p = 10000(1+0.05)-10 n = 10 aos p = 10000 (0.61391325) j =0.05 p = $6,139.1325 b) 500.00 pagaderos dentro de 6 aos al 6 % capitalizable trimestralmente F = 5000 m = 4 j = 0.06 n =6 aos p=5000(1+0.06/4)-4(6)

74 P= 5000 (1.015)-24 P=$3,497.72 c) 8000 pagaderos dentro de 71/2 aos al 8% capitalizable semestralmente F = 8000 m= 2 j = 0.08p = 8000 (1+0.08/2)-2(7.5) n =71/2 aosp= 8000(1.04) -15

p= $4,442.12 17. Hallar el valor actual de $96,000 pagaderos dentro de 20 aos al 8%, con capitalizacin mensual. Datos: S= 96,000C= S(1+i)-nm n= 20 AosC= $96,000 (1 + 0.0066)-240 m= 12C= $19,485.25 nm=(20) (12)= 240 18. Hallar la cantidad que es necesario depositar en una cuenta que paga el 8%concapitalizacintrimestral,paradisponerde$20,000alcabode10 aos. Datos: S= 20,000 i= 8%/4= 2% trimestral n= 10 Aos m= 4 mn= 10 x 4= 40 trimestres

75 P= 20,000 (1 + 0.02)-40 P= $ 9,057.81 19. Qu oferta es ms conveniente para la venta de una propiedad, si la tasa de inters es del 10%, con capitalizacin semestral? (a) $60,000 al contado (b) $30,000 al contado y $ 35,000 a 3 aos de plazo Datos: S= 35,000C P= S(1 + J/M) -mn n= 3 aosC= 35,000 (1 + 0.05)-(2) (3) m= 2C= 35,000 (1.05)-6 J= 10%C= $26,117.54 +26,117.54 30,000.00 $56,117.54Oferta B R= $60,000 oferta a es la mas conveniente para la venta de una propiedad 20.Unapersonavendeunapropiedadevaluadaen$120,000yporellale ofrecen $70,000 al contado. Por cunto debe aceptar un pagar por el saldo a2aosdeplazo,sieltipodeintersesdel9%,concapitalizacin trimestral? 120,000 70, 000= 50,000 C = S(1+i)n C = 50,000 (1.09/4)-8 C = = $ 41, 846.92

76 21. Una persona posee un pagar de $60,000 a 15 aos de plazo a un inters de8%conacumulacinsemestral,tresaosantesdesuvencimientolos ofreceenventaaunprestamistaqueinvierteal10%,concapitalizacin trimestral. Qu suma le ofrece el prestamista? Datos: P= C= 60,000S= C (1+Jj/m)mn n= 5 Aos S= 60,000 (1+0.04) (2) (5) m= 2S= 60,000 (1.04)10 j= 0.08S=$ 88,814.66 I= j/m= 0.08/2= 0.04 Datos: C= 88,814.66S= 88,814.66 (1+0.25) (3) (4) m= 4S= 88,814.66 (1.25)-12

j= 0.10S= 66,038.66 I= j/m= 0.10/4=0.25 n= 3 22.Uncomerciantecompra$100,000enmercancasypaga$20,000al contado, $40,000 en un pagar a 3 meses y $ 40,000 a 6 meses. Hallar el valor decontadodelamercanca,silatasadeinterslocalesdel9%con capitalizacin mensual. Valor Futuro Operaciones Valores Actuales $ 100,000 deuda -20,000contado $ 20,000 $ 80,000 nueva deuda -40,000 1er. Pago a tres meses = $40,000 (1 + 0.09/12)-36 =30,565.96 -40,0002do. Pago a seis meses 40,000 (1 + 0.09/12)-72 =23,356.95 20,000

77 + 30,565.96 + 23,356.95 $ 73,922.91 23.Una persona debe pagar $50,000 dentro de 2 aos; el acreedor acepta un pago al contado de $ 20,000 y unnuevopagar a 3 aos. Hallar el valor del nuevo pagar a la tasa del 8%, con acumulacin semestral. Datos: m= 2 semestralC= 50,000 (1 + 0.04) (2) (2) J= 0.08C= 50,000 (1.04)-4 n= 2aosC= 42,740.21 S= 50,000-20,000.00I= J/M= 0.08/2= 0.04 $ 22,740.21 n = 3 aosC= 22,740.21 (1 + 0.04) (3) (2) C= 22,740.21 (1.04)6 C= 28,773.62 24.Unpagarde$8,00pagaderosdentrode2aosyotrode$10,00 pagaderosdentro de 5 aos van a liquidarse en un pago nico dentro de 3 aos.Hallarelvalordelpagonicoalatasadel9%convertible semestralmente. Datos: J= 0.09 m= 2 semestral I= J/M= 0.09/2= 0.045 X= $ 8,000 (1 + 0.045)3 + 10,000 (1 + 0.045)-3 X= $ 17, 892.30 pago nico

78 25.Unapersonadebe$20,000pagaderosdentrode3aosy$40,000 pagaderosdentrode5aos.Hallarelvalordedospagosiguales,a2y4 aosquesustituyenlasdeudasconeltipodeintersdel6%con capitalizacin semestral. Datos: J= 0.06 m= 2 i= 0.06/2=0.03 X (1 + 0.03)2 + X (1 + 0.03)4= 60,000 X (1.0609 + 1.12550881)= 60,000 X (2.18640881)= 60,000 X= 60,000= 2.18640881 X= 27,442.26 25.-Unapersonavendeunterrenoyrecibedospagosde$60,000a2y4 aosdeplazo.Hallarelvalordecontado,sielrendimientoesdel3%con capitalizacin semestral. Datos: C= 60,000 S= C (1+j/m)nm m= 2 (semestral) S= 60,000 (1+0.04)4 n= 2 S= 70,191.51 j= 0.08 70,191.51 i= j/m= 0.08/2= 0.04+60,000 nm= (2) (2)= 4$130,191.51 nm=(4) (2) S= 130,191.51

79 S= $95,129.66 27.-Unapersonadebe$100,000ypretendeefectuartrespagosanuales iguales y sucesivos. Si el tipo de inters es del 7% capitalizable anual, hallar el valor de estos pagares. X (1+0.07)3+ X (1+0.07)2 + X (1+0.07)= $ 100,000 X (1.225043+1.1449+1.07)= $ 100,000 X (3.439943)= $ 100,000 X= 100,000 3.439943 X= $29,070.25 28.-Hallareltiempoequivalenteparaelpagodelassiguientesdeudas$ 10,000 a 4 aos$ 8,000 a 3 aos, y $ 6,000 a 2 aos. Tasa efectiva del 8%. (10,000+8,000+6,000)(1+0.08)-x =10,000(1+0.08)-4+8,000(1+0.08)-3+6,000 (1+0.08)-2 24,000(1+0.08)-x =10,000(0.735029852)+8,000(0.793832241)+6,000 (0.85733882) (1+0.08)-x = 7,350.29+6,350+5,144.03 2,400 (1+0.08)-x = 18,844.98 24000(1+0.08)-x = 0.7852075 -xIn (1+0.08)= In 0.7852075 In (1.08)= 0.76961041 In 0.7852075= -0.241807264

x =-0.241807264

80 0.076961041 x = 3.1419 aos x = 3 aos, 1 mes, 21 das Ejercicios: 1.Determinar el periodo de capitalizacin y la frecuencia de conversin de: a)Una inversin en certificados de la tesorera de la federacin con vencimiento cada 90 das. b)Una inversin en cuenta de ahorros que paga inters del 20% anual semestralmente. c)Una inversin en pagares liquidables cada 28 das. 2.Cual es la tasa de inters por periodo de capitalizacin de las siguientes inversiones: a)Capitalizable mensualmente (6%)

81 b)Capitalizable trimestralmente (18%) c)Capitalizable anualmente (22%) d)Capitalizable semestralmente (22%) 3.Seinvierten$20000enunacuentabancaria.Determneseelmonto acumuladoalcabode5aos,silatasapromediodeintersconvertible mensualmente es de: a) 15%b) 25% c) 38% d) 54% 4.-Cualeselmontodeunainversinde$100,000alcabodeunao,sise deposita en una cuenta bancaria que paga el 30% de inters convertible: a)Anualmente? b)Semestralmente? c)Trimestralmente ? d)Mensualmente ?

5.- Cual es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a: a) Una tasa de 11% anualb) Una tasa de 18% anual convertible semestralmente? c) Una tasa de 32% anual convertible trimestralmente? 6.-Determine la tasa efectiva de inters equivalente a: a) 20% capitalizable semestralmente. b) 20% capitalizable mensualmente. c) 30% capitalizable mensualmente.

82 d) 40% capitalizable mensualmente. e) 50% capitalizable trimestralmente. 7.- Determine la tasa nominal de inters,equivalente a una tasa efectiva de: a) i= 15% m=1 b) i= 15% m=2 c) i= 15% m=4 d) i= 15% m=12 e) i= 26% m=12 f) i= 12% m=4 g) i= 35% m=12 h) i= 9% m=4 8.- Determinar: a) La tasa nominal de inters j4 equivalente a j12=14% b) La tasa nominal de intersj4 equivalente a j12=18% c) La tasa nominal de intersj4 equivalente a j2=10% d) La tasa nominal de intersj6 equivalente a j4=8% e) La tasa nominal de intersj12 equivalente a j4=12% f) La tasa nominal de intersj12 equivalente a j4=15% g) La tasa nominal de intersj12 equivalente a j12=20% h) La tasa nominal de intersj12 equivalente a j4=24% 9.-Determinelatasaefectivadeintersequivalenteaunatasanominalde18% compuesta: a) Anualmenteb) Semestralmentec) Cuatrimestralmente

83 d) Trimestralmente e) Bimestralmentef) Mensualmenteg) Semanalmente Cualesladiferenciaentrelatasaefectivaconcapitalizacinanual,ylatasa efectiva semanal? La diferencia es de 1.68% 10.- Cual es la tasa de inters simple equivalente a una tasa de 14% convertible: a) Mensualmenteb) Trimestralmentec) Semestralmented) Anualmente Si se invierte un capital durante 3 aos? 11.- Encuentreel valor de $10,000 que se recibirn dentro de 5 aos, si la tasa de inters anual es: a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% f) 75% g) 100% Encuentre el valor de $10000 que se recibirn dentro de: a) 1 aob) 2 aos

84 c) 3 aosd) 5 aose) 10 aos, si la tasa de inters es de 30% anual 13.- Encuentre el valor actual de $ 10000.00 que se recibirn dentro de 3 aos, si la tasa de inters es 15% compuesta: a) Anualmenteb) Semestralmentec) Cuatrimestralmented) Trimestralmentee) Bimestralmentef) Mensualmente 14.- Determinar el valor actual de: a) $10,000.00 pagaderos en 6 meses a 18% convertible mensualmenteb) $50,000.00 pagaderos en 3 aos a 20% convertible trimestralmentec) $120,000.00 pagaderos en 18 meses a 22% convertible trimestralmented) $400,000.00 pagaderos en 2 aos a 40% convertible trimestralmente 15.- Cuanto dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $ 100000 dentro de 2 aos, si la tasa de intersvigente es de: a) 6% Convertible mensualmente?b) 10% Convertible Trimestralmente?c) 12% Convertible semestralmente?d) 14% Convertible anualmente?e) Que alternativa es la mas conveniente?

85 16.- Los precios de la canasta bsica de alimentacin se han incrementado a una tasa anual de 25% durante 3 aos si el precio actual es de $ 765.00 Cul es su valor hace 3 aos? 17.-Unpasposee5refinerasparaproveersedecombustible.Suproduccin actualesde1000000barrilesdiariosytrabajanal80%desucapacidad.Siel crecimiento promedio del consumo ha sido de 4% anual En que tiempo requerir dicho pas poner en operacin una nueva refinera? 18.-Se desea formar un fondo de $ 250000 al cabo de 2 aos Que cantidad debe depositarse hoy si el banco paga un inters de: a)10% Convertible mensualmente? b)20% convertible semestralmente? c)23% anual? 19.-Lossalariosmnimossehanincrementadoaunalistadel13%anual promediodurantelosltimos4aos.Sicontinuaradichatendencia,Enque tiempo se triplicara su valor nominal? 20.- El precio de las casas y terreno se ha duplicado en 3 aos Cul es la tasa de inters anual que ha ganando? 21.-Unapersonadeseaformarunfondodeahorrosparasuvejez.Deposita$ 10,000enunacuentaquepagael12%anualconvertiblemensualmenteCual ser el monto de que disponga al cabo de 25 aos? 22.- En una ciudad el crecimiento del nmero de automviles ha sido de 6% anual promediodurantelosltimos5aos.DecontinuarlatendenciaCulserel nmero de automviles que circularan dentro de 10 aos, si actualmente existen 2 millones de vehculos?

86 23.-Quecantidadsedebepagarhoyporunadeudaa36meses,silatasade intersesde17%anualcapitalizabletrimestralmente,yelmonteesde 44,850.00? 24.-Lasventasalmenudeosehanincrementadoaraznde3%anual.Siel nmero deunidadesvendidas fuede100,000enelao,Cuales sonlasventas estimadas para dentro de 5 aos si se mantiene el ritmo de crecimiento? 25.- Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversin: a)Depsitos a plazo fijo de 1 ao12.0% b)Depsitos a plazo fijo capitalizable mensualmente 11.5% c)Depsitos a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 11.6d) Depsitos a plazo fijo con intereses capitalizable semestralmente11.8% 26.-Cualserelmontodelos$50,000delejercicioanterior,sisedepositan durante 10 aos en: a)Una cuenta de valores al 22% capitalizable mensualmente? b)Una cuenta de valores al 27.5 % capitalizable mensualmente? c)Una cuenta de valores al 30 % capitalizable mensualmente? d)Una cuenta de valores al 35 % capitalizable mensualmente? e)Una cuenta de valores al 40 % capitalizable mensualmente? 27.-Unadeudade$400,000debeliquidarsecondospagosigualesa60y120 dascualeselimportededichospagossilatasadeintersanualesde26% con capitalizacin bimestral? 28.- En que tiempo puede ser liquidada con un pago nico una deuda de $ 27,500 pagaderos en un ao, y $ 38450 pagaderos en 2 aos, si la tasa de intereses es: a)10% anual? b)20% anual

87 c)30% anuald)50% anual 29.-Cualserelmontodeunacuentadeahorrosenlaquesedepositan $50,000durante10aos,silatasadeintersesde8%capitalizable semestralmente? a)Cual ser el monto en 15 aos? b)en 20 aos? 30.- Una persona deposita $ 5000 en una cuenta de ahorros que paga el 10% de intereses anual convertible semestralmente Cual ser el importe reunido despus de 28 meses?Calcular por el mtodo exacto y por el aproximado 31.-Cualeselmontodeunainversinde$100,000alcabodeunao,sise depositaenunacuentabancariaquepagael30%deintersconvertible mensualmente: a). por inters simple b) por inters compuesto UNIDAD V.ANUALIDAD Sedenominaanualidadaunconjuntodepagosigualesrealizadosaintervalos iguales de tiempo; no siempre se refiere a periodos anuales de pago.El concepto de anualidad corresponde a una serie de flujos de dinero (usualmente deigualvalor)queseproducenaintervalosregularesdetiempo(porejemplo, meses, aos, etc.) y durante un plazo completo determinado.Cuandolos flujosregularesseproducenal finaldelintervalocorrespondiente,se dicequesetratadeunproblemadeanualidadesordinarias(ovencidas)y cuandolosflujossegeneranalprincipiodelintervalo,sellamananualidades

88 anticipadas. Por otro lado, cuando se conoce con exactitud el momento de inicio y(o) finalizacin de los flujos monetarios, se trata de unaanualidad cierta. Si el inicio y (o) finalizacin de los flujos es incierto, porque depende de la ocurrencia de uneventoquenosepuedepredecirconexactitud(comolamuertedeuna persona), se trata de un problema de anualidad contingente.Algunos ejemplos de anualidades son: +Los pagos mensuales por renta. +El cobro quincenal o semanal de sueldos. +Los abonos mensuales a una cuenta de crdito. +Los pagos anuales de primas de plizas de seguro de vida. Se conoce como intervalo o periodo de pago, al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el iniciodelprimerperiododepagoyelperiodofinaldepago.Rentaeselnombre que se da al pago peridico que se hace. TIPOS DE ANUALIDADES. La variacin de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Se clasifican por: Criterios Tipos de anualidades A) Tiempo1. Ciertas 2. Contingentes B) Intereses3. Simples 4. Generales C) Pagos

89 5. Vencidas 6. Anticipadas D) Iniciacin7. Inmediatas 8. Diferidas A) De acuerdo a las fechas de iniciacin y de terminacin de las anualidades son:1)ANUALIDADESCIERTAS.Susfechassonfijasyseestipulande antemano. Ejemplo:alrealizarunacompraacrditosefijatantolafechaenquese debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ltimo pago. 2)ANUALIDADCONTINGENTE.Lafechadelprimerpago,lafechadel ltimo pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo:Unarentavitaliciaqueseobligaauncnyugetraslamuertedel otro.Eliniciodelarentasedaalmorirelcnyuge,quenosesabe exactamente cuando. B)Deacuerdoalosintereses,omejordicho,asuperiododecapitalizacin,las anualidades se clasifican en: 3)SIMPLES.Cuandoelperiododepagocoincideconeldecapitalizacin de los intereses. Ejemplo:elpagodeunarentamensualconinteresesal18%capitalizable mensualmente. 4)GENERALES.Sonaquellasqueelperiododepagonocoincideconel periodo de capitalizacin. Ejemplo:elpagodeunarentasemestralconinteresesal30%anual capitalizable trimestralmente.

90 C) De acuerdo con los pagos las anualidades son: 5) VENCIDAS. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. 6) ANTICIPADAS. Los pagos se efectan al principio de cada periodo.Simples.- porque el perodo de pago coincide con el de capitalizacinCiertas.- porque se conoce la fecha de los perodos. Inmediatas.-porque el perodo de pago se inicia al cerrarse la operacin. D) De acuerdo al momento en que se inician: 7)INMEDIATAS.Eselcasomscomn.Larealizacindeloscobroso pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalizacin del trato. Ejemplo:secompraunarticuloacrditohoy,quesevaapagarcon mensualidades,laprimeradelascualeshabrderealizarseenese momentoounmesdespusdeadquiridalamercanca(puedeseras, anticipada o vencida). 8)DIFERIDAS.Larealizacindeloscobrosopagossehacetiempo despus de la formalizacin del trato (se pospone). MONTO DE UNA ANUALIDAD Elvalorfinalomontoeslasumadetodoslospagosperidicosysu correspondienteinterscompuesto,acumuladoalfinaldeltrminodela operacin. FORMULA:

91 F= A (1+i)n -1 i VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA El valor presente es la suma de los valores detodos los pagos. FORMULA: P = A 1- (1+ i)-n i RENTA. Es el importe de los pagos peridicos que se necesitan para lograr extinguir una deuda en cierto tiempo. Se representa con A o R.CLCULO DE LA RENTA a)Cuando se conoce el valor futuro. i (1+ i)n-1 b)Cuando se conoce el valor presente. i 1- (1+ i)-n CLCULO DEL TIEMPO A = P A = F

92 a)Cuando se conoce el valor futuro. log ( iF + A ) log A Log (1+ i) b) Cuando se conoce el valor presente. Ejemplo: 1.- Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias. a)$2,000 semestrales durante 8 aos al 8%, capitalizable semestralmente. F= A (1+i)n -1 i Datos: A = $2,000F= $2,000 (1+0.04)17-1 /0.04J = 0.08 F= $2,000 (23.69751239) M = 2 F= $47,395.02I = 1/m = 0.08 = 0.04 2 n = 8.5 (2) = 17 P = A 1- (1+i)n i P= $2,000 1- (1+0.04)-17 0.04 P= $2,000 (12.16566885) P= $24,331.34n =

93 b)$4,000 mensuales durante 3 aos al 7.3%, capitalizable anualmente. Datos: A = $4,000 F= A (1+i)n-1 J = 0.073m i m = 1 (anual) F= $4,000 (1+0.073)6-1 I = j/m= 0.073/1= 0.073 0.073 n = 6 aos F= $4,000 (7.207587718) F= $28,830.35 P=A 1 (1+i)-n I P= $4,000 1 (1+0.073)6 0.073 P= $4,000 (4.722713549) P = $18,890.85 c)$200mensualesdurante3aos4meses,al8%concapitalizacin mensual. Datos: A= $200F= A (1+i)n-1 J= 0.08im = 12 meses i = 1/m = 0.08/12= 0.00666F = $200 (1+0.00666)40 -1n = 3 (12)= 36 meses + 4 = 40 0.00666 F= $200 (45.66754622) F= $9,133.51 P = A 1-(1+i)n

iP = $200 1-(1+0.00666)-40

94 0.00666 P = $200 (35.00906405) P= $7001.81 2.- Una persona deposita $5,000 cada final del ao en una cuenta de ahorros que abonael8%deinters.Hallarlasumaquetendrensucuentaalcabode10 aos, al efectuar el ltimo depsito. Datos: A = $5,000 F = A (1+i)n-1 n = 10 aosi i = 0.08 anual.F = $5,000 (1+0.008)10-1 0.008 F = $5,000 (14.48656247) F = $72,432.81 3.-Calcularelvalordecontadodeunapropiedadvendidaenlassiguientes condiciones:$20,000decontado,$1,000pormensualidadesvencidasdurante2 aos y 6 meses y un ltimo pago de $2,500 un mes despus de pagada la ultima mensualidad. Para el clculo, utilizar el 9% con capitalizacin. Datos: A = $1,000 m = 12 mensual n = 2 (12)= 24 meses + 6= 30 mesesj = 0.09 i = j/m= 0.09/12= 0.0075 Valor de contado = cuota inicial + P = A 1-(1+i)-n + ultimo pago i P = $2,500 1-(1+0.0075)-1/0.0075

95 P =$ 2,500 (0.99255583 P = $2,481.39 P = A 1- (1+i)-n i P = $1,000 1- (1+ 0.0075)-30 /0.0075 P = $1,000 (26.7750802021 P =$26,775.08 4.Calcularelvalordecontadodeunequipoindustrialcompradoas:$6,000de contadoy12pagostrimestralesde$2,000con12%deinters,capitalizable trimestralmente. DATOS: A = $2,000 m = 4 (trimestre) n = 12 trimestres J= 0.12 i= J/m= 0.12/ 4= 0.03 P= A1- (1+ i )-n iP= $2,0001-(1 + 0.03)-12 0.03 P = $2,000 (9.954003994) P = $19,908.00 Valor de contado = cuota inicial + valor presente de los trimestres. Valor de contado = $6,000 +19,908.00= $25,908.00. 5.Culeselvalordecontadodeunequipocompradoconelsiguienteplan: $14,000 de cuota inicial; $1,600 mensuales durante 2 aos 6 meses con un ultimo

96 pago de $2,500 un mes despus 31 meses, si se carga el 12% con capitalizacin mensual? DATOS: Cuota inicial = $14,000 A = $1,600 m = 12 (mensual) n = 2(12) = 24 + 6 = 30 meses J = 0.12 I = J/m P= A1 (1 + i )-n

i P= $1,600 1-(1 + 0.01)-30 0.01 P= $1,600 (25.80770822) P= $41,292.33 C =S (1 + i)n C = $2,500 (1 + 0.01)31 C= $1,836.44 Valor de contado = $14,000 + 41,292.33 + 1,836.44= $57,128.77 6. una mina en explotacin tiene una produccin anual de $8, 000,000 y se estima queseagotaraen10aos.Hallarelvalorpresentedelaproduccin,siel rendimiento del dinero es del 8%. DATOS: A = $8, 000,000 n = 10 aos

97 J =0.08 m = 1 (anual) i =J/m= 0.08 / 1=0.08 P= A1 (1 + i )-n

i P = $8, 000,000 1-(1 + 0.08)-10 0.08 P = $8, 000,000 (6.710081399) P = $53, 680,651.19 7. En el problema 16 se estima que al agotare la mina habr activos recuperables porvalorde$1,500,000.Encontrarelvalorpresente,incluidaslasutilidades,si estas representan el 25% de la produccin. DATOS: S = 1, 500,000 I = 0.08 n =10 aos (Valor presente de inters compuesto) C= S (1+i)-nP= F (1+i)-n

C= $1,500,000 (1 + 0.08)-10 C = $694,790.23 53, 680,651.19 * 25%= 13, 420,162.80 + 694,790.23= $14, 114,953.03 8. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad. a) $400,000 de contado b) $190,000 de contado y $50,000 semestrales durante 2 aos. c) $210,000 de contado y $20,000 trimestrales durante 3 aos. Qu oferta es ms conveniente, si el inters es del 12% nominal anual? RESPUESTA = La oferta a).

98 DATOS: A = 50,000 m = 2 (semestral) n = 2 (2) = 4 + 1=5 semestres J= 0.12 i= J/m= 0.12 / 2= 0.06 P= A 1 (1 + i )-n

i P= $50,000 1-(1 + 0.06)-5 0.06 P= $50,000 (4.212363786) P= $210,618.19 b) $190,000 + 210,618.19= $400,618.19 DATOS: A= $20,000 m= 4 (trimestral) n= 3(4)= 12 trimestres j= 0.12 i= j/m= 0.12 / 4= 0.03 P = A1 (1 + i )-n

i P = $20,0001-(1 + 0.03)-5 0.03 P = $20,000 (9.954003994) P = $199,080.08 c) $210,000 + 199,080.08= $409,080.08

99 9. En el momento de nacer su hija un seor depsito $ 1,500 en una cuenta que abonael8%;dichacantidadlaconsignacadacumpleaos.Alcumplir12aos, aument sus consignaciones a $3,000. Calcular la suma que tendr a disposicin de ella a los 18 aos. 0123456789101112131415161718 1500 1500 150015001500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 $3,000 F= A(1 + i )n 1 i F= $1,500 (1 + 0.08)19 -1 0.08 F = $1,500 (1 + 0.08)7 -1 0.08 $62,169.39 + $13,384.20= $75,553.59 10. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de inters, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta al cabo de 20 aos. DATOS: A: $100 m: 12 (mensual) n: 20 (12)= 240 meses J: 0.06 i: j/m= 0.06/12= 0.005 F= A (1+i)n- 1 i F= A (1+0.005)240-1 0.005 F = $100 (462.0408952) F = $ 46,204.09 = $13,384.20 = $62,169.39

100 11.Culeselvalorpresentedeunarentade$500mensuales,cifraquese recibirdurante15aos?Calcularconel6%capitalizablemensualmente.Hacer elclculoa)conlatablaII,b)mediantelaformuladesarrollandoenelproblema 20. DATOS: A: $500 M: 12 (mensual) N: 15 (12)= 180 meses J: 0.06 i: j/m= 0.06/12= 0.005 F= A (1+i)n- 1 i F= A (1+0.005)-180 -1 0.005 F = $500 (118.5035147) F = $ 59,251.75 Mediante tabla II (1.005)-180=(1.005)-50 (1.005)-50 (1.005)-50 (1.005)-30 (1.005)-180=(0.779286068)(0.779286068)(0.779286068)(0.86102973) =0.407482426 P = $500 1- 0.407482426 0.005P = $59,251.75 12.Cuntodebedepositarsealfinaldecadatrimestreenunfondode inversiones que abona el 10%, convertible trimestralmente, para acumular $50,000 al cabo de 5 aos? DATOS: F: $50,000 J: 10%= 0.10 m: 4 trimestral A = F i (1+i)n - 1F= $50,000.025

101 i: 0.10/4= 0.025 n: 5 aos (4)= 20 (1 + 0.025) - 1 A= $1,957.36 Mediante tabla VII 10% = 25% 1 i = 0.025 x 100 = 2.5% n = 20 i = 2 % A = 50,000 (0.03914713) A = 1,957.36 13.Unacompaadeberedimirunaemisindeobligacionespor$3,000,000 dentrode10aosyparaelloestablecereservasanualesquesedepositaran en un fondo que abona el 7%. Hallar el valor de la reserva anual. DATOS: F: $3,000,000 J: 0.07 m: 1 anual i: 0.07/1= 0.07 n: 10 aos A =Fi(1+i)n- 1F= $3,0000,00 0.07 (1 + 0.07) - 1 A = $217,132.51 Mediante tabla VII I = 0.07 x 100 = 7% n = 10 aos A = 3, 000,000 (0.07237750) A = 217,132.50

102 14. Qu suma debe depositarse anualmente en un fondo que abona el 6% para proveerlasustitucindelosequiposdeunacompaacuyocostoesde$8, 000,000 y el periodo de vida til de 6 aos, si el valor de salvamento se estima en un 15% del costo? DATOS: 8, 000,000 x 15% = 1, 200,000 F: $8, 000,000 1, 200,000 = 6, 800,000 n: 6 aos i: 0.06/1= 0.06 m: 1 (anual) A = Fi(1+i)n - 1A = $6, 800,0000.025 (1 + 0.06)6- 1 A = 6, 800,000 (0.143362628)A = $976,865.88 Mediante tabla VII 6%= 6% 1 i : 0.06 x 100 = 6% n: 6 aosA: 6, 800,000 (0.14336263) A: $ 974, 865.88 15. Enrique Prez compr una casa cuyo valor es de $180,000 al contado. Pag $ 50,000alcontadoyelsaldoen8pagosigualesportrimestrevencido.Sienla operacinselecargael10%deintersnominal,hallarelvalordelospagos trimestrales. DATOS: F: $180,000 50,000= 130,000 n: 8 j: 8% A = Fi(1+i)n - 1A = $130,0000.025

103 i:10%=0.10/4=0.025 m: 4 trimestres (1 + 0.025)8 - 1 A = 130,000 (0.139467345)A = $18,130.75 Mediante tabla VII i= 0.025 x 100= 2.5% i= 10/4= 2.5% n = 8 A = $130,000 (0.11446735 + 0.025) A = $18,130.75 16. Sustituir una serie de pagos de $10,000 al final de cada ao, por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con un inters del 8% convertible mensualmente. DATOS: F: $10,000 n: 12 i: 8% 8%=0.08/12=0.00666 m: 12 A= Fi(1+i)n - 1A = $10,0000.006666 (1 + 0.0066666)12- 1 A = 10,000 (0.080321762) A = $803.22 Mediante tabla VII n= 12 i= 0.006666666 x 100 = 0.666666666 = 2/3 A = $10,000 (0.08032176)

104 A = $803.22 17.-Sustituirunaseriedepagosde$10,000alprincipiodecadaao,por equivalenteenpagosmensualesvencidos,conunintersdel8%convertible mensualmente. Datos: P = 10,000 m = 12 J = 8% I = 0.08/12= 0.006666666 n =12 Mediante tabla VII+i 8/12 = 2/3 n = 12 i= 0.006666666 x 100 = 0.006666666 = 2/3 A= $ 10,000 ( 0.08032176 + 0.006666666) A= $ 10,000 ( 0.086988426) A= $869.88 i A =1-(1 i )-n 0.006666666 A = 10,000 1- ( 1 0.006)-1

A = 10,000 ( 0.086988429) A = $869.88 18.-Unamquinaquevale$18,000decontadoysevendeaplazos,conuna cuotainicialde$3,000yelsaldoen18cuotasmensuales,cargandoel16%de inters convertible mensualmente. Calcular el valor de las cuotas mensuales. Datos: P = 18,000 3,000 = 15,000 i A= p

105 m = 12 (mensual) J = 16% I = 0.16/12 = 0.013333333 n = 18 meses Mediante tabla VII+i i = 0.013333333 x 100 = 1.333333333% i = 1 1/3 % n = 18 meses 1%1/3% A = 15,000 (0.05098205 + 0.05399807 +0.013333333) A = 15,000 (0.118313453) 1 ( 1 + i )-n 0.013333333 A = 15,000 1 (1+0.013333333)-18 A = $942.85 19.- El valor futuro de una renta de $ 10,000 por un ao vencido es de $ 100,000. Si la tasa de inters es del 6%, calcular el tiempo indicando la solucin matemtica y la solucin prctica. Datos:100,000F = A (1+i)n-1 A = $ 10,000ii = 6% = 0.06 n = ? (1 + 0.06)n - 1 F=$ 100,000 = 10,000 0.06 100,000 (0.06) +1 = (1.06)n log. ( i F+A ) logA n =log( 1 + i ) log. [0.06 (100,000) + 10,000] n =log. (1+0.06)

Log. (16,000) Log. 10,000 n =n

106 10,000 1 + 0.6 = (1.06)n

1.6 = (1.06)n

n log.1.06= log 1.6 n Log. 1.06 0.20419982n = = Log. 1.060.025305865 n =8.066 aos 7 depsitos de $ 10,000 para calcular el ltimo pago; al final del ao 8. 100,000 = 10,000( 1.06)7 -1 (1.06) + x 0.06 100,000 = 818,974.67909 + x x = 100,000 88,974.67909 x = 11,025.32 Log. 1.06 4.204119983 4 0.20 n == 0.025305865 0.025 n = 8.066 aos 20.- El valor presente de una renta de $4,000 por trimestre vencido es de $60,000, silatasadeintersesdel8%convertibletrimestralmente,hallareltiempo indicando la solucin matemtica y la solucin prctica. Datos: n = ? A = $4,000 P = 60,000 m = 4 (trimestre) (1.02)17 -1 4,000 =$ 80,048.28384 0.02 60,000 ( 1.02)17= 84,014.48515 7

107 j = 0.08 = 8% i = 0.08/4 = 0.02 Por logaritmo

1 (1.02)-n 60,000 = 4,000 0.02 60,000 (0.02) = 1 (1.02)-n 4,000 0.3 1 = - (1.02)-n

- (1.02)-n = 0.7 n log. 1.02 = log. 1.428571429 log. 1.428571429n =Log. 1.02 n = 18.01149768 aos 17 depsitos de $ 4,000.00 84,014.48515 80,048.28384 =$ 3,966.201311 $ 3,966.201311 (1.02) = $ 4,045.525 (cantidad que debera pagarse al cabo del 18 trimestre) 1 (1.02)-17 60,000 = 4,000+ x (1.02)-18 0.02 60,000 = 4,000 (14.29187188) + x (0.700159375) 60,000 = 57,167.48752 + 0.700159375 x 60,000 57,167.48752 x = 0.700159375 x = 4,045.525321 x = $ 4,045.53 21.- una persona sustituye un seguro total de $ 300,000 por una renta anual, con lacondicindequeselepaguealoasusherederosdurante20aossila compaa de seguros opera con el 7 % de inters, hallar el valor de la renta anual. Datos: F = 300,000 i = 0.07/1 = 0.07 m = 1 j = 0.07 = 7% n = 20 aos i A = ( 1 i )-n-1 0.07 A = 300,000 -1

108 Mediante tabla VII + i I = 0.07 = 7 % N = 20 aos A = 300,0000 (0.02439293) A = $ 7,317.88 (1 + 0.07)-20

A = 300,000 (0.024392925) A = $ 7,317.88 22.- El valor futuro de una renta de $4,000 por trimestre vencido es de $60,000. si latasadeintersesdel8%convertibletrimestralmente,calculareltiempo indicando la solucin matemtica y la solucin prctica. Datos: n = ? P = $4,000 A = $60,000 m = 4 (trimestral) j = 0.08 = 8 % i = 0.08/4 = 0.02 Por logaritmos (Log) (1+0.02)n -1 60,000 = 4,000 0.02 60,000 (0.02) + 1 = (1.02)n 4,000 1 + 0.3 = (1.02)n 1.3 = (1.02)n Log. 1.02 = log. 1.3 Log. 1.3 0.113943352 n == Log. 1.02 0.008600171 = 13.24896357 n = 13.25 aos Para calcular el ltimo pago al final del trimestre 13 (1.02)13-1 60,000 = 4,000(1.02) + x 0.02 60,000 0 54,721.32609 + x x = 60,000 54,721.32609 x = 5,278.67 Por log F i ( 1 + i )n+ 1 A (60,000) (0.02) (1.02)n=+ 1 4,000 (1.02) n = 1.3 n Log (1.02) = Log (1.3) ln (1.3) 0.262364264 n = = ln (1.02) 0.019802627

109 2 depsitos de $ 4,000 Log. (i F + A) Log. A

Log. (1 + i) Log. 0.02 (60,000) + 4,000 log 4,000 Log (1 + 0.02) Log. 5,200 Log. 4,0003.716003344 3.602059991 Log.1.020.008600171 0.113943352 = 13.2489636 0.008600171 n = 13.25 aos n = 13.24896257 n = 13.25 aos 23.-Porunadeudade$20,000coninteresesdel10%capitalizable semestralmenteseconvienecancelarlaconpagossemestralesde$4,000. Encontrar el nmero de pagos y el valor del pago final. Datos: p = 25,000 A = 4,000 m = 2 (semestral) j = 10% = 0.10 i = 0.10/2 = 0.05 Por Log. 1 (1.05)5 20,000 4,0000.05 20,000 (0.05) = 1 (0.05)5 4,000 (1.05)5-1 4,000 = 22,102.525 0.05 20,000 (1.05)5= 25,525.63125 25,525.63125 22,102.525 3,423.10625 ( 1.05) = $ 3,594.26 Ultimo pago 1- (1.05)5

20,000 = 4,000+ x (1.05)-6 0.05 =

110 0.25 1 = - (1.05)5 - (1.05)5 = 0.25 1 - (1.05)5 = 0.75 1 = 0.75 (1.05)5 1 (1.05)5= 1.33333333 0.75 n log. 1.05 log 1.33333333 Log.1.33333333 0.124938736 n == Log. 1.050.021189299 n = 5.896312832 n = 5.90 5 pagos de 4,000 20,000 (0.05) Log. [ 1 - 4,000] n = Log. (1.05) n = 5.89 20,000 = 4,000 (4.329476671) + x (0.746213) 20,000 17,317.90668 + 0.746215396 x 20,000 17,317.90668 x == 0.746215396 2,682.093318 x == $ 3,594.26 0.746215396 P i Log. (1 - A ) N = - Log. ( 1 + i ) 24.Unapersonacompramaquinariaporvalorde$60,000yacuerdapagar $15,000, como cuota inicial y el saldo en contado de $12,000 trimestrales, con el 12%convertibletrimestralmente.Hallarelnmerodepagosyelvalordelpago final. 60,000 15,000= 45,000 12,000 4(trimestral) 12% = 0.12 0.12/4= 0.03 por Log 45,000 = 12,000 1 (1.03)-n 1-(1.03) -n 0.03 45,000 (0.03)= 12,000 1-(1+i) n P = A 45,000 = 12,0001- (1.03)-3+ X (1.03)-4 0.03 45,000= 33,943.33626 + X (0.886487047) X= X = 45,000 33,943.33626 0.888487047

111 425 1 = - (1.03)-n (1.03) n = 0.8875

= (1.03)n=

= 4.037604859 trimestres Depsitos de $12,000 25. Qu inters deben producir unas imposiciones de $300 mensuales, para que se conviertan en $4,500 en un ao? DATOS: S = 4,500 A = 300 m = 12 (mensual) n = 1 12 periodos ( F / A, %, n) = 15 SebuscaenlatablaVenlalneacorrespondientean=12queseaproximea 150 Estos valores son: 1 (1.03) n 0.8875 1 0.8875 = 1.126760563 Log 1.126760563 Log 1.03 0.051831638 0.012837224 = 11,056.66374 0.888487047 = = ( F / A, %, n ) = F A ( F / A, %, n ) = $4500 300

112 Para = 3 % = 0.035; (F/A, 31/2 %, 12) = 14.60196164 Para = 4 % = 0.040; (F/A, 4%, 12) = 15.02580546 Para el valor ( F/A, %, 12) = 15, se calcula mediante interpolacin . a 0.04015.02580546a15.0 a0.03514.60196164a0.03514.60196164 0.0050.42384382 -0.0350.39803836

- 0.035 = - 0.035 = 0.004695578 875596400.0 + 530.0 = % 001 x (lausnem) 875596930.0 = lausnem % 79.3 % 969.3 = J = 47.64% (anual) (3.97 x 12 meses) 25.Untelevisorcuyovalordecontadoesde$480,000.Puedeadquirirseconun pagoinicialde$80,000y12pagoscontadosmensualesde$40,000cadauno. Hallar la tasa convertible mensualmente que se carga. DATOS: P = 480,000 80,000 = 400,000( P / A, %, n ) = A = 40,000 n = 12 ( P / A, %, 12 ) == 10 m = 12 0.005 0.42384382 - 0.035 0.39803836 (0.005) (0.39803836) 0.42384382 = P A $ 400,000 40,000

113 En la tabla VI, se halla que para n = 12 (p / A, 2 %, 12) = 10.25776460 y (P / A, 3%, 12) = 9.95400399, o sea que est comprendida entre 2 % y 3 %, y la tasa nominal, se encuentra entre (2 % x 12) = 30 %, y (3 % x 12) = 36. Para afinar el resultado, se procede mediante interpolacin. a 0.02510.25776460a 10.00 a0.0309.95400399a0.0309.95400399 -0.0050.30376061 -0.0300.04599601 = - 0.030 == - 0.000757109 030.0 = 0.000757109 = 198242920.0 = Tasa anual, convertible mensualmente = (0.029242891) (12) (100) = 35.0914692 = 35.09% 26. Qu tasa nominal convertible trimestralmente debe establecerse para que 24 depsitos de $500 trimestrales den un valor futuro de $16,000, al efectuar el ltimo pago? DATOS: F = 16,000( F / A, %, n ) = A = 500 m = 4 (TRIMESTRAL) n = 24 - 0.005 0.30376061 - 0.030 0.04599601 -0.005 (0.04599601) 0.30376061 F A

114 ( F / A, % 24 ) = = 3 Sebuscar enla tablaVenlalneacorrespondientea n=24queseaproxime a 32. Estos valores son: (F / A, %, n Para = 2% = 0.02; (F / A, 2%, 24) = 30.42186247 Para = 2 % = 0.025; (F / A, 21/2, 24) = 32.34903798 2 y %2 ertne adidnerpmoc tse 1/2y la tasa nominal se encuentra entre ( 2% x 4) = 8% y entre ( 21/2 % x 4)= 10% Para el valor ( F / A, % 24) = 32, se calcula mediante interpolacin. a0.02532.34903798a32.00 a0.02030.42186247a0.02030.42186247 0.0051.92717551- 0.0201.57813753 = - 0.020 = 0.004094431Tasa = (0.024094431) (4) (100) 134490400.0 + 020.0 = Tasa = 9.6377724 % (lartsemirT) 134490420.0 = Tasa = 9.64 % Antes $ 10,103.59;despus $ 8, 847.38 16,000 500 0.005 92717551 - 0.020 1.57813753

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EJERCICIOS 1.Unaempresacontrataunadeudade$100,000,000conunbanco.Siste carga a ste tipo de prstamos 40% anual convertible mensualmente, cunto tendra que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses? 2. El seor Luna adquiri una casa en condominio y acord pagar, aparte de cierta cantidad mensual,anualidades por$800000.Si acabaderealizareltratohoy mismo,demaneraquedebeliquidarlaprimeraanualidadexactamentedentro deunao,ysidecidehacerdepsitostrimestralesenunfondodeinversin que paga 6% trimestral, de cunto tendran que ser sus depsitos para poder acumular a fin de ao la cantidad que necesita?

116 3.Una persona contrat una deuda que le obliga a pagar $5 000 000 el primero de enero de cada uno de varios aos. Como ahora se da cuenta de que le sera msfcilpagarhaciendoabonostrimestralesvencidos,decuntotendran que ser los pagos en el nuevo plan, si se considera el inters al 30% convertible trimestralmente? 4.Hoy es 15 de marzo. Dentrode tresaos, el 15 de noviembre, el primognito delseorMendozacumplirlamayoradeedadydesearegalarleuna motocicletaquecalculacostarenesetiempo(dentrodetresaos)unos $18,000,000.Paraadquirirladecideahorrarunacantidadmensualenun instrumentobancarioquerinde2%mensual.Silatasaderendimientono cambiaraenesetiempo,cuntotendraqueahorrarelpadrecadamespara poder adquirir la motocicleta? 5.Parasaldarunprstamode$2500000contratadohoy,eldeudoracuerda hacer cinco pagos semestrales iguales y vencidos y, finalmente, un pago nico de $5, 000,000 dos aos despus de realizado el ltimo pago semestral, cual deber ser el importe de c