Dusan Kovacevic

222
STABILNOST STABILNOST I I DINAMIKA DINAMIKA KONSTRUKCIJA KONSTRUKCIJA Doc. Doc. dr dr D D u u š š an an Kova Kova evi evi

Transcript of Dusan Kovacevic

Page 1: Dusan Kovacevic

STABILNOSTSTABILNOSTII

DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

Doc.Doc. drdr DDuuššanan KovaKovaččevievićć

Page 2: Dusan Kovacevic

STABILNOSTSTABILNOSTKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

Page 3: Dusan Kovacevic

LLinearnainearna analizaanalizakonstrukcijakonstrukcija

�� statistatiččka linearnostka linearnost�� geometrijska linearnostgeometrijska linearnost�� materijalna linearnostmaterijalna linearnost

Page 4: Dusan Kovacevic

P

L - EP

N - E

P

L - NP

N - N

Page 5: Dusan Kovacevic

NelNelinearnainearna analizaanalizakonstrukcijakonstrukcija

�� statistatiččka nelinearnost (velikaka nelinearnost (velikapomeranja)pomeranja)

�� geometrijska nelinearnostgeometrijska nelinearnost(velike deformacije)(velike deformacije)

�� materijalna nelinearnostmaterijalna nelinearnost(nelinearna "(nelinearna "σσ--εε"" veza)veza)

Page 6: Dusan Kovacevic
Page 7: Dusan Kovacevic

IIIIII

dilatacijadilatacija

napo

nna

pon

σσuu

σσoo

εεuuεεoo

σσ cc

εεcc

IIII

II

Page 8: Dusan Kovacevic

dilatacijadilatacija

napo

nna

ponσσ

cc

εεcc

HognestadHognestadDesai, KrishnanDesai, KrishnanEvrokodEvrokod 22

Page 9: Dusan Kovacevic

dilatacijadilatacija

napo

nna

pon

σσtutu

σσ toto

εεtutuεεtoto

σσ tt

εεtt

IIII

IIIIIIII

Page 10: Dusan Kovacevic

dilatacijadilatacija

napo

nna

ponσσ

tt

εε tt

εε tutuεεmmεε toto

σσ toto

33σσtoto

EEtoto

EEtmtm

EEtutu

II IIII IIIIII IVIV

Page 11: Dusan Kovacevic

napo

nna

ponσσ

ss

dilatacijadilatacija εεss

PPEE

Y'Y'YY

UU FF

Page 12: Dusan Kovacevic

dilatacijadilatacija

napo

nna

pon

σσuuσσyy

σσss

εεss

εεyy

EEsoso

a)a)

dilatacijadilatacija εεss

b)b)

εεuu

napo

nna

pon

σσhhσσyy

σσss

εεyy

EEsoso

εεuu

εεhh

σσuu

dilatacijadilatacija εεss

c)c)na

pon

napo

n

σσhhσσyy

σσss

εεyy

EEsoso

εεuuεεhh

σσuu

Page 13: Dusan Kovacevic

NelinearniNelinearni fenomenifenomeni

�� kontinualnakontinualna ""glatkaglatka""nelinearnostnelinearnost

�� diskontinualnadiskontinualna ""hrapavahrapava""nelinearnostnelinearnost

Page 14: Dusan Kovacevic

HH

LL

PPxx

v(xv(x))

M(xM(x)=M)=M00(x)+H(x)+H⋅⋅v(x)v(x)

Page 15: Dusan Kovacevic

PP

∆∆LLLL

xx

M(xM(x)=P)=P⋅⋅(L(L--xx--∆∆L)L)

Page 16: Dusan Kovacevic

PP

LL LL

αα

tgtg sinsin PP2AE2AE

αα αα−− ==

Page 17: Dusan Kovacevic

P

P1 P2

Page 18: Dusan Kovacevic

σσTT

σσ

εεTT εε

EE

EETT

εεσσ σσ σσ

σσ εε εε εε== ++−−

== ⋅⋅ ++ ⋅⋅ −−TT TT

TTTT TT TTEE EE

EE EE (( ))

Page 19: Dusan Kovacevic

PP

∆∆

LL

PP∆∆ ff

vrlovrlo malomalo f/Lf/L

Page 20: Dusan Kovacevic

PP

∆∆

LL

PP∆∆ ff

malomalo f/Lf/L

Page 21: Dusan Kovacevic

PP

∆∆

LL

PP∆∆ ff

velikoveliko f/Lf/L

Page 22: Dusan Kovacevic

PP

∆∆

LL

ββ⋅⋅PP

∆∆PP

PPcrcr

vrlovrlo malomalo ββ

Page 23: Dusan Kovacevic

PP

∆∆

LL

ββ⋅⋅PP

∆∆PP

PPcrcr

malomalo ββ

Page 24: Dusan Kovacevic

PP

∆∆

LL

ββ⋅⋅PP

∆∆PP

PPcrcr

velikoveliko ββ

Page 25: Dusan Kovacevic

LL

≠≠∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ

v=L

v=L⋅∆ϕ∆ϕ

u=0u=0

Page 26: Dusan Kovacevic

LL

≈≈∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ vv≈

LL ⋅si

n∆ϕ∆ϕ

uu≈≈LL⋅⋅(1(1--coscos∆ϕ∆ϕ))

Page 27: Dusan Kovacevic

P P

PP

P P

P P

Page 28: Dusan Kovacevic

∆ϕ∆ϕ jjNN

∆∆uu jjNN

∆∆vv jjNN

vv jjCC

uu jjCC

ϕϕ jjCC

∆ϕ∆ϕ iiNN

∆∆uuiiNN

ϕϕ iiCC ∆∆vvii

NN

vv iiCC uuii

CC

"S""S"

"C""C"

"N""N"

Page 29: Dusan Kovacevic

GeometrijskiGeometrijski nelinearninelinearni modelimodeli�� opopšštata geometrijskigeometrijski nelinearnanelinearna teorijateorija

�� geometrijskigeometrijski nelinearnanelinearna teorijateorija ((teorijateorija IIIIredareda))

�� linearizovanalinearizovana teorijateorija IIII redareda�� PP--∆∆ postupakpostupak

Page 30: Dusan Kovacevic

RavnoteRavnotežža sa aspektaa sa aspektastabilnostistabilnosti

�� stabilna ravnotestabilna ravnotežžaa�� neutralna (indiferentna)neutralna (indiferentna)

ravnoteravnotežžaa�� nestabilna ravnotenestabilna ravnotežžaa

Page 31: Dusan Kovacevic
Page 32: Dusan Kovacevic

Bifurkaciona teorijaBifurkaciona teorija

P1

L

P2

P3

Page 33: Dusan Kovacevic

P

P1

P2

P3

Page 34: Dusan Kovacevic

1515°° EE⋅I = 10I = 1044kNmkNm22 EE⋅A = 10A = 1044kNkN

PP

SilaSila P [P [kNkN]] 20.0020.00 60.0060.00koeficijentkoeficijent ukljeuklješštenjatenja [%][%] 100100 00 100100 00 100100 00

linearnalinearna teorijateorija 10.5310.53 14.9314.93 31.5931.59 44.7844.78

linearizovanalinearizovana teorijateorija IIII redareda 10.8810.88 15.7815.78 34.9634.96 53.4153.41inkrementalnoinkrementalno -- iterativniiterativni

postupakpostupak -- MIKMIK 10.9810.98 16.3316.33 36.4536.45 67.6167.61inkrementalnoinkrementalno -- iterativniiterativni

MNRMNR postupakpostupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6167.61inkrementalnoinkrementalno -- iterativniiterativni

NRNR postupakpostupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6567.65

tataččnono rereššenjeenje 10.9910.99 16.3516.35 36.5536.55 68.6068.60

L = 10.0 mL = 10.0 m

PPcrcr [[kNkN]]

// //

346.8346.8587.2587.2

149.3149.3 69.1269.12

149.2149.2 69.1069.10

149.2149.2 69.1069.10

149.1149.1 69.0969.09

Page 35: Dusan Kovacevic

1

2 3 4

5

6 78 9 10 11

12

13

14 15 1617

18

19

20

21

*PKR= 9701kN

**PKR= 3971kN

Page 36: Dusan Kovacevic

1

2 3 4

5

6 78 9 10 11

12

13

14 15 1617

18

19

20

21

*PKR= 9272kN

**PKR= 2724kN

Page 37: Dusan Kovacevic

ANALIZAANALIZAŠŠTAPOVATAPOVA

Page 38: Dusan Kovacevic

Metode za analizuMetode za analizustabilnostistabilnosti šštapova i proratapova i proraččun poun po

teoriji II redateoriji II reda

�� direktno redirektno reššavanje diferencijalne jednaavanje diferencijalne jednaččineine-- popoččetni parametrietni parametri šštapatapa

�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata�� metoda konametoda konaččnih razlikanih razlika�� "energetske" metode"energetske" metode�� iterativne metodeiterativne metode

Page 39: Dusan Kovacevic

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina savijanjaina savijanjašštapa sa normalnom silomtapa sa normalnom silom -- popoččetnietni

parametriparametri

SS

MM00

VV00 SS

MMll

VVll

φφ00

vvllvv00 φφll

ξξ ddξξ

ppyy(x)(x)

EIEISSkk ==

EIEI))xx((pp

vvkkvv yyIIII22IVIV ==±± "+""+" -- pritisakpritisak""--"" -- zatezanjezatezanjeωω==kk··ll

Page 40: Dusan Kovacevic

PP00000000 vvSSkk

kxkxsinsinkxkxVVSS

kxkxcoscos11MMkkkxkxsinsinvv))xx((vv ++

⋅⋅−−

⋅⋅−−−−

⋅⋅++⋅⋅φφ++==

PP000000 SSkxkxcoscos11VV

SSkxkxsinsinkkMMkxkxcoscos))xx((''vv))xx(( φφ++−−

⋅⋅−−−−

⋅⋅−−⋅⋅φφ====φφ

PP000000 MMkkkxkxsinsinVVkxkxcoscosMMkxkxsinsinkkEIEI))xx((""vvEIEI))xx((MM ++⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==⋅⋅−−==

PP00 VVVV))xx((''vvSS))xx((''''''vvEIEI))xx((VV ++==⋅⋅−−==⋅⋅−−==

OpOpššta reta reššenja diferencijalne jednaenja diferencijalne jednaččinainasavijanjasavijanja šštapatapa

sa normalnom silomsa normalnom silom

Page 41: Dusan Kovacevic

Partikularna rePartikularna reššenja diferencijalneenja diferencijalnejednajednaččina savijanjaina savijanja šštapatapa

sa normalnom silomsa normalnom silom

∫∫ ξξ⋅⋅

ξξ−−−−ξξ−−⋅⋅⋅⋅ξξ==

xx

00PP dd

SSkk))xx((kksinsin))xx((kk))((ppvv

∫∫ ξξξξ−−−−⋅⋅ξξ==φφ

xx

00PP dd

SS))xx((kkcoscos11))((pp

∫∫ ξξ⋅⋅ξξ−−==xx

00PP dd))((ppVV

∫∫ ξξξξ−−⋅⋅ξξ−−==

xx

00PP dd

kk))xx((kksinsin))((ppMM

Page 42: Dusan Kovacevic

Konturni usloviKonturni uslovi

MM00=0=0

vv00=0=0

VV00≠≠00φφ

00≠≠00vvll=0=0

MMll=0=0VVll≠≠00φφll≠≠00

MM00≠≠00

vv00=0=0

VV00≠≠00φφ

00=0=0vvll≠≠00

MMll=0=0VVll=0=0φφ

ll≠≠00

Page 43: Dusan Kovacevic

Tok proraTok proraččunauna

�� unounoššenje poznatih pomeranja i/ili sila izenje poznatih pomeranja i/ili sila izkonturnih uslova u rekonturnih uslova u reššenja diferencijalneenja diferencijalne

jednajednaččineine�� određivanje nepoznatih pomeranja iodređivanje nepoznatih pomeranja i/ili sila/ili sila(tj. po(tj. poččetnih parametara) iz datih jednaetnih parametara) iz datih jednaččinaina�� određivanje ostalih pomeranja iodređivanje ostalih pomeranja i/ili sila (tj./ili sila (tj.

popoččetnih parametara)etnih parametara)

Page 44: Dusan Kovacevic

Metoda konaMetoda konaččnih elemenata (MKE)nih elemenata (MKE)

y

x

q(y)

F1F2F3F4F5F6

Page 45: Dusan Kovacevic
Page 46: Dusan Kovacevic

[[ ]] {{ }} {{}}ffuukk tt ==⋅⋅

[[ ]] [[ ]] [[ ]]++== NLNLLLtt kkkkkk

VV

[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ttTT dVdVBBEEBB[[ ]]LLkk

[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅σσ⋅⋅==VV

TT dVdVGGGG[[ ]]NLNLkk

Page 47: Dusan Kovacevic

yy

vvii,T,Tii

φφii ,M,Mii

uuii,N,Nii

vvjj,T,Tjj

φφjj,M,Mjj

uujj,N,Njj

LL

xx

XX

YY

00

αα

Page 48: Dusan Kovacevic

[[ ]]

**

**--**

****

****--**--**

**--**--****

**--**--****

==

LLIIEE44..simsimet.et.

LLIIEE66

LLIIEE1212

LLSSEE00

LLAAEE

LLIIEE22

LLIIEE66

LLSSEE

LLIIEE44

LLIIEE66

LLIIEE1212

00LL

IIEE66LL

IIEE1212LL

SSEE00LL

AAEELL

SSEE00LL

AAEE

kk

2233

22

22332233

LL

AA∑∑∫∫==

⋅⋅==⋅⋅==∗∗nn

11iiiitititt AAEEdAdAEEAAEE ∑∑∫∫

==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗

nn

11iiiititiii

AAtt AAEEyydAdAEEyySSEE

∑∑∫∫==

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nn

11iiiititi

22ii

AAtt

22 AAEEyydAdAEEyyIIEE

Page 49: Dusan Kovacevic

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅++⋅⋅==⋅⋅==∗∗nsns

11jjjjtjtj

ncnc

11iiiititi

AAtt AAEEAAEEdAdAEEAAEE

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns

11jjjjtjtjjj

ncnc

11iiiititiii

AAtt AAEEyyAAEEyydAdAEEyySSEE

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns

11jjjjtjtj

22jj

ncnc

11iiiititi

22ii

AAtt

22 AAEEyyAAEEyydAdAEEyyIIEE

Page 50: Dusan Kovacevic

∑∑ ∑∑== ==

⋅⋅

⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==

33

11gggg

nn

11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq ∑∑ ∑∑

== ==⋅⋅

⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==

33

11gggg

nn

11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==nsns

11jjjjsjsj

ncnc

11iiiicici

AAAAAAdAdANN ∑∑∑∑∫∫

====⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==

nsns

11jjjjsjsj

ncnc

11iiiicici

AAAAAAdAdANN

∑∑∑∑∫∫====

⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==nsns

11jjjjjjsjsj

ncnc

11iiiiiicici

AAAAyyAAyydAdAyyMM ∑∑∑∑∫∫

====⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==

nsns

11jjjjjjsjsj

ncnc

11iiiiiicici

AAAAyyAAyydAdAyyMM

Page 51: Dusan Kovacevic

[[ ]]

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅

⋅⋅−−

⋅⋅

⋅⋅==

1515LL22..simetsimet

101011

LL5566

0000003030LL

10101100

1515LL22

101011

LL556600

101011

LL5566

000000000000

PPkkNLNL

Page 52: Dusan Kovacevic

ААPROKSIMACIJA 2PROKSIMACIJA 2numerinumeriččkoko modeliranjemodeliranje

konturnihkonturnih ii prelaznihprelaznih uslovauslova,,dejstavadejstava,,

ponaponaššanjaanja konstrukcijekonstrukcije iimaterijalamaterijala

FormiranjeFormiranje matricematricekrutostikrutosti sistemasistema KEKE

ii vektorvektor optereoptereććenjaenja ---- formiranjeformiranje sistemasistema LAJLAJ

IzborIzbor metodemetode zaza rereššavanjeavanjesistemasistema LAJ:LAJ:

proraproraččunun pomeranjapomeranjaččvorovavorova sistemasistema KEKE

DISKRETIZACIJADISKRETIZACIJAgeometrijskogeometrijsko modeliranjemodeliranje

izboromizborom oblikaoblika KEKE((formiranjeformiranje mremrežžee KE)KE)

ААPROKSIMACIJA 1PROKSIMACIJA 1numerinumeriččkoko modeliranjemodeliranje

izboromizborom tipatipa KEKE --matricamatrica krutostIkrutostI

((formiranjeformiranje sistemasistema KE)KE)

ProraProraččunun uticajauticaja uuččvorovimavorovima sistemasistema KEKE

AlgoritamAlgoritamprimeneprimene

MKEMKE

Page 53: Dusan Kovacevic

PrednostiPrednosti primeneprimene MKEMKE

�� dovoljna tadovoljna taččnostnost�� efikasnefikasnoo numerinumeriččko modeliranjeko modeliranje�� jednostavnajednostavna implementacijaimplementacija uu

CAACAA softverusoftveru

Page 54: Dusan Kovacevic

GreGrešškeke u primeniu primeni MKEMKE

�� gregrešške diskretizacijeke diskretizacije�� gregrešške aproksimacijeke aproksimacije�� gregrešške implementacijeke implementacije

uu CAACAA softverusoftveru

Page 55: Dusan Kovacevic

Metoda konaMetoda konaččnih razlikanih razlika(diferencni postupak)(diferencni postupak)

EIEISSkk

EIEI))xx((pp

vvkkvv yyIIII22IVIV ====±± "+""+" -- pritisakpritisak""--"" -- zatezanjezatezanje

∆∆xx ∆∆xx

vv ii vv jj vv kk

PP ii PP jj PP kk

∆∆xx

vv hh

PP hh

∆∆xx

vv ll

PP ll

xx22vvvvvv iikkII

∆∆−−≈≈

22iijjkkIIII

xxvvvv22vv

vv∆∆

++−−≈≈

33hhiikkllIIIIII

xx22vvvv22vv22vvvv

∆∆−−++−−

≈≈44

hhiijjkkllIVIV

xxvvvv44vv66vv44vv

vv∆∆

++++++−−≈≈

Page 56: Dusan Kovacevic

Postupci zasnovani na principu oPostupci zasnovani na principu ominimumu energijeminimumu energije -- "energetske""energetske"

metodemetode

�� priblipribližžne metodene metode�� stepen tastepen taččnosti zavisi od pretpostavljenognosti zavisi od pretpostavljenog

izvijenogizvijenogoblika sistemaoblika sistema

�� rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet kritii intenzitet kritiččnognogoptereoptereććenje od taenje od taččnognog

Page 57: Dusan Kovacevic

Iterativni postupciIterativni postupci

�� metoda kolokacije, metoda postupnogmetoda kolokacije, metoda postupnogpriblipribližžavanja, Reyleighavanja, Reyleigh--Ritzova metoda...Ritzova metoda...

�� priblipribližžne metodene metode�� stepen tastepen taččnosti zavisi od broja iterativnihnosti zavisi od broja iterativnih

ciklusa i/ili od pociklusa i/ili od poččetne pretpostavke izvijenogetne pretpostavke izvijenogoblikaoblika

�� rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet kritii intenzitet kritiččnognogoptereoptereććenje od taenje od taččnognog

Page 58: Dusan Kovacevic

Eulerovi (1774) sluEulerovi (1774) sluččajevi izvijanjaajevi izvijanja

�� prosta greda, konzola,prosta greda, konzola, šštap tipa "g",tap tipa "g", šštaptaptipa "k"tipa "k"

�� prava osa, konstantan popreprava osa, konstantan popreččni presekni presek�� homogeni, izotropni i elastihomogeni, izotropni i elastiččni materijalni materijal

�� aksijalno optereaksijalno optereććenjeenje�� dudužžina izvijanjaina izvijanja šštapa "ltapa "lii""

�� vitkostvitkost šštapa "tapa "λλii""

Page 59: Dusan Kovacevic

ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0 ββii=0.7=0.7 ββii=0.5=0.5 ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0

AAIIii

iillllll

ll22IIEEnnPP minmin

minminminmin

iiiiii

ii

2222

kritkrit ====λλ⋅⋅ββ==⋅⋅⋅⋅ππ⋅⋅==

Page 60: Dusan Kovacevic

vitkostvitkost λλ

napo

nna

ponσσ k

ritkrit

EulerovaEulerovahiperbolahiperbola((elastielastiččno)no)TetmayerovaTetmayerova

pravaprava((plastiplastiččno)no)

EulerovaEulerovahiperbolahiperbola((plastiplastiččno)no)

σσEE

σσTT

λλEE

Izvijanje u plastiIzvijanje u plastiččnoj oblasti (Euler, Tetmayer,noj oblasti (Euler, Tetmayer,Bauschinger, Engesser, CarmBauschinger, Engesser, Carmáán, Shanley)n, Shanley)

E⋅λ2π2

=σk

Page 61: Dusan Kovacevic

ANALIZAANALIZASISTEMASISTEMAŠŠTAPOVATAPOVA

Page 62: Dusan Kovacevic

Metode za analizuMetode za analizustabilnosti i prorastabilnosti i proraččun sistemaun sistema

šštapovatapova po teoriji II redapo teoriji II reda

�� priblipribližžna metoda deformacijana metoda deformacija�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata

�� metoda silametoda sila

Page 63: Dusan Kovacevic

PribliPribližžna metoda deformacijana metoda deformacija

�� nepoznate su rotacije krutih uglova inepoznate su rotacije krutih uglova iparametri pomeranja sistemaparametri pomeranja sistema

�� aksijalna i smiaksijalna i smiččuućća krutost gredaa krutost gredaEAEA→∞→∞ ,, GAGAss→∞→∞

�� spoljaspoljaššnja opterenja optereććenja deluju uenja deluju u ččvorovimavorovimasistemasistema

�� matrica krutosti zavisi i od fleksione krutostimatrica krutosti zavisi i od fleksione krutostii od velii od veliččine normalne sileine normalne sile šštapatapa

Page 64: Dusan Kovacevic

ProraProraččun sistema primenom pribliun sistema primenom približžne metodene metodedeformacija po linearizovanoj teoriji II redadeformacija po linearizovanoj teoriji II reda

�� proraproraččun normalnih sila uun normalnih sila u šštapovima po teoriji I redatapovima po teoriji I reda�� formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččina obrtanja iina obrtanja i

pomeranja i vektora slobodnihpomeranja i vektora slobodnih ččlanovalanova�� rereššavanje sistema jednaavanje sistema jednaččina, tjina, tj. o. određivanjedređivanje

nepoznatih obrtanja i pomeranjanepoznatih obrtanja i pomeranja�� određivanje sila na krajevimaodređivanje sila na krajevima šštapovatapova

Page 65: Dusan Kovacevic

ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja sistemaenja sistemaprimenom pribliprimenom približžne metode deformacija pone metode deformacija po

linearizovanoj teoriji II redalinearizovanoj teoriji II reda

�� proraproraččun normalnih sila uun normalnih sila u šštapovima po teoriji I redatapovima po teoriji I redaza optereza optereććenje Penje P

�� formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččinainaobrtanja i pomeranja sa parametromobrtanja i pomeranja sa parametrom ωω=k=k··ll

�� određivanje najmanje vrednosti parametraodređivanje najmanje vrednosti parametra ""ωω" tako" takoda determinanta "m+n"da determinanta "m+n" matrice bude nulamatrice bude nula

�� određivanje kritiodređivanje kritiččnog opterenog optereććenjaenjaPPkrkr==ωω22··EI/lEI/l22

Page 66: Dusan Kovacevic

Konstante aKonstante aikik, b, bikik, c, cikik zaza šštap tipa "k"tap tipa "k"

ikikikikkkikikiiikikikik MMikik,,∆∆ttMMik,0ik,0ccbbaaMM ++++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==

ikikkikikkkikiiikikikiki ccaabbMM ++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==

konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00=0,=0, φφ00==φφii=1.0, M=1.0, M00≠≠0, V0, V00≠≠0, v0, vll=0,=0, φφll=0=0

aaikik

SSφφii=1.0=1.0 bbkiki

ll

ii kk

EIEISSkk ==

ωω==kk··ll

MMkiki,,∆∆ttMMki,0ki,0 ++

Page 67: Dusan Kovacevic

00SSkk

sinsinVVSScoscos11MM

kksinsin))ll((vv 0000ii ==

⋅⋅ωω−−ωω

⋅⋅−−ωω−−

⋅⋅−−ωω

⋅⋅φφ==

00SScoscos11VV

SSsinsinkkMMcoscos))ll(( 0000ii ==ωω−−

⋅⋅−−ωω−−

⋅⋅−−ωω⋅⋅φφ==φφ

iiikikii

22

00 aall

EIEIsinsin))coscos11((22

coscossinsinMM φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅ωω==

llbbaa

llEIEI

sinsin))coscos11((22))11((coscosVV ikikikik

ii22

22

00++

−−==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅

−−ωω⋅⋅ωω==

ikikikikikik bbaacc ++==

Page 68: Dusan Kovacevic

MomentiMomentiMMikik zaza šštap tipa "k"tap tipa "k"

ll

SSkkii

MMkiki

konturni uslovi:konturni uslovi:vv00==φφ00=0=0

MM00≠≠0, V0, V00≠≠00

vvll==φφ ll=0=0

00dd))((pp))ll((FFSS))sinsin((llVV))coscos11(())00((MMll

004400 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅ωω++ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅ωω⋅⋅ ∫∫

00dd))((pp))ll((FFSSll))coscos11((llVVcoscos))00((MMll

003300 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ξξ⋅⋅ ∫∫

00dd))((pp))ll((FFSSllkk

sinsinVVcoscosMM))ll((MMll

00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫

SSkkkxkxsinsinkxkx))xx((FF44 ⋅⋅

−−−−==

SSkxkxcoscos11))xx((FF33

−−−−==

kkkxkxsinsin))xx((FF22 ==

ξξ ddξξ

p(xp(x))MMikik

Page 69: Dusan Kovacevic

Konstanta dKonstanta digig zaza šštap tipa "g"tap tipa "g"

igigigigiiigigigig ddddMM ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅==

ddigig

SSφφii=1.0=1.0ii gg

ddigig

SSii

gg

1.0

1.0ψψigig== --1.01.0

ll

EIEISSkk ==

ωω==kk··ll

MMigig,,∆∆ttMMig,0ig,0 ++++

Page 70: Dusan Kovacevic

konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0,=0, φφ00==ααigig

MM00==1.01.0VV00==--1/l1/l

vvll=0,=0, φφ ll=0=0MMll=0=0

MM00=1.0=1.0

SS

ααigigii

gg

ll

llEIEI

coscossinsinsinsin11dd

EIEIll

sinsincoscossinsin

00SS

sinsinVV

SScoscos11

kksinsin

))ll((vv

22

igigigig22igig00

0000

ωωωω−−ωωωω⋅⋅ωω==

ωω==

ωω⋅⋅ωωωωωω−−ωω==αα==φφ

==⋅⋅ωωωω−−ωω

⋅⋅−−ωω−−++ωω⋅⋅φφ==

Page 71: Dusan Kovacevic

MomentMomentMMigig zaza šštap tipa "g"tap tipa "g"

SSggii

llξξ ddξξ

00dd))((pp))ll((FFSSkk

sinsinVVSScoscos11MM))ll((vv

ll

00440000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−

⋅⋅ωω⋅⋅ωω

⋅⋅−−ωω−−

⋅⋅−−== ∫∫

00dd))((pp))ll((FFkk

sinsinVVcoscosMM))ll((MMll

00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−

ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫

konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0=0 φφ00==00MM00≠≠00 VV00≠≠00

vvll=0 M=0 Mll=0=0

p(xp(x))

00 MMig,0ig,0MM ==⇒⇒

MMigig

Page 72: Dusan Kovacevic

Konstanta eKonstanta eisis za konzoluza konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"

iiisisisis eeMM φφ⋅⋅==eeisis

SS

=1.0=1.0ii

ss SS

konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0

iiisisii00

00ii

eell

EIEItgtgMM

00coscosMMsinsinkkEIEI))ll((MM

φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−==

==ωω⋅⋅++ωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==

MMisis,,∆∆ttMMis,0is,0 ++++

Page 73: Dusan Kovacevic

MomentMoment MMisis za konzoluza konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"

p(xp(x))

SSssii

ll

MMisis

ξξ ddξξ

konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0

00

ll

00220000

MM

00dd))((pp))ll((FFsinsinllVVcoscosMM))ll((MM

==⇒⇒

==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ωω⋅⋅== ∫∫MMis,0is,0

Page 74: Dusan Kovacevic

UkupnoUkupnooobrtanjebrtanje

šštapa "ab"tapa "ab"

iisis eM +φ⋅=

n

1jj,igjigiigig ddM

=

+ψ⋅∆⋅−φ⋅= ∑

n

1jj,ikjikkikiikik cbaM

=

+φ⋅∆⋅+φ⋅+φ⋅= ∑

∑=

ψ+ψ+ψ⋅∆=ψn

1jc,abt,abj,abjab

MomentiMomenti nanakrajevimakrajevimašštapovatapova

MomentiMomentipunogpunog

ukljeuklješštenjatenja

MMikik

MMigig

MMisis

MMikik == MMik,0ik,0 ++MMikik,,∆∆tt ++ MMik,tik,t ++MMik,cik,c

MMigig == MMig,0ig,0 ++MMigig,,∆∆tt ++ MMig,tig,t ++MMig,cig,c

MMisis == MMis,0is,0 ++MMigig,,∆∆tt

Page 75: Dusan Kovacevic

JednaJednaččine obrtanjaine obrtanja -- "m" uslova ravnote"m" uslova ravnotežžeeččvorova sistemavorova sistema

∑∑∑∑ ==++∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk

00iijjijijkk

kkikikiiiiii 00AABBAAAA

∑∑∑∑∑∑ ==++++ss

isisgg

igigkk

ikik 00MMMMMM

JednaJednaččine pomeranjaine pomeranja -- "n" uslova ravnote"n" uslova ravnotežžeerereššetke sistemaetke sistema

00))mm((RR))pp((RRMM))MMMM(( ffjjjjjj,,igig

ggigig

kkjj,,ikikkikiikik ==−−−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++ ∑∑∑∑

Page 76: Dusan Kovacevic

Rad momenata mRad momenata mff na pomeranjima rena pomeranjima reššetke sistemaetke sistema

=1.0=1.0

aa bb

vvbb

vvaa

dxdxdvdvNNmm 00,,abab

ff ⋅⋅==

llvvvv

abababab

aabb ψψ==−−

dxdxmm))mm((RRabab

bb

aajj,,abab

ffffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫

llNN))vvvv((NN))mm((RRabab

jj,,abababababab00,,abababab

aabbjj,,abab00,,ababff

jj ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−==−−⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑∑∑

dxdxdxdxdvdvNNdxdx

dxdxdvdvNN))mm((RR

abab

bb

aajj,,abab00,,abab

abab

bb

aajj,,abab00,,abab

ffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−==⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫∑∑ ∫∫

Page 77: Dusan Kovacevic

llEIEIllNN

EIEINN

llllkkabab

abab22abababab00,,abab

abab

00,,abababababababababab ⋅⋅ωω±±==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==ωω

))ll((ll

EIEI))mm((RR

ababcc,,ababtt,,ababll,,abab

ababjj,,abab

abab

abab22abab

ffjj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅∆∆⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅ωω±±== ∑∑∑∑

00CCCC''BBmm

11ii

nn

11ll00jjlljljliijiji ==++∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑

== ==

))ll((llNN))mm((RRabab

cc,,ababtt,,ababll,,abababab

jj,,abababab00,,ababff

jj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅∆∆⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑∑∑

Page 78: Dusan Kovacevic

ikikikik bbAA ==[[ ]]ikikAAAA ==

00

00 00CCAA

CC''BBBBAA ==

++

∆∆φφ

⋅⋅

ssisis

ggigig

kkikikiiii eeddaaAA ++++== ∑∑∑∑∑∑

[[ ]]ijijBBBB == ijijgg

jj,,igigigigkk

jj,,ikikikikijij ''BBddccBB ==ψψ⋅⋅−−ψψ⋅⋅== ∑∑∑∑

abab ababikikikikll,,ababjj,,abab

22abab

ccll,,igigjj,,igigigigll,,ikikjj,,ikikkikiikikjljl ''llEIEIdd))cccc((CC ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωωψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++== ∑∑∑∑∑∑ mm

Sistem m+n jednaSistem m+n jednaččina metode deformacijaina metode deformacija

Koeficijenti sistema jednaKoeficijenti sistema jednaččina metode deformacijaina metode deformacija

Page 79: Dusan Kovacevic

∑∑∑∑∑∑ ++++==ssggkk

00ii MMikikAA[[ ]]== 00ii00 AAAA

))((''ll

EIEI

RR))((CC

cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab

22abab

cc

ikik

ppjjjj,,igig

ikikjj,,ikik00jj

ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω

−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++==

∑∑

∑∑∑∑

mm

mm

SlobodniSlobodni ččlanovi sistema jednalanovi sistema jednaččinainametode deformacijametode deformacija

MMigig MMisis

MMikik MMkiki MMkiki

Page 80: Dusan Kovacevic

{0}{0}CC''BBBBAA

==

∆∆φφ

⋅⋅

ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja primenomenja primenommetode deformacijametode deformacija

∑∑∑∑ ==∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk

jjijijkk

kkikikiiiiii 00BBAAAA

00CC''BBmm

11ii

nn

11lllljljliijiji ==∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑

== ==

{0}{0}CC''BBBBAA

==

detdet

Page 81: Dusan Kovacevic

Osobenosti analize po teoriji II reda primenomOsobenosti analize po teoriji II reda primenommetode deformacijametode deformacija

�� koeficijenti akoeficijenti aikik, b, bikik, c, cikik, d, digig, i e, i eisis u matricamau matricama[A][A]mxmmxm, [B], [B]mxnmxn i [B']i [B']nxmnxm i momentii momenti MMikik,, MMigig, i, i MMisis

u vektorima {Au vektorima {A00}}mm i {Ci {C00}}nnzavise od normalnih silazavise od normalnih sila šštapovatapova

�� dijagonalni koeficijenti Adijagonalni koeficijenti Aiiii matrice [A]matrice [A]mxmmxm sadrsadržže i koeficijente i koeficijenteeisis konzolnihkonzolnih šštapovatapova

�� koeficijenti Ckoeficijenti Cjljl matrice [C]matrice [C]nxnnxn sadrsadržžee ččlanlan

abab ababll,,ababjj,,abab

22abab

cc ''llEIEI ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm

�� koeficijenti Ckoeficijenti Cj0j0 vektora {Cvektora {C00}}nn sadrsadržžee ččlanlan

))((''ll

EIEI cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab

22abab

cc ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm

Page 82: Dusan Kovacevic

Prvi oblik gubitka stabilnostiPrvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1

Page 83: Dusan Kovacevic

Drugi oblik gubitka stabilnostiDrugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1

Page 84: Dusan Kovacevic

TreTrećći oblik gubitka stabilnostii oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1

Page 85: Dusan Kovacevic

Prvi oblik gubitka stabilnostiPrvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2

Page 86: Dusan Kovacevic

Drugi oblik gubitka stabilnostiDrugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2

Page 87: Dusan Kovacevic

TreTrećći oblik gubitka stabilnostii oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2

Page 88: Dusan Kovacevic

DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA

Page 89: Dusan Kovacevic

Dejstva na konstrukcijeDejstva na konstrukcije�� konstantan intenzitet tokom vremena bezkonstantan intenzitet tokom vremena bez

pojave inercijalnih silapojave inercijalnih sila�� male i/ili spore promene intenziteta imale i/ili spore promene intenziteta i

zanemarljivo male inercijalne silezanemarljivo male inercijalne sile�� velike i/ili brze promene intenziteta i malevelike i/ili brze promene intenziteta i male

inercijalne sileinercijalne sile�� velike inercijalne silevelike inercijalne sile

Page 90: Dusan Kovacevic

Statika konstrukcijaStatika konstrukcija�� konstantan intenzitet dejstva bez pojavekonstantan intenzitet dejstva bez pojave

inercijalnih silainercijalnih sila�� male i spore promene intenziteta dejstvamale i spore promene intenziteta dejstva

i zanemarljive inercijalne silei zanemarljive inercijalne sile�� promene intenziteta i/ili inercijalne silepromene intenziteta i/ili inercijalne silekoje ne ugrokoje ne ugrožžavaju nosivost, stabilnost iavaju nosivost, stabilnost i

upotrebljivost konstrukcijeupotrebljivost konstrukcije

Page 91: Dusan Kovacevic

Dinamika konstrukcijaDinamika konstrukcija�� velike i/ili brze promene intenzitetavelike i/ili brze promene intenziteta

dejstva i male inercijalne siledejstva i male inercijalne sile�� velike inercijalne silevelike inercijalne sile

�� promene intenziteta dejstva i/ilipromene intenziteta dejstva i/iliinercijalne sile koje ugroinercijalne sile koje ugrožžavaju nosivost,avaju nosivost,

stabilnost i upotrebljivost konstrukcijestabilnost i upotrebljivost konstrukcije

Page 92: Dusan Kovacevic

DinamiDinamiččka dejstvaka dejstva�� periodiperiodiččno promenljiva optereno promenljiva optereććenjaenja

(harmonijska i neharmonijska)(harmonijska i neharmonijska)�� udarna optereudarna optereććenja (velika brzinaenja (velika brzinananonanoššenja i kraenja i kraćće ili due ili dužže trajanje)e trajanje)

�� impulsna optereimpulsna optereććenja (velika brzinaenja (velika brzinananonanoššenja i rastereenja i rastereććenja)enja)

�� aperiodiaperiodiččna opterena optereććenja (sloenja (složženaenafrekventna karakteristika)frekventna karakteristika)

Page 93: Dusan Kovacevic

TT

PeriodiPeriodiččno promenljiva optereno promenljiva optereććenjaenja

�� ponavljanje u jednakim vremenskimponavljanje u jednakim vremenskimintervalimaintervalima

PP

tt

Page 94: Dusan Kovacevic

TT

Harmonijski promenljiva optereHarmonijski promenljiva optereććenjaenja

�� promena definisana harmonijskim funkcijamapromena definisana harmonijskim funkcijama

TT

PP

tt

Page 95: Dusan Kovacevic

∆∆tt

Udarna optereUdarna optereććenjaenja

�� promena intenziteta u veoma kratkompromena intenziteta u veoma kratkomintervalu vremenaintervalu vremena∆∆ P

P

PP

tt

Page 96: Dusan Kovacevic

∆∆tt

Impulsna optereImpulsna optereććenjaenja

�� optereoptereććenje i rastereenje i rastereććenje u veoma kratkomenje u veoma kratkomintervalu vremenaintervalu vremena∆∆ P

P

PP

tt

Page 97: Dusan Kovacevic

∆∆tt

Serija impulsnih optereSerija impulsnih optereććenjaenja

�� periodiperiodiččno optereno optereććenje i rastereenje i rastereććenje u veomaenje u veomakratkom intervalu vremenakratkom intervalu vremena

∆∆ PP

PP

tt

Page 98: Dusan Kovacevic

AperiodiAperiodiččna opterena optereććenjaenja

�� slosložžena frekventna karakteristikaena frekventna karakteristika -- definisanadefinisanau intervalimau intervalima

PP

tt

Page 99: Dusan Kovacevic

�� MODELIRANJE KONSTRUKCIJAMODELIRANJE KONSTRUKCIJA --kreiranje idealizovane i pojednostavljenekreiranje idealizovane i pojednostavljenereprezentacije ponareprezentacije ponaššanja konstrukcijaanja konstrukcija --

odluodluččujuujućći korak u procesu projektovanjai korak u procesu projektovanja�� GreGrešške i propusti u modeliranjuke i propusti u modeliranju

mogu da budu uzrok ozbiljnihmogu da budu uzrok ozbiljnihproblema i teproblema i tešškokoćća u projektovanjua u projektovanju�� NUMERINUMERIČČKO MODELIRANJE jeKO MODELIRANJE je

matematimatematiččka realizacija izabranog konceptaka realizacija izabranog konceptamodeliranja konstrukcijemodeliranja konstrukcije

Page 100: Dusan Kovacevic

CILJCILJ NUMERINUMERIČČKOG MODELIRANJAKOG MODELIRANJA

FormulisanjeFormulisanje ""optimalnooptimalno"" kompleksnogkompleksnogmodela ponamodela ponaššanja konstrukcije:anja konstrukcije:

�� realnorealno potrebanpotreban kvalitetkvalitet aproksimacije...aproksimacije...�� usklađenost sa moguusklađenost sa moguććnostimanostimapraktipraktiččne realizacije i primene...ne realizacije i primene...

Page 101: Dusan Kovacevic

DINAMIDINAMIČČKI MODELIKI MODELI

�� veliveliččina i raspored masa...ina i raspored masa...�� veliveliččina i raspored priguina i raspored priguššenja...enja...�� veliveliččina i raspored krutosti...ina i raspored krutosti...

Page 102: Dusan Kovacevic

Raspored masa kod dinamiRaspored masa kod dinamiččkih modelakih modela

raspodeljeneraspodeljenemasemase

koncentrisanekoncentrisanemasemase

Page 103: Dusan Kovacevic

0.040.04 0.0120.012 0.0040.004

22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 20200.000.00

0.250.25

0.500.50

0.750.75

1.001.00

1.251.25

1.501.50

rela

tivna

rela

tivna

gre

grešš

kakapr

ora

pror

aččun

aun

a[%

][%

]

TT TT

TT

−− 00

Model sa raspodeljenim masamaModel sa raspodeljenim masama

brojbroj elemenataelemenata popo šštaputapu sistemasistema

Page 104: Dusan Kovacevic

22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 2020brojbroj elemenataelemenata popo šštaputapu sistemasistema

112233445566778899

10101111

rela

tivna

rela

tivna

gre

grešš

kakapr

ora

pror

aččun

aun

a[%

][%

] TT TT

TT

−− 00

0.050.05 0.030.03

Model sa koncentrisanim masamaModel sa koncentrisanim masama

Page 105: Dusan Kovacevic

�� Stepeni slobode dinamiStepeni slobode dinamiččkih modelakih modela --nezavisni parametri pomeranja kojinezavisni parametri pomeranja koji

određuju poloodređuju položžaj masa modelaaj masa modela

�� Broj stepeni slobodeBroj stepeni slobode --minimalan broj dodatnih veza zaminimalan broj dodatnih veza za

sprespreččavanje pomeranja masa dinamiavanje pomeranja masa dinamiččkogkogmodelamodela -- ne zavisi od "statine zavisi od "statiččkog" brojakog" broja

stepeni slobodestepeni slobode

Page 106: Dusan Kovacevic

Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkih modelakih modela

Page 107: Dusan Kovacevic

Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkih modelakih modelaokvirnog nosaokvirnog nosaččaa

Page 108: Dusan Kovacevic

Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkog modelakog modelaluluččnog nosanog nosaččaa

Page 109: Dusan Kovacevic

Odnos broja stepeni slobode "s" i broja "m"Odnos broja stepeni slobode "s" i broja "m"masa dinamimasa dinamiččkih modelakih modela

s=ms=m s>ms>m

s<ms<m s=ms=m

Page 110: Dusan Kovacevic

Metode za dinamiMetode za dinamiččku analizuku analizusistemasistema

�� direktno redirektno reššavanje parcijlneavanje parcijlnediferencijalne jednadiferencijalne jednaččineine

�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata�� metoda silametoda sila

Page 111: Dusan Kovacevic

Parcijalna diferencijalna jednaParcijalna diferencijalna jednaččinainapoprepopreččnih oscilacija gredenih oscilacija grede

MM00

VV00

MMll

VVll

φφ00

vvllvv00 φφll

ξξ ddξξ

ppyy(x,t(x,t))

m(xm(x))

))tt,,xx((ppttvv))xx((mm

xxvvEIEI

ttvv))xx((mm))tt,,xx((pp

xxvvEIEI yy22

22

44

44

22

22

yy44

44

==∂∂∂∂⋅⋅++

∂∂∂∂⋅⋅⇒⇒

∂∂∂∂⋅⋅−−==

∂∂∂∂⋅⋅

v=v=v(x,tv(x,t))

Page 112: Dusan Kovacevic

Slobodne popreSlobodne popreččne oscilacije prostene oscilacije prostegredegrede

00))xx((vvωω))xx((mmdxdx

vvddEIEI 2244

44

==⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⇒⇒

ttωωsinsin))xx((vv))tt,,xx((vv ⋅⋅==

00ttvv))xx((mm

xxvvEIEI 22

22

44

44

==∂∂∂∂⋅⋅++

∂∂∂∂⋅⋅

4422

EIEIωωmmLLλλ⋅⋅

⋅⋅==

xxLLλλsinsinDDxx

LLλλcoscosCCxx

LLλλsinhsinhBBxx

LLλλcoshcoshAA))xx((vv ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

Page 113: Dusan Kovacevic

Konturni uslovi i konstanteKonturni uslovi i konstante

00λλsinsinDD00λλsinhsinhBB

λλsinsinDDλλsinhsinhBB))LL((MM

λλsinsinDDλλsinhsinhBB))LL((vv

==⋅⋅==⋅⋅

⇒⇒

⋅⋅−−⋅⋅==

⋅⋅++⋅⋅==

00CC00АА

CCAA))00((MM

CCAA))00((vv

====

⇒⇒

−−==

++==

00dxdx

))LL((vvddEIEI))LL((MM 22

22

==⋅⋅−−==00dxdx

))00((vvddEIEI))00((MM 22

22

==⋅⋅−−==

00))LL((vv ==00))00((vv ==

LL

Page 114: Dusan Kovacevic

KruKružžna frekvencija i "j" oblikna frekvencija i "j" oblikoscilovanja proste gredeoscilovanja proste grede

LLxxππjjsinsinDD))xx((vv jjjj⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

,...),...)22,,11jj(())xx((mm

EIEILLππjjωω 22

2222

jj ==⋅⋅⋅⋅==

EIEIωω))xx((mm

LLππjjλλ 4422jj

jj

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==

,...),...)22,,11jj((ππjjλλ00λλsinsin00BB00λλ ==⋅⋅==⇒⇒==⇒⇒==⇒⇒≠≠

Page 115: Dusan Kovacevic

LL

KruKružžne frekvencije i oblici oscilovanjane frekvencije i oblici oscilovanjaproste grede (j=1,2,3)proste grede (j=1,2,3)

j=2j=2

j=1j=1

j=3j=3

))xx((mmEIEI

LLππωω 22

22

11 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LLππ44ωω 22

22

22 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LLππ99ωω 22

22

33 ⋅⋅==

Page 116: Dusan Kovacevic

Superpozicija oblika oscilovanjaSuperpozicija oblika oscilovanjaproste gredeproste grede

∫∫∫∫

∑∑∑∑

∑∑

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

∂∂∂∂==

==

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

∞∞

==

∞∞

==

∞∞

==

11

00jj

11

00jj

11jjjj

11jjjj

11jjjjjjjj

dxdxLL

xxππjjsinsin))xx((''ffLL22''bbdxdx

LLxxππjjsinsin))xx((ff

LL22bb

LLxxππjjsinsin''bb))xx((''ff

LLxxππjjsinsinbb))xx((ff

tt))00,,xx((vv))xx((''ff

))00,,xx((vv))xx((ff

))φφttωω((LL

xxππjjsinsinDD))tt,,xx((vv

Page 117: Dusan Kovacevic

22jj

22jj22

jjjj

22jj

22jj

22jj

jjjjjjjj

jj

jjjj

jjjjjjjj

jjjjjj

11jjjjjjjj

11jjjj

11jjjjjj

11jjjj

ωω''bb

bbDD

''bbωωbbωωbb

φφsinsinωω''bb

bbφφtgtg

φφcoscosωωDD''bbφφsinsinDDbb

LLxxππjjsinsinφφcoscosωωDD

LLxxππjjsinsinbb

LLxxππjjsinsin

LLxxππjjφφsinsinDD

LLxxππjjsinsinbb

++==

++⋅⋅

⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

∑∑∑∑

∑∑∑∑∞∞

==

∞∞

==

∞∞

==

∞∞

==

Page 118: Dusan Kovacevic

Slobodne popreSlobodne popreččne oscilacije konzolene oscilacije konzole

00))xx((vvωω))xx((mmdxdx

vvddEIEI 2244

44

==⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⇒⇒

ttωωsinsin))xx((vv))tt,,xx((vv ⋅⋅==

00ttvv))xx((mm

xxvvEIEI 22

22

44

44

==∂∂∂∂⋅⋅++

∂∂∂∂⋅⋅

4422

EIEIωωmmLLλλ⋅⋅

⋅⋅==

xxLLλλsinsinDDxx

LLλλcoscosCCxx

LLλλsinhsinhBBxx

LLλλcoshcoshAA))xx((vv ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

Page 119: Dusan Kovacevic

Konturni usloviKonturni uslovi

LL

00dxdx

))LL((vvddEIEI))LL((MM 22

22

==⋅⋅−−==

00dxdx

))LL((vvddEIEI))LL((VV 33

33

==⋅⋅−−==

00dxdx

))00((dvdv ==

00))00((vv ==

Page 120: Dusan Kovacevic

KruKružžne frekvencije i oblici oscilovanjane frekvencije i oblici oscilovanjakonzole (j=1,2,3)konzole (j=1,2,3)

j=2j=2

j=1j=1

j=3j=3LL

))xx((mmEIEI

LL875875..11ωω 22

22

11 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LL694694..44ωω 22

22

22 ⋅⋅==

))xx((mmEIEI

LL855855..77ωω 22

22

33 ⋅⋅==

Page 121: Dusan Kovacevic

Stepen slobode pomeranjaStepen slobode pomeranjadinamidinamiččkih modelakih modela

�� realni sistemi imaju kontinualno raspoređenerealni sistemi imaju kontinualno raspoređenemase (bssmase (bss→∞→∞))

�� kontinualno raspoređena masakontinualno raspoređena masase modelira dovoljnim brojem koncentrisanihse modelira dovoljnim brojem koncentrisanih

masa (bssmasa (bss=N)=N)�� kontinualno raspoređena masakontinualno raspoređena masa

se modelira jednom koncentrisanom masomse modelira jednom koncentrisanom masom(bss=N)(bss=N)

Page 122: Dusan Kovacevic

DinamiDinamiččki modeli sa jednimki modeli sa jednimstepenom slobode pomeranjastepenom slobode pomeranja

Page 123: Dusan Kovacevic
Page 124: Dusan Kovacevic
Page 125: Dusan Kovacevic

Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacijeene oscilacijedinamidinamiččkih modela sa jednim stepenomkih modela sa jednim stepenom

slobode pomeranjaslobode pomeranja

�� slobodne oscilacijeslobodne oscilacije ---- sistem osciluje bez spoljasistem osciluje bez spoljaššnjeg dejstvanjeg dejstva

ili poremeili poremeććajaaja�� mala vrednost prigumala vrednost priguššenja (enja (µ≈µ≈00))�� harmonijska funkcija promeneharmonijska funkcija promene

Page 126: Dusan Kovacevic

yy stst

mm

kk

mm⋅⋅ηη kk⋅⋅ηη

mm⋅⋅gg

mm -- masa tela [kg]masa tela [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje

(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost opruge [N/m]krutost opruge [N/m] -- sila kojasila koja

izaziva jediniizaziva jediniččno pomeranjeno pomeranjeyystst -- statistatiččko pomeranje (ravnoteko pomeranje (ravnotežžnini

polopoložžaj)aj)y(t)y(t) -- pomeranje u odnosu napomeranje u odnosu na

ravnoteravnotežžni poloni položžaj (elongacija)aj (elongacija)ηη(t)(t) -- ukupno pomeranje (ukupno pomeranje (ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]

¨

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

Page 127: Dusan Kovacevic

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina slobodnih nepriguina slobodnih nepriguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modela sa jednimkog modela sa jednim

stepenom slobode pomeranjastepenom slobode pomeranja

dtdt))tt((dydy

dtdt))tt((ηηdd ==

))tt((yyyy))tt((ηη stst ++==

00))tt((yykk))tt((yymm ==⋅⋅++⋅⋅ &&&&

yyηη..tt јјdtdt

))tt((yydddtdt

))tt((ηηdd22

22

22

22

==== &&&&&&&&

00ggmm))tt((ηηkk))tt((ηηmm::principprincipAlambertovAlambertov''DD ==⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅ &&&&

))))tt((yy))tt((ηη((kkyykkggmm stst −−⋅⋅==⋅⋅==⋅⋅

Page 128: Dusan Kovacevic

popoččetni uslovietni uslovi

]]ss

radrad[[aafrekvencijfrekvencijkrukružžnana

ααsinsinAACC22 ⋅⋅==ααcoscosAACC11 ⋅⋅==

−−

ttωωcoscosCCttωωsinsinCCyy 2211 ⋅⋅++⋅⋅==

−−yygg

mmkkωω

stst

====

ttωωcoscosyyttωωsinsinωωyyyy 00

00 ⋅⋅++⋅⋅== &&

vvyy))00tt((yy,,yy))00tt((yy 000000 ========== &&&&

00))tt((yyωω))tt((yy ==⋅⋅++&&&&

AA -- amplituda oscilacijaamplituda oscilacija

Page 129: Dusan Kovacevic

AA))ααttωωsin(sin(AAyy iimaxmax ==++⋅⋅==

))ααttωωsin(sin(AAyy ++⋅⋅==

))ααcoscosttωωsinsinααsinsinttωω(cos(cosAAyy ⋅⋅++⋅⋅==

ωωyyyy

CCCCααtgtg

00

00

11

22 ⋅⋅====&&

yyωωyyCCCCAA 22

00

220022

222211 ++

==++== &&

Page 130: Dusan Kovacevic

]]minminobrobr[[tehnitehniččka frekvencijaka frekvencija

]]ss11[[svojstvena frekvencijasvojstvena frekvencija

]]ss[[period oscilacijaperiod oscilacija

−−TT6060

mmkk

ππ226060ff6060nn ==⋅⋅==⋅⋅==

−−mmkk

ππ2211

ππ22ωω

TT11ff ⋅⋅======

−−

ωω22ππ99

ωωααtt 22 ++−−==

ωω22ππ55

ωωααtt11 ++−−==

ωω22ππ

ωωααtt00 ++−−==

...)...),,22,,11,,00ii(( ==ωω22

αα22ππ))ii4411((tt11))ααttωωsin(sin( iiii−−⋅⋅++==⇒⇒==++

ωωππ22tttt......ttttttttTT 11iiii11220011 ==−−====−−==−−== −−

Page 131: Dusan Kovacevic

AA

AA ·· s

in(

sin(ωω

t+t+αα ))

AA ·· s

insin αα

AA

T=2T=2ππ//ωω

ααωωtt

ωω22ππ

ωωαα ++−−

Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranjapomeranja

Page 132: Dusan Kovacevic

Određivanje krutosti dinamiOdređivanje krutosti dinamiččkog modela sakog modela sajednim stepenom slobode pomeranjajednim stepenom slobode pomeranja

P=1P=1

P=1P=1

P=1P=1

δδmPmP

11kk ==δδ m

Pm

P

δδ mP

mP

δδ mP

mP

mm

mm

mm

Page 133: Dusan Kovacevic

mm

kk22

kk11

Određivanje ekvivalentne krutosti dinamiOdređivanje ekvivalentne krutosti dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranjapomeranja

mmkk22

kk11

2211 kk11

kk11

kk11 ++==k = kk = k11 + k+ k22

Page 134: Dusan Kovacevic

Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacijeene oscilacijedinamidinamiččkih modela sa jednim stepenomkih modela sa jednim stepenom

slobode pomeranjaslobode pomeranja

�� slobodne oscilacijeslobodne oscilacije ---- sistem osciluje bez spoljasistem osciluje bez spoljaššnjeg dejstvanjeg dejstva

ili poremeili poremeććajaaja�� prigupriguššenje ne moenje ne možže da se zanemari (e da se zanemari (µ≠µ≠00))

�� harmonijska funkcija promeneharmonijska funkcija promene

Page 135: Dusan Kovacevic

PriguPriguššenje kod građevinskih konstrukcijaenje kod građevinskih konstrukcija

�� trenje između materijalnihtrenje između materijalnih ččestica...estica...�� histerezisno ponahisterezisno ponaššanje materijala...anje materijala...

�� otpor u vezama (spojevi,otpor u vezama (spojevi,ččvorovi, oslonci...)vorovi, oslonci...)

�� viskozni otpor sredine...viskozni otpor sredine...�� Coulombovo trenje...Coulombovo trenje...

Page 136: Dusan Kovacevic

Pomeranje/rotacijaPomeranje/rotacija -- δδ//κκ

Sila

/mom

ent

Sila

/mom

ent --

P/M

P/M

11

22 33

44 55

Histerezisno ponaHisterezisno ponaššanje gredaanje greda

Page 137: Dusan Kovacevic

Sila

/mom

ent

Sila

/mom

ent --

P/M

P/M

11

22 33

44

55

Histerezisno ponaHisterezisno ponaššanje stubovaanje stubova

Pomeranje/rotacijaPomeranje/rotacija -- δδ//κκ

Page 138: Dusan Kovacevic

PomeranjePomeranje -- δδ

Sila

Si

la --

PPHisterezisno ponaHisterezisno ponaššanjeanje

ččvorovavorova

Page 139: Dusan Kovacevic

mm

kk

mm⋅⋅ηηkk⋅⋅ηη

mm⋅⋅gg

mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje

(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranje

(ravnote(ravnotežžni poloni položžaj)aj)y(t)y(t) -- pomeranje u odnosupomeranje u odnosu

na ravnotena ravnotežžni poloni položžajaj(elongacija)(elongacija)

ηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))

kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]¨

cc⋅⋅ηη

˙

cc yy stst

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

Page 140: Dusan Kovacevic

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina slobodnih priguina slobodnih priguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modelakog modela

sa jednim stepenom slobode pomeranjasa jednim stepenom slobode pomeranja

))yy))tt((yy((kk))tt((ηηkk stst++⋅⋅==⋅⋅

00yykkyyccyymm ==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅ &&&&&&

))tt((yycc))tt((ηηcc ⋅⋅==⋅⋅ &&&&

00ggmmηηkkηηccηηmm ==⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅ &&&&&&

))tt((yymm))tt((ηηmm &&&&&&&& ⋅⋅==⋅⋅

Page 141: Dusan Kovacevic

22

22,,11 DDmm22

ccmmkk

mm22cc

mm22ccrr ±±

⋅⋅−−==−−

⋅⋅

±±⋅⋅

−−==

2222 00ωωrrmmccrr ==++⋅⋅++

rtrteeyy ==

rtrt22 eerryy ⋅⋅==&&&&

rtrteerryy ⋅⋅==&&

22 00yyωωyymmccyyyy

mmkkyy

mmccyy ==⋅⋅++⋅⋅++==⋅⋅++⋅⋅++ &&&&&&&&&&&&

ttrr22

ttrr11

2211 eeCCeeCCyy ⋅⋅++⋅⋅==

Page 142: Dusan Kovacevic

Negativna vrednost diskriminante D<0Negativna vrednost diskriminante D<0

iiωωmm22

ccrr dd22 ⋅⋅−−⋅⋅

−−==iiωωmm22

ccrr dd11 ⋅⋅++⋅⋅

−−==

mm22ccωωωω

222222

dd

⋅⋅

−−==

ωωmm22

cc 2222

<<

⋅⋅

00mmkk

mm22cc 22

<<−−

⋅⋅

Page 143: Dusan Kovacevic

==== yy))00tt((yy 00

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅−−

))ttωωcoscosCCttωωsinsinCC((eeyy dd11dd11

ttmm22cc

⋅⋅−−==−− zzsinsiniizzcoscosee iziz

⋅⋅++== zzsinsiniizzcoscoseeiziz

⋅⋅++⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−

))eeCCeeCC((eeyy ttωωii22

ttωωii11

ttmm22cc

dddd

⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅++

⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅−−

ttωωcoscosyyttωωsinsinωω

yymm22

ccyyeeyy dd00dd

dd

0000ttmm22cc &&

====== vvyy))00tt((yy 0000&&&&

Page 144: Dusan Kovacevic

ωωmm22ccζζ⋅⋅⋅⋅

==ζζ11ωωωωmm22

cc11ωωωω 2222

dd −−⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅==

))ααttωωsin(sin(eeAAyy dd

ttmm22cc

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

⋅⋅−−

yymm22

ccyy

ωωyyααtgtg0000

00

⋅⋅⋅⋅

++

⋅⋅==&&

yyωω

yymm22

ccyyAA 22

00

22

dd

0000++

⋅⋅⋅⋅

++==

&&

Page 145: Dusan Kovacevic

-- koeficijent relativnog prigukoeficijent relativnog priguššenja (0.00enja (0.00--1.00)1.00)

ddttωωζζ ))ααttωωsin(sin(eeAAyy ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

0000

00

yyωωζζyyωωyyααtgtg⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅==&&

2200

22

dd

0000 yyωω

yyωωζζyyAA ++

⋅⋅⋅⋅++== &&

dddd ωω

ππ22TT⋅⋅==

cccrcr

ccζζ ==

Page 146: Dusan Kovacevic

dd00dd

0022 TT22ttωωππ44tttt ++==⋅⋅++==dd00

dd0011 TTtt

ωωππ22tttt ++==⋅⋅++==

dddddd22 ωω

ππ44ωω22ππ

ωωααtt

⋅⋅++⋅⋅

++−−==

dddddd11 ωω

ππ22ωω22ππ

ωωααtt

⋅⋅++⋅⋅

++−−==dddd

00 ωω22ππ

ωωααtt

⋅⋅++−−==

ddddii ,...),...)22,,11,,00ii((ii22

2211

ωωππ

ωωααtt ==

⋅⋅++++−−==

iiddttωωζζ

maxmax 11))ααttωωsin(sin(eeAAyy ==++⋅⋅⇒⇒⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

Page 147: Dusan Kovacevic

dd00kk TTkktttt ⋅⋅++==

22dd

dd11kk

kk

ζζ11ππ22ζζ

ωωππ22ωωζζTTωωζζ

yyyylnlnδδ

−−⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅====

++

TTkkωωζζ

kk

00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−))TT22tt((ωωζζ

22 eeAAyy dd00⋅⋅== ++⋅⋅⋅⋅−−

TT22ωωζζ

22

00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅−−))TTtt((ωωζζ

11 eeAAyy dd00⋅⋅== ++⋅⋅⋅⋅−−

TTωωζζ

11

00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅−−ttωωζζ

00 eeAAyy 00⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

logaritamskilogaritamskidekrementdekrement

Page 148: Dusan Kovacevic

11ζζffff 22

22dd ==++

ζζ11ffζζ11

TT11

ππ22ωωff 2222

dd

dddd −−⋅⋅==−−⋅⋅====

TT11

ππ22ωωff ====

TTδδ

TTkkyyyylnln

ωωζζdddd

kk

00

==⋅⋅

==⋅⋅

TTωωζζkkyyyylnlnδδkk dd

kk

00 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅

Page 149: Dusan Kovacevic

yy 00

AA ·· s

insin αα

TTdd=2=2ππ//ωωdd

Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranja (D<0)pomeranja (D<0)

yy 11

ddttωωζζ ))ααttωωsin(sin(eeAAyy ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−

0000

00

yyωωζζyyωωyyααtgtg⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅==&&

2200

22

dd

0000 yyωω

yyωωζζyyAA ++

⋅⋅⋅⋅++== &&

dddd ωω

ππ22TT⋅⋅==

ttωωζζeeAA ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−−

ttωωζζee--AA ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−−

Page 150: Dusan Kovacevic

Pozitivna vrednost diskriminante D>0Pozitivna vrednost diskriminante D>0

ωωmm22

cc 2222

>>

⋅⋅

00mmkk

mm22cc 22

>>−−

⋅⋅

2222 ))11ζζζζ((ωωrr −−++⋅⋅−−==22

11 ))11ζζζζ((ωωrr −−++−−⋅⋅==

00yy))00tt((yy ==== 0000 vvyy))00tt((yy ====== &&&&

tt))11ζζζζ((ωω22

tt))11ζζζζ((ωω11

2222

eeCCeeCCyy ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−++−−⋅⋅ ⋅⋅++⋅⋅==

Page 151: Dusan Kovacevic

11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22

220000

22−−⋅⋅⋅⋅

−−++−−⋅⋅⋅⋅++−−== &&

11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22

220000

11−−⋅⋅⋅⋅

−−++⋅⋅⋅⋅++== &&

0000 vvyy))00tt((yy00))00tt((yy======

====&&&&

11ζζωω22yyCC

11ζζωω22yyCC 22

002222

0011

−−⋅⋅⋅⋅−−==

−−⋅⋅⋅⋅== &&&&

))eeee((AAyy tt))11ζζζζ((ωωtt))11ζζζζ((ωω 2222 ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−−−⋅⋅−− −−⋅⋅==

Page 152: Dusan Kovacevic

CC11

Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranja (D>0)pomeranja (D>0)

CC22

tt))11ζζζζ((ωω22

22

eeCC ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅

tt))11ζζζζ((ωω11

22

eeCC ⋅⋅−−++−−⋅⋅⋅⋅tt))11ζζζζ((ωω

22tt))11ζζζζ((ωω

11

2222

eeCCeeCCyy ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−++−−⋅⋅ ⋅⋅++⋅⋅==

11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22

220000

22 −−⋅⋅⋅⋅−−++−−⋅⋅⋅⋅++−−== &&

11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22

220000

11−−⋅⋅⋅⋅

−−++⋅⋅⋅⋅++== &&

vv00>0>0

vv00=0=0

vv00<0<0

Page 153: Dusan Kovacevic

yy 00

Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode

pomeranja (D=0)pomeranja (D=0)

vv00>0>0

vv00=0=0

vv00<0<0

ttωωζζ00crcr0000

0000

00

ttωωζζ2211

crcr

crcr

ee]]tt))yyζζyy((yy[[yy

vvyy))00tt((yyyy))00tt((yy

ee))ttCCCC((yy

⋅⋅⋅⋅−−

⋅⋅⋅⋅−−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==

==========

⋅⋅⋅⋅++==

&&

&&&&

Page 154: Dusan Kovacevic

Prinudne priguPrinudne priguššene oscilacije modela sa jednim stepenomene oscilacije modela sa jednim stepenomslobodeslobode -- harmonijska poremeharmonijska poremeććajna silaajna sila

mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje

(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranjey(t)y(t) -- elongacijaelongacijaηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje

((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]F(t)F(t) -- poremeporemeććajna sila [N]ajna sila [N]

¨˙

mm

kk

mm⋅⋅ηηkk⋅⋅ηη

mm⋅⋅gg

cc⋅⋅ηη

cc yy stst

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

F(t)=FF(t)=F00··sinsinννtt

Page 155: Dusan Kovacevic

Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina prinudnih priguina prinudnih priguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modelakog modela

sa jednim stepenom slobode pomeranjasa jednim stepenom slobode pomeranja

))φφttννsin(sin(NNvv))ααttωωsin(sin(eeAAyy

ωωζζεε))tt((yy))tt((yy))tt((yy

ttννsinsinmmFFyyωωyyωωζζ22yy

ttννsinsinFFyykkyyccyymm

ννddttωωζζ

pphh

0022

00

++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅==++==

⋅⋅==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

⋅⋅==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−

&&&&&&

&&&&&&

Page 156: Dusan Kovacevic

ttννsinsinmmFF))φφsinsinttννsinsinφφcoscosttνν(cos(cosNNννεε22

))φφsinsinttννcoscosφφcoscosttνν)(sin)(sinννωω((NN

ttννsinsinmmFF))φφttννsin(sin(NNωω

))φφttννcos(cos(NNννεε22))φφttννsin(sin(NNνν

))φφttννsin(sin(NNννyy

))φφttννcos(cos(NNννyy

))φφttννsin(sin(NNyy

00νννννν

νννν2222

νν

00νννν

22

νννννννν22

νννν22

pp

ννννpp

ννννpp

⋅⋅==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

++⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅

⋅⋅==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−==

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

++⋅⋅⋅⋅==

&&&&

&&

Page 157: Dusan Kovacevic

2222νν222222222200

νν

νννννν2222

νν

00νννννν

2222νν

νννννν2222

νν

νννννν2222

νν

ννωωννεε22φφtgtg

ννεε44))ννωω((mmFFNN

00φφcoscosNNννεε22φφsinsin))ννωω((NN

mmFFφφsinsinNNννεε22φφcoscos))ννωω((NN

00ttννcoscos]]φφcoscosNNννεε22φφsinsin))ννωω((NN[[ttννsinsin]]φφsinsinNNννεε22φφcoscos))ννωω((NN[[

−−⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++−−⋅⋅==

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅−−

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅

⇓⇓

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅−−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅

4444444444444444444444 334444444444444444444444 2211

Page 158: Dusan Kovacevic

22222222vstvst

2222222222

22

vstvstνν

22vstvst

220000

22

statistatiččki ugibki ugibusled Fusled F00

koeficijentkoeficijentprigupriguššenjaenja

odnosodnosfrekvencijefrekvencije

poremeporemeććajneajnesilesile

i krui kružžnenefrekvencijefrekvencije

ηηζζ44))ηη11((11NN

ννεε44))ννωω((ωωNNNN

ωωNNωωkkFF

mmFF

ωωkkmm

00vstvst kk

FFNN ==

ωωεεζζ ==

ωωννηη ==

⋅⋅⋅⋅++−−⋅⋅==

==⋅⋅⋅⋅++−−

⋅⋅==

⋅⋅==⋅⋅==

==

Page 159: Dusan Kovacevic

22maxmax

22νν

22222222νν

vstvstpp

ζζ11ζζ2211µµ00

ηηddµµdd

ηη11ηηζζ22φφtgtg

ηηζζ44))ηη11(())φφttννsin(sin(NNyyyy

−−⋅⋅⋅⋅==⇒⇒==

22222222vstvst

vv dinamidinamiččki koeficijentki koeficijentηηζζ44))ηη11((

11NNNNµµ −−

⋅⋅⋅⋅++−−====

−−⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++−−−−

⋅⋅====

Page 160: Dusan Kovacevic

1.01.0

22..00

33..00

1.01.0 2.02.0 3.03.0 4.04.0

ηη

µµ

))ααttωωsin(sin(eeAA

ηηζζ44))ηη11(())φφttννsin(sin(

kkFFyy

ttωωζζ

222222νν00

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

++⋅⋅⋅⋅++−−

++⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅−−

ζζ=1.000=1.000

ζζ=0.500=0.500

ζζ=0.150=0.150

ζζ=0.375=0.375

ζζ=0.250=0.250

Promena dinamiPromena dinamiččkog koeficijenta "kog koeficijenta "µµ" usled promene odnosa" usled promene odnosa""ηη" (razli" (različčiti koeficijenti relativnog priguiti koeficijenti relativnog priguššenja "enja "ζζ")")

Page 161: Dusan Kovacevic

DinamiDinamiččki modeli sa viki modeli sa višše stepenie stepenislobode pomeranjaslobode pomeranja

Page 162: Dusan Kovacevic
Page 163: Dusan Kovacevic
Page 164: Dusan Kovacevic

Metode za dinamiMetode za dinamiččku analizuku analizusistema sa visistema sa višše stepeni slobodee stepeni slobode

�� metoda silametoda sila�� metoda deformacijametoda deformacija

�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata

Page 165: Dusan Kovacevic

II11+R+R11 IIii+R+Rii IIkk+R+Rkk IInn+R+Rnn

PPii(t)(t)

PPii(t)(t)

kk11 kkii kkkk kknn

XXii == --IIii --RRii ==

== --mmii··yyii -- ccii··yyii

= k= kii··yyii

&&&&&&

mm11 mmii mmkk mmnn

mm11 mmii mmkk mmnn

yy11 yyii yykk yynn

ii

iiiiiiii kk

RRyymmyy++⋅⋅== &&&&

Page 166: Dusan Kovacevic

00))tt((∆∆oscilacije:oscilacije:slobodneslobodne ii ==

00RRii →→

))tt((∆∆))tt((∆∆))tt((∆∆ icicipipii ++==

00))tt((∆∆kkXXXXδδ......XXδδXXδδ ii

ii

iinninin2222ii1111ii ==++++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

00))tt((∆∆yy))RRyymm((δδ............))−−RRyymm((δδ))RRyymm((δδ

iiiinnnnnninin

22222222ii11111111ii

==++−−++⋅⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⋅−−

&&&&

&&&&&&&&

00))tt((∆∆yyyymmδδ......yymmδδyymmδδ iiiinnnninin222222ii111111ii ==++−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅−− &&&&&&&&&&&&

Page 167: Dusan Kovacevic

PPii(t)(t)

kk1i1ikkiiii

kkkiki kknini

mm11 mmii mmkk mmnn

kk11 kkii kkkk kknn

mm11

mmii mmkk

mmnn

1.0

1.0

Page 168: Dusan Kovacevic

00yymmyykk......yykk......yykk

00))tt((PPoscilacije:oscilacije:slobodneslobodne

00))tt((PPyymmyykk......yykk......yykk

00RR

00))tt((PPRRXXSS

yykk......yykk......yykkSS

iiiinnininiiiiii1111ii

ii

iiiiiinnininiiiiii1111ii

ii

iiiiiiii

nnininiiiiii1111iiii

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅

==

==++⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅

→→

==++++++

⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅==

&&&&

&&&&

Page 169: Dusan Kovacevic

Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa vimodela sa viššee

stepeni slobode pomeranjastepeni slobode pomeranja

==

==++⋅⋅⋅⋅

==++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

nnnn

nn222222

nn1112121111

iinnnninin222222ii111111ii

δδ..simsim

δδδδδδδδδδ

]]δδ[[

00}}yy{{}}yy{{]]MM[[]]δδ[[

00yyyymmδδ......yymmδδyymmδδ

MMOO

KK

KK

&&&&

&&&&&&&&&&&&

Page 170: Dusan Kovacevic

==

==

==

==++⋅⋅⋅⋅

nn

22

11

nn

22

11

nn

22

11

yy

yyyy

}}yy{{

yy

yyyy

}}yy{{

mm..simsim

00mm0000mm

]]MM[[

00}}yy{{}}yy{{]]MM[[]]δδ[[

&&&&MM

&&&&

&&&&

&&&&MM

MMOO

KK

KK

&&&&

Page 171: Dusan Kovacevic

00ΦΦAAΦΦ))AAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ((

ΦΦAAyy

ΦΦAAyyΦΦAAyy

ΦΦAAyy

ΦΦAAyyyy

kkikikkknknknnininkk222222iikk111111ii

kknknknknk

kkkk22kk22

kkkk11kk11

kkikikikik

nn

11kkkkikik

nn

11kkikikii

==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅==

⋅⋅==== ∑∑∑∑====

&&&&

MM

Page 172: Dusan Kovacevic

ttωωcoscosBBttωωsinsinAAΦΦ

00AA))AAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ((ωω

ωωAAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ

AAΦΦΦΦ

kkkkkkkkkk

ikiknknknnininkk222222iikk111111ii22kk

22kk

nknknnininkk222222iikk111111ii

ikik

kk

kk

⋅⋅++⋅⋅==

==−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±

±±==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==&&&&

00ΦΦωωΦΦ kk22kkkk ==⋅⋅mm&&&&

Page 173: Dusan Kovacevic

00AA))λλmmδδ((......AAmmδδAAmmδδ

00AAmmδδ......AA))λλmmδδ((AAmmδδ

00AAmmδδ......AAmmδδAA))λλmmδδ((

00AA))11ωωmmδδ((......AAωωmmδδAAωωmmδδ

00AAωωmmδδ......AA))11ωωmmδδ((AAωωmmδδ((

00AAωωmmδδ......AAωωmmδδAA))11ωωmmδδ((

nknkkknnnnnnkk222222nnkk111111nn

nknknnnn22kk22kk222222kk11222121

nknknnnn11kk11221212kk11kk111111

nknk22kknnnnnnkk22

22kk2222nnkk11

22kk1111nn

nknk22kknnnn22kk22

22kk222222kk11

22kk112121

nknk22kknnnn11kk11

22kk221212kk11

22kk111111

==⋅⋅−−⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅

==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

MM

MM

Page 174: Dusan Kovacevic

00}}AA{{])])II[[λλ]]DD([([

AA

AAAA

}}AA{{

kkkk

nknk

kk22

kk11

kk

==⋅⋅⋅⋅−−

==MM

]]MM[[]]δδ[[]]DD[[

00}}AA{{λλ}}AA{{]]MM[[]]δδ[[

00}}AA{{}}AA{{]]MM[[]]δδ[[ωω

kkkkkk

kkkk22kk

⋅⋅==

==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

==−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Page 175: Dusan Kovacevic

====

==

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅

==⋅⋅−−

nnnn22nn11nn

nn2222222121

nn1112121111

nn2211

kknnnnnn2222nn1111nn

nnnn22kk222222112121

nnnn11221212kk111111

AAAAAA

AAAAAAAAAAAA

}}}}AA}...{}...{AA{{}}AA{{{{]]AA[[

00

λλmmδδmmδδmmδδ

mmδδλλmmδδmmδδmmδδmmδδλλmmδδ

frekventnafrekventnajednajednaččinaina

(fleksibilnost)(fleksibilnost)

00]]II[[λλ]]DD[[

LL

MMOOMMMM

LL

LL

LL

MMOOMMMM

KK

KK

Page 176: Dusan Kovacevic

00

λλmmkkkkkk

kkλλmmkkkk

kkkkλλmmkk

00

mmλλδδδδδδ

δδmmλλδδδδ

δδδδmmλλδδ

kk

nnnnnn22nn11nn

nn22kk

2222222121

nn111212kk

111111

nn

kknnnn22nn11nn

nn2222

kk22222121

nn11121211

kk1111

==

−−

−−

−−

==

−−

−−

−−

LL

MMOOMMMM

KK

KK

LL

MMOOMMMM

KK

KKalternativnialternativnioblikoblik

frekventnefrekventnejednajednaččineine

(fleksibilnost)(fleksibilnost)

frekventnafrekventnajednajednaččinaina(krutost)(krutost)

00]]MM[[ωω]]KK[[ 22 ==⋅⋅−−

Page 177: Dusan Kovacevic

Svojstveni oblici slobodnih nepriguSvojstveni oblici slobodnih nepriguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modela sa vikog modela sa viššee

stepeni slobode pomeranjastepeni slobode pomeranja

�� svojstveni oblik oscilacija je definisansvojstveni oblik oscilacija je definisansvojstvenim vektorom i odgovara svojstvenojsvojstvenim vektorom i odgovara svojstvenoj

frekvencijifrekvenciji�� broj svojstvenih oblika jednak je broju stepenibroj svojstvenih oblika jednak je broju stepeni

slobodeslobode�� u svojstvenom obliku oscilovanja odnosiu svojstvenom obliku oscilovanja odnosi

amplituda masa su konstantniamplituda masa su konstantni�� svojsteni vektori su ortogonalni vektorisvojsteni vektori su ortogonalni vektori

Page 178: Dusan Kovacevic

Ortogonalnost svojstvenih oblika slobodnihOrtogonalnost svojstvenih oblika slobodnihneprigunepriguššenih oscilacija dinamienih oscilacija dinamiččkog modela sakog modela sa

vivišše stepeni slobode pomeranjae stepeni slobode pomeranja

}}00{{}}AA{{]]MM[[}}AA{{00AAAAmm

ωωωω00AAAAmm))ωωωω((

))ttωωsinsinAAttωωsinsinAA((ωωmm

))ttωωsinsinAAttωωsinsinAA((ωωmm

ssTT

rr

nn

11iiiririsisii

ssrr

nn

11iiiririsisii

22ss

22rr

nn

11iirririrssisis

22ssii

nn

11iissisisrririr

22rrii

==++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

≠≠==⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−

⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

⇓⇓

==

==

==

4444444444444444 334444444444444444 2211

Page 179: Dusan Kovacevic

Određivanje svojstvenih oblika i svojstvenihOdređivanje svojstvenih oblika i svojstvenihfrekvencija dinamifrekvencija dinamiččkog modela sa vikog modela sa višše stepenie stepeni

slobode pomeranjaslobode pomeranja

kkkkkk }}AA{{λλ}}AA{{]]DD[[ ⋅⋅==⋅⋅

kkkkkk }}AA{{λλ}}AA{{]]MM[[]]δδ[[ ⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

2211

11mm

11mm

mm ωω11λλ

}}BB{{}}BB{{limlim ====++

∞∞→→

11mmmm}}AA{{cc}}BB{{limlim ⋅⋅==

∞∞→→

mm11mm }}BB{{]]DD[[}}BB{{ ⋅⋅==++

kk22kkkk }}AA{{]]MM[[ωω}}AA{{]]KK[[ ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

nn

22nn

mm

11mmmm λλ

11ωω}}BB{{}}BB{{limlim ====++

∞∞→→

nnmmmm}}AA{{cc}}BB{{limlim ⋅⋅==

∞∞→→

mm11

11mm }}BB{{]]DD[[}}BB{{ ⋅⋅== −−++

kk22kkkk

1111 }}AA{{ωω}}AA{{]]δδ[[]]MM[[ ⋅⋅==⋅⋅⋅⋅ −−−−

Page 180: Dusan Kovacevic

00aa00}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa

00}}AA{{]]MM[[}}AA{{

}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa......}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa

00}}BB{{]]MM[[}}AA{{

}}AA{{aa}}BB{{00aa

}}AA{{aa......}}AA{{aa}}AA{{aa}}BB{{

1111TT

1111

ssTT

rr

nnTT

nnnn22TT

222211TT

1111

TT11

nn

22mmmmmm11

nnnn22221111

==⇒⇒==⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==⇒⇒==

⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅==

∑∑==

Page 181: Dusan Kovacevic

11nn

ii11ii11

ii11iinn

3131

ii11ii11

ii11ii33

2121

ii11ii11

ii11ii22

11,c11,c

11nn

2121

1111

AAAAmm

AAmm......AA

AAmm

AAmmAA

AAmm

AAmmAA

AA

AAAA

}}BB{{

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−−−−⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅==

==

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

00AAmmAA......AAmmAAAAmmAAii

11iinn11nnii

11ii222121ii

11ii111111 ==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅ ∑∑∑∑∑∑

MM

Page 182: Dusan Kovacevic

}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[

}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[

}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[

}}AA{{}}AA{{]]SS[[

AA

AAAA

AA

AAAA

110000

001100

AAmm

AAmm

AAmm

AAmm00

11mmmm11mm11ccmm

3322112211cc22

2211111111cc11

cc111111

cc11nn

2121

1111

11nn

2121

1111

ii11ii11

ii11iinn

ii11ii11

ii11ii22

++==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅

==

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅−−

⋅⋅

⋅⋅

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

MMMM

LL

MMOOMMMM

LL

LL

Page 183: Dusan Kovacevic

}}AA{{λλaa}}BB{{limlim

}}AA{{λλaa}}BB{{limlim

λλ......λλλλ

λλ......λλλλ

}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{

}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{

22mm22221111mmmm

2211mm

222211mmmm

mmnn

mm33

mm22

nn3322

nnmmnnnn33

mm333322

mm222211mm

nn11mm

nnnn3311mm

33332211mm

2222mm

⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅==

>>>>>>>>>>>>

>>>>>>

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

++∞∞→→

−−

∞∞→→

++

−−−−−−

2222

2222

11mm2222

22mm2222

mm11mm

1111mmmm ωω

11λλ}}AA{{λλaa

}}AA{{λλaalimlim}}BB{{}}BB{{limlim ====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −−∞∞→→

++

∞∞→→

Page 184: Dusan Kovacevic

00aa00aa

00}}BB{{]]MM[[}}AA{{

00}}BB{{]]MM[[}}AA{{

2211

TT22

TT11

====

==⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

∑∑==

⋅⋅==⇒⇒nn

33mmmmmm }}AA{{aa}}BB{{

00AAmmAA......AAmmAAAAmmAA

00AAmmAA......AAmmAAAAmmAA

ii22iinn11nn

ii22ii222121

ii22ii111111

ii11iinn11nn

ii11ii222121

ii11ii111111

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

Page 185: Dusan Kovacevic

2233

3333

11mm3333

33mm3333

22mm

2211mm

mm

33333311mm

333322mmmm

nnmmnnnn44

mm444433

mm333322mm22mm22

2222nnnnnn444444333333221122

11mmmm22mm22ccmm

2222

ωω11λλ

}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa

}}BB{{}}BB{{limlim

}}AA{{cc}}AA{{λλaa}}BB{{limlim

}}AA{{λλaa......}}AA{{aa}}AA{{λλaa}}BB{{}}BB{{]]DD[[

}}BB{{}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{]]DD[[

}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[

]]DD[[]]SS[[]]DD[[

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅

==⋅⋅⋅⋅

−−++

∞∞→→

−−

∞∞→→

++

Page 186: Dusan Kovacevic

Prinudne vibracije dinamiPrinudne vibracije dinamiččkog modela sa vikog modela sa viššeestepeni slobode pomeranja usled harmonijskistepeni slobode pomeranja usled harmonijski

promenljivog opterepromenljivog optereććenjaenja

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX))kk11δδ((......XXδδXXδδ

yyyymmkk

kkXX

kkyymmyyyymmXX

ttννsinsin∆∆))tt((∆∆

00))tt((∆∆yyXXδδ......XXδδXXδδ

00iinnininiiii

iiii2222ii1111ii

ii

iiiiii

ii

ii

ii

iiiiiiiiiiii

00iiii

iiiinninin2222ii1111ii

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++++⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅==⇒⇒==⋅⋅==⋅⋅==

⋅⋅==

==++++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

&&&&&&&&&&&&

Page 187: Dusan Kovacevic

00ttννsinsin∆∆XX**δδ......XXδδXXδδ

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX**δδXXδδ

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XXδδXX**δδ

00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX))ννmm

11δδ((......XXδδXXδδ

ttννsinsinyy))tt((yy

00nnnnnnnn2222nn1111nn

2020nnnn22222222112121

1010nnnn11221212111111

00iinnininii22ii

iiii2222ii1111ii

iiii

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅

==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

−−++++⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅==

MM

22ii

ii

22iiii

ii ννmmttννsinsinyy

ttννsinsinννyymmkk ⋅⋅−−==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−==

Page 188: Dusan Kovacevic

00kknnknkn2222kk1111kkkk

1122

22ii

iiii

22nn

nnnn22nn11nn

nn222222

22222121

nn1112122211

1111

22ii

iiiiiiii

SSXXSS......XXSSXXSSSS

00}}∆∆{{}}XX{{))]]MM[[νν11]]δδ([([

ννmmXX))tt((yy

ννmm11δδδδδδ

δδννmm

11δδδδ

δδδδννmm

11δδ

]*]*δδ[[

ννmm11δδ**δδ

++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅==

==++⋅⋅−−

⋅⋅==

⋅⋅−−

⋅⋅−−

⋅⋅−−

==

⋅⋅−−==

−−

LL

MMOOMMMM

KK

KK

Page 189: Dusan Kovacevic

ZEMLJOTRESZEMLJOTRES�� zemljotreszemljotres -- ubrzano pomeranje tla koje izazivaubrzano pomeranje tla koje izaziva

inercijalne sile u konstrukcijamainercijalne sile u konstrukcijama�� vulkanski zemljotresivulkanski zemljotresi -- posledica promena uposledica promena u

zemljinoj kori zbog izrazemljinoj kori zbog izražžene vulkanske aktivnostiene vulkanske aktivnosti�� urvinski zemljotresiurvinski zemljotresi -- posledica uruposledica uruššavanja gornjihavanja gornjihslojeva tla u zonama iznadslojeva tla u zonama iznad ššupljina u zemljinoj koriupljina u zemljinoj kori�� tektonski zemljotresitektonski zemljotresi -- posledica popuposledica popušštanja vezetanja veze

u kontaktnim zonama blokova zemljine koreu kontaktnim zonama blokova zemljine kore(rasedi)(rasedi)

Page 190: Dusan Kovacevic

ZemljotresZemljotres -- mesto pojavemesto pojave

�� hipocentarhipocentar -- mesto nastanka seizmimesto nastanka seizmiččkog talasakog talasa -- tetežžiišštetepovrpovrššine raseda (na dubini 5kmine raseda (na dubini 5km--60km)60km)

�� epicentarepicentar -- centralna projekcija hipocentra na povrcentralna projekcija hipocentra na površšinuinuzemljezemlje

�� "e""e" -- epicentralno rastojanjeepicentralno rastojanje -- rastojanje epicentrarastojanje epicentra "E""E" ododtataččke na zemljinoj povrke na zemljinoj površšini "X"ini "X"

�� "h""h" -- hipocentralno rastojanjehipocentralno rastojanje -- rastojanje hipocentrarastojanje hipocentra "H""H" ododepicentraepicentra "E""E" -- dubinadubina žžariariššta zemljotresata zemljotresa

HH

EE XXее

hh ff

Page 191: Dusan Kovacevic

Prostiranje zemljotresa u zemljinoj koriProstiranje zemljotresa u zemljinoj kori ---- seizmiseizmiččki talasiki talasi

�� longitudinalni (podulongitudinalni (podužžni) talasini) talasi -- promenapromenanaprezanja (pritisak i zatezanje) u pravcu talasanaprezanja (pritisak i zatezanje) u pravcu talasa

(7(7--8km/s)8km/s)�� transverzalni (popretransverzalni (popreččni) talasini) talasi -- oscilovanjeoscilovanje

upravno na pravac talasa (4upravno na pravac talasa (4--4.5km/s)4.5km/s)�� Reyleighevi (povrReyleighevi (površšinski) talasiinski) talasi --

dvodimenzionalno oscilovanje slobodne povrdvodimenzionalno oscilovanje slobodne površšineinetla (0.2tla (0.2--5.6km/s)5.6km/s)

Page 192: Dusan Kovacevic

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]

--350350

--300300--300300

--250250

--200200--200200

--150150

--100100--100100

--5050

0000

5050

100100100100

150150

200200200200

250250

300300300300

350350

--300300

--200200

--100100

00

100100

200200

300300

San FernandoSan Fernando09.02.197109.02.1971N11E komponentaN11E komponenta∆∆t=0.02st=0.02s

uugmaxgmax=192.643cm/s=192.643cm/s 22

uugmingmin==--220.489cm/s220.489cm/s 22

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

22 ]] &&&&&&&&

Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva

Page 193: Dusan Kovacevic

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]

--4.54.5

--4.04.0--4.04.0

--3.53.5

--3.03.0--3.03.0

--2.52.5

--2.02.0--2.02.0

--1.51.5

--1.01.0--1.01.0

--0.50.5

0.00.00.00.0

0.50.5

1.01.01.01.0

1.51.5

2.02.02.02.0

2.52.5

3.03.03.03.0

3.53.5

4.04.04.04.0

4.54.5

--4.04.0

--3.03.0

--2.02.0

--1.01.0

0.00.0

1.01.0

2.02.0

3.03.0

4.04.0

0.8040.804

--0.9230.923--1.2621.262

1.1381.138

--2.8982.898

3.1583.158

0.3240.324

--0.280.28

MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆t=0.005st=0.005suumaxmax=3.158cm=3.158cmuuminmin==--2.898cm2.898cm

Hor

izon

taln

o po

mer

anje

[cm

]H

oriz

onta

lno

pom

eran

je [c

m]

Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje

Page 194: Dusan Kovacevic

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]

--350350

--300300--300300

--250250

--200200--200200

--150150

--100100--100100

--5050

0000

5050

100100100100

150150

200200200200

250250

300300300300

350350

--300300

--200200

--100100

00

100100

200200

300300

ParkfieldParkfield27.06.196627.06.1966N65W komponentaN65W komponenta∆∆t=0.02st=0.02suugmaxgmax=264.352cm/s=264.352cm/s 22

uugmingmin==--220.801cm/s220.801cm/s 22

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

22 ]]

&&&&&&&&

Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva

Page 195: Dusan Kovacevic

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919

Vreme [s]Vreme [s]

--4.54.5

--4.04.0--4.04.0

--3.53.5

--3.03.0--3.03.0

--2.52.5

--2.02.0--2.02.0

--1.51.5

--1.01.0--1.01.0

--0.50.5

0.00.00.00.0

0.50.5

1.01.01.01.0

1.51.5

2.02.02.02.0

2.52.5

3.03.03.03.0

3.53.5

4.04.04.04.0

4.54.5

--4.04.0

--3.03.0

--2.02.0

--1.01.0

0.00.0

1.01.0

2.02.0

3.03.0

4.04.0

--0.7990.799

0.8720.872

2.0572.057

--2.232.23

1.1311.131

--1.3031.303

--0.6440.644

0.4450.445

MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆t=0.005st=0.005suumaxmax=2.057cm=2.057cmuuminmin==--2.230cm2.230cm

Hor

izon

taln

o po

mer

anje

[cm

]H

oriz

onta

lno

pom

eran

je [c

m]

Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje

Page 196: Dusan Kovacevic

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919

Vreme [s]Vreme [s]

--350350

--300300--300300

--250250

--200200--200200

--150150

--100100--100100

--5050

0000

5050

100100100100

150150

200200200200

250250

300300300300

350350

--300300

--200200

--100100

00

100100

200200

300300

Imperial ValleyImperial Valley18.05.1940.18.05.1940.N65W komponentaN65W komponenta∆∆t=0.02st=0.02suugmaxgmax=263.049cm/s=263.049cm/s 22

uugmingmin==--341.705cm/s341.705cm/s 22

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

Hor

izon

taln

o ub

rzan

je p

odlo

ge [c

m/s

22 ]] &&&&&&&&

Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva

Page 197: Dusan Kovacevic

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919

--4.54.5

--4.04.0--4.04.0

--3.53.5

--3.03.0--3.03.0

--2.52.5

--2.02.0--2.02.0

--1.51.5

--1.01.0--1.01.0

--0.50.5

0.00.00.00.0

0.50.5

1.01.01.01.0

1.51.5

2.02.02.02.0

2.52.5

3.03.03.03.0

3.53.5

4.04.04.04.0

4.54.5

--4.04.0

--3.03.0

--2.02.0

--1.01.0

0.00.0

1.01.0

2.02.0

3.03.0

4.04.0

--2.42.4

2.4152.415

--1.6321.632

2.4432.443

--0.8110.811

1.5311.531

--0.2450.245

1.2011.201

MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆ t=0.005st=0.005suumaxmax=2.443cm=2.443cmuuminmin==--2.400cm2.400cm

Vreme [s]Vreme [s]

Hor

izon

taln

o po

mer

anje

[cm

]H

oriz

onta

lno

pom

eran

je [c

m]

Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje

Page 198: Dusan Kovacevic

ŠŠema registrovanja mehaniema registrovanja mehaniččkih velikih veliččinainapri seizmipri seizmiččkim dejstvimakim dejstvima

�� nepokretni deonepokretni deo�� oprugaopruga (krutost)(krutost)

�� prigupriguššenjeenje�� masamasa

�� zapiszapis

Page 199: Dusan Kovacevic

Intenzitet seizmiIntenzitet seizmiččkog dejstvakog dejstva�� magnituda zemljotresa (Richter, Mmagnituda zemljotresa (Richter, Mmaxmax=8.9)=8.9)

M = log(A)M = log(A) -- log(B)log(B)AA -- amplituda pomeranja zemljotresaamplituda pomeranja zemljotresa

BB -- amplituda pomeranja referentnog zemljotresaamplituda pomeranja referentnog zemljotresa(B=0.001mm, e=100km)(B=0.001mm, e=100km)

�� oslobođena energija u hipocentruoslobođena energija u hipocentrulog(E) = 11.0 + 1.8log(E) = 11.0 + 1.8··MM�� intenzitet u epicentruintenzitet u epicentru

II00 = 1.5= 1.5··MM -- 3.53.5··log(f)+3.0log(f)+3.0

Page 200: Dusan Kovacevic

SeizmiSeizmiččke skaleke skale�� XVII vek (Italija)XVII vek (Italija)

�� 50 skala prema veli50 skala prema veliččiniini šštete na objektima,tete na objektima,promene nastale u okrupromene nastale u okružženju,enju,

promene ponapromene ponaššanjaanja žživih biivih bićća...a...�� MercalliMercalli--CancaniCancani--Siebergova skala (12 stepeni,Siebergova skala (12 stepeni,

1917.)1917.)�� modifikovana Mercallijeva skala (MM, USA)modifikovana Mercallijeva skala (MM, USA)

�� GOST 6249GOST 6249--52 (Rusija)52 (Rusija)�� MedvedevMedvedev--SponheuerSponheuer--Karnik (MSKKarnik (MSK--64, UNESCO,64, UNESCO,

1964.)1964.)

Page 201: Dusan Kovacevic

Karakteristike zemljotresa prema MCSKarakteristike zemljotresa prema MCSseizmiseizmiččkoj skalikoj skali

�� I stepenI stepen -- reaguju samo instrumentireaguju samo instrumenti�� II stepenII stepen -- oseti se samo na vioseti se samo na viššim spratovimaim spratovima

�� III stepenIII stepen -- lak zemljotres (vibracije kao pri prolaskulak zemljotres (vibracije kao pri prolaskulakog vozila)lakog vozila)

�� IV stepenIV stepen -- umeren zemljotres (vibracije kao pri prolaskuumeren zemljotres (vibracije kao pri prolaskutetešškog vozila)kog vozila)

�� V stepenV stepen -- dosta jak zemljotres (odosta jak zemljotres (oššteteććenja naenja naneseizmineseizmiččki građenim objektimaki građenim objektima))

�� VI stepenVI stepen -- jak zemljotres (pukotine u tlu, ojak zemljotres (pukotine u tlu, oššteteććenja i naenja i naaseizmiaseizmiččki građenim objektima aki građenim objektima agg=0.25=0.25--0.50m/s0.50m/s22))

Page 202: Dusan Kovacevic

�� VII stepenVII stepen -- silan zemljotres (osilan zemljotres (oššteteććenja na AB objektima,enja na AB objektima,aktiviranje manjih kliziaktiviranje manjih kliziššta, ata, agg=0.50=0.50--1.00m/s1.00m/s22))

�� VIII stepenVIII stepen -- šštetan zemljotres (strah i panika, srednjatetan zemljotres (strah i panika, srednjaooššteteććenja AB objekata, aenja AB objekata, agg=1.00=1.00--2.00m/s2.00m/s22))

�� IX stepenIX stepen -- ograniograniččeno razoran zemljotres (teeno razoran zemljotres (tešškakaooššteteććenja na svim objektima, aenja na svim objektima, agg=2.00=2.00--4.00m/s4.00m/s22))

�� X stepenX stepen -- razorni zemljotres (orazorni zemljotres (oššteteććenja na nasipima ienja na nasipima ibranama, pukotine u tlu i do 1m, rubranama, pukotine u tlu i do 1m, ruššenje veenje veććineine

uobiuobiččajeno građenih objekataajeno građenih objekata))�� XI stepenXI stepen -- pustopustoššni zemljotres (komunikacije postajuni zemljotres (komunikacije postaju

neupotrebljive, aktiviranje klizineupotrebljive, aktiviranje kliziššta i odrona)ta i odrona)�� XII stepenXII stepen -- katastrofalni zemljotreskatastrofalni zemljotres

(promena reljefa terena...)(promena reljefa terena...)

Page 203: Dusan Kovacevic

Prinudne priguPrinudne priguššene oscilacije modela sa jednim stepenomene oscilacije modela sa jednim stepenomslobode usled pomeranja osnoveslobode usled pomeranja osnove

mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje

(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranjey(t)y(t) -- elongacijaelongacijaηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje

((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm··gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]yygg(t)(t) -- pomeranje osnove [m]pomeranje osnove [m]

¨˙

mm

kk

mm··zzkk··zz

mm⋅⋅gg

cc··zz

cc yy stst

ηη (t)(t)

y(t)

y(t)

yygg(t)(t)

Page 204: Dusan Kovacevic

gg22

gg

gg

gg

gg

gg

gggggggg

yyzzωωzzωωζζ22zz

yyzzmmkkzz

mmcczz

yymmzzkkzzcczzmm

yyyyzzyyyyzzyyyyzz

yymm))yyyy((kk))yyyy((cc))yyyy((mm

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&

−−==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

−−==⋅⋅++⋅⋅++

⋅⋅−−==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

−−==−−==−−==

⋅⋅−−==−−⋅⋅++−−⋅⋅++−−⋅⋅

Page 205: Dusan Kovacevic

Spektri odgovoraSpektri odgovora�� spektri odgovora prikazuju maksimalnespektri odgovora prikazuju maksimalnevrednosti odgovora (pomeranja, brzine,vrednosti odgovora (pomeranja, brzine,

ubrzanja, sile u preseku, naponi, dinamiubrzanja, sile u preseku, naponi, dinamiččkikikoeficijenti...) sistema sa jednim stepenom slobode zakoeficijenti...) sistema sa jednim stepenom slobode za

dinamidinamiččko dejstvoko dejstvo�� apscisna osaapscisna osa -- svojstvene frekvencije ili periodisvojstvene frekvencije ili periodi

oscilovanja konstrukcijeoscilovanja konstrukcije�� ordinatna osaordinatna osa -- maksimalne vrednosti odgovoramaksimalne vrednosti odgovora

konstrukcijekonstrukcije�� familije krivih dobijaju se promenom prigufamilije krivih dobijaju se promenom priguššenjaenja

sistemasistema

Page 206: Dusan Kovacevic

NumeriNumeriččko modeliranje odgovorako modeliranje odgovorakonstrukcija izlokonstrukcija izložženih seizmienih seizmiččkim dejstvimakim dejstvima

�� modeliranje seizmimodeliranje seizmiččkog dejstvakog dejstva�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja materijalaanja materijala�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja elemenataanja elemenata

�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja spojeva i vezaanja spojeva i veza�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja tlaanja tla

Page 207: Dusan Kovacevic

Metoda direktne dinamiMetoda direktne dinamiččke analizeke analize

[M][M] -- matrica masa sistemamatrica masa sistema[C][C] -- matrica prigumatrica priguššenja sistemaenja sistema[K[Ktt]] -- tangentna matrica krutosti sistematangentna matrica krutosti sistema{{∆∆üü}} -- vektor inkremenata ubrzanjavektor inkremenata ubrzanja ččvorova sistemavorova sistema

-- vektor inkremenata brzinavektor inkremenata brzina ččvorova sistemavorova sistema{{∆∆u}u} -- vektor inkremenata pomeranjavektor inkremenata pomeranja ččvorova sistemavorova sistema{{∆∆F}F} -- vektor inkremenata spoljnih sila uvektor inkremenata spoljnih sila u ččvorovima sistemavorovima sistema

}}uu∆∆{{]]MM[[}}FF∆∆{{}}uu∆∆{{]]KK[[}}uu∆∆{{]]CC[[}}uu∆∆{{]]MM[[ ggtt &&&&&&&&&& ⋅⋅−−====⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

}}uu∆∆{{ &&

Page 208: Dusan Kovacevic

ReReššavanje jednaavanje jednaččine dinamiine dinamiččke ravnoteke ravnotežžee� primena metode konačnih elemenata

� numeričko rešavanje jednačina dinamičke ravnotežeprimenom inkrementalnog (step-by-step) pristupa u

povezivanju tekuće i naredne konfiguracije analiziranogsistema konačnih elemenata

� umesto rešenja za bilo koji vremenski trenutak "t", traži serešenje samo u određenim diskretnim trenucima "ti"

(i=1,2,...,n) koji se razlikuju za "∆t"� promena pomeranja, brzina i ubrzanja u okviru vremenskog

intervala "∆t" unapred se pretpostavlja� kompleksna metoda

� velika tačnost metode - mogućnost primene realnihnelinearnih modela ponašanja i dobijanje istorije promene

veličina pomeranja, napona i sila

Page 209: Dusan Kovacevic

Metode direktne integracije jednaMetode direktne integracije jednaččineinedinamidinamiččke ravnoteke ravnotežžee

� metoda centralnih konačnih razlika(centralni diferencni postupak)

� Houboltov postupak prethodnih konačnih razlika� Wilsonov "θ" postupak linearnog ubrzanja

� Newmarkov "β" postupak konstantnog ubrzanja� postupak harmonijskog ubrzanja

� Hilberov postupak...

Page 210: Dusan Kovacevic

Algoritam inkrementalnog postupka primene metodeAlgoritam inkrementalnog postupka primene metodedirektne integracije jednadirektne integracije jednaččine dinamiine dinamiččke ravnoteke ravnotežžee

� inicijalizacija početnog stanja pomeranja, brzine i ubrzanja utrenutku "t0" kao poznatog

� na osnovu pretpostavke promeni ubrzanja uintervalu "t0+∆t" određuje se stanje pomeranja,

brzine i ubrzanja u trenutku "t1"� uticaji u trenutku t1 su inicijalni za drugi interval -

- veličine na kraju tog intervala određuju se naosnovu uticaja na početku intervala i pretpostavljenog

načina njihove promene u okviru intervala "∆t"

Page 211: Dusan Kovacevic

))uuuu((22tt∆∆uuuu tttt∆∆tttttt∆∆tt &&&&&&&&&&&& ++⋅⋅++== ++++

))uuuu((22tt∆∆uuuu tttt∆∆tttttt∆∆tt &&&& ++⋅⋅++== ++++

tttttt∆∆tttt∆∆tt uu))uuuu((tt∆∆

22uu &&&&&&&&&&&& −−−−⋅⋅== ++++

tttttt∆∆tttt∆∆tt uu))uuuu((tt∆∆

22uu &&&& −−−−⋅⋅== ++++

tt∆∆tt,,ggtt∆∆tttttt∆∆tt11

tt∆∆tt

tt∆∆tt,,ggtt∆∆tttttt∆∆tttt∆∆tt

}}uu{{))}}uu{{]]KK[[}}uu{{]]CC([([]]MM[[}}uu{{

}}uu{{]]MM[[}}uu{{]]KK[[}}uu{{]]CC[[}}uu{{]]MM[[

++++++−−

++

++++++++

−−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==

⋅⋅−−==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

Page 212: Dusan Kovacevic

Metoda modalne superpozicijeMetoda modalne superpozicije

�� odgovor sistema dobija se kaoodgovor sistema dobija se kaokombinacija odgovora po svojstvenim oblicimakombinacija odgovora po svojstvenim oblicima

(modalna superpozicija)(modalna superpozicija)�� seizmiseizmiččke sile izrake sile izraččunavaju se za prvihunavaju se za prvih

"k" svojstvenih oblika"k" svojstvenih oblika�� uticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statiuticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statiččke analize zake analize za

seizmiseizmiččke sile prvih "k" svojstvenih oblikake sile prvih "k" svojstvenih oblika�� ukupni uticaji se dobiju kao kombinacija svih oblikaukupni uticaji se dobiju kao kombinacija svih oblika

(kombinacija nije linearna s obzirom na razli(kombinacija nije linearna s obzirom na različčite faze amplitudaite faze amplitudapomeranja i sila za razlipomeranja i sila za različčite svojstvene oblike)ite svojstvene oblike)

�� kompleksna metodakompleksna metoda�� nedovoljna tanedovoljna taččnost s obzirom na pretpostavku o linearnomnost s obzirom na pretpostavku o linearnom

ponaponaššanju i karakter superpozicijeanju i karakter superpozicije

Page 213: Dusan Kovacevic

j=2j=2j=1j=1 j=3j=3

�� xxikik -- amplitudaamplituda sistema zasistema zaoblik "i" ioblik "i" i

za taza taččku "k"ku "k"

xxQQ

xxQQxxηη

�� koeficijenkoeficijent oblikat oblika

))5050..00ββ5050..11((TT7575..00ββ

�� koeficijenkoeficijent dinamit dinamiččnosti zanosti zaoblik "i"oblik "i"

nn

11jj

22ijijjj

nn

11jjijijjj

ikikikik

iiii

ii

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==

>>>>==

∑∑

∑∑

==

==

xx1313

xx1212

xx1111

xx2323

xx2222

xx2121

xx3333

xx3232

xx3131

Page 214: Dusan Kovacevic

ηηQQββKKSS

�� sseizmieizmiččka sila za oblik "i"ka sila za oblik "i"i tai taččku "ku "kk""

ikikkkiiccikik ⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

j=2j=2j=1j=1 j=3j=3

SS1313

SS1212

SS1111

SS2323

SS2222

SS2121

SS3333

SS3232

SS3131

�� KKcc -- koeficijentkoeficijentseizmiseizmiččnostinosti

(zavisi od seizmi(zavisi od seizmiččke zone ike zone ikvaliteta tla)kvaliteta tla)

�� QQkk -- tetežžina mase "k"ina mase "k"

∑∑==

==nn

11ii

22ikikkk YYYY

�� "ukupni" uticaj u "k""ukupni" uticaj u "k"

Page 215: Dusan Kovacevic

Metoda ekvivalentnog statiMetoda ekvivalentnog statiččkog opterekog optereććenjaenja

�� zasnovana na spektralnoj analizizasnovana na spektralnoj analizi -- određuje se zamenjujuodređuje se zamenjujuććeestatistatiččko horizontalno optereko horizontalno optereććenjeenje

�� uticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmiuticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmiččke sile dobijene nake sile dobijene naosnovu analize prvog svojstvenog oblika i drugih dinamiosnovu analize prvog svojstvenog oblika i drugih dinamiččkihkih

parametara konstrukcije, kategorije objekta, intenzitetaparametara konstrukcije, kategorije objekta, intenzitetapretpostavljenog seizmipretpostavljenog seizmiččkog dejstva i karakteristika tlakog dejstva i karakteristika tla

�� jednostavna metodajednostavna metoda�� nedovoljna tanedovoljna taččnost s obzirom nanost s obzirom na

statistatiččki karakter metodeki karakter metode

Page 216: Dusan Kovacevic

∑=

⋅⋅=

s

1iii

iii

HG

HGSS

⋅⋅⋅= pdso KKKKK

⋅= GKS SS -- ukupna seizmiukupna seizmiččka silaka silaKK -- ukupni seizmiukupni seizmiččki koeficijentki koeficijentKKoo -- koeficijent kategorije objektakoeficijent kategorije objektaKKss -- koeficijent seizmikoeficijent seizmiččkogkog

intenzitetaintenzitetaKKdd -- koeficijent dinamikoeficijent dinamiččnostinostiKKpp -- koeficijent prigukoeficijent priguššenja ienja i

duktilitetaduktilitetaSSii -- seizmiseizmiččka sila za sprat "i"ka sila za sprat "i"GGii -- tetežžina mase za sprat "i"ina mase za sprat "i"HHii -- visina sprata "i"visina sprata "i"

Page 217: Dusan Kovacevic

KKoo -- koeficijent kategorije objekta zavisi od znakoeficijent kategorije objekta zavisi od značčaja objekta iaja objekta iposledica koje mogu da nastanu u sluposledica koje mogu da nastanu u sluššaju oaju oššteteććenja ilienja iliruruššenja objektaenja objekta

KKoo =1.50 (I kategorija=1.50 (I kategorija -- zgrade sa prostorijama predvizgrade sa prostorijama predviššene zaene zavevećće skupove ljudie skupove ljudi -- bioskopi, pozoribioskopi, pozoriššta, sportsketa, sportskedvorane fakulteti,dvorane fakulteti, šškole, bolnice...)kole, bolnice...)

KKoo =1.00 (II kategorija=1.00 (II kategorija -- stambene zgrade, hoteli restorani,stambene zgrade, hoteli restorani,javne i industrijske zgrade koje nisu u prvoj kategoriji...)javne i industrijske zgrade koje nisu u prvoj kategoriji...)

KKoo =0.75 (III kategorija=0.75 (III kategorija -- pomopomoććnono--proizvodne zgrade,proizvodne zgrade,agrotehniagrotehniččki objekti...)ki objekti...)

KKoo = (IV kategorija= (IV kategorija -- privremeni objektiprivremeni objekti ččije ruije ruššenje neenje nemomožže da ugrozi ljudskee da ugrozi ljudske žživote...)ivote...)

Page 218: Dusan Kovacevic

KKss -- koeficijent seizmikoeficijent seizmiččkog intenziteta zavisi od intenzitetakog intenziteta zavisi od intenziteta(stepena) zemljotresa i normiran je u odnosu na ubrzanje(stepena) zemljotresa i normiran je u odnosu na ubrzanjezemljine tezemljine težžee

KKss =0.025=0.025 -- zemljotres VII stepena MCS skalezemljotres VII stepena MCS skaleKKss =0.050=0.050 -- zemljotres VIII stepena MCS skalezemljotres VIII stepena MCS skaleKKss =0.100=0.100 -- zemljotres IX stepena MCS skalezemljotres IX stepena MCS skale

KKdd -- koeficijent dinamikoeficijent dinamiččnosti određen je na bazi spektranosti određen je na bazi spektraodgovora na osnovu spektralnih krivih za određeneodgovora na osnovu spektralnih krivih za određenekategorije tlakategorije tla

KKdd =0.50/T=0.50/T -- I kategorija (dobro tlo) 1.00>KI kategorija (dobro tlo) 1.00>Kdd>0.33>0.33KKdd =0.70/T=0.70/T -- II kategorija (srednje tlo) 1.00>KII kategorija (srednje tlo) 1.00>Kdd>0.47>0.47KKdd =0.90/T=0.90/T -- III kategorija (loIII kategorija (lošše tlo) 1.00>Ke tlo) 1.00>Kdd>0.47>0.47

Page 219: Dusan Kovacevic

KKpp -- koeficijent duktiliteta i prigukoeficijent duktiliteta i priguššenja omoguenja omoguććuje korekcijuuje korekcijuseizmiseizmiččkih sila objekta koje zavisi od parametarakih sila objekta koje zavisi od parametaraprigupriguššenja i duktilitetaenja i duktiliteta

KKoo =1.00 (I kategorija=1.00 (I kategorija -- sve savremene konstrukcije odsve savremene konstrukcije odarmiranog betona,armiranog betona, ččelieliččne i drvene konstrukcije osim onihne i drvene konstrukcije osim onihu II kategoriji)u II kategoriji)

KKoo =1.30 (II kategorija=1.30 (II kategorija -- konstrukcije od armiranih zidova ikonstrukcije od armiranih zidova iččelieliččne konstrukcije sa dijagonalama...)ne konstrukcije sa dijagonalama...)

KKoo =1.60 (III kategorija=1.60 (III kategorija -- zidne konstrukcije sa vertikalnim ABzidne konstrukcije sa vertikalnim ABserklaserklažžima vrlo visoke i vitke konstrukcije sa malimima vrlo visoke i vitke konstrukcije sa malimprigupriguššenjem: dimnjaci, antene, vodotornjevi i drugeenjem: dimnjaci, antene, vodotornjevi i drugekonstrukcije sa T>2.0s...)konstrukcije sa T>2.0s...)

KKoo =2.00 (IV kategorija=2.00 (IV kategorija -- konstrukcije sa fleksibilnimkonstrukcije sa fleksibilnimprizemljem ili spratom, sa naglom promenom krutosti iprizemljem ili spratom, sa naglom promenom krutosti ikonstrukcije od obikonstrukcije od običčnih zidova...)nih zidova...)

Page 220: Dusan Kovacevic

Osnovi aseizmiOsnovi aseizmiččkog projektovanja i građenja objekatakog projektovanja i građenja objekata

�� seizmiseizmiččki parametri lokacije objektaki parametri lokacije objekta�� geomehanigeomehaniččki parametri lokacije objektaki parametri lokacije objekta

�� znaznaččaj i kategorija objektaaj i kategorija objekta�� ekonomski aspektiekonomski aspekti

�� dispozicija objekta (simetridispozicija objekta (simetriččne i kompaktne,ne i kompaktne, a ne razuđene ia ne razuđene inepravilne osnove, izbegavanje torzije, koncentrisanje venepravilne osnove, izbegavanje torzije, koncentrisanje veććihih

masa na manjim visinama, izbegavanje fleksibilnih prizemlja imasa na manjim visinama, izbegavanje fleksibilnih prizemlja ispratova kao i nagle promene krutosti)spratova kao i nagle promene krutosti)

�� izbor materijalaizbor materijala

Page 221: Dusan Kovacevic
Page 222: Dusan Kovacevic

�� rezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statirezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statiččkikineodređenih sistemaneodređenih sistema

�� zidane konstrukcije (mala masa i kompaktnost, kritizidane konstrukcije (mala masa i kompaktnost, kritiččna nosivostna nosivosthorizontalnih spojnica, potreba uvhorizontalnih spojnica, potreba uvođenja vertikalnih i horizontalnihođenja vertikalnih i horizontalnih

AB serklaAB serklažža za prijem horizontalnih seizmia za prijem horizontalnih seizmiččkih sila...)kih sila...)�� AB konstrukcije (velika masa, srednjaAB konstrukcije (velika masa, srednja ččvrstovrstoćća, skeletni, panelni ia, skeletni, panelni i

kombinovani sistemi , polokombinovani sistemi , položžaj jezgra i zidova za horizontalnoaj jezgra i zidova za horizontalnoukruukruććenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montaenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montažžnih sistema,nih sistema,

fleksibilne i krute međuspatni elementifleksibilne i krute međuspatni elementi -- tavanice...)tavanice...)�� ččelieliččne konstrukcije (mala masa, velika krutost ine konstrukcije (mala masa, velika krutost i ččvrstovrstoćća, istea, iste

karakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerezisnokarakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerezisnoponaponaššanje i velika duktilnost, moguanje i velika duktilnost, moguććnost gubitka stabilnosti i krtognost gubitka stabilnosti i krtog

loma zavarenih spojeva...)loma zavarenih spojeva...)