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Research Collection
Doctoral Thesis
Die direkte Bestimmung der massgebenden Gleitfläche und desminimalen Gleitsicherheitsfaktors homogener und inhomogenerBöschungen
Author(s): Gerber, Fritz Peter
Publication Date: 1965
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091968
Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
Prom. Nr. 3622
Die direkte Bestimmung der maßgebendenGleitfläche und des minimalen Gleitsicher¬
heitsfaktors homogener und inhomogener
Böschungen
VON DER
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
IN ZÜRICH ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES
DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
FRITZ PETER GERBER
dipl. Bauingenieur ETH
von Langnau i. E.
Referent: Herr Prof. G. Schnitter
Korreferent: Herr Prof. Dr. P. Läuchli
1965 Zürich Ed. Truninger
VORWORT
In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode zur mathematischen Be¬
stimmung der massgebenden Gleitfläche und damit des minimalen Gleitsicher¬
heitsfaktors beliebiger Böschungen entwickelt. Die praktische Anwendung
des Verfahrens, welche erst meine Untersuchungen sinnvoll macht, soll da¬
bei durch das gegebene ALGOL - Programm erleichtert werden.
Es ist mir ein Bedürfnis an dieser Stelle allen die direkt oder indi¬
rekt zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben meinen herzlichsten Dank
auszusprechen. Der Ausdruck meiner tiefsten Verbundenheit gilt vorab Herrn
Prof. G. Schnitter für seine umsichtige Leitung und für die von einer um¬
fangreichen Erfahrung gekennzeichneten Ratschlägen und Anregungen, sowie
Herrn Prof. Dr. P. Läuchli für die Uebernahme des Korreferats und für die
wertvollen Hinweise mathematischer Art. Mein Dank richtet sich im weiteren
auch an die Elektro - Watt, Zürich für den mir seinerzeit gewährten Urlaub
und für den dort rege gepflegten Gedankenaustausch, sowie an die Herren des
Instituts für angewandte Mathematik der ETH für ihre aufbauende Mithilfe
bei der Lösung programmtechnischer Probleme.
Zürich, April 1965 Fritz P. Gerber
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1. Einleitung 1
1.1. Allgemeines 1
1.2. Die Methode von W. Fellenius 2
1.2.1. Porenwasserspannungen 6
1.2.2. Der Begriff der Gleitsicherheit. 7
1.3. Klassische Auswertungsverfahren 12
1.3.1. Variation von R, B und A 13
1.3.2. Verfahren mittels Isoasphalien 14
2. Das vorgeschlagene Auswertungsverfahren 16
2.1. Definitionen, Voraussetzungen und Annahmen 16
2.2. Prinzip des Verfahrens 17
2.3. Herleitung des Verfahrens für homogene Böschungen 25
2.3.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p 26
2.3.2. Darstellung des Zählers Z als Funktion von p 29
2.3.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit 32
2.4. Herleitung des Verfahrens für inhomogene Böschungen 34
2.4.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p 35
2.4.2. Darstellung des Zählers Z als Funktion von p 38
2.4.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit 41
3. Anleitung für die programmgesteuerte Berechnung 43
3.1. Voraussetzungen und Einschränkungen 43
3.1.1. Maschinentechnisch 43
3.1.2. Geometrisch 43
3.1.3. Erdbaumechanisch 44
3.1.4. Mathematisch 45
3.2. Input 48
3.3. ALGOL - Programm 51
3.4. Output 63
3.4.1. Resultate 63
3.4.2. Meldungen 63
4* Anwendungsbeispiele 65
4.1. Beispiel Nr. 1 65
4.2, Beispiel Nr. 2 68
Seite
4o3. Beispiel Nr. 3 70
4.4. Beispiel Nr. 4 73
Anhang 1 78
Anhang 2 79
Anhang 3 83
Anhang 4 86
Symbolregister 91
- 1 -
1. EINLEITUNG
1.1. Allgemeines
Jede Stabilitätsberechnung, gleich nach welcher Methode und in welcher
Form sie durchgeführt wird, bezweckt die Bestimmung der geringsten Gleitsicher¬
heit eines gegebenen Böschungsabschnittes, sei es zur Dimensionierung neuer,
sei es zur Ueberprüfung bestehender Schüttungen. Die Zuverlässigkeit einer
solchen Untersuchung hängt einmal davon ab, wie genau die gewählte Methode das
wirkende Kräftespiel erfasst und wie gross der Einfluss der durch allenfalls
notwendigen Annahmen entstehenden Unzulänglichkeiten ist. Von nicht geringerer
Bedeutung ist im weiteren die möglichst exakte Kenntnis der im Laboratorium
und in situ zu bestimmenden materialtechnischen Kennziffern, besonders die der
beiden Scherparameter c1 und tgf •
Vorerst unterscheidet sich demnach eine Stabilitätsberechnung nicht von
irgend einem anderen Dimensionierungsproblem des Bauingenieurwesens. Die prak¬
tische Anwendung zeigt jedoch, dass das mehrfach implizite Problem auch in
"einfacheren Fällen" zu recht umfangreichen Berechnungen führt; dies vor allem
deshalb, weil die massgebende Gleitfläche und damit die minimale Gleitsicher¬
heit mit den bisher üblichen Methoden nicht direkt, sondern aus einer mehr
oder weniger grossen Anzahl zu untersuchender Gleitflächen bestimmt wird. Aus
dem soeben gesagten geht hervor, dass die Zuverlässigkeit einer Stabilitätsbe¬
rechnung, abgesehen von der angewandten Methode und von den gegebenen material¬
technischen Kennziffern, letztlich von der Anzahl untersuchter Gleitflächen ab¬
hängt, und dass auch für sogenannte einfachere Fälle ( Vorprojekte, rasche Kon¬
trollen, überschlagsmässige Dimensionierungen, etc. ) erst eine relativ grosse
Anzahl eine möglichst zutreffende Auswahl vorzunehmen gestattet.
Es war deshalb wünschenswert, diese bautechnisch uninteressante, innerste
und daher bei jeder Berechnung mehrmals wiederkehrende Iteration genauer zu
untersuchen, und Wege zu finden, welche die Empirie und die der Ausdauer des
die Berechnung ausführenden Ingenieurs entsprechende Zufälligkeit durch ein ma¬
thematisches Verfahren ersetzen.
Die naheliegende Formulierung als Extrenalproblem führt, wie noch zu zei¬
gen sein wird, zum Ziel, gleichzeitig aber zu ungewohnten Definitionen und zu
recht komplizierten Ausdrücken, deren numerische Lösung im Gegensatz zu den
bisher üblichen graphischen Auswertungverfahren den Vorzug der Uebersichtlich-
keit nicht mehr geniesst, und zu deren Dimensionen keine direkte Beziehung im
gewöhnlichen Sinn mehr besteht.
Nun werden aber heute vermehrt elektronische Rechengeräte zur Lösung sol-
- 2 -
cher Probleme eingesetzt, sodass die für Handberechnungen unerlässliche Beding¬
ung der Uebersichtlichkeit eine untergeordnete Rolle spielt, vorausgesetzt dass
die scheinbar umständlichere Lösung sich als wirtschaftlicher und als zuverläs¬
siger erweist. Daraus folgt, dass eine Anwendung der entwickelten Auswertungs¬
methode mit herkömmlichen Mitteln ( Tischrechenmaschinen ) im allgemeinen kaum
von praktischem Vorteil sein dürfte, so dass dem im Kapitel 3 eingehend erläu¬
tertem ALGOL - Programm mehr als nur die übliche Bedeutung des Hilfsmittels
zukommt.
1.2. Die Methode von W. Fellenius
Obschon es nicht Gegenstand der vorliegenden Untersuchung sein kann auf
die einzelnen Methoden der Stabilitätsberechnung und deren Problematik einzu¬
gehen, ist es im Interesse der Eindeutigkeit der verwendeten Definitionen un¬
umgänglich, die dem entwickelten Auswertungsverfahren zugrundegelegte, heute
allgemein übliche Methode von W. Fellenius kurz zu erläutern und auf die um¬
strittene Erfassung der Grösse der Porenwasserspannungen und der Gleitsicher¬
heit im speziellen hinzuweisen.
Es wird die Richtigkeit der zwei folgenden fundamentalen Annahmen voraus¬
gesetzt:
- Die Gleitfläche besitzt die Form einer Kreiszylinderschale unendlicher Aus¬
dehnung.
- Das vor dem Bruch wirkende Kräftespiel bleibt im Augenblick des Bruches un¬
verändert erhalten.
Die erste Annahme, die, wie an mehreren grossen Rutschungen geodätisch
nachgewiesen wurde, die tatsächlichen Verhältnisse relativ gut erfasst, ge¬
stattet die Formulierung als zweidimensionales Problem. Diese Vereinfachung
ist durchaus gerechtfertigt, weil sie infolge der Vernachlässigung der Schalen¬
wirkung zu eher geringeren Gleitsicherheiten als in Wirklichkeit vorhanden sind
führt.
Die zweite Annahme gestattet einen Vergleich zwischen Materialfestigkeit
und wirkender Scherspannung, deren Verhältnis als Gleitsicherheitsfaktor F de¬
finiert wird. Wenn mit sj die Scherfestigkeit resp. die Scherspannung an der
Stelle i bezeichnet wird, muss also die Ungleichung
Fs"t Material -i
°'Wirkern
in jeder Lamelle i erfüllt sein.
- 3 -
Zur Berechnung der Gleitsicherheit wird eine zur Kreiszylinderschale nor¬
male Scheibe der Sterke 1 (zweidimensionales Problem ) in vertikale Lamellen
konstanter Ereite eingeteilt (Fig. 1 ). Die Anzahl Lamellen und damit der Be-
Fig. 1
trag der Lamellenbreite hängt von der verlangten Genauigkeit ab und spielt, wie
an Hand des Beispiels Nr. 1 (Abschnitt 4 ) gezeigt wird, eine nicht unwesentli¬
che Rolle.Die Wahl eines an sich beliebigen Gleitkreisradius R vervollständigt
die zur geometrischen Definition des Problems erforderlichen Angaben.
Innerhalb einer Lamelle i können k verscltiedene Schichten mit verschiede¬
nen materialtechnischen Eigenschaften auf¬
treten (Fig. 2 ). Das Lamellengewicht Gt be¬
rechnet sich dann beispielsweise zu
während für die als gewichtete arithmetische
Mittel berechneten Scherparameter c/ und tg<f.'
sowie für den Porenwasserspannungskoeffizien-
ten Bf und für die Ordinate ys. des Lamellen-
schwerpunktes die folgenden Beziehungen gelten
k.«
c, =-r- > (c'P \ 3.
Fig. 2 4.
_ 4 -
XI(*\*:v;) *£(o:v:)>r
5.
6.
G,
Die Wirkung eines unter einem gegenüber der Horizontalen beliebigen Win¬
kel | auftretenden Erdbebens wird durch Einführung der im Lamellenschwerpunkt
angreifenden Zusatzkraft TJ>G,. berücksichtigt. Der als Beschleunigungs- oder
Erdbebenkoeffizient bezeichnete Faktor 4 hängt von der im Gebiet der zu unter¬
suchenden Böschung registrierten Erdbebenintensität ab und muss von Fall zu
Fall festgelegt werden.
Durch Vernachlässigung der Seitenkräfte ( Srddrücke ) - eine Vereinfachung
die, wie die Erfahrung zeigt, im allgemeinen zulässig ist - wird der dem Stabi-
litätsproblern inhärente eine Freiheitsgrad eliminiert. Nsch Einführung der dem
Betrage nach unbekannten Kräfte P{ (Normalkraft ) und T; (Tangential- oder
Scherkraft ) ergibt sich für jede Lamelle das in Fig. 3 aufgezeichnete Kräfte¬
spiel, welches zun Kräftepolygon der Fig. 4 führt. Dieses muss ja aus Gleich-
gewichtsgründen für jede Lamelle geschlossen sein, wobei für die Kraft T,- noch
die Bedingung der Gleichung 1 zu erfüllen ist.
dG,îin§
Fl£* S Pig, 4
- 5 -
Stellt man die Momentengleichgewichtöbedingung bezüglich dem Gleitkreis¬
mittelpunkt M für die Erdmasse oberhalb der Gleitfläche auf, so erhält man
mit den Bezeichnungen der Fig. 3 die Gleichung
yTi s 2_J G< *< + ^Gi (*' *ln S + *cas l ) 7.
Nun darf aber die Scherkraft T,- höchstens einen gewissen Prozentsatz der Ha-
terialscherfestigkeit erreichen. Setzt man den Grenzwert
*n =
S,fc 8.
in Gleichung 7 ein, so erhält man für den Gleitsicherheitsfaktor den Ausdruck
r^Ü5^
2Z G;X; +1?Si(Xit!n^ + i"4!)]
Andererseits ist die Materialscherfestigkeit s; definiert zu
S; - c! 4. t^'. (6-Nj - Ut) 10.
Die in jeder Lamelle gültige Kräftegleichgewichtsbedingung in radialer Rich¬
tung führt zum Betrag der Nornalkraft P; ,nämlich
Pt * G;cosd; - alG;sia(d;-|) 11.
sodass für die Kormalspannung 6^ geschrieben werden kann
^"T'T Gjcosol; -iJ'G;sin(o(l-f) 12.
Die Porenwasserspanrrung u£ wird als vom Porenwasser übernommener Anteil des
Ueberlagerungsdruckes definiert und berechnet sich, wie im Abschnitt 1.2.1.
nälier erläutert wird, aus dem für jedes Material experimentell zu bestimmenden
Porenwasserspannungskoeffizienten. Diese im wesentlichen \-cm Konsolidalions-
zustand abhängige und längs des Gieitkreises wirkende Spannung entspricht dem
Piezometerdruck, welcher je nach Materialeigenschaften einen gegenüber der
freien Oberfläche der Sickerströmung höheren Wasserstand erzeugen kann.
Führt man sf nach Gleichung 10 unter Benützung der Gleichung 12 in die
Gleichung 9 ein, so kann für F geschrieben werden
- 6 -
F a —*— — 15.
Werden noch x{ durch R« sino(t und bj durch ß cosoQ ersetzt, so fuhrt die an¬
schliessende Division durch R zur bekannten Formel für den Gleitsicherheits¬
faktor F nach W. Fellenius, nämlich
y G; Sinti; + lJGt ^m*i Tir»^ +• |i cojf)14.
deren numerische Anwendung, wie das Beispiel Nr. 1 (Abschnitt 4 ) zeigt, re¬
lativ einfach ist. Zu der soeben hergeleiteten Methode sind ergänzend noch die
folgenden Bemerkungen anzubringen.
1.2.1. Porenwasserspannungen
Bekanntlich herrscht in jedem Punkt P(x,y) im Inneren einer Böschung ein
Druck, dessen Betrag von den materialtechnischen Eigenschaften und von der
geometrischen Ausdehnung der darüberliegenden Erdmasse abhängt. Dieser Druck
hat das Bestreben, das Porenvolumen zu verkleinern und damit das in den Poren
enthaltene Luft-Wasser-Gemisch zu verdrängen.Da je nach Durchlässigkeit des
Materials das Gemisch nur erschwert ausweichen kann, führt dieser Druck zu¬
nächst zur Auflösung der Luft im Wasser. Ist der Druck gross genug, so wird
nach Abschluss dieses Auflösungsvorganges ein Teil des Ueberlagerungsdruckes
vom Porenwasser übernommen ( Porenwasserüberspannung u£ ). Steht oder stand
die Böschung noch ganz oder teilweise unter Wasser, so wirkt im Bereich unter¬
halb der Sickerlinie zudem eine dem hydrostatischen Druck entsprechende Auf¬
triebsspannung at. Die Summe dieser einzeln oder gemeinsam wirkenden respektive
nicht wirkenden Komponenten wird als Porenwasserspannung u bezeichnet und ist
demnach vom Material, vom Belastungszustand und vom Ort abhängig. Diese den
Kora-zu-Kbrn-Druck und damit die Scherfestigkeit reduzierende Spannung liesse
sich durch in die Böschung vorgetriebene Piezometer messen, wobei die in der
Fig. 5 dargestellten vier Fälle denkbar sind.
Der Betrag der Porenwasserspannung
lässt sich mit Hilfe des experimentell zu bestimmenden Porenwasserspannungs-
-7 -
B*0
B*0
sicKcrlmie
Fall Q XL = 0
Fall © u = u*
Fall © u = a
Fall © u = a+u*
Fig. 5
koeffizienten B berechnen, für welchen je nach Versuchsanordnung die Defi¬
nition
B, -
oder
Btu*b;
16,
17.
anzutreffen ist.
Da einerseits zwischen den beiden Werten B, und B2 die Beziehung
18.
gilt, und andererseits die Trennung in die einzelnen Druckanteile a,- und u*
allgemeinere Gültigkeit besitzt, wird dem noch herzuleitenden Auswertungsver¬
fahren die Definition des Porenwasserspannungskoeffizienten gemäss Gleichung
17 zugrunde gelegt, so dass die Formel von W. Fellenius (Gleichung 14 ) in
vollständiger Schreibweise folgendermassen lautet
y~jc|fi + ^Vi|ß.cosd£ - <lMSin(eCt-§) -atl, - B,A_
2_J G; Sint^i + ÜGi (sin<*iSV\f + ^-cos§)lN
19.
1.2.2. Der Begriff der Gleitsicherheit
Gemäss Gleichung 1 wurde das Verhältnis zwischen Katerialscherfestig-
Iceit und wirksame!' Scherspannung als Gleitsicherheit definiert. Nun trägt
aber dieser an sich willkürlich gewählte Proportionalitätsfaktor F, dessen
Wert von Fall zu Fall neu festgelegt werden muss, der unterschiedlichen Ge¬
nauigkeit bei der Bestimmung der einzelnen materialtechnischen Eigenschaften
- 8 -
nur global Rechnung und kann somit nicht uneingeschränkt als quantitative
Aussage über die Gleitsicherheit gewertet werden. So führen beispielsweise
die durch die fast zufällige Selektion der untersuchten Materialproben be¬
dingte Unwiederholbarkeit der Versuchsgrundlagen sowie die verschieden em¬
pfindliche Messtechnik zu kleineren oder grösseren Streuungen der Ergebnissem.
Aus diesem Grund wäre es sinnreicher jeder Materialeigenschaft ihren eigenen
Sicherheitsfaktor zuzuordnen, der neben der Anzahl durchgeführter Versuche
auch die Streuungsverhältnisse, die mittleren Fehler und die messtechnischen
Unzulänglichkeiten zu berücksichtigen hätte. Diese Forderung ist umso berech¬
tigter, als der Einfluss der einzelnen Eigenschaften auf das Ergebnis der Be¬
rechnung, wie die folgenden Ueberlegungen zeigen, sehr unterschiedlich ist.
Es seien die materialtechnischen Eigenschaften c', tgS" und t sowie B
jeder massgebenden Schicht mit den mittleren Fehlern mc., m.,.-^, mj., und mg
bestimmt worden. Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz gilt für den relativen
Fehler m^ der Funktion F = f(c', tgf, TP , 1) die Beziehung
TT1„ '^^vHw-GKr 20.
Die partiellen Ableitungen von F gemäss Gleichung 19 nach den einzelnen Mate¬
rialeigenschaften betragen
ÄL_„
inbc» N
FE[ftc"* ' ^sh(*-ri-** -&^fc
dtjl'
aß
aL
N
EMcosot;
N
21.
22.
23.
6F V-1 ts^fViCosdi -iMfc sin(dj-§) - B& - B^j N-
- I Vf Sinti; + TJ'Vc (sind; »inf + -jL «<*§) Z
24.
Wie man sich leicht überzeugen kann, gilt nun für eine nicht mit der Böschung
- 9-
zusammenfallenden Gleitfläche (R ^ oo) die folgende Kette von Ungleichungen
btf<
SF <-^< èF
èë èc' o+g^'25.
Demnach kommt, von den mittleren Fehlern abgesehen, der Genauigkeit des Scher¬
winkels f die grösste, jener des Raumgewichtes tf die geringste Bedeutung zu.
Eine Möglichkeit den soeben erläuterten Forderungen möglichst zu entspre¬
chen bestünde darin, die einzelnen Sicherheitsfaktoren wie folgt zu definie¬
ren
Fa - 1 + ma — + — + V Q26.
Darin bedeuten
V.
a_
Materialeigenschaft
mittlerer Fehler der Einzelmessung von a
grösster positiver scheinbarer Fehler
grösster negativer scheinbarer Fehler
allgemeines arithmetisches Mittel sämtlicher Messungen
Anzahl durchgeführter Versuche
Anzahl minimal erforderlicher Versuche
Korrekturfaktor
Die stets positiven Zuschläge zum als absolutes Minimum zu fordernden Vert 1
sind umso kleiner, je grösser die Anzahl durchgeführter Versuche und je klei¬
ner die Streuung resp. der mittlere Fehler ist (Fig. 6 ).
Fig. 6
- 10 -
Die übliche Bestimmung des mittleren i'ehlers und der Streuungszahl an Hand
von Gauss'sehen Wahrscheinlichkeitskurven scheitert daran, dass in der Regel
die Anzahl durchgeführter Versuche zu klein ist, und dass im weiteren eine
eindeutige Häufung der Messresultate um den Mittelwert in -den seltensten Fäl¬
len klar zu erkennen ist (sog. Mischkurven mit mehreren Gipfeln ). Darum wird
in der Definition der Gleichung 26 der mittlere Fehler der Einzelmessung,
nämlich
m.
T.h-4na-i
27.
und als "Streuungszahl" die zum Mittelwert proportionale totale Abweichung
(Differenz zwischen grösstem und kleinstem scheinbaren Fehler) verwendet.
Durch die Einführung des für die Materialeigenschaft charakteristischen
Wertes Va wird dafür gesorgt, dass bei zu geringer Anzahl Versuche der Sicher¬
heitsfaktor einen angemessenen Wert annimmt. Diese Zahl sowie die Anzahl na
minimal erforderlicher Versuche müssen, wie bisher etwa der globale Sicher¬
heitsfaktor F nach Gleichung 1, durch die mit der Kontrolle der Berechnung
beauftragten Instanz von Fall zu Fall festgelegt werden. Durch der Bedeutung
der zu untersuchenden Böschung entsprechende Wahl der Werte Vg und insbesondere
der imzahl na wird der Projektverfasser sozusagen automatisch dazu angehalten,
die materialtechnischen Eigenschaften durch eine grosse Anzahl Versuche mög¬
lichst genau zu untersuchen. Wie der Fig. 6 und dem angewandten Beispiel Nr. 2
(Abschnitt 4 ) zu entnehmen ist, würde die Missachtung dieser Forderung zu
sehr unwirtschaftlichen Dimensionierungen führen.
Eine solche Aufteilung in die einzelnen Sicherheitsfaktoren Fci , F+- ^i , Fg
und F^ wirkt sich nun folgendermassen auf die Stabilitätsberechnung aus.
Nach der klassischen Definition (Gleichung 1 ) wird die gemessene Material¬
scherfestigkeit S£M (mittlere Enveloppe sämtlicher Mohr'sehen Spannungskreise)
um den konstanten Faktor F reduziert und als höchst zulässige Scherspannung
in die Berechnung eingeführt (Fig. 7 ). Es wird also
Si=4^(e„,-U.)
Gemäss dem soeben erläuterten Vorschlag dagegen, werden sämtliche material¬
technischen Eigenschaften um den ihnen entsprechenden Sicherheitsfaktor Fa
reduziert. Es wird dann
-11 -
Die so entstehende in Fig. 8 dargestellte Kurve definiert wiederum die höchst
zulässige wirksame Scherspannung.
Fig. 7 Fig. 8
Das Verhältnis zwischen gemessener und reduzierter Materialscherfestigkeit
ist allerdings nicht mehr konstant und kann daher in Gleichung 9 nicht mehr
ausgeklammert werden. Der bisher als F definierte Quotient der Gleichung 19
muss also gleich 1 gesetzt werden, so dass man
2_\ Gi Sin^ + 1? G; /sind;Sin§ + •^•cosf)!30.
erhält. Ist der untersuchte Böschungsabschnitt richtig dimensioniert und damit
die Gleichung 30 erfüllt, so kann die Gleitsicherheit, für die man sich ja
schliesslich interessiert, durch Vergleich der gemessenen und der reduzierten
Materialscherfestigkeit, d. h. als allgemeines arithmetisches Mittel wie folgt
berechnet werden
31.
Die numerische Anwendung dieses Vorschlages (Beispiel Nr. 2, Abschnitt 4 )
zeigt, dass bei vernünftiger Wahl der Grössen \£ und na sowie für eine zumut¬
bare Anzahl Versuche die erhaltene Gleitsicherheit nach Gleichung 31 nicht we¬
sentlich von dem heute für den untersuchten Belastungsfall gültigen erforder¬
lichen Sicherheitsfaktor abweicht. Aendert also die zugegebenermassen etwas
umständlichere Definition der Gleitsicherheit bei normalen Verhältnissen nur
wenig an der bisherigen Situation, so würde, wie Fig. 9 zeigt, eine zu geringe
Anzahl Versuche zu wesentlich flacheren Böschungen führen, während eingehendere
- 12 -
materialtechnische Untersuchungen wirtschaftlichere Dimensionierungen zulassen
würden.
Klassische Gleitsicherheits¬
definition B= const > B*«,
Pig. 9
Die Tatsache, dass neben der Anzahl durchgeführter Versuche auch die Streuung,
der mittlere Fehler sowie der unterschiedliche Einfluss der einzelnen Mate¬
rialeigenschaften auf das Ergebnis der Berechnung besser, ja überhaupt berück¬
sichtigt werden, dürfte den vermehrten Rechenaufwand bei der Anwendung der vor¬
geschlagenen Gleitsicherheitsdefinition selbst in relativ einfachen Fällen
durchaus rechtfertigen.
1.3. Klassische Auswertungsverfahren
Ein Gleitkreis kann entweder durch das Punktepaar A,B und den Radius R
oder durch das Punktepaar A,M definiert werden. Da die Lage des massgebenden
Gleitkreises nicht a priori bekannt ist, führt erst eine dreifache Iteration
(Variation von R, B und A ) beziehungsweise eine zweifache Iteration ( Varia¬
tion von M und A ) entsprechend dem Schema der Fig. 10 zu den gesuchten Wer¬
ten R*, B* und A*'resp. M* und A* und damit zur minimalen Gleitsicherheit
der untersuchten Böschung. Dabei sind die folgenden zwei Verfahren üblich.
©H »A -®"
z^IB *M -0-
FA* Mi'nimutn ? -® Kg)
*,*" Minimum -
IR
f_ ^Q
-0-1
Berechnung von F F^ B Ra Minimum ?
ZZ3
Fig. 10
- 13 -
1.3.1. Variation von R, B und A
Auf der zu untersuchenden Böschung werden zwei zunächst beliebige Punkte
A und B gewählt ^Fig. 11 ). Für dieses Punktep&ar wird nun der Radius R vari-
Fig. 11
iert und die entsprechenden Gleitsicherheiten FABR nach GJexchung 19 berechnet.
Trägt man diese Sicherheitsfaktoren in Funktion von R e.uf, so erhält man die
Kurve der Fig. 12. Diese Kurven besitzen stets eine horizontale Asymptote,
Fig. 12 Fig. 13
deren Wert F^, der Gleitsicherheit der Verbindungsgeraden AB entspricht, und
weisen im allgemeinen ein ausgesprochenes Minimum auf das mit FkB bezeichnet
wird. Nun wird in einem zweiten Schritt die Lage des oberen Böschungspunktes
variiert und für diese wiederum die zugehörigen Werte FA5 bestimmt. Trägt man
letztere in Funktion der Ordinate xB auf, so erhält man etwa die Kurve der
Fig. 13, aus welcher der Wert FA , d.h. die für den Punkt A vorhandene Gleit¬
sicherheit entnommen werden kann. Durch Variation der Lage von A und Wiederho¬
lung der Iterationen für B und R, kann schliesslich der Wert Fmin als minimale
- 14 -
Gleitsicherheit der Böschung ermittelt werden.
Wie leicht einzusehen ist, erfordert dieses Verfahren die Wahl mindestens
dreier Punkte A und für jeden Diskontinuitätsabschnitt je dreier Punkte B für
welche mindestens drei Radien R zur eindeutigen Bestimmung der geringsten
Gleitsicherheiten nötig sind. Es müssen also bei adequater Festlegung der Va¬
riationsbereiche beispielsweise für die Böschung der Fig. 13 mindestens 5-7«3
d.h. 105 Gleitkreise berechnet werden. Da dieses Verfahren den infolge Inhomo¬
genität und geometrischer Form der Böschung entstehenden Uhstetigkeiten im Ver¬
lauf der Kuryen der Fig. 12 und 13 nur ungenügend gerecht wird, wurde das fol¬
gende, ebenfalls graphische Verfahren entwickelt.
1.3.2. Verfahren mittels Isoasphalien
Ordnet man jedem im Koordinatensystem x-y aufgezeichneten Gleitkreismit-
telpunkt MCx^y*, ) den Sicherheitsfaktor des von ihm definierten Gleitkreises
zu, so können, analog zur Auswertung von Messtischaufnahmen, die Linien glei¬
cher Sicherheit - in der Folge Isoasphalien genannt - bestimmt werden (Fig. 14).
Definitionsgemäss weisen also alle Gleitkreise deren Mittelpunkte auf einer
1
M* -
— f\' con&t (isoasphalie )
^H
Av
X*
X
M
Fig. 14
- 15 -
Isoasphalie liegen dieselbe Gleitsicherheit auf. Der Kittelpunkt M*(x*,y£ )
des massgebenden Gleitkreises kann somit als "Zentrum" des Kurvenbildes er¬
mittelt werden. Die Erfahrung zeigt, dass die ellipsenförmigen Isoasphalien
sehr langgezogen sind, wobei die Richtung der "grossen Axe" nahezu mit der
Böschungsnormalen zusammenfällt. Man wird demnach die zu berechnenden Gleit¬
kreise so wählen, dass deren Mittelpunkte auf den Knotenpunkten eines Maschen¬
netzes mit den Richtungen <o und ji liegen. Dabei empfiehlt es sich, die Ma¬
schenweite so anzuordnen, dass au etwa fünf Mai grösser ist als A/t. Mit diesem
Verfahren kann mit einer relativ geringen Anzahl Gleitkreisen (im Minimum
etwa 9 ) die Lage des massgebenden Mittelpunktes rasch abgeschätzt werden.
Andererseits ist es aber möglich, durch immer engere Maschen um den Punkt M*
eine praktisch beliebige Genauigkeit zu erreichen. Ein weiterer Vorteil der
Methode besteht darin, dass die von der Geometrie und den erdbaumechanischen
Eigenschaften herrührenden ünstetigkeiten erfasst und entsprechend berücksich¬
tigt werden können. Zeichnet man nun die Isoasphalien für verschiedene Bö¬
schungspunkte A auf, so ist das Problem gelöst. Die Bestimmung der minimalen
Gleitsicherheit für die Böschung der Fig. 11 würde beispielsweise 5*9 = 45
Gleitkreise d.h. etwa halb so viele als nach dem vorher erläuterten Verfahren
benötigen. Es ist klar, dass bei grösserer verlangter Genauigkeit die genannten
Ziffern wesentlich überschritten werden, sodass die eingangs aufgestellte Be¬
hauptung, wonach die Zuverlässigkeit einer Stabilitätsberechnung letztlich von
der Anzahl untersuchter Gleitkreise abhängig sei, hinreichend bewiesen ist«
Im folgenden wird nun ein Verfahren vorgeschlagen und hergeleitet, welches
zumindest für eine relativ grosse Anzahl von Fällen, die massgebende Gleit¬
fläche und damit die minimale Gleitsicherheit auf analytischem Weg zu berech¬
nen gestattet.
- 16 -
2. DAS VORGESCHLAGENE AUSWERTUNGSVERFAHREN
2,1, Definitionen, Voraussetzungen und Annahmen
Eine Böschung wird dann als homogen definiert, wenn die Masse innerhalb
des um AB geschlagenen unteren Halbkreises aus nur einem Material besteht
(Fig. 15). Wird dagegen die Halbkreisfläche in Zonen verschiedener Material¬
eigenschaften unterteilt, so wird die Böschung als inhomogen bezeichnet
\,Fig. 16). In beiden Fällen können dabei die geometrische Form der Böschungs-
Fig. 15 Fig. 16
Oberfläche sowie der innere Aufbau oberhalb der Sehne AB beliebig sein. Es wird
vorausgesetzt, dass die Böschungsoberfläche und die einzelnen Materialabgrenz¬
ungen sich durch je einen zusammenhängenden offenen Streckenzug definieren
lassen. Einzelne in sich abgeschlossene Zonen ( Linsen) müssen durch ent¬
sprechende Anordnung der Jtreckenzüge erfasst werden.
Die Strecken n werden durch die Geradengleichungen
y=*nX+Xn 52.
sowie durch die Gültigkeitsgrenzen xn und xntl bezüglich eines Koordinaten¬
systems x-y charakterisiert. Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die
gesamte Böschung, deren Wasserseite links vorausgesetzt wird, im positiven
ersten Quadranten liegt.
Steht die zu untersuchende Böschung teilweise unter Wasser, so wird die
Wasserlinie als Materialbegrenzung aufgefasst. Sie muss deshalb ebenfalls
durch einen zusammenhängenden Streckenzug gegeben sein. Das Material oberhalb
dieser Wasserlinie wird als natürlich feucht ( tt ), das Material unterhalb
- 17 -
dieser Linie als vollkommen gesättigt ( ft ) betrachtet.
Im übrigen gelten die im Abschnitt 1.2. getroffenen Annahmen, während wei¬
tere Definitionen und Voraussetzungen im Zusammenhang mit der Herleitung der
Methode in den entsprechenden Abschnitten formuliert werden. Sämtliche verwen¬
dete Symbole sind, mit Angaben über deren Bedeutung und Dimension, im Symbol¬
register ( Anhang S ) aufgeführt.
2.2. Prinzip des Verfahrens
Der Betrag der als Gleitsicherheitsfaktor definierten Grösse F hängt, wie
im Abschnitt 1 gezeigt wurde, im wesentlichen von der gewählten Gleitfläche ab.
Ein solcher Gleitkreis kann, für einen festen unteren Böschungspunkt A entweder
durch die Mittelpunktskoordinaten xM und yM oder aber durch den oberen Punkt B
und den Radius R gegeben werden. Die Gleitsicherheit FA der oberhalb des
Punktes A liegenden Böschung kann demnach als Funktion FA = f(xM,yM) oder als
Funktion FA = f(xB,R) dargestellt werden, wobei die zweite Form nach entsprech¬
ender Substitution stets auf die erste zurückgeführt werden kann. Diese Funk¬
tion, welche eine räumliche Fläche und im übrigen für FA = cor.st die Gleichung
der Isoasphalien darstellt, besitzt wie schon gezeigt wurde stets einen oder
mehrere Talpunkte, deren Lagen durch die Null gesetzten partiellen Ableitungen
und
= 0 34.*)!„
sowie mit Hilfe der Ungleichung
*- (t^h^t) > « 35-
berechnet werden könnten. Diese naheliegende Art der MinimumbestimiBung erweist
sich aber aus folgenden Gründen als nicht zweckmässig.
Die Formulierung als Extremalproblem setzt voraus, dass sämtliche Grössen
des Quotienten nach Gleichung 19 als Funktionen von xM und yH dargestellt wer¬
den. Diese Funktionen sind aber infolge der nicht differenzierbaren Böschungs-
oberfläche und der Unstetigkeiten des inneren Aufbaues selbst nicht differenzier¬
bar. Im weiteren sind die zwei Bestimmungsgleichungen 33 und 34 für die den
massgebenden Gleitkreis charakterisierenden Grössen x* und y* nicht linear
- 18 -
und somit nur approximativ lösbar, sodass selbst eine Aufteilung in einzelne
differenzierbare Bereiche nicht mit einem vernünftigen Rechenaufwand zum Ziel
führen würde.
Es ist deshalb unumgänglich, den Quotienten der Gleichung 19 durch Fi¬
xierung des unteren und des oberen Böschungspunktes als Funktion eines ein¬
zigen Gleitkreisparämeter3 darzustellen. Entsprechende Untersuchungen haben
ergeben, dass es zweckmässiger ist statt den Radius F den Abstand p des Gleit¬
kreismittelpunktes von der Sehne AB als Gleitkreisparameter in die Berechnung
einzuführen. Somit müssen sämtliche vom Gleitkreis abhängige Grössen des Quo¬
tienten der Gleichung 19 als Funktionen von p dargestellt werden. Die Gleit¬
sicherheit FAB des Böschungsabschnittes AB kann demnach geschrieben werden zu
Die Null gesetzte erste Ableitung von F^B nach p führt kuj' Bestiimaungsgleichung
aus welcher der Wert p* des massgebenden Gleitkrei3es und damit die minimale
Gleitsicherheit F^a bestimmt werden kann. Das nunmehr stark vereinfachte Extre-
malproblem kann d8bei nach folgendem schematischen Berechnungsablauf gelöst
werden.
i.Sjchjrrtt. Verschiebung des beliebig gewählten Koordinatensystems durch den
unteren Böschungspunkt A und neue Definition der gegebenen geometrischen Grös¬
sen durch eine entsprechende Koordinatentransformation. Die^e zur Lösung des
Problems zwar nicht unerlässliche Massnahme wird getroffen, weil sie die Her¬
leitungen erheblich vereinfacht. Andere Koordinatentransformationen, etwa be¬
züglich des Gleitkreismittelpunktes, erweisen sich als wenig nützlich.
£.»Schritt_, Zerlegung der zu untersuchenden Böschung in einzelne, den Material¬
zonen entsprechenden Scheiben. Eine solche Aufteilung ist voraussetzungsgemäss
geometrisch ohne weiteres möglich und entspricht erdb?,umecho.nisch einer Zerle¬
gung des Zählers Z(p) und des Nenners N(?) der Gleichung 39 in Teilsummen; bei¬
spielsweise
38.N(P) = V~ . S~ GkjSin<*; + «if G„.(sind; *in| + jbi co^)K L *•
.
Dabei muss grundsätzlich zwischen homogenen und inhomogenen Böschungen unter¬
schieden werden. Im ersten Fall ( Fig. 17 ) lassen sich die nach der Zerlegung
Homogene
Böschung
19
S,
Fis. 17
entstehenden Scheiben 3K stets durch den Bogen AB und einen zusammenhängen-
din Streckenzug von A bis B beschreiben ( -Definition der Homogene;tat ). Im
inhomogenen Fall ( Fig0 18 ) sind die Scheiben SK durch den Bogen QKPK sowie
Inhomoqene
Böschung
S. S,.
+ ~~h
Fig. 18
durch den zusammenhängenden Streckenzug von QK bis PK charakterisiert, wo¬
bei allerdings dieae Anfangspunkte im Gegensatz zur homogenen Böschung vom
Gleitkreis, also von der gesuchten Grösse p abhängig sind.
Es ergibt sich daraus die Notwendigkeit entweder durch einschränkende
Bedingungen aer Inhomogeneitët oder durch Wahl eines geeigneten ersten Nä¬
herungswertes p0 die Scheiben durch schrittweise konstante Werte xaji und xp
abzugrenzen. Da die erste Möglichkeit in praktischer Sicht als relativ ein¬
schneidend su werten ist, wird bei inhomogenen Böschungen der Lösung des
Problems auf iterativem Weg den Vorzug gegeben; eine Massnahme die im Ab¬
schnitt 2.4 noch eingehender erläutert und begründet wird»
20 -
l.Sjchxitt. Unterteilung der Scheiben SK in die Intervalle xn « x < x„^,
( Fig. 19 und 20 ). M
^nK "nK*'1
Fig. 19
Fig. 20
4_.S_chritJt, "Uêbergang von Summen zu Integralen durch Wahl vertikaler Lamellen
infinitesimaler Breite dx. In den einzelnen Bereichen nK wird beispielsweise
die Teilsumme ^GfSintli der k-ten Scheibe zu
i
/.G^ sin di —- ïKJhHsinadx 39.
Da die Integrationsgrenzen x„k und x^, und wegen der Aufteilung in die Schei¬
ben S* und Bereiche nK auch die Katerialeigenschaften Konstanten sind, brau¬
chen nur noch die Integranden, d.h. die geometrischen Grössen als Funktionen
von p dargestellt zu werden. Dabei sind für den Zähler Z(p) und für den Nenner
N(p) der Gloichun* 19 insgesamt vier Integraltypen zu unterscheiden, nämlich
ü0 (p) = I h sind dx. 40.
- 21 -
-nu
3i Cp)-/hcostfdx
41.
42.
und
^^-\lèï6* 43..
^.Sjîhritjt, Aufsummierung der Integrale von A bis B reap, von QK bis PK . Es
wird also beispielsweise
/ GK.SintiLf * \/> J hK Sintidx = YK /,
Ho. (p) 44.
*n«
^.Schritjt. Aufsummierung über sämtliche Scheiben SK. Aus der Definition der
Höhen hx ( Fig. 21 ) folgt, dass beispielsweise als Raumgewicht für die Schei-
Fig. 21
be Su nicht etwa der ihr zugehörende Wert yK einzuführen ist sondern ein von
der vorhergehenden ( übergeordneten ) Scheibe übrig gebliebener Restbetrag,
At= 2fK - YK-» 45.
der insbesondere auch negativ sein kann und in der Folge als résiduelles Raum¬
gewicht definiert wird. Die als Beispiel gewählte Teilsumme lässt sich somit
als Summe von Teilsummen ausdrücken, nämlich
i
46.
- 22 -
Nach erfolgter Aufsummierung über sämtliche Scheiben SK kann somit beispiels¬
weise der Nenner N(p) folgendermassen angeschrieben werden
47.
7_._Schri_tt_j_ Zusammenfassung der Summen und Darstellung des Zählers z(p) und
des Nenners N(p) der Gleichung 19 als explizite Funktionen der einzigen Unbe¬
kannten p. Man erhält, die teilweise umständliche Herleitung vorläufig über¬
springend, die beiden Funktionen
:Cp>- Z.P** Z-,p*Z.*^|£ ±] * (z.^p -2tp^Z5p')arct9(^) 48.
und
N(P)- N. + N,p 49>
Im Fall einer homogenen Böschung sind also voraussetzungsgemäss die Koeffi¬
zienten Zj, sowie N0 und N, von p unabhängig und enthalten die zur geometri¬
schen und erdbaumechanischen Definition der Böschung und des Belastungszu-
standes notwendigen Daten. Bemerkenswert ist, dass dabei der Nenner N(p) un¬
geachtet der Böschungsform, der materialtechnis hen Eigenschaften und des
Belastungszustandes linear von p abhängt. Ein weiteres Merkmal homogener
Böschungen ist die Tatsache, dass der Zähler und damit natürlich auch die
Funktion FA6(p) je eine Asymtote aufweisen. Wird nämlich die Funktion arctg(^e)ebenfalls in eine Reihe von p entwickelt, so verschwindet für p>^ ^as qua¬
dratische Glied (Z_a+ jrZ3)~.
Bei inhomogenen Böschungen dagegen, enthalten die Koeffizienten Zp, N0 und Nt
implizite einen Fäherungswert üj ,so dass in diesem Falle die Iteration vom
4. Schritt an bis zur Erreichung der verlangten Genauigkeit wiederholt werden
muss.
8_._Siçhri_tt_i_ Bestimmung des den massgebenden Gleitkreis charakterisierenden Wer¬
tes p* durch Null gesetzte erste Ableitung von FAB nach p. Es wird
Die Bestimmung der, wenigstens für homogene Böschungen, einzigen reellen Wur¬
zel p* ( Fig. 22 ) der Potenzreihe nach Gleichung 50 kann sehr bequem nach dem
quadratisch konvergenten Verfahren von Newton erfolgen.
- 23 -
Schematischer Kurvenverlauf
bei homogenen- Böschungen
Fig. 22
Da cogenannte überhängende Gleitkreise erdbaumechanisch nicht denkbar sind,
andererseits aber durch die Wahl eines zu grossen ersten Näherungswertes pS
die Konvergenz der Wurzelbestimcung wegen der nach p* auftretenden Wende-
steile von FA>B{p) ( Fig. 22 ) in Frage gestellt ist, empfiehlt es sich den
Wert p* su wählen, für den der Gleitkreis bei B gerade eine vertikale Tan¬
gente aufweist ( Fig. 23 ).
Fig. 23
Mit '3em ersten Näherungswert
51.
lässt sich dann jede weitere Verbesserung dieses Wertes berechnen zu
A *-
<iFAa(pl.,)
dp 52.
dp*
- 24 -
Setzt man den so erhaltenen Wert p* in die Gleichungen 48 und 49 ein, so kann
für die gesuchte minimale Gleitsicherheit F^ schliesslich geschrieben werden
AB
N0*N,p53.
womit das Problem gelöst ist.
Sehr oft ist e3 bei Berücksichtigung von Erdbebenwirkungen notwendig den
ungünstigsten Richtungswinkel § der Erdbebenwelle zu schätzen oder ihn analog
zur Bestimmung von R* nach Abschnitt 1,3,1 graphisch zu ermitteln. Ohne weiter
auf die Detailherleitung einzugehen,sei hier erwähnt, dass mit Hilfe der Glei¬
chung 53 der für jeden Gleitkreis verschiedene ungünstigste Richtungswinkel |*relativ einfach berechnet werden kann. Da z(p) und N(p) Punktionen von sinf
und cos£ sind, wird die Null gesetzte erste Ableitung von FAB nach | vom Typ
X, coi|+ *iiin\ * X» sinf <« | *X4 ««£ * Xs Sin f * X( = 0 » f(p,|) 54.
sein. Es zeigt sich, dass dabei X3= X^= 0 und X= "X-x ist, sodass man die Be-
stimmungsgleichung
X, + X4 Cos.^ + Xs.SinÇ =0 55.
erhält, aus der der massgebende Wert |* explizite zu
arcsw
-*5*. iX^Xl*^- %»
x\ **56.
berechnet werden kann. Gestützt auf die bei verschiedenen Dammberechnungen ge¬
machten Erfahrungen besteht zwischen £ und PABR die in Fig, 24 aufgezeichnete
Abhängigkeit, Dabei entspricht der Wert § jeweils ungefähr dem halben vpn der
Sehne AB und der Horizontalen eingeschlossenen Winkel,
I* *
Fig. 24
- 25 -
2.3. Herleitung des Verfahrens für homogene Böschungen
Entsprechend den in den vorangegangenen Abschnitten formulierten Defini¬
tionen und Voraussetzungen können mit den Bezeichnungen der Fig. 25 der
x'
Fig. 25
Nenner H(p) und der Zähler Z(p) der Gleichung 19 im Falle einer homogenen
Böschung wie folgt angeschrieben werden
B •*£"M
B *W+I X"k *«K X«*
57.
58.
- 26 -
Dank der Aufteilung in Scheiben konstanter Materialeigenschaften sind nur
noch die treometrischen Grössen der Inteeranden von p abhängig. En gelten
dabei die B-Ziehungen
y«=-T-T-P 59.
*-^ + "?p 60-
R "Vp1*?'
61*
COStt-V^-Ot-x«)1
63.R
L - ZRarchjgL) 64.
hw =XwK^>,->^ R*- (X- *h?'
65.
hnk- *n„X +*„„- > + "\JR%- (x-x„)V 66.
X" i[^ + ^R'-Cx-Xm)* - «^X - Xn 1 67.
2.3.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p
Als einzige von p abhängige Grössen des Nenners N(p) nach Gleichung 57
sind vorerst die Integrale J0 und J, zu lösen.
Das Integral
D. - fhsintfdx - -£- /T«X«-X - ^N ^R'- («-**)*' 1 (x-X„]dx 68.
kann in die beiden Teilintegrale
^ "JI**1" (**N "^ + Vh)x - (k-yM)xMjcix 69.
und
T3os * [(x-xN)^Rl-(x-x„)1' dx 70.
zerlegt werden. Für das Integral J^ erhalt man sofort
- 27 -
3°i= Î*V £ (^ + AX) -1«^+ £x* + *M*tX + C 71.
wobei définit:onsgomäsn
V= xx + x 72.
bedeutet. Das Integral J^ kann durch eine Reihe von partiellen Integrationen
berechnet werden ( Herleitung im Anhang 1 ) und beträgt
2o,« -i[RMx-XMïf+ C
Somit kann für das Integral J0 geschrieben werden
75.
+ C 74i
Durch direkte Integration und nach kurzer Zwischenrechnung.erhält man für das
Integral J, die Lösung
^-^-|) + ^(W)**^-K^*^)*C 75.
Setzt man die Integrationsgrenzen xn< und xn +, ein, so können die bestimmten
%Kund J(lL der k-ten Scheibe nach erfolgter Aufsuranierung
über sämtliche Intervalle nK berechnet werden zu
Z_,3ox* K
B B
und
ZX - "
76.
77.
Werden noch di«? MittelpurJctskoordinaten ^M und yH nach Gleichungen 59 *md 60
in d:e Gleichungen 76 und 77 ein^führt, sc erhält man für fan Nenner N(p)
nach längerer Ifcformung und Aufsunanierung über sämtliche Scheiben SK schlieas-
28 -
lich^Lie Funktion
NcP>-(N0 + N,p)-£- 78.
Der Radius R braucht dabei nioht alo Funktion von p dargestellt y,u werden,
v/eil er wie später gezeigt wird dnrch Erweiterung des Quotienten nach Glei¬
chung 36 eliminiert werden kann.
Die Koeffizienten N, und N, enthalten nur noch die sur Definition der
Böschung und des*. Belaatungszustandes notwendiger, \mä somit bekannten geome¬
trischen und erdbaumechanischen Daten. Sie betragen
r rB B
N.-^*«ß cos |
o
r B A
~
6"] Z_,[ ^« (*«V 'S«**' " X"h>h) *" ^«\, (X%*« "Xt>J)J
- 79.
und
N,
L k
80.
Damit ist aber der im Übrigen für die hier nicht speziell! hergeleitete For¬
mel von A. W. Bishop gleichlautende Nenner der Gle:chur.g 19 h\h lineare
Funktion von p dargestellt ( Fig. 26 ). Dank cLeser bisher ur,bekannten und
für homogene Böschungen im Sinn der Definition im Absohr.Ltl 2.1 gültigen Tat¬
sache kann die spätere Bestimmung von FAB und p* ( taa^sgebenier U^eit.crets }
wesentlich vereinfacht werden.
N i
~7
A/Cp) = N0 + N, p
Fig. 26
- 29 -
2.5.2. Darstellung .des Zählers Z, eis Funktion von p
In der Zählerfunktion Z(p) nach Gleichung 58 sind das Kohasionsgiied, die
Integrale Jz und J3 sowie das schon im Abschnitt 2.3.1. gelöste Integral J„
( Gleichung 74 ) von p abhängig.
Für das Kohasionsgiied erhält man sofort
c'L --i-
R2CRlarc*S(i) 81.
Das Integral
3,* [hcosddx »-i- [ *X+X-y(t+'\/R,-(x-xM)'v' VrT-Cx"M7 82.
kann in die beiden Teilintegrale
und
dx
83.
04.
zerlegt werden. Die Lösung des ersten Teilintegrals ist besonders einfach
und lautet
3,«j(^^ xHxl-£x5) + C 85.
wahrend die Lösung des zweiten Tsiiintegrals eine relativ umständliche, in
Anhang 2 hergeleitete Berechnung erfordert. Diese führt zur unendlichen Reihe
86.
sodass für das Integral Jz geschrieben werden kann
-^-[^ X ^HX* - ^ X* + B_, p* + B., p * B./*V
+ C 87.
Analog dazu lasst sich das Integral
J^d*W dx 88.
in die zwei Teilintegrale
- 30 -
und
89.
90.
zerlegen. Die Lösung des ersten Teilintegrals ist elementar, während diejenige
des zweiten Teilintegrals gemäss der Herleitung im Anhang 3 wiederum zu einer
unendlichen Reihe führt» nämlich
Das Integral J3 kann rtexnach geschrieben werden zu
91.
92.
Nach erfolgter Einsetzung der Integrationsgrenzen xni< und x^*, und anschlies¬
sender AufsAincierung über sämtliche Intervalle nK erhält man für die bestimm¬
ten Integrale JJ*
'
und J» "**' der k-ten Scheibe die unendlichen Reihen
B
E*«»"
T
8
. II»!"
93.
und
94.
Führt man die Mittelpunktskoordinaten xN und yM nach Gleichungen 59 und 60 in
die Gleichungen 93 und 94 ein, no erhält man nach Aufsummierung Über sämtliche
Scheiben SK gemäss der Herleitung im Anhang 4 für die Zählerfunktion Z(p) die.
in der Fig. 27 graphisch dargestellte unendliche Reihe
z<p> •
T' Z-2pr*Z.,p* 2Î V^ +[Z- + 2,p-ZlPz +ZaP,]arc^) 95.
Die Koeffizienten Z_, , Z.„ Z^, Z„, Z, , Z, und Z3 enthalten, analog zu denen der
Hennerfunkiion, nur noch die zur Definition der Böschung und des Belastungs-
sustandes notwendigen geometrischen und erdbaumechanischen Daten und lassen
sich wie folgt berechnen.
^)\&p>
.IMtfq
Fig. r,
Z.-(iî[w'4.v.V0fw*BÇft»)]
Z* = 2C* «-^'(Sw + B^Av)
97.
9ß.
99.
100.
*.- (4)V 101.
z. - (OV•
*.-
. 102.
103,
- 32 -
Somit ist auch der Zähler z(p) der Gleichung 19 als Punktion der gesuchten
Grösse p dargestellt. Allerdings ist es mit Hilfe der bekannten Konvergenz¬
kriterien nicht gelungen über das Konvergenzverhalten der unendlichen Reihe
nach Gleichung 95 restlose Klarheit zu schaffen. Tatsächlich ist ja eine all¬
fällige Divergenz dieser Funktion, als Folge der Umgruppierung der absolut
konvergenten Reihen der Anhänge 2 und 3, zumindest theoretisch denkbar. Nun
lässt aber der an einigen Beispielen ( Abschnitt 4 ) erbrachte numerische
Nachweis die Vermutung zu, dass in Fällen von praktischer Bedeutung ( vernünf¬
tiger innerer Böschungsaufbau, üblicher Variationsbereich der materialtechni¬
scher Eigenschaften ) die für Z(p) erhaltene unendliche Reihe und damit natür¬
lich auch der Quotient FAe(p) konvergiert.
2.3.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit
Nachdem der Nenner und der Zähler der Gleichung 19 als Funktionen von p
dargestellt worden sind ( Gleichungen 78 und 95) kann die Gleitsicherheit
eines beliebigen Gleitkreises wie folgt berechnet werden
Z.z p* * Z-, p » (Z0+ Z4 p *Z»P% Z,fP)arc^ jfc- *zT Z^^
*«p,*'»
P/1
No + NipICH.
Das Minimum FAB der Funktion FAk - f(p) ( minimale Gleitsicherheit des Bö¬
schungsabschnittes AB ) ist bekanntlich durch eine horizontale Tangente ge¬
kennzeichnet. Somit führt die Null gesetzte erste Ableitung dieser Funktion
nach p zur Bestimmungsgleichung für die den massgebenden Gleitkreis des Bö¬
schungsabschnittes AB charakterisierenden Grösse p*,nämlich
m>
ip
CN,+ N,pj j>~£ 'J' J__ Vdv i
- (2o + 2, p + Z*p* * Zs p'Jij) P%(dY*
- N, [Z.e p* + Z-. p + (2. + 2,p+ Zi p1**,^)**^) +Xfer p>)
r 105.
106.
Nach kurzer Umformung erhält man die Gleichung
(N^N.p)(zi*ZiP)[2parct3(Ä)-4] R^N.^-H^arc^)
+ N<Z-zP* -ZZ[(^)N'Z/-' + (/+0N.ZA]-pVwelche im allgemeinen nur eine reelle Nullstelle aufweist. Diese kann sehr be¬
quem nach dem quadratisch konvergenten Verfahren von Newton berechnet werden,
§<?)"0'
- 33 -
wobei die Anzahl ji* zu berücksichtigender Glieder der Gleichung 106 von der ver¬
langten Genauigkeit abhängt xind demnach von Fall zu Fall bestimmt werden muss.
Die nunmehr endliche Reihe für $(p) lautet
§(P) = 0=
(N0vN,p)(z2+Z5p)[2pard9(4)-4] + R*(NoZ,-N,Z2)arc^L) +
) 107.
während man für die zur WürzeIbestimmung benötigten Ableitung der Funktion
$(p) nach p analog dsn Ausdruck
b§M2(M^N,P)f(Zl+323p)arc^(4:)- 4-&[p(£**2»p) * R*f»]
^"""èp j l^a»
J >- 108.
erhält. Ausgehend vom ersten Näherungswert
Po "
d 3b109.
kann nun die gesuchte Nullstelle p* durch sukzessive Approximation berechnet
werden. Für die Verbesserung des jeweiligen Näherungswertes gilt dabei die
Beziehung
vw110.
Besteht aus geometrischen oder erdbaumechanischen Gründen ( beispielsweise
infolge einer tingünatig verlaufenden Sickerlinie ) Anlass zur Annahme, dass
die Gleichung 105 mehrere Nullstellen aufweist, so müssen die entsprechenden
relativen Minima der Funktion FA6p durch Berechnung nach Gleichung 104 für
verschiedene Wert* von p näher untersucht werden. Die Stelle des absoluten
Minimums ist sodann als erster Näherungswert in die Gleichung 110 einzuführen.
Ein solches Vergehen wäre ja in diesem Fall auch nach der klassischen Methode
des Abschnittes 1.3.1 unerlässlich. Da aber die Berechnung von F^p nach Glei¬
chung 104 wesentlich rascher zum Ziele führt als diejenige nach Gleichung 19
erweist sich das vorgeschlagene Auswertungsverfahren gegenüber den bisher
üblichen Methoden selbst in solch seltenen Fällen als zweckmässiger.
Setzt man den so berechneten Wert p* in die Gleichung 104 ein, so erhält
man schliesslich die gesuchte minimale Gleitsicherheit ?M. Somit ist es ge¬
lungen für homogene Böschungen in Sinne der Definition des Abschnittes 2.1 den
massgebenden Gleitkreis und die minimale Gleitsicherheit direkt zu berechnen.
- 34 -
2.4. Herleitung des Verfahrens für inhomogene Böschungen
Entsprechend den in den Abschnitten 2.1. und 2.2 formulierten Definitionen
und Voraussetzungen können in Fall einer inhomogenen Böschung einzelne Scheiben
sowie die freie Oberfläche der Sickerströmung vom Gleitkreis geschnitten werden
( Fig. 28 ). Da nun einerseits über den Verlauf der die Scheiben SK definieren-
Fig. 28
den Streckenzüge keinerlei einschränkende Bedingungen gestellt worden sind
und andererseits der Gleitkreisparameter p als gesuchte Grösse unbekannt ist,
können die Schnittpunkte QK. , W, und W2 nicht allgemein berechnet werden. Diese
Schnittpunkte werden aber als Summationsgrenzen in den weiteren Berechnungen
verwendet, sodass sie entweder gegeben ( beispielsweise die Punkte A und B )
oder aber als Funktionen von p definiert sein müssen. Bekanntlich gelten für
die Koordinaten xQ ,
und yQ t
die Beziehungen
XQ*. =
xM - afc(v-*0 ± V^(1+*,*V (w-vT111.
» + *;
und
^QK. » *K- X> + V 112.
sodass es leicht einzusehen ist, dass deren Einführung in die weiteren Berech¬
nungen, abgesehen von der Tatsache dass die Gleichungen 111 und 112 nur ab¬
schnittsweise gültig sind, wenig erfolgversprechend ist. Will man nicht auf
die Allgemeingültigkeit der Formeln verzichten, so ergibt sich daraus, wie
35 -
schon im Abschnitt 2.2. kurz erwähnt, die Notwendigkeit die Schnittpunkte durch
Wahl eines adequaten ersten Näherungswertes p„ schrittweise konstant zu halten
und den begangenen Fehler iterativ zu verkleinern. Dass dabei diese Iteration
relativ rasch konvergiert kann an Hand der Fig. 29 gezeigt werden. Vorerst
Fig. 29 Fig. 30
werden mit dem ersten Näherungswert p„die Koordinaten der Schnittpunkte Qv
nach Gleichungen 111 und 112 berechnet. Nach Aufsummierung über die nunmehr
konstanten Summationsgrenzen und über sämtliche Scheiben SK sowie anschliessen¬
der Berechnung analog zur Anleitung der Abschnitte 2.3.1. und 2.3.2. erhält
man eine erste Näherungsfunktion F0*Bp(p0»p) deren Minimum F.^ gemäss Abschnitt
2.3.3. bestimmt werden kann. Die Stelle p* dieses Minimums wird als neuer Nä¬
herungswert p, in die Berechnung der Schnittpunkte Q^eingeführt.und man erhält
die zweite Näherungsfunktion resp. das zweite Minimum F,XB. Dieses und vor allem
jedes weitere Minimum FJAB kann nun innerhalb der üblichen Genauigkeit kaum
wesentlich vom vorhergehenden Wert Fj.,^B abweichen, da einerseits, wie ein Blick
auf Fig. 30 zeigt, der Variation der Koordinaten xQ ,
bei vernünftiger Wahl des
ersten Näherungswertes p0 relativ enge Grenzen gesetzt sind, und andererseits
der Wert x,, einen prozentual geringen Einfluss auf die gesamte Berechnung aus¬
übt.
Neben dieser an sich überwindbaren Schwierigkeit sind aber speziell im
Zusammenhang mit den bei inhomogenen Böschungen auftretenden Unstetigkeiten
einige zusätzliche Fragen zu untersuchen die im Folgenden sowie in der Beschrei¬
bung des ALGOL- Programms ( Abschnitt 3 ) einzeln erläutert werden.
2.4.1. Darstellung des Nenners N als Funktion von p
Analog zur Berechnung im homogenen Fall ( Abschnitt 2.3*1. ) sind als ein¬
zige vom Gleitkreis abhängige Grössen die Integrale J0 und J\ als Funktionen
von p darzustellen. Wird die zu untersuchende Böschung gemäss Fig. 31 in eine
- 36 -
inhomogen inhomogen + homogen
Fig. 31
homogene und eine inhomogene Teilböschung zerlegt, so kann für den Nenner ge¬
schrieben werden
N(p),h * No + N.p * NN(p)iH 113.
Die Koeffizienten N0 und N, können nach Gleichungen 79 und 80 berechnet werden
während für die mit NN(p)iH bezeichnete Teilsumme über sämtliche Bereiche nK,
und Scheiben SKi der inhomogenen Teilböschung die Beziehung
,r Q».
NN(P)iH - Z- ^[(,+fe^'v +i^^l^n,]-k' A
114«
gilt. Die bestimmten Integrale J0 und J,„.
lassen sich nach dem Einsetzen der
Integrationsgrenzen za, und Xq^ in die Gleichungen 74 und 75 und anschliessen¬
der Aufsumioierung von A bis Q^wie folgt berechnen
UK-
z 3. =~
Q"'r
Ok', 115.
- 37 -
"H1
i. , n..
116.
Setzt man die aufsummierten Integrale unter Beachtung der Gleichungen 59 und
60 in die Gleichung 114 ein, so erhält man für die Teilsumme NN(p)-,H nach
kurzer Ifaformung die Funktion
NN(p")lH - (nNo * NN.p « NNap1)-^-
Die Koeffizienten NN0, NN, und NNZberechnen sich dabei zu
117.
NN„ / AYL i kit'
(l + aJsinf)
Vcosf.
^ (*.-Xq«,)(*-*,) * T5"(>- W)% %K*&>
NN.-ä-Z!a*-(l*lJsinf)
NN,
- *B(xl, + #..) + ü» Uta«- (*%« -XnH.)]
+ 1?co5 f | XÖM. (*bX, -N)BXQ,.) + X82_l>v(*VM -*"«,)]
118.
119.
120.
Im Gegensatz zur homogenen Böschung enthalten diese Koeffizienten neben den
geometrischen und erdbaumechanischen Daten noch die Koordinaten x^, und yg (.
Da diese Schnittpunktkoordinaten von p abhängen, müssen die Koeffizienten NN0,
NN, und fflt für jeden Iterationsschritt neu berechnet werden.
Wird NN(p)lH nach Gleichung 117 in Gleichung 113 eingeführt, so erhält
man für den Nenner N(p)iH schliesslich die Funktion
N(p)i« N« + NNo + (N, + NN.^p + NN* p4 121.
welche implizite einen Näherungswert pj enthält.
- 38 -
2.4.2. Darstellung des Zählers Z als Punktion von p
Waren im homogenen Fall die Werte c', tgf ' und B längs der gesamten Gleit¬
fläche konstant, so ist dies bei inhomogenen Böschungen nur noch abschnittswei¬
se, nämlich innerhalb der Bereiche x« * x £ x0, der Fall. Es ist deshalb unum-
gänglich zur Darstellung des Zählers als Funktion von p nebst der Zerlegung in
die Intervalle n„ und in die Scheiben SK, auch noch eine Zerlegung in vertikale
Lamellen gemäss Fig. 32 vorzunehmen. Die Summation von A bis B wird somit in
Fig. 32
die Teilsummen von Q„. bis (}„.,., aufgeteilt, wobei diese Schnittpunkte definitions-
gemäss schrittweise konstant, d.h. von p unabhängig sind. Da im weiteren auch
die freie Oberfläche der Sickerströmung vom Gleitkreis geschnitten werden kann,
ist für die Berechnung des Auftriebanteils die Summation von W, bis Wj und
nicht wie im homogenen Fall von A bis B durchzuführen.
Analog zur Herleitung im Abschnitt 2.3.2. müssen die Integrale J0, J2 und
Js sowie das Kohäsionsglied als Funktionen von p dargestellt werden. Mit der
Abkürzung
A„. I arctq *9»'»' ~x"- arc ho x°v-*m 122.
lässt sich das Kohäsionsglied anschreiben zu
I>,-i[.eÇ(c;.,v)] 123.
Werden die Integrationsgrenzen xtt, und xQh. in die Integrale der Gleichungen
74, 87 und 92 eingesetzt, so erhält man mit den Bezeichnungen der Fig. 32
- 39 -
^
Xa,
a
Xq„,
* (*•*. - xO + ** (xw XU ~ £ «v. ~ x*Sh. ) +
+ B-j p* + B-, p + B„ *
-=- 124.
^P/1
1
R
-yti*°?
\
125.
126.
FUhrt man die Mittelpunktskoordinaten xM und yM sowie den Radius E nach Glei¬
chungen 59, 60 und 61 in die Gleichungen 124, 125 und 126 ein, so erhält man
für die Zählerfunktion Z(p)iH im inhomogenen Fall nach längerer Umformung die
unendliche Reihe
Z(pVm -
Y ZZ^ + ZZ^ZZ.p +ZZ0 + ZZ-tp»+ZZ^p zz.^zz^ 127.
Nun enthalten aber die Koeffizienten ZZS, ZZt, ZZ,, ZZ„ und ZZ^u im Gegensatz
zu den Koeffizienten der Gleichung 95 neben den zur Definition der Böschung
und des Belastungszustandes notwendigen geometrischen und erdbaumechanischen
Daten auch noch die vom Aufbau und implizite vom jeweiligen Näherungswert pj
abhängigen Schnittpunktkoordinaten x^.und y^ ,.Für die somit bei jedem Itera¬
tionsschritt neu zu berechnenden Koeffizienten gelten dabei die folgenden Be¬
ziehungen
ZZ.--SHK' KM \l,
K
zz, = (4yss
ZZ -*
128.
129.
130.
zz.-(4?zz» 131.
- 40 -
ZZ-*K1 J KIk'J
2Z-=2d
ZV*
zz0 =
QkV,
QH' J
*x* (Xvr^K- ) ft» - Xv, -**) +
+ X* (Kv. - **,,) (x6 - XQk,( - XQi. -£ ) +
a«-
*fc') I QK,'JJ
-^^z^" V+9S>:K^v«-Xa^v' +Z]x"(x^-x»)
+ ~iï^T ZIk(K^-x"kX3Xb~zX*V'_ *Xn«)l
T (V, -xv)(*b-XqkV, "xO +ift^, - &) +
+ Ï ft«*. - *•)ft» - * 3«A. " ÎK«) +
ft,'J
.
Kv, [vifK,-*») - 4l - xv[w(K-*•)* |] -
Q»Vi
-f2_,[^n»(xnll*1-x„1()(3xB-^x„Ät,-^xnH,)] -
««'J J
QmVir
_
- iXZ [Xw (Xv"*' -Xw)ftxB- ZXwm- 2XW)1
V«
(i+i5sinl)X]AYi
-M'y-•53-4, ft»
Zm
zz,=< v^f r ^*'*V \1
- 41 -
2.4.3. Massgebender Gleitkreis und minimale Gleitsicherheit
Nachdem auch für die inhomogene Böschung- der Nenner und der Zähler der
Gleichung 19 als Funktionen von p dargestellt worden sind, kann die Gleit¬
sicherheit FfcBpiH eines beliebigen Gleitkreises berechnet werden zu
jU.co
*Bp iH
ZZsp* * (zZa-*-ZZ.z)p* * (zZ,+ZZ-t)p +ZZ«, +ZZ* +Z_,Z^~
N, + NN„ +• (N, + NN,) p + NNZ pz
136.
Nun enthalten aber mit Ausnahme von N0 und N, sämtliche Koeffizienten impli¬
zite den Näherungswert pj . Die Gleichung 136, welche demnach nur für diesen
Wert exakt gültig ist, liefert für ein beliebiges p und insbesondere für die
gesuchte massgebende Grösse p* lediglich Näherungswerte, die jedoch wie im
Abschnitt 2.4.1. begründet wurde im allgemeinen nicht wesentlich von den effek¬
tiven Werten abweichen können.
Das Minimum der somit nur innerhalb eines Iterationsschrittes gültigen
Funktion FABpiH kann analog zu dem im Abschnitt 2.3.3. erläuterten Verfahren
bestimmt werden. Wird die Reihe der Gleichung 127 wiederum nach einem endli¬
chen Glied p* abgebrochen, so erhält man für die zur Berechnung des Minimums
notwendigen Ableitungen die zwei folgenden endlichen Reihen
NNjZZj p* + 2(N1 + NNl)zz5pî +
•[3(N.+ NN,)zZj + (n,+ NN,)(ZZ£ +ZZ.z) - NN* (zZ>ZZ-,)]p* +
+ [2(N.*NN0)(zZz + ZZ.t) - 2NNt(2Z0+ZZ„)lp+-
ftp)iH '
VCpV« =
+ (n.+ NN.)(zz,+ZZ-.) - (n. + NN^ZZo+ZZ.) -3NN»ZZ, -
- ZZ[(/*-')(n,*MM0)zZ/1.1 +Oi*0(N1*NN,)zZ/, + Oi«)NNtZZ/l*I]-^-
2[(n.* NNo)(zZ2*-ZZ.t) - NNa(zZ0-ZZo)] +4NNtZZsp* + 6(N,*IM.)ZZ5P* +
+ 2[3(N0 + NN„)ZZ3 +(N1*NN,)(ZZÎ+ZZ-Î) - NN* (zz>ZZ-,)]p +
__ [(/M-0(N0^NK0)ZZ/1.1 + (^(n.+ NN^ZZ,, +(yu*3)NN,Z2/w,]^*-
f 137.
[(^-OC^NmOzz^h *(/h)(n1*mn,)ZZ/1*]^;1 +/(/**')(N«*NM')pê-
138.
- 42 -
Die Nullstelle -p* der Punktion $(p),-M , welche durch sukzessive Approximation
nach Gleichung 110 berechnet werden kann, wird als neuer Näherungswert in die
Berechnung der Schnittpunkte QKi eingeführt und die Iteration solange wieder¬
holt, bis die verlangte Genauigkeit erreicht wird. Diese doppelte Iteration,
welche auf den ersten Blick kaum schneller zum Ziele zu führen scheint als die
Methode der Isoasphalien ( Abschnitt 1.3.2. ), erweist sich indessen aus fol¬
genden Gründen als vorteilhaft.
Infolge des unstetigen Aufbaues einer inhomogenen Böschung, wird die
Gleitsicherheit in Punktion von p eine unstetige "Girlanden-Form", etwa gemäss
Fig. 33 aufweisen. Durch die Annahme eines ersten Näherungswertes p0 wird die
< F,*B (p.»p)
foab(p.,p)
P*p'* tf-P.
Fig. 33
wahre Gleitsicherheitsfunktion F(p) durch eine stetige Näherungsfunktion F6(p)
ersetzt, welche an der Stelle p0 die effektive Gleitsicherheit liefert. Die
Minimumsabszisse p* der Funktion F0(p) wird nun als zweiter Näherungswert p,
in die Berechnung eingeführt. Man erhält die Funktion F,(p), welche für den
Wert p, wiederum die effektive Gleitsicherheit liefert und demnach an dieser
Stelle mit der wahren Gleitsicherheitsfunktion F(p) übereinstimmt. Da bei nicht
zu extremem Aufbau der zu untersuchenden Böschung die Funktion F(p) ein ausge¬
sprochenes Minimum aufweist, und jeder Iterationsschritt zwangsläufig auf einen
Punkt dieser Funktion führt, werden die jeweils nach der soeben hergeleiteten
Methode berechneten Näherungswerte -pf tatsächlich Verbesserungen und der erhal¬
tene Wert F(p*) die gesuchte minimale Gleitsicherheit sein. Besitzen einzelne
Bereiche der "Girlande" eigene ( relative ) Minima, so müssen diese durch Be¬
rechnung für verschiedene Werte von p näher untersucht werden. Analog zur homo¬
genen Böschung führt auch hier die Berechnung nach Gleichung 136 bei vergleich¬
barer Genauigkeit rascher zum Ziel als die herkömmliche Lamellenmethode. Somit
ist es gelungen, den massgebenden Gleitkreis und die minimale Gleitsicherheit
auch für inhomogene Böschungen auf analytischem Weg zu berechnen.
- 43 -
3. ANLEITUNG FUER DIE PROGRAMMGESTEUERTE BERECHNUNG
3.1. Voraussetzungen und Einschränkungen
3.1.1. Maschinentechnisch
Eine der wichtigsten Voraussetzungen bei der Entwicklung des soeben be¬
sprochenen Auswertungsverfahren3 war die Anwendung der Methode mit Hilfe di¬
gitaler Rechenmaschinen. Diese Voraussetzung ist insofern von Bedeutung, als
deren Erfüllung es erlaubt die sonst üblichen Kriterien ( Einfachheit, Ueber-
sichtlichkeit, Eignung zur tabellarischen Berechnung, etc. ) weniger sorgsam
zu beachten und dafür das Problem allgemeiner zu formulieren. Von dieser
Ueberlegung ist nicht nur bei der Entwicklung neuer Methoden, sondern auch
bei der Aufstellung eines Programms und in noch grösserem Mass bei der Wahl
der Programmierungssprache auszugehen.
Die Vielfalt der Maschinentypen und die zumindest heute noch inangelnde
Standarisierung der Formulierung arithmetischer und logischer Operationen
Hessen es angezeigt erscheinen das im folgenden zu besprechende Programm
mit einer auf breiter Basis anwendbaren problemorientierten Sprache zu be¬
schreiben. Als solche kommt die speziell für technisch-mathematische Zwecke
entwickelte ALGOL - Programmerungssprache in Frage, umsomehr als deren ex¬
plizite Ausdrucksweise es auch einem mit Programmen weniger vertrauten Inge¬
nieur durchaus ermöglicht den Programmablauf zu verstehen. Als Folge der
fehlenden Normierung müssen der maschinengebundene In- und Output sowie die
Fragen der Speicherkapazität den Möglichkeiten des verfügbaren Computers an-
gepasst werden. Das vorliegende ALGOL - Programm ( Abschnitt 3.3. ) verwen¬
det die vom Compiler der CDC - 1604 A verarbeitbaren Ein - und Ausgabeproze¬
duren und setzt einen "unendlich" grossen Speicher voraus. Die Matrizendar¬
stellung zusammengehörender Zahlengruppen lässt allerdings eine zweckmässige
Segmentierung in sozusagen beliebig kleine Zahlenblöcke ( etwa auf Magnet¬
band, Trommelspeicher, usw..) ohne weiteres zu.
3.1.2. Geometrisch
Das gegebene ALGOL - Programm setzt die eindeutige geometrische Defi¬
nition der zu untersuchenden Böschung ( Topographie, Aufbau, Böschungsnei¬
gungen, Schichtstärken, etc. ) voraus, sodass Aenderungen geometrischer Daten,
etwa auf Grund der Resultate nicht in einem Arbeitsgang behandelt werden
können. Eine entsprechende Programmerweiterung wäre denkbar aber kaum sinn*-
voll, da solche Aenderungen zur Hauptsache auf Grund praktisch- oekonomischer
Ueberlegungen vorgenommen werden.
- 44 -
Eine Böschung gilt dann als geometrisch eindeutig definiert, wenn sämt¬
liche Punktkoordinaten und Geradengleichungskoeffizienten bezüglich eines be¬
liebigen rechtwinkligen Koordinatensystems bekannt sind. Es empfiehlt sich das
Koordinatensystem so zu wählen, dass die Böschung ( wasserseite links ) im
ersten positiven Quadranten liegt. Die Böschung kann einen beliebigen Aufbau
besitzen. Es wird vorausgesetzt, dass jede Materialschicht durch einen Stre¬
ckenzug definiert ist. Jede Strecke entspricht einer zwischen PL9 ( Punkt
links ) und PR9 ( Punkt rechts ) gültigen nicht vertikalen Geraden g, welche
durch die Geradengleichung y = Aax + B^ und den Parameter <0^ charakterisiert
ist (<ü<^ = 0 : Oberflächengerade; 6>»= 1 : gewöhnliche Gerade; 0^= 2 : Gerade
der Wasserlinie ). Der Streckenzug beginnt mit der Geraden mit dem kleinsten
Wert xru und ist so zu wählen, dass die Bedingung x^ xmM stets erfüllt ist.
Wo der Aufbau dies nicht zulässt, sind Hilfsstrecken einzuführen ( siehe Bei¬
spiel Kr. 4 ). Nummerierung und Anzahl der Punkte und der Geraden sind frei.
Alles was unterhalb des Streckenzuges liegt, wird als zur Materialschicht ge¬
hörend betrachtet ( Scheibe ). Die Anzahl Schichten ist frei; die Reihenfolge
muss aber so gewählt werden, dass die einzelnen Schichten der Böschung jewei-
len als Differenz zweier aufeinanderfolgenden Scheiben resultieren. Eine Stre¬
cke kann Bestandteil mehrerer Streckenzüge sein.
3.1.3. Erdbaumechanisch
Eine Böschung ist dann materialtechnisch eindeutig definiert, wenn die
erdbaumechanischen Eigenschaften (^, tg*f, c', B, AP ) jeder Schicht bekannt
sind. Die bei Stabilitätsberechnungen üblicher Art nicht notwendige Angabe AP
bezieht sich auf die Berücksichtigung des Auftriebes ( AP = 0 : Schicht über
Wasser; AP = 1 : Schicht unter Wasser ). Vom Programm aus gesehen können zwei
Schichten mit identischen Eigenschaften als eine Scheibe betrachtet werden.
Die Entscheidung ob die Böschung als homogen oder inhomogen im Sinn der Defi¬
nition des Abschnittes 2.1» zu betrachten ist erfolgt automatisch. Die Aende-
rung der Materialeigenschaften in einem Arbeitsgang ist zur Vornahme gewisser
Variantenuntersuchungen im Programm vorgesehen. Dagegen wird aus geometrischen
Gründen jeder Belastungsfall, insbesondere die verschiedenen Stufen einer
Wasserspiegelabsenkung, einzeln behandelt, weil die unterschiedlichen Lagen
der Sickerlinie jeweils zu einer neuen Definition der Materialschichten führt.
Der Kapillarsaum kann wenn nötig durch Abstufung des Raumgewichts (tfc -*•£« )
und des Parameters AP ( 0-»l ) berücksichtigt werden. Die Erdbebenwirkung wird
in einem Arbeitsgang behandelt, wobei die Koeffizienten *\J und | während der
Berechnung beliebig variiert werden können.
Es wird die Gleitsicherheit eines durch den unteren und oberen Böschungs-
- 45 -
Punktes ( A und B ) definierten Böschungsabschnittes nach der Methode von W.
Fellenius berechnet und zwar für
ART := 0 die Gleitsicherheit eines gegebenen Gleitkreises
ART = 1 die minimale Gleitsicherheit des Böschungsabschnittes AB ausgehend
von Po = d als erster Näherungswert
ART = 2 die minimale Gleitsicherheit des Böschungsabschnittes AB ausgehend
von einem gegebenen Näherungswert.
Das vorliegende Programm kann beispielsweise durch Einfügung des in einem an¬
deren Zusammenhang aufgestellten ALGOL - Programms zur Berechnung der Gleit¬
sicherheit nach den impliziten Formeln von A. W. Bishop oder N. Jaribu, und
Eingabe von ART>3 praktisch beliebig erweitert werden.
3.1.4. Mathematisch
Die Darstellung der Zählerfunktion als unendliche Reihe sowie die ite¬
rative Berechnung der massgebenden Gleitfläche im inhomogenen Fall sind an
die Voraussetzung der Konvergenz der entsprechenden Verfahren geknüpft. Wie
im Abschnitt 2.3»2. kurz erwähnt gelingt es jedoch weder die Konvergenz
streng zu beweisen, noch allgemein gültige Angaben über vom vorgeschlagenen
Verfahren nicht erfassbare Fälle zu machen. Die Einschränkungen der Methode
können somit nicht explizite formuliert werden. Im ALGOL - Programm sind
deshalb neben den notwendigen Abbruchkriterien eine Anzahl Kontrollen ein¬
gebaut, welche kritische Fälle mit den zur weiteren Bearbeitung notwendigen
Angaben ohne Programmunterbruch ausscheiden. Die folgenden Massnahmen sind
dabei von besonderer Bedeutung.
Die für die Zählerfunktion entwickelte Reihe nach Gleichung 127 kann
schematisch wie folgt angeschrieben werden
/l'«e c K»kt Wim
\ s
/ A^,,,m*l
139.
In der praktischen Anwendung wird man die Reihe für Z(p) nach Erreichung
einer bestimmten Genauigkeit ( z.B. l#o) abbrechen, während für die Summe
y'
A^%ft im besten Fall die Rechengenauigkeit d.h. etwa lO"** gefordert wer-
den kann. Da nun diese Summe die Reihenentwicklung des Kreisabschnittes dar¬
stellt, wird die Reihe Z(p) für Werte p» d gut und für Werte p$- schlecht
konvergieren. Im allerdings erdbaumechanisch nicht erheblichen Fall p = 0
wird die Reihe sogar divergieren. ( Fig. 34 ).
Die bisher durchgeführten numerischen Anwendungen ( über 200 Fälle an
drei verschiedenen Böschungsprofilen ) haben gezeigt, dass die Zählerfunk¬
tion bis etwa J*= IQ gedämpft sinoxdal konvergiert, dass sich aber die
- 46 -
Fig. 34
2(pj
Fig. 35
- 47 -
Dämpfungsfunktion nach Ueherschreitung von /*= 10 wieder öffnet ( Fig. 35 )•
Diese Erscheinung ist auf die limitierte Genauigkeit hei der Berechnung der
Summe \'
Au*»» zurückzuführen und hat zur Folge, dass vor allem für P^T" das
Genauigkeitskriterium für Z(p) überhaupt nie erreicht wird. Aus diesem Grunde
sind für die Reihe z(p) in ALGOL - Programm die drei folgenden Abbruchkrite¬
rien formuliert worden.
Die Reihe Z(p) wrid abgebrochen
- wenn der Absolutbetrag des zuletzt berechneten Gliedes weniger als 6 = lfot,
des bisherigen Wertes von <Z(p) beträgt.
- wenn die Amplitude der Funktion z(p,yu) erstmals wieder zunimmt. Dem Zähler
wird das arithmetische Mittel zwischen den zwei letzten Extremwerten als
Wert zugeordnet. Die bisherigen Werte werden ausgedruckt.
- wenn keines der vorhergehenden Kriterien bis u= 19 erfüllt ist» WertZuord¬
nung und spezielle Angaben wie zuvor.
Im Abschnitt 2.2 wurde aus verschiedenen Gründen empfohlen die Iteration der
massgebenden Gleitfläche inhomogener Böschungen mit möglichst kleinen Werten
p£ einzuleiten, was sicherlich dann zweckmässig ist, wenn die Zählerfunktion
gut konvergiert. Im Lichte der soeben erläuterten numerisch bedingten Uhge-
nauigkeit der Zählerfunktion könnte allerdings diese Methode in gewissen Fällen
nicht zum Ziele führen. Um solche Fälle ebenfalls zu erfassen wurde im ALGOL -
Programm ein Iterationsverfahren eingebaut, .welches im wesentlichen auf fol¬
genden Ueberlegungen beruht.
Erdbaumechanisch ist nur die Nullstelle der Funktion 0(p) = — ^und
nicht der gesamte Verlauf der Kurve ( Fig. 22 ) interessant. Man könnte also
diese Ableitung beispielsweise durch die logarithmische Funktion
ftp) s A(p-) * CctCa-p) WO.
ersetzen. Der Reziprokwert des einzigen Parameters a stellt dann die Null-
stelie der Funktion A(p), d.h. die nächste Approximation dar, welche sich a'is
der Ableitung gemäss Gleichung 137 ausgehend von einem ersten Näherungswert
p0 (z.B. p„= d ) rekursiv zu
3. « = 3T-T = je. -g. „141.
berechnen lässt. Bor Vorteil dieser Methode liegt darin, dass einmal der erste
Näherungswert so gewählt werden kann, dass die Zählerfunktion gut konvergiert
- 48 -
und iE weiteren die Nullstelle der Funktion A(p) definitionsgemMss iE posi¬
tiven Bereich liegt, was prograinErtechnisch von nicht su unterschätzender Be¬
deutung ist.
Diese Iteration wird abgebrochen wenn eines der vier folgenden Krite-'
rien erfüllt ist.
- Der Unterschied zwischen neuem und bisherigem Wert von Fab(p) ist kleiner
als l^o.
- Der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungswerten p ist
kleiner als iß.
- Die wahre Kurve F(p) ist durch einen unregelmüssigen Verlauf ( Girlanden-
linie } charakterisiert. Die bisherigen Werte werden gedruckt,
- Keines der vorhergehenden Kriterien ist mich 20 Schritter erfüllt. Die
bisherigen Werte werden gedruckt.
Diese Kriterien, weiche gleichseitig die mathematischen Dinschränkungen des
ALGOL - Programs darstellen, haben sich, wie die Vergleiche im Abschnitt 4
zeigen, als wirksam und für praktische Belange &ls genügend genau erwiesen.
3.2. Input
Das ALGOL - Programs setzt die Eingabe der Daten in der im Input-Dia-
granm gegebenen Reihenfolge voraus ( Fig. 36 und 37 ). Die Zahlentypen und
deren Bedeutung sind dabei wie folgt vereinbart ( f: Zahl mit festem Komma;
b: Zahl mit beweglichem Komma ).
Variable Typ Bedeutung Grenzen
IC f Anzahl Zeilen des Titels >1
„LI Liste Beliebiger alphamerischer Text ( Tita]) 80 Zei/Zeile
pmax f Max. Anzahl Punkte >0
gmax f Max. Anzahl Geraden >/0
jraax f Max. Anzahl Schichten »0
gjmax f Max. Anzahl Geraden eines Schicht-
atreckenzuges »0
m f Laufvariable ( Punktrsuraœer ) 0 < m $ pmax
pch(m,l) b X-Koordinate des Punktes m -OO^X$»
pch(m,2) b Y_ n h n h -bo^Y$*0»
m Laufvariable ( Geradennummer ) 0$ m £ gmax
gchl(m,l) b Steigungskoeffizient Am *©o
gchl(m,2) b Achsenabschnitt B^ # —
gch2(mtl) f Nummer des linken Begrenzung3punktss 0 4 PL $ pmax
gch2(m,2) f 11 '• rechten " OéPR^pmax
gch2(m,3) f Geradenart 0«W*2
- 49 -
Variable Typ Bedeutung Grenzen
m f Laufvariable ( Schichtnuamer ) Oim ^ jiaax
mchl(m,l) b Raumgewicht Y >0
mcW(ra,2) b Tangens des Scherwinkels ^P >0
mchl(m,3) b Kohäsion c' >0
ÎHCh]ÀEl,4) "r\ Porenwasserspannur.gskoeffizient B 0 ^BS 1
tr.ohl(m,5) h Auftriebsparanieter A 0SAS1
nch2(n,-l) -L Anzahl Geraden des Schichtstreckenzuges 0 S t « gjmax
Zi'ïn2(m,j) JP" ItaïKer der j-ten Gerade des Streckensuges OSn^gmax
XA b Abssisse des unteren Boschungspunkies A -o*4XA<*f>-
GA f Nucmier der Geraden auf welcher
der Punkt A liegt OiGASgmax
XB <P Abszisse des ob<ïi-e::) Böschungspunktes B -ft»iXB6*t»<»
GB f Number der Geraden auf welcher
der Punkt 3 liegt 0£GB*gmax
V7 f Parameter des Belastungszustandes I£w£4
t f Parameter für Erdbebenberücksichtigung 0 oder 1
Thêta b Beschieunigungskoeffizient V OSlIil
Xi b Richtungswinkel der Bebenweile É OSfi^ÏÏ
ART f Art der Berechnung 0 £ART i 2
RUS f Sprunganvfeisungsparameter -1*HUE«8
Falls AKT
_ _
J £n«»_»f _*il«Im 8r>8'r'c^'6~»P~RuTv
*, r_J JlX!L,
u IPmav Qm»ir jm«x ft»»yic>
M
STMfPfkMM
RUE s 8'RUEa 7
RUE—1
'RUE* 0
'RUFal
Fig. 36
- 50
Fig. 37 INPUT.- DIAGRAMM
t: = t+1
t:= t+1
1
t:= t+1
t:= t+1
j:= j+1
®
*m
Z3Z
t:= 1
Zeile
Nt=m
pmax, gmax
+jmax,gjmax
t:= 0
m,X,Y
Nt= pmax
t:= 0
m,A,B,
*PL,PR,<i>
Nt= gmax
t:= 0
*B,AP,AG
j:= 0
GNR
Nj= AG
Nt= jmax
* *XA,GA —» *XB,GB
H
Tw
RÜE=1—I—
N
N
RUE=2x—
N
RUE=3
N
RUE=4
N
RUE=51—
N
RUE=6
N
RUE=7
N
RUE=8 •
*n,V,tg<FÎ
c',B,AP
RUE=Ü
T—
N
N
RUE= -1
RUEa
-**-
Po
N
ART=1
—I—
t art
±W.f
* t=i
©
- 51 -
3.3. ALGOL - Programm
'BEGIN' 'COMMENT' DIREKTE BESTIMMUNG DER MASSGEBENDEN KREIS¬
ZYLINDRISCHEN GLEITFLAECHE NACH DER METHODE
VON F. P. GERBER SOWIE DER MINIMALEN GLEIT¬
SICHERHEIT NACH DER METHODE VON W. FELLEN I US:
'INTEGER' GJMAX,GMAX,JMAX,M,PMAX;'PROCEDURE' TITEL(M); 'INTEGER' M;'BEGIN' 'INTEGER' A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,V;'FORMAT' Fl:- " (A8, A8-, A8, A8, AB, AB, A8, A8, A8, A8) " ;
'LIST' Li:- A,B.C,D,E,F,G,H, l,J;OUTPUT(51,"(lHi)");'FOR' V:- l 'STEP' l 'UNTIL' M 'DO'
'BEGIN' INPUT(5o,Fl,Li); OUTPÜT(5l,Fl,Li); 'END';'END' TITEL;
Loi: READ(M); TITEL(M); READ(PMAX,GMAX,JMAX,GJMAX);'BEGIN'
'REAL' C0o,C0i,C02,CXI,D,D2,N,No,Ni,N2,Po,SXI,THETA,VF,XAU,XB,XBU,XI,XL,XM,XR,XWl,XW2,YAU,YB,YBU,YD,YM,Z,ZQo,ZQl,ZQ2,ZQ3,ZWo,ZWl,ZW2,ZW3,Zl,Z2,Z3,Z 4,Z5,Z 6,Z7;
'INTEGER' A,AA,APP,ART,HOM,J,MUE,MUMAX,S,SMAX,T,Vl,V2,V3,W,Wi;'ARRAY' Ai[i:22,i:3],A2[1:22,-1:2o,1:2],GCHi[o:GMAX,1:6],
KCH[o:2o,i:2],MCHi[o:JMAX,i:7],MUECH[-2:2o,i:4],PCH[o:PMAX i:43*
'INTEGER' 'ARRAY' GCH2C0 :GMAX, l :5 3 ,MCH2Co : JMAX,-l-.GJMAX] ;
'FOR' M:= o 'STEP' l 'UNTIL' PMAX 'DO'
READ(T,PCH[M,1],PCH[M,23);'FOR' M: = o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO'
READ(T,GCH1[M,1],GCH1 CM,2],GCH2[M,l],GCH2[M,2],GCH2[M,3] ) ;
'FOR' M:- o 'STEP' l 'UNTIL' JMAX 'DO'
'BEGIN' READ(T);'FOR' T:« l 'STEP' l 'UNTIL' 5 'DO' READ(MCHiCM,T]);MCHiCM.61:- MCHi[M,i]; MCHiCM,73:- MCHiCM,3];READ(T); MCH2[M,-l]:- T;'FOR' J:- o 'STEP' l 'UNTIL' T 'DO' READ(MCH2[M,J3);'FOR' J: = T+i 'STEP' l 'UNTIL' GJMAX 'DO' MCH2CM,J3:= -l;
'END';AiCi,i]:= l; AiCi,23:= 0.25; AiCi,3]:= 0.5;
A1C2,13:- 0.5; Ai[2,23:« 1/6; Ai[2,3]:= o;
'FOR' M:- 3 'STEP' 2 'UNTIL' 21 'DO'
'BEGIN' J:= M+i; T:- M-2;Ai[M,i3:- Ai[T,i]~T/(M-i); AiCM,2]:- AiCT,2]~M/J; .
AiCM,33:= Ai[T,33~T~T/(M>«J); AlCJ,i3:= A1CM-1,13~T/J;AlCJ,23:= AlCM-l,2]-M-M/(J-(M+2)); Al[J,33:- o;
'END';Lo2: READ(XAU,M); YAU:- XAU~GCHiCM,1]+GCHi[M,2 ] ;
Lo3: READ(XBU,M); YBU:- XBU~GCHlCM,1]+GCHi[M,2];'IF' XBU 'NOT LESS' XAU
'THEN' 'BEGIN' XM:- XAU; YM:« YAU; XB:- XBU; YB:- YBU; 'END'
'ELSE' 'BEGIN' XM:= XBU; YM:- YBU; XB:- XAU; YB:= YAU; 'END';XB:- XB-XM; VF:- l/XB; Z6:- XB-XB; Z7:- Z6-XB;YB:- VF-(YB-YM); HOM:- o; MUEMAX:- 2;'FOR' M:= o 'STEP' l 'UNTIL* JMAX 'DO'
'BEGIN'
MCHiCM,i]:- Z7~MCHiCM,63; MCHi[M,3]:- Zô~MCHiCM,73;'END';
'
'FOR' M:- o 'STEP' 1 'UNTIL' PMAX 'DO'
'BEGIN'
PCHCM,33:= VF~(PCH[M,l3-XM); PCHCM,43:- VF~(PCH[M,23-YM);'END';
_ <j? ~
Lo4
L05Lo6
Lo7Lo8
Lo9
'FOR'
'BEGI
M:= o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO'
N' GCHi[M,3l:= Zi:= GCHi[M,i];GCHi[M,4]:= VF~(XM~Zl+GCHi[M,2]-YM);'IF' HOM 'EQUAL' o 'THEN'
'BEGIN* T:= GCH2[M,i]; J:= GCH2[M,2];Zl:- PCHCT,3]; Z2:= PCH[J,3];
GREATER' o 1'AND'
'LESS'
Z2-YB
'GREATER'
Zl-YB
'THEN' HOM:-
Zi 'THEN'F' Z2
'BEGIN' 'IF' PCH[T,4]'OR' PCH[J,4] 'LESS'
'END';'END';
'END';YM:- YB-YB; D2:- l+YM; D:- SQRT(D2); YD:- -YB/D;SXI: = -0.5-YB-D; XL:- l+YM+YM+YM; XI := XL+YM+YM; XM
XR:= o.25-D2-(XL+XL-i); XL:- (i+XL)/9;"
A2E1,-1,l3A2[l,o,i]A2tl,l,l]A2[l,2, 1]
A2[2,o, 1]
A2[2,l, 1]
A2[2,2, 1]
A2[3,1, 1 ]
A2[3,2, 1] :=» Zl
A2[4,2 l] := -o
READ(W);READ(T); 'IF' T
READ(THETA,XI);READ(ART); 'IF'
o.5*«D»Z2-SXI
Z3-SXI
-YB;Z2: =
Z3: =
Z5:-
-Z2;Zl:« -3-Z3;-Z2~XR;Z3+Z3;
= 2-Z4'
5-Zi;
A2[l,-l,2]D2; A2[l,o,2]; A2[i,i,2]; A2[l,2,2]
A2[2,o,2]A2[2,l,2]A2[2,2,2]A2[3, 1,2]
XI; A2[3,2,2]A2[4,2,2]
= XL/3;CXI:- 0.5/YD;
Zi:- o.5~D]Zi: = Zi-SX
Z4:- Z3-CXI;Z5-CXI;-4-Z1/3;Z5:- -Z2-XM;2~Zl~XL;-0.75-Z5;Z2:= o.75>«Z3»«(2+XI );-8«Z2/i5;
'EQUAL*SXI:-
ART
0 'THEN' THETA:- XI:= o 'ELSE1
READ(Po); Po:= VF-Po; APP: = o
1+THETA~SIN(XI); CXI:- THETA~COS(XI);'EQUAL' 1 'THEN' Po:= D-XB 'ELSE'
KCH[APP,i]:= Po; MUE: = -2; aa: = wi:= o,
XM:
'FOR'
'BEGI
'IF'
'FOR»
0.5+P0-YD; YM:
M: = 'STEP'
0.5-YB+P0/D;1 'UNTIL' GMAX
GCHi[M,6]:- o;'THEN'
1 'UNTIL' UMAX 'DO'
o -STEP' 1 'UNTIL' MCH2[M,-1]MCH2[M,J]; A:- GCH2[T,4];
= PCH[GCH2[T,2],3];XL 'THEN'
N' GCHi[M,5l:HOM 'EQUAL' 1
M:= o 'STEP'
'FOR' J:- - »*TrP»
'BEGIN' T
XL:- PCHCGCH2CT,1],3]; XR
'IF' o 'LESS' XR 'AND' 1
'DO'
GCH2CM,4]:-
'DO'
END'
'GREATER'
'THEN''BEGIN' 'IF' A 'EQUAL' o
'BEGIN' S:- o; Zl:- GCHiCT, 3];_Z2:- GCHUT,4];Z4:
Z3"— i+Zi**Zi*
XM-Zl-iZ2-YM)fWZ2:-'Z4-Z4-Z3-Z2«(Z2-YM-YM); A:- 5;' IF'
'BEGI
Zi:
'IF'
'BEGIN'
'BEGIN'
'END';'IF' Z3
'BEGIN'
'BEGIN'
'IF' A
'END';'END';
'END';GCH2[T,4]:
'END';'END';
'END':
'GREATER' o 'THEN'
SQRT(Z2);Z2
N' S:= 1; Z2:>= GCHi[Tf5l:- (Z4-Z2)/Z3; Z3:= GCHi[T,6]Zl 'NOT LESS' XL 'AND' XR 'NOT LESS' Zl
'IF'
A: =
M 'EQUAL' o 'THEN' A:
1; AA:= AA+i; 'END';
'NOT
'IF'
'AND'
o
LESS' XL
M 'EQUAL'
AA:= AA+i;'EQUAL' 1 'THEN'
XR
'THEN'
A:= 3
'NOT
A--
ELSE1
LESS' Z3
4 'ELSE'
= (Z4+Z2)/Z3;'THEN'
'THEN:
'ELSE' A; 2;
- 53-
'BEGIN' 'ARRAY' ACHi[o:AA, 1:2]; 'INTEGER' 'ARRAY' ACH2Co:AA];ACHiCo,i]:= ACHi[o,2]:= o; SMAX:= o;'IF' AA 'NOT EQUAL' o 'THEN'
'BEGIN' J:- 1;'FOR' M:« o 'STEP' 1 'UNTIL' GMAX 'DO'
'BEGIN' T:= GCH2[M,4];'IF' 3 'NOT LESS' T 'AND' T 'NOT EQUAL' o 'THEN'
•BEGIN' J:» J+i;'IF' T 'NOT EQUAL' 2 'THEN' Zi:= GCHi[M,5] 'ELSE'
Lio: Zl:= 6CHi[Mf6]; T:= T+i;ACHi[J-i,i]:= Zi; ACHi[J-i,2]:- Zi-GCHi[M,3]+GCHi[M,4];'IF' T 'EQUAL' 4 'THEN' 'GO TO' Llo;
'END,';'END';'FOR' J:= o 'STEP' l 'UNTIL' AA-i 'DO'
'FOR' M:- J+i 'STEP' l 'UNTIL' AA 'DO'
'BEGIN' Zi:- ACHl[M,l]; Z2; = ACHi[M,2];•IF' Zl 'LESS' ACHi[J,i] 'THEN'
'BEGIN'
ACHl[M,l]:= ACHi[J,i]; ACHl[M,2]:= ACHi[J,2];ACHUJ,l]:= Zl; ACHi[J,2];= Z2 ;
'END';'END';
'END';'FOR' A:= o 'STEP' 1 'UNTIL' AA 'DO'
'BEGIN' ACH2[A]:= T:= o;Zi:= ACHi[A,i]; Z2;= ACHi[A,2];'FOR' M:- 1 'STEP' 1 'UNTIL' UMAX 'DO'
'BEGIN'
'FOR' J:= o 'STEP' 1 'UNTIL' MCH2[M,-il 'DO'
'BEGIN' S:= MCH2[M,J];'IF' Zl 'LESS' PCH[GCH2[S,2],3] 'THEN'
'BEGIN' Z3:» Zl-GCHitS,3]+GCHi[S,4];'IF' Z3 'GREATER' Z2 'THEN' T:= ACH2[A]:= T+i 'ELSE''BEGIN' Z4:= (Zi-XM)/(YM-Z2 ); Vi:= ABS(loo~(Z3-Z2));'IF' Vl 'EQUAL' o 'AND' GCHl[S,3] 'GREATER' Z4
'THEN' T:= ACH2[A]:- T+i;'END';'GO TO' Lll;
'END';'END';
Lll: 'END';'IF' SMAX 'LESS' T 'THEN' SMAX:= T;
'END '
;'BEGIN' 'ARRAY' ACH3[o:AA,o:SMAX,o: 21,l: 4];'INTEGER' 'ARRAY' ACH4Co:AA,o:SMAX,l:3];'FOR' A:- o 'STEP' l 'UNTIL' AA 'DO'
'BEGIN' M:- -1 ;'FOR' S:= o 'STEP' l 'UNTIL' ACH2CA] 'DO''BEGIN' Vl:- o; M:- M+i; Zl:- l;'FOR' V2:= o 'STEP' l 'UNTIL' MCH2[M,-i] 'DO''BEGIN' J:= MCH2[M,V2]; Z5:= PCH[GCH2[J,2],3];'IF' ACHi[A,i] 'NOT LESS' Z5 'THEN' 'GO TO' Ll2;'IF' Vl 'EQUAL' o 'THEN''BEGIN' ACH4CA,S,i]:- M; ACH4[A,S,2]:= V2; Vi:= l; 'END';'IF' A 'NOT EQUAL' AA 'THEN' Zl:- ACHi[A+l,l];'IF' Z5 'NOT LESS' Zl 'THEN'
'BEGIN' ACH4CA,S,3l:- V2; 'GO TO' Li3; 'END';Li2: 'END';Li3: 'END';
'END';
- 54 -
No:= Ni:= N2:= ZQo:= ZQi:= ZWo:= ZWi:= C0o:= COi:= C02:= o
V3:= MUE+2;'IF' MUEMAX 'NOT LESS' MUE 'THEN' 'GO TO' Li7;'BEGIN'
'REAL' 'PROCEDURE' A2QUER(YB,D,M,MUE,AQl,V,OMi);'REAL' AQi,D,OMi,YB; »INTEGER» M,MUE,V;
'BEGIN'
'REAL' A,Al,A2,B,OM,R2,R3,Xl,X2,X3,X4;'INTEGER' 11, 12, 13, U,J,K,R,Ri,S,SCHRITT,T,TAU,Ti;'ARRAY' A3[o:MUE-M+i+V+V];'REAL' 'PROCEDURE' ATIEFB(A,B); 'INTEGER' A-,B;'BEGIN' 'REAL' Xl; 'INTEGER' K;Xi:= l*
'IF' B 'GREATER' A 'THEN' Xl:- o »ELSE»
'IF' A 'GREATER' B 'AND' B 'NOT EQUAL' o »THEN»
'FOR' K:= o 'STEP' l 'UNTIL' B-i 'DO'
Xl:- Xi~(A-K)/(K+l);ATIEFB:- Xl;
'END' ATIEFB;Ai:- AQl; OM: = OMi; K:- MUE-M+i+V+V; Xi:= M;J:= ENTIER(o.5-Xi)-l; Xl:- K; TAU:- ENTIER(o.5~Xi);Xl:- -YB/D; X2:= Xl«Xi; B:- A:- o; SCHRITT:- o; 11:- -l;
'FOR' T:= l 'STEP' l 'UNTIL' M 'DO' 11:- -11;A2:= Il-(i-V-M);'IF' ll 'EQUAL' 1 'THEN' J:= J+l-V;'IF' V 'EQUAL' l 'AND» MUE 'NOT EQUAL' M-3 'THEN'
'BEGIN'
'IF' Il 'EQUAL' -l 'THEN'
'BEGIN'
'FOR' T:= l 'STEP' l 'UNTIL' K 'DO' 11:- -11;'IF' Il 'EQUAL' l 'THEN' OM:= o 'ELSE'
'FOR' T:= M-l 'STEP' 2 'UNTIL' MUE »DO»
OM:= -o.2 5~OM~D~D~(T-2)/(T-M+3);'END';
'END';J:- J+i; SCHRITT:- SCHRITT+i;'IF' SCHRITT 'EQUAL' loi 'THEN'
'BEGIN'
'IF' V 'EQUAL' o
'THEN'
OUTPUT(5l,"(42H0DER ITERATIV BERECHNETE WERT FUER A2QUER(,I3,1H,,I3,1H))",M,MUE)
'ELSE'
OUTPUT(5l,"(42H0DER ITERATIV BERECHNETE WERT FUER D2QUER(,13,lH,, l3,iH))",M,MUE);OUTPUT(51,"(l3H ERREICHT DIE,48H VERLANGTE GENAUIGKEIT NACH loo SCHRITTEN NICHT./39H DIE ZULETZT BERECHNETEN WERTE BETRAGEN)");MF' V 'EQUAL' o
'THEN' OUTPUT(51,"(4iH J A2QUER(J-l) A2QUER(J))")
'ELSE' 0UTPUT(5l,"(4lH J D2QUER(J-l) D2QUER(J))");Xl:- A2~(B+0M); X2:= A2~(A+0M);OUTPUT(51, " (I5,2E2o.10) " ,SCHRITT,Xl,X2);'GO TO' Li6;
'END';B:= A; 13:» J+J; S:- 13-M+V+V;A:= o; R:= 13—1 ; Ri:- R-i;
- 55 -
'FOR' T:« o 'STEP' l 'UNTIL' TAU »DO'
'BEGIN'
'IF' SCHRITT 'GREATER' 1 'AND' A3[T] 'NOT EQUAL' o
'THEN'
»BEGIN' 14:- S-K+T+T;X3:= S«(S-i)-A3CT]-X2/(I4-(I4-i));A3[TD:- X3-(2-(J+T-i)-i)/(R-2);
'END'
'ELSE'
•BEGIN'
'IF' T 'EQUAL' o
'THEN'
'BEGIN' MF' S 'LESS' K 'THEN' A3[o]:= o 'ELSE'
'BEGIN' A3[ol:= EXP(K~LN(o.5));'IF' S 'NOT EQUAL' K 'THEN'
'BEGIN' X3:= l;'FOR' Ti:» l 'STEP' l 'UNTIL' S-K 'DO' X3:= X
A3[o]:- ATIEFB(S,K)-X3xA3[o];'END' ;
'END';'END'
'ELSE'
'BEGIN' Tl:- K-T-T; 12:= l;'FOR' li:- l 'STEP' l 'UNTIL' T 'DO' l2:= -4-12
'IF' S 'LESS'. Tl 'THEN' A3[T]:= o 'ELSE'
'BEGIN' R3:= l;'FOR' 14:» o 'STEP' l 'UNTIL' J-2 'DO'
R3:- R3~(J+T+U)/(J+U);'FOR' 14:» J+J+T-i 'STEP' l 'UNTIL' J+J+T+T-2
R3:= R3-I4;X3:= l*
'IF' S 'NOT EQUAL' Tl 'THEN'
'FOR' 14:- 1 'STEP' l 'UNTIL' S-Ti 'DO' X3:= X
'IF' Tl 'EQUAL' o
'THEN' X4:- l 'ELSE' X4:= EXP(Ti~LN(o.5) ) ;A3 CT]:« ATIEFB(S,Tl)~X3~X4~R3/l2:A3CT3:- A3CT]~EXP((T+T)~LN(o.5~D));
'END';'END';
'END';A:= A+A3CT];
'END';'IF' SCHRITT 'GREATER* l 'THEN'
Ai:= Ai~R«(R-2+V+V)/((S-V)~(S+V-i));A := B+AiMA *
MF' A 'EQUAL' o 'THEN' 'GO TO' L15;'IF' b-9 'LESS' ABS(l-B/A) 'THEN' 'GO TO' L15;A2QUER:= A2~(0M+A);
'END' A2QUER;MUEMAX:- MUEMAX+i;'FOR' M:- 1 'STEP' l 'UNTIL' V3 'DO'
'BEGIN' Vi:= o; Zi:= o; V2:= l; Z2:= Ai[M,2];A2CM,MUE,ll:- A2QUER(YB,D,M,V3-i,Ai[Mfi],Vi,Zi):A2[M,MUE,2]:- A2QUER(YB,D,M+i,MUE,Z2,V2,Ai[M,3]);
'END';'END '
;
MF' V3 'EQUAL' o
'THEN' 'FOR' M:- -2 'STEP' l 'UNTIL' 0 'DO'
MUECH[M,i]:= MUECHCM,2]:= MUECHCM,3]:= o
'ELSE'
MUECH[MUE,l3:= MUECHCMUE,2]:= MUECHCMUE,3]:= o;
- 56 -
'BEGIN'
'REAL' Bl,Blo,B3o,B31,BHl,BHio,GAMl,Nol,No2,No3,No4,Nil,Nl2,Ni3,Ni4,N2i,N2 3,NHoi,NHo2,NHn,NHi2,NH2,Qi,Qio,Qi2,Q2,Q2o,Q2 2,Q3o,Q31,Q32,QHl,QHlo,QHl2,Sl,SUM,Tl,T2,T3,T4,T5,T6,T7,THl,TH2,TH3,TH4,TH5,WA,YL,YR,Yl,Y2;'FOR' A:- o 'STEP' l 'UNTIL' AA 'DO'inr/M ki
'BEGIN'
'FOR' 'UNTIL' GMAX
GAMi:« WA:=
ACHi[A,2];
Q22N12
Q2oN2i
YB-D2/12; NHo2:= BHio:= D2/12;NHi2:= NH2:- BHi:- o;
-D2~(3+YB~YB)/i2; QHi:- -o.5~YB»
-1; THi:- YB/12; TH4:= -0.5/D;TH5:- YB; TH2:- 2-TH4/3;
M:= o 'STEP' 1
SUM:= Bi:- Qi:- Q2:XL:= ACHi[A,i]; YL:
'IF' A 'EQUAL' AA
'THEN' 'BEGIN' XR:- l; YR:= YB;'ELSE' 'BEGIN' XR:- ACHiCA+1,1];'IF' V3 'EQUAL' o
'THEN'
'BEGIN'
Bio:- Qi2:= Qio:Noi:= N02:- Nil:'IF' AA 'EQUAL' o
'THEN'
'BEGIN'
NHol:NH11:
QHio:QH12:TH3 :
'END'
'ELSE'
'BEGIN'
Zu- (YR
Z2: =
Z3: =
Z4: =
NHol
NH02
NH11
NH12
NH2
BHio
QH12
QHiZ3
THi
'END';' END '
'ELSE'
'BEGIN'
'IF' AA
'THEN'
'BEGIN'
Z2: =
THi:= o.5-(V3-i)«YB/Z3; TH2
'END'
'ELSE'
'BEGIN'
'IF' XL 'EQUAL' o
'THEN' Zi:= o 'ELSE' Zi:
Z2:= EXP(V3~LN(XR)): Z3
THi:- o.5~YB~(Zi-Z2)/V3'END';
'END';
'DO'
Ti: =
GCH2[M,5]:-T2:= T3:= o
'END'
YR: =
T4
o :
ACHiCA+1,23; 'END1
T5: =
D;
x.„ YR+YR~YL+YL~YL)/3; Z5: = YB;(XR~XR+XR~XL+XL~XL)/6;o.5-(XR-XL)-(l-YB-YB-XR-XL);(YR-YL)«(Zl+o.25»«YB~YB-o.5~YB~(YR+YL));- Z4+o.25«YB»«(XR-XL)~(l-XR-XL);= (XR-XL)-(o.25-(XR+XL)-Z2);= (Z3+(YR-YL)~(YB-YR-YL))/D:- BHi:- o.5~YD~(XR~XR-XL-XL);= (YR-YL-YB~(XR-XL))/D2;= (XR-XL)-(o.25"(XR+XL)+Z2«(Z5»«Z5-l));= XL-XR; QHio:= o.25~D2~QHi2;= TH3:» TH5:= o; Zi:- XR-XR; Z2:= XL-XL;
Z2~XL-Zl~XR;TH2:= Z4/(D+D+D); TH4:- o.5~Z3/D;= o
Z2-Z1; Z4:»
25~YB~Z3;
'EQUAL' 0
V3+1; Z3:= V3-Z2; Z4 Z2-D;:= -1/Z4; TH3:= YB;
EXP(V3-LN(XL));(V3+l)«D; TH3:= o:
TH2:= (Zi«XL-Z2~XR)/Z:
- 57
'FOR' S:- o 'STEP' 1 'UNTIL' ACH2CA] 'DO1
'BEGIN'
THi; T2:- TH2; T3:= TH3; T6:- o;• ACH4[A,S,1];» ACH4[A,S,2]; V2:- ACH4[A,S,3];MCH2[J,Vl]; M:- MCH2[J,V2];GCHi[T,4]+XL~GCHi[T,3];GCHi[M,4]+XR~GCHi[M,3];
V3 'EQUAL' o
No4:-B3©:-
Q32:-
T5 :«
NOT EQUAL
NHo2
BHio
QH12
TH5;'
o
T7'THEN'
Tl
J
VI
T
Zl
Z2
'IF
'THEN'
'BEGIN'
No3:- NHoi
N23:- NH2;Q3l:« QHi;T4 :- TH4;'IF' AA
'BEGIN'
Z4
Z3
Z5No3
No4
Nl3
NU
B3o
B31
Q3o
Q31Tl
'END','END'
'ELSE'
'IF' AA 'NOT EQUAL' o 'THEN
'BEGIN'
'IF' XL 'EQUAL' o
Ni3:
B3l:NH11; Ni4: =
BHi; Q3o: =
NH12;QHio;
(XR~Z2~Z2-XL»«Zl~Zi)/3;= o.25~(XR~Z2-XL~Zl):- (XR~XR~Z2-XL~XL-Zl)/3;» N03+Z5-Z3;= No4+YB~Z3-o.5~Z4;- Nl3-2~YD~Z3;= N14+2-Z3/D:= B3o+YB~(Z3-Z5);- B31+2-Z3/D» Q30+YB-D2-= Q31-2«D»«Z3» T1+Z5; T3:
Z3-Z5);
T3+Z5+Z5+Z5; T5 T5+Z3+Z3+Z3+Z3;
Z3:> ELSE' Z3:= EXP(V3~LN(XL));'THEN'
Z4:- EXP(V3-LN(XR)); Z5:= Z2~Z4-Zi~Z3;Tl:» Ti+Z5/(V3+l); T3:= T3+Z5;
'END';'FOR' M:- Vi 'STEP' 1 'UNTIL' V2 'DO'
'BEGIN'
T:- MCH2[J,M]; Z3: = GCHi[T,4];'IF' M 'EQUAL' Vl
'THEN' Zl:- XL 'ELSE' Zi:>Yl:= Zi«GCHi[T,3]+Z3;
PCHCGCH2CT,i],3];
'EQUAL' V2
Z2:= XR 'ELSE' Z2:= PCH[GCH2[T,2],3];
'IF' M
'THEN'
Y2:» Z2~GCHi[T,3]+Z3;'IF' GCH2[T,3] 'EQUAL' 2 'AND' GCH2[T,5] 'EQUAL' o
'THEN'
'BEGIN'
GCH2CT,5]:- Si:- 1;'IF' HOM 'EQHAL' o 'THEN'
'BEGIN'
WA : — 1 •
'IF' Wi''EQUAL' o 'THEN'
'BEGIN' Wi:= 1; XWi:= Zl; 'END';XW2:- Z2;
'END';'END'
'ELSE' Si:- o;
- 58 -
Si
N»
'EQUAL' o
Z4:« Z3«(Z2-Zi); Z?: = Z3~(Z2»«Y2-Zi»«Yi )/6;No3+Z4-((Z2+Zl)/6-o.25);No4+Z4~(o.25~YB-Z3/6)-Z5; Z5:» 0.5-Z4/D;Ni3-o.5~YD~Z4; Ni4: = N14+Z5;B31+Z5; Z5:- YB-Z4»'(o.25-(Z2+Zi)/6);B30+Z5; Q3l:= Q31-0.5-D-Z4; Q3o:= Q30+D2-Z5;»EQUAL' l 'THEN'
'IF' V3
'THEN'
'BEGIN'
No3: =
No4: =
Ni3: =
B3i:»
B3o: =
'IF'
'BEGI
Q2o
Q2T6
Q2o'IF'
'BEGI
Z5:WA:
'END','END';Z5:«= o.5~Z4~(Z2+Zi); Ti:- T1+Z5/3; T3:= T3+Z5;T5:- T5+Z4; T6:= T6+S1-Z5; T7:= T7+Si~Z4;
'END'
'ELSE'
'BEGIN' Z?:= EXP(V3~LN(Z2)) ;
» Q2o+D2«Z5; Z5:= Z2~Y2-Zi«Yi; T7:- T7+Z5;- Q2-o.5~D-(Z4+Z5); Z3:= Z2~Z2«Y2-Zi~Zi»«Yi ;= T6+Z3; Z5:= YB~D2~(o.25~Z5-Z3/3);» Q2o+o.25»«D2*«(Zi-Z2) + Z5; Q22:- Q22+Z1-Z2;HOM 'EQUAL' l 'THEN'
N' Z3:- Po«Po+o.25-D2; Yi:- Zi-XM; Y2:- Z2-XM;- ARCTAN(Y2/SQRT(Z3-Y2-Y2));= WA+ABS(Z5-ARCTAN(Yi/SQRT(Z3-Yl~Yi)));
»NOT EQUAL' o'IF' Zl
Z3:- Z3«(Z2-Zi)/V3; T6:
Ti:- Ti+Z3/(V3+i); T3:=
•END';•END';Z3:= MCHi[J,i]-GAMi; SUM: =
'THEN' Zl:- EXP(V3~LN(Zi));T6+Sl~(Z2-Y2-Zi~Yi);
T3+Z3; T6:= T6+S1-Z3;
SUM+Z3;'IF' V3 'EQUAL' o
'THEN»
'BEGIN' ACH3[A,S,o,i]:« Ti;ACH3CA,S,o,2l:- T4; ACH3[A,S,o,3]: =
ACH3[A,S,o,4]:« T7 ; ACH3CA,Sf1,4]:=ACH3[A,S,i,2]:- T2; ACH3[A,S,if3]
T5T6
T3
No2+No4~Z3
Nl2+Ni4~Z3
Blo+B3o~Z3
Q12+Q32-Z3Qlo+Q3o-Z3
Ti; ACH3CA,S,MUE+l,2]:- T2
Nol:= Nol+No3~Z3; No2
Nil:* Nn+Ni3~Z3; Nl2:
N2i:= N21+N23-Z3; Bio
Bl := Bl +B31-Z3; Ql2:
Qi := Ql +Q31-Z3; Q10:'END'
'ELSE'
•BEGIN'
ACH3CA,S,MUE,i]:«ACH3CA,S,MUE+1,3]:- T3; ACH3[A,S,MUE+l, 4] :>
Zl:- ACH3[A,S,o,2-]~A2[i,MUE,i];Z2:= ACH3[A,S,o,3]~A2[i,MUE,2];Z4:= ACH3[A,S,o,4]~A2[l,MUE,2];'FOR' T:= 1 'STEP' l 'UNTIL' MUE+l 'DO'
'BEGIN'
Zl:- Zi+ACH3[A,S,T-i,i]~A2[T,MUE-l,i]+ACH3[AfS,T,2]«A2CT+i,MUE,i];
Z2:= Z2+ACH3[A,S,T,3]-A2CT+i,MUE,2];Z4:= Z4+ACH3[A,S,T,4>A2[T+1,MUE,2];
'END';Bi:= B1+Z1-Z3; Qi:- Q1-Z2-Z3; Q2:» Q2-Z4;
'END';GAMi:= MCHi[J,il;
'END ':
T6;
Li4TO'GO
'END'
=MUE:
CXI;CXI;
MUECHCT+l,l]~SXI+COo'COi'+MUECH[T+l,l]-SXI
Zl
Zl
'THEN*
'THEN'
'THEN4'EQUAL'
'THEN4
«ZW2:«ZWo;
2«ZWl;
5;
ZWiZ2-ZW0;ZWo:=Zi~ZQi;ZQi:-Z1-ZQ0;:=
ABS(Z2-ARCTAN(Z3/SQRT(Z4-Z3-Z3)));=
Z2:»P0-P0+0.25-D2;-
2~ARCTAN(o.5~D/Po);-
N'
HOM
Z+ZQ0+ZW0+Z3;Z:=MUECHCo,i3:=Po~(ZQl+ZWi+Z2+Po~(ZQ2+ZW2+Zi+Po~(ZQ3+ZV/3)));Z:-
MUECH[o,43;Z3:»MUECHC-l,41;Z2:=MUECH[-2,4];Zl:»»END';
-1'EQUAL'T'IF'
-2'EQUAL'T'IF'Zl;MUECHCT.4]:-
Zi+MUECHCT,2];Zl:-
W'OR'3'EQUAL'WMF'Zi+Z7~MUECHCT,3];Zl:-
'EQUAL'W'OR'2'EQUAL'W'IF'
'BEGIN'
'DO'o'UNTIL'l'STEP'-2T:-'FOR'
Z3ZWo:-Z3-ZW3;ZWi:=Z3-ZQ2;ZQo:-Z3-ZQ3;ZQi:-
0.5ZW2:-ZV»i/D;ZV/3:=0.5-ZQ0;ZQ2:=ZQi/D;ZQ3:-o.25~D2;Z3:-C02-CXI;Zl:-No+Po~(Ni+Po*«N2);N:=
'END'
ZQo
Z2
Z4
Zl
'BEG
'THENo'EQUAL'HOM
'IF'
ZWiZ7-ZW0;ZWo:-'BEGIN'
'THEN'o'EQUAL'V3'IF''END';
'END';
MUECHCMUE.3D:MUECHCMUE,2]:MUECHCMUE,l]:
'BEGIN'
'ELSE'
'END'
'BEGIN'
W'IF'
'BEGIN'
W'IF'
ARCTAN(Z2/SQRT(Z4-Z2»«Z2)XW2-XM=Z3:XWi-XM;Z2:-
Z7-ZW1;
MUECHCMUE,3l+Z2~Z5~Q2;MUECHCMUE,2]+Z2~Z4~Ql;MUECHCMUE,l]+Z2«Bl;
'END'ZQ1+Z2;=ZQi:
'THEN'4'EQUAL'
'ZW1+Z1;=ZWl:
'THEN'4'EQUAL''END
ZQ0+YB-Z2;ZQo:-
W'OR'3EQUAL'ZWo+YB-Zl;ZWo:=
W'OR'2EQUAL'
ZQo+Z5~(Z3+Z3);ZQo:-Z5-SUM-Z2-Z4;Z2:='END';
ABS(Z5-ARCTAN((XL-XM)/(YM-YL)));Z5:='
ARCTAN((XR-XM)/(YM-YR)):Z5:=»BEGIN'
'ELSE'1Z5:-'THEN'o'EQUAL'HOM'IF'
WA~Z2~Z5;Zl:-C02-N21-Z2;C02:-C0i-Nii«Z2;COi:-CO0-N0I-Z2;C0o:=
o,3]+Q2o~Z2~Z5;MUECHCo,3]:=MUECHCMUECHC-r,3]+Q2-Z2«Z5;MUECHC-1,3]:-MUECHC-2,3]+Q22-Z2-Z5;MUECHC-2,3]:-
o,2]+Qio~Z2«Z4;MUECHC0,2]:=MUECHCMUECH[-i,2]+Qi~Z2~Z4;MUECH[-i,2]:-
;]+Ql2~Z2>«Z4MUECHC-2,2MUECHC-2,2]:=;]+Blo~Z21o,MUECHC0,1]:-MUECHC
MUECH[-l,i]+Bl-Z2;MUECH[-i,l]:-
N2+N2I'=N2:Ni+Nii~SXI+Ni2~CXI;=Ni:
No+Noi~SXl+No2«CXI;No:»
'BEGI
«SX
IN
MCHiCJ,5l;Z5:=MCHi[J,3l;Z3:=
'THEN'
V3MF' o'EQUAL'MCHiCJ,4];Z4:=MCHi[J,2];Z2:=
-59-
- 60 -
Zl:- MUECH[MUE,i]~SXI;'IF' W 'EQUAL' 2 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN'
Zl:= Zi+Z7-Ml)ECH[MUE,3];'IF' W 'EQUAL' 3 'OR' W 'EQUAL' 4 'THEN'
.Zi:- Zi+MUECH[MUE,2];MUECH[MUE,43:= Zi;'IF' MUE 'EQUAL' 1 'THEN' Z2:- Zi/Po;'IF' MUE 'EQUAL' 2 'THEN' Z2:- Zi/(Po~Po);'IF' MUE 'NOT LESS' 3 'THEN' Z2:= Zi/EXP(MUE~LN(Po));MUECH[MUE,l]:= Z:= Z+Z2:
Li8: 'IF' b-3 'LESS' ABS(Z2/N) 'THEN'
'BEGIN'
'IF' 3 'NOT LESS' MUE 'THEN'
'BEGIN' MUE:- MUE+l; 'GO TO' Ll4; 'END';Vl : = o;'FOR' M:- o 'STEP' l 'UNTIL' MUE-2 'DO'
'BEGIN'
'IF' Vl 'NOT EQUAL' 3 'THEN'
'BEGIN'
Zl:= MUECH[M,1]; Z2: = MUECH[M+1,l]; Z3:= MUECH[M+2,1];'IF' (Z2-Zl)-(Z3-Z2) 'LESS' o 'THEN'
'BEGIN' T3:= o.5~(Z3-Z2-Z2+Zi); T4: = Z2-T3-Z1;T5:= -0.5-T4/T3; Z5:= Zi+T5~(T4+T5~T3);'IF' Vl 'EQUAL' o
'THEN' 'BEGIN' Vl:- l; XL:= Z4:- Z5; Ti:- ABS(Z4); 'END'
'ELSE'
'BEGIN' T2:= ABS(Z4-Z5);'IF' Tl 'NOT LESS' T2 'OR' Vl 'EQUAL' 1
'THEN'
'BEGIN' Ti:= T2;'IF' Vl 'EQUAL' l 'THEN' Vl:- 2 'ELSE' XL:= XR;XR:- Z5;
'END'
'ELSE'
'BEGIN'
Vi:- 3; V3: = M+2; Z:- o.5~(XR+XL); Zi:- ABS(Z-Z3);'FOR' V2:- M+i 'STEP' -1 'UNTIL' o 'DO'
'BEGIN'
Z2:- MUECH[V2,1]; Z3:= ABS(Z-Z2);'IF' Zl 'GREATER' Z3 'THEN'
'BEGIN' Zl:- Z3; V3:- V2; 'END';'END';
'END';'END';
'END';'END';
'END';'IF' Vl 'NOT EQUAL' 3 'THEN'
'BEGIN' Z:= MUECH[MUE,l];'IF' 19 'NOT LESS' MUE 'THEN'
'BEGIN' MUE:= MUE+l; 'GO TO' Ll4; 'END';'END';0UTPUT(5l, "(39HoDIE ZAEHLERFUNKTION ERREICHT BEI MUE=
,
I 4,15H DIE VERLANGTE/53H GENAUIGKEIT NOCH NICHT. DIE NAEHERUNGSWERTE BETRAGEN//21H MUE Z(MUE))",MUE);'FOR' T:- o 'STEP' 1 'UNTIL' MUE 'DO'
0UTPUT(51,"(l3,E2 3.1o)",T,MUECH[T,l]);0UTPUT(51, "(29H0DIE BERECHNUNG WIRD FUER Z-
,
E2o.lo,l6H WEITERGEFUEHRT)",Z);'END';
- 61 -
KCH[APP,2]:= XR:= Z/N;'IF' ART 'EQUAL' o 'THEN'
'BEGI N ' OUTPUT( 51," (////3oHo ,
34H //4lH RESULTATE FUER DIE GEGEBENE GLEITFLAECHE)");XL:= Po; 'GO TO' L23;
'END';Li9: 'IF' APP 'EQUAL' o 'THEN' XL:- o.75~D 'ELSE'
'BEGIN'
Zl:= (KCH[APP-i,2]-XR)/(KCH[APP-i,l]-Po);XL:= o.5~(Po+KCH[APP-i,i])/EXP(Zi/XB);
'END' ;Z2:= Z4:- o;
'IF' b-2 'NOT LESS' ABS((Po-XL)~XB) 'THEN' 'GO TO' L21;'IF' APP 'EQUAL' o 'THEN'
L2o: 'BEGIN' APP:= APP+i;'IF' HOM 'EQUAL'. 1 'THEN'
'BEGIN' Po:= XL; 'GO TO' Lo9; 'END';Zl := ARCTAN(o.5~D/XL)/ARCTAN(o.5«D/Po);ZQo:= Z1-ZQ0; ZQi:- Z1-ZQ1; ZQ2: = Z1-ZQ2; ZQ3: = Zi>«ZQ3;Zl := XWi-XM; Z2:= XW2-XM; Z3:= Po-Po+o.2 5~D2;Z4 := ARCTAN(Zl/SQRT(Z3-Zl~Zi));Z4 := ABS(Z4-ARCTAN(Z2/SQRT(Z3rZ2»«Z2)));XM := o.5+YD~XL; YM:= 0.5-YB+XL/D; Po;= KCHCAPP,l]:= XL;Zl := XWi-XM; Z2: = XW2-XM; Z3:= Po-Po+o.25-D2;Z5 := ARCTAN(Zl/SQRT(Z3-Zi~Zl));Z5 := ABS(Z5-ARCTAN(Z2/SQRT(Z3-Z2»«Z2))); Zl:» Z5/Z4;ZWo:= Z1-ZW0; ZWi:= Z1-ZW1; ZW2:= Z1-ZW2: ZW3:= Zi«ZW3;Z:= Po-(ZQ2+ZW2+MUECHC-2,4]+Po*«(ZQ3+ZW3));Z:= ZQo+ZWo+MUECHCof4]+Po-(ZQl+ZWi+MUECH[-i,4]+Z);MUECH[o,i]:- Z; N:= N0+P0-N1; Zi:- 1;'FOR' M:- 1 'STEP' 1 'UNTIL' MUE 'DO'
'BEGIN' Zi:= Z1/P0;Z2:= MUECH[M,4>Zi; Z:= MUECH[M,i]:= Z+Z2;
'END';'GO TO' L18;
'END';Zl:- KCH[APP-i,i]; Z2:- KCH[APP-i,2];'IF' Po 'GREATER' Zl
'THEN' 'BEGIN' Z3:- Po; Z4:= XR; 'END'.
'ELSE' 'BEGIN' Z3:= Zl; Z4:- Z2; Zl:- Po; Z2:= XR; 'END';'IF' Z2 'GREATER' Z4 'THEN'
•BEGIN'
'IF' XL 'GREATER' Zl 'THEN' 'GO TO' L21; 'GO TO' L24;'END';'IF' Z2 'EQUAL' Z4 'THEN' 'GOTO' L2o;'IF' XL 'NOT LESS' Z3 'THEN' 'GO TO' L24;
L2i: 'IF' 0.001 'NOT LESS' ABS(Z2-Z4) 'THEN'
'BEGI N ' OUTPUT( 51,» ' (////3oHo ,
34H //15H RESULTATE FUER,46H DIE DIREKT BESTIMMTE MASSGEBENDE GLEITFLAECHE)");'GO TO' L2 3;
'END';L22: 'IF' 19 'NOT LESS' APP 'THEN' 'GO TO' L2o;
OUTPUT(51,"(////23HoDIE DIREKTE BESTIMMUNG,34H DER MASSGEBENDEN GLEITFLAECHE IST/5lH NACH 2o ITERATIONSSCHRITTEN NOCH NICHT ERFOLGREICH)");'GO TO' L25;
'END';'END';
'END ';
-62-
L23:
L24:
L25:
L26:
L27:
T:= b5>«THETA; Z3:= XB~(o. 5~YB+XL/D)+YAU; Z4:= XB~Po;Zl:- XB~SQRT(o.25~D2+XL~XL); Z2: = XB~(o.5+YD~XL)+XAU;'IF' XBU 'NOT LESS' XAU
'THEN' OUTPUT(5l,''(12H0WASSERSEITE)'')'ELSE' OUTPUT(5l,"(loHoLUFTSEITE)");OUTPUT(5l,"(34H UNTERER BOESCHUNGSPUNKT
34H OBERER BOESCHUNGSPUNKT
34H MITTELPUNKT
34H RADIUS UND SEHNENABSTAND
Flo.3/)",XAU,YAU,XBU,YBU,Z2,Z3,ZiIF' ART 'EQUAL' o
XA« ,Flo.3,7HXB= ,Flo.3,7HXM= ,Flo.3,7HRM= fFlo.3,7H,Z4);
YA= ,Flo.3/YB= ,Fio.3/YM= ,Fio.3/PM-
.
'THEN
3QH
'ELSE
39H'IF'
'THEN
'ELSE
7H'IF'
'THEN
'ELSE
'IF
'THEN
'ELSE
'IF'
'THEN
'ELSE
OUTPUT(51, "(16H GLEITSICHERHEIT,NACH FELLEN I US FUER DEN BELASTUNGSFALL)")OUTPUT(5l,"(25H MINIMALE GLEITSICHERHEIT,
'EQUAL' 3
OHNE AUFTR
MIT AUFTR
'EQUAL' 2
OHNE PORENWASSERSPANNUNGEN/MIT PORENWASSERSPANNUNGEN/
EBVEBV
));
n,
NACH FELLEN I US FUER DEN BELASTUNGSFALL)");'EQUAL' o
OUTPUT(51,"(l4H OHNE ERDBEBEN)")OUTPUT(51,"(23H MIT ERDBEBEN ( THETA= ,F7.3,
XI- ,Fl3.9,2H ))",THETA,XI);W 'EQUAL' 1 'OR' W
OUTPUT(51,"(l4HOUTPUT(51,"(l4H
W 'EQUAL' 1 'OR' W
OUTPUT(51,"(27HOUTPUT(5l, "(27H
ART 'EQUAL' o
0UTPUT(51, " (5oX,3HF= ,F8.3) " .XR)OUTPUT( 51,
" ( 47 X, 6HFM I N=,F8
. 3) " ,XR ) ;
OUTPUT( 51," ( 34Ho ,
3oH ////)");•GO TO' L2 6;OUTPUT(5l,"(////29HoDIE MASSGEBENDE GLEITFLAECHE,28H KANN WEGEN UNREGELMAESSIGER/9H FORM DER,47H WAHREN KURVE F(P) NICHT DIREKT BESTIMMT WERDEN)");OUTPUT(5l,"(l4H DIE EINZELNEN,45H APPROXIMATIONEN FUEHRTEN ZU FOLGENDEN WERTEN/26H APPR Po(APPR) Fo(APPR))");'FOR' M:= o 'STEP' l 'UNTIL' APP 'DO'
'BEGIN' Zi:-,XB~KCH[M,i]:OUTPUT(5l,"(U,2Fil.3)",M,Zi,KCH[M,2]);
'END';'BEGIN' 'SWITCH' SW:= Loi,Lo2,Lo3,Lo4,Lo5,L06,Lo7, L08;Vi:» o:
READ(M); 'IF' M 'NOT EQUAL' -1 'THEN'
'BEGIN' Vi:- V1+1;'IF' M 'NOT EQUAL' o 'THEN' 'GO TO' SW[M];READ(M,MCHi[M,l],MCHi[M,2],MCHi[M,3],MCHi[M,4],MCHi[M,5]);
'IF' Vl 'EQUAL' 1 'THEN' OUTPUT(5l, " (////36H AENDERUNG DER MATERIALEIGENSCHAFTEN)");OUTPUT(51,"(8HoSCHICHT, I5, 14H GAMMA =,F9.2/
=,F9.2/= ,F9.2)'
8X,19H TGPHI -fF9.2/8X,19H KOHAESION
8X,19H BQUER -,F9.2/8X,19H AUFTRIEB
M,MCHi[M,i],MCHitM,2],MCHi[M,3],MCHi[M,4],MCHi'[M,5]);MCHi[M,6]:= MCHi[M,i]; MCHl[M,7]:- MCHi[M,3];MCHi[M,i]:= Z7-MCHi[M,6]; MCHi[M,.3]:= Z6-MCH1 [M, 7 ] ;
'GO TO' L27;'END';
'END';END':
END
-63-
XA= 194.500 YA= 128.000
XB= 410.000 YB= 212.000
XM= 234.212 ïm= 344.550
RM= 220.161 31= 187.341
3.4. Output
3.4.1. Resultate
Den Resultatentabellen können alle die Gleitfläche und den Belastungs¬
zustand charakterisierenden Grössen sowie die erhaltene Gleitsicherheit
entnommen werden. Sie werden in folgender Form gedruckt.
RESULTATE FUER DIE DIREKT BESTIMMTE MASSGEBENDE GLSITFLAECHE
WASSERSEITE
UNTERER BOESCHUKGSPÜNKT
OBERER BOESCHUNGSPUNKT
MITTELPUNKT
RADIUS UND SEHNENABSTAND
MINIMALE GLEITSICHERHEIT NACH FELLENIUS FUER DEN BELASTUNGSFALL
MIT ERDBEBEN ( THETA= .100 XI= 0 )OHNE AUFTRIEB
MIT PCRENWASSERSPANNUNGEN
FMIN= 1.202
Der am Anfang des Programms eingegebene Text wird zeichengetreu auf dem
Drucker wiedergegeben und ist ebenfalls als Resultat zu werten. Dieser be¬
liebige alphamerische Text kann alle vom Benutzer gewünschten Angaben ( z.B.
Objektname und - Nummer, Datum, Verrechnung, etc ) enthalten.
3.4.2. Meldungen
Erreicht eine der Iterationen nach einer bestimmten Anzahl Schritten
die vorgesehene Genauigkeit nicht ( "totlaufende" Prozesse ), oder sind die
erhaltenen Werte sinnlos oder widersprüchig, so wird die Anweisungsserie
unterbrochen und eine entsprechende Meldung ausgedruckt. Die Meldung ent¬
hält Angaben über den Grund des Unterbruches ( oder des Abbruches ) sowie
über die getroffenen Massnahmen zur Weiterführung der Berechnung. Im ALGOL -
Programm sind die folgenden Meldungen vorgesehen.
Meldung 1
DER ITERATIV BERECHNETE WERT FUER A20JUER(5,9)
ERREICHT DIE VERLANGTE GENAUIGKEIT NACH 100 SCHRITTEN NICHT.
DIE ZULETZT BERECHNETEN WERTE BETRAGEN
J A2QUER(j-i; A2QUER(J)
100 -1.547096642E 6 -I.547096383E 6
- 64 -
Meldung 2
DIE ZAEHLERFUNKTION ERREICHT BEI MUE= 8 DIE VERLANGTE
GENAUIGKEIT NOCH NICHT. DIE NÄHERUNGSWERTE BETRAGEN
MUE z(MUE)0 1.3136491781E 06
1 1.0089791009E 06
2 1.2007036O72E 06
• *
8 1.2008146823E 06
DIE BERECHNUNG WIRD PUER Z= 1.2013583209E 06 WEITERGEFUSHRT
Meldung 3
DIE DIREKTE BESTIMMUNG DER MASSGEBENDEN GLEITFLAECHE IST
NACH 20 ITERATIONSSCHRITTEN NOCH NICHT ERPOLGREICH
Meldung 4
DIE MASSGEBENDE GLEITFLAECHE KANN WEGEN UNREGELMAESSIGER
FORM DER WAHREN KURVE F(p) NICHT DIREKT BESTIMMT WERDEN
Meldung 5
DIE EINZELNEN APPROXIMATIONEN FUEHRTEN ZU FOLGENDEN WERTEN
APPR Pö(APPR) PO(APPR)0 231.293 1.697
1 173.469 1.120
2 2C0.374 1.319
• • «
• • •
• • •
20 175.071 1.131
Meldung 6
AENDERUNG DER MATERIALEIGENSCHAFTEN
SCHICHT 9 GAMMA = 2.36
TGPHI = 0.87
KOHAESION = 1.00
BQUER = 0.15
AUFTRIEB = 0.00
Auf weitere Output-statements, z.B. Meldung bei nichtkonformer oder unvoll¬
ständiger Eingabe, Auftreten negativer Argumente bei LN- oder Wurzelfunktio-
nen, usw. wurde verzichtet, weil die Fehlerursache nicht ohne weiteres pro¬
grammgesteuert behoben werden kann und zudem solche Meldungen im Allgemeinen
vom Computer automatisch erstattet werden und in den meisten Fällen zu einem
Betriebsstop führen.
- 65 -
4. ANWENDÏÏNGSBEISPIELE
4.1. Beispiel Nr. 1
Dieses Beispiel dient unter anderem dazu
- Missverständnisse bezüglich der Anwendung der Formel von W. Fellenius, beson¬
ders über die Einführung der Porenwasserspannungen und der Erdbebenkräfte aus-
zuschliessen,
- den Verlauf der Funktion F - f(p) im homogenen und inhomogenen Fall zu zeigen,
- die minimale Gleitsicherheit für ein festes Punktepaar A,B zu bestimmen,
- einen direkten Vergleich mit den Resultaten des Beispiels Nr. 3 (Anwendung der
entwickelten Methode) zu gestatten und schliesslich
- die Abhängigkeit des Gleitsicherheitsfaktors von der Anzahl Lamellen numerisch
zu beweisen.
Das den Berechnungen zugrundegelegte Profil (Fig. 38 und Tab. l) hat durch
den ausgefallenen Aufbau wohl keine praktische Bedeutung ist aber so gewählt
worden, weil erst dadurch möglichst viele Randeffekte erfasst und deren richti¬
ge Behandlung durch das ALGOL-Programm überprüft werden können.
Da die Methode von W. Fellenius schon im Abschnitt 1.2 hergeleitet und
eingehend erläutert wurde, kann hier auf ein Kommentar der in Tab. 2 darge¬
stellten numerischen Anwendung verzichtet werden.
Die Resultate der Berechnungen und der Verlauf der Funktion F = f(p) für
sämtliche Belastungsfälle können den vergleichenden Tabellen und Kurven des
Beispiels Nr. 3 entnommen werden.
Test- Böschungj V. tgf' c1 tot A
0 2.51 0.S2 2.50 0.15 0
1 2.60 0.92 2.50 0.15 1
2 2.37 0.75 5.13 0.05 0
^s 2.42 0.93 0.00 0.00 1
4 2.15 0.81 1.50 0.10 1
0
Tab. 1. Materialdaten © ©
©Sickerlinie
©
tf = 0.07
J =%
R = 30.0
XA = 18.0
XB = 50.0
- 66 -
Tab. 2. Anwendung der Formel von W. Fellenius
1 T.. to*:. H. B.. "l. u L. COS«*, SINd, Gl TGf, c! U( h \
0 2.51 .92 7.50 .15 .5714 0
2.60 .92 ?.50 .15 .792.» ! .9608 1^9608 .51087 .85966 3.4951 .9? 2.50 .5234 .7717 14.6289
1 2.51 .92 7.50 .15 1.7143 0
R.60 .92 '.50 .15 2.2221 i ./7/5 1.7775 .56319 .82633 'io.:«4 .9? 2.5' 1.5104 2.2065 14.9290
? 2.51
2.60
.92
.92
2.50
2.50
.15
.15
2.857)
3.1606
0
.^278
2.42 .93 0 0 .3015 .9149 1.6427 .60923 .79299 16.1186 .93 1.11 1,0704 '3.4498 15.1219
3 2.51
2.60
.92
.92
».50
2.50
.15
.15
4.0000
2.6000
0
0
2.4? .93 0 0 1.9531) 1.53B6 1.5386 .6503? .75966 21.5263 .93 0 0 4.5429 15.2072
4 2.51
2.60
2.42
.92
.92
.93
2.50
2.50
0
.15
.15
0
4.6429
1.6571
3.5197
0
0
.7342
2.15 .81 1.50 .10 .14515 .7213 1.4555 .68735 .72633 25.3115 .87 .74 1.2538 5.5133 15.4824
5 2.51
2.60
2.42
.92
.92
.93
2.50
2.50
0
.15
.15
0
4.7857
1.1143
4.1556
0
0
0
2.15 .81 1.50 .10 1.117= 1.3875 1.3875 .72094 .69299 27.3684 .81 1.50 2.7359 6,3799 15,9269
» 2.51
2.60
2.42
.92
.92
.93
2.50
?.5D
0
.15
.15
0
4.9286
.3714
6.4609
0
0
.7899
2.15 .81 1.50 .10 .331? .5410 1.3309 .75156 .65966 29.6839 .88 .61 1.2062 7.1570 16.4225
7 2.51
2.37
.92
.75
2.50
5.13
.15
.05
5.0714.2619
0
0
2.42 .93 0 0 7.5990 1.2831 1.2831 .77956 .62633 31.7396 .93 0 0 7.5932 16.8988
8 2.-512.37
.92
.75
?,50
5.13
.15
.05
4.7143
.7857
0
0
2.4J .93 0 0 7.7020 1.2421 1.2421 .80521 .59299 32.3339 .93 0 0 7.6967 17,4960
9 2.51
2.37
.92
.75
2.50
5.13
.15
.05
3.8571
1.3095
0
0
2.42 .93 0 0 7.7410 1.2069 1.2069 .82872 .55966 31.5183 .93 0 0 7.7361 18.3571
10 2.51
2.37
.92
.75
?.50
5.13
.15
.05
3.0000
1.S333
0
0
2.42 .93 0 0 7.7217 1.1762 1.1762 .85028 .52633 30.5607 .93 0 0 7.7168 19.1915
11 2.51 .92 2.50 .15 2.1429 0
-2.37
2.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
2.3571
7.3708
0
.2824
2.15 .81 1.50 .10 .2766 .8671 1.1495 .87003 .49299 29.3969 .84 1.13 2.2172 7.6431 19.9862
12 2.51
2.37
2.42
.92
.75
.93
2.50
5.13
0
.15
.05
0
1.2857
2.881T
6.3333
0
0
0
2.15 .81 1.50 .10 1.199' 1 .1261 1.1261 .88810 .45966 27.9387 .81 1.50 2.7936 7.5187 20.7284
13 2.51
2.37
2.42
.92
.75
.93
7.50
5.13
0
.15
.05
0
.428^
3.2589
5.4125
0
0
0
2.15 .81 '.50 .10 2.0837 1.1056 1.1056 .90457 .42633 26.3775 .81 1.50. 2.6375 7.4924 21.4584
14 2.37
7.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
3.13394.637=5
00
2.15 .81 1.50 .10 2.9329 J.08/6 1.0876 .91954 .39299 24.9559 .81 1.50 2.4954 7.5668 22.1310
15 2.37
2.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
2.6518
3.8958
0
0
2.15 .81 • .50 .10 3.705? * .0718 1.0718 .93308 .35966 23.6804 .81 1.50 2.3679 7.5983 22.7453
16 2.372.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
2.169*
LI"""«
0
5
2.15 .81 1.50 .10 4.404= 1.0580 1.0580 .94526 .32633 22.3255 .81 1.50 2.2324 7.5887 23.3494
17 2,372.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
1.687=
2.479?
0
0
2.15 .81 '.50 .10 5.0*36 1.0460 1.0460 .95611 .29299 20.-8858 .81 1.50 2.0884 7.5396 23.9440
18 2.37
2.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
1.2054
1.7708
0
0
2.15 .81 1.50 .10 5.6846 1.0356 1.0356 .96570 .25966 19.3640 .81 1.50 1.9363 7.4523 24.5312
19 2.37
2.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
.723?
1.0625
•o
0
2.15 .81 1.50 .10 6.2685 1.0267 1.0267 .97405 .22633 17.7625 .81 1.50 1.7762 7.3280 25.1138
20 2.37
2.42
.75
.93
5.13
0
.05
0
.2411
.354?
0
0
2.15 .81 1.50 .10 6.8163 1.0192 1.0192 .98120 .19299 16.0835 .81 1.50 1.6083 7.1675 25.6959
21 2.15 .81 1.50 .10 P 0
2.15 .81 1.50 .10 6.8288 1.0130 1.0130 .98717 .15966 14.6820 .81 1.50 1,4681 6.8260 26.1979
2? 2.15 .81 1.50 .10 0 0
2.15 .81 1.50 .10 6.3067 1.0081 1.0081 .99199 .12633 13.5594 .81 1.50 1.3559 6.3038 26.6035
23 2.15 .81 1.50 .10 0 0
2.19 .81 l.fO .10 5.7504 1..0044 1.0044 .99567 .09299 12.3633 .81 1.50 1.2363 5.7476 26.9920
24 2.15 .81 1.50 .10 0 0
2.IS .81 1.50 .10 5.1603 1.0018 1.0018 .99822 .05966 11.0946 .81 1.50 1.1094 5.1575 27.3636
25 2.15 .81 1.50 .10 0 0
2.15 .81 1.50 .10 4.5367 1.0004 1.0004 .99965 .02633 9.7538 .81 1.50 .9753 4.5339 27.7185
26 2.J5 .81 1.50 .10 r 0
2.15 .81 1.50 .10 3.8797 1.0001 1.0001 .99998 -.00701 8.3413 .81 1.50 .8341 3.8769 28.0567
27 2.15 .81 • .50 .10 r 0
2.15 .81 1.50 .10 3.2226 1.0009 1.0009 .99919 -.04034 6.9287 .81 1.50 .6928 3.2199 28.3615
2« 2.15 .81 ' .50 .10 p 0
2.15 .81 1.50 .10 2.5655 1.0078 1.0028 .99728 -.07367 5.5159 .81 1.50 .5516 2.5627 28.6329
29 2.15 .81 1.50 .10 ' 0
2.15 .81 1.50 .10 1.8746 1.0058 1.0058 .99426 -.10701 4.0308 .81 1.50 .4031 1.8720 28.8875
3(1 2.15 .81 1.50 .in 0
2.15 .81 ! .50 .10 1.150! 1.0100 1.0100 .99010 -.14034 2.4728 .81 1.50 .2473 1.1473 29.1252
3' 2.15 .81 1.50 .10 r 0
2.15 .81 1.50 .10 .3911 1.0155 1.0155 .98480 -.17367 .8409 .81 1.50 .0841 .3882 29.3456 1
Fl»' • 1.819
£5'S"«o(
2k« -"=*'• -5»COSol-L« *)}F3» » 1.144
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2{c'«-<fGT'*t-.»COSct-L«ui}JÜG'SINet
V[r-'«L»TG*'»[(,«CnS<*-L«(/l*ü> '}
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20*'-*T"*'*l"*-r,S<<- *S«SlNtcl-J)-i«(A»U)'l
5I[j«M-lct» • r-,.<M\o>S;Nf;-»~«CO':J/.*>]
» 1.602
• 1.003
» 1.472
,873
-67-
Wie die Resultate der Tab. 3 und die entsprechende Kurve der Fig. 39 zeigen,
ist der Einfluas der Anzahl Lamellen auf den Gleitsicherheitsfaktor relativ
gering. So ist, zumindest im vorliegenden Fall, bei 20 Lamellen nur mit einem
Fehler von öa. 1 $»zu rechnen. Von besonderer Tragweite ist indessen die Tat¬
sache, dass mit zunehmender Anzahl Lamellen die Gleitsicherheit zu- oder ab¬
nehmen kann. Anders ausgedrückt kann die Einteilung in wenigen Lamellen be¬
sonders im Fall " mit Erdbeben "zu einer zu optimistischen Beurteilung der
Gleitsicherheit führen. Diese Abhängigkeit ist in erster Linie auf die zu
ungenaue Berechnung des Winkels ot und keineswegs etwa auf den ausgefallenen
Aufbau der untersuchten Böschung zurückzuführen.
Daraus ergibt sich zwangsläufig die Konsequenz, dass bei Anwendung der
Lamellenmethode offenbar die alte Ingenieurregel, wonach überschlägige Dimen¬
sionierungen auf der "sicheren Seite" sein sollen, nicht immer gilt. Die im
Abschnitt 1.1 aufgestellte Behauptung über den Umfang der Berechnungen be¬
steht somit zu recht.
Anzahl Lamellen Ohne Erdbeben Mit Erdbeben
Lamellen Breite F e& F efoo
1 32.000 1.9274 200.00 1.7828 169.00
2 16.000 1.6221 8.90 1.5084 10.00
4 8.000 1.6030 3.00 1.4940 20.30
8 4.000 1.6061 1.06 1.5170 5.24
16 2.000 1.6075 0.19 1.5226 1.57
32 1.000 1.6077 0.06 1.5242 0.52
64 0.500 1.6078 0.00 1,5248 0.13
128 0.250 1.6078 0.00 1.5249 0.07
256 0.125 1.6078 0.00 1.5250 0.00
Tab. 3. Abhängigkeit der Gleitsicherheit von der Lamellenbreite
F,
\
460-
" >0
\ mi-i Erdlleben
1.55-
•5 \—\
'
1.50-
F«f(ii •0 -
K^
» A\ li / 6 3 2 4 1 28 z5(, irrigt
Fig. 39
- 68 -
4.2. Beispiel Nr. 2
Dieses Beispiel dient dem Vergleich zwischen erforderlichen Böschungsnei¬
gungen bei Anwendung der klassischen Gleitsicherheitsdefinition und bei An¬
wendung der im Abschnitt 1,2.2 vorgeschlagenen Gleitsicherheitsdefinition.
Die maximal tolerierbare Neigung einer Böschung ist abhängig von den Ma'te-
rialeigenschaften einerseits und von den einzuhaltenden Gleitsicherheits-
fak'toren andererseits. Da es hier lediglich um einen Vergleich geht, wird
c' = B = 0 angenommen während für IT und tgf die Mittelwerte S= 2.25 t/m3und
tg*P = 0.70 gelten sollen. In einem solchen Fall ist bekanntlich der massge¬
bende Gieitkreis mit der BöschungsOberfläche identisch ( R =o°). Nach der
heute allgemein üblichen Gleitsicherheitsdefinition gilt somit für die Bö-
schungsneigung tgt* die Beziehung
ÏQd < £- • fo f 142.
unabhängig davon mit welcher Genauigkeit ( Streuung ) und auf Grund wievieler
Messungen die Mittelwerte der Materialeigenschaften bestimmt worden sind.
Diese Einflussgrössen können nun bei Anwendung der Gleitsicherheitsdefinition
nach Abschnitt 1.2.2 berücksichtigt werden« Dabei sollen, um einen möglichst
konkreten und von anderen Einflussgrössen freien Vergleich durchführen zu
können, die Werte 0 und n für alle Materialien gleich sein» Im vorliegenden
Fall werden die selbst für kleinere Schüttungen durchaus zumutbaren Werte
^=^1= 0.1 und Hy= n^= 5 angenommen.
Da die Anzahl tatsächlich durchgeführter Versuche kleiner, gleich oder
grösser als n sein kann wurden in der Zusammenstellung der Tabelle 4 diese
drei Fälle gesondert untersuchte
Es zeigt sich, dass die Durchführung einer zu geringen Anzahl Versuche
( n<na ) mit einer sehr flachen Böschung bezahlt werden müsste, während eine
grössere Anzahl Versuche ( n>5j ), die zwangsläufig auch auf zuverlässigere
Mittelwerte führt, eine leicht wirtschaftlichere Dimensionierung als bei An¬
wendung der klassischen Gleitsicherheitsdefinition zulassen würde,( Fig. 40 ).
Besonders ausgeprägt ist die angemessene Berücksichtigung eingehender Mate¬
rialuntersuchungen bei der Festlegung der erforderlichen Gleitsicherheits¬
faktoren ( F = 2.07 bei n<na und F = 1.1 bei n>na ).
-69-
Tah. 4. Anwendung der vorgeschlagenen Gleitsicherheitsdefinition
n< n. n« Ha n>Ba
3fc tgV V« tg«P' Sc tgV
1 2.26 0.66 2.25 0.70 2.25 0.70
2 2.31 0.65 2.20 0.65 2.20 0.65
3 2.18 0.79 2.18 0.65 2.18 0.65
4 - - 2.31 0.79 2.31 0.79
5
6
"
- - 2.31 0.71 2.31 0.71
- - - 2.21 0.68
7 - - - - 2.19 0.72
8 - - - - 2.26 0.74
9 - - - - 2.29 0.70
10 - - - - 2.30 0.66
ma 0.0655 0.0781 0.0602 0.0574 0.0516 0.0437
• 0.06 0.09 0.06 0.09 0.06 0.09
V. -0.07 -0.05 -0.07 -0.05 -0.07 -0.05
arn 2.25 0.70 2.25 0.70 2.25 0.70
Fa 2.0760 2.0878 1.3035 1.3115 1.1037 1.1094
a* 1.083 0.336 1.725 0.533 2.040 0.632
oC*'
go 10« 22° 10« 29° 50'
Ferf. 2. 07 i.:50 i.:L0
klassisct
Fig. 40
- 70 -
4.3. Beispiel Nr. 3
Hauptzwecke dieses Beispiels sind
- die Anwendung des vorgeschlagenen Auswertungsverfahrens sowie des dazuge¬
hörenden ALGOL - Programms auf homogene und inhomogene Böschungen,
- der Vergleich der erhaltenen Resultaten mit denjenigen- der klassischen
Berechnungsmethode,
- die Ueberprüfung der Wirksamkeit der im ALGOL - Programm eingebauten Ite¬
rationsverfahren, Kontrollen und Abbruchkriterien durch Berücksichtigung
selten vorkommender Fälle ( ungewöhnlicher Aufbau der untersuchten Bö¬
schung ),
Von zentraler Bedeutung für die Anwendung des vorgeschlagenen Auswertungsver¬
fahrens ist die Scheibeneinteilung der zu untersuchenden Böschung; dies vor
allem deshalb, weil eine solche Zerlegung bei der klassischen Methode nicht
notwendig und somit ungewohnt ist, dann aber auch, weil durch ungeschickte
Wahl der Scheibenreihonfolge der Rechenablauf stark verlangsamt und damit der
Zeitgewinn gegenüber den bisherigen Auswertungsverfahren empfindlich redu¬
ziert wird. In vorliegender! Fall erfolgte die Scheibeneinteilung gemäss
Fig. 41, wobei im homogenen Fall nur die Schichten 0 und 2 im inhomogenen
Fall alle Schichten berücksichtigt werden.
Betrachtet man die in den Tabellen 5 und 6 zusammengestellten Resultate
Fig. 41
- 71 -
Tab. 5. Vergleich der Resultate für die homogene Böschung
R
Lamellenmethode Integralme thode
s = 2 s=3 s = 2 s = 3
t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l
20.0
22.0
24.0
26.0
28.0
30.0
32.0
34.0
36.0
38.0
40.0
42.0
44.0
46.0
1.610
1.532
1.502
1.492
1.493
1.499
1.508
1.519
1.532
1.545
1.559
1.572
1.586
1.600
1.436
1.358
1.326
1.314
1.312
1.315
1.321
1.329
1.339
1.350
1.360
1.371
1.383
1.394
2.171
1.989
1.901
1.853
1.825
1.809
1.800
1.797
1.796
1.799
1.802
1.807
1.813
1.819
1.935
1.764
1.680
1.633
1.605
lo589
1.579
1.574
1.572
1.573
1.575
1.578
1.582
1.586
1.243
1.513
1.497
1.489
1.494
1.498
1.509
1.520
1.530
1.544
1.558
1.572
1.586
1.599
1.102
1.341
1.321
1.316
1.309
1.317
1.322
1.330
1.338
1.349
1.360
1.371
1.382
1.393
2.889
1.966
1.864
1.867
1.812
1.802
1.797
1.794
1.805
1.805
1.807
1.811
1.815
1.821
2.593
1.743
1.646
1.646
1.594
1.583
1.576
1.572
1.571
1.578
1.579
1.581
1.584
1.588
R* = 28-185
Direkt bestimmte r* = 29.212
massgebende Gleitfläche r* = 35.534
R* = 37.789
l.t'ü5
1.326
1*797
1.573
Tab. 6. Vergleich der Resultate für die inhomogene Böschung
R
Lamellenmethode Integralmethode
s = 2 s = 3 s = 2 s = 3
t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l t=0 t=l
20.0
22o0
24.0
26.0
28.0
30.0
32.0
34.0
36.0
38.0
40.0
42.0
44.0
46.0
1.156
1.121
1.114
1.120
1.130
1.143
1.158
1.173
1.188
1.203
1.218
1.233
1.247
1.261
1.037
0.997
0.985
Q.987
0.993
1.003
1.014
1.026
1.038
1.050
1.062
1.075
1.087
1.C93
1.892
1.734
1.668
1.677
1.673
1.674
1.678
1.685
1.693
1.703
1.713
1.720
1.727
1.734
1.696
1.544
1.480
1.483
1.476
1.473
1.475
1.479
1.485
1.491
1.499
1.504
1.509
1.514
0.849
1.122
1.130
1.134
1.140
1.151
1.159
1.173
1.188
1.202
1.217
1.233
1.247
1.261
0.755
0.998
1.000
0.999
1.003
1.010
1.015
1.026
1.038
1.049
1.062
1.074
1.086
1.098
2.490
1.740
1.656
1.668
1.672
1.676
1.679
1.683
1.692
1.702
1.712
1.720
1.727
1.734
2.248
1.550
1.469
1.475
1.474
1.475
1.476
1.477
1.484
1.491
1.498
1.504
1.509
1.514
R* = 24.9öS
Direkt bestimiate R* = 26,906massgebende Gleitfläche R* = 27.975
R* = 30.382
1.151
1.001
1.672
1.475
sowie die Kurvenbilder der Figuren 42 und 43, so stellt man fest, dass für
beide Belastungsfälle die Abweichungen der erhaltenen Gleitsicherheiten für
p > d unwesentlich und für p < — sprunghaft sind und zwar gleichgültig ob mit
- 72 -
oder ohne Erdbeben ( t = 1 reap, t = 0 ) gerechnet wurde. Das Minimum konnte
in allen Fallen direkt bestimmt werden. Die Übereinstimmung des direkt be¬
rechneten Minimums mit dem effektiven Minimum ist für die homogene Böschung
vollkommen, während im inhomogenen Fall ein relativer Extremwert berechnet
wurde, welcher gerade das absolute Minimum darstellt. Die Abweichungen vom
wahren Minimum sind im weiteren beim Auftreten einer Sickerlinie und der da¬
mit verbundenen Porenwasserspannungen ( s = 2 ) erwartungsgemäss grösser als
sonst, liegen aber mit AP < 0.017 in der Grössenordnung von 1$ und somit
innerhalb der tolerierten Grenze.
Homogenohne Erdbeben
Fig. 42
Inhomogenmit Erdbeben
Fig. 43
- 73 -
4.4. Beispiel Nr. 4
In diesem Beispiel wird das vorgeschlagene Auswertungsverfahren auf
einen praktischen Fall angewandt. Beim untersuchten Profil ( Fig. 44 )
handelt es sich um eine der Varianten für die Talsperre Santa Maria der
Kraftwerke Sedrun ( Vorderrhein AG ), die dann allerdings au Gunsten einer
Betonstaumauer fallen gelassen wurde. Die Wahl des Profiltyps ( Aufbau,
Höhe, geometrische Form, etc. ) sowie die Lösung erdbaumechanischer Fragen
( Sickerlinie, Materialeigenschaften, Schichtstärken, etc. ) waren nicht
Gegenstand dieser Arbeit und wurden deshalb als gegeben betrachtet. Im
speziellen sind untersucht worden
- Direkte Bestimmung des massgebenden Gleitkreises und der minimalen
Gleitsicherheit für einen festen unteren Böschungspunkt und fünf oberen
Böschungspunkten,
- Einfluss der Variation des Porenwasserspannungskoeffizienten für das
Kernmaterial auf die minimale Gleitsicherheit und auf die Lage des mass¬
gebenden Gleitkreises,
- Einfluss der Variation des Erdbebenkoeffizienten ^ auf die Gleitsicher¬
heit und auf die Lage des massgebenden Gleitkreises,
- Verlauf der Funktion F = f(p) für verschiedene Werte von p ( resp. R ),
berechnet nach der klassischen und nach der vorgeschlagenen Methode,
- Vergleich des Zeitaufwandes beider Methoden,
- Zeitaufwand für höhere Genauigkeit.
Die für die erfolgreiche Anwendung des vorgeschlagenen Auswertungsverfahrens
eine entscheidende Rolle spielende Scheibeneinteilung erfolgte gemäss der
Zusammenstellung der Tabelle 7, wobei die Zuordnung der Punkt-, Geraden-
und Schichtnummern der Fig. 44 entnommen werden kann. Wichtig in diesem
Zusammenhang ist die Einführung der Hilfsgeraden 88, 89 und 90 sowie der
Schichten 10, 11 und 12. Diese Anordnung ist nötig, weil sonst die Bedin¬
gung Xj< Xj-M ( siehe Abschnitt 3.1.2. ) für die Streckenzüge der Mate¬
rialschichten 13, 14 und 15 nicht erfüllt wäre.
Die Berechnung erfolgte für den Belastungszustand " rasche Absenkung ",
mit Porenwasserspamiungen ( s = 3 ) mit und ohne Erdbeben {$ = 0.10, § = 0°).
Als unterer Böschungspunkt vmrde der Punkt P,3 gewählt, während die Lage
des oberen Böschungspunktes in Abständen von 5n vom Punkt P« an gegen die
Talseite fünf Mal verschoben wurde ( XB = 400,0 bis XB = 420.0 ). Die Re¬
sultate der direkten Bestimmung der massgebenden Gleitfläche sowie der mi¬
nimalen Gleitsicherheit können der Tabelle 8 entnommen werden. Beachtens¬
wert ist die Tatsache, dass, wie übrigens auch im Beispiel Nr. 3, <üe mass-
Leer - Vide - Empty
• VORLAGE-GROSS-ETH*
Vorlage > A3
* V 0 AGE-GROSS-ET H *
- 75 -
gebenden Gleitkreise mit und ohne Erdbebenberücksichtigung praktisch iden¬
tisch sind; die bei klassischen Berechnungen bisher übliche Annahme, dass
der Einfluss des Erdbebens auf die Lage der massgebenden Gleitfläche ver¬
nachlässigbar sei, erweist sich somit als zutreffend. Wie die Fig. 45 deut¬
lich zeigt, liegt die kritische Gleitfläche hinter der Dammkrone, was
durchaus den bei der Berechnung verschiedener Dämme ähnlicher Art geraachten
Erfahrungen entspricht.
Tab. 8. Minimale Gleitsicherheit für variables XB
XBt =
R
= 0
F
t =
R
: 1
F
400.00 214.840 2.043 214.986 1.564
405.00 198.432 1.664 * 213.960 1.348
410.00 209.707 1.540* 220.161 1.202
415.00 205c716 1.438 206.006 1.089
420o00 234.784 1.641 234c048 1.246
* Iteration nach 20 Schritten abgebrochen
^nin
2.0-
1.5-
1.0-
400 410 420 XB
Fig. 45
In einem weiteren Schritt wurde der Porenwasserspannungskoeffizient B für
das Kernmaterial variiert. Die Abhängigkeit der minimalen Gleitsicherheit
von dieser Einflussgrösse ist in Fig. 46 dargestellt. Die Lage dar massge¬
benden Gleitfläche war praktisch unabhängig von der Variation von B (AR < 0.5),
was mit Rücksicht auf die geringe Mächtigkeit der betroffenen Schicht nicht
weiter erstaunlich ist. Die Variation des Beschleunigungsfaktors ^ für das
horizontal angenommene Erdbeben rührte -zu der in Fig. 47 aufgezeichneten
Abhängigkeit zwischen Fm;n und "$,Die Lage der massgebenden Gleitfiäche
wurde von dieser Variation nicht beeinflusst.
- 76 -
fw„ ' i
2.0-
1.5 -
^K10 - ^-^f
1
0.30
1
0.45
1
0.60B
Fig. 46 Fig. 47
Das vorliegende Profil wurde noch mit Hilfe eines früher aufgestellten ALGOL -
Programms und mit derselben Rechenmaschine ( CDC 1604-A des Rechenzentrums
der ETH )t nach der klassischen Methode berechnet. Da für beide Berechnungs-
arten die gleiche Rechengenauigkeit gefordert wurde, sind die Abweichungen
der Resultate und der jeweils nötige Zeitaufwand unmittelbar vergleichbar.
Die Resultate der Berechnungen sind in Tabelle 9 zusammengestellt und in
Fig. 48 aufgezeichnet. Auch hier sind die Abweichungen für p<— grösser als
d2
Tür P>~T doch ist die Uebereinstimnrung des effektiven Minimums mit dem di¬
rekt berechneten Wert Fm«, in beiden Fällen ( t = 0 und t = 1 ) praktisch
vollkommen, sodass sich ein spezieller Kommentar der Resultate erübrigt. Von
gewissem Interesse ist die Tatsache, dass im vorliegenden Fall die Berechnung
Tab. 9. Vergleich der Resultate
p
Lamellenmethode Integralmethode
t = 0 t = 1 t = 0 t = 1
8C 38.542 30.750 38.428 30o666
100 12.294 9o780 12.329 9.807
120 1.886 1.442 1.924 1.472
140 1.731 1.319 1.758 1.342
160 1.401 1.059 1.420 1.075
180 1.448 1.097 1.461 1.107
200 1.501 1.137 1.502 1.139
230 1.589 1.208 1.589 1.208
240 - - 1.620 1.233
260 1.684 1.284 - -
280 - - 1.756 1.340
290 1.800 1.375 - -
310 1.945 1.491 1.944 1.491
350 1.959 1.501 1.958 1.500
p* = 169.308 1.438
p* = 169.613 1„089
- 77 -
Fmîn i
2.00-\\
\ y Integralmethode
\v/ y— Lamellenmethode
t'O
1.50 -
\V
b'\
AF« 0.036 \^v Vj-^f
-
. d
AF« 0.039 >\iy^^
1.00 -
P- Û. p
ar
1 |
100
i i | i i | i
150 200
1 1 '
250
' 1300
1 1 1 1
350 P
Fig. 48
eines einzelnen Gleitkreises nach der vorgeschlagenen Methode ungefähr 5 Mal
schneller erfolgt als nach der klassischen Lamellenmethode. Die Berechnung
aller in diesem Beispiel erwähnten Fällen für eine Genauigkeit von ÀF<1$
dauerte 34 Minuten, um den Zeitaufwand bei höherer Genauigkeit festzustellen,
wurde die Berechnung für ÛF = l$o wiederholt. Die dazu benötigte Maschinen¬
zeit ist zwar mit 56 Minuten nicht wie die geforderte Genauigkeit 10 Kai
grösser, doch dürfte sich dieser Aufwand von der praktischen Benützung des
Programms aus gesehen umso weniger rechtfertigen^ als die Resultate nur un¬
wesentliche Aenderungen erfuhren (AF< 0.001 und AR ^0.5 m ).
Die Wirksamkeit der im Programm eingebauten Abbruchkriterien und Itera¬
tionsverfahren sowie der vorgeschlagenen Methode zur direkten Bestimmung der
massgebenden Glsitflâche? und der dazugehörenden minimalen Gleitsicherheit ist
damit numerisch bewiesen.
- 78 - Anhang 1
Gesucht wird die Lösung d^s Integrals
("3«£- S*x**ü«x)^7
3* - f[(l.x^c)fiMH?]dt - J(D£x^);i7dx
für beliebige reelle Werte Js und J6 .
Durch sukzessive partielle Integration erhältman
+ ("3c * ?** -^^)|^dx -
= [^ *fr-**H - **- * (**>)] *t + ? fr ***.)/£+ c
Al.l«
A1.2.
A1.3.
A1.4.
4. C AI.5.
A1.6.
3r*C AI.7.
AI.8.
A1.9.
^-t^f^^-^ïH-^^-ïC^^*?^*^-)aresin *^i + C A1.10.
- 79 -
Anhang 2
Gesucht, wird die Lösung des Integrals
•Za - [[(** + K - *, ty r- {%-*,)*] ck A2.1.
Durch partielle Integration könnte das Integral Js auf den im Anhang 1 gelös¬
ten Typus JA zurückgeführt werden. Eine entsprechende Untersuchung hat „iedoch
gezeigt, dass diese naheliegende Lösung sich bei ihrer späteren Verwendung
weniger gut eignet als die im folgenden hergeleitete Lösung als Reihe.
Die Reihenentwicklung der Wurzel lautet
oder nach erfolgter Ausmultiplikation und nach Potenzen von x geordnet
A2.2.
RWi-^^y - a0 >- a.x + a,** *ah^* *amxm + A2.3.
Die Koeffizienten a dieser definitionsgemäss konvergenten Potenzreihe ( es
ist die Bedingung R ^ x - x„ stets erfüllt ) berechnen sich zu
v v *ifcî* «(*)' mm> *•'•
*t "R <-i.?.a -R*
~
l''.vtu' v~ * *
_
4<t X„ 6CAMM-3 Xm »-7.CS-4-t.1.».f ft?t
. _ „
ï 424-R* M.J.W.C H« «.t.s.A.*-*>*•«•»'-R* A*./»-
oder allgemein zu
JBOO
/rr (2i \ Cz*)J J£I
AP ra«*C~1) /
.U-JflO^fri-Q K*- -«A*,.-- A2.6.
Das Integral Jt ,welches nunmehr
3» » [(*X + X-^m)(^m + a.X • a.x% a»Xs ^ + a„x.m + •••) dx A2. 9.
- 80 - Anhang 2
lautet, lässt sich durch gliedweise Integration sofort lösen« Man erhält nach
Potenzen vcn x geordnet den Ausdruck
\ - *.(*-3*)* +[^M« + a,(>v->)j^+ + jaB.^4.a„CN-ÏH)]^-' + .... 4- C A2.10.
oder, nach Zusammenfass/img der Glieder y = $x + X. und kurzer Zwischenrechnung
die nichtabbrechende und noch von p abhängige Suircne
Tfc- > am.t -r^-x - -£->J +C A2.ll.
«\«i
Unter 3eachtung der Gleichung 60 und nach Einführung der Abkürzungen
9l- — XmN +—; ^X"1 -—N»Xm A2.12.
und
n = —Li«/A2.13.
kann für das Integral J8 geschrJeben werden
38 - 2_. a-« (®«» +-CI« p) ^'1A'
m* t
Nun müssen noch die Glieder
*4"m s
der Koeffizienten am ( Gleichung A2.8. ) als Funktionen von p dargestellt
werden. Es ist
oier allgemein und für r > 1
- 81 -
Anhang 2
Aus der Definition von xM nach Gleichung 55 folgt andererseits
A2.18.
Setzt man R nach Gleichung A2.17 und xM nach Gleichung A2.18 in die Glei¬
chung A2A5 ein, p-o erhält man
1=
-R»"
~
"o pm-' A, m+ At m*i
+ +
Aj- ptnr-iA2.19,
wobei für die von p unabhängigen Koeffizienten Am .Twie nach längerer Rech¬
nung gezeigt werden kann das folgende Bildungsgesetz gilt
ê.f-!*w?(cO
i-0
A2.20.
Mit der Abkürzung
- ( H \ fr»!A2.21.
und nach Einfiihpmg der von j und m abhängigen Glieder J, nach Gleichung
A2.19 in die Gleichung A208 erhält cian für die Koeffizienten am die Summe
j = oo
3--C-0mM
j.ç*i«»>i;
Vi E[Vi.r^
oder mit der zusätzlichen Abkürzung
und nach Potenzen von p geordnet
m+l
?=«
< 1a
*
a">* A"\">-< "^7* A"7"
pm'
"«.«>*'p«*« t*m-\
A2.22.
A2.23.
-E^-i- A2-24'
Fuhrt man die soeben berechneten Koeffizienten aR in die Gleichung A2.14 ein,
so kann für Jg geschrieben werden
- 82 -
Anhang 2
m*oo
3, « 3„ (0* * A, p) + 2_l (©«« * Ä- P) 2Ü *«.e ?+ c A2.25.
Mit den Abkürzungen
B-, = A2.26.
B. e, £ +ä, i» + Äi A,„ A2.27.
B„ = ©, § * Xit À,, *©, A,.o * Ar A,," t.
A2„28.
B, = ©i Ay ^iÄl(1 *-©3 Äv +i2ïA*#1 +XUA»,, A2.29.
B* » Q* Ä\, * SLk Ai#% * ©3 Äv + lij Aî)3 *©4 Äv 4- n« Aa;i + £Lr Â\3 A2*30.
A2.31.
erhält man schliesslich für das gesuchte Integral Ja die unendliche Reihe
3& « B-, pT + B., p + B. + B. 1 * 2_. BA \ + C A2.32.
-83- Anhang 3
Gesucht wird die Lösung des Integrals
R CIwfcx + X - )}«)
dx A3.1.
als Punktion von p. Durch Substitution und kurzer Zwj schenrechnung erhält man
R*3M = R*. X [xMarcsin (1^-) - ^] + U - %>":sin (^ü ) + C A3.2.
Die Wurzelfunktion J7 wurde im Anhang 2 ( Gleichung A2.2 ) bereits in eine
Reihe entwickelt. Die Reihenentwicklung der zyklometrischen Funktion lautet
T ,. /x-*h"\ x-yM M fx-x*^, m-3/x-*hV
oder, nach Potenzen von x geordnet
A3.3.
3„ c b0 + b,x + b,x% bjxV + b„y + A3.4.
wobei für die Koeffizienten bm ,wie leicht gezeigt werden kann, das folgende
Bildungsgesetz gilt
K « (-0m+iV7 y*! a fr)? xr^
j'?r^M)
Durch Einsetzen dieser Potenzreihen in Gleichung A3.2 erhält man
tf (b„XM -a.) - ^aresin (^^-) + C +
•»- 2_[(bmXM -am)xmM (xx+A) + (bWM - b„,xM + am)xxm-J
Mit den Abkürzungen
#m a xMbm - am
A3.5.
A3.6.
A3.7.
A3.8.
und
Dre * if (b0XM - a0) - yMarcsin (-~^-) + CA3.9.
- 84 - Anhang 3
wird
rX= r*A3.10.
Inter Verwendung der Bildungsgesetze nach Gleichungen A2.8 und A3.5 erhält man
für die soeben eingeführten Abkürzungen die Ausdrücke
Jr-oo
*„-c-<ro-m) ^«ö«V.-tt\ (">-*)' w !_
WV"M TT ;.^77j--=-^in>|)
A3.ll.
und
V bm-< " 0m = —— §mm-i
A3.12.
Setzt man diese in die Gleichungen.A3.8 und A3.10 ein, so kann für das gesuchte
Integral geschrieben werden
IK.-eO
A3.13.Rl310- R1 3+^Ax""
m-i '] * ****
Analog zur Herleitung im Anhang ? können die noch von p abhängigen Glieder
A3.14.1
-i -
*" p* _*ü
der Gleichung A3.5 als unendliche Reihen angeschrieben werden. Es ist dann
1(1 \
wobei für die Koeffizienten D^-.das folgende Bildungsgesets gilt
b=Z-i SinM)
U%i.T Z_^ ' \r-«A <»/ Uy W 2*t'.(r-.)'[KmM)lfc*o •
Werden noch die weiteren Abkürzungen
A3.15.
A3.16.
A3.17.
- 85 - Anhang 3
A3.18.
und
j = ao
A3.19.
eingeführt, so lassen sich die von p abhängigen Koeffizienten §mvie folgt
berechnen
f*0O
Setzt man nun f„ nach Gleichung A3.20 ind Gleichung A3.13 ein, so wird
R^* = R'3« + Yj [*"* + ^*iZK?r\ A3.21.
Mit den zusätzlichen Abkürzungen
QM - rt d,,.,
A3.22.
A3.23.
Qo « R 5,,. + P3 D3j. A3.24.
Q, « r, 5ti, + Ps Ds,i + r* D4t, A3.25.
^ = Px d»,^ + Ps By, * r; d^+ r^*»D/^,/^ A3.26.
und nach Aufsummierung von m = 2 an ( für m = 1 wird §m= 0 ) erhält msn
schliesslich für das gesuchte Integral die unendliche Reihe
/"5
A3.27,
- 86 - Anhang 4
Berechniing der Koeffizienten Z/t der Zählerfunktion
Werden die bestimmten Integrale J0 , Jt und Js nach Gleichungen 76, 93 und
94 sowie des Kohäsionsglied nach Gleichung 81 in die Gleichung 58 eingeführt,
so erhält man nach kurzer Umformung und unter Beachtung der Definitionsglei¬
chungen 59, 60 und 61 für die Zählerfunktion den Ausdruck
ZfP)s
W^,»,&*»p)(^"EÄ»lpt*8ir]*«^ft)--{tf.
«vDp
8(
ft.M
A4.1.
JNach Einführung der Abkürzungen
2»" (?)*[«c'*ii»H'«'(«»*BÇft*)]
Z,- |x»t5<»,(».*6Efe*)
2.-«rz.
kann für den mit arctg(^) zu multiplizierenden Term geschrieben werden
Z » Zo *• Z, p 4- Z\ p* + Z3p*
A4.2.
A4.3.
A4.4.
A4.5.
A4-.6.
Nun wird jedem restlichen Glied der Gleichung A4.1 ein mulüplikativer Faktor
Zyu derart zugeordnet, dass/t gerade die negative Potenz von p angibt. Man er¬
hält somit für Z(p) in abgekürzter Schreibweise
Z(p)« (Zo^Z.p + Z.p'+Z5p5)arc^(i)+Z.tp^2.,p+Z0^-Z,^-»- A4.7,
Die einzelnen Koeffizienten können dabei wie folgt berechnet werden
a
Z.t- V- (l*^«nf)I]ft[^*Ç(^j]-X»[^4.BÇ^] A4.8.
- 87 - Anhang 4
A4.9.
'V E*'t—' IKK
\^äm+t*-*] -b[*.(4)vIX] -
-**£% + Etf[HsM)EB/% "bEmA H K & J
A4.10.
A4.11.
A4.12.
A4.13.
Nun enthalten aber diese Koeffizienten Z^, noch die Werte 3^ und Q~ deren
Berechnung- ira Anhang 2 resp. 3 hergeleitet wurde. Wie im folgenden am Beispiel
der Summe XZB<»«R gezeigt wird, können die Werte B^ und Q»^ als relativ
einfache Funktionen der bekannten geometrischen Daten xB, yB , d, X«,, und x„K
dargestellt werden.
Gemäss Gleichung A2.28 lässt sich B0 berechnen eu
Bo » ©, £ + nt Äv + 9i Â,,, + ä& Av A4.14.
Für die Koeffizienten ©,, Q8, £ix und Xi5 erhält iran aii3 der Definition nach
Gleichungen A2.12 und A2.13 sofort
A4.15.
A4.16.
A4.17.
A4.18.
Dic3e Werte können nach erfolgter Einsetzung der Integrationsgraden r:n>( und
xn 4)und anschliessender Aufsummierrng über 3äir.tliche Intervalle angeschrie¬
ben werfen zu
A4.19.
- 88 -
Anhang 4
a
E".-i*
I>
^ d
1*5ï d
A4.20.
A4.21.
A4.22.
Für die Koeffizienten A,^ , A,0 » A» terhält man gemäss den Definitionen der
Gleichungen A2.23 , A2.21 und A2.20 die Ausdrücke
A2i
A4.23.
A4.24.
A4.25.
Werden die soeben berechneten Werte in die Gleichung A4.14 eingesetzt, so
kann für die Summe Y2^°, geschrieben werden
Z!6^ -§(^+^)*?E^(k«-x%)-5î£;^(<«-x%) a4-26-
Analog dazu lassen sich die weiteren Sumaen 2^3,, und 5ZQa ^s-ch zum Teil
längeren Umformungen berechnen. Da einerseits kein allgemein gültiges Bil-
dungsgesetz für die Summen JZ^M nacn der Darstellung der Gleichung A4.26
gefunden wurde, und andererseits die bisherigen Anwendungen gezeigt haben,
dass die Zählerfunktion ohne nennenswerte Genauigkeitseinbusse nach dem
Glied Zt abgebrochen werden kann, wurden nur die im folgenden angegebenen
speziellen Summen explizite berechnet.
A
zZ B-'n„a ïiL^ (*«.«»-*H»)A A
A A A
A' ~ 'a
A4.27.
A4.28.
I,BInK - 4 !ï 1-* N"k (*V-i -*\.) ~
24 X|2_. ^-V (*%*» ** X"h)
A
Eb. «40 XB 8*£+
SÔÎJ ZLi ^"« (Xv-i-Xn*)
A4.29.
A4.30.
A4.31.
- 89 - Anhang 4
A4.32.
A4.33-
ZV, K K
ft B %
Z>, ^dl+i^,E>S.(^«-^)-i|C4^)r^[x^<-ïaig^] A4.34.
^ A A.
Ä A£«.-W- M.35.
Küssen aus Genauigkeit tsgründen welter» Werte J^B., 1 »rechnet werden, so können
dies» ceEäss der allgemeinen Anleitung im Anhang 2 rflsp. 3 berechnet werden.
Setst ein nun dies» Susanen in die Gleichungen A4.8 , A4.9 « A4.10 , A4.31 und
A4,12 »in, sc erhalt can schliesslich für f'c Koeffizienten 2^.r Z_, , Z0
und Zt die Ausdrücke
z-2- -^•m,(,Pw*5Z!äv) A4.36.
.-Ö)V ' A4.37.
2. = (j)V
5«- *S
+[ O^Sinf)^ + »Je»f § B^l|^*èk(V.-^ -
.A4.38.
A4.39.
Im folgenden soll noch das Verhalten der Punktion Z(p) nach Gleichung A4.7
näher untersucht werden. Für p>— lautet die Reihenentwicklung der arctg-
Funktion nach p bekanntlich
- 90 - Anhang 4
•^-fWtëJViWp-Wp'4 A4.40.
Wird diese Reihe in die Gleichung A4.7 eingeführt, so erhält man nach kurzer
Zwischenrechnung und Ordnung nach Potenzen von p für die Zählerfunktion Z(p)
die unendliche Reihe
ZCp) » S
[z_2 * izty * [z., + Ü)2i]p +z. + gz, -i(#)s23 *
i /*-'
A4.41.
Da nun, wie ein Vergleich der Gleichungen A4.5 ( A4.3 ) und A4.36 sofort
zeigt, die Beziehung
Z_2 + £z3 =o A4.42.
gilt, verschwindet für p^— das quadratische Glied und die Zählerfunktion
nähert sich für p-*e»der Geraden
z'- z_ +äz2 p +z0+|z,-i(fj3z3 A4.43.
Das asymtotische Verhalten der Zählerfunktion ist insofern von Bedeutung, als
wegen der Linearität von N(p) ( siehe Abschnitt 2.3.1 ) für den Quotienten
nach Gleichung 19 im Grenzfall die Beziehung
ftm FA>(p) - ftm -gö *Z-' + 'Zg
" const'
NtoA4.44.
gilt, womit diese in der Erdbaumechanik aus der Erfahrung längst bekannte
Tatsache auch mathematisch bewiesen ist.
- 91 -
SYMBOLREGISTER
Symbol
a«
a
am
aj
A
A'
m.i
Ve
bt
bm
B
B*
B
B-z
B-,
B.
B/l
c'
C
d
Dm#j
F*
CAB
F,ABU
Bedeutung
Mittlere hydrostatische Druckhöhe
Allgemein eine Materialeigenschaft
Aligemeines arithmetisches Mittel, auch
Koeffizienten einer unendlichen Reihe
Einzelmessung der Eigenschaft a
Unterer Böschungspunkt
Massgebender unterer Böschungspunkt
Mathematische Abkürzung
Lamellenbreite
Koeffizient einer unendlichen Reihe
Oberer Böschungspunkt
Massgebender oberer Böschungspunkt
Porenwasserspannungskoeffizient
Koeffizienten der unendlichen Reihe
für das Integral Jt
Effektive ( wirksame ) Kohäsion
Integrationskonstante
Abstand zwischen den Punkten A und B
Mathematische Abkürzung
Gleitsicherheitsfaktor
Sicherheitsfaktor für die Mate¬
rialeigenschaft a
Neu definierter Gleitsicherheitsfaktor
Minimale Gleitsicherheit der
Böschung oberhalb des Punktes A
Minimale Gleitsicherheit des
Böschungsabschnittes AB
Gleitsicherheit eines be¬
liebigen Gleitkreises
Zum 1. Mal
Dimension verwendet
auf Seite
m 6
- 9
— 9
- A 2.1.
- 10
- 3
- 12
- A 2.3.
- A 2.3.
- A 2.3.
m 4
- A 3.1.
- 3
- 12
- 3
m 29
m* 29
m» 29
m'"3 29
t/m* 1
- 27
m 22
- A 3.2.
- A 3.3.
- A 3.3.
- 2
- 9
- 11
- 12
_ 12
12
- 92 -
Symbol Bedeutung
Zum 1. Mal
Dimension verwendet
auf Seite
rA6p
rJkB
G
h
hi
hp
i
3
J.
J,
Ji
Ja
JS
J6
Jr
Gleitsicherheit eines be¬
liebigen Gleitkreises
Gleitsicherheit der Ver¬
bindungsgeraden AB ( R =oo)
Minimale Gleitsicherheit der gesamten
gesamten Böschung
Näherungswert der Gleitsicher¬
heit bei inhomogenen Böschungen
Gewicht
Allgemein eine Höhe
Mittlere Lamellenhöhe
Piezometerhöhe
Lamellenindex
Iterationsindex, auch
laufender Index bei Summationen
Abkürzung für ein Integral
32
Teilintegral
Mathematische Abkürzung
J.o ii
J„ h
J« ii
J.5h
k Materialindex
k' h
L Gleitkreisbog<
— 13
- 13
- 35
t 3
m 20
m 4
m 6
- 2
— 22
- A 2.1.
m1 20
m* 21
m* 21
m* 21
m* 26
m* 26
m1 29
m1 29
m1 30
m* 30
- A 1.
- A 1.
- A 1.
- A 1.
- A 2.1.
- A 2.2.
- A 3.1.
- A 3.1.
- A 3.1.
- A 3.2.
- 3
- 34
m 25
- 93 -
Symbol
li
e
m
ma
mr
M
M*
M»
na
H,
N
NCrt
No
N,
N(p")rH
NN(f^iH
NN«,
NN,
NNZ
P
P*
P.
P
P'
Q-.
Q.
Q,
Bedeutung
Bogenlänge in der i-ten Lamelle
Laufender Index hei Summationen
Laufender Index bei Summationen
Mittlerer Fehler der Einzel¬
messung von a
Relativer Fehler
Gleitkreismittelpunkt
Mittelpunkt des massgebenden Kreises
Mittelpunkt des ersten
Näherungsgleitkreises
Anzahl durchgeführter Versuche
Anzahl minimal erforderlicher Versuche
Gültigkeitsintervall, auch
Nummer einer Geraden
Nenner
Nennerfunktion bei homogenen
Böschungen
Koeffizient der Nennerfunktion
ti ii ii
Nennerfunktion bei inhomo¬
genen Böschungen
Teilsumme von N(p),-H
Koeffizient von NN(p)jH
Abstand zwischen dem Gleitkreis¬
mittelpunkt und der Sehne AB
Massgebender Wert von p
Näherungswert für p
Näherungswert bei der Iteration von p*
Normalkraft
Effektive Normalkraft
Schnittpunkt des Gleitkreises mit einer
der Geraden der k-ten Materialschicht
Schnittpunkt des Gleitkreises mit einer
der Geraden der k-ten Materialschicht
Koeffizienten der unendlichen Reihe
für das Integral J3
Zum 1. Mal
Dimension verwendet
auf Seite
m 3
A 2.3.
A 2.1.
8
8
4
12
23
9
9
20
25
t 18
t 22
t/m 22
t 36
t 36
t 36
t/m 36
t/m1 36
m 18
m 18
m 19
m 33
t 4
t 4
19
- 19
m 30
m 30
m 30
m 30
- 94 -
/mbol Bedeutung Dimension
Zum 1. Mal
verwendet
auf Seite
R Gleitkreisradius m 3
r Laufender Index bei Summationen - A 2.2.
St Scherfestigkeit, Scherspannung t/m1 2
s Als Exponent: Mathematische Abkürzung - A 2.2.
Sk Scheibe, k-te Materialschicht - 19
t Laufender Index bei Summationen - 22
T Tangential- oder Scherkraft t 4
u Porenwasserspannung t/m* 5
u* Porenwasserüberspannung t/m1 6
vt Grösster positiver scheinbarer Fehler - 9
V. Grösster negativer scheinbarer Fehler - 9
V Volumen ms 3
w Index zur Kennzeichnung
der Wasserlinie M 25
V, Schnittpunkte des Gleitkreises - 34
wt mit der Wasserlinie - 34
x Abszissenaxe - 4
x' Abszissenaxe des ursprünglichen Systems - 25
Xi Abszissendifferenz zwischen dem Gleit¬
kreismittelpunkt und der Lamellenmitte m 4
y Ordinatenaxe - 4
y' Qrdinatenaxe des ursprünglichen Systems - 25
ys Schwerpunktsordinate m 3
y« Ordinatendifferenz zwischen dem Gleit¬
kreismittelpunkt und dem Schwerpunkt m 4
z Zähler t 7
ZCp) Zählerfunktion bei homogenen Böschungen t 18
z.» t/m* 22
z., t/m 22
z. t 22
Z/l Koeffizienten der Zählerfunktion tm* 22
z. bei homogenen Böschungen t 30
z, t/m 30
Zt t/m* 30
zs t/ms 30
Z<P>iH Zählerfunktion bei inhomogenen
Böschungen t 39
- 95 -
Symbol
ZZ.
ZZ,
ZZ,
ZZj
ZZ.,
ZZ.,
ZZ,
Bedeutung
Koeffizienten der Zählerfunktion
bei inhomogenen Böschungen
Zum 1. Mal
Dimension verwendet
auf Seite
t 39
t/m 39
t/m1 39
t/m' 39
t/m* 39
t/m 39
t 39
ZZi
y
y'
y'
aïK
e
tm* 39
F
r
Richtungswinkel der Tangentean den Gleitkreis
Raumgewicht
Feuchtraumgewicht
Nassraumgewicht
Spez. Gewicht von Wasser
Résiduelles Raumgewicht
Mathematische Abkürzung
Erdbeben- oder Beschleunigungskoeffizient
Mathematische Abkürzung
Steigungsziffer der Geraden n
Ordinatenabschnitt der Geraden n
Mathematische Abkürzung
Laufender Index bei Summationen, auch
Axe eines Hilfskoordinatensystems
Maschenweite
Anzahl zu berücksichtigender Glieder
der Zählerfunktion
Korrekturfaktor
Richtungswinkel der Erdbebenwelle
Massgebende Erdbebenrichtung
Normalspannung
Laufender Index bei Summationen
Winkel der inneren Reibung, Scherwinkel
Reduzierter Scherwinkel
Erste Ableitung von F nach p
bei homogenen Böschungen
Erste Ableitung von P nach p
bei inhomogenen Böschungen
- 4
t/m' 8
t/m' 3
t/m' 3
t/m» 6
t/m* 22
- A 3.3.
- 4
- A 2.2.
- 16
m 16
- 38
— 22
- 14
m 14
- 33
- 9
- 4
- 24
t/m* 5
- A 2.3.
- 1
- 4
- 32
41
- 96'-
Symbôl
ft»
X,
•5C,
tu
V(PÏ
V«
CO
Bedeutung
Mathematische Abkürzung
Koeffizienten der Bestimmungs-
gleiehung für f
Erste Ableitung von §(p) nach p
bei homogenen Böschungen
Erste Ableitung von $(p)i„ nach p
bei inhomogenen Böschungen
Mathematische Abkürzung
Axe eines Hilfskoordinatensystems
Maschenweite
Mathematische Abkürzung
Zum 1. Mal
Dimension verwendet
auf Seite
A 3.1.
24
24
24
24
24
24
33
41
A 3.1.
14
m 14
A 3.2.
A 2.2.
Curriculum Vitae
von Fritz Peter Gerber
Als Sohn von Fritz Gerber, Ing. und Emmy Gerber,
geb. Kindlimann, am 19. Mai 1932 geboren.
1932 - 1934 Celerina / GR
1934 - 1937 Vicosoprano / GR
1937 - 1947 Quito, Ecuador, Süd-Amerika; daselbst:
1938 - 1939 1. Primär in der Deutschen Schule Quito
1939 - 1940 Privatunterricht
1940 - 1945 3. Primär bis 1. Sekundär American School of Quito
1945 - 1947 2. und 3. Sekundär Colegio La Salle Quito. Dann
1947 - 1952 Kantonsschule Trogen, Maturabschluss Typ C
1952 - 1957 Studium und Diplomabschluss an der Abteilung für Bau¬
ingenieurwesen der Eidg. Technischen Hochschule, unter¬
brochen durch verschiedene Praktika (l953 Brunner Riddes,
1955 Baustrag, 1956 H. Hatt-Haller, 1957 Elektro-Watt)sowie Militärdienst (1953 RS, 1955 UOS und 1956 OS).
1958 - 1964 Angestellter der Elektro-Watt, Abteilung Talsperrenbau.
Selbständige Berechnung der Staudämme Mattmark /VS,Pinios /Griechenland, sowie weiterer kleinerer Dämme.
Aufstellung verschiedener ALGOL-Programme (Staukurven,Staudämme, statische Berechnung doppelt gekrümmterMauern usf.)
Von 1962 an teilweise beurlaubt für den Ausbau der in
diesem Zusammenhang gesammelten Erfahrungen zu einer
Promotionsarbeit.
Seit 1958 verheiratet und Vater zweier Mädchen
(Isabel 1961 und Caroline 1964)
Sprachen: Deutsch, französisch, englisch und spanischin Wort und Schrift; italienisch Kenntnisse.