Drd. Andrei PĂDUREANU Academia de Studii Economice din ... Padurean.pdf · Acest fapt a condus la...

Drd. Andrei PĂDUREANU E-mail: [email protected] Academia de Studii Economice din Bucureşti TESTAREA FEZABILITĂłII TEORIEI EVALUĂRII RAłIONALE A OPłIUNILOR ÎN CONDIłIILE ACTUALE ALE PIEłELOR FINANCIARE. STUDIU DE CAZ: OPłIUNI AMERICANE PE INDECŞI BURSIERI

RATIONAL OPTION PRICING THEORY’S FEASIBILITY TESTING DURING THE CURRENT FINANCIAL MARKETS’S CONDITIONS. CASE STUDY: AMERICAN INDEX OPTIONS

Abstract: In the present paper the feasibility of the option rational pricing

theory introduced by Robert C. Merton in 1973 is tested using real data of 8

American type S&P 500 index options during the period between 12th of February

2010 and 6th of May 2010. For feasibility testing we use the linear correlation

coefficients between the market’s prices and the prices computed by 5 discrete pricing

models built using the mentioned theory as analytical measures and the graphic

analysis of the evolution of both computed and market prices in respect to the time to

maturity during the whole study period. In the first part of the paper the evaluation

models used are shortly briefed. The output results of the numerical study confirm the

actuality of the theory but in the same time reveal that psychological factors, factors

which can’t be quantified, make the design of a perfect pricing model a very difficult

task. Moreover we were not able to declare a winner among the tested models. Keywords: American options, tree based models, risk free asset, stock index,

volatility.

Clasificarea JEL: G1, G12.

1. INTRODUCERE

În procesul globalizării economice, liberalizarea circulaŃiei capitalurilor joacă un rol esenŃial. Acest fapt a condus la o puternică dezvoltare a instrumentelor financiare moderne şi implicit a metodologiilor de evaluare a acestora. După căderea în 1972 a regimului de schimb cu rate fixe, Bretton Woods, şi adoptarea regimului flexibil de curs valutar între principalele monede de circulaŃie

Andrei Pădureanu _____________________________________________________________________ internaŃională incertitudinea crescândă a pieŃelor financiare a determinat dezvoltarea puternică a comerŃului cu instrumente financiare derivate. Dintre acestea un rol foarte important îl au opŃiunile datorită facilităŃilor pe care le oferă deŃinătorilor (holderilor), indiferent de intenŃiile acestora în raport cu pieŃele financiare. Întrucât opŃiunile sunt active financiare şi implicit sunt expuse riscului de piaŃă, regimul de curs valutar flexibil a creat cadrul perfect pentru dezvoltarea metodologiilor de evaluare a acestora. Astfel a apărut o nouă ramură ştiinŃifică, aflată la intersecŃia teoriei probabilităŃilor şi economiei, numită generic inginerie financiară. În contextul actual, ca urmare a crizei financiare, metodele create de ingineria financiară şi folosite pe scară largă de jucătorii de pe pieŃe sunt puse la grea încercare iar utilizarea lor ca instrumente de decizie este foarte problematică. Studiul de faŃă urmăreste măsurarea credibilităŃii a câtorva dintre metodele cele mai des folosite de către jucători. Perioada aleasă pentru efectuarea studiului nu este întâmplătoare ci reprezintă un interval de timp caracterizat de o foarte mare volatilitate a pieŃelor financiare, volatilitate cauzată în cea mai mare parte de fluctuaŃia cursului de schimb euro-dolar ca urmare a scăderii credibilităŃii investitorilor nord americani în moneda europeană, credibilitate ce a fost afectată în mod semnificativ de decizia comună a Consiliului European şi a Băncii Centrale Europene de a ajuta Ńările PIIGS prin acordarea unui împrumut de peste 700 miliarde euro pentru acoperirea nevoilor acestora de finanŃare a deficitelor bugetare.

Prin urmare, în studiul de faŃă se va testa fezabilitatea teoriei evaluării raŃionale a opŃiunilor, teorie propusă de Robert Merton în ([15] Merton,1973: pp.141-183), prin studiul comportamentului a 5 metode construite pe baza acestei teorii, metode ce sunt utilizate pe scară largă de practicieni şi care au reprezentat inovaŃii importante la momentul apariŃiei lor.

MotivaŃia alegerii indexului bursier S&P 500 ca activ suport în locul acŃiunilor standard este minimizarea riscului specific al activului suport, risc ce poate exercita o influenŃă semnificativă asupra preŃului spot al unui activ de tip acŃiune pe perioade scurte de timp. Totodată indecşii bursieri tind să aibe o distribuŃie a returnurilor mult mai apropiată de cea lognormală în comparaŃie cu acŃiunile. Acest aspect este foarte important deoarece 4 dintre modelele analizate impun această ipoteză.

2. DESCRIEREA METODELOR

Teoria evaluării raŃionale a opŃiunilor afirmă că preŃul unei opŃiuni este influenŃat atât de factori cantitativi cât şi de factori calitativi, însă că numai factorii cantitativi pot fi măsuraŃi şi implicit numai influenŃa lor poate fi cuantificată prin intermediul unor variabile numerice în modelele de evaluare. Factorii cantitativi luaŃi în considerare sunt: = preŃul spot al activului suport la momentul t;

E= preŃul de exerciŃiu al opŃiunii;

Testarea fezabilităŃii teoriei evaluării raŃionale a opŃiunilor ______________________________________________________________________

σ = volatilitatea activului suport; r= rata de dobândă a activului fără risc (de obicei se consideră rata bonurilor

de trezorerie) la termenul cel mai apropiat de cel al duratei până la maturitatea opŃiunii; δ = rata dividendului instantaneu în cazul opŃiunilor ce au ca activ suport

indecşi bursieri ori acŃiuni cu dividende; T-t= perioada până la maturitate (măsurată ca fracŃie anuală). InfluenŃa acestora asupra preŃului opŃiunii poate avea direcŃie diferită în funcŃie

de tipul opŃiunii (de exemplu dacă opŃiunea este de vânzare, PUT, creşterea preŃului spot al activului suport determină o scădere a preŃului opŃiunii pe când în cazul unei

opŃiuni de tip CALL efectul este opus) sau poate avea acelaşi sens (cazul volatilităŃii , ratei de dobândă a activului fără risc şi al perioadei până la maturitate).

Factori calitativi pot fi consideraŃi atât factorii psihologici ce se exercită pe piaŃă cât şi concurenŃa dintre activele purtătoare de risc. Cu toate că nu poate fi incă cuantificată, concurenŃa dintre activele cu risc joacă un rol important deoarece induce un cost de oportunitate, iar modelele de evaluare a opŃiunilor consideră o piaŃă financiară formată din două active unul cu risc, unul fără risc şi impun şi condiŃia de infinit divizibilitate a activelor, ipoteze naive asupra condiŃiilor reale de piaŃă însă fărădecare nu este posibilă realizarea unei analize strict obiective (raŃionale). O altă ipoteză impusă de modelele considerate este cea de constanŃă a ratei de dobândă a activului fără risc. Deşi de cele mai multe ori nu este respectată în practică, această ipoteză nu influenŃează în mod semnificativ valorile opŃiunilor cu perioade până la maturitate mai mici de şase luni, deoarece în economiile ”normale” nu pot avea loc modificări bruşte ale ratelor de dobândă fiindcă se pierd echilibrele de pe pieŃe. Alte ipoteze considerate de unele din modelele utilizate în acest studiu sunt volatilitatea constantă şi normalitatea distribuŃiei logaritmilor returnurilor activului suport.

Discretizarea spaŃiului timp al modelelor în vederea adaptării acestora pentru evaluarea opŃiunilor de tip american a fost sugerată de William Sharpe însă prima abordare de acest fel a fost propusă în 1979 de Cox, Ross şi Rubinstein în ([7] Cox etal. 1979: pp.229-264) când a fost introdus modelul clasic (simetric) binomial. Modelul presupune distribuŃie lognormală a returnurilor activului suport şi volatilitate constantă. Deşi aparent este de o simplitate banală, acest model a reprezentat pentru aproape 20 de ani de zile piatra de temelie a ingineriei financiare în evaluarea opŃiunilor cu multiple momente de exercitare a dreptului deŃinut de holder şi a definit structura etapelor ce trebuie urmate în evaluarea opŃiunilor cu modele bazate pe arbori. Drept urmare în lucrul cu un model bazat pe arbori de evoluŃie a preŃului activului suport trebuie parcurse urmatoarele 3 etape:

• Etapa 1: ConstrucŃia arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport.

Această etapă se realizează în mod diferit de la model la model.

Andrei Pădureanu _____________________________________________________________________

• Etapa 2: Evaluarea funcŃiei câştig (payoff) în nodurile terminale ale

arborelui. Această etapă este identică pentru toate modelele. • Etapa 3: Calculul valorii opŃiunii. Cea din urmă etapă se realizează după

scheme diferite specifice fiecărui model, dar scopul general este de a evalua recursiv înapoi în fiecare etapă a dezvoltării funcŃia câştig din nodurile ”mamă” şi a compara valoarea acesteia cu valoarea aşteptată actualizată a nodurilor ”fiică” de fiecare dată reŃinându-se valoarea mai mare dintre cele două.

În cele ce urmează lucrul cu fiecare model va fi prezentat după structura anterior precizată subliniind numai elementele specifice fiecăruia.

În cazul modelului binomial, conceptele specifice şi necesare construcŃiei arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport sunt:

Etapa 1: Se realizează construcŃia arborelui de evoluŃie conform schemei de mai jos.

Figura 1 : Dezvoltare a evoluŃiei preŃului activului suport prin modelul binomial în 4

paşi de discretizare


Etapa 2: Se calculează funcŃia câştig în nodurile terminale astfel:

Etapa 3: Calculul valorii opŃiunii. Calculul valorii se face recursiv înapoi etapă cu etapă după schema următoare, până ce se ajunge în nodul iniŃial în care se va afla preŃul opŃiunii.

Al doilea model analizat este modelul arborelui trinomial simetric (cu

volatilitate constantă) propus de Boyle în 1986. Acest model păstrează ipotezele modelului binomial clasic însă foloseşte pentru prima dată o schemă de dezvoltare ce permite şi evoluŃia constantă a preŃului activului suport facilitând o convergenŃă mai rapidă către valoarea Black-Scholes. Etapa 1: ConstrucŃia arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport. Se face în mod similar celei din cazul arborelui binomial simetric folosind informaŃiile şi schema următoare:


Figura 2 - Dezvoltare a evoluŃiei preŃului activului suport prin modelul trinomial în 4

paşi de discretizare Etapa 2: Evaluarea funcŃiei câştig în nodurile terminale. Se face la fel ca în cazul modelului binomial. Etapa 3: Calculul valorii opŃiunii. Se face etapă cu etapă recursiv înapoi după schema următoare:


Ultimul model din test ce presupune distribuŃie normală a logaritmilor returnurilor şi volatilitate constantă a preŃului activului suport este modelul trinomial cu plasă adaptabilă al lui Figlewski şi Gao ([10] Figlewski, Gao, 1999: pp. 313-351). Acesta este ultima mare inovaŃie în materie de modele bazate pe arbori cu volatilitate constantă. Menit să elimine deviaŃia faŃă de preŃul Black-Scholes a modelelor binomiale şi trinomiale manifestată în cazul evaluării opŃiunilor ce se află în zona ”at the money” prin expansiunea unei plase fine, modelul cu plasă adaptabilă manifestă convergenŃă foarte rapidă chiar şi atunci când numărul paşilor de discretizare este mic, iar aceasta se face monoton asimptotic nu alternant ca în cazul celorlalte modele. Etapa 1: ConstrucŃia arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport .

• Pas 1.a: ConstrucŃia plasei groase a arborelui trinomial din logaritmii preŃurilor activului suport conform ecuaŃiilor de mai jos.

• Pas 1.b: Identificarea nodurilor pentru construcŃia plasei fine în baza verificării condiŃiei:

• Pas 1.c: Alegerea subdiviziunii pasului timp cu ajutorul căreia se construieşte

plasa fină. În cadrul acestui studiu subdiviziunea folosită este .

• Pas 1.d: Introducerea datelor exponenŃiate în masivul plasei fine şi se calculul dezvoltării.


Figura 3 - Arborele trinomial al unui model cu plasă adaptabilă aplicat unei opŃiuni de

tip PUT european

Etapa 2: Calculul funcŃiilor câştig în nodurile terminale.

• Pas 2.a: Se calculează funcŃiile câştig şi valoarea opŃiunii corespunzătoare plasei fine care se introduce în plasa groasă.

• Pas 2.b: Se exponenŃiază şi valorile din celelalte noduri ale plasei groase şi se calculează funcŃiile câştig;

Etapa 3: Calculul valorii opŃiunii. OpŃiunea se evaluează în mod similar modelului lui Boyle cu menŃiunea că se sar nodurile evaluate cu plasa fină a căror valoare aşteptată se inserează separat în arborele cu plasă groasă în penultima etapă a dezvoltării.

Modelul arborelui binomial Edgeworth al lui Mark Rubinstein ([10] Rubinstein,1998: pp.20-27) este primul model bazat pe arbori binomiali ce relaxează ipoteza de normalitate a distribuŃiei log-returnurilor prin introducerea unei scheme de modificare a modului de evoluŃie a preŃului activului suport, schemă ce foloseşte informaŃia dată de coeficienŃii de asimetrie şi de aplatizare ai distribuŃiei empirice a logaritmilor returnurilor. Modelul presupune volatilitate constantă. Spre deosebire de modelul binomial clasic, acest model construieşte arborele de evoluŃie a preŃului pornind de la nodurile terminale către nodul iniŃial.

Etapa 1: ConstrucŃia arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport.

• Pas 1.a: Se consideră preŃul spot ( ) şi se consideră o variabilă aleatoare

binomial standardizată Y


(E[Y]=0; Var[Y]=1), ale cărei valori sunt cu

probabilităŃile .

unde n este numărul etapelor de discretizare, iar este numărul pasului curent.

• Pas 1.b: Se construieşte dezvoltarea în serie Edgeworth a lui :

unde ξ şi sunt coeficienŃii de asimetrie respectiv aplatizare ai distribuŃiei

logaritmilor returnurilor activului suport.

• Pas 1.c: Se calculează noile probabilităŃi folosind formula .

• Pas 1.d: Se defineşte variabila aleatoare de medie 0 şi dispersie 1:

unde şi sunt media respectiv dispersia

lui Y sub dezvoltarea în serie Edgeworth. • Pas 1.e: Se determină preŃurile activului suport din cele n+1 noduri terminale

după formula unde este preŃul spot al activului suport, σ

este volatilitatea cursului activului suport, , r

este rata de dobândă a activului fără risc iar δ este dividendul instantaneu al activului suport.

• Pas 1.f: Se determină probabilităŃile marginale de trecere după formula .

• Pas 1.g: Se construieşte arborele în mod recursiv de la terminaŃii spre rădăcină după regula următoare: considerându-se nodul superior j căruia îi corespunde cursul activului suport , probabilitatea de urcare şi nodul inferior j+1 ale

cărui curs şi probabilitate de coborâre aferentă sunt şi , probabilitatea

nodului precedent ce uneşte cele 2 noduri este , iar cursul său

S= . Algoritmul se repetă până când se ajunge în nodul

iniŃial al arborelui unde dacă procedura este corect implementată valoarea calculată a preŃului coincide cu preŃul spot al activului suport.

Andrei Pădureanu _____________________________________________________________________ Etapa 2: Calculul funcŃiilor câştig în nodurile terminale. Se calculează funcŃiile câştig din nodurile terminale ale arborelui la fel ca în cazul modelului binomial clasic. Etapa 3: Calculul valorii opŃiunilor. Se calculează valoarea opŃiunii la fel ca în cazul modelului binomial clasic.

Ultima metodă folosită în acest studio este modelul arborelui trinomial determinist cu volatilitate implicită al lui Chriss, Derman şi Kani ([6] Chriss etal.). EvidenŃele empirice susŃin faptul că volatilitatea preŃurilor activelor suport nu este constantă. Mai mult de atât, Chriss, Derman şi Kani evidenŃiază faptul că volatilitatea poate fi scrisă ca o funcŃie bidimensională în raport cu preŃul spot al activului suport

şi durata până la maturitatea opŃiunii T-t. Prin urmare ecuaŃia de dinamică a preŃului activului suport considerat este:

În acest fel au apărut conceptele de coeficient de asimetrie a volatilităŃii, volatilitate a volatilitaŃii, hartă a volatilităŃii şi volatilitate implicită. În literatura de specialitate au apărut mai multe abordări în acest sens însă cele din ([4],[5],[6] Chriss etal.) sunt de importanŃă deosebită fiindcă au fost primele de acest tip şi totodată sunt foarte populare, implementări ale lor găsindu-se în multe utilitare de evaluare a derivativelor. Ideea centrală a modelelor cu volatilitate implicită constă în taxarea separată a riscului de volatilitate a volatilităŃii prin scăderea unor prime de risc din preŃul determinat prin modelul cu volatilitate implicită constantă. Taxarea acestui risc suplimentar se poate face după mai multe scheme. Acestea se clasifică în scheme numerice, scheme analitice şi scheme stochastice. Modelul de faŃă este un model cu schemă numerică pentru taxarea primelor suplimentare de risc. După determinarea coeficientului de asimetrie a volatilităŃii, prin modelele de acest tip se obŃin valori mai mici decât prin modelele cu volatilitate constantă. Cu toate că acest tip de modele oferă mai multă flexibilitate, selecŃia perioadei optime pentru calibrarea parametrului de asimetrie a volatilităŃii poate fi foarte dificilă deoarece necesită o bună cunoaştere empirică a dinamicii pieŃelor financiare, iar valoarea coeficientului calculat tinde să influenŃeze puternic preŃul opŃiunii determinat prin model. Îndată ce se determină funcŃia de volatilitate, se poate calcula întreaga evoluŃie a preŃului activului suport.


Etapa 1: ConstrucŃia arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport. ConstrucŃia arborelui de evoluŃie a preŃului activului suport se face de la nodul rădăcină spre nodurile terminale şi se pleacă la fel ca în cazul arborelui lui Boyle.

Figura 4 - EvoluŃia preŃului activului suport dintr-un arbore trinomial cu volatilitate

implicită din nodul i in etapa j,j+1

• Pas 1.a: Considerând , preŃul spot al activului suport, se determină preŃul

forward din perioada 1 de discretizare după formula: unde r

este rata de dobândă a activului fară risc, δ este dividendul instantaneu al activului suport.

• Pas 1.b: Considerând valoarea de salt pozitiv a preŃului, valoarea de salt

negativ a preŃului, , p probabilitatea de salt pozitiv a preŃului, q

probabilitatea de salt negativ a preŃului şi punând condiŃia de neutralitate temporală la risc rezultă:

pentru nodul iniŃial.

pentru orice nod din care ies

ramificaŃii. unde:

preŃul forward aferent nodului i din perioada j.

este volatilitatea aferentă fiecărui nod iar skew este

coeficientul de asimetrie a volatilităŃii.

• Pas 1.c: Ajustarea probabilităŃilor de trecere.

Andrei Pădureanu _____________________________________________________________________ Etapa iniŃială

• Pas I: Calculul probabilităŃilor de trecere ( )

= este preŃul calculat prin arborele lui Boyle al unei opŃiuni de tip PUT

european pe un activ suport cu preŃul spot şi maturitatea peste ∆t= .

• Pas II: Actualizarea valorilor primelor de risc (preŃurilor Arrow-Debreu)

Etapa j oarecare, nodul i oarecare

• Pas I: Calculul probabilităŃilor de trecere ( )

probabilitatea saltului negativ al preŃului.

probabilitatea saltului pozitiv al preŃului.

Subcaz A: Nodul i se află deasupra axului central al arborelui.

= preŃul unei opŃiuni CALL european calculat prin modelul arborelui

trinomial simetric (Boyle) cu preŃul spot , preŃul de exerciŃiu , maturitatea

, volatilitate şi n=j paşi de discretizare.

Subcaz B: Nodul i se află pe axul central al arborelui sau dedesubtul acestuia.

= preŃul unei opŃiuni PUT european calculat prin modelul arborelui trinomial

simetric (Boyle) cu preŃul spot , preŃul de exerciŃiu , maturitatea ,

volatilitate şi n=j paşi de discretizare.

ObservaŃie: Dacă oricare dintre probabilităŃile de mai sus sunt în afara intervalului

[0,1], probabilităŃile se transformă conform următoarei scheme:


• Pas II: Actualizarea valorilor primelor de risc (preŃurilor Arrow-Debreu).

După ce arborele este construit complet, volatilitătile implicite sunt obŃinute după formula:

unde:

Etapa 2: Calculul funcŃiilor câştig în nodurile terminale. Se calculează funcŃiile câştig din nodurile terminale ale arborelui la fel ca în cazul modelului trinomial simetric. Etapa 3: Calculul valorii opŃiunilor. Se calculează valoarea opŃiunii la fel ca în cazul modelului trinomial simetric.

3. STUDIU NUMERIC

Studiul numeric constă în aplicarea modelelor prezentate în secŃiunea anterioară pe date reale care constau în 8 opŃiuni americane ce au ca activ suport indexul bursier S&P 500. OpŃiunile au fost emise la data de 12.02.2010 cu data maturităŃii 22.05.2010 şi au preŃuri de exerciŃiu diferite. Astfel avem 4 opŃiuni de tip CALL cu preŃurile de exerciŃiu E=1100,1125,1150,1175 şi patru opŃiuni PUT cu

Andrei Pădureanu _____________________________________________________________________ aceleaşi preŃuri de exerciŃiu. PreŃurile pieŃei pentru aceste opŃiuni au fost descărcate de pe Bloomberg. Ca date de intrare au fost considerate ratele bonurilor de trezorerie americane (t-bill) cu maturitatea comparabilă cu cea a opŃiunilor, iar acolo unde acestea nu au corespuns valorile ratelor utilizate au fost calculate prin interpolarea liniară a valorilor dobânzilor ale căror maturităŃi intercalează durata până la maturitatea opŃiunii. Valorile volatilităŃilor au fost preluate de pe Chicago Board of Options Exchange de la secŃiunea Volatility Index. În perioada studiată s-au înregistrat variaŃii mari ale preŃului activului suport cu valoarea minimă de închidere 1075.51 şi valoarea maximă de închidere 1217.28 şi volatilităŃi zilnice cuprinse între 18.62% şi 30.215%, iar rata dobânzii activului fără risc cu maturitate lunară a variat puternic de la 0.06% la 0.18%. Ca date de intrare ale modelelor au mai fost considerate şi valorile de 0.065628 pentru parametrul de asimetrie şi de 5.013475 pentru cel de aplatizare a log-returnurilor activului suport. Perioada folosită pentru calculul acestor parametri precum şi pentru calculul coeficientului de asimetrie a volatilităŃii în cazul modelului cu volatilitate implicită este 2 ianuarie 2009 - 11 februarie 2010. Valoarea coeficientului de asimetrie a volatilităŃii considerată în studiu este de -0.01% pe unitatea de index şi corespunde mediei valorilor acestuia din perioada anterior precizată. Ca măsuri analitice ale robusteŃii modelelor şi a veridicităŃii teoriei au fost utilizaŃi:

• unde:

� este valoarea medie a preŃurilor de piaŃă aferente perioadei analizate pentru ficare opŃiune în parte;

� i corespunde fiecărei zile de tranzacŃie din perioada 12.02.2010-06.05.2010;

� K=1,2,3,4,5 corespunde fiecărui model în cazul fiecărei opŃiuni în parte;

• unde este coeficientul de corelaŃie liniară dintre preŃurile

calculate prin modelul i şi preŃurile de piaŃă ale fiecărei opŃiuni.

Alte detalii referitoare la studiul numeric:

• numărul etapelor de discretizare a spaŃiului timp (n): � 20 pentru modelul Derman-Kani; � 50 pentru celelalte modele;

• pe langă calculul măsurilor analitice menŃionate se efectuează şi analiza grafică comparativă a evoluŃiei preŃurilor determinate prin modelele şi a preŃurilor de piaŃă în raport cu durata până la maturitatea opŃiunii.


Figura 5 - Dinamica preŃurilor în raport cu durata până la maturitate pentru opŃiunea

PUT cu E=1100


PUT cu E=1125

Model RMSE(%) Coeficient corelaŃie preŃ

piaŃă/preŃ model CRR Binomial 11.678 0.995229 EW Binomial 17.062 0.995139

Trinomial 11.638 0.995222 AMM 11.662 0.995221

DK Trinomial 11.584 0.995463 Tabel 1 - RMSE şi ρ pentru fiecare model în cazul opŃiunii PUT cu E=1100



Trinomial 24.359 0.984036 AMM 24.383 0.984068

DK Trinomial 24.975 0.984308 Tabelul 2 - RMSE şi ρ pentru fiecare model în cazul opŃiunii PUT cu E=1125



PUT cu E=1150


PUT cu E=1175



Trinomial 14.269 0.990526 AMM 14.308 0.990503




Trinomial 18.496 0.971211 AMM 18.486 0.971242




CALL cu E=1100

Figura 10 - Dinamica preŃurilor în raport cu durata până la maturitate pentru opŃiunea CALL cu E=1125



Trinomial 10.845 0.939568 AMM 10.832 0.939718

DK Trinomial 10.466 0.945961 Tabelul 5 - RMSE şi ρ pentru fiecare model în cazul opŃiunii CALL cu E=1100



Trinomial 11.741 0.944884 AMM 11.719 0.944956







Trinomial 13.602 0.954694 AMM 13.536 0.954828




Trinomial 23.191 0.938549 AMM 23.013 0.939112

DK Trinomial 17.948 0.947581 Tabelul 8 - RMSE şi ρ pentru fircare model în cazul opŃiunii CALL cu E=1175


În studiul numeric s-au obŃinut corelaŃii foarte puternice (coeficienŃi peste 0.9) între seriile preŃurilor de piaŃă şi seriile preŃurilor determinate prin modelele analizate. Acest lucru vine în sprijinul teoriei evaluării raŃionale a opŃiunilor. Mai mult de atât, având în vedere faptul că în perioada de studiu au existat zile în care nu s-au înregistrat tranzacŃii şi prin urmare preŃul pieŃei pentru anumite opŃiuni a stagnat, prin eliminarea zilelor fără tranzacŃii din studiu se vor obŃine valori şi mai mari ale coeficieŃilor de corelaŃie.

În cazul opŃiunilor de tip CALL, opŃiuni ce alcătuiesc peste 80% din totalul opŃiunilor tranzacŃionate pe pieŃe, modele EW şi DK obŃin rezultate mai bune în cadrul procesului de evaluare. Acest lucru se întâmplă datorită frecvenŃei mai mari de tranzacŃionare a acestora şi prin urmare a dependenŃei mai mari faŃă de comportamentul agenŃilor pe pieŃe. Această dependenŃă este speculată de aceste modele prin relaxarea ipotezelor asupra distribuŃiei log-returnurilor respectiv variaŃiei volatilităŃii. Cu toate acestea lucrul cu ele este mai dificil deoarece sunt foarte sensibile în raport cu perioada de calibrare. Trebuie admis faptul că selecŃia unei alte perioade de calibrare a parametrilor poate duce la rezultate semnificativ mai bune în procesul de evaluare însă acest lucru poate avea şi revers.

Modelul cu plasă adaptabilă (AMM) obŃine rezultate nesemnificativ mai bune decât celelalte modele ce presupun volatilitate constantă şi distribuŃie normală a log-returnurilor considerate în test, dar dificultăŃile de natură tehnică întâmpinate în procesul de implementare îl fac mai puŃin atractiv. Este de menŃionat faptul că reuşeşte să evalueze semnificativ mai bine decât modelele CRR şi Trinomial opŃiunile în perioda în care acestea se află în zona ”la bani”.

Cu toate că rezultatele experimentului numeric confirmă în mare masură afirmaŃiile teoriei evaluării raŃionale a opŃiunilor se poate spune că între modelele alese nu poate fi desemnat un câştigător. În susŃinerea acestei afirmaŃii vin atât eterogenitatea preciziei de evaluare a modelelor la diverse grade de monetizare ale opŃiunilor cât şi timpul consumat în procesul decizional. În cazul modelelor EW şi DK timpul alocat procesului decizional este mai mare iar rezultatele obŃinute de acestea nu sunt neapărat mai bune. Prin urmare este recomandată folosirea a cel puŃin două modele din familii diferite şi compararea rezultatelor acestora înainte de luarea unei decizii pe piaŃă.

4. CONCLUZII

În această lucrare a fost testată fezabilitatea teoriei evaluării raŃionale a opŃiunilor în condiŃiile actuale de piaŃă. În urma experimentului numeric s-au adus evidenŃe empirice ce confirmă actualitatea teoriei. Nu se poate afirma acelaşi lucru despre eficienŃa în evaluare a modelelor testate. O chestiune este certă, în procesul decizional cel mai important rol este jucat de factorul de decizie uman. Cu toate acestea, întrucât managementul riscurilor este un domeniu aflat în puternică dezvoltare,

Andrei Pădureanu _____________________________________________________________________ este de aşteptat ca şi evaluarea derivativelor ca subdomeniu al său să evolueze prin fundamentarea unor modele mai flexibile. În acestă direcŃie se pot cerceta efectul indus de relaxarea ipotezei ratei de dobândă constante a activului considerat fără risc cât şi influenŃa opŃiunilor concurente prin construcŃia unor modele ce folosesc ca variabilă de intrare şi un coeficient de elasticitate în raport cu preŃul de exercŃiu al opŃiunii, coeficient determinat cu ajutorul preŃurilor de piaŃă ale mai multor opŃiuni ce au aceeaşi dată a maturităŃii, acelaşi activ suport, dar au preŃuri de exerciŃiu diferite. AKNOWLEDGEMENT Acest articol a fost elaborat ca parte a proiectului POSDRU/88/1.5./S/55287 “Doctorat în economie la standardele Europei cunoaşterii (DOESEC)“, proiect cofinanŃat din Fondul Social European prin Programul OperaŃional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 şi coordonat de Academia de Studii Economice din Bucureşti în parteneriat cu Universitatea de Vest din Timişoara.

BIBLIOGRAFIE [1] Black F., Scholes M. (1973), ”The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, Vol. 81, pp. 637-654; [2] Broadie M., Detemple J.B. (2004),”Option Pricing: Valuation Models and Applications”, Management Science, Vol. 50, No. 9, pp. 1145-1177; [3] Chan J.H., Joshi M., Tang R., Yang C. (2007),”Trinomial or Binomial: Accelerating American Put Option Price on Trees”, Center for Actuarial Studies

working paper, University of Melbourne, Australia; [4] Chriss N. (1996),”Implied Volatility Trees, American and European”, working

paper, Goldman Sachs; [5] Chriss N. (1996),”Black-Scholes and Beyond: Modern Options Pricing”, Irwin

Professional Publishing, Burr Ridge, Illinois; [6] Chriss N., Derman E., Kani I. (1996),”Implied Trinomial Trees of the Volatility Smile”, Quantitative Strategies Research Notes working paper, Goldman Sachs; [7] Cox J., Ross S., Rubinstein M. (1979),”Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, Vol. 7, pp. 229-264; [8] Derman E., Kani I. (1994),”Riding on a Smile”, Risk 7, No. 1, pp. 32-39; [9] Duan J.C., Ritchken P., Sun Z. (2006),”Jump Starting GARCH: Pricing and Hedging with Jumps in Returns and Volatilities”, Federal Reserve Bank of Cleveland

research paper; [10] Figlewski S., Gao B. (1999),”The Adaptive Mesh Model: A New Approach to Efficient Option Pricing”, Journal of Financial Economics, No. 53, pp. 313-351; [11] Gatheral J. (2006),”The Volatility Surface: A Practitioner’s Guide”, Ed. John

Wiley & Sons Inc., New Jersey;


[12] Heston S., Nandi S. (2000),”A Closed-Form GARCH Option Valuation Model”, The Review of Financial Studies, Vol. 13, No. 3, pp. 585-625; [13] Hull J.C. (2009),”Options, Futures and Other Derivatives”, 7th edition, Ed.

Prentice Hall, New Jersey; [14] Macbeth J.D., Merville L.J. (1979),”An empirical examination of the Black-Scholes call option pricing model”, The Journal of Finance, Vol. XXXIV, No. 5, pp. 1173-1186; [15] Merton C.R. (1973),”Theory of Rational Option Pricing”, Bell Journal of

Economics and Management Science, Vol. 4, pp. 141-183; [16] Pădureanu A. (2010), ”Evaluarea opŃiunilor de tip american pe indecşi bursieri prin modele bazate pe arbori”, lucrare de disertaŃie, masterul de Managementul Riscurilor şi Tehnici Actuariale, Facultatea de FinanŃe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori, Academia de Studii Economice, Bucureşti; [17] Rubinstein M. (1998), ”Edgeworth Binomial Trees”, Journal of Derivatives, Vol. 5, No. 3, pp. 20-27.

Date volatilităŃi: www.cboe.com

Date rate dobândă: http://www.ustreas.gov

Date preŃuri de piaŃă opŃiuni: www.bloomberg.com

Drd. Andrei PĂDUREANU Academia de Studii Economice din ... Padurean.pdf · Acest fapt a condus la...

Documents

Transcript of Drd. Andrei PĂDUREANU Academia de Studii Economice din ... Padurean.pdf · Acest fapt a condus la...