DOCUMENTO 1SIERPINSKA, A. y LERMAN, S. (1996).

Epistemologies of mathematics and of mathematics education. En: A. J. Bishop et al. (eds.), International Handbook of Mathematics Education (pp. 827-876).

Dordrecht, HL: Kluwer, A. P. [Traducción de Juan D.Godino]

EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS Y DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICANuestra intención en este capítulo es clarificar lo que significa 'epistemología' en los distintos entornos en los que se usa dentro de la comunidad internacional de educación matemática, elaborar críticamente los orígenes, significados y usos de las esas nociones de epistemología, y reflexionar sobre nuestras prácticas como investigadores y educadores en relación a las teorías epistemológicas sobre las que nos apoyamos. No intentaremos ser exhaustivos en nuestro estudio de las epistemologías de las matemáticas y de la educación matemática, ni en un sentido histórico ni en nuestro examen de las teorías actuales.

El capítulo se ha escrito primariamente para los educadores matemáticos -no para los filósofos de las matemáticas- y limitaremos nuestro estudio a aquellas áreas que consideramos relevantes para nuestra audiencia (y nosotros mismos). Aunque nuestra revisión de la investigación realizada en educación matemática con relación a la epistemología no será exhaustiva, no obstante, se abordan las principales cuestiones epistemológicas.

El capítulo comienza con una visión global de las cuestiones básicas de la epistemología y de las muy diversas formas en que se pueden interpretar. De hecho, la primera parte del capítulo (‘Epistemologías de las Matemáticas’) intenta ‘clasificar’ las epistemologías.En particular, mencionamos discusiones históricas relacionadas con la distinción entre epistemología por una parte, y psicología, sociología e historia de la ciencia, por otra. Esto nos lleva a hablar sobre epistemologías del ‘contexto de justificación’ y epistemologías del ‘contexto de descubrimiento’. Se hace referencia a epistemologías de las matemáticas fundacionalistas y no fundacionalistas, así como a epistemologías histórico-críticas, genéticas, socio-históricas y culturales, y a epistemologías del significado.

En la segunda parte del capítulo (‘Epistemologías de la Educación Matemática’) realizamos un examen del uso y papel de las epistemologías en la educación matemática. Argumentamos que las aproximaciones constructivista, socio-cultural, interaccionista y antropológica están fundadas sobre diferentes epistemologías del conocimiento. También discutimos aproximaciones que se centran en análisis epistemológicos del significado de conceptos matemáticos particulares. Finalizamos con una reflexión sobre las relaciones entre epistemología y teorías de la instrucción que necesariamente incorporan sistemas de valores o principios. Esta discusión incluirá las cuestiones de complementariedad y eclecticismo.

1. EPISTEMOLOGÍAS DE LAS MATEMATICASEn este apartado nos ocupamos de clarificar la noción de epistemología, sus diversos significados, las cuestiones consideradas como epistemológicas y las que no, y las diferentes interpretaciones de estas cuestiones.1.1. Clasificación de las cuestiones epistemológicasLa epistemología, como una rama de la filosofía interesada por el conocimiento científico, plantea cuestiones fundamentales tales como: ¿Cuáles son los orígenes del conocimiento científico? (¿Empírico? ¿Racional?); ¿Cuáles son los criterios de validez del conocimiento científico? (¿Capacidad de predecir sucesos? ¿Consistencia lógica?); ¿Cuál es el carácter del proceso de desarrollo del conocimiento científico? (¿Acumulación y continuidad? ¿Períodos de ciencia normal, revoluciones científicas y discontinuidad? ¿Desplazamiento y refinamiento de programas científicos?

Estas cuestiones se puede interpretar de diversos modos. Se pueden preguntar en términos generales, como antes, o se pueden hacer más específicos con respecto a algún dominio particular de conocimiento científico, por ejemplo, las matemáticas. Uno puede estar interesado en el conocimiento desde varias perspectivas. Se puede preguntar: ¿cuáles son los orígenes de la validez de nuestras creencias? O bien, ¿cuáles son las fuentes del

significado del conocimiento, y cómo se constituye el significado? Estas son cuestiones diferentes porque el significado y la verdad son categorías diferentes. También se puede preguntar: ¿cuál es la ontogénesis del conocimiento? y hablar del desarrollo de 'estructuras cognitivas', por ejemplo. O la cuestión se puede plantear sobre la 'filogénesis' de los sistemas discursivos de conocimiento tales como las matemáticas o alguna de sus partes.

Algunos prefieren enfocar las cuestiones epistemológicas de una manera filosófica, y otros de una manera más científica. Los primeros se preguntan: ¿Cómo se puede explicar racionalmente un resultado científico sobre la base de lo que se obtiene de él? Los últimos se preguntan: ¿Cómo se obtuvo de hecho un resultado científico dado?

Estas cuestiones discriminan entre las actitudes hacia la epistemología de los interesados por los fundamentos de las matemáticas y los educadores matemáticos. Los educadores matemáticos están por lo general menos interesados en estudiar los fundamentos de la validez de las teorías matemáticas que en explicar los procesos de crecimiento del conocimiento matemático: sus mecanismos, las condiciones y contextos de los descubrimientos pasados, las causas de los períodos de estancamiento y las afirmaciones de que, desde el punto de vista de la teoría actual, aparentan, o han sido erróneos.

Los educadores matemáticos están generalmente menos interesados en estudiar los fundamentos de la validez de las teorías matemáticas que en explicar los procesos de crecimiento del conocimiento matemático: sus mecanismos, las condiciones y contextos de descubrimientos pasados, las causas de los períodos de estancamiento y las afirmaciones que, desde el punto de vista de la teoría actual, parecen ser, o haber sido, erróneas.

Los educadores matemáticos están también interesados en observar y explicar los procesos de descubrimiento matemático realizados tanto por los expertos matemáticos como por los estudiantes. Finalmente, como prácticos, investigan modos de provocar tales procesos en la enseñanza. Si las cuestiones sobre la certeza ocupan a los educadores matemáticos es a menudo en el contexto de discusiones sobre el concepto de error, sus diferentes categorías y las posibles actuaciones del profesor como reacción a los errores de los estudiantes, las concepciones que se apartan de las aceptadas o esperadas. Sin embargo, como mostraremos, ha habido un cierto número de estudios sobre la significación de las cuestiones filosóficas para la educación matemática.

No todos los educadores matemáticos comparten la misma epistemología, incluso aunque se interesen con cuestiones epistemológicas similares. Veremos en la segunda parte de este capítulo que las líneas de división se refieren a cuestiones tales como el carácter subjetivo-objetivo del conocimiento, el papel en la cognición de los contextos sociales y culturales, y las relaciones entre lenguaje y conocimiento.

1.2. Epistemología del contexto de justificación y fundacionalismo en la filosofía de las matemáticasLas anteriores preocupaciones de los educadores matemáticos hubieran sido consideradas por los filósofos de la ciencia de la primera mitad del siglo, como no pertenecientes a la epistemología propiamente sino a la psicología, historia, sociología o semiótica. Por ejemplo, Carnap (1928/1966) y Reichenbach (1938/1947) propusieron que la epistemología se ocupa en sí misma con una 'reconstrucción racional' de los procesos de pensamiento científico, esto es con la descripción de cómo los procesos científicos se desarrollarían si 'factores irracionales' no interfirieran. Las 'reconstrucciones racionales' quiere decir descripciones de los procesos de pensamiento de los científicos, no cuando están descubriendo algo, sino cuando están intentando comunicar y justificar sus descubrimientos. Esto es, presentaciones del 'contexto de justificación' del pensamiento científico. El 'contexto de descubrimiento' o los procesos de hechos del descubrimiento científico y del impacto sobre ellos de los factores cognitivos, sociales e histórico-culturales pertenecen, según estos autores, no a la epistemología sino a los dominios empíricos de la psicología, sociología e historia del conocimiento.

Karl Popper (1972) comprendió la epistemología de un modo 'anti-psicologista', Inre Lakatos, un discípulo y crítico de Popper, extendió el domino de las reconstrucciones epistemológicas a aquellas partes del proceso de descubrimiento que presentía podrían ser racionalizadas. Sus Pruebas y Refutaciones (1976) proporcionaron una

reconstrucción racional del proceso de descubrimiento y justificación de una cierta parte de la topología. Pero la epistemología de Lakatos sigue siendo programáticamente anti-psicologista. Su noción, por ejemplo, de 'concepto generado por la prueba' es una herramienta metodológica en las reconstrucciones racionales, no una generalización de hechos históricos o psicológicos.

Una aproximación a la epistemología centrada en el 'contexto de justificación' se conoce como 'fundacionalismo'. La aproximación fundacionalista a las cuestiones del crecimiento de las matemáticas es ahistórica y a-social: 'la historia de las matemáticas está jalonada de sucesos en los que los individuos son iluminados por los nuevos insights que no guardan una relación particular con los antecedentes de la disciplina' (Kitcher, 1988).

Las respuestas a cuestiones de los orígenes del conocimiento se han clasificado tradicionalmente en dos categorías: apriorismo y empirismo. Las filosofías fundacionalistas de las matemáticas cuya principal preocupación consiste en encontrar algún tipo de ‘primera matemática, una disciplina especial a partir de la cual todo el resto se debe construir’ (Kitcher, 1988), p. 294) son necesariamente apriorísticas. De otro modo, afirma Kitcher, no habría contenido en sus preocupaciones. Naturalmente, el apriorismo aparece como una solución aceptable, si el empirismo, especialmente el empirismo ingenuo, se ve como la única alternativa epistemológica. El empirismo es simplemente inaceptable como una epistemología de las matemáticas.

Richard (1907) proporcionó un argumento contra el empirismo desde un punto de vista fundacionalista: ‘si la experiencia sola puede probar la verdad de los axiomas, ¿cómo podemos conocer que son verdaderos en cualquier sitio?

Puede haber otros argumentos a favor del apriorismo, dados desde perpectivas diferentes. Por ejemplo, desde una perspectiva de ontogénesis del conocimiento, en el que el apriorismo se identifica con el innatismo, existe un conocido argumento de C. G. Hempel, citado por Jerry Fodor (in M. Piatelli-Palmarini, 1979, p. 380). El argumento es el siguiente: (0, -1), (1, 0) y (2, 1). Hay infinitas posibilidades de generalización (por ejemplo, y = x-1; y = (x-1)3; y = (x-1)2n cos 1 (1-x/2) para n = (1, 2, ...)

Si el conocimiento fuera un resultado de las experiencias individuales, en principio, todas estas generalizaciones serían equivalentes. Pero hay un orden de preferencia en la elección de la función modelo, que hace de y = x-1 la elección obvia. Fodor comentó: ‘Se puede llamar a esto simplicidad, o el orden a priori de las funciones, o innatismo’.

1.2.1. Epistemología del contexto de descubrimiento: Poincaré y la tradición francesa en epistemologíaLa filosofía de la ciencia francesa se considera tradicionalmente como psicologista e historicista (ver, por ejemplo, Largeault, 1994). Se intenta realizar presentaciones de procesos de hecho mas bien que sus reconstrucciones racionales. En el campo de la epistemología de las matemáticas, los trabajos de Bruschwicg (espcialmente Les Etapes de la Philosophie Mathématique, publicada en 1912) y los escritos filosóficos de Poincaré –publicados en artículos en L’Enseignement Mathématique (ver, por ejemplo, Poincaré, 1899, 1908a) y después en sus bien conocidos libros tales como Science et l’Hhpothése (1906), y Science et Méthode (1908b) han tenido una influencia importante. Cavaillès, Bachelard y Piaget fueron alumnos de Bruschwicg. El psicologismo de las epistemologías de Poincaré, Bachelar y Piaget es evidente. La Formación del Espíritu Científico de Bachelard (1938) fue una búsqueda de las 'condiciones psicológicas del progreso de la ciencia'. Poincaré comenzó un artículo diciendo que el problema de la génesis de la invención matemática inspiraría el mayor interés de un psicólogo. Según Poincaré, el 'contexto de descubrimiento', o más bien, 'invención' (Poincaré no fue un Platónico), era algo valioso de estudiar porque reflexionando sobre este proceso se pueden encontrar razones de los errores en matemáticas.

Aunque psicologista, la epistemología de Poincaré se preocupó, no obstante, con los orígenes de la validez de nuestras creencias y no con psicogénesis o historia del conocimiento científico. Poincaré encontró estos orígenes en la intuición sintético a priori del matemático y en su 'experiencia' o construcción efectiva que le permite verificar si un objeto postulado existe. Pero la intuición es falible; una iluminación repentina que ha adulado el

sentido estético del matemático puede resultar falsa cuando se somete al test del examen lógico (1908a). Así pues, en la construcción de las leyes matemáticas, la intuición y la lógica interactúan; una en el proceso de invención, la otra e su verificación.

Hay, inesperadamente, muchas características comunes entre las reflexiones epistemológicas de Poincaré y las de Dieudonné (1992), a pesar del vínculo de Dieudonné con Bourbaki y logicismo declarado.

1.2.2. Psicologismo en la epistemología estructuralista de DieudonnéDieudonné defendió una epistemología 'estructuralista' de las matemáticas, en el sentido de que consideró las matemáticas una 'interacción y comparación de patrones'. La ontología de los objetos matemáticos (si existen, y si existen independientemente de la mente humana) no es importante: ‘Para un estructuralista, lo que es importante no es la metafísica de, por ejemplo, los Dominios de Factorización Única, y los Dominios de Ideales Primos, sino el hecho de que cada estructura del primer tipo es, a fortiori, una estructura del segundo tipo’ (p. 52).

La estructura es el foco de la visión estructuralista de las matemáticas, la naturaleza de los elementos en cualquier situación dada rápidamente se desvanece en el trasfondo, y se realizan amplias generalizaciones. Las transformaciones de figuras particulares del plano se sustituyen por transformaciones del plano consideradas como una estructura de una clase particular; la noción general de grupo reemplaza a los diversos grupos particulares de las transformaciones geométricas; la noción de aplicación suplanta a la actividad de cambio de variables, etc.

Para Dieudonné (1992), el método de validación de los enunciados matemáticos es ciertamente la prueba deductiva. En este sentido, la base para la aceptación de un enunciado es la aceptación de los axiomas. Sin embargo, Dieudonné no dice que no hay ningún conocimiento matemático antes de la axiomatización. Los axiomas no son, genéticamente, primeros. Pueden desempeñar diversos papeles en la evolución de las matemáticas. Ayudan a reorganizar el conocimiento matemático, y juegan una parte importante en la comprensión y el desarrollo de las intuiciones.

Como Poincaré,Dieudonné (1992) no se interesó por el contexto de justificación. De hecho, afirmó que la cuestión de la validez del conocimiento matemático es simple: un enunciado verdadero es un enunciado probado, aunque las pruebas rigurosas son sólo posibles en teorías axiomatizadas. Todos los teoremas matemáticos son verdaderos. Por tanto la evaluación de los resultados matemáticos no se puede basar en su verdad. Se deben usar otros criterios, tales como no trivialidad, generalidad, profundidad. Pero lo que estos términos evaluativos significa cambia de una época a otra y depende de modas y caprichos. Por tanto, los criterios para la evaluación de un trabajo matemático son, según Dieudonné (1992), 'inevitablemente subjetivos, un hecho que lleva a algunas personas a decir que la matemática es más un arte que una ciencia"(p. 28)

Dieudonné (1992) resaltó que la prueba que a veces se considera como constitutiva del nacimiento de las matemáticas (la inconmensurabilidad del lado de un cuadrado y su diagonal) es de hecho una prueba de imposibilidad (p. 34). Esto nos lleva a reflexionar sobre la especificidad de los enunciados y preocupaciones matemáticas. Las pruebas de imposibilidad son la marca de una manera de pensar en matemáticas. Las ciencias se interesan por explicar fenómenos, no en probar que algún fenómeno es imposible. Existen otras cuestiones que se pueden considerar como típicas de las matemáticas; por ejemplo, describir todos los objetos posibles que satisfacen una cierta condición, tal como: todos los poliedros regulares;todas las formas posibles de un cristal; todos los grupos simples, esto es todos los casos, no sólo los casos típicos, o prototipos. Al resolver un problema matemático se ve como importante tener en cuenta todos los casos posibles, no sólo los que son más probables de que aparecezcan en las aplicaciones. Esta orientación hacia ‘tener un imagen completa’puede explicar ciertas definiciones generales como la de independencia linear de un conjunto de vectores que incluye el caso del conjunto compuesto de un único vector. Los educadores matemáticos a veces piensan que tales definiciones son impertinentes y formalistas. Pero hay que reconocer que las matemáticas han crecido de esa manera, llevadas por la preocupación primordial de presentar la imagen completa, la estructura completa descrita con todo detalle.

Dieudonné mencionó otra preocupación típicamente matemática, consistente en disponer de un conjunto de modos diferentes de hablar de un concepto dado: traslaciones de un entorno a otro; geométrico a algebraico y viceversa. Es suficiente evocar la historia del álgebra lineal, que ha crecido mediante el desarrollo de, y una interacción dialéctica entre la geometría sintética, analítica y de lenguajes estructurales (Sierpinska, Defence, Khatcherian y Saldanha, en prensa)

Como estructuralista, Dieudonné (1992) consideró la matemática como un todo unificado, en el que el significado y la significación de cada parte es una función del papel que juega en este todo. Desde esta perspectiva, el trabajo de síntesis, la recopilación y organización de los resultados con el propósito de su comunicación es muy importante. Dieudonné, uno de los fundadores del grupo Bourbaki, llegó a afirmar que es en estos trabajos de exposición donde se encuentra la base de una presentación de la evolución de la matemática, ya que la evolución en matemáticas consiste en generalización, reformulación en un nuevo o diferente lenguaje, reorganización, axiomatización. Siempre, desde Euclides, dice Dieudonné (1992), los trabajos expositorios han consolidado las transformaciones en la concepción de las matemáticas, y consolidado los nuevos modos de pensamiento (p. 162).

Dieudonne (1992) no ve evolución en matemáticas de un modo dramático, como podría inferirse de la teoría de las revoluciones de Kuhn, o las reconstrucciones Lakatosinas de la historia de las matemáticas. No hay una cuestión sobre discontinuidad en la historia de las matemáticas. Dieudonné no es el único que sostiene este punto de vista. Muchos matemáticos ven el desarrollo de las matemáticas como ocurriendo de una manera más o menos continua. Tiene muy buenas razones para esto (Sfard, 1994). Los cambios se producen en la meta-matemática y los modos de pensamiento, no en el componente técnico de las matemáticas. Los matemáticos tienden a enfatizar el componente técnico: en eso no hay revoluciones, por tanto no hay revoluciones.

Los educadores matemáticos, por el contrario, están más inclinados a ver la historia de las matemáticas de una manera más dramática porque están y deben estar más preocupados por el componente meta-matemático. Es ahí donde los aprendizes tienen problemas. Los matemáticos, en su práctica diaria, no se preocupan por las cuestiones meta-matemáticas. Continúan con sus investigaciones esperando que ‘la fe les vendrá’. Pueden no estar de acuerdo con ciertas sutilizas de tipo filosófico, pero al menos desean y a veces son capaces de cambiar sus modos de aproximarse a los problemas. Pueden ser intuicionistas o constructivistas al nivel meta-matemático, pero esto no les impiden comprender las matemáticas escritas por las personas con otros puntos de vista. Esto puede ser diferente para los estudiantes para quienes el nivel técnico de las matemáticas puede estar completamente interconectado con cuestiones de naturaleza filosófica (Sierpinska, 1990).

1.4. Epistemologías del significadoLa epistemología del significado puede ser indistinguible de la epistemología de la validez por aquellos quienes, como Frege (1892/1952), igualan significado con condiciones de verdad -aunque Frege sugirió que 'sentido' debería ser distinguido del significado, teniendo el primero orígenes sociales.

Pero, ¿es adecuado igualar significado con condiciones de verdad? Claramente no es difícil encontrar sentencias que tienen significado pero a las que no se aplican cuestiones de verdad (como, por ejemplo, sentencias interrogativas, órdenes, etc. ). Además, hay sentencias cuyas condiciones de verdad son idénticas, aunque vehiculan diferentes significados. Por ejemplo, ‘Afortunadamente, Gauss está muerto’ y ‘Desafortunadamente, Gauss está muerto’, o ‘p y no q’ y ‘p pero no q’ (Strawson, 1971). Los teóricos de la comunicación –al menos algunos de ellos- afirman, sin embargo, que en cada sentencia hay un núcleo de significado que se puede explicar bien por medio de condiciones de verdad o alguna noción relacionada (como, por ejemplo, ‘cumplimiento’, en el caso de un deseo).

La igualación del significado con condiciones de verdad es inaceptable para cualquiera que se interesa no con la creación de una teoría coherente de la comunicación sino con la comunicación con éxito en la práctica de la enseñanza. Incluso si, en educación matemática, estamos interesados en construir teorías, nunca deberíamos perder de vista el fin último de estas teorías, que es la mejora de la práctica. Una teoría del significado que le

permitiera a uno afirmar que enunciados tales como 'p y no q' y 'p pero no q' tiene el mismo significado no sería capaz de tener en cuenta y explicar muchos de los problemas de los estudiantes relacionados con la comprensión del lenguaje matemático (Girotto, 1989).

Los educadores matemáticos están mucho más interesados con la comunicación del significado que con la verdad, y están mucho más interesados con los pensamientos de los profesores y los niños que con las sentencias que profieren los profesores y los estudiantes. Están también tan interesados en el cambio y crecimiento de los significados matemáticos en las clases de matemáticas que en la acumulación de las verdades matemáticas que pueden tener lugar allá. Esto explica porqué algunos educadores matemáticos es posible que entiendan la epistemología como el estudio del 'estatus, estructura y significado del conocimiento' (Steinbring, 1994, p. 93) y basan sus análisis epistemológicos del contenido matemático sobre una teoría del significado. Así, por ejemplo, Steinbring usó una aproximación sistémica a la noción de 'concepto' inspirada por el triángulo semiótico de Ogden y Richard: significado es una triada de pensamientos, palabras y cosas.

Esta teoría le permitió explicar las dificultades de comunicación de los conceptos matemáticos, y al mismo tiempo proponer ciertas condiciones necesarias para esta comunicación. Existen otras explicaciones de las dificultades en la comunicación matemática (ver, por ejemplo, Thomas, 1987; Fischer, 1988).

Una revisión global de las perspectivas filosóficas sobre el significado y una discusión de la relevancia de estas perspectivas para la psicología de la cognición se puede encontrar en Ernest (1990).

2. EPISTEMOLOGIAS DE LA EDUCACION MATEMATICA2.1. ¿Epistemologías 'en' o 'de' la educación matemática?Antes de emprender un examen de las orientaciones teóricas particulares que se han calificado como epistemologías de la educación matemática, dedicaremos un momento a lo que puede significar la noción de 'epistemología de la educación matemática. Si la epistemología es la teoría del conocimiento, y la epistemología de las matemáticas es la teoría del conocimiento matemático, entonces la epistemología de la educación matemática debe referirse al mismo estudio, pero de las proposiciones de la educación matemática mas bien que de las relativas a las matemáticas. Desearíamos examinar el cuerpo del conocimiento llamado de ese modo en ese dominio y preguntar cuáles son las fuentes de ese conocimiento, cómo se justifica, y cómo se desarrolla. Podríamos esperar una simetría de respuestas entre la epistemología de las matemáticas y de la educación matemática.

Piaget afirmó que el conocimiento lógico-matemático ser produce por medio de la abstracción reflexiva, mientras que el conocimiento científico requiere tanto abstracción empírica como reflexiva, lo que podría sugerir que los contextos de justificación para estos dos tipos de conocimiento podrían ser diferentes. Por otra parte, los sociólogos del conocimiento (como, por ejemplo, Bloor y Restivo) argumentarían que se deberían realizar análisis simétricos para todos los dominios del conocimiento cultural en términos de factores tales como las relaciones sociales de los miembros de esas comunidades en lugares y tiempos diferentes, y los intereses servidos por la 'propiedad' de los cuerpos de conocimiento. El estudio de los constructivistas radicales o de los post-estructuralistas como grupos sociales del conocimiento dentro de la comunidad de educación matemática serán tan importante como el de los logicistas o formalistas dentro de la comunidad matemática.

Desde muchos puntos de vista la educación es actividad que depende de muchos otros dominios de conocimiento, incluyendo la psicología, sociología, antropología, historia, filosofía y, en nuestro caso, de las matemáticas. Como una estructura institucional explícita, tiene ciertamente una historia variada a lo largo del mundo. Donde ha sido institucionalizada, la educación naturalmente ha servido siempre a propósitos específicos de grupos socio-culturales específicos y gobiernos y como tal ha estado necesarimente implicada con valores, expresados en términos de principios de enseñanza. En cuanto a los contenidos curriculares, estos han sido tan toscos como el de la escolarización general en la Inglaterra del siglo diecinueve, en el que a los chicos se les enseñaba la suficiente aritmética para capacitarles para que desempeñaran su papel de trabajadores en la

sociedad industrial y no lo suficiente como para que pudieran desafiar a esa sociedad. A las chicas se les enseñaba sólo la aritmética requerida para capacitarles a gestionar la economía de sus familias.

Se podría esperar, sin embargo, que las epistemologías interesadas por el origen del conocimiento –es decir, las epistemologías genéticas- se aproximarían al conocimiento de la educación matemática y al conocimiento matemático de una manera unificada. De manera similar, las teorías sociológicamente orientadas tratarían también el conocimiento pedagógico de manera simétrica con el restante conocimiento. Por otra parte, algunas epistemologías del conocimiento matemático no se comprometen con las cuestiones de la adquisición del conocimiento. Esto es particularmente cierto para las epistemologías fundacionalistas de las matemáticas y aquellas aproximaciones que reducen la epistemología al estudio del contexto de justificación, lo que explica por qué estas epistemologías han tenido tan poco impacto sobre la educación matemática. Se hicieron intentos en esa dirección – los artículos publicados en L’Enseignement Mathématique al comienzo del siglo lo testifica. También tuvo lugar la propuesta de reforma de Felix Klein para construir un currículum sobre y alrededor del concepto fundamental de función (el llamado ‘Programa Meran’ –ver Gray y Rowe, 1993). Pero el efecto fue inaprecible.(p. 842)

Si las ideas fundacionalistas del estructuralismo en matemáticas encontraron su camino en al educación matemática en los años sesenta (reformas de la Matemática Moderna, o de las Nuevas Matemáticas), se puede argumentar que esto fue solo porque estuvieron apoyadas por la epistemología genética estructuralista elaborada por Piaget y popularizada en libros tales como Estructuralismo (1970) y Ciencia de la Educación y la Psicología del Niño (1972). Piaget estaba hablando sobre cómo llegan los niños a conocer las matemáticas y no solo de cómo los enunciados matemáticos se justifican y se organizan en totalidades consistentes, o como los matemáticos adultos llegan a hacer descubrimientos o invenciones matemáticas.

La educación matemática, que trata no sólo con los mundos posibles de los contenidos matemáticos sino también con las mentes de los niños y los profesores, todo esto inmerso en un mundo socialmente complejo de instituciones educativas, no está necesitada de una epistemología genética, de una sociología y de una teoría de la cultura. Todas estas necesidades están reflejadas en las interpretaciones que los educadores matemáticos y los investigadores están haciendo de la epistemología constructivista Piagetiana, de las teorías inspiradas por Vygotsky y Bruner, la 'epistemología polémica' de Bachelard, y de otras visiones epistemológicas. En esta sección, echaremos una mirada a estas interpretaciones, las avenidas que abren y sus limitaciones.

DOCUMENTO 2SIERPINSKA, A. y LERMAN, S. (1996).

Epistemologies of mathematics and of mathematics education. En: A. J. Bishop et al. (eds.), International Handbook of Mathematics Education (pp. 827-876).

Dordrecht, HL: Kluwer, A. P. [Traducción de Juan D.Godino]

1. Visiones sociológicas de las matemáticas1.1. NaturalismoEl constructivismo es una alternativa al apriorismo genético por una parte, y al empiricismo por otra. El constructivismo se centra sobre el desarrollo cognitivo o conceptual, interno de la mente o de la disciplina como un todo. Otras epistemologías orientan su atención a aspectos del crecimiento del conocimiento más externos, y sociales. Algunas de estas epistemologías proponen una visión de las matemáticas que subrayan su semejanza con las ciencias naturales. Kitcher (1988) llama a su epistemología 'naturalista'. Lakatos habla de filosofía de las matemáticas 'cuasi-empiricista' Un conjunto de argumentos interesantes sobre los aspectos experimentales de las matemáticas se pueden encontrar en Dreyfus (1993).

El naturalismo de Kitcher tiene como uno de sus fines escaparse de las fiolosofías fundacionalistas (Kitcher, 1988, 294). El naturalismo no encuentra ninguna necesidad de regresar a los axiomas en la búsqueda de los orígenes del conocimiento matemático. De hecho, desde el punto de vista naturalista, los axiomas de una teoría no son sus comienzos. Mas bien son el resultado de una sistematización de un 'cuerpo previo de afirmaciones' sobre los objetos de la teoría 'que han sido empleados tácita o explícitamente en el razonamiento'. El trabajo de axiomatización muestra que esas afirmaciones 'pueden ser derivadas de [ciertos] principios ... seleccionados como básicos'. Kitcher afirmó que cuando Cauchy basó el análisis matemático sobre el concepto de límite, no fue porque de repente fue iluminado por algún de tipo de intuición platónica o porque esta noción actuó sobre su intuición como una construcción necesaria: mas bien fue porque la encontró especialmente útil en su compromiso de estructurar el vasto dominio de conocimiento llamado Cálculo.

Kitcher (1988) enfatizó que el modo en que se justifican los axiomas 'es exactamente análogo' al modo en que un científico explicaría la introducción de una 'nueva colección de principios teóricos sobre las bases de que ellos pueden explicar los resultados logrados por los trabajadores previos del campo' (p. 295).

Encontramos aquí una semejanza con la idea de Lakatos de las matemáticas como 'ciencia cuasi-empírica' (Lakatos, 1978). El naturalismo aporta una dimensión histórica a las cuestiones de la génesis y justificación del conocimiento y la hace inseparable de la cuestión del crecimiento del conocimiento. El conocimiento matemático es un producto histórico. Kitcher (1988) adoptó la siguiente línea de argumentación en su presentación naturalista del conocimiento matemático. Los orígenes del conocimiento matemático están la 'práctica primitiva, empíricamente basada', y 'las experiencias perceptibles en situaciones en que [las personas] manipulan sus entornos (por ejemplo, desplazando pequeños grupos de objetos)'. Lo que cuenta como una justificación difiere de una 'practica matemática' a otra. Esta noción de práctica matemática relativiza el problema del crecimiento del conocimiento matemático tanto histórica como culturalmente. De acuerdo con Kitcher, una práctica matemática comprende, aparte del ‘nivel técnico’ (tomamos prestado el término de E.T. Hall –ver Sierpinska, 1944) del lenguaje y enunciados aceptados, ‘un conjunto de cuestiones que [los prácticos] consideran como importantes y no resueltos, un conjunto de razonamientos que usan para justificar los enunciados que aceptan’, y una ‘meta-matemática’ (cf., Sfard, 1994), es decir, ‘un conjunto de perspectivas matemáticas que incorporan sus ideas sobre cómo se deberían hacer las matemáticas, la ordenación de las disciplinas matemáticas, etc.’ (Kitcher, 1988, p. 299). Kitcher continúa:

El conocimiento matemático contemporáneo es el resultado de la [práctica primitiva, empíricamente fundada] … mediante una cadena de transiciones interprácticas, todas las cuales son racionales … Cada generación transmite a sus sucesores su propia práctica. En cada generación, la práctica se modifica por los trabajadores creativos del campo. Si el resultado es conocimiento, entonces la nueva práctica emergió de la antigua mediante una transición interpráctica racional. (p. 299)

La epistemología ‘naturalista’ de las matemáticas, según la propone Kitcher, tiene algunas características importantes –en particular su carácter social e histócio y la importancia que le atribuye a la práctica –en concordancia con la presentación general de Vygotsky de los fundamentos del conocimiento [científico].

1..2. Wittgenstein y Lakatos, y otras visiones sociológicas sobre las matemáticasLudwig Wittgenstein, cuyo primer trabajo Tractatus Logico-Philosophicus (1974) había intentado proporcionar un fundamento para el conocimiento en la correspondencia entre el lenguaje y la realidad, y le había convertido en un héroe del Circulo de Viena, produjo más tarde una posición filosófica directamente crítica de la mayor parte del Tractatus. En este último trabajo, Wittgenstein negó que los enunciados matemáticos se refirieran a objetos en absoluto. Al hacer matemáticas, argumentó, se transforman expresiones de una forma a otra y la corrección o no está determinada por cómo las personas usan estas expresiones y lo que se considera 'correcto'. El proceso de generación de enunciados matemáticos, mas bien que ser una operación mecánica (logicismo y formalismo), o una correspondencia con la intuición (intuicionismo), se refiere a la actividad social de 'obedecer una regla' (Wittgenstein, 1953, p. 202). La matemática es normativa, nos dice lo que debemos hacer, y su objetividad está en los procesos de seguimiento de reglas, públicamente mostradas, que los grupos sociales llaman matemáticas.

Es probable que Lakatos había leído y estuvo influenciado por el trabajo de Wittgenstein. Lakatos elaboró su aproximación al desarrollo del conocimiento matemático en sus Pruebas y Refutaciones. En otros escritos sobre la naturaleza de las matemáticas Lakatos (1978) propuso que las posiciones clásicas llamadas Logicismo, Intuicionismo y Formalismo eran programas Euclideos, centrados en desarrollar las matemáticas como sistemas que aseguran la transmisión de la verdad desde axiomas indudables, por medio de ciertos procedimientos deductivos, hasta enunciados igualmente seguros. Argumentó que, por el contrario, la matemática procede de un modo similar a la ciencia, un cuasi-empiricismo, en la que la falsedad de los contraejemplos a las conjeturas se retransmite a los axiomas y definiciones. Si algo que se considera como un enunciado básico resulta ser falso en virtud de los axiomas y definiciones admitidas, en lugar de rechazar el enunciado, los axiomas y las definiciones se cambian para que se ajusten a dicho enunciado.

Aunque la 'clase' en las Pruebas y Refutaciones de Lakatos (1976) quizás no pretendía sugerir que las matemáticas proceden mediante negociación, o que la heurística sea la esencia de las matemáticas, en lugar de los resultados, ha sido considerada de ese modo por los educadores matemáticos.

Como hemos mencionado anteriormente, la mayoría de los matemáticos no apoyan una visión Lakatosiana ni Wittgensteiniana de la actividad matemática. Hersh (1979) ha explicado esto en términos de la 'seguridad' de los matemáticos profesionales, quienes creen en la existencia de los objetos matemáticos cuando trabajan con ellos, pero caen en el formalismo los fines de semanas, cuando se les pide que justifiquen su creencia.

Otra interpretación podría ser que la historia de los logros de las matemáticas en la ciencia, la tecnología y dentro de las propias matemáticas son tales que la noción del falibilismo potencial de sus resultados parece pedante (ver no obstante Grabiner, 1986; Gillies, 1992). Otra razón podría ser que la idea de las matemáticas como seguras, como comprometidas con los paradigmas de los significantes de ‘verdad’ y ‘demostración’, soporta una posición priviligiada de las matemáticas y sus académicos. No es claramente de interés para los matemáticos, o científicos, socabar sus posiciones y consideración profesional poniendo en tela de juicio la seguridad, la demostración o la verdad en matemáticas. Tales estudios y críticas son para algunos fines de semana, o son calificados como sociologías externas, esto es sociologías de las matemáticas o de falsas direcciones en el desarrollo del conocimiento matemático. La ‘verdad’ de las matemáticas no necesita ninguna sociología.

Con frecuencia los que escriben sobre tales cosas como la ‘sociología de las matemáticas’ son descartados por los matemáticos profesionales como científicos y matemáticos, y los demás, que habiendo terminado su vida productiva dentro de la ciencia o de las matemáticas, o nunca han sido realmente matemáticos en absoluto: todo lo que pueden hacer tales personas, se supone que es escribir sobre la ciencia o las matemáticas. Ya no son

capaces, o nunca lo fueron, de hacer matemáticas. El mismo tipo de argumentos se puede hacer naturalmente de la posición Lakatosiana y los intereses a que sirve.

La dicotomía entre programas Euclideos y programas cuasi-empicistas o sociológicos tiene fuerte vínculos con las visiones de los profesores de matemáticas sobre su empresa y hay un considerable cuerpo de investigación que examina estos vínculos. (Dawson, 1969; Rogers, 1978; Nickson, 1981; Thompson, 1982; Lerman, 1983; Cooney, 1985; Ernest, 1985; Moreira, 1992; Monteiro, 1993; Seeger, 1994). Brevemente, la matemática se identifica bien como un cuerpo particular de conocimiento, un subconjunto del cual se considera apropiado para todos los escolares y un subconjunto algo más grande para los que pueden entra en la educación superior en temas matemáticos, o bien se identifica mediante tipos particulares de actividades que se llaman de matematización, incluyendo modelización, reconocimiento de patrones, generalización, demostración, etc. Esta última visión no pretende ignorar el cuerpo de conocimientos matemáticos como experiencia que se ha desarrollado mediante la matematización. En la práctica, los currículos nacionales, que en gran medida o exclusivamente especifican el contenido, obvian cualquier elección, y esto se confunde después con el problema de la enseñanza de estrategias o principios que planteamos a continuación.

El movimiento hacia la heurística, los procesos de hacer matemáticas como la característica esencial del tema, en lugar del su contenido, ha llevado y apoyado el trabajo investigativo y de resolución de problemas como un foco principal de las matemáticas escolares desde la década de los 1970. El interés creciente en Popper, Lakatos, Kuhn y otros fue paralelo al crecimiento del trabajo investigativo y de resolución de problemas en las escuelas por los profesores en grupos tales como la Asociación de Profesores de Matemáticas del Reino Unido. Como una aproximación a la enseñanza de las matemáticas se le dio un ímpetus por Polya (1945) y después por muchos otros escritores, en particular Mason, Burton y Stacey (1984) y Schoenfeld (1985). Esto es ahora una visión del conocimiento matemático debida a escritores y partidarios tales como Hersh (1979), Agassi (1982), Lerman (1983, 1986), Davis y Hersh (1980), y Ernest (1991) . Se trata abiertamente de un intento de aunar los contextos de descubrimiento y de justificación. Por ejemplo, Davis y Hersch (1980) escribió:- Hecho 1: La matemática es nuestra creación; trata de ideas en nuestras mentes.- Hecho 2: La matemática es una realidad objetiva, en el sentido de que los objetos matemáticos tienen propiedades definidas, que podemos ser o no capaces de descubrir (pp. 408-409) (839)

Y Ernest (1991) escribió: El constructivismo social vincula el conocimiento subjetivo y el objetivo en un ciclo en el que cada uno contribuye a la renovación del otro ... del conocimiento subjetivo (la creación personal del individuo), vía publicación al conocimiento objetivo (mediante el escrutinio intersubjetivo, la reformulación y la aceptación). (p.43)

Presentaciones sociológicas fuertes del conocimiento matemático y su desarrollo han sido dadas por Bloor (1976, 1983) y Restivo (1985, 1992). Quizás en la descripción sociológica del conocimiento matemático y su justificación más desarrollada, Restivo (1992) afronta cuestiones tales como: Cómo podemos explicar las diferentes clases de matemáticas desarrolladas en diferentes sociedades; la abstracción matemática; la norazonable aplicabilidad de los resultados matemáticos; la hegemonía de las matemáticas occidentales; el compromiso único de las matemáticas occidentales con la verdad y la prueba, etc. Por ejemplo, en relación a la abstracción, el argumento de Restivo (1992) es el siguiente:

Los objetos con los cuales tratan los matemáticos son las actividades de los matemáticos. Al construir sobre las operaciones que ya existen, y convertirlas en entidades simbólicas sobre las que otras operaciones se pueden realizar, los matemáticos son auto-conscientes de construir sobre las actividades previas realizadas en su comunidad intelectual. (p. 84).

Restivo (1992) llamó la atención hacia una historia de las competiciones y rivalidades matemáticas que puso dichas actividades en contexto y ofreció por tanto un fundamento completamente sociológico para la generalización en matemáticas. Describió tipos de desarrollos matemáticos apoyados en estudios históricos de diferentes paises o regiones –los factores que llevaron a esos tipos se presentan como dependiente ampliamente

de la naturaleza de la comunidad matemática en términos de su cohesión, tamaño, fuentes de apoyo, duración, relación con la religión, etc. De este modo las matemáticas de China se describen como una matemática de supervivencia; la de la India, como episódica; y la de Japón como sobre la revolución comercial.

Restivo (1992) era consciente de las limitaciones de las traducciones disponibles y de los documentos existentes, pero su objetivo era ofrecer posibles análisis sociológicos de diferentes tipos de desarrollos matemáticos, contrariamente a una explicación por medio de la lógica metafísica interna de la propia matemática. Por eso señaló que son igualmente posibles otras descripciones de aquellos períodos históricos.

En la parte final de su libro desarrolló la posibilidad de una sociología fuerte de las matemáticas, apoyándose en la noción de que la mente es en sí misma una estructura social, dado que ‘los yos, las mentes y las ideas no son meramente productos sociales; no son meramente socialmente construidos; son constructos sociales’ I.132).

La posición de Restivo (1992) comienza con un fundamento para la conjetura de que las representaciones matemáticas son constructos sociales. A continuación argumenta que a las llamadas ‘ideas puras’ se les puede dar unos fundamentos sociales y materiales –ciertamente que no tiene sentido afirmar que los estados y productos mentales puedan ser no-sociales o a-sociales – y termina con una discusión de las relaciones sociales de las matemáticas puras.

Una visión sociológica está particularmente interesada con la justificación del conocimiento socialmente valorado, siendo este el proceso por el que las comunidades se validan a sí mismas y establecen y retienen el poder. Esto se aplica también a una comunidad académica y a las subcomunidades dentro de ella. Hemos referido anteriormente al compromiso que tienen los matemáticos con el estatuto social de las matemáticas en la sociedad, y también ocurre igual para los educadores matemáticos y la consideración dada a las matemáticas en los currícula escolares en todo el mundo. De manera similar, dentro de la comunidad de la educación matemática se pueden identificar subgrupos con compromisos de diferentes tipos en perspectivas de investigación, estilos de enseñanza, etc.

DOCUMENTO 3SIERPINSKA, A. y LERMAN, S. (1996).

Epistemologies of mathematics and of mathematics education. En: A. J. Bishop et al. (eds.), International Handbook of Mathematics Education (pp. 827-876).

Dordrecht, HL: Kluwer, A. P. [Traducción de Juan D.Godino]

1.2.3. Las aproximaciones genética e histórico-crítica a la epistemología en los trabajos de PiagetLa restricción de la epistemología al contexto de justificación y a las reconstrucciones racionales de los procesos de investigación científica ha sido contestada por algunos filósofos, quienes han postulado la necesidad de realizar serios análisis filosóficos de los procesos de descubrimiento y los métodos de control y validación usados efectivamente por los científicos reales. (Kuhn, 1962; Feyerabend, 1978) Mientras que Kuhn y Feyerabend se apoyaron en sus análisis en datos históricos y consideraciones sociológicas, Piaget fue el primero en coordinar la 'lógica del descubrimiento científico' con los datos psicológicos de una manera sistemática y metodológicamente clara. Para Piaget, los objetos de la epistemología son los mecanismos implicados en los procesos de la constitución del conocimiento en el marco de disciplinas científicas particulares (no los orígenes de la validez de las creencias o los métodos de justificación de las afirmaciones científicas). En la identificación y estudio de estos mecanismos se pueden usar dos métodos complementarios: uno de ellos mirándolos desde una perspectiva sincrónica, el otro desde una perspectiva diacrónica. En las perspectiva sincrónica, se usa un análisis lógico-matemático para definir la 'significación epistemológica' de una herramienta conceptual dada: cómo 'funciona de hecho dentro de un sistema sincrónico de interacciones cognitivas' (Piaget y García, 1989, p. 1). En la perspectiva diacrónica, se construye una génesis histórica y psicogenética de un área de pensamiento científico. Ambas perspectivas son necesarias para avanzar y explicar la 'significación epistemológica' de un ítem de conocimiento, ya que, según Piaget, el conocimiento no es independiente del proceso de su formación, y, por tanto, 'las construcciones más avanzadas conservan vínculos parciales con sus formas más primitivas' (Piaget y Garcia, 1989, p. 3).

Piaget enfatizó las características comunes de la psicogénesis e historia de la ciencia. Para él, ambos desarrollos eran 'secuenciales', en el sentido de que no eran aleatorios y se pueden distinguir estadios en el avance del desarrollo. Cada siguiente estadio es al mismo tiempo 'un resultado de las posibilidades abiertas por el previo y una condición necesaria para el siguiente. Además, cada estadio comienza con una reorganización, a otro nivel, de las principales adquisiciones que ocurrieron en los estadios precedentes' (Piaget y Garcia, 1989), p. 2). Esta secuencialidad justifica, según Piaget, la afirmación de que las construcciones más primitivas están 'integradas' en las más avanzadas. Sin embargo, esta integración se refiere no tanto al contenido del conocimiento, ni a su estructura, como a los instrumentos y mecanismos de su constitución. 'Los factores verdaderamente universales en cualquier tipo de desarrollo cognitivo ... son funcionales en clase más que estructurales' (Piaget y Garcia, 1989, p. 25).

Se debe observar, sin embargo, que lo que permitió a Piaget afirmar este 'paralelismo' específico del desarrollo psicológico y la historia de la ciencia, es una aproximación al estudio de esos procesos que, aunque sin caer en evidente 'logicismo', está libre de referencias y consideraciones 'de hecho' ('factual'). Habló de la psicogénesis y la génesis histórica del conocimiento y no de procesos de hecho. Planteó la cuestión de la constitución del conocimiento en términos de normas cognitivas en diferentes estadios o niveles de desarrollo.

Ignoró los aspectos de hecho del desarrollo individual tales como la conducta sobre un nivel psicofisiológico (mecanismos materiales de acción, estados de conciencia, memoria, imágenes mentales, etc. ) Dejó de lado hechos históricos tales como quién probó qué en un momento dado.

La historia de un concepto da alguna indicación sobre su significación epistémica sólo en la medida en que la cuestión de esta relación se plantee en términos de ‘tendencias’ –esto es, en términos de la evolución de normas a una escala que hace posible discriminar estadios mas bien que en términos factuales de cómo un autor influye en otro; o, particularmente, en términos de la controversia de si un problema de algún modo no interesante sobre

el papel de los precursores en la creación de un nuevo sistema ... Este es un problema psicológico mucho más que epistemológico. (Piaget y García, 1989, p. 5)

De este modo, Piaget no estaba simplemente introduciendo la psicología y la historia de la ciencia en la epistemología. Permitiéndose a sí mismo utilizar resultados de experimentos para resolver ciertas cuestiones de epistemología (por ejemplo, si la noción de sólido es un dato empírico) o para justificar ciertas elecciones en la construcción de su teoría, se comprometió en justificar los enunciados de su teoría sobre la base de supuestos y otros enunciados admitidos. Lo que le permitió decir que había evitado el logicismo en su teoría fue el hecho de que estudió ‘las normas cognitivas del sujeto y no las del lógico’ (Piaget y Garcia, 1989, p. 5).

PERSPECTIVA DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS COMO DISCIPLINA CIENTÍFICA1Juan D. Godino

Enfoque psicológico de la educación matemáticaLa psicología de la educación es la rama de la psicología y de la pedagogía que estudia científicamente los procesos de enseñanza y aprendizaje, así como de los problemas que en el contexto de los mismos puedan presentarse. Como afirma Gimeno Sacristán (1986,), son numerosas las posturas que consideran que la enseñanza es una técnica directamente derivada de una teoría psicológica del aprendizaje que le sirve de fundamento. "Esta situación de dependencia es claramente perjudicial para perfilar un campo teórico propio tanto para la Didáctica General como para las Didácticas Especiales, ya que las sitúa en un estado de colonización esterilizante en cuanto a la propia creación teórica". (Sacristán, 1986, p. 18)

La psicología de la educación "amenaza", pues, con acaparar el estudio de la conducta humana en las situaciones de enseñanza, reduciendo al máximo el ámbito de la Didáctica. Dentro de ella, una rama es la psicología de la instrucción, definida por Genovard y Gotzens (1990, p. 33) como la "disciplina científica y aplicada desarrollada a partir de la psicología de la educación, que estudia las variables psicológicas y su interacción con los componentes de los procesos de enseñanza - aprendizaje que imparten unos sujetos específicos que pretenden enseñar unos contenidos o destrezas concretas a otros individuos igualmente específicos y en un contexto determinado".

Estos autores analizan y clasifican diferentes teorías y modelos instruccionales desde una perspectiva interaccionista en tres tipos: interacción cognitiva, social y contextual. La interacción cognitiva, en la que sitúan las teorías de Piaget, Bruner y Ausubel, designa las teorías instruccionales que subrayan el hecho de que la instrucción es básicamente un intercambio de información, en su acepción más amplia, que se produce entre profesores y alumnos y que debe ejercerse en condiciones lo más óptimas posibles para que el objetivo principal, que el alumno consiga una asimilación de la información correcta, se realice. También se incluyen dentro del significado de este término las propuestas que destacan la interacción entre los contenidos instruccionales y los procesos y habilidades cognitivas del alumno y cuyo fin coincide igualmente con el que se acaba de citar. La perspectiva de interacción social, que da prioridad al papel de los sujetos que intervienen en la instrucción como facilitadores de los aprendizajes que deben desarrollarse tiene como representantes a Vygotsky y Bandura. Por último, Skinner, Gagné y Cronbach, entre otros, han propugnado teorías que pueden encuadrarse en la interacción contextual por la cual la instrucción es ante todo el producto de la interacción entre los sujetos y algunas de las variables del contexto.

El Grupo PME (Psychology of Mathematics Education)En la comunidad internacional de investigadores en Educación Matemática, se aprecia también una fuerte presión de la perspectiva psicológica en el estudio de los procesos de enseñanza-aprendizaje matemático. Consideramos que este predominio del enfoque psicológico de la investigación no tiene en cuenta el necesario equilibrio y principio de complementariedad entre las cuatro disciplinas fundacionales de la Educación Matemática descritas por Higgison (1980). El citado predominio se manifiesta viendo la vitalidad del Grupo

Internacional PME (Psychology of Mathematics Education), constituido en el Segundo Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) y que ha celebrado en 1991 su 15 Reunión Anual.

Los objetivos principales de este colectivo abierto de investigadores, tal como aparecen en sus estatutos, son:- Promover contactos internacionales e intercambio de información científica sobre la Psicología de la

Educación Matemática.- Promover y estimular investigación interdisciplinar en este área con la cooperación de psicólogos,

matemáticos y profesores de matemáticas.- Fomentar una comprensión más profunda y correcta de los aspectos psicológicos de la enseñanza y

aprendizaje de la matemática y sus implicaciones.- Al preguntarse sobre cuáles son las cuestiones esenciales para la Educación Matemática para las cuales una

aproximación psicológica puede ser apropiada, Vergnaud (1988) cita las siguientes:- el análisis de la conducta de los estudiantes, de sus representaciones y de los fenómenos inconscientes que

tienen lugar en sus mentes;- las conductas, representaciones y fenómenos insconcientes de los profesores, padres y demás participantes.

De un modo más especial, analiza cuatro tipos de fenómenos cuyo estudio desde una aproximación psicológica puede ser fructífero:

1) La organización jerárquica de las competencias y concepciones de los estudiantes.2) La evolución a corto plazo de las concepciones y competencias en el aula.3) Las interacciones sociales y los fenómenos inconscientes.4) La identificación de teoremas en acto, esquemas y símbolos.

Sin embargo, el análisis de las actas de las reuniones anuales del PME revela que los informes de investigación aceptados incluyen tanto investigaciones empíricas como teóricas y que cubren ámbitos no estrictamente psicológicos. No es posible detallar, por su amplitud, los temas tratados en las distintas Conferencias, pero si puede ser de interés citar el esquema de clasificación de los informes de investigación (research report) ya que indica, a grandes rasgos, las cuestiones sobre los que se está trabajando en la actualidad. Dicho esquema se indica en el cuadro 1.

Cuadro1: Clasificación de temas, niveles y tipos de investigación en las Conferencias PME

Como afirma Balachef (1990a), más allá de la problemática psicológica inicial del grupo PME, el debate sobre la investigación ha puesto de manifiesto la necesidad de tener en cuenta nuevos aspectos, entre los que destaca:

1) La especificidad del conocimiento matemático. La investigación sobre el aprendizaje del álgebra, geometría, o el cálculo no se puede desarrollar sin un análisis epistemológico profundo de los conceptos considerados como nociones matemáticas. También se reconoce que el significado de los conceptos matemáticos se apoya no sólo sobre su definición formal sino, de un modo fundamental, sobre los procesos implicados en su funcionamiento. Por esta razón se pone el énfasis en el estudio de los procesos cognitivos de los estudiantes en lugar de en sus destrezas o producciones actuales.

2) La dimensión social. Tanto el estatuto social del conocimiento que se debe aprender como el papel crucial de las interacciones sociales en el proceso de enseñanza requieren una consideración importante de la dimensión social en la investigación. Uno de los principales pasos en el desarrollo de la investigación en la Psicología de la Educación Matemática es el movimiento desde los estudios centrados en el niño hacia los estudios centrados en el estudiante como aprendiz en la clase. El estudiante es un niño implicado en un proceso de aprendizaje dentro de un entorno específico en el que las interacciones sociales con otros estudiantes y el profesor juega un papel crucial. Con esta evolución de la problemática, se debe desarrollar más investigaciones que utilicen observaciones sistemáticas de la clase o que precisen de la organización de procesos didácticos específicos. Tal investigación requiere nuevos útiles teóricos y metodológicos para producir resultados que sean robustos tanto teóricamente como también con respecto a su significado para propósitos prácticos.

Posiblemente esta apertura del campo de interés del PME lleve a Fischbein (1990) a afirmar que la Psicología de la Educación Matemática tiende a convertirse en el paradigma de la Educación Matemática en general (como cuerpo de conocimiento científico). Además, atribuye a esta línea de trabajo una entidad específica dentro de las áreas de conocimiento al considerar que la adopción de cuestiones, conceptos, teorías y metodologías del campo de la psicología general no ha dado los frutos esperados. La explicación que sugiere es que la psicología no es una disciplina deductiva, y por tanto, la mera aplicación de principios generales a un dominio particular no conduce usualmente a descubrimientos significativos. Incluso aquellos dominios de la psicología fuertemente relacionados con la Educación Matemática - como los estudios sobre la resolución de problemas, la memoria, estrategias de razonamiento, creatividad, representación, e imaginación - no pueden producir directamente sugerencias útiles y prácticas para la Educación Matemática y no pueden representar por sí mismas la fuente principal de problemas en este campo. Incluso la teoría de los estadios de Piaget y sus descubrimientos sobre el desarrollo de los conceptos matemáticos (número, espacio, azar, función, etc.) no pueden ser directamente trasladados en términos de currículo.

Esta observación no significa que la Educación Matemática debiera vivir y desarrollarse en una concha cerrada, opaca a las influencias externas. Las coordenadas psicológicas y sociológicas son prerrequisitos necesarios para definir problemas, trazar proyectos de investigación e interpretar los datos. No obstante, estos prerrequisitos son en sí mismos totalmente insuficientes.

La Educación Matemática, continúa explicando Fischbein, plantea sus propios problemas psicológicos, que un psicólogo profesional nunca encuentra en su propia área. Normalmente un psicólogo no se interesa por los tipos específicos de problemas de representación que aparecen en matemáticas - desde la representación gráfica de funciones y distintas clases de morfismos, a la dinámica del simbolismo matemático. Es extraño que un psicólogo cognitivo se interese y trate los problemas planteados por la comprensión del infinito matemático con todas sus distintas facetas y dificultades. Con el fin de poder afrontar estos problemas, se necesita un sistema particular de conceptos además de los generales inspirados por la psicología. Pero incluso los conceptos psicológicos usuales adquieren nuevo significado a la luz de las matemáticas y de la Educación Matemática.

DOCUMENTO 4PERSPECTIVA DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS COMO DISCIPLINA CIENTÍFICA1

Juan D. Godino

3.1. Teoría y filosofía de la educación matemática3.1.1. El programa de investigación del grupo TMEEn lo que respecta a la existencia de un grupo de investigación con intereses comunes en el desarrollo teórico, podemos decir que la intención del profesor Steiner en el V Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), celebrado en 1984, fue precisamente convocar a los científicos interesados en la gestación de una Teoría de la Educación Matemática. En dicho Congreso se incluyó un Area Temática con el nombre "Teoría de la Educación Matemática" a la que se dedicaron cuatro sesiones. Finalizado el Congreso se celebraron nuevas reuniones en las que quedó constituido un Grupo de Trabajo que se denominó TME (Theory of Mathematics Education) y en las que se continuaron las discusiones iniciadas en el ICME.

Las sucesivas conferencias de TME que se han celebrado han mostrado que existe una comunidad, al menos en estado incipiente, interesada por construir las bases teóricas de la Didáctica de la Matemática como ciencia, que está constituida por personas con formación e intereses en campos bastante diversificados: investigadores en Educación Matemática, matemáticos, profesores, psicólogos educativos, sociólogos educativos, formadores profesores, etc.

En la configuración de esta comunidad científica existen intereses profesionales que han propiciado una orientación académica a esta actividad. Así, en Alemania, entre 1960 y 1975, se crearon mas de 100 cátedras en las escuelas de formación de profesores, asignadas a departamentos de matemáticas; al ser integradas las citadas escuelas en la universidad, la Didáctica de la Matemática se vio en cierta medida equiparada a las restantes disciplinas. En España este fenómeno ha tenido lugar especialmente a partir de 1985 con el reconocimiento de la Didáctica de la Matemática como área de conocimiento y la consiguiente posibilidad de constituir departamentos universitarios los profesores adscritos a dicha área.

Esta situación puede forzar a la Educación Matemática hacia un dominio de especulación científica relativamente desconectado de la realidad social. Steiner (1985), al analizar el papel que la Educación Matemática debería tener dentro de la universidad, propone que esta disciplina adopte una función de vínculo entre la matemática y la sociedad. "Esto es posible y necesario especialmente por medio de su contribución a la elaboración y actualización de muchas dimensiones olvidadas de las matemáticas: las dimensiones filosófica, histórica, humana, social y, comprendiendo a todas estas, la dimensión didáctica" (pag. 12).

Podemos hacer una primera aproximación al núcleo conceptual de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica analizando las cuestiones planteadas en el seno del Grupo TME que, dado su carácter abierto, ha reunido, en las sucesivas conferencias, a la mayoría de los investigadores en Educación Matemática interesados por el fundamento teórico de su actividad.

De acuerdo con el programa de desarrollo trazado en la Primera Conferencia (Steiner y cols, 1984), la "Teoría de la Educación Matemática" se ocupa de la situación actual y de las perspectivas para el desarrollo futuro de la Educación Matemática como un campo académico y como un dominio de interacción entre la investigación, el desarrollo y la práctica. En este programa se distinguen tres componentes interrelacionadas:(A) La identificación y formulación de los problemas básicos en la orientación, fundamento, metodología y organización de la Educación Matemática como una disciplina, tales como:(1) La existencia de distintas definiciones, incluso discrepantes, de la Educación Matemática como disciplina.(2) El uso de modelos, paradigmas, teorías, y métodos en la investigación y de herramientas apropiadas para el análisis de sus resultados.(3) El papel que deben jugar los "macro-modelos", esto es marcos de referencia generales que relacionan significativamente los múltiples aspectos de la Educación Matemática y los micro-modelos, que proporcionan información detallada sobre áreas restringidas del aprendizaje matemático.(4) El debate entre "teorías específicas" frente a interdisciplinariedad y transdisciplinariedad.

(5) Las relaciones entre la Educación Matemática y sus campos referenciales como matemáticas, pedagogía, psicología, sociología, epistemología, etc.(6) Las relaciones entre teoría, desarrollo y práctica: las tareas integradoras y sintéticas de la Educación Matemática frente a las tendencias recientes hacia una ciencia normal y la creciente especialización.(7) Los aspectos axiológicos éticos, sociales y políticos de la Educación Matemática.

(B) El desarrollo de una aproximación comprensiva a la Educación Matemática, que debe ser vista en su totalidad como un sistema interactivo, comprendiendo investigación, desarrollo y práctica. Esto lleva a destacar la importancia de la teoría de sistemas, especialmente de las teorías de los sistemas sociales, basadas en conceptos como interacción social, actividad cooperativa humana, diferenciación, subsistemas, autoreproducción y sistemas auto-organizados, auto-referencia y reflexión en sistemas sociales, etc.Asimismo, interesa la identificación y el estudio de las múltiples interdependencias y mutuos condicionantes en la Educación Matemática, incluyendo el análisis de las complementariedades fundamentales.

(C) La organización de la investigación sobre la propia Educación Matemática como disciplina que, por una parte, proporcione información y datos sobre la situación, los problemas y las necesidades de la misma, teniendo en cuenta las diferencias nacionales y regionales y, por otra, contribuya al desarrollo de un meta-conocimiento y una actitud auto-reflexiva como base para el establecimiento y realización de los programas de desarrollo del TME.

La Segunda Conferencia del Grupo TME, celebrada en 1985 en el Institut für Didaktik der Mathematik (IDM) de la Universidad de Bielefeld (Steiner y Vermandel, 1988), se centró sobre el tema genérico "Fundamento y metodología de la disciplina Educación Matemática (Didáctica de la Matemática)" y, por tanto, la mayoría de las contribuciones resaltaron el papel de la teoría y la teorización en dominios particulares. Entre estos temas figuran:- teorías sobre la enseñanza;- teoría de las situaciones didácticas;- teoría interaccionista del aprendizaje y la enseñanza;- el papel de las metáforas en teoría del desarrollo;- el papel de las teorías empíricas en la enseñanza de la matemática;- la importancia de las teorías fundamentales matemáticas;- conceptos teóricos para la enseñanza de la matemática aplicada;- la teoría de la representación como base para comprender el aprendizaje matemático;- estudios históricos sobre el desarrollo teórico de la educación matemática como una disciplina.

Los grupos de trabajo se dedicaron a diferentes dominios de investigación con el fin de analizar el uso de modelos, métodos, teorías, paradigmas, etc.

El tema de trabajo de la Tercera Conferencia, celebrada en 1988 en Amberes (Bélgica) (Vermandel y Steiner, 1988) trató sobre el papel y las implicaciones de la investigación en Educación Matemática en y para la formación de los profesores, dado el desfase considerable existente entre la enseñanza y el aprendizaje. Concretamente las cuestiones seleccionadas fueron:- El desfase entre enseñanza - aprendizaje en el proceso real en las clases de matemáticas como un fenómeno tradicional y como un problema presente crucial.- El desfase ente investigación sobre la enseñanza e investigación sobre el aprendizaje.- Modelos para el diseño de la enseñanza a la luz de la investigación sobre el aprendizaje.- La necesidad de la teoría y la investigación en trabajos y proyectos de desarrollo y su posición en el contexto de investigación sobre enseñanza - aprendizaje.- El papel del contenido, la orientación del área temática y las distintas perspectivas de las matemáticas en el estudio y solución del desfase investigación - aprendizaje y el desarrollo de modelos integradores.- El desfase enseñanza - aprendizaje a la luz de los estudios sobre procesos e interacción social en la clase.- Implicaciones del tema de la conferencia sobre la formación de profesores.- El ordenador como una tercera componente en la interacción enseñanza- aprendizaje.

Los temas tratados en la cuarta Conferencia celebrada en Oaxtepec (México) en 1990 fueron los siguientes:I. Relaciones entre las orientaciones teóricas y los métodos de investigación empírica en Educación Matemática.II. El papel de los aspectos y acercamientos holísticos y sistémicos en Educación Matemática.Asimismo, se inició en esta reunión la presentación de distintos programas de formación de investigadores en Educación Matemática en el seno de distintas universidades, tanto a nivel de doctorado como de "master". Bajo la iniciativa de los profesores Godino y Batanero de la Universidad de Granada, asistentes a esta reunión del Grupo TME, se acordó recabar información sobre este tema, por medio de un cuestionario, a una amplia muestra de universidades de todo el mundo, como una primera fase en la constitución de una red de personas interesadas en el intercambio de información y discusión sobre el tema.

En la quinta Conferencia, celebrada en 1991 en Paderno del Grappa (Italia), se presentó un informe preliminar de resultados de la citada encuesta sobre formación de investigadores (Steiner y cols, 1991) 1 y distintos trabajos sobre los temas siguientes:I. El papel de las metáforas y metonimias en Matemáticas, Educación Matemática y en la clase de matemáticas.II. Interacción social y desarrollo del conocimiento. Perspectiva de Vygotsky sobre la enseñanza y el aprendizaje matemático en la zona de construcción.

Como se ha expuesto, los fenómenos estudiados en las conferencias del TME incluyen un rango muy diverso: matemáticas, diseño de currículum, estudio de los modos de construcción por los alumnos del significado de las nociones matemáticas, las interacciones profesor - alumno, la preparación de los profesores, métodos alternativos de investigación, etc. La razón de esta diversidad se debe a que el término "Educación Matemática" no está aún claramente definido. No parece existir un consenso acerca de las cuestiones centrales para la Educación Matemática que agrupe todos los intereses aparentemente diversos del campo.

Si bien los temas tratados en las Conferencias TME son de interés para distintos aspectos de la Educación Matemática, no resulta fácil apreciar en ellos un avance en la configuración de una disciplina académica, esto es, una teoría de carácter fundamental que establezca los cimientos de una nueva ciencia por medio de la formulación de unos conceptos básicos y unos postulados elementales. Se encuentran muchos resultados parciales, apoyados en supuestos teóricos externos (tomados de otras disciplinas) que tratan de orientar la acción en el aula, aunque con un progreso escaso.

3.1.2. Grupo Internacional de Filosofía de la Educación MatemáticaLos intereses teóricos del Grupo TME (promovido por H. G. Steiner en 1984) fueron en cierta medida asumidos, desde 1990, por otro grupo que adoptó como foco principal de atención la Filosofía de la Educación Matemática. En Julio de 1990, Paul Ernest organizó este grupo internacional y comenzó la publicación de una Newsletter con el título de Philosophy of Mathematics Education Newsletters. A partir de 1996 se transformó en una revista electrónica con el título, Philosophy of Mathematics Education Journal (POME). Todos los trabajos publicados, tanto de la Newsletter como de la revista POME, están disponibles en la página web de Paul Ernest: http://www.ex.ac.uk/%7EPErnest/Los fines de esta red son:- Explorar los desarrollos actuales en la filosofía de las matemáticas tales como el falibilismo de Lakatos, y

otras perspectivas humanísticas de las matemáticas.- Explorar las perspectivas filosóficas de la educación matemática, y hacer que la reflexión filosófica alcance

una consideración similar que las restantes disciplinas de la educación matemática.- Constituir una red internacional abierta de personas interesadas en esta área temática, interpretada de manera

amplia, y proporcionar oportunidades para el intercambio y el avance de las ideas y perspectivas.

1 Publicado posteriormente como artículo: Batanero, C., Godino J. D., Steiner, H. G. y Wenzelburger, E. (1994). The training of researchers in Mathematics Education. Results from an International study. Educational Studies in Mathematics, 26, 95-102.

- Estimular la comunicación informal, el diálogo y la cooperación internacional entre los profesores, investigadores y demás personas comprometidas en las investigaciones y reflexiones de naturaleza teórica y filosófica sobre las matemáticas y la educación matemática.

En el período de 1990 a 1995 se elaboraron 8 Newsletters preparadas por distintos editores. En la segunda etapa, 1960 a 2002 se ha continuado la publicación en calidad de revista electrónica. El último número (que hace el 16) se ha publicado en Julio de 2002.

Se trata de una revista en la que las contribuciones no se someten a proceso de revisión anónima, ya que lo que se pretende es el intercambio de ideas de una manera abierta y libre.

Descubriendo la FilosofíaLa educación matemática y la filosofía

Diego Pareja Heredia“Todo buen matemático es al menos 50% filósofo y

todo buen filósofo es al menos 50% matemático” G. Frege

Gottlob Frege (1848 -1925) está catalogado como uno de los cuatro grandes lógicos de todos los tiempos, al lado de Bertrand Russell, Alfred Tarski y por supuesto Aristóteles. Como fundador de la lógica simbólica moderna contribuyó con mucho a la formalización de las matemáticas y por ende al modo riguroso en que hoy se enseñan. A Frege debemos la creación de la lógica moderna, aquella que ha servido de aplicación al conocimiento matemático, principalmente en sus dos funciones: la función descriptiva (conceptualización ló gica), que expresa el contenido de las proposiciones matemáticas; y en segundo lugar la función deductiva, que permite hilvanar los hilos de la argumentación a fin de que las proposiciones se sustenten en pruebas o demostraciones que le dan ese rigor, tan característico a las matemáticas.

Su programa aspiró llegar más allá de demostrar que los conceptos matemáticos podían ser definidos en función de términos puramente lógicos. Buscaba probar la tesis filosófica de que las matemáticas en general podían derivarse únicamente de las leyes lógicas. Este programa hoy conocido como logicismo, no llegó a concretarse, fundamentalmente porque, como se lo hizo notar Bertrand Russell, uno de sus axiomas daba orige n a paradojas no solubles en su sistema. No obstante el fracaso del logicismo, mucho del andamiaje lógico armado por Frege sirvió a Bertrand Russell y a Alfred North Whitehead para sustentar su gran obra Principia Matematica. Buena parte de la forma en que enseñamos matemáticas hoy, la hemos heredado de Frege. La definición de número natural y las ideas básicas de la teoría de conjuntos que hoy trasmitimos a nuestros estudiantes, tienen la motivación y la fundamentación de la lógica creada por Frege.

Las líneas anteriores me sirven de preámbulo para destacar algunos aspectos interesantes de la educación matemática en el país. Por ejemplo, la administración de Sergio Fajardo tiene entre los planes inmediatos mejorar la calidad de la educación matemática en Medellín. Y no es sólo porque Sergio Fajardo tiene a las matemáticas como su disciplina fundamental, si no además porque su formación filosófica le da una visión futurista, cuyo alcance va más allá del horizonte del común.

Sabemos que nuestros problemas en educación son complejos, y que para resolverlos no hay soluciones fáciles, si no alternativas inteligentes. Y una alternativa inteligente es la que busca el alcalde de Medellín al convocar a los profesores universitarios para que dediquen parte de su tiempo a la actualización y capacitación de los docentes de básica primaria y educación media.

Iniciativas como éstas bien vale la pena implementarlas para el Quindío, que aunque no es área metropolitana como lo es Medellín, encuadra en un contexto semejante, por su homogeneidad ciudadana y porque en su tejido social ha calado el ideal de una superación permanente.

Como hemos mencionado en otras ocasiones, las matemáticas nacen como esfuerzo filosófico para dar respuesta a interrogantes que la humanidad viene planteándose desde sus orígenes. En ocasiones para resolver problemas concretos y en mayor medida con el objeto de retar la capacidad de su mente en la creación de teorías que enmarquen sus inquietudes intelectuales. En la educación básica, por ser todo un proceso, deben estar involucradas muchas voluntades, aún más allá del estamento docente y administrativo de colegios y escuelas. Si queremos un mejor futuro para el Quindío la educación debe ser un compromiso prioritario de todos, y las universidades por su posición de liderazgo, deben dar ejemplo de cooperación para lograr un mejoramiento educativo en la región. En particular la Universidad del Quindío con su Facultad de Educación y la Universidad La Gran Colombia con sus facultades de Derecho y Economía deberían acercarse más a los estamentos oficiales y privados que administran la educación para contribuir con su experiencia y su liderazgo, a la formulación de un diagnóstico acertado del nivel de nuestros procesos educativos primero, y luego proponiendo planes conducentes a mejorar lo que se tiene, y a corregir aquello donde se falla.

La filosofía y la educación matemática nos inducen a reflexionar sobre la enseñanza de las matemáticas y sobre la calidad de la misma, nos invitan a indagar sobre mejores opciones didácticas y pedagógicas, nos instan a buscar enfoques educativos más apropiados entre la diversidad que la cultura, hoy globalizada, nos ofrece. Desde luego estos enfoques hay que estudiarlos y analizarlos a fin de aclimatarlos a nuestros propósitos de superación. En educación, como en otras áreas del conocimiento, la originalidad genuina no es aquella que busca mal inventar lo que ya está inventado, ni a destruir lo que está bien cimentado para sustituirlo por algo diferente sólo por el prurito de mostrar que se está cambiando. Tenemos que mejorar pero buscando patrones de comparación dignos de ser imitados.

DOCUMENTO 5

Educación Matemática, Pedagogía y DidácticaLuis Carlos Arboleda Aparicio

Gloria Castrillón CastroINSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA.

UNIVERSIDAD DEL VALLEEducación Matemática y PedagogíaEl gran reto social de las reformas educativas es fundamentalmente alcanzar las metas y propósitos que ellas se formulan. Es decir, hacer viables las políticas de mejoramiento de la enseñanza. Sin embargo, no puede decirse que ésta haya sido propiamente la característica en el caso de las reformas educativas en Colombia en los últimos decenios. La educación matemática en particular se ha constituido en un factor crítico de dichas reformas. Tal vez ello se deba a que a pesar de los esfuerzos adelantados en ese sentido en la última década, no ha sido posible reorientar los enfoques pedagógicos, extremadamente generales, a la comprensión de la complejidad inherente a los procesos de construcción de saberes matemáticos en las instituciones escolares.

Es decir, por razones de orden teórico y práctico que habrá que precisar, las reformas no han podido ser ni efectivas ni realistas. Al contrario, han generado falsas expectativas acumulando un malestar generalizado y un sentimiento de fracaso entre los educadores sobre las posibilidades de convertir en realidad los buenos propósitos pedagógicos. En medio de esta falta de credibilidad en las reformas educativas, poco a poco emergió el campo de estudios que hoy conocemos como educación matemática, por la acción de distintos colectivos de docentes y matemáticos a nivel internacional. Lo interesante de este movimiento de ideas es que sus promotores buscaron en otros horizontes conceptuales distintos a las clásicas reflexiones sobre las prácticas pedagógicas, las fuentes para conceptualizar y encarar con sentido práctico el mejoramiento de las prácticas educativas y de formación científica en las instituciones.

Hoy por hoy, el panorama educativo ha cambiado con respecto a épocas anteriores en las cuales la educación matemática en lo fundamental tenía un estatuto empírico. Este se caracterizaba por el desarrollo y aplicación de técnicas de enseñanza a partir de experiencias personales. Lo que entonces podría haberse denominado “campo de lo educativo”, pudo estar conformado además por representaciones abstractas que los docentes se formaban sobre la función de las matemáticas en las políticas de educación pública, sobre los lineamientos pedagógicos de los establecimientos educativos instaurados por los regímenes republicanos y, probablemente sólo de manera excepcional, sobre la conveniencia de encuadrar dentro de tal o cual tratamiento didáctico sistemático los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula.

A todo lo largo del siglo XIX y aún a comienzos del siglo XX, el modelo de la enseñanza de las matemáticas a nivel superior en las repúblicas de la democracia burguesa, era el que se profesaba en la École Polytechnique de París y en el sistema francés de las grandes escuelas de minas, puentes y caminos y artes y oficios, de acuerdo con el ideario de la enseñanza pública y la formación científica del ciudadano de la Revolución Francesa.

Recordemos que dentro de este modelo, la condición anterior de enseñanza privada ejercida por el erudito (savant) vinculado a las academias, observatorios o gabinetes de los monarcas ilustrados, se transforma en enseñanza pública profesada por un funcionario con una relación contractual con el Estado. Este le garantizaba un estatus intelectual nuevo al ciudadano (geómetra) y las condiciones básicas de ascenso social, tiempo libre, relaciones especializadas y recursos para investigar en las instituciones educativas, a cambio de cumplir con el compromiso de la formación científica representado en docencia y escritura de tratados de enseñanza.

Este paso fue decisivo para la constitución del rol del moderno investigador y para la creación de las masas críticas de profesores, ingenieros, arquitectos y militares profesionales requeridos para los planes republicanos de desarrollo económico y social. En adelante, el geómetra (llamado luego matemático) ejercería su función de desarrollo del conocimiento estrechamente asociada con la enseñanza, disponiendo para ello de la autonomía necesaria para adelantar sus estrategias investigativas sin sumisión a ningún poder distinto al que emana de las reglas concertadas con la comunidad de pares. Sin embargo, la condición profesional de geómetra o matemático se imponía con respecto a la función docente; la relación que por su intermedio se establecía con el saber

matemático era determinante con respecto al saber enseñado en el espacio de la institución escolar. Basta tomar el caso de los tratados de análisis o los cursos de cálculo diferencial e integral, que eran la base para la enseñanza a lo largo del siglo XIX y comienzos del XX en la escuela politécnica, en las facultades de ciencias o en las escuelas de ingeniería. Si se le aplica a la producción de estos tratados entre 1870 y 1914 la rejilla analítica propuesta por Zerner (1994), se encontrará que salvo algunos grupos considerados como arcáicos con respecto a los estándares ya dominantes, estos cursos y tratados no se diferencian sustancialmente de institución a institución; tampoco puede reconocerse un esfuerzo sistemático por parte de los matemáticos que los profesaron a establecer lo que hoy llamaríamos transposiciones didácticas (La célebre obra de Chevallard ha sido y continua siendo objeto de interesantes investigaciones didácticas. En la web se pueden encontrar numerosos trabajos sobre las implicaciones didácticas y pedagógicas de esta teoría. Una explicación concisa y general es presentada en el siguiente material elaborado por una profesora uruguaya: http://www.capacyt.rffdc.edu.ar/modulos%20pdf/m2_2001/lic_silviahurrell_m2_u4.pdf

Los profesores interesados en la apropiación social del conocimiento científico y tecnológico en el aula y en otros espacios de la vida social, encontrarán excelentes ejemplos consultando el siguiente documento pdf con un artículo reciente: www.bib.uab.es/pub/ensenanzadelasciencias/ 02124521v19n2p243.pdf Existe una traducción al castellano de la obra de Chevallard; ver por ejemplohttp://www.losa.com.uy/html/aiq/380-6.htm) entre el saber matemático y el saber enseñado

Se puede intentar hacer algunas consideraciones sobre las actividades de enseñanza en las escuelas y facultades francesas a partir de la información histórica obtenida de los tratados. En tanto que producción científica de los matemáticos que ejercían su profesión dentro de instituciones educativas, la principal finalidad de estos cursos era investigativa: introducir, socializar y legitimar nuevos tratamientos epistemológicos sobre los fundamentos del análisis de variable real y compleja. Por otra parte, si en los tratados no se evidencia un esfuerzo significativo de transposición de los contenidos matemáticos, no parece pues que su enseñanza en el aula haya sido intervenida por cualquier tipo deConceptualización n sobre las funciones educativas de los manuales o del matemáticoprofesor. Probablemente se imponía la creencia en una “pedagogía natural” de las matemáticas, según la cual existe una simetría esencial entre la lógica del aprendizaje y la lógica de la exposición de los saberes en la teoría, entre la economía de pensamiento y el rigor de la exposición formal de la teoría, de tal manera que el alumno debe hacer un empeño personal en aprender el compendio de saberes representado en el manual siguiendo paso a paso la exposición del profesor.

El caso alemán no es muy diferente a la situación de la enseñanza de las matemáticas en Francia. En el marco de la reforma de la educación superior, se introduce, primero en Prusia y luego en otras regiones, la formación en educación en las universidades protestantes. Esta reforma igualmente tuvo como propósito central proporcionar el contexto institucional educativo de las tendencias de diferenciación y profesionalización de las disciplinas científicas modernas, con el criterio de que las facultades universitarias debían no solamente enseñar sino también hacer investigación. Durante todo el siglo XIX las universidades graduaron a profesores de matemáticas para la educación secundaria, pero la for mación sobre la enseñanza de las matemáticas fue, en el mejor de los casos, una parte separada y minoritaria de la formación del profesorado (Kilpatrick, 1992). Los esfuerzos más notorios para desarrollar una didáctica especial de las matemáticas en las facultades de ciencias de la educación y la pedagogía, desde el inicio tuvieron un carácter fundamentalmente empírico orientado a desarrollar técnicas para enseñar las matemáticas a partir de experiencias personales y reproducir teorías pedagógicas generales, sin que en ello existiese el menor compromiso de asumir la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas como un problema de investigación. Tanto en las escuelas de pedagogía de Alemania en donde se formaban los profesores de las escuelas básicas y medias técnicas, como en las universidades en donde se formaban los profesores de los bachilleratos académicos o "Gimnasios", las actividades de los docentes fueron subsidiarias de la concepción según la cual, “entre más matemáticas se sabe se es mejor profesor”. Dentro de estas circunstancias se entiende que las prácticas relativas al campo de la educación matemática en Alemania no fueran permeadas sino hasta los años 1970 y 1980 por una reflexión sistemática sobre las experiencias de los profesores en el fenómeno específico de la enseñanza de las matemáticas, sus relaciones con la matemática y con los modelos pedagógicos clásicos.

Este cambio prácticamente puede asociarse con el establecimiento del Instituto de Historia y Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Bielefeld, en el cual se han liderado a nivel internacional investigaciones seminales sobre la relación entre historia, epistemología, psicología y didáctica de las matemáticas (Vasco, 1990).

Como bien lo afirma Jeremy Kilpatrick (1994), la historia de las tendencias investigativas en la enseñanza de las matemáticas en el presente siglo, es parte constitutiva del propio campo de la educación matemática. Reconocer los procesos de instauración del interés de los matemáticos, pedagogos y docentes por las matemáticas que se enseñan y se aprenden en la escuela, el interés en el qué y en el cómo de las matemáticas que deberían aprenderse y enseñarse en ésta, ha favorecido indudablemente el mayor desarrollo que este campo ha manifestado en los últimos decenios. Las tradiciones investigativas marcadas por concepciones educativas y pedagógicas sin ninguna (o casi ninguna) relación con la constitución, desarrollo y apropiación del saber objeto de la enseñanza, han sido abandonadas poco a poco en beneficio de enfoques científicos que tienen en cuenta la naturaleza de los saberes matemáticos y su estatus de objetos culturales. No obstante, en la formación de los profesores de matemáticas se reconoce la importancia de las distintas teorías pedagógicas y de las denominadas ciencias de la educación, sin que se aclaren de manera satisfactoria numerosas ambigüedades que resultan al hacer intervenir en una misma problemática distintos referentes disciplinares. Estas ambigüedades han dado lugar a posturas que para nada favorecen la reflexión pedagógica en disciplinas como las matemáticas y las ciencias naturales. Es el caso, por ejemplo, de la pedagogía centrada solamente en la enseñanza, en cuya perspectiva se delega exclusivamente a la psicología la compleja relación profesor - alumno y la reflexión sobre el aprendizaje, dejando de lado laimportancia de otras ciencias como la antropología y la fisiología (Vasco, 1990).

No se trata entonces de plantear un antagonismo con la pedagogía, sino de analizar su verdadero papel en la formación de pensamiento matemático en contextos escolares y extraescolares. Ello impone la exigencia de hacer elaboraciones teóricas mas satisfactorias sobre la naturaleza y función de las prácticas pedagógicas, en las cuales se tengan en cuenta nuevas formas de responder a viejos problemas pedagógicos que no obstante su importancia, a menudo se soslayan o se dan como obvios. Por ejemplo, la cuestión de que la enseñanza y el aprendizaje de los saberes matemáticos no puede entenderse al margen de la transmisión de valores de una cultura matemática. Este es el contexto teórico en el cual la educación matemática ha venido defendiendo el derecho a mantener su identidad. Con la formulación de criterios propios para constituir su problemática educativa, pedagógica y didáctica, y sus propias protocolos para tratarla, ha intentado definirse a sí misma como campo de investigación e intervención, y conformar una comunidad de expertos de distintas procedencias disciplinarias que se reconocen en las prácticas de apropiación de tales criterios y protocolos, en el estudio objetos de interés común.

Las ilusiones pedagógicas y la didáctica de las matemáticas.El examen conceptual que antes hemos sugerido de las características y desarrollo del campo de la educación matemática, nos conduce inmediatamente a pensar en las razones del fracaso de las reformas educativas. En nuestra opinión, en la base de este fracaso siempre es posible encontrar la ausencia de realismo de las políticas educativas.

Esta ausencia ha estado reforzada en la mayoría de los casos por ideologías pedagógicas que no han contribuido sensiblemente a crear en nuestras sociedades una capacidad teórica y práctica para enfrentar en serio el reto social de producir y reproducir en nuestras instituciones una educación matemática de calidad. Hemos sugerido que esta situación es el producto de una construcción histórica y como tal, no podría simplemente imputarse a la ingenuidad o inconciencia de los inspiradores y promotores de tales reformas; el peso hegemónico de tales ideologías se origina en la manera como se estructuró la relación entre investigación y enseñanza en las modernas instituciones de educación superior y entre la formación en matemáticas y la formación en pedagogía de los docentes. Estas ideologías así constituidas han ejercido una influencia determinante en el desarrollo de la educación anivel mundial.

Cabe destacar por ejemplo, la ilusión del optimismo reformista de los años 1960 y 1970 como producto de las políticas de "modernización" de las matemáticas y la influencia, mal comprendida y peor aplicada a los procesos de aprendizaje, de las etapas de desarrollo del niño de la psicología piagetiana. En este contexto esta psicología terminó por imponerse artificialmente como una nueva pedagogía de las matemáticas, no obstante que, como es bien conocido, Piaget no tuvo la intención de abordar la complejidad de los problemas de la enseñanza a través de sus trabajos de investigación sobre epistemología genética. Esta concepción reformista ha sido objeto de críticas de diverso orden dada su desafortunada repercusión en los procesos de enseñanza y aprendizaje en muchos países. Johsua y Dupin (1993) llaman la atención sobre dos de estas críticas a las cuales pasamos a referirnos.

En primer lugar se encuentra la crítica al "lirismo" reformista. Apoyada en una elocuente retórica sobre la unidad y la espléndida arquitectura de la matemática, esta concepción pretendía que la función principal del docente era desvelar en la enseñanza la potencia de las estructuras matemáticas mediante una “buena” pedagogía. Esto era suficiente para que los alumnos se apropiaran adecuadamente de estos saberes. Cuando ello no ocurría, era porque se había empleado una mala pedagogía, es decir, una pedagogía que no hacía transparente el poder cognitivo intrínseco de la estructura matemática. Luego se encuentra la crítica al "romanticismo" reformista: esa creencia de que en un ambiente propicio, es decir si la enseñanza se adecua a las etapas del desarrollo cognitivo, los alumnos terminan por aprender por sí mismos. Al contrario, el hecho de que el formalismo y el dogmatismo generen malas pedagogías es porque no tienen en cuenta este poder cognitivo intrínseco que posee el alumno en tal o cual etapa de su desarrollo intelectual.

La fortaleza de estas ideologías entre docentes y "policy makers" se constata aún hoy en día, pues a pesar de todos los fracasos que han motivado no se sacan las consecuencias pertinentes. Al contrario, la desilusión motivada por las reformas frustradas ha conducido a algunos a una actitud fatalista con respecto a todo proyecto sistemático en educación matemática. Por ejemplo, el retorno a los viejos esquemas efectistas (el movimiento del “back to the basics” en Estados Unidos). Pero, por otra parte, se ha dado un avance importante en la constitución de una opinión internacional sensible al desarrollo deprogramas de educación matemática en los países, como resultado de la conformación de grupos y comunidades especializadas que han analizado las razones de fondo del fracaso de las reformas y sus implicaciones socioculturales, y se han propuesto actividades y proyectos de investigación en línea directa con los resultados de estos análisis. Lo que antes constituía un problema pedagógico general que concernía a una comunidad pedagógica sin identidad precisa, ha evolucionado en problemas específicos que atañen a grupos profesionales que interactúan a su vez con comunidades provenientes de las ciencias básicas, las ciencias sociales y humanidades, entre otras.

Los criterios profesionales y procedimientos institucionales que se han venido introduciendo en las nuevas prácticas de la didáctica de las matemáticas, están desde luego en correspondencia con la manera de entender su naturaleza y su función como campo teórico. Parece imponerse un enfoque “científico” entre quienes lideran las reflexiones en esta área de estudios, al menos en los autores franceses más conocidos. Por ejemplo, Johsua y Dupin (1993, p.2) proponen una formulación aproximada de la didáctica de una disciplina en los siguientes términos: “La didáctica de una disciplina es la ciencia que estudia, para un dominio particular (en nuestro caso las ciencias y las matemáticas), los fenómenos de las enseñanzas, las condiciones de la transmisión de la “cultura” propia a una institución (específicamente, las instituciones científicas) y las condiciones de la adquisición de conocimientos por parte de un aprendiz.”

Esta definición merece algunos comentarios. La noción de didáctica aquí expuesta no se reduce al ámbito de la escuela. Obviamente la didáctica tiene un propósito pragmático; su preocupación central es elaborar estrategias de intervención adecuadas y efectivas, y para ello debe situarse en la realidad del aula. Pero al abordar su objeto de estudio, el análisis de las actividades de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, la didáctica necesariamente trasciende el ámbito del aula. Y esto por dos consideraciones. De una parte porque los fenómenos de las enseñanzas no se presentan a nuestro entendimiento como datos inmediatos de la conciencia; en tanto fenómenos, las actividades de aula deben pensarse desde un aparato analítico.

En la filosofía racionalista y crítica: “(el fenómeno) no se aplica a los datos inmediatos de la conciencia en tanto que vividos y concretos, sino exclusivamente al hecho conciente depurado de elementos sensibles de la reacción individual y transpuesto en concepto gracias al sistema lógico de categorías o formas de orden del entendimiento.” (Ver la definición de “phénomène” en el Vocabulario filosófico de Lalande, 1972). Un ejemplo de esta posición es el esquema lógico de Estructura Didáctica con el cual Johsua y Dupin proponen explicar los fenómenos de las enseñanzas, el cual será presentado en otraparte de este trabajo. Otra razón por la cual la didáctica trasciende el ámbito de lo escolar es porque losfenómenos son, por así decirlo, accidentes de formas más generales Estas formas son las prácticas matemáticas, entendidas como maneras de explicar algo por medio de unrazonamiento de cierto tipo, de acuerdo con ciertas condiciones de contexto. Entonces, al hablar de la didáctica de las matemáticas estamos necesariamente obligados a exhibir una explicación sobre el razonamiento matemático como actividad humana. En un aparte posterior, presentamos la posición que nos parece más satisfactoria para conectar el accidente con su forma general; la didáctica con las prácticas matemáticas que le dan sentido. Por ahora retornemos a la definición que, en nuestra opinión, mejor conviene a esta manera de pensar la naturaleza y la función de la didáctica. Bosch y Chevallard (1999; p. 79) afirman a este respecto:

“(...) nosotros creemos que aquello que funda y caracteriza la didáctica como ciencia, no es el hecho de proponer un proyecto de estudio científico sobre los problemas de la enseñanza de las matemáticas. Su especificidad original consiste en tomar como primer objeto de estudio (y en consecuencia, a cuestionar, modelar y problematizar de acuerdo con las reglas de la actividad científica), no al sujeto que aprende o al sujeto que enseña, sino al saber matemático que uno y otro han acordado estudiar conjuntamente, así como a la actividad matemática que tendrán que realizar a partir de su proyecto común de estudio.”

Estos autores se ponen de acuerdo con quienes, a partir de esta consideración de orden general, afirman que “el objeto de estudio de la didáctica no se puede encontrar encerrado en las instituciones de enseñanza y que ha sido necesario situarlo en un marco más amplio de las prácticas matemáticas en el conjunto de las instituciones de la sociedad”. (Gascón, 1998; citado en Bosch y Chevallard, 1999). Esto quiere decir que, por donde quiera que se aborde su estudio (el alumno, el profesor o los saberes), los fenómenos de la enseñanza no pueden caracterizarse únicamente por sus expresiones en prácticas escolares.

Nuestra comprensión de los procesos de estudio de las matemáticas en el aula tiene entonces que apelar a explicaciones mucho más amplias, de carácter histórico, filosófico, cognoscitivo, social y cultural, sobre lo que significa estudiar las matemáticas.

En resumen. la didáctica de las matemáticas necesariamente tiene que ver con dos cuestiones centrales que legitiman las prácticas matemáticas en nuestras sociedades: Primero, la función que cumplen las matemáticas en la explicación de la realidad, por la cual la humanidad las convirtió en objeto de apropiación social y de reproducción cultural en el marco de instituciones especializadas y, segundo, la naturaleza específica del estudio, transformación, aplicación y difusión de las matemáticas como actividad humana de razonamiento.

En este orden de ideas ya no es posible mantener posturas de legitimación de la didáctica como un un método. La investigación sobre procedimientos y técnicas de enseñanza no constituye ninguna garantía de éxito de los procesos de enseñanza y aprendizaje, si no se fundamenta en reflexiones generales sobre las prácticas involucradas en estos procesos y los medios puestos en operación, obviamente en correspondencia con saberes específicos. Precisamente esta concepción instrumentalista de la didáctica impide pensar las condiciones de posibilidad de estas técnicas en relación con la naturaleza de los objetos matemáticos en juego, las características de las estructuras cognitivas que movilizan los alumnos en su comprensión, y las interrelaciones que establecen los profesores y los alumnos en términos de los saberes enseñados. Refiriéndose a esta manera de reducir la didáctica a "el Método", Vasco (1994) la condena enérgicamente por considerarla "un monstruo repugnante que amenaza devorar toda la actividad del verdadero profesor". Debe revisarse la lectura de Comenio con la cual se respaldan argumentaciones en favor de la didáctica como método -tal como se ha hecho tradicionalmente en las

escuelas normales y en las facultades de educación-, pues no solamente ha sido exagerada sino que ha dado lugar a experiencias pedagógicas perniciosas.

El quehacer docente ha demostrado la nula efectividad de la retórica sobre el método cuando se trata de encarar los problemas de la formación de pensamiento matemático (o de cualquier otra clase). Lo que sí puede ser útil en determinada estrategia didáctica es la consideración de experiencias de enseñanza sobre una misma situación; a condición de que los procedimientos hayan sido suficientemente explicitados y sancionados. Las experiencias serán tanto más significativas para los procesos subsiguientes, en cuanto sean más específicas desde el punto de vista de los saberes y las condiciones de su enseñanza y aprendizaje en el aula. Como es usual, los criterios y procedimientos puestos en juego en determinada práctica de enseñanza se van repitiendo, extendiendo y perfeccionando; solamente cuando se constata que son “exitosos” (sostenibles y reproducibles en sus alcances y condiciones de posibilidad), es posible intentar su sistematización como método.

Para Vasco (1994), “un meth-odos es pues, un camino sistematizado propuesto para ser seguido por otros". "Lo repugnante y amenazante" no es que alguien proponga un camino para que otros lo sigan, más aún si este es atractivo y prometedor, sino tomar a ciegas esas indicaciones; asumirlas como soluciones a los problemas que plantea la construcción de conocimientos en el aula, sin que se tengan en cuenta los actores y los otros aspectos que hacen parte de la situación didáctica concreta. A este asunto vamos a dedicarle la mayor atención posible en el aparte sobre la estructura didáctica. Pero es preciso establecer antes algunos criterios que permitan distinguir las características de intervención de la didáctica con respecto al saber pedagógico en la enseñanza y el aprendizaje.

Intervencion de la didactica y la pedagogía en las practicas educativas En una primera aproximación se considera que la didáctica asegura el empleo de técnicas, criterios y procedimientos para garantizar la eficacia, eficiencia o simplemente la viabilidad de los procesos educativos. Pero parece aceptarse igualmente que esta garantía se “fundamenta” en una garantía previa con carácter teórico y conceptual, sobre el sentido y las condiciones de existencia, los fines y medios, de la actividad educativa.

En los últimos quince años se ha desarrollado en el país una rica reflexión sobre esta problemática cuyo aporte más significativo consistió, en nuestra opinión, en replantear los términos de la discusión, imponiendo la referencia a estándares internacionales los cuales debían aclimatarse a las condiciones socio-culturales de nuestras prácticas educativas. En una de las publicaciones representativas de este movimiento de ideas, se hace una diferenciación de tres concepciones sobre pedagogía que vamos a tener en cuenta en lo que sigue de esta reflexión (Mockus, Hernández, Granés y otros, 1995):

La pedagogía como el discurso explícito que se preocupa primordialmente deorientar y otorgarle su sentido a las prácticas educativas especializadas(concepción predominante en el debate pedagógico nacional y presente, enparticular, en los trabajos de Aracely de Tezanos);La pedagogía como el sistema de mensajes «implícito», que se encarga deregular las relaciones entre quienes participan en esas prácticas (BasilBernstein);Y la pedagogía como el intento de reconstruir las «competencias» de loseducadores y de los alumnos en cuanto tales - primordialmente en sus aspectos noespecializados- (punto de vista inspirado en los trabajos de Habermas sobre lacompetencia comunicativa y las disciplinas reconstructivas, que plantearía laexistencia de un «saber-cómo» pedagógico, de parte del maestro y también departe del discípulo, que podría ser objeto de una reconstrucción, es decir, de unatransformación en un «saber-qué»).

No es posible, ni es nuestro interés recordar aquí el ambiente de discusiones en medio del cual se formularon las anteriores distinciones. Simplemente recordamos que ellas hacían parte de un propósito práctico, consistente en identificar un campo de conceptualización que permitiera pensar un nuevo modelo de formación inicial y permanente de los docentes, incluyendo los docentes de matematicas. A nuestro entender estas ideas sobre lo pedagógico se referían a unos principios "lógicos" generales, ciertas "formas puras", que modelarían las prácticas educativas en una clase. Estos principios operan como reglas del aprendizaje y de la educación, y se

expresan sea a través de discursos "explícitos", de sistema de mensajes "implícitos", o a través de "competencias" de los educadores y de los alumnos. En cierta medida son independientes de los saberes específicos enseñados y de los propios contenidos disciplinares. En consecuencia, la pedagogía se plantearía como un discurso orientador que dota de significado a las prácticas educativas, entendidas como códigos para la comunicación entre los actores y para la reconstrucción de competencias generales de éstos (el saber cómo y el saber qué). La pedagogía constituiría la esencia del saber o conjunto de saberes que definen la naturaleza del oficio del educador, así como los enunciados filosóficos que orientan ese oficio y la delimitación de las formas legítimas de ejercerlo. (Mockus, Hernández, Granés y otros, 1995).

Si bien es posible ponerse de acuerdo en que las anteriores concepciones sobre la pedagogía permiten comprender lo característico de las prácticas educativas en tanto actividades con medios y fines, no es tan evidente –y por tanto es inquietante- que en este ámbito de "pedagogía general" en el cual se hace abstracción de todo contenido, se encuentre la garantía de viabilidad para el funcionamiento de cualquier práctica educativa concreta. Al menos para disciplinas complejas y altamente estructuradas como las matemáticas y las ciencias naturales, es poco probable que un conocimiento particular pueda ser (re) construido a partir de un conocimiento general de los fenómenos de enseñanza y las reglas del aprendizaje. (Johsua y Dupin, 1993). Se plantea aquí al menos un gran interrogante sobre el proceso a través del cual se construye este conocimiento general a partir de las prácticas de enseñanzas específicas pero prescindiendo en alguna forma de su contenido. Dependiendo de la respuesta que se le dé a tal interrogante, nos entenderemos sobre tal o cual manera de intervención de la pedagogía y la didáctica, y las formas de asociación entre ellas para el mejoramiento de las prácticas educativas y pedagógicas en las instituciones educativas.

Algunos autores aceptan en principio que la pedagogía estudia la complejidad del fenómeno de la enseñanza y del aprendizaje en el ambiente concreto de una clase, sin apelar a la especificidad de los saberes en juego. En el campo de lo pedagógico se trataría más bien de verificar si los procesos educativos operan de acuerdo con unas reglas y codigos generales, a partir de lo cual se determinaría el estado de "normalidad" de la clase.

Pero éste no sería el propósito de la didáctica. Según Johsua y Dupin (1993), el objeto de la didáctica:[...] es, fundamentalmente, estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje ensituación, tomando en cuenta desde su propio punto de vista (es decir, enconexión con la evolución de las relaciones con los saberes) los aspectossociales, del lenguaje y aspectos relacionales que estructuran este proceso. Si eneste marco las elaboraciones de los pedagogos de principios de siglo, aquellos dela "nueva pedagogía" o "pedagogía activa" pueden ser útilmente retomados, estose dará en todo caso, a costa de una reformulación teórica mayor.

De acuerdo con lo anterior, la didáctica de las matemáticas privilegiaría el estudio de los actos de razonamiento matemático en ambiente de clase. Entonces se podría hablar de una teoría de lo didáctico que soportaría las reflexiones de la didáctica sobre la construcción o reconstrucción de los saberes como actividad humana. Es decir, una antropología de los saberes cuya función es reconocer la dinámica socio-histórica y la variación de los estados del saber matemático con el fin de aclarar el acto didáctico de intervención con el saber enseñado en clase. De otra parte, un problema como el éxito o elfracaso escolar involucra otras dimensiones de lo educativo además de los aspectos didácticos propiamente dichos: lo sociopolítico, lo histórico y lo económico como condiciones del contexto externo. Cabe preguntarse entonces, ¿cómo estas condiciones del contexto institucional interactúan con los procesos didácticos situacionales en un proceso de doble vía? En la respuesta a este tipo de preguntas aparece precisamente el juego de asociaciones entre lo didáctico y lo pedagógico, con el fin de producir explicaciones de mayor grado de complejidad al fenómeno de la enseñanza y el aprendizaje en el ambiente concreto de una clase.