Probability & StatisticsBinomial, Normal Standard & Poisson Distribution

Dibuat oleh: Bayu Rima Aditya

Aku gagal! Aku barusaja gagal lulus ujikelayakan pilot!!!

Apa yg harus Anak itu lakukan??

Ia bisa mengulangi eksperimennya..berkali-kali..

Eksperimen yang bisa diulang dikenal jg dengan Percobaan Bernoulli

Sifat-sifat Percobaan Bernoulli:1. Hasil setiap percobaan adalah sukses atau gagal.2. Probabilitas p sukses sama besar untuk setiap percobaan.3. Percobaan bersifat independen: hasil dari satu percobaan tidak

mempengaruhi hasil percobaan berikutnya.

Berapa kali Anakkecil itu bisa lulus n

kali uji kelayakanpilot??

Peubah Acak Binomial X adalah jumlah keberhasilan Percobaan Bernoulli denganprobabilitas keberhasilan p yang diulang sebanyak n kali.

xnx

xn ppCpnxbxfxXP )1.(.),,()()(

Probabilitas seorang calon pilot dapat lulus uji kelayakan terbang pesawat

Mas MH370 adalah 0.8. Jika terdapat 4 calon pilot yang akan diuji, berapa

probabilitas bahwa tepat 2 calon pilot yang akan berhasil?

CONTOH:

1536.0)8.01.()8.0.()8.0,4,2()2()2( 242

24 CbfXP

xnx

xn ppCpnxbxfxXP )1.(.),,()()(

p = 0.8

n = 4

x f(x)

0 0.0016

1 0.0256

2 0.1536

3 0.4096

4 0.40960

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

f(x)

x

Distribusi Probabilitasnya jika p=0.8:

Pertanyaan lanjutan:

a. Berapa probabilitas bahwa tidak ada calon pilot yang diuji akan berhasil?

b. Berapa probabilitas bahwa minimal terdapat 1 calon pilot yang akan

berhasil?

Jawab:

a. f(0) = 0.0016

b. f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,9984 atau cara lainnya 1 – f(0)

Distribusi Probabilitasnya jika p=0.5:

p = 0.5

n = 4

x f(x)

0 0.0625

1 0.25

2 0.375

3 0.25

4 0.06250

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

f(x)

x

Jika p=0.5, distribusiprobabilitas

binomialnya menjadisimetris sempurna

Distribusi Probabilitasnya jika p=0.9:

p = 0.9

n = 4

x f(x)

0 0.0001

1 0.0036

2 0.0486

3 0.2916

4 0.65610

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

f(x)

x

Distribusi Probabilitasnya jika p=0.99:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

f(x)

x

p = 0.99

n = 4

x f(x)

0 0.00000001

1 0.00000396

2 0.00058806

3 0.03881196

4 0.96059601

Mean dan Variansi Distribusi Binomial

np

)1(2 pnp

Membaca tabel kumulatif binomial x=0 ; n= 4; p=0.8

Jika p=0.5 dan n yang sangat besar, maka distribusi binomial bisadidekati dengan sebuah fungsi kerapatan kontinu yang dinamakandistribusi normal standar dengan meletakkan pusat atau µ = 0 danmenjadikan simpangan baku atau σ = 1.

2

2

2

1)(

z

exf

2)(2

1

2

1),(

x

exf

Rumus ini menggambarkan distribusi berbentuklonceng simetrik yang berpusat pada mean µ dan

simpangan baku σ

np

)1( pnp

Central Limit Theorem

Normal baku cocok dengan binomial (yang telah dinormalkan) yangmemiliki p = 0.5. Distribusi binomial tidak simetris jika p ≠0.5. Akantetapi dalam prakteknya normal baku ternyata cocok juga untuksembarang nilai p. Semakin bertambah nilai n maka bentuk asimetrisbinomial menjadi hilang. Sehingga semua binomial akhirnya pastimenjadi normal.

Transformasi Z

Mengubah suatu variabel acak normal dengan mean µ dan simpanganbaku σ menjadi suatu variable acak normal standar dengan mean 0 dansimpangan baku 1.

xz

X z

Tabel Normal Standar Untuk Mencari Nilai ProbabilitasSembarang Distribusi Normal

)()()(

aF

bFbXaP

Distribusi Binomial dengan pendekatan Distribusi Normal

Kita harus memasukkan koreksi kontinuitas untuk mendapatkanpendekatan kontinu variable yang bagus untuk variable acak binomialdiskrit X. Sehingga rumus akan menjadi:

))1(

21

)1(

21

()(pnp

npbZ

pnp

npaPbXaP

Pendekatan ini menjadi “cukup bagus” ketika np ≥ 5 bila p ≤ 0.5

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson menunjukkan perilaku sebuah peubah acak binomial dengan jumlah eksperimen yang sangat begitu besar dan denganprobabilitas keberhasilan yang begitu kecil.

!

.),()()(

x

tetxpxfxXP

xt

npt

dengan

Distribusi Normal

Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X=x dengan persamaan

e 2

1 = ) x f(

2

21

- x -

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

dn

orm

(x, 5

, 1

)

Distribusi Normal

Gambar Kurva normal dengan simpangan baku sama

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

x

dn

orm

(x, 0

, 0

.25

)

Distribusi Normal

Gambar Kurva normal dengan rata-rata sama

-6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

dn

orm

(x, 1

, 0

.5)

Gambar Kurva normal dengan mean dan standart deviasiyang berbeda

Distribusi Uniform

Bila X merupakan variabel random uniform kontinu yang terdefinisi pada selang (A,B) maka fungsi peluang dari X adalah

lainnya

BxAAB

BAxf

0

1),;(

ABXE 2

1 212

1ABXVar

Rata-rata dan variansi distribusi uniform adalah

Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi uniform didefinisikan sebagai berikut

Bx

BxAAB

AxAx

xXP

1

0

)(

Distribusi Eksponensial

Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk:

10

0

0

x

e ; xf(x)

; x yanglain

dengan

Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah

2 2dan

26

Distribusi gamma

Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter >0 dan β>0, bila fungsi padatanberbentuk

untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.

Rataan dan variansi distribusi gamma adalah

dan

Catatan: Bila =n, n bil bulat positif maka Γ(n) = (n-1)!

xxxf exp

1)( 1

22

27

Distribusi Weibull

Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengan parameter dan β, bila fungsi padatanberbentuk

untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.

Rataan dan variansi distribusi Weibull adalah

dan

xxxf exp)( 1

1

1/1

2

/22 11

21