Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
-
Upload
fauzan-akmal -
Category
Documents
-
view
234 -
download
1
Transcript of Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
1/22
Distribusi Diskrit• Hipergeometrik
• Binomial Negatif
• Geometrik
• Poisson
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
2/22
2
5.3. Distribusi Hipergeometrik
Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi Hipergeometrik
terletak pada cara pengambilan sampelnya.
• Pengambilan sample pada Binomial harus denganpengembalian (saling lepas)
• Pengambilan sampel pada hipergeometrik tanpa
pengembalian (tidak saling lepas).
Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:
• Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian
dari N benda.
• Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-kdiberi nama gagal.
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
3/22
3
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang
menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan
ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k
gagal dinyatakan sebagai:
0 1 2
k N k
x n x
N
n
h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n
Contoh (5.8)
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5
fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang
duduk dalam panitia.
Jawab:
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
4/22
4
Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.
X={0,1,2,3}
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus
;
;
Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik
3 50 5 1
5685
0 0 8 5 3x h( ; , , )
3 51 4 15
5685
1 1 8 5 3x h( ; , , )
3 52 3 30
5685
2 2 8 5 3x h( ; , , )
3 53 2 10
5685
3 3 8 5 3x h( ; , , )
x 0 1 2 3
h(x;8,5,3) 156
15
56
30
56
10
56
3 55
85
8 5 3 0 1 2 3x x
h(x; , , ) ; x , , ,
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
5/22
5
Teorema(5.3)
Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan
variansi sbb:
dannkN
2
11N n k k
N n n(n)( )( )
Contoh (5.9)
Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan
gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2
Jawab:
Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh dan
Menggunakan teorema Chebyshev adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491
5 3 3
40 80 375
( )( ),
2 40 5 3 3
39 40 405 1 0 3113( ) ,
2
2 1 491 2 0 741, dan ,
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
6/22
• Bila n kecil dibandingkan dengan N, maka
perhitungan distribus binomial dapat
digunakan untuk mendekati distribusi
geometrik.
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
7/22
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
8/22
Distribusi Binomial Negatif
• Memiliki sifat yang sama dengan binomial (2
kemungkinan, sukses-gagal)
• Percobaan untuk mencari peluang bahwa
sukses ke- k terjadi pada usaha ke-x
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
9/22
Distribusi Binomial Negatif
• Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
– Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas
– Setiap percobaan (trial ) hanya dapat menghasilkan satu dari duakeluaran yang mungkin, sukses atau gagal
–
Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial )
– Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampaisejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulattertentu
• Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu
sedangkan jumlah percobaannya yang acak.
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
10/22
Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat
menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan
probabilitas q = 1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X,
yaitu banyaknya usaha/ percobaan yang berakhir tepat pada sukses ke-kterjadi diberikan oleh:
,2,1, ,1
1,;
k k k xq p
k
x pk xb k xk
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
11/22
Distribusi Binomial Negatif
Mean (Nilai Harapan):
(1 )( ) x
r pE X
p
Varians
2
2
(1 ) x
r p
p
• beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi
binomial negatif
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
12/22
Distribusi Binomial Negatif
Contoh 5
Carilah probabilitas bahwa seseorang yang melemparkan tiga koin akan mendapatkan
kepala semua atau ekor semua untuk kali ke dua pada pelemparan yang ke 5!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sebaran binomial negatif dengan x = 5, k = 2, dan p = 1/4, kita
dapatkan
2 3 3*
5
41 1 3 4! 3 275;2, .
14 4 4 1!3! 4 256b
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
13/22
Distribusi Geometrik
Jika pada eksperimen binomial negatif, percobaan terus dilakukan sampaidiperolehnya sukses pertama (diperoleh hanya satu sukses, k = 1), maka eksperimenitu disebut eksperimen geometrik.
Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sebuah sukestercapai maka dapat dibentuk distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan
harga r = 1 pada distribusi probabilitas binomial negatif. Dengan demikian denganfungsi probabilitas geometrik adalah:
0,1,2,...( ; ) (1 )0 1
x x
g x p x p p p pq
p
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
14/22
Distribusi Geometrik
beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi geometrik
Mean (Nilai Harapan):
1( ) x
pE X
p
Varians
2
2
1 x
p
p
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
15/22
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
16/22
Distribusi Geometrik
Contoh 7
Pada saat ”waktu sibuk” sebuah papan sakelar telepon sangat mendekati kapasitasnya,
sehingga para penelpon mengalami kesulitan melakukan hubungan telepon. Mungkin
menarik untuk mengetahui jumlah upaya yang perlu untuk memperoleh sambungan.
Andaikan bahwa kita mengambil p = 0,05 sebagai probabilitas dari sebuah sambungan
selama waktu sibuk. Kita tertarik untuk mengetahui bahwa 5 kali upaya diperlukan untuk
suatu sambungan yang berhasil.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sebaran geometris dengan x = 5 dan p = 0,05 menghasilkan
4
5;0,05 0,05 0,95 0,041 P X x g
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
17/22
17
5.4. Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan
banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut
“distribusi poisson”.
Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:
1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)
waktu tertentu independen dengan daerah lainya.2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak
tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.
3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang
sempit diabaikan.
Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan
dengan , dimana adalah rata-rata hasilp(x, t) t
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
18/22
18
Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya
kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t,
dinatakan:
dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses
yang terjadi per satuan waktu.
Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18diberikan pada tabel Poisson. Atau dengan bantuan software R
0 1 2
t x
e ( t)x!p(x, t) ;x , , ,.....
t
t
Contoh (5.11)
Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu
pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung
paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari
tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu
melayani.
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
19/22
19
Jawab:
Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari
X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}
Maka
Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487
15
0
15 1 15 1 10
1 0 9513 0 0487
x
P(X ) P(X ) p(x; ) tabel
. .
• Cara lain, jika tidak menggunakan tabel, gunakan program R,
langkahnya sbb:
> ppois(15,10)[1] 0.9512596
Artinya:15
0
10
x
p(x; ) 0.9512596
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
20/22
20
Teorema(5.4)
Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi
sbb dant
Contoh (5.12)
Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghiung
selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah 4. berapa
probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu.
Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang
Jawab:
dari tabel poisson dengan diperoleh
dari diperoleh
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 0 sampai 8
2
6 4x ; t
2 8 2 0dan
p(x, t)
2 t
6 54 64
60 0
6 4 4 4 0 8893 0 7851 0 1042e ( )
!x x
p( ; ) p(x; ) p(x; ) , , ,
24 4t dan
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
21/22
21
r
0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . .
0
1
:
:
:
5 0,7851
6 0,8893
:
:
16
6
0
4 0 8893
x
p(x; ) .
Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:
5
0
4 0 7851
x
p(x; ) .
Tabel 5.7. Cara menggunakan tabel Poisson
Meggunakan R:
> ppois(6,4)
[1] 0.889326
> ppois(5,4)
[1] 0.7851304
-
8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2
22/22