Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

download Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

of 22

Transcript of Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    1/22

    Distribusi Diskrit• Hipergeometrik

    • Binomial Negatif

    • Geometrik

    • Poisson

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    2/22

    2

    5.3. Distribusi Hipergeometrik

    Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi Hipergeometrik

    terletak pada cara pengambilan sampelnya.

    • Pengambilan sample pada Binomial harus denganpengembalian (saling lepas)

    • Pengambilan sampel pada hipergeometrik tanpa

    pengembalian (tidak saling lepas).

    Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:

    • Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian

    dari N benda.

    • Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-kdiberi nama gagal.

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    3/22

    3

    Distribusi Hipergeometrik

    Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang

    menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan

    ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k

    gagal dinyatakan sebagai:

    0 1 2

    k N k

    x n x

    N

    n

    h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n

    Contoh (5.8)

    Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5

    fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang

    duduk dalam panitia.

    Jawab: 

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    4/22

    4

    Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.

    X={0,1,2,3}

    Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus

    ;

    ;

    Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik

    3 50 5 1

    5685

    0 0 8 5 3x h( ; , , )

    3 51 4 15

    5685

    1 1 8 5 3x h( ; , , )

    3 52 3 30

    5685

    2 2 8 5 3x h( ; , , )

    3 53 2 10

    5685

    3 3 8 5 3x h( ; , , )

    x 0 1 2 3

    h(x;8,5,3) 156

    15

    56

    30

    56

    10

    56

    3 55

    85

    8 5 3 0 1 2 3x x

    h(x; , , ) ; x , , ,

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    5/22

    5

    Teorema(5.3)

    Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan

    variansi sbb:

    dannkN  

    2

    11N n k k

    N n n(n)( )( )   

    Contoh (5.9)

    Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan

    gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2  

    Jawab:

    Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4

    Diperoleh dan

    Menggunakan teorema Chebyshev adalah

    Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491

    5 3 3

    40 80 375

    ( )( ),  

      2 40 5 3 3

    39 40 405 1 0 3113( ) ,   

    2  

    2 1 491 2 0 741, dan ,  

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    6/22

    • Bila n kecil dibandingkan dengan N, maka

    perhitungan distribus binomial dapat

    digunakan untuk mendekati distribusi

    geometrik.

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    7/22

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    8/22

    Distribusi Binomial Negatif

    • Memiliki sifat yang sama dengan binomial (2

    kemungkinan, sukses-gagal)

    • Percobaan untuk mencari peluang bahwa

    sukses ke- k terjadi pada usaha ke-x

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    9/22

    Distribusi Binomial Negatif

    • Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

     – Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

     – Setiap percobaan (trial ) hanya dapat menghasilkan satu dari duakeluaran yang mungkin, sukses atau gagal

     –

    Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial )

     – Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampaisejumlah total k  sukses diperoleh, dimana k  berupa bilangan bulattertentu

    • Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu

    sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    10/22

    Distribusi Binomial Negatif

    Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat

    menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan

     probabilitas q = 1  –  p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X,

    yaitu banyaknya usaha/ percobaan yang berakhir tepat pada sukses ke-kterjadi diberikan oleh:

      ,2,1, ,1

    1,;  

     

      

     

      k k k  xq p

     x pk  xb k  xk   

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    11/22

    Distribusi Binomial Negatif

    Mean (Nilai Harapan):

    (1 )( ) x 

    r pE X 

     p 

       

    Varians

    2

    2

    (1 ) x 

    r p

     p 

       

    • beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi

    binomial negatif

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    12/22

    Distribusi Binomial Negatif

    Contoh 5

    Carilah probabilitas bahwa seseorang yang melemparkan tiga koin akan mendapatkan

    kepala semua atau ekor semua untuk kali ke dua pada pelemparan yang ke 5!

    Penyelesaian:

    Dengan menggunakan sebaran binomial negatif dengan  x  = 5, k   = 2, dan  p  = 1/4, kita

    dapatkan

    2 3 3*

    5

    41 1 3 4! 3 275;2, .

    14 4 4 1!3! 4 256b

     

     

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    13/22

    Distribusi Geometrik

    Jika pada eksperimen binomial negatif, percobaan terus dilakukan sampaidiperolehnya sukses pertama (diperoleh hanya satu sukses, k = 1), maka eksperimenitu disebut eksperimen geometrik.

    Jika variabel acak  X   menyatakan banyaknya  x   gagal sebelum sebuah sukestercapai   maka dapat dibentuk distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan

    harga  r = 1 pada distribusi probabilitas binomial negatif. Dengan demikian denganfungsi probabilitas geometrik adalah:

    0,1,2,...( ; ) (1 )0 1

     x x 

    g  x  p x p p p pq

     p

     

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    14/22

    Distribusi Geometrik

    beberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi geometrik

    Mean (Nilai Harapan):

    1( ) x 

     pE X 

     p 

       

    Varians

    2

    2

    1 x 

     p

     p 

       

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    15/22

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    16/22

    Distribusi Geometrik

    Contoh 7

    Pada saat ”waktu sibuk” sebuah papan sakelar telepon sangat mendekati kapasitasnya,

    sehingga para penelpon mengalami kesulitan melakukan hubungan telepon. Mungkin

    menarik untuk mengetahui jumlah upaya yang perlu untuk memperoleh sambungan.

    Andaikan bahwa kita mengambil p = 0,05 sebagai probabilitas dari sebuah sambungan

    selama waktu sibuk. Kita tertarik untuk mengetahui bahwa 5 kali upaya diperlukan untuk

    suatu sambungan yang berhasil.

    Penyelesaian:

    Dengan menggunakan sebaran geometris dengan x = 5 dan p = 0,05 menghasilkan

    4

    5;0,05 0,05 0,95 0,041 P X x g   

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    17/22

    17

    5.4. Distribusi Poisson

    Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan

    banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut

    “distribusi poisson”.

    Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:

    1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)

    waktu tertentu independen dengan daerah lainya.2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak

    tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.

    3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang

    sempit diabaikan.

    Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan

    dengan , dimana adalah rata-rata hasilp(x, t)    t 

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    18/22

    18

    Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya

    kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t,

    dinatakan:

    dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses

    yang terjadi per satuan waktu.

    Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18diberikan pada tabel Poisson. Atau dengan bantuan software R

    0 1 2

    t x

    e ( t)x!p(x, t) ;x , , ,.....

     

      

    t  

      Contoh (5.11)

    Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu

    pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung

    paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari

    tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu

    melayani.

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    19/22

    19

    Jawab:

    Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari

    X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}

    Maka

    Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487

    15

    0

    15 1 15 1 10

    1 0 9513 0 0487

    x

    P(X ) P(X ) p(x; ) tabel

    . .

    • Cara lain, jika tidak menggunakan tabel, gunakan program R,

    langkahnya sbb:

    > ppois(15,10)[1] 0.9512596

     Artinya:15

    0

    10

    x

    p(x; ) 0.9512596

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    20/22

    20

    Teorema(5.4)

    Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi

    sbb dant  

      Contoh (5.12)

    Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghiung

    selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah 4. berapa

    probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu.

    Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang

    Jawab:

    dari tabel poisson dengan diperoleh

    dari diperoleh

    Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 0 sampai 8

    2  

    6 4x ; t  

    2 8 2 0dan  

    p(x, t) 

    2 t  

    6 54 64

    60 0

    6 4 4 4 0 8893 0 7851 0 1042e ( )

    !x x

    p( ; ) p(x; ) p(x; ) , , ,

    24 4t dan  

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    21/22

    21

    r

    0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . .

    0

    1

    :

    :

    :

    5 0,7851

    6 0,8893

    :

    :

    16

    6

    0

    4 0 8893

    x

    p(x; ) .

    Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:

    5

    0

    4 0 7851

    x

    p(x; ) .

    Tabel 5.7. Cara menggunakan tabel Poisson

     

    Meggunakan R:

    > ppois(6,4)

    [1] 0.889326

    > ppois(5,4)

    [1] 0.7851304

  • 8/17/2019 Distribusi Diskrit Hiper Geometrik Rev2

    22/22