Universidad Nacional Experimental

“Francisco de Miranda”

Dpto. de Física y Matemática

Unidad Curricular: Estadística

Tema VDistribución de Probabilidad

Normal

Profa. Ing. Maryorys

Polanco

Coro, julio de 2013

Contenido

Introducción.

Teorema Central del Límite.

Área de distribución normal.

Aproximación de la Binomial a la

Normal.

Solución de problemas.

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

Introducción

Algunas características:

La curva es simétrica alrededor de un eje vertical

a través de la media 𝜇

La curva se aproxima al eje horizontal de forma

asintótica, conforme nos alejamos de la muestra.

El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal

es 1.

𝜇

𝜎

La función de densidad de probabilidad de una v.a normal x, con media 𝜇 y varianza 𝜎2es,

𝑓(𝑥: 𝜇, 𝜎)=1

2𝜋𝜎2𝑒−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 con - ∞ <x<∞

y su función de distribución acumulativa es,

𝐹(𝑥: 𝜇, 𝜎)=1

2𝜋𝜎2 𝑥

𝑒−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 𝑑𝑥

Walpole, 2007.

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

-∞

Teorema del Limite Central

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

Definición: Sea 𝑥 la media de una m.a. de tamaño ntomada de una población con distribución desconocida ymedia 𝜇 y varianza 𝜎2 definidas , entonces la forma límitede la distribución de

z = 𝑥−𝜇𝜎

𝑛

, conforme 𝑛 → ∞

es la distribución normal estándar 𝑛 𝑧: 0,1 . Esto es,

lim𝑛→∞

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 − 𝜇𝜎𝑛

≤ 𝑏 =1

2𝜋

𝑎

𝑏

𝑒−𝑧2

2 𝑑𝑧

Es decir, la variable aleatoria Z es asintóticamente normalSpiegel,

2009

Teorema del Limite Central

Para n = 1, 2,…., n tenemos 𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛. Ahora 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, tienen

cada una media 𝜇 𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝜎2. Asi,

𝐸(𝑆𝑛) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + ⋯+ 𝐸(𝑋𝑛) = 𝑛𝜇

𝑉𝑎𝑟 𝑆𝑛 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑉𝑎𝑟 𝑋2 +⋯+ 𝑉𝑎𝑟 𝑋𝑛 = 𝑛𝜎2

La variable aleatoria estandarizada correspondiente a 𝑆𝑛 es

𝑆𝑛∗ =

𝑆𝑛 − 𝑛𝜇

𝜎 𝑛

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

Teorema del Limite Central

La función generadora de momento para 𝑆𝑛 es

𝐸 𝑒𝑡𝑆𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡(𝑆𝑛−𝑛𝜇)/𝜎 𝑛

𝐸 𝑒𝑡𝑆𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡(𝑋1−𝜇)/𝜎 𝑛𝑒𝑡(𝑋2−𝜇)/𝜎 𝑛 …𝑒𝑡(𝑋𝑛−𝜇)/𝜎 𝑛

= 𝐸 𝑒𝑡 𝑋1−𝜇

𝜎 𝑛 𝐸 𝑒𝑡 𝑋2−𝜇

𝜎 𝑛 ⋯𝐸 𝑒𝑡 𝑋𝑛−𝜇

𝜎 𝑛

= 𝐸 𝑒𝑡 𝑋1−𝜇

𝜎 𝑛

𝑛

Expansión de Taylor n=2

𝐸 𝑒𝑡 𝑋1−𝜇

𝜎 𝑛 = 𝐸[1 +𝑡 𝑋1 − 𝜇

𝜎 𝑛+𝑡2 𝑋1 − 𝜇

2

2𝜎2𝑛+ ⋯

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

Teorema del Limite Central

= 𝐸 1 +𝑡

𝜎 𝑛𝐸 𝑋1 − 𝜇 +

𝑡2

2𝜎2𝑛𝐸(𝑋2 − 𝜇)

2⋯

= 1 +𝑡

𝜎 𝑛0 +

𝑡2

2𝜎2𝑛𝜎2 +⋯

= 1 +𝑡2

2𝑛+⋯

𝐸 𝑒𝑡𝑆𝑛 = (1 +𝑡2

2𝑛+⋯ )𝑛

Como el limite 𝑛 → ∞ es 𝑒𝑡2

2 , lo cual es la función generadora de momentos de

la distribución normal estandarizada, la variable 𝑆𝑛 converge en distribución a

una v.a. n(Z;0,1)

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Normal

Áreas de la Distribución

normal

El área bajo la curva normal es igual a

1. Esto por,

P(−∞ < 𝑥 < ∞)=1

2𝜋𝜎2 ∞

𝑒−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2 𝑑𝑥 = 1-∞

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Normal

P(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2)=1

2𝜋𝜎2 𝑥1𝑥2 𝑒

−𝑥−𝜇 2

2𝜎2 𝑑𝑥

𝑃(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2)

𝑥1 𝑥2

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Normal

Sea Z una v. a. definida por la relación

Z =𝑥−𝜇

𝜎con 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1.

Siempre que X tome un valor x, el valorcorrespondiente de z será el dado por larelación anterior. En consecuenciapodemos escribir,

Tema V. Distribución de Probabilidad

Normal

P(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2)= P(𝑧1 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧2)=1

2𝜋 𝑧1𝑧2 𝑒−

𝑧 2

2 𝑑𝑥

A la distribución de la v.a. normal con 𝜇 =0 𝑦 𝜎 = 1 se le conoce como Distribución

Normal Estándar.

Aproximación de la Binomial a la

Normal

La distribución normal es una buena

aproximación para una distribución

discreta cuando esta adquiere una

forma de campana.

Debido a que su F se tabula muy

fácilmente.

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Normal

Definición: Si x es una v. a. binomial

con 𝜇 = 𝑛𝑝 𝑦 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 entonces la

forma límite de la distribución de la

variable

Conforme 𝑛 → ∞ es la distribución

normal estándar 𝑛 𝑧: 0,1

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Normal

Aproximación de la Binomial a la Normal

Z =𝑥 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝𝑞

Esta aproximación puede escribirse la

siguiente forma:

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Normal

lim𝑛→∞

𝑃 𝑎 ≤𝑥 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝𝑞≤ 𝑏 =

1

2𝜋

𝑎

𝑏

𝑒−𝑧2

2 𝑑𝑧

Esto quiere decir que la v. a. Z es

asintóticamente normal.Spiegel,

2009

Cuando se aproxima una distribución discreta a

una continua es preciso usar la corrección de

continuidad x ± 0,5

Solución de Problemas

1. El volumen de llenado de una maquinaautomatizada utilizada para llenar latas de unabebida carbonatada tiene una distribuciónnormal con 𝜇 = 12,4 onzas líquidas y una 𝜎 =0,1 onzas líquidas.

a. Calcule la probabilidad de que el volumende llenado sea menor a 12 onzas.

b. Si se desechan todas las latas con menosde 12,1 onzas y mas de 12,6 onzas, calculela proporción de latas que se desecharía.

c. Determine las especificaciones simétricasalrededor de la media que incluyen el95%de las latas.

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Normal

2. Evalúe la 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 4) para un

variable binomial con n=15 y p=0,2

a. A través de la distribución binomial

b. Usando la aproximación a la

distribución normal.

Solución de Problemas

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Normal

3. El peso de los frutos del melón de

una siembra en la península de

Paraguaná es una v. a. distribuida

normalmente. Calcule el tamaño de

muestra aleatoria que debe

seleccionarse para que con una

probabilidad de 98,42% su media

difiera de la media poblacional en 1/3𝜎o menos.

Solución de Problemas

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