Dissertacao de Mestrado

Universidade Federal da BahiaInstituto de Matematica

Curso de Pos–Graduacao em Matematica

Dissertacao de Mestrado

Graficos Radiais com Curvatura Media

Constante no Espaco Hiperbolico

Adriano Pedreira Cattai

Salvador — Bahia

Janeiro de 2006

Graficos Radiais com Curvatura Media Constanteno Espaco Hiperbolico

Dissertacao apresentada ao colegiado do curso de Pos-Graduacao em

Matematica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para

obtencao do Grau de Mestre em Matematica.

Aprovada pela Banca Examinadora abaixo assinada.

Prof. Dr. Jose Nelson Bastos Barbosa (Orientador)

UFBA

Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira

UFC

Prof. Dr. Pedro Antonio Hinojosa Vera

UFPB

Salvador, 27 de janeiro de 2006

Cattai, Adriano Pedreira

Graficos Radias com Curvatura Media Constante no Espaco Hiperbolico/

Adriano Pedreira Cattai; orientador: Jose Nelson Bastos Barbosa. — Salva-

dor: UFBA, 2006.

79 p.

1. Dissertacao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Departamento

de Matematica.

Inclui referencias bilbiograficas.

1. Matematica - Teses. 2. Geometria Riemanniana. I. Cattai, Adriano

Pedreira. II. Barbosa, Jose Nelson Bastos. III. Tıtulo.

CDD: 510

A meus pais, meu irmao e minha filha Gabriela.

“O nascimento do bebe e como desembrulhar um pacote que o

intrigou a maior parte do ano e achar seu conteudo mais excitante,

mais perfeito, mais maravilhoso do que voce sempre sonhou.

O bebe e a desculpa perfeita para fazer todas aquelas coisas as

quais a vida adulta exigiu que voce renunciasse.

Nao ha por do sol mais bonito, nao ha maravilha maior do que

um bebe!”.

Pam Brown (Seja Bem-vindo, Bebe!)

Agradecimentos

Sempre a Deus!

A minha amada famılia: meu pai Ailton Teles Cattai, minha mae Maria do Carmo

Pedreira Cattai e meu irmao Alessandro Pedreira Cattai, por sempre acreditar em mim

e pela forca ao longo de todos estes anos (acredito, que todo agradecimento nunca seria

suficiente para recompensa–los).

Aos meus amigos e parceiros de surf Bruno Melo, Diogo Rodrigues, Joney Santana

e Thiago Melo (e seus familiares), por tornarem a minha vida mais gostosa pelo carinho

que dedicam.

A minha grande companheira, amiga, namorada e esposa, Tharita Veira por tudo que

fez por mim nesse perıodo, profissionalmente e moralmente. Sua presenca em minha vida

com nossa filha Gabriela foi mais um presente de Deus.

Aos meus orientadores em tempos de iniciacao cientıfica: Afonso Henriques por todo

seu apoio, incentivo, ensinamentos e amizade; e Humberto Jose Bortolossi que muito nos

ensina com sua amizade, dedicacao, disposicao e atencao. Aos professores de graduacao.

Aos colegas de graduacao: Antonio Oliveira Simao, Eduardo Palmeira, Fabıolo Moraes

Amaral, Rosane Funato e Vinıcius Modesto Sertorio.

Aos colegas de turma: Abılio Souza, Gabriela Goes, Gilclecio Dantas, Josaphat Ri-

cardo, Maurıcio Porto, Roberto Pastor, Rolando Restany, Rosane Funato, Silvia Costa

e Tailson Jeferson, pela companhia e cumplicidade no dia a dia em cada materia e nos

interminaveis domingos de UFBA. Aos demais mestrandos deste programa que nao citei.

vi

Agradecimentos

A todos os professores da Pos-Graduacao em Matematica desta universidade, em

especial ao coordenador Professor Enaldo Silva Vergasta, pela eterna simpatia, sabedoria

e exemplo. Aos funcionarios do Instituto de Matematica; as secretarias Tania Espınola e

Dona Zeze sempre atentas aos nossos pedidos.

Um agradecimento especial ao Professor Jose Nelson Bastos Barbosa pela orientacao

no desenvolvimento deste trabalho e escolha do tema; pela amizade e toda sua dedicacao.

Gostaria de agradecer tambem aos professores Jorge Herbert S. de Lira e Pedro Antonio

Hinojosa Vera, os quais compuseram a banca examinadora e verificaram com tanto zelo

esta dissertacao.

Na tentativa de nao omitir nenhum nome: a todos os amigos de Canavieiras, da

EMARC-UR, da UESC, da UFBA; aos colegas de surf, e aos de fora, pelo apoio, compre-

ensao e carinho, pelas piadas e pela forca.

Finalmente, a CAPES pelo apoio financeiro.

vii

Resumo

Provamos a existencia de graficos radiais com curvatura media constante no espaco

hiperbolico Hn+1 definido sobre domınios em esferas geodesicas do Hn+1 em que a cur-

vatura media no bordo e positiva com respeito a orientacao interna; descrito no artigo

Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space, do professor da

Universidade Federal do Ceara, Jorge Herbert S. de Lira.

Palavras Chave: Espaco Hiperbolico, Graficos Radiais, Hipersuperfıcie com curvatura

media constante, EDP.

viii

Abstract

The existence is proved of radial graphs with constant mean curvature in the hyper-

bolic space Hn+1 defined over domains in geodesic spheres of Hn+1 whose boundary has

positive mean curvature with respect to the inward orientation; described in the article

Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space, of the teacher of

the Federal University of Ceara, Jorge Herbert S. de Lira.

Key Words: Hyperbolic Space, Radial Graphs, Hypersufaces with mean constant

curvature, PDE.

ix

Sumario

Apresentacao 1

Introducao 2

1 Preliminares de Geometria Riemanniana 5

1.1 Variedades Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Espaco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Campo de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Metricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 A Inversa da Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Variedades Imersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Conexao Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Geodesicas e a Aplicacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Segunda Forma Fundamental de Hipersuperfıcies . . . . . . . . . . 16

1.8 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 O Espaco Hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.1 Isometrias e o Modelo da Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.2 Superfıcies Umbılicas do Hn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Equacoes Diferencias Parciais e o Princıpio do Maximo 32

2.1 Continuidade Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Equacoes Diferenciais Parciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 36

x

2.2.2 Equacoes Diferenciais Parciais Quasilineares . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 O Princıpio do Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1 O Princıpio do Maximo para Operadores Lineares . . . . . . . . . . 37

2.3.2 O Princıpio do Maximo para Operadores Quasilineares . . . . . . . 46

2.4 Diferencial de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 O Metodo da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Graficos Radiais em Rn+1 e Hn+1 53

3.1 Graficos Radiais em Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Graficos Radiais em Hn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Prova do Teorema 3.3 69

4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 A Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Referencias Bibliograficas 77

xi

Apresentacao

Este trabalho e fruto da orientacao do professor Jose Nelson Bastos Barbosa, do De-

partamento de Matematica desta universidade, para dissertacao de mestrado. Estudamos

a tese de doutorado Existencia e Unicidade de Hipersuperfıcie com Bordo e Curvatura

Media Constante em Formas Espaciais ([13]), e o artigo Radial Graphs with Constante

Mean Curvature in the Hyperbolic Space Hn+1 ([12]), ambos do professor Jorge Herbert

Soares de Lira do Departamento de Matematica da Universidade Federal do Ceara.

Para uma boa compreensao deste trabalho, o leitor deve ter um nıvel de conhecimento

semelhante ao aluno que cursa o segundo ano de mestrado em matematica, especialmente

com bons conhecimentos de Geometria Riemanniana e de Analise em Espacos Euclidianos.

Para este proposito, sugerimos respectivamente, [17] e [8]. Seria desejavel ainda, que o

leitor tivesse bons conhecimentos de Equacoes Diferenciais Parciais (EDP’s) e o Princıpio

do Maximo. Sugerimos para este proposito [7]. No entanto, exibimos os resultados mais

relevantes para a nossa necessidade no Capıtulo 2.

Caso o leitor tenha conhecimento desses conteudos referidos acima, podera iniciar sua

leitura a partir do Capıtulo 3.

1

Introducao

As calotas esferas, sao exemplos classicos de hipersuperfıcies com curvatura medica

constante e com bordo conhecido.

A busca por exemplos nao-esfericos de hipersuperfıcies mergulhadas com curvatura

media constante em espacos de curvatura seccional constante e um problema muito co-

nhecido. Um jeito corrente de se fazer isto e atraves da construcao de varios tipos de

graficos. Neste caso as hipersuperfıcies sao descritas nao-parametricamente por funcoes

definidas sobre um domınio numa hipersuperfıcie umbılica do ambiente. A condicao que

a superfıcie tenha curvatura media constante implica que a funcao que descreve o grafico

seja solucao de uma EDP quasilinear.

Graficos com projecao central injetiva sobre uma Esfera Euclidiana em Rn+1 foram

construıdas por Serrin [16]. Em [3], Treibergs e Wei provam a existencia de graficos radiais

definidos sobre toda esfera, cuja curvatura media e prescrita por uma funcao satisfazendo

certas condicoes de crescimento.

Recentemente, demonstrou-se varios teoremas de existencia para graficos com curva-

tura media constante no espaco hiperbolico Hn+1 com projecao injetiva sobre domınios

em hipersuperfıcies umbılicas com curvatura menor ou igual a 1. Por exemplo, J. L. Bar-

bosa e R. S. Earp [15] obtiveram graficos com curvatura media constante sobre domınios

em hiperplanos geodesicos. Graficos sobre horoesfera foram construıdos independente-

mente por B. Nelli e J. Spruck em [6] e por R. Lopez e S. Montiel em [18]. Tambem,

Lopez anunciou em [19] a existencia de solucoes para equacoes da curvatura media sobre

hipersuperfıcies equidistastes em Hn+1.

Para hipersuperfıcies umbılicas de curvatura maior do que 1, isto e, as esferas geodesicas

em Hn+1, a nocao de grafico mais apropriada e a de grafico radial, a fim de evitar auto-

2

Introducao

interseccoes. O grafico radial de uma funcao χ definida sobre o fecho de um domınio Ω

em uma esfera geodesica S em Hn+1 e o conjunto Σ dado por

Σ = αx(χ(x)); x ∈ Ω,

onde αx e a geodesica minimizante ligando o centro geodesico de S ao ponto x ∈ Ω.

Suponhamos que Γ = ∂Ω e uma hipersuperfıcie de classe C2,α de S, para algum α ∈ (0, 1),

denotemos por HΓ a curvatura media de Γ com respeito ao vetor normal apontando para

o interior de Ω, demonstramos o seguinte teorema, provado por Jorge Herbert S. de Lira,

em Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space. Geometriae

Dedicata, 93 (2002), 11–23.

Teorema 3.3 (Teorema Principal). Sejam S uma esfera geodesica de raio ρ em Hn+1 e Ω

um domınio em S com fecho contido num hemisferio aberto de S. Se − inf HΓ < H ≤ 0,

entao existe um unico grafico radial Σ sobre Ω com curvatura media H e bordo Γ.

A prova deste teorema utilizamos um teorema devido a Serrin (Teorema 3.1) para

garantir a existencia de um grafico radial mınimo em Hn+1 com bordo Γ. Combinamos as

estimativas a priori para o gradiente (cf. [13], § 2.3) com o Teorema da Funcao Implıcita

(Teorema 2.16) e obteremos o resultado acima recorrendo a teoria classica de Schauder,

assim como esta exposta por D. Gilbarg e N. Trudinger em [7].

O trabalho trata da questao de encontrarmos solucoes unicas para o seguinte pro-

blema: uma hipersuperfıcie deve ser o grafico de uma funcao u ∈ C2,α(Ω), onde Ω e

um domınio em uma esfera geodesica S de raio ρ em Hn+1 cujo fecho esta contido num

hemisferio aberto de S, tendo a curvatura media hiperbolica prescrita por uma funcao,

sujeita a condicao de u se anular na fronteira Γ = ∂Ω, ou seja, equivale a assegurar a

existencia de uma solucao u ∈ C2,α(Ω), u < 0, para o seguinte problema de Dirichlet:

QH(u) = 0 em Ω

u = 0 em Γ,

em que QH(u) e definido em (3.31), pagina 68.

A organizacao dos capıtulos segue da seguinte maneira. Para o primeiro capıtulo,

exibimos alguns conceitos e resultados da Geometria Riemanniana expostos em [17]. O

segundo tem o proposito de fundamentar o leitor de algumas ferramentas de EDP’s que

serao necessarias para a compreensao dos resultados que pretendemos demonstrar. Fize-

mos uma breve discussao sobre classificacao de EDP’s, baseado em [7]. Em seguida fize-

mos um estudo sobre o Princıpio do Maximo, que envolve o Princıpio do Maximo Fraco,

Princıpio do Maximo Forte, alem de resultados que garantem a unicidade de solucoes de

Pagina 3

Introducao

problemas de Dirichlet. Esta parte foi baseada em [7] e em [20]. Apresentamos ainda a

continuidade Holder e o Metodo da Continuidade, baseado em [7]. Ja no terceiro capıtulo,

apresentamos o problema de construcao de graficos com curvatura media constante em

termos da existencia de solucoes de uma classe especıfica de equacoes diferenciais parciais.

A partir da nocao de grafico radial no espaco Euclidiano Rn+1, deduzimos equacoes para

graficos radiais sobre esferas geodesicas no espaco hiperbolico Hn+1. No quarto e ultimo

capıtulo, exibimos a prova do nosso principal teorema, o Teorema 3.3.

Pagina 4

Capıtulo 1

Preliminares de Geometria Riemanniana

Este capıtulo visa dar uma nocao de alguns dos principais conceitos e resultados de

Geometria Riemanniana, necessarios para compreensao dos resultados que pretendemos

demonstrar.

1.1 Variedades Diferenciaveis

Uma variedade diferenciavel de dimensao n e um conjunto M e uma famılia de

aplicacoes biunıvocas xα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de Rn em M tais que:

(1)⋃α

(xα(Uα)

)= M ;

(2) Para todo par α, β, com xα(Uα)∩xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1α (W) e x−1

β (W)

sao abertos em Rn e as aplicacoes x−1β xα sao diferenciaveis;

(3) A famılia (Uα,xα) e maxima relativamente as condicoes (1) e (2).

O par (Uα,xα) (ou a aplicacao xα) com p ∈ xα(Uα) e chamado uma parametrizacao

(ou sistema de coordenadas) de M em p ; xα(Uα) e chamada uma vizinhanca coordenada

em p. Uma famılia (Uα,xα) satisfazendo (1) e (2) e chamada uma estrutura diferenciavel

em M .

Indicaremos uma variedade diferenciavel M de dimensao n por Mn.

5

Capıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis. Uma aplicacao ϕ : M → N e diferenciavel

em p ∈ M se dada uma parametrizacao y : V ⊂ Rn → N em ϕ(p) existe uma parame-

trizacao x : U ⊂ Rm → M em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V) e a aplicacao

y−1 ϕ x : U ⊂ Rm → Rn

e diferenciavel em x−1(p). ϕ e diferenciavel em um aberto de M se e diferenciavel em todos

os pontos deste aberto. Decorre da condicao (2) da definicao de variedades diferenciaveis

que a definicao dada independe da escolha das parametrizacoes.

Em seguida, estenderemos as variedades diferenciaveis a nocao de vetor tangente.

1.2 Espaco Tangente

Seja Mn uma Variedade Diferenciavel de dimensao n. Uma aplicacao diferenciavel

α : (−ε, ε) → M e chamada uma curva diferenciavel em M.

Suponha que α(0) = p ∈ M e seja D(M) = f : M → R ; f e diferenciavel em p. O

vetor tangente a curva α em t = 0 e a funcao

α′(0) : D(M) → Rf 7→ (f α)′(0)

ou seja, o vetor tangente a variedade M em p e o vetor tangente em t = 0 de alguma

curva α : (−ε, ε) → M com α(0) = p. Indicaremos por TP M o conjuntos desses vetores.

Sejam os seguintes caminhos no Rn, λi : (−ε, ε) → U ⊂ Rn tais que λi(t) = q + t · ei,

i = 1, . . . , n, e seja x : U ⊂ Rn → Mn uma paramtrizacao em p = x(q), q ∈ U . As curvas

αi = x λi sao chamadas de curvas coordenadas passando em p.

Com base nas definicoes acima, temos

(αi)′(0) · f = (f αi)′(0) = ((f x) λi)′(0)

=∑

j

∂(f x)

∂xj

(q) · (λij)′(0)

=∂(f x)

∂xi

(q)

e poremos a seguinte notacao:∂

∂xi

(p) = (αi)′(0)

Pagina 6

1.2. Espaco Tangente

ou seja,

∂

∂xi

(p) : D(M) → R ,∂

∂xi

(p) · f =∂(f x)

∂xi

(q) , q = x−1(p)

Queremos escrever o vetor tangente α′(0) em termos do sistema de coordenadas de M .

Sejam x : U ⊂ Rn → M um sistema de coordenadas locais de M em p, α : (−ε, ε) → M

uma curva diferenciavel com α((−ε, ε)) ⊂ x(U) e f : M → R uma aplicacao diferenciavel

em p. Facamos o seguinte:

α′(0) · f = (f α)′(0) =((f x) (x−1 α)

)′(0)

=n∑

i=1

∂(f x)

∂xi

(x−1 α(0)

) · α′i(0)

=n∑

i=1

∂(f x)

∂xi

(x−1(p)

) · α′i(0)

=n∑

i=1

α′i(0) ·(

∂

∂xi

(p) · f)

=

(n∑

i=1

α′i(0) · ∂

∂xi

(p)

)· f

portanto, α′(0) =n∑

i=1

α′i(0) · ∂

∂xi

(p), ou seja, o vetor v = α′(0) pode ser expresso na

parametrizacao x, e mostra que um vetor tangente a uma curva α em p depende apenas

das derivadas de α em um sistema de coordenadas. Decorre tambem que o conjunto

TpM , com as operacoes usuais de funcoes, forma um Espaco Vetorial de dimensao n e

que a escolha de uma parametrizacao x : U ⊂ Rn → M determina uma base associada∂

∂x1

(p), . . . ,∂

∂xn

(p)

em TpM . Conforme ilustra figura 1.1.

Da nocao de espaco tangente podemos estender as variedades diferenciaveis a nocao

de diferencial de uma aplicacao diferenciavel.

Proposicao 1.1. Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis e seja ϕ : M → N uma

aplicacao diferenciavel. Para cada p ∈ M e cada v ∈ TpM , escolha uma curva dife-

renciavel α : (−ε, ε) → M com α(0) = p, α′(0) = v. Faca β = ϕ α. A aplicacao

dϕp(v) = β′(0) e uma aplicacao linear que nao depende da escolha de α.

A aplicacao linear dϕp dada pela Proposicao 1.1 e chamada a diferencial de ϕ em p.

Com essa definicao, podemos falar em variedades orientadas.

Pagina 7


Figura 1.1: Espaco TpM : ∂k =∂

∂xk

(p), ω = α′(0) =∑

k

α′k(0) · ∂

∂xk

(p)

Seja Mn uma variedade diferenciavel. Diz–se que M e orientavel se M admite uma

estrutura diferenciavel (Uα,xα) tal que, para todo par α, β, com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) =

W 6= ∅, a diferencial da mudanca de coordenadas x−1β xα tem determinante da matriz

Jacobiana positivo em cada ponto do seu domınio. Caso contrario, diz-se que M e nao–

orientavel. Se M e orientavel, a escolha de uma estrutura diferenciavel e chamada uma

orientacao de M e M e, entao, dita orientada. Verifica–se que, se M e orientavel e conexa,

entao existem exatamente duas orientacoes distintas em M .

1.2.1 Campo de Vetores

Um campo de vetores X sobre uma variedade diferenciavel M e uma correspondencia

que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM , onde TpM e o espaco tangente

de M em p. Em termos de aplicacao, X e uma aplicacao de M em TM ,

X : M → TM

p 7→((p), X(p)

)

onde TM e o Fibrado Tangente de M .

Em termos de um sistema local de coordenadas x1, x2, . . . , xn, um campo vetorial

pode ser expresso por X(p) =∑

ai(p) ∂∂xi

(p), onde ai sao funcoes definidas na vizinhanca

coordenada, chamadas componentes de X com respeito a x1, x2, . . . , xn. Nessas condicoes

X e diferenciavel se, e somente se, suas componentes ai : x(U) → R sao diferenciaveis.

Pagina 8

1.3. Metricas Riemannianas

Outra forma de expressar um campo de vetores, e considerando a seguinte aplicacao

X : D(M) → Ff 7→ X · f : M → R

p 7→ X(p) · f

onde D(M) e o conjunto das funcoes diferenciaveis em M e F o conjunto das funcoes em

M , ou seja, todo campo de vetores “leva”o conjunto de funcoes diferenciaveis com valores

em M no conjunto das funcoes em M , definido por (Xf)(p) = X(p) · f .

Seja X(M) o conjunto de todos os campos vetoriais diferenciaveis sobre M . Entao,

X(M) e um espaco vetorial real com as operacoes naturais de adicao e multiplicacao por

escalar. Note que se f e uma funcao sobre M e X ∈ X(M), entao fX ∈ X(M).

1.3 Metricas Riemannianas

Uma Metrica Riemanniana numa Variedade Diferenciavel M e uma correspondencia

que associa a cada ponto p de M um produto interno 〈 , 〉p (i.e., uma forma bilinear

simetrica, positiva definida) no espaco tangente TpM , que varia diferenciavelmente no

seguinte sentido: Se x : U ⊂ R→ M e um sistema de coordenadas locais em torno de p,

com x(x1, . . . , xn) = p ∈ x(U) e∂

∂xi

(p) = dxp(0, . . . , 1, . . . , 0), entao

⟨∂

∂xi

(p),∂

∂xj

(p)

⟩

p

= gij(x1, . . . , xn)

e uma funcao diferenciavel em U .

E claro que esta definicao nao depende da escolha do sistema de coordenadas.

Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da Metrica Riemanniana e dizer que

para todo par X e Y de campos de vetores diferenciaveis em uma coordenada em M , a

aplicacao

〈X,Y 〉 : M → Rp 7→ 〈X(p), Y (p)〉p

e diferenciavel nessa vizinhanca.

As funcoes gij : x(U) → R sao chamadas as Expressoes da Metrica Riemanniana (ou

“os gij da metrica”) no sistema de coordenadas x : U ⊂ Rn → M . Uma variedade dife-

renciavel com uma dada Metrica Riemanniana, chama–se uma Variedade Riemanniana.

Pagina 9


Estabeleceremos uma nocao de equivalencias entre estruturas.

Sejam Mm e Nn variedades Riemannianas. Um difeomorfismo ϕ : M → N e chamado

uma isometria se:

〈u, v〉Mp = 〈dϕp(u), dϕp(v)〉Nϕ(p) (1.1)

para todo p ∈ M ; u, v ∈ TpM .

Se, alem disso para um aberto U ⊂ M , um difeomorfismo ϕ : U → ϕ(U) ⊂ N

satisfazendo (1.1) chama-se uma isometria local.

E usual dizer que a variedade Riemanniana M e localmente isometrica a variedade

N se para todo p ∈ M existe uma vizinhanca V em M e uma isometria local ϕ : V →ϕ(V) ⊂ N .

1.3.1 A Inversa da Metrica

Exibiremos a inversa da metrica gij =

⟨∂

∂xi

,∂

∂xj

⟩, a qual indicaremos por gij.

Sejam os vetores ei =∑

k

aki∂

∂xk

e ej =∑

l

alj∂

∂xl

, com o seguinte resultado

δij = 〈ei, ej〉 =∑

k,l

akialj〈 ∂

∂xk

,∂

∂xl

〉 =∑

k,l

(aik)> · gkl · alj

e do fato que δij =

1 se i = j

0 se i 6= j, obtemos a seguinte relacao I = A> · G · A e logo

G−1 = A · A>, e portanto a expressao da inversa da metrica em coordenadas e

gij =∑

k

aik(akj)> =

∑

k

aikaij. (1.2)

1.4 Variedades Imersas

Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis. Uma aplicacao diferenciavel ϕ : M → N

e uma imersao se dϕp : TpM → Tϕ(p) e injetiva ∀p ∈ M . Se, alem disso, ϕ e um

homeomorfismo sobre a imagem ϕ(M) ⊂ N , com a topologia induzida por N , diz–se que

ϕ e um mergulho. E se, M ⊂ N e a insclusao i : M → N e um mergulho, diz–se que M

e uma subvariedade de N .

Pagina 10

1.5. Conexao Afim

Observe que se ϕ : Mm → Nn e uma imersao, entao m ≤ n. A diferenca n − m e

chamada a codimensao da imersao ϕ. E se, a codimensao for igual a 1, ϕ(M) e chamada

de hipersuperfıcie.

Suponha ϕ : Mn → Nn+k uma imersao, Nn+k uma variedade Riemanniana e Mn

uma variedade diderenciavel. Defina

〈u, v〉Mp := 〈dϕp(u), dϕp(v)〉Nϕ(p)

como sendo a metrica em M . Essa metrica e chamada de metrica induzida por ϕ, e ϕ e

uma imersao isometrica.

1.5 Conexao Afim

Uma conexao afim ∇ em uma variedade diferenciavel M e uma aplicacao:

∇ : X(M)× X(M) → X(M)

que satisfaz as seguintes propriedades, onde X,Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M):

(1) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z;

(2) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ;

(3) ∇X(fY ) = f∇XY + XfY.

Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇ e uma metrica Rie-

manniana 〈 , 〉p. A conexao ∇ e dita compatıvel com a metrica 〈 , 〉p se

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 , X, Y, Z ∈ X(M)

Uma conexao afim ∇ em uma variedade diferenciavel M e dita simetrica se

∇XY −∇Y X = [X, Y ] X, Y ∈ X(M)

Dada uma variedade Riemanniana M , a unica conexao afim ∇ em M que e simetrica

e compatıvel com a metrica Riemanniana e chamada de conexao Riemanniana.

Pagina 11


1.6 Geodesicas e a Aplicacao Exponencial

Nesta secao introduziremos a nocao de geodesica como uma curva cuja aceleracao e

nula. Geodesica e um dos conceitos fundamentais da Geometria Riemanniana, pelo fato

de minimizarem comprimento de arco para pontos “suficientemente proximo”, e alem

disso, se uma curva minimiza o comprimento de arco entre dois quaisquer de seus pontos,

ela e uma geodesica.

Uma curva parametrizada γ : I → M e uma geodesica em t0 ∈ I se Ddt

dγdt

= 0 no ponto

t0. Se γ e geodesica em t, para todo t ∈ I, dizemos que γ e uma geodesica. Se [a, b] ⊂ I e

γ : I → M e uma geodesica, a restricao de γ a [a, b] e chamada (segmento de) geodesica

ligando γ(a) a γ(b).

E comum, por abuso de linguagem, dizermos que geodesica e a imagem γ(I) de uma

geodesica γ. Se γ e uma geodesica, entao

d

dt

⟨dγ

dt,dγ

dt

⟩= 2

⟨D

dt

dγ

dt,dγ

dt

⟩= 0,

isto e, o comprimento do vetor dγdt

e constante. Supondo que∣∣dγ

dt

∣∣ = c 6= 0, o comprimento

de arco s de γ, a partir de uma origem fixa, digamos t = t0, e entao dado por

s(t) =

∫ t

t0

∣∣∣∣dγ

dt

∣∣∣∣ dt = c(t− t0).

Portanto, o parametro de uma geodesica e proporcional ao comprimento de arco. Quando

o parametro e o proprio comprimento de arco, isto e, c = 1, diremos que a geodesica γ

esta normalizada.

E possıvel determinar as equacoes locais satisfeitas por uma geodesica γ em um

sistema de coordenadas (U ,x) em torno de γ(t0), conforme exposto em [17], e prova-se

que para cada ponto p ∈ M e um vetor v ∈ TpM em p, existe uma unica geodesica

passando em p com direcao v. Temos assim o seguinte lema.

Lema 1.2 (Lema 2.3, p. 63, [17]). Existe um unico campo G em TM = (q, v); q ∈M, v ∈ TpM cujas trajetorias sao da forma t → (γ(t), γ′(t)), onde γ e uma geodesica em

M .

O campo G definido acima e chamado campo geodesico em TM e seu fluxo e o fluxo

geodesico.

Pagina 12

1.6. Geodesicas e a Aplicacao Exponencial

Proposicao 1.3 (Proposicao 2.5, p. 63, [17]). Dado p ∈ M , existem um aberto

V ⊂ M, p ∈ V , numeros δ > 0 e ε1 > 0 e uma aplicacao C∞ γ : (−δ, δ) × U → M ,

U = (q, v); q ∈ V, v ∈ TqM, |v| < ε1, tais que a curva t → γ(t, q, v), t ∈ (−δ, δ), e a

unica geodesica de M que nos instante t = 0 passa por q com velocidade v, para cada

q ∈ V e cada v ∈ TpM com |v| < ε1.

Esta ultima proposicao afirma que se |v| < ε1, a geodesica γ(t, q, v) existe em um

intervalo (−δ, δ) e e unica. Em verdade, e possıvel aumentar a velocidade deuma geodesica

diminuindo o seu intervalo de definicao, ou vice-versa. Isto decorre do seguinte lema.

Lema 1.4 (Lema 2.6, p. 64, [17]). Se a geodesica γ(t, q, v) esta definida no intervalo

(−δ, δ), entao a geodesica γ(t, q, av), ∈ R, a > 0, esta definida no intervalo(− δ

a, δ

a

)e

γ(t, q, av) = γ(at, q, v).

Uma aplicacao muito util para nossos propositos, e a aplicacao exponencial, que

definiremos agora. Seja V uma vizinhanca de p ∈ M e U = (q, w) ∈ TM, q ∈ V,w ∈TqM, |w| < ε um aberto. Entao a aplicacao exp : U → M dada por

exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ

(|v|, q, v

|v|)

, (q, v) ∈ U ,

e chamada aplicacao exponencial em U .

Geometricamente, expq(v) e o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual

a |v|, a partir de q, sobre a geodesica que passa por q com velocidade igual a v|v| .

Figura 1.2: Aplicacao Exponencial expp

Proposicao 1.5 (Proposicao 2.9, p. 65, [17]). Dado q ∈ M , existe um ε > 0 tal que

expp : Bε(0) ⊂ TqM → M e um difeomorfismo de Bε(0) sobre um aberto de M .

Pagina 13


Se a aplicacao exponencial expp e um difeomorfismo em uma vizinhanca V da origem

em TpM , expp V = U e chamada uma vizinhanca normal de p. Se Bε(0) e tal que

Bε(0) ⊂ V , chamamos expp Bε(0) = Bε(p) a bola normal (ou geodesica) de centro p e raio

ε. A fronteira de uma bola normal e um hipersuperfıcie em M ortogonal as geodesicas

que partem de p, denotamos por Sε(p) e denominamos por esfera normal (ou geodesica).

As geodesicas em Bε(p) que partem de p sao chamadas geodesicas radiais.

Figura 1.3: Esfera geodesica: expp Bε(0) = Bε(p)

Um segmento geodesico γ : [a, b] → M e chamado minimizante se `(γ) ≤ `(c),

em que `(.) indica o comprimento de uma curva e c e qualquer curva diferenciavel por

partes ligando γ(a) a γ(b). A seguinte proposicao assegura que as geodesicas minimizam,

localmente, o comprimento de arco.

Proposicao 1.6 (Proposicao 3.6, p. 71, [17]). Sejam p ∈ M , U uma vizinhanca normal

de p, B ⊂ U uma bola normal de centro p. Seja γ : [0, 1] → B um segmento de geodesica

com γ(0) = p. Se c : [0, 1] → M e qualquer curva diferenciavel por partes ligando γ(0) a

γ(1) entao `(γ) ≤ `(c) e se a igualdade vale entao γ([0, 1]) = c([0, 1]).

Cabe observar que a proposicao acima nao e global, pois se considerarmos as geodesicas

de uma esfera que partem de um ponto p nao sao minizantes depois que passam pelo

antıpoda de p. Por outro lado, se uma curva c diferenciavel por partes e minimizante,

entao c e uma geodesica. Como afirma o seguinte corolario.

Corolario 1.7 (Corolario 3.9, p.73, [17]). Se uma curva diferenciavel por partes γ :

[a, b] → M , com parametro proporcional ao comprimento de arco, tem comprimento me-

nor ou igual ao comprimento de qualquer outra curva diferenciavel por partes ligando γ(a)

a γ(b) entao γ e uma geodesica. Em particular e regular.

Pagina 14

1.7. Segunda Forma Fundamental

1.7 Segunda Forma Fundamental

Seja ϕ : Mn → Mn+k

uma imersao isometrica. Para simplificar a notacao, identifi-

caremos, para cada p ∈ M , cada vetor v ∈ TpM com dϕp(v) ∈ Tϕ(p)M e ϕ(W) com W ,

onde W ⊂ M e uma vizinhanca de p. Entao a metrica de M decompoe TpM na soma

direta:

TpM = TpM ⊕ (TpM)⊥,

onde (TpM)⊥ e o complemento ortogonal de TpM em TpM .

Se X,Y sao campos locais de vetores em M , e X, Y sao suas extensoes locais a M

, entao a conexao Riemanniana de M e dada por ∇XY = (∇XY )T , onde ∇ e a conexao

Riemanniana de M .

Queremos definir a segunda forma fundamental da imersao ϕ. Para tanto, definiremos

B(X, Y ) = ∇XY − ∇XY como um campo local em M normal a M , onde X e Y

sao campos locais em M . Segue que B(X,Y ) nao depende das extensoes de X, Y , e a

aplicacao B : X(W)×X(W) → X(W)⊥ e bilinear e simetrica, onde X(W)⊥ sao os campos

diferenciaveis em M de vetores normais a M .

Estamos aptos a definir a segunda forma fundamental. Seja p ∈ M e η ∈ (TpM)⊥. A

aplicacao Hη : TpM × TpM → R dada por

Hη(u, v) = 〈B(u, v), η〉, ∀ u, v ∈ TpM

e uma forma bilinear simetrica. E portanto temos a seguinte definicao.

A forma quadratica IIη definida em TpM por IIη(v) = Hη(v, v) e chamada a segunda

forma fundamental de ϕ em p segundo o vetor normal η.

Denotaremos por Sη : TpM → TpM a aplicacao linear auto–adjunta associada a

segunda forma fundamental de ϕ, isto e,

〈Sη(u), v〉 = Hη(u, v) = 〈B(u, v), η〉 , ∀ u, v ∈ TpM.

E essa aplicacao linear, em termos da derivada covariante, pode ser expressa como

Sη(v) = −(∇vN)T ,

onde N e uma extensao local de η normal a M .

Relacionaremos agora a curvatura de M com a curvatura de M e as segundas formas

fundamentais. Se u, v ∈ TpM ⊂ TpM , sao linearmente independentes, indicaremos por

Pagina 15


K(u, v) e K(u, v) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente, no plano gerado

por u e v.

Teorema 1.8 (Gauss). Sejam p ∈ M e u, v vetores ortonormais de TpM . Entao

K(u, v)−K(u, v) = 〈B(u, u), B(v, v)〉 − |B(u, v)|2 .

Uma imersao ϕ : M → M e geodesica em p ∈ M se para todo η ∈ (TpM)⊥ a segunda

forma fundamental Hη e identicamente nula em p. A imersao ϕ e totalmente geodesica se

ela e geodesica para todo p ∈ M .

Uma imersao ϕ : M → M e mınima se para todo p ∈ M e todo η ∈ (TpM)⊥ tem–se

que o traco de Sη = 0.

Escolhendo um referencial ortonormal ξ1, . . . , ξk de vetores em (TpM)⊥, o vetor cur-

vatura media de ϕ em p e definido por

H =1

n

∑

k

(trSξk)ξk

que nao depende do referencial ξk escolhido. E, e claro que ϕ e mınima se, e somente se,

H(p) = 0, para todo p ∈ M .

1.7.1 Segunda Forma Fundamental de Hipersuperfıcies

Consideremos o caso particular em que a imersao e uma hipersuperfıcie, isto e, ϕ :

Mn → Mn+1

. Seja p ∈ M e η ∈ (TpM)⊥, |η| = 1. Como Sη : TpM → TpM e simetrica,

existe uma base ortonormal de vetores proprios ξ1, . . . , ξn de TpM com valores proprios

λi, . . . , λn, i.e., Sη(ξ1) = λiξi, 1 ≤ i ≤ n. Se M e M sao orientaveis e estao orientas,

entao o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que sendo ξ1, . . . , ξn uma

base na orientacao de M e ξ1, . . . , ξn, η seja uma base na orientacao de M . Neste caso,

denominamos, os ξi direcoes principais e os λi = ki curvaturas principais de ϕ e portanto,

a curvatura de Gauss–Kronecker de ϕ e det(Sη) = λ1 . . . λn, e a curvatura media de ϕ e1ntr(Sη) = 1

n(λ1 + . . . + λn).

Um caso importante ocorre quando M = Rn+1. Neste caso, podemos expressar a

curvatura media em coordenadas. Inicialmente, seja N uma extensao local de η, unitaria

e normal a M . Sejam α(t) = (a1(t), . . . , an(t)) e β(t) = (b1(t), . . . , bn(t)) duas curvas

diferenciaveis em M , com α(0) = β(0) = p ∈ M , α′(0) = u ∈ TpM e β′(0) = v ∈ TpM .

Pagina 16

1.7. Segunda Forma Fundamental

Escrevendo u =∑

i

a′i

∂X

∂xi

e v =∑

j

b′j

∂X

∂xj

temos que

〈B(u, v), N〉 = 〈Sη·u, v〉= −〈dN ·u, v〉

= −⟨

dN ·∑

i

a′i

∂X

∂xi

,∑

j

b′j

∂X

∂xj

⟩

= −⟨∑

i

a′i dN ·∂X

∂xi

,∑

j

b′j

∂X

∂xj

⟩

= −∑i,j

a′ib′j

⟨dN ·∂X

∂xi

,∂X

∂xj

⟩

=∑i,j

a′ib′j

⟨N,

∂2X

∂xi∂xj

⟩

onde a ultima igualdade vem do fato que

∂

∂xi

⟨N,

∂X

∂xj

⟩=

⟨dN ·∂X

∂xi

,∂X

∂xj

⟩+

⟨N,

∂2X

∂xi∂xj

⟩

= 0.

Portanto,

bkl :=

⟨B

(∂X

∂xk

,∂X

∂xl

), N

⟩=

⟨N,

∂2X

∂xk∂xl

⟩,

e entao a curvatura media pode ser escrita

H =1

n

∑i,j

gijbij (1.3)

onde gij e a inversa da metrica gij =

⟨∂

∂xi

,∂

∂xj

⟩, como foi visto em (1.2).

Pagina 17


1.8 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

Definiremos nesta secao, o gradiente, a divergencia, o laplaciano e o hessiano em uma

variedade Riemanniana, determinando para cada um destes suas expressoes em relacao a

um referencial ortonormal e a um sistema de coordenadas. Destacaremos alguns resultados

basicos que utilizaremos ao longo do nosso trabalho, tambem veremos a relacao que existe

entre os laplacianos de duas variedades conformes.

Dada uma funcao f ∈ D(M), o gradiente de f e o campo de vetores

gradf : M → TM

p 7→ (p, gradf(p)) ,

definido por

〈gradf, X〉 = X(f) = df ·X, ∀ X ∈ X(M).

Dado X ∈ X(M), o divergente de X e a funcao divX : M → R, definida por

divX(p) = tr(Y (p) 7→ (∇Y X)(p)

),

onde tr representa o traco da aplicacao linear Y (p) 7→ (∇Y X)(p).

O operador linear ∆ : D(M) → D(M) definido por:

∆f = div(grad f), ∀ f ∈ D(M)

e chamado o operador Laplaciano de M .

Calcularemos, primeiramente, as expressoes de gradf , divX e ∆f em relacao a um

referencial ortogonal (ξ1, . . . , ξn) definido em um aberto de M . Observemos no entanto

que as expressoes do gradiente, da divergencia e do laplaciano independem do referencial

escolhido, pois o gradiente em cara ponto p ∈ M e o vetor que representa o funcional

linear dfp e a divergencia e o traco de uma aplicacao linear.

Como, por definicao,

〈gradf, ξi〉 = ξif, i = 1, . . . , m,

a expressao de gradf e

gradf =m∑

i=1

(ξif

)ξi. (1.4)

Pagina 18

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

De acordo com a definicao da divergencia de um campo X, temos

divX =m∑

i=1

⟨∇ξi

X, ξi

⟩,

e escrevendo X =m∑

j=1

Xjξj segue que

〈∇ξiX, ξi〉 =

⟨∇ξi

(m∑

j=1

Xjξj

), ξi

⟩=

m∑j=1

⟨∇ξi

(Xjξj

), ξi

⟩

=m∑

j=1

⟨(ξiXj

)ξj + Xj∇ξi

ξj, ξi

⟩

= ξiXi +m∑

j=1

Xj

⟨∇ξi

ξj, ξi

⟩

= ξiXi −m∑

j=1

Xj

⟨∇ξi

ξi, ξj

⟩

= ξiXi −⟨∇ξi

ξi, X⟩.

Concluımos entao que

divX =m∑

i=1

ξiXi −

⟨∇ξiξi, X

⟩. (1.5)

Para o calculo do laplaciano, combinando (1.4) e (1.5) para obter

δf = div(gradf) =m∑

i=1

ξi

(ξif

)− ⟨∇ξiξi, gradf

⟩,

isto e,

δf =m∑

i=1

ξi

(ξif

)− (∇ξiξi

)f

. (1.6)

Em particular, de ξ1, . . . , ξm e um referencial geodesico em p, ou seja, se alem da

ortogonalidade temos(∇ξi

ξj

)(p) = 0, i, j = 1, . . . ,m, entao as expressoes da divergencia

e do laplaciano no ponto p sao

divX(p) =m∑

i=1

(ξiXi

)(p) e ∆f(p) =

m∑i=1

ξi

(ξif

)(p).

Seja x : U → M um sistema de coordenadas locais, vamos calcular as expressoes de

gradf , divX e δf nesse sistema de coordenadas. Denotando ∂i =∂

∂xi

, seja ∂1, . . . , ∂ma base associada a esse sistema e considere a matriz G =

(gij

)definida por gij =

⟨∂i, ∂j

⟩,

Pagina 19


i, j = 1, . . . , m. Denotemos por g = detG, G−1 =(gij

)o determinante e a inversa de G,

respectivamente.

Para o gradiente, escrevendo

gradf =m∑

i=1

αi∂i,

temos que

∂f

∂xi

= 〈αi∂i∂j〉 =m∑

i=1

αigij,

e pondo A =(αi

)m×1

e F =

(∂f

∂xi

)

m×1

, obtemos GA = F , ou seja, A = G−1F . Segue

que

αi =m∑

j=1

gij ∂f

∂xi

e consequentemente,

gradf =m∑

i=1

m∑

j=1

gij ∂f

∂xi

∂i. (1.7)

Calculemos a expressao da divergencia. Se ξ1, . . . , ξm e um referencial ortogonal

definido em x(U), escrevendo

ξi =m∑

k=1

eki∂k, i = 1, . . . , m,

temos

δij =⟨ξi, ξj

⟩=

m∑

k,l=1

ekleljgkl, i = 1, . . . ,m.

Pondo E = (eij), segue que ET GE = I. Portanto, podemos tambem escrever

δij =m∑

i,j=1

gikeklejl, i, j = 1, . . . , m. (1.8)

Para um campo X ∈ X(M) dado por

X =m∑

i=1

ai∂i,

Pagina 20


tem-se que

divX =∑

k

⟨∇ξkX, ξk

⟩=

∑

k

⟨∇∑

i

eik∂i

∑j

aj∂j,∑

l

elk∂i

⟩

=∑

i,j,k,l

elkeik 〈∇∂iaj∂j, ∂l〉

=∑

i,j,k,l

elkeik

⟨∂aj

∂xi

∂j, ∂i

⟩+ aj

⟨∇∂i∂j, ∂l

⟩

=∑

i,j,k,l

gjlelkeik

∂aj

∂xi

+∑

r

(grlelkeikajΓ

rij

),

em que Γrij, i, j, r = 1, . . . , m, sao os. utilizando sımbolos de Christoffel da conexao ∇ no

sistema de coordenadas x. Utilizando (1.8), obtemos

divX =∑

i

∂ai

∂xi

+∑

j

ajΓiij

, (1.9)

e como

Γkij =

1

2

∑

l

glk

∂gjl

∂xi

+∂gli

∂xj

− ∂ij

∂xl

,

segue que

∑i,j

Γiij =

1

2

∑

i,j,l

ajgli

∂gjl

∂xi

+∂gli

∂xj

− ∂gij

∂xl

=1

2

∑

i,j,l

ajg

li ∂gjl

∂xi

+ aiglj ∂glj

∂xi

− ajgil ∂glj

∂xi

=1

2

∑

i,j,l

ajgjl ∂glj

∂xi

.

Consequentemente,

divX =∑

i

∂ai

∂xi

+1

2ai

∑

j,l

gjl glj

∂xi

=

∑i

∂ai

∂aj

+1

2aitr

(G−1 ∂G

∂xi

)

=∑

i

∂ai

∂xi

+1

2ai

1

g

∂g

∂xi

=

∑i

∂ai

∂xi

+1√g

∂

∂xi

(√

g)

,

em que∂G

∂xi

denota a matriz obtida de G derivando-se cada elemento em relacao a i-esima

coordenada, e onde usamos o fato que∂g

∂xi

= gtr

(G−1 ∂G

∂xi

)(veja [So], p. 56). Logo, a

expressao da divergencia de X e

divX =1√g

∑i

∂i

(ai√

g). (1.10)

Pagina 21


Finalmente, a partir de (1.7) e (1.10) obtemos o laplaciano como

∆f =1√g

∑i,j

∂i

(gij√g

∂f

∂xj

). (1.11)

Convem mencionar agora algumas propriedades, que usando as definicoes de gradi-

ente, divergente e laplaciano, por um calculo direto podemos mostrar que

grad(fg) = fgradh + hgradf

div(fX) = fdivX + 〈gradf, X〉 (1.12)

∆(fg) = f∆h + h∆f + 2〈gradf, gradh〉, (1.13)

para quaisquer f, g ∈ D(M). Se M e compacta e orientavel, com bordo ∂M , para

X ∈ X(M) tem-se que ∫

M

(divX)dV =

∫

∂M

〈X, ν〉dA,

em que dV e dA sao os elementos de volume de M e do bordo ∂M , respectivamente, e ν

e o campo unitario normal exterior em ∂M Este resultado e conhecido como Teorema da

Divergencia ([Sp], p. 192). Decorrem deste teorema e de (1.12) as chamadas Formulas

de Green ∫

M

f∆g + 〈gradf, gradg〉dV =

∫

∂M

f〈gradg, ν〉dA (1.14)

e ∫

M

f∆g − g∆f

dV =

∫

∂M

f〈gradg, ν〉 − g〈gradf, ν〉dA, (1.15)

para f, g ∈ D(M).

Introduziremos o conceito de variedades conformes. Seja ϕ : M → N um difeomor-

fismo, em que N e uma variedade Riemanniana. Denotaremos por 〈 , 〉, ∇ e ∆ a metrica

em N , a conexao Riemanniana e o laplaciano relativos a esta metrica, respectivamente.

Suponha que existe uma funcao µ ∈ D(M) que satisfaca, para todo p ∈ M e todo par de

vetores v, w ∈ TpM , µ(p) 6= 0 e

〈dϕp · v, dϕp · w〉 = µ2(p)〈v, w〉.

Neste caso, dizemos que ϕ e um difeomorfismo conforme, que M e N sao variedades

conformes e que a funcao µ2 e o coeficiente de conformalidade de ϕ.

Pagina 22


Observemos que dados X ∈ X(M) e f ∈ D(M), pondo g = f ϕ−1, temos para

q = ϕ(p),

((dϕ ·X)g

)(q) = dgq ·

(dϕp ·X(p)

)=

(dfp dϕ−1 dϕq

)(X(p)

)

= dfp ·(X(p)

)=

(Xf

)(p)

=(Xf ϕ−1

)(q),

isto e,(dϕ ·X)

g = Xf ϕ−1. (1.16)

O lema a seguir nos mostra como se relacionam as conexoes de duas variedades

conformes, neste caso as de M e N .

Lema 1.9. Se X,Y ∈ X(M), entao

∇dϕ·X(dϕ ·Y ) = dϕ ·∇XY +

1

2µ−2

(X

(µ2

)Y + Y

(µ2

)X − 〈X,Y 〉grad

(µ2

) )(1.17)

Demonstracao. Seja S(X,Y ) o campo que satisfaz

∇dϕ·X(dϕ · Y ) = dϕ ·(∇XY + S(X, Y )

), (1.18)

para quaisquer X, Y, Z ∈ X(M). Utilizando (1.16) obtemos

(dϕ ·X)〈dϕ · Y, dϕ · Z〉 =

(dϕ ·X) (

µ2〈Y, Z〉 ϕ−1)

= X(µ2〈Y, Z〉) ϕ−1,

ou seja,(dϕ ·X)〈dϕ · Y, dϕ · Z〉 =

X(µ2)〈Y, Z〉+ µ2X〈Y, Z〉

ϕ−1. (1.19)

Temos tambem que

〈∇dϕ·X(dϕ · Y ), dϕ · Z〉 = 〈dϕ · (∇XY + S(X, Y )), dϕ · Z〉

= µ2〈∇XY + S(X,Y ), Z〉 ϕ−1

=

µ2〈∇XY, Z〉+ µ2〈S(X,Y ), Z〉 ϕ−1. (1.20)

Permutando-se Y e Z em (1.20) obtemos

〈dϕ · Y,∇dϕ·X(dϕ · Z)〉 =

µ2〈Y,∇XZ〉+ µ2〈Y, S(X,Z)〉 ϕ−1. (1.21)

Pagina 23


Como

(dϕ ·X)〈dϕ · Y, dϕ · Z〉 = 〈∇dϕ·X(dϕ · Y ), dϕ · Z〉+ 〈dϕ · Y,∇dϕ·X(dϕ · Z)〉,

decorre de (1.19), (1.20) e (1.21) que (1.18) equivale a

X(µ2

)〈Y, Z〉 = µ2〈S(X, Y ), Z〉+ 〈Y, S(X,Z)〉. (1.22)

Por outro lado, S(X, Y ) dado por

S(X, Y ) =1

2µ−2

X

(µ2

)Y + Y

(µ2

)X − 〈X, Y 〉grad

(µ2

)

obviamente verifica

〈S(X, Y ), Z〉 =1

2µ−2

X

(µ2

) 〈Y, Z〉+ Y(µ2

) 〈X, Z〉 − Z(µ2

) 〈X,Y 〉

e, consequentemente, satisfaz a equacao (1.22), o que conclui a demonstracao do lema. ¤

A proposicao seguinte nos mostra a relacao que existe entre os laplacianos das varie-

dades conformes M e N .

Proposicao 1.10. Sejam f ∈ D(M) e g ∈ D(N) tais que g = f ϕ−1. Entao

∆g(q) =

1

µ2∆f +

m− 2

2µ4grad(µ2)f

(p), (1.23)

em que q = ϕ(p), p ∈ M.

Demonstracao. Seja ξ1, . . . , ξm um referencial ortogonal definido num aberto

V ⊂ M . Temos que que ηζ1, . . . , ηζm e um referencial ortogonal definido no aberto

W = ϕ(V ), em que η =1

µ ϕ−1 e ζi = dϕ · ξi, i = 1, . . . , m. Assim, de acordo com 1.6,

em W , temos

∆g =m∑

i=1

ηζi

(ηζig

)− (∆ηζi

(ηζ1)g)

. (1.24)

Utilizando (1.16), vem que

ζig =(dϕ · ξi

)g =

(ξif

) ϕ−1,

ζi

(ζig

)= (dϕ · ξi)

((ξif) ϕ−1

),

ζiξ = (dϕ · ξi)η =

ξi

(1

µ

) ϕ−1.

Calculemos cada parcela da soma em (1.24). Temos que

ηζi(ηζig) = η(ζiη)(ζig) + η2ζi(ζig) =

1

µ

(ξi

(1

µ

))(ηif) +

1

µ2ηi(ηi)

ϕ−1

Pagina 24


e (∆ηζi

(ηζi))g = η(ζiη)(ζig) + η2

((∆ζi

ζi)g).

Para desenvolvermos esta ultima igualdade, vamos determinar a expressao de ∇ζiζi. Pelo

Lema 1.9 tem-se que

∇ζiζi = dϕ ·

∇ξi

ξi +1

2µ2

(2ξi

(µ2

)ξi − grad

(µ2

) ),

e decorre de (1.16) que

(∇ζi

ζi

)g =

(∇ξi

ξi

)f +

1

2µ2

(2ξi

(µ2

)ξi − grad

(µ2

) )f

ϕ−1.

Portanto,

(∇ηζi

(ηζi

))g =

1

µ

(ξi

(1

µ

)) (ξif

)

+1

µ2

[(∇xiiξi

)f +

1

2µ2

(2ξi

(µ2

)ξi − grad

(µ2

) )f

] ϕ−1.

Consequentemente, o termo do somatorio em (1.24) e

ηζi

(ηζig

)−∇ηζi(ηζi) =

1

µ2

(ξi(ξif)− (∇ξi

ξi)f)

− 1

2µ4

(2ξi

(µ2

)ξi − grad

(µ2

) )f

ϕ−1.

Logo,

∆g =

1

µ2

m∑i=1

(ξi(ξif)− (∇ξi

ξi)f)

+1

2µ4

(m∑

i=1

grad(µ2

)− 2m∑

i=1

ξi

(µ2

)ξi

)f

ϕ−1

=

1

µ2∆f +

1

2µ4grad

(µ2

)f

ϕ−1,

e em q = ϕ(p) temos (1.23). ¤

Para finalizarmos a secao, definiremos o Hessiano de uma funcao f ∈ X(M).

Sejam f ∈ X(M) e p ∈ M . Defina o hessiano de f no ponto p como a aplicacao

bilinear, Hessf : TpM × TpM → R dada por:

Hessf(X, Y ) =⟨∇X(gradf), Y

⟩.

Pagina 25


Observando que

[X, Y ](f) = XY (f)− Y X(f) = (∇XY −∇Y X)(f),

temos que Hessf(X,Y ) = Hessf(Y, X), em que X, Y ∈ X(M), isto e, Hessf e uma forma

bilinear simetrica. Se (x1, . . . , xn) e um sistema de coordenadas locais em M e ∂i =∂

∂xientao:

Hessf(∂i, ∂j) = ∂i∂jf − (∇∂i∂j)(f).

Como ∇∂i∂j =

∑

k

Γkij∂k podemos escrever a expressao acima da seguinte maneira:

Hessf(∂i, ∂j) =(∂i∂j −

∑

k

Γkij∂k

)(f).

Denotaremos tambem por Hessf o operador linear auto–adjunto associado ao hessiano de

f .

As igualdades abaixo decorrem das propriedades do gradiente e divergente ja vistas

anteriormente:∆(fg) = f∆g + g∆f + 2 〈∇f,∇g〉);

1

2∆(f 2) = f∆f + |∇f |2;

∆f = tr(Hessf).

Pagina 26

1.9. O Espaco Hiperbolico

1.9 O Espaco Hiperbolico

Os espacos de curvatura seccional constante podem ser agrupadas em tres tipos: os

de curvaturas seccional positiva, os de negativa e os que possuem curvatura seccional

nula. Se multiplicarmos uma metrica Riemanniana por uma constante positiva c, entao

a sua curvatura seccional e multiplicada pelo inverso de c. Portanto, podemos supor que

a curvatura seccional constante de uma variedade e 1, 0 ou −1.

O espaco euclidiano Rn+1 tem curvatura seccional nula, na esfera Sn esse valor e 1;

portanto para estudarmos as variedades com curvatura seccional constante devemos obter

uma com curvatura −1. E esse e o caso do espaco hiperbolico.

Definimos como Espaco Hiperbolico de dimensao n + 1, o semi-espaco do Rn+1 dado

por

Hn+1 := (x0, . . . , xn) ∈ Rn+1; xn > 0munido da metrica

ds2 =dx2

0 + · · ·+ dx2n

x2n

=1

x2n

n∑i=0

dx2i . (1.25)

Este espaco e simplesmente conexo e e completo. Antes de justificarmos estes fatos,

vejamos o seguinte exercıcio.

Consideremos H2 o plano hiperbolico, ou seja, H2 = (x, y) ∈ R2; y > 0. Mostrare-

mos que o segmento γ : [a, b] → H2, a > 0, do eixo dos y, dado γ(t) = (0, t) e a imagem

de uma geodesica. De fato, para qualquer arco c : [a, b] → H2 dado por c(t) = (x(t), y(t))

com c(a) = (0, a) e c(b) = (0, b), temos que

`(c) =

∫ b

a

‖ c′(t) ‖ dt =

∫ b

a

1

y

√[x′(t)

]2+

[y′(t)

]2dt

≥∫ b

a

1

y

√[y′(t)

]2dt ≥

∫ b

a

|y′(t)|y

dt

≥∫ b

a

dy

y= `(γ),

ou seja, γ minimiza arcos diferenciaveis por partes, e entao pelo Corolario 1.7, a imagem

de γ e uma geodesica. A aplicacao

z 7→ az + b

cz + d, z = x + iy, ad− bc = 1,

que e uma isometria em H2, transforma o eixo y em semi-cırculos superiores ou semi-retas

x = x0, y > 0. Estas curvas sao, portanto, geodesicas em H2. Na verdade, estas sao todas

Pagina 27


as geodesicas de H2, pois por cada ponto p ∈ H2 e cada direcao em TpH2 passa um tal

cırculo com centro no eixo x.

Figura 1.4: Geodesicas em H2

O espaco Hn+1 e completo pois as restas perpendiculares ao hiperplano xn = 0, e os

cırculos de Hn+1 cujos planos sao perpendiculares ao hiperplano xn = 0 e cujos centros

estao neste hiperplano sao geodesicas de Hn+1. De fato, observe que uma isometria do

Rn+1 que so envolver as variaveis x0, . . . , xn nao altera a metrica dada em (1.25) e e,

portanto, uma isometria em Hn+1. Entao basta considerar retas e cırculos no plano x0xn

e o exercıcio que fizemos acima. Na verdade, essas sao todas as geodesicas de Hn+1.

1.9.1 Isometrias e o Modelo da Bola

Uma aplicacao f : U ⊂ Rn+1 → Rn+1 de um aberto U ⊂ Rn+1 e conforme se para

todo p ∈ U e todo par de vetores v1 e v2 em p tivermos

〈dfp(v1), dfp(v2)〉 = λ2(p)〈v1, v2〉, λ2 6= 0.

A funcao positiva λ : U → R e chamada o coeficiente de conformalidade de f

As isometrias do espaco hiperbolico no modelo do semi-espaco sao as restricoes a

Hn+1 ⊂ Rn+1 das transformacoes conformes de Rn+1 que levam Hn+1 sobre si mesmo.

Uma demonstracao deste resultado, encontra-se em [17].

Identificaremos algumas hipersuperfıcies importantes do espaco hiperbolico Hn+1. As

subvariedades totalmente geodesicas de Hn+1 sao as intersecoes de Hn+1 com hiperplanos

Pagina 28


de Rn+1 ortogonais a ∂Hn+1, e as intersecoes de Hn+1 com as esferas de Rn+1 com centro

em ∂Hn+1.

O espaco hiperbolico possui outros modelos alem do semi-espaco. Um deles veremos

agora, que e o modelo da bola. Considere a bola Bn+1 ⊂ Rn+1 de raio 2 e centro na

origem,

Bn+1 = p ∈ Rn+1; |p| = 2e introduza a metrica

hij(p) =δij(

1− 14|p|2)2 .

Considere a aplicacao f : Bn+1 → Hn+1 dada por

f(p) = 4p− p0

|p− p0|2 − (0, . . . , 0, 1), em que p0 = (0, . . . , 0,−2).

Mostraremos que f e uma isometria, e portanto, Bn+1 e isometrico a Hn+1.

Com efeito, se v e um vetor em p e 〈 , 〉 indica o produto interno na metrica euclidiana,

〈dfp(v), dfp(v)〉 =16〈v, v〉|p− p0|4 .

Por outro lado, indicando f(p) = (f1(p), . . . , fn(p)), obteremos

fn(p) =4(xn + 2)

|p− p0|2 − 1 =4− |p|2|p− p0|2 .

Portanto,〈dfp(v), dfp(v)〉(

fn(p))2 =

16|p− p0|4〈v, v〉(4− |p|2)2|p− p0|4

=〈v, v〉(

1− 14|p|2)2 .

Da injetividade de f , conclui-se que f e uma isometria de Bn+1 em Hn+1. Observe que f

leva ∂Bn+1 − p em ∂Hn+1.

Note que uma aplicacao g : Bn+1 → Bn+1 e uma isometria de Bn+1 na metrica hij,

se e somente se, g e a restricao de uma transformacao conforme do Rn+1 que leva Bn+1

sobre Bn+1.

Observe f leva ∂Bn+1−p0 em ∂Hn+1. O ponto p0 seria entao levado no “infinito”,

pois nesse ponto o denominador da fracao na formula de f se anularia uma potencia a

mais do que o numerador.

Na figura 1.5, a direita, e o Cırculo Limite III de M. C. Escher, foi feita em 1959.

Ele usou a geometria hiperbolica no modelo da bola. Os peixes dessa gravura sao repre-

sentacoes de nossos queridos “chatoides” (ou “poincaretas”, se voce preferir), habitantes

Pagina 29


Figura 1.5: Modelo da bola, Bn+1

do plano hiperbolico mapeado no disco. A gravura mostra como nos, euclidianos natos,

vemos o mundo hiperbolico desses chatoides. Quando um chatoide se afasta do centro do

disco, vemos seu tamanho encolher ficando cada vez menor a medida que se aproxima do

cırculo limite. O chatoide, e claro, nao concorda com essa nossa descricao do que acontece

em seu mundo. Para ele, nada muda de tamanho quando se desloca pelo disco. Isso se

justifica ja que suas reguas e trenas sao modificadas na mesma proporcao que seus corpos.

1.9.2 Superfıcies Umbılicas do Hn+1

As superfıcies Umbılicas no espaco hiperbolico sao as esferas, horoesferas e as su-

perfıcies equidistantes (ou hiperesferas), como descreveremos a seguir.

As esferas sao as esferas euclidianas que estao totalmente contidas em Hn+1. Se o

modelo do espaco hiperbolico for o da bola Bn+1, entao essas superfıcies serao esferas

contidas na bola aberta de raio 2, centradas na origem.

Consideremos, a seguir, uma n-esfera euclidiana S tangente a ∂Hn+1 em um ponto p,

tal que S − p ⊂ Hn+1. Por uma inversao do Rn+1 em p (que e uma isometria do Hn+1)

S e levada em um hiperplano P paralelo a ∂Hn+1. Como a metrica induzida em P por

Hn+1 e um multiplo da metrica euclidiana, e P tem curvatura constante zero, o mesmo

acontece com S − p. Essas subvariedades sao chamadas de horoesfera. No modelo

Bn+1 as horoesferas sao as n-esferas que tangenciam ∂Bn+1. A horoesfera e um superfıcie

Pagina 30


limite de uma famılia de esferas que passam por um ponto p pre-fixado e cujos centros se

deslocam ao longo de uma reta fixa.

Figura 1.6: Horoesfera

Quando q →∞ em L, as esferas se aproxima a uma superfıcie. Esta superfıcie e um

plano passando em p no caso do Rn+1. No Hn+1, esta superfıcie e a horoesfera.

Considere finalmente uma esfera euclidiana S que corta ∂Hn+1 segundo um angulo θ,

e sua intersecao S ∩Hn+1 = Σ com Hn+1. Por uma inversao de Rn+1 em um ponto de S ∩∂Hn+1, Σ e levada isometricamente na intersecao com Hn+1 de um hiperplano P que corta

∂Hn+1 segundo o mesmo angulo θ. Considere o hiperplano Q que e ortogonal a ∂Hn+1 e

contem P ∩∂Hn+1. Vejamos, que P e uma hipersuperfıcie equidistante da hipersuperfıcie

totalmente geodesica Q. Para isto, seja γr uma geodesica, ,representada em Hn+1 por um

semi-cırculo de raio r, com centro 0 em P ∩∂Hn+1 e no plano perpendicular a P ∩∂Hn+1.

Como existe uma homotetia de centro 0 (isometria hiperbolica) levando o cırculo de raio

r em um cırculo de raio qualquer, o comprimento de γr entre os pontos de intersecao

de γr com P e Q nao depende de r. Conclui-se que P , ou sua imagem isometrica Γ, e

obtida tomando geodesicas perpendiculares a uma hipersuperfıcie totalmente geodesica Q

e marcando sobre elas uma distancia fixa. tais hipersuperfıcies sao chamadas superfıcies

equidistantes (ou hiperesferas).

As superfıcies umbılicas em Hn+1, possuem curvatura media constante, mais preci-

samente, as horoesferas tem curvatura media e igual a 1, as hiperesferas tem curvatura

media a cos θ ∈ [0, 1) e as esferas tem curvatura maior do que 1.

Pagina 31

Capıtulo 2

Equacoes Diferencias Parciais e o

Princıpio do Maximo

Apresentaremos neste capıtulo ferramentas necessarias de Equacoes Diferenciais Par-

ciais (EDPs) que nos serao uteis para obtencao dos proximos resultados, que podem ser

encontrados no livro de Gilbarg & Trundiger [7]. Estamos interessados no Princıpio do

Maximo e o Metodo da Continuidade para Equacoes Quasilineares Elıpticas de 2a ordem.

2.1 Continuidade Holder

Seja x0 um ponto em Rn e f uma funcao definida em um conjunto D limitado contendo

x0. Se 0 < α < 1, dizemos que f e Holder contınua com expoente α em x0 se a quantidade

[f ]α,x0 = supD

x6=x0

|f(x)− f(x0)||x− x0|α (2.1)

e finita. Chamamos [f ]α,x0 o α-Coeficiente de Holder de f no ponto x0 com respeito a

D. Claramente, se f e Holder contınua em x0, entao f e contınua em x0. Quando (2.1) e

finita para α = 1, f e dita ser lipschitziana em x0.

A nocao de continuidade de Holder e estendida prontamente a todo o conjunto D

(nao necessariamente limitado). Dizemos que f e uniformemente Holder contınua com

32

2.1. Continuidade Holder

expoente α em D se a quantidade

[f ]α,D = supx,y∈Dx6=y

|f(x)− f(y)||x− y|α , 0 < α ≤ 1 (2.2)

e finita; e localmente Holder contınua com expoente α em D se f e uniformemente Holder

contınua com expoente α em todo subconjunto compacto de D. Obviamente que esses

dois conceitos coincidem quando D e compacto. Alem disso note que continuidade local de

Holder e uma propriedade mais forte do que Holder continuidade pontual em subconjuntos

compactos.

Continuidade de Holder mede a continuidade que especialmente e bem adaptada ao

estudo de EDPs. Num certo sentido, pode ser visto tambem como uma diferenciabilidade

fracionaria. Isto sugere uma extensao natural dos espacos bem conhecidos de funcoes

diferenciaveis.

Seja Ω um conjunto aberto de Rn e k um inteiro nao negativo. Os espacos de Holder

Ck,α(Ω) (Ck,α(Ω)) sao definidos como os subespacos de Ck(Ω) (Ck(Ω)) consistindo de

funcoes cujas derivadas parciais de ordem k sao uniformemente Holder contınuas (local-

mente Holder contınuas) com expoente α em Ω. Por simplicidade escrevemos

C0,α(Ω) = Cα(Ω), C0,α(Ω) = Cα(Ω),

com a compreensao que 0 < α < 1 sempre que esta notacao e usada, a menos que, caso

contrario seja declarado.

Tambem, fixando

Ck,0(Ω) = Ck(Ω), Ck,0(Ω) = Ck(Ω),

podemos incluir os espacos Ck(Ω) (Ck(Ω)) entre os espacos Ck,α(Ω) (Ck,α(Ω)) para

0 < α < 1. Designamos por Ck,α0 (Ω) o espaco de funcoes em Ck,α(Ω) que tem suporte

compacto em Ω.

Estabelecemos as seguintes definicoes:

[u]k,0;Ω = |Dku|0;Ω = sup|β|=k

supΩ|Dβ|u, k = 0, 1, 2, . . .

a[u]k,α;Ω = [Dku]α;Ω = sup|β|=k

[Dβu]α;Ω,

onde que, para todo β = (β1, . . . , βn), onde βi e um inteiro positivo e |β| = ∑i βi, temos

Dβu =∂|β|u

∂xβ1

1 · · · ∂xβnn

.

Pagina 33

Capıtulo 2. Equacoes Diferencias Parciais e o Princıpio do Maximo

Com estas “semi-normas”, nos podemos definir as normas relacionadas

‖ u ‖Ck(Ω) = |u|k;Ω = |u|k,0;Ω =k∑

j=0

[u]j,0;Ω =k∑

j=0

|Dju|0;Ω,

‖ u ‖Ck,α(Ω) = |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + [u]k,α;Ω = |u|k;Ω + [Dku]α;Ω,

nos espacos Ck(Ω) e Ck,α(Ω), respectivamente. As vezes e util introduzir normas nao-

dimensionais em Ck(Ω), Ck,α(Ω). Se Ω e limitado, temos

‖ u ‖′Ck(Ω)

= |u|′k;Ω =k∑

j=0

dj[u]j,0;Ω =k∑

j=0

dj|Dju|0;Ω,

‖ u ‖′Ck,α(Ω)

= |u|′k,α;Ω = |u|′k;Ω + dk+α[u]k,α;Ω = |u|′k;Ω + dk+α[Dku]α;Ω.

onde d = diam Ω = supx,y∈Ωx6=y

|x− y|.

Os espacos Ck(Ω), Ck,α(Ω), munidos com essas respectivas normas, sao espacos de

Banach.

2.2 Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas

Apresentaremos, nesta secao, a solucao do classico problema de Dirichlet para certos

tipos de equacoes elıpticas totalmente nao-lineares; isto e, equacoes elıpticas que nao sao

quasilinear.

Uma equacao diferencial parcial de segunda ordem pra funcoes reais em um domınio

Ω ⊂ Rn e uma expressao da forma

F [u] = F (x, u,∇u, Hess u) = 0, (2.3)

onde F : Γ → R e uma funcao definida no conjunto Γ = Ω × R × Rn × Am, em que

Am = Rn(n−1)/2 e o espaco vetorial das formas bilineares simetricas. Denotaremos pontos

em Γ por γ = (x, z, p, r), em que x ∈ Ω, z ∈ R, p = (pi)1≤i≤n ∈ Rn e r = (rij)1≤i,j≤n ∈ Am.

Se F e linear nas variaveis z, p e r entao a equacao (2.3) e dita linear. Se e linear nas

variaveis r = (r)ij, entao a equacao (2.3) e dita quase-linear.

O operador F e elıptico num subconjunto U de Γ se a matriz(Fij(γ)

), dada por

Fij(γ) =∂F

∂rij

(γ), i, j = 1, . . . , n

Pagina 34

2.2. Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas

e positiva para todo γ = (x, z, p, r) ∈ U . Denotando λ(γ) e Λ(γ), respectivamente,

o mınimo e o maximo autovalor de da matriz(Fij(γ)

), dizemos que F uniformemente

elıptico (estritamente elıptico) em U , se Λλ

( 1λ) e limitado em U .

Estabeleceremos o seguinte princıpio de comparacao:

Teorema 2.1 (Theorem 17.1, [7]). Sejam u, v ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) satisfazendo o seguinte

problema

F [u] ≥ F [v] em Ω

u ≤ v em ∂Ω

onde:

(i) a funcao F e continuamente diferenciavel com respeito as z, p, r em Γ;

(ii) o operador F e elıptico em todas as funcoes da forma βu + (1− β)v, 0 ≤ β ≤ 1;

(ii) a funcao F e nao-crescente em z para cada (x, p, r) ∈ Ω× Rn × Rn×n.

Entao, segue que u ≤ v em Ω.

Demonstracao. Escrevamos

w = u− v

uθ = θu + (1− θ)v, θ ∈ [0, 1]

aij(x) =

∫ 1

0

Fij(x, uθ,∇uθ, ∂ijuθ)dθ

bi(x) =

∫ 1

0

Fpi(x, uθ,∇uθ, ∂ijuθ)dθ

c(x) =

∫ 1

0

Fz(x, uθ,∇uθ, ∂ijuθ)dθ.

Entao, verifica-se que w e subsolucao de uma equacao linear elıptica em Ω:

Lw = aij∂ijw + bi∂i + cw

= F [u]− F [v] ≥ 0 em Ω.

Alem disso, as condicoes (i), (ii) e (iii) implicam que L satisfaz as condicoes do princıpio

do maximo fraco (Teorema 2.6), e entao w ≤ 0 em Ω, ou seja, u ≤ v em Ω. ¤

Hipoteses mais fracas sao claramente possıveis no teorema acima. Tambem, em vir-

tude do princıpio de maximo forte (teorema 2.12), temos que u < v em Ω ou u e v se

coincidem. Um resultado de unicidade para o problema de Dirchlet segue imediatamente

do teorema, dado a seguir no seguinte corolario.

Pagina 35


Corolario 2.2 (Corollary 17.2, [7]). Sejam u, v ∈ C0(Ω)∩C2(Ω) satisfazendo o seguinte

problema

F [u] = F [v] em Ω

u = v em ∂Ω

e suponha que as condicoes de (i) a (iii) do Teorema 2.1 acontecam. Entao u = v em Ω.

2.2.1 Equacoes Diferenciais Parciais Lineares

Uma equacao diferencial parcial linear de 2a ordem e uma EDP da forma

Lu =n∑

i,j=1

aij(x)∂iju +n∑

j=1

bj(x)∂ju + c(x)u + d(x) = 0 (2.4)

onde aij, bi, c e d sao funcoes reais de classe C∞ definidas num domınio Ω ⊂ Rn, n ≥ 2,

x ∈ Ω, ∂iu =∂u

∂xi

, ∂iju =∂2u

∂xi∂xj

e a matriz dos aij e simetrica, ou seja, aij = aji,

∀ i, j = 1, . . . , n.

A equacao Lu e elıptica em x ∈ Ω se a matriz dos coeficientes (aij) e positiva, isto

e, se λ(x) e Λ(x) denotam, respectivamente, o mınimo e o maximo auto valor da matriz

(aij), entao

0 < λ(x)|ξ|2 ≤n∑

i,j=1

aij(x)ξiξj ≤ Λ(x)|ξ|2,

para todo ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn\0.

Assim, por exemplo, a Equacao de Laplace

n∑i=1

∂iiu = 0

e uma EDP linear de 2a ordem elıptica, com aij = δij e bi = c = d = 0, e logo

n∑i,j=1

aij(x)ξiξj =n∑

i,j=1

δijξiξj =n∑

i=1

1 · ξiξi = |ξ|2 > 0, ∀ ξ ∈ Rn\0.

2.2.2 Equacoes Diferenciais Parciais Quasilineares

Uma equacao diferencial parcial quasilinear de 2a ordem, e uma EDP da forma

Qu =n∑

i,j=1

aij

(x, u,∇u

)∂iju + b

(x, u,∇u

)= 0, aij = aji (2.5)

Pagina 36

2.3. O Princıpio do Maximo

onde x = (x1, . . . , xn) pertence a um domınio Ω ⊂ Rn, n ≥ 2, e a funcao u ∈ C2(Ω).

Assumimos que as funcoes reais aij(x, z, p), i, j = 1, . . . , n e b(x, z, p), estao definidas para

todos os valores de (x, z, p) ∈ Ω× R× Rn.

Seja U um subconjunto de Ω × R × Rn. Diz-se Qu e elıptica em U se a matriz dos

coeficientes aij(x, z, p) e positiva para todo (x, z, p) ∈ U . Se λ(x, z, p) e Λ(x, z, p) denotam,

respectivamente, o mınimo e o maximo autovalor da matriz(aij(x, z, p)

), isto significa que

0 < λ|ξ|2 ≤n∑

i,j=1

aijξiξj ≤ Λ|ξ|2, (2.6)

para todo ξ ∈ Rn\0 e para todo (x, z, p) ∈ U .

Assim, por exemplo, a Equacao da Curvatura Media

Mu = (1 + |∇u|2)∆u− ∂iu∂ju∂iju = nH(1 + |∇u|2)3/2

e uma EDP quase-linear elıptica, em que o grafico de u ∈ C2(Ω) em Rn+1 possui curvatura

media H(x) no ponto (x, u(x)), x ∈ Ω, E λ(x, z, p) = 1, Λ(x, z, p) = 1 + |p|2.

2.3 O Princıpio do Maximo

Enunciaremos versoes do Teorema de Comparacao, Teorema 2.1, para o caso de

equacoes lineares e quase-lineares.

2.3.1 O Princıpio do Maximo para Operadores Lineares

Nesta secao, apresentaremos os Princıpios do Maximo Fraco e Forte para Operadores

Lineares, que determinam, respectivamente, de acordo com o sinal do operador Lu, que o

maximo ou o mınimo de u no fecho de um domınio limitado Ω ⊂ Rn e atingido na fronteira

do mesmo, e se o maximo ou o mınimo de u for atingido em um ponto do interior de Ω,

entao a funcao u sera constante.

Lema 2.3. Seja L um operador elıptico de segunda ordem em um domınio limitado Ω ⊂Rn. Suponha que c = 0 e Lu > 0 (< 0) em Ω, com u ∈ C2(Ω)∩C0(Ω). Entao u nao pode

ter maximo (mınimo) local em Ω.

Pagina 37


Demonstracao. Suponha que exista um x0 ∈ Ω tal que u atinja um maximo local

em x0. Entao, ∂iu(x0) = 0, para todo i = 1, . . . , n e a matriz Hessiana(∂iju(x0)

)e

uma matriz nao positiva. Como L e elıptico, temos que a matriz(aij(x0)

)e positiva.

Consequentemente Lu(x0) =∑n

i,j=1 aij(x0) · ∂iju(x0) ≤ 0, contradizendo o fato que Lu >

0. ¤

O lema anterior impoem a condicao que o termo de ordem nula c seja identicamente

nulo. No entanto, podemos ainda ter uma versao desse teorema se a condicao c = 0 for

substituıda por c ≤ 0, em que vamos impor uma outra condicao para o sinal do maximo

ou mınimo a ser atingido.

Lema 2.4. Seja L um operador elıptico de segunda ordem em um domınio limitado Ω ⊂Rn. Suponha que c ≤ 0 e Lu > 0 (< 0) em Ω, com u ∈ C2(Ω)∩C0(Ω). Entao u nao pode

ter maximo (mınimo) local positivo (negativo) em Ω.

Demonstracao. Vamos definir o operador linear L dado por Lu = Lu − cu, onde

c e o coeficiente do termo de ordem zero do operador L dado em (??). Claramente

percebemos que o operador L nao possui termos de ordem nula. Supondo agora, que

exista x0 ∈ Ω tal que u assuma o maximo local positivo em x0, entao, restringindo a uma

vizinhanca de x0, onde u > 0. Nesta vizinhanca, temos que Lu > 0, −c ≥ 0 e u(x0) > 0.

Logo Lu = Lu− cu > 0. Aplicando o teorema anterior para L, vemos que u nao pode ter

maximo positivo local em Ω. ¤

A seguinte proposicao, possui a condicao em que Ω pode ser limitado ou nao e que o

resultado do teorema acima ainda continua valido.

Proposicao 2.5. Seja L um operador elıptico de segunda ordem em um domınio Ω ⊂ Rn

(limitado ou nao). Suponha que c = 0 e Lu > 0 (< 0) em Ω, com u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω).

Entao u nao pode ter maximo (mınimo) local em Ω.

Demonstracao. Vamos supor que u atinja um maximo (mınimo) local em x0 ∈ Ω.

Tomemos uma bola aberta B(x0) centrada em x0 de tal modo que B(x0) ⊂ Ω. Desta

forma Lu|B(x0) > 0 (< 0). Pelo teorema anterior, percebemos o absurdo. ¤

Uma consequencia para esses resultados, e que para todo Ω ⊂ Rn limitado contido

no domınio de u, temos que:

maxΩ

u = max∂Ω

u. (2.7)

Pagina 38


Exibiremos agora um contra-exemplo para essa observacao, ou seja, se Ω nao for

limitado, entao (2.7) nao e satisfeita. Suponhamos que u esteja definido no plano, e seja

Ω = (x, y) ∈ R2; y > 0, entao ∂Ω = (x, y) ∈ R2; y = 0. Tomemos L como sendo o

Laplaciano, ou seja, Lu =n∑

i=1

∂iiu, e u(x, y) = y2. Assim Lu = 2 > 0, mas maxΩ

= +∞ e

max∂Ω

= 0.

Teorema 2.6 (Princıpio do Maximo Fraco, c = 0). Seja L um operador elıptico de

segunda ordem em um domınio limitado Ω ⊂ Rn. Suponha que c = 0 e Lu ≥ 0 (≤ 0) em

Ω, com u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω). Entao o maximo (mınimo) de u em Ω e assumido em ∂Ω,

isto e,

supΩ

u = sup∂Ω

u (infΩ

u = inf∂Ω

u). (2.8)

Se nao assumirmos u contınua em Ω, (2.8) pode ser substituıda por

supΩ

u = lim supx→∂Ω

u(x) (infΩ

u = lim infx→∂Ω

u(x))

Demonstracao. Se Lu > 0 em Ω, pelo lema 2.3 temos que u nao assume maximo

no interior de Ω. Considere em Ω a funcao v(x) = v(x1, . . . , xn) = eαx1 , em que α > 0 sera

escolhido posteriormente. Como ∂iv = 0, se i 6= 1 e ∂iv = αeαx1 ; ∂ij = 0, se (i, j) 6= (1, 1)

e ∂11 = α2eαx1 a expressao para Lv e

Lv = (α2a11 + αb1 + c)eαx1 ≥ (α2a11 − αb0)eαx1

onde b0 e um numero que limita |bi|λ

dado em (??), e a11 > 0 da elipticidade de L. O

sinal de Lv sera o sinal da equacao do segundo grau em α. Assim, podemos escolher α

suficientemente grande para termos Lv > 0, permitindo escrever, para qualquer ε > 0,

L(u + εv) > 0 ∈ Ω.

A funcao u + εv esta nas condicoes do lema 2.3, isto e

supΩ

(u + εv) = sup∂Ω

(u + εv).

Fazendo ε → 0, temos que supΩ

u = sup∂Ω

u, como querıamos. ¤

E conveniente introduzir a seguinte terminologia sugerida pelo princıpio maximo: uma

funcao satisfazendo Lu = 0 (≥ 0,≤ 0) em Ω e uma solucao (subsolucao, supersolucao) de

Lu em Ω. Quando L e o operador Laplaciano, estes termos correspondem respectivamente

as funcoes harmonicas, as subharmonicas e as superharmonicas.

Pagina 39


Vamos supor mais geralmente que c ≤ 0 em Ω. Considerando o subconjunto Ω+ ⊂ Ω

em que u > 0, vemos que se Lu ≥ 0 em Ω, entao L0u = aij∂iju+bi∂iu ≥ −cu ≥ 0 em Ω+ e

consequentemente o maximo de u em Ω+

deve ser assumido em ∂Ω+

e consequentemente

tambem em ∂Ω. Assim, escrevendo u+ = max(u, 0) e u− = min(u, 0), nos obtemos:

Corolario 2.7 (Princıpio do Maximo Fraco, c ≤ 0). Seja L um operador elıptico de

segunda ordem em um domınio limitado Ω ⊂ Rn. Suponha que c ≤ 0 e Lu ≥ 0 (≤ 0) em

Ω, com u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω). Entao

supΩ

u ≤ sup∂Ω

u+ (infΩ

u ≥ inf∂Ω

u−).

Se Lu = 0 em Ω, entao supΩ|u| = sup

∂Ω|u|.

Talvez uma das principais aplicacoes deste resultado seja a unicidade do problema

de Dirichlet (onde o valor de u e conhecido na fronteira de um conjunto). O resultado

mostra que se a solucao existir e unica. Note que a existencia nao e tratada no resultado.

Corolario 2.8. Seja L um operador elıptico em um domınio limitado Ω ⊂ Rn. Assuma

c ≤ 0 e considere o problema de Dirichlet:

Lu = f, em Ω

u = ψ, em ∂Ω

Esse problema possui no maximo uma solucao em C0(Ω) ∩ C2(Ω).

Demonstracao. Suponha que o problema tenha solucao, vamos mostrar que e unica.

Para isso, considere u1 e u2 solucoes do problema, definamos v = u1 − u2. Logo em Ω

temos:

Lv = L(u1 − u2) = Lu1 − Lu2 = f − f = 0.

E na fronteira ∂Ω teremos:

v = u1 − u2 = ψ − ψ = 0.

Resumindo, temos o seguinte problema:

Lv = 0, em Ω

v = 0, em ∂Ω

Pelo corolario anterior, temos que supΩ v ≤ sup∂Ω v+ = 0. E aplicando o resultado

para a funcao −v temos: supΩ(−v) ≤ sup∂Ω(−v)+ = 0, ou seja, supΩ v ≤ 0 e supΩ v ≥ 0.

Assim, supΩ v = 0 e portanto, u1 = u2 em Ω. ¤

Pagina 40


Podemos ainda conseguir um resultado para compararmos funcoes se tivermos algu-

mas desigualdades em lugar do problema de Dirichlet.

Corolario 2.9. Seja L um operador elıptico em um domınio limitado Ω ⊂ Rn. Assuma

c ≤ 0. Sejam u e v satisfazendo

Lu ≥ Lv, em Ω

u ≤ v, em ∂Ω

Entao u ≤ v em Ω.

Demonstracao. Definamos w = u − v. Logo em Ω temos Lw = L(u − v) =

Lu− Lv ≥ 0. E em ∂Ω, w = u− v ≤ 0. Resumindo, temos o seguinte problema

Lw ≥ 0, em Ω

w ≤ 0, em ∂Ω

Pelo Corolario 2.7, temos supΩ w ≤ sup∂Ω w+ = 0. Portanto, u− v ≤ 0 em Ω e, portanto

u ≤ v em Ω. ¤

O Corolario 2.8 garante a unicidade para o problema de Dirichlet em C0(Ω)∩C2(Ω).

O teorema a seguir, garante a unicidade C2,α(Ω).

Teorema 2.10 (Theorem 6.14, [7]). Seja L um operador linear estritamente elıptico num

domınio limitado Ω ⊂ Rn, com c ≤ 0, e sejam f e os coeficientes de L funcoes em Cα(Ω).

Suponha que Ω e um domınio C2,α e que ψ ∈ C2,α(Ω). Entao o problema de Dirichlet

Lu = f em Ω

u = ψ em ∂Ω,

tem uma (unica) solucao em C2,α(Ω).

Embora o Princıpio do Maximo Fraco baste para a maioria das aplicacoes, e frequen-

temente necessario termos o Princıpio do Maximo Forte que, de acordo com Lu, nos

indica que se o maximo ou o mınimo de u for atingido em um ponto do interior de Ω,

entao a funcao u sera constante. Nos obteremos tal resultado para operadores localmente

uniformemente elıptico por meio do Lema 2.11 a seguir, frequentemente util que e o lema

do ponto de fronteira. O domınio Ω e dito satisfazer a “condicao de bola interior” em

x0 ∈ ∂Ω se existe uma bola B ⊂ Ω com x0 ∈ ∂B, (isto e, o complemento de Ω satisfaz a

condicao de bola exterior em x0).

Pagina 41


Lema 2.11 (do Ponto Fronteira de Hopf). Suponha que L e um operador uniformemente

elıptico com c = 0 em um domınio Ω. Seja u ∈ C0(Ω)∩C2(Ω) com Lu ≥ 0. Seja x0 ∈ ∂Ω

tal que:

(i) u e contınua em x0;

(ii) u(x0) > u(x) para todo x ∈ Ω;

(iii) ∂Ω satisfaz a condicao de bola interior em x0;

(iv) Os coeficientes de L sao limitados em Ω.

Entao a derivada normal exterior de u no ponto x0 satisfaz a inequacao estrita

∂u

∂η(x0) > 0.

Se c ≤ 0 e cλ

e limitado, a mesma conclusao e obtido desde que u(x0) ≥ 0, e se u(x0) = 0

a mesma conclusao e obtida independente do sinal de c. η e o vetor unitario normal a

∂Ω em x0, conforme a figura 2.1.

h

W

Bx0

y

Figura 2.1: O lema do ponto de fronteira

Demonstracao. Como ∂Ω satisfaz a condicao de bola interior em x0, podemos

tomar uma bola B = BR(y) ⊂ Ω tal que a fronteira ∂BR(y) seja tangente a ∂Ω no ponto

x0 (ver figura 2.1). Para valores 0 < ρ < R e α > 0, defina a funcao v : BR(y)\Bρ(y) → Rdada por:

v(x) = e−αr2 − e−αR2

onde r = |x− y| > ρ. Logo

v(x) = e−α|x−y|2 − e−αR2

= e−α[(x1−y1)2+ ··· +(xn−yn)2] − e−αR2

= e−α(x1−y1)2 · · · · · e−α(xn−yn)2 − e−αR2

.

Pagina 42


Assim,

∂iv = −α · 2 · (xi − yi) · e−αr2

e para i 6= j temos;

∂ijv = −α · (xi − yi) ·(−α · 2(xj − yj)e

−αr2)

= 4α2(xi − yi)(xj − yj)e−αr2

Agora, se i = j,

∂ii = −α · 2e−αr2 − α · 2(xi − yi) ·(−α2(xi − yi)e

−αr2)

=(−2α + 4α2(xi − yi)(xi − yi)

)e−αr2

Desta forma,

Lv =∑i,j

aij4α2(xi − yi)(xj − yj)e

−αr2 − 2α∑

i

aiie−αr2 − 2α

∑i

bi(xi − yi)e−αr2

+ cv,

ou ainda

Lv = e−αr2

∑i,j

aij4α2(xi − yi)(xj − yj)− 2α

∑i

(aii + bi(xi − yi)

)+ c · v

e−αr2

≥ e−αr2

4α2λ(x)r2 − 2α

∑i

(aij + |b|r) + c

, b = (bi, . . . , bn)

≥ e−αr2

ρ2λ0α2 −K1α + K2

.

Assim, podemos encontrar α suficientemente grande tal que Lv ≥ 0 no anel A =

x; ρ < |x − y| < R. Como u − u(x0) < 0 em ∂Bρ(y), existe ε > 0 tal que em ∂Bρ(y),

tem-se

w = u− u(x0) + εv ≤ 0.

Essa desigualdade se mantem em ∂BR(y), onde v = 0. Logo, temos que L(u−u(x0)+εv

) ≥−cu(x0) ≥ 0 em A, e u− u(x0) + εv ≤ 0 em ∂A, isto e, conseguimos o seguinte problema:

Lw = Lu + εLv ≥ 0, em A

w ≤ 0, em ∂A = ∂BR(y) ∪ ∂Bρ(y)

Implicando que u(x)− u(x0) ≤ −εv(x) em A. Se t < 0, teremos:

u(x + tη)− u(x0)

t≥ −ε

v(x0 + tη)

t; v(x0) = 0

∂u

∂η(x0) ≥ −ε

∂v

∂η(x0)

Mas,

−∂v

∂η(x0) = −dv

dr(R) = αe−αR2

2R > 0,

Pagina 43


como querıamos. ¤

Estamos agora em posicao de exibir o “Princıpio de Maximo Forte de Hofp” dado em

dois resultados uteis a serem empregados no resto do trabalho, sao eles o Princıpio do

Maximo Interior de Hopf e o Princıpio do Maximo na Fronteira de Hopf.

Teorema 2.12 (Princıpio do Maximo Interior de Hopf). Seja L um operador uniforme-

mente elıptico, c = 0 e Lu ≥ 0 (≤ 0) num domınio Ω ⊂ Rn. Entao se u atinge maximo

(mınimo) no interior de Ω, u e constante. Se c ≤ 0, entao u nao pode assumir um maximo

nao-negativo (mınimo nao-positivo) no interior de Ω a menos que seja constante.

Demonstracao. Se assumirmos o contrario, isto e, u nao e constante e assume

maximo M ≥ 0 em x0 ∈ Ω. Sendo o conjunto Ω− = x ∈ Ω; u(x) < M, entao Ω− e

aberto nao-vazio em Ω (pois, caso contrario, u seria constante) e ∂Ω− ∩ Ω 6= ∅. Seja x1

um ponto em Ω− que e mais proximo de ∂Ω− do que ∂Ω, ou seja, d(x1, ∂Ω−) < d(x1, ∂Ω).

Considere a maior bola B ⊂ Ω− tendo x1 como centro. Assim ∂B tem um ponto y em

comum com ∂Ω−∩Ω. Logo u(y) = M > u(x), se x ∈ B. Pelo Lema 2.11, temos ∂u∂η

(y) > 0,

o que implica que ∇u = (∂1u, . . . , ∂nu) 6= 0, mas y e um ponto de maximo de u, ja que

u(y) = M . Essa contradicao mostra que u e constante em Ω.

B

W

W-

x1

y

Figura 2.2: Princıpio do Maximo Interior de Hopf

Se escolhermos o seguinte conjunto ΩR,ε := x ∈ BR(x0) ∩ Ω; d(x, ∂Ω) > ε, a con-

clusao acima mostra que u e constante em ΩR,ε, para todo R ∈ R e ε > 0, mas claramente

isso implica que u e constante em Ω. ¤

Observe que provamos o teorema usando o resultado do lema 2.11, nos dois casos

c = 0 e c ≤ 0, e que a condicao d(x1, ∂Ω−) < d(x1, ∂Ω) e para evitar coisas, por exemplo,

do tipo ilustrados na figura a seguir.

Pagina 44


B

W

W-

x1

W

W-

x1

Figura 2.3: Princıpio do Maximo Interior de Hopf: d(x1, ∂Ω−) = d(x1, ∂Ω)

Teorema 2.13 (Princıpio do Maximo na Fronteira de Hopf). Seja u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω)

uma solucao de Lu = 0 num domınio Ω, onde L e um operador uniformemente elıptico,

c ≤ 0 e cλ

e limitado em Ω e Ω satisfaca a condicao de bola interior em cada ponto de

∂Ω. Se a derivada normal e definida em toda parte de ∂Ω e ∂u∂η

= 0 em ∂Ω, entao u e

constante em Ω. Se, tambem, c < 0 em algum ponto em Ω, entao u ≡ 0.

Demonstracao. Se u nao e constante, podemos assumir que qualquer uma das

funcoes u ou −u atinge um maximo nao-negativo M no ponto x0 em ∂Ω e e menor do

que M em Ω (pelo princıpio de maximo forte). Aplicando o lema 2.11 em x0 deduzimos

que ∂u∂η

(x0) 6= 0, contrariando a hipotese. ¤

Os resultados referentes a operadores dados em (??), como por exemplo consequencias

referentes ao princıpio do maximo, sao trivialmente falsos se nao supusermos c ≤ 0. A

seguir exibiremos um contra-exemplo para a unicidade do problema de Dirichlet.

Consideremos o seguinte operador Lu = ∂2u∂x2 + 0 · ∂u

∂x+ u, onde u e uma funcao do

intervalo Ω = (0, 2π) tomando valores na reta real, tal que u(0) = u(2π) = 0, assim o

problema de Dirichlet e:

Lu = 0, em Ω = (0, 2π)

u ≤ 0, em ∂Ω = 0, 2π

note que este problema tem infinitas solucoes do tipo u = k · senx, para todo k ∈ R.

Pagina 45


2.3.2 O Princıpio do Maximo para Operadores Quasilineares

Consideramos o operador quasilinear Qu, da forma

Qu ≡n∑

i,j=1

aij

(x, u, (∂1u, . . . , ∂nu)

)∂iju + b

(x, u, (∂1u, . . . , ∂nu)

), aij = aji,

onde x = (x1, . . . , xn) pertence a um domınio Ω ⊂ Rn, n ≥ 2, e a funcao u ∈ C2(Ω).

Assumimos que as funcoes reais aij(x, z, p), i, j = 1, . . . , n e b(x, z, p), estao definidas para

todos os valores de (x, z, p) ∈ Ω× R× Rn.

Apresentaremos o Princıpio do Maximo e de Comparacao para operadores quasilinea-

res Qu, que estendem resultados correspondentes aos que vimos para operadores lineares.

Vimos, que se L e um operador linear satisfazendo as hipoteses do princıpio do maximo

fraco, dado no Corolario 2.7, e se u, v ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) satisfaz as inequacoes Lu ≤ Lv

em Ω, u ≥ v em ∂Ω, entao u ≥ v em Ω. Este princıpio de comparacao possui a seguinte

extensao para operadores quase-lineares, que e uma versao do Teorema 2.1, pagina 35.

Teorema 2.14 (Princıpio de Comparacao). Seja u, v ∈ C0(Ω)∩C2(Ω) satisfazendo Qu ≥Qv em Ω, u ≥ v em ∂Ω, onde

(i) o operador Q e localmente uniformemente elıptico com respeito a u ou a v;

(ii) os coeficientes aij sao independentes de z;

(iii) o coeficiente b e nao-crescente em z para cada (x, p) ∈ Ω× Rn;

(iv) os coeficientes aij e b sao continuamentes diferenciaveis com respeito a variavel p

em Ω× R× Rn.

Entao, segue que u ≤ v em Ω. Alem disso, se Qu > Qv em Ω, u ≤ v em ∂Ω e as condicoes

(i), (ii) e (iii) asseguram, (mas nao necessariamente (iv)), a desigualdade estrita u < v

em Ω.

Demonstracao. Assuma que Q e elıptico com respeito a u. Entao temos

Qu−Qv =n∑

i,j=1

aij(x,∇u)∂ij(u− v) +n∑

i,j=1

(aij(x,∇u)− aij(x,∇v)

)∂ijv

+ b(x, u,∇u)− b(x, u,∇v) + b(x, u,∇v)− b(x, v,∇v)

≥ 0

Pagina 46

2.4. Diferencial de Frechet

de forma que escrevemos

w = u− v

aij(x) = aij(x,∇u)n∑

i=1

bi(x)∂iw =n∑

i,j=1

(aij(x,∇u)− aij(x,∇v)

)∂ijv + b(x, u,∇u)− b(x, u,∇v)

obtemos

Lw =n∑

i,j=1

aij(x)∂ijw +n∑

i=1

bi(x)∂iw ≥ 0 em Ω+ = x ∈ Ω; w(x) > 0

w ≤ 0 em ∂Ω

Note que a existencia das funcoes bi localmente limitadas e garantida pela condicao (iv)

e pelo teorema do valor medio para a funcao aij, onde este ultimo nos diz que

aij(x,∇u)− aij(x,∇v) =∑

k

∂kaij(ξ) · (∂iu− ∂iv) =∑

k

∂kaij(ξ) · (∂iw)

em que ξ = ξ(∇u,∇v) significa que ξ depende de ∇u e ∇v. Consequentemente, usando

as condicoes (i) e (iv) temos pelo Princıpio do Maximo Fraco (Teorema 2.6) que w ≤ 0

em Ω. Se Qu > Qv em Ω, a funcao w nao assume maximo nao-negativo em Ω. Conse-

quentemente w < 0 em Ω. Se Q e elıptico em v, o resultado segue do princıpio mınimo

para supersolucoes. ¤

Este ultimo teorema garante a unicidade do problema de Dirichlet para operadores

quasilineares Qu, como resumido no seguinte teorema.

Teorema 2.15 (Theorem 10.2, [7]). Seja u, v ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω), satisfazendo o seguinte

problema de Direchlet

Qu = Qv, em Ω

u = v, em ∂Ω

e suponha que as condicoes (i) e (iv) do teorema anterior sejam satisfeitas. Entao u = v

em Ω.

2.4 Diferencial de Frechet

A seguir, estabeleceremos uma versao nao linear do metodo da continuidade exibida

no Teorema 2.17, pagina 51. Em princıpio, o metodo de continuidade envolve o mergu-

lho de determinado problema em uma famılia de problemas indexados por um intervalo

fechado, [0, 1].

Pagina 47


O subconjunto S de [0, 1] para qual os problemas correspondentes sao soluveis e

mostrado por ser nao vazio, fechado e aberto, e consequentemente coincide com o intervalo

todo.

Como no caso quasilinear, a teoria linear e novamente vital mas na situacao presente

aplicaremos a derivada de Frechet do operador F para demonstrar que o conjunto solucao

S e aberto.

Comecemos com a formulacao analıtica de um funcional abstrato. Sejam B1 e B2

espacos de Banach e F uma aplicacao definida num aberto U ⊂ B1, em B2. A aplicacao F

e dita Frechet Diferenciavel num elemento u ∈ B1 se existe uma aplicacao linear limitada

L : B1 → B2 tal que‖ F [u + h]− F [u]− Lh ‖B2

‖ h ‖B1

→ 0 (2.9)

quando h → 0 em B1. A aplicacao linear L e chamada a derivada (ou diferencial) de

Frechet de F em u e denotaremos por Fu.

Quando B1 e B2 sao espacos Euclideanos, Rn e Rm, a derivada de Frechet coincide

com a nocao usual de diferencial. E evidente de (2.9) que a diferenciabilidade Frechet de

F em u implica que F e contınua em u e que a derivada de Frechet Fu e determinada

unicamente por (2.9). Dizemos que F e continuamente diferenciavel em u se F e Frechet

diferenciavel numa vizinhanca de u e a aplicacao resultante

v 7→ Fv ∈ E(B1,B2)

e contınua em u, onde E(B1,B2) e o espaco de Banach de aplicacoes lineares de B1 em B2

com norma dada por

‖ L ‖= supv∈B1v 6=0

‖ Lv ‖B2

‖ v ‖B1

A regra da cadeia e valida para a diferenciacao de Frechet, ou seja, se F : B1 → B2 e

G : B2 → B3 sao Frechet diferenciaveis em u ∈ B1 e F [u] ∈ B2, respectivamente, entao a

aplicacao composta G F : B1 → B3 e Frechet diferenciavel em u ∈ B1 e

(G F )u = GF [u] Fu

O teorema do valor medio tambem e satisfeito, no sentido que se u, v ∈ B1, F : B1 → B2

e diferenciavel no segmento de reta fechado γ que une u e v em B1, entao,

‖ F [u]− F [v] ‖B2≤ K ‖ u− v ‖B1

onde K = supw∈γ

‖ Fw ‖.

Pagina 48

2.4. Diferencial de Frechet

Suponha que B1, B2 e X sao espacos de Banach e que G : B1 × X → B2 e Frechet

diferenciavel no ponto (u, ω), u ∈ B1 e ω ∈ X . As derivadas parciais de Frechet, G1(u,ω)(h)

e G2(u,ω)(k) em (u, ω), sao aplicacoes lineares limitadas de B1 e X , respectivamente, em B2

definidas por

G(u,ω)(h, k) = G1(u,ω)(h) + G2

(u,ω)(k)

para h ∈ B1 e k ∈ X .

Agora estamos em posicao de enunciar o teorema da funcao implıcita.

Teorema 2.16 (Theorem 17.6, [7]). Sejam B1,B2 e X espacos de Banach e G uma

aplicacao de um subconjunto aberto B1 × X em B2. Seja (u0, ω0) um ponto em B1 × Xsatisfazendo:

(i) G[u0, ω0] = 0;

(ii) G e continuamente diferenciavel e em (u0, ω0);

(iii) a derivada parcial de Frechet L = G1(u0,ω0) e inversıvel.

Entao existe uma vizinhanca N de ω0 tal que a equacao G[u, ω] = 0, e soluvel para cada

ω ∈ N , com solucao u = u0 em B1.

Figura 2.4: Teorema da Funcao Implıcita

Demonstracao. Consideremos Tσ : B1 → B2 definida por

Tσ(u) = u−(G1

(u0,σ0)

)−1

G[(u, σ)]

Temos que Tσ e Frechet diferenciavel, pois G[(u, σ)] e diferenciavel e(G1

(u0,σ0)

)−1

e linear.

Aplicando o Teorema do valor Medio em uma bola de centro u0 e raio δ1, B1 = Bδ1(u0),

Pagina 49


tem-se que ∃ w ∈ B tal que

‖ Tσ(u)− Tσ(v) ‖B1 ≤ supw∈B

‖ (dTσ)w ‖B1‖ u− v ‖B1

Mostremos agora, que ∃ δ > 0 tal que Tσ e uma contracao em Bδ(u0). Com efeito,

pela regra de cadeia,

(dTσ

)uv = v −

(G1

(u0,σ0)

)−1

G1(u,σ) · v,

isto e

(dTσ

)u

= IB1 −(G1

(u0,σ0)

)−1

G1(u,σ)

=(G1

(u0,σ0)

)−1

G1(u0,σ0) −

(G1

(u0,σ0)

)−1

G1(u,σ)

=(G1

(u0,σ0)

)−1

G1(u0,σ0) −G1

(u,σ)

Portanto,

‖ (dTσ)u ‖=‖ G1(u0,σ0)

−1 ‖ · ‖ G1(u,σ) −G1

(u0,σ0) ‖

Como G e continuamente diferenciavel em (u0, σ0), tem-se u 7→ G1(u,σ), tambem e.

Portanto, ∃ σ (0 < σ < σ1) e uma vizinhanca N de δ0 em X tal que, se ‖ u− u0 ‖B1< δ e

σ ∈ N entao

‖ G1(u,σ) −G1

(u0,σ0) ‖ <1

‖ G1(u0,σ0)

−1 ‖ .

Logo, se u ∈ Bδ(u0) entao,

‖ (dTδ)u ‖ < 1.

Assim, ∃ uσ ∈ B tal que Tσuσ = uσ, isto e,(G1

(u0,σ0)

)−1

G[(u, σ)] = 0.

Do fato em que(G1

(u0,σ0)

)−1

e inversıvel, logo injetora, concluımos que G[(u, σ)] = 0. ¤

2.5 O Metodo da Continuidade

Sejam V1 e V2 espacos lineares normados. Uma aplicacao linear T : V1 → V2 e

limitada quando a quantidade

‖ T ‖= supx∈V1x6=0

‖ Tx ‖V2

‖ x ‖V1

Pagina 50

2.5. O Metodo da Continuidade

e finita. Claramente que uma aplicacao linear e limitada se, e somente se, e contınua.

A inversabilidade de uma aplicacao linear limitada, as vezes, pode ser deduzida a

partir da inversabilidade de uma aplicacao similar atraves do teorema a seguir, o qual e

conhecido em aplicacoes como o Metodo da Continuidade.

Teorema 2.17 (Theorem 5.2, [7]). Seja B um espaco de Banach, V um espaco linear

normado e sejam L0, L1 : B → V operadores lineares limitados. Para cada t ∈ [0, 1], seja

Lt = (1− t)L0 + tL1

e suponha que exista uma constante C > 0 tal que

‖ x ‖B≤ C ‖ Ltx ‖V

para t ∈ [0, 1]. Entao L1 : B → V e sobrejetiva se, e somente se, L0 : B → V e sobrejetiva.

A tecnica que usaremos na demonstracao do Teorema 3.3, e o metodo da continuidade.

Este metodo permite obter, a partir de uma solucao de uma equacao elıptica dada, solucoes

para equacoes elıpticas construıdas por uma pertubacao da primeira. A ferramenta basica

neste sentido e o da funcao implıcita (Teorema 2.16). Uma condicao requerida para o

emprego deste metodo, e que tenhamos, para algum α ∈ [0, 1], estimativas C2,α uniformes

para as solucoes da famılia de operadores elıpticos ligados por homotopia. Com este

proposito, algumas estimativas a priori para equacoes lineares serao essenciais.

Teorema 2.18 (Theorem 6.6, [7]). Seja U um domınio C2,α em Rn e seja u ∈ C2,α(U)

uma solucao da equacao elıptica linear Lu = f em U , em que f e os coeficientes de L sao

funcoes em Cα(U). Seja φ ∈ C2,α(U), e suponhamos u = φ em ∂U . Entao

|u|2,α ≤ C(|u|0,α + |φ|2,α + |f |0,α),

em que C e uma constante positiva dependendo da norma Cα dos coeficientes de L, dos

autovalores da parte principal de L e do domınio U , sendo independente de u.

A aplicacao deste teorema requer que tenhamos, para algum α ∈ (0, 1), estimativas

C1,α das solucoes de (2.3). Todavia, o teorema a seguir permite obtermos estas estimativas

a partir de estimativas para o gradiente.

Pagina 51


Teorema 2.19 (Theorem 13.7, [7]). Seja u ∈ C2(Ω) solucao do seguinte problema

F [u] = 0 em Ω

u = 0 em ∂Ω.

Entao se ∂Ω e de classe C2, temos, para alguma constante α0 = α0

(n,K, µK

λK, Ω

), a

estimativa

[∇u]α0,Ω ≤ C

(n,K,

µK

λK

, Ω

),

em que K = supΩ |∇u| e λK e µK sao constantes satisfazendo 0 < λK < λ(x, p),

|aij(x, p)|+ |∂xlaij(x, p)|+ |∂plaij(x, p)|+ |b(x, z, p)| ≤ µK, 1 ≤ l ≤ n, ,para |z|+ |p| ≤ K,

em que λ e o menor dos autovalores da matriz aij(x, p).

Por fim, no processo de convergencia das solucoes no metodo da continuidade, e

necessario o seguinte teorema de regularidade.

Teorema 2.20 (Theorem 6.19, [7]). Suponhamos ∂Ω de classe C2,α. Seja u uma solucao

C2(Ω) ∩ C0(Ω) do problema Lu = f em Ω

u = 0 em ∂Ω

em que f e os coeficientes de L pertencem a Cα(Ω). Entao u ∈ C2,α(Ω).

Pagina 52

Capıtulo 3

Graficos Radiais em Rn+1 e Hn+1

No que segue, formularemos o problema de construcao de graficos com curvatura

media constante (CMC) em termos da existencia de solucoes de uma classe especıfica de

equacoes diferenciais parciais. A partir da nocao de grafico radial no espaco euclidiano

Rn+1, deduziremos equacoes para graficos radiais sobre esferas geodesicas de Hn+1.

3.1 Graficos Radiais em Rn+1

Consideremos em Rn+1 a esfera de raio a > 0, S = X ∈ Rn+1; |X| = a. Seja Ω

um domınio cujo fecho esta contido em um hemisferio aberto de S. Denotemos Γ = ∂Ω

o bordo de Ω relativamente a S. Por meio de uma isometria de Rn+1, fixamos Ω ⊂ X =

(X1, . . . , Xn) ∈ Rn+1; X1 > 0. O grafico radial Σ de uma funcao u : Ω → R e definido

como

Σ = X = eu(x)x ∈ Rn+1; x ∈ Ω. (3.1)

Consideremos uma parametrizacao de Ω:

Ψ : U ⊂ Rn −→ Ω ⊂ S

q 7−→ x = Ψ(q)

Entao, dada a aplicacao

X : Ω ⊂ S −→ Σ ⊂ Rn+1

x 7−→ p = X(x)

53

Capıtulo 3. Graficos Radiais em Rn+1 e Hn+1

a qual define o grafico, obtemos a parametrtizacao X Ψ : U ⊂ Rn −→ Σ ⊂ Rn+1 em p

para Σ, conforme o esquema abaixo e a Figura 3.1.

U ⊂ Rn

Ψ²²

XΨ''NNNNNNNNNNN

Ω ⊂ SX

// Σ ⊂ Rn+1

Figura 3.1: Grafico Radial Σ: x = Ψ(q), p = X(x) = X Ψ(q)

Denotaremos, Ck(Ω) o espaco das funcoes definidas em Ω com derivadas contınuas

ate ordem k, e Ck(Ω) o espaco de todas as funcoes de Ck(Ω) tais que as derivadas parciais

extendem-se continuamente para o fecho Ω. Assim, supondo u ∈ C2(Ω), a condicao de que

Σ seja uma hipersuperfıcie de Rn+1 cuja curvatura media seja prescrita por uma funcao

h : Ω → R, de modo que h(x) corresponda a curvatura media de Σ no ponto X = eu(x)x,

equivale a u ser solucao de seguinte EDP:

div

( ∇u

W (u)

)=

1

a2

(n

W (u)− naeuh

). (3.2)

Aqui, ∇ e div sao, respectivamente, o gradiente e o divergente relativos a metrica usual

de S, e W (u) = (1 + a2|∇u|2) 12 .

Veremos como se obtem a equacao (3.2).

Adotando a notacao estabelecida acima, fixemos coordenadas (x1, . . . , xn) em U ⊂Rn. Se denotarmos v(x) := eu(x), os vetores geradores do espaco tangente de Σ em

Pagina 54

3.1. Graficos Radiais em Rn+1

X(x) = v(x)x sao∂X

∂xk

=∂v

∂xk

x + v∂

∂xk

, 1 ≤ k ≤ n, (3.3)

onde∂

∂xk

, 1 ≤ k ≤ n, sao os campos coordenados em Ω com respeito as coordenadas xk.

Figura 3.2: Campos coordenados do Grafico Radial Σ:∂X

∂xi

De fato,

∂X

∂xi

(p) = d(X Φ)q·ei

= dXΦ(q)·dΦq·ei

= dXΦ(q)· ∂

∂xi

= dXx· ∂

∂xi

Mas, para todo w ∈ TxΩ, com |w| = 1, seja α : (−ε, ε) → Ω uma curva diferenciavel

em Ω com α(0) = x = Φ(q) e α′(0) = w. Assim, temos que

dXx · w =d

dt

(X α

)∣∣∣t=0

=d

dt

(v(α(t))·α(t)

)∣∣∣t=0

=(dvα(t)·α′(t)·α(t) + v(α(t))·α′(t)

)∣∣∣t=0

= (dvx·w)·x + v(x)·w

e tomando o caso particular em que w =∂

∂xi

, ficamos com

dXx· ∂

∂xi

=

(dvx· ∂

∂xi

)·x + v(x)· ∂

∂xi

. (3.4)

Pagina 55


Como

dvx· ∂

∂xi

= dvx·dΦq·ei = d(v Φ)q·ei =∂(v Φ)

∂xi

(q) =∂v

∂xi

(Φ(q)) =∂v

∂xi

(x),

a expressao (3.4) se reduz a

∂X

∂xi

(p) =∂v

∂xi

(x)·x + v(x)· ∂

∂xi

.

Portanto, omitindo o ponto x temos justamente (3.3), como desejado.

Denotando a metrica induzida em Ω pela metrica usual de S, expressa em coordenadas

xk, por σij, ou seja, σij =

⟨∂

∂xi

,∂

∂xj

⟩, expressaremos agora a metrica gij, induzida em

Σ pela metrica euclideana.

gij =

⟨∂X

∂xi

,∂X

∂xj

⟩

=

⟨∂v

∂xi

x + v∂

∂xi

,∂v

∂xj

x + v∂

∂xj

⟩

=

⟨∂v

∂xi

x,∂v

∂xj

x

⟩+

⟨∂v

∂xi

x, v∂

∂xj

⟩+

⟨v

∂

∂xi

,∂v

∂xj

x

⟩+

⟨v

∂

∂xi

, v∂

∂xj

⟩

= a2 ∂v

∂xi

∂v

∂xj

+ v2

⟨∂

∂xi

,∂

∂xj

⟩

= a2 ∂v

∂xi

∂v

∂xj

+ v2σij

Portanto

gij(X) = a2 ∂v

∂xi

(x)∂v

∂xj

(x) + v2σij(x). (3.5)

O campo normal unitario a Σ no ponto X(x) = eu(x)x e dado, a menos de mudanca

de sinal, por

N(X) =a2∇v(x)− vx

a√

v2 + a2|∇v|2 . (3.6)

De fato, e normal:⟨

a2∇v(x)− vx,∂X

∂xi

⟩=

⟨a2∇v(x)− vx,

∂v

∂xi

x + v∂

∂xi

⟩

= a2 + a2v

⟨∇v(x),

∂

∂xi

⟩− a2v

∂v

∂xi

− av

⟨x,

∂

∂xi

⟩

= 0,

Pagina 56


pois 〈∇v(x), x〉 =

⟨x,

∂

∂xi

⟩= 0, uma vez que ∇v(x),

∂

∂xi

∈ TxΩ. E por fim, e unitario

∣∣a2∇v − vx∣∣2 =

⟨a2∇v − vx, a2∇v − vx

⟩

=⟨a2∇v, a2∇v

⟩− ⟨a2∇v, vx

⟩− ⟨vx, a2∇v

⟩+ 〈vx, vx〉

= a4|∇v|2 + a2v2

= a2(|∇v|2 + v2),

ou seja |a2∇v − vx| = a√

v2 + a2|∇v|2.

A fim de calcular a curvatura media h de Σ com respeito a esta orientacao, usaremos

a expressao do traco da segunda forma fundamental de Σ, isto e,

h =1

n

∑i,j

gijbij, (3.7)

onde gij e a inversa da metrica gij e

bij =

⟨∂2X

∂xi∂xj

, N

⟩, (3.8)

como vimos na secao 1.3.

Entretanto, diferenciando a expressao (3.3), obtemos

∂2X

∂xi∂xj

=∂2v

∂xi∂xj

x +∂v

∂xi

∂

∂xj

+∂v

∂xj

∂

∂xi

+ v∂2

∂xi∂xj

, (3.9)

onde o ultimo termo simboliza a diferenciacao usual de vetores em Rn+1. Assim, substi-

tuindo (3.6) e (3.9) em (3.8), resulta que

bij =

⟨∂2v

∂xi∂xj

x +∂v

∂xi

∂

∂xj

+∂v

∂xj

∂

∂xi

+ v∂2

∂xi∂xj

,a2∇v(x)− vx

a√

v2 + a2|∇v|2

⟩

=1

a√

v2 + a2|∇v|2⟨

∂2v

∂xi∂xj

x +∂v

∂xi

∂

∂xj

+∂v

∂xj

∂

∂xi

+ v∂2

∂xi∂xj

, a2∇v(x)− vx

⟩

=1

aW (v)

(⟨∂2v

∂xi∂xj

x, a2∇v(x)− vx

⟩+

⟨∂v

∂xi

∂

∂xj

, a2∇v(x)− vx

⟩+

⟨∂v

∂xj

∂

∂xi

, a2∇v(x)− vx

⟩+

⟨v

∂2

∂xi∂xj

, a2∇v(x)− vx

⟩ )

=1

aW (v)

(− ∂2v

∂xi∂xj

va2 + a2 ∂v

∂xi

∂v

∂xj

+ a2 ∂v

∂xj

∂v

∂xi

+ a2v∂2v

∂xi∂xj

− av2

⟨∂2

∂xi∂xj

,x

a

⟩)

Pagina 57


ou seja,

bij =1

aW (v)

(a2v

(− ∂2v

∂xi∂xj

+

⟨∂2

∂xi∂xj

,∇v

⟩)

+ 2a2 ∂v

∂xi

∂v

∂xj

+ av2

⟨∂2

∂xi∂xj

,−x

a

⟩)(3.10)

onde W (v) =√

v2 + a2|∇v|2.

Contudo, o hessiano da funcao v em Ω, cuja matriz em termos das coordenadas xk

designaremos por vij, satisfaz, por definicao, a igualdade

vij =∂2v

∂xi∂xj

−⟨

∂2

∂xi∂xj

,∇v

⟩.

Alem disso,

⟨∂2

∂xi∂xj

,−x

a

⟩=

1

aσij, visto que a expressao a esquerda e a segunda forma

fundamental de S aplicada aos vetores coordenados ∂∂xi

e ∂∂xj

. De fato, sendo N uma

extensao local de η, unitaria e normal a S, ou seja, N = −xa, e do fato que Sη · x = x

a,

temos

〈B(∂i, ∂j), N〉 = 〈Sη · ∂i, ∂j〉 =1

a〈∂i, ∂j〉 =

1

aσij

e ainda,

⟨B(∂i, ∂j),−x

a

⟩=

⟨∇∂i

∂j −∇∂i∂j,−x

a

⟩=

⟨∇∂i

∂j,−x

a

⟩=

⟨∂2

∂xi∂xj

,−x

a

⟩

portanto ⟨∂2

∂xi∂xj

,−x

a

⟩=

1

aσij.

Denotando∂v

∂xi

por ∂iv, concluımos que

bij =1

aW (v)

(−a2vvij + 2a2∂iv∂jv + v2σij

). (3.11)

Seja U ⊂ Rn a imagem de Ω por meio da projecao estereografica π de S sobre

Rn = X = (X1, . . . , Xn+1); X1 = 0, com polo (−a, 0, . . . , 0). Como, por escolha de

coordenadas de Rn+1, estamos supondo que o domınio Ω em X = (X1, . . . , Xn+1); X1 >

0, entao π|Ω define uma parametrizacao de Ω por coordenadas conformes, ou seja, tais

que σij(x) = µ2δij, onde

µ(x) =2

1 + |π(x)|2a2

,

Pagina 58


para todo x ∈ Ω.

Nestas coordenadas, podemos exibir a inversa da metrica gij, a saber:

gij =1

µ2v2

(δij − a2

µ2(v2 + a2|∇v|2)∂iv∂jv

). (3.12)

De fato, como gik = a2∂iv∂kv + v2σik, onde σik = µ2δik, temos

gik gkj =

(a2∂iv∂kv + v2µ2δik

)(1

µ2v2

(δij − a2

µ2(v2 + a2|∇v|2)∂iv∂jv

) )

=a2δkj

µ2v2∂iv∂kv − a4

µ4v2(v2 + a2|∇v|2)(∂kv)2∂iv∂jv + δikδkj − δika2

µ2(v2 + a2|∇v|2)∂kv∂jv,

tomando a soma em k, e atento a ∇v =∑

i

∑j

1

µ2δij∂jv

∂i =

(∑i

1

µ2∂iv

)∂i, e

|∇v|2 =∑i,j

1

µ4∂iv∂jvµ2δij =

1

µ2

∑i

(∂iv)2

temos

gik gkj =a2

µ2v2∂iv∂jv − a4

µ4v2(v2 + a2|∇|2) |∇v|2µ2∂iv∂jv + δij − a2

µ2(v2 + a2|∇v|2)∂iv∂jv

=

= δij +a2v2µ2∂iv∂jv + a4µ2|∇v|2∂iv∂jv − a4µ2|∇v|2∂iv∂jv − a2v2µ2∂iv∂jv

µ4v2(v2 + a2|∇v|2)= δij.

Portanto, reunindo (3.11) e (3.12) em (3.7), temos as igualdades a seguir

nh =1

aW (v)

∑i,j

gij((v2σij + a2∂iv∂jv) + a2∂iv∂jv − a2vvij

)

=1

aW (v)

∑i,j

gij(gijgij + a2gij∂iv∂jv − a2vgijvij

)

=n

aW (v)+

a

aW (v)

∑i,j

gij(gij∂iv∂jv − vgijvij

).

Daı, podemos escrever (3.7) na forma de uma equacao diferencial com parte principal

dada por uma matriz positiva, a saber, gij:

a2v∑i,j

gijvij − a2∑i,j

gij∂iv∂jv = n− nh(a(v2 + a2|∇v|2) 1

2

). (3.13)

Pagina 59


Entretanto, utilizando a expressao (3.12), o primeira termo de (3.13) se escreve

a2v∑i,j

gijvij =a2

vµ2

∑i,j

(δij − a2

µ2(v2 + a2|∇v|2)∂iv∂jv

)vij.

Por outro lado, usando o fato de que |∇v|2 =∑

i µ−2∂2

i v, o segundo termo de (3.13) vem

a ser

a2∑i,j

gij∂iv∂jv =a2

v2µ−2

∑i

∂2i v −

a4

v2(v2 + a2|∇v|2)∑i,j

µ−4∂2i v∂2

i v

=a2

v2|∇v|2 − a4

v2(v2 + a2|∇v|2) |∇v|4

=a2|∇v|2

v2 + a2|∇v|2 .

Substituindo estas duas ultimas expressoes em (3.13) e, em seguida, multiplicando

ambos os lados da equacao resultante por va−2(v2 + a2|∇v|2)− 12 , obtem–se a equacao do

grafico radial de curvatura media h, em termos de v:

(1

µ2W (v)δij − a2

µ4W (v)3∂iv∂jv

)vij − 1

W (v)3v|∇v|2 =

nv

a2

(1

W (v)− ah

). (3.14)

Um operador muito presente em equacoes como a da curvatura media e dado por

div(

∇vW (v)

), com W (v) representando, em geral, a norma do campo normal ao grafico da

solucao. Procedemos a verificacao de que este fato e valido no caso da equacao (3.14),

com o divergente na metrica de S. Da definicao de divergente, segue que

div

( ∇v

W (v)

)=

1

W (v)∆v +

⟨∇

(1

W (v)

),∇v

⟩, (3.15)

onde

∇(

1

W (v)

)=

∑i

µ−2 ∂

∂xi

(1

W (v)

)∂

∂xi

.

Calculemos, entao,∂

∂xi

(1

W (v)

)= ∂i

(1√

v2 + a2|∇v|2

). Pela regra da cadeia,

temos

Pagina 60


∂i

(1

W (v)

)=

−1

2W (v)3∂i

(v2 + a2|∇v|2)

=−1

2W (v)3

(2v∂iv + a2

∑j

∂i

(µ−2∂2

j v))

=−1

W (v)3

(v∂iv +

a2

2

∑j

(∂iµ

−2∂2j v + 2µ−2∂jv∂i(∂jv)

))

=−1

W (v)3

(v∂iv +

a2

2∂i

(µ−2

) ∑j

(∂jv)2 + a2µ−2∑

j

∂jv∂i(∂jv)

)(3.16)

Agora, como vij = ∂i∂jv −∑

k

∂kvΓkij, tiramos ∂i∂jv = vij +

∑

k

∂kvΓkij e escrevemos

∑j

∂jv∂i(∂jv) =∑

j

(∂jvvij + ∂jv

∑

k

∂kvΓkij

)

=∑

j

∂jvvij +∑

j,k

∂jv∂kvΓkij (3.17)

Porem, Γkij =

1

2

∑

l

(∂i(gjl)+∂j(gli)−∂k(gij)

)·glk e visto que gij = µ2δij e gij = µ−2δij

tem-se

Γkij =

1

2

(∂i(µ

2δjk) + ∂j(µ2δki)− ∂k(µ

2δij))· µ−2

Portanto escrevemos a segunda parcela de (3.17) da seguinte forma:

∑

j,k

∂jv∂kvΓkij =

∑

j,k

∂jv∂kv

(1

2

(∂i(µ

2δjk) + ∂j(µ2δki)− ∂k(µ

2δij))· µ−2

)

=µ−2

2

(∑

j,k

∂jv∂kv∂i(µ2δjk) +

∑

j,k

∂jv∂kv∂j(µ2δki)−

∑

j,k

∂jv∂kv∂k(µ2δij)

)

=µ−2

2

(∑j

(∂jv)2∂i(µ2) +

∑j

∂jv∂iv∂j(µ2)−

∑

k

∂iv∂kv∂k(µ2)

)

=µ−2

2

∑j

(∂jv

)2∂i(µ

2)

ainda que, 0 = ∂i(1) = ∂i(µ2µ−2) = µ2∂i(µ

−2) + µ−2∂i(µ2), temos µ−2∂i(µ

2) = µ2∂i(µ−2)

e entao ∑

j,k

∂jv∂kvΓkij = −µ2

2∂i(µ

−2)∑

j

(∂jv

)2(3.18)

Pagina 61


Multiplicando (3.17) por a2µ−2 e usando (3.18) temos:

a2µ−2∑

j

∂jv∂i(∂jv) = a2µ−2∑

j

∂jvvij + a2µ−2∑

j,k

∂jv∂kvΓkij

= a2µ−2∑

j

∂ivvij − 1

2a2∂i(µ

−2)∑

j

(∂jv)2

que e justamente a terceira parcela de (3.16), e finalmente, substituindo este resultado

em (3.16), temos

∂i

(1

W (v)

)= − 1

W (v)3

(v∂iv + a2µ−2

∑j

∂ivvij

).

Por outro lado, temos ∇v =∑

i

µ−2∂iv∂i e ∆v =∑

i

µ−2vij. Portanto, a equacao

(3.15) fica

div

( ∇v

W (v)

)=

1

W (v)

∑i

µ−2vij +

⟨ ∑i

µ−2

(− 1

W (v)3

(v∂iv + a2µ−2

∑i,j

vij∂jv

))∂

∂xi

,∑

k

µ−2∂kv∂

∂xk

⟩

=1

W (v)

∑i

µ−2vij +∑

i

µ−4µ2

(− 1

W (v)3

(v∂iv∂iv + a2µ−2

∑i,j

vij∂iv∂jv

))

=1

W (v)

∑i

µ−2vij +∑

i

µ−2

W (v)3

(v∂2

i v + a2µ−2∑i,j

vij∂iv∂jv

)

=1

W (v)

∑i

µ−2vijδij − v

W (v)3|∇v|2 − a2

µ4W (v)3

∑i,j

vij∂iv∂jv

=1

W (v)

(µ−2δij − a2µ−4

W (v)2∂iv∂jv

)vij − 1

W (v)3v|∇v|2,

dessa forma, a equacao (3.14) pode ser escrita na forma divergente como

div

( ∇v

W (v)

)=

nv

a2

(1

W (v)− ah

). (3.19)

Observe que, como v = eu, temos

∇v = µ−2∑

∂iv∂i = µ−2∑

∂ieu∂i = euµ−2

∑∂iu∂i = eu∇u,

e

W (eu) =√

(eu)2 + a2|eu∇u|2 = eu√

1 + a2|∇u|2.

Pagina 62


Pondo W (u) =√

1 + a2|∇u|2, temos que W (v) = euW (u) e

div

( ∇v

W (v)

)= div

(eu∇u

euW (u)

)=

neu

a2

(1

euW (u)− ah

)=

n

a2

(1

W (u)− aeuh

),

logo, em termos da funcao u, as equacoes (3.14) e (3.19) sao escritas, respectivamente, da

seguinte forma:

(1

W (u)µ−2δij − a2µ−4

W (u)3∂iu∂ju

)uij =

n

a2

(1

W (u)− aeuh

)(3.20)

e

div

( ∇u

W (u)

)=

n

a2

(1

W (u)− aeuh

). (3.21)

A equacao (3.21) e exatamente a equacao (3.2) que querıamos obter.

Podemos escrever a equacao (3.20) como uma equacao em U ⊂ Rn, uma vez, que pela

definicao do hessiano,

uij = ∂ij −∑

k

Γkij∂ku,

onde Γkij∂k = Γk

ij∂k(x) sao os sımbolos de Christoffel em S, em termos das coordenadas

xk e ∂iju designa as derivadas parciais de segunda ordem da expressao coordenada de u.

Assim, escrevendo abreviadamente

aij(x, ∂1u, . . . , ∂nu) =1


W (u)3∂iu∂ju,

a equacao (3.20) pode ser expressa em coordenadas na forma geral de uma equacao qua-

silinear em domınios euclidianos:

∑i,j

aij(x, ∂1u(x), . . . , ∂nu(x))∂iju + b(x, u(x), ∂1u(x), . . . , ∂nu(x)) = 0, (3.22)

onde

b(x, u(x), ∂1u(x), . . . , ∂nu(x)) = − n

a2W (u)+

n

aeuh−

∑

i,j,k

Γkijaij∂ku.

Destas consideracoes, e possıvel aplicarmos a teoria padrao referente as equacoes

elıpticas quasilineares a equacao (3.20) reescrita sob a forma dada em (3.22). Para tanto,

devemos supor que Γ e uma subvariedade de classe C2 em S, uma vez que as tecnicas

analıticas a serem empregadas requerem hipoteses sobre a regularidade do domınio Ω. En-

tretanto, ha um forte vınculo entre a curvatura media de Γ e a possibilidade de existencia

de solucoes para (3.2). Nesta direcao, enunciamos o seguinte teorema, devido a Serrin (v.

[20]§23), de grande importancia para a prova do Teorema Principal.

Pagina 63


Seja hΓ a curvatura media de Γ como subvariedade de S, calculada com respeito ao

vetor unitario normal a Γ apontando para o interior de Ω. Temos:

Teorema 3.1 (Teorema de Serrin). Seja Ω um domınio de classe C2 em uma esfera S

de Rn+1, cujo fecho esta em um hemisferio aberto de S. Seja, ainda, h(x) uma funcao

nao-positiva em C1(Ω). Entao, existe um unico grafico radial sobre Ω com curvatura

media prescrita h(x) e bordo Γ, desde que

hΓ(x) ≥ n

n− 1|h(x)|,

para todo x ∈ Γ.

Pagina 64

3.2. Graficos Radiais em Hn+1

3.2 Graficos Radiais em Hn+1

Nesta secao, definiremos graficos radiais no espaco hiperbolico Hn+1 e discutiremos a

existencia de tais graficos com curvatura constante.

O lema a seguir estabelece uma relacao entre a curvatura media euclidiana h de Σ e

sua curvatura media hiperbolica H.

Lema 3.2. Sejam (M, g) uma variedade riemanniana, e µ : M → R uma funcao dife-

renciavel positiva. Se Σ e uma hipersuperfıcie de M cuja curvatura media na metrica g,

relativa a um campo normal unitario N , e denotada por h, entao a curvatura media de

M na metrica µ2g e dada por

H =h

µ− 1

µ2N(µ), (3.23)

onde N(µ) e a derivada de µ na direcao N .

Demonstracao. Denote por 〈 , 〉 (resp. 〈〈 , 〉〉) o produto escalar na metrica g

(resp. µ2g); seja ∇ (resp. ∇) a conexao Levi-Cevita na metrica g (resp. µ2g) e sejam

X,Y ∈ TpM , p ∈ M . Queremos que

∇XY = ∇XY +1

µ

X(µ)Y + Y (µ)X − 〈X, Y 〉∇µ

(3.24)

em que X(µ) = 〈X,∇µ〉

Como∇ esta definida e uma conexao simetrica, nos temos que verificar∇ e compatıvel

com a metrica µ2g, isto e:

X(〈〈Y, Z〉〉) = 〈〈∇XY, Z〉〉+ 〈〈Y,∇XZ〉〉 (3.25)

∀ X,Y, Z ∈ TpM, p ∈ M.

O primeiro termo de (3.25) e igual a

X(µ2〈Y, Z〉) = X(µ2)〈Y, Z〉+ µ2(〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉)= 2µX(µ)〈Y, Z〉+ µ2(〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉)

e o segundo termo e igual a

µ2〈∇XY, Z〉+ µX(µ)〈Y, Z〉+ µY (µ)〈X, Z〉 − µ〈X, Y 〉〈Z,∇µ〉

+µ2〈∇XZ, Y 〉+ µX(µ)〈X,Y 〉 − µ〈X,Z〉 − µZ(µ)〈X,Z〉〈∇µ, Y 〉

Pagina 65


assim (3.25) e verificada.

Agora, seja ξ um vetor unitario (na metrica g) tangente a uma direcao principal de

Σ tal que

∇ξN = −kξ

isto e, ke a curvatura principal. Seja ξ = µ−1 e N = µ−1N , assim por (3.24)

∇ξN =1

µ

(−k +

N(µ)

µ

)ξ

Consequentemente ξ a a direcao principal para µ2g e a curvatura principal e

−k = −k

µ+

N(µ)

µ2

(3.23) segue somando as curvaturas principais de Σ. ¤

Seja S uma esfera geodesica de raio ρ no espaco hiperbolico Hn+1. Consideremos um

domınio Ω em S cujo fecho esteja contido em um hemisferio aberto de S. Denotaremos

por Γ a fronteira de Ω, ou seja, Γ = ∂Ω.

Definimos o grafico radial Σ de uma funcao nao-negativa χ ∈ C2(Ω) como o subcon-

junto

Σ = X ∈ Hn+1; X = αx(χ(x)), x ∈ Ω, (3.26)

onde, para cada x ∈ Ω, αx e a geodesica minimizante ligando o centro geodesico de S a

x. E imediato da definicao que χ(x) e a distancia do centro de S ao ponto X(x).

Suponhamos que Γ e uma hipersuperfıcie de classe C2,α de S, para algum α ∈ (0, 1),

denotemos por HΓ a curvatura media de Γ com respeito ao vetor normal apontando para

o interior de Ω, temos o seguinte teorema:

Teorema 3.3 (Teorema Principal). Sejam S uma esfera geodesica de raio ρ em Hn+1 e Ω

um domımio em S com fecho contido num hemisferio aberto de S. Se − inf HΓ < H ≤ 0,

entao existe um unico grafico radial Σ sobre Ω com curvatura media H e bordo Γ.

A prova deste teorema, deixamos para o quarto e ultimo capıtulo.

Usaremos, no que segue o modelo de Poincare para Hn+1, isto e, o disco unitario em

Rn+1

D =

X = (X1, . . . , Xn+1) ∈ Rn+1;

n+1∑i=1

X2i < 1

Pagina 66

3.2. Graficos Radiais em Hn+1

munido da metrica4

(1−∑i X

2i )2

δij, dita hiperbolica. Nomeamos hiperbolica as quanti-

dades definidas com relacao a esta metrica.

Por meio de uma isometria de Hn+1, podemos tomar a origem de Rn+1 como o centro

geodesico de S. Desta forma, identificamos S com uma esfera euclidiana, centrada na

origem, cujo raio a depende do raio geodesico ρ de S, mais precisamente, a = tgh(ρ2).

As semi-retas retas partindo da origem sao, neste modelo de Hn+1, tracos de geodesicas.

Assim, se definirmos a funcao u : Ω → R, como

eu(x) =1

atgh

(χ(x)

2

), (3.27)

para cada x ∈ Ω, entao o grafico radial Σ de χ corresponde ao grafico radial da funcao u

em Rn+1, como definido em (3.1), ou seja,

Σ = X = eu(x)x; x ∈ Ω. (3.28)

De fato, dado um ponto x ∈ Ω, a geodesica αx definida acima corresponde, neste

modelo, a semi-reta ligando a origem de Rn+1 a x. Se X = eu(x)x, entao a distancia

hiperbolica da origem a X e, por definicao de u, igual a χ(x).

Demonstramos, conforme (3.21), que dada uma funcao h : Ω → R, o grafico radial Σ

e uma hipersuperfıcie de Rn+1 com curvatura media h(x) no ponto X = eu(x)x quando u

satisfaz a seguinte EDP:

Qh(u) = div

( ∇u

W (u)

)− 1

a2

(n

W (u)− naeuh

)= 0, (3.29)

onde div e ∇ denotam, respectivamente, o divergente e o gradiente em S na metrica

usual, induzida de Rn+1, e W (u) =√

1 + a2|∇u|2. A curvatura media h e calculada,

como fixamos acima, de acordo com a orientacao definida pelo campo normal unitario

dado em (3.6).

Denotaremos por H a curvatura media de Σ como hipersuperfıcie de Hn+1, com a

orientacao escolhida acima.

Tomando-se M = D e µ2 =4

(1− |X|2)2no Lema 3.2, podemos obter a curvatura

media de Σ como hipersuperfıcie de Hn+1, isto e, na metrica hiperbolica de D. Temos,

entao

H(x) =1

µh(x)− 1

µ2gradµ(X) ·N(X),

Pagina 67


onde gradµ denota o gradiente de µ(X) =2

1−∑i X

2i

em Rn+1, dado por gradµ = µ2X;

e “·” significa o produto interno usual de Rn+1. Assim,

H(x) =h

µ− µ2X ·N

µ2=

h

µ−X ·N

=h

µ− 1

aW (u)X · (a2∇u(x)− x)

=

(1−∑

i X2i

2

)h− 1

aW (u)eu(a2x · ∇u− x · x)

=

(1− a2e2u

2

)h +

aeu

W (u).

Logo obtemos

h =2

1− a2e2u

(H − aeu

W (u)

)(3.30)

Assim, substituindo (3.30) em (3.29), deduzimos a equacao diferencial a ser satisfeita

por u de modo que Σ tenha curvatura media H na metrica hiperbolica, dada na proposicao

abaixo.

Proposicao 3.4. Uma funcao u ∈ C2(Ω) descreve um grafico radial em Hn+1 sobre Ω

com curvatura media H quando u < 0 e

QH(u) = div

( ∇u

W (u)

)− n

a2W (u)+

2neu

a(1− a2e2u)

(H − aeu

W (u)

)= 0. (3.31)

Portanto, garantir a existencia de um grafico radial Σ em Hn+1 com curvatura media

H e bordo Γ = ∂Ω e equivalente a assegurar a existencia de solucao u ∈ C2(Ω), u < 0,

para o seguinte problema de Dirichlet

QH(u) = 0 em Ω

u = 0 em Γ.(3.32)

Pagina 68

Capıtulo 4

Prova do Teorema 3.3

Reservamos este capıtulo para a prova do nosso principal teorema, o Teorema 3.3.

Afirmamos no final da secao 3.1, que e possıvel aplicar as equacoes (3.2) e (3.31)

a teoria relativa a EDPs em domınios do Rn, pois a equacao (3.2), quando expressa

em coordenadas na forma (3.22), e uma equacao elıptica quasilinear em um domınio

U ⊂ Rn. Apresentamos, no final do capıtulo 2 resultados sobre esta classe de equacoes,

cujos enunciados e demonstracoes encontram-se em [7]. Para iniciarmos a nossa prova,

precisamos ainda, apresentar outros resultados, como a estimativa a priori do gradiente

de u (cf. [13], § 2.3) e a existencia do grafico radial mınimo em Hn+1, para que possamos

aplicar o metodo da continuidade.

4.1 Preliminares

A seguinte proposicao formula uma estimativa a priori do gradiente de u, cuja de-

monstracao encontra-se em [13], § 2.3: Estimativas C1 a priori para Graficos radiais em

Hn+1.

Proposicao 4.1. Se − inf HΓ < H ≤ 0, entao a funcao u descrevendo o grafico radial de

curvatura media H e bordo Γ satisfaz

supΩ|∇u| ≤ C

em que C = C(Ω, H), e uma constante positiva dependendo apenas de Ω e de H.

69

Capıtulo 4. Prova do Teorema 3.3

Por comodidade, identifiquemos Ω com U , e u com sua expressao em coordenadas.

Fixemos α um numero entre 0 e 1. Suponhamos Γ de classe C2,α. Como vimos em (2.3),

seja F : C2,α(Ω) → Cα(Ω) o operador diferenciavel elıptico quasilinear dado por

F [u] = F [x, u, ∂ku, ∂klu] = aij(x, ∂ku)∂iju + b(x, u, ∂ku), (4.1)

em que ∂ku e ∂klu representam, respectivamente, as derivadas parciais de primeira e

segunda ordens da expressao coordenada de u; e os coeficientes aij e b estao definidos

em (3.22). Como usualmente, podemos tomar (4.1) como definicao de uma funcao dife-

renciavel F = F [x, z, p, r] em Ω × R × Rn × Rn×n, fazendo z = u, p = ∂ku, r = ∂klu

em (4.1). De (4.1) segue que ∂F∂z

= ∂b∂z≤ 0 se, e somente se, h ≤ 0 (basta derivar aij e

b dados em (3.22) em relacao a u e obter ∂F∂z

= ∂b∂z

= naeuh). Daı o Princıpio de Com-

paracao (Teorema 2.1) e igualmente valido para a equacao (3.31), desde a formula (3.30)

seja substituıda no lugar de h, nesta equacao. Ainda a partir desta observacao podemos

enunciar a seguinte consequencia geometrica do Teorema 2.1.

Proposicao 4.2 (Princıpio de Comparacao). Sejam Σ1 e Σ2 dois graficos radiais sobre

Ω ⊂ S, descritos pelas funcoes u1 e u2, respectivamente. Se h2 ≤ h1 ≤ 0, em que h1 e h2

representam, nesta ordem, as curvaturas medias euclidianas de Σ1 e Σ2, e u2 ≤ u1 em Γ,

entao u2 ≤ u1 em Ω.

Uma observacao importante, derivada da demonstracao do Teorema 2.1 e apresentada

abaixo.

Proposicao 4.3. Seja Σ um grafico radial em Rn+1 sobre Ω com curvatura media h ≤ 0,

descrito por uma funcao u ∈ C2,α(Ω). Entao, se u ≤ 0 ao longo de Γ = ∂Ω, temos u < 0

em Ω, ou seja, ΣR esta contido em R = tx; x ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ 1, o cilindro solido sobre

Ω.

Demonstracao. Seja S ′ a esfera totalmente geodesica de codimensao 1 em S que

determina o hemisferio em que Ω esta contido. Entao consideremos a famılia de esferas

S(t); t ∈ [0,∞) em Rn+1 tais que S(0) = S e S(t)∩S = S ′, quando t > 0, de modo que

seus centros fiquem alinhados sobre a semi-reta partindo da origem de Rn+1 ortogonal ao

hiperplano que determina S ′ em S e passando por um ponto do hemisferio de S contendo

Ω. Por construcao, segue que, para todo t > 0 tal que S(t0)∩ΣR 6= ∅ e S(t)∩Σ = ∅, para

todo t > t0. Alem disso, S(t0) ∩ Γ = ∅. Portanto, os pontos de contato entre S(t0) e ΣR

sao interiores a ΣR. Em uma vizinhanca Ω′ suficientemente pequena da projecao radial

Pagina 70

4.1. Preliminares

x0 de um destes pontos em Ω, escolhido arbitrariamente, podemos descrever S(t0) como

o grafico radial de uma funcao u1, de modo que u(x0) = u1(x0) e u < u1 em Ω′ − x0 (o

ponto x0 e o ponto de tangencia isolado, pois caso contrario, ΣR e S(t0) coincidiriam em

um aberto e teriam, portanto a mesma curvatura). Entretanto, a curvatura media h1 de

S(t0) e maior do que zero, ao passo que h ≤ 0. Daı, temos

Qh(u) = div

( ∇u

W (u)

)− n

a2W (u)+ naeuh

= div

( ∇u

W (u)

)− n

a2W (u)+ naeu(h− h1) + naeuh1

≤ div

( ∇u

W (u)

)− n

a2W (u)+ naeuh1 =: Qh1(u).

Logo, Qh1(u) ≥ Qh(u) = 0 = Qh1(u1). Assim, Qh1(u) ≥ Qh1(u1). Entretanto, como vimos

na demonstracao do Teorema 2.1, definindo w = u − u1, sabemos existir um operador

linear L tal que

Lw = Qh1(u)−Qh1(u1) ≥ 0.

Portanto, temos Lw ≥ 0 em Ω′, w(x0) = 0 e w < 0 em Ω′−x0. Contudo, o Lema de Hopf

(Lema 2.11) assegura que o gradiente de w em x0 e nao-nulo, o que contradiz o fato de

x0 ser ponto de maximo interior para w. Desta contradicao, concluımos que ΣR nao tem

pontos fora de R. ¤

O Lema de Hopf, ou o Princıpio do Maximo Forte (Teorema 2.12), acarreta alguns

fatos geometricos, a saber:

Observacao 4.4 (Princıpio de Tangencia). Sejam Σ e Σ1 duas hipersuperfıcies em Rn+1

tangentes em um ponto interior a ambos, descritas em uma vizinhanca Ω deste ponto

como graficos radiais de duas funcoes u e u1, de modo que u ≤ u1 em Ω. Se Σ e Σ1 tem

a mesma curvatura media, entao u ≡ u1 em Ω. O mesmo pode ser afirmado para graficos

radiais em Hn+1.

Observacao 4.5. Os graficos radiais ΣH em Hn+1 de curvatura H ≤ 1 e bordo Γ estao

contidos na bola geodesica de raio ρ, isto e, ΣH ⊂ R = αx(t); x ∈ Ω, 0 < t ≤ ρ.

Outro resultado que precisamos, e a garantia da existencia de grafico radial mınimo

em Hn+1. Utilizaremos o Teorema 3.1 (Serrin) para provar a seguinte proposicao.

Proposicao 4.6. Se inf HΓ ≥(

nn−1

)a, entao existe um unico grafico radial mınimo sobre

Ω em Hn+1 com bordo Γ.

Pagina 71


Demonstracao. Por (3.27) e (3.28) o grafico radial euclidiano Σ de uma funcao

u sobre Ω, com curvatura media euclidiana h, e, de fato, um grafico radial em Hn+1 de

curvatura media hiperbolica H quando u < 0 e

h =2

1− a2a2u

(H − aeu

W (u)

). (4.2)

O Teorema 3.1 implica a existencia de grafico radial Σ sobre Ω em Rn+1 com curvatura

media h desde que

(i) h ≤ 0 em Ω, e

(ii) |h| ≤ (n−1

n

)hΓ em Γ.

Tomando h ≤ 0, segue da Proposicao 4.3 que Σ esta contido na bola euclidiana de raio

a. Em particular, Σ ⊂ D e, portanto, Σ e uma hipersuperfıcie de Hn+1. Suponhamos,

entao, h ≤ 0. Da expressao (4.2), temos que a condicao (ii) equivale a

2

1− a2a2u

(H − aeu

W (u)

)≥ −

(n− 1

n

)hΓ em Γ.

Entretanto, eu = 1 ao longo de Γ. Por outro lado, a metrica hiperbolica em D induz em

S a metrica 4(1−a2)2

δij, homotetica a metrica usual. Donde segue que

HΓ(x) =

(1− a2

2

)hΓ(x), ∀ x ∈ Γ,

e entao2

1− a2

(H − a

W (u)

)≥ −

(n− 1

n

)(2

1− a2

)HΓ em Γ.

Visto que a < 1, concluımos que a condicao (ii) pode ser escrita como

H − a

W (u)≥ −

(n− 1

n

)HΓ em Γ.

Ainda assim, aW (u)

≤ a. Logo, a desigualdade acima e implicada por

(n− 1

n

)inf HΓ ≥ a−H. (4.3)

Por outro lado, por um argumento analogo ao da demonstracao da proposicao 4.3,

considerando que as esferas S(t) sao esferas geodesicas de Hn+1 com curvatura media

maior do que 1, verificamos que, se H ≤ 1, entao Σ nao contem pontos fora da bola

geodesica de raio ρ em Hn+1 (v. Observacao 4.5). Assim, temos por exemplo para H ≤ 0,

que eu < 1 e, portanto, 1−a2e2u > 0. Logo, a expressao (4.2) permite concluir que H ≤ 0

implica h ≤ 0.

Pagina 72

4.2. A Prova

Fixando H = 0, temos h ≤ 0. Supondo inf HΓ ≥(

n−1n

)a, e imediato que H = 0

tambem satisfaz (4.3), condicao equivalente a (ii) quando h ≤ 0. Assim, pelo Teorema

3.1, garantimos a existencia de um grafico radial mınimo com bordo Γ. ¤

4.2 A Prova

Exibiremos uma versao da prova do Teorema 3.3, exposta em [13]. Para esta prova,

empregaremos o Metodo da Continuidade.

Em princıpio, este metodo envolve o mergulho de determinado problema em uma

famılia de problemas indexados por um intervalo fechado, [0, 1]. O metodo permite obter,

a partir de uma solucao de uma equacao elıptica dada, solucoes para equacoes elıpticas

construıdas por uma pertubacao da primeira. O subconjunto S de [0, 1] para qual os

problemas correspondentes sao soluveis e mostrado por ser nao vazio, fechado e aberto, e

consequentemente coincide com o intervalo todo.

Como vimos no final da Secao 3.2 que, o problema de encontrar um grafico radial em

Hn+1 de curvatura media H se reduz a resolver a equacao (3.31) dada na Proposicao 3.4

ou, equivalentemente, a equacao

QH(u) =

(1


W (u)3∂iu∂ju

)∂iju

−n

a

[1

aW (u)− 2eu

(1− a2e2u)

(H − aeu

W (u)

)]−

∑

k

Γkijaij∂ku, (4.4)

para uma funcao u < 0, onde H e a curvatura media hiperbolica que estamos prefixando

e ∂iu e ∂iju denotam, respectivamente, as derivadas de primeira ordem e segunda ordens

de u.

Seja α0 = α0

(n, µk

λk, K

)a constante fornecida pelo Teorema 2.19, em que K corres-

ponde a estimativa global de |∇u| obtida na Proposicao 4.1. Redefinimos α, a classe de

regularidade das derivadas de um atlas de Γ, como minα, α0. Consideremos, para cada

τ ∈ [0, 1] e u ∈ C2,α(Ω) tal que u|∂Ω = 0, o operador diferencial de segunda ordem Fτ [u]

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dado por

Fτ [u] = Fτ [x, u, ∂ku, ∂klu]

=

(1


W (u)3∂iu∂ju

)∂iju

−n

a

[1

aW (u)− 2eu

1− a2e2u

(τH − aeu

W (u)

)]−

∑

k

Γkijaij∂ku. (4.5)

Observemos que F1 corresponde a equacao (4.4).

Denotaremos por B o subespaco (fechado) de C2,α(Ω) das funcoes que se anulam na

fronteira ∂Ω. Entao uma funcao em B satisfaz Fτ [u] = 0 se, e somente se, e solucao do

seguinte problema QτH(u) = 0 em Ω

u = 0 em ∂Ω.

E claro da definicao de grafico radial que o proprio domınio Ω e, trivialmente, solucao

para este problema, fazendo-se u ≡ 0. No entanto, o valor da curvatura media H =

cotgh(ρ), correspondente a esta solucao, nao permite empregarmos o metodo da continui-

dade, uma vez que nao podemos assegurar o invertibilidade do linearizado operador QH

neste ponto. Por inspecao imediata, verificamos que um grafico com H = 0 pode servir

de etapa inicial para o metodo. Como vimos, a Proposicao 4.6 assegura a existencia do

grafico radial hiperbolico mınimo, entao seja u0 a funcao em B descrevendo o grafico radial

hiperbolico com bordo Γ e H = 0.

Uma vez que os coeficientes de cada um dos operadores definidos em (4.5) sao dife-

renciaveis (conforme (3.22), pagina 63), e claro que a imagem de B por Fτ esta contida

em Cα. A diferencial de Frechet de Fτ com respeito u ∈ B, calculada em alguma funcao

v ∈ B, e

Lτ,u[v] =∂Fτ

∂rij

∂ijv +∂Fτ

∂pi

∂iv +∂Fτ

∂z

v, (4.6)

onde z, pi e rij tem o significado usual. Para utilizarmos o Teorema da Aplicacao Implıcita,

Teorema 2.16, na analise da funcao G[u, τ ] := Fτ [u], devemos encontrar condicoes para as

quais a derivada parcial ∂uG[u, τ ] = Lτ,u seja invertıvel. Do Teorema 2.10 e da expressao

(4.6), concluımos que isto ocorre se vale ∂Fτ

∂z≤ 0. Entretanto, verificamos, por meio da

definicao (4.5), que ∂Fτ

∂z≤ 0 se, e somente se,

(1 + a2e2u

1− a2e2u

)2e2u

1− a2e2u

(H − aeu

W (u)

)− 2eu

1− a2e2u

(au

W (u)

)≤ 0.

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4.2. A Prova

Pela Proposicao 4.3, se supusermos h = 2e2u

1−a2e2u

(H − aeu

W (u)

)≤ 0, entao nos pontos

X(x) do grafico radial de curvatura H teremos

|X|2 = a2e2u(x) ≤ a2 < 1,

o que torna a desigualdade acima valida.

Em particular, assumindo H ≤ 0, garantimos a invertibilidade de Lτ,u. Neste caso,

segue do Teorema 2.16 que o conjunto

S = τ ∈ [0, 1]; G[u, τ ] = 0, para algum u ∈ B

e aberto. Resta provar que S e fechado.

Temos que G[u, τ ] = 0 implica que u e solucao do problema linear

Lv := aij(x, u(x), ∂ku(x))∂ijv + b(x, u(x), ∂ku(x), τ) = 0

v|∂Ω = 0,

em que aij e b sao os termos de segunda e primeira ordens, respectivamente, da equacao

(4.5). Ja que estes termos sao diferenciaveis em Ω × R × Rn, concluımos dos teoremas

2.18 e 2.19 que a estimativa C1 de u obtida na Proposicao 4.1 fornece uma estiva C2,α

uniforme para qualquer elemento do conjunto

E = u ∈ B; G[u, τ ] = 0 para algum τ ∈ [0, 1].

Entretanto, B e um subespaco fechado de C2,α(Ω) o qual, por sua vez, e um subespaco

compacto de C2(Ω). Assim, qualquer sequencia uk em E contem uma subsequencia, que

tambem denotamos por uk, que converge na norma C2 para uma funcao u ∈ C2(Ω).

Deste modo, existe τk ∈ [0, 1] para a qual G[uk, τk] = 0 e, passando a uma subsequencia,

se necessario, temos τk → τ , para algum τ ∈ [0, 1], e

0 = G[uk, τk] → G[u, τ ].

Segue, entao, do Teorema 2.20 que u pertence de fato a C2,α(Ω). Alem disso, 0 = uk|∂Ω →u|∂Ω. Logo, u ∈ E.

Portanto, se τk e uma sequencia em S de modo que τk → τ , para algum τ ∈ [0, 1] e uk

sao as respectivas solucoes de G[uk, τk] = 0, entao, restringindo-nos a uma subsequencia,

se necessario, temos que uk → u na norma C2,α, para alguma funcao u ∈ E. Assim,

G[u, τ ] = 0 e, por definicao, τ ∈ S. Isto prova que S e fechado.

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Logo, S = [0, 1]. Em particular, o problema de Direchlet

QH(u) = 0 em Ω

u = 0 em ∂Ω

e soluvel para H no intervalo (− inf HΓ, 0].

A unicidade da solucao e uma consequencia do Princıpio de Comparacao (Proposicao

4.2), uma vez que H ≤ 0 implica h ≤ 0. ¤

Pagina 76

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